Квазинормальные волны в задачах акустики и неидеальной теории упругости для слабонеоднородных стратифицированных сред тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Волны Лява и Рале я в вязкоупругой изотропной среде.

1. Уравнение движения частиц вязкоупругой среда и граничные условия.

2. Малые парметры и анзац.

3. Подстановка анзаца в уравнение и граничные условия.

4. Анализ главного члена лучевого разложения.

Фактор затухания.

4.1. Волны Лява.

4.2. Волны Рэлея.

5. Примесные компоненты волн Лява и Ралея.

5.1. Волны Ралея.

5.2. Волны Лява.

6. Явное вычисление примесных компонент в средах со специальной зависимостью от горизонтальных координат.

6.1. Волны Рэлея.

6.2. Волны Лява.

7. Примеры вычисления примесных компонент волн Рэлея и Лява.58 Выводы.

Глава II. Высокочастотные квазинормальные волны плавнонеоднородного слабонестационарного рефракционного волновода.

1. Постановка задачи о квазинормальных волнах.

Параметры и анзац.

2. Удовлетворение волновому уравнению и вывод уравнений по быстрой переменной для функций анзаца.

3. Интегрирование уравнений по быстрой переменной.

4. Удовлетворение граничным условиям.

Вывод уравнений для функций медленных переменных. Нестационарные уравнение эйконала и уравнения переноса.83 5. Интегрирование нестационарного уравнения эйконала и уравнений переноса. б. Описание рекуррентной процедуры последовательного вычисления функций анзаца.

Выводы.

Глава III. Высокочастотные квазинормальные волны плавнонеод-нородного ела боне стационарного рефракционного волновода.

Учет влияния дна.

1. Квазинормальные волны - модифицированный высокочастотный анзац.

2. Удовлетворение волновому уравнению. Определение зависимости функций анзаца от быстрой переменной.

3. Удовлетворение граничным условиям.

Вывод уравнений для функций медленных переменных. Нестационарное уравнение эйконала и уравнения переноса.

3.1. Случай "близкого дна".

3.2. Случай "далекого дна".

4. Исследование нестационарного уравнения эйконала и построение функции 8о.

5. Интегрирование уравнений переноса.

6. Описание рекуррентной процедуры последовательного вычисления функций анзаца.

Выводы.

Проблема распространения волн широкого частотного диапазона в различных средах до сих пор является одной из важных проблем современной физики. Результаты исследований волновых процессов в различных средах необходимы для решения многих научных и практических задач механики, акустики, оптики, радиофизики и сейсмологии [1 - 61. Этим определяется актуальность таких исследований.

Линейные волновые процессы в различных средах описываются дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа [?3, точное аналитическое решение которых, как правило, получить не удается. Вместе с тем для изучения коротких волн в неоднородных средах были разработаны и активно применяются различные асимптотические методы приближенного исследования: лучевой и пространственно-временной лучевой методы, метод нормальных волн, метод эталонных задач и др. Основную роль здесь играет безразмерный параметр ч » 1, пропорциональный отношению характерного пространственного масштаба неоднородности среда D, определяемого спецификой конкретной задачи, к длине волны К. Несмотря на свой асимптотический характер, формулы, получаемые на основе указанных методов, позволяют выявить основные черты изучаемых волновых процессов.

В последнее время внимание исследователей привлек специальный класс сред - так называемые плавнонеоднородные слоистые среды, т.е. среды, изменчивость которых по вертикали много сильнее, чем по горизонтали. Повышенное внимание к ним объясняется тем, что основанные на них модели нашли широкое применение при анализе различных волновых задач. В отличие от общих неоднородных сред, рассматриваемые среды характеризуются двумя существенно различными пространственными масштабами неоднородности в вертикальном и горизонтальных направлениях. Указанная особенность приводит к появлению малого безразмерного параметра е - Dg/Dg, где Dg и Bg - характерные вертикальный и горизонтальный пространственные масштабы задачи. Взаимодействие поля со средой здесь следует характеризовать посредством отношения масштаба Dq к длине волны X, которое мы будем по-прежнему обозначать буквой я (отношение D„/X, как легко видеть, не дает нового независимого параметра и потому не рассматривается). При асимптотическом исследовании волновых процессов в описанных средах имеют место две существенно различные возможности: 1) К ™ Dg, т.е. когда q « 1; 2) А, « Dg, когда q » 1. В первом случае задача зависит лишь от одного малого параметра е, во втором - от двух: е и i/q. Указанную особенность очевидно следует учитывать при выборе формы (анзаца), в которой ищется асимптотика решения конкретной задачи. В первом случае мы будем говорить об однопараметрическом анзаде, во втором - о двухпараметрическом. Однопараметрический анзад используется нами при отыскании асимптотических решений векторного уравнения стационарной теории вязкоупругости, двухпа-раметрический - при отыскании асимптотических решений нестационарного волнового уравнения.

Интерес к волнам, распространяющимся в вязкоупругих телах; вызван, в частности, задачами сейсмологии. Известно [4, 8], что при землетрясениях в земной коре возбуждются различные типы упругих волн, в том числе и поверхностные. Последние могут быть описаны в рамках модели идеально-упругой стратифицированной Земли. Основные результаты в этом направлении подробно изложены в Е93.

Решение в этом случае строится методом разделения переменных, предполагающим независимость характеристик Земли как упругого тела от горизонтальных координат. Однако описанная модель, представляя несомненный теоретический интерес, не могла удовлетворить нужд практической сейсмологии, настоятельно потребовавшей развития методов анализа упругих волн в средах, не являющихся чисто слоистыми. Наиболее распространенной моделью здесь является модель Земли как вязкоупругого стра тифщированного полупространства, характеристики которого плавно меняются в горизонтальных направлениях. Даже для такой упрощенной модели реальной Земли получить точное аналитическое выражение для поверхностных сейсмических волн, как правило, не удается. Одним из методов приближенного анализа указанных волн является вариационный метод, предложенный впервые в ЕЮ] и нашедший в дальнейшем широкое применение для анализа как волн Лява, так и волн Рэлея [11 ] - [13].

Другой метод, опирающийся на систематическое использование малого параметра плавности е, был предложен И. А. Молотковым с соавторами [14, 15] и развит В. М. Бабичем, Б. А. Чихачевым и Т. Б. Яновской [16]. Аналогичной лучевому ряду для объемных волн [17, 18] поверхностная волна ищется как произведение экспоненциального фазового множителя, содержащего горизонтальный эйконал и ряда по степеням е. В [163 вычислены главные члены лучевого ряда как для волн Лява, так и волн Рэлея. Показано, что распространение поверхностных волн происходит вдоль горизонтальных лучей, геометрия которых определяется уравнением эйконала при соответствующем данной волне значении фазовой скорости.

Однако, как выяснилось впоследствии, уже в изотропной ила-внонеоднородной стратифицированной среде у обоих типов волн возможно появление так называемых аномально поляризованных или примесных компонент С19] - [21]. Примесной компонентой волны Лява называют рэлеевски поляризованную компоненту первого поправочного члена разложения амплитуды волны Лява в ряд по степеням 8. Аналогично определяется примесная компонента волны Рэлея. В работах [20], Е21 ] предпринята попытка объяснить указанные поляризационные аномалии, опираясь на анизотропную модель среды. Однако такой подход представляется нам физически необоснованным, так как примесные компоненты возникают уже у волн, распространявшихся в изотропных средах. Принципиально иной подход предложен А. П. Киселевым и Н. Я. Кирпичниковой в [22]. Метод, разработанный в [22], не опирается на анизотропную модель среды, а также позволяет, в отличие от [20], [21], явно вычислить примесные компоненты для ряда сейсмически важных сред [23], [24]. Кроме того результаты [22] хорошо согласуется с численными расчетами примесных компонент волн обоих типов из [25].

Акустические волны в плавнонеоднородных слоистых средах исследовались многими авторами. Наличие малого параметра е, характеризующего такие среды, привело к созданию различных асимпто-ческих методов [26], [27] - [31]. Наиболее известными и развитыми являются следующие: поперечных сечений, плавных возмущений, двухмасштабных разложений, параболического уравнения, лучевой. В рамках адиабатического приближения eq « i высокой эффективностью обладают практически все перечисленные методы. Метод параболического уравнения, созданный М. А. Леонтовичем и В. А. Фоком [3], [32] для объяснения дифракционных эффектов, возникающих при распространении радиоволн вблизи земной поверхности, широко применяется и в подводной акустике [33] - [40]. Однако параболическое уравнение применимо в случаях, когда несущественны отражения.

Метод поперечных сечений, по-видимому, является одним из наиболее строгих обобщений метода нормальных волн на случай пла-внонеоднородяых стратифицированных волноводов [41] - [43]. Однако основанные на нем алгоритмы не всегда достаточно эффективны. Метод двухмасштабных асимптотических разложений является другим обобщением метода нормальных волн на случай волноводов, не являющихся строго стратифицированными [44] - [58]. К задачам подводной акустики этот метод был впервые применен Пирсом [47]. В дальнейшем метод двухмасштабных асимптотических разложений применялся многими авторами при решении широкого круга задач [59] -[65]. Существенным достоинством этого метода является его наглядность и относительная техническая простота. Однако точность формул, получаемых на его основе, быстро падает по мере увеличения частоты колебаний. Условия его применимости подробно исследовались в работах В. 0. Вулдырева и Н. С. Григорьевой [44], [45]. Оказалось, что они совпадают с условием а дна ба тичности eq « 1. Узкая область применимости данного метода связана с тем, что влияние горизонтальной неоднородности среды описывается здесь поправками к амплитуде, а эффект дополнительного искривления фронта волны, являющейся основным, правильнее описывать поправками к фазе. Анзац, имеющий более широкую область применимости, был предложен В. А. Боровиковым и А. В. Поповым в [413, [661. Б этих рабтах были заложены основы метода плавных возмущений, наиболее полно использующего большой и малый параметры ч и е. В даннном методе наряду с поправками к амплитуде вводятся поправки и к фазе волны, что позволяет более полно учесть дополнительные эффекты, связанные с искривлением фронта волны. Метод плавны® возмущений получил свое дальнейшее развитие в работах [67], [68], где было рассмотрено поле вблизи каустики. Дальнейшее развитие метода плавных возмущений на случай негармонических колебаний тесно связано с идеями пространственно-временного лучевого метода [69], разработанного В. М. Бабичем и В. 0. Вулдыревым. Обобщение анзаца В. А. Боровикова и А. В. Попова из [41], [66] для негармонических волн дано B.C. Вулдыревым и В.А. Марковым в [70].

Таким образом, точное аналитическое решение задач волнового распространения в неоднородных вязкоупругих и акустических средах возможно лишь в исключительных случаях. По этой причине все большее значение приобретают асимптотические метода исследования, позволяющие выявить основные характеристики волнового процесса. Исследование коротковолновой асимптотики поля в плавнонеоднород-ных стратифицированных средах осложнено наличием малого безразмерного параметра плавности 8, задаваемого отношением характерного масштаба изменчивости среда по вертикали Dg к характерному масштабу горизонтальной изменчивости среда Dg. Здесь имеют место две существенно различные возможности. Если волна недостаточно коротка, так что ее длина bDg, то второго независимого асимптотического параметра, задаваемого отношением Dg/A,, в задаче не возникает. Если же волна коротка и к « Dg, то наряду с малым параметром е задача характеризуется еще одним асзмитотичеекнм параметром q = dq/k » 1. В первом случае используется однопара-метрический анзац, во втором - двухпараметрический.

Настоящая диссертация посвящена теоретическому исследованию волн, распространяющихся в плавнонеоднородных стратифицированных средах. Изучаются вязкоупругие гармонические поверхностные волны (векторная задача) и нестационарные нормальные волны в плавнонеоднородном стратифицированном волноводе (скалярная задача), называемые далее квазинорма льными волнами. Оба типа волн изучаются в рамках лучевого метода.

В первой главе исследуется коротковолновая асимптотика поверхностных волн, бегущих вдоль свободной границы изотропного вязкоупругого стратифицированного полупространства, свойства которого плавно меняются в горизонтальных направлениях. Мы полагаем, что длина волны распространяющихся волн А, сравнима с характерным вертикальным пространственным масштабом неоднородности среды, и используем однопараметрический анзац.

Глава открывается математической постановкой задачи о гармонических поверхностных волнах в вязкоупругой среде. Вязкоупру-гие свойства среды описываются в рамках модели Максвелла -Больц-мана-Вольтерра [71 ], основывающейся на представлении парметров Ламе в виде суммы мгновенных модулей А,(г) и |л(г), зависящих только от пространственных координат, и вольтерровских интегральных операторов st(r, t) и t) с гладкими ядрами. Вслед за [71], [723 показано, что для волн, гармонически зависящих от времени, экспоненциальный временной множитель можно вынести из под знака интеграла, разлагая преобразование Фурье ядер операторов в ряд по обратным степеням частоты ш. Мы не накладываем существенных ограничений на упругие свойства рассматриваемого полупространства и допускаем существование конечного числа плоскостей вида z = Нк, к = 1, N, на которых характеристики среда меняются скачком. На указанных плоскостях, если они есть, ставятся в произвольной последовательности условия жесткого контакта или контакта с проскальзыванием, характеризующие режим контакта различных вязкоупругих слоев друг с другом.

Вслед за постановкой задачи вводятся характерные пространственные масштабы задачи и Dg, обсуждаются две эквивалентные формы, в которых можно искать асимптотику задачи в однопараме-трическом случае, когда Ы)0и q 1, и предлагается анзад. Решение поставленной задачи ищется в форме лучевого ряда по обратным степеням частоты ш. Использование в качестве формального большого параметра угловой частоты ш позволяет непосредственно применять предлагаемый анзац, если какой-либо из пространственных масштабов становиться бесконечным (например, для представляющей практический интерес горизонтально-однородной среда).

Затем уравнение колебаний частиц вязкоупругой среды и граничные условия переписываются в лучевых координатах и произво-водится группировка членов, имеющих одинаковый порядок по ш.

Далее приравниваются к нулю старшие по ш члены уравнений и граничных условий, описывающих вектор смещения тд(г) в главном порядке. Полученные таким образом операторы анализируются. Оказалось, что, как и в чисто упругом случае [22], первоначальная задача распадается на скалярную - для поперечных волн, называемых также волнами Лява, и векторную - для продольных волн, называемых волнами Рэлея. Указанные типы волн, как принято говорить в сейсмологии, различаются поляризацией вектора смещения.,

Изучение главного члена показало, что эффекты вязкоупругого поведения не влияют на фазовую скорость волны Лява, но сказыва-ваются на амплитуде волны. Фазовые скорости вязкоупругих волн Лява оказываются теми же, что и в случае чисто упругого полупространства, получаемого из рассматриваемого при замене параметров Ламе на мгновенные модули А,(г) и ц(г) соответственно. Такое полупространство в дальнейшем мы будем называть отвечающим. Оказалось, что вязкоупругие волны Лява распространяются вдоль той же системы поверхностных лучей, что и упругие волны Лява той же фазовой скорости в отвечающем полупространстве. Амплитуда рассматриваемой вязкоупругой поверхностной волны Лява в нулевом приближении выражается произведением диссипативного фактора ля-вовской волны, отсутствующего в случае упругих волн, на амплитуду отвечающей волны.

Вслед за волной Лява изучен главный член лучевого анзаца для волн Рэлея. Все сказанное о волнах Лява без существенных изменений переносится на этот случай. Фазовые скорости вязкоудругих поверхностных волн совпадают с фазовыми скоростями упругих поверхностных волн Рэлея в отвечающем полупространстве. Соответственно наследуется и поле поверхностных лучей, характерное для волны Рэлея в отвечающем полупространстве. Амплитуда рассматриваемой вязкоупругой поверхностной волны Рэлея в нулевом приближении выражается произведением диссипативного фактора волны на амплитуду отвечающей волны. Диссипативные факторы волн Лява и Рэлея впервые выделены в диссертации.

Во второй части главы исследуются примесные компоненты волн Лява и Рэлея. Примесными или аномально поляризованными компонентами вязкоупругой волны Лява называют рэлеевские компоненты первого поправочного члена ее лучевого разложения и наоборот. Все дальнейшие рассмотрения главы I будут вестись в предположении о несовпадении фазовых скоростей волн Лява и Рэлея.

Исследование примесных компонент мы начинаем со случая волны Рэлея, которая имеет единственную примесную компоненту. Примесная компонента волны Рэлея является решением неоднородной краевой задачи для оператора, описывающего старший порядок лявовской волны. В силу предположения, сделанного выше, указанная задача однозначно разрешима. Для ее решения нами впервые использован аппарат функции Грина, хорошо развитый для одномерных краевых задач штурм-лиувшшевского типа, описанных, например, в [731. В результате для примесной компоненты рэлеевской волны получено интегральное представление, справедливое для широкого класса вязкоупругих плавнонеоднородных сред с конечным числом горизонтальных плоскостей разрыва материальных параметров.

Далее изучаются примесные компоненты волн Лява, имеющих в общем случае две примесные компоненты. Указанные компоненты являются решением векторной неоднородной краевой задачи для оператора, описывающего главный порядок волны Рэлея. Здесь мы будем пользоваться матричной функцией Грина, отвечающей векторной краевой задаче для оператора рэлеевской волны. В остальном по-построение примесных компонент волны Лява полностью аналогично случаю волн Рэлея.

В конце первой главы общая схема вычисления примесных компонент волн обоих типов применяется к вязкоупругим средам, материальные параметры которых X, |i и р не зависят от лучевой координаты cl, характеризующей луч. В этом случае интегралы, посред-посредством которых выражаются примесные компоненты, могут быть вычислены в явном виде. Оказалось, что примесные компоненты волн обоих типов пропорциональны частным производным по а от соответствующих компонент вектора смещения в главном порядке. Интересно отметить, что в случае волн Лява происходит "вырождение": одна из примесных компонент оказывается тождественно равной нулю.

В заключение главы рассмотрены три задачи о поверхностных сейсмических волнах с различными фронтами, распространяющихся в рассмотренном выше специальном классе вязкоупругих сред. Это важные для практической сейсмологии задачи о свободном распространении поверхностных волн с круговым и произвольным гладко-выпуклым фронтом в стратифицированной вязкоупругой изотропной среде и задача "одномерного распространения", когда характеристики рассматриваемого вязкоупругого полупространства зависят лишь от одной из горизонтальных координат.

Во второй и третьей главах исследована более сложная задача о квазинормальных волнах плавнонеоднородного слабонестационарного стратифицированного океанического волновода. Океанический волновод моделируется как водный слой постоянной глубины Н с плоскими границами, неограниченно простирающийся в горизонтальных направлениях. Его верхнюю границу далее будем называть свободной поверхностью, нижнюю - дном. На свободной поверхности ставится граничное условие Дирихле, на дне - Неймана. В силу нестационарности задачи, необходимо считать поле известным в начальный момент времени. Роль второго начального условия играет выбор формы анзаца для искомых квазинормальных волн.

Рассматриваемая волноводная среда характеризуется, как и ранее, определенными масштабами неоднородности Dg и Dg в вертикальном и горизонтальном направлениях, отношение которых мало. Однако, в отличие от первой главы, здесь мы не полагаем длину волны X сравнимой с вертикальным масштабом D^. Поэтому в задаче, помимо малого параметра плавности е, возникает второй независимый параметр q = Dq/X » 1, и для отыскания асимптотики квазинормальных волн можно использовать двухпараметрический анзац. Первоначально во второй главе предложен двухпараметрический анзац, описывающий высокочастотные квазинормальные волны малых номеров, сосредоточенные у поверхности и быстро затухающие с глубиной.

В начале второй главы дана математическая постановка задачи о квазинормальных волнах, введены безразмерные переменные, учитывающие указанную плавность изменения характеристик среда (скорости звука в водном слое) в горизонтальных направлениях и во времени, и выписан анзац. Безразмерная переменная С, отвечающая вертикальной координате z, называется быстрой, а безразмерные переменные pi, отвечающие горизонтальным координатам и времени - медленными. Анзац, описывающий квазинормальные волны плавнонеоднородного и слабонестационарного акустического волновода представляет собой формальный асимптотический ряд по степеням параметров s « 1 и q » 1. В случае квазинормальных волн малых номеров анзац имеет вид произведения фазовой экспоненты на линейную комбинацию функции Эйри у и ее первой производной, до-множенной на ц~±уз. Коэффициенты указанной линейной комбинации разлагаются в двойные ряды по степеням параметров е и i/aq>, а аргумент функции Эйри и ее производной ищется в виде произведения большого параметра ч2''3 на ряд по степеням е. Чтобы обеспечить убывание амплитуда рассматриваемых квазинормальных волн с глубиной, аргумент функции Эйри должен обращаться в ноль на некоторой поверхности С0 = С0 (£. т}> t) внутри водного слоя. Уравнение, определящее положение этой поверхности, будет получено в процессе вычисления коэффициентов анзаца. Аргумент экспоненты -- фаза волны - пропорционален отношению q/е и ищется в виде суммы ряда по степеням е и ряда по степеням i/ciq>. Отметим, что хотя наш анзац внешне схож с анзацем А. В. Боровикова и В. А. Попова [663 - [683, однако по-существу он иной. Во-первых, предложенный нами анзац описывает негармонические волны и, во-вторых, он применим при любом соотношении между параметрами е и q, а не только в адиабатическом приближении, когда еч « Ь.

Выполненная далее подстановка предложенного анзаца в волновое уравнение, записанное в безразмерных переменных, и последовательное приравнивание к нулю коэффициентов при различных степенях параметров е и i/ciq> приводит к цепочке обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка по быстрой переменной В частности, оказывается, что старший член разложения фазы квазинормальной волны (функция ©о) зависит лишь от медленных переменных. Подчинив функций анзаца получающимся в результате они-! санной процедуры уравнениям, мы удовлетворим рассматриваемому волновому уравнению во всех порядках по парметрам е и i/ciq>.

Интегрируя полученные уравнения, приходим к формулам для коэффициентов анзаца. В результате они оказываются определенными с точностью до произвольных функций медленных переменных, подлежащих определению в процессе удовлетворения граничным условиям.

В рамках рассматриваемого степенного анзаца граничное условие на свободной поверхности удовлетворяется точно, а на дне - с экспоненциально малой ошибкой. Мы удовлетворяем граничному условию на поверхности, требуя, чтобы при С = 0 одновременно обращались в ноль функция Эйри у и коэффициент при v'. Первое требование означает, что при С = 0 значение аргумента функции Эйри у должно совпадать с одним из ее корней. Фиксируя конкретный корень функциии Эйри получаем квазинормальную волну номера v. Приравнивая аргумент функции Эйри в нуле к значению выбранного корня, получаем нестационарное уравнение эйконала для функции 0О и часть уравнений переноса, служащих для определения функций медленных переменных, возникших ранее. Оставшуюся часть уравнений переноса дает требование равенства нулю коэффициента при v'.

Интегрирование полученных уравнений основывается на идеях пространственно-временного лучевого метода Е69]. Нестационарному уравнению эйконала стандартным образом сопоставляется отвечающая ему функция и система Гамильтона. Решив систему Гамильтона, получаем семейство траекторий в пространстве медленных переменных (£, т], 1) - семейство пространственно-временных (ПВ) лучей. Затем функция 0о восстанавливается квадратурой, и интегрируются уравнения переноса. Таким образом, все функции рассматриваемого анзаца оказываются определенными. В целом предложенный во второй главе метод построения асимптотических разложений квазинормальных волн можно назвать методом "горизонтальных ПВ-лучей и вертикальных мод" по аналогии с известной работой [553.

В конце главы II дано итоговое описание рекуррентной процедуры вычисления функций анзаца.

Третья глава диссертации посвящена построению квазинормальных волн высоких номеров и получению двухпараметрического анзаца, равномерного по номеру квазинормальной волны.

В начале главы кратко излагается постановка задачи и предлагается новый анзац, пригодный для асимптотического описания квазинормальных волн малых и высоких номеров. Анзац представлен в виде суммы двух выражений. Структура первого - полностью воспроизводит структуру анзаца предыдущей главы, второго - отличается заменой функции Эйри у на функцию Эйри и, имеющую экспоненциально возрастающую асимптотику на положительной полуоси. Экспоненциальный фазовый множитель у обоих слагаемых анзаца совпадает. Таким образом, амплитуда волны теперь ищется в виде линейной комбинации четырех функций - двух функций Эйри и и у и их первых производных. Так как функции и и v удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению Эйри, то результат подстановки каждого из слагаемых нового анзаца в волновое уравнение будет совершенно аналогичен. Поэтому, подчинив функции, входящие в каждое из двух слагаемых анзаца, по-отдельности прежним дифференциальным уравнениям по переменной С (§3, Глава II), мы удовлетворим волновому уравнению во всех порядках по ей 1/(iq). Таким образом мы определим все функции анзаца с точностью до некоторых функций медленных переменных, пока остающихся произвольными.

Далее производится подстановка анзаца в граничные условия. Граничные условия удовлетворяются по-разному в зависимости от номера квазинормальной волны.

В случае квазинормальных волн больших номеров нестационарное уравнение эйконала возникает из условия нетривиальной разрешимости однородной системы линейных уравнений, получающейся при приравнивании к нулю старших членов разложений по парметрам е и 1/(iq) в граничных условиях. Последнее делает его исследование более сложным. Приравнивая далее к нулю коэффициенты разложений правых частей граничных условий по параметрам ей 1/(iq), получим рекуррентную цепочку неоднородных систем линейных уравнений. Все они имеют одну и ту же матрицу, определитель которой, в силу выполнения нестационарного уравнения эйконала, равен нулю. Подчинив их правые части условию разрешимости, получаем семейство, уравнений эйконала, служащих для определения функций вышевозник-ших медленных переменных.

Далее рассматривается случай малых и промежуточных номеров, когда поверхность С0 отходит достаточно далеко от дна, и значение аргумента функций Эйри и их производных при г = н положительно и велико. В этом случае функция Эйри и ее производная при С = Н экспоненциально малы, и содержащие их члены могут быть отброшены на фоне степенной асимптотики.

Затем проведено исследование полученного выше нестационарного уравнения эйконала и вычисление функции ® . На первом этапе все делается так же, как и при решении аналогичного уравнения главы II. Вводится функция Гамильтона, отвечающая рассматриваемому уравнению эйконала, и выписывается соответствующая система Гамильтона. При определении начальных данных в конечном итоге возникает необходимость в отыскании корней определенного нелинейного алгебраического уравнения относительно одного из них;, когда остальные уже известны. Проведено качественное исследование решений указанного уравнения графическим методом и показано существование счетного набора положительных корней, накапливающихся к бесконечности. Дальнейшее восстановление функции ©о и определение положения поверхности С0 полностью аналогично рассмотренному в главе II.

Далее выполнено интегрирование уравнений переноса, полученных ранее. Технически оно выполняется так же, как в главе II, но для других операторов и своего поля лучей.

В шестом, заключительном, параграфе настоящей главы описана рекуррентная процедура вычисления функций анзаца,,

В Заключении диссертации кратко сформулированы основные полученные результаты.

Приложение I содержит формулы действия векторных операторов, возникающих после подстановки лучевого анзаца в уравнение теории вязкоупругости при членах первого и нулевого порядка по ш.

Приложения II и III - выражения для неоднородных членов цепочек рекуррентных уравнений, служащих для определения функций анваца, используемых соответственно в главах II и III.

Защищаемые положения.

1. Фазовые скорости вязкоупругих волн Лява и Рэлея совпадают с фазовыми скоростями упругих волн того же типа, в случае, когда вязкие характеристики рассматриваемого полупространства обращаются в ноль.

2. В структуре вектора смещения старшего члена лучевого ряда волн Лява и Рэлея выделен фактор, определяющий скорость их пространственного затухания, вызванного наличием поглощения энергии в вязкоупругой среде.

3. Выражения для примесных компонент векторов смещения волн Лява и Рэлея, полученные при помощи формализма функций Грина в предположении о несовпадении фазовых скоростей этих волн.

4. Примесные компоненты волн Лява и Рэлея пропорциональны производным вдоль луча от соответствующих компонент вектора смещения в главном порядке в случае отсутствия кручения лучей.

5. Полные асимптотические разложения и схема последовательного вычисления их коэффициентов для высокочастотных квазинормальных волн нестационарного рефракционного акустического волновода, скорость звука в котором плавно меняется в горизонтальных направлениях и во времени при нарушении условий адиабатичности.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы:

Арефьев А. В., Вулдырев В. С., Высокочастотные квазинормальные волны малых номеров в нестационарном стратифицированном слабонеоднородном волноводе. //Акустический журнал. - 1994. -Т. 40, N 2. - 0. 205-211.

АгеГ'ет А. ?. High frequency Quasi-normal waves in nonstationary inliomogeneous stratified medium. International conference of Physics Students (ICPS'94). Conference Proceeding. S.- Petersburg. 1994. P. 8-10.

Арефьев А. В., Киселев А. П., Вязкоупругие рзлеевские волны в слоистой структуре, слабонеоднородной по горизонтали.// В кн.: Математические вопросы теории распространения волн. 25. Записки научных семинаров ПОМИ. - 1995. - Т. 230. - С. 7-13.

Арефьев А. В., Киселев А. П., Вязкоупругие лявовские волны в слоистой структуре, слабонеоднородной по горизонтали. //В кн.: Математические вопросы теории распространения волн. 26. Записки научных семинаров ПОМИ. - 1997. - Т. 239. - С. 7-11.

Aref'ey А. V., Kiselev А. P. Ray theory of Love and Rayleigh surface waves In a slowly varying viscoelastic layered structure. Book of abstracts of III International Congress on Industrial and Applied Mathematics (ICIAM 95). Hamburg, 2.07-7.07.1995. -P. 221.

В заключение автор считает своим приятным долгом выразить глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю профессору Владимиру Сергеевичу Булдыреву за постановку задачи, плодотворные дисскусии и обсуждения полученных результатов, постоянный неослабевающий интерес к настоящим исследованиям. Автор также благодарит профессора А. П. Киселева, инициировавшего интерес к исследованиям волн в вязкоупругих средах, за возможность совместной плодотворной и полезной для автора работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Совокупность изложенных в диссертационной работе результатов теоретических исследований составляет решение важной научно-практической задачи распространения волн различной поляризации вдоль свободной поверхности изотропного плавно-неоднородного вязкоупругого пространства и построения коротковолновой асимптотики нестационарных квазинормальных волн приповерхностного волновода при нарушении условий адиабатичности, связанной с необходимостью изучения волновых процессов в атмо-, гидро- и литосферах в интересах развития механики, акустики, оптики, радиофизики, геологии, сейсмологии и т.п.

В диссертации получены следующие основные результаты;,

1. Исследована коротковолновая асимптотика поверхностных волн, распространяющихся вдоль свободной поверхности вязкоупругого плоскослоистого полупространства слабонеоднородного по горизонтали.

- Показано, что, как и в идеально упругой среде, здесь также возможно распространение двух различных типов волн - волн Лява и Рэлея, отличающихся поляризацией вектора смещения.

- Показано, что фазовые скорости этих вязкоупругих волн совпадают с фазовыми скоростями волн того же самого типа в случае, когда характеристики вязкости рассматриваемого полупространства обращаются в ноль.,

2. Исследована структура вектора смещения в старшем члене лучевого ряда для волн волн Лява и Рэлея.

- Выделен и описан фактор, определяющий скорость пространственного затухания волн обоих типов, вызванное наличием поглощения энергии в среде.

- В предположении о несовпадении фазовых скоростей волн Лява и Рэлея, с помощью формализма функций Грина впервые получены выражения для примесных компонент векторов смещения волн обоих типов.

- Показано, что в случае отсутствия кручения лучей, примесные компоненты и волн Лява, и волн Рэлея оказываются пропорциональными производным вдоль луча от соответствующей компоненты вектора смещения в главном порядке.

3. Исследованы квазинормальные волны различных номеров при нарушении условий адиабатичности.

- Построены полные асимптотические разложения высокочастотных квазинормальных волны нестационарного рефракционного акустического волновода, скорость звука в котором плавно меняется в горизонтальных направлениях и во времени.

- Разработана схема последовательного вычисления коэффициентов указанных разложений.

- Показано,что для квазинормальных волн малых номеров и глубокого волновода влияние граничного условия на дне незначительно. Это влияние может не учитываться, а анзац упрощен.

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. - М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит. 2-ое изд., 1954.- 791 с.

2. Бреховских Л. М., Годин О. А. Акустика слоистых сред- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.-416 с.

3. Фок В. А. Проблемы диффращии и распространения электромагнитных волн М.: Сов. радио, 1970.-518 с.

4. Магницкий В. А. Внутреннее строение и физика Земли. М.: Недра, 1965.380 с.

5. Алмаев P. X., Суворов А. А. Флуктуктуации мощности волнового пучка в среде со случайным ослаблением // ЖТФ,- 1993-Т. 63 С. 155-159.

6. Almaev R. Кх., Semenov L. P., Suvorov A. A. Wave beam tremble within the adsorbing random medium with lens propertise // Waves in random media -1996,-V. 6- P. 87-100.

7. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. Пер. с англ.-М.: Мир, 1977.-624 с.

8. Саваренский Е. Фм Кирнос Д. П. Элементы сейсмологии и сейсморазведки. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1955.- 544 с,

9. Левшин А. Л. Поверхностные и каналовые сейсмические волны М.: Наука, 1973.- 176 с.

10. Whitman G. В. A general approach to lenear and non-lenear dispersive waves using a Lagrangian//J. Fluid Mech 1965,- V. 22 - Pt. 2 - P. 273-383.

11. Gjevik B. A variational method for love waves in nonhorizontally layered structures// Bull. Seism. Soc. Amer.- 1973.- V. 63 N3. - P. 1013-1023.

12. Woodhouse J. H. Surface waves in laterally varying layered structure // Geophys. J. Roy. Astron.Soc 1974-V.37- P. 461-490.

13. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология: теория и методы. Пер. с англ. Т. 1, 2. М.: Мир, 1983 - 880 с.

14. Бабич В. М., Молотков И. А. О распространении волн Лява в упругом полупространстве, неоднородном по двум координатам // Изв. АН СССР, Физика Земли.- 1966 N 6.- С. 34-38.

15. Мухина И. В., Молотков И. А. О распространении волн Рэлея в упругом полупространстве, неоднородном по двум координатам // Изв. АН СССР, Физика Земли.- 1967 N 4.- С. 3-8.

16. Бабич В. М., Чихачев Б. А., Яновская Т. Б. Поверхностные волны в вертикально-неоднородном упругом полупространстве со слабой горизонтальной неоднородностью // Изв. АН СССР, Физика Земли 1976 - N 4,- С. 24г-31.

17. Левин М. Л., Рытов С. М. О переходе к геометрическому приближению в теории упругости // Акуст. журн- 1956 Т. 2 - Вып. 2.- С. 173-176.

18. Бабич В. М. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов Ц ДАН СССР.- 1956.- Т. 110.- N 3.- С. 355-357.

19. Crampin S. Distinctive particle motion of surface waves as a diagnostic of anisotropic layering // Geophys. J. Roy. Astron. Soc- 1975-V. 40 P. 177-186.

20. Crampin S. A review of a wave motion in anisotropic and cracked elastic media // Wave motion.-1981- V. 3 P. 343-391.

21. Ландер А. В., Левишн А. Л. Азимуталъно-поляризационные аномалии поверхностных волн и способы их изучения // В кн.: Развитие идей Г. А. Гамбурцева в геофизике М.: Наука, 1982 - С. 248- 260.

22. Кирпичникова Н. Я., Киселев А. П. Поляризационно-спектральные аномалии поверхностных волн в почти слоистом упругом полупространстве (j Зап. науч. сем. ЛОМИ 1987-Т. 165.- С. 102-114.

23. Кирпичникова Н. Я., Киселев А. П. Деполяризация упругих поверхностных волн в вертикально-неоднородном полупространстве // Акуст. журн.- 1990.Т. 36.- N 1.- С. 173- 175.

24. Кирпичникова Н. Я., Киселев А. П. Об аномальной поляризации упругих волн Лява и Рэлея в слоистой структуре // Зап. науч. сем. ЛОМИ.-1990- Т. 186.-С. 134-135.

25. Киселев А. П., Цванкин И. Д. О сопоставлении численных и асимптотических расчетов упругих волновых полей //ДАН СССР.- 1989.-Т. 304.- N 1.- С. 6165.

26. Булдырев В. С., Буслаев В. С. Качественная структура акустического поля в океане.- М.: ИРЭ АН СССР, 1984. Препринт N 44 (416).- 55 с.

27. Явор М. И. Интерференция нормальных волн в многомодовых подводных волноводах // В кн.: Волны и дифракция. Краткие тез. докл. VIII Всесоюз. симп. по дифракции и распространению волн.- М.: ИРЭ АН СССР.- 1981.- Т. 3.-С. 120-124.

28. Булдырев В. С., Явор М. И. Комбинированное представление поля точечного источника звука в подводном волноводе и асимптотическое суммирование нормальных волн // Матем. вопросы теории распространения волн. Л.: Наука 1980 - Вып. II,- С. 66-83.

29. Topuz Е., Felsen J. В. Hybrid reperesentation of long-range sound pulse in an underwater surface duct // J. Acoust. Soc. Am.- 1985,- V. 78.- N 5.- P. 17461756.

30. Булдырев В. С. Поле точечного источника в волноводе // Труды МИАН СССР 1971- Т. CXV. Математические вопросы теории дифракции и распространения волн. 1. JL: Наука. - 1971. - С. 78-102.

31. Боровиков В. А., Кибнер Б. Е., Кравцов Ю. А., Попов А. В., Уфимцев П. Я. Волны и лучи в нерегулярных волноводах-М.: ИЗМИРАН, 1978. Препринт 13 (212) 67 с.

32. Леонтович М. А., Фок В. А. Решение задачи о распространении электромагнитных волн вдоль поверхности Земли по методу параболического уравнения // ЖЭТФ.- 1946.-Т. 16.- N 7.- С. 557-573.

33. Мс. Daniel S. Т. Parabolic approximations for underwater sound propagation f / J. Acoust. Soc. Am 1975. - V. 58 - N 6 - P. 1178-1785.

34. Lee D., Paradakis J. S.Numerical solution of the parabolic wave equation: an ordinary differential approach // J. Acoust. Soc. Am.- 1980.- V. 68.- N 5.- P. 14821488.

35. Lee D., Botseas G., Paradakis J. S. Finite-difference solution of the parabolic wave equation Ц J. Acoust. Soc. Am 1981-V. 70 - N 3 - P. 795-800.

36. Baer R. N. Propagation through a three dimentional eddy including effects on an array U J. Acoust. Soc. Am.- 1981-V. 69 N 1- P. 70-75.

37. Perkins J. S., Baer R. N. An approximation to the three dimentional parabolic-equation method for acoustic propagation / / J. Acoust. Soc. Am- 1982.- V. 72.-N 2.- P. 515-522.

38. Авилов К. В., Мальцев Н. Е. К вычислению звуковых полей в океане методом параболического уравнения / / Акуст. журн.— 1981.- Т. 27.- N 3.- С.335-340.

39. Авилов К. В. Вычисление гармонических звуковых полей в волноводах в уточнённом широкоугольном параболическом приближении j j В кн.: Волны и дифракция-Тбилиси, 1985-Т. 2 С. 236-239.

40. Thomson D. J. Apostrocessing method for removing phase errors in the parabolic equation Ц J. Acoust. Soc. Am- 1987-V. 82 N l.-P. 224-232.

41. Боровиков В. А., Попов А. В. Распространение волн в плавнонерегуляр-ньгх многомодовых волноводах // В кн.: Прямые и обратные задачи теории дифракции-М.: ИРЭ СССР, 1979-С. 166-266.

42. Авдеев А. Д. К теории нерегулярных акустических волноводов //В кн.: проблемы дифракции и распространения волн.- JI., 1977,- Вып. 15.- С. 128-135.

43. Авдеев А. Д. Об одной модификации метода асимптотического интегрирования волноводных уравнений // В кн.: Волны и дифракция.-Тбилиси, 1985.Т. 2.- С. 503-506.

44. Булдырев В. С., Григорьева Н. С. Метод двухмасштабных разложений для рефракционных волноводов и условия его применимости // Зап. науч. сем. ЛОМИ.- 1981-Т. 104.- С. 33-48.

45. Булдырев В. С., Григорьева Н. С. Двухмасштабные разложения квазинормальных волн в нерегулярных рефракционных волноводах и оценка их применимости на высоких частотах // Зал. науч. сем. ЛОМИ 1981.- Т. 117.-G. 78-97.

46. Булдырев В. С., Явор М. И. Исследование применимости адиабатического приближения для реальных моделей нерегулярного подводного волновода и расчёт поправок //В кн.: X Всесоюз. акустическая конф. Докл., секция А,-1983.- С. 5-8.

47. Pierce A. D. Extention of the method of normal modes to sound propagation ia an almost-stratified medium // J. Acoust. Soc. Am.- 1965.-V.37.- N 1.- C. 19-27.

48. Явор М.И. Поле точечного источника звука в горизонтально-неоднородном океане в адиабатическом приближении с учетом поправок j j Акуст. журн.-1985.- Т. 31.- N 5 С. 650-656.

49. Краснушкин П. Е., Яблочкин И. А. Теория распространения сверхдлинных волн М. Вычислительный центр АН СССР. 2-ое изд.» 1963 - 94 с.

50. Bretherfoii F.R. Propagation in slowly varying waveguides // Proc.Roy.Soc. Ser A.-1968-V. 302.- N 1471-P. 555-576.

51. Nayfeh A. H., Tefionis D.P. Acoustic propagation in ducts with varying cross section // J. Acoust. Soc. Am.- 1973.-V. 54.- N 6.- P. 1654-1661.

52. Nayfeh A. H., Asfar 0. R. Propagation in conducting waveguides having slowly varying cross section // Radio Sci 1974.- V. 9,- N 10.- P. 867-871.

53. Nayfeh A. H., Asfar 0. R. Parallele-plate waveguide with sinusoidally perturbed boundaries // J. Appl. Phys 1974.-V. 45.- N 11.-P. 4797-4800.

54. Asfar O. R., Nayfeh A. H. Circular waveguide with sinusoidally perturbed walles j j IEEE Trans. MMT- 1975.- V. 23.- N 9.- P. 728-734.

55. Weinberg H., Burridge R. Horisontal ray theory for ocean acoustics j j J. Acoust. Soc. Am- 1975-V. 55.- N 1.- P. 63-79.

56. Булдырев В. С.Распространение звука в полупространстве с двумя глубинными волноводами переменной мощности. Метод нормальных волн //В кн.: Распространение акустических волн. Ч. 1- Владивосток, 1978 С. 4-6.

57. Молотков И. А., Старков А. С. Локальное резонансное взаимодействие нормальных волн в связанных волноводах //В кн.: Проблемы математической физики. Выл. 10 Л., 1972 - С. 164-176.

58. Григорьева Н. С. Метод двухмасштпабных разложений для слабонерегулярных волноводов, возмущённых течением // Зал. науч. сем. ЛОМИ 1985.-V. 147.-С. 68-78.

59. Буслаев В. С., Перель М. В. Структура акустического поля в глубоком море на малых глубинах и больших дальностях // Вестник ЛГУ.- 1984- N 22-С. 9-17.

60. Грудская О. Н., Грудский С. М., Кравцов Ю.А. Распространение звука в простейших гидроакустических волноводах с жидким и упругим дном // АН СССР. Ин-т общей физики. Отдел волновых явлений М.} 1989. Препринт N 57.- 31 с,

61. Beilis A. Convergence zone pozition via ray-mode theory j j J. Acoust. Soc. Am.-1983.-V. 74-N l.-P. 171-179.

62. Yang Т. C. Normal mode scaling and phase change at the boundary // J. Acoust, Soc. Am.- 1983.- V. 74 N 1- P. 232-240.

63. Voronovich A. G., Shang E. C. A note on horizontal-refraction modal tomography // J. Acoust. Soc. Am.- 1985-V. 98.- N 5.- P. 2708-2716.

64. Fawcett J. A. , Westwood E. K., Tindle C.T. A simple coupled wedge mode propagation method // J. Acoust. Soc. Am.- 1995 V. 98 - N 5 - P. 1673-1686.

65. Shang E. C. Ocean acoustic tomography based on adiabatic mode theory f/ J. Acoust. Soc. Am- 1995- V. 85.- N 4.- P. 1531-1537.

66. Попов А. В .Коротковолновая асимптотика нормальных волн в локально-слоистой среде // ДАН СССР 1976 - Т. 230.- N 6.- С. 1322-1325.

67. Borovikov V. A., Popov А. V. Short-wave modes for wave ducts in quasi-stratified media // Wave motion.- 1984 V. 6 - P. 525-546.

68. Бабич В. M., Булдырев В. С., Молотков И. А. Пространственно-временной лучевой метод: линейные и нелинейные волны Л.: Изд. ЛГУ, 1985,- 272 с.

69. Булдырев В. С., Марков В. А, Нестационарные нормальные волны высоких номеров в стратифицированных плавнонеоднородных волноводах // Проблемы математической физики. Вып. 60,- Л., 1991-С. 60-78.

70. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. Пер. с англ.- М.: Мир, 1974 340 с.