Плоские задачи дифракции акустических ударных волн на деформируемых криволинейных поверхностях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Егорова Ольга Владимировна

ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ АКУСТИЧЕСКИХ УДАРНЫХ ВОЛН НА ДЕФОРМИРУЕМЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

Специальность: 01.02.04 «Механика деформированного твердого тела»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена в Московском авиационном институте (государственном техническом университете) на кафедре «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Горшков Анатолий Герасимович.

Официальные

оппоненты: доктор технических наук,

профессор Шклярчук Федор Николаевич; кандидат физико-математических наук, доцент Евсеев Евгений Григорьевич.

Ведущая организация: Московский энергетический институт (технический университет).

Защита состоится « -О » в 15:00 часов на заседании

диссертационного совета Д 212.125.05 при Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу: 125993, г Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Московского авиационного института (государственного технического университета) по адресу: 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4 Ваш отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью, просьба отправлять по вышеуказанному адресу. Автореферат разослан «/ffi » (üjjij?ítj! jjQúfy г.

Ученый секретарь диссертационного Совета к.т.н., доцент / 2L-—~ Зайцев В.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы (работы)

Работа посвяшена проблеме нестационарного взаимодействия деформируемых тел и оболочек с ударными волнами, распространяющимися в идеальной сжимаемой жидкости К настоящему времени достаточно подробно изучены вопросы дифракции акустических ударных волн на упругих оболочках постоянной кривизны (цилиндрической и сферической форм). В случае произвольных поверхностей имеются лишь частные решения для жестких недеформируемых преград. Поэтому тема диссертации, связанная с исследованием нестационарных задач дифракции акустических ударных волн на криволинейных преградах и цилиндрических упругих оболочках переменной кривизны несомненно является актуальной. С задачами подобного рода приходится сталкиваться при анализе поведения конструкций и подводных аппаратов при их нестационарном взаимодействии с жидкостью и ударными волнами.

Цель работы

определение переходных функций влияния в плоских нестационарных задачах дифракции акустических волн на произвольных деформируемых криволинейных поверхностях и оболочках; вывод соотношений для определения гидродинамического давления на поверхности упругих цилиндрических оболочек переменной кривизны при действии на них плоских акустических ударных волн, распространяющихся под произвольным углом к оси симметрии оболочек;

разработка на базе метода конечных разностей программного обеспечения для решения плоских нестационарных задач дифракции акустических ударных волн на криволинейных цилиндрических оболочках, движение которых описывается в рамках модели типа Тимошенко;

исследование влияния различных параметров среды и оболочки на характеристики ре;

кййй. " " ' ■ \льная

Е1- >!КА

Методы исследования

Для описания движения оболочки и акустической среды вводится единая локальная система криволинейных ортогрнальных координат, нормально связанная со срединной поверхностью оболочки. Задача взаимодействия разбивается на две подзадачи: определение гидродинамического давления на поверхности оболочки и задача нестационарного поведения оболочки под действием вычисленной нагрузки. Уравнения движения оболочки записаны в тензорной форме и для конкретной системы криволинейных координат выводятся автоматически с использованием средств компьютерной алгебры Полученная таким образом система уравнений движения в перемещениях аппроксимируется конечно-разностным аналогом и решается численно. При определении давления используется гипотеза тонкого слоя и интегральное преобразование Лапласа.

Научная новизна полученных результатов

В аналитическом виде получены выражения для переходных функций, которые используются для определения гидродинамического давления при решении новых задач дифракции акустических ударных волн на упругих криволинейных цилиндрических оболочках Эти функции удовлетворяют предельным соотношениям и позволяют рассматривать произвольные моменты взаимодействия и несимметричность задачи Разработан эффективный численный метод решения задач дифракции плоских волн на упругих цилиндрических оболочках переменной кривизны (параболической и гиперболической форм) при произвольных углах падения волн. Выявлены особенности в поведении оболочек при изменении характерных параметров системы.

Достоверность результатов

Обоснованность и достоверность полученных результатов, выводов и рекомендаций диссертационной работы подтверждается использованием корректных механико-математических моделей, использованием высокоточных численных методов, исследованием сходимости предложенных алгоритмов и соответствием решений их физическому смыслу, а также

сопоставлением результатов для частного случая с известным точным решением (плоская осесимметричная задача дифракции на жестком параболическом цилиндре).

Практическая и теоретическая ценность работы Разработанные в диссертации методы, алгоритмы и программы могут быть использованы проектными и научно-исследовательскими организациями, связанными с расчетом поведения криволинейных элементов конструкций при действии на них плоских акустических ударных волн, распространяющихся под произвольным углом к оси симметрии конструкций.

Публикации

Результаты диссертации представлены в 11 работах, опубликованных в российских и зарубежных научных журналах и сборниках, материалах Всероссийских и Международных конференций. Апробация работы

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались

- на ежегодных (1-Х) Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва-Ярополец, 1995-2004 гг.);

- на Международной научно-практической конференции «Проблемы безопасности на транспорте» (Гомель, 1997 и 2000 гг.);

- на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001);

- на XX Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2003).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, в котором приведены основные результаты и выводы. Общий объем диссертации 113 страниц (включая 33 рисунка, 106 библиографических ссылок).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель работы, представлены положения, выносимые на защиту и новизна результатов работы.

В первой главе диссертации приведена математическая постановка плоской задачи дифракции для тонких упругих оболочек, контактирующих с акустической средой.

В первой части главы I вводится единая система координат, связанная с поверхностью упругого препятствия и используемая как для описания движения акустической среды в слое, прилегающем к препятствию, так и для описания движения оболочки. Тем самым диктуется подход к построению системы координат, связанных с некоторой поверхностью, традиционный для теории оболочек.

Рассматривается объем , ограниченный поверхностью

ЭП = 5' иХ', где ^ 5* о Ж" = 0 - лицевые поверхности, 5® - боко-

вые поверхности. Вводится система координат, связанную с некоторой опорной поверхностью ,г = г0(^,£,:), (4'4:)еюсК;. Тогда УПзЛ/:

г = м «5°, ^' = 0, и векторы базиса, нормально связанного с 5",

определяются следующим образом:

э (Р = 1,2), = (1)

К д^ ^ |э, хэ, I V '

где э,,э, - векторы, лежащие в плоскости, касательной к 5" в точке м„; п - вектор единичной нормали к 5" в точке м„.

В этом случае , I; имеют смысл криволинейных координат точки м„, ^ - нормальная координата, и

= + м е5",а' = о . (2)

Векторы взаимного базиса и ковариантные компоненты метрического тензора поверхности 5° определяются соотношениями

э,=8?, э, п„ - э> п„=0, п„ п„ = 1 (3)

Ковариантные компоненты тензора кривизны У' определяются

ЬЛ=Ы=—С- п„=—{г п„ = -э. —- = -э, —г (5)

Здесь и далее знаком « » обозначается скалярное произведение, знаком « х » - векторное произведение двух векторов, при этом греческие индексы пробегают значения 1, 2; латинские индексы, где это не оговорено иначе, пробегают значения 1, 2, 3.

Метрический тензор трехмерного пространства (# ) и тензор кривизны (к ) вводятся следующим образом:

дг _ |э1, + п,^,,1 = {1,2}

^ [п„, 1=3

Здесь п„„ = ^ = -б|)1э', т.е. г„ = -Ь^Х или г, = А,?,

4, = а- . Соответственно

Акустическая среда в потенциальном случае описывается уравнением движения относительно потенциала вектора скорости ч>

= (7)

и,н,3£;[ н;

V = ф, яга«) ф э; (8)

Р = -Р„Ф (9)

где V - вектор скорости, р - давление в среде, с„ - скорость звука, #„ -параметры Ламе криволинейной системы координат.

Во второй части главы I приводится постановка нестационарной начально-краевой задачи для оболочки.

Система разрешающих уравнений, построенная на базе сдвиговой модели оболочки, включает

- уравнения движения:

(12)

(11)

(Ю)

- кинематические отношения:

и

(13)

(14)

(15)

- физические соотношения, в частном случае изотропного материала имеющие вид

Здесь и> - контравариантные компоненты вектора перемещения ,

< ~ I.*

у> - нормальное перемещение точек срединной поверхности ; р - нормальное давление на поверхность оболочки; у„ - оператор ковариантного дифференцирования; двумя точками обозначена частная производная по времени второго порядка; р - плотность материала оболочки, также используются тензоры II ранга тангенциальных деформаций е^т"г*, изменений кривизны к^г5!-*, вектор углов отклонения элемента оболочки, нормального к 5° до деформации, от нормали при деформировании оболочки - Ар и углов девиации вектора нормали к срединной поверхности в процессе деформирования -3% . Уравнения (10), (11) содержат компоненты несимметричного тензора тангенциальных усилий лг*э^, /у" = г^+ЦМ'". Система уравнений (10)-(12), (15) имеет гиперболический тип.

В начальный момент времени т = о акустическая среда и оболочка на-

= + ми =1 + 2цк|1() ,

о,=мл*г в„.

(16)

(17)

6 12

(18)

ходятся в невозмушенном состоянии (т = с,//л, где с„ - скорость звука в покоящейся среде, I - характерный линейный размер)

Фи = Ч,„-° (19)

"1,-„="1,.,,=0 • Ч=0. Ч„.=0> *1„„=0' х1,.„=0 (2°)

Рассматривается взаимодействие тонкой криволинейной цилиндрической оболочки, помещенной в жесткий экран, с акустической средой, в которой распространяется волна давления />.(£',т) с соответствующим потенциалом скорости ф.(£,т) . В начальный момент времени фронт волны касается оболочки в точке л (рис. 1). На контактирующей поверхности ставится условие непротекания:

+ = * (21) у.,=(У,,у), у„=(\,\) (22)

Здесь v.,, и v,, - проекция на внешнюю единичную нормаль в оболочке векторов скорости в падающей, а также в отраженной и излученной волнах соответственно; V. - вектор скорости в падающей волне; V - вектор скорости в отраженной и излученной волне.

Гидродинамическое давление р, действующее на оболочку представляется в следующем виде:

Р = Р.Ч (23)

где - давление в отраженной и излученной волнах.

В свою очередь давление <? представляется в виде суммы давлений в отраженной р, и излученной волнах р,

Ч"Р, + Рг (24))

Далее решаются следующие две задачи: Задача I Определение давления р, в волне, отраженной от жесткого неподвижного криволинейного препятствия

Ф, =4<р, (25)

<е.и=<|>.и = о (26)

(v.,,+ *,„)!, =о (27)

Л=-Ч>I' Ф,(''Д) = 0(1)> / ->®, г=х,х, (28)

Задача II Определение давления р, в излученной волне при заданном законе движения излучателя н>

Ф: = ДФ: (29)

ч>=и = ч>;|,.,, = 0 (30)

= (31)

/», =-Ч>2, ф,(г,т) = 0(1). Г-*ао, Г=Х,X, (32)

Следовательно, задача гидроупругости для оболочек раскладывается на акустическую (определение давлений р, и р,) и упругую (интегрирование уравнений движения при заданном давлении р через параметры оболочки) части.

Решение Задач I и II находится с помощью переходной функции &'(£,'д) (граничной функции влияния, функции Грина), построенной с использованием гипотезы тонкого слоя:

(33)

^ = (34)

= (35)

При этом функция т) удовлетворяет следующей начально-краевой задачи:

с = (36)

4.о = <1о=0 (37)

да

¡х;

• =8(т) (38)

0(г,т) = 0(1), г-х», г=£(х*(^))! (39)

где А - оператор Лапласа теории тонкого слоя, 6(т) - дельта-функция Дирака.

Для интегрирования уравнений движения тонких оболочек, помещенных в жесткий экран необходимо задать условия в точках крепления оболочки к экрану ^ и с|. В частности могут быть рассмотрены условия типа жесткого защемления (этому случаю соответствует равенство нулю вектора перемещения и и угла поворота нормали в граничных точках) 4.1 = "I; = х|.| = 0 (<=0,1) (40)

и шарнирного опирания (этому случаю соответствует равенство нулю вектора перемещения и и изгибающего момента м )

ЧЙ ="Ц =° (41)

М\л =В(и,м>, х)|, = о (42)

где В(и,\¥,х) - дифференциальный оператор граничных условий.

Вторая глава посвящена определению в аналитическом виде выражения для переходной функции, с использованием которой определяется составляющая р, суммарного давления, действующего на оболочку.

Для нахождения функции влияния вводится криволинейная система координат К',^), связанная с кривой Г (см. рис. 1). Тогда криволинейная система координат (Е',0

V

определяется формулой (2).

Вычисляя ковариантный базис и ковариантные компоненты метриче-рнс | ского тензора, получим ортогональ-

ную систему координат; в результате компоненты метрического тензора и параметры Ламе будут иметь вид.

г11 = //12 = э12(1-4,*):. г„ = о. «„ = //; = » (43)

где э, - касательный вектор к кривой г , к - кривизна кривой.

Далее для нахождения функции влияния 6'(4'.0 в построенной системе координат (4',) используется гипотеза тонкого слоя (производные по координате % можно положить тождественно равными нулю, а оператор Лапласа вычислить на поверхности цилиндра -0 ). Тогда функция влияния найдется из следующей начально-краевой задачи

G = —

н,

(44)

GL = cL=° (45)

8(т), G(r,x) = 0(\) при |'Г=я;(^'): + //,-(43)2 (46)

5С

3?

Задача (44) - (46) решается с помощью преобразования Лапласа во времени т . Тогда в пространстве изображений получим формулу для функции влияния, оригинал которой вычисляется аналитически с помощью таблиц и свойств преобразования Лапласа-

СГ1(^,т) = Я(т)Д(г) (47)

Л(г) = У, (г)-г[1+■/,(=)] +

+ z;b„(z)-y[y,1(2)Hl(z)-y,(z)HI,(z)

к£)х (48)

2 Т

где Я(т) - функция Хевисайда, функции Струве порядка V, -

функции Бесселя первого рода порядка п .

Зная функцию влияния, давление в отраженной волне получим в виде

(49)

о

В качестве примера рассматривается задача о дифракции ступенчатой плоской волны давления на жестком неподвижном криволинейном препятствии. Косая плоская акустическая волна с фронтом, составляющим угол 9 с осью Ох', в начальный момент времени т = о касается поверхности цилиндра с направляющей г в точке а (рис. 1). Давление за фронтом

волны в системе координат Ох'х' задается следующим соотношением:

р.(х',т) = РпН{1-Пх\Ъ)) (50)

/(х\9) = х'со5Э + ^251па + Г (51)

где константа с определяет положение фронта волны в начальный момент времени т = 0, Р„ - давление на фронте волны.

С учетом заданной волны (50), формула для определения давления (49) будет иметь следующий вид:

= + (52)

где и п\ - компоненты вектора единичной нормали к кривой п„.

Далее рассматривается дифракция плоской косой волны давления на параболическом препятствии (далее везде = %).

Данная поверхность с фокальным расстоянием а> о в декартовой прямоугольной системе координат Ог'г определяется следующим образом:

г = х,;=г,,£,еИ (53)

2 а

Кривизна, компоненты вектора единичной нормали и константа г, имеют вид:

т= ^ , я^-р!—, = т» (54)

На рис. 2 представлено пространственно-временное распределение давления /> = />. + />, при действии плоской косой волны (9 = 10°) на жесткий параболический цилиндр (я = 1) в акустической среде при действии единичного скачка давления (/>„ = I)'.

В диссертационной работе получено суммарное давление при различных углах 8, а также аналогичные зависимости для гиперболического препятствия.

1 В частном случае, при s = о , результаты расчетов практически совпадают с точным ре-

шением Фридлендера (см Friedlander Е G The reflection of sound pulses by convex parabolic reflectors Proc Cambndge Philosophical Society, 1941, 37, part 2,134-149)

Рис. 2.

Аналогичным образом, через функции влияния , записывается

выражение для давления излучения р,.

В третьей главе вводится конечно-разностная аппроксимация исходной начально-краевой задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных.

Сформулированная двумерная задача приводится к виду

1/[«и ,т)] = в (т) 1-'[и(4.,т)] = ВЛт) и&О) = „"($), Э,и(4,0) = у"(4)

где 5, обозначает дифференцирование по безразмерному временному параметру; !-.[]- дифференциальный оператор, содержащий производные по пространственной безразмерной координате \ (1 и 2 порядка); граничные операторы; и(^,т) - безразмерный вектор состояния системы; !■();,т)- вектор правых частей уравнения движения; вДт)- йекторы состояния системы в краевых точках.

Оператор [ ] может быть представлен в виде

где - функциональные матрицы коэффициентов; д[']обозначает

дифференцирование по безразмерной пространственной координате. Пусть исходная начально-краевая задача определена в области П = П, х П., О, =[то,т.]сК + (/{0}, (55)

где отрезок времени ограничен сверху точкой % = т..

Введем сетку, задающую множествр узлов шсП:

со = с»* хм* о/ =|т. =кИ,|Л, =Ь—= 0^1

_/ (56)

=|4,=/Л |Л = 0.Л/1

Здесь о)*, со.4, соответственно, временная и пространственная равномерные сетки с шагом л, и А .

Таким образом, вектор-функция двух непрерывных аргументов и(^,т) может быть аппроксимирована сеточной функцией

и?=и(£„,т4), = со*

При использовании явной конечно-разностной схемы типа «крест» интегрирование по безразмерной временной переменной производится на основании следующей формулы:

£/,'" = 2 Л;((м„ + /*)-[/,*' (57)

Здесь (м„) - матрица линейной системы, вид которой определяется структурой операторов м{й(1) и принятой конечно-разностной аппроксимацией производных по пространственной координате.

В общем случае аппроксимация производных по пространственной координате разностным соотношением имеет вид

4 = (58)

где г.[ ] - исходный дифференциальный оператор, и(%) - неизвестная функция (аргумент т здесь для краткости записи опущен), 4 - разностный оператор на шаблоне определенный в точке сетки по пространственной координате. Так как и(!;)ес(а), то .

Здесь Л£ - шаг конечно-разностной сетки: Л, = ; е[0,л']г,л'. При

этом

4,(^4«,-ь[мф]=о(лГ) (59)

- погрешность аппроксимации дифференциального оператора ь[и] разностным оператором Л„, т - порядок погрешности аппроксимации на шаблоне с шагом А .

При использовании пятиточечного шаблона аппроксимация вторых и первых производных имеет вид

,:](12А) , ч'т(1) = 0{И'_) в соответствии с которым погрешность аппроксимации первой и второй производной одинакова и имеет четвертый порядок.

Приведенные выше конечно-разностные аппроксимации производных на пятиточечном шаблоне используются для внутренних точек сетки со,":

I е [-[/у/2] + 2, + [л//2]- 2], где n - число узлов. Для граничных узлов и первых прилежащих к границам узлов сетки используется следующая аппроксимация:

б и(4,т) = (-Л2Л )"'[35и| -104«*,, +114»',, -56м*, +1 Ц',4]

5-и(4,х) = (4Ш.) '[11«,', - 20н* + 67и^ + 4«,',, -и»„] 5 и (£,, т) - (12Л.) ' [-Зм*_, -1 Ои' +18м,*„-6и,',, + »,'„]

так называемыми «правыми» конечно-разностными соотношениями для записи производных в -[N/2], -[Л'/2] +1 -х узлах сетки ю*, и

<Э:и(',т) = (л/12А 1 и* 4 ~56и*, + 114и'_, - 104«,'., + 35и,'] д_и (4, т) = (12А,) ' [Зи* 4 -16и*, + 36«,', - 48ы*_, + 25и,1 ] а;и(4,т) = (%/12А,)":[1 +4«,*.. +6«,'., -20н,* -1Ц4,,] Эи(^т) = (12А,) '+ 6«'., - 18и'_, + Юн,' -Зи,'„]

«левыми» конечно-разностными соотношениями для записи производных в {N12}, [ы/г]-1 -х узлах сетки м;-.

Пофешность аппроксимации краевого оператора равна — з,'и(4,т) и

при условии ограниченности третьей производной в краевых точках (-/,/)

(61)

Погрешность оператора ь„[и]; во внутренних узлах сетки зависит от шагов Л, по времени и и по пространству При введении шага по времени

А, = г:Н; (62)

погрешность равна

' 112 12 (63)

Разностная схема, аппроксимирующая дифференциальную начально-краевую задачу на сетке со, сходится, т.е при А -»о решение уравнения ь„и(4) = рт - вектор-функция и(Л) и , при условии устойчивости схемы. В общем случае устойчивость разностной схемы для дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами может быть показана на основе спектрального признака устойчивости и метода замороженных коэффициентов.

В четвертой главе рассмотрены плоские нестационарные задачи дифракции акустических волн давления на тонких упругих изотропных оболочках, имеющих форму криволинейного цилиндра.

В частности, рассмотрены задачи о действии плоских косых волн на цилиндрические оболочки с направляющими в виде параболы и гиперболы Для определения давления в отраженной волне рх используется переходная функция сгД'.т), построенная во второй главе. Давление излучения р2 рассчитывается по формуле, следующей из структуры функции влияния О0(1',т) и однородных начальных условий для оболочки:

Щ')

fi

ii

где R'{z) определяется следующим выражением:

(65)

Для вычисления интегрального слагаемого, входящего в (64), используется квадратурная формула Грегори:

Коэффициенты функциональных матриц м(/)(4) определяются с помощью специальной процедуры, разработанной в системе компьютерной математики Maple 9.0. Данные матрицы с использованием открытого интерфейса среды Matlab 6.5 напрямую передаются решателю конечно-разностной схемы типа «крест». Данный подход позволяет получать аналитические зависимости коэффициентов функциональных матриц M(''(ç) для тонкой оболочки, достаточно произвольной геометрии.

Приведены результаты расчета нестационарной дифракционной задачи для стальной параболической (я = 1м) оболочки (£ = 2 1 io"ria, v = 032, А = 0 02 м), помещенной в воду (с„ = 15 ю'м/с, р„ = 1 ю' кг/м3). Амплитуда давления в падающей волне Р„ = 1 ю4Па. Угол падения акустической волны равен 9 = 10°.

На рис 3 представлены зависимости прогиба )/А оболочки в моменты времени т=0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1, 1.2, 1.3, 1.6, 1.8, 2. Качественную картину поведения параболической оболочки дает пространственно-временная зависимость прогиба , изображенная на рис. 4. На рис. 5

представлены зависимости скорости ММ, которая является определяющей для давления в излученной волне р,.

Распределение суммарного давления р, действующего на оболочку, представлено на рисунке 6.

I

j , t)R"(z(l, , + nh, -()>/' = A, ï>X„/?"(zm((, +h,(n-k))),n>b (66)

В работе проведено параметрическое исследование о влиянии геометрических параметров оболочки и физических свойств акустической среды на характеристики реакции В частности, изучено влияние относительной толщины h = h/a и угла падения волны 9 на кинематические параметры оболочки. Относительная толщина оболочки варьировалась в пределах Л € [о 02,0 1]. При этом оценивались наибольшая и наименьшая нормальная скорость движения оболочки w(i,т) и наибольший и наименьший прогиб оболочки w(ç,t) на всей области определения задачи [-1, 1J х[о, 2].

Рис 3 Прогиб m<(Ç,t)/A

Рис 4 Пространственно-временная зависимость npoi иба w(Ç,x)/A

Рис 5 Нормальная скорость оболочки Рис 6 Суммарное давление на

и'(^,т) поверхности оболочки т)

Верхнее ограничение толщины выбрано приближенно исходя из требования адекватности применяемой сдвиговой модели оболочки. В начальный период нестационарного взаимодействия оболочки с акустической волной нормальной давление р на внешней лицевой поверхности оболочки носит приблизительно кусочный характер. С одной стороны, при этом, сдвиговая модель описывает деформирование оболочки с при-

емлемой точностью при А «5ирр/>(т). Для оболочки в форме параболического цилиндра л =supp (р.(т)+^(т)) при т»0005, следовательно, корректным можно считать решение только при т»0005. При относительной толщине оболочки А > о 1 адекватность сдвиговой модели исследована только для оболочек канонической геометрии - сферы, цилиндра и т.д, при гладких, не зависящих или мало зависящих от координат краевых условиях на лицевых поверхностях Нижнее ограничение толщины выбиралось опытным путем по условию т)>0 Уте[0,2]. Как показывают проведенные расчеты, при А <0012 для параболического и А <0019 для гиперболического цилиндра э (4,т)е(-и]х[о,2] • р(£д)<о,что соответствует «отрыву» акустической среды от упругого тела, т.е. возникают кавитационные явления, не описываемыми построенной приближенной математической моделью процесса нестационарного взаимодействия Давление на фронте падающей волны выбиралось в таких пределах, чтобы в оболочках не возникали пластические деформации и не было потери устойчивости.

Как следует из результатов расчетов, наибольшая скорость и наибольшее перемещение монотонно убывают с увеличением относительной толщины, и, следовательно, жесткости оболочки. Наименьший прогиб приблизительно равен нулю и изменяется в зависимости от толщины незначительно, наименьшая скорость также по абсолютной величине уступает наибольшей и находится в окрестности -2 ю~'.

Угол падения плоской косой акустической волны давления на оболочку в форме параболического цилиндра варьировался в пределах о" 45". Оценивались также наибольшая и наименьшая нормальная скорость движения оболочки »(Ел) и наибольший и наименьший прогиб оболочки Ц^т) на всей области определения задачи [-1, 1]х[о, 2]. Наибольший прогиб и наибольшие скорости реализуются при значении угла падения 3 = 45°.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертационной работе получили развитие методы решения плоских нестационарных задач дифракции акустических ударных волн на криволинейных упругих цилиндрических оболочках (параболической и гиперболической формы) В процессе исследований получен ряд новых результатов, краткая формулировка которых приводится ниже.

1 В рамках теории тонкого слоя, путем введения единой локальной криволинейной системы координат, нормально связанной со срединной поверхностью оболочки, и преобразования Лапласа, получены в аналитической форме выражения для переходных функций, используемых при решении нестационарных задач дифракции на криволинейных поверхностях в акустических средах.

2. С использованием найденных выражений для переходных функций определены составляющие полного гидродинамического давления (через параметры движения оболочки), действующего на упругие цилиндрические оболочки переменной кривизны, заключенные в жесткий экран, при действии на них акустических ударных волн, распространяющихся под произвольным углом к оси симметрии оболочек

3. Разработана конечно-разностная схема интегрирования уравнений динамики тонких упругих цилиндрических оболочек переменной кривизны типа Тимошенко при дифракции на них плоских акустических волн (плоская задача). Разработано программное обеспечение для динамических расчетов.

4. Представлены результаты численного решения новых плоских задач дифракции акустических ударных волн на цилиндрических оболочках параболической и гиперболической форм при произвольных углах падения.

5. Проведено систематическое исследование влияния характерных параметров системы (оболочка - акустическая среда) на динамическое пове-

(( I

дение оболочек, подверженных действию акустических ударных волн.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Горшков А Г., Егорова О.В. Дифракция нестационарных упругих и акустических ударных волн на криволинейных поверхностях // Тезисы докладов Всероссийскою симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». - М„ 1995. -С. 18

2. Горшков А.Г , Егорова О В , Тарлаковский Д.В. Дифракция нестационарной плоской акустической волны на параболическом цилиндре // Тезисы докладов II Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» -М., 1996.-С. 45

3. Егорова О.В., Тарлаковский Д.В. Взаимодействие плоских ударных волн с криволинейными поверхностями // Тезисы докладов III Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». - М., 1997. - С. 52

4. Горшков А.Г., Егорова О.В., Тарлаковский Д.В. Дифракция нестационарной волны на элементах летательных аппаратов // Тезисы докладов Международной научно-практической конференции «Проблемы безопасности на транспорте». - Гомель: БелГУТ, 1997. - С. 113

5. Горшков А.Г., Егорова О.В. Нестационарное взаимодействие плоской косой волны давления с параболическим цилиндром // Тезисы докладов IV Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». - М., 1998. -С. 11

6. Горшков А.Г., Егорова О.В., Тарлаковский Д.В. Плоская нестационарная задача о взаимодействии акустической волны с параболическим цилиндром // Материалы V Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред».-М., 1999.-С. 110-115.

7. Егорова О В , Медведский A.J1 Нестационарная задача дифракции акустической волны на параболическом цилиндре // Тезисы докладов VI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». - М„ 2000. - С. 13.

8. Егорова О.В. Дифракция косой волны давления на параболическом цилиндре в жидкости // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Пермь. 23-29 августа 2001. - Екатеринбург: УрО РАН, 2001. - С. 244-245.

9. Горшков А Г., Егорова О.В., Жаворонок С И., Медведский A.J1. Нестационарная дифракция акустической волны давления на анизотропной цилиндрической панели // Материалы VI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». - М„ 2002. - С. 165-172.

Ю.Горшков А.Г., Егорова О.В., Медведский А.Л., Рабинский Л Н. Плоская задача дифракции акустической волны давления на криволинейном препятствии // Изв. РАН. МТТ. №3. 2003. С 148-154.

11. Егорова О.В., Жаворонок С.И , Медведский A JI., Рабинский JI Н. Численно-аналитическое решение плоской нестационарной задачи дифракции акустической волны давления на упругой криволинейной ор-тотропной оболочке с использованием средств компьютерной алгебры // Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов. Тезисы докладов XX Международной конференции. - СПб: 24-26 сентября, 2003. С 83-85.

МАИ Заказ 9t¿8.04 ЮО^т. Тираж 100 экз.

РНБ Русский фонд

2006-4 9817

Ведение.

Глава 1. Постановка плоской задачи дифракции для тонких упругих оболочек и акустических сред.

1.1. Уравнения движения акустической среды.

1.2. Основные соотношения теории тонких упругих оболочек.

1.3. Начальные и граничные условия в задачах нестационарного взаимодействия.

1.4. Переходные функции в нестационарных задачах дифракции.

Глава 2. Теория погранслоя в задачах дифракции.

2.1. Криволинейная система координат, связанная с поверхностью.

2.2. Определение переходной функции влияния в теории тонкого слоя.

2.3. Дифракция плоской косой волны на криволинейных поверхностях второго порядка.

Глава 3. Построение конечно-разностных схем для интегрирования уравнений движения оболочки.

3.1. Конечно-разностная аппроксимация дифференциальной задачи

3.2. Модельные задачи для круговой цилиндрической оболочки при действии подвижной нагрузки.:.

Глава 4. Плоские нестационарные задачи дифракции акустических волн на упругих криволинейных оболочках.

4.1. Взаимодействие плоской косой акустической волны давления с упругими оболочками.

4.2. Дифракция плоской косой волны давления на параболическом цилиндре.•.

4.3. Гиперболический цилиндр под действием акустической волны давления.

4.4. Параметрический анализ решения задачи дифракции плоской косой волны давления на параболическом цилиндре.

Рассматриваются задачи гидроупругости для слабых ударных (акустических) волн давления, распространяющихся в идеальной (невязкой и нетеплопроводной) сжимаемой жидкости. В этом случае движение среды описывается одним волновым уравнением акустического приближения. Общие закономерности распространения ударных волн в свободной жидкости, а также вопросы, связанные с установлением пределов применимости акустической теории при решении задач дифракции и излучения, изложены в [1, 2].

Теория взаимодействия ударных волн с различными погруженными в жидкость объектами (твердые тела, пластины, оболочки) интенсивно начала развиваться в начале 50-х гт. (см. библиографию в [1, 4, 6]).

К настоящему времени в этой области получено достаточно много результатов, но они относятся в основном к идеализированным объектам. Это связано с тем, что задачи взаимодействия нестационарных волн давления с деформируемыми телами относятся к числу одних их наиболее сложных задач механики. Быстрое изменение параметров процесса во времени, наличие волновых фронтов, перемещающихся во времени, и кавитационных явлений, возникновение пластических зон в материале преграды, а также отраженных и излученных волн - все это существенно затрудняет исследование и вынуждает прибегать к ряду упрощающих предположений и гипотез. Значительные трудности возникают при дифракции ударных волн на сложных составных оболочечных конструкциях, состоящих из однослойных или многослойных оболочек вращения различной формы (или системы оболочек), подкрепленных продольно-поперечным силовым набором и связанных с жесткими массами. Обычно форма таких конструкций содержит геометрические особенности (типа вершины, ребра, линии пересечения поверхностей и т.д.), которые вносят дополнительное возмущение в дифракционном поле.

Основные достижения, полученные в области взаимодействия ударных волн с преградами, погруженными в жидкость, отмечены в работах [4,7, 8].

Так как теория акустического приближения применима на достаточно больших расстояниях от центра взрыва, то во многих случаях кривизну поверхности волнового фронта можно не учитывать (т.е. волну будем считать плоской). Для определенности рассмотрим взаимодействие замкнутой упругой тонкостенной оболочки вращения общего вида, заполненной идеальной сжимаемой жидкостью и погруженной в акустическую среду, с плоской волной давления. Возмущенное движение жидкости внутри и вне оболочки считается потенциальным и подчиняется соответствующим волновым уравнениям. Пусть движение оболочки описывается линейными уравнениями теории упругих тонких оболочек в перемещениях. Тогда контактная задача гидроупругости сведется к решению следующей системы уравнений:

Здесь и( - перемещения срединной поверхности оболочки; перемещение и3 направлено в сторону внешней нормали; £(у- известные дифференциальные операторы на поверхности; р0, к - плотность и толщина оболочки; рх - давление в падающей волне; - гидродинамическое давление отраженных и излученных волн во внешнюю среду; qг- давление на поверхности оболочки, обусловленное излучением во внутреннюю область; (р, - потенциальная функция дополнительных скоростей, вызванных возмущенным движением внешней жидкости; ср2 - потенциал скоростей для внутренней жидкости; Д -оператор Лапласа в пространстве, занятом жидкостью; ск, рА - скорость звука и плотность для внешней и внутренней жидкостей; Г- время; 5,у- символ Кронекера.

Из условия совместного движения оболочки и прилегающих к ней частиц среды получим условия непроницаемости оболочки:

В.1)

5иг Зц/, сф, дщ дщ а сп дп с/ сп где у, - потенциал скорости падающей на оболочку волны (рх =-р1Э\|/,/Э/), п - внешняя нормаль.

Для определения потенциалов <рА необходимо, чтобы потенциальная функция ф, удовлетворяла условию на бесконечности (обычно принимают ф, -»0 при п—>оо), ф2 - условию ограниченности внутри области. Если на оболочке имеются геометрические особенности, то в этих точках потенциалы ФА должны удовлетворять некоторым дополнительным условиям [9].

К дифференциальным уравнениям (В.1) в общем случае необходимо присоединить граничные условия, зависящие от формы оболочки и ее закрепления в пространстве,

ЛГ4>рМ2,и3) = 0 {т = 1,2,.). (В.З)

Здесь Щ - некоторые дифференциальные операторы на граничных линиях £ срединной поверхности. Вид этих операторов и их число определяется в каждом конкретном случае формой оболочки и характером ее закрепления.

За начальный момент времени / = О принимается момент соприкосновения оболочки и падающей волны. При этом (/ = 1,2,3;к = 1,2). (В.4) сг сг

Таким образом, поставленная, задача сводится к совместному решению системы (В.1) при указанных выше граничных и начальных условиях. Эта задача очень сложна. Основная трудность заключается в определении гидродинамических сил: гипотеза о несжимаемости жидкости [2], гипотеза плоского отражения (излучения), гипотеза цилиндрического (сферического и сфероидального) отражения (см. библиографию в [1, 4]).

В силу линейности внешней гидродинамической задачи давление можно представить, как алгебраическую сумму давлений р2 + р3, где р2 -давление в волне, отраженной от жесткой и неподвижной оболочки (давление в отраженной и дифрагированной волнах), р3- давление излученных волн. В этом случае потенциал ф, =\)/2 + причем потенциал \у2 - соответствует давлению р2, а 1|/3 - давлению рг.

Неизвестные потенциалы ц/2, \|/3 и ф2 можно выразить через так называемые переходные функции [1].

Обзор методов решения системы уравнений (В.1) дан в [4]. Отметим одно обстоятельство, которое обычно подразумевается при исследовании задач нестационарной гидроупругости. Уравнения движения жидкости обычно рассматриваются в эйлеровых координатах и граничные условия задаются на поверхности, которая считается неподвижной (в действительности эта поверхность может смещаться и деформироваться). Это несоответствие, вызванное тем, что граничные условия сносятся на неподвижную поверхность, в задачах линейной гидроупругости несущественно, так как истинное смещение границ мало по сравнению с характерными геометрическими размерами объекта. В случае нелинейного взаимодействия ударных волн с тонкостенными конструкциями, когда проявляются (вместе или отдельно) нелинейные свойства (геометрические или физические) взаимодействующих сред, вопросы корректной постановки граничных условий на поверхности контакта приобретают особую важность.

Различные подходы (с использованием лагранжевых, смешанных и деформируемых координат) к излучению больших смещений деформируемых тел в идеальной жидкости, а также варианты записи кинематических и динамических условий на поверхности контакта приводятся в [11].

В ряде случаев при взаимодействии ударных волн с упругими конструкциями в жидкости могут образовываться разрывы сплошности (кавитаци-онные каверны), Эти вопросы очень сложны и требуют проведения серьезных экспериментально-теоретических исследований. В приближенной постановке решения некоторых задач гидроупругости с учетом кавитационных явлений при взаимодействии ударных волн с пластинами и оболочками изложены в [12, 14,31,36].

Определение гидродинамических нагрузок на круговые цилиндрические оболочки. В случае бесконечно длинной цилиндрической оболочки, погруженной в идеальную жидкость, задача определения гидродинамических нагрузок (точнее переходных функций) формально не представляет больших математических трудностей. Раскладывая искомые величины по собственным формам и используя преобразование Лапласа по времени, нетрудно получить выражение для потенциала ф1 на поверхности оболочки: ф, = ^cosng j

1=0 о с. си

Зл dri L т-т,)^, (В.5)

2т J ^„m R R a-lao п \ / где s - параметр преобразования Лапласа по безразмерному временит; R -радиус оболочки; п- номер формы; Kn(s)~ модифицированные функции Бесселя второго рода (функции Макдональда);г, 0- полярная система координат.

Несмотря на то, что выражение (В.5) в рамках линейной теории дает точное решение, непосредственное использование его для вычисления давления оказывается весьма затруднительным из-за наличия полюсов и точек ветвления в (В.6).

Некоторые свойства функции ^(т) и ее предельные значения для цилиндра описываются в [1, 13]. Эта функция имеет быстро затухающий осциллирующий вид, причем в начальные моменты времени убывание происходит по экспоненциальному закону. Точное значение функции Fn(т) есть

13] endx

О [пКп (х) + хКпх (х)] + 712 [nln (х) - */„, (*)] (В7) ttsf+n2

Здесь 1п(х) и Кп(х) - модифицированные функции Бесселя первого и второго рода соответственно; si - комплексно-сопряженные корни уравнения

Наиболее естественный путь упрощения структуры функций Гп (т) заключается в использовании асимптотических разложений для функций Мак-дональда при $->оо, а также в замене исходного изображения более простыми функциями с учетом особых точек и предельных соотношений при .у —>со и >0. Таким образом, можно достаточно просто получить те или иные приближенные соотношения для гидродинамических сил, которые предлагались различными авторами.

Приближенные выражения для переходных функций, которые справедливы на любом этапе взаимодействия цилиндрической оболочки с жидкостью при погружении приводятся в [37, 49].

Определение нагрузок на сферические оболочки. При действии плоской волны давления на замкнутую сферическую оболочку радиуса Я переходная функция /^(т) определяется выражением где агл±1/2(5) - функции Макдональда полуцелого порядка (п = 0,1,2,.).

Как и в случае цилиндрической оболочки, рядом авторов предлагались упрощенные зависимости, справедливые для различных этапов взаимодействия сферической оболочки с жидкостью при погружении (см. [49, 61, 66] и библиографию в [35]).

Излучение звука различными препятствиями. Для определения составляющих суммарного давления рг и р2 (давление излучения во внутреннюю область) необходимо решить задачу об излучении при произвольном законе движения препятствия. В случае гармонических колебаний задача излучения получила большое развитие, библиография по этому вопросу огромная. Между задачами излучения и дифракции много общего. Эта общность

5К'п(5) = 0.

В.7) состоит в том, что как в первом, так и во втором случае, требуется найти решение волнового уравнения при сходных граничных условиях, что осуществляется одними и теми же математическими методами.

Простейшей задачей излучения является движение с заданной скоростью плоского безграничного экрана. В этом случае решение волнового уравнения для давления в плоской волне имеет вид

Рг (г,г) = рСУ(/ - г/с)Н0 (г - г/с), где г - отстояние точки наблюдения от экрана, £ - время отсчитываемое от момента начала движения экрана, с- скорость звука в жидкости, Н0(.)-функция Хевисайда.

При 2 = 0 эта формула определяет давление излучения на поверхности экрана.

В случае цилиндрических и сферических оболочек наиболее важными формами движения является нулевая и первая.

- Распределение давления среды на цилиндр радиуса Л, поверхность которого в начальный момент времени была неподвижна, а затем начинала двигаться по некоторому закону (в окружном и осевом направлениях), рассматривалось рядом авторов (см. библиографию в [35, 49, 71]). Раскладывая перемещения оболочки в ряды Фурье, для переходной функции получаем следующее выражение волновое число вдоль оси оболочки):

Л } (В.8) п,т = 0,1,2,.).

Различные пути упрощения структуры функции (В.8) отмечены в [35,

49].

Л.В. Фремке (см. библиографию в [35]) в развитии теории тонкого слоя было найдено следующее выражение для переходной функции: которое справедливо для любых этапов взаимодействия.

Если внутренняя полость оболочки заполнена идеальной жидкостью, то необходимо решать задачу по определению давления р2 (т.е. возникает нестационарная задача излучения для внутренней области). В случае неустановившегося движения цилиндрической оболочки, содержащей акустическую среду (плоская задача), переходная функция характеризуется зависимостью звука в жидкости, заполняющей оболочку.

Для вычисления интеграла в (В .9) на практике используют различные приближенные приемы (асимптотические разложения, степенные ряды и т.д.).

Анализ результатов по определению давления излучения для различных оболочек и полостей дан в [35, 49].

Действие ударных волн на бесконечно длинные цилиндрические оболочки. Реакция гладкой цилиндрической оболочки (плоская задача) на плоскую волну давления наиболее подробно изучена на основании метода разложения по собственным формам. Неизвестные функции времени могут быть найдены численно с помощью интегральных преобразований по времени или путем сведения задачи к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода.

Обзор применения численных методов для решения задач дифракции на цилиндрических оболочках представлен в [16, 18, 29, 35].

Из анализа полученных результатов следует, что асимптотические формулы для определения давления применимы для начальных моментов соударения и наиболее эффективны при оценке ускорений и скоростей движения оболочки, которые за этот период времени достигают максимальных значений (в общем случае максимальное значение скорости может оказаться при больших т).

В.9) где ¡„(я) - модифицированные функции Бесселя первого рода, с2 - скорость

Метод разделения переменных (перемещения представляются в виде рядов по собственным формам колебаний), по-видимому, целесообразно использовать только при оценке напряженного состояния, так как время развития максимальных напряжений достаточно большое и соизмеримо с периодом обтекания оболочки волной давления, основную роль именно в это время играют низшие формы колебаний (которыми обычно на практике и ограничиваются).

При действии ударной волны число и расположение вмятин сильно зависит от интенсивности давления в волне и от геометрических параметров оболочки. В случае малых давлений деформация оболочки происходит по низшим формам и можно пользоваться результатами безмоментной теории оболочек. При больших перепадах давлений на фронте волны необходимо учитывать моментное состояние оболочки и конечность прогибов, но при этом надо принимать во внимание пределы применимости акустической теории.

Для описания явлений на фронте волны необходимо удерживать большое число форм колебаний, если задача решается методом разделения переменных.

Действие ударных волн на сферические оболочки. Для решения задач дифракции на объектах сферической формы в основном применяются те же методы, что и при решении задач дифракции на преградах цилиндрической формы [29, 35]. При использовании метода разделения переменных, перемещения раскладываются в ряды по полиномам Лежандра.

Для нахождения неизвестных обобщенных координат в разложениях можно воспользоваться интегральными преобразованиями Фурье или Лапласа во времени г, а также численными методами. Различные аспекты этой проблемы обсуждаются в [35, 49].

Для анализа нестационарных процессов в оболочках применяются различные методы интегрирования разрешающих систем уравнений. Выбор наиболее подходящего метода связан с используемыми моделями теории оболочек и типа внешних нагрузок. Методы решения задач динамического деформирования оболочек можно разделить на аналитические и приближенные.

Аналитические методы интегрирования разработаны для решения линейных задач, для оболочек простой конфигурации и при определенных ограничениях на вид внешней нагрузки. При этом часто используют метод интегральных преобразований и разложении решений в ряд Фурье. Обзор результатов по аналитическим методам содержится в [5, 83].

Вариационные методы (метод Ритца, Бубнова-Галеркина и различные их модификации) относятся к приближенным аналитическим методам. Вариационные методы основаны на приближенном задании перемещений конструкции и в конечном итоге сводят задачу к интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Теория этих методов достаточно хорошо разработана [81]. Однако трудности, возникающие при подборе аппроксимирующих функций для многих типов граничных условий, ограничили область их применения.

Точные и приближенные аналитические методы являются необходимым и очень мощным инструментом решения задач динамического деформирования и потери устойчивости элементов конструкций. Решение нелинейных нестационарных динамических задач этими методами наталкивается на непреодолимые трудности. При этом, особенно при решении прикладных задач, широкое применение получили различные численные методы интегрирования.

Обстоятельные обзоры по численным методам интегрирования приведены в монографиях [24, 74, 94, 95]. Среди существующих в настоящее время численных методов интегрирования систем гиперболических уравнений наиболее распространенными являются метод характеристик, метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ) и вариационно-разностные методы (ВРМ).

Метод характеристик является достаточно распространенным методом интегрирования систем гиперболических уравнений. Идеи этого метода достаточно подробно изложены в монографии [95]. Метод характеристик хорошо разработан для решения линейных одномерных задач о переходных волновых процессах в стержнях и цилиндрических оболочках [84]. Так же получили развитие так называемые характеристические конечно-разностные методы, которые сочетают в себе достоинства метода характеристик и универсальность метода конечных разностей. С.К. Годуновым был предложен метод решения нелинейных задач гидрогазодинамики [33], основанный на точном решении задачи о распаде разрыва. Различные аспекты применения метода характеристик можно найти в работах [25, 26, 53, 72, 74, 96, 102]. Основным преимуществом этого метода является возможность детального описания разрывов и особенностей решения. Недостатки метода связаны со сложной логикой расчета особенностей и построения многократных взаимодействий скачков.

Вторым методом решения нелинейных задач динамического деформирования является метод конечных разностей (МКР). С основными идеями МКР можно познакомиться по монографиям [68, 87]. В МКР [34, 74, 94, 98] для приближенного решения начально-краевой задачи вводится конечно-разностная сетка и аппроксимируются соответствующим образом дифференциальные операторы, граничные и начальные условия, что позволяет свести задачу нестационарного деформирования к системе алгебраических уравнений и найти решение задачи в узлах. Одной из наиболее популярных схем МКР является схема «крест», предложенная впервые в работе [76]. Достоинством схемы «крест» является ее простота и высокая алгоритмичность по сравнению с другими явными схемами сквозного счета. Недостатки схемы «крест» связаны с меньшей точностью в районе фронтов. Впервые явная конечно-разностная схема «крест» была использована Т. Пианом [106] для решения геометрически нелинейных упругопластических задач динамического деформирования балок, колец, пластин оболочек вращения при импульсных воздействиях в рамках модели Кирхгофа-Лява. Развитие этой методики на геометрически и физически нелинейные задачи нестационарного деформирования пластин и оболочек на основе модели Тимошенко выполнено в работах В.Г. Баженова и др. [21, 22].

Модель Тимошенко впервые была применена для получения конечно-разностного решения бсесимметричной задачи ударного выпучивания цилиндрических и конических оболочек В.А. Фельдштейном [100]. В более общей постановке ударное выпучивание гладких и составных оболочек вращения рассматривалось в работах [17, 19, 60]. Особенности применения МКР •для решения задач указанного класса можно найти в статье обзорного характера [74] и в работах [17, 19, 51, 60].

Широкое применение для решения нестационарных задач линейного деформирования тонких оболочек находит метод конечных элементов [32, 62, 80]. Идея метода заключается в минимизации функционала вариационной задачи, осуществляемой на совокупности финитных функций. Это позволяет в каждой подобласти использовать стандартную последовательность базисных функций и получать решения для задач, отличающихся распределением параметров внутри области, ее геометрией, граничными условиями и т.д.

Также необходимо отметить следующие достоинства МКЭ: возможность приведения к системам алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений с малозаполненными, узколенточными, симметричными и положительно определенными матрицами коэффициентов при неизвестных; независимость вычислений в отдельных элементах; возможность построения улучшенных решений путем увеличения числа параметров, описывающих каждый элемент; гибкость, приспособленность матричного аппарата МКЭ к реализации на ЭВМ.

Промежуточное положение между МКР и МКЭ занимают вариационно-разностные методы (ВРМ). ВРМ сочетают в себе простоту в реализации, присущую МКР, и алгоритмичность конечно-элементного подхода и являются, по существу, простейшим вариантом последнего. При некоторых видах аппроксимации функционалов МКЭ и ВРМ тождественны [69]. ВРМ, рассматривался в работе В.Г. Баженова, А.Г. Угодчикова, А.П. Шинкаренко [20] для решения геометрически и физически нелинейных задач динамики оболочек типа Тимошенко с криволинейными контурами и отверстиями, в основе которого лежала дивергентная схема аппроксимации частных производных по пространственным координатам и явная схема интегрирования уравнений движения по времени.

Методы численного решения предполагают дискретизацию определяющей системы уравнений и по временной переменной. Здесь возможны два способа дискретизации: одновременное и последовательное пространственно-временное деление области. При одновременном разделении области определения [87] задача сводится к системе алгебраических уравнений, в которую входят неизвестные на всех временных слоях. Этот способ является трудоемким и практически не используется в расчетах. При последовательной пространственной и временной дискретизации задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений по времени, для интегрирования которых применяются как явные, так и неявные разностные схемы. Для решения прикладных задач динамического деформирования тонких оболочек обычно используются явные трехслойные схемы второго порядка точности относительно шага по времени [74]. Эти схемы обладают некоторым преимуществом по сравнению с неявными, так как позволяют обойтись без решения системы линейных уравнений на каждом шаге. Однако эффективность явных схем существенно снижается необходимостью соблюдения условия устойчивости, согласно которому шаг интегрирования по времени должен быть меньше отношения характерного размера ячейки к наибольшей скорости упругих волн в материале. Неявные схемы обычно применяются при интегрировании гладких решений, например, при анализе низкочастотных колебаний упругих конструкций, где требуется проследить историю напряженно-деформированного состояния на протяжении нескольких десятков и более времен прохождения волн напряжений по длине оболочки, так как в линейном случае. Как правило, если доказана безусловная устойчивость разностной схемы, то ограничение на временной шаг определяется из условия точности аппроксимации, а не условие устойчивости. Последнее, как правило, более жесткое.

Данная работа связана с решением новых нестационарных задач дифракции акустических ударных волн на криволинейных преградах [39, 38, 42-44, 58, 59] и цилиндрических упругих оболочках [40, 41, 56, 57] переменной кривизны.

В первой главе приведена математическая постановка плоской задачи дифракции для тонких упругих оболочек, контактирующих с акустической средой.

Вторая глава посвящена определению в аналитическом виде выражения для переходной функции, с использованием которой определяются составляющие суммарного давления, действующего на оболочку.

В третьей главе вводится конечно-разностная аппроксимация исходной начально-краевой задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных.

В четвертой главе рассмотрены плоские нестационарные задачи дифракции акустических волн давления на тонких упругих изотропных оболочках, имеющих форму криволинейного цилиндра.

В заключении приведены основные результаты и выводы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получили развитие методы решения плоских нестационарных задач дифракции акустических ударных волн на криволинейных упругих цилиндрических оболочках (параболической и гиперболической формы). В процессе исследований получен ряд новых результатов, краткая формулировка которых приводится ниже.

1. В рамках теории тонкого слоя, путем введения единой локальной криволинейной системы координат, нормально связанной со срединной поверхностью оболочки, и преобразования Лапласа, получены в аналитической форме выражения для переходных функций, используемых при решении нестационарных задач дифракции на криволинейных поверхностях в акустических средах.

2. С использованием найденных выражений для переходных функций определены составляющие полного гидродинамического давления (через параметры движения оболочки), действующего на упругие цилиндрические оболочки переменной кривизны, заключенные в жесткий экран, при действии на них акустических ударных волн, распространяющихся под произвольным углом к оси симметрии оболочек.

3. Разработана конечно-разностная схема интегрирования уравнений динамики тонких упругих цилиндрических оболочек переменной кривизны типа Тимошенко при дифракции на них плоских акустических волн (плоская задача). Разработано программное обеспечение для динамических расчетов.

4. Представлены результаты численного решения новых плоских задач дифракции акустических ударных волн на цилиндрических оболочках параболической и гиперболической форм при произвольных углах падения.

5. Проведено систематическое исследование влияния характерных параметров системы (оболочка - акустическая среда) на динамическое поведение оболочек, подверженных действию акустических ударных волн.

1. Абрамович Г.Н., Крашенников С.Ю., Секундов А.Н. Турбулентные течения при воздействии объемных сил и неавтомодельно-сти. М.; Машиностроение, 1975. - 94 с.

2. Абрамсон Х.Н.; Кана Д.Д. Некоторые экспериментальные исследования динамической устойчивости тонких оболочек, содержащих жидкость // Пробл. мех. тв. деформируемого тела. JL: Судостроение, 1970.

3. Абросимов H.A. Численное исследование осесимметричного деформирования композитных оболочек вращения при импульсных воздействиях // Механика композитных материалов. 1987. № 4. С. 647-653.

4. Авиастроение. Т. 2. Современные самолеты США и стран Западной Европы. М.: Изд. ВИНИТИ, 1976. - 192 с.

5. Айнола Л.Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек // Изв. АН Эст.ССР, Сер. физ.-мат. и техн. Наук. 1965. Т. 14, №3. С. 337-344.

6. Акимов А.И., Берестов JI.M., Михеев P.A. Летные испытания вертолетов. М.: Машиностроение, 1980. - 399 с.

7. Алгазин В.А. Современное состояние исследований по гидродинамике крыльевого движителя. / Препринт ВЦСО АН СССР. № 761.-М.: 1987.-33 с.

8. Александрович Л.И., Лампер P.E. Собственные колебания упругого осесимметричного сосуда произвольного контура // Тр. 6-й Всес. конф. по теории оболочек и пластинок, Баку, 1966. М.: Наука, 1967. - С. 27-29.

9. Алексеев Г.Ю; Еремин В.Ю. Дискретный вихрь в сверхзвуковом потоке // Тр. ЦАГИ. 1987. - Вып. 2321. - С. 39-48.

10. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. — М.:1. Наука, 1974. 447 с.

11. Амиръянц Г. А. Теоретическое определение влияния упругости и распределения масс конструкции на некоторые аэродинамические характеристики самолета в квазиустановившемся движении // Уч. записки ЦАГИ. 1979. - Т. 10, № 1. - С. 55-63. ■;

12. Амирьянг{ Г.А., Буньков В.Г. Применение метода многочленов к расчету параметров установившегося маневра упругого самолета // Уч. записки ЦАГИ. 1976. - Т. 7, № 4. - С. 88-94.

13. Амиръянц Г.А., Сирота С.Я., Транович В.А. О влиянии упругости самолета с несущим фюзеляжем на его аэродинамические характеристики при установившемся движении // Исследования по аэроупругости. Тр. ЦАГИ. 1980. - Вып. 2088. - С. 21-30.

14. Амиръянц Г.А; Пархомовский Я.М. О влиянии упругости конструкции на стационарные аэродинамические характеристики самолетов // Тр. совещания советско-французкой подгруппы по аэродинамике, авиационной акустике и прочности. Париж, 1980. -22 с.

15. Анисимов С.А., Вогульский И.О. Численное решение задач динамики упругих тел. Новосибирск, изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1995.

16. Баженов В.Г., Кочетков A.B., Михайлов Л С. Численное решение плоских и осесимметричных задач взаимодействия упругопла-стических оболочек с ударными волнами // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький: Изд-во ГТУ, 1978. -№7.-С: 55-68.

17. Баженов В.Г., Ломунов В.К. Исследование упругопластического выпучивания оболочек вращения при ударном нагружении // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюз. меж-вуз. сб. / Горьк. ун-т, Горький. 1975. Вып. 2. С. 44-50.

18. Баженов В.Г., Михайлов Г.С. Нелинейное динамическое взаимодействие тонкостенных конструкций с идеальными сжимаемыми средами // Прикладные проблемы прочности и пластичности. -Горький: Изд-во ГТУ, 1979. № 10. - С. 41-55.

19. Баженов В.Г., Михайлов Г.С., Угодников А.Г. Динамические задачи термопластичности для оболочек вращения 7/ Тр. VIII Всесо-юз. конф. по теории оболочек и пластин / М.: Наука. 1973. С. 9399.

20. Баженов В.Г., Угодчиков А.Г., Шинкаренко А.П. Численный анализ упругопластического деформирования оболочек с криволинейными отверстиями // Прикладная механика. 1979. Т. XV, №5. С. 48-53.

21. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. О конечно-разностном решении волновых уравнений теории оболочек типа Тимошенко // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. ун-т, Горький. 1976. Вып. 3. С. 14-21.

22. Баженов В.Г., Шинкаренко А.П. Вариационно-разностный метод решения двумерных задач динамики упругопластических оболочек // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюз. Межвуз. сб. / Горьк. ун-т, Горький. 1976. Вып. 3. С. 14-21.

23. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. 632 с.

24. Березин КС., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1960. Т.2.

25. Березина М.Х., Ершов Л.В. О численном интегрировании уравнений плоской задачи динамики упругих тонкостенных цилиндрических оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1969. №3.

26. Булычев Г.Г., Пшеничное С.Г. Исследование нестационарных процессов в цилиндрических оболочках при ударных нагрузках // Изв. РАН. МТТ. 1995. №3. С. 188-196.

27. Васильев В.В. Механика конструкций из композитных материалов. М.: Машиностроение, 1988. 271 с.

28. Векуа КН. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. - 282 с.

29. Взаимодействие пластин и оболочек с жидкостью и газом / Под ред. А.Г. Горшкова. М.: Изд-во МГУ, 1984. - 168 с.

30. Волъмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.

31. Волъмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости. М.: Наука, 1976. - 416 с.

32. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984.

33. Годунов С.К. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.

34. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973.

35. Горшков А.Г. Взаимодействие ударных волн с деформируемыми преградами // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. М.: Изд. ВИНИТИ, 1989. - Т. 13. - С. 105-186.

36. Горшков А.Г. Нестационарное взаимодействие пластин и оболочек со сплошными средами // Изв. АН СССР: МТТ. 1981. - № 4. -С. 177-189.

37. Горшков А.Г. Устойчивость при ударных нагрузках // Динамика и прочность машин. Теория механизмов и машин: Машиностроение. Энциклопедия. М.: Машиностроение, 1994. - Т. 1. — С. 510516.

38. Горшков А.Г., Егорова О.В., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н. Плоская задача дифракции акустической волны давления на криволинейном препятствии // Изв. РАН. МТТ. №3. 2003. С.148-154

39. Горшков А.Г., Егорова О.В., Тарлаковский Д.В. Дифракция нестационарной волны на элементах летательных аппаратов // Тезисы докладов Международной научно-практической конференции «Проблемы безопасности на транспорте». Гомель: БелГУТ, 1997.- С. 113

40. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэ-рогидроупругость конструкций. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 592 с.

41. Горшков А.Г., Рабинский JI.H., Тардаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды: Учебник для вузов. -М.: Наука, 2000.-214 с.

42. Горшков А.Г., Тардаковский Д.В. Динамическая контактная задача для круговой цилиндрической оболочки и упругого полупространства. // Прочность пластин и оболочек при комбинированных воздействиях: Тем. сб. науч. тр. М.: МАИ, 1987. С. 16-25.

43. Григолюк Э.К, Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью. Удар и погружение. Д.: Судостроение, 1976.

44. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Нестационарная гидроупругость оболочек. Л.: Судостроение, 1974.-208 с.

45. Гузъ А.Н., Кубенко В Д. Теория нестационарной аэрогидроупру-гости оболочек- Киев: Наук.думка, 1982, Т.5. 400 с.

46. Гуляев В.И., Никитин С.К. Волновые процессы в упругой цилиндрической оболочке переменной толщины // Прикладная механика. 1975. Т.П. Вып.4. С. 37-41.

47. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Изд-во «Высшая школа», 1965. - 467 с.

48. Евсеев Е.Г., Семенов А.Ю. Метод численного решения уравнений динамики тонкостенных оболочек, основанный на выделении сильноосциллирующих компонент // ДАН СССР. 1990. Т. 310, №4. С. 785-788.

49. Евсеев Е.Г., Семенов А.Ю. Численный метод решения систем уравнений динамики тонкостенных оболочек. Препринт № 20, Ин-т общей физики АН СССР, Москва, 1989.

50. Егорова О.В. Дифракция косой волны давления на параболическом цилиндре в жидкости // VIII Всероссийский съезд по теоретической" и прикладной механике. Аннотации докладов. Пермь. 23-29 августа 2001. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. - С. 244-245

51. Егорова О.В., Тарлаковский Д.В. Взаимодействие плоских ударных волн с криволинейными поверхностями // Тезисы докладов ИГ Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». М., 1997.-С. 52

52. Ефимов А.Б., Малый В.И. О механизме выпучивания цилиндрической оболочки при продольном ударе // Тр. Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок / М.: Наука. 1973. С. 459-463.

53. Замышмев Б.В., Яковлев Ю:С. Динамические нагрузки при подводном взрыве. JL: Судостроение, 1967. - 387 с.

54. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.

55. Иванов B.JI. Метод аппроксимации систем гиперболических уравнений, содержащих большие параметры в недифференциальных членах // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1987, №9. С. 1388-1394

56. Иванов B.JI., Кукуджанов В.Н. Исследование волновых процессов деформирования сферических куполов при нагружении скачком давления // Строит. Механика и расчет сооружений, 1981, № 6 (138). С. 56-60.

57. Каплунов ЮД. Распространение нестационарных упругих волн в оболочке общего очертания // Изв. РАН. MIT. 1992. №6. С. 156167.

58. Кармишин A.B., Скурлатов Э.Д.; Старцев В.Г.; Фелъдштейн В.А. Нестационарная аэроупругость тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1982. - 240 с.

59. Кшъчевский H.A. Основы аналитической механики оболочек. -К.: изд-во АН УССР, 1963.

60. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. -832 с.

61. Корнеев В.Г. Сопоставление метода конечных элементов с вариационно-разностным методом решения задач теории упругости // Изв. ВНИИГ: Сб. / Л. 1967. Т.83. С. 81-87.

62. Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1986.

63. Кубенко В.Д. Нестационарное взаимодействие элементов конструкций со средой. Киев: Наукова думка, 1979. - 184 с.

64. Кукуджанов В.Н. Численное моделирование динамических процессов деформирования и разрушения упруго пластических сред // Успехи механики. 1985. Т.8. Вып.4. С. 21-65.

65. Кукуджанов В Н. Численные методы решения неодномерных задач динамики упругопластических сред // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Матер. VI Всесо-юз. конф. / Новосибирск. 1980. 4.1. С. 105-120.

66. Кукуджанов В.Н., Кондауров В.И. Численное решение неодномерных задач динамики твердого тела // Проблемы динамики уп-ругопластических сред. М.: Мир. 1975.

67. Куликовский А.Г., Погорелое Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного интегрирования гиперболических систем уравнений. -М.: Физматлит, 2001. 608 с

68. Курант Р., Фридрихе, Леей Г. О разностных уравнениях математической физики // УМН. 1940. Вып.8. С. 112-125.

69. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

70. Луговой ИЗ., Мейш В.Ф. К решению осесимметричных задач динамики цилиндрических оболочек численными методами // Прикл. Механика, 1986, 22, № 2. С. 29-33

71. Матросов A.B. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. СПб.: БХВ-Петербург, 2001. - 528 с.

72. Метод конечных элементов в механике твердых тел / Под общ. ред. A.C. Сахарова и И. Альтенбаха. Киев: Вища школа. Головное изд-во, 1982.

73. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966.

74. Нетребко В.П., Новотный С.В., Созоненко Ю.А. Сравнение решений уравнений динамики цилинтрических оболочек по теориям Тимошенко и Кирхгофа-Лява // Изв. РАН, МТТ, 1999, № 3. С. 140-149

75. Нигул У.К. Линейные уравнения динамики упругой круговой цилиндрической оболочки, свободные от гипотез // Тр. Таллин, политехи. ин-та / Таллин. 1960. №176.

76. Нигул У.К. О методах и результатах анализа переходных волновых процессов изгиба упругой плиты // Изв. АН Эст.ССР. Сер. физ.-матем. и техн. наук. 1965. Т. 14, №3. С. 345-384.

77. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. 656 с.

78. Огибалов П.М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. -М.: Изд-во МГУ, 1963

79. Панов Д.Ю. Численное решение квазилинейных гиперболических систем дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Гостехиздат, 1957.

80. Перцев А.К., Платонов Э.Г. Динамика оболочек и пластин. Л.: Судостроение, 1987.

81. Петрашень Г.И. К теории колебаний тонких пластин. Ученые записки Ленинградского Гос. Ун-та, №149, Сер. мат. наук, Вып.24, 1951

82. Победря Б.Е., Гергиевский Д.В. Лекции по теории упругости. -М.: Эдиториал УРСС, 1999. 208 с.

83. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство. М.: Изд-во МГУ, 1990. 384 с.

84. Потемкин В.Г. Matlab 6: среда проектирования инженерных приложений. Диалог-МИФИ. 2003.

85. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 800 с.

86. Рихтмаер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.

87. Рожденственский Б.А., Яненко Н.И. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978.

88. Сабодаш П.Ф., Чередниченко P.A. Применение метода пространственных характеристик к решению осесимметричных задач по распространению упругих волн // ПМТФ. 1971. №4.

89. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. - 616 с

90. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1975.

91. Сборник задач по сопротивлению материалов с теорией и примерами / Под ред. А.Г. Горшкова, Д.В. Тарлаковского. Учебн. пособие: Для вузов. 2-е изд., перераб. и допол. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003 - 632 с.

92. Фелъдштейн В.А. Исследование упругопластических деформаций двухслойной оболочки при динамическом нагружении // Изв. АН СССР. МТТ. №3. С. 155-161.

93. Фридлендер Ф. Звуковые импульсы. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 232 с.

94. Хоскин Н., Лембурн Б. Расчет общих одномерных нестационарных задач с помощью метода характеристик // Численные методы в механике жидкостей / М.: Мир. 1973. С. 83-93.

95. Яковлев Ю.С. Гидродинамика взрыва, Л., Судпромгиз, 1961.

96. Bleich Н.Н. Dynamic interaction between structures and fluid. Struct. Mech. Oxford-London-New York-Paris, Pergamon Press, 1960, 263281.

97. Haywood J.H. Response of an elastic cylindrical shell to a pressure pulse. Quart. J. Mechan. Appl. Math., 1958, 11, part 2, 129-141.

98. Large dynamic deformation of beams, rings, plates and shells / E.A. Witmer, H.A. Balmer, J.W. Leech, Т.Н. Pian // AIAA Journal. 1963. V.l, N8. P. 1848-1857.