Некоторые смешанные задачи теории упругости для предварительно напряженных сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫХ УПРУГИХ ТЕЛ ПРИ ОДНОРОДНОЙ

НАЧАЛЬНОЙ ДЕФОРМАЦИИ.

§ I. Соотношения теории малых деформаций, наложенных на конечную.

§ 2. Контактная задача для предварительно напряженной полуплоскости

§ 3. Внедрение гладкого штампа в предварительно напряженное полупространство при равномерной начальной деформации

§ 4. Контактная задача для полупространства при неравномерной начальной деформации.

Глава 2. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ С УЧЕТОМ НАЧАЛЬНЫХ

НАПРЯЖЕНИЙ ОТ СОБСТВЕННОГО ВЕСА.

§ I. Вдавливание штампа в тяжелую полуплоскость.

§ 2. Учет сил веса в контактной задаче для упругого полупространства

Глава 3. ПРЯМОЛИНЕЙНАЯ ТРЕЩИНА .В 'ПРЕДВАРИТЕЛЬНО

НАПРЯЖЕННОМ УПРУГОМ ТЕЛЕ.

§ I. Деформация нормального отрыва

§ 2. Поперечный сдвиг берегов трещины

§ 3. Задача о продольном сдвиге для прямолинейной трещины

§ 4. Случай, когда кромка прямолинейной трещины расположена под углом к главным осям начальной деформации.

Глава 4. КРУГОВАЯ ТРЕЩИНА В ТЕЛАХ С НАЧАЛЬНЫМИ

НАПРЯЖЕНИЯМИ

§ I. Влияние начальных напряжений на раскрытие круговой трещины

§ 2. Местная неустойчивость упругого слоя вблизи круговой трещины.

В классической линейной теории упругости перемещения точек тела предполагаются весьма малыми, а недеформированное состояние считается естественным, ненапряженным. Кроме того, принимается линейная связь между тензором напряжений и линейным тензором деформаций.

Во многих случаях эти допущения оказываются чрезмерно ограничительными, что привело к развитию нелинейной теории упругости.

Важным разделом нелинейной теории упругости является теория малых деформаций, наложенных на конечную деформацию. В этой теории рассматриваются малые перемещения точек тела относительно конечнодеформированного и напряженного состояния. Предварительно напряженное состояние может быть обусловлено разными причинами: деформацией тела под действием заданных нагрузок, влиянием технологических факторов, вызывающих появление внутренних напряжений в процессе изготовления материалов и конструкций. Внутренние остаточные напряжения могут существовать в упруго-пластических телах после снятия нагрузок. Начальные напряжения часто создаются преднамеренно, для улучшения эксплуатационных свойств строительных и других конструкций.

Предварительное напряженное состояние образуется в земной коре за счет действия гравитационных сил и тектонических процессов. Влияние начальных напряжений бывает существенным в ряде задач о деформации грунтов.

Таким образом, учет начальных напряжений в задачах о малых деформациях упругих тел представляет значительный интерес как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения приложений в машиностроении, строительстве, геофизике и других отраслях техники.

В статических задачах теории упругости предварительно напряженных сред наибольший интерес представляют случаи, когда добавочная нагрузка действует в направлении, ортогональном линии действия начального напряжения.

Дифференциальные уравнения, описывающие малые деформации предварительно напряженных тел, линейны и выводятся путем линеаризации уравнений нелинейной теории упругости в окрестности некоторого известного напряженно-деформированного состояния.

Первоначально линеаризованная теория равновесия сплошных сред формировалась как средство исследования устойчивости равновесия упругих тел. Первыми авторами этого направления были В.В. Новожилов [зб] , Р.Саусвелл [бв] , К.Бицено и Х.Генки [бз] , Треффтц [59] , А.Грин, Р.Ривлин и Р.Шилд [38, 5б] .

Впоследствии трудами А.И.Лурье [31-33] , А.Н.Гузя [14, 1б] , М.А.Био [54] , А.Грина и Дж.Адкинса [13] и др. была разработана общая теория наложения малых деформаций на конечную. В этих работах были получены линеаризованные уравнения равновесия и граничные условия для произвольного нелинейно-упругого материала при любом начальном состоянии равновесия, а также сформулированы различные упрощенные варианты теории предварительно напряженных упругих тел.

Заметим, что в задачах устойчивости упругих тел рассматривается однородная линейная краевая задача и разыскиваются такие значения параметров начального нагружения, при которых эта задача имеет ненулевые решения. Другими словами, здесь имеет место случай, когда добавочные массовые и поверхностные нагрузки отсутствуют. Настоящая диссертация посвящена, в основном, исследованию неоднородных краевых задач теории упругости предварительно напряженных сред со смешанными граничными условиями.

Контактные задачи для предварительно напряженных упругих тел без учета сил трения впервые были решены автором диссертации [41-4з] . В указанных работах с помощью интегральных преобразований контактные задачи были сведены к интегральным уравнениям относительно контактного давления. Впоследствии плоская контактная задача для предварительно напряженной полуплоскости была рассмотрена А.Н.Гузем [17, 1в] другим методом, с применением комплексных потенциалов линеаризованной теории упругости. Полученные в [17, 1в] качественные выводы о влиянии начальных напряжений на характеристики решения контактной задачи совпадают с результатами работы [41] .

С.Ю.Бабичем исследована [7] контактная задача для предварительно напряженной полуплоскости с учетом сил трения.

Плоские контактные задачи для неклассических областей с учетом начальных напряжений изучались В.М.Александровым, И.Х.Ару-тюняном и С.Р.Брудным [I, 2].

Осесимметричная контактная задача для предварительно напряженного упругого слоя исследована в [бб] .

Большой интерес для механики разрушения представляют задачи о трещинах в предварительно напряженных упругих телах. В классической линейной теории упругости нормальные напряжения, действующие на площадках ортогональных плоскости бесконечно тонкой трещины, совершенно не влияют на напряженно-деформированное состояние около трещины, создаваемое нагрузками, действующими под углом к плоскости трещины. Влияние нормальных напряжений, действующих в направлениях, параллельных плоскости трещины, можно учесть, если исходить из теории упругости предварительно напряженных тел, считая указанные напряжения начальными.

В такой постановке линеаризованные задачи о трещинах были рассмотрены А.Н.Гузем [16, 18-24] . Решение плоских и антиплоских задач о прямолинейной трещине в неограниченном теле при однородной начальной деформации в этих работах достигается за счет использования комплексных потенциалов линеаризованной теории упругости и сведения задач о трещинах к краевым задачам для аналитических функций комплексного переменного. Рассмотрены как сжимаемые так и несжимаемые упругие материалы. Для простейших определяющих соотношений (неогуковский материал, материал Бартенева-Хазановича и др.) установлено, что при учете начальных напряжений порядок особенности поля напряжений на кончике трещины такой же, как и в классической теории трещин. Вместе с тем А.Н.Гузь для общего случая допускает возможность того, что начальные напряжения могут изменить порядок особенности решения в острие трещины, хотя и не указывает конкретного примера материала, в котором такое явление действительно имело бы место. В работе [19] выведены формулы асимптотического распределения перемещений и напряжений вокруг кончика трещины. Эти формулы не являются в окончательном смысле явными, так как требуют извлечения квадратного корня из комплексного выражения, а также выбора одной из двух возможных ветвей этого корня. Более явные выражения для асимптотического распределения перемещений и напряжений приведены в гл.З диссертации, где плоские задачи о трещинах решены другим по сравнению с [19] методом.

Осесимметричная задача о раскрытии круговой трещины в неограниченном предварительно напряженном теле решена в [б7] для частного случая - неогуковского материала. Для материалов более общего вида влияние начальных напряжений на раскрытие круговой трещины было исследовано в работах автора [44, 47] , причем, как и в [57] , использовалось интегральное преобразование Ханкеля. В работе А.Н.Гузя [25] задача о круговой трещине решена иным способом, цутем сведения ее к смешанной задаче теории гармонического потенциала для полупространства.

Задача об антиплоской деформации несжимаемого тела с трещиной в полностью нелинейной постановке рассмотрена К.Ф.Черных.

Бели начальные напряжения, действующие в плоскости трещины, являются сжимающими и достаточно большими, то раскрытие трещины или ее сдвиг могут произойти и без приложения добавочной нагрузки. Это означает, что при некоторых значениях начальных напряжений однородное напряженно-деформированное состояние неограниченного тела с трещиной становится неустойчивым. Задачи неустойчивости трещин в телах с начальными напряжениями рассматривались А.Н.Гузем [20-2б] , Т.Г.Кулиевым [29] , а также К.Ву [60, 61] . В этих работах исследовались задачи об устойчивости трещин в неограниченных телах. Устойчивость трещины в полуограниченном теле -упругом слое - рассмотрена в работе автора [4б] .

Перейдем к изложению содержания диссертации.

Первая глава посвящена изучению контактных задач для предварительно напряженных упругих тел при однородной начальной деформации. В начале главы приводятся соотношения теории малых деформаций упругих тел, наложенных на конечную деформацию. Эти соотношения используются во всех главах диссертации. Объектом исследования в диссертации является изотропный несжимаемый материал общего вида. Такой выбор модели обусловлен тем, что именно для несжимаемых резиноподобных материалов в настоящее время известны достаточно надежные определяющие соотношения при конечных деформациях. Для сжимаемых тел практически отсутствуют экспериментально обоснованные формы упругих потенциалов при больших деформациях. В диссертации применяются два вида определяющих соотношений изотропного несжимаемого материала. В первом случае удельная потенциальная энергия деформации задается как функция инвариантов меры деформации Фингера, во втором случае - как функция главных относительных удлинений.

В § 2 первой главы дано решение плоской задачи о вдавливании жесткого гладкого штампа в предварительно напряженную упругую полуплоскость. В начальном деформированном состоянии граница полуплоскости не загружена. С помощью интегрального преобразования Фурье построено интегральное уравнение для контактного давления. Установлено, что распределение контактного давления под плоским и параболическим штампом совпадает с классическим (т.е. без учета начальных напряжений), однако ширина контактной зоны в случае параболического штампа зависит от степени предварительного растяжения или сжатия. Для прямолинейного наклонного штампа закон распределения контактного давления отличается от классического. При определенном значении предварительного сжатия перемещения точек полуплоскости становятся неограниченными, что соответствует потере устойчивости сжатой полуплоскости. При решении линеаризованной задачи для полуплоскости найдены ограничения на функцию упругого потенциала несжимаемого материала, необходимые и достаточные для существования решений, затухающих (по напряжениям) на бесконечности. Эти ограничения оказались тесно связанными с известным в нелинейной теории упругости неравенством Адамара.

В § 3 исследована контактная задача для предварительно напряженного полупространства. Начальная деформация здесь такова, что удлинения всех материальных волокон, параллельных границе полупространства, одинаковы. С помощью преобразования Ханкеля для произвольного изотропного несжимаемого материала решена задача Буссинеска линеаризованной теории упругости,на основании чего составлено интегральное уравнение для контактного давления. Решение этого уравнения показывает, что в случае прямого эллиптического в плане штампа с плоским основанием предварительное равномерное растяжение (или сжатие) не влияет на распределение контактного давления, но сказывается на величине смещения штампа. Для наклонного штампа от величины начального растяжения зависит также характер распределения контактного давления. В случае неплоского эллиптического в плане штампа от предварительного нагружения зависят размеры площадки контакта и смещение штампа, причем предварительное растяжение (сжатие) уменьшает (увеличивает) размер области контакта и величину перемещения штампа.

В § 4 гл.1 пространственная контактная задача рассмотрена в предположении, что в однородном начальном деформированном состоянии удлинения волокон в двух взаимно ортогональных направлениях, параллельных границе полупространства, различны. Для неогуковско-го материала путем применения двумерного преобразования %рье выведено интегральное уравнение относительно контактного давления. Решение этого уравнения найдено для случая, когда степени растяжения полупространства в двух направлениях мало отличаются друг от друга. Исследованы случаи плоского (прямого и наклонного) и неплоского эллиптических в плане штампов. Установлено, в частности, что при внедрении кругового в плане неплоского штампа площадка контакта ограничена эллипсом, вытянутым в направлении той оси координат, которая подвергнута меньшему растяжению.

Во второй главе плоская и пространственная контактные задачи решены с учетом начальных напряжений, обусловленных силами собственного веса упругого тела. Поле начальных напряжений в данном случае является неоднородным, так как силы веса создают в изотропном теле гидростатическое напряженное состояние, в котором давление возрастает пропорционально глубине.

В предположении несжимаемости и однородности материала найдены явные выражения ядер интегральных уравнений контактных задач для тяжелой полуплоскости и тяжелого полупространства. Эти ядра содержат малый параметр, связанный с удельным весом материала.

Решение интегрального уравнения плоской контактной задачи найдено одним из асимптотических методов, обзор которых дан в [I, 9, 36] . Установлено, что при учете напряжений от собственного веса смещение штампа определяется однозначно, в отличие от классической контактной задачи для полуплоскости, где оно остается неопределенным. При стремлении к нулю удельного веса распределение контактного давления и зависимость размера зоны контакта от силы приближается к классическому решению, а смещение штампа неограниченно возрастает.

В пространственной контактной задаче учет напряжений от собственного веса приводит к малому регулярному возмущению классического решения. В первом приближении по параметру удельного веса учет начальных напряжений не влияет на распределение контактного давления и размеры зоны контакта, а лишь несколько уменьшает смещение штампа.

Предметом изучения в третьей главе диссертации является прямолинейная трещина в неограниченном упругом теле, содержащем начальные напряжения. Начальное состояние представляет собой однородную конечную деформацию, при которой отсутствуют напряжения на плоскостях, параллельных плоскости трещины. Рассматривается линеаризованная задача о малой добавочной деформации, обусловленной нагружением поверхности трещины некоторой равномерной нагрузкой. Исследованы случаи трещины нормального отрыва, поперечного сдвига и продольного сдвига. Если одна из главных осей начальной деформации параллельна кромке трещины, то первые два случая соответствуют плоской деформации, третий - антиплоской деформации.

Указанные задачи для трещины эквивалентны некоторым смешанным задачам для полуплоскости. Последние решены приведением к парным интегральным уравнениям. Получены явные выражения для перемещений и напряжений в предварительно напряженной плоскости, ослабленной бесконечно тонкой трещиной (щелью) в случае изотропного несжимаемого материала общего вида. Установлено, что у любого материала из указанного класса, удовлетворяющего усиленному неравенству Адамара, начальные напряжения не меняют порядка особенности напряжений в вершине трещины.

Получены явные формулы для асимптотического распределения перемещений и напряжений вблизи кромки трещины.

На примере материала Муни проведен подробный анализ решения задачи о трещине нормального отрыва в предварительно напряженном теле. Дано представление решения в эллиптических координатах во всей плоскости. Определено нормальное напряжение отрыва на площадке, расположенной в вершине трещины под произвольным углом к линии трещины. Установлено, что при достаточно сильном начальном сжатии максимум нормального напряжения отрыва реализуется не на продолжении линии трещины, как в задаче без учета начальных напряжений, а на площадке, расположенной под некоторым углом к линии трещины. Это указывает на возможность распространения трещины в направлении, не совпадающем с первоначальной линией трещины, т.е. на возможность ветвления трещины.

В последнем параграфе третьей главы исследована задача о нагружении берегов прямолинейной трещины равномерной касательной нагрузкой в случае, когда кромки прямолинейной трещины, простирающейся в неограниченном пространстве, составляют некоторый угол с одной из главных осей начальной деформации. Данная задача решена для материала Муни методом возмущений в предположении С^С2 » гДе С1 > С^ ~ упругие постоянные материала. В такой постановке задачи плоская и антиплоская деформации оказываются связанными. В диссертации определены перемещения и напряжения, возникающие при продольно-поперечном сдвиге трещины, обусловленном нагружением берегов трещины равномерной сдвигающей нагрузкой, направленной перпендикулярно кромкам щели.

В последней, четвертой главе построено решение задачи о на-гружении равномерным давлением поверхности плоской круговой трещины в предварительно растянутом или сжатом вдоль трещины упругом пространстве. Начальная деформация равномерна по всем направлениям, параллельным плоскости трещины. Как и в предыдущих главах, используется модель несжимаемого изотропного материала. Задача решена приведением к парному интегральному уравнению. Найдены ограничения на функцию упругого потенциала материала, необходимые и достаточные для существования решений, затухающих на бесконечности. Установлено, что наличие напряжений в теле приводит к появлению радиальных смещений на поверхности трещины, раздвигаемой равномерным давлением/Кроме того, начальные напряжения влияют на характер распределения напряжений и перемещений вокруг края трещины. Определена критическая величина начального сжатия, при которой однородное напряженно-деформированное состояние неограниченного тела с круговой трещиной становится неустойчивым.

В четвертой главе рассмотрена также задача о круговой трещине в слое из неогуковского материала. Трещина расположена посредине слоя параллельно его границам, слой подвергнут предварительному сжатию силами, действующими вдоль границ. На эту конечную деформацию накладывается малая осесимметричная деформация. Задача приведена к парному интегральному уравнению, решение которого сведено к уравнению Фредгольма второго рода. Доказана непрерывность ядра этого уравнения. При отсутствии нагрузки на поверхности трещины возникает задача отыскания тех значений начальной деформации, при которых соответствующее однородное уравнение Фредгольма имеет нетривиальные решения. Минимальное из этих значений представляет критическую деформацию, при которой происходит осесимметричное и симметричное относительно срединной плоскости выпучивание материала сжатого слоя вблизи трещины.

В совместной с В.М.Александровым публикации В.М.Александрову принадлежит постановка задачи и выбор метода решения интегрального уравнения.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору В.М.Александрову за большую помощь и внимание к работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение сформулируем основные результаты работы.

1. Впервые решены контактные задачи для полуплоскости и полупространства при наличии однородного поля начальных напряжений. Исследовано влияние начального напряженного состояния на распределение контактного давления, размер зоны контакта и величину смещения штампа.

2. Разработана методика учета неоднородного поля начальных напряжений, обусловленных силами собственного веса, в плоской и пространственной контактных задачах. Установлено, что при учете напряжений от собственного веса в плоской задаче смещение штампа определяется однозначно, в отличие от классической контактной задачи для полуплоскости, где оно остается неопределенным. В контактной задаче для полупространства учет собственного веса приводит к малому регулярному возмущению классического решения.

3. Методом парных интегральных уравнений изучено влияние предварительно напряженного состояния на напряжения и деформации в окрестности кромки плоской трещины. В случае, когда фронт трещины параллелен одной из главных осей начальной деформации, показано, что для любого изотропного несжимаемого материала, удовлетворяющего усиленному неравенству Адамара, начальные напряжения не изменяют порядка сингулярности поля напряжений на краю трещины, но влияют на характер распределения деформаций и напряжений вокруг кромки трещины. Для материала Муни исследован также случай, когда фронт трещины составляет с главной осью начальной деформации произвольный угол.

4. НаВДено точное решение задачи о раскрытии круговой трещины в предварительно напряженном неограниченном теле из несжимаемого изотропного материала общего вида.

5. Получена задача на собственные значения (с нелинейным вхождением спектрального параметра) для интегрального уравнения Фредгольма, решение которой определяет форму потери устойчивости и критическую деформацию при сжатии упругого слоя, ослабленного круговой щелью.

1. Александров В.М. Асимптотические методы в контактных задачах теории упругости. - Прикладная математика и механика, 1968, т.32, вып.4, с.672-681.

2. Александров В.М., Арутюнян Н.Х., Брудный С.Р. Смешанные задачи для преднапряженных тел. В кн.:Смешанные задачи механики деформируемого тела. Тез.докл. 2-й Всесоюзной научн. конф. Днепропетровск: Изд-е Днепропетровского ун-та, 1981, с.4-5.

3. Александров В.М., Белоконь A.B. Асимптотическое решение одного класса интегральных уравнений и его применение к контактным задачам для цилиндрических упругих тел. Прикладная математика и механика, 1967, т.31, вып.4, с.707-710.

4. Александров В.М., Соловьев A.C. Некоторые пространственные смешанные задачи теории упругости. Инженерный журнал. Механика твердого тела, 1966, № 2, с.135-139.

5. Александров В.М., Филиппова Л.М. Контактная задача для тяжелой полуплоскости. Прикладная математика и механика, 1980, т.44, вып.З, с.535-539.

6. Александров В.М., Брудный С.Р. Две задачи со смешанными граничными условиями для несжимаемого изотропного гиперупругого материала. Прикладная математика и механика, 1982, т.46, вып.4, с.700-703.

7. Бабич С.Ю. 0 контактных задачах для предварительно напряженной полуплоскости с учетом сил трения. ДАН УССР, 1980, А, № 12, с.21-24.

8. Бейтман Г., Эрдейн А. Таблицы интегральных преобразований, т.1. М.: Наука, 1969. - 343 с.

9. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. -455 с.

10. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязко-упругости. М.: Наука, 1980. - 304 с.

11. Гельфанд И.М., Шилов Г.Б. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1959. - 470 с.

12. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. - 1100 с.

13. Грин А., Дцкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. - 455 с.

14. Гузь А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. -Киев: Наукова думка, 1971. 276 с.

15. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. Киев: Наукова думка, 1973. - 270 с.

16. Гузь А.Н. Трещины отрыва в упругих телах с начальными напряжениями. Доклады АН СССР, 1980, т.254, № 3, с.571-574.

17. Гузь А.Н. Контактные задачи теории упругости для полуплоскости с начальными напряжениями. Прикладная механика,1980, т.16, № 8, с.48-58.

18. Гузь А.Н. О комплексных потенциалах плоской линеаризованной теории упругости. Прикладная механика, 1980, т.16, № 9, с.83-97.

19. Гузь А.Н. Теория трещин в упругих телах с начальными напряжениями (постановка задач, трещины отрыва). Прикладная механика, 1980, т.16, № 12, с.3-14.

20. Гузь А.Н. Пространственная задача для трещин сдвига в упругих телах с начальными напряжениями. Доклады АН СССР, 1981, т.257, № 3, с.562-565.

21. Гузь А.Н. Теория трещин в упругих телах с начальными напряжениями (высокоэластичные материалы). Прикладная механика,1981, т.17, № 2, с.11-21.

22. Гузь А.Н. Теория трещин в упругих телах с начальныминапряжениями (трещины сдвига, предельные случаи). Прикладная механика, 1981, т.17, № I, с.3-13.

23. Гузь А.Н. Теория трещин в упругих телах с начальными напряжениями (жесткие материалы). Прикладная механика, 1981, т.17, № 4, с.3-9.

24. Гузь А.Н. Теория трещин в упругих телах с начальными напряжениями (пространственные статические задачи). Прикладная механика, 1981, т.17, № б, с.3-20.

25. Гузь А.Н. Пространственные задачи для дискообразной трещины в упругом теле с начальными напряжениями. Прикладная механика, 1981, т.17, № 12, с.3-12.

26. Гузь А.Н. 0 построении основ механики хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. Прикладная механика, 1983, т.19, № 4, с.3-23.

27. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука, 1968.- 648 с.

28. Гурвич Е.Л., Лурье А.И. К теории распространения волнв нелинейно-упругой среде (эффективная проверка условия Адамара).- Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1980, № 6, с.110-116.

29. Кулиев Г.Г. К теории устойчивости тел с трещиной в случае плоской деформации. Прикладная механика, 1977, т.13, № 12, с.73-79.

30. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. -М.: Гостехиздат, 1955. 491 с.

31. Лурье А.И. Бифуркация равновесия идеально упругого тела. Прикладная математика и механика, 1966, т.30, вып.4 , с.718-731.

32. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 939 с.

33. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. - 512 с.

34. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

35. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. -М.-Л.: Гостехиздат, 1948. 211 с.

36. Развитие теории контактных задач в СССР. М.: Наука,1976. 493 с.

37. Разрушение. Т.2. М.: Мир, 1975. - 764 с.

38. Ривлин P.C. Большие упругие деформации. В кн.: Реология. М.: йзд-во иностр.лит., 1962, с.421-458.

39. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: Изд-во иностр. лит., 1955. - 668 с.

40. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1967. - 402 с.

41. Филиппова Л.М. Плоская контактная задача для предварительно напряженного упругого тела. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1973, № 3, с.143-146.

42. Филиппова Л.М. Пространственная контактная задача для предварительно напряженного упругого тела. Прикладная математика и механика, 1978, т.42, вып.6, с.1080-1084.

43. Филиппова JI.M. О местной неустойчивости при сжатии упругого слоя с круговой трещиной. Ростов-на-Дону, 1982. - 10 с. - Рукопись представлена Ростовским университетом. Деп. в ВИНИТИ 23 июля 1982, № 3980-82 ДЕП.

44. Филиппова Л.М. О влиянии начальных напряжений на раскрытие круговой трещины. Црикладная математика и механика, 1983, т.47, вып.2, с.286-290.

45. Филиппова Л.М. Контактные задачи для предварительно напряженных упругих тел. В кн.: Статические и динамические смешанные задачи теории упругости. Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовского университета, 1983, с.115-121.

46. Хилл Р. Некоторые вопросы поведения изотропных упругих твердых тел при наложении малой деформации на конечную.

47. В кн.: Проблемы механики деформированного твердого тела. Л.: Судостроение, 1970, с.459-466.

48. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. - 640 с.

49. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. -М.: Гостехтеоретиздат, 1949. 270 с.

50. Янке Е., Эще Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968. - 344 с.

51. Biezeno С.В., Hencky Н., On the general theory of elastic stability.-K.Akad. Wet. Amsterdam Proc., 1929, v.31,p.p. 569-592. . .

52. Biot M.A. Mechanics of ineremental deformations.-N.Y. : Willey, 1965.-504p.p.

53. Green A.E., Rivlin R.S., Shield R.T. General theory of small elastic deformation superposeu on finite elastic deformations.-Proc. Rog. Soc. , 1952, A211, No1104, p.p.128-154.

54. Dhaliwal R.S., Singh B.M. and Rokne J.G. Axisymmetric contact and crack problems for a unitially stressed Neo-Hooken Elastic Layer.-INT.J.Eng.Sei.,1980, v.18,N1,p.169-179.

55. Kurashige M.Circular Crack Problem for Initialy Stressed Neo-Hookean Silid.-ZAMM, 1969, v.49, N11, p.671-678.

56. Southwell R.V. On the general theory of elastic stabi-liti.-Phil. Trans. Rog. Soc., London, Ser.A, 1914, v.213,p.p.187 244.

57. Trefftz E. Zur Theorie der Stabiiitat des elastischen Gleichgewichts.- ZAUM,1933, v.12, T160-T165.

58. Wu C.H. Plane-Strain buckling of a crank in a harmonic solid subjected to crack-parallel compression.-J.Appl. Mech. , 1979, v.46, p.597 604.

59. Wu C.H. Plane strain buckling of crack in incompressible elastic solids.-J. Elast., 1980, v.10, N2, p.161-177.