Контактные задачи и задачи механики разрушения для преднапряжённых упругих тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИИ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра теории пластичности

На правах рукописи

4840493 уДК539"3

Костырева Лилия Александровна

КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ ДЛЯ ПРЕДНАПРЯЖЁННЫХ УПРУГИХ ТЕЛ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 СЮН 2011

Москва-2011

4848495

Работа выполнена на кафедре теории пластичности механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Александров Виктор Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Коваленко Евгений Вениаминович

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Солдатенков Иван Алексеевич

Ведущая организация: Российский государственный университет

нефти и газа им. И. М. Губкина

Защита состоится «/7» 2011г. в Щ часов на заседании

диссертационного совета Д 501.001.91 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 1610.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан «#?» 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д 501.001.91,

профессор

С. В. Шешенин

Актуальность проблемы

Во всех реальных конструкциях и деталях машин практически всегда существуют начальные или остаточные напряжения. Причины их возникновения могут быть различными. Зачастую начальные напряжения в деталях и конструкциях создаются специально при их изготовлении или сборке. Также они могут появляться в процессе эксплуатации как под влиянием механических факторов, таких как необратимые пластические деформации, так и по причинам, носящим немеханический характер (локальное изменение агрегатного состояния, физико-химические процессы и структурные изменения в материале). Наконец, начальные напряжения могут быть обусловлены постоянным действием массовых (например, гравитационных) сил.

Наличие начальных напряжений сказывается на всем напряженно деформированном состоянии тел, поэтому может влиять на прочность конструкций, приводить к внутренней потере устойчивости, способствовать локальному разрушению материала и пр. Учет остаточных напряжений при расчете элементов конструкций, машин и сооружений позволяет более эффективно учесть прочностные ресурсы материалов путем правильной оценки запасов прочности.

В настоящее время в технике для улучшения прочностных свойств деталей, возможности их использования в условиях повышенных температур или в присутствии агрессивных сред широко применяются различные покрытия. Поскольку такие детали зачастую являются ответственными элементами конструкций, чье разрушение может привести к катастрофическим последствиям, необходима их регулярная диагностика. В теоретическом плане эта проблема может быть сведена к рассмотрению задач о предварительно напряженном бесконечном слое со смешанными граничными условиями.

Аналогичные задачи могут возникать и при расчете тяжелых фундаментных плит и строительных перекрытий, находящихся в поле действия гравитационных сил.

Характерная особенность таких задач - то, что в математическом плане они в основном являются задачами со смешанными граничными условиями (контактными задачами) для сжимаемых и несжимаемых тел при однородных начальных состояниях и, как правило, сводятся к решению интегральных уравнений.

Исследования влияния начальных (остаточных) напряжений стали активно проводиться в нашей стране и за рубежом лишь в конце XX столетия. Необходимо отметить, что в общем случае, строгая постановка таких задач требует привлечения аппарата нелинейной теории упругости [7], что сильно затрудняет построение аналитических решений. Однако, при условии больших начальных напряжений (деформаций) можно ограничиться рассмотрением линеаризованной теории упругости [6].

Первые работы по контактным задачам для преднапряжённых тел посвящены взаимодействию упругих тел с жесткими штампами для классических областей типа полуплоскости и полупространства. Причем рассматриваются либо упругие потенциалы конкретной довольно простой формы (Трелоара, Муни и др.), либо задача ставится в общем виде для сжимаемых и несжимаемых тел с потенциалом произвольной структуры.

Изучение более сложных задач стало возможно благодаря развитию подходов к исследованию смешанных краевых задач теории упругости и методов решения интегральных уравнений. Одним из наиболее эффективных подходов для материалов с произвольным видом упругого потенциала и однородной начальной деформацией является подход, предложенный

A. Н. Гузем. Он основан на использовании теории функций комплексного переменного для плоских задач и теории потенциала (интегральных преобразований, интегральных уравнений) для пространственных задач. Этот подход был развит в работах А. Н. Гузя, С. Ю. Бабича, Ю. П. Глухова,

B. И. Кнюха, В. М. Назаренко, В. Б. Рудницкого и др.

Не менее эффективным оказался подход, основанный на асимптотических методах решения интегральных уравнений, используемый в настоящей работе. Асимптотический метод, позднее названный «методом больших Я » был предложен для решения смешанных задач теории упругости в работах И. И. Воровича, Ю. А. Устинова.

Поскольку по своей природе «метод больших Я» имеет ограниченную область применимости, возникла необходимость построения другого асимптотического метода, позволяющего находить решения интегральных уравнений для малых значений определяющего параметра. Он получил название «метода малых Я». Такое построение было дано В. М. Александровым.

При помощи этих методов удалось решить ряд новых задач. Общая постановка плоских контактных задач для полупространства и слоя из несжимаемого материала, подверженных одновременному действию сил тяжести и однородных начальных напряжений, ориентированных вдоль границы, предложена в работе В. М. Александрова и Н. X. Арутюняна. В ней проведен анализ поверхностной устойчивости среды и влияния начальных напряжений на контактную жесткость.

Изучению контактного взаимодействия штампов (бандажа) с предварительно нагруженным телом (цилиндром) конечных размеров посвящен ряд работ Л. М. Филипповой, А. Н. Цветаева, М. И. Чебакова

К исследованиям по контактному взаимодействию упругих тел тесно примыкают задачи теории трещин. Они относятся к теории механики разрушений, основы которой были заложены в работах А. Гриффитса [1]. На протяжении многих лет разрабатывались различные подходы к решению задач механики разрушений: использующие теорию функции комплексного переменного (Н. И. Мусхелишвили); привлекающие теорию упруго-пластических деформаций; основанные на различных феноменологических гипотезах. К наиболее важным работам по механике разрушения можно отнести исследования Г. И. Баренблатга, Б. Билби, Дж. Гудьера, В. Д. Клюшникова, Е. М. Морозова, В. В. Панасюка, В. 3. Партона, Г. П. Черепанова, Дж. Эшелби. По своей природе задачи теории трещин являются задачами со смешанными граничными условиями, поэтому богатейшие средства, развитые в механике контактных взаимодействий, с успехом применяются и в этой области механики сплошных сред.

Широкому кругу вопросов механики преднапряжённых деформируемых тел посвящена многотомная монография А. Н. Гузя, включающая в себя теорию контактных взаимодействий [6], исследования по механике разрушений [2] и устойчивости тел с остаточными напряжениями [5], динамические задачи [3,4].

В настоящей работе рассматривается круг плоских задач для упругого преднапряженного слоя из сжимаемого и несжимаемого материалов с упругими потенциалами конкретного вида (потенциал гармонического типа для сжимаемого материала и потенциал Муни для несжимаемого). Исследуются вопросы контактного взаимодействия слоя с жесткими штампами и задачи о поведении слоя при наличии ослабляющих трещин.

Цели и задачи исследования

Цель настоящей работы - исследование влияния начальных напряжений на напряженно-деформированное состояние упругого слоя, охватывающее физически корректные постановки задач следующих типов:

а) контактная задача для слоя, закрепленного по нижней грани;

б) контактная задача для слоя, опирающегося без трения на жесткое основание;

в) задача о продольной трещине в слое с жестко закрепленными гранями;

г) задача о продольной трещине со скользящей заделкой граней;

д) задача о продольной трещине со свободными гранями.

Основной задачей исследования было построение, по возможности, аналитических асимптотических решений и их сравнение с классическими решениями, не учитывающими начальные напряжения. Также для промежуточных толщин слоя, при которых происходит стыковка асимптотических методов, требовалось построение численных приближённых решений.

В качестве основного результата было необходимо получить зависимости некоторых интегральных характеристик, таких как контактное давление и коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещины, от параметров, характеризующих начальное состояние среды.

Методы исследования

С целью сведения задач к решению интегральных уравнений в работе применяется интегральное преобразование Фурье. Для построения аналитических решений полученных уравнений используется асимптотические методы «больших и малых А». Поскольку данные методы имеют ограниченную область применимости, и значение параметра Я, при котором они стыкуются, существенно зависит от величины начального нагружения, для промежуточных значений данного параметра при помощи модифицированного метода Мультоппа-Каландия строится приближенное численное решение интегрального уравнения.

Научная новизна и практическая значимость работы

1. Впервые рассмотрен ряд плоских задач о поведении физически нелинейного и геометрически нелинейного упругого слоя, подверженного

6

начальному однородному нагружению посредством равномерных растягивающих (сжимающих) напряжений, приложенных на бесконечности. Исследуемые постановки охватывают вопросы механики контактного взаимодействия преднапряжённого слоя с жесткими гладкими штампами и вопросы теории трещин.

2. В контактных задачах при помощи асимптотического метода больших ^ для относительно большой толщины слоя и асимптотического метода малых X для относительно малой толщины получено распределение нормальных напряжений в области контакта. Найденные зависимости позволяют оценить влияние начальных напряжений на напряженно деформированное состояние слоя, а также на величину вдавливающей силы и момента, обеспечивающих заданное внедрение штампа.

3. В задачах о слое, содержащем продольную трещину, при помощи асимптотического метода больших X для относительно большой толщины слоя и асимптотического метода малых Я для относительно малой толщины найдена функция, характеризующая вертикальные перемещения берегов трещины. Найденные зависимости позволяют оценить влияние начальных напряжений на напряженно деформированное состояние слоя, а также на величину коэффициента интенсивности нормальных напряжений в вершине трещины и сравнить полученные результаты с классическими решениями задач для бесконечной плоскости.

4. Для промежуточных толщин слоя при помощи модифицированного метода Мультоппа-Каландия получены численные решения задач. Это дает возможность сравнить результаты вычислений с аналитическими решениями и изучить влияние начального нагружения на стыковку асимптотических решений.

Результаты данного исследования, помимо решения аналогичных задач с упругими потенциалами иного вида, могут быть использованы при расчете инженерных сооружений, строительных конструкций (балок и перекрытий), а также различных резинометаллических изделий.

Достоверность результатов

Достоверность теоретических результатов обеспечивается строгостью постановки задачи и обоснованностью используемых методов решения. Также

проведено сравнение полученных автором решений с известными опубликованными решениями.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на научной конференции «Ломоносовские чтения» (2008 г., Москва); на XIV международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (2010 г., Ростов-на-Дону, Азов); на Международном научном симпозиуме по проблемам механики деформируемых тел, посвященному 100-летию со дня рождения А.А.Ильюшина (2011г., Москва); на научно-исследовательском семинаре кафедры теории пластичности МГУ им. М. В. Ломоносова (под рук. профессоров В. М. Александрова, Е. В. Ломакина), на научно-исследовательском семинаре кафедры теории упругости МГУ им. М. В. Ломоносова (под рук. профессора И. А. Кийко), на научно-исследовательском семинаре кафедры механики композитов МГУ им. М. В. Ломоносова (под рук. профессора Б. Е. Победри).

Основные результаты диссертации представлены в 6 публикациях, список которых приводится в конце автореферата. Постановка задач выполнена научным руководителем, личный вклад автора состоит в сведении задач к решению интегральных уравнений, применению асимптотических и численных методов решения, получению численных результатов.

Объем и структура диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы, содержащего 105 наименований. Общий объем диссертации составляет 125 страниц, включая 12 таблиц и 52 рисунка.

Во введении приводится обзор литературы по методам решения смешанных задач теории упругости и основных работ по исследованию напряженно деформированного состояния тел с начальными (остаточными) напряжениями; обоснована актуальность темы диссертационной работы; сформулированы цели настоящего исследования.

В первой главе представлены основные соотношения нелинейной теории упругости [] применительно к изотропным упругим телам: уравнения равновесия и граничные условия

Э

дху

ЗиЛ

дх„;

= 0

ди/\ дх„

и, = на части поверхности ^,

и, = fi на части поверхности 52; определяющие соотношения для сжимаемого и несжимаемого тел в общем виде ~ ЭФ . ЭФ „ ЭФ

о» V в Ш о 8ЦГ

8А-,

где А1,А2,А3 - алгебраические инварианты тензора деформаций, и, наконец, структура упругих потенциалов, исследуемых в диссертации (потенциал гармонического типа и потенциал Муни соответственно)

Ф = |^!2 + /и2, = 81 + 82 + 83, 82 = 51 +81 + 8%, $1=81+81+81,

8„=Л„-1 = 71 + 2^-1

Ф = с10(/1-3)+со1(/2-3),

Л =3 + 2 епп, 12=г + Аепп+2{ЕппЕтт-ептегт), 13= е* I Е = йа\8у + 2е^

Во втором параграфе главы изложены основные соотношения линеаризованной теории упругости []. Для случая однородного начального плоского деформированного состояния получены дифференциальные уравнения равновесия в возмущениях: изотропный сжимаемый материал

2. д2и . д2и д\ Л . д2у г. д\ а о,—5-+О2—2+а—5Г = "> ч—2+а "2—Т + а

дхх

ду2 дхду

ду2

'дх*

¿1 =

(1 + а)(/? + 2)

62=^-1, а =-7-, /¡2

(1 + а)уЗ + 2 изотропный несжимаемый материал д2и 8д

дхду

о-1-

= 0

(1)

э2«

/Ми-.у——= 0, ,ЦДУ-5

Эх Эх ЭхЭу ду

да . ди дV „ + —= 0, — + — = 0, дх ду

Во второй главе рассмотрены плоские контактные задачи для бесконечного слоя, предварительно нагруженного растягивающими (сжимающими) усилиями, приложенными на бесконечности и направленными вдоль граней слоя. Таким образом, создается однородное начальное состояние. В дальнейшем исследуются два вида граничных условий: 1) слой, лежащий без трения на жестком основании; 2) слой с закрепленной (приклеенной) нижней гранью.

Возмущения создаются путем приложения дополнительной нагрузки на верхней грани слоя посредством жесткого гладкого штампа. Возникающие при этом дополнительные перемещения считаются малыми, что позволяет линеаризовать задачу на фоне начального напряженного состояния и рассматривать постановку в дополнительных перемещениях (1)-(2).

Граничные условия, соответствующие предложенным выше постановкам, имеют вид

Слой, лежащий без трения на жестком Слой с закрепленной (приклеенной)

основании нижней гранью

.у = 0: V = 0, Тух = 0 у = 0: к = 0, у = 0

у = И: тух= 0, оу= 0 ><0 У = к: *>=0> °> = 0 <И>Й>

V = -[£ + «*+ /(*)] при |д:|<а V =-[5+ юх+ /(*)] при |дг|<а

В работе А. Н. Гузя показано, что решение задачи для сжимаемого изотропного материала с потенциалом гармонического типа можно искать в виде

д2 ( д2 ь д2 ^

и = —

ь 9 ъ2 д

дх2 аду2

X

дхду'

В этом случае первое уравнение из (1) удовлетворяется тождественно, а второе приводится к форме

э2 я2

V

2 д* V дх2 ду2

х = о

Далее при помощи интегрального преобразования Фурье задача сводится к решению интегрального уравнения первого рода с нерегулярным разностным ядром относительно неизвестной функции, характеризующей давление в контактной области. После введения безразмерных величин оно преобразуется к виду

-1 V ^ У О и

причем структура уравнения совпадает со структурой соответствующих уравнений классической теории упругости. Однако символ ядра уравнения существенным образом зависит от параметров начального нагружения.

В зависимости от величины безразмерного параметра е, определяющего относительную толщину слоя, строятся асимптотические решения интегрального уравнения при помощи методов «больших и малых Л». Дополнительно для промежуточных значений е получено приближённое численное решение задачи при помощи модифицированного метода Мультоппа-Каландии. Также получены соотношения для определения контактного давления и момента при взаимодействии с плоским наклонным штампом.

Проведен расчет контактных давлений и моментов при различных значениях параметров начального нагружения и относительных толщин слоя. Общий вид зависимости интегральных характеристик и влияние начальных нагрузок приведено на рис. 1-2.

Рис. 1 Контактное давление при различных значениях начального нагружения (¿>0 соответствует начальному растяжению, .г < 0 - сжатию)

Рис. 2 Момент вдавливающей силы при различных значениях начального нагружения (пунктирная линия - слой без начального нагружения)

В третьей главе рассмотрены плоские задачи для бесконечного слоя, содержащего продольную трещину. Слой подвергается предварительному нагружению растягивающими усилиями, приложенными на бесконечности и направленными вдоль граней слоя. Таким образом, создается однородное начальное состояние. В дальнейшем исследуются три вида граничных условий: 1) слой со скользящей заделкой граней; 2) слой с закрепленными гранями; 3) слой со свободными гранями.

Возмущения создаются путем приложения дополнительной равномерно распределенной нормальной нагрузки к берегам трещины. Возникающие при этом дополнительные перемещения считаются малыми, что позволяет линеаризовать задачу на фоне начального напряженного состояния и рассматривать постановку в дополнительных перемещениях (1)-(2).

При помощи техники интегрального преобразования Фурье задача сводится к решению интегрального уравнения первого рода с нерегулярным разностным ядром относительно неизвестной функции, характеризующей наклон берегов трещины по отношению к продольной оси. После введения безразмерных величин оно преобразуется к виду

= |х| < 1, К(0 = ]ци)зш(га)е1и.

-1 ч е ) о

причем по форме оно совпадает с соответствующим уравнением классической теории упругости, а символ ядра уравнения существенным образом зависит от параметров начального нагружения.

В зависимости от величины безразмерного параметра е, определяющего относительную толщину слоя, строятся асимптотические решения интегрального уравнения при помощи методов «больших и малых Я». Дополнительно для промежуточных значений е получено приближённое численное решение задачи при помощи модифицированного метода Мультоппа-Каландии. Также получены соотношения для определения величины коэффициента интенсивности напряжений в вершине трещины.

Проведен численный расчет для различных значений параметров начального нагружения и относительных толщин слоя. Общий вид зависимости коэффициента интенсивности от относительной толщины слоя и влияние начальных нагрузок приведено на рис. 3-4.

Рис. 3 Коэффициент интенсивности нормальных напряжений при скользящей и жесткой заделке граней слоя

3

2

8

О

О

1

2

3

4

5

Рис. 4 Коэффициент интенсивности нормальных напряжений в случае свободных

граней слоя

В приложении в таблицах представлены результаты численного расчета контактного давления, момента вдавливающей силы (для контактных задач) и коэффициента интенсивности нормальных напряжений в вершине трещины на ее продолжении при различных величинах начальной нагрузки и относительной толщины слоя.

Основные результаты и выводы

1. В работе изучены плоские задачи для упругого преднапряженного слоя из сжимаемого и несжимаемого материалов с упругими потенциалами конкретного вида (потенциал гармонического типа для сжимаемого материала и потенциал Муни для несжимаемого), включающие в себя постановки следующих типов:

а) контактная задача для слоя, закрепленного по нижней грани;

б) контактная задача для слоя, опирающегося без трения на жесткое основание;

в) задача о продольной трещине в слое с жестко закрепленными гранями;

г) задача о продольной трещине со скользящей заделкой граней;

д) задача о продольной трещине со свободными гранями.

2. Изучен характер особенности вблизи точек смены граничных условий. Построены аналитические асимптотические решения для ранее не исследованных задач по методу больших и малых X. Для промежуточных значений относительных толщин получены приближенные численные решения при помощи модифицированного метода Мультоппа-Каландии.

3. Решен ряд конкретных примеров в случае различных значений параметров начального нагружения, позволяющий получить представление об общем характере зависимости напряженно-деформированного состояния от начального нагружения.

Анализируя численные результаты, можно сделать вывод, что для контактных задач наличие начальных растягивающих напряжений приводит к снижению контактных давлений, обеспечивающих внедрение штампа на заданную глубину, и, наоборот, начальное сжатие слоя приводит к их увеличению.

В случае слоя с закрепленными гранями, ослабленного продольной трещиной, начальные напряжения приводят к росту концентраций напряжений вблизи кончика трещины. Тогда как характер распределения напряжений в слое со свободными гранями совершенно иной. Здесь предварительное растяжение приводит к снижению коэффициентов интенсивности напряжений.

Необходимо отметить, что для сжимаемого и несжимаемаого материалов не наблюдается принципиальных различий в характере зависимости напряженно-деформированного состояния от начального нагружения.

Список цитируемой литературы

1. Griffith A. A. The phenomenon of rupture and flow in solids, Phil. Trans. Roy.Soc.A221. 1920, pp. 163-198.

2. ГузьА. H. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. Киев: Наукова думка, 1983.296 с.

3. Гузь А. Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Т. 1. Общие вопросы. Киев: Наук, думка. 1986.280 с.

4. Гузь А. Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Т. 2. Закономерности распространения. Киев: Наук, думка. 1986.536 с.

5. Гузь А. Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. Киев: Наук, думка. 1971.276 с.

6. ГузьА. Н., Рудницкий В. Б. Основы контактного взаимодействия упругих тел с начальными (остаточными) напряжениями. Хмельницкий. 2006.710 с.

7. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. Наука, 1980.

Список публикаций по теме диссертации

1. Александров В. М., Костырева Л. А. Плоская контактная задача для преднапряженного несжимаемого упругого слоя // ПММ, 2009. Т. 73. Вып. 6. С. 977-982.

2. Костырева Л. А. Плоская контактная задача и задача о трещине для преднапряженного упругого слоя // Экологический вестник научных центров ЧЭС, 2009, № 3, с. 56-63.

3. Костырева Л. А. Продольная трещина в преднапряженном физически нелинейном упругом слое со свободными гранями И ПММ. 2009. Т. 74. Вып. 6. С. 1068-1072.

4. Александров В. М., Костырева Л. А. Плоская контактная задача для преднапряженного упругого слоя // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. - М.: Изд-во Московского университета, 2008 - С. 19.

5. Александров В. М., Костырева Л. А. Об одном интегральном уравнении, встречающемся в ряде задач механики контактных взаимодействий // Современные проблемы механики сплошной среды. Научная конференция. Тезисы докладов. - Ростов-на-Дону, Изд-во ЮФУ, 2010. -С. 8.

6. Александров В. М., Костырева Л. А. Продольная трещина в преднапряженном несжимаемом упругом слое с шарнирно опертыми гранями // Сб. «Упругость и неупругость». М.: Издательство Московского университета, 2011. С.287-291.

Костырева Лилия Александровна

КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ ДЛЯ ПРЕДНАПРЯЖЁННЫХ УПРУГИХ ТЕЛ

Автореферат

Подписано в печать: 13.05.11

Объем: 1,5 усл.п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 769735 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, пр-т Вернадского,39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru

Введение.

Глава 1. Основные положения линеаризованной теории упругости.

1.1 Основные соотношения нелинейной теории упругости.

1.2 Линеаризация соотношений теории упругости для тел с начальными напряжениями.

Глава 2. Контактные задачи для предварительно напряженного упругого слоя.

2.1 Контактная задача для предварительно напряженного сжимаемого упругого слоя, лежащего без трения на жестком основании.

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Сведение задачи к интегральному уравнению.

2.1.3 Асимптотическое решение при большой относительной толщине слоя

2.1.4 Асимптотическое решение при малой относительной толщине слоя.

2.1.5 Приближенное численное решение по методу Мультоппы-Каландии.

2.2 Контактная задача для предварительно напряженного сжимаемого упругого слоя с закрепленной нижней гранью.

2.2.1 Сведение задачи к интегральному уравнению.

2.2.2 Асимптотическое решение при большой относительной толщине слоя

2.2.3 Асимптотическое решение при малой относительной толщине слоя.

2.2.4 Приближенное численное решение по методу Мультоппы-Каландии.

2.3 Контактная задача для предварительно напряженного несжимаемого упругого слоя, лежащего без трения на жестком основании.

2.3.1 Постановка задачи.

2.3.2 Сведение задачи к интегральному уравнению.

2.3.3 Асимптотическое решение при большой относительной толщине слоя

2.3.4 Асимптотическое решение при малой относительной толщине слоя.

2.3.5 Приближенное численное решение по методу Мультоппы-Каландии.

2.4 Контактная задача для предварительно напряженного несжимаемого упругого слоя с закрепленной нижней гранью.

2.4.1 Сведение задачи к интегральному уравнению.

2.4.2 Асимптотическое решение при большой относительной толщине слоя

2.4.3 Приближенное численное решение по методу Мультоппы-Каландии.

Глава 3. Задачи механики разрушения для предварительно напряженного упругого слоя.

3.1 Задача о трещине для сжимаемого упругого слоя с начальными напряжениями с шарнирно опертыми гранями.

3.1.1 Постановка задачи.

3.1.2 Сведение задачи к интегральному уравнению.

3.1.3 Асимптотическое решение при большой относительной толщине слоя

3.1.4 Асимптотическое решение при малой относительной толщине слоя.

3.1.5 Модифицированный метод Мультоппа-Каландии.

3.2 Задача о трещине для сжимаемого упругого слоя с начальными напряжениями со свободными гранями.

3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Сведение задачи к интегральному уравнению.

3.2.3 Асимптотическое решение при большой относительной толщине слоя

3.2.4 Асимптотическое решение при малой относительной толщине слоя.

3.2.5 Модифицированный метод Мультоппа-Каландии.

3.3 Задача о трещине для сжимаемого упругого слоя с начальными напряжениями с жестко закрепленными гранями.

3.3.1 Постановка задачи.

3.3.2 Сведение задачи к интегральному уравнению.

3.3.3 Асимптотические решения при большой относительной толщине слоя

3.3.4 Асимптотическое решение при малой относительной толщине слоя.

3.3.5 Модифицированный метод Мультоппа-Каландии.

3.4 Продольная трещина в предварительно напряженном несжимаемом упругом слое с шарнирно опертыми гранями.

3.4.1 Постановка задачи.

3.4.2 Сведение задачи к интегральному уравнению.

3.4.3 Асимптотические решения при большой относительной толщине слоя

3.4.4 Асимптотическое решение при малой относительной толщине слоя.

3.4.5 Модифицированный метод Мультоппа-Каландии.

3.5 Продольная трещина в предварительно напряженном несжимаемом упругом слое со свободными гранями.

3.5.1 Постановка задачи.

3.5.2 Сведение задачи к интегральному уравнению.

3.5.3 Асимптотические решения при большой относительной толщине слоя

3.5.4 Асимптотическое решение при малой относительной толщине слоя.

3.5.5 Модифицированный метод Мультоппа-Кал андии.

Во всех реальных конструкциях и деталях машин практически всегда существуют начальные или остаточные напряжения. Причины их возникновения могут быть совершенно различными. Зачастую начальные напряжения в деталях и конструкциях создаются специально при их изготовлении или сборке. Также они могут появляться в процессе эксплуатации как под влиянием механических факторов, таких как необратимые пластические деформации, так и по причинам, носящим немеханический характер (локальное изменение агрегатного состояния, физико-химические процессы и структурные изменения в материале). Наконец, начальные напряжения могут быть обусловлены постоянным действием массовых (например, гравитационных) сил.

Наличие начальных напряжений сказывается на всем напряженно деформированном состоянии тел, поэтому может влиять на прочность конструкций, приводить к внутренней потере устойчивости, способствовать локальному разрушению материала и пр. Учет остаточных напряжений при расчете элементов конструкций, машин и сооружений позволит при их создании более эффективно учесть прочностные ресурсы материалов путем правильной оценки запасов прочности и существенно понизить их материалоемкость, сохраняя нужные функциональные характеристики в целом.

Более полное представление о влиянии начальных напряжений и важности их учета можно почерпнуть из источников [60-63].

В настоящее время в технике для улучшения прочностных свойств деталей, возможности их использования в условиях повышенных температур или в присутствии агрессивных сред широко применяются различные покрытия. Поскольку такие детали зачастую являются ответственными элементами конструкций, чье разрушение может привести к катастрофическим последствиям, необходима их регулярная диагностика. В теоретическом плане эта проблема может быть сведена к рассмотрению задач о предварительно напряженном бесконечном слое со смешанными граничными условиями.

Аналогичные задачи могут возникать и при расчете тяжелых фундаментных плит и строительных перекрытий, находящихся в поле действия гравитационных сил [29].

Характерной особенностью таких задач является то, что в математическом плане они в основном являются задачами со смешанными граничными условиями (контактными задачами) для сжимаемых и несжимаемых тел при однородных начальных состояниях и, как правило, сводятся к решению интегральных уравнений.

Основополагающими в теории смешанных задач были исследования Г. Герца [3, 4], Я. Буссинеска [1], С. А. Чаплыгина [101]. В дальнейшем развивались методы их решения, основанные на теории функций комплексного переменного, разработанные Н. И. Мусхелишвили и его последователями. Эти методы базируются на использовании конформных отображений и теории сингулярных интегральных уравнений. Результаты работ этого периода освещены в монографиях Н. И. Мусхелишвили [78], И. Я. Штаермана [105], Л. А. Галина [45], А. И. Лурье [75], И. Снеддона [90], С. Г. Михлина [76], В. И. Довноровича [66], Я. С. Уфлянда [91]. Подробные обзоры проведены Д. И. Шерманом [103, 104], Н. А. Кильчевским и Э. Н. Костюком [70].

Более активные исследования задач механики со смешанными граничными условиями приходятся на вторую половину прошедшего столетия. В этот период развиваются несколько основных направлений. В одном из них задача сводится к парным или тройным функциональным уравнениям (рядам, интегральным уравнениям), которые затем преобразуются к интегральному уравнению Фредгольма П рода. К этому направлению можно отнести работы Н. Н. Лебедева, Я. С. Уфлянда, И. И. Воровича, Ю. А. Устинова и др.

Второе, развиваемое Н. X. Арутюняном, Б. Л. Абрамяном, А. А. Баблояном, С. М. Мхитаряном, Г. М. Валовым и др., характеризуется непосредственным сведением краевых задач к некоторой бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. ^

Исследователи третьего направления (А. И. Лурье, П. И. Клубин, Г. Я. Попов, Н. А. Ростовцев, В. М. Александров и др.) сводят задачу к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений путем разложения решения в ряд по специальным системам ортогональных полиномов.

Еще одно направление основано на идее коллокации (И. Я. Штаерман,

A. И. Каландия, И. И. Ворович, В. М. Александров, В. В. Копасенко,

B. М. Фридман, В. С. Чернина и др.) В этом случае искомые величины обычно аппроксимируются конечным набором параметров, которые определяются из известных требований, накладываемых граничными условиями.

Часть исследований, проведенных по первому направлению, изложена в монографии Я. С. Уфлянда [91]. Обзоры работ по всем четырем направлениям были даны Б. Л. Абрамяном и А. Я. Александровым [8], Б. Л. Абрамяном [7].

Дальнейшее развитие теории задач со смешанными граничными условиями происходило по пути усложнения как рассматриваемых областей (полоса, слой, клин, цилиндр, тела конечных размеров) [15], так и свойств исследуемых материалов (анизотропия, вязкоупругость, пластичность). В отдельные области можно выделить исследования по трибологии (Горячева И. Г., Коваленко Е. В.) и динамические задачи (Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В.). Наконец, постоянное повышение требований к точности расчета конструкций привело к необходимости учета начальных (остаточных) напряжений в телах. Наиболее полное представление о результатах работ последнего периода по проблемам смешанных (контактных) задач можно получить из обзорного труда [40].

Исследования влияния начальных (остаточных) напряжений стали активно проводиться в нашей стране и за рубежом лишь в конце XX столетия. Необходимо отметить, что в общем случае, строгая постановка таких задач требует привлечения аппарата нелинейной теории упругости [74, 80], что сильно затрудняет построение аналитических решений. Однако, при условии больших начальных напряжений (деформаций) можно ограничиться рассмотрением линеаризованной теории упругости [55, 63].

Первые работы по контактным задачам для преднапряженных тел посвящены взаимодействию упругих тел с жесткими штампами для классических областей типа полуплоскости и полупространства. Причем рассматриваются либо упругие потенциалы конкретной довольно простой формы (Трелоара, Муни и др.) [95], либо задача ставится в общем виде для сжимаемых и несжимаемых тел с потенциалом произвольной структуры [34, 35].

Изучение более сложных задач стало возможно благодаря развитию подходов к исследованию смешанных краевых задач теории упругости и методов решения интегральных уравнений. Одним из наиболее эффективных подходов для материалов с произвольным видом упругого потенциала и однородной начальной деформацией является подход, предложенный А. Н. Гузем [50, 51, 53]. Он основан на использовании теории функций комплексного переменного для плоских задач [50, 51] и теории потенциала (интегральных преобразований, интегральных уравнений) для пространственных задач. Этот подход был развит в работах А. Н. Гузя, С. Ю. Бабича, Ю. П. Глухова, В. И. Кнюха, В. М. Назаренко, В. Б. Рудницкого и др. [32-36, 49-51, 53, 54, 64]

Не менее эффективным оказался подход, основанный на асимптотических методах решения интегральных уравнений, используемый в настоящей работе. Асимптотический метод, позднее названный «методом больших Л» был предложен для решения смешанных задач теории упругости в работах И. И. Воровича, Ю. А. Устинова [42].

В дальнейшем «метод больших Л» применялся в широком круге плоских и пространственных контактных задач и задач механики разрушения.

В работе [11] В.М.Александровым была построена логарифмически-степенная асимптотика, позволившая использовать данный метод для целого круга новых задач. Сюда можно отнести смешанные задачи, изложенные в работах [9,15-18, 24, 25, 72, 73, 84].

Поскольку по своей природе «метод больших Л» имеет ограниченную область применимости, возникла необходимость построения другого асимптотического метода, позволяющего находить решения интегральных уравнений для малых значений определяющего параметра. Он получил название «метода малых Л». Такое построение было дано В. М. Александровым [11] и несколько позже Койтером [6]. В его основе лежит метод Винера-Хопфа [79] и идея приближенной факторизации Койтера [5]. Данный метод получил широкое применение. Изложение этих методов применительно к полосе и слою можно найти в [9, 15-19, 31, 40, 41].

При помощи этих методов удалось решить ряд новых задач. Общая постановка плоских контактных задач для полупространства и слоя из несжимаемого материала, подверженных одновременному действию сил тяжести и однородных начальных напряжений, ориентированных вдоль границы, предложена в работе В. М. Александрова и Н. X. Арутюняна [12]. В ней проведен анализ поверхностной устойчивости среды и влияния начальных напряжений на контактную жесткость. Решения аналогичных задач для потенциалов конкретной структуры представлены в [13, 14, 44, 43, 21, 22, 85, 86, 28].

Контактные задачи для преднапряженных полуплоскости и полосы из сжимаемого материала были рассмотрены в [68, 24, 26, 87-89].

Изучению контактного взаимодействия штампов (бандажа) с предварительно нагруженным телом (цилиндром) конечных размеров посвящен ряд работ Л. М. Филипповой, А. Н. Цветкова, М. И. Чебакова [98-100].

Влияние начальных напряжений на контактное взаимодействие тел с учетом износа исследовалось в [93].

К исследованиям по контактному взаимодействию упругих тел тесно примыкают задачи теории трещин. Они относятся к теории механики разрушений, основы которой были заложены в работах А. Гриффитса [2]. На протяжении многих лет разрабатывались различные подходы к решению задач механики разрушений: использующие теорию функции комплексного переменного (Н. И. Мусхелишвили); привлекающие теорию упруго-пластических деформаций; основанные на различных феноменологических гипотезах. К наиболее важным работам по механике разрушения можно отнести исследования Г. П. Черепанова [102], В. 3. Партона, Е. М. Морозова [83], В. 3. Партона [82], В. В. Панасюка [81], Б. Билби, Дж. Эшелби [39], Г. И. Баренблатга [37], Дж. Гудьера [48] и В. Д. Клюшникова [71]. По своей природе задачи теории трещин являются задачами со смешанными граничными условиями, поэтому богатейшие средства, развитые в механике контактных взаимодействий, с успехом применяются и в этой области механики сплошных сред.

Различные аспекты влияния начальной деформации на напряженно-деформированное состояние тела, ослабленного трещиной, рассматривались в [30, 28, 69, 67, 92, 96, 97, 17, 25, 26, 27]. Большой цикл работ в этих направлениях выполнили А. Н. Гузь [52, 53, 56, 57, 58, 59] и его ученики В. И. Кнюх, В. М. Назаренко [64] и др.

Надо отметить, что в этих работах задача сводилась к решению интегральных уравнений с нерегулярными разностными ядрами. Структура этих уравнений совпадала со структурой соответствующих уравнений классической теории упругости. Однако символы ядер уравнений существенным образом зависели от параметров начального нагружения. И, как следствие, при стыковке решений, построенных при помощи методов «больших» и «малых Я», величина определяющего параметра Л*, при которой стыкуются эти методы, также сильно зависела от начального состояния материала.

Наиболее полное представление о последних исследованиях в области контактных взаимодействий тел с начальными напряжениями можно получить из обзорной статьи Т. И. Белянковой, Л. М. Филипповой [38]. Широкому кругу вопросов механики преднапряженных деформируемых тел посвящена многотомная монография А. Н. Гузя, включающая в себя теорию контактных взаимодействий [65], исследования по механике разрушений [53, 52] и устойчивости тел с остаточными напряжениями [62], динамические задачи [60, 61].

В настоящей работе рассматривается круг плоских задач для упругого преднапряженного слоя из сжимаемого и несжимаемого материалов с упругими потенциалами конкретного вида (потенциал гармонического типа для с сжимаемого материала и потенциал Муни для несжимаемого). Исследуются вопросы контактного взаимодействия слоя с жесткими штампами и задачи о поведении слоя при наличии ослабляющих трещин.

Целью настоящей работы является изучение влияния начальных напряжений на напряженно-деформированное состояние упругого слоя, охватывающее физически корректные постановки соответствующих задач следующих типов: а) контактная задача для слоя, закрепленного по нижней грани; б) контактная задача для слоя, опирающегося без трения на жесткое основание; в) задача о продольной трещине в слое с жестко закрепленными гранями; г) задача о продольной трещине со скользящей заделкой граней; д) задача о продольной трещине со свободными гранями.

В качестве основного результата необходимо получить зависимости некоторых интегральных характеристик, таких как контактное давление и коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещины, от параметров, характеризующих начальное состояние среды.

Заключение

В работе изучены плоские задачи для упругого преднапряженного слоя из сжимаемого и несжимаемого материалов с упругими потенциалами конкретного вида (потенциал гармонического типа для сжимаемого материала и потенциал Муни для несжимаемого), включающие в себя постановки следующих типов: а) контактная задача для слоя, закрепленного по нижней грани; б) контактная задача для слоя, опирающегося без трения на жесткое основание; в) задача о продольной трещине в слое с жестко закрепленными гранями; г) задача о продольной трещине со скользящей заделкой граней; д) задача о продольной трещине со свободными гранями.

Изучен характер особенности вблизи точек смены граничных условий. Построены аналитические асимптотические решения для ранее не исследованных задач по методу больших и малых Я. Для промежуточных значений относительных толщин получены приближенные численные решения при помощи модифицированного метода Мультоппа-Каландии.

Решен ряд конкретных примеров в случае различных значений параметров начального нагружения, позволяющий получить представление об общем характере зависимости напряженно-деформированного состояния от начального нагружения.

Числовые значения таких безразмерных интегральных характеристик, как контактное давление и коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещины, представлены на графиках и сведены в таблицы (см. Приложение)

Анализируя численные результаты, можно сделать вывод, что для контактных задач наличие начальных растягивающих напряжений приводит к снижению контактных давлений, обеспечивающих внедрение штампа на заданную глубину, и, наоборот, начальное сжатие слоя приводит к их увеличению.

В случае слоя с закрепленными гранями, ослабленного продольной трещиной, начальные напряжения приводят к росту концентраций напряжений вблизи кончика трещины. Тогда как характер распределения напряжений в слое со свободными гранями совершенно иной. Здесь предварительное растяжение приводит к снижению коэффициентов интенсивности напряжений.

Необходимо отметить, что для сжимаемого и несжимаемаого материалов не наблюдается принципиальных различий в характере зависимости напряженно-деформированного состояния от начального нагружения.

1. Boussinesque J., Applications des potentiels à l'étude de l'équilibre et du mouvement de solides élastiques. Paris, 1885.

2. Griffith A. A. The phenomenon of rupture and flow in solids, Phil. Trans. Roy. Soc. A221. 1920, pp. 163-198.

3. Hertz H., Gesammelts Werks; 1 1, 1895.

4. Hertz H., Über die Beruhrung fester elastischer Korper. Journal fur die reine und angewandte Mathematik, Grelle, 92, 1882.

5. Koiter W. T. Approximate solution of Wiener-Xopf type integral equations. With applications Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap. Proc. 1954.

6. Koiter W. T. Solution of some élasticité problems by asymptotic methods. В сб. «Приложение теории функций в механике сплошной среды». Т. 1. Наука. 1965.

7. Абрамян Б. Л. Контактные (смешанные) задачи теории упругости // МТТ. 1969. № 4.

8. Абрамян Б. Л., Александров А. Я. Осесимметричная задача теории упругости // НИИМАШ. Москва. 1969.

9. Александров В. М. Асимптотическое решение плоской контактной задачи для упругой полосы из несжимаемого материала. Сб. «Проблемы механики». М.: Физматлит. 2003. 230 с.

10. Александров В. М., К решению некоторых смешанных задач теории упругости // ПММ, 1963, т. 27, вып. 5.

11. Александров В. М. Осесимметричная задача о действии кольцевого штампа на упругое полупространство // МТТ. 1967. № 4.

12. Александров В. М., АрутюнянН. X. Контактные задачи для преднапряженных деформируемых тел // Прикл. мех. 1984. Т. 20. № 3. С. 916.

13. Александров В. М, Брудный С. Р. Две задачи со смешанными граничными условиями для несжимаемого изотропного гиперупругого материала // ПММ. 1982. Т. 46. Вып. 4. С. 700-704.

14. Александров В. М, Воротынцева И. В. Осесимметричные контактные задачи для преднапряженных деформируемых тел // ПМТФ. 1990. №3. С. 146-153.

15. Александров В. М., Коваленко Е. В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 334 с.

16. Александров В. М., Костырева Л. А. Плоская контактная задача для преднапряженного несжимаемого упругого слоя // ПММ, 2009. Т. 73. Вып. 6. С. 977-982.

17. Александров В. М., Костырева Л. А. Продольная трещина в преднапряженном несжимаемом упругом слое с шарнирно опертыми гранями // Сб. «Упругость и неупругость». М.: Издательство Московского университета, 2011. С.287-291.

18. Александров В. М., Кудиш И. И. Асимптотические методы в задаче Гриффитса // ПММ. 1989. Т. 53, вып. 4.

19. Александров В. М., Мхитарян С. М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1983. 488 с.

20. Александров В. М., Пожарский Д. А. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. М.: Изд-во «Факториал». 1998. 228 с.

21. Александров В. М, ПорошинВ. С. Контактная задача для предварительно напряженного физически нелинейного упругого слоя // Изв. Ан СССР. МТТ. 1984. № 6. С. 79-85.

22. Александров В. М, ПорошинВ. С. Контактная задача для преднапряженного физически нелинейного упругого слоя, имеющего постоянный коэффициент Пуассона // Трение и износ. 1991. Т. 12. №4. С. 604-609.

23. Александров В. М., Ромалис Б. Л. Контактные задачи в машиностроении. М.: Машиностроение, 1986. 174 с.

24. Александров В. М., Серов М. В. Плоская контактная задача для преднапряженного упругого слоя // Экологический вестник научных центров ЧЭС, 2006, №1,с. 7-14.

25. Александров В. М., Серов М. В. Преднапряженный упругий слой с защемленными гранями, ослабленный продольной трещиной // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион, 2006, № 1, с. 27-30.

26. Александров В. М., Сметанин Б. И. Продольная трещина в преднапряженном тонком упругом слое со свободными границами // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 1. С. 150-159.

27. Александров В. М., Сметанин Б. И., Соболь Б. В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Наука, 1993. 224 с.

28. Александров В. М., Соболь В. В. Равновесие предварительно напряженного упругого тела, ослабленного плоской эллиптической трещиной // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 2. С. 348-352.

29. Александров В. М, Филиппова Л. М. Контактная задача для тяжелой полуплоскости // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 3. С. 483-489.

30. Александров В. М., Филиппова Л. М. Прямолинейная трещина в предварительно напряженном упругом теле // Изв. АН СССР. МТТ, 1984. №84.

31. Александров В. М., ЧебаковМ. И. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости. М.: Физматлит, 2004. 304 с.

32. Бабич С. Ю. Контактная задача теории упругости для слоя с начальными напряжениями // Прикл. механика. 1984. Т. 20. № 6. С. 34-40.

33. Бабич С. Ю. О контактных задачах для предварительно напряженной полуплоскости с учетом сил трения // Докл. АН УССР. Сер. А. 1980. № 2. С. 21-24,

34. Бабич С. Ю., Гузь А. Н. Общая пространственная статическая контактная задача для предварительно напряженного упругого полупространства // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 3. С. 438-444.

35. Бабич С. Ю., Гузь А. Н. Пространственные контактные задачи для упругого полупространства с начальными напряжениями // Докл. АН УССР. Сер. А. 1981. №9. С. 35-39,

36. Бабич С. Ю., Рудницкий В. Б. Некоторые плоские контактные задачи предварительно напряженного слоя // Прикл. механика. 1989. Т. 25. № 1. С. 93-100.

37. БаренблаттГ. И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении // ПМТФ, 1961. № 4.

38. Белянкова Т. И., Филиппова Л. М. Статические контактные задачи для тел с начальными напряжениями // Сб. «Механика контактных взаимодействий» М.: Физматлит, 2001. С.233-242.

39. Билби Б., Эшелби Дж. Дислокации и теория разрушения // Разрушение. М.: Мир, 1973. Т. 1.

40. Ворович И. И., Александров В. М. Механика контактных взаимодействий. М.: Физматлит, 2001. 672 с.

41. Ворович И. И., Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974, 456 с.

42. Ворович И. И., Устинов Ю. А., О давлении штампа на слой конечной толщины //ПММ. 1959. Т. 23, вып. 3.

43. Воротынцева И. В. Плоские контактные задачи для физически нелинейной преднапряженной упругой среды //ПММ. 1986. Т. 22. Вып. 4. С. 657-662.

44. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1953.

45. Галин Л. А. Развитие теории контактных задач в СССР. М.: Наука, 1976. 493 с.

46. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

47. Гудьер Дж. Математическая теория равновесных трещин // Разрушение. М.:Мир, 1975. Т. 2.

48. Гузъ А. Н. К теории контактных задач для упругих несжимаемых тел с начальными напряжениями // Докл. АН УССР. Сер. А. 1980. № 7. С. 42-45.

49. Гузь А. Н. Комплексные потенциалы плоской линеаризованной задачи теории упругости (сжимаемые тела) // Прикл. механика. 1980. Т. 16. № 5. С. 72-83.

50. Гузь А. Н. Комплексные потенциалы плоской линеаризованной задачи теории упругости (несжимаемые тела) // Прикл. механика. 1980. Т. 16. № 6. С. 64-70.

51. Гузь А. Н. Механика разрушения композитных материалов при сжатии. Киев: Наукова думка, 1990.

52. Гузь А. Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. Киев: Наукова думка, 1983. 296 с.

53. Гузь А. Н. О контактных задачах для упругих сжимаемых тел с начальными напряжениями // Докл. АН УССР. Сер. А. 1980. № 6. С. 48-52.

54. Гузь А. Н. О линеаризованных задачах теории упругости // Прикл. механика. 1970. Т. 6, № 2. С. 43.

55. Гузь А. Н. О порядке особенности в кончике трещины в материалах с начальными напряжениями // Докл. АН СССР. 1986. 289, № 2. - С. 310 -312.

56. Гузь А. Н. Об исследовании внутренней неустойчивости деформируемых тел // Прикл. механика. 1987. Т. 23, № 2. С. 24 38.

57. Гузь А. Н. Теория трещин в телах с начальными напряжениями (высокоэластичные материалы) // Прикл. математика. 1951. Т. 17, № 2. С. 11-21.

58. Гузь А. Н. Теория трещин в упругих телах с начальными напряжениями (постановка задач, трещины отрыва) // Прикл. мех. 1980. Т. 16. № 12. С. 3-14.

59. Гузь А. Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Т. 1. Общие вопросы. Киев: Наук, думка. 1986. 280 с.

60. Гузь А. Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Т. 2. Закономерности распространения. Киев: Наук, думка. 1986. 536 с.

61. Гузь А. Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. Киев: Наук, думка. 1971.276 с.

62. Гузь А. Н., Рудницкий В. Б. Основы контактного взаимодействия упругих тел с начальными (остаточными) напряжениями. Хмельницкий. 2006. 710 с.

63. Гузь А. Н., Кнюх В. И., Назаренко В. М. Пространственная осесимметричная задача о разрушении материала с двумя дискообразными трещинами при сжатии вдоль трещин // Прикл. механика. 1984. Т. 20. № 11. С. 3-20.

64. Гузь А. Н., Рудницкий В. Б. Основы теории контактного взаимодействия упругих тел с начальными (остаточными) напряжениями. Хмельницкий, 2006. 710 с.

65. ДовноровичВ. И. Пространственные контактные задачи теории упругости. Изд-во БГУ, Минск, 1959.

66. Зеленцов В. Б., Пузанов Ю. Е. Об эффективном методе решения интегральных уравнений задач теории трещин // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1989. № 3. С. 16-32.

67. Зеленцов В. Б., Филиппова JI. М. Контактные задачи для предварительно напряженных полуплоскости и полосы // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. №2. С. 73-76.

68. Зеленцов В. Б., Филиппова JI. М. Трещина на границе раздела предварительно напряженных упругих сред // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 5. С. 830-836.

69. Кильчевский Н. А., Костюк Э. И. О развитии в XX веке теории контактных взаимодействий между твердыми телами. ПМ, 1966, т. 2.

70. Клюшников В. Д. Физико-математические основы прочности и пластичности. М.: Изд-во МГУ. 1994. 189 с.

71. Костырева JI. А. Плоская контактная задача и задача о трещине для преднапряженного упругого слоя // Экологический вестник научных центров ЧЭС, 2009, № 3, с. 56-63.

72. Костырева Л. А. Продольная трещина в преднапряженном физически нелинейном упругом слое со свободными гранями // ПММ. 2009. Т. 74. Вып. 6. С. 1068-1072.

73. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. Наука, 1980.

74. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955. 491 с.

75. Михлин С. Г. Интегральные уравнения. Гостехиздат, 1949.

76. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.

77. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Физматгиз, 1966.

78. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. М.: ИЛ, 1962. 280 с.

79. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.

80. ПанасюкВ. В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1968.

81. Партон В. 3. Механика разрушения. М.: Физматлит. 1990. 239 с.

82. Партон В. 3., Морозов Е. М. Механика упругопластического разрушения. М.: ФМЛ. 1985. 505 с.

83. Попов Г. Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 344 с.

84. ПорошинВ. С. Вдавливание штампа в преднапряженный физически нелинейный упругий слой // Изв. АН АрмССР. Механика. 1986. Т. 39. № 2.• С. 24-30.

85. Порошин В. С. О контактной задаче для сжимаемых упругопластических тел // Трение и износ. 1986. Т. 7. № 6. С. 1123-1127.

86. Рудницкий В. Б. Влияние начальных напряжений в слое на контактное давление при взаимодействии с цилиндрическим штампом // Прикл. механика. 1987. Т. 23. № 8. С. 11-19.

87. Рудницкий В. Б. Контактное взаимодействие предварительно напряженного слоя с двумя упругими штампами // Докл. АН УССР. Сер. А. 1987. №2. С. 56-61.

88. Рудницкий В. Б. Решение контактной задачи для предварительно напряженного слоя и штампа // Прикл. механика. 1987. Т. 23. № 3. С. 14-21.

89. Снеддон И. Преобразования Фурье. ИЛ, 1955.

90. УфляндЯ. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1967.

91. Филиппова Л. М. О влиянии начальных напряжений на раскрытие круговой трещины // ПММ. 1983. Т. 47. Вып. 2. С. 286-290.

92. Филиппова Л. М. Осесимметричная контактная задача для предварительно напряженного упругого тела при наличии износа // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1992. № 1-2. С. 31-35.

93. Филиппова Л. М. Плоская контактная задача для предварительно напряженного упругого тела // Изв. АН СССР. МТТ, 1973. № 3.

94. Филиппова Л. М. Пространственная контактная задача для предварительно напряженного упругого тела // ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 6. С. 1080-1084.

95. Филиппова Л. М. Распределение напряжений вблизи кромки трещины в предварительно напряженном упругом теле // ПММ. 1986. Т. 50. Вып. 2. С. 320-327.

96. Филиппова Л. М. Устойчивость сжатого упругого слоя, ослабленного круговой трещиной // ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 2. С. 327-330.

97. Филиппова Л. М., Цветков А. Н., ЧебаковМ. И. Взаимодействие жесткого бандажа с предварительно напряженным упругим цилиндром // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. № 5. С. 51-56.

98. Филиппова Л. М., Цветков А. Н., Чебаков М. И. Плоская контактная задача для предварительно напряженного состояния тела прямоугольного сечения //Прикл. мех. 1990. Т. 26. № 12. С. 81-89.

99. Филиппова Л. М., ЧебаковМ. И. Контактная задача для предварительно напряженного конечного цилиндра // Изв. АН СССР. МТТ. 1988. № 2. С. 62-69.

100. Чаплыгин С. А. Давление жесткого штампа на упругое основание. Собрание сочинений, т. 3, Гостехиздат, 1950.

101. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.

102. Шерман Д. И. Метод интегральных уравнений в плоских пространственных задачах статической теории упругости. Труды Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Наука, 1962.

103. Шерман Д. И. Основные плоские контактные задачи (смешанные задачи) статической теории упругости. В сб. «Механика в СССР за 30 лет». Гостехиздат, 1950.

104. Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости. М.: Гостехиздат, 1949. 270 с.