Моделирование взаимодействия теплопроницаемых трещин в упругой двухкомпонентной среде под действием тепловых нагрузок тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Ордян Микаел Гарегинович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТЕПЛОПРОНИЦАЕМЫХ ТРЕЩИН В УПРУГОЙ ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ СРЕДЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ТЕПЛОВЫХ НАГРУЗОК

Специальность: 01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 Ш

Воронеж-2009

003482886

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Воронежский государственный университет»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, ст.н.с. Петрова Вера Евгеньевна

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Пеньков Виктор Борисович

доктор технических наук, профессор Вервейко Николай Дмитриевич

Ведущая

Институт проблем механики РАН

организация:

Защита диссертации состоится 2 декабря 2009 г. в 14-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.038.24 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская площадь, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан«? 8 октября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Махортов С.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблемы термоупругости в двухсвязных телах, ослабленных системой трещин, и находящихся под действием тепловых нагрузок, часто возникают в различных технических задачах. Наличие границы соединения материалов с разными коэффициентами теплопроводности приводит к появлению существенной неоднородности в распределении температурных полей вблизи границы, а присутствие различных дефектов - трещин вносит дополнительный вклад в эту неоднородность. Неоднородность тепловых полей порождает неоднородность деформаций и напряжений в двухсвязных материалах, что, в свою очередь, может быть причиной появления новых дефектов и распространения уже имеющихся. Поэтому исследование влияния взаимодействия неоднородностей в форме теплопроницаемых трещин и границ раздела материалов под действием тепловых нагрузок на распределение тепловых полей и деформаций является актуальным научным направлением в современной механике разрушения.

Основным методам решения задач теории трещин в механике разрушения посвящены работы В.В. Панасюка, Н.Ф. Морозова, В.П. Тамужа, Е.М. Морозова, A.M. Линысова, а также зарубежных авторов В. Karihaloo, Y.Z. Chen и др. Взаимодействию трещин в упругой среде под действием тепловых нагрузок посвящены исследования М.П. Саврука, В.Е. Петровой, К. Herrmann, Г.С. Кита и др.

Данная работа посвящена несвязанной термоупругой задаче о взаимодействии трещин в двухкомпонентном материале (биматериале), находящемся под действием теплового потока, приложенного на бесконечности, или под влиянием теплового источника, действующего в некоторой точке биматериала.

Ранее, в работах М.П. Саврука получены сингулярные интегральные уравнения для тела с системой термоизолированных трещин под действием тепловых нагрузок. Для случая двух далеко расположенных трещин получено асимптотическое решение в виде ряда по малому параметру, который равен отношению длины трещины к расстоянию между их центрами. В работах В.Е. Петровой, К. Herrmann исследованы задачи термоупругости для системы термоизолированных трещин в биматериале под действием теплового потока или теплового источника. Получены системы сингулярных интегральных уравнений для задачи взаимодействия внутренних дефектов с межфазной трещиной. В случае, когда размер внутренних трещин значительно меньше размера межфазной трещины, получены асимптотические аналитические решения методом малого параметра.

В данной работе использовалась модель частично теплопроницаемых трещин. Такая модель позволяет изучать влияние дефектов материала (например, трещин), теплофизических свойств этих дефектов, а также свойств материалов на распределение тепловых потоков в биматериале.

Целью работы является разработка математической модели взаимодействия системы произвольно расположенных теплопроницаемых трещин в двухкомпонентных материалах под действием тепловых нагрузок для дальнейшего исследования влияния трещин на прочность границы раздела материалов. Для достижения данной цели были подставлены следующие задачи:

- сформулировать краевые задачи для изучаемых объектов: для задачи теплопроводности и задачи термоупругости;

- построить комплексные потенциалы задачи;

- построить системы сингулярных интегральных уравнений для сформулированных задач;

- получить асимптотическое аналитическое решение построенных систем сингулярных уравнений для нахождения функций скачков температур и разрывов смещений на линиях трещин;

- получить асимптотические аналитические выражения для коэффициентов интенсивности теплового потока и напряжений, а также для критического теплового потока в вершинах трещин.

Методика исследования. Представленные в диссертации исследования опираются на теорию функций комплексной переменной и свойства аналитических функций, на теорию упругих комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили, аналитический метод решения систем сингулярных интегральных уравнений (асимптотический метод малого параметра).

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем:

а) построены и решены системы сингулярных интегральных уравнений задач теплопроводности и термоупругости о взаимодействии трещин в упругом биматериале под действием тепловых нагрузок. Использовалась модель частично теплопроницаемых трещин;

б) получены асимптотические аналитические выражения для производных функции скачка температур и разрывов смещений на линиях трещин с точностью до второго приближения малого параметра;

в) получено асимптотическое аналитическое выражение для коэффициентов интенсивности теплового потока и напряжений, а также критического теплового потока в вершинах трещин.

Теоретическая и практическая значимость. Создана теоретическая основа для расчета разрушения двухкомпонентного тела, при наличии в нем межфазной трещины, взаимодействующей с системой внутренних трещин

под воздействием тепловых нагрузок. Произведенные в работе расчеты могут быть использованы для нахождения характеристик трещиностойкости и оценки прочности композитных материалов.

Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, в научных исследованиях, проводимых в Воронежском государственном университете, в НИИ математики ВГУ.

Достоверность результатов исследования подтверждается корректностью используемых методов исследования, согласованностью решений поставленных задач с эталонными известными решениями для некоторых частных случаев.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на Международной Молодежной Научной Конференции «XXXV Гагаринские чтения» (Москва, 2009), на Международной Конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2009), на «Понтрягинских чтениях -XX» («Современные методы теории краевых задач») (Воронеж, 2009) на семинарах факультета ПММ ВГУ, на семинаре кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета.

Публикации. Основные положения диссертационного исследования отражены в 8 научных публикациях. Одна из работ опубликована в издании, рекомендованном ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Полный объем работы вместе с иллюстрациями составляет 120 страниц. Из них 13 занимает список литературы, содержащий 124 наименования. Общее количество иллюстраций - 26.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации и проведен краткий обзор важнейших работ, близких к ней по тематике. Сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна результатов, выносимых на защиту.

В Главе 1 сформулирована краевая задача теплопроводности о взаимодействии системы внутренних трещин с межфазной в биматериале, находящемся под действием теплового потока, и излагается метод решения.

Рассматривается двухкомпонентный материал (биматериал), состоящий из двух изотропных теплопроводящих полубесконечных сред у>0 (1) и <0 (2) (рис. 1.), с коэффициентами теплопроводности к = const (_/ = 1,2). Предполагается, что на границе раздела материалов есть трещина длиной 2а0, а один из материалов содержит внутренние трещины длиной 2ак (k = l,...N). На биматериал действует тепловой поток

интенсивности д, приложенный на бесконечности перпендикулярно границе раздела материалов. Была использована модель частично теплопроницаемых трещин, причем, предполагалось, что теплопроницаемость межфазной трещины и внутренних - разная.

111*111

Рис.1. Схема расположения межфазной трещины и системы ^ У ' микротрещин в бгшатериале.

/ 4 / */ /а./ / х (2)

Полная температура биматериала Т}(х,у) у = 1,2, используя метод

суперпозиции, представляется в виде Т' = Т° + Г, где Т° - температура в

бездефектном биматериале, Т1 - возмущенное температурное поле,

вызванное наличием дефектов.

Стационарное температурное поле в рассматриваемой области удовлетворяет уравнению Лапласа, т.е. является гармонической

функцией, причем это справедливо и для функций Т° и Т) .

Граничные условия для основной задачи следующие: на поверхностях трещин имеем

к, —Ч-- = К —1Ч-= -Т10 (х)д0 (х), |х| < а0,

ду

ду

(1)

ду*

на границе соединения материалов выполняются условия идеального контакта

я^П т:(хЮ=т;(хЮ1 ]х|> 0 (2)

ду ду

в вершинах трещины имеем условия согласования 7Г(±а0,0+) = т;(±а0,0-), Щ±аяЮ = Г(±а,0"); (3)

и, наконец, условие на бесконечности в случае теплового потока д , дТ'(х,у) , дТ'{х,у) 2 2

К ' =К ' +У «• (4)

ду ду

Соотношениями (1) моделируется частичная теплопроницаемость поверхностей межфазной и внутренних трещин. Мы предполагаем, что через линию трещин проходят тепловые потоки qy(x) и qy (х), которые

составляют некоторую часть от тепловых потоков q0(x) и qn(х), которые были бы при полной теплопроницаемости поверхностей трещин. В этих соотношениях г|0(х) и г)(х) - функции частичной теплопроницаемости поверхностей межфазной и внутренних трещин соответственно. Они принимают значения от 0 до 1, где 0 соответствует случаю теплоизолированных трещин, а 1 соответствует случаю полной теплопроницаемости поверхностей трещин. Такая модель частично теплопроницаемой межфазной трещины была использована, например, в работе (K.Y. Lee, S.J. Park, 1995).

Рассматриваем две модели теплопроницаемости поверхностей трещин:

1. коэффициенты теплопроницаемости поверхностей трещин константы: По(*) = По = const> ПМ = П = const, Ло.П6 [0,1] •

2. Теплопроницаемость межфазной трещины осуществляется по квадратичному закону: ri0(x) = r|ó(x/a0)\ |х| < а0, r|(x) = т]' = const,

В соотношениях (1) тепловые потоки определяются следующим образом: д0(х)--кдТ°/ду, д„(хл) = - кдТУду^ где Т° известна, и для

биматериала под воздействием теплового потока <? имеет следующий вид

Нас интересует нахождение функции Т] , определяющей

возмущенное температурное поле, вызванное наличием дефектов. Функция TJ представляется как действительная часть от аналитической функции

/.(г) комплексной переменной к)7*(х, = 11е[/;(г)], ^(г) = /Дг),

Используя теорему об аналитическом продолжении и теорему Лиувилля (с учетом условия на бесконечности (4)), получен комплексный потенциал ^ (г) задачи теплопроводности для случая, когда внутренние

трещины расположены в материале >0 (1)

T^(x,y) = qy/kJ,j = 1,2.

J = 1,2.

_ КК 2 г YÓ0)

Ir J. Ir 1TÍ * t _ T

J t _ ^

к " ч у'ел

е-'^-Л, , „ = 1,2,...,ЛГ.

я/ »=1

Здесь функции к = 0,1,2,...,^, определяют скачок температуры

на линии трещин.

Используя комплексные потенциалы и учитывая взаимодействие трещин, для определения неизвестных функций у'к(х) построена система сингулярных интегральных уравнений для случая, когда в материале (1) (у > 0) существует система N внутренних трещин

]ШЛ+(1 _ Ло(х))1 '¡р^жт= 1 к +к «. Л' (Л Т Ь ь «.

-к I - X К+кгЛ„

(6)

к*п

где Рок, Рк0, Рпк - регулярные ядра, содержащие геометрические параметры задачи. Система уравнений (5), (6) дополняется следующими условиями

а„

¡у'„(0& = 0, п = 0,1,2,..которые следуют из условий (3) и обеспечивают

—ап

однозначность функций у[ при обходе контуров трещин.

Система интегральных уравнений (5), (6) решена методом малого параметра для случая, когда длина межфазной трещины намного больше характерной длины внутренней трещины 2а0 » 2ак при предположении, что ак=а , к = \,2,...,И. За малый параметр принимали Х = а/а0<< 1. Введем замену переменных х = %ак, / = так в (5), (6) и перейдем к безразмерным величинам м>к=г°к/а0,(к = 0,1,2, Неизвестные функции у'„(%) представлены в виде рядов по Л.:

Уо(х)=¿УоДх)^, у'Лх)=£у'г(№ • (7)

р=О р=о

По степеням к раскладываются и регулярные ядра Рок, Рм, Рл.

Уравнения (5), (6) регуляризуем с использованием формул обращения интегралов типа Коши и подставим в них полученные ряды. Приравнивая полученные выражения при одинаковых степенях, получаем рекуррентную систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов у'ок, у'л в рядах (7).

Для двух моделей теплопроницаемости поверхностей трещин получено решение системы (5), (6) для межфазной и внутренних трещин с точностью до А,2

у'о(х)=у'М) + Ху'оЛх), Ш = + п = 1,2,...,ы.

Для локальной характеристики тепловых потоков в окрестности трещины был введен коэффициент интенсивности теплового потока в вершинах трещины, который вычислили по формуле

Ит^Ь^У'Лх) и = 0,1,2,...,ЛГ. (8)

Выписаны в явном виде аналитические выражения для коэффициентов интенсивности теплового потока в вершинах межфазной трещины:

для первой модели теплопроницаемости трещин

= (1-П„)

т +1 .

2 А ¡Ы1

/ К

для второй модели теплопроницаемости трещин

(1 + +

1 1=1

1

ТО _ 1

(9)

(10)

д^/к, 2

Здесь введено обозначение т = к1/к2. Верхний знак соответствует правой вершине трещины, нижний знак соответствует левой вершине трещины.

Проведён параметрический анализ результатов решения задачи в случае биматериала «керамика/ керамика "ПС/ Б ¡С» и исследовано влияние расположения систем трещин, их ориентации, а также коэффициента теплопроницаемости трещин на коэффициент интенсивности теплового потока в вершинах межфазной трещины. Показано, что наличие внутренних трещин может, как увеличивать коэффициент интенсивности теплового потока межфазной трещины, так и уменьшать его относительно коэффициента интенсивности теплового потока одной межфазной трещины.

Глава 2 посвящена задаче теплопроводности о взаимодействии трещин в биматериале под влиянием теплового источника мощностью Q, действующего в некоторой точке биматериала. Геометрия задачи такая же, как и в первой главе (рис. 1).

Граничные условия для физических величин этой задачи совпадают с (1) - (3), а условие на бесконечности (4), при отсутствии теплового потока принимает следующий вид

^ дТ^у) = 8Т;(х,у) =0 х2+у1^оо (П)

ду ду

Для случая, когда тепловой источник расположен в материале (1) > 0) в точке , используя известный комплексный температурный

потенциал (г) для однородного материала, получен комплексный потенциал для биматериала

«со = к-к >К(2)=__в—!_ (12)

Используя комплексный потенциал (12), получили формулы для определения тепловых потоков д0(х) > ЯЛХ) на линиях межфазной и внутренних трещин, возникающих из-за действия теплового источника, и, подставив их в уравнения (5), (6), получили систему сингулярных интегральных уравнений задачи.

Полученная система сингулярных интегральных уравнений решена методом малого параметра для случая, когда длина межфазной трещины намного больше характерной длины внутренней трещины. Получено аналитическое асимптотическое решение задачи с точностью до второго приближения малого параметра

N

N

N

»=1

е~'а<

где м>к=г0к/а0, м/>=г11ай, м>1к =-- - безразмерные координаты

а

центров микротрещин и расположения теплового источника, а рд= (ЗИп^.

Полученное решение учитывает взаимодействие каждой микротрещины с межфазной трещиной. Взаимодействия между микротрещинами учитывают приближения более высокого порядка.

Асимптотические аналитические формулы полученные для коэффициентов интенсивности тепловых потоков в вершинах трещин, позволяют исследовать влияние взаимодействия трещин (их ориентации, ак и расположения, м>к), а также теплофизических свойств материалов и трещин (коэффициентов теплопроводности материалов, т = к1/к2, коэффициентов теплопроницаемости поверхностей трещин, г)0, ц), на коэффициенты интенсивности тепловых потоков в окрестности вершин трещин.

Проведено исследование влияния расположения трещин и их ориентации на коэффициенты интенсивности тепловых потоков в вершинах межфазной трещины при разных коэффициентах теплопроницаемости поверхностей трещин и при разных расположениях теплового источника,

для случая с биматериалом «керамика/керамика НС/ Б ¡С». Результаты исследования представлены графически (рис. 2, 3).

На рис.2 изображены графики зависимости к*а/ рвл[а^/к1 от координаты центра микротрещины х°. Сплошная линия соответствует у° = 0.5, частый пунктир при у" = 0.6, редкий пунктир при у° = 1. Безразмерная координата центра микротрещины определяется по формуле ж^г"/а0=х°. Рассматривается случай одной микротрещины, расположенной в материале >>>0(1), параллельно границе соединения материалов (а, =0 ), на разных расстояниях от неё: д>° =0.5; 0.6 и 1 (при г| = 0.5). Коэффициент теплопроницаемости поверхностей межфазной трещины является константой, и принимает значение г|0 = 0.5. Графики построены для случая, когда тепловой источник расположен в точке = 3/. Величина коэффициента интенсивности теплового потока в правой вершине межфазной трещины при отсутствии микротрещин равна 0.1581 (при г, =3/ и т|0 =0.5).

микротрещины х°.

Как видно из графика, наличие микротрещины уменьшает коэффициент интенсивности в большинстве случаев расположения трещины. Наименьшая интенсивность теплового потока в правой вершине межфазной трещины наблюдается, когда микротрещина находится между источником тепла и правой вершиной межфазной трещины, и расположена ближе к вершине межфазной трещины (сплошная линия).

На рис.3 построены графики зависимости к*0/рдл[а^/от угла наклона микротрещин ак при г|0 = 0.5. Сплошная линия соответствует г| = 0, частый пунктир при Г| = 0.4, редкий пунктир при т] = 0.8 (г, =3/). Как видно из графика, чем выше теплопроницаемость трещин, тем ближе

величина коэффициента интенсивности теплового потока к величине 0.1581 для одной межфазной трещины, то есть теплопроницаемые трещины оказывают меньшее влияние на тепловые потоки, чем теплоизолированные трещины.

Ру

0.16250.160.15750.1550.1525-

0.14750.145-

Рис. 3. графики зависимости k*Q / pQ^a^lkx от угла наклона микротрещин ак при Г)0 =0.5.

В Главе 3 рассматривается несвязанная задача термоупругости об определении напряженно-деформированного состояния в плоском двухкомпонентном материале с системой частично теплопроницаемых трещин под действием теплового потока, решение которой состоит из решения задачи теплопроводности для трещин в двухкомпонентном материале и решения упругой задачи. Решение задачи теплопроводности получено в Главе 1. Геометрия задачи такая же, как и в первой главе. Предполагалось, что на границе раздела материалов имеется межфазная трещина длиной 2а0 и в одном из материалов есть система N трещин длиной 2ак (рис.1).

Для определения напряженно-деформированного состояния в двухкомпонентной упругой плоскости, вызванного действием неоднородного плоского стационарного температурного поля, напряжения и перемещения выражаются через две кусочно-аналитические функции Ф и V (комплексные потенциалы Колосова-Мусхелишвили)

ft* = фЛгУ+++ВД.

2ц, (и J + iv]) = куФ;(2) - - hT(z) + р tFj (z),

ф; (z) = 0J (z), (z) = (z), Fj(z) = \ft(z)dz U = 1,2),

Здесь F является комплексным температурным потенциалом, который определяется в задаче теплопроводности. Константы материала:

кJ =3-'^vJ, р? =а- для плоской деформации, ку =(3-уу)/(1 + уу), Р5/(1 + V,) - для плоского напряженного состояния, Е1 - модуль Юнга, = £у /2(1+ уу) - модуль сдвига, у;. - коэффициент Пуассона, а,; -

температурный коэффициент линейного расширения.

Предполагается, что на границах трещин отсутствуют усилия и имеют место условия непрерывности компонент напряжения и смещения на межфазной линии вне границы межфазной трещины, а компоненты напряжения на бесконечности стремятся к нулю.

Для построения решения использовался метод суперпозиции и метод комплексных потенциалов. В результате задача распалась на подзадачи более простой геометрии: задача для внутренней трещины в биматериале и задача для межфазной трещины.

Используя теорему об аналитическом продолжении и теорему Лиувилля, получили комплексные потенциалы задачи для межфазной трещины, а также для случая биматериала с внутренней трещиной и неповрежденной границей раздела.

Записывая полученные комплексные потенциалы в интегральной форме, и затем, удовлетворяя граничным условиям исходной задачи (берега трещин свободны от напряжений), приходим к системе сингулярных интегральных уравнений для определения неизвестных функций ^ (х), производных от скачков перемещения на линиях трещин

(1-«в)^(*) + 0 + «о)Л] —Л +

71-Х

+-1 о. *) - Тмж (/, Х)]л=А0 (Х) (М<ад

Ш 1=1

I — х

-ая 1 Л -аа

+í а)\я1тЛ1,х) + Ьл«,хУ1Л = кАп(х)(|х| < ая),п = 1,2,...,^,

*=1 -я "к

Ып

где КлЦ,х), Ьл(I,л:) - являются регулярными ядрами и содержат геометрию задачи, ю = (Г + к,)/(Гк2+1), Г = ц,/ц2. В правых частях уравнений функции Ап(х) известны и выражаются через скачки температуры на линиях трещин, коэффициенты теплопроводности материалов и коэффициенты теплопроницаемости поверхностей трещин.

Полученная система уравнений решена методом малого параметра для случая, когда длина межфазной трещины (макротрещины) намного больше характерной длины внутренней трещины (микротрещины) (за малый параметр принято отношение длины внутренней трещины к длине

межфазной). Получено аналитическое асимптотическое решение задачи в случае однородного материала.

Аналитические выражения получены для коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах макротрещины с точностью до X2

Фао^ао

= +

К2 "

1 /Ы

и исследовано влияние на них теплофизических свойств материалов и трещин в случае, когда в материале существует поле микротрещин, расположенное над макротрещиной.

Для определения критического теплового потока д0 использовался критерий максимальных нормальных напряжений (В.В. Панасюк, М.П. Саврук, А.П. Дацыщин, 1976). Для д0, отнесенного к тепловому потоку для одиночной трещины дс, получено аналитическое выражение по формуле

й-2 1_____

■Я 300

сое — 2

(

у

фа0Л[а~0 2 дЬа0т[аа

где 0О угол начального распространения макротрещины.

Исследовано влияние микротрещин, а также коэффициентов теплопроницаемости поверхностей трещин на ц* !дс. На рис. 4 построены графики зависимости критического теплового потока в правой вершине макротрещины ц*й1цс от угла наклона микротрещин ак при т) = 0. Сплошная линия соответствует г|0 = 0, частый пунктир при Т10 = 0.3, редкий пунктир при Т]0 = 0.6.

з

2.5

N Ч У /

N «1 ■— ^ ^^ / ✓

... - " "

- ------- -------- 71

Рис. 4. графики зависимости / дс от угла наклона микротрещин ак

при г| = 0.

На рис. 4 показано, что влияние поля термоизолированных микротрещин на частично теплопроницаемую макротрещину, при большинстве случаев расположения трещины приводит к повышению критического теплового потока (д1/дс> 1), а значит, и к повышению прочности тела.

В Заключении сформулированы выводы и перечислены основные научные результаты диссертационного исследования.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В работе сформулированы краевые задачи о взаимодействии системы внутренних трещин с межфазной в биматериале, находящемся под действием теплового потока, или под влиянием теплового источника. Была использована модель частично теплопроницаемых трещин, причем, предполагалось, что теплопроницаемость межфазной трещины и внутренних - разная.

2. Получены комплексные потенциалы задачи теплопроводности и термоупругости о внутренней и межфазной трещине в биматериале. На их основе построены системы сингулярных интегральных уравнений.

3. Система сингулярных интегральных уравнений задачи решена методом малого параметра. За малый параметр принято отношение длины внутренней трещины к длине межфазной (считая, что размер межфазной трещины намного превышает размер внутренних трещин). Получены асимптотические аналитические выражения для производных функции скачка температур и разрывов перемещений на линиях трещин, с точностью до второго приближения малого параметра.

4. Получено аналитическое выражение для коэффициентов интенсивности теплового потока и напряжений, а также критического теплового потока в вершинах трещин и проведен параметрический анализ результатов.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах: Публикация в издании, рекомендованном ВАК РФ

[1] Ордян М.Г. Задача теплопроводности для биматериала с системой частично теплопроницаемых трещин и тепловым источником / М.Г. Ордян, В.Е. Петрова // Вестник Самарского государственного университета. -Самара, 2009. - (Естественнонаучная серия) . - №4(70). - С. 154-170.

Статьи и материалы конференций

[2] Ордян М.Г. Задача теплопроводности о взаимодействии частично теплопроницаемых трещин в двухкомпонентном материале под действием теплового потока / М.Г. Ордян, В.Е. Петрова // Вестник Воронежского

ю

государственного университета. Сер. Физика. Математика. - Воронеж, 2009. -№ 1. - С. 141-149.

[3] Ордян М.Г. Термоупругая задача о взаимодействии частично теплопроницамемых трещин в двухкомпонентном материале под действием теплового потока : препринт № 30; НИИМ, Воронеж, гос. ун-т / М.Г. Ордян, В.Е. Петрова. - Воронеж : ИПЦ ВГУ, 2009. - 34 с.

[4] Ордян М.Г. Взаимодействие теплопроницаемых трещин в двухкомпонентном материале для случая, когда теплопроницаемость межфазной трещины осуществляется по квадратичному закону / М.Г. Ордян, В.Е. Петрова // Актуальные проблемы математики и информатики. -Воронеж, 2009. - (Тр. мат. фак.). - № 1. - С. 28-46.

[5] Ордян М.Г. Влияние коэффициентов теплопроводности материалов на взаимодействие системы теплопроницаемых трещин в двухкомпонентном материале с тепловым источником / М.Г. Ордян, В.Е. Петрова // Актуальные проблемы математики и информатики. - Воронеж, 2009. - (Тр. мат. фак.). - № 1. - С. 47-65.

[6] Ордян М.Г. Задача теплопроводности о взаимодействии частично теплопроницаемых трещин в двухкомпонентном материале / М.Г. Ордян // XXXV Гагаринские чтения : тез. докл. междунар. молодежной науч. конф., Москва 7-11 апр. 2009 г. - М., 2009. - (Секция № 3: Механика и моделирование материалов и технологий). - С. 64-66.

[7] Ордян М.Г. Термоупругая задача о взаимодействии частично теплопроницаемых трещин в двухкомпонентном материале / М.Г. Ордян // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики : сб. тр. междунар. конф., Воронеж, 22-24 июня 2009 г. - Воронеж, 2009. - Ч. 2.-С. 102-104.

[8] Ордян М.Г. Взаимодействие частично теплопроницаемых трещин в двухкомпонентном материале под действием теплового потока / М.Г. Ордян // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронежской весен, мат. шк. "Понтрягинские чтения XX". - Воронеж, 2009. -С. 136-137.

Подписано в печать 27.10.09. Формат 60x84 '/16. Усл. печ: л. 0.93 Тираж 100 экз. Заказ 1713

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета • 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ О

ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ЧАСТИЧНО ТЕПЛОПРОНИЦАЕМЫХ ТРЕЩИН В ДВУХКОМПОНЕНТНОМ МАТЕРИАЛЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ТЕПЛОВОГО

ПОТОКА.

1.1 .Формулировка задачи.

1.2. Комплексное представление функции Т^х,у) и построение комплексных потенциалов.

1.3. Построение системы интегральных уравнений.

1.4. Решение системы интегральных уравнений методом малого параметра.

1.5. Вычисление коэффициентов интенсивности теплового потока

1.6. Сравнение с известными решениями.

1.7. Сравнение решений для двух моделей теплопроницаемости трещин.

1.8. Параметрический анализ результатов в случае биматериала «керамика/керамика TiC/ SiC».

Проблемы термоупругости в двухсвязных телах, ослабленных системой трещин, и находящихся под действием тепловых нагрузок, часто возникают в различных технических задачах. Наличие границы соединения материалов с разными коэффициентами теплопроводности приводит к появлению существенной неоднородности в распределении температурных полей вблизи границы, а присутствие различных дефектов - трещин вносит дополнительный вклад в эту неоднородность. Неоднородность тепловых полей порождает неоднородность деформаций и напряжений в двухсвязных материалах, что в свою очередь может быть причиной появления новых дефектов и распространения уже имеющихся. Поэтому важно исследовать влияние взаимодействия неоднородностей в форме трещин и границ раздела материалов под действием тепловых и механических нагрузок на распределение тепловых полей и деформаций, чтобы понять качественную картину происходящего процесса. В настоящее время существует большое количество исследований в этой области. Основы механики разрушения, моделирование разрушения материалов, методы решения задач отражены в работах [18, 45, 19, 2, 74, 43, 102].

Системы трещин

Обзор работ, посвященных исследованию взаимодействия трещин при разных механических и тепловых нагрузках приведен в работах [94, 42]. В монографии [109] даны решения задач о взаимодействии макротрещины с произвольной системой микродефектов (трещин, пор, включений). Получены аналитические асимптотические выражения для коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах макротрещины и проанализировано их изменение в зависимости от геометрии задачи при действии механической нагрузки и тепловой.

Система множественных трещин рассматривается в [86]. В работе [119] проводится анализ коэффициентов интенсивности напряжений для трещины в окрестности кругового включения в матрице. Численные результаты получены методом граничных интегралов и методом граничных элементов. В работе [63] определяются поля смещений и напряжений в двумерной упругой пластине со множественными взаимодействующими трещинами с использованием аппроксимации этих полей элементарными функциями. Авторы отмечают, что точность предложенного ими метода зависит от геометрии (взаимного расположения) трещин, однако она остается высокой, если расстояния между трещинами меньше длины трещин.

В работе [75] дан обзор результатов различных подходов к расчетам двумерных и трехмерных задач взаимодействия трещин. Обсуждаются решения для случаев близкого расположения трещин. Утверждается, что такие решения отличаются от результатов расчета в задачах распространения и слияния трещин.

В работе [61] предложен метод анализа влияния взаимодействия трещин на показатели поврежденности материала. Метод основан на концепции эффективного поля. Для исследования взаимодействия микротрещин в эллиптической или круговой области вокруг микротрещины используется метод Качанова [74], а влияние других микротрещин вне этих областей отражается в изменении напряжений, которые приложены на бесконечности. Определяются и исследуются коэффициенты интенсивности напряжений микротрещины в твердом теле с множеством микротрещин.

В работе Назарова С.А. [23] анализируется взаимодействие трещин, их устойчивость или лавинообразный рост, при хрупком разрушении. Обсуждаются сходство и различия критериев Ирвина и Гриффитса, как в обычных, так и в уточненных формулировках. В работе [93] разработана модель разрушения хрупких тел при сжатии, основанная на анализе формирования и взаимодействия микротрещин в процессе нагружения. Предполагается, что источником микротрещин являются исходные дефекты структуры материала, распределение которых ранее известно. Анализ взаимодействия трещин позволяет оценить эффективные коэффициенты интенсивности напряжения, определяющие динамику роста микротрещин. Поврежденность определяется как плотность микротрещин, а эволюция поврежденности зависит, как от распределения дефектов, так и от динамики роста отдельных трещин.

Численное решение методом конечных элементов для задачи о взаимодействии двух произвольно ориентированных полуэллиптических трещин на поверхности пластины получено в [90]. Проанализировано влияние размеров трещины, расстояния между ними и их взаимной ориентации на максимальное значение коэффициента интенсивности напряжений.

В результате взаимодействия дефектов и под действием смешанного напряженного состояния, трещины могут частично или полностью закрываться, и появившиеся области контакта будут влиять на напряженно-деформированное состояние тела с трещинами. Работа [32] посвящена исследованию напряженного состояния бесконечной плоскости с частично закрытой трещиной. В работе Пенькова В.Б. [31] построено строгое решение для зеркально-симметричной задачи о смыкании берегов трещины под действием сжимающей нагрузки, приложенной на удалении. Также получено асимптотическое решение задачи о залечивающейся трещине и построено второе приближение для эпюр нормальных напряжений на контуре.

Новый метод решения, основанный на применении сингулярных интегральных уравнений, для антиплоских задач теории упругости для тел с системой ломаных трещин с учетом особенности напряжений в угловых точках предложен в работе [40]. Модифицированные сингулярные интегральные уравнения имеют непрерывные регулярные ядра и правые части, т. е. принадлежат к такому же типу, что и в случае гладких граничных контуров. Получены значения коэффициентов интенсивности напряжений в угловых точках и вершинах трехзвенной ломаной трещины и системы двух двухзвенных ломаных трещин в бесконечном теле.

В работе [98] исследуется напряженное состояние, вызванное термическим шоком в полосе конечной ширины с системой периодических краевых трещин. Коэффициент интенсивности напряжений в вершинах трещин увеличивается с увеличением расстояния между трещинами, так как уменьшается эффект «экранирования». Через определенный характерный период времени усилия на поверхности трещин из-за увеличения нагрузки становятся почти линейными, и для этого случая исследуется влияние геометрии задачи на коэффициент интенсивности напряжений в вершинах трещин.

Задачи термоупругости для тел с трещинами и методы решения

Основные граничные задачи термоупругости в терминах теории комплексных потенциалов для изотропных и анизотропных тел различных конфигураций, содержащих коллинеарные или круглые отверстия, представлены в работе И.А. Прусова [35]. В работах М.П. Саврука [38, 39] получены сингулярные интегральные уравнения для тела с системой термоизолированных трещин под действием однородного теплового потока или точечного теплового источника. Для случая двух далеко расположенных трещин получено асимптотическое решение в виде ряда по малому параметру, который равен отношению длины трещины к расстоянию между их центрами.

Различные двухмерные и трехмерные задачи для тел с эллиптическими трещинами при механическом и температурном воздействиях рассматривались в работах [9, 10, 33, 79].

Большое количество численных и асимптотических данных для вычисления термических коэффициентов интенсивности напряжений можно I найти в монографиях [30, 36], а также в справочниках по КИН [37, 20]. Обзору исследований по терморазрушению упругих и упругопластических двухфазных тел посвящена работа [72], а в статьях [110, 91] дан обзор термоупругих задач для материалов со степенным законом упрочнения и содержащих трещины.

В работе [103] было показано, что функция тепловых потоков в вершинах трещин имеет сингулярность порядка гш, где г — расстояние до вершины. Следует отметить, что такую же сингулярность имеют и тепловые потоки в вершинах межфазной трещины. Используя этот факт, в работе [47] был введен коэффициент интенсивности тепловых потоков для характеристики интенсивности тепловых потоков в окрестности вершин трещин.

В работах Петровой В.Е., Herrmann К. [95, 96] исследованы задачи термоупругости для системы термоизолированных трещин в биматериале под действием теплового потока или теплового источника. Получены системы сингулярных интегральных уравнений для задачи взаимодействия внутренних дефектов с межфазной трещиной. В случае, когда размер внутренних трещин значительно меньше размера межфазной трещины, получены асимптотические аналитические решения методом малого параметра [109] (Tamuzs V., Romalis N., PetrovaV.). Решение задачи для однородного материала с системой термоизолированных трещин под действием теплового потока или теплового источника можно найти в монографии В.В. Панасюка, М.П. Саврука, А.П. Дацыщина [30].

Метод граничных интегральных уравнений для решения трехмерных задач стационарной теплопроводности и термоупругости для бесконечного тела с произвольно расположенными трещинами применен в работе [12]. Тот же метод используется для полупространства с теплоактивной круговой трещиной, перпендикулярной его границе в работе [80] и параллельной его границе в работе [13]. В работах [4, 57] исследованы напряженно-деформированные состояния тел с круговыми теплоактивными трещинами, на поверхностях которых задана температура или тепловой поток. Исследования выполнены в осесимметричной постановке методом интегрального преобразования Ганкеля и дуальных интегральных уравнений для бесконечного тела.

В работе [67] рассмотрена краевая задача термоупругости о взаимодействии жесткого включения с прямолинейной трещиной в бесконечной плоскости, под действием однородного теплового потока. Используя принцип суперпозиции, начальная задача распадается на две группы задач, которые далее приведены к отдельным основным подзадачам, включающим в себя 1) построение функций Грина для краевой дислокации и пары тепловых источников, 2) задачу о плоскости, содержащей включение, под действием однородного теплового потока и 3) задачу о включении, подвергнутом малому вращению. Задачи решены, используя метод комплексных переменных, параллельно с техникой рациональной отображающей функции.

В работе [76] представлены решения через функции Грина для плоской задачи с тепловым источником и термической дислокацией, расположенными вблизи границы раздела двух анизотропных идеально связанных полубесконечных тел с различными термомеханическими свойствами. Для анализа результатов использован метод комплексных потенциалов.

В статье [85] с помощью дислокационного формализма Стро решена термоупругая задача о ветвлении межфазной трещины, распространяющейся по границе раздела биматериала. С использованием теории аналитических функций и принципа аналитического продолжения, в компактной форме получено общее решение задачи для анизотропного биматериала. Используется аппарат функций Грина. С использованием метода контурных интегралов получено решение задачи о взаимодействии между дислокациями и межфазной трещиной. Исследовано влияние тепловой нагрузки и тепловых свойств материалов на ветвление трещины и предложен критерий ветвления трещины, основанный на полученных решениях.

Двумерные стационарные задачи теплопроводности и термоупругости для упругого полупространства, содержащего упругое цилиндрическое макровключение и термоизолированную трещину исследованы в работе [88]. Задачи приведены к системе двух сингулярных интегральных уравнений. Числовые решения этих систем получены методом > механических квадратур для включения в форме эллиптического цилиндра и прямолинейной трещины в полупространстве, нагретом тепловым потоком вызванным трением, равномерно распределенным по поверхности полупространства. Числовые решения представлены в форме графиков для коэффициентов интенсивности напряжения как функции размера включения и расстояния между включением и трещиной. А в работе [89] исследовано влияние внутреннего теплового источника на коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах произвольно ориентированной краевой трещины в однородной полуплоскости.

В статье [117] рассмотрены термические напряжения в упругой полуплоскости, содержащей бесконечный ряд параллельных трещин, перпендикулярных её границе. Полуплоскость подвержена равномерному-нагреву и равномерной механической нагрузке. Поверхности трещин и свободная поверхность полуплоскости находятся под действием постоянной температуры. С помощью преобразования Фурье задача сводится к сингулярным интегральным уравнениям, которые решаются с помощью интегральной формулы Гаусса-Якоби.

Деформация термоупругого тела с порами из-за механических и тепловых источников при осесимметричных распределениях исследуется в работе [82]. Чтобы найти общее решение для плоской осесимметричной задачи, использовались преобразования Лапласа и Ганкеля. Результаты в виде смещений, напряжений, температурного распределения и изменения области относительного объема получены численно и иллюстрированы графически.

В работе [97] исследуется распределение напряжения в трансверсально-изотропном теле с термоизолированной параболической трещиной, подвергнутой влиянию однородного теплового потока, действующего перпендикулярно поверхности трещины. Получены формулы для коэффициентов интенсивности напряжения около вершин трещины.

В статье [115] исследованы механические и электрические поля в конечной термопьезоэлектрической пластине, содержащей изолированную трещину под действием теплового потока. Общая форма решения состоит из голоморфной части, представленной рядом Лорана, и неголоморфной части в интегральной форме, из-за наличия трещины. Приближенное решение получено методом наименьших квадратов для прямоугольной пластины. Вычислены коэффициенты интенсивности напряжения и электрического смещения.

Статья [118] посвящена задаче взаимодействия между отверстием с трещиной и прямолинейной трещиной под действием однородного теплового потока. Используя принцип суперпозиции, начальная проблема распадается на три частные задачи. В первой задаче рассматривается проблема отверстия с краевой трещиной под действием однородного теплового потока, во второй и третьей - проблемы отверстия под действием распределенной температуры и с краевыми дислокациями вдоль поверхности линии трещины, соответственно. Решение первой задачи, так же, как фундаментальные решения второй и третьей, получено методом комплексных переменных с использованием рациональной отображающей функции. Вычислены коэффициенты интенсивности напряжения в вершинах трещин.

Межфазные трещины — различные модели

Многочисленные исследования показывают влияние прочности соединения вдоль поверхности раздела в композитах на прочность и трещиностойкость материала в целом (см. например [16]). Влияние внешней нагрузки приводит к возникновению сложного напряженного состояния на поверхности раздела материалов из-за различных упругих свойств. Это в свою очередь может привести к расслаиванию и появлению межфазного дефекта. Дальнейшее поведение межфазных дефектов может повлиять на прочность всего материала. Начиная с работы M.L. Williams [122], по настоящее время опубликовано большое количество работ, посвященных исследованию межфазной трещины. Среди них можно отметить работы Салганика P.JL [41], Г.П. Черепанова [44], Прусова И.А. [34], England А. [59], Erdogan F. [60], Rice J.R., Sih G. [100], Дундурса Я. и Комниноу М. [8] и др.

Решение краевой задачи о межфазной трещине содержит осциллирующую особенность функции напряжений в окрестности вершины трещины. В результате получается физически некорректное решение, допускающее перекрытие берегов трещины в окрестности ее вершины. Однако, для многих видов нагрузки зоны осцилляции в вершине трещины малы и решение пригодно для исследования напряженно-деформированного состояния в окрестности межфазных трещин, что было показано в работе [99]. Тем не менее, для устранения осциллирующей особенности некоторыми авторами были предложены новые модели межфазной трещины. В работах [53, 54] рассматривались такие модели с зонами контакта между поверхностями трещин в концевых зонах дефектов, но без учета трения, а в работах [56, 52, 55] исследовано влияние трения в зонах контакта. Обзору моделей межфазных трещин посвящена статья [51] и представлены экспериментальные исследования по распространению межфазных трещин.

В работах [83, 58] рассматривались задачи о частично теплопроницаемой межфазной трещине. Был введён коэффициент теплопроницаемости трещины ц е [0,1]; rj = 0 соответствует термоизолированной трещине, т| = 1 - полностью теплопроницаемой трещине. Более общие постановки задачи для теплопроницаемых трещин были даны в работе Г.С. Кита и Я.С. Подстригача (см. монографию [11]).

В работе [81] исследовано поведение межфазной теплопроницаемой трещины, центральной и краевой, на границе соединения двух конечных тел из разных материалов под действием тепловой нагрузки. Было также исследовано влияние теплопроницаемости трещины после смыкания её поверхностей на напряженно-деформированное состояние в теле.

В работе [68] численно исследован рост межфазной трещины под влиянием теплового потока. В работе [71] рассматривается плоская задача для теплоизолированной межфазной трещины с зоной контакта в изотропном биматериале, находящемся под действием растяжения и сдвига, и под действием теплового потока. Получены выражения для напряжений и электрического потока, а так же для производных смещения и скачков температуры на границе раздела материалов через кусочно-аналитические механические и тепловые потенциалы. После решения температурной задачи, сформулирована неоднородная краевая задача Дирихле-Римана, и получено точное решение. Напряжения на границе раздела и коэффициенты интенсивности напряжения в сингулярных точках представлены в явной аналитической форме. В работе [15] исследовано частичное закрытие наделенной термосопротивлением межфазной трещины в биматериале с различными термическими свойствами компонент, находящемся под действием растягивающей нагрузки и теплового потока, перпендикулярных трещине. Частичное закрытие трещины наблюдается, если тепловой поток направлен в сторону материала с меньшей термической дистортивностью и превышает некоторое пороговое значение. Показано, что образующийся на середине трещины участок контакта ее берегов и контактное давление берегов возрастают при увеличении термосопротивления трещины. Установлено, что пренебрежение контактом приводит к уменьшению коэффициента интенсивности нормальных межфазных напряжений.

В работе [104] межфазная трещина под действием неоднородного поля напряжений рассмотрена при предположении о частичном закрытии трещины. Получен ряд решений в элементарных функциях. Условия возникновения трещин в зоне слабого адгезионного соединения на линии раздела сред рассматривались Симоновым И.В. и Karihaloo В. [105]. Ими было показано, что критическое напряжение, при котором происходит образование трещины, зависит от упругих постоянных материалов, длины слабой зоны и сил сцепления на ее линии. Субкритический рост трещины вдоль ослабленной поверхности раздела под действием сложного напряженного состояния также исследовался в работе Салганика P.JL, Gotlib V.A. [101]. В статье Антипова Ю.А. [1] межфазная трещина изучается при наличии сухого трения на участках контакта.

Модель трещины на границе соединения материалов со связями между берегами в концевой области трещины исследовалась Гольдштейном Р.В. и Перельмутером М.И. [62, 7, 6]. Проведенный анализ предельного равновесия трещины с учетом энергетического и кинематического критериев, позволил авторам оценить предельный размер концевой области трещины, допустимую нагрузку и характеристики адгезионного сопротивления соединения двух материалов. Модель межфазной трещины с искусственно введенной зоной контакта, первоначально предложенная в работе Лободы В.В. [87] для изотропных биматериалов, была в дальнейшем применена для анизотропных двухкомпонентных материалов [73] и пьезоэлектриков [69, 70]. Причем, кроме механической нагрузки, были рассмотрены тепловые и электрические воздействия и их совместное влияние на биматериалы. Эта модель также была применена и для системы межфазных трещин [77, 78]. Задаче о межфазной трещине между анизотропными материалами посвящены работы Назарова С.А. [24], Berger J.R., Tewary V.K. [46].

В статье Бакирова В.Ф. и Гольдштейна Р.В. [3] модель Леонова-Панасюка-Дагдейла применена для трещины на границе соединения различных материалов. Предполагается, что при приложении на бесконечности равномерно распределенных нормальных напряжений в концевых областях действуют постоянные нормальные и касательные напряжения сцепления между берегами трещины. Исследован общий случай, когда размеры концевых областей не малы по сравнению с характерным размером трещины. Получены аналитические выражения для компонент вектора раскрытия берегов трещины, распределения напряжений на продолжении трещины, коэффициентов интенсивности напряжений, а также соотношения между внешней нагрузкой, длиной трещины и параметрами концевой области в состоянии предельного равновесия. Отдельно рассмотрен случай, когда концевые области малы по сравнению с длиной трещины.

Взаимодействие дефектов — трещин с межфазными трещинами и границами раздела

Большое внимание задачам о взаимодействии внутренних дефектов с межфазной трещиной и поверхностью раздела материалов уделяется в последние годы. Целый ряд работ SuoZ. [106, 107, 108] посвящен взаимодействию внутренних сингулярностей с межфазной трещиной в изотропных и анизотропных материалах под действием механической нагрузки. В качестве сингулярностей в них рассматриваются единичные дислокации, сосредоточенные силы, моменты. Решения основаны на принципе суперпозиции и методе комплексных потенциалов. Представленная схема решения оказалась эффективной для построения многих задач о взаимодействии дефектов с границей раздела материалов. Этот метод частично был использован Han X., Ellyin F., Xia Z. [66] для более общей задачи о взаимодействии трещин и дислокаций с границей раздела и межфазной трещиной, при этом трещины моделировались непрерывным распределением дислокаций. Авторами представлен ряд численных примеров частных задач, демонстрирующих эффективность метода.

Аналогичная проблема взаимодействия сингулярностей, границ раздела и межфазных трещин исследовалась в [50] для двухкомпонентных материалов, один из которых является изотропным, а другой анизотропным. В работе показана эквивалентность между двумерной анизотропной теорией упругости и изотропной в случае выполнения некоторых условий. Choi S.T., Earmme Y.Y. [49] предложили использовать метод альтернирования для решения задач о сингулярности в анизотропных триматериалах, т. е. материалах, состоящих из трех различных анизотропных материалов, соединенных вдоль прямолинейных границ раздела. В следующей работе [48] рассмотрена та же задача, но при разных типах границ раздела, которые моделируются соответствующими граничными условиями.

Дополнительные напряжения, которые появляются из-за возмущающего воздействия внутренних дефектов, оказывают влияние на напряженно-деформированное состояние на поверхности раздела и в окрестности межфазного дефекта. Этой проблеме посвящены работы Линькова A.M. [14], Tsamasphyros G., Theocaris P.S., Theotokoglou E.E. [116, 111], Suo Z. [106] и др., в которых рассмотрены общие постановки таких задач, строятся сингулярные и гиперсингулярные интегральные уравнения.

Процесс расслоения границы раздела и образования межфазной трещины из-за влияния внутренней трещины, приближающейся по нормали к границе поверхности раздела, исследовался в работе J. Li [84] для модели межфазной трещины с пластическими зонами на концах. Аналогичная задача о расслоении из-за наличия внутренней трещины рассматривалась в работе Xiao Z.M., Guo J.Y. [123]. В целях моделирования зоны повреждения до возникновения трещины, на границе раздела были введены тонкие поперечные волокна.

В работе [124] исследовано взаимодействие конечной макротрещины с произвольно ориентируемым микродефектом. Приведенные примеры показывают эффективность численного подхода для анализа взаимодействия между макротрещиной и дефектом.

В работе [92] исследовано влияние границы раздела биматериала на характеристики излома растущей трещины, зарождающейся из надреза. Для анализа поведения трещины, зарождающейся из вершины полукруглого надреза, растущего на границе раздела биматериала, применен метод конечных элементов.

Ранее, в работах Goree J.G. и Venezia W.A. [64, 65] были рассмотрены задачи взаимодействия межфазной трещины и внутренней трещины, перпендикулярной поверхности раздела и межфазной трещине, пересекающей межфазную и распространяющейся в другой материал. Для решения использовался метод дислокаций и преобразование Меллина.

Ряд работ Tian W.-Y., Chen Y.H. и Chau К. Т. [113, 114, 112] посвящен исследованию взаимодействия полубесконечной межфазной трещины с микротрещинами в окрестности её вершины. Методом псевдонапряжений задача сводится к системе интегральных уравнений, которые решаются численно методом механических квадратур с использованием полиномов Чебышева.

В работе [17] получено асимптотическое аналитическое решение для задачи о взаимодействии межфазной трещины с произвольно расположенными микротрещинами в условиях продольного сдвига, а в работах Wang X.D., Meguid S.A. [120, 121] численно решена аналогичная задача для случая взаимодействия одной или двух микротрещин с межфазной трещиной.

Как видно из вышеприведенного обзора, тема взаимодействия теплопроницаемых трещин в упругой двухкомпонентной среде под действием тепловых нагрузок сегодня актуальна и востребованна, и является перспективной областью исследований.

Данная работа посвящена несвязанной термоупругой задаче о взаимодействии трещин в двухкомпонентном материале (биматериале), находящемся под действием теплового потока, приложенного на бесконечности, или под влиянием теплового источника, действующего в некоторой точке биматериала. Использовалась модель частично теплопроницаемых трещин. Такая модель позволяет изучать влияние дефектов материала (например, трещин), теплофизических свойств этих дефектов, а также свойств материалов на распределение тепловых потоков в биматериале. Для построения основных уравнений задачи использованы методы комплексных потенциалов и метод суперпозиции. Схема построения комплексных потенциалов для задачи о трещине в биматериале применена такая же, как в работе [108]. Полученные сингулярные интегральные уравнения решены методом малого параметра [109] для случая, когда длина межфазной трещины намного больше длины внутренней трещины.

Целью работы является разработка и исследование математических моделей взаимодействия теплопроницаемых трещин в упругих структурно-неоднородных материалах под действием тепловых нагрузок, а также аналитическое решение полученных задач теплопроводности и термоупругости. Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

- сформулировать краевые задачи для изучаемых объектов;

- построить системы сингулярных интегральных уравнений для сформулированных задач;

- построить комплексные потенциалы задачи;

- получить асимптотическое аналитическое решение построенных систем сингулярных уравнений для нахождения функций скачков температур и разрывов смещений на линиях трещин;

- получить асимптотические аналитические выражения для коэффициентов интенсивности теплового потока и напряжений, а также для критического теплового потока в вершинах трещин.

Методика исследования. Представленные в диссертации исследования опираются на теорию функций комплексной переменной и свойства аналитических функций, на теорию упругих комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили, аналитический метод решения систем сингулярных интегральных уравнений (асимптотический метод малого параметра).

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем: а) построены и решены системы сингулярных интегральных уравнений задач теплопроводности и термоупругости о взаимодействии трещин в упругом биматериале под действием тепловых нагрузок. Использовалась модель частично теплопроницаемых трещин; б) получены асимптотические аналитические выражения для производных функции скачка температур и разрывов смещений на линиях трещин с точностью до второго приближения малого параметра; в) получено асимптотическое аналитическое выражение для коэффициентов интенсивности теплового потока ,и напряжений, а также критического теплового потока в вершинах трещин.

Теоретическая и практическая значимость. Создана теоретическая основа для расчета разрушения двухкомпонентного тела, при наличии в нем межфазной трещины, взаимодействующей с системой внутренних трещин под воздействием тепловых нагрузок. Произведенные в работе расчеты могут быть использованы для нахождения характеристик трещиностойкости и оценки прочности композитных материалов.

Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, в научных исследованиях, проводимых в Воронежском государственном университете, в НИИ математики ВГУ.

Достоверность результатов исследования подтверждается корректностью используемых методов исследования, согласованностью решений поставленных задач с эталонными известными решениями для некоторых частных случаев.

Апробация работы. Результаты диссертации доложены и обсуждены на конференциях и семинарах:

- Международная Молодежная Научная Конференция «XXXV Гагаринские чтения». Москва, 2009. (Ордян М.Г. Задача теплопроводности о взаимодействии частично теплопроницаемых трещин в двухкомпонентном материале.)

- Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения - XX». Воронеж, 2009. (Ордян М.Г. Взаимодействие частично теплопроницаемых трещин в двухкомпонентном материале под действием теплового потока.)

- Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики». Воронеж, 2009. (Ордян М.Г.

Термоупругая задача о взаимодействии частично теплопроницаемых трещин в двухкомпонентном материале.)

- на семинарах факультета прикладной математики и механики Воронежского государственного университета, на семинаре кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского государственного университета.

Публикации. Основные положения диссертации отражены в работах [25-29]:

Ордян М.Г. Взаимодействие теплопроницаемых трещин в двухкомпонентном материале для случая, когда теплопроницаемость межфазной трещины осуществляется по квадратичному закону / М.Г. Ордян, В.Е. Петрова // Актуальные проблемы математики и информатики. -Воронеж, 2009. - (Тр. мат. фак.). - № 1. - С. 28-46.

- Ордян М.Г. Влияние коэффициентов теплопроводности материалов на взаимодействие системы теплопроницаемых трещин в двухкомпонентном материале с тепловым источником / М.Г. Ордян, В.Е. Петрова // Актуальные проблемы математики и информатики. - Воронеж, 2009. - (Тр. мат. фак.). - № 1. - С. 47-65.

- Ордян М.Г. Задача теплопроводности для биматериала с системой частично теплопроницаемых трещин и тепловым источником / М.Г. Ордян, В.Е. Петрова // Вестник Самарского государственного университета. -Самара, 2009. — (Естественнонаучная серия) . - №4(70). - С. 154-170.

- Ордян М.Г. Задача теплопроводности о взаимодействии частично теплопроницаемых трещин в двухкомпонентном материале под действием теплового потока / М.Г. Ордян, В.Е. Петрова // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Физика. Математика. - Воронеж, 2009. - № 1.-С. 141 - 149.

- Ордян М.Г. Термоупругая задача о взаимодействии частично теплопроницамемых трещин в двухкомпонентном материале под действием теплового потока : препринт № 30; НИИМ, Воронеж, гос. ун-т / М.Г. Ордян, В.Е. Петрова. - Воронеж : ИПЦ ВГУ, 2009. - 34 с.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Полный объем работы вместе с иллюстрациями составляет 120 страниц. Из них 13 занимает список литературы, содержащий 124 наименования. Общее количество иллюстраций - 26.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе сформулированы краевые задачи о взаимодействии системы внутренних трещин с межфазной в биматериале, находящемся под действием теплового потока, или под влиянием теплового источника. Была использована модель частично теплопроницаемых трещин, причем, предполагалось, что теплопроницаемость межфазной трещины и внутренних - разная.

Получены комплексные потенциалы задачи теплопроводности и термоупругости о внутренней и межфазной трещине в биматериале. На их основе построены системы сингулярных интегральных уравнений.

Система сингулярных интегральных уравнений задачи решена методом малого параметра. За малый параметр принято отношение длины внутренней трещины к длине межфазной (считая, что размер межфазной трещины намного превышает размер внутренних трещин). Получены асимптотические аналитические выражения для производных функции скачка температур и разрывов перемещений на линиях трещин с точностью до второго приближения малого параметра.

Получено аналитическое выражение для коэффициентов интенсивности теплового потока и напряжений, а также критического теплового потока в вершинах трещин и проведен параметрический анализ результатов.

1. Антипов ЮА. Трещина на линии раздела сред при наличии сухого трения / ЮА. Антипов // Прикладная математика и механика. - 1995. - Т. 59, вып. 2. - С. 290-306.

2. Астафьев В.И. Нелинейная механика разрушения / В.И. Астафьев, Ю.Н. Радаев, Л.В. Степанова. Самара : Изд-во «Самарский университет», 2001.-562 с.

3. Бакиров В.Ф. Модель Леонова-Панасюка-Дагдейла для трещины на границе соединения материалов / В.Ф. Бакиров, Р.В. Гольдштейн // Прикл. мат. и мех. 2004. - Т.68, № 1. - С. 170-179.

4. Бородачев Н.М. Термоупругая задача для бесконечного с осесимметричной трещиной / Н.М. Бородачев // Прикл. Механика. 1966. -Т. 2, № 2. - С. 93-99.

5. Гахов Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. Москва : Наука, 1977. -639 с.

6. Гольдштейн Р.В. Рост трещин по границе соединения материалов / Р.В. Гольдштейн, М.Н. Перельмутер // Проблемы механики. 2003. - С. 221238.

7. Гольдштейн Р.В. Трещина на границе соединения материалов со связями между берегами / Р.В. Гольдштейн, М.Н. Перельмутер // Механика твердого тела. 2001. -N 1. - С.94-112.

8. Дундурс Я. Обзор и перспективы исследования межфазной трещины / Я. Дундурс, М. Комниноу // Механика композит, материалов. 1979. - № 3. -С. 387-396.

9. Кирилюк B.C. О равновесии трансверсально-изотропного тела с эллиптической трещиной при температурном воздействии /B.C. Кирилюк // Прикл. Механика. 2001. - Т. 37, № 10. - С. 75-82.

10. Кирилюк B.C. Термоупругое равновесие трансверсально-изотропной среде с эллиптической трещиной при симметрических нагрузках / B.C. Кирилюк // Прикл. Механика. 2000. - Т. 36, № 4. - С. 96-105.

11. Кит Г.С. Нестационарные процессы в телах с дефектами типа трещин / Г.С. Кит, О.В. Побережный Киев: Наук. Думка, 1992. - 216 с.

12. Кит Г.С. Осесимметрическая задача термоупругости для бесконечного тела, ослабленного двумя параллельными круглыми щелями / Г.С. Кит, М.В. Хай // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1972. — Вып. 12. -С.101-108.

13. Кит Г.С. Термоупругое состояние полупространства с параллельной к его границе теплоактивной трещиной / Г.С. Кит, О.П. Сушко // Прикл. Механика. 2007. - Т. 43, № 4. - С. 46-54.

14. Линьков A.M. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости / A.M. Линьков. СПб. : Наука, 1999. — 382 с.

15. Мартиняк Р. М. Моделювання термомехашчного закриття початково розкритси м1жфазши трпцини, надшено1 термоопором / Мартиняк Р. М., Гончар X. I., Нагалка С. П. // Oi3.-xiM. мех. матер. 2003. - Т. 39, № 5. - С. 59-66.

16. Меткалф А. Композиционные материалы. Поверхности раздела в металлических композитах. / А. Меткалф. - М.: Мир, 1978. - Том.1. - 238 с.

17. Морозов Е.М. Контактные задачи механики разрушения / Е.М. Морозов, М.В. Зернин. -М. : Машиностроение, 1999. 544 с.

18. Морозов Н.Ф. Проблемы динамики разрушения твердых тел / Н.Ф. Морозов, Ю.В. Петров. СПб. : Изд-во С.-Петербургского университета, 1997.-132 с.

19. Мураками Ю. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений : в 2 т. / Ю. Мураками ; перевод с англ. под ред. Р.В. Гольдштейна, Н.А. Махутова. М. : Мир, 1990. - 1013с.

20. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили М. : Наука, 1966. - 707 с.

21. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. М. : Физматгиз, 1968. - 511 с.

22. Назаров С.А. Взаимодействие трещин при хрупком разрушении. Силовой и энергетический подходы / Назаров С.А. // Прикл. мат. и мех. -2000. Т. 64, № 3. - С. 484-496.

23. Назаров С.А. Трещина на стыке анизотропных тел. Сингулярности напряжений и инвариантные интегралы / С.А. Назаров // Прикл. математика и механика. 1998. Т. 62, № 3. - С. 489-502.

24. Ордян М.Г. Задача теплопроводности для биматериала с системой частично теплопроницаемых трещин и тепловым источником / М.Г. Ордян,

25. В.Е. Петрова // Вестник Самарского государственного университета. -Самара, 2009. (Естественнонаучная серия) . - №4(70). - С. 154-170.

26. Ордян М.Г. Термоупругая задача о взаимодействии частично теплопроницамемых трещин в двухкомпонентном материале под действием теплового потока : препринт № 30; НИИМ, Воронеж, гос. ун-т / М.Г. Ордян, В.Е. Петрова. Воронеж : ИПЦ ВГУ, 2009. - 34 с.

27. Панасюк В.В. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках / В.В. Панасюк, М.П. Саврук, А.П. Дацышин. Киев: Наук. Думка, 1976.-445 с.

28. Пеньков В.Б. О залечивающейся трещине / В.Б. Пеньков // Прикл. математика и механика. 1994. - Т. 58, № 5. — С. 154-160.

29. Пеньков В.Б. О контакте берегов трещины / В.Б. Пеньков, JI.A Толоконников // Прикл. математика и механика. — 1980. — Т. 44, № 4. С. 752-759.

30. Подильчук Ю.Н. Напряженное и термонапряженное состояние трансверсально-изотропных тел с эллиптической и параболической трещинами / Ю.Н. Подильчук // Прикл. Механика. 1993. - Т. 29, №10. - С. 26-36.

31. Прусов И.А. Напряженное состояние в неоднородной плоскости с разрезами / И.А. Прусов // Прикладная механика. 1966. - Т. 2, вып. 6. - С. 11-18.

32. Прусов И.А. Некоторые задачи термоупругости / И.А Прусов. -Минск : Изд-во БГУ, 1972. 200 с.

33. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами / М.П. Саврук. — Киев : Наук, думка, 1981. 324 с.

34. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами // Механика разрушения и прочность материалов : Справ. Пособие : в 4 т. / Под ред. В.В. Панасюка. — Киев : Наук, думка, 1988. Т. 2. -618 с.

35. Саврук М.П. О плоской задаче термоупругости для тела с термоизолированными трещинами / М.П. Саврук // физ. хим. механика материалов. - 1975. - Т. 11, № 3. - С. 110-112.

36. Саврук М.П. Термоупругое состояние плоскости с системой произвольно ориентированных термоизолированных трещин / М.П. Саврук,

37. A.П. Дацышин, И.Ф. Солтыс // Прикл. Механика. 1976. - Т. 12, № 4. - С. 89-97.

38. Саврук М.П. Поздовжнш зсув безмежного тша i3 системою ламаних трщин / М.П. Саврук, A.M. Осечко // Ф1з.-х1м. мех. матер. 2003. - Т. 39, №. 5. - С. 49-58.

39. Салганик P.JI. О хрупком разрушении склеенных тел / P.JI. Салганик // Прикладная математика и механика. 1963. - Т. 27, № 5. - С. 957-962.

40. Тамуж В.П. О взаимодействии макротрешины с микродефектами /

41. B.П. Тамуж, В.Е. Петрова // Прикладная механика. 2002. — Т. 38, № 10.1. C. 3 26.

42. Толоконников JI.A. Метод граничных представлений в двумерных задачах механики / JT.A. Толоконников, В.Б. Пеньков. Тула : ТВАИУ, 1997.-378 с.

43. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения / Г.П. Черепанов. М. : Наука, 1974. - 640 с.

44. Шифрин Е.И. Пространственные задачи линейной механики разрушения / Е.И. Шифрин. М. : Физматлит, 2002. - с. 368.

45. Berger J.R. Boundary integral equations formulations for interface crack in anisotropic materials / J.R. Berger, V.K. Tewary // Comput. Mech. 1997. - V. 20, N3.-P. 261-266.

46. Chao C.K. Thermal problem of curvilinear cracks in bonded dissimilar materials with a point heat source / C.K. Chao, L.Y. Kuo // Int. Journal Heat Mass Transfer. 1993. - V. 36, N 17. - P. 4085 - 4093.

47. Choi S.T. Elastic singularity interacting with various types interfaces / S.T. Choi, Y.Y. Earmme // Trans. ASME J. Appl. Mech. 2003. - V. 70. - P. 446-448.

48. Choi S.T. Elastic study on singularities interacting with interfaces using alternating technique. Part I. Anisotripic trimaterial. / S.T. Choi, Y.Y. Earmme // Int. J. Solids Structures. 2002. - V. 39. - P. 943-957.

49. Choi S.T. On the unified approach to anisotropic and isotropic elasticity for singularity, interface and crack in dissimilar media / S.T. Choi, H. Shin, Y.Y. Earmme // Int.J. Solids Structures. 2003. - V. 40. - P. 1411-1431.

50. Comninou M. An overview of interface crack / M. Comninou // Eng. Fract. Mech. 1990. - V. 37. - P. 197-208.

51. Comninou M. Effect of friction on the interface crack loaded in shear / M. Comninou, J. Dundurs // J. Elasticity. 1980. - V. 10(2). - P. 203-212.

52. Comninou M. The interface crack / M. Comninou // Trans. ASME. Ser: E. J. Appl. Mech. 1977. - V. 44. - P. 631-636.

53. Comninou M. The interface crack in a shear field / M. Comninou // Trans. ASME J. Appl. Mech. 1978. - V. 45(2). - P. 287-290.

54. Comninou M. The interface crack in a combined tension compression and shear field / M. Comninou, D. Schmueser // Trans. ASME J. Appl. Mech. - 1979. -V. 46(2). P. 345-348.

55. Comninou M. The interface crack with friction in the contact zone / M. Comninou // Trans. ASME J. Appl. Mech. 1977. - V. 44(4). - P. 780-781.

56. Deutch E. The distribution of axisymmetric thermal stress in an infinite elastic medium containing a penny-shaped crack / E. Deutch // Int. J. Eng. Sci. -1965. V. 3, N 5. - P. 485-490.

57. El-Borgi S. Stress intensity factors for an interface crack between a functionally graded coating and a homogeneous substrate / S. El-Borgi, F. Erdogan, F. B. Hatira // International Journal of Fracture. 2003. - V. 123. - P. 139-162.

58. England A. A crack between dissimilar media / A. England // Trans. ASME. Ser : E. J. Appl. Mech. 1965. - V. 32. - P. 400-402.

59. Erdogan F. Stress distribution between dissimilar materials with cracks / F. Erdogan // Trans. ASME. Ser : E J. Appl. Mech. 1965. - V. 32. - P. 403-410.

60. Feng X.-Q. A simple method for calculating interaction of numerous microcracks and its applications / X.-Q. Feng, J.-Y. Li, S.-W. Yu // Int. J. Solids and Struct. 2003. - V. 40, N. 2. - P. 447-464.

61. Goldstein R.V. Modeling of bonding at an interface crack / R.V. Goldstein, M. Perelmuter // Int. J. Fracture. 1999. - V. 99. - P. 53-79.

62. Gorbatikh L. A simple technique for constructing the full stress and displacement fields in elastic plates with multiple cracks / L. Gorbatikh, M. Kachanov // Eng. Fract. Mech. 2000. - V. 66, N 1. - P. 51-63.

63. Goree J.G. Bonded elastic half-planes with an interface crack and a perpendicular intersecting crack that extends into the adjacent material-I / J.G. Goree, W.A. Venezia// Int. J. Eng. Sci. 1977. - V. 15. - P. 1-17.

64. Goree J.G Bonded elastic half-planes with an interface crack and a perpendicular intersecting crack that extends into the adjacent material-II / J.G. Goree, W.A. Venezia // Int. J. Eng. Sci. 1977. - V. 15. P. 19-27.

65. Han X. Interaction among interface, multiple cracks and dislocation / X. Han, F. Ellyin, Z. Xia // International Journal of Solids and Structures. 2002. -V. 39. - P. 1575-1590.

66. Hasebe N. Interaction between a rigid inclusion and a line crack under uniform- flux / N. Hasebe, X.F. Wang, T. Saito, W. Sheng // Int. J. Solids and Struct. 2007. - V. 44, N 7-8. - P. 2426-2441.

67. Hattiangadi A. A numerical study on interface crack growth under heat flux loading / A. Hattiangadi, T. Siegmund // International Journal of Solids and Structures. -2005. -V. 42, Iss. 24-25. P. 6335-6355.

68. Herrmann K.P. Interface crack with a contact zone in an isotropic biomaterial under thermomechanical loading / K.P. Herrmann, V.V. Loboda and I.V. Kharun // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. 2004. - V.-.42, Iss. 3. -P.335-348.

69. Herrmann K.P. Modeling of thermal cracking in elastic and elastoplastic two-phase solids / K.P. Herrmann, M. Dong, T. Hauck // J. Thermal Stresses. -1997.-V. 20.-P. 853-904.

70. Herrmann K.P. On interface crack models with contact zones situated in an anisotropic biomaterial / K.P. Herrmann, V.V. Loboda // Archive of Applied Mechanics. 1999. - V. 69. - P. 317-335.

71. Kachanov M. Elastic solids with many cracks and related problems / M. Kachanov // Advances in Applied Mechanics. Academic Press. 1994. - V.30. -P. 259-445.

72. Kachanov M. On the problems of cracks interactions and crack coalescence / M. Kachanov // International Journal of Fracture. 2003. - V. 120, N. 3. - P. 537-543.

73. Kattis M.A. Thermal Green's function in plane anisotropic bimaterials / M.A. Kattis, P. Papanikos, E. Providas // Acta Mechanica. 2004. - V. 173, N 1-4.-P. 65-76.

74. Kharun I.V. A problem of thermoelasticity for a set of interface cracks with contact zones between dissimilar anisotropic materials / I.V. Kharun, V.V. Loboda // Mechanics of Materials 2004. - V. 36, Issue 7. - P. 585-600.

75. Kharun I.V. A thermoelastic problem for interface cracks with contact zones / I.V. Kharun, V.V. Loboda // International Journal of Solids and Structures. 2004. - V. 41, Issue 1. - P. 159-175.

76. Kirilyuk V.S. Stress State of an Orthotropic Material with an Elliptic Cracklunder Linearly Varying Pressure/ V.S. Kirilyuk, O.L. Levchuk // Int. Appl. Mech.- 2006. V. 42, N 7. - P 790-796.

77. Kit H.S. Thermoelastic state of half space containing a thermally active circular crack perpendicular to its edge / H.S. Kit, O.P. Sushko // Materials science. 2005. - V.41, N 2. - P. 150-157.

78. Kokini K. Transient thermoelastic fracture of interface cracks / K. Kokini, R.R. Reynolds // Journal of Thermal Stresses. 1992. -V. 15, N. 3. - P. 355-377.

79. Kumar R. Deformation due to mechanical and thermal sources in a thermoelastic body with voids under axi-symmetric distributions / R. Kumar, L. Rani // International Journal of Thermophysics. 2007. - V. 28, N. 1. — P.317-341.

80. Lee K.Y. Thermal stress intensity factors for partially insulated interface crack under uniform heat flow / K.Y. Lee, S.J Park. // Eng. Fract. Mech. 1995. -V. 50, N4.-P. 475-482.

81. Li J. Debonding of the interface as 'crack arrestor' / J. Li // Int. J. Fracture. -2000.-V. 105, N. l.-P. 57-79.

82. Li R. A solution to the thermo-elastic interface crack branching in dissimilar anisotropic bimaterial media / Li R., Kardomateas G.A. // Int. J. Solids and Struct. 2006. - V. 43, N 5. - P. 913-942.

83. Li Y.P. A modified Kachanov method for analysis of solids with multiple cracks / Y.P. Li, L.G. Tham, Y.H. Wang, Y. Tsui // Eng. Fract. Mech. 2003. -V.70, N 9. - P. 1115-1129.

84. Loboda V.V. The quasi-invariant in the theory of interface cracks / V.V. Loboda // Eng. Fracture Mech. 1993. - V. 44. - P. 573-580.

85. Matysiak S.I. Heating of a half space containing an inclusion and a crack / S.I. Matysiak, O.O. Evtushenko, V.M. Zeleniak // Material Science. 2004. - V. 40, N. 4.-P. 466-474.

86. Matysyak Ya.S. Heat-Source-Initiated thermoelastic state of a semiinfmite plate with an edge crack / S.Ya. Matysyak, A.A. Evtushenko, V.M. Zelenyak // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2003. - V. 76, N. 2. — P. 392-396.

87. Moussa Walied A. Investigating the interaction behavior between two arbitrarily oriented surface cracks using multilevel substructuring / Moussa Walied A. // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technol. 2002. - V. 124, N 4. - P. 440-445.

88. Noda N. Thermal stresses in functionally graded materials / N. Noda // J. Thermal Stresses. 1999. - V. 22, Iss. 4. - P. 477-512.

89. Ouinas D. Influence of bimaterial interface on kinking behaviour of a crack growth emanating from notch / D. Ouinas, B.B. Bouiadjra, B. Serier, J. Vina // Comput. Mater. Sci. 2008. -V. 41, N 4. - P. 508-514.

90. Paliwal B. An interacting micro-crack damage model for failure of brittle materials under compression / B. Paliwal, K.T. Ramesh // J. Mech. and Phys. Solids. 2008. - V. 56, N 3. - P. 896-923.

91. Petrova V. A survey of macro-microcrack interaction problems / V. Petrova, V. Tamuzs, N. Romalis // Appl. Mech. Rev. 2000. - V. 53, N 5. - P. 117-146.

92. Qing H. Thermal-stress analysis for a strip of finite width containing a stack of edge cracks / H. Qing, W. Yang, J. Lu and D.F. Li // Journal of Engineering Mathematics. 2008. - V. 61, N 2-4. - P. 161-169.

93. Rice J. Elastic fracture mechanics concept for interfacial cracks / J:. Rice // J. Appl. Mech. 1988. - V. 55. - P. 98-103.

94. Rice J.R. Plane problems of cracks in dissimilar media / J.R. Rice, G. Sih // Trans. ASME. Ser: E J. Appl. Mech. 1965. - V. 32. - P. 418-423.

95. Salganik R.L. Subcritical crack growth in'weak interface under mixed mode in two dimention / R.L. Salganik, V.A. Gotlib // Theor. and Applied Fracture Mech. 2001. - V. 36. - P. 233-243.

96. Sharpies J.K. Overview of fracture mechanics research activities in the UK / J.K. Sharpies, C.T. Watson, P.J. Budden // Strength, Durability and Stability of Materials and Structures (SDSMS'04). 2007. - P. 66-73.

97. Sih G.C. Heat conduction in the infinite medium with lines of discontinuities / G.C. Sih // ASME Journal Heat Transfer. 1965. - V. 87. - P. 293-298.

98. Simonov I.V. An interface crack in an inhomogeneous stress field / I.V. Simonov // Int. J. Fracture. 1990. - V. 46. - P. 223-235.

99. Simonov I.V. When does an adhesively bonded interfacial weak zone become the nucleus of a crack? / I.V. Simonov, B.L. Karihaloo // Int. J. Solids and Structures. 2000. - V. 37. - P. 7055-7069.

100. Suo Z. Mechanics of Interface Fracture : PhD Thesis. / Z. Suo. Harvard University. Cambridge, Massachusetts, 1989. - 103 p.

101. Suo Z. Singularities, interfaces and cracks in dissimilar anisotropic media / Z. Suo // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1990. - V. 427. - P. 331-358.

102. Suo Z., Singularities interacting with interfaces and cracks / Z. Suo // Int. J. Solids Structures. 1989. - V. 25, N 10. - P. 1133-1142.

103. Tamuzs V. Fracture of Solids with Microdefects. / V. Tamuzs, N. Romalis, V. Petrova. New York : NOVA Science Publishers Inc., 2000. - 247 p.

104. Tanigawa Y. Some basic thermoelastic problems for nonhomogeneous structural materials / Y. Tanigawa // Appl. Mech. Rev. 1995. -V. 48, N 6. - P. 287-299.

105. Theotokoglou E.E. An integral equation solution for cracked halfplanes bonded together and containing debondings along their interface / E.E. Theotokoglou, G. Tsamasphyros // Int. J. Fracture. 1992. - V. 55. - P. 1-16.

106. Tian W.-Y. Arbitrarily oriented crack near interface in piezoelectric bimaterials / Tian W.-Y., Chau К. T. // Int. J. Solids and Struct. 2003. - V. 40. Iss. 8.-P. 1943-1958.

107. Tian W.-Y. A semi- infinite interface crack interacting with subinterface matrix cracks in dissimilar anisotropic materials / W.-Y. Tian, Y.H. Chen // Int. J. Solids and Struct. 2000. - V. 37. N. 51. - P. 7717-7730.

108. Tian W.-Y. Interaction between an interface crack and subinterface microcracks in metal/ piezoelectric bimaterials / W.-Y. Tian, Y.H. Chen // Int. J. Solids and Struct. 2000. - V. 37. N 52. - P. 7743-7757.

109. Tsamasphyros G. Analysis of a crack in a finite thermopiezoelectric plate under heat flux / G. Tsamasphyros, Z.F. Song // International Journal of Fracture.2005. V. 136, N. 1-4.-P. 143-166.

110. Tsamasphyros G. Integral equation solution for half planes bonded together or in contact and containing internal cracks or holes / G. Tsamasphyros, P.S. Theocaris // Ingnieur Archiv. 1983. - V. 53. - P. 225-241.

111. Ueda S. Thermal mechanical response of elastic half-plane with infinite row of parallel cracks under uniform heat flux / S. Ueda, J. Ando // JSME International Journal Series A. 2006. - V. 49, N 2. - P. 250-257.

112. Vinh P.C. Interaction between a cracked hole and a line crack under uniform heat flux / P.C. Vinh, N. Hasebe, X.-F. Wang, T. Saito // International Journal of Fracture. 2005. - V. 131, N 4. - P. 367-384.

113. Wang J. Benchmark results for the problem of interaction between a crack and a circular inclusion / J. Wang, S.G. Mogilevskaya, S.L. Crouch // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2003. - V. 70, N 4. - P. 619-621.

114. Wang X.D. On the general treatment of interacting cracks near an interfacial crack / X.D. Wang, S.A. Meguid // International Journal Engineering Scientific. 1996. - V. 34, № 12. - P. 1397-1408.

115. Wang X.D. The interaction between an interfacial crack and a microcrack under antiplane loading / X.D. Wang, S.A. Meguid // International Journal of Fracture. 1996. -V. 76. - P. 263-278.

116. Williams M.L. The stresses around a fault or cracks in dissimilar media / M.L. Williams //Bull. Seismol. Sos. Am. 1959. - V. 49. - P. 199-204.

117. Xiao Z.M. Deformation and stress intensities of an interfacial craze with nonlinear fibrils / Z.M. Xiao, J.Y. Guo // Int. J. Nonlinear Sci. and Numer. Simul.- 2000. V. 1. N 4. - P. 267-274.

118. Yan X. A finite main crack interaction with an arbitrarily oriented microdefect / X. Yan // Engineering Failure Analysis. 2006. - V. 13, N 6. - P. 971-980.