Плоские задачи механики трещин и некоторые вопросы прочности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

}- | £ 03 УНИВЕРСИТЕТ

2 1\ о [{г у .

* • На правах рукописи

ГРЕКОВ Михаил Александрович

ПЛОСКИЕ ЗАЛАЧИ МЕХАНИКИ ТРЕШИН И НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПРОЧНОСТИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1994

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

ЛИХАЧЕВ Владимир Александрович

доктор технических наук, профессор

МОРОЗОВ Евгений Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор

БЕТЕХТИН Владимир Иванович

Ведущая организация - Морской технический

государственный университет

Защита состоится 994 г. в часов

на заседании специализированного совета Д 063 57 34 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико - математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пи., 2.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета: Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан " 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета, профессор

С.А.Зегжда

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование повых задач механики трещин, деформации и разрушения материалов и элементе!) конструкций вытекает из потребности в создании высокопапряжен-ных сооружений, машин и механизмов. Наличие в теле трещип и трещиноподобных дефектов, как правило, является решающим фактором в развитии процессов, приводящих к разделению тела на части. Чтобы иметь возможность влиять па вти процессы, предотвращать разрушепие или смягчать его последствия, наряду с проведением экспериментов необходим теоретический анализ соответствующих моделей, в частности, плоских задач, имеющих широкий спектр приложений и наиболее доступных для всесторонних исследований.

К практически важным задачам относятся плоские задачи теории упругости для приповерхностных трещин. Для получения более полной картины взаимодействия трещины с поверхностью тела необходим эффективный метод решения соответствующих задач, позволяющий с требуемой точностью определять напряженно - деформированное состояние (НДС) в любой точке области при различной конфигурации границы и произвольной системе действующих нагрузок. Существующие общие методы решения плоских задач теории упругости (метод сингулярных интегральных уравнений (СИУ), метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) и др.) применяются, в основном, для вычисления коэффициентов интенсивности напряжений (КИН).

Построение решений задач линейной теории упругости является первым этапом в подходе к изучению поведения реальной трещины, у края которой деформации тела следуют геометрически и физически нелинейному закону. Особый теоретический и практический интерес представляет исследование вопросов, связанных с устойчивым квазистатичесхим ростом трещины в однородном и неоднородном (случай приповерхностной трещины) поле напряжений при разлшшых режимах двухосного вагруже-ния. Речь идет, прежде всего, о возможности контролировать поведение усталостной трещины (скорость и направление распространения) при помощи минимального числа локальных па-

раметров НДС црикраевой зоны, найденных расчетным путем, т. е. параметров, характеризующих особенность развития пластических деформаций, вследствие которого в процессе изменения двухосной нагрузки происходит накопление повреждений и подготавливается прорыв трещины.

Оценка предельного состояния макрообъема деформируемого тела (как у края трещины, так и в сплошном элементе конструкции) связана с одной и той же проблемой выбора адекватного критерия. Лля анизотропных материалов решение этой проблемы нри неформальном подходе состоит в учете влияния упругой анизотропии (текстуры) ца прочностные и пластические свойства этих материалов. Исследование связи между пластической анизотропией и кристаллографической текстурой материала ведется большей частью экспериментальными методами с позиций металловедения. Особенности упругой анизотропии материала остается при этом без должного внимания. Немногочисленные теоретические подходы к этому вопросу недостаточны для выявления какой-либо закономерности.

Прогресс в механике трещин во многом сдерживается трудностями аналитического решения задач в нелинейной постановке, позволяющей описать, в частности, большие деформации и конечные углы поворота, которые всегда имеют место у края трещины. Такие решения можно сосчитать по пальцам. Наиболее актуален учет геометрической нелинейности при анализе разрывов "мягких" материалов типа эластомеров (резина, полимеры), а также соединений из них (резино-металяов, резино-пластиков и др.) при наличии трещины на границе раздела. В силу своей специфичности (осцилляция перемещений и напряжений в "классическом" решении линейной задачи) задачи о межфазной трещине в геометрически-нелинейной постановке представляют исключительный интерес.

Цель работы. Исследование линейных и нелинейных аспектов деформирования и разрушения тел с трещинами, а также прочности и пластичности анизотропных материалов, т.е.: - создание эффективного метода решения широкого класса плоских задач теории упругости для тел с приповерхностными тре-

шинами, позволяющего с требуемой точностью строить решение в аналитическом виде;

- анализ взаимодействия припоперхиостпой трещины с границей при хрупком и квазихрупком разрушении;

- изучение влияния двухосной нагрузки и условий нагружеиия на развитие локализовании* пластических зоп у кран третшгы (в том числе припоперхпостпой) и па скорость распространения усталостпой трещипы в однородном поле напряжений при плоской деформации;

- установление связи прочпостпых и пластических свойств первоначально ортотротгых тел с упругой анизотропией материала, оценка влияния упругой анизотропии на поведение усталостной трещины;

- исследование особенностей деформирования двухкомпонептных композитов с межфазпой трещиной в условиях геометрической нелинейности, уточнение НЛС у края межфазной трещины при липейно-упругом законе.

Научпад новизна. Использованы новые подходы и методы, позволившие получить ряд неизвестных ранее результатов, а именно:

Разработал нетрадициоппый подход к методу фиктивных сил в сочетании с принципом суперпозиции, который состоит в автоматическом удовлетворении граничным условиям па внешней границе области и сводит решение плоской задачи линейной теории упругости для нриповерхпостпой прямолинейной трещины к решению интегрального уравпепия Фредгольма второго рода с регулярными ядрами, не имеющего аналогоп в литературе. Построен приближеппый аналог этого уравневня - граничное условие, выраженное через достаточно гладкие функции на трещине. Это дало возможность получить новые результаты (КИН, предельную нагрузку, площадь раскрытия для трещины в полуплоскости, полосе и около криволинейной границы) и изучить поведение трещины при более близком расположении к границе, чем удавалось ранее. Отличительная особенность используемого метода - представление приближенного решения в аналитическом виде. В результате - всестороннее исследование НЛС

полуплоскости и полосы с трещиной, параллельпой границам.

Теоретическим путем определен локальный параметр НДС у края трещины - максимальный размер зояы вторичных пластических деформаций, изменение которого указывает на причилу наблюдаемого в экспериментах различия скорости роста усталостной трещины (СРТ) при различных режимах двухосного циклического нагружения. Предложено и обосновано кинетическое уравнение, связывающее СРТ с этим параметром и максимальным размером малой пластической зоны, отвечающей максимальной нагрузке за цикл при монотонном нагружснии.

Получепы выражения для упругой энергии дисторсии (изменения формы) и упругой энергии дилатации (изменения объема) ортотропного тела и построены поверхности, аналогичные поверхностям Р.Мизеса и П.П.Баландипа в изотропном случае. Сформулированы и апробировапы критерии прочности и пластичности ортотронпых тел, в которые входят три параметра упругой анизотропии материала: главные значения тензора модулей дилатации, характеризующие упругое изменение объема. Выявлены эффекты влияния гидростатического напряжения на пластические деформации и дилаталсшо (остаточное изменение объема) ортотропного тела, а также упругой анизотропии на СРТ в трансверсально-изотропной пластине.

Построены точные решения плоских задач нелинейной теории упругости о деформации двухкомпонентпого композита с межфазной трещиной (трещина между двумя предварительно напряженными деформируемыми средами, отрыв от жесткого края без учета и с учетом контакта поверхности трещины). Получено распределение напряжений и перемещений у края трещины при линейно - упругом законе, которое существенно меняет представление о НДС прикраевой зоны, сложившееся по решению соответствующих задач линейной теории упругости. Проведен анализ НДС прикраевой зоны и всего композита с трещиной в целом, позволивший скорректировать и уточнить результаты решений линейных задач.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной постановкой задач, логической последовательностью

рассуждений, обоснованным применением математического аппарата, совпадением в частных случаях с теоретическими и экспериментальными результатами других авторов.

Практическая ценность. Проведенною в диссертации исследования и полученпые результаты способствуют дальнейшему развитию теоретических основ мехапики разрушения. Это касается, прежде всего, коррекции устоявшихся представлений, опирающихся на решения задач механики трещип п линейно - упругой постановке, как, например, задач о межфазной трещине. С другой стороны - имеют прикладное значение в вопросах пераз-рушающего контроля и прогноза поведепия трещин усталости, изготовления и оцепки прочности анизотропных материалов, а также выбора этих материалов па стадии проектирования конструкций с целью повышения трещипостойкости последних.

Приведенные в диссертации результаты могут быть полезными при планировании экспериментальных исследований квазихрупкого разрушения пластин с трещинами в условиях двухосного циклического нагружения, а также влияния упругих свойств на прочность и пластичность анизотропных материалов.

Разработанный метод решения плоских задач линейной теории упругости для прямолинейных нриповерхпостных трещин применим также и для решения более сложных задач, представляющих теоретический и практический интерес. К ним относятся задачи с учетом контакта поверхностей трещины, расположенной около границы, а также задачи для приповерхностной трещины в нелинейно-упругой постановке, решение которых можно свести к суперпозиции решений задач с линейными граничными условиями на исходных недеформировапных границах.

Многие рассмотренные в диссертации вопросы возникли из потребностей практики, и их решение связано с хоздоговорными работами, выполнявшимися по правительственным постановлениям.

Апробация. Отдельные результаты диссертации докладывались на Всесоюзных семинарах "Актуальные проблемы прочности" (Тарту, 1985, Старая Русса, 1991, Вологда, 1992, Новгород, 1994), б-м Всесоюзном съезде по /теоретической и ириклад-

ной механике (Ташкент, 1986), 4-ой Всесоюзной конференции по смешанным задачам механики деформируемого тела (Одесса, 1989), 3-ей Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости (Сыктывкар, 1989), семинаре "Проблемы разрушения металлов и фрактография" под рук. проф. Е.М.Морозова (Москва, 1989), Межрегиональных семинарах но усталости тонкостенных конструкций под рук. проф. С.В.Петинова (Санкт-Петербург, 1992, 1994), Петербургских чтениях по проблемам прочности (Санкт-Петербург, 1994), Всероссийской конференции "Механика разрушения в вузах России" (Санкт-Петербург, 1994). В целом результаты работы докладывались на научных семинарах: по вычислительным методам механики деф. тела (рук. -проф. Ю.М.Лаль, Санкт-Петербургский ун-т, 1993), по прочности (рук. - проф. В.А.Лихачев, Санкт-Петербургский ун-т,

1993), по теории упругости и теоретической и прикладной механике (рук. - чл. кор. РАН, проф. Н.Ф.Морозов и проф. П.Б.Товстик, Санкт-Петербургский ун-т, 1994), по кораблестроению (рук. - проф. С.В.Петинов, Морской технический ун-т,

1994).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 251 наименований, содержит 49 рисунков и 12 таблиц; в приложении приводятся решения двух базовых задач. Общий объем работы составляет 286 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы, краткий обзор литературы, имеющей непосредственное отношение к рассматриваемым проблемам, и краткое содержание работы.

В первой главе исследуется влияние границы тела на предельное состояние приповерхностной трещины при хрупком разрушении в условиях плоской деформации или плоского напряженного состояния. С этой целью разработан аффективный метод решения плоских задач линейной теории упругости для пря-. молинейной трещины (при самоуравновешенной нагрузке на ее

поверхностях) в иояубескопечных областях, конформно отображаемых рациональной функцией на цояуплоскость.

Согласно этому методу решение исходной краевой задачи представляется в виде суммы решений двух задач - плоской задачи для трещины в плоскости при действии па ее поверхности неизвестной самоуравповешенпой пагрузки и плоской задачи для исходной области без трещины с краевыми условиями, полученными в результате вычитания соответствующего регаспия первой задачи из заданных на границе области функций (напряжений или перемещения). В результате краевые условия па внешней границе области удовлетворяются автоматически, что является одним из отличий данного метода от подобных подходов, используемых в различных модификациях в работах C.E.Massonet, А.Я.Александрова, С.Крауча и А.Старфилда, Х.Лж.Альтиеро и Л.Л.Сикарски, G.T.Liu и Y.Chi и др. и приводящих к СИУ.

Лля решения задач привлекается комплексный аппарат Колосова - Мусхелишвили. причем для каждой из вспомогательных задач формулы Г.В.Колосова выражаются через одну кусочпо -голоморфную в плоскости функцию.

В §1 рассматривается деформация нижней полуплоскости с прямолинейпой трещиной конечной длины. Решепие каждой из вспомогательных задач общеизвестно. При построении решения второй задачи комплексный потенциал для нее Фз находим через потенциал i>i первой задачи.

f Ф> [(<-ftft)e-'°], 6 >0

ф2(0 = Ф*Ю + < -ЫСч) - [«!(« - Ф1(С,Ь (1.1)

1 2tCiФ'](Сз)] 6 <0

при нагруженной границе полуплоскости и

Г-*Ф1 [(C + ^e-'j, 6>0

*»(0 = ф*(0+ \ 2t sing Ф1(Са)+ (1-2)

1 [ФЛСз) - 2iC^',(?2)]e2i°}, 6<0

при заданных на границе полуплоскости перемещениях, где f = fi + ifj (is = 0 - граница полуплоскости); fi = (в'та-h cos о, Сз = (С - ih)e'°; а - угол наклона трещины к границе; Л - расстояние

от середины трещины до границы, Ф* - функция, зависящая от заданных условий на границе; х - копстапта плоской задачи.

Соотношения (1.1), (1.2) носит общий характер и имеют самостоятельное значение, так как потенциал Ф1 в лих не конкретизирован. Так, если Ф1 определяет действие сосредоточенной силы в плоскости, то с помощью (1.1), (1.2) по изложенной выше схеме можно получить соответствующие фундаментальные решения для полуплоскости. При свободной границе полуплоскости такое решение известно, чего нельзя сказать о случае жесткой границы.

Удовлетворяя граничным условиям на трещине, полудлина которой приведена к 1, приходим к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с регулярными ядрами i i р(*0- J к^хиг)Р(г)<а- jкг{хи1)Щи = Р\хх), (1.3) -1 -1 где vixi) - неизвестные комплексные усилия на трещине; p*(xi) - известная функция, определенная при |®i| < 1 через заданные функции иа трещине и на границе полуплоскости; K¡ - достаточно гладкие функции; —* 00 при h —*■ ama, xi = i, \x¡\ = 1; lim Kj(x¡,t) = 0, Kj(x¡,0) = 0; (j = 1,2). Существование реше-

A-» о» >

ния (1.3) возможно в классе функций, удовлетворяющих почти всюду условию Гельдера, а единственность вытекает из механического смысла искомых функций и постановки задачи.

При раскрытии трещины парой сосредоточенных сил ±(Pi,Pj), приложенных к ее поверхностям в точке с ±1, представление p(x¡) =■ ~Р6{хi - с) + /(х[) (Р - Р\- iP2, ¿(ai) - функция Дирака, J(x\) - гладкая функция) позволяет получить то же уравнение (1.3) относительно функции { с гладкой правой частью, зависящей от h и при h эта имеющей особенность в точках Х\ — с, ±1.

Последнее обстоятельство ухудшает точность численного решения уравнения (1.3) при Л —* eine* по сравнению со случаем гладкой нагрузки на трещине, однако результаты, впервые полученные в данной работе, свидетельствуют об эффективности метода и для таких неординарных нагрузок.

N N

Пусть р("ЛИ р(х>) = Е

где Г„ - полипомы Чебышева 1-го рода. Апалогичпо для функции /. Выражая Ф; через кусочно - голоморфные в плоскости функции (вывод находится в Приложении), (1.3) приводим к равенству

N

£ М„(г0 + с,А(х,)] = в(х1), |г,| < 1, (1.4)

»-о

где - достаточно гладкие функции, образующие множество

М линейно - независимых функций и допускающие при нулевых условиях на границе полуплоскости множество частных решений уравнения (1.3) вида {х^гх*} или {Тц.гТ*} (к, п- 0, 1, 2, ...).

При фиксированных значениях постоянных с„ равенство (1.4) является условием для фупкшш, заданных на границе (для функции (?), при выполнении которого один из полиномов - точное решение уравнения (1.3). Полученные при этом аналитические зависимости для напряжений и производных от перемещений дают точное решение исходной задачи.

При произвольных граничных условиях функция р (или /) аппроксимируется одним из полиномов с неизвестными коэффициентами, и (1.4) рассматривается при N -* оо как разложение известной правой части по функциям множества М. В этом случае построенное решение задачи становится приближенным. Его точность зависит от точности аппроксимации функции в левой частью равенства (1.4), зависящей от параметров N, А, а.

Численные эксперименты по решению уравнения (1.3) методом механических квадратур с применением формулы Сим-псопа и нахождению коэффициентов с, из (1.4) методом колло-каций и методом Бубнова - Галеркина при различных вариантах граничных условий показывают, что для достижения требуемой точности наиболее эффективным из них является метод коллока-ций с узловыми точками - экстремумами полиномов Чебышева. Критерием точности служит точность вычисления ТСИН - интегральной характеристики функции р. Все результаты вычислений для приповерхностной трещины получены в работе этим методом при аппроксимации функции р обычным полиномом.

При найденных значениях с„ ПЛС и области определяется по построенным аналитическим зависимостям. Через с„ достаточно просто выражаются НИН, раскрытие и площадь раскрытия трещины. Значения последней и КИН приводятся в виде таблиц для трещины, параллельной свободной и жесткой границам полуплоскости и раскрываемой в середине парой нормальных сил при I < 12/1 (I - нолудяина трещины). Эти результаты представляют интерес для моделирования разрушения горных пород при сжатии вдоль стенок выработок. В неограниченном теле модель расклиниваемой в середине трещины использовалась с этой целью для опенки дилатансии Г.П.Черепановым, Р.Л.Салганикоы, Л.Н.Германовичем с соавторами.

В случае свободной границы дается оценка погрешности простейшей аппроксимации КИН, стыкующейся с известными асимптотически точными значениями при Л// —* 0 и к/1 оо, а также дипольной асимптотики площади раскрытия при 1г/1 —► оо, пайдеппой А.В.Дыскипым с соавторами. Обнаружепо, что при I к 0.55Л зависимость КИН К1 от I имеет мипимум. Так как ■Й'г < А"ь то это указывает на переход к неустойчивому распространению трещины в хрупкой среде вдоль границы, что согласуется с наблюдаемым на практике внезапным отслоением породы, сжатой вдоль свободной поверхности.

В то же время, построенные по критерию Си - Эрдогааа - Черепанова зависимости для угла страгивания хрупкой трещины показывают, что параллельная свободной границе трещина стремится выйти на поверхность. В связи с этим, более реалистичной моделью устойчиво растущей вдоль свободной поверхности трещины, наблюдаемой в экспериментах при одноосном сжатии, является трещина, находящаяся в поле всестороннего в плоскости сжатия и расклиниваемая вблизи краев (модель Л.В.Никитина и В.Н.Одянцева). Решение соответствующей плоской задачи для такой приповерхностной трещины с учетом участков контакта также может быть получено описанным выше методом.

Достоверность результатов вычислений и преимущество изложенного метода продемонстрированы в случае действия давления на поверхность трещины, параллельной свободной гра-

вице. Полученные К-Лвква^Ь четыре значащие цифры КИП при I < ЮЛ совпали с нашими результатами. Благодаря разработанному методу, значения КИН и, следовательно, решепие задачи в целом удается получить при расстояниях трещины до границы, на порядок меньших, чем нриведепо л литературе. При I = 100/» значения КИН с погрешностью до 2.5% совпали с асимптотически точными значениями, для нахождения которых использованы результаты работы С.А.Назарова и О.Р.Поляковой.

В §2 изложенный выше метод применяется к первой основной плоской задаче о деформации упругой полосы с внутренней трещиной, хотя он применим также и при заданных перемещениях, и при смешанных граничных условиях. Этой задаче, как и задаче для полуплоскости с трещиной, посвящено большое число работ (см. справочники под ред. Ю.Муракамп, П.М.Саврука и др.), однако все они ограничиваются изучением КИН и практически пепригодпы для исследования НДС во всей области.

Решепие задачи при заданных на границах полосы напряжениях и самоуравповешепной нагрузке па трещипе находим в виде суммы трех задач. Решения первых двух построены в §1, а решение третьей (для сплошной полосы с пулевыми условиями на верхней границе к усилиями па нижней границе, равпыми разпости заданных напряжений и решений первых двух задач па соответствующей прямой) находим приближенно при помощи рядов Фурье. Для этого вместо бесконечной полосы рассматриваем полосу конечной длины £о(£о {Н, I}, Н - ширина полосы, 21 - длина трещины). Граничные условия на торцах выполняются в смысле Сеп-Венапа. Удовлетворяя граничным условиям на трещине, приходим к условию (1.4). Метод решения третьей задачи предложен Ю.М.Далем.

Здесь также можно показать существование множества граничных условий, допускающих точное решепие поставленной задачи. При произвольных гратгчпых условиях коэффициенты с„ находятся приближенно, после чего НДС в полосе с трещиной определяется аналитическтш зависимостями, приведенными в §1, при добавлении к ним решения третьей задачи с входящими в него постоянными с,.

Приводятся результаты расчетов на ЭВМ для трещины под

давлением при свободных от напряжений границах полосы: зависимости НИН и предельной нагрузки по критерию В.В.Новожилова (при использовании главного члена асимптотики напряжений у края трещины) от угла наклона трещины и расстояния до одной из границ полосы различной ширины. Расчеты проведены В.А.Курочкиным. В частных случаях зпачеяия КИН совпадают с результатами, полученными другими авторами.

Установлено, что при Л» > 0.75Я (Ь} - расстояние от дальней границы полосы до ближайшего к ней края трещины) ширина полосы не влияет на предельную нагрузку, соответствующую хрупкому разрушению у другого края. Таким образом, при выполнении этого условия трещину можно рассматривать не в полосе, а в соответствующей ей полуплоскости. Это существенно упрощает решение задачи и анализ поведения трещины.

В §3 тем же методом строится решение первой основной задачи для трещины в полу бесконечной области с криволинейной границей, конформно отображаемой на полуплоскость рациональной функцией, хотя решение может быть построено также и для двух других типов задач. В частных случаях решение подобных задач для определения КИН рассмотрено Е.М.Борщуком и В.В.Паваскжом (трещина около мелкой выемки) и УЛ.СЬеп и \ЛЛ2.1лп (трещина около глубокого параболического выреза) и сведено к решению СИУ.

Вначале находим решение второй вспомогательной задачи при заданных напряжениях на границе полубесконечной сплошной области. Продолжение комплексного потепциала Ф через границу полуплоскости (образ исходной области) на всю плоскость позволяет выразить напряжения только через этот потенциал и отображающую функцию ы и свести задачу к неоднородной задаче Гильберта с линией скачков - вещественной осью. Решение последней представляем в специальном виде, учитывающем поведение и на бесконечности. Приводятся примеры определения Ф, построенные М.В.Лебедевой, а также выражение для Ф в общем виде, которое отвечает области с выступом (выемкой) произвольной формы.

Далее решение исходной задачи ищем для трещины около выступа или выемки при а>(С) = + Ь/(С ~ 4С) (а, 6, с - постоян-

ные). Процедура построения - та же, что и в §1- Коэффициенты сп находятся из (1.4), где Ftn, S„, G выражены через определенные интегралы по бесконечной прямой от функций, не имеющих особенностей. При стандартизации метода эти функции можно выразить через аналитические в области функции при помощи рядов. Для этой цели требуется либо разложить числители по-динтегральных функций в ряды Фурье, либо ввести па границе области неизвестную комплексную нагрузку, представляя ее на соответствующей вещественной оси в виде разложения по простейшим рациональным функциям. Вспомогательные соотношения для этого приведены в Приложении.

Практическая реализация изложенного решения содержится в кандидатской диссертации М.В.Лебедевой, где всесторопне исследовано взаимодействие трещипы с криволинейной свободной границей, определяемой приведенной функцией и.

Вторая глава посвящена исследованию влияния вида двухосной нагрузки, действующей вдоль и поперек поверхности трещины, и условий нагружения на развитие локализованных пластических зон и рост усталостной трещины в однородном поле напряжений, а также искажения напряженно-деформированного состояния в окрестности трещины, вносимого свободной границей тела, и эффекта воздействия этого искажения на поведение приповерхностной трешины при квазихрупком разрушении.

Поведение трещины в однородном иоле двухосной нагрузки изучалось теоретическими и экспериментальными методами различными авторами (J.Eftis, J.Lee, Н.Liebowitz, K.Miller, P.Theocarä, В.Н.Шлянников и др.). Из них один только К.Миллер экспериментальным путем обнаружил, что СРТ в пластинах из алюминиевых сплавов зависит не только от величины продольных усилий, по и того, изменяются ли они синхронно с поперечными усилиями или постоянны в процессе циклического нагружения. Принятый в §4 подход позволяет качественно объяснить причину этого явлепия.

Рассмотрим неограниченное изотропное тело из идеального упругопластического материала, подчиняющегося условию текучести Мизеса, со сквозной трещиной конечной длины в усло-

виях плоской деформации. Поверхности трещины свободны, а на бесконечности осуществляется медленное монотонное нагру-жение до напряжений р\, р2 соответственно вдоль и поперек поверхностей трещины с последующей разгрузкой до напряжений

В качестве основной гипотезы считаем, что распределение напряжений на упругонластической границе при монотонном на-гружеиии подобно распределению напряжений, найдеппому па данной кривой из решения соответствующей задачи в линейно-упругой постановке. Тогда граница пластической зоны при монотонном пагружении приближенно определяется равенством

= А<Ту, (2.1)

где or' - интенсивность напряжений, определяемая по известному решению задачи в упругой постановке; Л - коэффициент подобия; <гу - предел текучести при растяжении.

Эта гипотеза согласуется с наблюдаемым в экспериментах геометрическим подобием упругонластической границы и изолиний с? = const при локализованном пластическом течении около отверстий и трещин. Пластическая зона, определяемая кривой (2.1) при коэффициенте Пуассона v — 0.3 и pi < 0.5<гу, сравнивалась по основным геометрическим параметрам пластических зон с результатами численных решений соответствующей упругонластической задачи методом конечных элементов при одноосном нагружении ( T.Yokobory и A.Kamei) и при маломасштабыом пластическом течении (Д.М.Трейси, Дж. Райе и М.Джонсон, N.Levi et al. и др.). Установлено, что наименьших расхождений (в пределах 10% по максимальному размеру пластической зоны Лп и 20% по площади, что вполне допустимо, учитывая погрешности теории пластичности и методов решения задач) можно достичь при А € [0.92, 0.96]. При этом величина Rm может достигать 0.3 от полудлины трещины. Кроме того, согласно IO.M. Далю, применение метода упругих решений А.А.Ильюшина к решению соответствующей упругопластической задачи во втором приближение дает А « 0.94. В дальнейшем считаем А = 0.94.

Необходимо подчеркнуть, что гипотеза о подобии носит все же частный характер. Она дает большую погрешность при

плоском напряженном состоянии (хотя, согласно Н.А.Махутову и В. Л .Петушков;», гораздо ближе к истине, чем гипотеза о клиновидной форме пластической зоны) и совсем неприемлема при аптиплоском сдвиге.

В соответствии с принятой гипотезой напряжения на унру-голластической грапице задаются равенством <г;;- = сг';-/А. Распределение напряжений в пластической зоне при монотонном на-гружении находим по схеме жестко-пластического тела для несжимаемого материала.

При различных значениях отношения Р1/Р2 = к определенная таким образом граница пластической зоны состоит из четырех участков, па каждом из которых может быть решена задача Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка гиперболического типа. Решение этой задачи около каждого участка находим численно конечно-разностпым методом. Сходимость решения проверяем варьированием узловых точек на границе. В результате поля линий скольжения, построенные около двух участкос границы, не примыкающих к краю трещины, покрывают большую часть пластической зоны, хорошо согласуясь друг с другом. Оставшееся "белое пятно" у края и нестыковка двух других полей линий скольжения связаны, очевидно, с приближенным способом определения упругопластиче-ской границы и краевых условий. Можно заметить, однако, что в силу больших деформаций вблизи края трещины, попытка построить здесь решение, основанное на геометрически - линейной теории, лишена смысла.

В работе приводятся примеры полей линий скольжения, построенных при одноосной нагрузке (к = 0), а также распределение напряжений <ги в пластической зоне вдоль линий, параллельных поверхностям трещины. Характерное смещение максимума этих напряжений по отношению к максимуму решения упругой задачи в направлении распространения трещины согласуется с аналогичным эффектом у концентраторов, для которых, согласно упругопластическим решениям Б.П.Кишкина и В.И.Махненко, пик напряжений находится вне контура области.

Решение, найденное в пластической зоне используется далее для отыскания границы области вторичных пластических де-

1Г

формаций при разгрузке. При этом считаем, что разгрузка пропорциональна некоторому параметру и следует упругому закону до достижения интенсивности напряжений <г; предела текучести материала. Эффект Баушингера ne учитываем.

Пусть напряжения сг£ являются решением упругопласти-ческой задачи для тела с трещиной и соответствуют усилиям Pi, Fi, действующим на бесконечности, а <гп - решением аналогичной упругой задачи при действии иа бесконечности усилий Д1 = Pi ~ ?ь Д1 — Рз — 9з- Тогда вследствие упругой разгрузки (В.В.Москвитин) напряженное состояние, соответствующее усилиям çi, g:, в области, занятой пластической зоной монотонного нагружения, определяется равенствами crj- = <rfj - afj (i, j = 1, 2).

Границу области вторичных пластических деформаций па-ходим из равенства (2.1), заменяя c'j на а"у Вычисления показывают, что большая часть области вторичных пластических деформаций расположена в поле линий скольжения, построенном около передней части упругопластической границы монотонного нагружения. В работе приводятся зависимости максимальных размеров зоны монотонного нагружения Fim, отвечающей усилиям р\, рз, и зоны вторичных пластических деформаций гт от величин рз и i при частичной и полной разгрузке и различных режимах изменения продольных усилий (Ai = 0, р>). Выбор Jtm, гт обусловлен вытекающей из асимптотических решений Хатчинсона-Райса-Розенгрена ( H Rit) связью этих параметров с максимальными значениями интенсивности пластических деформаций сдвига при условии малости пластических зоп.

Обнаружена прямая зависимость СРТ dl/dN в экспериментах Миллера (dl/dN < 2 • 10""' м/цикл) от тт при различных режимах циклического нагружения. Это дает основание ввести параметр rm в кинетическое уравнение для dl/dN на среднем участке кинетической диаграммы усталостного разрушения вместо размера циклической зоны, отвечающей многократному изменению нагрузки. Простейшая степенная зависимость dl/dN от максимального размаха интенсивности пластических деформаций сдвига на характерном для данного материала расстоянии от края трещины приводит (с учетом решений HRR) к кинети-

ческому уравнению

<И/<1Ы = С{Яп + гпу, (2.2)

которое качественно согласуется с выявленной связью г„. и «Л/ЛЛ'.

В §5 для изучения НДС около трещины, параллельной свободной границе полупространства и слоя в условиях плоской деформации, используются соответствующие решения линейно-упругой задачи, построенные в §§1, 2, и приближенный метод определения упругопластогаеской границы при ыоцотоппом на-гружепии, описапный в §4. На поверхностях трещины действует давление, а на бесконечности - продольные усилия.

Получепы распределения напряжений при различных расстояниях от трещины до свободной границы, анализ которых дозволяет выявить преимущественные направления интенсивного сдвигообразования, подтвердившиеся при построении пластических зон, а также определить направление распространедия трещины нрн хрупком разрушешлг. По критерию Мизеса иолучепы зависимости предельных значений давления, определяющих па-чало пластического течепия над серединой трещины (на поверхности или на свободной границе), от расстояния трещины до границы и продольных усилий.

Построены границы пластических зон при различных вариантах действующих нагрузок и расстояния трещины до границы. Выявлена тенденция развития пластических деформаций при изменении назваппых параметров. На основании энергетического критерия (по направлению радиуса-вектора точки на упругопла-стической границе, ближайшей к краю трещины) уточняется направление роста трещины при квазихрупком разрушении. Показано, что это направление зависит от значений обеих нагрузок и может существенно отличаться от предсказаний линейной механики разрушения. Так, несмотря на симметрию задачи, при относительно больших значениях растягивающих продольных усилий форма пластических зон указывает па возможность центральной трещины в полосе выйти из своей плоскости. Аналогичная реакция трещипы на действие продольной нагрузки ранее была экспериментально и теоретически изучена рядом исследователей для трещипы в однородном поле папряжений.

В §6, в связи с широкий применением двучленных асимптотических формул упругого решения, при |fc| < 1 определяются границы, в пределах которых значения Jim, вычисленные по этим формулам и по точному решению упругой задачи, практически совпадают.

В третьей главе с феноменологических позиций исследуется эффект влияния упругой анизотропии на прочность и пластичность ортотропных тел, а также па особенности развития локализованных пластических зон около края трещины нормального отрыва и, как следствие, па условия распространения последней при переменном пагружении.

В §7 удельную упругую энергию ортотропного тела Ф (2Ф = о-аВу/л^а/зсгуц, aoffin - компоненты тензора упругих податливостей) представляем в виде суммы упругой энергии цилатации Ф„ (дФ„/да'- = С, а[; - напряжения, вызывающие дисторсию) и упругой энергии дисторсии Фа- (дф^/де = 0, е - первый инвариант тензора деформации). Следует отметить, что в ряде работ (C.B.Norris, W.Olzak и W.Urbanowsky, Z.Sobotka) попытки такого представления привели к ошибочным результатам.

Далее рассматриваются энергетические критерии прочности ортотропного тела

2Ф i = Fle + F2, (3J)

согласно которым предельное состояние тела определяется постоянным (Fi = const ф О, F\ — 0) или линейно зависящим от ди-латации (F\ = const ф 0) предельным значением упругой энергии дисторсии. Оба критерия вытекают из физически обоснованной гипотезы Генки и являются аналогами соответственно критериев Р.Мизеса и П.П.Валандина в случае изотропии. В (3.1) функция Фi имеет вид

Ф^ = Аи{К3а2j - Kicrx,)3 + Ax(Ki<r3i - К3<Тц)*+ А&(КгсГц - Kicrjtf + Лцо-Jj + А13о-|з + Аз(3.2)

где Aij выражаются через упругие постоянные материала, Kj -главные значения тензора модулей дилатации.

В общем случае анизотропии равенство (3.1) приводится в пространстве главных напряжений в первом случае к уравнению поверхности эллиптического цилиндра

А,£[ + = (3.3)

(ОХ,з - ось цилиндра, А; > 0), во втором - к уравнению поверхности эллиптического параболоида

А1Ё? + = -2Ё3 (3.4)

(ОЕз параллельна ОЗз, Ау > 0).

Ввиду скудости экспериментальных данных дать исчерпывающий ответ о применимости критериев (3.1) в пастоящее время не представляется возможным. По-существу, критерии.(ЗЛ) характеризуют прочность "идеальных " анизотропных тел, у которых поверхность прочности подобна одной из поверхностей (3.3), (3.4). При этом, естественно, идеализируется сам процесс разрушения реальных материалов, протекающий на различных структурных уровнях при изменении внешних воздействий и с течением времени. Тем не менее, концепция предельного состояния достаточно эффективно применяется на практике, и, учитывая развитие технологий создания новых материалов, возможности критериев (3.1) в перспективе могут раскрыться.

В частных случаях критерий (3.1) С) дает хорошее совпадение с экспериментом и для таких структур®) неоднородных материалов как стеклопластики. Приводится пример стеклопластика (ЭЛТ-10 и волокно В-1) с соотношением слоев намотки 2:1, экспериментальные данные по прочности которого при одноосном сжатии в плоскости намотки достаточно хорошо описываются этим критерием. При этом потребовалось знание упругих постоявпых материала и двух констант прочности -£\, Все известные критерии (Мизеса-Хилла, Е.К.Ашкенази и др.) требуют определения трех и более констант прочности для построения той же кривой. Вместе с тем, следует отметить, что при одноосном нагружении в других плоскостях, прочность этого стеклопластика плохо поддается описанию поверхностью (3.1).

Полагаем затем, что в (3.1) А^- - константы прочности. При втом сохраняется независимость функции Ф,£ от дилатации, что

и определяет влияние упругой анизотропии на прочность материала. В качестве примера применения критерия (3.1) в таком виде рассмотрен графит марки АСОТ (данные C.Huang) -трапсверсально - изотропный материал, хрупкое разрушение которого зависит от гидростатического давления и происходит вследствие смещения базиспых плоскостей друг относительно друга с разрывом межслойных связей. Кривая (3.1), построенная по четырем константам прочлости в плоскости, перпендикулярной плоскости изотропии, хорошо согласуется с экспериментом. Единственная упругая постоянная варьировалась в пределах [0.1, 0.5], что соответствует данным по упругим постоянным других аналогичных графитовых материалов.

В §8 предложен критерий пластичности анизотропного тела, в который, как и в критерий прочности, упругие постоянные входят в виде главных значений тензора модулей дилатации. Таким образом, дилатация влияет на текучесть материала только при наличии эффекта 80 (различия пределов текучести при сжатии и растяжении). Критерий имеет вид

[Ли(хзаи - *2<Тзз)3 + Ап^щазз - + Азз{хз<Гп - *1<Гзз)3+

•АцОп + ¿гзРи + Лн^]1,1 + = 1, (3.5)

где Ац, а, - постоянные, определяемые через пределы текучести, X; = ЗК;/(К1 + К3).

При = 1 условие (3.5) совпадает с критерием О.Г.Рыба-киной, ери X; = 1, оц = 0 - с критерием Мизеса-Хилла, а в изотропном случае при выполнении определенного соотношения для коэффициентов Ац переходит в критерий Ф.Шлейхера. Критерий (3.5) лучше согласуется с экспериментом для прокатанного листового металла, предназначенного для изготовления сосудов давления, чем критерии Мйзеса-Хилла и О.Г.Рыбакиной. Качественное подтверждение критерия недавно получено также в работе П.Ф.Прасолова для сплава Ииркалой-2 (,/).

Из критерия (3.5) следует, что предел текучести анизотропного материала зависит от гидростатического напряжения, причем эта зависимость связана не только с эффектом вВ, как у изотропных материалов, но и с особенностями текстуры, т.е.

22

упругой анизотропии. Из критерия и ассоциированного закона течения (при учете микроупругих напряжений я соответствии с подходом В.В.Новожилова к проблеме пластического разрыхления) вытекает также зависимость пластических деформаций и дилагансии от гидростатического напряжения. Показано, что дилатансия в явном виде зависит от знака гидростатического напряжения, что связано исключительно с упругой анизотропией материала.

В §9 используется изложенный в §4 метод и критерий текучести (3.5) при определении максимального гт и минимального г0 размеров зоны вторичных пластических деформаций для трещины в трансверсальпо-изотропной пластине при плоской деформации. Получены зависимости тт и г0 от единственной упругой постоянной X— Кг!Iii, входящей в (3.5), с вариацией пределов текучести (на растяжение и сжатие) по толщине пластины. Рассмотрено одноосное нагружение Р\ — 0A<rJt = 0 (<ту - предел текучести в плоскости пластины). В этом случае Äm < 0.161, что позволяет, согласпо результатам §6, провести вычисления по двучленным асимптотическим формулам упругой задачи (расхождение с точным решением < 15%). Из полученных результатов, зависимости (2.2), а также зависимости СРТ от г0, наблюдаемой в экспериментах, следует, что при учете упругой анизотропии, равпо кал и текстурного упрочнения, обнаруживается более высокая скорость распространения трещишл.

В четвертой главе рассматривается плоская деформация двухкомпонентной неограниченной среды с трещиной на прямолинейной границе раздела в условиях геометрической нелинейности.

Среди немногочисленных работ по геометрически - нелинейным проблемам механики трещин следует отметить работу Л.Г.Доборджгипидзе, в которой рассмотрено внедрепие штампа в среду гармонического типа при больших деформациях. Подобные задачи имеют много общего с задачами для межфазпой трещины, однако отрицательное зпачецие кратности измепепия площади у края трещины в гармоническом материале (как обнаружил К.Ф.Черных) делает этот материал непригодным для

решения нелинейных задач механики трещин.

Межфазная трещина в линейно-упругих задачах изучалась, например, M.Williams, Г.П.Черепановым, A.England, F.Erdogan, J.Rice и G.Sih без учета контакта и M.Comninou, J.Dundurs, И.В. Симоновым, К.В.Захаровым и Л.В.Никитиным, M.Ortiz и J.Blume с учетом контакта поверхностей трещины.

В данной главе полагаем, что плоская деформация упругой среди подчиняются следующему линейному закону

= &£+-(-1У'йГ + </ (¿ = 1,2), (4.1)

где = [(Ai — 1) ± (Aj — 1)]/2; <rj - главные значения тензора Био (главные условные напряжения); А— 1 - главные относительные удлинения; а,а - упругие постоянные среды, значения которых, вообще говоря, изменяются при изменении третьей постоянной <гг - остаточного условного напряжения в отсчетной конфигурации. При малых деформациях и углах поворота (4.1) переходит в закон Гука в главных осях, ffj = — l/2(eI ± сг), а и а

выражаются через постоянные Ламе.

Упругий потенциал, соответствующий закону (4.1) при ат — <7 = <7", а = о, введен К.Ф.Черныхом. Для такого потенциала решение плоской задачи пелинейной теории упругости сводится к нахождению аналитических функций, удовлетворяющих линейным граничным условиям. Вел1гчина ат при этом входит в решение как упругий модуль а*, поэтому его значение при анализе асимптотического поведения решений в особых точках не принципиально. Все задачи, рассмотренные ниже в пелииейпо-упругой постановке, решаются для этого потенциала с использованием разработанных К.Ф.Черныхом комплексных соотношений плоской задачи нелипейной теории упругости.

В §10 построено решение для трещипы конечной длины, расположенной на границе раздела двух деформируемых предварительно напряженных сжимаемых сред. На бесконечности в каждой среде, определяемой своими упругими постоянными а' и от, в соответствии с условиями сцепления заданы напряжения и углы поворота. Поверхности трещины свободны.

Непрерывно продолжая комплексные потенциалы через незагруженные участки линии раздела в соответствующие полу-

плоскости, приходим к неоднородной краевой задаче Гильберта относительно одной функции с двумя точками смены граничных условий па линии скачков (вещественной оси). Следуя Н.И.Мус-хелишвили, находим решепие задачи, в котором неизвестную постоянную определяем из условия равенства дулю главного вектора сил, приложенных к нижней полуплоскости. Исходя из соотношений К.Ф.Черпыха, находим выражение для перемещений точек плоскости и главпые члены асимптотик услопцых и истинных напряжений, а также кратностей изменения площади у края трещины.

Построено также решение соответствующей лииейтго - упругой задачи для межфазной трещины при выполнении закона (4.1). Анализ решения первой задачи и сопоставление ее со второй показывает:

1. Как и в решении линейной задачи, осцилляция перемещений, т.е. "перехлест" поверхностей трещины, характерна также и для найденного решения нелинейной задачи. Подобно лилейному случаю при пулевых касательных напряжениях и углах поворота на бесконечности зоны осцилляции у краев трещины пренебрежимо малы и их можно не принимать во внимание при оцепке предельпого состояния композита.

2. Главные члены асимптотик условных напряжений имеет тот же порядок, что и асимптотик напряжений в линейной задаче, но при этом у первых отсутствует осцилляция, и квадраты коэффициента при главных членах этих асимптотик с точностью до множителя совпадает с интегралом Райса-Черепанова, т.е. с потоком упругой эверпш в край трещины. В то же время высвобождение упругой энергии при образовании единицы повой поверхности трещины не определяется аналогичным интегралом, найденным из решения линейной задачи, если остаточное напряжение не мало (в частности, <т'к = <г£, к - помер среды). В этом случае вся трещина находится в области больших деформаций, и формальное решепие линейной задачи лишено смысла.

3. Конечность истинпых напряжений в крае трещины при бесконечных кратностях удлинений и изменения площади делает их непригодными для целей механики разрушения.

4. Наличие одного и того же параметра в асимптотике

условных напряжений и в интеграле Райса-Черепанова свидетельствует об эквивалентности для этих напряжений силового и энергетического критериев разрушения не только при разрушении какого-либо одного типа (как в линейной задаче, где каждый коэффициент интенсивности напряжений зависит и от нормальных, и от касательных усилий), но также и при смешанном типе разрушения, т.е. нормальном отрыве и срезе одновременно.

5. Распределение главных члспов асимптотик условных напряжений по угловой координате существенно отличается от аналогичного распределения напряжений линейной задачи. Так как первое является ближней асимптотикой, то прогпоз развития разрушения, основанный на анализе асимптотических зависимостей напряжений линейной задачи может быть ошибочным, если размер области больших деформаций превышает допустимые линейной механикой разрушения пределы.

6. При действии вдали от трещины касательных усилий, сравнимых по величине с нормальпыми, необходимо решение задаем с учетом контакта поверхностей трещины.

В §11 рассматривается отрыв деформируемой (нижней) полуплоскости от жесткого края при совместном действии постоянной следящей нагрузки (истинных нормальпых а„ я касательных т0 напряжений) на поверхности разрыва (трещины) и усилий па бесконечности а услозиях плоской деформации. Действие напряжений па поверхности разрыва имитирует реакцию ослабленных связей (склейки), причем предположение о постоянстве этих напряжений следует рассматривать как приближение, упрощающее построение решения.

Комплексный потенциал непрерывно продолжаем в верхнюю полуплоскость через недеформируемый контур, после чего задача сводится к неоднородной задаче Гильберта для кусочно - голоморфной в плоскости функции. В отличие от предыдущего случая, коэффициент в этой задаче является комплексной величиной и зависит от напряжений, действующих на поверхности разрыва. Решение находим аналогично предыдущему.

Существенное отличие построенного решения от аналогичного решения линейной задачи связано с тем, что значения напряжений (г,, т„ влияют на размер зоны осцилляции у каждого

края разрыва, а также на порядок главных членов асимптотик напряжений и кратностей удлинений. Получены условия па действующие усилия, при выполнении которых зоны осцилляции перемещений имеют заданпую величину. При г, = О и А<г„ = — (а — <т')/2 (А - кратность удлинений в направлении, перпендикулярном рассматриваемой плоскости) осцилляция перемещений вообще отсутствует. Порядок главных членов асимптотик напряжений и кратностей удлинений у каждого крал разрыва зависит от зпака г0.

Показано, что при приближении среды к отсчетной конфигурации (напряжения на поверхности разрыва и па бесконечности стремятся к всестороннему растяжению а') решения по линейной и по нелинейпой теориям сближаются вне некоторых окрестностей краев разрыва.

В §12 строится решение нелинейно - упругой задачи для верхней предварительно напряженной полуплоскости при образования разрыва на границе контакта с жесткой средой. На бесконечности действуют произвольные условпые напряжения, согласованные с поворотом в соответствии с условиями сцепления. Предполагается, что часть поверхности разрыва у одного края контактирует с жесткой средой без трения, а остальная часть поверхности свободна. Участок контакта поверхности разрыва рассматривается у того края, у которого, согласно решению §11, зона осцилляции наибольшая, что зависит от знака касательных напряжений на бесконечности.

Граничные условия для двух голоморфных в верхней полуплоскости функций приводим к однородной векторной задаче Римана-Гильберта с тремя точками смены граничных условий на вещественпой оси. Решение этой задачи находим методом, разработанным И.В.Симоновым для решения подобных задач. Неизвестные постоянные определяем из поведения искомых функций па бесконечности и равенства нулю главного вектора сил, действующих на верхнюю полуплоскость. Как и в полученном И.В.Симоновым решении аналогичной линейной задачи для трещины между двумя деформируемыми средами, найдено уравнение, максимальный корень которого удовлетворяет всем граничным условиям задачи. Последнее может быть проверено чи-

сленно.

Построены главпые члены асимптотик условных напряжений у каждого края разрыва. Поведение напряжений у края, где происходит контакт поверхности разрыва, существенно отличается от решения линейной задачи. Так, если в последнем случае на линии сцеплепия вблизи края касательные напряжения не-ограниченьг, а нормальные конечны, то во втором - наоборот, условные касательные напряжения конечны (и равны, к тому же, нулю на линии сцепления), а условные нормальные пеограпи-чеиы и максимальны на линии сцепления.

Полученные соотношения для потока упругой энергии (по значениям интеграла Райса-Черепанова), стекающей в край разрыва, где нет контакта поверхности с жесткой средой, показывают, что значение этого потока, вычисленное без учета площадки контакта у другого края, завышено.

В §13 в более общей постановке, чем в работе И.В.Симонова, рассмотрена линейная задача для трещины с участком проскальзывания, расположенной на границе контакта двух деформируемых полуплоскостей. .Деформация в каждой среде следует закону (4.1), па бесконечности действуют напряжения, согласованные с условиями сцепления сред, причем продольные усилия в одной из сред произвольны. Эта постановка приводит к неоднородной задаче Римана-Гильберта для голоморфного вектора в верхней полуплоскости, которая затем сводится к однородной. Решение последней получено И.В.Симоновым.

Такое обобщение не влияет па главный член асимптотики напряжений у края трещины, но имеет принципиальное значение для исследования напряженно - деформированного состояния около трещины в целом, и, в частности, для оценки предельного состояния прикраевой зовы.

В заключении приведены результаты, полученные в диссертации. Основными результатами являются:

1. Разработан эффективный метод решения плоских задач теории упругости для прямолинейных трещин в полубесконечных областях, конформно отображаемых на полуплоскость при помощи рациональной функции. Метод допускает обобщение па

случай многосвязпой области с непересекающимися границами и произвольным числом прямолинейпых или искривленных по дуге окружпости трещин (разрезов), если каждая из односвяз-пых областей, суперпозиция которых дает исходную область, конформно отображается па каноническую при помощи рациональной функции.

В отличие от существующих методов решения подобных задач данпый метод позволяет с требуемой точпостью построить решение в аналитическом виде, что существенно облегчает анализ цапряженио-деформированного состояния во всей рассматриваемой области.

2. Формулы Колосова для трещины в плоскости (при само-уравновешешгой нагрузке) и для пол у бесконечных областей, кон-формпо отображаемых на полуплоскость рациональной функцией, представлепы в компактном виде через одпу кусочно-голоморфную в плоскости функцию.

3. Унифицировало решение плоской задачи для полубеско-лечной области с криволинейной границей, что позволяет написать общее выражение для комплексного потенциала, например, в случае параболического выреза и границы, асимптотически приближающейся на бескопечпости к вещественной оси.

4. В явном виде получепы аналитические выражения, определяющие напряженно-деформированное состояние полуплоскости со свободной и жесткой границей и произвольно ориентированной трещиной. Построены решения для трещины в прямолинейной полосе и в полубескопечцой области с криволинейной границей типа "выступа" и "выемки", которые при стандартизации метода также могут бить записаны в явном виде.

5. В рамках линейной механики разрушения проведен цикл исследований для приповерхностной трещины, расположенной около прямолинейной (полуплоскость, полоса) и криволинейной границы.

0. Проведен анализ особенностей локализованного пластического течения около трещины в однородном и неоднородном (приповерхностная трещина) поле напряжений при двухосном яагружеиии в условиях плоской деформации. Установлена качественная зависимость скорости распространения усталостпой

трещины нормального отрыва в однородном поле напряжений от максимальных размеров пластических зон, отвечающих максимальной и минимальной нагрузке за цикл. Предложено кинетическое уравнение распространения трещины, вытекающее из асимптотических решений Хатчинсона - Раиса - Розенгрена и согласующееся с указанной зависимостью.

7. Исследованы особенности развития пластических зон около припоиерхпостпой трещины в полупространстве и слое, параллельной соответствующим границам, при действии внутреннего давления на трещине и продольных усилий на бесконечности.

Показано, что направление старта трещины зависит от действующих пагрузок и может существенно отличаться от предсказаний линейной механики разрушения. Лля трещины, расположенной в срединной плоскости слоя, обнаружены признаки возможного вьгхода ее из своей плоскости при относительно больших растягивающих продольных усилиях, что согласуется с аналогичным эффектом, исследовапным ранее в отношении трещины нормального отрыва, находящейся в однородном поле напряжений при двухосном нагружении.

8. С феноменологических позиций исследована связь прочностных и пластических свойств начально ортотроппых тел с упругой анизотропией материала.

9. Исследована плоская деформация двухкомпонентного композита с трещиной на границе раздела в условиях геометрической нелинейности. Построены точные аналитические решения трех дополняющих друг друга нелинейных задач для упругого потенциала, отвечающего линейно-упругим предварительно напряженным материалам.

10. Линейная задача контакта двух сред с межфазной трещиной при наличие участка проскальзывания у того края, где этот участок наибольший, решена в более общей постановке, чем это сделано ранее. Решение охватывает случаи предварительно напряженных материалов и позволяет произвольно задавать продольную нормальную составляющую внешних усилий в одной из деформируемых сред.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Греков М.А., 1994. Плоская задача для трещины, расположенной между двумя липейно-упругими средами// ПММ. Т. 58. Вып. 4. С. 184-190.

2. Греков М.А., Даль Ю.М., Курочкин В.А., 1992. Предельное состояпие упругой полосы с внутренней трещиной// Иэв, РАН, МГТ. N. б. С. 154-161.

3. Греков М.А., Лебедева М.В., 1992. Задача сопряжения для полубескопечных областей в плоской задаче теории упругости// Вестпик СПбГУ. Сер. 1. Вып. 4. С. 103-105.

4. Греков М.А., Лебедева М.В., 1992. Влияние свободной границы тела на приповерхностную трещину в плоской задаче теории упругости// Физика и мех.длит. прочности матер, и элем, констр.(Материалы 28 Меясресп. семипара "Акт. пробл. прочности", ред. В.А.Лихачев). Вологда. С. 45-49,

5. Греков М.А., 1992. Об одном методе решепия плоских задач теории упругости дчя полуплоскости с разрезом// Ново-жиловский сб. СПб.: Судостроение. С. 171-179.

6. Греков М.А., 1991. Напряжения около приповерхностной трещины// Прогнозир. мех. повед. материалов (Матер. 25 Вс. сем. "Акт. пробл. прочности", ред. В.А.Лихачев). Новгород. Т. 2. С. 94-96.

7. Греков М.А., 1990. Гидростатическое напряжение в изотропном и анизотропном теле// В.В.Новожилов - ученый, педагог, гражданин (Вопр. мех. и проц. управл., Вып. 13). Л.: ЛГУ. С. 72-76.

8. Греков М.А., 1989. Трещины в изотропных и трапсвер-сальпо изотропных пластипах// Проблемы разрушения металлов и фрактография (Матер, сем., ред. Е.М.Морозов). М.: МДНТП. С. 32-37.

9. Греков М.А., 1989. Энергетический критерий прочности анизотропного тела. Деп. в ВИНИТИ 24.01.89. N. 568-В 89. 25 с.

10. Греков М.А., 1986. О влиянии упругой анизотропии на текучесть ортотропного тела// 6 Вс. съезд по теор. и прикл.

мех. (аннотации докл.). Ташкент. С. 220.

11. Греков М.А., 1984. Пластичность анизотропного тела// Докл. АН СССР. Т. 278. N. 5. С. 1082-1085.

12. Греков М.А., 1984. Поле напряжений в области пластических деформаций около трещины// Деформ. спл. сред и унравл. движением (Вопр. мех. и нроц. упр., Вып. 0). Л.: ЛГУ. С. 59-74.

13. Греков М.А., 1982. О влиянии двухоспой нагрузки на размеры иластической зоны около трещипы// Пробл. мех. деф. тела (Иссл. по упруг, и пласт., Вып. 14). Л.: ЛГУ. С. 174-178.

14. Греков М.А., 1981. Плоская задача для бесконечной полосы с двусторонними выступами// Управл. надежн. и навигация. Саравск: Морд. гос. уп-т. С. 37-40.

15. Греков М.А., 1978. О пластических зонах у вершин трещины при плоской деформации// Физ.-хим. мех. материалов.

N. 5. С. 75-78.