Некоторые задачи распространения трещин в ортотропных средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

Л 1

,.....,, на правах рукописи

ПОНИКАРОВ Николай Владимирович

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТРЕЩИН В ОРТОТРОПНЫХ СРЕДАХ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998

Работа выполнена на кафедре теории упругости математико-ме-хапического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель:

• член-корреспондент РАН, доктор физ.-мат. наук, профессор Морозов Н.Ф.

Официальные оппоненты:

• доктор физ.-мат. наук, профессор Греков М.А.

• доктор техн. наук, профессор Морозов Е.М.

Ведущая организация:

• Институт проблем машиноведения Российской академии на-

часов на заседании диссертационного совета К.063.57.13 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, С.-Петербург, Библиотечная пл. 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета (С.-Петербург, Университетская наб. д. 7/9).

Автореферат разослан 1998 г.

ук.

Защита диссертации состоится

/

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

М.А.Нарбут

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Хрупкие композиционные материалы (композиты) широко применяются в современной технике. Основное их достоинство — это высокая прочность при небольшом весе. Важным свойством многих композиционных материалов является анизотропия, то есть зависимость механических свойств материала от направления. Для расчета на прочность конструкций из композиционных материалов требуется изучить механизм их разрушения.

Композит представляет собой смесь из двух или более фаз. Обычно это более податливый материал (матрица, или связующее), армированный более жесткими и прочными включениями. Матрица композиционного материала может быть хрупкой, то есть разрушаться при малых деформациях.

В композитах с хрупкой матрицей с течением времени накапливаются повреждения (микропоры и микротрещины в матрице, расслоения на границе фаз, обрывы волокон). Кроме того, в процессе изготовления конструкции в материале могут появиться и более крупные дефекты. Развитие и слияние микродефектов приводит к появлению макротрещины в материале связующего. Последний этап разрушения — это распространение макротрещины, которое приводит к разрушению конструкции. Анализ последней стадии требует рассмотрения тела, ослабленного достаточно большой по сравнению со структурой материала трещиной. Требуется установить, при какой нагрузке трещина заданной геометрии будет находиться в равновесии, и при какой нагрузке она начнет неограниченно расширяться.

Рост трещины в хрупком анизотропном композите имеет существенные отличия от роста трещины в однородном изотропном материале. К ним относятся взаимодействие берегов макротрещины через неразрушенные компоненты композиционного материала, отклонение трещины от прямолинейного пути, зависимость трещиностойкости от длины трещины и др.

Рассмотрение процесса разрушения композита как конструкции из связующего и включений требует построения сложных моделей. Во-первых, в такой конструкции имеется много поверхно-

стей взаимодействия, на которых должны выполняться достаточно сложные граничные условия. 'Во-вторых, задача будет трехмерной, даже если средние напряжения в композите не зависят от одной из координат. Во-третьих, многие параметры таких моделей являются микрохарактеристиками материала и не могут быть достоверно определены из эксперимента. Поэтому актуальной проблемой механики разрушения композиционных материалов является построение моделей, в которых композит считается однородным ортотропным материалом.

Цель работы состоит в построении модели разрушения композиционного материала как ортотропной среды. Модель должна учитывать характерные свойства композита (например, анизотропию упругих и прочностных свойств, различный механизм разрушения компонентов композита и т.д.). Модель должна быть применима к практическим расчетам и объяснять особенности разрушения композиционного материала. На основе предложенной модели должны рассчитываться внешние воздействия, которые могут вызвать рост трещины.

Научная новизна. В диссертации исследуется плоская задача о равновесии трещины в ортотропной среде при действии внешней нагрузки. Предлагается модель разрушения композита на основе обобщения критерия разрушения, предложенного В.В.Новожиловым для изотропного материала, на анизотропный материал. Определяется критическая нагрузка, при которой трещина теряет устойчивость.

Получены следующие основные результаты:

• Решена задача о трещине в бесконечной пластине из композита с хрупкой матрицей и пластическими волокнами. Определена критическая длина равновесной трещины. Показано, что волокна остаются неразорванными только в концевой части трещины. При этом определена также длина зоны, в которой берега трещины связаны неразорвавшимися волокнами. Показано, что армирование материала пластическими волокнами повышает его трещиностойкость.

• Построено решение задачи о трещине смешанной моды на-гружения в композите с учетом анизотропии его упругих

и прочностных свойств. Определена критическая нагрузка, при которой трещина теряет устойчивость, с учетом произвольности направления дальнейшего роста трещины. Определено направление роста трещины. Показано, что в анизотропном материале искривление трещины может присхо-дить даже при симметричном нагружении. Показано, что трещина распространяется прямолинейно не только в изотропных, но и в слабо анизотропных материалах.

• Решена задача о трещине произвольной длины в хрупком композите. Определена нагрузка, разрушающая материал. Результат для длинной по сравнению с характерным масштабом процесса разрушения трещины согласуется с классической линейной механикой разрушения. Для короткой трещины критическая нагрузка меньше, чем диктуемая классической механикой разрушения. Если длина трещины стремится к нулю, результат совпадает с пределом прочности бездефектного материала. Проанализировано влияние анизотропии материала и неразрушенных волокон на процесс разрушения.

Основные результаты диссертации являются новыми.

Методика исследования основывает^! на использовании уравнений анизотропной теории упругости и исследовании этих уравнений с помощью теории аналитических функций, интегралов типа Коши. Для определения условия разрушения используется модифицированный критерий В.В.Новожилова.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на первом международном семинаре "Неклассические задачи теории упругости и механики разрушения" (Москва, 1995); на XXIV Международной летней школе ученых-механиков (Зеленогорск, Санкт-Петербург, 1996); на XXXIII международном семинаре "Актуальные проблемы прочности" (Новгород, 1997); на конференции "Бубновские чтения" (Санкт-Петербург, 1997) а также на семинарах в Санкт-Петербургском университете.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы при расчете на прочность и трещиностойкость конструкций из хрупких композиционных ма-

териалов, а также имеют теоретическое значение для построения дальнейших моделей распространения трещин в ортотропном материале.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 3-х научных статьях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, и заключения. Список цитированной литературы содержит 50 наименований. Объем диссертации с рисунками и библиографией — 96 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Прочность материала, не содержащего макродефектов, описывается величиной предела прочности Л. Однако реальный материм может содержать трещины, которые внесены в него во время изготовления или появились в процессе эксплуатации конструкции. В некоторых условиях эти трещины безопасны, так как не обнаруживают тенденции к распространению; при других же значениях параметров нагружения и геометрии трещина может оказаться неустойчивой и вызвать лавинное разрушение материала. Использование линейной теории упругости приводит к бесконечным значениям напряжений у вершины трещины и требует в дополнение к Я особого параметра, отвечающего за состояние трещины.

В диссертации исследуется устойчивое положение трещины в бесконечной пластине из ортотропного материала. Рассматриваются наиболее важные для практики трещины нормального разрыва.

В настоящий момент не существует общепринятых критериев распространения трещины в композите. Для проведения практических расчетов, как правило, вводятся те или иные обобщения критериев разрушения для однородного изотропного материала.

Основы современной теории трещин были заложены А.Гриф-фитсом в начале 20-х гг. Для определения величины опасных для тела с трещиной внешних воздействий Гриффите предложил энергетический критерий, по которому тело разрушается, если

его полная энергия уменьшается при подрастании трещины.

На практике чаще используется так называемый силовой критерий, предложенный Ирвином. Согласно этому критерию трещина начинает распространяться, если коэффициент интенсивности напряжений

1<1 = Нт <тпл/2тгг (1)

г->0

достигает предела трещиностойкости материала К/с. (Здесь <тп — раскрывающее трещину нормальное напряжение).

Распространение критериев Гриффитса и Ирвина на композиционные материалы наталкивается на существенные трудности.

Для описания трещины в таком материале предпочтительнее различные обобщения критерия среднего растягивающего напряжения, предложенного для изотропных однородных сред В.В.Новожиловым:

£>

±1*п(г)<1г= К (2)

о

где Б — масштаб осреднения. Разрушение наступает, когда среднее значение растягивающего напряжения вблизи кончика трещины достигает предела прочности материала Я. Как только условие (2) выполняется, разрушенной оказывается целая зона перед трещиной и последняя продвигается вперед на шаг О. Таким образом, распространение трещины трактуется как ступенчатый процесс.

Представление о пошаговом росте росте трещины в изотропном однородном материале представляется физически обоснованным и для композиционного материала с хрупкой матрицей и пластическими волокнами. Анизотропию прочностных свойств ортотропного материала можно учесть через предел прочности на растяжение в заданном направлении. Эта величина надежно измеряется в эксперименте.

В настоящей диссертации предлагается обобщение критерия В.В.Новожилова на некоторые задачи распространения трещин в композиционных материалах.

1. В первой главе рассматривается плоская задача о прямолинейном распространени трещины в однонаправленно армиро-

ванном композиционном материале под действием растягивающей нагрузки.

Если матрица композита хрупкая, а волокна достаточно пластичны, или возможно их вытягивание из матрицы, то при растрескивании матрицы волокна связывают берега трещины в концевой части. Это сдерживает продвижение трещины. В средней части трещины волокна могут быть разорваны, причем длина связанной волокнами зоны заранее не известна. Необходимость ее определения заставляет рассматривать отдельно критерии разрушения матрицы и волокна.

Рассматривается задача о растяжении бесконечной ортотроп-ной пластины с трещиной внешней нагрузкой. Взаимодействие берегов трещины через неразорванные волокна моделируется постоянными сжимающими силами. Это приближение справедливо для хрупкой матрицы и длинных волокон, которые в процессе деформации могут проскальзывать по матрице.

Рост трещины происходит благодаря разрушению материала матрицы вблизи кончика трещины. Когда среднее растягивающее напряжение в элементе, заключенном между отдельными волокнами, достигает критического значения (предела прочности материала матрицы), элемент разрушается и трещина продвигается вперед на один шаг. Таким образом, рост трещины представляет собой ступенчатый процесс, который предлагается описать обобщенным критерием Новожилова:

Здесь а — расстояние между волокнами, Птп — предел прочности матрицы. На некотором расстоянии от кончика трещины происходит разрыв волокон материала. Условие разрыва волокна заключается в том, что раскрытие трещины в этом месте достигает критического значения, которое определяется свойствами компонентов композита материала и радиусом волокон.

Раскрывающее трещину нормальное напряжение <т„ в уравнении (3) берется соответствующим однородному анизотропному телу. Для решения уравнений анизотропной теории упругости

а

(3)

о

использовался метод комплексных потенциалов. Из полученного решения выделялось асимптотическое представление напряжения и раскрытия трещины вблизи ее кончика. Предполагалась также, что связанная часть трещины мала по сравнению с ее полной длиной. Не делалось предположений о малости расстояния от кончика трещины по сравнению с длиной связанной части (это вносит изменения во второй член асимптотики). Следовательно, формулу (3) можно применять, даже если кончик трещины связан малым количеством волокон.

Знак " <" в формуле (3) приводит к целому диапазону возможных значений длины равновесной трещины.

В качестве примера применения решения рассматривались два материала типа высокомодулыюй керамики с кремний-углеродными волокнами. Определена критическая длина трещины и длина ее связанной части в зависимости от объемной доли волокон. Проделанные в работе расчеты показывают, что если приложенная нагрузка много меньше прочности волокон (то есть в характерном для практики случае), то длина связанной части трещины будет действительно много меньше ее полной длины.

2. Во второй главе рассматривается вопрос о направлении развития макротрещины в ортотропной среде. В изотропном материале трещина растет из дефектов по нормали к направлению максимального растягивающего напряжения. В композитном материале пересекающая волокна трещина, как правило, ведет себя иначе. Она отклоняется к волокнам, то есть материал разрывается по площадкам меньшей прочности. Таким образом, трещино-стойкость материала, подсчитанная при предположении прямолинейного роста трещин, может оказаться сильно завышенной.

В диссертации предлагается обобщение критерия Новожилова, позволяющее учесть возможность старта трещины в произвольном направлении. Рассматривается задача о растяжении ортотропной плоскости с трещиной, расположенной под углом 7г/2 — а к оси растяжения. Волокна материала составляют с осью растяжения угол /?. Определяется критическая нагрузка, вызывающая рост трещины.

При хрупком разрушении основную роль играют нормальные напряжения. Поэтому в критерий старта трещины должно входить окружное растягивающее напряжение сгев- Его распределе-

ние вокруг кончика трещины зависит от геометрии задачи соотношения главных упругих модулей материала. Параметром, с помощью которого можно учесть анизотропию прочностных свойств, является Щ'ф) — прочность материала на растяжение под углом -ф к волокнам. Эта макрохарактеристика материала измеряется в эксперименте, описыватся эмпирической формулой и приводится в справочниках для различных материалов.

В работе предлагается ввести в выражение (2) зависимость от полярного угла и рассматривать его как условие старта трещины в заданном направлении:

и

1 У ав9йг = Я(в + а - 0) (4)

о

Осреднение проводится по некоторому размеру Б. Если волокна материала столь же хрупки, как и матрица и связаны с ней химически (стеклопластики, углепластики), то трещина переходит из матрицы в волокно, а не разрушает границу между ними. Переходу трещины из одного компонента материала в другой способствуют также микродефекты на поверхности волокна.

В этом случае размер й связан напрямую не со структурой материала, а с характерным масштабом процесса разрушения

_ 2 КМ

ж Я(ф) ' (5)

В ортотропном материале числитель и знаменатель этого выражения в первом приближении одинаково зависят от угла, так что размер О от него не зависит.

Для продвижения трещины достаточно минимальной нагрузки, при которой условие (4) выполняется для хотя бы одного значения полярного угла. Это значение определяет направление старта трещины. В частном случае изотропного материала этот критерий вырождается в критерий максимума растягивающего напряжения.

В качестве примера рассматривались материалы различной анизотропии и различная ориентация трещин б образцах. Показано, что в сильно анизотропном материале трещина нормального

отрыва распространяется вдоль волокон, даже если это направление совпадает с осью растяжения. Необходимая для такого продвижения трещины нагрузка много меньше, чем та, которая нужна для разрыва волокон. Прямолинейное распространение трещины, изначально перпендикулярной оси растяжения, оказывается характерным не только для изотропных, но и для близких к ним материалов, например, рассмотренных в предыдущей главе композитов на основе керамики. В некоторых задачах для старта трещины в широком дипазоне направлений требуется почти одинаковая нагрузка. Это частично объясняет большой разброс экспериментальных данных по направлению роста трещины.

Результаты проделанных в работе расчетов хорошо согласуются с известными из литературы экспериментами.

3. В третьей главе рассматривается задача о трещине произвольной по сравнению с масштабом процесса разрушения длины. При разрушении образцов, выполненных из хрупкого материала типа керамики, наблюдается отклонение от линейной механики разрушения. Из классического решения Гриффитса-Ирвина следует, что разрушающая образец нагрузка обратно пропорциональна корню квадратному из длины трещины. В действительности же такая зависимость справедлива лишь для трещин длиннее некоторого зависящего от свойств материала размера. Согласно принятому стандарту критерий Ирвина применяется для трещин длины

К2 Чтг

/ > 2.5^, или I > -7-.О. (6)

~ а1с 4

Для коротких трещин, то есть не удовлетворяющих условию (6), из линейной механики разрушения следует завышенное значение критической нагрузки и предела трещиностойкости.

При решении задач о трещине в пластическом материале обычно вводится зона пластического течения вокруг кончика трещины. Предпринимались попытки ввести такую же "зону пред-разрушения" и в керамике. Однако определить напряжения в этой области очень сложно.

Более простой путь заключается в том, чтобы использовать упругое решение во всей области и единый критерий разрушения как вблизи трещины, так и вдали от нее. Критерий В.В. Новожи-

лова позволяет использовать не асимптотическое, а точное выражение для напряжений и благодаря этому избавиться от ограничения (6).

В работе рассмотрены трещина со свободными берегами в сильно анизотропном композите и трещина в связующем слабо анизотропного композиционного материала.

Трещина в сильно анизотропном композиционном материале может расти не прямолинейно. Метод определения нагрузки, необходимой для старта трещины, учитывающий возможность ее искривления, изложен в предыдущей главе.

При помощи этого метода в третьей главе решается модельная задача механики разрушения о бесконечной пластине из композита, ослабленной короткой трещиной. Пластина растягивается постоянными внешними силами в одном или двух направлениях. В качестве примера материала рассматривалась керамика горячего прессования, которая обладает сильной анизотропией.

Нагрузка, необходимая для старта короткой трещины, оказывается меньше, чем это следует из линейной механики разрушения. Если длина трещины стремится к нулю, то критическая нагрузка совпадает с пределом прочности бездефектного материала.

Поле напряжений вдали от трещины в анизотропном материале существенно влияет на направление старта трещины и критическую нагрузку. Например, при одноосном растяжении пластины с трещиной критическая нагрузка тем меньше, чем длиннее трещина. При равномерном всестороннем растяжении пластины с трещиной, расположенной вдоль "слабой" оси материала, эта зависимость может быть немонотонна, и для старта трещины требуется нагрузка, превышающая наименьший предел прочности материала.

Если трещина разрушает только связующее композита, то не-разорванные волокна обеспечивают взаимодействие ее берегов. Если приложенные к телу усилия близки к пределу прочности материала, что возможно в случае короткой трещины, то волокна по всей длине трещины не будут разорваны. Была рассмотрена задача о растяжении бесконечной пластины с такой трещиной. В качестве примера материала рассматривалась однонаправленно армированной керамика. Показано, что для короткой трещины

влияние армирующих элементов слабее, чем для длинной.

Новые результаты, выносимые на защиту:

• Обобщение критерия, введенного В.В.Новожиловым для изотропных материалов, на композиционные материалы. В критерий входят два параметра, один из которых зависит от направления относительно осей ортотропии материала и может быть найден из испытаний бездефектного материала. Второй параметр скалярный и зависит от структуры материала и его трещиностойкости.

• Модель разрушения композиционного материала магистральной трещиной в связующем при больших деформациях волокон. На основе этой модели решена задача о трещине со связями в концевой части. Определена критическая длина трещины и зона взаимодействия ее берегов.

• Метод определения критической нагрузки, необходимой для старта трещины в анизотропном материале. Метод позволяет учесть возможность непрямолинейного роста трещины и определить направление старта трещины. При помощи данного метода решен ряд плоских задач о трещине в модельных и реальных композиционных материалах. Определена критическая нагрузка и направление старта трещины. Показано, что в анизотропном материале искривление трещины может происходить даже при симметричном на-гружении. Показано, что перпендикулярная волокнам трещина моды I распространяется прямолинейно не только в изотропных, но и в слабо анизотропных материалах.

• Метод определения разрушающей нагрузки для анизотропного материала с короткой трещиной. Предельными случаями предлагаемого метода являются расчет на прочность бездефектного материала и расчет трещины по линейной механике разрушения. Решены модельные задачи о короткой трещине в хрупком композиционном материале. При этом учитывалась возможность непрямолинейного роста трещины и взаимодействие берегов через неразрушенные компоненты композита.

Публикации по теме диссертации

1. Поникаров Н. В. О задаче определения критической длины связанной трещины // 1-й семинар "Неклассические задачи теории упругости и механики разрушения", г.Москва,9-14 июля 1995г.: Тезисы докладов (на русском и английском языках). Москва, 1995. С. 21 и 44.

2. N. Morozov, М. Paukshto, N. Ponikarov On the problem of equilibrium length of bridged crack // Journal of Applied Mechanics. 1997. Vol.64. N.3. C. 427-430.

3. Петров Ю. В., Поникаров H. В. Направление роста трещины в ортотропном материале // Деп. в ВИНИТИ 17.02.98, N 450-В98.