Задача о тонком жестком межфазном включении, отсоединившемся от среды вдоль одной стороны тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Ильина Ирина Игоревна

ЗАДАЧА О ТОНКОМ ЖЕСТКОМ МЕЖФАЗНОМ ВКЛЮЧЕНИИ, ОТСОЕДИНИВШЕМСЯ ОТ СРЕДЫ ВДОЛЬ ОДНОЙ СТОРОНЫ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула 2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского юсу дарственного университета им И.Н. Ульянова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Сильвестров Василий Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Пеньков Виктор Борисович кандидат физико-математических наук, доцент Горячев Лев Владимирович

Ведущая организация: Самарский государственный

технический университет

Защита состоится «» июня 2005 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д 212.271.02 в Тульском государственном университете по адресу: 300600, г. Тула, ГСП, пр. Ленина, 92 (9-101)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан // мая 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

Л.А. Толоконников

MtZO

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена решению задачи о тонком жестком межфазном включении, отсоединившемся от среды вдоль одной стороны.

Актуальность темы. В механике композиционных материалов большое внимание уделяется изучению напряженного состояния тел, ослабленных дефектами различных типов, в том числе, дефектами в виде тонких жестких включений, частично или полностью отсоединившихся от среды. Такие дефекты появляются в материале, как в процессе его изготовления, так и в процессе его эксплуатации. Например, включение может отсоединиться от основной среды полностью или частично из-за разницы упругих свойств сред, примыкающих к включению, или в результате разрыва армирующих элементов. В связи с этим представляют теоретический и практический интерес задачи для кусочно-однородных тел с дефектами в виде частично отслоившихся включений.

В настоящее время достаточно полно изучено влияние на напряженное состояние однородного или кусочно-однородного материала дефектов в виде полностью соединенных со средой тонких жестких включений. Результаты этих исследований широко представлены в монографиях Н.И. Мусхелишвили, Г.П. Черепанова, Г.Я. Попова, Г.А. Мораря, JI.T. Бережницкого, Л.А. Толоконникова и В.Б. Пенькова и других. Тонкое жесткое остроугольное включение между различными изотропными и анизотропными средами, одна сторона которого полностью сцеплена со средой, а другая свободна от какого-либо контакта с ней, изучено в работах Д.И. Шермана, Н.И. Мусхелишвили, Г.А. Мораря, Г.Я. Попова, Г.П. Черепанова, F. Erdogan, Т.С.Т. Ting, R.A. Ballarini, X. Markenseoff, L.M. Keer и др. Другие модели частично отсоединившегося от среды тонкого жесткого включения и связанные с ними смешанные задачи теории упругости рассмотрены в работах Э.И. Зверовича, В.Н Акопяна, Ю.А. Антипова, A.B. Саакяна, В.В. Захарова, Л.В. Никитина, Н.М Кундрата, S.M. Mkhitarian. В то же время, остается не решенной задача о напряженном состоянии кусочно-однородного тела с тонким жестким межфазным включением, одна сторона которого сцеплена со средой, а другая находится в контакте с ней.

Цель диссертационной работы. Построение решения указанной задачи; анализ напряженного состояния вблизи вершин включения; вычисление коэффициентов интенсивности напряжений; изучение частных случаев задачи.

Метод исследования. Для решения задачи используется метод

матричной краевой задачи Римана, к которой она сводится посредством

видоизмененных формул Колосова-Мусхелишвили применительно к

кусочно-однородной плоскости. 11 ■ ■

I НАММОНАЛЫМЯ I БИБЛИОТЕКА |

Достоверность и обоснованность основных научных положений и полученных результатов обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения, совпадением полученных решений в ряде частных случаев с известными решениями.

Научная новизна. Методом матричной краевой задачи Римана решена явно задача о кусочно-однородной плоскости с дефектом в виде частично отслоившегося тонкого жесткого межфазного включения; исследовано напряженное состояние вблизи вершин включения; получены аналитические формулы для коэффициентов интенсивности напряжений.

Теоретическую ценность представляют решение указанной задачи и анализ решения.

Практическую ценность представляют аналитические формулы коэффициентов интенсивности напряжений.

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались на XIII межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2003), на молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2003), на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004), на XII международной конференции «Математика в высшем образовании» (Чебоксары, 2004), на международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2004), на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела при Тульском государственном университете (Тула, 2005, руководитель -профессор Маркин А. А.) и на семинарах кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета (Чебоксары, 2002-2005, руководитель - профессор Сильвестров В.В.).

Основная часть работы выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 01-01-00720, 04-01-00160).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы изложено в 12 работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 1? параграфов, заключения и списка литературы из 88 наименований. Содержит 25 рисунков и 4 таблицы. Общий объем работы 114 стр.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дан краткий обзор литературы, сформулированы цель и задачи исследования, приведены основные результаты.работы,---—

«(**<<»«.»НО*И* и и»** , $ »»1ГОЧ1ЫИ<* !

I 1 г

I *»а <ж

В первой главе решается задача о тонком жестком межфазном включении, отсоединившемся вдоль одной стороны от среды.

В § 1 даются механическая и математическая постановка задачи. Рассматривается кусочно-однородная упругая плоскость, составленная из двух разных по упругим свойствам верхней и нижней полуплоскостей, между которыми расположено тонкое жесткое остроугольное включение [а,Ь]. Верхняя полуплоскость имеет модуль сдвига и коэффициент Пуассона V,, нижняя - /и2 и у2 соответственно. На нижней стороне включения считаются известными значения производных горизонтальной и вертикальной компонент вектора смещения:

(ди/дхУ (О = }!«), (ду/дх) (1) = И2(0, I е (а,Ь), (1)

а на верхней стороне включения - значения касательного напряжения и производной вертикальной компоненты вектора смещения:

С(0 = ?(0- (^/Эх)4 (0 = *,(/), 1е(а,Ь), (2)

на бесконечности - напряжения и вращения:

= ал = °2> ^ = (Туг = тху\ = т*уг = г' = ®1> юг = (3)

связанные между собой условиями неразрывности. Вне включения полуплоскости жестко соединены друг с другом, что выражается в непрерывности вектора напряжений и вектора смещений. Кроме того, считаем заданным значение главного вектора X + /Т внешних сил, приложенных к включению. Полагается, что все граничные условия непрерывными по Гельдеру.

Требуется определить плоское напряженное состояние составной плоскости. Решение найти в классе напряжений, которые в вершинах включения могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы и имеют заданное поведение на бесконечности

Сформулировано условие физической реализуемости задачи, заключающееся в требовании контакта верхней отслоившейся стороны

включения с окружающим его материалом' <у*(1) < 0, / е (а, Ь).

С помощью формул Колосова-Мусхелишвили в интерпретации Г П. Черепанова, поставленная задача сводится к следующей смешанной краевой задачи теории аналитических функций:

В плоскости с разрезом [а, Ь] найти две кусочно-голоморфные функции Ф(г), класса И0 (комплексные потенциалы составной упругой

плоскости), удовлетворяющие краевым условиям

к2а,Ф' (0 + к2а2ОГ (/) - а3С1* (/) - а4Ф+ (t) = 2//2 (А, (г) + /А, (0),

1Ш[А-,Ф+(0-П-(0] = 2/УЛ(0, (4)

1ш[Ф+(0+ «"(')] = te{a,b),

„ г/ гг -ЫЬ, _ /^2

- ~: > "2 ~ , , ' "з _ , > "4--: ) И- - 1

1 + к2 \ + к2 \ + к2 1 + к2

имеющие в окрестности <х> представления

Ф(г) = г,+ — + 0(г"2), Q(z) = 72+^ + 0(z-2), (5)

2 Z

er. + CT . 2 и.са, X + iY к, (Л- + /К)

V, =—1-+ t ' , Уг=СГ-1Т-У,, У, =--, Г. =——--

4 1 + лг, 2 " " 2^(1+ /<.*-,) 2я(р.+кг)

и удовлетворяющие условию lim (z - z)O'(z) = 0, lim (z - z)fi'(z) = 0 для

Г-М* г-»»1

все* точек линии (а, Ь), кроме концов.

В § 2, вводя в рассмотрение вектор-функцию F(z) с компонентами

ВД = Ф(г), = ф(2), = Г4(2) = П(1) (6)

и вектор-функцию Ч*(2) = Р ^(г) с невырожденной матрицей Р, приходим к матричной краевой задаче Римана

Ф+(0 = Р"'А",ВРф-(0 + Р''А"^(0, / е (а,Ь), (7)

решение которой существенно зависит от значения действительного параметра

= ЗА,2*";2 + М\Игкг С1 ~ X1 ~ *~2) ~ М1С + «I) 2к2(р, Л-цгк^ц2 + р1к2)

Матрицы А, В и вектор-столбец находятся из краевых условий (4) с

учетом (6), а матрица Р выбирается так, чтобы матрица Р А ВР была диагональной или треугольной.

В случае матричная задача (7) сводится к четырем

самостоятельным краевым задачам Римана

¥;(/) = + ЛС), 1е(а,Ь), к = 1,2,3,4, (8)

где Л, =а + у/а2 -1, Л2=а-л[а*-\, А, = -1, Д4 = 1 - собственные значения матрицы А"'В; функции /4(0 - компоненты вектора-столбца

Р" А" . В качестве невырожденной матрицы Р берется матрица с элементами

Р^=а^-к2аг, ру=Лури, /?3у = кга\ У = 1,2,3,4.

Решения задач (8) класса И0 при к = 3,4 находятся по формулам

вд. > ЦМ + В41 (9)

2яг д / - г

_2

Постоянные А3,В3,В4 находятся из разложений этих функций в ряд Лорана в окрестности оо.

В § 3 приводится решение задачи для случая а <-1. В этом случае функции Ч'Дг), к = 1,2 имеют вид:

ад = х4(*) 1 Гг-6

1 \ ЩЛ

16

, Х2(г) = -

, * = 1,2, (10)

х-а

, г е[о, Ь],

■у1(г-а)(г-Ь){2-Ьу

где 3 = а постоянные Ак, Вк находятся из разложений

функций в ряд Лорана в окрестности оо.

Через вектор-функцию Ф(г) искомые комплексные потенциалы Ф(г), О(г) находятся из равенства Р(г) = РФ(г). Особое внимание уделяется изучению поведения комплексных потенциалов вблизи вершин включения. Например, вблизи правой вершины г = Ъ включения они имеют вид:

1

2^2яф-Ъ) \ (г - ЪУ>6 (г - ЬУ5 0( 1п|г~б|),

(1 + тфтг(г-Ь) Рн

' к, -х2 ( ^(К.+^У

2риртп(г-Ь){(2-ЬУ* (2-Ь)"

+-'+ 0(1п|г-¿1), т = ах\аъ

(1 + т)ра^2л(г-Ь)

показателя осцилляции,

Таким образом, в случае а <-1 напряжения вблизи вершин включения имеют степенную особенность порядка 1/2 в сочетании с осциллирующей особенностью, определяемой степенной функцией с чисто мнимым показателем ¡5. Показатель осцилляции находится по формуле

6 = -1 -а^ и отличается от

соответствующего как классической межфазной трещине, так и тонкому жесткому остроугольному межфазному включению, полностью сцепленному со средой. Интенсивность напряжений вблизи вершин включения определяется тремя действительными параметрами К), К2, Къ (коэффициентами интенсивности напряжений).

На рисунке 1 приведены графики контактных напряжений а* на

верхней и сг~, х'ху на нижней сторонах включения, а также графики коэффициентов интенсивности напряжений К вблизи его правой вершины

в зависимости от длины / включения, когда все исходные силовые данные, в том числе и краевые условия (I), (2) - нулевые, кроме главного вектора X + гУ действующих на включение внешних усилий, равного (0.1 + /)К0 (У0 > 0). Включение занимает отрезок [-1/2,1/2] и расположено между полуплоскостями с упругими постоянными к-, = 2.0, Л", = 2.5 и = /¿2 ///, =10, для которых параметр а = -1.067 и показатель осцилляции напряжений 8 = 0.058. На первом рисунке кривые 1, 2 и 3 соответствуют значениям 1а"у ¡У,, , 1ст~/У0 и , а на втором - номер кривой

соответствует номеру коэффициента К)/Уй , у = 1,2,3.

И/г»

!1 !Ч »\

Х'1

К!'У,

-06

■1 2

/1 Г" --- ---

/ / / 3

1/ 1; 1 I

Рис 1 Графики контактных напряжений и КИН близи правой вершины включения для случая а < -1

В § 4 приводится решение задачи для случая -1 < от < 1. Функции задаются формулами (9) и (10), в которых надо брать

В этом случае интенсивность напряжений вблизи вершины г = Ь включения определяется степенными функциями (г-Ь)г, (- - Ь)"2, (г - Ь)'~г, где т'=-¿-агссоваг зависит только от упругих параметров составной плоскости и 0 < у < 1/2 . Как и в § 3, интенсивность напряжений определяется тремя действительными коэффициентами, которые являются функционалами от исходных геометрических и упругих параметров среды, от исходных краевых условий и приложенных на бесконечности нагрузок. В то же время, осциллирующая особенность отсутствует. Решение иллюстрируется конкретными примерами расчета КИН.

Для составной плоскости, характеризуемой упругими постоянными V, = 0.37, //,=40 МРа и у2 =0.22, /л2 = 174.2 МРа на рисунке 2 приведены графики контактных напряжений на сторонах включения, занимающего отрезок [-//2,//2] и графики коэффициентов К вблизи

правой вершины включения в зависимости от его длины, когда плоскость находится в плоском деформируемом состоянии, и на оо действуют сжимающие напряжения сг" = -сг/2, - -а , = -2.626 а (а > 0) при остальных нулевых исходных силовых данных.. Кривые 1, 2 и 3 на первом рисунке соответствуют значениям <т~/а и г^/ст, а на втором-

значениям К^а, К2/а и К3/а .В данном случае параметр а = -0.689 и напряжения вблизи вершин включения имеют степенные особенности порядков ^ = 0.371, 1/2 и \-у - 0.629, из которых доминирующей является последняя.

Рис 2 Контактные напряжения и КИН вблизи правой вершины для случая -1 < а < 1

В § 5 приводится решение задачи для случая а - -1. Этот случай, когда <5 = 0 и у -1/2, является особым и определяется одним условием,

налагаемым на упругие параметры полуплоскостей, между которыми расположено включение. В чем состоит характерное отличие от других случаев. Функция Ф(г) вблизи вершины г = Ь имеет представление

+ т)47-Ь 2лШтг(1 + т){ 2 )

8я2л/2лГ(1 + т) 4г-Ъ

Установлено, что комплексные потенциалы вблизи вершин включения имеют степенную особенность порядка 1/2 в сочетании с логарифмической особенностью, и их интенсивность напряжений определяется тремя действительными коэффициентами Кх, Кг, К3.

В § 6 рассмотрен частный случай данной задачи, когда плоскость -однородная. Показано, что напряжения вблизи вершин включения имеют степенную особенность порядка -3/4. Осциллирующая особенность у напряжений отсутствует, а их интенсивность при степенной функции с показателем -3/4 определяется лишь одним действительным коэффициентом.

Во второй главе рассматривается задача о частично отслоившемся межфазном включении при наличии сосредоточенных сил и пар сил, приложенных к внутренним точкам упругих полуплоскостей и к точкам, расположенным на линии раздела двух сред.

В § 1 дается механическая и математическая постановка задачи. Рассматривается описанная в первой главе кусочно-однородная упругая плоскость, ослабленная расположенным на линии раздела сред 1тг = О частично отслоившимся от среды тонким жестким включением [а,Ь].

В конечном числе точек , у = 1,2,...,я, расположенных вне включения, приложены сосредоточенные силы X] + и пары сил с моментами М} относительно точек г1. Считаем, что из этих точек на линии раздела расположено я, точек гу, у = 1,я,, а во внутренних точках упругих

полуплоскостей и - я, точек х}, у = я, +1, я. На сторонах включения заданы

условия (1) и (2). На оо составной плоскости заданы значения напряжений и вращения (3). Кроме того, считаем заданным значение главного вектора X + /Т внешних сил, приложенных к включению. Решение задачи ищется в классе напряжений, которые в вершинах включения могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы, в точках приложения сил и пар сил - в бесконечность порядка не больше двух. Для решения задачи

используется тот же самый метод, что и в главе 1.

В § 2 строится решение поставленной задачи. В § 3 - 4 предлагается решение задачи для различных случаев а . Функции ТДг) имеют вид:

¥4(г) = Х,(2)

1

у=|

_ щл

А,

+ А[+В[г +

2-2,

(2-2,)2 (2-2,)2

+ X

А = 1,2,3,

2л7 » / - 2

7=1

'Чу

А

"Чу

(2-2()2 (2-2,)2

+ I

/=«1+1

__

Для нахождения постоянных А\,В'к,Ск1,И\гСкг,,Рк1 используются

разложения функций в ряд Лорана в окрестностях точек приложения сил и на оо.

Для случаев а<-\ и -I < аг < 1 исследуется влияние сосредоточенных сил и пар сил на коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) в вершинах включения, приводятся графики для КИН.

На рисунке 3 приводятся графики контактных напряжений на сторонах включения и КИН вблизи правой вершины г = Ь в зависимости от расстояния А для случая двух сосредоточенных сил Х1 = -Х0 и Хг ~ Х0 {Х0 > 0), расположенных вдоль оси (1тг = 0) включения слева и справа от его вершин. Упругие параметры среды такие же, как в случае рисунка 1. На первом рисунке кривые 1, 2, 3 соответствуют значениям а*, сг~ и т~ , а на второй - номер кривой соответствует номеру КИН.

1*1, V)

X,

■12

12

хГ

h,j / Xo

ГГ

-Ul-\ \

^------J

/ 2

K¡' Xo

xl

гч^ 3 1 1 ---

A/1

Рис 3 Контактные напряжения и КИН для случая а<-1

Межфазное включение под действием сосредоточенной силы, приложенной к верхней стороне включения, рассматривается в § 5. Частный случай задачи, когда плоскость - однородная, исследуется в § 6.

В третьей главе рассматривается кусочно-однородная плоскость с частично отслоившимся жестким включением в поле действия сосредоточенных сил и пар сил при наличии трения на контактируемой со средой стороне включения.

Механическая и математическая постановки задачи даются в § 1. На нижней стороне включения задаются значения производных от горизонтальной и вертикальной компонент вектора смещения, а на верхней -значения касательного и нормального напряжений, связанные законом Кулона, и значение производной от вертикальной компоненты вектора смещения:

(ди/дх)~ (?) + i{5v¡5x)- 0) = /2,(0 + ih7 (0, t е (а, Ь), (11)

<(') + /><(') = <7(0, (dv/&r(0 = A,(/), te(a,b), 02)

где р - коэффициент трения между включением и упругим телом. На все другие исходные данные задач нааагаются такие же условия, как и в главе 2.

В § 2 находится решение задачи в случае однородной плоскости. Поведение комплексных потенциалов вблизи вершин включения, а так же формулы для коэффициентов интенсивности напряжений приводятся в § 3. Функции Ф(z) и Q(z) в окрестности левой и правой вершины включения имеют различные асимптотические представления. Например, функция Ф(г) вблизи z = b и г = а имеет вид:

W + I{.)K + + (Р-ОХ, +o(ln¡z^ I),

2(2тгTi.z-bf" ~

2(2^"(z-bf2^ ' 2рл{2-Ъ) Я,(1 -(//£))АГ2 , (/?-/)*,

2(2я)'^(а-г)" 2(2я)«1'" {а - z)^ 2рx(a-z)

+ 0(\n\a-z\),

где Л,=а. +/Д, а. - р(/с-1)/(р2(/с-1)2+(/с + 1)2), у. = ^агссоза.. Показатель у, зависит от упругого параметра к и коэффициента трения р .

Таким образом, в вершинах включения в случае однородной плоскости могут возникать степенные особенности любого порядка от 0 до -1 + (агссозог.^ /2я) в зависимости от коэффициента трения р и параметра к. Интенсивность напряжений вблизи вершин включения определяется тремя действительными коэффициентами К{, К2, К}, которые являются функциями от коэффициента трения, от упругих параметров однородной плоскости, от длины включения, заданных на бесконечности напряжений и вращения и заданных условий (11), (12). В этом же параграфе приводятся формулы для КИН и их графики. В качестве примеров рассматриваются случаи двух сосредоточенных сил, расположенных на линии раздела сред по разные стороны от включения и приложенных к внутренним точкам упругой плоскости.

На рисунке 4 приводятся графики зависимости КИН вблизи правой вершины г = Ь от коэффициента трения р и расстояния А,. Две сосредоточенные силы X, + /Т, = -Ха (0.1 + /) и Хг + г'Х, = Х0(ОА + ¡) (Х0 > 0) приложены к внутренним точкам упругой плоскости, расположенным на серединном перпендикуляре к включению на расстояниях Л, и Д2 от включения. Номер кривой соответствует номеру КИН.

Рис 4 КИН вблизи правой вершины включения при наличии сосредоточенных сил, приложенных к внутренним точкам плоскости, в случаях I) Д, =1, Д2=1, /7 = 0-10, 2) Д2 = 1, ¿> = 0 1

Схема решения задачи в случае кусочно-однородной плоскости излагается в § 4. Показано, что в отличие от задач первой и второй главы, в зависимости от упругих характеристик составной плоскости и от коэффициента трения возможны разные варианты решения поставленной задачи. В диссертации приводятся два возможных варианта решения. В § 5 проводятся численные расчеты для различных видов составной плоскости при наличии в ней сосредоточенных сил. Строятся графики КИН, контактных напряжений на сторонах включения в зависимости от коэффициента трения и других характеристик среды.

В заключении сформулированы основные результаты работы:

1. Получено точное аналитическое решение задачи о тонком жестком межфазном включении, отсоединившемся вдоль одной стороны от среды, в случае отсутствия трения в зоне контакта.

2. Исследована задача о частично отслоившемся межфазном включении в поле действия сосредоточенных сил и пар сил, приложенных как к точкам, расположенным на линии раздела сред, так и к внутренним точкам упругих полуплоскостей.

3. Решена задача о тонком жестком межфазном включении, отсоединившемся вдоль одной стороны от среды при наличии трения в зоне контакта.

4. Проведен анализ решений перечисленных выше задач, изучены частные случаи, в том числе, случай однородной плоскости, выведены аналитические формулы для коэффициентов интенсивности напряжений.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в следующих работах.

1. Руссакова ИИ Упругая плоскость с тонким жестким включением, отсоединившемся от среды вдоль одной стороны // Математическое моделирование и краевые задачи. Часть 1. Труды 13-й межвузовской конференции. Самара: Изд-во СамГТУ, 2003. С. 166- 168.

2. Руссакова ИИ Распределение напряжений вблизи вершины тонкого жесткого межфазного включения с отслоившейся кромкой // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Международной научной конференции. Тула: Изд-во ТулГУ, 2003 С. 226227.

3. Руссакова И.И Метод матричной краевой задачи Римана в задаче о межфазном включении, отслоившемся вдоль одной стороны от среды // Лобачевские чтения - 2003. Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 21. Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2003. С. 192-193.

4 Руссакова ИИ Плоскость с включением, отслоившимся вдоль одной стороны от среды, под действием различных нагрузок при наличии трения II Математическое моделирование и краевые задачи. Часть 1. Труды Всероссийской научной конференции. Самара: Изд-во СамГТУ, 2004. С. 191194.

5. Руссакова ИИ. Об одном случае задачи о тонком жестком межфазном включении, отсоединившемся вдоль одной стороны от среды // Математические модели и их приложения: Сб. науч. тр. Вып. б. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2004. С. 33-43.

6. Руссакова И. И О влиянии трения на напряженное состояние кусочно-однородной среды с частично отслоившимся межфазным включением // Математика в высшем образовании: Тезисы докладов 12-й международной конференции. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2004. С. 129.

7. Руссакова И.И. Анализ напряженного состояния вблизи вершин включения, отсоединившегося от среды вдоль одной стороны // Современные проблемы механики и прикладной математики: Сборник трудов международной школы-семинара. Часть 1, т. 2. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2004. С. 443 - 445.

8. Руссакова И. И Кусочно-однородная плоскость с частично отслоившимся включением при растяжении сосредоточенными силами. // Труды математического центра имени Н.И Лобачевского. Т. 25. Актуальные проблемы математики и механики: Материалы международной конференции. Казань: Изд-во Казанск. матем. общества, 2004. С. 227 - 228.

9. Руссакова И. И Напряженное состояние кусочно-однородной плоскости с частично отслоившимся межфазным включением II Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая). Тезисы докладов. Екаринбург: УрО РАН, 2005. С. 258.

10. Ильина И.И., Сильвестров ВВ. Задача о тонком межфазном включении, отсоединившемся от среды вдоль одной стороны // Известия РАН. Механика твердого тела. 2005. № 3. С. 153 - 166.

11. Ильина ИИ. Об одном случае задачи о частично отслоившемся межфазном включении при наличии трения на линии контакта // Математическое моделирование и краевые задачи. Часть 1. Труды Всероссийской научной конференции. Самара: Изд-во СамГТУ, 2005.

12. Ильина И.И. Однородная упругая плоскость с частично отслоившимся включением в поле действия сосредоточенных сил // Математические модели и их приложения: Сб. науч. тр. Вып. 7. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2005. С. 26 - 30.

»-889 1

РНБ Русский фонд

2006^4 14770

Формат 60x84/16. Объем 1,0 п.л. Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Заказ № 2 Ч£

Отпечатано в типографии

Чувашского государственного университета имени И Н Ульянова 428015 Чебоксары, Московский проспект. 15

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЗАДАЧА О ТОНКОМ ЖЕСТКОМ МЕЖФАЗНОМ

ВКЛЮЧЕНИИ, ОТСОЕДИНИВШЕМСЯ ВДОЛЬ

ОДНОЙ СТОРОНЫ ОТ СРЕДЫ.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Краевая задача для комплексных потенциалов и сведение ее к отдельным задачам Римана.

§ 3. Решение задачи для случая яг<-1.

§ 4. Решение задачи для случая -1 < а < 1.

§ 5. Решение задачи для случая а = -1.

§ 6. Однородная плоскость с частично отслоившимся включением.

ГЛАВА 2. ЧАСТИЧНО ОТСЛОИВШЕЕСЯ МЕЖФАЗНОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ

В ПОЛЕ ДЕЙСТВИЯ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ

СИЛ И ПАР СИЛ.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Сведение краевой задачи к матричной краевой задаче Римана.

§ 3. Построение решения задачи для случая а <-1.

§ 4. Построение решения задачи для случая - \ < а <\.

§ 5. Межфазное включение под действием сосредоточенной силы, приложенной к верхней стороне включения.

§ 6. Однородная плоскость с частично отслоившимся включением в поле действия сосредоточенных сил и пар сил.

ГЛАВА 3. КУСОЧНО-ОДНОРОДНАЯ ПЛОСКОСТЬ С щ ВКЛЮЧЕНИЕМ, ОТСЛОИВШИМСЯ ВДОЛЬ

ОДНОЙ СТОРОНЫ ОТ СРЕДЫ, ПРИ НАЛИЧИИ

ТРЕНИЯ В ЗОНЕ КОНТАКТА.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Решение задачи в случае однородной плоскости.

§ 3. Коэффициенты интенсивности напряжений и численные расчеты.

§ 4. Схема решения задачи в общем виде.

§ 5. Численные расчеты.

В механике композиционных материалов большое внимание уделяется изучению напряженного состояния тел, ослабленных дефектами различных типов, в том числе, дефектами в виде тонких жестких включений, частично или полностью отсоединившихся от среды. Такие дефекты появляются в материале, как в процессе его изготовления, так и в процессе его эксплуатации. Например, включение может отсоединиться от основной среды полностью или частично из-за разницы упругих свойств сред, примыкающих к включению, или в результате разрыва армирующих элементов. В связи с этим представляют теоретический и практический интерес задачи для кусочно-однородных тел с дефектами в виде частично отслоившихся включений.

В настоящее время достаточно полно изучено влияние на напряженное состояние однородного или кусочно-однородного материала дефектов в виде полностью соединенных со средой тонких жестких включений. Результаты этих исследований широко представлены в монографиях Н.И. Мусхелишвили [27], Г.П. Черепанова [43], Г.Я. Попова [32], Г.А. Мораря [26], JI.A. Толоконникова и В.Б. Пенькова [37] и многих других статьях.

Исследованию напряженного состояния однородной плоскости с тонким жестким, полностью сцепленным со средой включением посвящены работы [54, 73]. Тонкое жесткое включение, расположенное на линии соединения разных по упругим свойствам изотропных полуплоскостей, рассмотрено R.A. Ballarini [49], F. Erdogan и G.D. Gupta. [57]. В статье X. Markenscoff, L. Ni и J. Dundurs [63] решение этой задачи найдено с помощью функций Грина. Вопрос о распределении напряжений около дефектов типа жестких остроугольных включений изучен в работах [11, 31]. В статье A. Asundi и W. Deng [48] решена плоская задача теории упругости для двух анизотропных полуплоскостей с различными механическими свойствами, имеющих на линии полного контакта жесткие включения конечной длины и растягиваемых на оо усилиями, нормальными к линии контакта. Решение в матричной форме получено с помощью аппарата функций комплексного переменного. Структура решения существенно зависит от соотношения свойств полуплоскостей, что приводит к двум возможным вариантам напряженного состояния у вершины включения: либо имеет место сингулярность типа квадрат корня, либо наряду с этой сингулярностью возникают эффекты осцилляции напряжений. Системе полностью сцепленных со средой тонких жестких включений в анизотропной кусочно-однородной среде посвящена работа К. Wu [76].

Исследованию кусочно-однородных тел с включениями на линии раздела сред при различных способах нагружения среды посвящено большое число работ. Задача о тонком жестком включении в однородной плоскости, одна сторона которого полностью сцеплена со средой, а другая - отслоилась от среды и свободна от какого-либо контакта с ней, впервые решена Д.И. Шерманом [44] методом сингулярных интегральных уравнений. Более простое решение этой задачи получено Н.И. Мусхелишвили [27] методом краевой задачи Римана. В монографии Г.А. Мораря [26] предложен метод обобщенного интегрального преобразования Фурье для описания напряженно-деформируемого состояния бесконечной пластины с тонким упругим включением при различных типах краевых условий. Отметим работу Г.П. Черепанова [42], где построено замкнутое решение смешанной задачи для однородной плоскости с прямолинейным разрезом, когда на произвольных участках обоих берегов разреза заданы перемещения или напряжения. В статье L.M. Кеег [61] посредством интегрального преобразования Ханкеля найдено решение задачи о напряженном состоянии однородной упругой среды, ослабленной круговым вырезом, на одном из берегов которого заданы смещения, а на другом - напряжения. Показано, что интенсивность напряжений вблизи включения определяется осциллирующе-степенной функцией с показателем -3/4 + Лп(лг)/Ая (л:-упругий параметр плоскости). В статье В.Н. Акопяна [3] построено решение задачи для кусочно-однородной плоскости с разрезом, один берег которого жестко защемлен, а другой свободен от напряжений; выведена система двух сингулярных интегральных уравнений второго рода, описывающая поставленную задачу. Частично отслоившемуся от среды тонкому жесткому межфазному включению посвящены исследования [50, 56, 58, 64]. В работе X. Markenscoff и L. Ni [62] рассмотрена смешанная задача Мусхелишвили для отслоившегося жесткого межфазного включения в случае сцепления. С помощью функции Грина задача сведена к диагонализуемой системе сингулярных интегральных уравнений. Проведен анализ поведения напряжений на концах включения. Пространственная задача о частично отслоившемся межфазном включении решена в статье D. Elata [55]. В статье Т.А. Homulka и L.M. Кеег [59] рассмотрена смешанная задача для жесткого межфазного включения с отслоившейся кромкой, расположенного на линии соединения двух анизотропных полуплоскостей. Методом Строха задача приведена к матричной краевой задаче Римана с постоянным коэффициентом-матрицей порядка 6x6, и путем диагонализации сведена к отдельным задачам Римана. Частично отслоившееся включение в анизотропной плоскости также рассмотрено Т.С.Т. Ting [72].

В статье В.А. Хандогина [39] рассмотрено напряженное состояние ортотропной плоскости с разрезом вдоль отрезка действительной оси, нижний берег которого армирован упругой мембраной, которая препятствует продольным деформациям растяжения-сжатия и не сопротивляется изгибу. Потенциалы С.Г. Лехницкого построены как решения матричной краевой задачи Римана. Показано, что напряжения в вершинах дефекта могут иметь степенную особенность любого порядка от -1 до 0 в зависимости от жесткости мембраны. Специально рассмотрены случаи малой и большой жесткости. Упругое равновесие изотропной плоскости с одним линейным дефектом в условиях продольного сдвига изучено в работе [40].

Тонкое жесткое включение, одна сторона которого со средой не контактирует, а другая контактирует с ней как гладкий штамп, изучено в работах [26, 32]. В первой работе рассмотрена однородная плоскость. В работе С.В. Босакова [13] в виде ряда по полиномам Чебышева первого рода найдены контактные напряжения в точках тонкого упругого включения в однородной упругой среде, одна сторона которого жестко присоединена к среде, а другая отслоилась от среды и контактирует с ней при отсутствии касательного напряжения. К границе включения в упругой плоскости приложена вертикальная сосредоточенная сила. Наиболее тесно связаны с этой задачей работы [16, 33, 38]. Соответствующая антиплоская задача о тонком жестком включении в однородном упругом слое решена в [8].

В работах [18, 41] решена основная смешанная задача теории упругости для однородной плоскости с коллинеарными разрезами при различных способах расположения точек смены типа граничных условий на берегах разрезов. Частный случай этой задачи изучен в работе [24]. В статье S.M. Mkhitarian [65] рассмотрено напряженное состояние однородной упругой плоскости с трещиной, на верхнем берегу которой заданы нормальное и касательное напряжения, на отдельных участках нижней границы заданы нормальные и касательные перемещения, а между этими участками нулевые напряжения. Получена система интегро-дифференциальных уравнений, связывающих производные перемещений и усилий на берегах трещины. Этой системе сопоставлено матричное соотношение Римана для двух голоморфных функций, являющихся интегралами Коши. Решение этой системы функциональных уравнений сведено к решению регулярной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений.

Вопросы контактного взаимодействия выходящих на границу или внутренних абсолютно жестких или упругих тонких включений с упругой полуплоскостью в различных постановках рассмотрены в работах [1, 2, 5, 7, 15].

В работе В.Н. Акопяна и А.В. Саакяна [4] рассмотрено напряженное состояние однородной упругой плоскости, содержащей накрест лежащие четыре одинаковые разрезы, на одних берегах которых заданы смещения, а на других - напряжения. Задача математически сформулирована в виде системы двух сингулярных интегральных уравнений второго рода, решение которой построено методом ортогональных многочленов Якоби. Аналогичная задача для упругой полуплоскости с краевым вырезом решена в [6].

Г.Я. Поповым [32] рассмотрена задача о полностью отслоившемся от среды тонком жестком межфазном включении. Случай однородной плоскости исследован Г.А. Морарем [26]. Отслоившееся от среды тонкое жесткое включение, расположенное на границе соединения двух разных по упругим свойствам изотропных полуплоскостей, к сторонам которого в их середине приложены сосредоточенные силы и момент рассмотрено в работе X. Markenscoff и L. Ni [62].

В последние годы наибольшую популярность получили модели межфазных включений с окаймляющими их трещинами скольжения (с трением и без трения). В работе [17] делается оценка влияния трения в зоне расслоения между упругим материалом и жестким включением. При этом в отличие от работы J. Shiory и К. Inoue [71], где касательное напряжение всюду в зоне расслоения считается постоянным, в этой работе приняты более реалистические условия взаимодействия между материалом и включением.

Изучению процесса отслоения жесткого линейного включения от среды на участках, примыкающих к концам включения, при растяжении сосредоточенными силами посвящены работы Н.М. Кундрата [19 - 23]. Во всех этих работах среда полагается однородной.

В статье Ю.А. Антипова [9] изучено тонкое абсолютно жесткое включение, которое под действием силы и момента, приложенных к полностью сцепленному со средой верхнему берегу, отслоилось вдоль нижнего берега так, что на некотором внутреннем участке происходит раскрытие трещины, а вне его возникают концевые зоны проскальзывания. Доказано, что задача эквивалентна системе четырех сингулярных интегральных уравнений, которые в симметричном случае сведены к одному уравнению типа свертки Меллина, а в общем случае - к двум последовательно решаемым векторным задачам Римана.

Однородная упругая плоскость, ослабленная трещинами и тонкими жесткими остроугольными включениями, изучена в [12, 53, 60, 66]. Случай неоднородной плоскости рассмотрен в статье [36]. Взаимодействие системы трещин и отслоившегося включения исследовано в статье А.К. Ярдухина [46]. В работе В.В. Сильвестрова [35] методом римановых поверхностей решена плоская задача о напряженном состоянии кусочно-однородной плоскости с системой межфазных трещин и полностью отслоившихся от среды тонких жестких остроугольных межфазных включений под действием конечного числа сосредоточенных сил и пар сил, расположенных как в самих средах, так и на линии раздела сред. Частный случай этой задачи, когда имеются одна трещина и одно включение, изучен в работе А.К. Ярдухина [47]. Взаимодействие межфазной трещины с полубесконечным межфазным включением изучено этим же автором в статье [45].

Межфазные включения различной формы (эллиптические, прямоугольные, дуговые и др.) изучены в работах V. Boniface и N. Hasebe [51], С.К. Chao и M.N. Shen [52], P.B.N. Prasad и K.R.Y. Simha [67,68] и др.

Что касается задачи о тонком жестком межфазном включении, одна сторона которого отслоилась от среды и контактирует с ней, а другая полностью сцеплена со средой, то автору не известны какие-либо исследования в этом направлении, хотя некоторые задачи о вдавливании штампа в упругую полуплоскость [10, 29, 30] по сути близки к поставленной в этой работе.

В данной работе в рамках линейной теории упругости решается задача о тонком жестком межфазном включении, отсоединившемся от среды вдоль одной стороны. Структурно работа делится на три главы.

В первой главе изучается кусочно-однородная упругая плоскость, составленная из двух разных упругих полуплоскостей, между которыми расположено тонкое жесткое остроугольное включение конечной длины. Одна сторона включения полностью сцеплена со средой, а другая контактирует с ней в режиме скольжения без трения, подобно гладкому жесткому штампу. Рассматривается плоское напряженное состояние, порожденное заданными на бесконечности напряжениями и вращением, при наиболее общих краевых условиях на сторонах включения - заданных производных горизонтальной и вертикальной компонент вектора смещения на одной стороне и заданных касательной компоненты вектора напряжений и производной вертикальной компоненты вектора смещения на другой стороне.

Полагается, что заданные граничные условия непрерывны по Гельдеру. Решение задачи ищется в классе напряжений, которые в вершинах включения могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы и имеют заданное поведение на бесконечности.

В § 1 ставится механическая задача. Формулируется условие ее физической реализуемости, заключающееся в требовании контакта верхней отслоившейся стороны включения с окружающим его материалом. С помощью формул Колосова Мусхелишвили в интерпретации Г.П. Черепанова [43] поставленная задача сводится к системе четырех краевых условий, в каждом из которых фигурируют граничные значения двух функций комплексной переменной Ф(г) и Q(z). В § 2 путем введения особым образом четырех новых функций задача сводится к матричной краевой задаче Римана, решение которой существенно зависит от значения действительного параметра где //,, ju2, кх, к2 — упругие параметры составной плоскости.

В случае аФ-1 матричная задача сводится к четырем самостоятельным краевым задачам Римана.

В § 3 приводится решение задачи для случая а<-\. Особое внимание уделяется изучению поведения комплексных потенциалов вблизи вершин включения. Установлено, что в этом случае напряжения вблизи вершин включения имеют степенную особенность порядка 1/2 в сочетании с осциллирующей особенностью, определяемой степенной функцией с чисто мнимым показателем id. Показатель осцилляции находится по формуле соответствующего как классической межфазной трещине [75], так и тонкому жесткому остроугольному межфазному включению [48], полностью сцепленному со средой. Интенсивность напряжений вблизи вершин включения определяется тремя действительными параметрами (коэффициентами интенсивности напряжений). Анализ параметра а показывает, что в изучаемом случае -|<аг<-1, следовательно, как и в случаях открытой межфазной трещины [74] и тонкого жесткого межфазного включения [49], полностью сцепленного со средой, значения показателя 8 осцилляции напряжений вблизи вершин включения не превосходят по модулю значения 0.175.

В § 4 приводится решение задачи для случая -1 < а < 1. Показано, что в этом случае интенсивность напряжений вблизи вершины включения, заканчиваемого в точке z = 0, определяется степенными функциями zY, z^2, а =

2ц\к\ + MlM2K2 С1 - к\ X1 - ■К2 ) - АК\ С1 + К2 ) 2 K2{]UX+ /и2Кх)(ц2+ V\K2) и отличается от показателя осцилляции, z1 r, где У arccos а зависит только от упругих параметров составной плоскости и 0 < у < 1/2. Как и в § 3, интенсивность напряжений определяется тремя действительными коэффициентами, которые являются функционалами от исходных геометрических и упругих параметров среды, от исходных краевых условий и приложенных на бесконечности нагрузок. В то же время, осциллирующая особенность отсутствует.

В § 5 приводится решение задачи для случая а = -1. Этот случай, когда S = О и у = 1/2, является особым и определяется одним условием, налагаемым на упругие параметры полуплоскостей, между которыми расположено включение. Установлено, что напряжения вблизи вершин включения имеют степенную особенность порядка 1/2 в сочетании с логарифмической особенностью, и их интенсивность определяется тремя действительными коэффициентами.

В § 6 рассмотрен частный случай данной задачи, когда плоскость -однородная. Показано, что напряжения вблизи вершин включения имеют степенную особенность порядка -3/4. Осциллирующая особенность у напряжений отсутствует, а их интенсивность при степенной функции с показателем - 3/4 определяется лишь одним действительным коэффициентом.

Во всех указанных выше случаях на конкретных примерах проверяется условие физической реализуемости построенного решения, находятся и строятся графики коэффициентов интенсивности напряжений на концах включения, строятся эпюры напряжений на его сторонах.

Во второй главе рассматривается задача о частично отслоившемся межфазном включении при наличии сосредоточенных сил и пар сил. Решение задачи, сформулированной в § 1, ищется в классе напряжений, которые в вершинах включения могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы, в точках приложения сил и пар сил - в бесконечность порядка не больше двух, а вне любой фиксированной достаточно малой окрестности множества сингулярностей ограничены. Для решения задачи используется тот же самый метод, что и в главе 1.

В § 1 формулируется механическая и математическая задачи. Далее, в § 2 строится решение поставленной задачи методом, предложенным в предыдущей главе. В § 3 - 4 предлагается решение задачи для различных случаев а. В обоих случаях исследуется влияние сосредоточенных сил и пар сил на коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах включения. Межфазное включение под действием сосредоточенной силы, приложенной к верхней стороне включения, рассматривается в § 5. Частный случай задачи, когда плоскость - однородная, исследуется в § 6.

В третьей главе рассматривается кусочно-однородная плоскость с частично отслоившимся жестким включением в поле действия сосредоточенных сил и пар сил при наличии трения на контактируемой со средой стороне включения. На нижней стороне включения задаются значения производных от горизонтальной и вертикальной компонент вектора смещения, а на верхней - значения касательного и нормального напряжений, связанные законом Кулона, и значение производной от вертикальной компоненты вектора смещения. На все другие исходные данные задач налагаются такие же условия, как и в главе 2. Постановка задачи дается в § 1. В § 2 находится решение задачи в случае однородной плоскости. Поведение комплексных потенциалов вблизи вершин изучаемого включения, а так же формулы для коэффициентов интенсивности напряжений приводятся в § 3. Схема решения задачи в общем случае излагается в § 4. Показано, что в отличие от задач первой и второй главы, в зависимости от упругих характеристик составной плоскости и от коэффициента трения возможны разные варианты решения поставленной задачи. В диссертации приводятся два возможных варианта решения. В § 5 проводятся численные расчеты для различных видов составной плоскости при наличии в ней сосредоточенных сил. Строятся графики коэффициентов интенсивности напряжений, контактных напряжений на сторонах включения в зависимости от коэффициента трения и других характеристик среды.

Отдельные результаты и работа в целом докладывались на XIII межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2003), на молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2003), на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004), на XII международной конференции «Математика в высшем образовании» (Чебоксары, 2004), на международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2004), на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела при Тульском государственном университете (Тула, 2005, руководитель - профессор Маркин А.А.) и на семинарах кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета (Чебоксары, 2002-2005, руководитель - профессор Сильвестров В.В.).

Основные результаты, полученные в данной работе, отражены в публикациях [77 - 88].

Исследования, результаты которых составляют суть диссертационной работы, проводились в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 01-01-00720, 04-01-00160).

Основные результаты, полученные в данной диссертационной работе и выносимые на защиту:

1) получено точное аналитическое решение задачи о тонком жестком межфазном включении, отсоединившемся вдоль одной стороны от среды, в случае отсутствия трения в зоне контакта;

2) исследована задача о частично отслоившемся межфазном включении в поле действия сосредоточенных сил и пар сил, приложенных как к точкам, расположенным на линии раздела сред, так и к внутренним точкам упругих полуплоскостей;

3) решена задача о тонком жестком межфазном включении, отсоединившемся вдоль одной стороны от среды при наличии трения в зоне контакта;

4) проведен анализ решений перечисленных выше задач, изучены частные случаи, в том числе, случай однородной плоскости, выведены аналитические формулы для коэффициентов интенсивности напряжений.

Заключение

1. Абрамян Б.Л. Об одной контактной задаче для полуплоскости // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1972. № 5. С. 4 10.

2. Акопян В.Н. Напряженно-деформируемое состояние составного клина, усиленного жестким включением // Механика деформируемого твердого тела. Ереван: Изд-во АН Армении. 1993. С. 63 78.

3. Акопян В.Н. Об одной смешанной задаче для составной плоскости, ослабленной трещиной // Известия национальной академии наук Армении. 1995. Т. 48. № 4. С. 57 65.

4. Акопян В.Н., Саакян А.В. Напряженное состояние однородной упругой плоскости, содержащей накрест лежащие трещины, при смешанных граничных условиях на берегах трещин // Известия РАН. Механика твердого тела. 1999. № 3. С. 106-113.

5. Акопян В.Н., Саакян А.В. Об одной смешанной задаче для упругого клина, ослабленного трещиной // Известия РАН. Механика твердого тела. 1999. №6. С. 66-78.

6. Акопян В.Н., Саакян А.В. Напряженное состояние упругой полуплоскости, содержащей тонкое жесткое включение // Известия РАН. Механика твердого тела. 2002. № 6. С. 76 82.

7. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 488 с.

8. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Физматлит, 1993. 224 с.

9. Антипов Ю.А. Отслоившееся включение в случае сцепления и проскальзывания // Прикладная математика и механика. 1996. Т. 60. Вып. 4. С. 669-680.

10. Антипов Ю.А., Арутюнян Н.Х. Контактные задачи теории упругости при наличии трения и сцепления // Прикладная математика и механика. 1991. Т. 55. Вып. 6. С. 1005- 1017.

11. Бережницкий JI.T., Панасюк В.В., Труш И.И. Коэффициенты интенсивности напряжений возле жестких остроугольных включений // Проблемы прочности. 1973. № 7. С. 3 7.

12. Бережницкий J1.T., Панасюк В.В., Стащук Н.Г. Взаимодействие жестких линейных включений и трещин в деформируемом теле. Киев: Наук, думка, 1983. 288 с.

13. Босаков С.В. Расчет заглубленных анкерных плит конечной жесткости // Прикладная механика. 1980. Т. 16. №3. С. 81 87.

14. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

15. Григорян Э.Х. Решение задачи упругого конечного включения, выходящего на границу полуплоскости // Учен. зап. ЕГУ. естеств. н. 1981. № 3. С. 32-43.

16. Жуковский И. Н. Контактная задача для пластинки, расположенной в щели бесконечного тела // Прикладная механика. 1975. № 11. С. 124 -128.

17. Захаров В.В., Никитин Л.В. Влияние трения на процесс расслоения разнородных материалов // Известия АН СССР. Механика композитных материалов. 1983. № 1. С. 20 25.

18. Зверович Э.И. Смешанная задача теории упругости для плоскости с разрезами, лежащими на вещественной оси // Труды симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. Тбилиси: Мецниереба, 1973. Т. 1. С. 103 114.

19. Кундрат Н.М. Локальное разрушение в композиции с жесткими линейными включениями // Механика композиционных материалов и конструкций. 1998. Т. 4. № 4. С. 115 127.

20. Кундрат Н.М. Предельное равновесие композиции с жестким включением при растяжении сосредоточенными силами // Механика композиционных материалов и конструкций. 2000. Т. 6. № 1. С. 103 112.

21. Кундрат Н.М. Исследование механизмов разрушения в композиции с жестким включением при растяжении сосредоточенными силами // Механика композиционных материалов и конструкций. 2000. Т. 6. № 3. С. 333-342.

22. Кундрат Н.М. Отслоение жесткого линейного включения при статическом нагружении // <Шз.-х1м. мех. матер. 2001. Т. 37. № 1, С. 37 -40.

23. Кундрат Н.М. Отслоение жесткого включения в упругопластической матрице при растяжении сосредоточенными силами // Механика композиционных материалов и конструкций. 2001. Т. 7. № 1. С. 107 113.

24. Корзан Л.А. Явное решение одного частного случая смешанной задачи теории упругости для плоскости с разрезами, лежащими на вещественной оси // Весщ АН Беларусь Серия ф1з.-мат. наук. 1997. № 1. С. 61 67.

25. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.

26. Морарь Г.А. Метод разрывных решений в механике деформируемых тел. Кишинев: Штиинца, 1990. 130 с.

27. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

28. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.511 с.

29. Нахмейн Е.Л., Нуллер Б.М. Контакт упругой плоскости с частично отслоившимся штампом // Прикладная математика и механика. 1986. Т. 50. Вып. 4. С. 663-673.

30. Нахмейн E.JI., Нуллер Б.М. Давление системы штампов на упругую полуплоскость при общих условиях контактного сцепления и скольжения // Прикладная математика и механика. 1988. Т. 52. Вып. 2. С. 284 293.

31. Панасюк В.В., Бережницкий JI.T., Труш И.И. Распределение напряжений около дефектов типа жестких остроугольных включений // Проблемы прочности. 1972. № 7. С. 3 9.

32. Попов Г .Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 342 с.

33. Репников J1.H., Горбунов-Посадов М.И. Расчет анкерной плиты, работающей в стадии уплотнения грунта // Основания, фундаменты, и механика грунтов. 1969. № 5. С. 6 8.

34. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами. Киев: Наук, думка, 1988. 566 с. Механика разрушения и прочность материалов: Справ, пособие в 4-х томах. Т. 2.

35. Сильвестров В.В. Метод римановых поверхностей в задаче о межфазных трещинах и включениях при наличии сосредоточенных сил // Известия вузов. Математика. 2004. № 7. С. 78-91.

36. Сильвестров В.В., Ярдухин А.К. Межфазная трещина и отслоившееся тонкое жесткое гладкое межфазное включение при сложном нагружении // Проблемы механики неупругих деформаций: М.: Физматлит, 2001. С. 301-313.

37. Толоконников JI.A., Пеньков В.Б. Метод граничных представлений в двумерных задачах механики. Тула: Изд-во ТВАИУ, 1988. 378 с.

38. Фотиева Н.И., Лыткин В.А. К расчету анкерных плит глубокого заложения // Основания, фундаменты механика грунтов. 1969. № 5. С. 8 -10.

39. Хандогин В.А. Плоская задача для ортотропного тела с трещиной, нижний берег которой армирован упругой мембраной // Прикладная механика и теоретическая физика. 1998. Т. 39. № 2. С. 150 155.

40. Хандогин В.А. Смешанная задача теории трещин для антиплоской деформации // Прикладная механика и теоретическая физика. 1998. Т. 39. №3. С. 163-172.

41. Черепанов Г.П. О напряженном состоянии в неоднородной пластинке с разрезами // Известия АН СССР. Механика и машиностроение. 1962. № 1. С. 131-137.

42. Черепанов Г.П. Решение одной линейной краевой задачи Римана для двух функций и ее приложение к некоторым смешанным задачам плоской теории упругости // Прикладная математика и механика. 1962. Т. 26. Вып. 5. С. 907-912.

43. Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов. М. Наука, 1983. 296 с.

44. Шерман Д.И. Смешанная задача теории потенциала и теории упругости для плоскости с конечным числом прямолинейных разрезов // Доклады АН СССР. 1940. Т. 27. № 4. С. 330 334.

45. Ярдухин А.К. Взаимодействие межфазной трещины с полубесконечным межфазным включением // Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике. Минск: УП "Технопринт", 2001. С. 510 514.

46. Ярдухин А.К. Система трещин и отслоившееся включение на линии раздела сред // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды XII межвузовской конференции, ч. 1. Самара: СамГТУ, 2002. С. 220 224.

47. Ярдухин А.К. Аналитическое решение задачи взаимодействия межфазной трещины с отслоившимся межфазным включением при наличии сосредоточенных сил // Вестник СамГТУ. Серия «Физико-математические науки». Вып. 19. Самара: изд-во СамГТУ, 2003. С. 107 — 110.

48. Asundi A., Deng W. Rigid inclusions on the interface between dissimilar anisotropic media // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1995. V. 43. №7. P. 1045 1058.

49. Ballarini R.A. A rigid line inclusion at a bimaterial interface // Engineering Fracture Mechanics. 1990. V. 37. P. 173 182.

50. Ballarini R.A. A certain mixed boundary value problem for bimaterial interface // International Journal of Solids and Structures. 1995. V. 32. № 3 -4. P. 279-289.

51. Chao C.K., Shen M.N. Circular-arc inclusion at isotropic bimaterial interface // AIAA Journal. 1995. V. 33. № 2. P. 332 339.

52. Chen Y.Z. Interaction between cracks and rigid lines in an infinite plate // Acta Mechanica. 1993. V. 101. P. 15 -29.

53. Dundurs I., Markenscoff X. The sterberg-koiter conclusion and other anamalies of the concentrated couple // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1989. V. 56. P. 240 245.

54. Elata D. On the problem of rigid inclusions between two dissimilar elastic half-spaces with smooth surfaces // International Journal of Solids and Structures. 1999. V. 36. P. 2633 2636.

55. Erdogan F. Stress distribution in bonded dissimilar materials containing circular or angular-shaped cavities // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1965. V. 32. P. 829 836.

56. Erdogan F., Gupta. G.D. Stress near a flat inclusion in bonded dissimilar materials // International Journal of Solids and Structures. 1972. V. 8. P. 533 -547.

57. Gdoutos E.G., Kourounis C.G., Kattis M.A., Zacharopoulos D.A. A partly unbonded rigid fiber inclusion in an infinite matrix // Advances in Fracture Mechanics. 1989. P. 223 227.

58. Homulka T.A., Keer L.M. A mathematical solution of a special mixed-boundary-value problem of anisotropic elasticity // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1995. V. 48. № 4. P. 636 558.

59. Ни K.X., Chandra A. Interaction among general system of cracks and anticracks: an integral equation approach // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1993. V. 60. P. 920 928.

60. Keer L.M. Mixed boundary value problems for a penny-shaped cut // Journal of Elasticity. 1975. V. 5. № 2. P. 89 98.

61. Markenscoff X., Ni L. The debonded interface anticrack // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1996. V. 63. P. 621 627.

62. Markenscoff X., Ni L., Dundurs J. The interface anticrack and Green's functions for interacting anticracks and cracks / anticracks // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1994. V. 61. P. 797 802.

63. Miller G.R., Young R.P. On singular solution for inclusion problem in plane elasticity // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1987. V. 54. P. 738-740.

64. Mkhitarian S.M. On one class of mixed problems of theory of elasticity // Continuum Mechanics and Related Problems of Analysis: Proceedings of International Symposium. Tbilisi. 1993. P. 163 171.

65. Petrova V. Interaction between a main crack and inclusions at shear stress state // IUTAM Symposium on Microstructure-Property Interactions in Composite Materials. Kluwer Academic Publishers. Netherlands. 1995. P. 277 287.

66. Prasad P.B.N., Simha K.R.Y. Interaction of interfacial arc cracks // International Journal of Fracture. 2002. V. 117. P. 39 62.

67. Prasad P.B.N., Simha K.R.Y. Interface crack around circular inclusion: SIF, kinking, debonding energetics // Engineering Fracture Mechanics. 2003. V. 70. P. 285-307.

68. Rice J.R. Elastic fracture mechanics concepts for interfacial cracks // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1988. V. 55. № 1. P. 98-103.

69. Rice J.R., Sih G.C. Plane problems of cracks in dissimilar media // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1965. V. 32. № 2. P. 418-423.

70. Shiory J., Inoue K. Micromechanics of interfacial failure in short fibre reinforced composite materials // Composite materials. Rep. 1st Soviet -Japanese Symp. on Composite Materials. Moscow. 1978. p. 286 295.

71. Ting T.C.T. Explicit solution and invariance of the singularities at an interface crack in anisotropic composites // International Journal of Solids and Structures. 1986. V. 22. № 9. P. 965 983.

72. Wang Z.Y., Zhang H.T., Chou Y.T. Characteristics of the elastic field of a rigid line in homogeneity // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1985. V. 52. P. 818 822.

73. Williams M.L. The stress around a fault or crack in dissimilar media. // Bulletin of Seismology Society of America. 1959. V. 49. P. 199 204.

74. Willis J.R. Fracture mechanics of interfacial cracks // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1971. V. 19. P. 353-368.

75. Wu K.C. Line inclusion at anisotropic bimaterial interface // Mechanics of Materials. 1990. V. 10. P. 173 182.

76. Руссакова И.И. Упругая плоскость с тонким жестким включением, отсоединившемся от среды вдоль одной стороны // Математическое моделирование и краевые задачи. Часть 1. Труды 13-й межвузовской конференции. Самара: Изд-во СамГТУ, 2003. С. 166-168.

77. Руссакова И.И. Об одном случае задачи о тонком жестком межфазном включении, отсоединившемся вдоль одной стороны от среды // Математические модели и их приложения: Сб. науч. тр. Вып. 6. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2004. С. 33 -43.

78. Руссакова И.И. Напряженное состояние кусочно-однородной плоскости с частично отслоившимся межфазным включением // Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая). Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2005. С. 258.

79. Ильина И.И., Сильвестров В.В. Задача о тонком межфазном включении, отсоединившемся вдоль одной стороны от среды // Известия РАН. Механика твердого тела. 2005. № 3. С. 153 166.

80. Ильина И.И. Об одном случае задачи о частично отслоившемся межфазном включении при наличии трения на линии контакта // Математическое моделирование и краевые задачи. Часть 1. Труды Всероссийской научной конференции. Самара: Изд-во СамГТУ, 2005.

81. Ильина И.И. Однородная упругая плоскость с частично отслоившимся включением в поле действия сосредоточенных сил // Математические модели и их приложения: Сб. науч. тр. Вып. 7. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2005. С. 26-30.