Контактные задачи теории упругости при наличии сцепления и сухого трения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

к и Он

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

. На. правах рукописи Антипов Юрий Александрович

ШПАКГНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ пга НАЛИЧИИ СЦЕПЛЕНИЯ И СУХОГО ТРЕНИЯ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена в Одесском государственном университете им. И.И.Мечникова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.Б.Ефимов, доктор физико-математических наук, профессор В.М.Александров, доктор физико-математических наук, профессор П.И.Перлин.

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный университет.

Защита состоится " «/х/ _ 1993 г.

в 16 час., в ауд. 16-Ю на заседании специализированного совета Д 053.05.03 в Московском государственном университете■им. 'М.В.Ломоносова (119899, Мосйва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан " /7 ■ "/Л_ 1993 г.

- Ученый секретарь-специализированного совета, доцент

В. А. Мальков

. ОЕдАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ ......

Актуальность проблемы. Современный уровень развития техники характеризуется разнообразием форм контактного взаимодействия деталей машин, в том числе и таких, когда в зоне контакта выполняются условия сцепления и проскаль"Чвания (бесфрикционного или с.учетом сухого трения), т.е. когда происходит смена типа граничных условий в области контакта. Анализ моделей этих, задач и разработка эффективных методов их решения является актуальной научно-технической задачей. - ■'■' -

Для устранения" осцилляции контактных напряжений в задаче о сцепленном с упругим основанием штампе, установленной В.М.Абрамовым (1937 г.), Л.А.Галин и С.В.Оалькович одновременно (1945 г.) предложили в области контакта задавать условия смешанного типа. С.В.Фалькович предложил зону контакта разбивать на три участка -центральный сцепления и два крайних скольжения без трения. Им было построено точное решение задачи и установлено, что нормальные напряжения в области контакта меняют знак. Л.Л.Галин также разбивал зону контакта на три участка, но в отличие от постановки С.В.Фальковича, в области проскальзывания потребовал выполнимости закона" сухого трения» Приближенным методом, основанным на конформном отображении области, близкой к заданной, ка вь^хкюю полуплоскость (приближенность метода заключаете* в замене двух дуг, являющихся частью граница криволинейного четырехугольника, отрезками прямых, а это Ьзначает, что получись решение с любой наперед заданной точностью не удается) и последующем сведении задачи к скалярным задачам линейного сопряжения, Л.Л.Галиным было построено решение задачи и установлено, что нормальные напряжения всюду в области контакта сжимающие^ ' ' . V ' ' Заметим, что явлейие микроскольжения было открыто О.Рейно-¿ьдсом (1876 г.) при рассмотрении задачи качения круглого цилин-

дра по полуплоскости. В.И.Моссаковским, В.В.Петровым (1976 гЛ проведены эксперименты по схеме О.Рейнольдса; построенная на их основэ кривая, отражающая зависимость отношения величины сцеплен-..,» ко всей площадке контакта от коэффициента трения, качественно совпадЕот с результата!.« Л.А.Галина.

Существенный вклад в развитие теории контактных задач с частичным проскальзыванием при наличии сухого трения.внесли Д.Спенс (доказал, что существует счетный набор ситуаций, при к< торых напряжения ограничены в точке перехода от сцепления к проскальзыванию, тем не менее только наибольший из возмокных участков проскальзывания порождает физичное решение), а также работы В.И.Моссаковского, А.Г.Бискуп, Л.Э.Моссаковской.

Осциллирующие особенности напряжений возникают и в задаче о трещине на линии раздела сред, когда существует пря:.:ой перех( от сепарации к сцеплению. Дк.Дундурс и И.Комниноу введением прс межуточной зоны' проскальзывания.как без учета трения, так и с его учетом, устранили этот недостаток; При этом постановку задг чи дополняли неравенствами: расстояния между берегами трещин не могут быть отрицательными, и нормальные напряжения в зоне проскальзывания должны быть сжимающими. Задачам о мекфазных дефектах при наличии зон проскальзывания посвящены работы И.В.Симонова; В.В.Захарова и Л.В.Никитина и др.

В задачах о цилиндрической изгибе балки, сцепленной с линейно-деформируемым основанием, о концентрации напряжений возле включения, частично или полностью сцепленного с составной упругой плоскостью и др., также возникают осциллирующие особенности у решения. Введение зон проскальзывания с учетом сухого трения, т.е. корректный перенос модели Лр".Галина на эти задачи, позволяет устранить осцилляцию решения. Во всех контактных задачах, в которых зона контакта разбивается на участки сцепления и про-

- з -

скальзывания (с учетом сухого трения или бесфрикционного), длина зоны проскальзывания заранее неизвестна. При численной реализации для определения напряжений я смещений в области контакта, особенно в окрестности точек перехода от сцепления к проскальзыванию и от проскальзывания к свободному краю, ег.жно уметь точно определять длину зоны скольжения. Существующие методики (для задач, учитывающих сухое трение) приближенны и не всегда эффективны.

Целью работы является разработка аналитического метода эффективного решения контактных задач теории упругости, когда в зоне контакта меняется тип граничных условий, построение аналитических решений (как угодно близких к точному) задач Галина,< Спенса, Дун-дурса-Комниноу (с учетом сухого трения), а также новые'постанов-ки и решение задач о контакте тонкостенных элементов (стрингеров, белок) с упругой средой при наличии участков сцепления и сухого трения, сводящихся к одному или системе интегродифференциальных уравнений типа Прандтля.

Научная новизна заключается в следующем:

1. Разработан метод нейтрализации полюсов (модификация метода Винера-Хопфа) решения интегральных, интегродифференциальных уравнений на отрезке и их систем, заключающийся в с.-здении их к векторной" задаче Римана для двух или более пар функций, а затем

- к бесконечной алгебраической системе Пуанкаре-Кс .а, обратимой в терминах рекуррентных соотношений, которые в ряде случаев удается свернуть. ' •

2. Построены аналитические (как угодно близкие к точному) решения контактных задач при наличии участков сцепления и сухого трения: плоской задачи Галина 'для полуплоскости и клина, осесимметричной задачи Спенса, задачи о меж^азной трещине Дундур-са-Комниноу.

3. Получено точное решение интегродифференциального .уравнения типа Прандтля с мероморфным символом и, на его основе,

эффективное решение ряда новых задач о контактном взаимодействии накладок и балок с упругим основанием при наличии участков сухого трения и сцепления.

4. Сформулирован и доказан принцип соответствия при кручении неоднородных тел вращения, позволяющий на основании решения для однородного тела вращения выписать решение для составного тела; найдено аналитическое решение задач о кручении составного тара

с кольцевой и дискообразной трещиной.

5. Построено эффективное решение задачи о концентрации нал-ряжений в составной плоскости возле трещины, пересекающей линию раздела (в случае, когда трещина делится линией раздела пополам,

.долучено решение в квэаратурах при помощи аппарата краевых задач Римана на римановых поверхностях). Найдено асимптотическое представление для приращения потенциальной энергии деформации при переходе трещины линии раздела.

Достоверность обеспечивается корректностью постановок задач, строгостью математических методов, применяемых при их решении, а также совпадением ряда частных результатов с найденными ранее иными методами. «

Практическое значение работы. В работе получены удобные для . практического использования расчетные формулы для контактных напряжений, смещений, длин зон проскальзывания и контакта (в случае, если область контакта заранее не фиксируется), коэффициентов

интенсивности напряжений и др. Результаты" численных расчетов «

представлены в виде таблиц и графиков и могут быть использованы при расчете прочности элементов конструкций.

■ Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на У1 и Л1 Всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986; Москва, 1991), симпозиуме "Механика сплошной среда и родственные проблемы анализа".посвященном столетию академика Н.И.Мусхелишвили (Тбилиси,1991), I и ТТ Всесоюз- ■

них конференциях по теории упругости (Ереван, 1979; Тбилиси, 1984), Ш и 1У Всесоюзных конференциях по смешанным задачам механики деформируемого твердого'тела (Харьков, 1985; Одесса, 1989), I Всесоюзной конференции по меЛанике разрушения материалов (Львов, 1987), Ш Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур (Львов, 1991), симпозиумах по современным проблемам механики контактных взаимодействий (Ереван, 1988; Днепропетровск, 1989; Ростов-на-Дону, 1990), конференции "Прочность и температурная трещиностойкость бетонных гидротехнических сооружений при температурных воздействиях" (Усть-Нарва, 1988), Республиканской научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения" (Одесса, 1987), общем семинаре ИПМ РАН, семинаре по механике сплошной среды им.Л.А.Галина ИПМ РАН, семинарах кафедры теории пластичности и кафедры теории упругости МГУ, семинаре по теории упругости С-Пб ГУ, семинаре "Проблемы механики" Киевского университета,

Объем и структура работы. Диссертация, изложен!: л на 291 странице, состоит из введения, пяти глав, выводов, библиографии (196 наименований); в ней имеется 45 рисунков и 9 т 5лиц.

- ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, дан обзор литературы, кратко изложено содержание диссертации и сформулированы основные результаты, выносимые на залдату. *

В первой главе изложен метод решения интегральных, интегро-дифференциальных типа Прандтля уравнений и их систем, к которым сводятся рассмотренные в работе задачи. Метод нейтрализации полюсов (так он назван: характерным для него является выявление на некотором эт°пе решения полюсов мероморфной функции и их устранение) по сути есть модификация общего метода Винера-Хопфа, т.к.

он основан на сведении краевых задач математической физики (или эквивалентных им интегральных уравнений) к краевым задачам Рима-на. В этой главе решено интегральное уравнение свертки Меллина

' + / '¿(у)г(У) у - {(*) .

( 0<Л</ , трансформанта Меллина функции мероморфна),

уравнение с ядром, зависящим от отношения и произведения аргументов :

/*?(*) * 10'[у6(у)* (2)

(•образы Меллина функций ¿^ мероморфны), интегродифференциаль-нов уравнение типа Прандтля на отрезке

хю+г - т. о<ш {з)

( Л<°° , ядро сингулярно, имеет мероморфную тран-

■ сформанту Фурье и представимз в виде

), системы интегральных уравнений свертки Меллина на отрезках ( 0,1 ) и ( О, А ) ( 0<А )

< = £ (X), о<х< /

а также системы интегродифференциальных уравнений типа Прандтля на отрезках (О, °о) и (Л, .

Суть метода на примере уравнения (3) для случая

состоит в следующем. Доопределяем уравнение на всю дещрс-твенную ось и при помощи преобразования Фурье при-

ходим к векторной задаче Римана

- Г%)+ е*'°?<Р/(о<) + <Р/(«) (5)

/л/^оо ; ССс)* / */оесМе( причем

. = С/(т)еи'с/т, &&

После факторизации функции О(о<) =Х*(<х)Х(<*) и решения задач по скачку

задача (5) преобразуется к виду г

Функция (?(<*)** имеет счетное множество нулей

Е С~ (л-1?, ), вещественна и обладают асим-

, птотикой Д^ ~ + 0({), . Нейтрализуем полюсы

левой части в (б) при помощи функций

Коэффициенты А^ определяются из следующей нормальной системы Пуанкаре-Коха

допускающей обращение в терминах рекуррентных соотношений, а для случая и явное (в рядах) решение. Вычитая далее из ле-

вой и правой частей равенства (6) функции и), применяя теорему Лиувилля, находим решение векторной задачи Римана (5), а затем, обратив преобразование Фурье, - решение уравнения (3). По этой схеме, с незначительны™ отличиями, решаются и уравнения- (I), и система (4).

Вторая глава посвящена построению аналитических решений (как угодно близких к точным.) задач Галина, Спенса, а также других задач о контакте штампов с упругим основанием при наличии участков сцепления и сухого трения. Получено точное (в квадратурах) решение'задачи о полубесконечном штампе: к свободной (полубесконечной) части границы приложена сосредоточенная нормальная нагрузка, а область контакта разбивается на конечный участок сухого трения, примыкающий к краю штампа, и полубесконечный - сцепления. Найдены напряжения и радиальные производные смещений, доказана непрерывность напряжений в точке перехода от проскальзывания к сцеплению. Показано, что трансцендентное уравнение относительно длины зоны скольжения имеет счетное множество корней. Однако только первый (наибольший корень) обеспечивает выполнимость отрицательности нормальных напряжений всюду в области контакта.

Методом нейтрализации полюсов построено решение задачи Галина о вдавливании штампа в полуплоскость под действием центрально приложенной вертикальной силы Р , когда зона контакта разбивается на срединный участок сцепления и два симметрично расположенных участка сухого трения. Нормальные напряжения в области контакта отрицательны, а касательные в зоне сцепления удовлетворяют неравенству: ( р - коэффициент тре-

ния). Относительно трансформант Меялина неизвестных функций

Я?® - -

<£(*) - (х4 ^ *-) - л (8)

получена однородная векторная задача Римдаа

где отношение длин участков сцепления и кон-

такта. Задача сведена к системе Пуанкаре-Коха, обратимой в терминах рекуррентных соотношений. При помощи формул аналитического продолжения для гипергеометрической функции Гаусса удалось . получить для контактных напряжений формулы, удобные при численной реализации всюду в области контакта, в том числе и в окрестности точек смены граничных условий. На фиг.1 при ¿у*0,3 ,

( Р - коэффициент Пуассона) изображены графики >сон-тактных напряжений. Кривая I соответствует функции ~Р (5д(й2,0) а кривая '¿- касательным напряжениям Р Т^ ((22,0). В точке 2= Л напряжения непрерывны, но теряют гладкость. . '

Задача о несимметричном вдавливании (под действием вертикальной силы, момента и горизонтальной силы) штампа в полуплоскость при наличии несимметрично расположенных участков сухого трения сведена к неоднородной векторной задаче Римана с матричным коэффициентом

л;5'1 о о

Си*) . -ЫТ

(9)

а затем к некоторой системе Пуанкаре-Коха. Исследован предельный переход 6^0 ( - длина левой зоны проскальзывания).

Рассмотрены задачи о симметричном вдавливании клиновидных штампов в полуплоскость, когда угол раствора близок к Ж , а область контакта разбивается на участки сцепления (в центре) и проскальзывания. Решены две задачи 1,2 для V -образного штампа (зона контакта известна или подлежит определению) и задача 3 для И/-образного штампа (срединная точка 2'О профилд штам-

Г III

п Лт!

VC. 1

-

¿ 2

Фиг. I

OA

0,2

0 4

Л

0,5

0

8

s _/

/

\

0,25 \ fó V*

Л

Фиг.З

па является точкой вогнутости). Как и в задаче без трения, нормальные контактные напряжения имеют в точке логарифмическую особенность. Показано, что всегда существует такое £>0 , что в . £ -окрестности вершины клиновидной выемки (задача 3) ' происходит отрыв штампа от полуплоскости. Исследована зависимость отношения А длин зон сцеппния и контакта для штампа, профиль которого описывается функцией ' ¿(х) =А1х1п , от коэффициента трения ¿и , показателя Л и коэффициента У[ . В частности, для задачи 2 величина Л не зависит от угла раствора и отношения Е/Р , а зависит только от коэффициентов трения и Пуассона Р . Низке приведены значения А и О .для некоторых величин у.

М 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1

Л 3,10 • Ю"4 0,109 0,289 0,413 0,4У7 0,556' О 10 ,'¿7 10,03 9,84 9,70 9,59 9,50

(нижняя строка соответствует случаю =Ж/2~У= 5° ). На фиг Л при = 0,3, \)-0,3 , изображены графики контакт-

ных напряжений для задачи I (кривые 1+, 2 + соответствуют напря- . жениям ~Р О) , Р Х^д(С1?, 0)) и для зг ччи 3 (со-

ответствующие кривые Г и 2" ),

Рассмотрена задача о вдавливании штампа в упругий клин. Введение зон сухого трения в область контакта позволяет не толь. ко устранить осцилляцию контактных напряжений в окрестности концов штампа, но и построить аналитическое решение (методом нейтрализации полюсов) контактной задачи для клина при неизвестных контактных касательных и нормальных напряжениях (аналогичное

' решение для полностью сцепленного штампэ • современными методами получить не удается); сформулированная задача эквивалентна векторной задаче Римана с коэффициентом, имеющим структуру (9).

Задача Спенса (контакт кругового штампа с полупространством при наличии внутренней круговой зоны сцепления ) и

- Iii -

внешней кольцевой - сухого трения ( сведена к сис-

теме двух интегральных уравнений а Г

[ •/ 4 Чо М С frf)Jv(p)pc/p +

+*- ¡eoWotkf)Tt(f)?JF'-2G8 , о*г*а

i

-> 0sz*i (10)

где а(г) = ао) , Т(г)- (?,&),- 3 - осадка штампа, 'О ~ модуль сдвига.-Система уравнений (10) приведена к векторной задаче, аналогичной (В), и решена по схеме решения задачи Галина.

Третья глава.посвящена задачам о контактном взаимодействии тонкостенных элементов (упругих включений, стрингеров, балок) с упругими полуплоскостью или полосой, причем в области контак-. та задаются условия сцепления.всюду, или выделяются участки проскальзывания с учетом сухого трения. Рассмотрена задача о растяжении на бесконечности равномерно распределенными усилиями упругой полосы, усиленной расположенным на оси симметрии полосы стрингером конечной длины. Задача приведена к интегродифферен-циальному уравнению (3), где

w эс J0 sAd d,« v о/

при дополнительном условии }t!(0) - ^ • Найдены явные

выражения для контактных напряжений Т(X) , из которых в

окрестности, например, левого конца включения получается асимптотическое разложение

где c{¿j - известные постоянные, 2и - длина стрингера, <?/ - высота полосы, Л (2) - аналитически в окрестности точки 2 = 0 функция.

Приведены постановки (разработанные совместно с И.Х.Арутю-няном) и получено решение нового класса задач для накладок, контактирующих с упругим основанием, когда область контакта разбивается на участки сцепления и сухого трения. Рассмотрена беско-. ■ нечная накладка, прикрепленная к упругой полосе, сцепленной с жестким основанием. На накладку действует нормальная равномерно распределенная нагрузка интенсивности р и сосредоточенная касательная нагрузка Т с точкой приложения ОС=0 ; зона контакта разбивается на участки сцепления Х<-& и Х>а и участок сухого трения /Х/<& . Задача приведена к интегро-дифференциальному уравнению типа Прандтля на двух полубесконечных отрезках (-~оо,0) и (Л, { . 00 / Х(г)ёт + /I 8(*-г)/Г(т)с!г-Н(*-£) (П)

— во ^

С// \ / Г X ¡АысЬы. + ос / , /(*) = д (0<м), Я - ^, А = '

/ о

( Н- функция Хевисайда). Уравнение (II) решено аналогично уравнению.(3). Получено явное решение уравь-зния. В отличие от задачи Мелана ( р=0 , й-0 ) контактные напряжения не имеют логарифмической особенности в нуле и всюду в области контакта ограничены (из условия ограниченности напряжений в точках Х-±й!

и определяется длина зоны проскальзывания ) . На фиг.2 изображены графики контактных напряжений Г при ^ =)>р - 0,3 ,

J. Е, - коэффициенты Пуассона и

модули.упругости полосы и стрингера^ , 6-1 , /¿=0,01 (¿- ширина полосы, А - толщина стрингера,), р*I для различных коэффициентов трения: ]к=0,3 (кривая 1) и ¡4-0,5 ("кривая 2). Ниже представлены значения параметра А при некоторых значениях /( (остальные параметры задачи те же, что и на фиг.2) « И 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

А 10,62 5,62 3,95 3,12 2,62 2,28 2,04 1,87 1,73 В квадратурах построено решение задачи о полубесконечной накладке, вдавливаемой в I) полуплоскость и 2) полосу, сцепленную с- жестким основанием, под действием нормальной нагрузки р@С) и растягиваемой приложенной на конце йСлО сосредоточенной силой; в области контакта выделяется зона проскальзывания вне которой накладка сцеплена с основанием. Определены необходимые' и достаточные условия для р(Х) , при которых в случае задачи для полуплоскости решение существует.

Рассмотрена задача для конечной накладки (-¿2,(2) .'которая вдавливается в упругий 'ой под действием нормальной нагрузки -и растягивается сосредоточенными на концах силами и /р. Площадка контакта разбивается на участок сцепления (~с1 и два участка и (С£ ,й) на которых имеет место ,

сухое тренг->. Задача приведена к уравнению типа (3) и решена аналогично. Неизвестные заранее точки ~С{ , Сг определяются . из условия ограниченности контактных касательных напряжений в этих точках. На фиг.3 представлены зависимости А^ и от при 1^=0 (кривые I и 2 соответственно) и график

от ~ (кривая 3) . При расчетах принимались следуйте значения , I , ,

'А*0,01 , />»/, ^0,3.

В отличие от предадущих задач, в которых контактирующая пластинка предполагалась лишенной иэгибной жесткости, и нормальные напряжения известны всюду в области контакта, рассмотрена также задача о цилиндрическом изгибе полубесконечной пластинки (балки), контактирующей с упругим слоем. На пластинку действуют нормальная (прижимающая) к касательная нагрузки, а к концу >ХтО г, приложена растягивающая сосредоточенная сила. В области контакта, разбиваемой на участок проскальзывания ( О , О ) с сухим трением и участок сцепления, .неизвестны и касательные и нормальные контактные напряжения. Задача эквивалентна системе двух интегродифференциальных уравнений типа Прандтля, которая при помощи метода, изложенного в первой главе, приводится к векторной задаче Римана, а затем - к системе Пуанкаре-Коха. Как и для задачи о вдавливании сцепленного штампа в клин, введение в область контакта зоны сухого трения не только устраняет осцилляцию контактных напряжений, но и позволяет построить аналитическое решение для задачи об изгибе полубесконечной балки, контактирующей (с учетом касательных взаимодействий) с упругим слоем.

8 четвертой главе рассмотрены задачи о межфазной трещине: плоская задача о растяжении со сдвигом упругой" составной плоскости с разрезом на линии раздела и задача кручения составного шара с дискообразной или кольцевой трещиной. Построено в квадратурах решение задачи о раскрытии' полубесконечной межфазной трещины под действием сосредоточенных в точке £-6 нормальной ' Р и касательной Т нагрузок. В точке X**& ),

подлежащей определению, происходит плавное смыкание берегов; в зоне ( О , й ) контакта берегов выполняются условия сухого трения. Из всех возможных длин зон проскальзывания выбрана единственная, которой соответствует физичное, т.е. удовлетворяющее

дополнительным условиям в виде неравенств, решение. Обнаружено, что в отличие от соответствующей задачи о полубесконечном штампе длина зоны проскальзывания меняется незначительно при уменьшении косффициента трения М до нуля: Р 0 -0,1 -0,3 . -0,5 -1,0

Л 1,326 1,318 1,300 , .1,283 . 1,242 . ..

приведенные числовые значения для Л ~6/<3 соответствуют случаю Т/Р=10 , = , »>,'£ и

6/ , - коэффициенты Пуассона и модули сдвига полуплоскостей

и у^О соответственно). На фиг.4 изображены графики контактных напряжений (Ту О) и (2,0) при ¿и =-0,5 - кривые I и 2 соответственно, а также соответствующие графики при /л=0 (штрихпунктирные линии). На этой же фигуре представлены графики скачков нормальных (А) и касательных (5) смещений.V При построении графиков принималось

Р=о,1, /V.

Получено решение задачи о конечной мекфазной трещине

(о,а)

в однородном поле нормальных и сдвигающих напряжений (задачи Дундуреа-Комникоу). На отрезке ( ^ , ) трещина раскрывается, а на отрезках ( О , ) и ( ^ ) выполняются условия сухого трения (берега трещины смыкаются плавно). Задача приведена к системе двух сингулярных интегральных уравнений

я % л ж О 1

= Т+ , 0<х<в2

« Г- , а.

( 1 1 1

V 1 // / V

/ — — КА -V J к л/

•7 '0.5 0 -0.5 /Г и ¡1 -¿г 7 0 . X

-1 1 1 ' 1

1 1

Фиг.4

при двух дополнительных условиях замкнутости разреза. Эта система эквивалентна задаче Римана для трех пар функций и решена методом нейтрализации полюсов.

Решены две задачи о кручении упругого шара радиуса £? , составленного из двух разнородных полушарий и имеющего кольцевую ( ¿,££¿<2 ) или дискообразную ( ) трещину, расположенную в экваториальном сечении шара. Шар скручивается касательными окружными усилиями. Берега трещин свободны от напряжений. Формулировка задач в виде краевых задач относительно функции ^ - угловое смещение)-при помощи интегрального преобразования Лежандра позволила их свести к интегральным уравнениям,'имеющим структуру (2). Так, для кольцевой

41

аг* -0

трещины это уравнение имеет вид

{¿[ - а К(у. а)]/(р)?^ -Ш.

= 7 ¡в* Я/2±0 (12}

и его решение разыскивается в классе функций, имеющих неинтег-рируемые (порядка 3/2 ) особенности в концевой точке. Решение ' уравнения для дискообразной трещины

(СЫ) - * С а*)]с1р=-Ь*(г)

О***<5? ; /(г) - §+о) <13)

строится в обычном классе интегрируемых функций. Оба уравнения (12) и (13) решены по схеме.первой главы, а уравнение (23) также и методом ортогональных многочленов (построено новое спектральное соотношение). Получены асимптотические разложения при малых Л- б/Л для коэффициентов интенсивности напряжений (КИН). Обнаружено, что и для дискообразной, и для кольцевой трещины КИН не зависит от модулей сдвига полушарий (У/ и С32 и такой же, что и в однородном шаре, а угловые смещения берегов разрезов связаны равенством ¿^¿гу (г, Я/р-О) = - (Рд ■¡/¿¿О).

Доказан следующий принцип соответствия при кручении неоднородных тел вращения. Пусть - упругое тело вращения вокруг оси О2 кусочно-гладкой кривой, составленное из двух материалов с модулями сдвига

плоскость О - плоскость симметрии для-области О. .К поверхности ^12 приложены касательные окружные усилия

~ , причем Т^ - нечетная по г- функция.

Тогда поле напряжений при кручении составного тела вращения такое же, что и в соответствующем однородном теле, а поле перемещений зависит от {Г, и , причем 04 ¿¿у (г, £) =

-- Ц.у>(?, • Аналогичный принцип имеет место и пр-<

нестационарном кручении.

Пятая глава посвящена контактным задачам для двух упругих полуплоскостей, сцепленных по всей линии контакта и ослабленных прямолинейным разрезом, ортогональным линии раздела, внутренним или пересекающим эту линию. Эта глава близка задачам из четвертой главы, в которых также рассмотрев составная плоскость, но трещина лежит на линии раздела, а также и остальным главам: для решения большинства задач гл.5 использован метод нейтрализации полюсов.

Задача о трещине, пересекающей линию раздела, приведена к системе двух сингулярных интегральных уравнений

<■ = да

I\(х г) я х [-Л- . 7

■*■ £

^ (*•г) 'г ъм-- ^а

где Л - £, Е^ , , €2 --длины отрезков трещины, на которые разбивает ее линид раздела. Решение системы (14) должно удовлетворять условию ■ 1

/< / - л I % г/У/ - &,

Система (14) сведена к векторной задаче Римана с матричным коэффициентом

а

и решена по схеме глЛ. Получены формулы для КИН нормального отрыва. При

помощи обращения в терминах рекуррентных соотношений соответствующей системы Пуанкаре-Коха найдены асимптотические представления для КИН при Л — О .

Рассмотрены также два случая внутренней трещины: I) трещина находится в одной из полуплоскостей, сцепленной с другой, не имеющей трещины, и ¿1) трещина в однородной полуплоскости. Обе задачи формулируются в виде сингулярного интегрального уравнения (I) при /л "О • Найдены асимптотические разложения для КИН при малых расстояниях кончика трещины от границы. В частности, обнаружено, что для внутренней трещины ( £1 ) в полуплоскости со свободной от нагрузок границей для. КИН в ближней к границе вершине трещины имеет место асимптотика ~ ~-\''/2(&гА) /Сщ-л А- О , где - 1Ш в другой ■ вершине, когда трещина выходит на границу (¿г-0)-

Построено точное замкнутое решение задачи о разрезе, делящимся линией раздела пополам (метод нейтрализации полюсов при Л/ не эффективен и при

расходится). Матричный коэффициент соответствующей задачи Римана имеет структуру матриц класса А.А.Храпкова, но не удовлетворяет ограничениям его метода, а значит, следование его схеме приведет к появлению существенной особенности на бесконечности у факторизующих матриц. Использование схемы Н.Г.Моисеева, основанной на аппарате краевых задач Римана на римановых поверхностях алгебраических функций, позволило нейтрализовать (путем обращения соответствующего абе- . лева интеграла) существенно особую точку на бесконечности. Решение задачи, полученное в квадратурах, преобразовано к виду,

удобному для численной реализации. Ниже для случая р(х)~Р = представлены значения р"'Кг и 'К1 при /< -

/ 0,02 0,1 ' 0,.3 0,5 0,7 1,0

1,132 1,269 1,461 1,574 1,656 1,751

2,748 2,479 Г 140 „1,972 1,067 1,764

В этой же главе найдено асимптотическое представление для приращения потенциальной онергии деформации при переходе трещины нормального отрыва через линию раздела сред с различными упругими свойствами, тем самым построен аналог известной формулы Гриффйтса для случая составных сред. Указанное представление построено на основе двух решений задачи о полубесконечной трещине, выходящей на линию раздела сред: "энергетического" и специальным образом нормированного "неэргетического", а также найденных в квадратурах (методом факторизации) решений двух задач о полубесконечной трещине: пересекающей под прямым углом линию раздела и не дохо; щей до этой линии. Основополагающим при выводе послужило асимптотическое представление для потенциальной энергии в случае области, близкой в некоторой точке к углу, которое построено В.Г.Мазьей, Н.Ф.Морозовым, С.А.Назаровым в терминах специальных (не найденных в явном виде) констант, характеризующих изменение формы границы. В пятой главе указанные константы для случая трещины в составной среде выписаны явно.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ I. Предложенным- в диссертации методом нейтрализации полюсов получено аналитическое решение интегральных, интегродиффе-ренциальных уравнений свертки на отрезке и их систем, к которым сводится целый класс контактных задач, когда в области

- га -

контакта выполняются условия сцепления и сухого трения, а такжи задач о концентрации напряжений возле межфазных разрезов или разрезов, пересекающих линию раздела сред. Методика состоит в последовательном сведении их к векторной задаче Римана для двух или более пар функций, а затем - к бесконечной алгебраической системе Пуанкаре-Коха с экспоненциально убывающими внедиагональными элементами матрицы системы, допускающей обращение в терминах рекуррентных соотношений, которые в раде случаев удалось свернуть, - тем самым получить точное решение задачи.

'¿.Построена аналитические и эффективные при численной реализации решения классических контактных задач при наличии участков сцепления и сухого трения, т.е. задач, когда в области контакта меняется тип граничных условий: симметричной и несимметричной задачи Галина о давлении штампа на полуплоскость, задачи Спенса о вдавливании кругового штампа в полупространство, задачи Дундурса-Комниноу о межфазной трещине с учетом сухого трения в области контакта берегов.

Для задачи о штампе, сцепленном с клином, или о полубес- : конечной балке, сцепленной с упругой полосой, аналитическое решение современными методами получить не удается; введение же зоны проскальзывания в область контакта не только устранило нефизичную осцилляцию напряжений у кромки штампа или балки, сцепленных с упругими основанием,но и позволило получить (ме-• тодом нейтрализации полюсов) эффективное решение соответствующих задач при неизвестных касательных и нормальных напряжениях в области контакта.

Установлено, что эффект трения в контактных задачах зна-/ чительно выше, чем в задачах о межфазных трещинах: при уменьше-

нии коэффициента трения от I до 0,1 длина зоны проскальзывания для задачи Фламана о полубесконечном штампе при наличии сцепления и сухого трения увеличивается более чем в 700 раз, а для соответствующей задачи о полубесконечной трещине длина этого участка уменьшается в Г,15 раза.

3. Найдено точное решение (в рядах) интегродифференциаль-но'1 J уравнения типа Прандтля с мероморфным символом на конечном отрезке или двух полубесконечных отрезках - именно к этому классу уравнений сводятся задачи о контактном взаимодействии упругих включений и накладок с упругой полосой при наличии сцепления и сухого трения/ Контактные напряжения при это!.. оказываются всюду в области контакта ограниченными.

4. Исследовано кручение упругого шара, составленного из двух разнородных полушарий и имеющего кольцевую или дискообразную межфазную трещину. Построены разрешающие интегральные уравнения с ядрами, зависящими от отношения и произведения аргументов, причем уравнение задачи о кольцевой трещине решалось в пространстве функций, имеющих неинтегрируемые особенности в концевой точке. Указанные уравнения сведены к векторным задачам Римана и решены методом нейтрализации полюсов.

Сфсэмулирован и доказан принцип соответствия прч кручении неоднородных тел вращения, позволяющий (при определенных условиях) на основании решения задачи кручения однородного тела вращения выписать решение для неоднородного тела.

5. Получены.аналитические решения задач о концентрации напряжений в составной плоскости возле конечной трещины, пересекающей линию, раздела, трещины, лежащей в одной из полуплоскостей, а также внутренней трепаны, находящейся в полуплоскости со свободной границей. Соответствующие этим задачам векторные задачи Римана решены методом нейтрализации полюсов.

В случае, когда трещина делится линией раздела пополам, решение построено в квадратурах при помощи аппарата краевых задач Римана на римановых поверхностях.

Найдено асимптотическое представление для приращения потенциальной энергии деформации при переходе трещины нормального отрыва через линию раздела сред с различными упругими свойствами.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Антипов Ю,А. Точное решение задачи о вдавливании кольцевого штампа в полупространство // Докл. АН УССР. Сер.А.1987. F7. С.29-33.

2. Антипов Ю.А. Точное решение осесимметричной задачи

0 кольцевой трещине // В кн. Механика разрушения материалов.

1 Всес. конф. Тез.докл. Львов, 1987. С.101.

. е

3.. Антипов Ю.А. Точное решение интегрального уравнения с ядром Вебера-Сонина // В кн.: Респуб,науч.конф. "Диф. и i ,'тегр. уравнения и их приложения". Тез. докл. 4.1, Одесса, 1907. С.II—12.

4. Антипов Ю.А. Аналитическое решение контактных задач для кольцевых областей // В кн.: Выездное заседание по совр. пробл. теории контактных взаимодействий. Тез.докл. Ереван, 1988. С.15-17.

5. Антипов Ю.А. Аналитическое решение смешанных задач математической физики со сменой граничных условий по кольцу // Изв. АН СССР. МТТ. 1909. Ю. С.51-58.

6. Антипов Ю.А. Аналитический метод решения задач концентрации термоупругих напряжений возле кольцевых трещин // В кн.: Прочность и температурная трещиностойкость бетонных гидротехнических сооружений при температурных воздействиях. Матер, конф.

и соьещ. по гидротехнике. Я., 1989. С.210-222.

7. Антипов Ю.А. Аналитическое решение плоской задачи для полуплоскости с трещиной, близкой к границе // Проблемы совр. механики разрушения. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. С.4-23 (Исследования по упругости и пластичности; вып.16).

8. Антипов Ю.А. Аналитическое решение осесимметричных контактных задач при наличии участков сцепления, трения и скольжения //Соломит ъесЬапСез амс/ гг/а{ее/ /""оь/елб

о/ апа(у*е*. - Т6(1&, /99/. С. 9.

9. Антипов Ю.А. Задачи о трещинах в составных средах при н&гичии трения и сцепления // Механика неоднородных структур. Тез. докл. III Всес. конф. Львов. 1991. Т.1. СЛЗ.

10. Антипов Ю.А. 0 приращении потенциальной энергии деформации при переходе трещины через линию раздела сред // Изв. РАН. МТТ. 1993. .'Я. С. 144-154.

11. Антипов Ю.А. Эффективное решение интегродифференциальных ного уравнения типа Прандтля на отрезке и его приложение к контактным задачам для полосы // ПШ. 1993. Т.57. Еып.З. С. 146-155.

12. Антипов Ю.А., Арутюнян Н.Х. Кручение упругого шара с дискообразной трещиной // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. №3. С.30-37.

13. Антипов Ю.А., Ар^понян Н.Х. 0 некоторых контактных задачах при наличии трения и сцепления // Проблемы контактного взаимодействия,-трения и износа. - Тез. докл. выездной сессии.-Ростов-на-Дону, 1990, С.8.

. 14. А"типов Ю.А., Арутюнян Н.Х. Кручение составного шара с кольцевой и дискообразной трещиной // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. М. С.86-98. '

15. Антипов Ю.А., Арутюнян Н.Х. Контактные задачи теории упругости при наличии трения и сцепления // В кн. Седьмой Всес. съезд

с.

по твор. и прикл. механике. Аннотация докл. М., 1991. С.10.

16. Антипов Ю.А., Арутюнян Н.Х. Контактные задачи теории упругости при наличии трения и сцепления // ПММ. 1991, Т.55. Вып. 6. С. 1005-1017.

17. Антипов Ю.А., Арутюнян Н.Х. О принципе соответствия при кручении неоднородных тел вращения // ДАН Армении. 1992. Т.93. №1. С. 23-27.

18. Антипов Ю.А., Арутюнян Н.Х. Контактные задачи теории упругости для клиновидных областей в условиях трения и сцепления // ПММ. 1992. Т.56. Вып. 5. С. 709-722.

19. Антипод Ю.А., Арутюнян Н.Х. Контактная задача для упругого слоя с накладками при наличии трения и сцепления // ПММ. 19УЗ. Т.'57. Вып. I. С. 137-147.

20. Антипов Ю.А., Арутюнян Н.Х, 0 взаимодействии полубесконечного стрингера с полуплоскостью и полосой при наличии трения и сцепления // МТТ. 1993. №4. ,

21. Антипов Ю.А., Моисеев Н.Г. Точное решение задачи о контакте двух упругих полуплоскостей, ослабленных разрезом, пересекающим линию их сцепления // Совр. проблемы механики контактных взаимодействий. Сб. науч. трудов.- ^епропетровск: ДГУ, 1990. С. 45-46.

22. Антипов Ю.А., Моисеев Н.Г. Точное решение плоской задачи для составной плоскости с разрезом, пересекающим линию раздела сред // ПММ. 1991. Т.55. Вып. 4. С. 662-671.

23. Антипов-Ю.А.,'Онищук О.В. Об одном подходе к решрнию матричной задачи Римана и его положении к смешанным задачам механики // Одес. ун-т.- Одесса, 1986.- 36 с. - Деп. в Укр НИИНТИ 04.02.87, Ш)0 - Ук 87.

24. Антипов Ю.А., Онищук О.В.'Задачи изгиба пластин с пересекающимися дефектами (решение с помощью задачи Римана с

бесконечным индексом) // В кн. Шестой Всес. съезд по теор. и прикл. механике. Аннотация докл. Ташкент, 1986. С.44.

25. Антипов Ю.А., Попов Г.Я. Плоское напряженное состояние упругой плоскости с двумя пересекающимися разрезами // ГШ. 1988. Т.52. Вып. 4. С. 617-6-27.

26. Антипов Ю.А., Попов Г.Я., Яцко С.ИЛ Решение задач о концентрации напряжений возле пересекающихся де'фектов при помощи задачи Римана с бесконечный индексом // ПММ. 1987. Т.51. Еып.З. С. 458-467.

27. Антипов Ю.А., Ситник В.А. Аналитическое решение задач для кусочно-однородной плоскости с разрезом или стрингером// 1У Всес. конф. "Смешанные задачи механики деформируемого тела". Тез. доо. Одесса, 1989 , 4.1 - С.24.