Метод базисной задачи Римана в смешанных задачах плоской теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

1. Теоретические основы метода базисной задачи Римана.

1.1 Постановка и методы решения задач плоской теории упругости.

1.2 Основные сведения из теории краевых задач и сингулярных интегральных уравнений.

1.3 Метод базисной задачи Римана.

1.4 О давлении гладкого штампа с плоским основанием на упругую полуплоскость

2. Давление полубесконечного плоского штампа на упругую полуплоскость при смешанном типе граничных условий.

2.1 Постановка контактной задачи с граничными условиями типа Л.А.Галина.

2.2 Построение разрешающего сингулярного интегрального уравнения.

2.3 Действие на полуплоскость полу бесконечного штампа.

Расчетная схема и результаты.

3. Давление симметричного конечного штампа на упругую полуплоскость при смешанном типе граничных условий

3.1 Постановка контактной задачи с граничными условиями типа Л.А.Галина.

3.2 Построение разрешающего сингулярного интегрального уравнения.

3.3 Действие на полуплоскость плоского, либо профильного штампа. Расчетная схема и результаты.

4. Давление симметричного профильного штампа на границу кругового отверстия в бесконечной упругой плоскости при смешанном типе граничных условий.

4.1 Постановка контактной задачи с граничными условиями типа Л.А.Галина.

4.2 Построение разрешающего сингулярного интегрального уравнения.

4.3 Действие на границу кругового отверстия в бесконечной плоскости штампа с различным радиусом рабочей части. Расчетная схема и результаты.

Значительные трудности практического характера, связанные с решением общих уравнений теории упругости, привели к построению решений для более или менее широких классов частных случаев, имеющих значение на практике. Один из важнейших классов такого типа охватывается «плоской теорией упругости». Он включает в себя два практически важных случая: а) деформация длинного цилиндра с одинаковыми во всех сечениях усилиями, приложенными к его боковой поверхности и лежащими в плоскостях, перпендикулярных образующим цилиндра; б) деформация пластинки усилиями, лежащими в ее плоскости и приложенными к ее периметру.

Как известно, задачи плоской теории упругости при отсутствии массовых сил сводятся к решению бигармонического уравнения. С помощью представления Э.Гурса бигармонической функции через две аналитические Г.В.Колосовым [34] в 1909г. получены знаменитые формулы комплексного представления, названные впоследствии формулами Г.В.Колосова Н.И.Мусхелишвили (Н.И.Мусхелишвили дал строгое обоснование методам теории функций комплексного переменного в теории упругости), для перемещений и, V и напряжений стх,сгу, тху. Таким образом задача решения бигармонического уравнения свелась к задаче нахождения аналитических в области, занятой телом, функций по их граничным значениям. Как потом оказалось задача допускает эффективную переформулировку в виде краевой задачи Римана и как следствие получение строгого аналитического решения для довольно широкого круга задач плоской теории упругости (Н.И.Мусхелишвили [41-46, 78-80]).

Один из методов перехода к краевой задаче Римана - метод граничных представлений (Л.А.Толоконников, В.Б.Пеньков [67]). Он позволяет выразить различные механические величины и (или) их совокупности, заданные на контуре тела, всего лишь через одну пару кусочно-аналитических функций, поэтому задачи плоской теории упругости с произвольным количеством и типом граничных условий сводятся, в общем случае, к векторной краевой задаче Римана с кусочно-рациональным матричным коэффициентом.

Удобно классифицировать задачу Римана по количеству участков непрерывности коэффициента [67]. Однородные задачи - с постоянным на всем контуре коэффициентом - всегда допускают эффективное аналитическое решение, как в постановке для одной функции, так и в постановке для неизвестного кусочно-аналитического вектора (Ф.Д.Гахов [23]). Задачи рода т=2, также всегда разрешимы в квадратурах (Н.И.Мусхелишвили, Н.П.Векуа [48]). Если же т > 2, то эффективное решение допускают только задачи для одной кусочно-аналитической функции (Ф.Д.Гахов [23]). В случае кусочно-рационального коэффициента (а именно к такой математической проблеме приводятся большинство более или менее сложных задач плоской теории упругости), результаты не столь оптимистичны. Основная проблема -факторизация матричного коэффициента задачи. Общего метода факторизации пока не построено, а существующие на настоящий момент частные методы предполагают специальную структуру коэффициента. После того как факторизация проведена общее решение краевой задачи эффективно строится (Н.И.Мусхелишвили, Н.П.Векуа [48]).

Рассматриваемые в данной работе контактные задачи с граничными условиями Л.А.Галина математически формулируются как векторные задачи Римана рода 3 или 4 с кусочно-постоянным матричным коэффициентом. Ввиду, отмеченных выше, значительных принципиальных трудностей связанных с факторизацией кусочно-рационального матричного коэффициента, в настоящей работе предлагается перейти от векторной задачи Римана к системе сингулярных интегральных уравнений. Такой переход возможно сделать различными способами и тем самым получать сингулярные интегральные уравнения относительно любых, задаваемых на контуре, граничных значений механических величин. Так как получаемые сингулярные уравнения в общем случае довольно сложны, то решаются они численными методами. Поэтому при составлении уравнений можно, например, руководствоваться целью получения как можно меньшей их области определения, тем самым упрощая получение схемы реализации численного метода и, как правило, повышение его точности.

Примененный в работе метод перехода к сингулярным интегральным уравнениям основан на распространении локального граничного условия на всю границу. В работе будет показано как осуществить переход наиболее рациональным способом, который приводит всего к одному сингулярному интегральному уравнению.

Актуальность смешанных задач, в частности рассматриваемых в работе контактных задач обусловлена широким спектром их приложений. Проектирование элементов конструкций требует ответа на вопрос о местах и уровне концентрации напряжений. Точное знание о распределении напряжений позволяет рационально проектировать изделия, экономить материал. Передача усилий почти всегда сопровождается контактированием поверхностей деталей. Последние в большинстве случаев можно рассматривать как упругие тела. Поэтому разработки в области методов решений задач контактирования с жесткими профилями, либо задачи Герца трудно переоценить. В различное время этой тематике уделяли свое внимание Г.Герц, Л.Прандтль, Н.Й.Мусхелишвили, Л.А.Галин, Б.Л.Абрамян, В.М.Александров и многие другие. Определение напряжений, возникающих под основаниями и фундаментами, в том числе и тогда когда происходит консолидация грунта, приводит также к контактным задачам.

По-видимому, впервые плоская контактная задача была поставлена и решена в 1900г. С.А.Чаплыгиным [71]. Однако эта работа не была опубликована автором и была найдена в архивных документах С.А.Чаплыгина. Поэтому в литературе задачу для штампа с плоским основанием принято называть задачей М.А.Садовского [81]. В самом общем виде решение основной смешанной задачи для полуплоскости, когда на некоторых отрезках ее границы заданы компоненты вектора смещений, а на остальной части - компоненты вектора напряжений, было получено в 1935 г. Н.И.Мусхелишвили [41]. Решение было найдено сведением проблемы к бесконечной системе линейных уравнений, удовлетворяющей известным критериям разрешимости. В 1936 г. В.А.Флорин [70] дал приближенное решение задачи о штампе, жестко связанном с основанием, введя представление искомого давления в виде полинома.

Более эффективное решение задачи, рассмотренной Н. И. Мусхелишвили, но для частного случая одного штампа, было получено В. М. Абрамовым [1] с использованием интегралов Меллина. Полученное решение справедливо всюду, за исключением малой окрестности угловых точек штампа, где нормальное давление меняет знак бесчисленное число раз и где закон Гука уже не «работает» из-за больших напряжений около углов. Для устранения этого недостатка, по-видимому, реально предположить, что (по крайней мере, вблизи концов штампа) будет иметь место пластическая деформация, а без отклонения от теории упругости наличие в окрестности концов штампа участков «проскальзывания».

Д. И. Шерман [75] получил решение основной смешанной задачи для произвольной односвязной области сведением задачи к интегральному уравнению Фредгольма. Здесь же было показано, что при отображении на рассматриваемую область круга или полуплоскости с помощью рациональных функций решение опять выражается в квадратурах.

Наряду с решением общей проблемы смешанных контактных задач продолжаются исследования частных вопросов, выдвигаемых инженерной практикой. Н.И.Клубин [33] определил напряжения под штампом (фундаментом), имеющим плоское основание. Автор предполагал, что вертикальные перемещения в точках контакта либо постоянны, либо изменяются прямолинейно.

С использованием разработанных Н.И.Мусхелишвили методов, А.И.Бегиашвили [7] получил решение для произвольного числа штампов. Н.И.Мусхелишвили [46] вновь вернулся к задаче давления одного или нескольких штампов на упругую полуплоскость. Им получено изящное и простое решение благодаря сведению проблемы к задаче Римана для одной неизвестной аналитической функции. Приблизительно в это же время А.В.Бицадзе [12, 13] нашел близкое (к полученному Н.И.Мусхелишвили) решение. Аналогичная задача в 1942 г. была рассмотрена Н.И.Глаголевым [24]. С помощью методов, близких к разрабатываемым Н.И.Мусхелишвили и А.И.Бегиашвили, С.Г.Михлин [38] поставил и решил техническую задачу, связанную с определением напряжений в породе над угольными пластами. Б.М.Ломидзе [36] получил точное решение задачи равновесия без трения нескольких абсолютно жестких шарнирно-сочлененных фундаментов, лежащих на упругом основании.

И.Н.Карцивадзе [31] вновь вернулся к проблеме, изучение которой было начато Д.И.Шерманом. С использованием методов Н.И.Мусхелишвили он получил более эффективное решение для случая, когда область, занятая упругим телом, ограничена окружностью.

В отличие от всех упомянутых выше работ, С.В.Фалькович [69] дал новую постановку и решение классической задачи о штампе. В его работе на линии контакта, состоящего из трех участков, имеет место как наличие сцепления (средний участок), так и скольжение без трения на крайних участках, прилегающих к концам штампа.

В дополнение к общетеоретическому исследованию смешанных контактных задач для произвольных областей, начатому Д.И.Шерманом и продолженному И.Н.Карцивадзе, Б.Л.Минцберг [39] дал решение задачи для внешности круга. Все перечисленные выше исследования не касались случая, когда под штампами (штампом) учитывается наличие трения или имеются участки скольжения (кроме упомянутой работы С.В.Фальковича). Коэффициент трения в этих задачах следует считать либо нулем, либо бесконечностью.

Н.И.Мусхелишвили [45] первым рассмотрел задачу о штампе, когда коэффициент трения принимает конечное (отличное от нуля) значение, причем на участках соприкасания задавались нормальная составляющая вектора смещения и главный вектор действующих сил, в то время как остальная часть границы свободна от усилий. Эта задача, как и задачи при отсутствии сил трения, сводится к отысканию одной функции комплексной переменной для граничных условий смешанного типа. Автор указывает условия существования решения, имеющего физический смысл (физически пригодное решение имеет место, когда нормальное давление под штампом неотрицательно).

Приблизительно в одно время с этой работой Н. И. Глаголев [24] дает решение этой задачи, однако только для случая штампа с прямолинейным основанием. Позже он рассматривает случай, когда коэффициент трения зависит от места контакта, и случай, когда основание штампа имеет произвольную форму [25, 26]. •

В 1945 г. Л.А.Галин [18] дал оригинальное решение задачи о давлении жесткого штампа с плоским основанием в предположении, что отрезок контакта состоит из трех неизвестных заранее частей, где на среднем имеется сцепление, а на крайних - проскальзывание в противоположных направлениях. Такая постановка, более соответствующая практическим условиям, продиктована следующими соображениями. При наличии Кулонова трения в тех местах, где тангенциальные силы малы и нет смещения упругого тела относительно штампа, имеет место жесткое сцепление тп/ ап< /. На тех же участках, где тп / оп = /, происходит скольжение штампа относительно упругого тела, Л.А.Галин дает приближенное решение этой задачи, а также находит отношение длины линии сцепления к длине участка контакта как функцию коэффициента трения на участках проскальзывания. Несколько, иная постановка принята в упомянутой выше работе С.В.Фальковича, опубликованной в это же время.

Позднее задача соприкасания с жестким профилем при наличие зоны сцепления и двух симметричных зон кулоновского проскальзывания рассматривалась в работах Ю.А.Антипова, Н.Х.Арутюняна [4, 5]. Авторы, применив преобразование Меллина к фунциям, через которые выражаюся перемещения и напряжения на контуре, приходят к векторной задаче Римана относительно преобразованных функций, решая которую сведением к бесконечной системе линейных уравнений, находят после обратного преобразования Меллина контактные напряжения под штампом. Стоит отметить, что полученные контактные напряжения терпят излом в зоне перехода «трение - сцепление».

Впервые задача о сжатии двух упругих тел, из которых одно имеет форму цилиндра, а другое имеет круговой цилиндрический вырез, была рассмотрена И.Я.Штаерманом [76]. Им получено уравнение, определяющее распределение давления по поверхности сжатия. Здесь же указана зависимость между длиной линии контакта и силой, сжимающей тела. Исследования в этом направлении были продолжены М.З.Народецким [49-51], рассмотревшим задачу внутреннего соприкасания двух кругов конечного радиуса и достаточно большого, причем прижимающая сила приложена к внутреннему кругу. Им найдена зависимость длины контакта и напряжений вдоль нее от точки приложения силы.

Дальнейшее детальное исследование контактных задач соприкосновения круговых тел без трения (при невыполнимости гипотезы Герца о малости участка контакта) было проведено в работах А. И. Каландия [25, 27, 28 30]. После вывода и решения основных уравнений, совпадающих внешне с уравнениями теории крыла конечного размаха с неизвестным параметром, рассматривается жесткий штамп с плоским симметричным основанием, вдавливаемый силой, действующей вдоль оси штампа, в упругую среду, представляющую собой бесконечную плоскость с круговым отверстием. Предполагается, что штамп может совершать только поступательное перемещение и, кроме того, напряжения и вращение отсутствуют на бесконечности. Форма основания штампа (близкая к контуру отверстия) считается заданной так же, как и главный вектор сил, прижимающих штамп к границе. В качестве примеров автор решает задачи об абсолютно жесткой круговой шайбе, прижатой к отверстию в упругой пластинке (внешняя задача), и о круглой упругой шайбе, прижатой к отверстию в жесткой пластинке.

Продолжая исследование контакта упругого круглого диска под действием центральной силы с круговым отверстием в неограниченной упругой пластинке, А.И.Каландия [28] использовал потенциалы Колосова— Мусхелишвйли и свел задачу к сингулярному интегральному уравнению. Автор построил приближенное решение этого уравнения, в основе которого лежит аппроксимация искомого решения тригонометрическим интерполяционным многочленом Лежандра по чебышевским узлам.

А.Г.Угодчиков и А.В.Крылов [68] рассмотрели задачу контакта кругового, диска под действием центральной силы с круговым концентрическим кольцом, внешний контур которого подвержен действию заданной нагрузки. Используя метод Н.И.Мусхелишвили, авторы построили приближенное решение этой задачи, причем для определения длины линии контакта используется метод попыток (условия контакта при этом удовлетворяются только в отдельных точках).

Автору настоящей диссертации не известны работы, в которых предполагались бы условия контакта Л.А.Галина при взаимодействии штампа (тем более профильного) с контуром кругового отверстия в бесконечной плоскости.

При исследовании смешанных задач для областей, отличных от полуплоскости и полосы, успешно развивался метод Н. И. Мусхелишвили.

Г.П.Черепанов [72] дал решение одной линейной краевой задачи Римана для двух функций. В качестве приложения им получено в замкнутом виде решение смешанной задачи для пластинки с конечным числом разрезов вдоль действительной оси.

Целью работы является разработка нового метода решения смешанных задач плоской теории упругости и применение его для решения задач со сложными граничными условиями.

Задачи работы:

1. Разработка теоретических основ метода базисной задачи Римана.

2. Постановка и решение различных вариантов контактных задач с граничными условиями Л.А. Галина.

Основные научные результаты, выносимые на защиту:

1. Разработан новый метод решения смешанных задач двумерной теории упругости - метод базисной задачи Римана. Показана эффективность его применения к решению традиционно трудных задач Л.А.Галина.

2. Решена задача Л.А.Галина для упругой полуплоскости. Рассматривались полубесконечный штамп и симметричный конечный штамп с различным профилем рабочей поверхности. Полученное решение полностью удовлетворяет физической картине деформаций в зоне перехода «трение -сцепление». Контактные напряжения ни только не терпят разрывов, но и не имеют изломов в этой зоне.

3. Решена задача Л.А.Галина для упругой плоскости с круглым отверстием. Рассматривались симметричные штампы с различным радиусом рабочей поверхности. Полученное решение также полностью удовлетворяет физической картине деформаций в зоне перехода «трение - сцепление». Контактные напряжения не имеют никаких особенностей в этой зоне.

Научная новизна результатов состоит в следующем:

1. Разработан новый эффективный метод решения двумерных задач теории упругости - метод базисной задачи Римана.

2. Получено «физичное» решение задач Л.А.Галина как для полуплоскости, так и для плоскости с круговым отверстием.

Практическая значимость работы заключается в создании новой надежной верификационной базы для разработки инженерных методов расчета напряженно-деформированного состояния в смешанных контактных задачах теории упругости, учитывающих наличие зон кулоновского проскальзывания материала в области контакта и, как следствие, снижения контактных напряжений.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Воронеж, 1998г.), на Международной конференции «Итоги развития механики в Туле» (Тула, 1998г.), на Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2000г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ (1998 - 2000г.), на научном семинаре профессора Маркина A.A. (2000г.).

Публикации. Материалы диссертации изложены в 5 публикациях.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения, изложенных на 76 листах машинописного текста, содержит 12 рисунков и 2 таблицы. Список литературы включает 84 наименования.

Основные результаты диссертации можно обобщить в следующих положениях:

1. Разработан метод эффективного решения смешанных задач плоской теории упругости - метод базисной задачи Римана. Метод позволяет сводить задачи с разнообразными граничными условиями к системам сингулярных интегральных уравнений. Решение последних осуществляется известными численными методами. Показана эффективность применения разработанного метода к решению традиционно трудных контактных задач с граничными условиями Л.А.Галина. Метод решения позволил «устранить» разрывы и изломы контактных напряжений в зоне перехода «трение-сцепление», возникающие в работах других авторов.

2. Решена задача Л.А.Галина для полуплоскости в случае полубесконечного плоского штампа. Контактные напряжения полностью удовлетворяет физической картине деформаций в области перехода «трение-сцепление» и не имеет ни изломов, ни скачков. Построена зависимость ширины зоны проскальзывания материала от коэффициента трения р в зоне проскальзывания.

3. Получено «физичное» решение задачи Л.А.Галина для полуплоскости в случае симметричного плоского штампа. В зоне перехода «трение-сцепление» контактные напряжения ни только не терпят скачков, но даже не имеют изломов, которые присутствовали в работах других авторов. Построена зависимость отношения ширины штампа к ширине зоны сцепления материалов штампа и полуплоскости X от коэффициента трения р в зоне проскальзывания материала полуплоскости. Существенное отличие в значениях на средних (0.15.0.4) коэффициентах трения можно объяснить подменной Л.А.Галиным исходной задачи ее приближенной постановкой.

4. Решена задача Л.А.Галина для полуплоскости в случае симметричного профильного штампа. Контактные напряжения также не имеют никаких особенностей в зоне перехода «трение-сцепление». Построена X - р зависимость.

5. Решена задача Л.А.Галина для плоскости с круговым отверстием как в случае штампа, имеющего радиус отверстия, так и вслучае произвольного профильного штампа, не имеющего каких-либо особенностей на контуре. Построенные контактные напряжения непрерывны и гладки в области перехода «трение-сцепление». Построена зависимость отношения углового размера штампа к угловому размеру зоны сцепления Л от коэффициента трения р в зоне проскальзывания материала. Полученное для задачи сингулярное интегральное уравнение допускает элементарное обобщение на случай воздейстия на контур отверстия п - симметрично расположенных штампов с одинаковым профилем рабочей части.

Тот факт, что одной граничной задаче можно поставить в соответствие различные системы сингулярных интегральных уравнений, генерируемых методом базисной задачи Римана, позволяет надеяться на то, что можно разработать новый метод решения граничных задач, ставящихся в двумерной теории упругости.

Новые результаты в части формул граничного представления для анизотропной упругой средыделают возможным обосновать метод базисной задачи Римана для этой среды и решать смешанные задачи повышенной сложности.

1) 1. Бертяева Н.Д., Пеньков В.Б. Метод граничных представлений в плоской анизотропной упругости. Случай попарно равных корней // Известия ТулГУ. Серия: Математика, Механика, Информатика,- 1997.-Т.З-Вып. 1 .-С. 89-90.

2. Пеньков В.Б., Бертяева Н.Д. Метод граничных представлений в здаче о концентрации напряжений у трещине в анизотропной плоскости // Известия ТулГУ. Серия: Математика, Механика, Информатика,- 1999,-Т.5-Вып.2.-С.120-123.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Абрамов В.М. Проблема контакта упругой полуплоскости с абсолютно жестким фундаментом при учете сил трения // Докл. АН СССР, 1937, 17, №4.

2. Абрамян Б.Л. Об одной контактной задаче для полуплоскости // Известия АН ССР. Механика твердого тела. 1972.- №5.

3. Александров В.М. Контактные задачи для клина. Развитие теории контактных задач в СССР.- М.:Наука, 1976,- с. 131-135.

4. Антипов Ю.А. , Арутюнян Н.Х. Контактные задачи теории упругости при наличии трения и сцепления // ПММ 1991. - Т. 55. - Вып. 6. - С. 10051017.

5. Антипов Ю.А., Арутюнян Н.Х. Контактные задачи теории упругости для клиновидных областей в условиях трения и сцепления // ПММ 1992. -Т. 56. - Вып.5. - С. 709-722.

6. Банцури Р.Д. Контактная задача для клина с упругим креплением // Доклады АН СССР.- 1973,- т.211.- №4.

7. Бегиашвили А.И. Решение задачи давления системы жестких профилей на прямолинейную границу упругой полуплоскости // Докл. АН СССР, 1940, 27, №9.

8. Белоконь A.B. Контактная задача о взаимодействии упругого диска с двумя различными штампами // ПММ 1969.- т.ЗЗ.- в.1.

9. Белоносов С.М. Основные плоские статические задачи теории упругости для односвязных и двухсвязных областей.- Новосибирск: Изд.СО АН СССР, 1962,- 232 с.

10. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985. - 253с.

11. Бискуп А.Г., Моссаковская Л.В. Задача о вдавливании закругленного штампа с трением и сцеплением // Всесоюзная конференция "Смешанные задачи механики деформируемого тела": Тезисы докладов. 1- Одесса: 1989,-с.45.

12. Бицадзе А. В. О местных деформациях при сжатии упругих тел // Сообщ. АНГССР, Г94'2, 3, № 5.

13. Бицадзе А. В. О местных деформациях при вжатии упругих тел // Сообщ. АНГССР, 1944, 5, №8.

14. Бондарева В.Б. Одна контактная задача для упругой полуплоскости, нагруженной вне гладкого штампа // Труды ВНИИ физ.- техн. и рад.-техн. измерений.- 1979.- № 41 71.- с. 13-17.

15. Борзова Т.В. Деформирование тяжелого цилиндра, опертого на жесткий штамп // Вестник МГУ. Серия мат., механ.- 1970.- № 5.

16. Вайнберг Д.В. Напряженное состояние составных дисков и пластин. -Киев: Изд-во АН УССР, 1952.

17. Галин Л.А. Смешанная задача теории упругости с силами трения для полуплоскости // Доклады АН СССР.- 1943,- Т.ХХХ1Х- № 3.- с.88-93.

18. Галин Л.А. Вдавливание штампа при наличии трения и сцепления // ПММ,- 1945.- Т.1Х,- №5,- с.413-424.

19. Галин Л.А. Плоская упруго-пластическая задача // ПММ.- 1946.- Т. 10.-Вып.З.- с.367-386.

20. Галин Л.А. Контактная задача теории упругости. М.- л., 1953.

21. Галин Л.А. Контактная задача теории упругости и вязкоупругости. М.: Физматгиз, 1980.

22. Галин Л.А. Упруго-пластические задачи.-М.: Наука, 1984.- 232 с.

23. Гахов Ф.Д. Краевые задачи, 3-е Изд.- М.:Наука,1977.- 640 с.

24. Глаголев Н.И. Упругие напряжения вдоль основания платины // Доклады АН СССР.- 1942,- Т.ХХХ1У.- №7,- с.204-208.

25. Глаголев Н.И. Определение напряжений при давлении системы жестких профилей // ПММ.- 1943.- Т. VII. Вып. 5,- с.383-388.

26. Глаголев Н.И. Сопротивление перекатыванию цилиндрических тел // ПММ,- 1945.- T.IX.- Вып.4,- с.318-333.

27. Горячева И.Г. Некоторые контактные задачи теории упругости для шероховатых тел // Всесоюзная конференция по теории упругости: Тезисы докл.- Ереван: Изд. АН Арм.ССР, 1979.- с.125-128.

28. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев.: "Наукова думка", 1968. -288 с.

29. Каландия А.И. К контактным задачам теории упругости // ПММ.- 1957.Т XXI.- В.З.- с.389-398.

30. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости.- М.: Наука, 1973.-304 с.

31. Каландия А.И. Об одном прямом методе решения уравнения теории крыла и gro-применении в теории упругости // Мат. сб., 1957, 42 (84), №2.

32. Каландия А.И. О задаче Герца о сжатии упругих тел // Труды Вычисл. центра АН ГССР, 1960, 1.

33. Каландия А.И. О приближенном решении одного класса сингулярных интегральных уравнений // Докл. АН СССР, 1959, 125, № 4.

34. Каландия А.И. Плоская задача типа Герца о сжатии цилиндрических тел //Сооб. АН ГССР, 1958, 2.1, № 1.

35. Карцивадзе И.Н. Основные задачи теории упругости для упругого круга // Труды Тбилисского матем. Ин-та,- 1943. -T.XII.- с.95-104.

36. Карцивадзе И.Н. Эффективное решение основных задач теории упругости для некоторых областей // Сооб. АН Груз.ССР.-1946. T.VIII - №8. -с.507-513.

37. Клубин П.И. Напряженное состояние улругой среды, нагруженной бесконечно жесткой полосой постоянной ширины // Труды Ленингр. инта инж. пром. стр-ва, 1938, вып. 6.

38. Колосов Г.В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости.-Юрьев, 1909.

39. Кучеров В.А. Действие двух полубесконечных штампов на упругую полосу малой толщины // Известия АН СССР. Механика твердого тела,-1973.-№ 1.

40. Ломидзе Б.М Расчет жестких ленточных фундаментов.—«Гидротехн. стр-во», 1947, № 10.

41. Макарян B.C. Решение одной контактной задачи для упругой четверть-плоскости при наличии сцепления // Всесоюзная конф. по теории упругости: Тезисы докладов.- Ереван: Изд-во АН Арм. ССР, 1979. -с.210-211.

42. Михлин С.Г. О напряжении в породе над угольным пластом // Изв. АН СССР. ОТН, 1942, № 7-8.

43. Минцберг Б.Л Смешанная граничная задача теории упругости для плоскости с круговым отверстием // ПММ, 1948,12, вып. 4.

44. Моссаковский В.И., Бискуп А.Г. Вдавливание штампа при наличии трения и сцепления // Доклады АН СССР.- 1972.- т.206.- № 5.

45. Мусхелишвили Н.И. Решение основной смешанной задачи теории упругости для полуплоскости // Докл. АН СССР, 193*5, 8, № 2.

46. Мусхелишвили Н.И. Об одной новой контурной задаче теории упругости // Доклады АН СССР.- 1934,- T.III.- № 3,- с. 141-144.

47. Мусхелишвили Н.И. Некоторые граничные задачи теории упругости для полуплоскости // Сообщения АН Грузинской ССР.- 1941,- Т.П.- № 10.-с.873-880.

48. Мусхелишвили Н.И. Основные граничные задачи теории упругости для плоскости с прямолинейными разрезами // Сообщения АН Грузинской ССР. 1942. - Т. III. - № 2. - с. 103-110.

49. Мусхелишвили Н.И. К задаче равновесия жесткого штампа на границе упругой полуплоскости при наличии трения // Сообщения АН Грузинской ССР. 1942,- T.III.- № 5.- с.413-418.

50. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5-е изд.- М.:Наука, 1966.- 708 с.

51. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения, 3-е изд. -М.:Наука. 1968.- 512 с.

52. Мусхелишвили Н.И., Векуа Н.П. Краевая задача Римана для нескольких неизвестных функций и ее приложение к системе сингулярных интегральных уравнений // Труды Тбилисского матем. ин-та АН Груз. ССК. 1943.-T.XIII-С.1-46.

53. Народецкий М.З. Об одной контактной задаче // Докл. АН СССР, 1943, 12. № 6.

54. Народецкий М.З. К выбору посадок колец подшипников качения // Инж. сб., 1947, 3, вып. 2.

55. Народецкий М.З. К задаче Герца о соприкасании двух цилиндров // Докл. AI-СССР, 1947, 6, №5.

56. Нуллер Б.М. Некоторые контактные задачи для упругого бесконечного клина//ПММ.- 1972.-Т.36.- в.1.

57. Панасюк В.В. Давление диска на круговое отверстие в упругой плоскости //Научн. зап. ин-та маш. и автомат. АН УССР.- 1953. в.1,- с. 110-120.

58. Панасюк В.В. Контактная задача для кругового отверстия // Научн. зап. ин-та маш. и автомат. АН УССР III сер. Машин.- 1954.- в.2.- с.59-79.

59. Панасюк В.В, Теплий М.И. Об одной контактной задаче с учетом сил трения // ПММ,- 1972,- Т.VIII.- № 7.

60. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения в теории упругости. М.:-Наука.- 1977,-312 с.

61. Пенин О.М. Контактные задачи для полосы переменной высоты // Контактные задачи и их инженерные приложения.- М.:Изд-во НИИМаш,1969.

62. Пеньков В.Б. Расчет воздействий жестких гладких штампов на односвязное упругое тело // ПММ.- 1983.- №40.- с.61-65.

63. Пеньков В.Б. Жестко-упругое взаимодействие при наличии трения // Механика сплошных сред.- Ростов н/Д:РГУД985.- с.99-104.

64. Пеньков В.Б. Упругое состояние тела, стесненного в штампах // Механика деформируемого твердого тела.- Тула: ТулПИ, 1985. с. 112-120.

65. Рушицкий Я.Я. Задача о вдавливании двух круговых сегментов в границу кругового отверстия бесконечной плоскости // Прикл. механика.- 1972.-Т.УШ,- №8.

66. Рябой В.М. Точные решения плоской задачи о действии штампа на контур кругового отверстия в упругом теле // Упругость и неупругость.-М.,1978.- В.5.- с.44-45.

67. Савин Г.Н. Концентрация напряжений около отверстий,- М.- Л.: Гостехиздат, 1951.- 496 с.

68. Толоконников Л.А., Пеньков В.Б. Приложение краевой задачи Римана с разрывными матричными коэффициентами к механике // Известия ВУЗов. Математика,- 1980,- № 2,- с.55-59.

69. Толоконников Л.А., Пеньков В.Б. Смешанные задачи механики односвязного тела // IV всесоюзная конференция "Смешанные задачи механики деформируемого тела": Тезисы докладов.- Одесса: ОГУ, 1989.-С.109.

70. Толоконников Л.А., Пеньков В.Б. Метод граничных представлений в двумерных задачах механики. Тула: Изд. ТВАИУ. - 1998. - 378 с.

71. Угодчиков А.Г., Крылов А .Я. К решению одной контактной задачи // Прикл. мех., 1962, 8, вып. 1.

72. Фалькович С. В. О давлении жесткого штампа на упругую полуплоскость при наличии участков сцепления и скольжения // ПММ, 1945, 9, вып. 5.

73. Флорин В.А. Определение напряженного состояния упругого основания // Сб. Гидростройпроекта, вып. 1. М., Госэнергоиздат, 1936.

74. Чаплыгин С.А. Давление жесткого штампа на упругое основание // Собр. соч, Гостехиздат, 1950.

75. Черепанов Г.П. Решение одной линейной краевой задачи Римана для двух функций и ее приложение к некоторым смешанным задачам теории упругости // ПММ, 1962, 26, вып. 5.

76. Шереметьев М.П. Упругое равновесие бесконечной пластинки с вложенной абсолютно жесткой или упругой шайбой // ПММ.- 1952.- XVI. В. 4.- С. 437-448.

77. Шерман Д.И. Смешанные задачи теории потенциала и теории упругости для плоскости с конечным числом прямолинейных разрезов // Доклады АН СССР.- 1940.- Т.27.- № 4,- С.330-334.

78. Шерман Д.И. Плоская задача теории упругости со смешанными предельными условиями // Труды Сейсмол. ин-та АН СССР, 1938, № 86.

79. Штаерман И.Я. Местные деформации при сжатии упругих круговых цилиндров, радиусы которых почти равны // Докл. АН СССР», 1940, 29, №3.

80. Kolosov G.W. Uber einige Eigenschaften des ebenen Problems der Elastizitatsteori // Ztschr. f. Math. U. Phys. 1914. - B.62. -C. 383-409.

81. Muskhelishvili N.I. Sur l'intégration de l'équation bihormonique // Известия российской Академии наук. 1919. - С.663-686.

82. Muskhelishvili N.I. Sur la solution du problème biharmonique fondamental pour l'aire exterieure a une ellipse // Math . Ztschr. 1927. - B.26. - S.700-705.

83. Muskhelishvili N.I. Praktische losurig der fundamentalen Randwertanfgaben der Elastizitatstheorie in der Ebene für einioge Beraudungs formen // Ztschr. f. Angew. Math. U. Mech. 1933. -B. 13. - S.264-282.

84. Sadovski M.A. Zweidimensionale Probleme der Elastizitattstheorie // Ztschr. f. Angew. Math. U. Mech. 1928. -B.8. - S. 107-121.

85. Мрыхин П.Ю. Пеньков В.Б. Метод базисной задачи Римана // Известия ТулГУ. Серия: Математика, Механика, Информатика.- 1997.- Т.З.- Вып.1. С. 140-145.

86. Мрыхин П.Ю. Контактная задача для профильных штампов со смешанным типом граничных условий // Известия ТулГУ. Серия: Математика, Механика, Информатика.- 1998.- Т.4.- Вып.2.- С. 123-127

87. Мрыхин П.Ю. Задача Л.А.Галина для плоскости с круглым отверстием // Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула:.-2000г. С. 102-103.