Контактная задача теории упругости с учетом трения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ кыргызский технический университет

На правах рукописи

ЗЕМЛЯНСКНП Александр Андреевич

Р Г Б ОД

-ЗЯНВИЗО

КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С УЧЕТОМ ГРЕННЯ

Специальное! I. 01.02.04 - механика деформируемого тпердого тела

Л Н 1 0 1'Е Ф Е Р Л Т диссертации па сомекпипс ученом стспепп кандидата физико-математических паук

Пишкск 1995

Работа наполнена в Кыргызском

техническом унииерсшете.

Научный руководитель:

Научный консультант:

Член-корр. НЛП Кыргызской Республики, iit.iiilr инк НА Кыргызской Республики, доктор технических наук, профессор Ор.ионбекоо Т.О. кандидат фи].-мат. наук, доцент Моеилевский l'.ll.

Официальные оппоненты:

Доктор фич-мат. наук, профессор Ч'юреин^жиса Л И. Доктор технических наук, профессор Пайак /1.Ф.

Ведущая организация:.

Кы/к'ычскнй Архитектурно-Строитель/ Институт

Защита состоится "_26_"_нтмра 1У%г. и _Н°^час.

на заседании Специализированною сонета Д 01.95.38 по jan докторских диссертации по адресу: Институт ipmiiKii п механики горных ш МАИ Республики Кыргызстан, 720815, г.Ьишкек, ул.Медерова 98.

С диссертацией можно ознакомиться » научной библиотеке 1 Кыргызской Республики..

Ваш отзыв , и 2-х экземплярах, заморенный печатью, мрт папранмять по адресу: Институт физики и механики юрных пород 1 Республики Кыргызстан, 720815, г.Кишкек, ул.Меиероиа 98.

Автореферат разослан •JA " декабря ......т.

Ученый секретарь Специализированного совета к.ф.-м.п.

В.Н.Долгип

Л. Общая характеристика работы.

Актуальность темы заключается в том, что в практике штамповочного производства остро стоит вопрос о расположении под штампом зон сцепления и проскальзывания. От этого зависят возможности проектирования вырубных штампов с малой площадкой базирования заготовки и гибочных штампов с малым радиусом изгиба штампуемого изделия.

Для решения такого типа контактных задач актуальным является применение метода расщепления систем уравнений теории упругости, который успешно описывает процессы, имеющие место в реальной среде.

Цслыо работы является определение параметров взаимодействия штампа с деформируемым основанием с учетом сил трения между штампом и основанием.

Научная новизна состоит в том, что модель деформируемого основания Ормопбекова Т.О. применяется для решения задачи о штампе со сцеплением и трением. Решением этой задачи определена зависимость длины участка сцепления под штампом от коэффициента трения, а также картина распределения напряженно-деформированного состояния под штампом и вне его.

Методы исследования. В работе использованы методы теории деформированного основания, расщепления уравнений теории упругости, моментной теории упругости, теории интегральных преобразований и численные методы, реализованные на ЭВМ.

Практическая ценность работы определяется тем, что результаты, полученные в работе, могут найти применение в штамповочном производстве и строительстве мостов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

на юбилейной научно-технической конференции Кыргызского технического университета . г.Бишкек. 1995 г.,

- на второй международной конференции "Механизмы переменной структуры и вибрационные машины". Кыргызская Республика, г.Бишкек.1995 г,

- на международной научно-практической конференции "Проблемы механики и прикладной математики". г.Бишкек. 1995 г.,

- па научных семинарах кафедры механики Кыргызского технического уинверснтета.г.Бишкек.1995 г.,

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения , трех глав, основных результатов и выводов и списка литературы. Она содержит 119 страниц машинописного текста, 16 рисунков и список литературы из 77 наименований.

Основное содержание диссертации.

Во введении изложен краткий обзор по теме исследования, отражена цель и научная новизна работы, изложено краткое содержание по главам.

2. Постановка задачи и вывод основных уравнений и соответствующих краевых задач.

В реальной ситуации во время взаимодействия жесткого штампа с деформируемой средой под штампом происходят сложные физические явления. Одно из них известно из соответствующей литературы - это появление участков со сцеплением и проскальзыванием деформируемой полуплоскости относительно жесткого штампа.

Настоящая глава посвящена решению этой проблемы с привлечением теории расщепления систем уравнений теории упругости.

3.Постановка задачи.

Рассматривая процесс вдавливания штампа в упругое тело, считаем, что на площадке контакта есть три учаска, на одном из которых имеет место сцепление

Воспользуемся моментной теорией упругости, поскольку она более полно описывает перемещение точек сплошной среды. Перемещение точки сплошной среды в этой теории описывается векторами смещения 11 и поворота VIV. Для построения математической модели нашей задачи получим соотношения моментной теории упругости при УК=0. Определяющие соотношения и уравнения движения для изотропного, однородного и центрально симметричного тела следующие:

а у/ = (ц + а)((/;,у" + (ц - а)((/¡¿- эк/7 Щ) + Хик<кЬ у;

( I)

д2и

(X + ц -а){/м + (ц + а)и1М + 2а»; у э>]к +Х, = р-^- ; где: А, , ц , а - упругие константы.

А. = -

у Е

(1+у)(1-2У)'

V - коэффициент Пуассона; Е-модуль упругости при растяжении и сжатии;

а- постоянная, учитывающая моментныс свойства частиц упругой среды.

Выражения для моментнмх напряжений и уравнения вращательного движения частиц среды не приведены, т.к. в дальнейшем не используются. В физической модели мы учитываем вращение частиц сплошной среды, поэтому в уравнения (1) входят все компоненты векторов 11,V/. Расщепление этих уравнений по компонентам вектора смещения возможно только для несимметрично упругой среды, в которой моментныс напряжения всегда предотвращают поворот частиц.

При 1У=0 получаем выражения:

пл = \1(ии +е,(Ум8+Е2((Уу /

X ц-а <3>

е, =-; Е2 :

И И

Начальные и граничные условия, замыкающие эти соотношения, имеют

вид:

ь

о \ '

Я е5„, а цп! = Т;, Б ,

где: , Ба - участки поверхности тела, на которых заданы перемещения £/,• и напряжения Г,- соответственно. При а=0;Е,=1 уравнения

(1-3) переходят в закон Гука и уравнения Ляме для симметричной теории упругости, т.е.

и,с = и

с

ст //• ~а и ■

Решение задачи (1),(3),(4) представим в виде двойного ряда по параметра.« С],С2 - двум группам упругих констант, определяющим напряжения в упругой среде.

Классические уравнения равновесия, физические уравнения и граничные условия расщепляются по указанному методу исследования контактных задач теории упругости. Получены уравнения и краевые задачи к ним для приближения

ик,т „ ук,т При

этом для

иЬп „ уЫ

получаются уравнения

Пуассона, правые части которых как для

фп

, так и для содержат

приближения [А"1'-', цк-],т> ук,т-1 ^ ук-1,т Аналогично расщеплены нормальные и касательные напряжения. Координата точки, разделяющей зоны сцепления и проскальзывания, также представлена в расщепленном виде.

(4)

(5)

4. Определение напряженного состояния под штампом и вблизи его.

В этой главе решается задача определения нормального вертикального перемещения, возникающего под абсолютно жестким штампом с плоским основанием, прижатым к упругой полуплоскости заданной силой, направленной перпендикулярно границе этой полуплоскости.

Задачи нахождения любого приближения вертикального перемещения упругой среды относительно абсолютно жесткого штампа по параметрам Е|,Е2 при к=0, т=О и при к=0, т= 1 строятся по уравнениям (1)-(4).

4.1. Условия задачи для

Уравнение равновесия с граничными условиями будет иметь вид:

3 2ук,т д2ук,т 1

-~— +-^—= -

а*'

а/

2цк,т-1 д2ук,т-1

а/

дхду

д 2цк-\,т д2ук-\,ту

ду'

дук,т

ду

дук,т

й

дхду

=о = 0;

>а

ду дук,т

дх

й

=0 = 1<а

у=0 =0. Й<«

(6)

(7)

(8)

Вертикальное перемещение на границе описывается выражением:

ии

16л''ц Р1

скорость вертикального перемещения вдоль оси У будет выглядеть следующим образом:

а

дУ 16тг2ц

оо

Р д г -Ь у+/оиг , --г—— \ylQ-e ™ (!а-

1бтг2ц дУ V

Г

или

ЭГ0Л(х>Д>)_ Р

ду

16л2ц

^а2+(у + ,х? д¡а2 + (у-1х?

+У

гх + у

л/(«2 + (у + ф3 + У ^йЫ^*?)2,

у- IX

< II)

Результаты численных расчетов показаны на Рис. 2а- изоклины вертикальной деформации и Рис. 26- значение вертикальной деформации.

Рис. 2а Распределение деформации в точках упругой среды под штампом.

01у

Рис.26 Значение деформации в точках упругой среды под штампом.

Преобразуя (11) получаем: аи°-1(х.у>=__р_

& 1бтс2д

(а2.х2 + у2)+^а2_х2+>Л + 4х2у2у2

(а2-*2 + у2)+ «*У 2у + ^.х2+у2 + 4?у2У'2(1-4,2)

( 12)

(а2-х2 +у2)+(а2-х2 +у2 + «Л2)^«2 -*2) + у3*2?у2

На границе скорость вертикального перемещения вдоль оси К будет выглядеть следующим образом:

дУ

ОЛ,

дУ

Ь=о:

8л

1

Результаты расчетов приведены на графике (Рис.3.)

.0« . у л») .

Рис.3 Значение деформации в точках упругой среды под штампом на границе упругой среды.

Нулевое приближение составляющей вертикальной деформации на границе под штампом совпадает с решением, полученным ранее Садовским М., подтверждено Т.О.Ормонбековым. Составляющая вертикальной деформации на границе иод штампом при к=0 и т= 1 равна нулю. Суммарное решение для двух первых приближений соответствует полученному ранее решению. На основании полученных результатов можно сделать вывод, что дальнейшие приближения для к,т равны нулю и первое приближение точно определяет решение.

5.Определение участков сцепления и проскальзывания упругой среды под жестким штампом.

В этой главе рассматривается напряженно-деформированное состояние упругой полуплоскости, создаваемое прижатым к ее границе по участку [-а;а] силой Р жестким штампом. Между абсолютно жестким штампом и упругим полупространством возникают, по крайней мере, три участка (Рис.4):

- в центре участок сцепления |дс|<£/,

- по краям участки проскальзывания Ь<\х\< а.

В практике штамповочного производства актуально стоит проблема нахождения этих участков. На участке сцепления соблюдаются условия прилипания, то есть вертикальные и горизонтальные перемещения штампа и полуплоскости совпадают. Участки проскальзывания моделируются законом сухого трения Кулона. Вследствие этого задача становится нелинейной. При вертикальном нагружении штампа и при отсутствии внешней касательной нагрузки решение задачи нулевого приближения для горизонтального смещения будет нулевым.

Рис. 4 Разбиение площадки контакта под штампом на зоны сцепления и проскальзывания.

Принимая во внимание (1)-(5), определяем выражения для любого приближения горизонтального перемещения и координаты точки ¿.Эта точка разделяет зоны сцепления и проскальзывания на границе между жестким штампом и упругим полупространством. Координата этой точки определяется по

приближениям Ь

О 1

О 1 +02

02

1 0

как функциям от

соответствующих составляющих горизонтального перемещения и^,т(х,у) при (£=0, /и=1), (к=0, т=2), суммарного горизонтального перемещения от двух приближений при (к=0, т= 1) и (к= 0, т=2) и при (к= 1, т=0). Для определения £/0 1^01+02^/0 2^10 используем общие уравнения для получения дифференциальных уравнений равновесия, физических уравнений и граничных условий любого приближения по к,т .

5.1. Постановка задачи для к=0,т=1. Получим следующие уравнения при к=0,т=1: д2Ц°'\х,у) | д2Ц°'1(х,у) 1 5

дх2 д у2 2 дхду '

с граничными условиями:

14)

диЫ

ду

диЫ

ду

1 а ко-°

1<\х\<а у=0

\х\>а у=0

Эг

у=0

(15)

1

решая которые приходим к функциональному уравнению: № •

,

1 + 4,

4 л

ь- ч2

Ь-

^ = 0.

(16)

где:

Обозначим интегралы: 1

П,(Ь)= /

1п

VI- —V1—

VI- ч2

г//;

Тогда уравнение (16) примет вид:

4 п ~

( 18)

Поскольку интегралы Г!, н слабо сходятся при Ь->1, то применение существующих алгоритмов численного решения функционального уравнения (18) ис позволяет получить рстулярнут процедуру решения этого уравнения относительно Полому представляется целесообразным решать указанное уравнение относительно / для всего диапазона возможных значений В этом случае зависимость приближения /.'"(/) можно получить графическим методом, построив график зависимости /¡¿(").

/ = "

402(1)'

( 19)

Расчет/¡¿01) даст зависимость, приведенную иа (Рис. 5.) и в (Табл.1).

0.1 0.15 <12 " 5 (II о

.0.106549 , Ги[ /„, ,|)344(|()5

Рис.5 Зависимость приближение /.'" от коэффициента трения. 1. ГщИ. 1

0 1 (| 107

0 15 0 ¡2

0 2 II 1 »2

0 25 II 1 12

0.1 11 |5!

(I 35 II Им

04 0 174

0 45 <1 1 84

(1 5 11 1 'Ю

II 55 0 207

и (> 0 214

0 65 0 233

0 7 (1248

0 75 0 2|>5

0 8 II 28*

085 0 31

0 '1 0. >45

Таблица 1. Значения приближении ¿0| II соответствующие коэффициенты

трении.

Полученная зависимость ¿01(/) показываем, чю при / >0.35 значение £ мало отличается от единицы. Значимость первою приближения показывают следующие приближения, из расчета которых следует, что в области значений коэффициента трения имеющей физический смысл для вычисления приближения £.01+02 , ¿,02 , ¿|0 нет регулярного алгоритма.

Результаты численного эксперимента дли всех приближений /.. после приближения при к=0,т=\ позволяют сделан, вывод о том, что приближение I01 точно определяет координату точки, разделяющей зоны сцепления н проскальзывания твердого штампа и унрукно полупространства.

Полученные значения длин участков сцепления и проскальзывания в зависимости от коэффициента трепня п основной части совпадают с результатами, полученными ранее Л.Л. Гапшым, 10. А. Аптиповым,

Н.К.Арутюняном, Т.О.Ормонбековым, что также подтверждает правомерность метода расщепления дифференциальных уравнений теории упругости.

6. Основные результаты и выводы

Метод расщепления систем уравнений позволяет решать смешанную задачу теории упругости в общем виде. Важной особенностью этого метода является возможность конкретно определять участки сцепления и проскальзывания под штампом, чего нельзя было сделать с помощью теории упругости.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Определено точное выражение для вертикального перемещения любой точки деформируемой полуплоскости.

2. Классические уравнения равновесия, физические уравнения и граничные условия расщеплены по указанному выше методу решения контактных задач теории упругости.

3. Определены уравнения и краевые задачи для приближения

. При этом для (А'" и V^'" получены уравнения Пуассона, правые части которых как для [А"г , так и дня содержат приближения (А'""-' , ¡jk-l.m > yk,m-I^ ук-1,т Аналогично расщеплены нормальные и касательные напряжения. Координата точки, разделяющей зоны сцепления и проскальзывания, также представлена в расщепленном виде.

4.Найдены формулы идя горизонтальных деформаций под штампом и вне его и, в зависимости от них, получены функциональные уравнения, численное решение которых позволяет установить зависимость длин участков под штампом от трения. Отличительной чертой решения является отсутствие четкого алгоритма при значениях коэффициента трения (0,01- 0,1) и (0,9 - 0,99).

5.Дальнейшпе приближения для к,т равны нулю и первое приближение точно определяет решение.

6. Нулевое приближение составляющей вертикальной деформации на границе иод штампом совпадает с решением, полученным ранее Садовским М., подтверждено Т.О.Ормонбековым.

7. При коэффициенте трения между штампом и деформируемой средой меньше чем 0.1 размеры участка сцепления незначительны (Рис.5).

8. При коэффициенте трения большем 0.5 сцепление будет почти на всей площади контакта и для нахождения давления целесообразно воспользоваться предположением о жестком спен.ленпп между штампом и деформируемой средой, то есть при коэффициенте трения больше 0.37 координата точки L, разделяющей участки снснленпя и проскальзывания, резко устремляется к единице (Рис. 5).

9. При коэффициенте трения, находящемся в диапазоне (0.107-0.345), участок сцепления монотонно меняет свою длину соответственно в диапазоне (0.1-0.9) - Табл.1.

10. Составляющая вертикальной деформации на границе под штампом при &=0 и »1=1 равна пулю. Суммарное решение для двух первых приближений соответствует решению, полученному ранее.

Исследование уравнении, которые он ре чел я ют участок сцепления, показало, что каждое из этих уравнении не имеет решения для коэффициента трения в диапазоне значений, имеющих физический смысл, вслсдствин чего можно сделать вывод, что первое приближение полностью определяет участки, возникающие между жестким штампом и деформируемой средой.

Полученные выше результаты, исключая значения коэффициента трения меньшего 0.049 (см.Рис.5, Табл.1), подтверждаются Л.А.Галииым, Ю.А.Антиновым, Н.К.Арутюняном.

По результатам проведенных исследований можно сделать вывод, что метод расщепления систем уравнений теории упругости созданный профессором Т.О.Ормонбековым позволяет ставить и решать достшочно широкий круг задач о взаимодействии штампа и деформируемого основания.

7.Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Ормонбеков Т.О., Могилевский Р.И., Земляпскнй A.A. Решение контактной задачи с трением п сцеплением методом расщепления уравнений теории упругости. Вторая международная конференция "Механизмы переменной структуры и вибрационные машины". Кыргызская Республика.- г.Бишкек. 1995 г.

2. Ормонбеков Т.О., Могилевский Р.И., Землянскнн A.A. Решение контактной задачи с трением и спенлсинсм методом расщепления уравнений теории упругости. Международная научно-практическая конференция "Проблемы механики и прикладной математики". - г.Бншкск. 1995 г.

3. Фролов A.B., Землянскнн A.A. Взаимодействие силовой импульсной системы с горной породой. Сборник трудов инженерной академии. ВыпускК - г.Бншкек. Инженерная академия. 1995 г.

4. Землянский A.A. Взаимодействие инструмента с упругой средой. Сборник трудов инженерной академии. Выпуск I. - г.Ппшкек. Инженерная академия. 1995 г.

АННОТАЦИЯ Землянскин А.А.

Сурулуну эске алуу менсп серпилгич теориясыпдагы контакталык массяеии чечуу.

Т.О.Ормонбековдуи катуу иерссшш дсформациясы жонуидогу модели» штамп менеп негиздин катнашындагы сыйгапанып сурулуу жана жармашып сурулуу чектерип теориялык турдо табышында. f

л

ABSTRACT

Zemljanskij А.А.

The contact problem оГ the theory elasticity in view of friction.

In offered work parameters of interaction of a stamp with the deformable basis in view of forces of friction between a stamp and basis are defined.

Model of the deformable basis by Ormonbekov Т.О. is applied to the decision of a problem on a stamp with coupling and friction. The decision of this problem determines dependence of a length of a site of coupling under a stamp from a factor of friction, as well as picture of distribution strained-deformed condition under a stamp and outside of it.

In work methods of the theory of the deformed basis, splitting of equations of the theory elasticity, moments of the theory elasticity, theories of integrated transformations and numerical methods, realized on computers, arc used.

Й