Численно-асимптотический анализ плоской задачи Синьорини с трением при немонотонном нагружении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГб од 21 шон да

С И И С К А Я АКАДЕМИЯ НА/К ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ЗЕМЛИ . им! О.Ю. ШМИДТА

на правах рукописи

ДОЛГОВ ВАЛЕНТИН ВИКТОРОВИЧ

ЧЧСУ1тО-АСИМПТОТИЧЕСКЙ1 АНАЛИЗ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ синьогани С ТРЕНИЕМ

йри ^монотонном шташш

01.02.04 - механика деформированного твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА—1993

Работа выполнена ч Институте физики Земли им. О.Ю.. Шмидта Российской Академик Наук.

Научный руководитель; доктор фмгкко-иатематаческих наук, профессор Л.В. Никитин.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор П.И. Перлин,

кандидат физико-математических наук Ю.В. Житажсоа.

Ведущая организация: институт проблем каханики РАН.

Зашита диссертации состоится 1993г. в часов на

заседании Специализированного Совета в Московском физико-техническом институте по ьдребу: Моск. обл., г- Долгопрудный, Институтский пер., д,9.

/

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ. Автореферат разослан • 1993г.

Ученый секретарь Специалирироватюго" Соертв,

кандидат физико-математических наук '/? КД'. Смоляков'

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование статической рзакция тел на внешние вочдействия при наличии трения чреевычайно затруднено экспериментально, э нелинейность возникающих задач не позволяет получить кх решения аналитичэстси, даже в рамках плоской задачи теории упругости. Численные метода остаются единственным доступным инструментом, позволяющим изучать природу контактного взаимодействия с..третей.

В условиях немонотонного нагружейия знания о контакте с сухим ■трзнием, по существу ограничены пониманием зависимости границ проскальзывания и сцепления от истории нагрукения и наличием разрозненных асимптотических-оценок. Вместе с тем получение новых данных требуется в различных областях науки и техники: теории упругости и механике разрушения, геофизике и геомеханике, теории износа и теории прочности,, горном деле, машиностроении, строительной механике и пр. ""

Цель работы: исследование вызываемого трением Кулона процесса образования, эволюции и взаимодействия зон сцепления и проскальзывания в области контакта ликейно-упругого тела, прижимаемого немонотонными нагрузками к абсолютно месткому основанию.

Методика исследований основывалась на применении специально разработанного программного комплекса, реализующего метод конечных разностей решения систем дифференциальных уравнений с частных производных и асимптотичеиза оценок для окрестностей Точек смены граничных условий.

Научная новизна заключается в установлении неизвеияых фактов проявлении закона трения Кулона в контактной области при однопара-метрическом нагружении, включающем разновидности полней и неполной разгрузок, и в получении асимптотических оценок предельного ксэ|£н фициента трэния и напряженного состояния в окрестности особых точек, возникающего при разгрузке.

Практическая ценность работы определяется возможностью исполь-

еозяшл и учета выявленных особенностей поведения зон сцепления и проексльзызанил различных типоч при контактном взаимодействии töji с тронном ь инженерное и геофизических приложениях.

Аппробедия результатов работы. По результатам работа были сделали доклады на сег.гаара по геомеханике (1КС, 1909-1993) и на 4-ом Мехрзспублжанском Оишояиуке "Остаточные напряжения: моделирование г управление" (г.Пермь, 149'.).

Структура и объеи работы. Основной текст состоит из введения, трех глав, заключения о основными кыводами и списка литературы. В трех приложениях приведены описания разработанного программного комплекса, мс-года реиения с-.истеш алгебраических уравнений и использованной разностной схемы. Общий объем диссертации составляет ебс. машинописного текста, в ток числе 66с. основного текста, из которых sc. занимают S рисунков и 15с.-21 таблица. Список литературы содержит 6? наименований. Приложения занимают 12с.

глава 1. задача синьорини и родственные ел контактные задачи

Об уровне у. кнтенсивкости ы:слериментальных и теоретических исследований природы трения можно судить по монографиям Крагельского К.В.. Кура Д., Бакли Д. Результаты исследований контактно]'о взаимодействия с учетом трения методами механики сплошной среды изложены в монографиях Галина Л.А.: Воровича И.И., Александрова В.М. и Бабешко В.А.; Александрова З.М. и Кхктаряня С.К!.; Джонсона К. _ .

Берховский A.B. и Рэшаш Д.С. экспериментально исследовали предварительное смещение контактных поверхностей, предшествующее переходу к полному сколькенкю, под дейсгвием сдвиговых нагрузок, а позднее Крагельским И.В. и Кснлхишм И.Р. были получены дополнительнее результаты, .близкие по тематике к предмету настоящей работы. ■

Прямых эксперимектсльных данных о предварительной смещении, вызванном пр120шзюци!,зг ■ нагрузками, не нашлось, хотя косвенное ис>дтвераде:ше его наличия следует из явлений, сопровождающих предварительное емещакие при сдвиговых пагрузкэх.

Задача Сичьорики с трениеь кулона без учета истории нагружешя сформулирована в монографии Дюво и Лкояса ( £ювс Г., Лионе К.-Л. Неравенства в механике и Физике. М.: Кьука, ^980. ЗЗЗз ).

Пусть д исследуемое тело, а Г его граница. В начальной стадии без напряжения тело соприкасается с аЗоолютно. жесткой опорой по часта границы Гл. Тело подвержено действии поверхностных сил Г£ на Г0 и/или заданию смэщоний о ^ на Г^ ), тсызаючих на в случае налитая контакта, отрицательлчь ьер^.дъкые напряжения и равные нулю нормальные перемещения и^, а и случае его отсутствия — Оу 0 и Уу < С гак, что

tty i 0; ow i О;

.V

= 0;

на Г .

(1.1 )

Контактное взятмодейотаие подчиняется условиям, накладнваемым законом трения Кулона. В той части контактной облаем Гс. в которой оказывается выполненным закон трения, возникает проскальзывав

о.» ! = / I о

.V

.3Î2U (' ог Up J < 0;

(1.2)

а там, где касательное напряжете а*, оказывается меньше силы трения, имеет место сцеплеаиз

I <>т I < / I % i ;

и.т = О,

(1 .У)

где / - коэффициент трения.

Эта задача нелинейна: во-первых, неизвестны сами границы контакта, во-втернх, в сОл&сти контакта заранее гоиоейстно располокепие еин сцепления и проскальзывания, и. наконец, особенности, возникающие нъ границах различных зон в скучйе немош »тонного изменения нагрузки, окагиьаптся лоцкшжми, меняклцши свой тип и порядок вплоть до полного есчезковекля.

Исследование контак7*ногэ взаимодействия с трениеи Ку.тона при немонотонной наз-рухении приводит к необходимости сформулирсьать задачу в приращениях.

К предмету настоящей работы таеют отношение следующие аналитические решетя задач о внедрения жесткого црямсуголч/сго итоияз ч 7яругу»> но пуплоскостs : с'ча учета трения (Оадозсккй М.А.),

с полга/м сцеплением (Мусхеяишвили Н.И., Абрамов В.М.) и с учетом образования зон проскальзывания и сцеплений (Галин Л.А.; Антипов Ю.А. и Арутюнян Ч.Х.).

В последнее время появились вариационные постановки контактных задач с трением, подчиняющимся другим, отличным от кулоновэ, законам трения: закону трения с коэффициентом, зьеисяшим от величины нормального напряжения (Гольдштейн F.B. и Спектор А.*.); закону трения, учитывающему появление пластических зон е окрестностях особых точек контактной области (Кравчук А.О.); закону тремя со сглаживанием не допускающим бесконечного росте касательных напряжений в особых точках (Оден Д.Т. и Парис Е.В.).

О каких-либо аналитических или деленных результатах, связанных с разгрузкой при учете трения Кулона и наличием геометрических особых ъочек в контактной области, не известно.

Вопроси численного решения, вытекающие из постановки, контактных задач с трением в виде вариационных неравенств, рассматривались е монографиях Глоеински Р., Лионса Ж.-Л.. Тремольера Р.; Главачека И., Гасжнгора Я., Кечаиа И., Ловишека Я.; Панагиотопулоса П.

Решение задач без явного учета особых точек численными методами в традиционной форме весьма затруднительно. Еше более затруднительным является пост}>оение численного метода, явно учитывающего особые точки в случаях, когда они подв/иш и меняют свой порядок и тип.

Асимптотические оценки для различных типов особых точек в контактной области с учетом тренкя приведены в статьях к монографиям Вллья^оа М.Л., Аксентян O.K., Содам Í.B., Каланшги А.И., Дундурса Д., Ли М.-С., Гдотоса Е.Е., Теокариса П.С.. Комниноу М, Нартина В.З., .lop.uwa П.И., Черепанова Г.П.

Гольда-!ойн Р.В. и Жи'пгиков Ю.В , рассматривая задачу о ллоской тредше-ралрезэ в упругой среде о учетом трогая при сложном HfirpyjKtííiiiH, -указали на возможность существования мон щюскальзнвашш л двух типов зон сцепления ( при скачке смешения равном к кс равно« кулю) и щкз&лли есимптотлчеекиЛ анализ некоторых csoíIctb поседейте решвнил в о.'фасткосгях особых точак.

Релул^таты создеслюго анализа йоимптщ'ичееклх оценок для услоьиЗ сиен летая м гроокьяьл1л:?ния отсутствуют.

ГЛАВА 2. ПОСТАНОВКА И ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СГСШОРИНЙ С ТРЕНИЕМ ПРИ НЕМОНОТОННОМ НАГРУ1ЕНИИ

Рассматривается плоская задача для тела прямоугольной формы, занимающего область д (О < х^ < О < х2 < 12). Поведете

однородного изотропного линейно-упругого ■ материала без учета оСьемнцх сил описывается системой уравнений Ламе

( \ + ц ) <11» Ни. + ц А Си- О, (2.1)

где Я > О и ¡1 > О - модули упругости, А - оператор Лапласа, Си * с'Ли(, 0и2) - вектор приращения смещений.

Предполагается, что тело покоится на абсолютно жесткой плоскости (Хр -0) и прижимается к ней действующими на верхней границе нормальными, равномерно распределенными нагрузками, кото-рыо сначала монотонно.возрастают, а затем с некоторого конечного значения уменьшаются до нуля или до значения, с которого процесс -попеременного увеличения и уменьшения прижимающих нагрузок повторяется. Далее а у - компоненты тензора напряжений = 1,2.).

Нагрухгение осуществляется заданием на верхней - границе тела капряженйя -р ( при монотонном увеличении нагрузки Ор > О, при монотонном ее уменьшении Ср < 0 ) или смещения; и2 =' ~8 ( соответственно С^ > О и бв < О ).

Боковая поверхность свободна от ..напряжений

о¿1 = О, о21 = О; х1 = О, О < хг < 12. (2.2)

На оси симметрии имеем

= О, а21 = О; х1 = 1/2 0 < х2 '< 12. (2.3)

Нижняя граница тела находится в контакте с полуплоскостью так, что там должны зыполняться условия

и2 = О, о22 < О; . О < х1 < г,, х2 = О. (2.4)

На граютт контакта можэт быть п зон сцепления, в которых касательное напряжение не превосходит силг сухого трения

биг = О, | o2t | < / J a22 J; Op < x1 < (2.r>)

I

и столько же, или на одну меньше, зон проскальзывания ( с учетом симметрии ), в которых выполняется закон трения Кулона

I o?i ! = / I i; bn_r «х, < а,,. (2.6)

Приращение смещения в зоне проскальзывания должно быть направлено в сторону противоположную касательному напряжению так, что

sign. ( o21 Su} ) > О. (2.V)

Для вибранной диаграммы чагружения в процессе решения должна быть найдена последовательность возникающих конфигураций точек смена граничных условий и их координат, определяющих типы и число зон.

Задача (2.1) ,- (2.7) решалась методом конечных разностей на равномерной квадратной сетке. Аппроксимация частных производных Еторогс. порядка внутри области осуществлялась со вторым порядком точности, а для' аппроксимации частных производных, входящих в граничные условия, использовались выражения первого и второго порядка точности. При построении разностной схемы явным обрезом не учитывалось наличие особых точек в контактной области, а в их окрестностях поведение численного решения сопоставлялось с асимптотическими оценками, результирующая система уравнений представлача собой систему линейных алгебраических уравнений с блочной трехдкагональкой матрицей коэффициентов, решение которой осуществлялось блочным методом матричной прогонки с последующим итерационным уточнением. Для определения заранее неизвестной -конфигурации проводилась последовательность расчетов с различными координатами о^ и Ьп и последущей проверкой выполнения неравенств '(2.4), (2.5) и' (2.7).

j Результаты определения конфигураций представлены в табачной фо£мо с использованием слэдущих обозначений: С0- узел разностной схемы, принадлежащей зоне сцепления (uf = С, 0и} = 0); С - узел, принадлежащий зоне сцеплэкия (u; * О, = О); D - узел зоны прямого проскальзывания; I - узел зоны обратного проскальзывания.

Модули упругости отнесены к модули А.. Для удобства представления и анализа результатов во литом приякмаэдис нагрузок выбраны порядка 1. Приведенные в табличной форме результаты получены с использованием разностной сетки ю*ю и учетом симметрии.

Па рис.1 представленн рэси«стречньб иаграммы немонотонного нагружешя.

Расчеты при монотонном нагружении (диэг.1), задававши в напряжениях, проводились для коэффициенте? П/чссона {0.05; О.Ю; 0.20; с.30; 0.40,- 0,45} и интерзалов коэффициентов трения, допускающих существование зон проскальзывания ( табл.1, V = о. и ). Для коэффициента Пурссока 0.2 была опредзлзна после дойатылыюоть и для нагрукеяил, осуществляемого путем зрдь-шя смешений. Результаты оказал/сь аналогичными.

Таблица 1

1кон фиг урр ЦЙИ Узлы разностной СХеМЫ Интерзалы

0 1 г 3 4 5 Ь 7 е 9 10 / •

1 п и Г» о о О 1> о о о о с 0.0 £/=$0.07Г>

£ о о о & «* 0 п о |> <> О с 0.074=?Д:О.Ю7

3 О I) о о о Р |> о о с о с о с 0. !01зф'<0.1ЭЗ

< О о и ь р 1» о о с о с о и о с 0,134г:Л<0.15Г>

ъ в ь о & в П о с о с о о о с о с С.15б£/£0.177

6 Р с о о о О я о с о с с" о с о с

7 О о ъ о с с о с о с о о <э о с о с 0.?.00^Г<©.21в

0 О С о ж» и о с о с о о о с о с о с о с 0.219^/<С.2?.1;

9 о о о о о с о с а с с с о с о с о с о с 0.2гг«У<0.247

10 о с о с° о с о с о с г> о о о о с о г. о с 0.243</=£0.2бб

11 о с о с о с о с О О о с о с о с с с Г» ° 0.267</

Увеличение кооф^ициента Пуессона при постоянном косчЕФиционтэ трения сначала приводит к уве,тачанию, ь затем к уменьшению зон цроокальзнзанпя. При атом обнаружено существование конфигурации тачек смены граничных условий с окаЯмл«.шими зонами сцепления.

Увэличсчие коэффициента гренил яри постоянной коэффициенте" . Яучеосна приводит к уменьпению зон проскальзывания. • Гстаноап^яя •

р.в

Диаграмма 1.

Р-в 1.0

Диаграмма а.

1.0

0.7

7

Р 1.0 0.4

Диаграмма 3.

1.0 0.7

7'"

р

1.0 0.4

Д;".агрйМма 4.

Гис. 1.

значения предельных коэффициентов трения, при достижении которых зоны проскальзывания полнЪстыо исчезают. Значения предельных коэффициентов трения при. возрастании коэффициента Пуассона увеличиваются, а при приближении коэффициента Пуассона к 0.5 уменьшаются.

При- отличном от нуля коэффициента трения отношение размеров зон проскальзывания и сцепления стремится к нулю и при уменьшении отношения размеров сторон исследуемого тела, и при его увеличении.

При монотонком нагружении конфигурация точек смены граничных •условий нэ зависит от пеличины нагрузки.

Графические результаты, представленные на рис.2-5, получены при монотонном нагружении для прямоугольного тела при V = о.з, / = 0.15, р = 1 ( разностная сетка 20хЮ без учета симметрии ) и масштабированы для удобства восприятия. На рис.2 изображено поле смещений. На рио.з поле максимальных касательных напряжений представлено в виде изолиний. На рис. 4 сплошной линией представлено штриховой - о^Сл^Д На рис. 5

сплошной линией обозначено - и^(х^), а штриховой - величина а01(х^) - / )• Эпюры построены при х2 = О.

В отличии от этапа нагрузки при разгрузке координаты точек смены граничных условий зависят от истории нагружения. Диаграммы нагружения 2-4 рассмотрены при коэффициентах Пуассона 0.3 и трения 0.15 и оконча!ши начального этапа монотонного нагружения при р = 1 или в = 1.

Для нагружения с последующей полной разгрузкой (диаг.2) после-• довательность возникающих конфигураций приведена в таблице 2. При разгрузке на начальном этапе появляется зона сцепления у краев. После смены знака касательного напряжения у края оставшаяся зона проскальзывания в цептре несколько возрастает в обе стороны, а при дальнейшей разгрузке у краев появляется проскальзывание в противоположном направлении. В дальнейшем эта зона распространяется к центру, вытесняя остальные.

Начальный этап разгрузки при коэффициенте трения.0.22 содержит отличия, связанные с существованием окаймляющей зоны сцепления на первом этапе нагружения. Окончание разгрузки протекает также, как и для конфигурации с окаймляющими зонами проскальзывания: зона обратного проскальзывания, распространяясь к центру, вытесняет остальные кони. • .

Рис.Э

«Ni

Рис „5

Кроме того, для коэффициента трения 0.15, та жэ диаграмма была рассмотрена при нагружении, заданном в смещениях. Результаты

Таолшха 2

N КОК Узлы разностной схемы

фиг а22

ура ЦИИ 0 1 г з 4 5 6 7 а 9 10

начальна» нагрузка

1 о о о о -1.0

Б 1> о о о о о с с с о

полная разгрузка

2 С с с с с о о о с о с о с о с 0.4201 -0.5799

Э С с о с с о о. 1> о с о с п о 0.0540 -0.5259

4 с с с с в о р в о с о с о с 0.1084 -0.4175

5 I с с с V о & о о с о с о с 0.0484 -0.3691

6 1 X с с о с & р и с о с о с 0.0748 -0.2Э43

7 X X X с с с с о о о о с о° 0.0156 -0.2787

8 1 X I с с с с ж> о о с о с 0.0010 -0.2777

9 I X X с с с о и г о с о с С.0583 -0.2194

10 X X с: о с о с о с и -с 0.0746 -0.1448

11 X 1 I ■ с с с о о с о с 0.0419 -0.1029

12 I X X X X X о с с о с о с О.ОЗЗО -0.0599

13 1 X X X X 1 X с с о о о с 0.0112 -0.0587

14 I X I X X X с с о о с 0.0150 -0.0437

15 I I X X X X I с о о с 0.0219 -С.0218

16 I X X X X 1 1 X X о о о 0.0177 -0.0041

17 I X X X X г X I X X о о 0.0041 0.0

оказались идентичными ■ результатам, полученным йри нагрукении, заданном в напряжениях.

Исследование диаграмм нагружения 3 и 4 выполнено для двух значений амплитуд: амплитуде а, не дояускающой образования зоны обратного проскальзывания на первом этапе разгрузки, и амплитуде ее допускающей.

. | . При' нагружении с промэх(уточной разгрузкой (диаг.з) на этапе повторного нагружения размер зоны прямого проскальзывания восстанавливается до величины, соответствующей начальному нэгруиению, 1гричем чем больше амплитуда промежуточной разгрузка.

тем большая величина прижимающей нагрузка требуется длч. восстановления расмера зоны прямого проскальзывания. В таблице з приведены результаты для амплитуда а. ,

Таблица 3

1« |Кон фКГ |уре ции Узлы разностной сгсмы ЯОоэ

0 1 2 3 4 5 0 7 а 9 10

1 начальная нагрузка о а ' о о -1.0

? промежуточная разгрузка о о о о сссссооссзс о.? -0.7

3 3 6 7 8 9 10 нагрузка еч о о о ссссаас'сссс о о о о сссспасссс с о о о о с с с к о а ,з с с и с о а г» и ссоввссисис а о ч о' сгоэоссассо <» о а ' о оРьоаооосса и о о о г*роооо а оссс > о с* о о о в оа ьпэссис -0.0265 -0.220"? -0.02&3 --0.С083 -0.0.013 -о.овзт -1.1121 •0.0001 -0,7^5 -0.9522 --0.5805 -0.9308 -0.9911 -1.0748 -2.1Й69

Нагрукенио с лослодукяими льрисдччегхзми циклами неполной разгрузки-нагрузки с постоянной амплитудой (дизг.4) хярактериэует-ся процессом затухания прямого проскэяьгыеенкя от центральной гоны сиегорния в направлении к угловым точкам, который, яаэисит от велгпшы амплитуды ( больша.'. емлштудз требует больше циклов ), и установлением напряженного состояния, не зависящего от количества выполненных впосле цствии циклов. Количество идалои, требуешх длл затухания прямого проскальзывания для чмплитуцг п. разно з ( .таблица 4 ), а для амплитуды о -• 4.

Для всех рассмотренных ияэгрэ?<м погружения нормальные напряжения в контактной области оставались отрицательными, то ость контактное взаимодействие кидде не нарушалось. По окончг.н»и гожноП разгрузки напряжения отсутствовали во взех точках тела, включзл. Т'ранкчныа. -

Таблица 4

N КОН фиг ура цли Узлы радостной схемы I Са22 °22

0 1 2 3 4 5 6 7 а 9 10

1 о в начальная нагрузка В В В |> о О С а а о с о с -1.0

ЦИКЛ 1

2 с с с разгрузка с а в в с° о с о с в . с 0.3 -0.7

нагрузка

3 а а с с о с с о с с а с о -0.0265 -0.7265

4 а с о с Б с в о с о а о с о С -0.2257 -С.9522

5 с с с о В о о о с о о о с ■ и а -0.0283 -0.9805

6 о с о В В о а о с а с о с о а -0.0083 -0.9888

7 а в в в в а а о с о <3 о о о с -0.0023 -0.9911

8 о б в в в о с о с а с о и о с -0.0089 -1.0

ЦИКЛ 2

разгрузка

9 с с с с а с о с о о с а 0.2082 -0.7918

10 а с а с а в а о с о с о с а с 0.0665 -0.7253

11 о с с с с в в о с о <1 а с о с 0.0253 -0.7

нагрузка

12 о с с о о о с о с а с о а о о -0.2623 -0.962?

13 а - с о о в о а о° а° о с с° -0.0298 -0.9921

14 с с о о о с о а с О с о в о с -0.0048 -0.9969

15 а а о 1 о о. с 11 о а о о «г с о с -0.0013 -0.9982

16 -1 о В о э о а . о° св о с и с -0.0004 -0.9985

<7 в о п о в о с о с а а о с о с -0.0014 -1.0

( продолжение ^ . Таблица 4

N кон фиг ура ции Узлы разностной схемч да2г °22

0 1 2 э 4 5 6 7 8 9 10

' ^ ЦИКЛ 3

разгрузка о с

18 о о с • с о с » с о •с ф с 0.2859 -0.7141

19 с с с с с р с о с о а о с о с 0.0102 -0.7039

20 с о с с . с о о о с о с о с о с 0.0039 -0.7

нагрузка о а о с

21 с а с а С с о с а -0.2942 -0.9942

22 с с а а О о с о с о о о с о с -0.0046 -0.9988

23 ' с с с о - о с , :' с о с о с о с о с -0.0007 -0.9995

24 с а о в 0-' с с о с о с о с о о -0.0002 -0.9997

25 о Б и х> о с . о о с о с о о о с -0.0001 -0.9998

26 1> О о о о с с о с о . с о с о с -0.0002 -1.0

ЦИКЛ 4

разгрузка о с о с о с о с

27 с а с с с • с • с 0.2979 -0.7022

28 с с с с с о с о а и с о о о с 0.0016 -0.7006

29 с о с - с с ' о о о <3 о с о с о а 0.0006 -0.7

нагрузка • о с о с

.30 с а о с с с с с . с Ч).29910-0.999Ю

31 с с с с о с с о с о с О ' о о с -0.00072-0.99981

32 с с а в о с с о о о с > о а о с -0.00011-0.99992

33 с о о о ' о с о о с о о о с о о -0.00003-0.99995

34 с г о о . I» с с о с о с о с о с -0.00001-0.99996

35 о о о о . о о • с • о с • о а о а о о -0.00004-1.0 I

ГЛАВА Э. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ (ЩЕНКИ ДЛЯ ТОЧЕК СМЕНЫ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯ В КОНТАКТНОЙ ОБЛАСТИ. СОПОСТАВЛЕНИЙ С ЧИСЛЕННЫМИ РЕЗУЛЬТАТАМИ

При рассмотрении асимптотических оценок используются полярная система координат ( г, Э .) и обозначения: ов, - для компонент вектора напряжений, иг, (¿0 - мл компонент вектора смещений. В контактной области вблизи точек смены граничных условий при г О теш место степенные особенности вида:

В В

ой ---Рп (6,£.;; 1„д =--Р (Ь.а); (зи)

4 °0 10 г1-8 >6

где <1 - з) - порядок особенности, причем из физических соображений О < в < 1: Р„ (в,а). Р*. (0,з) - известше угловые функции, °в хгв • ■

знак произвольной 'кэнстангы В определяется условиями контактного взаимодействия с тренпем.

Рассмотрим клин с углом раствора %/2. На одной образующей его стороне напряжения отсутствуют

Од — 0, ар0 = 0; в = %/2 (3.2)

На контактной стороне клина при условии контактного взаимодействия

ос п; 6 = 0, (3.3)

задано одно и? следующих четырех возможных условий. Проскальзывание без трения

Л-6 = % = 6 = 0. (3.4)

I • ' /

Прямое проскальзывание .с трением

/т:ге = /с0; ие = О; 6.= 0. (3.5)

Обратное проскальзывать с трением

"УО = ае; "в ~ 0;

е =. о.

(3.6)

Сцепление

I хге | < / 1 ов |; .

= О; п9 = О;

й = О, 0 = 0.

(3.7)

(3.8)

Направление проскальзывания определяется следующим условием

4( ТГ6 ПГ } (3'?)

Трансцендентное уравнение для рзссмогроиннх ч'ипоп проскальзывания (3.4) - (3.6) имеет обпий над

(3.10)

2 (1 - V) з1п ~< соз 7 + / ^ ¿з Сí-v^ + (1 - ¿V) в(п2 *) 1 = О,

где 7 = / 2. При отсутствии трения С/ = О) и обратном гроскальзньаяии (/ > О) кор"£И в интервале О < з < 1, а, следовательно, к особенность отсутствует.

Для сцепления трансцевдентноо уравнение имеот вид

(3 - чу.ч(г/ 7 - зг + 4 (1

VIе

v3.11 )

И для проскЕЛьзивп:гая и для сиеплония условия контактного взаимодействия. (3.3) шлюлмямтся при 3 > О.

При анализе асимптотически:; оценок для прямого проокельзызяния и сцепления поручена оценка .туч продельного коэффициента грония

Г -

[3 - (1 - 2т)] Гз + 2 (1 - V)]

1-

(3.12;

Коэффициент трекил меньше предельного будет допускать ирсскальзившгае в прямом направлении. Для 'маффициоптс третмя больше предельного имеет место сцепление.

2 первой стр-'ко таблицы 5 для некотор!^ коя^чционтоь Пуассона приведены ;'.нбчбнк.е1 / (З.'с), з м второй - иредольн»е коэффициента тсончя, получении« чис.вдш6.

Таблица 5

V 0.05 0.10 0.20 0.30 | 0.40 0.45

0.066 0.119 0.212 0.302 I О'.ЗЭ! 0.448

/ч 0.070 0.123 0.1942 0.267 { 0.2864 0.258

Анализ условий начала обратного проскальзывания з угловой точке имеет смысл при / < /*, так как при / > и нагрузка и разгрузка осуществляются без образования зон проскальзывания. В силу линейности задачи можно положить В пропорционально р х в?. тогда размерность Вг будет м'~а. Оценка ветчины приррщезия прижимающей нагрузки ,"ля условия возникновения обратного проскальзывания имеет вид

ор1 = - Г 0

8,

•с.

2ЦР

( Т +Г )

-(&/&)(£ /А )

(3.13)

Вп — 8п

Наличие в (3.13) члена г важно при интерпретации

численных результатов - сгущение оазностной сетки приводит к уменьшению Ор*, так как вр > аг..

Для точки, разделяющей зоны проскальзывания и сцешюкия, рассмотрим клин с углом раствора тс. На одной образующей его стороне задано условие сцэпления (3.3). <3.7) и (З.е), а на другой - проскальзывание в прямом (3.51 ели обратном (3.6) направлении при 6 = 1С.

Показатель особенности при прямом проскэльзнвании будет

1 2 (1 - v)

- агенд---+ и

% г гг» - 1) .

(3.14)

а при обратьом.проскальзывании

1 2 (1 - V!

- ОГО1р ----

л: г а -

(ЗИ5)

Оссбншюсть на границе между прямым проскальзыванием и сцеплением отсутствует, так как в противном случае невозможно

удовлетворить условиям (з.з) и (3.7). То же верно, и для обратного проскальзывания. *

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Методом конечных разностей в совокупности с асимптотическими оценками-проведено исследование плоской задачи Синьорини об одностороннем контакте с сухим трением Кулона линзйно-упругого тела прямоугольной формы, подверженного действию немонотонного нагружения. .

Получены следующие основные результаты:

1.Для монотонно-возрастающего нагружения установлены:

1.1.границы между зонами сцепления и проскальзывания ; фиксированы;

1.2.расположение координат точек смены граничных условий в контактной области в зависимости от коэффициента Пуассона, коэффициента трения и отношения размеров сторон прямоугольного тела;

1.3.существование конфигурации точек смены граничных условий с окаймляющими зонами сцепления;

2.Для диаграмм нагружения, включающих разновидности полной и неполной разгрузки, определены:

2.1 .последовательности • конфигураций точек смены граничных условий, не нарушающих условий- контактного взаимодействия и разделяющих контактную область на зоны прямого и обратного проскальзывая, и 'зоны сцепления с нулевым и ненулевым касательным смещением;

2.одновременное существование зон прямого и обратного проскальзывания;

2.3.для нагружения с промежуточной неполной разгрузкой условие восстановления исходного, размера зоны прямого проскальзывания при повторном нагружении;

2.4.для нагружения с последующими периодическими _ циклами разгрузки-нагрузки при постоянной амплитуде услорие затухания прямого проскальзывания от центральной зоны сцепления к угловым точкам и наступления напряженного

состояния, но зависящего 6т послодуицегс количества выполненных циклов.

I

Э.Для 'узловых точек контактной области получены асимптотические оценки:

3.1.предельного коэффициента трения;

3.2.приращений призишацего напряжения для равенства нулю касательного напряжения и для начала обратного проскальзывания.

Результаты проведенного численно-асимптотического анализа указывают па границы применимости имеющихся экспериментальных данных о предварительном смещении.

Публикации пс темь диссертации.

1.Численное 'решение контактной задачи с сухим трением и альтернирующими • нагрузками. В кн. ^"4-ый Мезфеспубликанокий Симпозиум. Остаточные напряжения: моделирование и управление", г. Пермь, зо июня - з июля 19э2 г. Аннотации докладов. ( е соавторстве с Л.В. Никитиным ).

. 2.Численное решение плоской задачи Синьорини с трением // Изв. РАН. МТТ. 199?. К 5. С.64-72. ( в соавторстве с Л.В. Никитиным ).

Ротапринт Зач.№ 1/154 тир. 100 акз. ?.У.04.93г.