Контактные задачи теории упругости с малыми зонами контакта тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГБ ОД

1 з ФЕВ 1595

СЛПКТ-ПЕТЕРВУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На прапах рукописи УЛК Г)39.3

АРГЛТОВ ИПЛН ИВАНОВИЧ

КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С МАЛЫМИ ЗОИАМИ КОНТАКТА

01.02.04.— исхаппка дефориирусиого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-матсматичссшк я пук

САП К'Г- II ВТЕР БУРГ 199С г.

Работа выполнена па кафедре теории упругости Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ — доктор физико-математических паук, С. А. НАЗАРО!

профессор

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ — доктор физико-математических паук, В. М. БАБИ1-

профессор

доктор физико-математических паук, М. В. ПАУКШТС

профессор

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ — Санкт-Петербургский морской технический университет

Защита состоится » £ " ЛиЪу),19э5 г< в часо1

па заседании специализированного совета К 063.57.13 по прису ждепию ученой степени кандидата физико-математических паук 1 Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 198904, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Библиотечная пл., 2 математико-механический факультет СПбГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М.Горького СПбГУ, Университетская наб. 7/9.

Автореферат разослал " ШЯК г.

Ученый секретарь специализировашюго совета,

кандидат физ.-мат. наук, доцент Нарбут М. А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Из большого 'тела важных практических вопросов, требующих разрешения коптактпых задач теории упругости, приведем для примера только одпп: необходимость прогнозирования давлений, передаваемых на основание, и оценки паиряжеипого состояния грунтовых массивов при проектировании фундаментов различных современных сооружений. Механическая постановка пространсавенных коптактпых задач обычно заключается п следующем. Предполагается, что на упругое тело, занимающее полупространство, производит давление другое абсолютна д.ссх;;ос (штамн). Для простоты счи тается также, что силы трения между поверхностями контактирующих тел отсутствуют. Различают постановку контактных задач с фиксированной зоной коптатега и постановку, в которой граница области контакта подлежит определению в ходе решения.

Линейная задача, (с заранее известной областью контакта)' приводится к некоторой смешанной краевой задаче теории гармонических функций, для решения которой были созданы методы, эффективные липп. при наличии канонической границы раздела краевых условий (окружность, ил липе), а тагак" близкой к пен. Рассматриваемые в диссертационной работе задачи для узкого кольцевого н плане штампа и сис омы удаленных друг от друга штампов имеют сложные d плане области когтиста. Важные результаты п решении задач этого класса получены в работах 13. М. Александрова, Л. Е. Лндрейкива, II.M. Бородачспа, Л. Л. Галина, Лж. Калкера, В. В. Папасгока и других авторов.

Серьезные математические трудности возникают при решении трехмерных контактных задач с неизвестной областью контакта, л то премл как па пути изучения плоских и осесимметриччыд задач достигнуты значительные успехи. С другой стороны было получепо много результатов, касающихся существования, едоп-

п О

ственности и регулярности решепнй задач, содержала« грашгч-ные услопня одпостороппего контакта. Разрабатывались и обосновывались численные алгорифмы. Но копилка аполитических • ретеииЙ задачи Сипьоршш остается и поныне практически пустой.

* I

Цель диссертационной работы — решение контактпых задач о взаимодействии удаленных друг от друга штампов и о давлении под подошвой узкого кольцевого штампа двух типов:

1) линейные — с фиксированными зонами коптакта;

2) пелипейлые — с пензпестньшн априори границами раздела краевых условий.

Метод нсследонштя. Решепие линейной задачи для системы штампов осуществляется методом сращиваемых асимптотических разложений, развитый в работах М. Вал-Дайка, A.M. Ильина,' Дж. Коула. и др. авторов. При рассмотрении примеров о пзаимодействш! круговых и оллиптических штампов привлекаются результаты, полученные А.И. Лурье'и H.A. Ростовцевым. Решение такой же по постановке задачи для узкого кольцевого штампа опирается на работы В.Г. Мазья, С.А. Назарова, В.А. Пламеневского и М.В. федорюка. "Плоский" погра-пичпый слой выписывается па основании результатов Н.И. Му-схелишвили. Исследование нелинейных задач с односторонними связями развивает идеи.С.А. Назарова.

Научная новизна и практическая ценность. В работе реализовал метод сращиваемых асимптотических разложений применительно к линейным контактным задачам; получены явные решения задач о взаимодействии круговых и эллиптических штампов. Построены главные члепы асимптотики решепия задачи Синьорины, в которой условия одностороннего контакта задаются па малых участках границы; исследованы качественные свойства решений нелинейной предельной алгебраической задачи. Получено в различных формах записи разрешающее уравнение для

гдашюго члена асныитошки погонного давления п контактной задаче о штампе, предеттлятостгм собой б плане узкое колтлто, срединную линия которого образует гладкий замкнутый контур; яп-пые решепия пайлепы п линейных задачах для "кругопого" коль-ценого штампа постоянной толыипы. Построены главные члены аспмнтотшш решения задачи о вдаилшалии и упругое иоауиро-странспю тороидального штампа.

Полученные результаты петнгредстьегшо могут бьш> использованы б инженерных расчетах, требующих разрешения далного класса контактных задач.

.Достоверность результатол обеспечнпается строгостью используемого математического .аппарата, сопосталленнем с результатами, изпестпыми п литературе, .а также сравнением решении, полученных различными методами.

Апробация работы. Осповпыб результаты диссертации докладывались па Международной конференции "Интегралише урапнепия и метод конечных элементоп" (Оберпольфах, Германия, октябрь 1994), на семинаре по математическим попросл.м теории дифракции (С.-Петербург, МОММ !1ЛН, декабрь 1904), а. •писке на. научных семинарах кафе/.ры теории упругос/ш Санкт-Петербургского университета.

Публикации. По материалу диссертации опубликовано дне работы.

Структура и оС-ъем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы на 0 страницах, включающего 124 наименования, и приложения па 18 страницах. Общи1, объем диссипации составляет 1-13 страшиш машшюшюшго текста, включая 7 рцеупкоа и а, 3 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введешш отпечена актуальность выбраппой темы, дан краткий библиографический обзор, сформулирована цель работы, описан метод исследования и анонсированы основные результаты.

Первая глава и, в частности, § 1.2 диссертации посвящены изложению метода сращиваемых асимптотических разложений па примере решения лилейной контактной задачи о поступательном вдавливашш в упругое полупространство (с модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона и) па одинаковую глубину 6 нескольких удаленны:: друг от друга штампов.

В § 1.1 для штампа с плоским гладким осповапием вводятся в рассмотрение центр давления его основания — точка с координатами X}, —• и так пазываемые емкостные характеристики (ноступательпая емкость с, тензор и матрица коэффициентов па^ вращательной емкости), играющие большую роль при построении нескольких первых членов асимптотических разложений. Основным результатом § 1.1 является формула

1 - у»

еж;

езз «К3»?) + тгз -сх°х% — ш« -сх? — т» с(х£)2 + ти

связывающая величину Рз равнодействующей и моменты Л/1э Л/2 относительно горизонтальных осей системы пагрузок, прижима ющих штамп с плоским основанием к поверхности нолубесконеч-пого тела, с характеристиками перемещения штампа <5, ¡5\ п Рх посредством величии, определяемых жесткостью упругого основания и геометрией области контакта,

В § 1.3 результаты § 1.2 конкретизированы для системы, состоящей из двух круговых или вллиптических штампов (при фиксированном числе удерживаемых членов в асимптотических разложениях с увеличением количества штампов растет только объем

с

б

пычислепий). Получены ггппьгс пчражсггпл для контактных давлений с точностью л о членов 0(е4), где е — положительный параметр, характеризующий малость липметроп огиопяттн штампов п срапиотш с расстоянием d между их центрами. Так, п ентувшш, изображенной иа рис. 1, для контактного давления под штампом, центр которого расположен п начале координат, имеет место сло-цуюшее асимптотическое предстаняение (с = 2d~x inax[ai,a2j):

J i с2 cic2 c2yic0s6i С2У2 sin^j

+ rrr-rrr--■^ГГ~ГТГ +

^K(ej) K(ei)d K(e!)cP Dfo )d2 B(è,)<P

+ с1с2 / у1 cos 01 ï-bsinojx :jc2yiî/2 8in?.ji

rp V D(d) B(cj) / 2(D(ei) — C(r1))d} .

~[соя2^ -Кг,(,)(Звт3<7| - l)]C,(cj{ [v\ + —^

\ r _ a

(') 2

_ici[cos20i -¡-^'(Ms.uVA - l)]c2(Cl) h/? - - oM }

2» \ J -1 / )

«w-----------

(з(«г<4)» - e?) (1 - [k(Ci> - S^Ôfc,)] '

Са(е,) =

2(gp))2(3g1(1) -1)2

- e?> (З(£г|1})г - e?) [сг^СЫ + {2a™ - 1)Ю(сж)] ' = 1 + + c> = ^ = W);

D(e) = 4lK(e)-E(e)], B(e) = K(e)-D(e), 0(e) = ±[2Ще)-Ще)),

С с

К и Б — полные эллиптические иптегралы первого и второго родов..

Рис. 1

Вторпн глава содержит асимптотические решения двух контактных задач с краевыми условиями одностороннего контакта, заданными на малых участках границы.

В параграфах 2.1 - 2.-J построена асимптотика решс;нш задачи Синьорипи о равновесии упругого тела па нескольких плоских малых гладких опорах. Если число "точек" опиралпя panno треп, то пензиестныи реакции могут быть определены исходи из упап-ттегтй раттояесит тела; ттаиртасетточ состояние тела па удалении от зон контакта моделируется при помощи вектор-функции Грипа, а в области местных возмущений — онисьшаехся решениями соотистсгпуюпуг: т'~птпктттт,тх гчпл^ч. Спеттфикл задачи Си-' ш.иршш ирояиллетсл, когда число опор болт,тле трех (при ^том априори неизвестно какие га них будут вступать в контакт). В результате асимптотического анализа шнеазапо, что основные деформации тела разовьются п окрестности малых зон контакта, а само опо п целом получит некоторое жесткое смещение (осадку). Выведепа предельная алгебраическая задача, связывающая величины опорных реакций и параметры осадки тела (поступательное смещение и угли попорота); псслпдоппгп качественные cüqü-ства ее решений. Получены достаточные условия того, чтобы голо опиралось на ¡ico опоры. Введено понятие неустойчивости равновесия в асимптотическом смысле, характеризующее, и примеру, ситуацию, и которой опоры расположены вдоль нри.лоП.

В 'j 2.5 рассмотрена задача о давлении на границу упругого нолубесконечиого тела штампа с плоским гладким основанном, для которого возможпая область контакта состоит из нескольких малых зон, центры давлений которых имеют координаты х],xj¡ ...; Искомыми и данной задаче выступают вектор смеше-

ний точек полупространства и перемещение "игольчатого" штампа; заданными считаются величина Fj прижимающей штамп силы и точка ее приложения (ípíj).

Задача равновесия абсолютно твердого тела, опирающегося

на гладкую плоскость в нескольких точках, ранее рассматривалась лишь в рамках-статики. Когда число точек опоры превышает три, эта задача становится статически неопределимой и приходится привлекать дополнительные гипотезы, учитывающие упругость основания.

Асимптотический метод при определении в главном реакций основания П.%Д; и характеристик результирующего смещения штампа ¡3% и Р2 в случае, когда золы возможного контакта достаточно удалены друг от друга, приводит к нелинейной алгебраической задаче, включающей уравнения равновесия штампа

1^3 = £! + ... +Я.,,

= +... + Х^Лзь

а также условия "точечного" одностороннего контакта

6 - р2х[ + >0 Щ = - Р2Х> + /3^1).

В третьей главе изучается линейная контактная задача для штампа, представляющим собой в плане узкое кольцо (переменной толщины), срединную лишпо которого образует замкнутый гладкий контур Г. Обосновывается гипотеза Галина, согласно шторой распределение давлепия в поперечном направлении в главном будет таким же, какое получается на основании решения соответствующей плоской задачи.

В результате асимптотического анализа для главного члена асимнтотшги погонного давления Р выводится интегральное уравнение. Явный вид входящих в пего операторов получен в следующих случаях: 1) задала естественная параметризация срединной

лншш основания; 2) задано конформное ото б ранте tu te окружности па контур Г; 3) если кривая Г звездная относительно начала поляр поп системы координат и известна лаш;сш,ш<ль радиуса от угла; 4) если контур Г ог£>ашгчнвает строго выпуклую фигуру и параметризован углом поворота касательной.

Приведем два примера для штампов с плоскими основаниями. Так, шггенсггппость Г поптптстгтго л?тлег*тт, пассчиташтго па единицу длины срединной. окружности радиуса II, иод кольцевым штампом в главном удовлетворяет уравнению

lü{mit/h)F{Ü) + (JI>)(0) = ~~- (о + РзЛсонг - ihRbinS) ; (1)

¿,(1 — и )

здесь h — полуширипа кольца (Л « II), ó — поступательное перемещение, p¡ и ßi — углы поворота ытаипа, а интегральный оператор J действует по формуле

а*

)(ö)= 2 У 2|sin[(r - б)/2]"[

о

Решение уравнения (1) имеет вид

= щЬ) 1гно4м)+ АН •

Если срсдинпую линию основания штампа образует о л лике с йкс-

ценгриситетом с и большей полуосью п, то при постушпольиом вдавливании штампа погонное давление в гимном удошкмиормс! такому уравиению:

+ !пл/1 -е'cos1 ff] + (ЗГ){0) + = -¿¡

1 h 1 l ¿\ 1 ■ v*)

здесь оператор к определен формулами

(кР)(б)=| / К(0, т)Р{т) с!г,

в-х

1«т,0) =

81§п(0 - г) 81П [(0 + Зг)/2]

1 - еа соа3 [(С -}- т)/2| + >/1 ~ е2 соз2 [(0 + г)/2]\/1 - е1 соз2 г

Если вксцептрпсптст оллипса мал, то качественную картину позволяет парисовать следующая простая формула: '

Р(0).

жЕ

2(1 -г/3) 1п(16о//г)

, . с2(1 + соз2 0) ( с" V * ' 61п(16а/Л) \Ь(10а/Л)Л

¿«ДА"4

я

а* .'. ; \

ОС,

Рис.2.

Кроне того, получены аналитические "решения ряда задач. Изучено влияние на распределение погонного давления сосредоточенной нагрузки, действующей пне узкого кольцевого штампа постоянной толщины (см, рис. 2). Если штамп вдавливается тахс, что его основание доляшо оставаться горизонтальным, то для осуществления такого поступательного перемещения штампа к нему необходимо приложить силу

с эксцентриситетом

_ 1п(16Д/Ь)__¡K(k)-E(k)]Ql

R ~ ln(16ñ//») - 2 ' z*E{2{\ - v*)]-lR6 - kK(k)Qi'

Если же положение прижимающей штаып силы фиксировать (к примёру, ось действия силы Q проходит через центр штампа), то результирующее смещение штампа будет включать в себя еще и некоторый поворот. При этом величина осадки штампа 6 находится из формулы (2) по известному значению силы Q, а поворот штампа /?2 определяется из условия рапепства пулю проекции главного момента действующих па штамп нагрузок па ось хп (пересекающей линию действия силы Q) и равен

Найдено приближенное решение задачи о изаимодействии уда ленных друг от друга кольцевых штампов. В квадратурах получено решение обратной задачи определения -толщины штампа по известным значениям осадки и погонного давления.

В четвертой главе рассмотрена контактная задача дли то роидального штампа, у которого средиппая линия горизонтального сечешш совпадает с окружностью радиуса R, а вертикальное снизу ограничено участком параболы с радиусом кривизны /»

в вершине (р « Л). Показало, что напряженное состояние полупространства в области местных возмущений (под узкой кольцевой зоной контакта) в соответствии с гипотезой Галина в главном описывается решением соответствующей плоской задачи. Подробно исследована осесимметричная задача. Получено уравнение, связывающее величину О прижимающей штамп силы с его перемещением 6.

(х I тг2ЕВ? ,, Л Л ж2ЕЛг

а также зависимость полуширины Ъ кольцевой области контакта от силы

-4

2(1 -и2)С}р

п2ЕП

Построена асимптотика решения трансцендентного уравнения (3). Найдено, что верные качественные и неплохие количественные результаты позволяет получить следующая простая формула — результат приближенного обращения пелипейпой зависимости (3)

Л к2ЕП 6

(} =

1 —1 и . ■ К • . • 1 л/рй -.2

В приложении методом сращиваемых разложений строятся главные члены асимптотики решение задачи о передаче нагрузки защемленной но контуру^ тонкой.круглой-пластинке через впа-япное абсолютно жесткое малое эллиптическое включение. Выводятся соотношения, связывающие ш. главном компоненты вектора силы, прикладываемой к включению, и компоненты вектора результирующего смещейия. Полученные результаты обобщаются на случай нескольких вз&имодействуюпдах "разорисптиро-ванных" малых шглючений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Дли штампа с плоским гладким основанием введены так называемые емкостпые характеристики, играющие пеггтрдлытую роль при ностроепии нескольких первых членов асимптотики в методе сращиваемых разложений. Получена формула, связывающая величину равнодействующей и моменты системы нагрузок, прижимающих штамп с плоским основанием к поверхности уиру-км-о иолубес№пстшого тслп,; с характеристиками перемещения штампа посредством величия, определяемых жесткостью упругого основания и геометрией области контакта.

2. Реализован метод сращиваемых асимптотических разложений применительно к линейпым контактным задачам; получены явные решения задач о взаимодействии круговых и еллингиче- -ских штампов. ■

3. Построена асимптотика решения задачи Синьорини об уп-рушм м«ле, которое под действием внешних нагрузок молют опираться на несколько малых опор. Исследованы качественные свойства решений.

<1. Рассмотрена контактная задача о давлении па границу упругого полупространства штампа с плоским гладким оспопапием, для которого возможная область контакта состоит ил по скольких малых зон. Построены главные члены асимптотики решения.

5. Обоснована гипотеза Галина для штгштш, ирсдст.шлшощем собой в плане узкое кольцо, срединную линию которого образует гладкий замкнутый контур.

0. Получено в различных формах записи разрешающее ур^а иение для главного члена асимптотики погонного данлеиин пол узким кольцепым штампом; найдены аналитические решения рнда линейных задач для узкого кольцевого ни айна постоянной юл шины.

7. Построены главные члены асимптотики решения задачи о вдавливании в упругое полупространство тороидального штампа, для которого возмогшая зона контакта представляет из себя узкое кольцо с пеизвестпой априори шириной.

ПУБЛИКАЦИИ

1. Аргатов И. И., Назаров С. А. Асимптотическое решение задачи Снаьорини с малыми участками спободпой гранили // Сиб. ыатеы. журнал, 1994, Т. 35, А&2. С. 258-277.

2. Аргатов И. И„ Назаров С. А. Асимптотическое решение задачи об упругом толе, лежащем па нескольких малых опорах Ц ПММ, 1994, Т. 58, А£>2. С. И0-118.

Подписано к печати Заказ 35 Тираж 100 Объои I п.Л • .' ПМЛ С.-ПбГУ ■ 199034; Сашст-Петербург, ваб. Макарова, 0.