Теория вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров в уравнениях механики гетерогенных сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Бушланов Владимир Петрович

ТЕОРИЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОСРЕДНЕННЫХ ПО МЕЖФАЗНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПАРАМЕТРОВ В УРАВНЕНИЯХ МЕХАНИКИ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД

01.02.05 - механика жидкостей газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Томск - 2004

Работа выполнена в очной докторантуре Томского государственного университета на кафедре математической физики и в Отделе структурной макрокинетики Томского научного центра СО РАН

Научный консультант:

д. ф.-м. н., профессор Шрагер Эрнест Рафаилович (Томский государственный университет, г. Томск)

Официальные оппоненты:

академик. РАН Липанов Алексей Матвеевич (Институт прикладной механики УРО РАН, Удмуртский научный центр,

г. Ижевск)

д. ф.- м. н., профессор Воеводин Анатолий Федорович (Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН,

г. Новосибирск)

д. ф.-м. н., профессор Бубенчиков Алексей Михайлович (Томский государственный университет, г. Томск)

Ведущая организация:

Институт механики РАН, Уфимский научный центр, г. Уфа.

Защита состоится «^6» декабря 2004 года в «. АО часов на заседании диссертационного совета Д 212.267.13 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Томском государственном университете по адресу: 634050, Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан «_^_>> сентября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук

Ю.Ф. Христенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Уравнения механики гетерогенных сред, записанные методом пространственного осреднения, применяются при моделировании физических явлений в гетерогенных средах и'3. Область применения указанных уравнений очень широка. Это описание явлений в стесненных условиях: среды плотно упакованных порошков,- капель, пузырей, капель органических жидкостей (нефти, масел) в воде и капель воды в указанных жидкостях, пузырей в жидкостях, твердых частиц в жидкостях и жидкостей в твердых пористых средах и т.д.. В отличие от уравнений механики гетерогенных сред записанных феноменологически \ уравнения, полученные пространственным осреднением, имеют то преимущество, что содержат в явном виде выражения для осредненных параметров фаз (в том числе таких величин как тензоры напряжений в фазах, интенсивности межфазного обмена массой, импульсом, моментом импульса, энергией), от функции локальных параметров фаз. Получение указанных выражений в виде зависимостей от средних макроскопических параметров, является актуальной задачей при моделировании гетерогенных сред на основе уравнений, полученных методом пространственного осредненния. Более того2, "Реализация этих выражений, приводящая к реологическим соотношениям теперь уже только между макропараметрами (которые можно называть явными реологическими соотношениями) и, как результат, к замыканию системы уравнений, должна производиться с учетом структуры и физических свойств фаз в смеси. И это есть основная проблема при моделировании гетерогенных сред".

Цель работы. Создать теорию вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров фаз, использующихся в уравнениях механики гетерогенных сред, на основе нового уравнения для функции распределения удельной межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей.

Научная новизна.

1. Записано уравнение для функции распределения удельной межфазной поверхности в гетерогенной смеси от углов наклона ее нормалей. Из

уравнения для функции распределения получено уравнение для функции признака, являющейся осреднением заданной на межфазной поверхности функции от локальных координат поверхности и ее нормалей. Получены уравнения для коэффициентов ряда в разложении функции распределения и логарифма функции распределения по сферическим функциям в случае, когда межфазной поверхностью является свободная поверхность ньютоновской жидкости. В указанном случае показана независимость системы уравнений для коэффициентов ряда до вторых гармоник включительно от системы уравнений для коэффициентов ряда гармоник выше второй. Записана точная формула вычисления удельной длины линий образованных пересечением межфазной поверхности с плоскостью заданной вектором нормали.

2. Разработан метод дополнительного пространственного осреднения (ДПО). Этим методом получен аналог формулы Стокса для гетерогенной среды. Формула выражает среднее по межфазной поверхности скалярное произведение локальной единичной нормали и локального вихря вектор функции, определенной на межфазной поверхности, через дивергенцию среднего по межфазной поверхности векторного произведения указанных локальных векторов. Как следствие формулы, получены точные выражения средних по межфазной поверхности объемных плотностей поверхностных сил Лапласа, объемных плотностей момента импульса и мощности сил Лапласа в виде зависимостей от тензора удельной межфазной поверхности и средней скорости фазы на межфазной поверхности.

3. Из уравнения для признака и сформулированной топологической гипотезы, записана система уравнений для осредненных по межфазной поверхности локальных параметров фаз и их функций, входящих в осреднен-ные уравнения механики гетерогенных сред, в том числе получены уравнения для средних топологических характеристик межфазной поверхности -удельной поверхности и компонент тензора удельной поверхности.

4. Получена система уравнений механики гетерогенных сред в случае, когда межфазной поверхностью является граница раздела несжимаемых ньютоновских жидкостей, на которой действуют поверхностные лапласов-ские силы. Система уравнений записана из известной общей системы уравнений механики гетерогенных сред [1], а уравнения для средних по межфазной поверхности параметров, входящие в систему, получены из системы уравнений для осредненных по межфазной поверхности параметров фаз, в том числе использованы уравнения для средних топологических характеристик межфазной поверхности. Осреднением по межфазной поверхности уравнений, выражающих на границе раздела равенство локальных скоростей фаз, касательных напряжений в фазах и равенство разности нормальных напряжений лапласовскому давлению, получены дополнительные уравне-

ния, замыкающие систему уравнений механики гетерогенных сред в указанном случае смеси фаз ньютоновских жидкостей.

5. Решена задача о спекании в невесомости упакованных в виде сферического слоя капель несжимаемой ньютоновской жидкости, находящейся в другой несжимаемой ньютоновской жидкости в сферически симметричной постановке. Решения получены для случаев, когда центральная область упаковки занята фазой капель или фазой жидкости окружающей капли. Уравнения задачи записаны на основе замкнутой системы уравнений, использующей точные выражения для- объемной плотности лапласовских сил, средних топологических характеристик межфазной поверхности и других точных уравнений для осредненных по межфазной поверхности параметров фаз. Показано, что уравнения, для средних величин безразмерных скоростей фаз, средней по межфазной поверхности скорости, объемных долей фаз,

и-

внешний начальный радиус упаковки, - вязкости фаз, р® - плотность

жидкости окружающей капли, £0 - коэффициент поверхностного натяжения на границе фаз, d - начальный диаметр капель) и отношения массовых плотностей жидкостей. Показано, что если начальная удельная поверхность пропорциональна объемной доле фазы, то гладкое сферически симметричное решение существует только в случае экспоненциальной зависимости начальной функции объемной доли спекаемой фазы от радиуса. Определена область начальных безразмерных параметров включающих меньший радиус упаковки и два коэффициента в начальной функции объемной доли, в которой существует сферически симметричное решение.

Достоверность полученных результатов следует из корректности физической и математической постановки задач и методов их решения, точного выполнения законов сохранения и граничных условий и качественное соответствие результатов решения задачи о спекании с результатами известных из литературы экспериментов и численных расчетов.

Практическая и теоретическая значимость работы.

Введено новое понятие-функция распределения удельной межфазной поверхности в гетерогенной среде от углов наклона ее нормалей и получено уравнение для ее определения. Указанное новое уравнение может применяться как в механике гетерогенных сред, так и в других приложениях, где необходима информация о средних топологических характеристиках поверхности.

Создана теория вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров входящих в систему уравнений механики гетерогенных сред. Это позволяет при определении указанных параметров не использовать приближенные представления о структуре межфазной поверхности, а использовать точные уравнения для определения удельной межфазной поверхности и других средних по межфазной поверхности характеристик гетерогенной смеси в зависимости от времени и координат.

Разработан метод дополнительного пространственного осреднения в механике гетерогенных сред, который может использоваться при получении выражений для средних параметров вдоль линий пересечения плоскости с межфазной поверхностью. Указанным методом получены аналоги формулы Стокса для гетерогенной среды и из них записаны точные формулы для объемных плотностей лапласовских сил, необходимые во многих приложениях. Методом дополнительного пространственного осреднения получена точная теоретическая формула для удельной длины линий пересечения плоскости с межфазной поверхностью, которая может использоваться в приложениях.

В точной постановке решена задача о спекании в невесомости сферически симметричной упаковки капель, находящейся в несжимаемой жидкости. Указанное точное решение, может быть использовано при моделировании явлений, связанных с разделением жидкостей, например, нефти и воды, масел и воды, жидких металлов и др. Основные положения, выносимые на защиту.

1. Уравнение для функции распределения удельной площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей и его решение в случае, когда границей раздела является свободная поверхность ньютоновской жидкости.

2. Метод дополнительного пространственного осреднения в механике гетерогенных сред и полученные этим методом аналоги формулы Стокса и формулы для объемных плотностей лапласовских сил и объемных плотностей момента импульса и мощности лапласовских сил.

3. Уравнение для признака - осредненной по межфазной поверхности функции локальных параметров фаз, в том числе уравнений для средних топологических характеристик межфазной поверхности - удельной поверхности и тензора удельной поверхности.

4. Теория вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров фаз, входящих в систему уравнений механики гетерогенных сред, полученную методом пространственного осреднения.

5. Система уравнений механики гетерогенных сред в случае, когда межфазной поверхностью является граница раздела несжимаемых ньютоновских жидкостей.

6. Результаты решения сферически симметричной задачи о спекании в невесомости капель несжимаемой жидкости, находящихся в другой несжимаемой жидкости и упакованных в виде сферического слоя. Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах Отдела структурной макрокинетики Томского научного центра СО РАН, в Институте прикладной математики и механики при Томском госуниверситете, на семинаре в Институте физики прочности и материаловедения Томского научного центра СО РАН, на 7 Международном симпозиуме по самораспространяющемуся высокотемпературному синтезу (Краков 2003), на семинаре академика Р.И. Нигматулина в Институте механики Уфимского научного центра РАН, на семинаре кафедры математической физики Томского госуниверситета, на конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов (ИФПМ СО РАН, Томск, 2004), на 4 международной конференции "Хаос и структуры в нелинейных системах. Теория и эксперимент" (Караганда, 2004).

Публикации.

Результаты диссертации представлены в 20 работах, из них 19 - в журналах, 1 в материалах Международной конференции.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, 6 разделов, заключения и списка использованных источников. Общий объем диссертации 248 страниц, включая 15 рисунков, 143 наименования в библиографическом списке.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, формулируется цель работы, научная новизна полученных результатов, положения, выносимые на защиту.

Раздел 1. Метод пространственного осреднения в механике гетерогенных сред. Целью данного раздела является введение в терминологию и обоЛ [1]

значения принятые в главе 2 из посвященной методу пространственного осреднения однофазных уравнений механики сплошной среды, применяемому при получении уравнений механики гетерогенных сред. Сформулированы основные допущения, записана система уравнений механики гетерогенных сред из[1], полученная методом пространственного осреднения. Для замыкания указанной системы необходимо создание теории вычисления интегралов по межфазной поверхности следующего вида:

uo12 ds12

и интегралов по линиям пересечения межфазной поверхности с поверхностью ограничивающей представительный объем гетерогенной смеси вида:

где штри^ ^я^ывает на локальные величии^ индекс (п)- указывает на зависимость фг(п) от направления нор малик поверхности ск, <1512 - межфазная поверхность в представительном объеме dV гетерогенной смеси, <11,2 - линии пепесечения межфазной поверхности с поверхностью с!8 ограничивающей (IV, - удельная длина линий пресечения межфазной поверхности с плоскостью заданной нормалью Здесь не ставится задача написания литературного обзора по методу пространственного осреднения в механике гетерогенных сред, потому что существуют монографии [1-3] Р.И. Нигматулина, в которых детально рассмотрен метод пространственного осреднения и записана система уравнений механики гетерогенных сред в наиболее полной и удобной для использования форме. Поэтому, в настоящем разделе поставлена цель введения терминологии и обозначений, сформулированных в [1] чтобы дальнейший материал воспринимался как метод, предназначенный для замыкания системы уравнений механики гетерогенных сред, полученных методом пространственного осреднения. Для того чтобы наиболее полно представить себе метод пространственного осреднения в механике гетерогенных сред, необходимо обратиться к [1] В рассматриваемом разделе поставлена задача о вычислении осредненных по межфазной поверхности параметров теоретическими методами с помощью уравнения для функции распределения площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей и метода дополнительного пространственного осреднения.

Раздел 2. Теория уравнения для функции распределения площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей. При моделировании многих физических процессов необходимо знание средних топологических характеристик поверхности. Например, в осредненных уравнениях механики гетерогенных сред [1] необходимо знание удельной межфазной поверхности, значения интегралов по межфазной поверхности, являющихся средними величинами локальных характеристик среды на межфазной поверхности (скорости, давления, тензора скоростей деформаций, вихря скорости и др.).

ф1(п) = 1{;> <Ф; Jo'rd'l,

(2)

ds(n) «"и

Под указанными интегралами в качестве сомножителей присутствуют компоненты единичной нормали или произведения компонент нормали, как в тензоре удельной поверхности [3]. С целью вычисления таких интегралов по межфазной поверхности, в данном разделе введено понятие функции распределения площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей и записано уравнение для нахождения этой функции распределения. Идея получения уравнения происходит из следующей постановки задачи: пусть

известны скорости каждой точки межфазной поверхности в некото-

рый момент времени t - найти координаты межфазной поверхности в момент времени t+dt, если известны координаты в момент t. Поставленная задача в указанной постановке могла быть решена, и положение поверхности в момент t+dt могло быть найдено, затем можно было бы определить средние топологические характеристики поверхности в момент времени t+dt. Указанная идея возможности определения средних характеристик поверхности, если известна реализована с помощью введенной функции распрепеления площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей s(t,x,9,<{>):

s(t,x,e,<|>) =

— JL

(3)

аУ(Ю

где суммирование проводится по площадкам межфазной поверхности с номерами х> находящимся в представительном объеме гетерогенной среды dV и имеющим заданные углы нормали 0 и ф в телесном угле (Ю, где 9

- угол между нормалью и ортом е - декартовой системы координат, а угол ф - отсчитывается в перпендикулярной к вектору е ' плоскости. Из определения функции s следует, что s(t,x,8,<|>)dVdíí- есть площадь межфазной поверхности в объеме dV, нормали которой имеют углы наклона 0 и ф и лежат в телесном угле díí = sin 6d0dф, так что

я 2я

s12 = J Jssin0d0dф,

(4)

где общая площадь межфазной поверхности в единице объема, которая называется удельной поверхностью.

В пункте 2.1 записаны в удобной для дальнейших целей известные формулы для производной по времени единичной нормали

n = {sin9cos((>, sin0sin<|>, cosO} к поверхности в следующем виде: = n[n(nV)V]-(nV)V- nx rot V •

(5)

где - скорость точки поверхности. Записаны локальные соотношения на межфазной поверхности, являющейся свободной поверхностью ньютоновской жидкости:

— = -Пх n , n(nPnчеи) -е1 n4elq = 0, dt 2

(6)

где П = rot V, ем - тензор скоростей деформаций.

В пункте 2.2 выведено уравнение для функции распределения площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей s(t, х,9,ф) в следующем виде:

§- + div(s<V>,^)—l_A[sin0snP(ne)4(V<.vP) ]_ at sinO од

__1__д_

sin2e 5ф

[5П-(П4)Ч^У))2Д]= s(5p4-npnq)< VpVq >1гп, (7)

где По повторяющимся индексам поразумевается сум-

жирование и где введено осреднение следующего вида: >|2>п5сЮ = Х07,уР>,<18х-

Суммирование в последнем выражении проводится по площадкам межфазной поверхности с номерами , % находящимся в представительном объеме и имеющим заданные углы нормали в телесном угле

Показано, что среднюю по межфазной поверхности величину функции можно записать используя функцию распределения в

следующ™ muf

<ф'>)2=^- I {—Js(t,x,e^(t,x',n)dn}d'S.

dbI2 dS|2 s,j n

Уравнение для функции признака, являющейся осредненной локальной функцией по межфазной поверхности, получено методом моментов из (7) в следующем виде:

В случае Ф = 1 из уравнения для признака получается следующее уравнение для удельной межфазной поверхности:

от

(10)

В пункте 2.3 получено решение уравнения для функции распределения (7) в случае, когда межфазная поверхность является свободной поверхностью ньютоновской жидкости, на которой отсутствуют касательные напряжения. Показано, что в этом случае уравнение (7) имеет вид

Решение уравнения для функции распределения s ищется в виде разложения по сфесическим сЬункниям:

3= £ 2 8^т(1,х)рИ(со50)е^,

j=0m=-j

где рН(со80) - присоединенные полиномы Лежандра. Для коэффициентов

ряда из уравнения (11) методом моментов получается следующая

система уравнений для ] < 3:

О8г>0 {у^,-, -^Д-^,., +82,),()} +

+- < прп3 > Бр3 -- < прпч > ем = 0, 2 2

ББ,, + у , 0.-Б, 0, >+ < пр > ер' -1 < п" > б"2 = 0, (12)

—►

+3 < прп' > ер1 + 3 < прп3 > £р3 —31 < прп2 > ер2 -31 < прп3 > ер3 = О —>

6б22 + у {-ИБг,,-282,>21Б22} + 3 < прп' > ер| -3 < прпг > ер2 +

+ 61 <прп' >ер2 + 61 <прп2 >£•" =0, где введены следующие обозначения:

68 = £ + «Иу(»$), в;т =5 2 (к + т)!

<прпч >=

8^0-8^.. ^ ^2,-2 . ^2,2 ~^2,-2 ^ + 32|

12 12 6

3 12 6

8о.о + 2820

.(14)

3

V \ г

Отметим, что система уравнений (12) является замкнутой, так как из того что

8 2,1 = ^2,-1 • ^2.-2 = 82>21 = 55,,, где черта над символом обозначает знак сопряжения, и (14) 5о,о 1

800 =<п'п' > + <п2п2 > + <п3п3 >=1,

г» 1 2 2 I г 3 11 1

Б,» =--<П П > — <п п > + <п п >= —<п п > —

82,1 = 3 < п'п > -¡3 < п п >, (15)

>2.2

522 =3<п'п' >+3<п2п2 >-16<п'п2 >,

Б,, =< п1 > -1 < п2 >, Б, 0 =< п3 >.

Из уравнений (12)-(15) следует, что в случае, когда межфазная поверхность является свободной поверхностью, отделяющей несжимаемую ньютоновскую жидкость от газообразной среды, решение представимо в виде ряда по сферическим функциям. При этом, первые коэффициенты ряда до вторых гармоник включительно, находятся из системы уравнений независимой от системы уравнений для остальных коэффициентов ряда, а указанные первые коэффициенты ряда выражаются линейно с постоянными

коэффициентами через компоненты тензора < прп11 >. Из замкнутости системы уравнений (12)-( 15) следует, что если начальная функция распределения представляется в виде отрезка ряда

(16)

то решение имеет вид такого же отрезка ряда, где функции находятся из

системы уравнений (12), с учетом обозначений (13), формул (14)-(15) и начальных условий (16).

В пункте 2.4 решено следующее уравнение для логарифма функции распределения площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей в случае, когда межфазная поверхность является свободной поверхностью:

So некоторая константа размерности 8. Решение уравнения (17) ищется в виде следующего шла по ссЬеоическим Функциям:

™ = | I у^(1,х)рН(со88)е!п*.

рО 1

(18)

Методом моментов из уравнения (17) и представления (18) получена замкнутая система уравнений для значений ] < 2 в виде двух независимых подсистем: 1) ]=0,2; 2) ] = 1, а именно

Из системы уравнений (19)-(20) следует, что если при 1=0 у^т(0,х) = 0, для значенищ>2, то и при г>0 функция W = 1п— представляется отрезком ряда

(18), в котором Показано, что, в системе уравнений для коэффици-

ентов ряда (18) при ,)>2 каждое уравнение независимо от других. Таким образом, приходим к следующему выводу для случая, когда межфазная поверхность является свободной поверхностью. Если начальная функция рас-§

пределения чу = 1п— при 1=0 представима конечным отрезком ряда по сферическим функциям, то решение является конечным отрезком ряда по тем < же самым сферическим функциям.

В пункте 2.5 методом дополнительного пространственного осреднения (ДПО) вычислена средняя удельная длина линий 1|2, образованных пересечением плоскости с межфазной поверхностью, приходящаяся на единицу плогцади плоскости, пересекат%*тей межфазную поверхность, когда нормаль к плоскости параллельна орту е3 декартовой системы координат:

1.2(е3) = 81г<л/1-(п3)1 >12 = Ьшв5а>х,е,ф)с1П. (21)

Из (21) в случае представления функции распределения в виде ряда по сферическим функциям имеем

(22)

112Й = 2п 5 з]0р? вт2 9сЮ = 4г$,

Показано, что если плоскость пересекающая межфазную поверхность задана единичным вектором нормали Vo = {sin a cos Р, sin а sin Р, cos |3}, то

Из последнего выражения следует, что средняя удельная длина зависит от ориентации плоскости, относительно которой она определяется. Раздел 3. Теория вычисления осреднениых по межфазной поверхности параметров в уравнениях механики гетерогенных сред. В осредненные уравнения механики гетерогенных сред 11,21 входят средние характеристики по межфазной поверхности, такие как средние значения нормальной скорости, компоненты тензора скоростей деформаций, умноженные на компоненты единичной нормали, поверхностные силы, площадь межфазной поверхности в единице объема (удельная поверхность) и другие. В данном разделе предлагается теория определения указанных параметров на основе полученных аналогов интегральной формулы Стокса для гетерогенной среды, новых уравнений, описывающих эволюцию осредненных топологических параметров межфазной поверхности и сформулированной топологической гипотезы.

В пункте 3.1 сформулирована топологическая гипотеза которая заключается в следующем. Пусть ,8,ф) - функция распределения площади межфазной поверхности в единице объема гетерогенной среды, определенная в предыдущем разделе 2. По определению величина численно равна площади межфазной поверхности в объеме <1V , имеющей углы наклона нормалей к межфазной поверхности равные б

и ф в телесном угле (Ю = 5т0с19(!ф. Рассмотрим осредненные по межфазной поверхности функции следующего вида:

(24)

где ф(П|) - скалярная функция от локальных компонент единичной нормали,

радиус вектор точки межфазной поверхности, площадь меж-

фазной поверхности в представительном объеме ёУ гетерогенной среды,

<13,2 = 5|2с1У , где 8,2 - удельная поверхность. Штрих указывает на принадлежность к локальным характеристикам однофазной среды, нижний индекс ь указывает на принадлежность к i - фазе, < >¡2" знак осреднения по межфазной поверхности «13|2, содержащейся в представительном объеме dV; верхние индексы относятся к компонентам векторов и тензоров. (Терминология и обозначения из [1]). Используя функцию распределения 8(1,х ,6,ф) раздела 2, запишем осреднение (24) следующим образом (см. (8)):

®и <ч£ф(п1)>и=^- | Ч* |5О,х,0,фЖп)сЮс1'8, (25)

где - область интегрирования:

Вычисление 8(^х,9,ф) должно происходить следующим образом: нужно просуммировать площадь межфазной поверхности в представительном объеме dV, имеющую углы наклона нормалей б и ф, содержащиеся в телесном угле. £Ю, и отнести ее к величине <Ю(1У. Например, указанным способом вычислена функция распределения для упаковки сфер в [2]. Смысл сказанного состоит в том, что в интеграле (25) вместо аргумента функции

можно брать значение координаты представительного объема dV, что будет всегда использоваться в дальнейшем при вычислении интегралов (25), и это естественное предположение будем называть топологической гипотезой. Тогда (25) в предположении топологической гипотезы можно записать в виде

<ч/;кф(п;.)>12=<ч/|к >12«Р(П;)>12, (26)

Из (26) следует:

ау «в ®12

где У^^п^^г, ек - орты декартовой системы координат;

{IV.

а,- = —- объемная доля i- фазы. 1 ¿IV

В пункте 3.2 из уравнения для признака (9) получены уравнения, описывающие эволюцию осредненных топологических параметров межфазной поверхности в следующем виде:

—[^12^+Ук(8)2Эк)]-у'к£рр + -(г* + г") + -(г* + гк') = 0, (28) е., 91 2 2

где

2!к=у'ре'*+э!ряукрсо\ г* (29)

экрч - единичный антисимметричный тензор третьего ранга Леви-Чевиты,

(30)

Vй1 =< п',п'к >,.

¡к 1 1к

Тензор в =—812(1 -V ) - назовем тензором удельной поверхности. Если

просуммировать (28) при 1=к и учесть что сумма Vй1 = 1, то получим уравнение для удельной, поверхности з12.

В пункте 3.3 излагается метод дополнительного пространственного осреднения на примере получения аналогов формулы Стокса для гетерогенной среды. Суть метода заключается в сведении вычисления интегралов по линиям пересечения межфазной поверхности и некоторой поверхности в гетерогенной смеси к интегралу по межфазной поверхности, путем осреднения интегралов по указанным линиям вдоль направления нормали к поверхности, пересекающей межфазную поверхность. Осреднения проводятся на расстояниях порядка характерных размеров гетерогенности, которые намного меньше размеров представительного объема гетерогенной среды. Путем такого осреднения получены следующие аналоги формулы Стокса для гетерогенной среды:

< П КЙ Б* >12 Б12 = -СИУ(< ПХ Б' >12 8|2) , <(п'хV )хИ* >,2 з12 = Ук(<(п'хек)хр' >)2 8|2), <п'х V' Ф' >12 в,2 = -пЛ(< ф' п' >12 в|2) ,

(31)

« »

где функции Ф = Ф(1,х),Р = Р(1,х) заданы на межфазной поверхности.

В пункте 3.4.1 из уравнения для признака (9) получены следующие

уравнения для признака вида Ф' = \|/((^х')ф(п]):

(АГ +Ф^хч/Р4-м/^Г)=(< ,

(32)

2 5з12 1 5(Уа■,?

---э

51

ц-<4/;у:>11[(уа!)2у?12-

-1812У(7аа2] + 8|гЧ/Г'(ум-7'>а^Ч) = 0, (33)

где

Ф; =< Ф(п;.) >12, у, =< у; >12, ч/Р4 =< 1|/;У»У;4 >|2,

А и —С^Ё5£!-П',П',>П'4 —-^¡-П'4 — СО'П'рП'4 > А, П, ^р"! Ф|П| >12»

Следствие. Положим в (32) ф(п]) = п|тп*, тогда из (32):

САР""* +уткуРчХч/Рч-Ч'^})Ч) = (<У;чЧ»1>12-ЭчФ!)УчУтк, (34)

где

А№* _ умтк _ 5РкутЧ > уРЯп* =< п^п:"^ ^ .

Из уравнения (33) получаются уравнения для функций =< У('т >,2 и 71; =< р] >12 если присвоить последовательно признаку значения \|/'( = V,'"1 и = р| ,где • pi - локальное давление, после чего получим уравнения вида (33), в которых:

Систему уравнений (32) можно условно рассматривать как систему уравнений для определения величин уР4 входящих в уравнения (33). В указанных

уравнениях в качестве необходимо выбрать некоторую систему функ-

ций достаточную для* получения замкнутой системы уравнений. В

дальнейшем в качестве функций ф(п() будут выбираться функции

поэтому система уравнений для определения будет

иметь вид (34). Следует отметить, что если (34) просуммировать по т при т=к то полученное уравнение выполнится тождественно, поэтому система уравнений (34) состоит из 5 независимых уравнений.

Замечание 1. Показано, что если выбрать признак Ф =у|(1,х )п,-, то уравнение для признака выполнится тождественно.

Замечание 2. Показано, что для случая, когда можно получить

дополнительную систему уравнений:

фЙ)=п>^

\7Pfy \7Ч„

>12 +<у;ку'чу;т >12)[5рч !]=

(Уа()2

Легко проверить, что при умножении левой и правой части (35) на Ура, и суммировании по р получается 6 тождеств, поэтому (35) является в данном случае системой из 12 дополнительных уравнений для системы уравнений (32), (33) в случае когда ху, = У*,т= 1,2,3.

Замечание 3. Еще три дополнительных уравнений можно получить из уравнения неразрывности:

несжимаемая и, следовательно, правая часть равна нулю.

В качестве примера получения системы уравнений для осредненных по межфазной поверхности параметров в пункте 3.5 выписаны уравнения для определения соответственно осредненных компонент тензора скоростей деформаций, вихря скорости, давления, объемной плотности лапласовских сил в случае, когда межфазной поверхностью является свободная поверхность несжимаемой ньютоновской жидкости в следующем виде:

где р, - плотность i фазы. Особенно простой вид (36) принимает, когда фаза

1

1

ш,=пйЭ,+Уа|хТ|, (^-л0)(Уа!)г=2ц!еРЧУ<,а^ра!+Уа;2, (37) (тг, - тт0)(У а,)2 = 2^еРЧУ<1а!Ура;.+V а, 2, Г »^„с'пМгеп >12=Е0[-У'812 +Уч(*12у',)]>

где

Т =

с!хУа,хГ__Ус^(1.у^ > гт = 2ц_у«,. +£0[Ут812 - У(8,2 О], (Уа,)4 (Уа,)2

е5 = {ео'.е52.е"}, V* ^'.у^У5} ,л1 =<р>12,я0 =<Ро>|2,

где нижний индекс i относится к жидкой фазе, а нижний индекс 0 к газу, где

Е объемная плотность лапласовских сил. Уравнения (37) позволяют определить осредненные по МФП компоненты тензора скоростей деформаций,

вектор угловой скорости и давление, если известны компоненты тензора У,к и осредненная по МФП скорость . На свободной поверхности из условия отсутствия касательных напряжений имеем поэтому из системы

уравнений (29) можно определить компоненты тензора vм, если известен вектор скорости Э|. Неизвестный вектор & должен определиться из системы уравнений для признака (33), (32), где v)/ так что

и дополнительных уравнений (35), (36). В конце раздела в пункте 3.6 методом дополнительного пространственного осреднения вычислены объемные плотности мощности и момента импульса лапласовских сил в части интегралов по (см. (2)) соответст-

венно в виде:

1„ < 20 VV' >и= Е0[<Цу(з,2 Э)-Уч(811У"9|,)]>

112<Е0хх? >ц= -Е0[го1(з]2 х) + ё*э'мУ|(8,2у<',хр)], (38)

где - единичный касательный к межфазной поверхности вектор, перпендикулярный контуру и нормали

Раздел 4. Уравнения механики гетерогенных сред в случае, когда межфазная поверхность разделяет две несмешивающиеся несжимаемые ньютоновские жидкости. Рассмотрен вопрос получения осред-ненных уравнений механики гетерогенных сред на основе уравнений [1] для случая, когда межфазная поверхность разделяет две несмешивающиеся несжимаемые ньютоновские жидкости. Интегралы по межфазной поверхности, входящие в уравнения механики гетерогенных сред вычисляются на основе теории, изложенной в предыдущем разделе 3. При выводе системы уравнений не использованы обычно применяемые методы, требующие, например, построения ячеистой модели среды, необходимые для вычисления интегралов по межфазной поверхности. Точно учтены лапласовские силы на границе фаз, на основе аналогов формул Стокса для гетерогенной среды (31) и получены точные выражения для объемной плотности лапласовских сил и объемных плотностей работы и момента импульса лапласовских сил.

В пункте 4.1. записаны известные условия на межфазной поверхности для локальных параметров в случае несжимаемых фаз

(39)

(40)

где нижние индексы i nj обозначают фазы, верхние индексы здесь и в дальнейшем, относятся к компонентам векторов и тензоров; Vj.Vj - скорости

, Iii ц «'II

фаз, Cj ,tTj - тензоры напряжений, -компоненты единичных внешних

-4

нормалей, iij = —üj, а Rj, Rj - главные радиусы кривизн поверхности, где

где

давление,

коэффициент динамической вязкости,

В пункте 4.2 произведено осреднение граничных условий (39)-(40) по межфазной поверхности в следующем виде:

Уравнения (41) в дальнейшем используются для получения замкнутой системы уравнений механики гетерогенных среды, состоящей из несжимаемых жидких фаз.

В пункте 4.3. записаны уравнения теории раздела 3 и их следствия для гетерогенной среды из двух фаз ньютоновских жидкостей. Величины

вычислены в следующем виде:

Показано, что уравнения для топологических характеристик межфазной поверхности имеют следующий вид в случае гетерогенной среды, состоящей из двух фаз ньютоновских жидкостей:

аМв,^"* 9)+^З12[у|ре|* + у^е? + (э,рчукр + экрчу,р)©?] = 0. (43)

Так как укк = 1, поэтому, суммируя (43) при т=к получим следующее уравнение для функции удельной поверхности 8,2 :

& а

—+ <1^(5,2 9) + 8,2[укре|* +экрчуЬрш?] = 0,

(44)

где

!ФЯ

антисимметричный тензор Леви-Чевиты. Уравнения для средних топологических характеристик межфазной поверхности через которые

записывается тензор удельной поверхности позволяют

точным образом определить удельную поверхность, объемные плотности лапласовских сил в гетерогенной среде из (37), а также объемные плотности мощности и момента импульса лапласовских сил гетерогенной среды в части интегралов (38).

В пункте 4.3.3. записаны уравнения для величин .Для этого

получена система уравнений (33), (34) для признака вида

Уравнения для величин получаются из уравне-

ния для признака (33) путем задания признаку соответственно значений —»■ ->

Для замыкания указанных уравнений в случае гетерогенной среды из двух ньютоновских жидкостей, использованы дополнительные уравнения, которые получены из граничных условий для локальных

параметров на МФП в виде (41), выражающих факт равенства векторов скоростей и касательных напряжений, и равенство разности нормальных напряжений лапласовскому давлению. Из уравнения для признака в форме (34) записаны уравнения для вспомогательных величин < У^УЧО >и,

соответственно в виде (уравнения для ] - фазы получаются заменой индекса 1 на ,)):

В пункте 4.4 получены для каждой фазы уравнения сохранения массы и импульса соответственно в следующем виде:

В пункте 4.5 записаны уравнения сохранения массы и импульса для гетерогенной среды соответственно в виде

др

а

5(рУ) 81

+ сКу(рУ) = 0,

= УкПк.

(53)

(54)

Плотность р гетерогенной среды равна р = р?а! + , средняя скорость гетерогенной среды V ---—1—-. Тензор полных напряжений гете-

рогенной среды равен:

П* = +П}Р +Е0512(5кр-у|ф).

Выражение для тензора полных напряжений гетерогенной среды удобно использовать при задании граничных условий в напряжениях на границе

раздела гетерогенной и однофазной сред

. Тензор Екр = -Е0812(8кр-укр)

называется тензором поверхностной энергии. Легко видеть, что след тензо-

pa поверхностной энергии равен 20$12- поверхностной энергии единицы

объема гетерогенной среды.

В пункте 4.6 записано уравнение сохранения энергии в следующем

виде:

где и;^ - соответственно внутренняя энергия единицы массы и вектор потока тепла i - фазы,

-а, < Др¡ДУ* >, >,)+}*к(а, <У>У> >.)].

^12 < ^'кп|ксКу'п| >12= -£С«У(812 9) - V"(812УиЭч)]-з12Урчерс<.

Последняя формула является точным выражением объемной плотности мощности лапласовских сил в гетерогенной среде в случае несжимаемых фаз в части интеграла по межфазной поверхности. Аналогичное уравнение энергии для]- фазы получается из (55) заменой индекса 1 на) и а; на 0^=1-0^.

В пункте 4.7. получено уравнение сохранения момента импульса для гетерогенной среды состоящей из двух фаз ньютоновских жидкостей, которые для симметричных тензоров напряжений фаз является следствием уравнения сохранения импульса фаз (52).

Раздел 5. Система уравнений механики гетерогенных сред в криволинейной ортогональной системе координат в случае, когда межфазной поверхностью является поверхность раздела несжимаемых ньютоновских жидкостей. При решении конкретных задач механики гетерогенных сред часто встречаются задачи обладающие симметрией, например, сферической, осевой, а также бывает целесообразно выбрать ортогональную криволинейную систему координат, наиболее подходящую для конкретной задачи. В данном разделе записаны уравнения предыдущего раздела 4 в произвольной ортогональной криволинейной системе координат. Указанная запись является актуальной в связи с тем, что уравнения для средних топологических характеристик межфазной поверхности, а также для других ос-редненных по межфазной поверхности параметров, таких как скорости, компоненты тензора напряжений, угловой скорости, давления и других записаны в декартовой системе координат не в инвариантной форме, а поэтому их запись в ортогональной криволинейной системе координат является не тривиальной задачей. Уравнения записаны в случае, когда межфазной границей является поверхность раздела несмешивающихся несжимаемых ньютоновских жидкостей. В частности, в пункте 5.1 приведены указанные уравнения в сферической системе координат в той части, в которой они будут использованы в, следующем разделе. К известным общим уравнениям механики гетерогенных сред, полученных методом пространственного осреднения 111 добавлена система уравнений для определения осредненных по межфазной границе параметров фаз, замыкающая общую систему уравнений, при этом добавленная система уравнений записана в ортогональной криволинейной системе координат. Здесь же в компактной форме приведены известные в другой записи соотношения, для определения производных от векторов базиса произвольной ортогональной криволинейной системы координат:

где - соответственно единичные орты , коэффициенты Лямэ и ко-

ординаты ортогональной системы координат.

Раздел 6. Спекание упаковки капель жидкости, окруженной другой жидкостю. Решается задача о спекании упаковки капель несжимаемой ньютоновской жидкости, находящейся в другой несжимаемой жидкости. Рассмотрим в невесомости упаковку капель несжимаемой ньютоновской жидкости (1- фаза) находящейся в другой несжимаемой жидкости (]- фаза), рис.1.

Рис. 1. Упаковка капель. В закрашенной области находятся капли 1 -фазы, окруженные жидкостью]-фазы и которые образуют вместе с >фазой гетерогенный объем . Капли ь

фазы под действием поверхностных сил слипаются, и со временем образуется сложная область занятая ¡-фазой в гетерогенной области , отделенная от]-фазы межфазной поверхностью . Гетерогенная область отделена поверхностью Sj от однофазной области занятой]-фазой. Пусть Бда - внешняя поверхность однофазной области^-. На межфазной поверхности в гетерогенной среде ^.отделяющей i и фазы действуют лап-

ласовские силы, под влиянием которых, первоначально находящаяся в покое упаковка капель начинает движение. Нашей задачей является нахождение решения уравнений раздела 4, моделирующих задачу о спекании капель.

В пункте 6.1 записаны интегральные законы справедливые для задачи о спекании. Закон сохранения общей массы ьфазы М; имеет вид

М|= ^а^.х^У. (58)

Теорема вириала записана в следующей форме:

10 = 2(Е-Ео8-2оо5оо)+ЗП+Зрн(У; +У;). (59)

В уравнении (59) 8 - общая площадь межфазной поверхности, а момент инерции I, кинетическая энергия Е, интеграл сил давления П равны

Предполагая адиабатичность процесса спекания для области + У| занятой i и ] фазами, интегральный закон сохранения энергии можно записать следующим образом:

Е + 208+ЕооЗда + Евн = Е0 = соп&, (61)

где Евн - внутренняя энергия фаз. Дифференцируя (61) по времени и срав-

5Ёв

.л

нивая с (60) полученное уравнение, приходим к выводу, что Ет =

Принцип минимума для задачи спекания является записью того факта, что виртуальная мощность внутренних сил, действующих в спекаемой упаковке и окружающей ее жидкости >фазы равна виртуальной мощности внешних сил. Показано, что указанный виртуальный принцип минимума имеет следующую запись:

б[Е М+2«.^] = X К^У™>0.

Из неравенства следует, что величина в квадратных скобках является минимальной для действительных полей скоростей и для заданного положения межфазной поверхности 812 и заданного момента времени. Таким образом, имеем следующий принцип минимума для рассматриваемой задачи спекания:

(62)

Учитывая уравнение живых сил (60) и уравнение сохранения полной энергии (61), принцип минимума можно переписать в другом виде:

<1Б

2о ——2<п —:---—

сШ .

---= тш.

&

(63)

00

А """ (11

Таким образом, принцип минимума (63) заключается в том, что при заданном положении межфазной поверхности в адиабатической спекаемой системе несжимаемых i и ] фаз ньютоновской жидкости, производная по вре-

мени разности поверхностной и кинетической энергий минимальна на действительном поле скоростей.

В пункте 6.2 записаны уравнения задачи о спекании капель в сферически симметричном случае. На рис. 1 это соответствует случаю, когда

является сферическим слоем, а -поверхность сфер. Уравнения для сферической симметрии получаются из уравнений раздела 5, приравниванием нулю производных по углам 0 и ф сферической системы координат от всех параметров входящих в систему уравнений. Показано, что после указанных действий система уравнений примет следующий вид:

от от г

+ 2р; <х|------|-7г]0(|. +4|1: —ос*--' ' , (65)

Г Г Г

где V; = У/, 3 = 9' - соответственно средние по объему и по межфазной поверхности радиальные скорости, где

Р, =p¡ , ШЯ5=ар"акз <ДУ>ДУ;к >{,

1Э

Wiп 0 0

г1=°> дац а

0 0

\У99

0 ууФФ 1 )

да:

(66)

'этбсозф соБвсозф -Бтф4 вшбзтф созбвтф совф совЭ -бшЭ 0

V® =0, У>=0, уе0-уфф = О, у0ф = О, 9е=9ф=0, ю=0,

еР4 =

Е" 0 • N 0

0 В69 0

0 0 Ефф

\ -2 0 (Г

9

0 1 0

г У 0 К

• уэ

0 1(1-У")

0

V 2'

где нижний индекс э указывает на компоненты векторов и тензоров в ортогональной криволинейной системе координат.

В пункте 6.2.5 получено уравнение сохранения импульса гетерогенной среды в сферически симметричном случае:

а а э1 "

(67)

где

-£[У2 +е,8=(У! - Vi)2] + -(W,r - Wв9), г г

г г 2

Р = а1Р?+а}Р^. ек=акРк/Р . У =

В пункте 6.2.6 записаны уравнения для средних топологических параметров МФП в сферически симметричном случае:

, 2» „ а г2 а- г 12

а г1 а г 12

В пункте 6.3.1 показано, что из уравнений (45)-(50) в случае сферической симметрии следует следующее уравнение:

ах,

(68) (69)

где функция у, сомножитель в признаке вида Ф = )<р(п,), аг =

а

В пункте 6.3.2 получено решение уравнений для топологических характеристик МФП (68)-(69) в сферически симметричном случае в следующем виде:

(71)

где fn N- произвольные функции a = aj. Подставим (71) в (70), учитывая, что из (66) S = — ctt/ar получим:

f'H

W)

C<V,4, >12 а, + у,а,) = 0.

(72)

Из (72) выбран случай, когда f (а) = 0, откуда f(a)=f0 = const. Задавая начальные условия, в виде a(0,r)=a0(r) (откуда r = r0(a0)) и v" =vIT(0,r), получим:

(73)

В пункте 6.3.3 определена функция обемной доли средняя скорость на МФП, из уравнений (45)-(50) записанных в сферической системе координат в сферически симметричном случае для признаков

у! = р! -р^е^.У-' в следующем виде:

9 =

(74)

где Ф(г) произвольная функция времени I, р(а) - произвольная функция а.

В пункте 6.3.4 получены следующие уравнения для функций V,- и У]: а,Х+а}У} = 0, -Ф'(0а; + гга,У, = 4/(1), (75)

где произвольная функция времени. Показано, что неизвестные функции выражаются через радиусы слоя сферической упаковки р и:Л (где в виде

«¡(*Д) «Др)

Пусть при 1=0 упакованы сферические капли фазы, диаметром с!, тогда

у^О.г^Ш, 812(0,г)=6а^0,г)/а, (76)

откуда а;(0,г)= у0 ехр(2Г0/г), где у0 и Г0- неизвестные постоянные. Удовлетворение указанным начальным условиям приводит к следующим выражениям для искомых функций:

a,(t,r)=yeexp(H«-L), =

a v г

э

S„ =

2Уо£!

d V

1 + 2

,(77)

где L = Vr3+<p, <Р(0 = 3[Ф(0)-Ф(1)1. (78)

В пунктах 6.3.7-6.3.8 определены полные напряжения в гетерогенной смеси и затем записаны условия равенства полных напряжений на границах гетерогенной области в системах координат связанных с указанными границами в случае, когда центральная область упаковки занята j - фазой в следующей форме:

где =< AV РДУ 4 >]£, нижний индекс р относится к параметрам в центральной области, а нижний индекс R - к параметрам в области R < г < R,,,.

В пункте 6.3.9. сформулированы дополнительные граничные условия на границах гетерогенной среды использующиеся в дальнейшем для определения неизвестных функций p(t) и R(t). В качестве дополнительных граничных условий использованы условия равенства полных касательных напряжений, как условия существования неразмываемых границ гетерогенной области. Указанные дополнительные условия имеют следующий вид:

Вычитая (80) и (79) получим следующие уравнения на границах гетерогенной области:

+ {[Wrr(t,x)-pfwji(t,x)]-[WG0(t>x)-p?W^(t,x)]} = o! ' (81)

Величины в квадратных скобках можно трактовать как разности удвоенных радиальных и касательных пульсационных энергий гетерогенной смеси и j-фазы на границах гетерогенной области. В дальнейших вычислениях величины в фигурных скобках предполаглись малыми и не учитывались. Тогда из системы обыкновенных дифференциальных уравнений (81) можно определить неизвестные функции p(t) и Щ^-границы гетерогенной области.

В пункте 6.3.10 проведено обезразмеривание системы уравнений для определения радиусов упаковки (81) в следующей форме:

где Ьо - безразмерное число Лапласа, которое может быть отрицательной величиной, если ц,. < . Например, модуль безразмерное число Лапласа для органических жидкостей граничащих с водой, изменяется от 1000 и до больших величин. Указанные значения модуля числа Лапласа следуют из справочных данных для температур 10-60°С, пограничного натяжения воды на границе с органическими жидкостями

дин см

вязкостей

размеров капель и радиуса упаковки

110 —10см. В качестве замыкающего уравнения для системы (2) использовано дифференциальное условие сохранения объема ¡-фазы:

(83)

Для системы уравнений (82), (83) запишем, учитывая (78), следующие начальные условия:

1=0, £ = Л = 1 > Ф = 0. (84)

В пункте 6.3.11 записаны уравнения задачи о спекании сферической упаковки в случае, когда центральная область упаковки занята ь фазой, которые в безразмерном виде записаны следующим образом:

где у = р®/р®. В отличие от случая предыдущего пункта, когда в центральной области спекания находится фаза, в систему уравнений входит еще одно безразмерное число у, наряду с числом Лапласа.

В пунктах 6.3.12-6.3.13 решены задачи о спекании сферической упаковки для случая, когда центральная область упаковки занята фазой и i фазами соответственно для времен близких к началу спекания. Выражая из систем квадратных уравнений (82) и (85) безразмерные скорости границ упаковки, перед корнями можно выбрать знаки следующими 4 способами: 1) плюс, плюс, 2) минус, плюс, 3) плюс, минус, 4) минус, минус. В четвертом способе записи, очевидно, получается тривиальное решение. Далее рассмотрены три первых способа записи уравнений. В начальный момент времени, когда заданы начальные условия, необходимо выбрать один из трех указанных выше способов записи систем уравнений. Для этого нужно использовать условие того, что в результате спекания внутренняя энергия упаковки и окружающей ее жидкости увеличивается. Из уравнения сохранения полной энергии (61), пренебрегая изменением поверхностной энергией на внешней границе г = указанное условие запишем в следующем виде:

Кроме этого систему уравнений нужно выбирать из принципа минимума (63), сравнивая для каждого способа записи системы уравнений разности соответственно производных по времени поверхностной и кинетической энергий. Для того чтобы пользоваться указанными условиями выбора нужной системы уравнений необходимо вычислить производные по времени поверхностной энергии и кинетической энергии. Для вычисления кинетической энергии необходимо определить энергию пульсационных движений, которая в рассматриваемой постановке не вычисляется.

В пункте 6.12.2 численно решены нелинейные уравнения (82)-(83) для определения радиусов упаковки в зависимости от времени в случае, когда центральная область занята ] - фазой. На рис.2-5 приведены графики зависимостей от времени радиусов упаковки и общей площади межфазной поверхности для чисел Лапласа равных 1400 и 100. На рис.2 сферически симметричное решение существует для значения безразмерного времени равного 1.016. До значений времени равного 0.86 происходит увеличение общей безразмерной площади МФП, а после указанного времени и до времени равного 1.016 происходит ее уменьшение. На рис.3 показаны зависимости безразмерных радиусов упаковки для второго способа выбора системы уравнений, когда в начальный момент времени скорость внутренней границы упаковки конечна, а скорость внешней границы равна нулю. Реше-

ние существует до значения безразмерного времени равного 0.51. Для третьего способа выбора системы уравнений начальная скорость внутренней границы упаковки равна нулю, а скорость внешней границы конечная. В этом случае дискриминант в выражениях для скоростей границ упаковки практически в начальный момент времени становится отрицательным.

На рисунках 4-5 в отличие от численного решения для числа Лапласа равного 1400, решение существует для гораздо меньших значений безразмерного времени во всех способах выбора уравнений для безразмерных радиусов упаковки. Для третьего способа выбора уравнений, когда в начальный момент времени скорость внутренней < границы равна нулю, а внешней границы - конечная, дискриминант в формулах для скоростей границ практически в начальный момент времени становится отрицательным.

Примеры численных расчетов точной системы уравнений на рис.2-5 характерны и для других значений чисел Лапласа в промежутке 100<Ьо.<1400. Результаты расчетов показывают, что сферически симметричное решение задачи о спекании упаковки существует для значений безразмерного времени порядка единицы. Результаты расчетов качественно сравнены с фотографиями3 различных моментов процесса спекания системы нагретых до температуры плавления стеклянных сфер, лежащих на плоскости из графита. Картина спекания существенно зависит от фактора смачиваемости на границе стеклянных сфер и плоскости графита. Даже для маленьких значений фактора смачиваемости наблюдается образование полостей внутри области спекания, несмотря на уменьшение размеров области упаковки спекаемых сфер. Наличие полостей указывает на то, что в случае спекания стеклянных шаров, лежащих на плоскости из графита, даже при маленьком факторе смачиваемости, не существует во всей области упаковки однородности относительно оси симметрии функции объемной доли спекаемых капель. Это значит, что не существует симметричной картины спекания относительно оси, проходящей через центр упаковки перпендикулярно плоскости графитовой подложки. По-видимому, в рассмотренной нами задаче о спекании сферической упаковки капель несжимаемой жидкости, окруженной другой жидкостью, существует некоторый аналог фактора смачиваемости. Указанный фактор, уже близко к началу спекания, приводит к образованию локальных центров спекания, к которым движется фаза капель, а между центрами спекания образуются области свободные от капель, тем самым нарушается сферическая симметрия картины спекания.

1 Jagota A., Dawson P.R. Micromechanical modeling of powder compacts. 2. Truss formulation of discrete packings // Acta metal. 1988.- Vol.36. No 9.-p.2563-2573.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработанная теория вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров в уравнениях механики гетерогенных сред позволяет моделировать явления в гетерогенных средах, используя точные уравнения для средних параметров фаз на межфазной поверхности, в том числе точные уравнения для удельной межфазной поверхности, тензора удельной поверхности и формулы для объемных плотностей лапласовских сил.

Основные выводы по работе заключаются в следующем:

1. Дано определение функции распределения площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей. Получено уравнение для указанной функции в предположении, что в гетерогенной среде нет источников "рождения" и "уничтожения" межфазной поверхности (например, образование зародышей в конденсированной фазы в паре, или пузырьков в жидкости). Методом представления решения в виде суммы по индексу ] членов ряда из сферических гармоник показано, что решение для функции распределения и логарифма в случае, когда межфазной поверхностью является свободная поверхность ньютоновской жидкости, состоит из двух независимых сумм, а именно, для значений Коэффициенты указанных рядов

находятся независимо друг от друга, при этом коэффициенты для отрезка ряда выражаются линейно с постоянными коэффициентами через

средние топологические параметры межфазной поверхности - компоненты тензора удельной поверхности. Получено решение уравнения для логарифма функции распределения в виде ряда по сферическим функциям в случае, когда межфазной поверхностью является свободная поверхность ньютоновской жидкости. Показано, что коэффициенты ряда выражаются из двух независимых систем уравнений. Система уравнений для коэффициентов ряда ]>2 состоит из независимых друг от друга уравнений. Сделан вывод, что если начальная функция логарифма функции распределения представляется конечным отрезком ряда по сферическим функциям, то и решение будет являться конечным рядом по этим же сферическим функциям. Получено выражение для средней удельной длины линий пересечения межфазной поверхности и плоскости заданной вектором нормали к ней;

2. Разработана теория вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров, входящих в уравнения механики гетерогенных сред, полученных методом пространственного осреднения. Предложен метод дополнительного пространственного осреднения (ДПО). Указанным методом получены аналоги формулы Стокса для гетерогенной среды;

3. Предложена топологическая гипотеза, позволяющая вычислять ос-редненную по межфазной поверхности величину произведения функции от

локальных координат и вещественной функции от компонент нормали, через произведение указанных осредненных функций;

4. Из уравнения для признака, записаны система уравнений для компонент тензора удельной поверхности и система уравнений для признака

вида Присваиванием в указанной системе уравнений при-

знаков в виде величин скорости, давлений и их произведений на компоненты тензора скоростей деформаций, получены уравнения для осредненных по МФП величин скорости, давлений и их произведений на компоненты тензора скоростей деформаций;

5. Записаны уравнения механики гетерогенных сред для случая, когда межфазная поверхность разделяет две несмешивающиеся несжимаемые ньютоновские жидкости. Дополнительно к общей системе уравнений, получены уравнения для осредненных по межфазной поверхности параметров вектора скорости, давления, тензора скоростей деформаций, угловой скорости, компонент тензора удельной поверхности и удельной поверхности, вспомогательных величин

< е'^П]1 >12, < П^П^1 >12. Указанные дополнительные уравнения необходимы для получения замкнутой системы уравнений механики гетерогенных сред и являются способом вычисления не использующим дополнительных допущений при определении неизвестных интегралов по межфазной поверхности в уравнениях механики гетерогенных сред [1], для случая двух фаз несжимаемых ньютоновских жидкостей. Уравнения для средних топологических характеристик межфазной поверхности позволяют точным образом определить уделыгую поверхность, объемные плотности лапласовских сил в гетерогенной среде, а также объемные плотности мощности и момента импульса лапласовских сил гетерогенной среды. Для указанных объемных плотностей получены точные аналитические формулы. Получено выражение для тензора полных напряжений гетерогенной среды, которое является полезным для задания граничных условий в напряжениях на границе раздела гетерогенной и однофазной сред;

6. Решена в сферически симметричной постановке задача о спекании в невесомости упакованных в виде сферического слоя капель несжимаемой жидкости, окруженной другой жидкостью. В качестве уравнений задачи использованы уравнения механики гетерогенных сред 111 и точные уравнения теории вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров фаз. Показано, что безразмерные скорости границ гетерогенного сферического слоя, средние скорости фаз, средняя скорость на межфазной поверхности, объемные доли фаз, удельная межфазная поверхность, средняя

по межфазной поверхности лапласовская сила - являются функциями только двух безразмерных параметров. А именно, числа Лапласа

- соответственно плотности и динамические вязкости фаз,

коэффициент поверхностного натяжения на межфазной поверхности, ё- начальный диаметр капель. Записано аналитическое решение задачи о спекании в сферически симметричной постановке для маленьких времен, соответствующих началу спекания. Получено численное решение системы точных обыкновенных дифференциальных уравнений для определения зависимостей радиусов упаковки от времени для чисел Лапласа равных 1400 и 100, в случае, когда первоначально в центральной области упаковки находится фаза жидкости окружающей капли.

1. Бушланов В.П. Осредненное выражение, для вектора объемной плотности капиллярной силы в спекаемой порошковой смеси // ПМТФ.-2000.-Т. 41.-№ 4.-С.165-167.

2. Бушланов В.П. О функции распределения площади межфазной поверхности в зависимости от углов наклона ее нормалей // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования.-2000.-№10.-С.88-91.

3. Бушланов В.П., Бушланов И.В. Теория вычисления осредненных по меж-фазиой поверхности параметров в уравнениях механики гетерогенных сред // Физическая мезомеханика.-2002.-т.5.-№2.-С.57-63.

4. Бушланов В.П., Смолин А.Ю. Модель процесса квазистатического прессования пористых тел // Порошковая металлургия.-1992.-№8.- С.39-43.

5. Бушланов В.П., Бушланов И.В. К теории пространственного осреднения в механике гетерогенных сред // ДАН. - 2002.-Т.382.- №3,- С.346-348.

6. Бушланов В.П., Бушланов И.В. Метод вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров фаз в пространственно осредненных уравнениях механики гетерогенной среды двух несмешивающихся ньютоновских жидкостей // Физическая мезомеханика.-2004.-т.7.-Спец. выпуск.-ч.1.-

7. Бушланов В.П., Бушланов И.В. Решение задачи о слиянии сферически упакованных капель ньютоновской жидкости, взвешенных в другой жидкости // Физическая мезомеханика.-2004.-т.7.-Спец. выпуск.-ч.1.-С.50-54.

8. Бушланов В.П. Приближенное решение задачи об осесимметричном течении вязкой несжимаемой жидкости в угловой области // Изв. РАН. МЖГ.-1999.-№1.-С.157-160.

и отношения плотностей фаз где

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

С.46-49.

9. Бушланов В.П. Решение уравнения для функции распределения площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей в случае, когда межфазная поверхность является свободной поверхностью ньютоновской жидкости // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации.-№17.-январь 2004.- С.6-13.

10. Бушланов В.П. Решение уравнения для логарифма функции распределения площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей в случае, когда межфазной поверхностью является свободная поверхность ньютоновской жидкости // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации.-№ 17.-январь 2004.- С.14-26.

11. Бушланов В.П. К теории получения замкнутой системы уравнений для осредненных по межфазной поверхности параметров в уравнениях механики гетерогенных сред // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информацни.-№17.-январь 2004.- С.27-34.

12. Бушланов В.П. Уравнения для осредненных по межфазной поверхности параметров гетерогенной среды в случае, когда межфазная поверхность разделяет две несмешивающиеся несжимаемые жидкости // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации. -№ 17.-январь 2004.- С.35-47.

13. Бушланов В.П. Уравнения механики гетерогенной среды в случае, когда межфазная поверхность разделяет две несмешивающиеся несжимаемые ньютоновские жидкости // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации.-№17.-январь 2004.- С.48-57.

14. Бушланов В.П. Интегральные уравнения для задачи о спекании упаковки капель жидкости, окруженных другой жидкостью // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации.-№17.-январь 2004.-С.58-63.

15. Бушланов В.П. Уравнения задачи о спекании упаковки капель несжимаемой жидкости окруженной другой несжимаемой жидкостью в сферически симметричном случае // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации.-№17.-январь 2004.-С.65-80.

16. Бушланов В.П. Решение задачи о спекании упаковки капель несжимаемой жидкости, окруженных другой жидкостью в сферически симметричной постановке // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации.-№17.-январь 2004.- С.81-94.

17. Бушланов В.П. Вероятность образования покрытия из термически активных частиц // ПМТФ.-1992.- С. 26-29.

18 Бушланов В.П. О взаимном тепловом влиянии напыленных частиц на прочность плазменного покрытия // ИФЖ. -1992.- т.62.- №1.- С. 51-56.

19. Shrager E.R., Bushlanov V.P. Calculation ofmean specific length of lines, formed by crossing ofplane whis interface in heterogeneous medium// EPT jour-nal.-2004.-Karaganda (в печати)

20. Шрагер Э. Р. Бушланов В.П. Вычисление средней удельной длины линий, образованных пересечением плоскости с межфазной поверхностью в гетерогенной среде. Труды 4 международной конференции "Хаос и структуры в нелинейных системах. Теория и эксперимент", Караганда, 2004. (в печати)

s

Рис. 2. Начальные скорости границ упаковки конечные.

s

Рис. 3. Начальная скорость внутренней границы упаковки конечная, а внешней границы - равна нулю.

0,10000 0,09998-0,09996 0,09994-0,09992-0,09990-0,09988-

0,0000 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,0010 Время

48088,032 48088,030 48088,048 48088,046 48088,044 48088,042-

48088,040

2

0,0000 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,0010

Время

Рис. 4. Начальные скорости границ упаковки конечные. Внешний радиус упаковки практически не меняется.

0.10 £ 0,08 1 0,06 | 0,04 £• 0,02 1 0,00

3

е-£

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 Время

1,0018 и 1,0016 I" 1,0014 3 1,0012 ¡Ь 1.00Ю-? 1,0008-| 1.0006-

3 1,0004 i 1,0002

4 1,0000 2 0,9998-

|ь,-100!

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 Время

С

I

48240 48220 48200 48180 48160 48140 48120 48100 48080-

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 Время

Рис. 5. Начальная скорость внутренней границы упаковки конечная, а внешней границы - равна нулю.

Ссиссуй

Отпечатано на участке оперативной полиграфии Редакционно-издательского отдела ТГУ Лицензия ПД №00208 от 20 декабря 1999 г.

Заказ № от "¿Л " 09 2004 г. Тираж Г(/0 экз.

* 16691

ВВЕДЕНИЕ.

1. МЕТОД ПРОСТРАНСТВЕННОГО ОСРЕДНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД.

Введение.

1.1. Микромасштабы, микропараметры и микроуравнения.

1.2. Уравнения для локальных параметров на межфазной поверхности.

1.3. Осредненные параметры гетерогенной среды, основные допущения.

1.4. Основные свойства осредненных величин. Система осредненных уравнений.

1.5. Основная проблема при моделировании гетерогенных сред. Постановка задачи.

2. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ МЕЖФАЗНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ОТ УГЛОВ НАКЛОНА ЕЕ

НОРМАЛЕЙ.

Введение.

2.1. Соотношения для локальных параметров на межфазной поверхности.

2.1.1. Вспомогательные формулы. dn d v

2.1.2. Вычисление — и —. dt dt

2.1.3. Соотношения для локальных параметров в случае, когда межфазная поверхность является свободной.

2.2. Уравнение для функции распределения площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей.

2.2.1. Функция распределения.

2.2.2. Уравнение для интегральных параметров.

2.3. Решение уравнения для функции распределения площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей в случае, когда межфазной поверхностью является свободная поверхность.

2.3.1. Решение уравнения для функции распределения в случае отсутствия касательных напряжений.

2.3.2. Уравнение для признака на основе уравнения для функции распределения в случае, когда межфазная поверхность является свободной поверхностью.

2.4. Решение уравнения для логарифма функции распределения площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей в случае, когда межфазная поверхность является свободной поверхностью.

2.5 .Вычисление средней удельной длины линий образованных пересечением плоскости с межфазной поверхностью.

Выводы.

3. ТЕОРИЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОСРЕДНЕННЫХ ПО МЕЖФАЗНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПАРАМЕТРОВ В УРАВНЕНИЯХ МЕХАНИКИ

ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД.

Введение.

3.1. Топологическая гипотеза.

3.2. Уравнения, описывающие эволюцию осредненных топологических параметров межфазной поверхности.

3.3. Аналоги интегральной формулы Стокса.

3.4. Вычисление осредненных по межфазной поверхности параметров.

3.4.1. Уравнение для признака вида Ф =vj/,(t,x )cp(n,).

3.5. Уравнения для определения осредненных параметров компонент тензора скоростей деформаций, вихря скорости, тензора удельной поверхности и скорости, в случае, когда межфазной поверхностью является свободная поверхность несжимаемой ньютоновской жидкости.

3.6. Вычисление объемной плотности лапласовских сил, объемных плотностей работы и момента импульса лапласовских сил.

Выводы.

4. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД В СЛУЧАЕ, КОГДА МЕЖФАЗНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ РАЗДЕЛЯЕТ ДВЕ НЕСМЕШИВАЮЩИЕСЯ НЕСЖИМАЕМЫЕ НЬЮТОНОВСКИЕ

ЖИДКОСТИ.

Введение.

4.1. Граничные условия на межфазной поверхности для локальных параметров в случае несжимаемых фаз.

4.2 Осреднение граничных условий по межфазной поверхности.

4.3. Уравнения теории главы 3 и их следствия для случая несжимаемых фаз.

4.3.1. Вычисление ef4, со,, Z.

4.3.2. Уравнения для топологических характеристик межфазной поверхности.

4.3.3. Уравнения для величин 3,71,, я,.

4.4. Уравнения сохранения количества движения для случая несжимаемых фаз.

4.5. Уравнения сохранения массы и импульса для гетерогенной среды состоящей из i и j- фаз.

4.6. Уравнение сохранения энергии в случае сжимаемых фаз.

4.7. Уравнение сохранения момента импульса для случая несжимаемых

Выводы.

5. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД В КРИВОЛИНЕЙНОЙ ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ В СЛУЧАЕ, КОГДА МЕЖФАЗНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЯВЛЯЕТСЯ ПОВЕРХНОСТЬ РАЗДЕЛА НЕСЖИМАЕМЫХ НЬЮТОНОВСКИХ

ЖИДКОСТЕЙ.

Введение.

5.1. Система уравнений механики гетерогенных сред в случае несжимаемых жидкостей в декартовой системе координат.

5.2. Система уравнений механики гетерогенных сред в случае несжимаемых жидкостей в ортогональной криволинейной системе координат.

5.3. Уравнения механики гетерогенных сред в случае несжимаемых жидкостей в сферической системе координат.

Выводы.

6. СПЕКАНИЕ УПАКОВКИ КАПЕЛЬ ЖИДКОСТИ ОКРУЖЕННОЙ

ДРУГОЙ ЖИДКОСТЮ.

Введение.

6.1. Задача о спекании упаковки капель несжимаемой ньютоновской жидкости, находящейся в другой несжимаемой жидкости.

6.1.1. Закон сохранения общей массы i-фазы.

6.1.2 Теорема вириала.

6.1.3. Уравнение живых сил.

6.1.4. Принцип минимума для задачи спекания.

6.2. Уравнения задачи о спекании капель в сферически симметричном случае.

6.2.1. Уравнения неразрывности и сохранения импульса в сферически симметричном случае.

6.2.2.Вычисление е^4 и со.

6.2.3. Вычисление v™,^.

6.2.4. Уравнения сохранения импульса в сферически симметричном случае.

6.2.5.Уравнение сохранения импульса гетерогенной среды в сферически симметричном случае.

6.2.6.Уравнение для средних топологических параметров МФП в сферически симметричном случае.

6.3. Решение задачи о спекании капель в сферически симметричном случае.

6.3.1. Уравнение для признака (5.7) в сферически симметричном случае.

6.3.2.Решение уравнений для топологических характеристик МФП.

6.3.3. Нахождение cc,(t,r).

6.3.4. Нахождение функций V, и V,.

6.3.5. Определение функций c^s^v1* из начальных условий.

6.3.6. Условия равенства потоков массы на границах гетерогенной области.

6.3.7. Определение P(t,r)- среднего давления в гетерогенной смеси.

6.3.8. Условия равенства потоков импульса относительно движущихся границ гетерогенной области.

6.3.9. Дополнительные граничные условия на границах гетерогенной среды.

6.3.10. Обезразмеривание.

6.3.11. Уравнения задачи о спекании сферической упаковки в случае, когда центральная область упаковки занята i- фазой.

6.3.12. Решение задачи о спекании сферической упаковки для случая, когда центральная область упаковки занята]- фазой.

6.3.12.1. Решение, описывающее начало спекания.

6.3.12.2. Численное решение точной системы уравнений для безразмерных радиусов упаковки при значениях чисел Лапласа L0 = 1400 и L0 =

6.3.13. Решение задачи о спекании сферической упаковки для случая, когда центральная область упаковки занята i- фазой.

Уравнения механики гетерогенных сред, применяются при моделировании физических явлений в гетерогенных средах [1-3], [69-70], [72-74], [77-90], [92-95], [98-99],[103-105], [107-108], [111-114]. Область применения указанных уравнений очень широка. Это описание явлений в стесненных условиях: среды плотно упакованных порошков, капель, пузырей, капель органических жидкостей (нефти, масел) в воде и капель воды в указанных жидкостях, пузырей в жидкостях, твердых частиц в жидкостях и жидкостей в твердых пористых средах и так далее. Также это относится к описанию всевозможных явлений в биологических объектах, в которых присутствуют различные фазы. Моделирование явлений в соплах ракетных двигателей и в двигателях самолетов, когда объемные и массовые доли жидкой или твердой фаз сильно разнятся с аналогичными величинами газообразной фазы также можно описывать на основе уравнений механики гетерогенных сред. Уравнения механики гетерогенных сред обычно получают феноменологически или методом пространственного осреднения однофазных уравнений механики сплошной среды фаз гетерогенной смеси. В настоящей работе рассматриваются уравнения механики гетерогенных сред, полученные методом пространственного осреднения. В отличие от уравнений механики гетерогенных сред полученных феноменологически, пространственно осредненные уравнения имеют то преимущество, что содержат в явном виде выражения для осредненных параметров фаз и таких величин как тензоры напряжений в фазах, интенсивности межфазного обмена массой, импульсом, моментом импульса, энергией, записанные через локальные параметры фаз. Получение указанных выражений в виде зависимостей от средних макроскопических параметров, является актуальной задачей при моделировании гетерогенных сред на основе пространственно осредненных уравнений Более того, как сказано в [2], "Реализация этих выражений, приводящая к реологическим соотношениям теперь уже только между макропараметрами (которые можно называть явными реологическими соотношениями) и, как результат, к замыканию системы уравнений, должна производиться с учетом структуры и физических свойств фаз в смеси. И это есть основная проблема при моделировании гетерогенных сред" Вопросы получения реологических соотношений обсуждаются, например, в [36-68], [71], [82], [97], [109-138].

Цель работы. Получить теорию вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров фаз, с целью замыкания системы уравнений механики гетерогенных сред. Теорию построить на основе нового уравнения для функции распределения удельной межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей.

Научная новизна.

1. Дано определение функции распределения удельной межфазной поверхности в гетерогенной смеси в зависимости от углов наклона ее нормалей и для нее получено уравнение. Из уравнения для функции распределения методом моментов выведено уравнение для функции признака, являющейся осреднением заданной на межфазной поверхности локальной функции. Записано решение уравнения для функции распределения в виде ряда по сферическим функциям. Получены уравнения для коэффициентов ряда в разложении функции распределения и логарифма функции распределения по сферическим функциям в случае, когда межфазной поверхностью является свободная поверхность ньютоновской жидкости. В указанном случае показана независимость системы уравнений для коэффициентов ряда до вторых гармоник включительно от системы уравнений для коэффициентов ряда гармоник выше второй.

2 Разработан метод дополнительного пространственного осреднения (ДПО). Этим методом получен аналог формулы Стокса для гетерогенной среды. Формула выражает среднее по межфазной поверхности скалярное произведение локальной единичной нормали и локального вихря вектор функции, определенной на межфазной поверхности, через дивергенцию среднего по межфазной поверхности векторного произведения указанных локальных векторов. Как следствие формулы, получены точные выражения средних по межфазной поверхности объемных плотностей поверхностных сил Лапласа, объемных плотностей момента импульса и мощности сил Лапласа в виде зависимостей от тензора удельной межфазной поверхности и средней скорости фазы на межфазной поверхности.

3 Из уравнения для признака и сформулированной топологической гипотезы, записана система уравнений для осредненных по межфазной поверхности локальных параметров фаз, входящих в осредненные уравнения механики гетерогенных сред, в том числе и уравнения для средних топологических характеристик межфазной поверхности - компонент тензора удельной поверхности и удельной поверхности.

4. Получена система уравнений механики гетерогенных сред в случае, когда межфазной поверхностью является граница раздела несжимаемых ньютоновских жидкостей, на которой действуют поверхностные лапласовские силы. Система получена из общей системы уравнений механики гетерогенных сред, а уравнения для средних по межфазной поверхности параметров, входящие в систему, написаны из общей системы уравнений для осредненных по межфазной поверхности параметров фаз, в том числе из уравнений для средних топологических характеристик межфазной поверхности. Осреднением по межфазной поверхности уравнений, выражающих равенство локальных скоростей фаз и касательных напряжений в фазах и равенство разности нормальных напряжений лапласовскому давлению, получены дополнительные уравнения, замыкающие систему уравнений механики гетерогенных сред в указанном случае смеси фаз несжимаемых ньютоновских жидкостей. 5. Решена задача о спекании в невесомости упакованных в виде сферического слоя капель несжимаемой ньютоновской жидкости, находящейся в другой несжимаемой ньютоновской жидкости в сферически симметричной постановке. Решения получены для случаев, когда центральная область упаковки занята фазой капель или фазой жидкости, окружающей капли. Уравнения задачи записаны на основе замкнутой системы уравнений, использующей точные выражения для объемной плотности лапласовских сил, средних топологических характеристик межфазной поверхности и других точных уравнений для осредненных по межфазной поверхности параметров фаз. Показано, что уравнения, для средних величин безразмерных скоростей фаз, средней по межфазной поверхности скорости, объемных долей фаз, удельной межфазной поверхности и безразмерных радиусов упаковки, зависят только от

R Р\ безразмерного числа Лапласа L0 =-^—J—— и отношения массовых

-H-jV d плотностей жидкостей. В выражении для числа Лапласа R0- начальный радиус упаковки, ц.,,^- коэффициенты динамических вязкостей, плотность жидкости, окружающей капли, £0- коэффициент поверхностного натяжения на межфазной поверхности, d- диаметр капель. Показано, что если начальная удельная поверхность пропорциональна объемной доле фазы, то гладкое сферически симметричное решение существует только в случае экспоненциальной зависимости начальной функции объемной доли спекаемой фазы от радиуса Определена область начальных безразмерных параметров включающих меньший радиус упаковки и два коэффициента в начальной функции объемной доли, в которой существует сферически симметричное решение.

Достоверность полученных результатов следует из корректности физической и математической постановки задач и методов их решения, выполнения законов сохранения, точного задания граничных условий, качественного сравнения с численными и экспериментальными результатами других авторов. Практическая и теоретическая значимость работы.

Введено новое понятие - функция распределения удельной межфазной поверхности в гетерогенной среде, в зависимости от углов наклона ее нормалей и получено уравнение для ее определения. Указанное новое уравнение может применяться как в механике гетерогенных сред, так и в других приложениях, где необходима информация о средних топологических характеристиках поверхности.

Создана теория вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров входящих в систему уравнений механики гетерогенных сред. Это позволяет при определении указанных параметров не использовать приближенные представления о структуре межфазной поверхности, а использовать точные уравнения для определения удельной межфазной поверхности и других средних характеристик гетерогенной смеси в зависимости от времени и координат

Разработан метод дополнительного пространственного осреднения в механике гетерогенных сред, который может использоваться при получении выражений для средних параметров вдоль линий пересечения плоскости с межфазной поверхностью. Указанным методом получены аналоги формулы Стокса для гетерогенной среды и из них выведены точные формулы для объемных плотностей лапласовских сил, которые необходимы во многих приложениях. Методом дополнительного пространственного осреднения получена точная теоретическая формула, для удельной длины линий пересечения плоскости с межфазной поверхностью, которая может использоваться в приложениях.

На основе точных уравнений для осредненных по межфазной поверхности параметров фаз, решена задача о спекании в невесомости сферически симметричной упаковки капель, находящейся в несжимаемой жидкости. Указанное точное решение, может быть использовано при моделировании явлений, связанных с разделением жидкостей, например, нефти и воды, масел и воды, жидких металлов и др.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Уравнение для функции распределения удельной площади межфазной поверхности в зависимости от углов наклона ее нормалей и его решение в случае, когда границей раздела является свободная поверхность ньютоновской жидкости.

2. Метод дополнительного пространственного осреднения в механике гетерогенных сред и полученные этим методом аналоги формулы Стокса и формулы для объемных плотностей лапласовских сил и объемных плотностей момента импульса и мощности лапласовских сил 3 Уравнение для признака - осредненной по межфазной поверхности функции локальных параметров фаз, полученных из уравнения для признака уравнений для средних топологических характеристик межфазной поверхности - удельной поверхности и тензора удельной поверхности.

4. Теория вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров фаз, входящих в систему уравнений механики гетерогенных сред.

5. Система уравнений механики гетерогенных сред в случае, когда межфазной поверхностью является граница раздела несжимаемых ньютоновских жидкостей.

6. Результаты решения сферически симметричной задачи о спекании в невесомости капель несжимаемой жидкости, находящихся в другой несжимаемой жидкости и упакованных в виде сферического слоя.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах Отдела структурной макрокинетики Томского научного центра СО РАН, в Институте прикладной математики и механики при Томском госуниверситете. Отдельные разделы работы докладывались на семинаре в Институте физики прочности и материаловедения Томского научного центра СО РАН, на 7 Международном симпозиуме по самораспространяющемуся высокотемпературному синтезу (Краков, 2003), на конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов (ИФПМ СО РАН, Томск, 2004), на 4 международной конференции "Хаос и структуры в нелинейных системах. Теория и эксперимент" (Караганда, 2004). Работа полностью докладывалась на семинаре академика Р.И. Нигматулина в Институте механики Уфимского научного центра РАН и на семинаре кафедры математической физики Томского госуниверситета

Публикации Основные результаты исследований опубликованы в 20 работах [4, 8, 10, 12, 18-21, 23-34], из них 19 в журналах и 1 в материалах международной конференции. Некоторые работы выполнены совместно. Щрагер Э.Р [33-34], являясь научным консультантом, принимал участие в обсуждении результатов. Бушланов И.В. [10, 18-20], принимал участие в решении задач. Работа выполнялась в 1989-2004 годах по программам АН СССР и РАН в Отделе структурной макрокинетики Томского научного центра СО РАН и в очной докторантуре Томского госуниверситета в 20012004 годах В ходе исследований автору посчастливилось советоваться и обсуждать многие вопросы с коллегами из НИИ ПММ при ТГУ, ИФПМ СО РАН, Отдела структурной макрокинетики ТНЦ СО РАН Всем им выражаю глубокую благодарность. С благодарностью вспоминаю совместные образовательные семинары с Бутовым В.Г., Бородиным А.И., Афониным ГИ, Дурневым В.Н. - полученные на семинарах знания постоянно применялись в работе. Глубоко признателен моим учителям - Васенину Игорю Михайловичу и ушедшему из жизни Вилюнову Владимиру Никифоровичу, эрудиция которых, является для меня примером в научной работе. Особая роль в проведении исследований принадлежит Максимову Юрию Михайловичу, внимание и поддержка которого, в сочетании с деликатной требовательностью, привели к появлению данной работы. Я глубоко признателен моим коллегам Зелепугину С.А. предоставившему мне все необходимые образцы документов в электронном виде, что существенно ускорило написание работы, и Смолякову В.К., который сделал замечания, улучшившие качество работы.

Основные выводы по работе заключаются в следующем: 1 Дано определение функции распределения площади межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей. Получено уравнение для указанной функции в предположении, что в гетерогенной среде нет источников "рождения" и "уничтожения" межфазной поверхности (например, образование зародышей в конденсированной фазы в паре, или пузырьков в жидкости). Методом представления решения в виде суммы по индексу j членов ряда из сферических гармоник показано, что решение для функции распределения в случае, когда межфазной поверхностью является свободная поверхность ньютоновской жидкости, состоит из двух независимых сумм, а именно, для значений j < 2 и j>2. Коэффициенты указанных рядов sjm находятся независимо друг от друга, при этом коэффициенты отрезка ряда для значений j<2 выражаются линейно с постоянными коэффициентами через средние топологические параметры межфазной поверхности - компоненты тензора удельной поверхности. Получено решение уравнения для логарифма функции распределения в виде ряда по сферическим функциям в случае, когда межфазной поверхностью является свободная поверхность ньютоновской жидкости. Показано, что коэффициенты ряда выражаются из двух независимых систем уравнений. Система уравнений для коэффициентов ряда при j>2 состоит из независимых друг от друга уравнений. Сделан вывод, что если начальная функция логарифма функции распределения представляется конечным отрезком ряда по сферическим функциям, то и решение будет являться конечным рядом по этим же сферическим функциям. Получено выражение для средней удельной длины линий пересечения межфазной поверхности и плоскости, заданной вектором нормали к ней.

2. Разработана теория вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров, входящих в уравнения механики гетерогенных сред, записанные методом пространственного осреднения. Предложен метод дополнительного пространственного осреднения (ДПО). Указанным методом получены аналоги формулы Стокса, которые выражают осредненные значения инвариантных дифференциальных величин локальных параметров на межфазной поверхности через инвариантные дифференциальные величины от осредненных локальных параметров. Аналоги формул Стокса позволили вычислить среднее значение градиента функции по межфазной поверхности через градиент от среднего значения указанной функции и неизвестную функцию, которая должна определяться из граничных условий на межфазной поверхности для локальных параметров.

3. Сформулирована топологическая гипотеза, позволяющая вычислять осредненное по межфазной поверхности произведение функции, зависящей от локальных координат и функции от локальных компонент нормали к поверхности, через произведение осредненных по межфазной поверхности указанных функций.

4 Получена система уравнений для определения компонент тензора удельной поверхности и система уравнений признаков вида Ф \|/,(t,x)n1 n,m Заданием в указанной системе уравнений признака в виде величин скоростей, давлений и их произведений на компоненты тензора скоростей деформаций, получены уравнения для осредненных по МФП величин скоростей, давлений и их произведений на компоненты тензора скоростей деформаций.

5.Методом дополнительного пространственного осреднения получены точные выражения для объемной плотности лапласовских сил и объемных плотностей мощности и момента импульса лапласовских сил, которые входят в уравнения механики гетерогенных сред.

6. Записаны уравнения механики гетерогенных сред в случае смеси жидкостей, когда межфазная поверхность разделяет две несмешивающиеся несжимаемые ньютоновские жидкости. Получены уравнения для определения осредненных по межфазной поверхности скоростей, давлений, компонент тензоров скоростей деформаций, угловых скоростей, компонент тензора удельной поверхности, удельной поверхности, уравнений для вспомогательных величин < V,'mVp V,1 >12, < p^V^V,'1 >12, е^е™1 >12, <eIpqQ11>12, <Q^Q' >12. Уравнения для осредненных по межфазной поверхности параметров необходимы для получения замкнутой системы уравнений механики гетерогенных сред. Уравнения для средних топологических характеристик межфазной поверхности позволяют точным образом определить удельную поверхность, объемные плотности лапласовских сил в гетерогенной среде, а также объемные плотности мощности и момента импульса лапласовских сил гетерогенной среды. Для указанных объемных плотностей получены точные аналитические формулы. Получены для каждой фазы уравнения сохранения массы, импульса, энергии, момента импульса, а также уравнения сохранения массы и импульса для гетерогенной среды. Получено выражение для тензора полных напряжений гетерогенной среды, которое является полезным для задания граничных условий в напряжениях на границе раздела гетерогенной и однофазной сред.

7. Записаны уравнения механики гетерогенных сред в случае, когда межфазной границей является поверхность раздела несмешивающихся несжимаемых ньютоновских жидкостей, в ортогональной криволинейной системе координат. Приведены указанные уравнения в сферической системе координат.

8. Решена в сферически симметричной постановке задача о спекании в невесомости упакованных в виде сферического слоя капель несжимаемой жидкости, окруженных другой жидкостью. В качестве уравнений задачи использованы уравнения механики гетерогенных сред [1] и точные уравнения теории вычисления осредненных по МФП параметров в случае, когда граница разделяет две несжимаемые жидкости. Показано, что безразмерные скорости границ гетерогенного сферического слоя, средние скорости фаз, средняя скорость на межфазной поверхности, объемные доли фаз, удельная межфазная поверхность, средняя по межфазной поверхности лапласовская сила - функции только двух безразмерных параметров. А именно, числа Лапласа L0 = iypJS0d/(ц, - р^) и отношения плотностей фаз у = р,/рг где р,,р ,ц1}|и. - соответственно плотности и динамические вязкости фаз, £0- коэффициент поверхностного натяжения на МФП, d- начальный диаметр капель. Получено гладкое сферически симметричное решение в случае экспоненциальной зависимости от радиуса упаковки начальной функции, задающей объемную долю спекаемой фазы. Получено аналитическое решение задачи о спекании в сферически симметричной постановке для маленьких времен, соответствующих началу спекания Получено численное решение системы точных обыкновенных дифференциальных уравнений для определения зависимостей радиусов упаковки от времени для чисел Лапласа равных 1400 и 100, в случае, когда первоначально в центральной области упаковки находится фаза жидкости окружающей капли. Из численных решений определены времена существования сферически симметричных решений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработанная теория вычисления осредненных по межфазной поверхности параметров в пространственно осредненных уравнениях механики гетерогенных сред на основе функции распределения удельной межфазной поверхности от углов наклона ее нормалей позволяет моделировать явления в гетерогенных средах, используя точные уравнения для средних параметров фаз на межфазной поверхности. Получены точные уравнения для удельной межфазной поверхности, для тензора удельной поверхности и точные формулы для объемных плотностей лапласовских сил

1. Нигматулин Р И Основы механики гетерогенных сред М . Наука, 1978.-336с

2. Нигматулин РИ. Динамика многофазных сред.- т 1 -М Наука, 1987-463с

3. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред.-т2- М.:Наука, 1987.-359с

4. Бушланов В.П. Осредненное выражение для вектора объемной плотности капиллярной силы в спекаемой порошковой смеси // ПМТФ -2000 -т. 41.-№4 -с. 165-167

5. Chandrasekhar S. The stability of a rotating liquid drop // Proc. Roy. Soc. London.- 1965.- V А286,- №1404.-p.l-26.

6. С Чандрасекхар. Эллипсоидальные фигуры равновесия.- М.: Мир, 1973.- 288с.

7. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости,- М. Мир, 1973.-758с.

8. Бушланов В.П. О функции распределения площади межфазной поверхности в зависимости от углов наклона ее нормалей // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования.- 2000.-№10.-с.88-91.

9. Смирнов В.И. Курс высшей математики.- т.2.- М.: Наука, 1967.-648с.

10. Бушланов В П., Смолин А.Ю. Модель процесса квазистатического прессования пористых тел // Порошковая металлургия.-1992 -№8 — с.39-43

11. Jagota А, Dawson Р R. Micromechanical modeling of powder compacts -1 Unit problems for sintering and traction induced deformation // Acta metal. -1988.- Vol.36-No 9.- p.2551-2561.

12. Справочник химика M . Химия, 1966 -JL- т.1- с.1026-1029

13. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред.- М.: ГИТТЛ, 1953.-c.143.

14. Седов Л.И. Механика сплошной среды,- т.1.- М. Наука, 1976.- 535с.

15. Седов Л.И. Механика сплошной среды.- т 2.- М.- Наука, 1976.- 573с.

16. Бушланов В.П., Бушланов ИВ. К теории пространственного осреднения в механике гетерогенных сред // ДАН.- 2002.-t.382.- №3 -с.346-348.

17. Бушланов В.П., Бушланов И.В. Решение задачи о слиянии сферически упакованных капель ньютоновской жидкости, взвешенных в другой жидкости // Физическая мезомеханика.-2004.-т.7.- Спец. выпуск.- ч.1.- с.50-53.

18. Бушланов В.П. Приближенное решение задачи об осесимметричном течении вязкой несжимаемой жидкости в угловой области // Изв. РАН. МЖГ,- 1999.- №1,- с.157-160.

19. Jagota A., Dawson P R. Micromechanical modeling of powder compacts-2. Tmss formulation of discrete packings // Acta metal.- 1988 Vol.36.-No 9 -p 2563-2573

20. Бушланов В.П. Интегральные уравнения для задачи о спекании упаковки капель жидкости, окруженных другой жидкостью // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации.-№17.-январь 2004.- с.58-63

21. Бушланов В.П. Вероятность образования покрытия из термически активных частиц // ПМТФ.- 1992.- с. 26-29.

22. Бушланов В.П. О взаимном тепловом влиянии напыленных частиц на прочность плазменного покрытия // ИФЖ.-1992.- т.62.- №1.- с. 51-56.

23. Shrager E.R., Bushlanov V.P. Calculation of mean specific length of lines, formed by crossing of plane whiz interface in heterogeneous medium // EPT journal (в печати)

24. Я. Френкель. Вязкое течение в кристаллических телах // ЖЭТФ.- 1946.-Т.16.- Вып.1 с.29-38

25. Hua Zhou., Jeffery J. Derby. Three-Dimensional Finite-Element Analysis of Viscous Sintering//J. Am. Ceram. Soc.-1998.- 81 3.-p.533-40.

26. Alfred van de Vorst. Numerical Simulation of Viscous Sintering by a Periodic Lattice of a Representative Unit Cell // J. Am. Ceram. Soc.- 1998.- 81 8.- p.2147-56.

27. Гриняев Ю.В., Чертова H.B. Полевая теория дефектов. Часть 1 // Физическая мезомеханика.-2000.-т.З.-№5.-с. 19-23.

28. Скороход В.В., Солонин С.М. Физико-металлургические основы спекания порошков.-М.: Металлургия, 1984.-159с.

29. Радомысельский И.Д., Щербань Н.И. Некоторые особенности уплотнения порошков на различных стадиях прессования // Порошковая металлургия.-1980.11 .-с. 12-19.

30. Феноменологические теории прессования порошков/ Штерн М.Б., Сердюк Г.Г., Максименко JI.A., Трухан Ю.В., Шуляков Ю.М.-Киев: Наук, думка, 1982.-140с.

31. Скороход В.В. Реологические основы теории спекания.- Киев:Наук. думка, 1972.-152с.

32. Ковальченко М.С. Теоретические основы горячей обработки пористых материалов давлением.-Киев: Наук, думка, 1980.~240с.

33. Балыиин М.Ю , Кипарисов С.С. Основы порошковой металлургии -М. Металлургия, 1978 -195с

34. Бучацкий JI.M , Столин A.M., Худяев С И Кинетика изменения распределения плотности при горячем одностороннем прессовании вязкого пористого тела // Порошковая металлургия.-1986.-№9.-с.37-42.

35. Скороход В.В , Штерн М.Б., Мартынова Н.Ф Теория нелинейно-вязкого и пластического поведения пористых материалов // Порошковая металлургия.-1987 -№8.-с.23.

36. Никольская JIН., Русанов Б.В., Фридберг Н.Д. О функции пористости, учитывающей контакты частиц в прессовках // Порошковая металлургия.-1988.-№6.-с.23-27

37. Друянов Б.Л., Вартанов К.Б. Термомеханическая теория деформирования пористых и порошковых сред с учетом "самопроизвольного уплотнения" // Порошковая металлургия.-1984.-№11.-с.29-32.

38. Горохов В.М., Ковальченко М.С., Роман О.М. Уплотнение и формоизменение пористых материалов при горячем прессовании в условиях неравномерного трехосного сжатия // Порошковая металлургия.-1983.-№1.-с.8-13.

39. Мартынов Н.Ф., Штерн М.Б. Уравнение пластичности пористого тела, учитывающее истинные деформации материала основы // Порошковая металлургия.-1978 -№1 -с.23-29.

40. ПерельманВ Е. Формование порошковых материалов.-М. Металлургия, 1979 -232с.

41. Мидуков В 3., Рудь В.Д. Экспериментальное исследование пластических деформаций пористых тел // Порошковая металлургия.-1982.-№8.-с 10-16.

42. Смыслов А.Ю. К теории пластичности пористых сред // Известия вузов. Машиностроение.-1980.-№4.-с.107-110.

43. Грин Р.Дж. Теория пластичности пористых тел // "Механика", период, сб. переводов иностр. статей №4.-М.: Мир, 1973.

44. Сегал В.М. Вариант теории пластичности пористого тела // Прикладная механика.-1981 -17.- №3.-с.44-49.

45. Петросян Г.Л. О теории пластичности пористых тел // Известия вузов. Машиностроение.-1977.-№5 .-с. 10-13.

46. Ковальченко М.С. Теория импульсного горячего прессования пористого упруго- пластично-вязкого тела. 1. Модели и основные уравнения // Порошковая металлургия.-1989.-№4.-с.19-26.

47. Велик В Д Связь между плотностью упаковки и координационным числом порошковых смесей. 1 Двухчастичная функция микрочастиц и ее геометрическая интерпретация // Порошковая металлургия 1989 -№6 -с.21-25

48. Велик В.Д Связь между плотностью упаковки и координационным числом порошковых смесей. 2 Нахождение среднего числа контактов и их среднеквадратичного отклонения//Порошковая металлургия. 1989.-№8с. 18-22.

49. Буряченко В А , Липанов A.M. Метод эффективного поля в теории идеальной пластичности композитных материалов.

50. Одолевский В.И. Расчет обобщенной проводимости гетерогенных систем. 1 .Матричные двухфазные системы с невытянутыми включениями // ЖЭТФ.-1951 .-т.21 .-вып.6.-с.667-77.

51. Одолевский В.И. Расчет обобщенной проводимости гетерогенных систем. 2. Статистические смеси невытянутых частиц // ЖЭТФ.-1951.-т.21.-вып.6.-с.678-85

52. Рудь В.Д., Мидуков В.З. Экспериментальная проверка гипотез пластичности пористых тел // Порошковая металлургия.-1982.-№ 1 .-с. 14-20.

53. Мидуков В.З., Рудь В.Д. Экспериментальное исследование пластических деформаций пористых тел. Обзор // Порошковая металлургия.-1982.-№8 .-с. 10-16.

54. Седов Л.И Математические методы построения новых моделей сплошных сред // УМН.-1965 -т 20 вып.5

55. Бердичевский В Л. Вариационные принципы механики сплошной среды -М Наука, 1983.

56. Гельфанд Б Е Современное состояние и задачи исследований в системе капли жидкости газ // Хим. физ. процессов горения и взрыва Детонация.-Черноголовка, 1977 -с.28-3 9.

57. Годунов С К. Элементы механики сплошной среды.-М. Наука, 1978.-304с.

58. Гольдштик М. А Процессы переноса в зернистом слое.-Новосибирск: ИТФ.- 1984 -163с

59. Иорданский С В. Об уравнениях движения жидкости, содержащей пузырьки газа // ПМТФ.-1960 -№3

60. Иорданский С.В., Куликовский А.Г. О движении жидкости, содержащей мелкие частицы // Изв. АН СССР. МЖГ.-№4.-с. 12-20

61. Крайко А.Н., Нигматулин Р.И., Старков В.К., Стернин Л.Е. Механика многофазных сред // Итоги науки. Гидромеханика.-М.: ВИНИТИ.-1972.-т.6.-с.93-176.

62. Крайко А.Н., Стернин Л.Е. К теории течений двухскоростной сплошной среды с твердыми или жидкими частицами // ПММ.-1965.-т.29, №3.

63. Крайко А.Н., Шрайбер А.А. К построению модели, описывающей в одномерном приближении двухфазное течение с коагуляцией частиц полидисперсного конденсата // ПМТФ.-1974.-№2.-с.67-74.

64. Ляхов Г.И. Волны в грунтах и пористых средах. М.: Наука, 1982.-288с.

65. Мусаев Н Д К двухскоростной механике зернистых пористых сред // ПММ -1985 -т 49 №2 -с.334-336

66. Нигматулин Р И. Методы механики сплошной среды для описания многофазных смесей // ПММ,-1970 -т 34 №>6.-с. 1097-1112

67. Нигматулин Р.И. Мелкомасштабные течения и поверхностные эффекты в гидромеханике многофазных сред // ПММ.-1971.-т.35 №3 -с.451-463

68. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г А. Механика насыщенных пористых сред. М . Недра, 1970.-336с.

69. Рахматулин Х.А. Основы газовой динамики взаимопроникающих движений сплошных сред // ПММ.-1956.-т.20.- №2.

70. Стернин JI.E. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.- М : Машиностроение, 1974.

71. Стернин Л.Е., Маслов Б.Н., Шрайбер А.А.,Подвысоцкий A.M. Двухфазные моно- и полидисперсные течения газа с частицами.- М.: Машиностроение, 1980.-171 с.

72. Boothroyd R.G. Flowing gas-solids suspensions.-London: Chapman and Hall Ltd, 1971.-Рус. пер.: Бусройд P Т. Течение газа со взвешенными частицами.- М.: Мир, 1975.

73. Hirschfelder J.O.,Curtiss C.F.,Bird R.B. Molecular theory of gases and liquids.- New York: John Wiley and Sons, 1954.-Pyc. пер.: Хиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей.- М.: ИЛ, 1961.

74. Soo S.L. Fluid dynamics of multi-phase systems.-Toronto-London, 1967.-Рус. пер.: Coy С. Гидродинамика многофазных систем.- M.: Мир, 1971.-536с.

75. Баренблатт Г И., Ентов В М , Рыжик В М. Движение жидкостей и газов в природных пластах.- М Недра, 1984 -211с.

76. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей.- М. Наука, 1972.

77. Дейч М.Е ,Филиппов Г А Газодинамика двухфазных сред.- М.: Энергоиздат, 1981 .-472с.

78. Николаевский В.Н. Движение углеводородных смесей в пористой среде.- М. • Недра, 1968.

79. Баренблатт Г.И., Винниченко А.П. Неравновесная фильтрация несмешивающихся жидкостей // Успехи механики.-1980.-т.З.- №3.-с.35-50. 95 Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред М.- Мир, 1975 -592с.

80. Гегузин Я.Е. Физика спекания М/ Наука, 1984.-312с.

81. Скороход В.В. Реологические основы теории спекания.- Киев: Науковадумка, 1972.-149с.

82. Бердичевский B.JI. Уравнения механики жидкости с частицами. Проблемы осреднения и построения континуальных моделей в механике сплошной среды.- М.: МГУ.-1980.-с.10-35.

83. Буевич Ю.А., Щелчкова И.Н. Континуальная механика монодисперсных суспензий // Препринт ИПМ АН СССР.- М., 1976.-57с.

84. Савицкий А.П. Жидкофазное спекание систем с взаимодействующими компонентами.- Новосибирск.: Наука. Сибирское отделение, 1991.-184с.

85. Сметанин С.В., Шрагер Г.Р., Якутенок В.А. Численное исследование слияния капель вязкой жидкости // МЖГ.-2000.-№6.-с.ЗЗ.

86. Гегузин Я.Е. Слияние вязких сфер под влиянием сил поверхностного натяжения // Докл. АН СССР.-1974.-т.217.-№2 с.295-298.

87. Николаевский В.Н Механические свойства грунтов и теория пластичностми.- Итоги науки и техники. Сер. Механика твердых деформируемых тел, 1976.- 6 с.6-86

88. Каприц. Дж. Сплошные среды с субструктурой Часть 1 // Физическая мезомеханика.-2000.-т 3 -№4 -с.5-14.

89. Каприц. Дж. Сплошные среды с субструктурой Часть 2 // Физическая мезомеханика.-2000.-т.3.-№6.-с.37-50

90. Псахье С.Г., Чертов М.А., Шилько Е.В. Интерпретация параметров метода подвижных клеточных автоматов на основе перехода к континуальному описанию // Физическая мезомеханика.-2000.-т.3.-№3.-с 93-96

91. Попов B.JL, Псахье С.Г. Теоретические основы моделирования упруго-пластичных сред методом подвижных клеточных автоматов. 1,Однородные среды // Физическая мезомеханика.-2001.-т.4.-№1.-с.17-28.

92. Иванов Д.С., Ташканов А.А. Физические поля в компонентах композитов с псевдослучайной структурой // Физическая мезомеханика.-2001.-т.4.-№2.-с.29-36.

93. Йошида С. Интерпретация мезомеханических характеристик пластической деформации на основе аналогии с теорией электромагнитного поля Максвелла // Физическая мезомеханика.-2001.-т.4.-№3.-с.29-34.

94. Псахье С Г , Смолин А Ю , Стефанов Ю.П , Макаров П.В., Шилько Е.В., Чертов М.А . Евтушенко Е П Моделирование поведения сложных сред на основе комбинированного дискретно-континуального подхода // Физическая мезомеханика.-2003 -т 6.-№6.-с 11-21

95. Николаевский В.Н Механика насыщенных пористых сред.- М. Недра, 1970.-355с.

96. Николаевский В.Н Механика пористых и трещиноватых сред.- М.: Недра, 1984.-232с.

97. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах: Математические задачи механики композиционных материалов.-М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984.-352с

98. Липанов A.M. Теоретические основы отработки твердых ракетных топлив.-Ижевск: ИПМ УрО РАН, 2003.-92с.

99. Михайлов О.В., Штерн М.Б. Численное моделирование процессов прессования порошковых изделий сложной формы в жестких матрицах: влияние схемы прессования на распределение плотности. 1 .Механическая модель // Порошковая металлургия.-2002.-№11/12.-С.29-36.

100. Zong Z.L., Niemi Е. A class of generalized mid-point algorithms for the Gurson-Tvergaard material model // Int. J. Numer. Method Eng.-1995.-38.-p.2033-2055.

101. Кузьмов А.В., Штерн М.Б. Влияние третьего инварианта на свойства и структуру определяющих соотношений порошковых материалов // Порошковая металлургия.- 2003.-№7/8.-с.1-10

102. Солонин C.M. Расчет величины межфазной поверхности двухкомпонентных порошковых смесей // Порошковая металлургия.-1994.-№3/4.-с.37-41.

103. Штерн М.Б., Майданюк А.П., Кокс А. Влияние третьего инварианта на эффективную реакцию пластических пористых тел. 1 .Поведение элементарной ячейки пористого материала и обобщенное правило нормальности // Порошковая металлургия.- 2002.- №5/6.-с.19-27.

104. Cocks A C. F Inelastic deformations of porous bodies // J. Mech. Phys. Solids/- 1989.- 37 -No 6.-p.693-715.

105. Rice J.R., Tracey D.M. On the ductile enlargement of voids in triaxial stress fields //Ibid.- 1969 -17.-p.201-217.

106. Me. ClintockF.A. A criterion for ductile fracture by growth of holes // Trans. ASME. Series E, J Appl. Mech.- 1968.-35.-p.363-371/

107. Еременко В.Н. Поверхностные явления и их роль в процессах жидкофазного спекания и пропитке пористых тел жидкими металлами // Порошковая металлургия.-2002.-№9/10.-с.30-52.

108. Покровский Г.И. Капиллярные силы в грунтах.-М.: Госстройиздат.-1933.

109. Безымянный Ю Г Возможности акустических методов при контроле структуры и физико-механических свойств пористых материалов // Порошковая металлургия.-2001 -№5/6.-с.23-33

110. Нурканов Е Ю , Кадушников Р М., Каменин И.Г , Алиевский Д.М , Карташов В.В. Исследование плотностных характеристик трехмерных стохастических упаковок сферических частиц с использованием компьютерной модели// Порошковая металлургия.-2001.-№5/6.-с34-42

111. Николенко А.Н. Мезоструктура порошковых материалов // Порошковая металлургия.- 1995.-№11/12.-с.88-94.

112. Волошин В.П, Медведев Н.Н., Фенелонов В.Б., Парман В.Н. Исследование структуры пор в компьютерных моделях плотных и рыхлых упаковок сферических частиц // Журн. структур, химии.- 1999 -40.-№4

113. Кадушников Р М., Скороход В.В., Каменин И.Г., Алиевский В.М , Нурканов Е.Ю., Алиевский Д.М. Компьютерное моделирование спекания сферических частиц // Порошковая металлургия.-2001.-№3/4.-с.71-82.

114. Кадушников P.M., Бекетов А.Р. Геометрическое моделирование структуры полидисперсных материалов // Порошковая металлургия.-1989.-№10.-С.69-74.

115. Кадушников P.M., Алиевский Д.М., Алиевский В.М., Бекетов А.Р. Компьютерное моделирование эволюции микроструктуры полидисперсных материалов при спекании. 1. Основные положения // Порошковая металлургия.-1991 .-№2.-с. 18-24.

116. Кадушников P.M., Алиевский Д.М., Алиевский В.М., Бекетов А.Р. Компьютерное моделирование эволюции микроструктуры полидисперсных материалов при спекании. 2.3ональное обособление // Порошковая металлургия.-1991 .-№5.-с.5-10.

117. Кадушников Р М , Алиевский Д М, Алиевский В М , Бекетов А.Р Компьютерное моделирование эволюции микроструктуры полидисперсных материалов при спекании. 3.Нормальный рост зерен // Порошковая металлургия.-1991 .-№6.-с.21 -24.