Равновесные двухфазные деформации упругих тел и зоны фазовых переходов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

1 Равновесные центрально-симметричные двухфазные поля деформаций

1.1. Равновесие двухфазных упругих тел в случае малых деформаций

1.2. Исследование неединственности равновесных центрально-симметричных двухфазных деформаций

1.3. Анализ диаграмм деформирования.

1.3.1. Сплошной шар.

1.3.2. Шар со сферической полостью.

2 Исследование устойчивости равновесных двухфазных конфигураций

2.1. Зарождение новой фазы.

2.2. Линеаризованная краевая задача для двухфазного тела

2.3. Устойчивость центрально симметричной деформации

2.3.1. Устойчивость двухфазного сплошного шара.

2.3.2. Устойчивость двухфазного шара с полостью или жестким включением в центре.

2.3.3. Сравнение решений задачи о двухфазном композите и задачи с фазовыми превращениями.

3 Построение зон фазовых переходов в случае малых деформаций

3.1. Исходные соотношения

3.2. Зоны ФП в случае изотропных фаз

3.2.1. Влияние параметров материала на вид зоны ФП

3.2.2. Центрально-симметричные двухфазные поля деформаций и зона ФП.

3.2.3. Возникновение слоя новой фазы при одноосном растяжении-сжатии

3.2.4. Эллипсоидальный зародыш и зона ФП

4 Фазовые превращения по механизму множественного возникновения слоев новой фазы

4.1. Исходные соотношения

4.2. Сопоставление траекторий деформирования по механизму возникновения слоев с зонами ФП в случае изотропных фаз

4.3. Зоны ФП и траектории деформирования при деформационных ФП.

4.3.1. Зоны ФП

4.3.2. Траектории и диаграммы деформирования при деформационных фазовых переходах.

Актуальность. Исследования фазовых превращений в процессе деформирования твердых тел представляют актуальное научное направление, находящееся на стыке механики, физики твердого тела и материаловедения. Непрерывно возрастающий интерес к проблеме как в России, так и за рубежом, обусловлен следующими обстоятельствами. С фазовыми переходами (ФП), протекающими как при деформировании, так и при изменении температуры, связаны мартенситные превращения [17, 20, 24, 47, 48, 49, 103, 56, 4] и эффекты памяти формы в сплавах [27, 28, 30], а также ориентационные превращения в полимерах [3, 26, 65, 66, 70, 71, 72, 104]. Использование и проектирование функциональных (smart) материалов, которые в результате фазовых переходов могут нетривиально реагировать на внешние термомеханические воздействия, впрямую связано с пониманием и количественными оценками эффектов, вызванных фазовыми превращениями [30]. С различной локализацией деформаций вследствие структурных превращений связаны особенности реологического поведения материала и изменение характера разрушения в зависимости от вида напряженного состояния. Возникающие вследствие фазовых превращений внутренние напряжения [46] могут как инициировать, так и блокировать разрушение. Об интенсивности исследований свидетельствуют постоянно возрастающее количество публикаций и интерес, проявляемый к данной тематике на международных конференциях.

Вместе с тем, взаимосвязи ФП с процессами деформирования и разрушения в значительной степени остаются неясными или находятся на качественном уровне понимания. В настоящее время можно выделить два подхода к описанию ФП:

1. Разработка моделей, основанных на введении дополнительных параметров состояния, характеризующих те или иные особенности структуры материала "в среднем" (например, концентрация новой фазы), и формулировке соотношений для них (см., например, работы В.А. Лихачева, В.Г. Малинина, А.Е. Волкова, А.И. Разова и их соавторов, Г.А. Малыгина, К. Танаки, Д. Лагоудаса, Э. Патора (см. библиографию в [30]), А.А. Мовчана [31-36]). Экспериментальная проверка достоверности таких моделей и численные эксперименты позволяют выявить важные особенности деформационных процессов, связанных с фазовыми превращениями. Обладая определенной предсказательной силой, эти модели являются полезными для проведения инженерных расчетов. Вместе с тем, собственно двухфазная структура и детальное описание локальных полей напряжений при таком подходе остаются за рамками рассмотрения.

2. Явное введение в рассмотрение межфазных границ с учетом условий на границе фаз деформируемого материала и кинетики развития новой фазы. Такая постановка подразумевает описание двухфазных структур, возникающих при деформировании, и определение соответствующих локальных полей напряжений. Это новое направление механики, зародившееся в начале 80-х годов, позволяет непротиворечиво описывать ФП с точки зрения механики деформируемого твердого тела и, в то же время, использовать многие идеи классической теории фазовых переходов, восходящей к работам Дж. Гиббса [6]. Пионерами этого направления в России являются М.А. Гринфельд [7-11], В.И. Кондауров, Л.В. Никитин [21-23], Л.М. Трускиновский [50], В.Л. Бердичевский [1-2], Л.М. Зубов, В.А. Еремеев [12-16], [73, 74], А.А. Вакуленко [5], А.Б. Фрей-дин [25], [40-43], [52-55], [51-84], Н.Ф. Морозов, В.Г. Осмоловский [37-39], [44, 45]. Среди интенсивно возрастающего количества зарубежных публикаций можно выделить основополагающие работы Р. Джеймса [90, 91], Дж. Ноулса [93, 95], Дж. Болла [64], Р. Абейаратне [58-63], [101, 102], М. Гартина [67, 68], [85-89], Дж. Эриксена [75-78], Г. Пэрри [97], М. Пит-тери [98-100]. В русле этого современного и развивающегося направления механики деформируемого твердого тела и выполнена данная работа.

В развиваемом подходе при описании ФП используются следующие соображения.

1. Граница фаз упругого материала рассматривается как поверхность разрыва деформаций при непрерывном поле перемещений.

Для такого взгляда имеются как интуитивные, так и формальные основания. С одной стороны, изменение микроструктуры материала, сопровождающее ФП, порождает собственные деформации превращения и изменение модулей упругости, вследствие чего область новой фазы может рассматриваться как неоднородность с разрывным полем деформаций на границе.

С другой стороны, подобно тому как в классической теории ФП расслоение на фазы может быть связано с существованием в пространстве параметров состояния недостижимых областей неустойчивости материала, возникновение в упругом теле равновесного разрывного поля деформаций требует существования в пространстве деформаций областей неэллиптичности материала, в которых нарушается неравенство Адама-ра - необходимое условие устойчивости по отношению к бесконечно малым деформациям (Дж. Ноулс, Э. Стернберг [92, 94]). Это ограничение на определяющие соотношения материала приводит к диаграммам деформирования, аналогичным кривым Ван-дер-Ваальса при ФП "газ -жидкость".

2. На границе фаз в случае равновесия, помимо обычных кинематического (сохранения сплошности) и силового (непрерывности усилия), ставится дополнительное термодинамическое условие — аналог равенства химических потенциалов при равновесии фаз в теории Гиббса. Термодинамическое условие является дополнительным ограничением на возможные разрывные решения. Оно было получено М.А. Гринфельдом из принципа Гиббса (условия стационарности энергии) [7, 11], Р. Джеймсом

90] и М. Гартином [86] как следствие локальной устойчивости двухфазного поля деформаций, а также получалось другими авторами (Л.Трус-киновский [50], Р. Фосдик [80], В.И. Кондауров, Л.В. Никитин [21], В.Г. Осмоловский [45]).

3. Как было уже сказано, равновесные границы фаз могут возникать не во всех материалах. В частности, требование неэллиптичности материала делает невозможным описание ФП в рамках традиционного приближения малых деформаций, когда плотность свободной энергии является непрерывно дифференцируемой квадратичной функцией линейного тензора деформаций. Вместе с тем ФП во многих материалах связаны именно с малыми деформациями. Поэтому в данной работе рассматриваются материалы с невыпуклыми зависимостями плотности свободной энергии от деформаций, моделируемыми набором квадратичных зависимостей (см. [54, 55]).

4. Система условий равновесия на границе фаз может быть удовлетворена не при всех деформациях и не всех ориентациях границы. Это обстоятельство приводит к понятию зоны фазовых переходов, введенному А.Б. Фрейдином и A.M. Чискисом [52, 53]:

Определение. Зона фазовых переходов (ФП) - область в пространстве деформаций, деформации из котюрой могут сосуществовать на равновесной границе фаз.

Важность построения зоны ФП состоит в том, что:

Деформации вне зоны ФП не могут оказаться на границе фаз ни при каких условиях нагружения. Граница зоны ФП определяется исключительно свойствами материала и играет роль фазовой диаграммы или предельной поверхности пластичности в пространстве деформаций.

Различные точки границы зоны ФП соответствуют различным видам деформированного состояния. С другой стороны, различным точкам границы зоны соответствуют различные ориентации границы фаз по отношению к тензору деформаций и различные скачки деформаций.

Поэтому построение зоны ФП означает исследование влияния вида деформированного состояния на тип локализации деформаций вследствие фазовых превращений.

Зона ФП является своего рода "картой" в пространстве деформаций, на которой представлены все возможные для данного материала скачки деформаций на равновесных границах фаз и ориентации границы фаз. Построение таких карт, их исследование и сопоставление с траекториями деформирования и полями деформаций в различных двухфазных состояниях является одной из основных задач диссертационной работы.

5. Краевые задачи о двухфазных конфигурациях деформируемых тел являются задачами с неизвестной границей и могут иметь неединственное решение, когда одним и тем же граничным условиям соответствуют различные равновесные двухфазные структуры. Неединственность структур требует анализа устойчивости и оценок степени метастабиль-ности. При этом интерес представляют не только состояния, обеспечивающие глобальный минимум функционала энергии, но и локально устойчивые (метастабильные) состояния. Реализация того или иного состояния зависит от начальных условий и кинетики фазового превращения. Но априорные оценки различных равновесных решений могут делаться безотносительно кинетики превращения на основе анализа устойчивости двухфазных полей деформаций и энергетических изменений, вызванных фазовыми превращениями. Постановка и проведение соответствующего исследования также входит в основные задачи настоящей работы.

Целью работы является анализ неединственности и устойчивости равновесных двухфазных полей деформаций на примере центрально-симметричных полей и построение зон ФП для упругих материалов.

В задачи работы входит:

1. Исследование неединственности и устойчивости центрально-симметричных двухфазных полей деформаций в упругих телах.

2. Построение зон ФП в случае малых деформаций и анализ влияния параметров материала на вид зоны ФП.

3. Исследование типов фазовых границ в зависимости от параметров материала и деформированного состояния.

4. Соотнесение полей деформаций, возникающих в различных двухфазных конфигурациях упругих тел^с зоной ФП. V/

5. Представление траекторий деформирования на зонах ФП. Построение соответствующих диаграмм деформирования упругих тел, претерпевающих фазовые превращения.

Научная новизна. В работе для конкретного класса упругих материалов проведено полное исследование всех возможных ориентаций равновесных границ фаз и скачков деформаций на них. Развита сформулированная ранее концепция зон фазовых переходов и процедура их построения. Исследована зависимость формы зоны ФП от параметров материала, продемонстрировано, что зоны ФП могут быть как замкнутыми, так и разомкнутыми. На примере центрально-симметричных двухфазных полей, возникновения зародыша и слоев новой фазы показано, что соотнесение траекторий деформирования с зонами ФП позволяет предсказать возможность возникновения конкретных двухфазных состояний. Показано, что диаграммы деформирования упругих тел, претерпевающих фазовые превращения, аналогичны диаграммам упруго-пластического тела. Обнаружен эффект незавершенности фазового перехода по механизму возникновения слоев новой фазы. Развита процедура анализа устойчивости двухфазных деформаций. Неединственность и устойчивость двухфазных состояний исследованы на примере равновесных центрально-симметричных двухфазных деформаций. Доказана теорема о количестве центрально-симметричных решений и исследована их устойчивость. Исследовано соотнесение деформаций в устойчивых и неустойчивых состояниях с зоной фазовых переходов.

Научно-практическая значимость. Полученные результаты могут быть полезны для дальнейшего развития теории фазовых превращений при деформировании твердых тел. Реализация развитой в работе процедуры построения зон фазовых переходов означает построение поверхности превращения в пространстве деформаций, играющей роль предельной поверхности пластичности. Процедура позволяет предсказывать смену типа локализации деформаций вследствие фазовых превращений в зависимости от траектории деформирования. Зона ФП определяется зависимостью свободной энергии от деформаций. Реконструкция зоны на основе экспериментальных исследований при частных видах деформирования может быть полезной для конструирования зависимости плотности свободной энергии и последующего прогнозирования ФП на произвольных траекториях нагружения. Возможность незамкнутых зон ФП означает отсутствие ФП на некоторых траекториях деформирования Показано, что фазовые превращения могут существенно влиять на устойчивость упругих тел.

В первой главе показывается, что нелинейность краевой задачи, обусловленная появлением новой степени свободы - неизвестной фазовой границы, приводит к неединственности решения на классе центрально-симметричных полей деформаций. Доказывается, что для изотропного материала на данном классе возможно существование одной границы раздела фаз для сплошного тела и не более двух для тела со сферической полостью независимо от краевых условий на полости. Двухфазные состояния термодинамически предпочтительнее, чем однофазные. Для всех возможных решений строятся диаграммы деформирования и зависимости радиусов равновесных границ от начальных условий.

Во второй главе анализируется как однофазное и полученные в первой главе двухфазные решения соотносятся с точки зрения локальной устойчивости и метастабильности. Устойчивость решений исследуется по отношению к осесимметричным возмущениям. Показывается, что новая степень свободы существенно влияет на устойчивость упругих двухфазных тел, а появление полости, то есть дополнительной внешней границы, оказывает дестабилизирующее действие независимо от типа заданных на ней граничных условий. Для сплошного шара решение, для которого фаза с большим модулем сдвига занимает внешний сферический слой неустойчиво. В случае расположения более жесткой фазы в центре шара потери устойчивости нет. Для шара со сферической полостью при небольших размерах полости, устойчиво решение с одной границей раздела фаз, соответствующее расположению фазы с большим модулем сдвига внутри шара, то есть, когда более жесткая фаза образует внутренний слой. Все другие решения, в том числе и с двумя фазовыми границами, неустойчивы. В случае радиуса полости, большего некоторого значения, все двухфазные решения неустойчивы.

Сравниваются решения задачи равновесия упругих двухфазных тел и решения, получаемые на основе проектирования двухфазных композиционных материалов оптимальной структуры (то есть в случае отсутствия фазовых превращений). Показывается, что наличие фазового перехода и учет собственной деформации превращения приводит к разным результатам.

В третьей главе проводится построение зон ФП. Исследуется влияние параметров материала на вид зоны ФП. Показывается, что границы могут быть как замкнутыми так и разомкнутыми. Последнее означает невозможность ФП на некоторых траекториях деформирования.

Рассматриваются границы фаз, возникающие на различных траекториях деформирования, и определяются соответствующие скачки деформаций на границе фаз. В частности, показывается, что при соответствующем выборе параметров материала при одноосном растяжении возникают границы фаз, перпендикулярные направлению растяжения, а при одноосном сжатии границы ориентированы под углом к направлению сжатия - аналогично полосам сдвига. В первом случае на границе претерпевает скачок максимальная деформация, во втором - основной вклад вносит параметр сдвига.

При одноосном растяжении под давлением, начиная с некоторого критического давления, зависящего от параметров материала, как при растяжении так и при сжатии возникают только полосы сдвига.

Таким образом, демонстрируется, что изменение вида деформированного состояния может приводить к смене типа локализации деформаций вследствие фазовых превращений.

Соответствующие траектории разгрузки из однофазного состояния либо пересекают зону ФП, либо проходят мимо зоны, причем точка пересечения с внешней границей подзоны, вообще говоря, не совпадает с точкой, куда при нагружении происходил скачок из исходной фазы. Эффект несовпадения объясняется влиянием внутренних напряжений, индуцируемых границей фаз.

Также проводится исследование соответствия полей деформаций в различных равновесных двухфазных конфигурациях и зоной фазовых переходов. Показывается, что предпочтительное решение может быть выбрано в результате соотнесения полей деформаций, соответствующих разным решениям, с зоной ФП.

В четвертой главе исследуются фазовые превращения по механизму множественного возникновения слоев новой фазы. Полученные ранее общие соотношения конкретизированы для случая изотропных фаз, а также деформационных фазовых переходов (когда пренебрегают изменением модулей упругости, но тензор собственной деформации превращения — не шаровой). Как и в случае изотропных фаз, для деформационного фазового перехода строятся зоны ФП, которые в зависимости от тензора собственной деформации могут быть замкнутыми (аналогичными поверхности пластичности Треска) и не замкнутыми.

В случае изотропных фаз анализируются траектории фазовых превращений при одноосном растяжении. В зависимости от задаваемых средних деформаций определяются концентрация новой фазы, средние напряжения и изменения энергии вследствие ФП. Средние и локальные поля сопоставляются с зоной ФП.

При деформационном ФП показывается, что в зависимости от главных значений тензора тензора собственной деформации деформирование может сопровождаться возникновением слоев, аналогичных полосе сдвига или слоев с нормалью, перпендикулярной направлению деформирования, либо совпадающей с ним.

Как и в случае изотропных фаз, в зависимости от внутренних напряжений, траектория деформирования проходит или не проходит через траекторию скачка деформаций при зарождении слоя новой фазы. В первом случае имеет место диаграмма деформирования, аналогичная диаграммам идеального упруго-пластического материала, во втором случае превращение сопровождается деформационным разупрочнением.

Показывается, что деформационная анизотропия, вызванная не шаровым тензором собственных деформаций приводит к влиянию истории фазового превращения на поведение материала при разгрузке.

Основные результаты и выводы:

1. На примере двухфазных центрально-симметричных полей проделан анализ неединственности и устойчивости равновесных двухфазных деформаций упругого тела. Доказана теорема о количестве равновесных центрально-симметричных решений.

Продемонстрировано, что новая степень свободы, связанная с наличием неизвестной границы фаз, существенно влияет на устойчивость упругих двухфазных тел. В результате анализа энергетических изменений зарождение новой фазы представлено как результат топологической неустойчивости однофазного состояния.

Показано, что появление полости, то есть дополнительной внешней границы, оказывает дестабилизирующее действие на двухфазные состояния.

Показано, что решения задачи определения равновесных двухфазных состояний могут отличаться от решений, получаемых при проектировании двухфазных композитных материалов оптимальной структуры.

2. Проведено построение и исследование зон фазовых переходов. Разработана численная процедура построения зон ФП. Показано, что в зависимости от параметров материала зона ФП может быть замкнутой или разомкнутой. Последнее означает невозможность ФП на некоторых траекториях деформирования.

Проделан анализ влияния вида деформированного состояния на ориентацию границы фаз и скачки деформаций на границе фаз.

Показано, что изменение вида деформированного состояния может приводить к смене типа локализации деформаций вследствие фазовых превращений.

3. Исследовано представление траекторий деформирования на зонах ФП. Для центрально-симметричных полей показано, что деформации, возникающие в неустойчивых состояниях, находятся внутри зоны ФП.

Исследована различная локализация деформаций при одноосном растяжении и сжатии.

Продемонстрировано влияние гидростатического давления на тип локализации. Показано, что в зависимости от характера внутренних напряжений, порождаемых областями новой фазы, траектории разгрузки проходит или не проходит через точки, в которые происходит скачок деформаций на границе фаз при нагрузке.

4. Развита модель фазовых превращений по механизму множественного возникновения слоев новой фазы. На примере построения диаграмм деформирования при одноосном растяжении/сжатии продемонстрировано, что, в зависимости от параметров материала, фазовое превращение сопровождается эффектами деформационного разупрочнения или упрочнения.

Обнаружен эффект незавершенности фазового перехода по механизму возникновения слоев. Траектория разгрузки при этом проходит мимо зоны ФП.

Рассмотрены деформационные фазовые переходы. Показано, что анизотропия новой фазы приводит к влиянию истории фазового превращения на поведение материала при разгрузке.

Заключение

1. Бердичевский B.J1. Вариационные принципы механики сплошных сред. М.: Наука, 1982. 447 с.

2. Бердичевский В.Л. Зародыши расплава в твердом теле // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273. N 1. С. 80-84.

3. Бессонов М.И., Кувшинский Е.В. Трещины в прозрачных пластмассах, их рост и строение // ФТТ. 1951. Т. 1. N 9. С. 1441-1447.

4. Бойко B.C., Гарбер Р.И., Косевич A.M. Обратимая пластичность кристаллов. М., 1991. 280 с.

5. Вакуленко А.А. О микро- и макрокинетике мартенситных превращений // Изв. РАН. МТТ. 2001. No 5 С. 43-62

6. Гиббс Дж. Термодинамика. Статистическая механика. М.: Наука, 1982. 584 с.

7. Гринфельд М.А. Об условиях термодинамического равновесия фаз нелинейно-упругого материала // Докл. АН СССР. 1980. Т. 251. N 4. С. 824-827.

8. Гринфельд М.А. Асимптотика малой разности плотностей в проблеме когерентных фазовых превращений // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 4. С. 582-592.

9. Гринфельд М.А. О гетерогенном равновесии нелинейно-упругих фаз и тензорах химического потенциала // Вопросы нелинейной механики сплошной среды. Таллин: Валгус. 1985. С. 33-47.

10. Гринфельд М.А. Построение физически линейной теории когерентных переходов // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела 1986. N 5. С. 79-91.

11. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. М.: Наука. 1990. 312 с.

12. Еремеев В.А., Зубов JI.M. Об устойчивости равновесия нелинейно-упругих тел, испытывающих фазовые превращения // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела 1991. N 2. С. 56- 65.

13. Еремеев В.А. Выпучивание нелинейноупругой плиты, лежащей на поверхности жидкости, с учетом фазового перехода // ПМТФ. 1991. N 3. С. 141- 147

14. Еремеев В.А., Зубов J1.M. Условия фазового равновесия в нелинейно-упругих средах с микроструктурой // Доклады АН (Россия). 1992. Т. 322, N 6. С. 1052-1056.

15. Еремеев В.А. О влиянии микроструктуры материала на потерю устойчивости двухфазных нелинейно-упругих тел // Фундамент.и прикл. проблемы деформируемых сред и кон струкций. Труды межвузовской научной программы. Вып.1. 1993. Н-Новгород, С. 187-193.

16. Еремеев В.А. О кручении двухфазного цилиндра // Механика деформируемых тел. Межвузовский сборник научных трудов. 1994. Ростов-на-Дону. С. 56-60.

17. Зейтц Ф. Физика металлов. М.: ОГИЗ. 1995. 364 с.

18. Каганова И.М., Ройтбурд А.Л. Равновесие упруго взаимодействующих фаз // ЖЭТФ. 1988. Т. 94. Вып. 6. С. 156-173.

19. Канаун С.К., Левин В.М. Метод эффективного поля в механике композитных материалов. Петрозаводск: Издательство Петрозаводского ун-та. 1993. 538 с.

20. Кауфман JI., Коэн М. Термодинамика и кинетика мартенситных превращений // Успехи физики металлов. Т. 4. М.:Металлургиздат. 1961. С. 192-289.

21. Кондауров В.И., Никитин Л.В. О фазовых переходах первого рода в нелинейно-упругих средах // Докл. АН СССР. 262 (1982) № 6., С. 1348-1351.

22. Кондауров В.И., Никитин Л.В. Фазовые переходы первого рода в упруговязкопластической среде // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. N 4. С. 130-139.

23. Кондауров В.И., Никитин Л.В. Термомеханика фазовых переходов в упруговязкопластической среде при конечных деформациях // Ма-тем. методы мех. деформ. твер. тела. М.: Наука. 1986. С. 56-63.

24. Кристиан Дж. Теория превращений в металлах и сплавах. М.: Мир, 1979. 806 с.

25. Кубланов Л.Б., Фрейдин АВ. Зародыши твердой фазы в деформируемом материале // ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 3. С. 493-501.

26. Лебедев Г.А., Кувшинский Е.В. Особенности строения трещин "серебра1^ пленках ПММА // ФТТ. 1961. Т. 3. N. 9. С. 2672-2679.

27. Лихачев В.А., Кузьмин С.Л., Каменцева З.П. Эффект памяти формы. Л.: Изд-во ЛГУ. 1987. 216 с.

28. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно-аналитическая теория прочности. СПб: Наука. 1993. 471 с.

29. Лурье А.И. Теория упругости. М., 1970. 939 с.

30. Материалы с эффектом памяти формы. Справ, изд. под ред. Лихачева В.А. в 4-х томах. СПб.: Изд-во НИИХ СПбГУ, 1998.

31. Мовчан А.А. Микромеханический подход к описанию деформации мартенситных превращений в сплавах с памятью формы // Изв. АН. Механика тверд, тела. 1995. N 1. С. 197-205.

32. Мовчан А.А. Аналитическое решение задач о прямом и обратном превращении для сплавов с памятью формы // Изв. АН. МТТ. 1996. N 4. С. 136-144.

33. Мовчан А.А. Некоторые проявления способности к ориентированному превращению для сплавов с памятью формы // Прикл. мех. и тех. физ. 1996. Т. 37 N 6. С. 181-189.

34. Мовчан А.А. Исследование эффектов связности в задачах изгиба балок из сплава с памятью формы // Прикл. мех. и тех. физ. 1998. Т. 39 N 1. С. 164-173.

35. Мовчан А.А. Учет переменности упругих модулей и влияния напряжений на фазовый состав в материалах с памятью формы // МТТ. 1998. N 1. С. 70-90.

36. Мовчан А.А., Казарина С.А. Экспериментальные исследования явления потери устойчивости, вызванной термоупругим фазовым превращением под действием сжимающих напряжений. // Пробл. машиностроения и надежности машин 2002. N 6. С. 82-89.

37. Морозов Н.Ф., Осмоловский В.Г. Уравнение колебания упругого тела, допускающего двухфазовое состояние // Изв. АН. Механика тверд, тела. 1994. N 1. С. 38-41.

38. Морозов Н.Ф., Осмоловский В.Г. О постановке и теореме существования для вариационной задачи о фазовых переходах в механике сплошных сред // Прикл. мат. мех. 1994. Т. 58. N 5. С. 125-132.

39. Морозов Н.Ф., Осмоловский В.Г. О постановке и теореме существования для вариационной задачи о фазовых переходах в механике сплошных сред // Прикл. мат. мех. 1994. Т. 58. N 5. С. 125-132.

40. Морозов Н.Ф., Назыров И.Р., Фрейдин А.Б. Одномерная задача о фазовом превращении упругого шара // Докл. РАН. 1996. Т. 346. № 2. С. 188-191.

41. Морозов Н.Ф., Фрейдин А.Б. Зоны фазовых переходов и фазовые превращения упругих тел при различных видах напряженного состояния// Тр. матем. ин-та им. В.А. Стеклова. 1998. Т. 223. С. 220232.

42. Назыров И.Р., Фрейдин А.Б. Фазовые превращения при деформировании твердых тел в модельной задаче об упругом шаре // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 5. С. 52-71.

43. Осмоловский В.Г. Вариационная задача теории упругости двухфазовой среды с нулевым коэффициентом поверхностного натяжения // Зап. науч. сем. ПОМИ. 1995. Т. 221. С. 208-225.

44. В.Г. Осмоловский. Вариационная задача о фазовых переходах в механике сплошной среды. Изд.-во Санкт-Петербургского ун-та. 2000. 262 С.

45. Ройтбурд А.Л. Внутренние напряжения при фазовых превращениях в твердом состоянии // Проблемы металловедения и физики металлов. 1964. Т. 36. N 8 С. 235-268.

46. Ройтбурд А.Л., Эстрин Э.И. Мартенситные превращения. Итоги науки и техники. Металловедение и термообработка. ВИНИТИ. М. 1968.

47. Ройтбурд А. Л. Современное состояние теории мартенситных превращений // Несовершенства кристалического строения и мартен-ситные превращения. М.: Наука. 1972. С.7-32.

48. Ройтбурд А.Л. Теория формирования гетерофазной структуры при фазовых превращениях в твердом состоянии // УФН. 1974. Т. 113. Вып. 1. С. 105-128.

49. Трускиновский Л.М. Равновесные межфазные границы // Докл. АН СССР. 1982. Т. 265. N 2. С. 306-310.

50. Фрейдин А.Б. Трещины серебра и полосы сдвига в стеклообразных полимерах как слои новой фазы // Механика композит, материалов. 1989. N 1. С. 3-10.

51. Фрейдин А.Б., Чискис A.M. Зоны фазовых переходов в нелинейно-упругих изотропных материалах. 4.1. Основные соотношения. // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 4. С. 91-109.

52. Фрейдин А.Б., Чискис A.M. Зоны фазовых переходов в нелинейно-упругих изотропных материалах. 4.2. Несжимаемые материалы с потенциалом, зависящим только от одного из инвариантов тензора деформаций. // Изв. РАН. МТТ. 1994. N 5. С. 46-58.

53. Фрейдин А.Б. Зоны фазовых переходов и равновесие фаз при деформировании упругих тел. Дис. на соиск. уч. степени доктора физ.-мат. наук. Ин-т проблем машиноведения РАН. С-Пб., 1997, 223с.

54. Хачатурян А.Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов. М.: Наука. 1974. 384 с.

55. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. М.: ИЛ, 1963. 247 с.

56. Abeyaratne R. Discontinuous deformation gradients in plane finite elastostatics of incompressible materials // J. of Elasticity. 1980. V. 10. No. 3. P. 255-293.

57. Abeyaratne R. Discontinuous deformation gradients in the finite twisting of an incompressible elastic tube // J. of Elasticity. 1981. V. 11. No. 1. P. 43-80.

58. Abeyaratne R., Knowles J.K. Equilibrium shoks in plane deformation of incompressible elastic materials // J. of Elasticity. 1989. V. 22. No. 2. P. 193-200.

59. Abeyaratne R., Knowles J.K. On the kinetics of an austenite —» martensite phase transformation induced by impact in a Cu-Al-Ni shape-memory alloy //Acta mater 1997. V. 45. No. 4. P. 1671-1683.

60. Abeyaratne R. and Kim S. Cyclic effects in shape-memory alloys: a one-dimensional continuum model // Int. J. Solids Structures 1997. V. 34. No. 25. P. 3273-3289.

61. Abeyaratne R., Knowles J.K. On the stability of thermoelastic marerials //J. of elasticity 1999. 53 P. 199-213.

62. Ball J.M., James R.D. Fine Mixtures as Minimizers of Energy // Arch. Rat. Mech. Anal. 1988. V. 100. No. 1. P. 13-52.

63. Brady Т.Е., Yeh G.S.Y. Yielding behavior of glassy amorphous polymers // J. Appl. Phys. 1971. V. 42. No. 12. P. 4622-4630.

64. Brady Т.Е., Yeh G.S.Y. Similarity between craze morphology and shear-band morphology in polystyrene //J. Mater. Sci. 1973. V. 8. No. 5. P. 1083-1094.

65. Cermelli P., Gurtin M. On the characterization of geometrically-necessary dislocations in finite plasticity // J. of the Mechanics and Physics of Solids 49 (2001) P. 1539-1568

66. Cermelli P., Gurtin M. Geometrically necessary dislocations in viscoplastic single crystals and bicrystals undergoing small deformations // Int. J. of Solids and Structures 39 (2002) P. 6281-6309

67. Cherkaoui M., Berveiller M. Moving inelastic discontinuities and applications to martensitic phase transition // Archive of Applied Mech. 2000. 70 P. 159-181.

68. Crazing in polymers // Adv. Polym. Sci. Ed. H.H.Kausch. 1983. V. 52,53. 347 P.

69. Donald A.M., Kramer E.J. Craze deformation zones end entanglements in glassy polymers // Polymer. 1982. V. 23. No 8. P.1183-1188.

70. Donald A.M., Kramer E.J. The competition between shear deformation and crazing in glassy polymers // J. Mater. Sci. 1982. V. 17. No. 7. P. 1871-1879.

71. Eremeyev V.A. Equilibrium and stabilty of micrononhomogeneous elastic bodies with phase transformations (in Russian) // Math. Modelling. (1997) No. 2, P. 66-69.

72. Eremeyev V.A. On the stability of nonlinear elastic bodies with phase transformations // Proc. 1st Canadian Conference on Nonlinear Solid Mechanics. Victoria, British Columbia, Canada. June 16-June 20, 1999. Ed. Elena M.Croitoro. Vol.2, P. 519-528.

73. Eriksen J.L. On the symmetry of deformable crystals // Arch. Rat. Mech. Anal. 1979. V. 72. No. 1. P. 1-13.

74. Eriksen J.L. Some phase transitions in crystals // Arch. Rat. Mech. Anal. 1980. V. 73. No. 2. P. 99-124.

75. Eriksen J.L. Stable equilibrium configurations of elastic crystals // Arch. Rat. Mech. Anal. 1986. V. 94. P. 1-14.

76. Eriksen J.L. Twinning of crystals // Metastability and incompletely posed problems. Ed. S.S.Antman, J.L.Eriksen, D.Kinderleher, I.Muller. IMA Vol. Math. Appl. 1987. V. 3. P. 77-93.

77. Eshelby J.D. The elastic energy-momentum tensor // J. of Elasticity. 1975. V. 5. No. 4. P. 321-335.

78. Fosdick R. and Hertog B. The Maxwell relation and Eshelby's conservation law for minimizers in elasticity theory. J. Elasticity 22 (1989) P. 193-200.

79. Fosdick R. and Royer-Carfagni G.F. Alloy separation of a binary mixture in a stressed elastic sphere // J. Elasticity. 1996. V. 42. P. 49-77.

80. Freidin A.B. , Crazes and shear bands in glassy polimers as layers of a new phase. Mekhanika Kompozitnih Materialov, No. 1, 3-10 (1989). (Mechanics of Composite Materials, P. 1-7 (1989)).

81. Freidin A.B. Two-phase deformation fields and ellipticity of nonlinear elastic materials // Proceed, of the XXVIII Summer School "Actual Problems in Mechanics", St.Petersburg, Russia, June 1-10, 2000. Vol. 1, (2001) P. 219-235

82. A.B. Freidin, E.N. Vilchevskay L.L Sharipova. Two-phase deformations within the framework of phase transition zones // Theoretical and Apllied Mechanics. 2002. Vol. 28-29, P. 149-172.

83. Fried E. and Gurtin M.E. Coherent solid-state phase transitions with atomic diffusion: a thermomechanical treatment // J. of Stat. Physics Vol. 95, Nos. 5/6 (1999) P. 1361-1427

84. Gurtin M.E. Two-phase deformations of elastic solids // Arch. Rat. Mech. Anal. 84 (1983) P. 1-2

85. Gurtin M.E. and Podio-Guidugli Configurational forces and the basic laws for crack propagation //J. Mech. Phys. Solids, 1996, Vol. 44, No. 6 P. 905-927

86. Gurtin M.E., husk M.T. Sharp-inteface and phase-field theories of recrystallization in the plane // Physica D, 1999, 130 P. 133-154.

87. Gurtin M.E. On the plasticity of single crystals: free energy, microforces, plastic-strain gradients // J. of the Mechanics and Physics of Solids 48 (2000) P. 989-1036

88. James R.D. Finite deformation by mechanical twinning // Arch. Rat. Mech. Anal. 77 (1981) P. 143-177.

89. James R.D. and Hane K.F. Martensitic transformations and shape-memory materials // Acta mater 48 (2000) P. 197-222.

90. Knowles J.K., Sternberg E. On the ellipticity of the equation of nonlinear elastostatics for a special material // J. of Elasticity. 1975. V. 5. No. 3-4.

91. Knowles J.K., Sternberg E. On the failure of ellipticity of the equation for finite elastostatics plane strain // Arch. Rat. Mech. Anal. 1977. V. 63. No. 4.

92. Knowles J.K., Sternberg E. On the failure of ellipticity and the emergence of discontinuous deformation gradients in plane finite elastostatics // J. of Elasticity. 1980. V. 10. No. 3. P. 255-293.

93. Knowles J.K. On the dissipation associated with equilibrium shocks in finite elasticity // J. of Elasticity 9 (1979) P. 131-158.

94. Kunin I.A. Elastic Media with Microstructure II. Springer-Verlag, Berlin, New York, etc. (1983).

95. Parry G.P. On phase transitions involving internal strain // Int. J. Solids Structures. 1981. V. 17. No. 4. P. 361-378

96. Pitteri M. Reconciliation of local and global symmetries of crystals // Journal of Elasticity. 1984. V. 14. No. 2. P. 175-190.

97. Pitteri M. On the kinematics of mechanical twinning in crystals // Arch. Rat. Mech. Anal. 1985. V. 88. No. 1. P. 25-57.

98. Pettinger A., Abeyaratne R. On the nucleation and propagation of thermoelastic phase transformations in anti-plane shear. Parti. Couple-stress theory // Computational Mechanics 26 (2000) P. 13-24.

99. Pettinger A., Abeyaratne R. On the nucleation and propagation of thermoelastic phase transformations in anti-plane shear. Part2. Problems // Computational Mechanics 26 (2000) P. 25-38.

100. Roitburd A.L. Martensitic transformation as a typical phase transformation in solids // Solid state physics: advances in research and research and application. New York: Acad. Press. 1978. V. 33. P. 317390.

101. Whitney W. Observation of deformation bands in amorphous polymers // J. Appl. Phys. 1963. V. 34. No. 12. P. 3633-3634.российскаягосударств';!/;1. Bssmmw^j"