Моделирование макроскопического деформирования упругопластических композиционных материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

£

^ На правах рукописи

/

САХАБИЕВ Виталий Ансарович

7

МОДЕЛИРОВАНИЕ МАКРОСКОПИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твёрдого тела

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Самара-1997

Работа выполнена на кафедре Высшей математики и информатики Самарского государственного Университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Сараев Л.А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ташкинов A.A. доктор физико-математических наук, профессор Радченко В.П.

Ведущая организация: Московский институт электронной техники (МИЭТ).

Защита состоится » / 1997 г. В ^ часов на

заседании диссертационного совета К 063.94.01 при Самарском государственном университете по адресу: 443011, Самара, ул. Академика Павлова, 1, аудитория 203.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного университета.

Автореферат разослан « » 1997 г.

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Федечев А.Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Широкое распространение принципиально новых конструкционных материалов с повышенными механическими свойствами увеличило интерес промышленности к разработкам по прогнозированию и моделированию поведения композиционных материалов, как одного из представителей этого класса.

Композиционный материал представляет собой сплошное неоднородное тело, состоящее из двух или более компонент проявляющих разные механические свойства при определённом методе нагружения, причём характеристики (модули упругости, пределы текучести, коэффициенты упрочнения и т.д.) определяются разрывными по координатам быстро осциллирующими функциями. Немаловажное влияние оказывает геометрия взаимного расположения компонент композиционного материала в пространстве , здесь следует выделить три основных вида структур композитов (КМ):

♦ матрица, образованная отдельными включениями ( микросферами, волокнами и

т.д.)

♦ матричная смесь, когда компоненты создают взаимопроникающие каркасы играющие одинаковую роль при нагружении.

♦ смешанный тип структуры, для многокомпонентных КМ.

Для получения КМ с заданными деформационно-прочностными свойствами можно воспользоваться двумя методами. Первый, эмпирический подбор компонентов и вида структуры. Второй, теоретическое моделирование механических свойств и структуры через определение макроскопических (эффективных) характеристик КМ. Последний из методов предпочтителен так как уменьшает материальные затраты на разработку.

Основываясь на вышесказанном, можно отметить важность теоретического подхода к прогнозированию эффективных характеристик микронеоднородных сред, как для промышленности в целом, так и для механики деформируемого твердого тела в частности.

ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является построение математических моделей упругопластического деформирования композитов при котором пластические деформации в компонентах зарождаются в отдельных зонах и затем, под воздействием внешних нагрузок, распространяются на весь объем компонента и моделей изотермического фазового перехода в твердых телах.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА решений полученных в диссертационной работе заключается в применении метода статистического осреднения уравнений пластического течения КМ, компоненты которого обладают различной степенью связности. Получены новые модели упругопластического деформирования композитов учитывающие макроскопическую объёмную сжимаемость, нелинейное поведение за пределом упругости и т.д. Кроме того построены новые модели изотермического фазового перехода, при котором новая фаза зарождается и вырастает из старой под воздействием внешних нагрузок, при этом возникновение и развитие новой фазы обусловлено и сопровождается перестройкой кристаллических состояний и образованием в ней необратимых структурных деформаций.

ДОСТОВЕРНОСТЬ полученных результатов основана на использовании классических уравнений механики деформируемого твердого тела и совпадении результатов работы с известными моделями в области упругого и упругопластического деформирования. Она также подтверждается сравнением полученных в работе моделей с экспериментальными исследованиями других авторов.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные результаты применяются в научно — исследовательских работах по грантам РФФИ, публикациях. Материалы диссертационной работы могут быть использованы в разработках научно —- исследовательских институтов и конструкторских бюро, ведущих исследования в области создания и применения конструкций из композиционных материалов.

АПРОБАЦИЯ. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались:

- на международной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции», 1992, Самара;

- на международном симпозиуме «Composites: fracture mechanics and technology», 1992, Черноголовка;

- на научно-исследовательском семинаре кафедры «Высшей математики и информатики» Самарского Государственного Университета, 1997, Самара, (под руководством проф. Л.А. Сараева);

- на научно-исследовательском семинаре кафедры «Механики сплошных сред» Самарского Государственного Университета 1997, Самара, (под руководством проф. В.И. Астафьева);

- на научно-исследовательском семинаре кафедры механики композиционных материалов и конструкций Пермского государственного технического университета, 1997, Пермь, (руководитель проф. Ю.В. Соколкин).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 7 работ. СТРУКТУРА И ОБЪЁМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, выводов, заключения, списка литературы. Объём работы 100 страниц, включая 77 страницы текста, 6 рисунков, список литературы из 237 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ВО ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность научного направления, сформулированы цель работы, её научная новизна, применение и практическая ценность. Изложены основные положения, выносимые автором на защиту.

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ даётся представление о современном состоянии вопроса исследования, помещён краткий обзор литературы, посвященный упругопластическому деформированию поликристаллических сред и различных композиционных материалов. Отмечен ряд российских учёных, внесших свой вклад в развитие существующей теории, это К.С.Александров, Б.Д.Аннин, В.И.Астафьев, А.В.Березин, В.В.Болотин, Б.И.Быковцев, В.А.Ванин, С.Д.Волков, Б.М.Даринский, А.Ф.Крегерс, В.МЛевин, В.А.Ломакин, А.К.Малмейстер, Б.П.Маслов, С.И.Мешков, С.Т.Милейко, Ю.В.Немировский, И.Ф.Образцов, А.С.Овчинский, Б.Е.Победря, Ю.Н.Работнов, В.П.Радченко, Р.Б.Рикардс, Ю.П.Самарин, Л.А.Сараев, Ю.В.Соколкин, В.П.Ставров, Ю.В.Суворова, В.П.Тамуш, А.А.Ташкинов, Ю.М.Тарнопольский, Л.А.Толоконников, Г.А.Тетерс, Л.А.Фильштинский, Л.П.Хорощун, Г.П.Черепанов, Т.Д.Шермергор и д.р.

А также зарубежных ученых Д.Адамса, М.Берана, Г.Дворака, Д.Друккера, Е.Кренера, Т.Линя, Р.Кристенсена, Б.Розена, Дж.Сендецки, З.Хашина, Р.Хилла, С.Цая, К.Чимиса, С.Штрикмана и д.р. Основное внимание уделено работам, в которых процессы пластического течения составляющих поликристаллов описываются при помощи статистических методов механики сплошных сред.

В этой же главе излагается общая схема метода расчёта пластических макроскопических свойств случайно микронеоднородных сред, согласно которой неупругие

г

свойства микронеоднородной среды занимающей объём V = ]ГК,, ограниченный поверхностью Б, описываются законом Гука

^« = £„н(г)ЫгН£(г)) (О

Здесь <т,у(г) — компоненты тензора напряжений, еДг), г4'(г) — компоненты тензора полных и пластических деформаций,

Е„и(т) = г14д1*,+8,8н Я(г)

Здесь А(г) параметры Ламе, V, - объемы составляющих компонентов, г = (х,, х2., х3)

— радиус - вектор координат.

Пластические свойства композита задаются локальными поверхностью текучести с ассоциированным законом течения

Геометрические особенности структуры рассматриваемого двухкомпонентного композиционного материала описываются индикаторными случайными функциями координат к,(г) (б = 1, 2), равными единице на множестве точек объема V, и нулю вне этого множества.

Все физические и геометрические поля рассматриваемой задачи предполагаются случайными, статистически однородными и эргодическими величинами и их математические ожидания заменяются средними значениями по соответствующим объемам

у V г * V,

Здесь угловыми скобками обозначена операция статистического осреднения.

Для установления макроскопических определяющих уравнений и определения эффективных характеристик рассматриваемого композиционного материала необходимо

найти связь между макровеличинами {еч)<

Искомые макроскопические определяющие уравнения в данном случае будут состоять из макроскопического закона Гука и эффективного закона течения

.. дР'

ассоциированного с поверхностью нагружения

Здесь £* - тензор макроскопических остаточных деформаций, измеряемых после снятия

нагрузок с поверхности 5 объема V, точкой обозначено дифференцирование по времени. Здесь и далее звездочкой обозначены эффективные значения величин. В общем случае, получение соотношений (2) достигается статистическим осреднением системы уравнений, состоящей из закона Гука (1), уравнений равновесия

^>.ЛГ)=°. (3)

и формул Коши

2£ЛГЬМ/,ЛГ) + МУ,/(Г) (4)

связывающих компоненты тензора (скоростей) деформаций еДг) с компонентами вектора

перемещений и, (г). Граничными условиями отсутствия флуктуаций величин на поверхности 51 объема V

/(О! геВ=(/> (5)

Рассматривается система уравнений деформирования композиционного материала, является нелинейной и применить к ней непосредственно стандартные методы механики композитов установления эффективных характеристик нельзя. Чтобы воспользоваться этими методами, нелинейные уравнения (1) необходимо линеаризовать, сделав определенные допущения. На практике методы линеаризации связаны, как правило, с предположениями об однородности в пределах объемов V, компонентов или полного объема V тех или иных нелинейных величин, входящих в исходные локальные уравнения (1). С помощью индикаторных функций к\(г) общий вид линеаризованной зависимости тензоров гДг) может быть представлен соотношением

*=1

Осреднение соотношения (6) по полному объему 2

(6)

'

(7)

показывает, что для установления связи между макровеличинами (£,у) нужно

вычислить средние по объемам компонентов величины {е^ и через макровеличины

Величины находятся из известного соотношения

(£»), = (е») + с?(К>£») (8)

у

Здесь с, = -р- - объемные содержания компонентов, штрихами обозначены флуктуации

/ ' '\

величин в объеме V. Вычисление случайных моментов уС, I осуществляется с помощью

осреднения системы (3) - (6). Для вычисления тензора флуктуаций е:] (г) эта система путем исключения компонентов тензоров сгДг), ^(г) сводится к системе уравнений равновесия рассматриваемого композиционного материала в перемещениях

5=1

В свою очередь уравнения (У) с помощью соответствующего тензора Грина (г] преобразуется к системе интегральных уравнении

еи (г) = Дг - г.) г« (г|)^г1 (Ю)

г

Компоненты тензора г!/(г) в каждой конкретной задаче выражаются через случайные поля

*г,(г), £,з(г), г',/'(г) и константы материалов компонентов. Подстановка уравнений (10) в

соотношение (9) и попытка вычислить величины (с^ приводит к появлению случайных

моментов высоких порядков. При этом возникает бесконечная статистическая цепочка уравнений, которую для получения неформального решения задачи необходимо на каком-либо этапе оборвать, применив один из статистических методов осреднения.

В некоторых случаях величины можно определять с помощью интегрального уравнения равновесия, записанного во флуктуациях величин

К'(гк'(гУг=0 (ю)

из которого следует соотношение

(ч)

Далее рассматриваются приложения общей схемы метода расчета макроскопических свойств микронеоднородных сред для прогнозирования эффективных пластических характеристик различных типов композиционных материалов, при этом следует отметить, что предложенный метод прогнозирования неупругих макроскопических характеристик многокомпонентных композиционных материалов ограничен следующими основными допущениями:

♦ физические и геометрические величины, описывающие свойства композита, считаются статистически однородными и эргодическими случайными полями;

♦ все процессы деформирования, протекающие в композиционных материалах под воздействием детерминированных нагрузок, являются квазистатическими;

♦ деформации и скорости деформаций считаются инфинитезимальными;

♦ адгезия между материалами компонентов по границам раздела предполагается идеальной;

♦ воздействие массовых сил на компоненты композитов не учитывается;

♦ функции, описывающие в определяющих уравнениях нелинейное деформирование материалов компонентов композиционных материалов, зависят только от первого и второго инвариантов тензора деформаций.

ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ определяются эффективные законы деформирования упругопластических микронеоднородных композитов со сферическими упругопластическими включениями и упругой матрицей. Их эффективные свойства зависят не только от механических констант материалов компонентов и геометрических особенностей структуры, но и от того, в каких областях и в какой последовательности эти

области переходят из упругого состояния в состояние пластического течения. При этом напряжения и деформации и их скорости, действующие на поверхности среды, рассматриваются однородными, а случайные поля величин, предполагаются эргодическими.

В РАЗДЕЛЕ 2.1. производится расчёт эффективных модулей упругости композита и определение связи остаточных и пластических деформаций. двухкомпонентного композиционного материала с упруго пластическими включениями упругой матрицей, учитывающая возникновение зон пластического течения в отдельных областях включений и их распространение на весь объём включений.

Рассматривается изотропная среда, образованная двумя компонентами. Первый компонент является идеально упругим

а второй — упругопластическим

Здесь , Л, - параметры Ламе изотропных компонентов, пластические деформации удовлетворяют условия несжимаемости: ера = 0 . Пластические свойства материала второго компонента задаются поверхностью текучести Мизеса с соответствующим ассоциированным законом течения

02)

(точкой обозначено дифференцирование по времени).

Рассмотренный в этом разделе вариант метода осреднения системы уравнений равновесия композита, позволяет получить замкнутую систему определяющих уравнений относительно макроскопических напряжений, полных и пластических деформаций, определить остаточные деформации и вычислить эффективные характеристики композита

(5,) = 2л-((е,)-«;),(«т„) = 3 *•(*„) (13)

Здесь

(и)

1 + а,с,(т-1)Г \ 1 + гл{ч-\))

— эффективные модули сдвига и объемного растяжения (сжатия). Остаточные деформации е" - связаны с макроскопическими пластическими деформациями соотношением

(е,') = 1(1 + (в1с1+с1Хм-1))в; . (15)

Выражения для /л', К' совпадают с результатами, полученными в работах по теории упругости композитов. Эти выражения показывают, что первый компонент играет роль связующей матрицы, а второй — роль отдельных включений, так как при = О, АГ, = О

величины 0 для любых с,, сг , а при ¡12=0,К2=0 величины //", К'

тождественно в нуль не обращаются.

В работе показано хорошо соответствие выражений для //, К' экспериментальным

г. 9 //'Я'

данным по измерению модуля Юнга Л =- эпоксидной смолы, наполненной

//' +ЗЛТ*

стеклянными микросферами.

В РАЗДЕЛЕ 2.2. определяется поведение данного материала за пределом упругости. Для этого осредняются соотношения (12) по объему зоны пластического течения V .

(15)

Находится закон нагружения рассматриваемой среды

/\е«)

Здесь

*'=-^-(1 + (в1с1+с2)(м-1)) (17)

— эффективный предел текучести

п =/''["^(1 +«,((» - 0е. "»»О " С,)Ь!)] (18>

— коэффициент упрочнения.

Уравнения (16)-(18) описывают нелинейное деформирование композиционного материала за пределом упругости.

Эффективный предел текучести к' характеризует начальную поверхность текучести. Он является линейной функцией концентрации и при сг = 1 равен пределу текучести материала включений кг . Коэффициент упрочнения «"задает скорость перемещения и деформирования цилиндра Мизеса в шестимерном пространстве напряжений. При сг = 1 п обращается в нуль, что соответствует идеальной пластичности материала включений, при сг = О л* обращается в бесконечность, что означает идеально — упругое поведение материала матрицы.

Величина ср изменяется от 0 до с, при увеличении интенсивности е^ *. Аппроксимируем эту зависимость экспоненциальным законом

ср = с2 О-е-**) (19)

где е* = *ея* . Величина Я характеризует скорость роста ср .

На рис.1 приведены диаграммы зависимостей, рассчитанных по формулам (16)-(19) и по формулам линейно кинематического упрочнения. Диаграмма состоит из двух частей: 1) нелинейная, построенная по формулам данной главы.

2)лннейное кинематическое упрочнение, соответствующее пластическому течению в каждой точке включения (<• = с,).

Точка пересечения кривых - соответствует наступлению пластического течения во включениях. Величина X может быть рассчитана из экспериментальных данных по измерению эффективного предела текучести, и в дальнейшем использоваться в расчетах нелинейного участка кривой деформирования композита.

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ исследуется возникновение и развитие пластического течения в упругопластической матрице композита с упругими включениями. Макроскопическое поведение такого композита, зависящее от механических и геометрических параметров материалов компонент, приобретает новые качественные особенности. Например, как показывают экспериментальные исследования, несмотря на пластическую несжимаемость материалов компонентов в целом композит проявляет некоторую необратимую сжимаемость. В этом разделе рассматривается применение и развитие методов осреднения системы уравнений равновесия к теории упругопластического деформирования двухкомпонентных композитов с упругопластической матрицей и упругими сферическими включениями.

В РАЗДЕЛЕ 3.1. выполняется расчёт макроскопических характеристик композита и установление связи остаточных и пластических деформаций. Рассматривается изотропный двухкомпонентный материал, составляющие компоненты которого соединены с идеальной адгезией. Материал первого компонента является идеально упругопластическим, а второго компонента - идеально упругим. С помощью индикаторной функции кг (г) закон Гука такой среды выражается соотношением

<х„ (г)=2 [сч (г) - еДг))Л, £рр(г) - г„ (г)*, (г) (20)

в котором г„(г) = -2[||]гДг)-г(,[Я]еи,(г) .

Находим эффективные модули рассматриваемого композита и вычислим макроскопические остаточные деформации, измеряемые после снятия нагрузок с его поверхности.

Остаточные деформации получаются из соотношений (21), если в них положить

{е/)=т'{е,~а,)+а, - (22>

• АГ*

Здесь т =—, ц =—; ¡л, К' — эффективные модули упругости композита.

Я.

Формулы (21) с помощью соотношений (22) преобразуются к виду

(*„) = 2/ф,,Н/), (арр) = 3К'((Ерр)-ер;) (23)

Полученные выражения для /и', К" , показывают, что первый компонент играет роль связующей матрицы, а второй компонент — роль отдельных включений. Соотношения (22) показывают, что несмотря на пластическую несжимаемость материала матрицы, в целом композиционный материал приобретает некоторую необратимую сжимаемость. Она

обусловлена различием значений объемных модулей К,, К, "и исчезает толь в том случае, если Л", = К2 .

В РАЗДЕЛЕ 3.2. определяется макроскопическое поведение рассматриваемого композита за пределом упругости, находятся предельная поверхность текучести и соответствующий ей эффективный предел текучести. Пластические свойства материала матрицы задаются поверхностью текучести Мизеса

и ассоциированным с ней законом пластического течения

¿.'(г)

дДг) = А-, ■ " (24)

" ^/(гК/М

(к, — предел текучести материала матрицы, точкой обозначено дифференцирование по

времени).

Находим: верхнюю оценку макроскопического ассоциированного закона течения

<25>

эффективные определяющие уравнения композита за пределом упругости I \ / \ . Ле'

(26)

Здесь

А = = = 2м'{г,т = V*1

=__

(9-1) (,«-,')' (в,-1)(9а,-9')

Соотношения (26) показывают, что за пределом упругости в условиях активного нагружения макроскопическое поведение рассматриваемого композита подчиняется закону нелинейного упрочнения. Причем девиаторные компоненты тензоров напряжений, удовлетворяющие дифференциально — операторному уравнению, ограничены сверху предельным значением

<7. аеч Р* ¿т

а гидростатическое давление зависит от объемных остаточных деформаций линейно. Рассчитаны начальная поверхность текучести.

и предельная поверхность текучести и соответствующий ей эффективный предел текучести

(28)

В РАЗДЕЛЕ 3.3. приводится расчётная модель макроскопических характеристик КМ для нелинейного упрочнения материала в случае простого одноосного нагружения.

с, а2 =ст3 = О

Для главных значений деформаций имеем

£,' е2 =£,' = О

В случае простого нагружения остаточные деформации подчиняются закону

е^ = е°т, е" =сот1 (29)

Соотношения (26) принимают вид:

Р\

Решение системы (30) относительно <т, и ег *

Здесь

1 ' 2 £Г,

2Л

+ Л(ст050 + о-„г,)е- Л(ст„50 + *, ст„ г2) е

2й>|т.

(30)

(31)

— упругопластический коэффициент Пуассона,

с 2Л Зг1'ь*' 2/, «Г

+-4(сг0% + 51 + $г2)е2а<7- —г(о-0^> +4 о-.^ + * 1) «

— модуль пластичности растяжения (сжатия)

По формулам (23), (30), (31) была рассчитана диаграмма одноосного растяжения для эпоксидной матрицы, упрочненной стеклянными микросферами. Диаграмма растяжения материала матрицы аппроксимируется кусочной диаграммой идеально упругопластического тела.

Расчетные значения величин:

£, = 3069 МПа, Ег = 73545 Мпа, у,= 0.45, 0.21 с2= 0.76, к= 69 Мпа.

На рис.2 показано диаграмма напряжения - продольные остаточные деформации рассчитанные по формулам (23), (30), (31).

На рис.3 построена теоретическая зависимость упруго-пластического коэффициента Пуассона от продольной остаточной деформации, рассчитанная по формуле (31).

На рис.4 сравнение теоретической диаграммы напряжения - продольные остаточные деформации, рассчитанные по формулам (23), (30), (31) (штриховая линия) с экспериментальной кривой растяжения эпоксидной смолы, наполненной стеклянными микросферамн.

В ЧЕТВЁРТОЙ ГЛАВЕ рассматривается применение и развитие методов осреднения системы уравнений равновесия к теории упругопластического деформирования двухкомпонентных композитов обладающих несущей способностью и образующих в пространстве структуру взаимопроникающих каркасов. Постепенное развитие пластических деформаций оказывает существенное влияние на макроскопическое поведение упругопластических матричных смесей.

В РАЗДЕЛЕ 4.1. определяются эффективные модули упругости композита и связи остаточных и пластических деформаций. Построена модель деформирования двухкомпонентной матричной смеси с упругопластическими компонентами, учитывающая возникновение зон пластического течения в отдельных областях одного из компонентов и их распространение на весь объём этого компонента. Первый компонент является упругопластическим

с,; =2Р,(е„ ~е,/) + <?,¿¿^гг

а второй — идеально упругим

=2/^ е „ +8^Хге№

Здесь.ц,, Я1 - параметры Ламе изотропных компонентов, пластические деформации удовлетворяют условия несжимаемости: е^ = 0. Пластические свойства материала второго компонента задаются поверхностью текучести Мизеса с соответствующим ассоциированным законом течения

(32)

(точкой обозначено дифференцирование по времени).

Рассмотренный в этом разделе вариант метода осреднения системы уравнений равновесия композита, позволяет определить макроскопическое поведение рассматриваемого композиционного материала и его эффективные характеристики

= (а„) = ЗГ {срр)

(33)

Здесь

1-

с, с2 [т]г а

1 + [т]а(с,-с2)

Мг

1 + [9]г(с,-С2)

— эффективные модули сдвига и объемного растяжения (сжатия),

1 + с, [т)а

Выражения для , К' совпадают с известными формулами сингулярного приближения для двухкомпонентных сред. Остаточные деформации е* - связаны с

макроскопическими пластическими деформациями соотношением

= (35)

В РАЗДЕЛЕ 4.2. определяется поведение среды за пределом упругости. Находится верхняя оценка для поверхности текучести материала в объеме Уу

"Я,

(36)

и закон нагружения рассматриваемой среды

Здесь

(37)

к' = кг 1'аНИ"с1с2аН'

то, 1+а[то]с,

(38)

- эффективный предел текучести

п =ц

' к• 1-а[/л][с|Г | ащ Г а[т\с2ср ^

<кгср 1+а[т]с, 1-а[ш]с2\Д-а[т][с]

+ с. -1

(39)

— коэффициент упрочнения.

Уравнения (37) — (39) описывают нелинейное деформирование композиционного материала за пределом упругости.

Эффективный предел текучести к' характеризует начальную поверхность текучести. Он является линейной функцией концентрации и при с, = 1 равен пределу текучести материала включений . Коэффициент упрочнения и* задает скорость перемещения и деформирования цилиндра Мизеса в шестимерном пространстве напряжений. При с, = 1 и" обращается в нуль, что соответствует идеальной пластичности материала включений, при с, = 0 п обращается в бесконечность, что означает идеально — упругое поведение материала матрицы. Величина ср изменяется от 0 до с2 при увеличении интенсивности е^ *. Будем аппроксимировать эту зависимость экспоненциальным законом

с^^-е-"') (40)

где е* = ^ву * . Величина Л характеризует скорость роста ср .

На рис.5 приведены диаграммы зависимостей, рассчитанных по формулам (37)-(40) и по формулам линейно кинематического упрочнения.

Диаграмма состоит из двух частей:

1) нелинейная, построенная по формулам данной главы;

2)линейное кинематическое упрочнение, соответствующее пластическому течению в каждой точке включения (ср =с2).

Точка пересечения кривых - соответствует наступлению пластического течения во включениях. Величина Л может быть рассчитана из экспериментальных данных по измерению эффективного предела текучести, и в дальнейшем использоваться в расчетах нелинейного участка кривой деформирования композита.

В ПЯТОЙ ГЛАВЕ рассматривается моделирование процессов фазовых превращений в твердых телах на примере построения математической модели изотермического фазового перехода, при котором новая фаза зарождается и вырастает из старой под действием внешних нагрузок, при этом возникновение и развитие новой фазы обусловлено и сопровождается перестройкой кристаллических состояний и образованием в ней необратимых структурных деформаций. На поверхности раздела фаз физические и геометрические величины задачи претерпевают разрывы первого рода,

В РАЗДЕЛЕ 5.1. изучается возникновение и развитие изотермического фазового перехода в отдельных зонах упругой среды.- Рассматривается модель упругой среды, согласно которой новая фаза возникает в виде отдельных включений, распределение в пространстве которых статистически однородно и изотропно.

Упругая среда, в которой происходит фазовый переход первого рода, занимает объем V, ограниченный поверхностью 5. При фазовом превращении в материале новой фазы под воздействием внешних нагрузок возникают и развиваются необратимые структурные деформации аДг), вызванные перестройкой кристаллической и доменной структуры материала. Локальный закон Гука такой среды записывается в виде

а,(г) = 2М ф) + 3, \ £„(г) +(2[л]гДг) + 5, [%,(г) - 2 ц, аДг))гг(г) (41)

Здесь ег,у, Ец —тензоры напряжений и полных деформаций; ц,, А,, (5=1,2)—параметры Ламе компонентов.

В качестве условия фазового перехода первого компонента во второй принимается поверхность нагружения с линейным кинематическим упрочнением

(*„-2л2 «„)(•*„-2п 2<*4) = Л22 (42)

Здесь кг — начальный предел фазового перехода, л2 — коэффициент линейного упрочнения. Используя вариант метода осреднения системы уравнений равновесия композита определяются эффективный закон Гука рассматриваемой среды и ее остаточные макроскопические деформации.

Здесь

Л- = Ли- Сг{С,~,Х) (44)

эффективные модули сдвига и объемного растяжения (сжатия),

= --$„ а №. = Е„

Верхняя оценка макроскопического условия фазового превращения в рассматриваемой среде

(*„-2«, *„),(*„-2«, «0)г=Л22 (45)

закон нагружения рассматриваемой среды

Здесь

— макроскопические параметры деформирования среды. Здесь р - параметр, определяющий скорость роста новой фазы.

Уравнение (49) описывает нелинейное поведение изначально линейно — упругой среды за счет структурной перестройки при фазовых превращениях.

В РАЗДЕЛЕ 5.2. рассматривается возникновение и развитие фазового перехода в односвязных зонах упругой среды.

С помощью этой функции локальный закон Гука для среды , записывается в виде

<7,(0 = 2М е,{т) + Л *„(г) +(2[/^(г) + ^ [А]е„(г) - а,у(г))^(г) (48)

В качестве условия фазового перехода первого компонента во второй принимается поверхность нагружения с линейным кинематическим упрочнением .

-2", -2и, ог,;)=/с,2 (49)

Здесь кх — начальный предел фазового перехода, л, коэффициент линейного упрочнения. Выводится макроскопический закон Гука рассматриваемой двухфазной среды:

(*„) = 2д«(е„)-2//(ц,), {<т„) = ЗК*{е„) (50)

Здесь /л * и К* - эффективные модули упругости,

-И*!

Я' = М 1 + 1—^-¡К).

1 - "1'»М

Определяются макроскопические условия фазового превращения в рассматриваемой среде и закон ее деформирования. Верхняя оценка определяется выражением:

{5,-2^)^,-21^)=*,'. (5!)

которое преобразуется к виду Здесь

Уравнения (52) описывают нелинейное деформирование среды при фазовом превращении. Средние структурные деформации {агД необходимо выразить через объемное содержание новой фазы <\и величинуаг^. Поскольку очевидно, что с возрастанием интенсивности тензора (аД возрастает и <\, определим эту зависимость формулой

Ы, = (53)

Здесь р - параметр, описывающий скорость роста новой фазы.

^ = (к*+2п*с>аа11)у„ (54)

На рис.6 йредставлены кривые, построенные по формуле (54). Цифры у кривых - значения коэффициента упрочнения первой фазы.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ излагаются основные результаты исследований диссертационной работы в целом.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Разработан вариант метода осреднения системы уравнений равновесия композита, образованного идеально - упругой матрицей и упругопластическими сферическими включениями, позволяет получить замкнутую систему определяющих уравнений относительно макроскопических напряжений, полных и пластических деформаций, определить остаточные деформации и вычислить эффективные характеристики композита.

2. На основе этого метода построена новая модель композиционного материала, в котором зоны пластического течения зарождаются и развиваются в пределах объема включений. Развитие зон пластического течения сопровождается увеличением их объемной концентрации.

3. Показано, что деформирование композита за пределом упругости происходит в два этапа и должно рассчитываться по двум моделям. До наступления в каждой точке включений пластического течения поведение композита описывается нелинейными уравнениями, а после наступления пластического течения в каждой точке включений - по закону линейного кинематического упрочнения.

4.Разработан вариант метода осреднения системы уравнений равновесия композита, образованного упругопластической матрицей и идеально - упругими сферическими включениями, позволяет получить замкнутую систему определяющих уравнений относительно макроскопических напряжений, полных и пластических деформаций, определить остаточные деформации и вычислить эффективные характеристики композита.

5. С помощью этого метода построена новая модель композиционного материала, в котором пластическое течение зарождаются и развиваются в пределах объема матрицы. Для композита, образованного упругопластической матрицей и упругими сферическими включениями, показано, что несмотря на пластическую несжимаемость материала матрицы, в целом композит проявляет макроскопическую пластическую сжимаемость, обусловленную различием объемных модулей материалов компонентов.

6. Показано, что макроскопическое деформирование композита за пределом упругости описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка. Расчетные значения эффективных упругих и пластических характеристик композита показали удовлетворительное соответствие экспериментальным данным.

7.Разработан вариант метода осреднения системы уравнений равновесия композита, образованного матричной смесью идеально - упругого и упругопластического компонентов позволяет получить замкнутую систему определяющих уравнений относительно макроскопических напряжений, полных и пластических деформаций, определить остаточные деформации и вычислить эффективные характеристики композита.

8. На основе этого метода построена новая модель композиционного материала, в котором зоны пластического течения зарождаются и развиваются в пределах объема упругопластического компонента. Развитие зон пластического течения сопровождается увеличением их объемной концентрации.

9. Показано, что деформирование композита за пределом упругости происходит в два этапа и должно рассчитываться по двум моделям. До наступления в каждой точке упругопластического компонента пластического течения поведение композита описывается нелинейными уравнениями, а после наступления пластического течения в каждой точке включений - по закону линейного кинематического упрочнения.

10. На основе исследованных моделей теории пластичности композитов разработан вариант метода прогнозирования процессов фазовых превращений в твердых телах. Применение его для осреднения системы уравнений равновесия нестабильной среды позволяет получить замкнутую систему определяющих уравнений изотермического фазового перехода относительно макроскопических напряжений, полных и структурных деформаций и вычислить эффективные характеристики материала.

11. На основе этого метода построены новые модели нестабильной среды, в которых новая фаза зарождается и развивается в пределах объема старой фазы под действием внешних нагрузок. Возникновение и развитие новой фазы обусловлено перестройкой кристаллических состояний, при которых в ней образуются необратимые структурные деформации. При этом на поверхности раздела фаз физические и геометрические величины задачи кроме перемещении претерпевают разрывы первого рода. Развитие новой фазы сопровождается увеличением ее объемной концентрации.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

l.Makarova I.S., Sahabiev V.A., Modeling of non-linear behavior of multicomponent and chaotic-reinforsed composite materials // Proc.7ül.Int.Conf.on.Mech.Behavior of materials. The Netherlands,1995.-pp.836-837.

2-Носов H.B., Сараев Л.А., Сахабиев B.A. Математическая модель инструментов из СВС-материалов// Вестник СамГТУ, серия «Технические науки», Самара, 1994. -с.124-130.

З.Сараев Л.А., Сахабиев В.А. Вариант метода осреднения интегральных уравнений фазовых превращений в твёрдых телах // Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции. Международная конференция. Самара: СамГПИ, СамАСИ, 1992.-С.223-224.

4.Сараев Л.А., Сахабиев В.А. К теории изотермических фазовых превращений в упругих средах // Неупругие деформации, прочность и надёжность конструкций: Сб. тр., Самара, СамГТУ, 1993.-е. 126-130.

5.Сараев Л.А., Сахабиев В.А. Влияние развития пластических деформаций в компонентах на макроскопическое упрочнение упругопластическнх композитов // Математическое моделирование систем и процессов. -ПермГТУ, Пермь, 1996.

6.Сахабиев В.А. Прогнозирование параметров изотермического фазового перехода в упругой среде // Математическое моделирование систем и процессов управления. Сб. тр., Самара: СамГТУ. 1997. -с.95-100

7.Saraev L.A., Makarova I S., Sahabiev V A. The peculiarities of the nonlinear workhardening of the composite material with elastic-plastic matrix // Composites: fracture mechanics and technology, Chemogolovka, 1992. -pp.224-230.

Подписано к печати 16.05.1997 г. Формат 60 х 84 1/16. Объём 1 п.л. Бумага офсетная. Печать офсетная. Тираж 100 экз. Зак. № 28. ОАО "ОТНС"