Динамическое деформирование упругих сред с учетом их микроструктуры и времени релаксации

Просветов, Вячеслав Иванович

Динамическое деформирование упругих сред с учетом их микроструктуры и времени релаксации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Просветов, Вячеслав Иванович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Динамическое деформирование упругих сред с учетом их микроструктуры и времени релаксации»

Автореферат диссертации на тему "Динамическое деформирование упругих сред с учетом их микроструктуры и времени релаксации"

На правах рукописи _

Просветов Вячеслав Иванович

ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ УПРУГИХ СРЕД С УЧЕТОМ ИХ МИКРОСТРУКТУРЫ И ВРЕМЕНИ РЕЛАКСАЦИИ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2013

1 2 ДЕК 2013

005543989

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор Вервейко Николай Дмитриевич

Ряжских Виктор Иванович доктор технических наук, профессор Воронежского государственного технического университета

Козлов Владимир Анатольевич доктор физико-математических наук, профессор Воронежского государственного архитектурно-строительного университета

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения Российской академии наук

Защита состоится «2,Я~» сГ^* 2013 года в часов на заседании

диссертационного совета Д 212.038.24 при Воронежском государственном университете, адрес: 394000, г. Воронеж, Университетская пл., 1, тел.: (473) 220-83-22.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «Ьоу> ил л.Еи ^_2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Леденева Т. М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы обусловлена влиянием микроструктуры и времени релаксации на характер напряженно-деформированного состояния материалов и протекания волновых процессов в них. Микроструктура материала и время релаксации существенно влияет на поведение упругого материала в областях больших градиентов напряжений и деформаций, характерных для пограничного слоя и в окрестности фронта ударных волн, а также на распространение упругих волн в различных материалах.

Упругие волны являются высокоэффективным инструментом исследования твердых тел, практически не внося при этом искажения в происходящие там процессы. Выявление волновых эффектов, связанных с микроструктурой и временем релаксации, позволит использовать их для совершенствования методов контроля и диагностики выпускаемой продукции, конструирования материалов с заданными свойствами звукоизоляции, а также появлению новых методов исследования материалов различной природы.

Модели, построенные с учетом микроструктуры и времени релаксации, включают в себя дополнительные диссипативные эффекты, что приводит к возможности построения устойчивых явных конечно-разностных схем. В современных условиях, когда происходит активное использование многоядерных процессоров и распределенных вычислений, этот факт может стать решающим фактором при выборе модели описания деформирования сплошной среды.

В теории упругости получил широкое распространение подход, основанный на введении в представительный бесконечно малый объем дополнительных степеней свободы (ротационных, осцилляционных или способностей к микродеформации). В результате чего появилась возможность учитывать внутреннюю структуру (микроструктуру) реальных материалов (зернистость, волокнистость и т.д.). Первоначально данный подход был предложен в 1909 году путем учета ротационных степеней свободы, и впоследствии получил название континуум Коссера. В 1911 году была опубликована работа Леру, в которой происходил учет микродеформации. Особый интерес к исследованию неклассических континуумов возник в 50-е -60-е годы ввиду широкого внедрения композиционных материалов. В эти годы были выполнены работы Леру, Эрингена, В. Т. Койтера, Р. Д. Миндлина, В. Новацкого, Е. Рейснера, Л. И. Седова и др.

Однако данный подход к определению микроструктуры не является единственно возможным. В работах, посвященных построению квазигазодинамических и квазигидродинамических моделей, учет микроструктуры и времени релаксации проводится путем добавления невязок в распределения скорости в уравнении Больцмана. К этому направлению можно отнести работы Т. Г. Ечизаровой, Б. Н. Четверушкина и др.

Влияние микроструктуры и времени релаксации наиболее значимо в задачах динамического деформирования упругих, упругопластических и пластических материалов. Данным задачам посвящены работы Г. И. Быковцева, А. А. Буренина, В. И. Ряжских, Ю. М. Мяснянкина, А. Д. Чернышева, Н. Д. Вервейко и др.

Предлагаемая диссертационная работа является продолжением научных исследований российских и зарубежных ученых и выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских работ кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета, в рамках темы «Разработка математических моделей и эффективных аналитических и численных методов решения статических и динамических задач механики деформируемых сложных сред с микроструктурой» (код по ГАСНТИ 30.19.23, 30.19.29).

Цель и задачи исследования. Целью диссертационного исследование является выявление влияния характерного линейного размера микроструктуры и времени релаксации на процессы деформирования и течения материала.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Построение кинематических и силовых характеристик представительного элемента сплошной среды с учетом характерного линейного размера микроструктуры.

2. Учет инерциальных свойств и времени релаксации в уравнениях сохранения механики сплошных сред.

3. Построение основных уравнений механики сплошной среды с учетом микроструктуры и времени релаксации.

4. Построение основных соотношений в переходных слоях, характеризующихся большими градиентами скоростей и перемещений, с учетом микроструктуры и времени релаксации.

5. Исследование распространения упругих гармонических волн в неограниченной среде с учетом ее микроструктуры и времени релаксации.

Область исследования. Исследование соответствует п.2 «Теория моделей деформируемых тел с простой и сложной структурой», п. 5 «Теория упругости, пластичности и ползучести» области исследования паспорта специальности 01.02.04 «Механика деформируемого твердого тела».

Методы исследования. Проведенные в данной диссертационной работе исследования основаны на классических подходах механики сплошных сред построения математических моделей деформируемых сред, методах аналитического исследования систем сингулярно возмущенных уравнений в частных производных, а также методе малого параметра и использовании элементов стандартного программного обеспечения.

Основные положения и результаты работы, выносимые на защиту.

1. Тензоры деформации и скорости деформации, отнесенные к центру масс представительного объема, учитывающие микроструктуру и время релаксации.

2. Уравнения механики сплошных сред, учитывающие конечность представительного элемента и время установления среды, приводящее к уточнению полных материальных производных от характеристик среды.

3. Соотношения в переходных слоях, характеризующихся большими градиентами скоростей и перемещений, с учетом микроструктуры и времени релаксации.

4. Уточненная скорость распространения гармонических упругих волн и интенсивности их затухания за счет учета параметра микроструктуры и времени релаксации.

Научная новизна.

1. Построены тензоры деформации и скорости деформации, отнесенные к центру масс представительного объема и учитывающие микроструктуру и время релаксации. Полученные тензоры отличаются от классических наличием слагаемых, содержащих параметры характерного линейного размера к и времени релаксации г.

2. Построены уравнения механики сплошных сред, учитывающие конечность линейного представительного элемента среды и уточнение полных производных от характеристик среды. Учет дополнительных параметров приводит к появлению слагаемых, содержащих производные более высокого порядка с малыми параметрами, что делает систем}' уравнений в частных производных сингулярно возмущенной и требует дополнительных граничных и начальных условий.

3. Построены соотношения в слоях, характеризующихся большими градиентами скоростей и перемещений, с учетом микроструктуры и времени релаксации, характерных для пограничного слоя или в окрестности фронта ударных волн.

4. Уточнена скорость распространения гармонических упругих волн и интенсивность их затухания за счет учета параметра микроструктуры и времени релаксации. Учет дополнительных параметров приводит к уменьшению скорости распространений гармонических упругих волн.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при расчете распространения упругих волн в различных материалах с учетом их микроструктуры и времени релаксации.

Полученные математические модели можно использовать для построения устойчивых явных конечно-разностных схем в задачах, где существуют зоны резкого изменения параметров состояния среды.

Выявленная взаимосвязь между временем релаксации, размером микрострукгуры и скоростью распространения упругих гармонических волн может быть использована при выборе физических параметров композитных материалов с необходимыми свойствами звукопоглощения и виброзащиты.

Апробация. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на: ХХХХП Всероссийском симпозиуме по механике и процессам управления (г. Миасс 2012г.); на международных конференциях «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (г. Воронеж 2009-2011 гг.); Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (г. Воронеж, 2011г.); Международной молодежной конференции «Прикладная математика, управление и информатика» (г. Белгород 2012 г.).

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием фундаментальных представлений механики сплошных сред, теории упругости, правильностью применения математического аппарата теории уравнений в частных производных, а также применением общеизвестных методов механики сплошных сред. Научные результаты, полученные в предлагаемой диссертационной работе, подтверждаются экспериментальными данными по распространению гармонических упругих волн в материалах различной природы.

Публикации. По теме диссертации опубликовано двенадцать печатных работ, из них три в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных научных результатов диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук.

Личный вклад автора. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

В работе [1] лично автору диссертации принадлежит построение соотношений для физических характеристик в тонких слоях с учетом характерного линейного размера микроструктуры и времени релаксации т. В работе [2] лично автору диссертации принадлежит построение тензора скоростей деформации и полных материальных производных с учетом времени релаксации т.. В работе [3] лично автору принадлежит методика построения тензора скоростей деформации с учетом характерного линейного размера микроструктуры. В работе [4] лично автору принадлежит выбор параметров, обеспечивающих устойчивость конечно-разностной схемы. В работах [5,7,9] лично автору принадлежит численный расчет кинетической энергии представительного объема при его движении вдоль линии тока, а также численный расчет параметров течения в переходных слоях.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 221 наименования. Материал изложен на 112 страницах машинописного текста и содержит 14 рисунков и 5 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий исторический обзор отечественных и зарубежных исследований по проблеме учета микроструктуры и времени релаксации в задачах механики сплошных сред, проведен анализ существующих направлений и методов в задачах деформирования упругого материала, применяемых в этих исследованиях. Обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, научная новизна, основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе раскрыт механизм учета характерного линейного размера микроструктуры и времени релаксации в основных соотношениях механики сплошных сред.

При переходе к непрерывному полю физических характеристик, отнесенных к центрам масс представительных объемов сплошной среды, с учетом характерного линейного размера микроструктуры получены следующие уточняющие соотношения для главного вектора, главного момента, деформации и скорости деформации элементарного объема:

- деформация:

О)

- скорость деформации:

- главный вектор:

- главный момент:

Мот, * + -/г(4)

Время релаксации т или время установления параметров в представительном объеме ЛУ можно учесть при формулировке второго закона Ньютона движения материальной частицы объемом ЛУ, которая в момент времени характеризуется плотностью р, давлением р или тензором напряжений сг,, и движется со скоростью v, а через время релаксации (время

установления) т эта же частица принимает другие значения плотности, напряжений и скорости движения:

(5)

. ск,

и-« —-+т —г;

л л

с1ю, с1го),

ю, я —+ т--

' Л л2

. ф ¿V н а л

(6)

(7)

Предположение о наличии характерного малого времени позволяет ввести в рассмотрение уточненный тензор скоростей деформации:

(8)

е' =е +—V V са т 2 1 } Р

Уточнение характеристик сплопшой среды в основных соотношениях механики сплошной среды позволяет получить уточненную модель:

дТ

8Х>

1 — \

дгр ак др дгр

—^ + —-—*— + 2Ук-— +

ЭТ1 ёТ дХк 8Т8Х1

дХк дх, ВХкдХ, )

+ р-Е'+-Кпгр-АЕ' = 0, 6

дТ

дХ,

8% 8Ук в¥. „1Г 32У + + —-—- + 2К.--—ь

дТ2 дТ 8Х,

8ТдХ„

* 8Хк дХ, 1 ' дХцдХ,

(9)

дх, б ах. 1

4 " "" "' 6 дХ} " Ей

'гп>

8Т

ЗЧ'Л Ж и

+ Л-

(дк д2^.

-¿ + ——- + 2 V.-'-

дТ2 дТ дХк 1 дГ8Хк

8У. д2Ч>,

—-—-—

дХк дХ, 8Хк8Х,

+ К

где скорость объемной деформации определяется по формуле

I ЭЛ^ дХ2 дХз

дХ,) {дх2) ^ал'з

В безразмерном виде система содержит три безразмерных параметра:

Р г Л Ей = 2--число Эйлера, 5/ =--число Струхаля, Кп ---число Кнудсена.

Уо2-Ро Т° 1

В виду повышения порядка производных по времени и пространственным переменным предложены дополнительные начальные и граничные условия

Во второй главе рассмотрено приближение пограничного слоя на выпуклой поверхности. В результате получены основные соотношения в переходном слое с точностью до малых параметров (А = <? и Кп = 3)ъ первой

степени:

„(1Гдр _ 5Уп 1_ д3УЛ е(.,дУ„др дгр) . 5- К — + Р--- + -р--г + 4 ■ К^-Т^ + КК^ГТ =0;

[ дг] дт] 6 от/ ) I от/ д?1 от] )

дт] (р дт] 6р дг] ) ^ дг] дт] от]

Ей■

дМ„ 1 дгМ„

- +—

дт] б дт] + 8-Ей

+ 8-Еи-\ 4-е,,,©»,+

ема ел/,.

--а. + —ь

дуг

(10)

6 8у1 +

= 0.

Для системы (10) получено решение для нормальных компонент безразмерных моментных напряжений:

Мы=В^пУбп + с)+^, (11)

где А„ 5,., С, определяются из циничных условий.

В случае, когда в системе силы давления намного больше инерциальных сил (Ей-8»тах(<5,^)) получено решение задачи Коши для производной по нормали от безразмерных напряжений:

« I г, е®<"."

- в случае граничных условии вида ©й,л = > —

- -у

(13)

в случае граничных условий вида ©й_я| = ©¡0, ®и,„[1;_х

= ©„

БШ

л/бт7 + arcíg

, -®,.0со5(УбГ)У ®1о5т{М) )

Для нормальной компоненты скорости найдено аналитическое решение в случае, когда скорость установления микроструктуры намного меньше скорости системы (£, »<5):

К =ро„,1+1;„, (15)

где Оп, Е„ определяются из граничных условий.

Из уравнения неразрывности с помощью численных расчетов находится безразмерная плотность. Следует отметить, что скачок плотности сплошной среды зависит от начального распределения отношения градиента нормальной скорости к значению самой нормальной скорости (рис. 1 - 3).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 рис. 1

0 0.2 0.4 0.6 О.в "0 0.2 0.4 0.6 0.8

рис. 2 рис. 3

Рис. 1-3. Зависимость безразмерной плотности от начального

распределения отношения градиента нормальной скорости к значению самой

нормальной скорости

(рис. 1 - ^

= 10, рис. 2 - -р

--100, рис. 3

= 1000 )

Таким образом, в переходном слое для различных значений безразмерных комплексов найдены выражения для нормальных компонент безразмерных моментных напряжений, безразмерных напряжений, скорости. Показана взаимосвязь отношения градиента нормальной скорости к её значению и безразмерной плотности.

В третьей главе исследовано распространение упругих волн с учетом характерного линейного размера микроструктуры и времени релаксации.

Построена математическая модель поведения упругого материала с учетом характерного линейного размера микроструктуры и времени релаксации. Полученное уравнение движения имеет следующий вид: 'дгй дъйл

| = (А + //(¡'¿гаа ап> и - цпл пли -г

(16)

р| —2 +г — - \ = {Х + 2^гас1(1™ и - ц го! го! и +

+ — д((Я + 2ц )%гас! сИ\' и - ц го1 го1 к)+Р'

и позволяют записать решение в виде скалярного и векторного потенциалов: 1 6 1 дР 81

(17)

с^Ац/ + —с\ААц/ - ^-у^ - г —+ Ч' = 0.

2 б ыг а3

При распространении гармонических волн типа:

ф(Х, 0 = а, {X) • япС®,/) + • сок(®1/);

(18)

ц>{Х,/) = а2(Х)• эт(т21) + Ъ2{Х)• со^т^) . учет микроструктуры приводит к решению в виде коротких волн, а учет времени релаксации приводит к экспоненциальному затуханию волн при их распространении.

В дальнейшем приведены соотношения для плоской задачи динамического деформирования твердого тела, в которой перемещения зависят только от одной пространственной переменной:

«=(н1,и2,0), »! =и^,х1), и2=и2(1,х1) (19)

Распространение гармонических волн с фиксированной амплитудой вида

возможно лишь в случае, когда характерный

линейный размер микроструктуры или время релаксации равны нулю.

В случай, когда время релаксации намного меньше отношения характерного размера к скорости звука в среде (5г -» 0 ), имеет место следующее выражение для скоростей распространения продольных волн:

1(Л + 2ц)

где =--— - классическая скорость распространения продольных волн.

V А>

Учет параметра микроструктуры приводит к уменьшению скорости

продольной волны (рис. 1) си =с, |

и появлению второго вида

продольных упругих волн, порожденных микроструктурой, со скоростью

равной сп = с.

1-.1--Щ1

- (рис. 4).

О 0.2 0.4 0.6 0.8

Рис. 4. Изменение скорости распространения продольных упругих волн двух типов в зависимости от числа Кнудсена На рис. 4 показано, что существует два типа волн, распространяющихся с разной скоростью в зависимости от числа Кнудсена. При этом при стремлении числа Кнудсена к нулю скорость одних волн будет стремиться к классическому решению, а скорость вторых к нулю.

В случае распространения поперечных волн можно проделать аналогичные рассуждения.

В случае распространения гармонических затухающих волн типа

А, вт! ю| —-/ +Л, соя со'— — /

решение представим в следующем виде:

Д- вт| со| —+ со^ш^— -/

(21)

В этом случае скорость распространения продольных волн при будет равна:

1 + >/зЛ2+1

Зг

27Л2+3&1

815г2 + 4 ■ (2 + 2 УТ+З^У1 + 2-Ш2 VI + ЗЛ'г )• Кп{

2 ■ (2 + 2л/Т+ЗЛ2 + 24Л'Г л/1 + 3 Л2)

(22)

В результате учета параметров микроструктуры и времени релаксации появляются волны, затухающие с течением времени, максимальная скорость распространения которых не может превышать г, (рис. 5).

с11(Ь,0.03|0.8

0.6

с1

сП(Ь.О.З) 04

с1

0.2

0.1 0.2 0.3 0.4

Рис. 5. Изменение скорости распространения продольных упругих волн в зависимости от выбора параметра микроструктуры материала и и времени релаксации г , когда один из параметров фиксирован На рис. 5 показано, что при увеличении времени релаксации (числа Кнудсена) от нуля скорость продольных упругих волн сначала резко возрастает, достигая максимума, а затем убывает вне зависимости от характерного линейного размера микроструктуры (число Кнудсена).

Построена зависимость отношения полученной скорости распространения продольных упругих волн сп к скорости с, от амплитуды при фиксировании параметров микроструктуры и времени релаксации (рис. б)

Рис. 6. Изменение скорости распространения продольных упругих волн в зависимости частоты возмущений при фиксированных параметрах

микроструктуры материала Л и времени релаксации т На рис. 6 показано, что увеличение частоты возмущений сначала приводит к росту скорости распространения продольных упругих волн, а затем к убыванию с асимптотическим стремлением к нулю, что имеет экспериментальное подтверждение.

В заключении сформулированы основные результаты, выносимые на защиту.

1. Сформулированы основные уравнения механики сплошных сред с учетом характерного линейного размера микроструктуры и времени релаксации. В случае предельного перехода при стремлении к нулю введенных параметров полученные уравнения описывают классическую модель механики сплошных сред. В уравнения сплошной среды с учетом характерного линейного размера микроструктуры и времени релаксации входят производные более высоких порядков по сравнению с классическими соотношениями, умноженные на малые параметры, что делает их сингулярно возмущенными и требует постановки дополнительных начальных и граничных условий. Квазигазодинамическая модель течения с учетом характерного линейного размера микроструктуры и времени релаксации для вязкого сжимаемого газа. По сравнению с существующими уточненными моделями данные уравнения содержат пространственно-временное сглаживание и имеют более простую структуру.

2. В переходном слое получены аналитические решения для напряжений и моментных напряжений. Для случая, когда число Струхаля Л намного больше числа Кнудсена Кп получена аналитическая зависимость нормальной компоненты скорости. Установлено, что скачок плотности в переходном слое зависит от отношения градиента производной нормальной компоненты скорости к нормальной скорости.

3. Построена модель упругого материала с учетом характерного линейного размера микроструктуры и времени релаксации. Получены соотношения для скалярного и векторного потенциалов, отличающиеся от классических наличием дополнительных слагаемых с малыми параметрами.

4. В случае распространения плоских одномерных гармонических волн получены аналитические выражения для скоростей распространения гармонических продольных и поперечных волн в зависимости от безразмерных параметров Кнудсена и Струхаля. Полученные скорости не превышают классическое решение и совпадают с ним в случае, когда малые параметры равны нулю. Показано затухающее поведение гармонических волн, максимальная скорость распространения которых не может превышать классическое решение. В упругих средах с микроструктурой и временем релаксации появляются дополнительные волны, амплитуда которых зависит от частоты гармонических волн.

Публикации автора

Автором опубликовано 12 работ по теме диссертации.

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Вервейко, Н. Д. Влияние характерного линейного размера микроструктуры и времени релаксации на переходные процессы в тонких слоях / Н. Д. Вервейко, В. И. Просветов // Вестник ВГУ, серия: Физика. Математика. -2013,-№2. -с. 141-147.

2. Вервейко Н. Д. Математическое моделирование поведения сплошной среды с учетом микроструктуры и времени релаксации / Н. Д. Вервейко, В. И. Просветов // Механика и процессы управления. Том 1. - Материалы XXXXII Всероссийского симпозиума. - М.: РАН, 2012. - С. 111-122.

3. V. I. Prosvetov, P.P. Sumets, N.D. Verveyko Modeling of flow of medium with homogeneous microstracture // International journal of mathematical models and methods in applied sciences Issue 3, Volume 5, 2011 - pp. 508-516.

Статьи и материалы конференций

4. Просветов В. И. Поведение материалов в тонких переходных слоях с учетом конечности представительных элементов и времени релаксации/ В. И. Просветов // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов международной конференции - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2011. - с. 325-328.

5. Вервейко Н. Д. К устойчивости явной однородной конечно-разностной схемы плоского нестационарного течения вязкого сжимаемого газа с учетом микроструктуры / Н. Д. Вервейко, В. И. Просветов // Вестник ВГУ, серия: Физика. Математика. - 2009. - № 1. - с. 70-74.

6. Вервейко Н. Д. Расчет влияния микроструктуры жидкости и времени релаксации на ее течение вдоль линии тока средствами MathCad Prime 1.0 / Н. Д. Вервейко, В. И. Просветов //Теоретическая и прикладная механика. — Выпуск 27. - Минск: БНТУ, 2012. - С. 155 -160.

7. Просветов В. И. Влияние времени релаксации на поведение кинетической энергии представительного элемента идеальной несжимаемой жидкости вдоль линии тока / В. И. Просветов // Прикладная математика, управление и информатика: сборник трудов Междунар. молодеж. конф.,

Белгород, 3-5 октября 2012 г.: в 2 т. - Т. 1. - Белгород: ИД «Белгород», 2012. -С. 234-236.

8. Вервейко Н. Д. Учет микроструктуры материала и его инерциальных свойств в моделях механики сплошной среды / Н. Д. Вервейко, В. И. Просветов // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XXII» - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2011. - с. 39-41.

9. Просветов В. И. К устойчивости явной однородной конечно-разностной схемы плоского нестационарного течения вязкого сжимаемого газа И Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Ч. 2: сборник трудов международной конференции. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2009. -с. 132-134.

10.Просветов В. И. Математические модели механики сплошной среды с учетом микроструктуры материала / В. И. Просветов // Труды молодых ученых: секция математика - 2010. - В. 1-2 - с. 26-27.

11.Вервейко Н. Д. О построении одной квазимодели механики сплошной среды / Н. Д. Вервейко, В. И. Просветов // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов международной конференции - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2010. - с. 94-96.

12.Просветов В. И. Распространение упругих волн с учетом характерного размера микроструктуры и времени релаксации/ В. И. Просветов // Труды молодых ученых: секция математика - 2011. - Выпуск 1-2 - с. 12-17.

Подписано в печать 14.11.13. Формат б0>84 '/1б. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 1183.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфхгческого центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Просветов, Вячеслав Иванович, Воронеж

фгоу впо воронежский государственный университет

04201453071

Ыа правах рукописи

Просветов Вячеслав Иванович

^Не-

динамическое деформирование упругих сред с учетом их микроструктуры и времени релаксации

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. т. н., проф. Вервейко Н. Д.

Воронеж - 2013

Содержание

Стр.

Введение 4

Глава 1. Основные законы механики сплошной среды с учетом характерного линейного размера представительного объема среды и инерциальных свойств материала 13

1.1. Процедура осреднения физических характеристик деформаций, скоростей деформаций, напряжений и моментных напряжений сплошной среды с учетом характерного линейного размера к ее микроструктуры.............................................................................................. 13

1.2. Учет инерциальных свойств материала при расчете полных производных по времени и тензора скоростей деформации...................... 20

1.3. Уравнения равновесия сплошной среды с учетом характерного представительного размера среды и инерциальных свойств материала.. 23

1.4. Безразмерный вид основных соотношений механики сплошной среды с учетом размера микроструктуры и времени релаксации............. 25

1.5. Замыкание математической модели сплошной среды с учетом микроструктуры и времени релаксации...................................................... 28

1.6. Модель вязкого сжимаемого газа учетом характерного размера микроструктуры и времени релаксации и ее сравнение с существующими квазигазодинамическими моделями............................... 30

1.7. Энергетические соотношения на примере течения идеальной

несжимаемой жидкости вдоль линии тока.................................................. 33

Глава 2. Поведение сплошных сред в тонких переходных слоях с учетом конечности представительных элементов и времени релаксации 41

2.1. Основные соотношения механики сплошной среды с учетом

характерного линейного размера микроструктуры и времени релаксации в переходном слое.......................................................... 41

2.2. Нулевое приближение для переходного слоя по малым безразмерным комплексам Кнудсена и Струхаля............................ 46

2.3. Первое приближение для переходного слоя по малым безразмерным комплексам Кнудсена и Струхаля............................ 49

2.4. О существовании разрывов в переходном слое............................... 62

Глава 3. Распространение упругих волн с учетом характерного

представительного размера среды и времени релаксации 70

3.1. Математическая модель распространения упругих волн с учетом характерного размера микроструктуры и времени релаксации...... 70

3.2. Распространения гармонических колебаний в неограниченном пространстве......................................................................................... 73

3.3. Плоские гармонические волны в упругой среде с учетом характерного размера микроструктуры и времени релаксации...... 78

Заключение 88

Список использованных источников 90

Введение

Упругие волны являются высокоэффективным инструментом исследования твердых тел, практически не внося при этом искажения в происходящие там процессы [70, 168]. Выявление волновых эффектов, связанных с микроструктурой и временем релаксации, позволит использовать их для совершенствования методов контроля и диагностики выпускаемой продукции, конструирования материалов с заданными свойствами звукоизоляции, а также появлению новых методов исследования материалов различной природы [76].

Развитие математического моделирования непосредственно связано с построением новых математических моделей с учетом дополнительных характеристик объектов, уточнения и разработок новых форм анализа существующих моделей, использованием новых численных алгоритмов, разработкой эффективных программных комплексов. В связи с этим следует отметить, что модели, построенные с учетом микроструктуры и времени релаксации, включают в себя дополнительные диссипативные эффекты, что приводит к возможности построения устойчивых явных конечно-разностных схем [29, 46, 69, 127, 138, 157]. В современных условиях, когда происходит активное использование многоядерных процессоров и распределенных вычислений, этот фактор может стать решающим при выборе модели описания деформирования сплошной среды [181, 191, 219].

Можно выделить три основных направления исследований внутренних взаимодействий между структурными элементами: континуальный, статистический и структурно-феноменологический [158].

В рамках статистического подхода были получены уравнения Больцмана (Ludwig Boltzman, 1844-1906), описывающие поведение функции распределения частиц моноатомарного газа с бинарными столкновениями. Впоследствии С. Чепмен и Д. Энског предложили асимптотический метод решения уравнений Больцмана, основанный на поиске решения в виде формального асимптотического ряда по степеням малого положительного параметра - числа Кнудсена. В первом приближении по числу Кнудсена данный метод приводит к уравнениям Навье-Стокса, следующие приближения приводят к уравнениям с более высоким порядком пространственных производных, что вызывает существенные трудности при их численном решении [66]. В научной литературе подобные уравнения, включающие третьи пространственные производные, носят название уравнения Барнетта.

В отличие от статистического подхода структурно-феноменологический направление основано на пересмотре основных гипотез механики сплошных сред. Оно занимает промежуточное положение между классическим описанием сплошных сред и статистической физикой. Здесь следует отметить работы А. М. Кривцова [93-95], И. А. Кунина [106], Б .Е. Победря [131-133], А. К. Эрингена [190, 201] и др.

В теории упругости получил широкое распространение подход, основанный на введение в представительный бесконечно малый объем дополнительных степеней свободы (ротационных, осцилляционных или способностей к микродеформации). В результате чего появилась возможность учитывать внутреннюю структуру (микроструктуру) реальных материалов (зернистость, волокнистость и т.д.). Первоначально данный подход был предложен в 1909 [198] году путем учета ротационных степеней свободы, и впоследствии получил название континуум Коссера. В 1911 году

была опубликована работа Леру [206], в которой происходил учет микродеформации. Бесконечно малого представительного объема. Особый интерес к исследованию неклассических континуумов возник в 50-е - 60-е годы ввиду широкого внедрения композиционных материалов. В эти годы были выполнены работы В. Т. Койтера [91], Р. Д. Миндлина [119, 208], В. Новацкого [122, 210], Е. Рейснера [212], Л. И. Седова [158-161] и др. Особое место в дальнейшем развитии данного подхода занимают исследования распространения различных видов волн в таких континуумах [42, 98-100]. В настоящее время данное направление активно развивается в работах отечественных и зарубежных авторов [59, 110, 213].

Учет микроструктуры материала также возможен за счет уточнения основных кинематических характеристик сплошной среды. Данный подход предложен в работах Н. Д. Вервейко совместно с П. П. Сумцом, С. А. Шашкиной, М. И. Быковой [22, 23, 27, 28, 31, 184].

Помимо попыток создания моделей, учитывающих конечность представительного размера реально существующих материалов, в 60-е годы XX века под руководством Абрахама Робинсона возникла дисциплина под названием нестандартный анализ. В нестандартном анализе реализуется идея наличия бесконечно малых величин, отличных от нуля, что соответствует физическому представлению о структуре материи. Впоследствии данный подход был апробирован при решении задач теории упругости и гидродинамики [57, 171].

Введение элементарного объема также ставит вопрос о применимости методов механики сплошных сред при исследовании наноструктур с использованием совместного подходов Лагранжа и Эйлера [5] в периодических средах [8]. Некоторые исследователи считают, что процесс расчета механических характеристик должен проходить в рамках методов молекулярной механики [51].

В газовой динамике широкое распространение получили системы квазигазо- и гидродинамических уравнений, формально отличающие от

уравнений Навье-Стокса дополнительными слагаемыми, включающими малый параметр и старшие производные. В восьмидесятые годы под руководством Б. Н. Четверушкина [180-183], Т. Г. Елизаровой [65, 67] начались исследования моделей, отличающихся от классических уравнений Навье-Стокса дополнительной процедурой пространственно-временного осреднения для определения основных физических характеристик среды. В настоящее время данное направление активно развивается, как в теоретическом плане [44, 80, 164, 185-187], так и в практическом [61, 62, 68].

Учет характерного размера микроструктуры и времени релаксации обычно необходим в динамических задачах механики деформируемого твердого тела. В связи с этим следует отметить работы Г. И. Быковцева [24], А. А. Буренина [18, 20], В. И. Ряжских [153, 154], И. А. Викторова, Ю. М. Мяснянкина, А. Д. Чернышева [19], Н. Д. Вервейко [30] и др. Характерный размер микроструктуры вносит существенный вклад в описание процессов в задачах теории оболочек, где один из характерных размеров системы достаточно мал. В этом направлении следует отметить работы Т. Д. Семыкиной, В. А. Козлова [89, 90] и др.

В настоящее время в зарубежной и отечественной литературе активно ведутся исследования, направленные на учет дополнительных физических характеристик реально существующих сред [111]. Следует отметить, что до конца не решен вопрос о границах применимости того или иного метода исследования для конкретной практической задачи.

При моделировании современных материалов возникает необходимость в расширении существующих классических моделей. Выбор характеристик состояний вещества - серьезная математическая проблема, а их количественное измерение с помощью эксперимента является трудновыполнимой задачей [81]. В связи с этим всегда следует избегать чрезмерных усложнений на этапе формирования модели, чтобы впоследствии не столкнутся с существенными математическими

сложностями и отсутствием экспериментально подтвержденных значений заявленных физических параметров.

Предложенный в диссертационной работе подход базируется на классическом подходе Эйлера, используемый при описании неупругих сред [72, 73, 123], сплошной среды в виде непрерывного поля осредненных физических характеристик. Для проведения процедуры осреднения представительный объем должен обладать определенными размерами, причем при его уменьшении погрешность вычисления осредненных характеристик будет возрастать. Применительно к волновой динамике данный подход был детально изучен А. Г. Куликовским [101-105].

Следует отметить, что вопрос о конечности представительного объема и наличия времени релаксации косвенно возникает в численно-аналитических подходах, основанных на совместном использовании описания Эйлера и Лагранжа деформирования сплошной среды. К таковым относятся метод крупных частиц, предложенный Ф. Харлоу в 1955 г. [12], а также различные сеточные методы [53, 175]. Если взглянуть на данный вопрос более шире, то очевидной станет взаимосвязь предложенного подхода с численными методами увеличения устойчивости конечно-разностных схем, такими, как искусственная вязкость, введение времени запаздывания (установления) физических параметров среды и т.д.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

2. Учет инерциальных свойств и времени релаксации в уравнениях сохранения механики сплошных сред.

3. Построение основных уравнений механики сплошной среды с учетом микроструктуры и времени релаксации.

Основные положения и результаты работы, выносимые на защиту.

Научная новизна.

2. Построены уравнения механики сплошных сред, учитывающие конечность линейного представительного элемента среды и уточнение полных производных от характеристик среды. Учет дополнительных параметров приводит к появлению слагаемых, содержащих производные более высокого порядка с малыми параметрами, что делает систему уравнений в частных производных сингулярно возмущенной и требует дополнительных граничных и начальных условий.

Выявленная взаимосвязь между временем релаксации, размером микроструктуры и скоростью распространения упругих гармонических волн может быть использована при выборе физических параметров композитных материалов с необходимыми свойствами звукопоглощения и виброзащиты.

Апробация. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на: XXXXII Всероссийском симпозиуме по механике и процессам управления (г. Миасс 2012г.); на международных конференциях «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (г. Воронеж 2009-2011гг.); Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (г. Воронеж, 2011г.); Международной молодежной конференции «Прикладная математика, управление и информатика» (г. Белгород 2012 г.).