Исследование автомодельных закономерностей формирования пластических фронтов в металлах при интенсивных воздействиях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Ударно-волновые явления в металлах. Модели деформирования при интенсивных воздействиях.

1.1. Введение.

1.2. Ударные волны в металлах. Автомодельные закономерности формирования ударных волн.

1.3. Модели деформируемого твердого тела при ударно волновых нагрузках.

2.2. Дислокационные субструктуры.49

2.3. Ансамбль микротрещин (микросдвигов).53

2.4. Статистическая модель среды с дефектами.56

2.5. Неравновесная свободная энергия среды с дефектами. Определяющие соотношения.62

2.6. Аппроксимация неравновесной свободной энергии.68

2.7. Структурно-скейлинговые переходы как механизм пластической деформации.74

2.8. Заключение.79

Глава 3. Стуктурно-скейлинговые переходы в металлах. Анализ структуры деформированного образца.80

3.1. Введение.80

3.2. Описание эксперимента.80

3.3. Результаты ударно-волнового эксперимента. Структура деформируемого образца.82

3.4. Исследование скейлинговых закономерностей структуры деформируемого образца.84

3.4.1. Спектральный анализ стохастических сигналов (вейвлет и Фурье анализ).84

3.4.2. Фрактальные характеристики скейлинга.86

3.5. Результаты спектрального анализа.87

3.6. Обсуждение результатов.89

Глава 4. Математическая модель плоского удара.90

4.1. Введение.90

4.2. Математическая постановка.91

4.3. Численный метод решения.94

4.4. Идентификация модели.96

4.5. Результаты.99

Заключение.105

Введение

Актуальность темы. Изучение закономерностей поведения материалов при динамических нагрузках, структуры ударных волн в конденсированных средах вызывает большой интерес, так как до настоящего времени являются открытыми вопросы, связанные с объяснением природы релаксационных процессов на фронте ударных волн, термодинамики динамических и ударно-волновых явлений в диапазоне умеренных интенсивностей нагрузок, для которых роль структурно-обусловленных механических процессов является определяющей.

Прогнозируемость процессов, происходящих при динамических и ударно-волновых нагружениях, достигается на основе моделей, верификация которых осуществляется сопоставлением результатов экспериментов и расчетов в некоторых модельных постановках. Описание структурно-обусловленных релаксационных процессов, определяющих механизмы пластичности и разрушения при динамических и ударно-волновых нагружениях, предполагает рассмотрение многомасштабных явлений в ансамблях мезоскопических дефектов, исследование их термодинамических и кинетических свойств, объяснение ряда ключевых эффектов, наблюдаемых при динамических и ударно-волновых воздействиях. Реалистичное описание термодинамики процессов деформирования и моделирование структурно-обусловленных релаксационных механизмов представляет значительный научный и практический интерес, и над созданием и совершенствованием моделей на протяжении многих лет работают ведущие научные лаборатории мира.

Диссертационная работа посвящена именно этой тематике и направлена на решение актуальной и сложной научной проблемы повышения надежности моделирования поведения материалов при 4 ударно-волновых нагружениях с учетом термодинамики процессов деформирования, связи последних с коллективным поведением ансамблей типичных мезодефектов, объяснению эффектов, наблюдаемых в металлах при интенсивных нагрузках, на основе развитого подхода и проведенных ударно-волновых экспериментов и структурных исследований.

Цель и задачи исследования. Целью исследования является разработка физико-математической модели для описания термодинамических и релаксационных свойств твердых тел в широком диапазоне интенсивностей воздействий с учетом роли коллективных мод мезодефектов, создание методов расчета поведения материалов при ударно-волновых нагружениях, объяснение закономерностей формирования волновых пластических фронтов и экспериментальная верификация теоретических результатов.

Для достижения поставленной цели рассматривались следующие задачи:

1. Построение модели деформирования твердых тел, учитывающей влияние ансамблей типичных мезоскопических дефектов (микросдвигов) на релаксационные свойства материалов в широком диапазоне интенсивностей воздействий на основе реалистичного термодинамического потенциала, учитывающего взаимодействие дефектов.

2. Определение параметров термодинамического потенциала и кинетических коэффициентов материалов (армко-железо, медь) на основе данных оригинальных ударно-волновых экспериментов и структурных исследований с использованием методики «сохраненных образцов».

3. Исследование на основе развитых моделей динамики формирования ударных волн в металлах с целью объяснения механизмов и описания закономерностей «расщепления» ударно-волновых фронтов, релаксации упругого предвестника, формирования автомодельных пластических фронтов, в том числе, в условиях «догрузки».

4. Верификация полученных результатов на основе оригинальных экспериментов и структурных исследований сохраненных образцов, подвергнутых ударно-волновому нагружению.

Научная новизна. Диссертационная работа посвящена экспериментальному и теоретическому изучению автомодельной природы упруго-пластических волн в металлах. Новизна работы заключается в том, что впервые с использованием разработанной математической модели, оригинальных экспериментов и структурных исследований объяснен ряд ключевых эффектов, связанных с особенностями формирования и распространения плоских ударных волн:

- универсальная зависимость четвертого порядка скорости деформирования от амплитуды напряжений;

- выделение квазиупругого предвестника и автомодельность волнового фронта при догрузке;

- закономерности перехода к «перегрузочными» режимам (overdriven shock);

- установлена связь автомодельных закономерностей формирования волновых фронтов и структурного скейлинга на «сохраненных образцах».

Положения, выносимые на защиту:

1. Разработанная математическая модель, отражающая связь структурно-скейлинговых переходов в ансамблях мезодефектов с релаксационными свойствами и разрушением материалов в широком диапазоне скоростей деформирования.

2. Предложенный вид феноменологического представления неравновесного «мезоскопического» потенциала (свободной энергии), отражающего закономерности нового класса критических явлений, характерных для мезоскопических систем - структурно-скейлинговые переходы в твердых телах с мезодефектами (микротрещинами, микросдвигами) с использованием двух типов независимых термодинамических переменных: тензора плотности дефектов и параметра структурного скейлинга.

3. Предложенный механизм структурной релаксации, объясняющий степенную универсальность пластических волновых фронтов, механизм формирования квазиупругого предвестника и автомодельного волнового фронта при догрузке, закономерности перехода к перегрузочным фронтам.

4. Предложенный способ идентификации параметров модели на основе данных квазистатических и динамических испытаний.

5. Результаты моделирования, подтвердившие связь структурно-скейлинговых переходов в ансамблях мезодефектов, обусловленных механизмами структурной релаксации, и степенной универсальностью четвертого порядка пластических волновых фронтов, выделением квазиупругого предвестника, автомодельностью ударно-волновых фронтов при «догрузке», закономерностями переходов к режимам «overdriven shock».

6. Результаты оригинальных экспериментов по ударно-волновому нагружению меди, результаты структурного, спектрального и корреляционного анализа на «сохраненных образцах», подтвердившие связь автомодельных режимов распространения пластических волновых фронтов и структурного скейлинга, обусловленного формированием сильно-коррелированных коллективных мод ансамблей мезодефектов на широком спектре пространственных масштабов.

Личный вклад автора. Автором получены основные результаты, представленные в диссертации. На основе развитых определяющих соотношений автором разработана математическая модель плоского удара, проведено моделирование ударно-волновых процессов в исследованных материалах, реализована «спектральная» методика исследования микроструктуры «сохраненных» образцов с использованием профилометра-интерферометра NewView 5000. Автор внес значительный вклад в интерпретацию полученных результатов при объяснении автомодельных закономерностей формирования волновых фронтов в металлах.

Прикладная значимость проведенных исследований обусловлена необходимостью оценки надежности ответственных конструкций различного назначения, испытывающих воздействие интенсивных нагрузок в условиях, существенно отличающихся от лабораторных. Ряд результатов может быть использован для прогноза критических явлений при сейсмических событиях тектонического и техногенного характера.

Апробация работы:

По результатам диссертационной работы опубликовано 7 научных статей и 16 тезисов. Основные положения и результаты работы докладывались на 11 всероссийских и 4 международных конференциях.

Основные результаты были получены в рамках исследований, проводимых автором по Программе Президиума РАН "Теплофизика и механика интенсивных воздействий", Программе Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН "Структурная механика материалов и элементов конструкций. Взаимодействие нано-, микро- и макромасштабов при деформировании и разрушении", Целевой программе поддержки междисциплинарных проектов, выполняемых в содружестве с учеными УрО РАН, СО РАН и ДВО РАН, проектам РФФИ № 05-01-00863, № 05-08-33652а, № 7-08-96001-рурала , проектам МНТЦ № 1181, 2146, международным контрактам.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и выводов по результатам исследования. Работа изложена на 117 страницах и содержит 34 рисунка, 2 таблицы, список цитированной литературы из 95 наименований.

выводы

1. На основе статистической модели твердых тел с мезодефектами развиты феноменологические представления о связи структурно-скейлинговых переходов в ансамблях мезодефектов с механизмами структурной релаксации. Предложен вид неравновесного мезоскопического потенциала, что позволило предложить макроскопические определяющие уравнения упругопластической среды с мезодефектами.

2. Предложена математическая модель формирования и распространения плоского упругопластического волнового профиля. Показано, что устойчивость пластического фронта связана с подчинением релаксационной кинетики на фронте волны кинетике структурно-скейлинговых переходов в ансамбле микросдвигов.

3. На основе оригинальной численной методики проведена идентификация параметров математической модели с использованием экспериментальных данных по динамическому одноосному сжатию образцов. Полученные на основе численного решения с определенными параметрами материала профили свободной поверхности для армко-железа согласуются с экспериментальными данными.

4. Предложено объяснение автомодельных закономерностей формирования ударных волн:

-степенной универсальности (четвертый порядок зависимости скорости деформирования от амплитуды напряжений) пластических волновых фронтов в ударных волнах умеренной интенсивности;

-автомодельной природы волновых фронтов при догрузке.

5. Теоретические результаты подтверждены оригинальными экспериментальными и структурными исследованиями по ударно-волновому нагружению образцов и исследованиями морфологии структуры на сохраненных образцах с использованием данных интерферометра-профилометра New View 5000. Автомодельная природа релаксационной кинетики на устойчивом фронте пластической волны и определяющая роль коллективных эффектов в ансамбле микросдвигов подтверждены структурными исследованиями и данными корреляционного и спектрального анализа.

Заключение

В работе реализован ударно-волновой эксперимент на образцах меди с использованием методики сохраненных образцов, что позволило провести измерение скорости свободной поверхности и анализ морфологии структуры. С использованием интерферометра-профилометра New View 5000 исследована микроструктура меди, образовавшаяся при ударно-волновом нагружении. Изучены закономерности структурного скейлинга - пространственного распределения областей локализованного сдвига после прохождения ударной волны в широком диапазоне масштабов (от 1 мкм до 200 мкм).

Проведенные исследования позволяют сделать вывод о важной роли зарождающихся при прохождении ударной волны полос локализованного сдвига в формировании автомодельного профиля пластического фронта. Устойчивость пластического фронта связывается с формированием дислокационных субструктур (полос локализованного сдвига), содержащих ориентированные ансамбли дислокаций, локализованные на характерных пространственных масштабах. Зарождение и развитие данных субструктур приводит к длинно-корреляционным взаимодействиям и их согласованному развитию. Такие корреляционные взаимодействия обусловлены полями напряжений, создаваемыми субструктурами. Автомодельные признаки пластического волнового фронта (четвертый порядок зависимости скорости пластической деформации от амплитуды импульса) связываются с отмеченными крупномасштабными корреляциями, приводящими к формированию автомодельных (автосолитонных) коллективных мод ансамблей мезодефектов с большими значениями характерных времен распространения (по сравнению с акустическими временами) и «подчинению» кинетики релаксации на пластическом фронте динамике «медленных» автосолитонных мод.

Предложенная в [3] статистическая модель и развитые на ее основе феноменологические уравнения, описывающие связь нелинейного поведения ансамбля мезоскопических дефектов - микросдвигов с релаксационными свойствами материалов, позволили предложить объяснение автомодельной структуры пластического фронта и универсальной зависимости скорости пластических деформаций от амплитуды волны напряжений. В вычислительном эксперименте получены устойчивый пластический фронт и степенная зависимость четвертого порядка скорости деформирования от амплитуды напряжений. Показано, что устойчивость пластического фронта связана с подчинением релаксационной кинетики на фронте волны кинетике структурно-масштабных переходов в ансамбле микросдвигов.

Автомодельная природа релаксационной кинетики на устойчивом фронте пластической волны и определяющая роль коллективных эффектов в ансамбле микросдвигов подтверждены структурными исследованиями с использованием данных интерферометра-профилометра New View и корреляционного анализа. Показано, что прохождение волнового пластического фронта сопровождается формированием упорядоченного ансамбля микросдвигов с асимптотически выраженными корреляционными свойствами.

Разработанная математическая модель позволила описать следующие эффекты: расщепление ударной волны на упругий и пластический фронты; повторное расщепление при догрузке; релаксацию упругого предвестника при его распространении; степенную универсальность пластического фронта.

1. Канель Г.И. и др. Ударно-волновые явления в конденсированных средах. М.:"Янус-К", 1996. - 408 с.

2. Сахаров А.Д. и др. Экспериментальное исследование устойчивости ударных волн и механических свойств вещества при высоких давлениях и температурах. Докл. АН СССР, 1964. - Т. 159. -№ 5. - С.1019-1022.

3. Наймарк, О.Б., Коллективные свойства ансамблей дефектов и некоторые нелинейные проблемы пластичности и разрушения// Физическая мезомеханика. 2003. - Т. 6. - С. 45-72.

4. Barker, L.M. Behavior of Dense Media Under High Pressures- New York: Gordon and Breach, 1968. 483 p.

5. Swegle, J.W. and Grady D.E. Shock viscosity and the prediction of shock wave rise times // J.Appl.Phys. 1985. - Vol. 58. - №.2. - P.692-701.

6. Asay, J.R. The use of shock-structure methods for evaluating high-pressure material properties // Int. J. Impact Engng. 1997. - Vol. 20. - P. 27-61.

7. Huang, H., Asay J. R. Compressive strength measurements in aluminum for shock compression over the stress range of 4-22 GPa // Journal of Applied Physics. 2005. - Vol. 98. - P. 033524-.033540

8. Holschneider, M. Wavelets: An Analysis Tool Oxford University Press, 1995.-382 p.

9. Федер, E. Фракталы. М:Мир, 1991. 254 с.

10. Band, W. Studies in the theory of shock propagation in solids //J.Geophys. 1980. -Vol. 65. - P. 695-719.

11. Bland, D.R. Dilatation waves and shocks in large displacement isentropic dynamic elasticity//J. Mech.Phys. 1964. - Vol. 12. - P. 245-267.

12. Heremann W, Lawrence R.J.//J. Eng. Mat. Tech. 1978. - Vol. 100. - P. 84.

13. Swan G.W, Duvall G.E., Thornhill C.K. On steady wave profiles in solids // J. Mech. Phys. Solidsra 1973. - Vol. 21. - P. 692-701.

14. Barannikov V., Nikolaeva E. The effect of strain rate of dynamically loaded copper on temperature accumulation //J. Phys. IV. France. 2003. -Vol. 110.-P. 195-199

15. Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized criticality//Phys. Rev. A 1988. - Vol. 38. - P. 364 - 374

16. Preston D., Tonks D. Model of plastic deformation for extreme loading conditions //J. App. Phys. 2003. - Vol. 93. - № 1. - P. 211-220

17. Grady D. Scattering as a mechanism for structured shock waves in metals // Journal of the Mechanics and Physics of Solids (UK). 1998. - Vol. 46.-No. 10.-P. 2017-2032

18. Rosunberg Z., Bless S. Steady-Wave Characteristics in Shock-Loaded Steel Specimens // J. Appl. Phys. 1986. - Vol. 59. - No. 4. - P. 1384-1385

19. Asay J. R.; Chhabildas L. C.; Wise J. L. Strain Rate Effects in Beryllium Under Shock Compression // Shock Waves in Condensed Matter; Menlo Park; Calif; 23-25 June 1981. P. 427-431

20. Holmes B. S., Tsou F. K. steady shock waves in composite materials // J Appl Phys. 1972. - Vol. 43. - No. 3. - P. 957-961

21. Aleinikov A.Y. at al. Molecular-dynamic simulation of shock-wave compression of metals // Bulletin of the American Physical Society (USA). -2001.-Vol. 46.-No. 4.-P. 59

22. Канель Г.И. Модель кинетики пластической деформации металлов в условиях ударно-волнового нагружения // ПМТФ. 1982. -№2.-С. 105-110

23. Taylor J.W. Dislocation dynamics and dynamic yielding // J.Appl. Phys. 1965. - Vol.36. - P. 3165-3170

24. Годунов С К , Козин Н С Структура ударных волн в упруговязкой среде с нелинейной зависимостью максвелловской вязкости от параметров вещества // ПМТФ. 1974. - №. 5. - С. 101-108

25. Жукова П.В., Макаров Т.В., Платова Т.В. и др. Исследование вязких и релаксационных свойств металлов методами математического моделирования //ФГВ. 1987. -№ 1. - С.29-34.

26. Журков С.Н. Дилатонный механизм прочности твердых тел // ФТТ. 1983. - Т.25. - Вып. 10. - С. 3119-3123

27. Горновой А.А., Козлов Е.А., Музыря А.К., Шорохов Е.В. Исследование кинетики релаксации упругого предвестника в ст.З и титане//ФГВ. 1989.-№ 1,-С. 142-144

28. Быченков В.А., Васильченко К.Е., Горновой А.А. Кинетико-статистическая модель релаксации напряжений // ВАЕГГ. Сер. Мат. моделирование физ. процессов. 1995. -№ 1-2. - С.9-12

29. Быченков В.А., Куропатенко В.Ф., Хардина JI.B. Математическая модель релаксации напряжений в сплошных и пористых твердых телах // Вестник Челябинского Государственного Университета. Физика, серия 6. 1997.-№1(1). - С. 14-27

30. Наймарк О.Б., Беляев В.В. Исследование влияния микротрещин на кинетику разрушения и структуру ударных волн в металлах // Проблемы прочности. 1989. - №7. - С. 46-53

31. Gilman J.J. Dislocation dynamics and the response of materials to impact // Appl. Mech. Rev. 1968. - Vol.21. - No. 8. - P. 767

32. Березин Ю.А. Моделирование нелинейных волновых процессов. Новосибирск: Наука, 1982. 159 с.111

33. Наймарк О.Б. О порообразовании, уравнениях состояния и устойчивости сверхпластического деформирования материалов //ЖПМТФ. 1985. - № 4. - С. 144-150

34. Наймарк О.Б., Ладыгин О.В. Неравновесные кинетические переходы в твердых телах как механизмы локализации пластической деформации//ЖПМТФ. 1993. - №3. - С.57-61

35. Трусов П.В., Келлер Н.Э. Теория определяющих соотношений. Курс лекций. 4.2. Общая теория. Пермь: Перм. гос. техн. ун-т. 1997. - 98 с.

36. Васин Р.А. Определяющие соотношения теории пластичности// Итоги науки и техники. Сер. Механика деформируемого твердого тела. ВИНИТИ. 1990. - № 21. - С.3-75

37. Уилкинс М. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. Москва: Мир, 1967, 275 с.

38. Steinberg D.J., Cochran S.G., Guinau M.W. A Constitutive model for metals applicable at high-strain rate// J.Appl. Phys. 1980. - Vol.51. -No. 3. - P. 1498-1504

39. Мержиевский Л.А., Шамонин C.A. Построение зависимости времени релаксации касательных напряжений от параметров состояния среды // ПМТФ. 1980. - №5. - С.37-45

40. Френкель Я.И. Кинетическая теория жидкостей. Ленинград: Наука, 1975 451 с.

41. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. Москва: Наука, 1978.-304 с.

42. Скрипняк В.А., Потекаев А.И. Релаксационные процессы в металлах при высоскоростной деформации // Известия ВУЗов, Физика, 1995.-№8.-С. 31-57

43. Макаров П.В. Упругопластическое деформирование металлов волнами напряжений и эволюция дефектной структуры // ФГВ. 1987. -№1. - С.22-28

44. Нигматулин Р.И., Холин Н.Н. К модели упругопластической среды с дислокационной кинетикой пластического деформирования // Механика твердого тела. 1974. - №4.-С. 131-146

45. Taylor J., Rice М. Elastic-plastic properties of iron // J.Appl. Phys. -1963. Vol.34. - No. 2. - P. 364-371

46. Нигматулин Р.И., Холин Н.Н. Скоростное деформирование металлов // Механика твердого тела. 1982. - №5. - С. 27-35

47. Johnson J.N., Barker Z.M. Dislocation dynamics and steady plastic wave profiles in 6061-T6 aluminium // J.Appl. Phys. 1969. - Vol. 40. -No. 11.-P. 4321-4334

48. Аптуков B.H. Модель термоупруговязкопластической поврежденной среды. Приложение к откольному разрушению // ФГВ. -1985. №2. - С.122-127

49. Санин И.В., Воробьев А.И., Горноаой А.А. Кинетико-статистическая модель откольного разрушения металлов // ФГВ. 1987. - № 1. - С.67-70

50. Горновой А.А., Козлов Е.А., Музыря А.К., Шорохов Е.В. Исследование кинетики релаксации упругого предвестника в Ст.З и титане // ФГВ. 1989. - № 1. - С. 142-144

51. Шорохов Е.В., Горновой А.А., Денисенко А.А. Затухание упругого предвестника в железе и стали // ФГВ. 1989. - №4. - С.112-118

52. Регель В.Р., Слуцкер А.И., Томашевский Э.Е. Кинетическая природа прочности твердых тел. Москва: "Наука", 1974, 361 с.

53. Быченков В.А., Васильченко К.Е., Горновой А.А. Кинетико-статистическая модель релаксации напряжений // Вопросы атомной науки и техники. Математическое моделирование физических процессов. 1995, в. 1-2.

54. Канель Г.И., Щербань В.В. Пластическая деформация и откольное разрушение железа "Армко" в ударной волне // Физика горения и взрыва. 1980 - 16, N4. - С.93 - 103

55. Follansbee P.S., Kocks U.F. A constitutive description of the deformation of copper based on the use of the mechanical threshold stress as an internal state variables//Acta. Metall. 1988. - Vol. 36. - No. 1. - P. 81-93

56. Preston D., Tonks D. and Wallace D. Model of plastic deformation for extreme loading conditions//Journal of Applied Physics. 2003. - Vol. 93. -No. 1.-P. 211-220

57. Koneva, N.A., Lychagin, S.P., Trishkona, L.T. and Kozlov, E.V., In: Strength of Metals and Alloys// Proceedings of the 7-th International Conference, Montreal, Canada, 1985. Vol. 1. - No. 21

58. Hansen, N. and Kuhlmann-Wilsdorf, D., Materials Science and Engineering.- 1986.-Vol. 81.-P. 141 -152

59. Новиков И.И. Дефекты кристаллического строения металлов. М. :Металлургия, 1983.231 с.

60. Фридель Ж. Дислокации. М.:Мир, 1967. 643 с

61. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. Новосибирск: Наука, 1985. 225 с

62. Betechtin, V.I, Naimark, О.В. and Silbershmidt, V.V., Proceedings of Int. Conf. of Fracture (ICF 7). 1989. - Vol. 6. - No. 38

63. Бетехтин В.И., Владимиров В.И. Кинетика микро разрушения кристаллических тел // Проблемы прочности и пластичности твердых тел.- Л.: Наука, 1979.- С. 142-154.

64. Баренблатт Г.И., Ботвина Л.Р. Автомодельность усталостного разрушения. Накопление поврежденности. Изв. АН СССР, Механика тверд, тела. - 1983. - N4. - С.161-165

65. Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика. М.: Наука, 1983.- 416 с

66. Ильюшин А. А., Механика сплошной среды, М.: Изд-во МГУ, 1990,310 с

67. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика, М., Наука, 1978, 556 с

68. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории.- М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271 с

69. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1973. 536 с.

70. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1987.

71. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1988.512 с.

72. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.:Наука,1978. 512 с.

73. А.А. Самарский, А.В. Гулин. Численные методы. М., Наука, 1989

74. А.А.Самарский, Е.С.Николаев. Методы решения сеточных уравнений. М., Наука, 1978

75. Бабкин А.В., Колпаков В.И., Охитин В.Н., Селиванов В.В. Прикладная механика сплошных сред: Т.З. Численные методы в задачах физики взрыва и удара, М: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. -516с.

76. Kanel G.I. Tcherban V.V. Phys. Of Combustion&Explosion (USSR), 1980,4

77. Bak, P., Tang, C. and Wiesenfeld, K. Self-organized criticality: an explanation of 1 / f noise//Physical Review Letters. 1987. - Vol. 59. - P. 381-384

78. Иванов M. Я., Нигматуллин P.3., Терентьева Л. В. Неявная схема с.к. Годунова повышенной точности для расчета стационарных сверхзвуковых течений // Вестник челябинского университета. 1997. -№1. - С. 60-67

79. Румер Ю.Б., Рыбкин М.Ш. Термодинамика стастистическая физика и кинетика. Новосибирск: Изд. Новосиб. Ун-та, 2001. - 608 с.

80. Мержиевский JI.A., Титов В.М., Фадеенко Ю.И., Швецов Г.А. Высокоскоростное метание твердых тел // Физика горения и взрыва. 1987. Т. 23, №5. с. 77-91.

81. Мержиевский JI.A. Моделирование динамического сжатия поликристаллического А1/20/3 // Физика горения и взрыва . Т.34, № 6. 1998. С.85-94

82. Мержиевский J1.A. Ударные волны в конденсированных средах Учеб. пособие. Новосибирск. 1982. 83 с.

83. Мержиевский JI.A. Развитие максвелловского подхода в описании динамических процессов в структурно-неоднородных средах // VI Забабахинские научные чтения: Междунар. конф., 24-28 сент. 2001 г.: Тез. Снежинск. РФЯЦ-ВНИИТФ .2001. С. 140.

84. Мержиевский JI.A. Модель размножения дислокаций при ударно-волновом сжатии металлов // VI Забабахинские научные чтения: Междунар. конф., 24-28 сент. 2001 г.: Тез. Снежинск. РФЯЦ-ВНИИТФ . 2001. С.176

85. Баяндин Ю.В., Наймарк О.Б. Экспериментальное и теоретическое исследование автомодельной структуры пластического фронта ударных волн вконденсированных средах // Физическая мезомеханика. 2004. -1.1. - Спец. вып., Ч. I.-С. 305-308.

86. Баяндин Ю.В. Экспериментальное и теоретическое исследование волновых фронтов в ударно-нагруженной меди //Уравнения состояния вещества, ИПХФ, Черноголовка. 2005. - С. 97-99

87. Баяидин Ю.В., Наймарк О.Б., Леонтьев В.А., Пермяков СЛ. О термодинамике систем с «медленной динамикой» // Математическое моделирование систем и процессов, ПГТУ, Пермь. 2005. - С. 4-14

88. Наймарк О.Б., Баяндин Ю.В., Леонтьев В.А., Пермяков СЛ. О термодинамике структурно-скейлинговых переходов при пластической деформации твердых тел // Физическая мезомеханика. 2005. - Т. 8. - №5. - С. 23-29

89. Баяндин Ю.В., Наймарк О.Б., Asay J.R. Численное моделирование и анализ автомодельной структуры ударных волн // Физика экстремальных состояний вещества, ИПХФ, Черноголовка, 2006. С. 92-94

90. Баяндин Ю.В., Уваров С.В., Наймарк О.Б. Структурная релаксация и автомодельность волн догрузки в металлах// Физика экстремальных состояний вещества, ИПХФ, Черноголовка, 2007. СЛ17-118