Деформирование упругих тел с учётом микроструктуры материала тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Гб

На правах рукописи

а

Шашки на Софья Александровна

ии3474400

ДЕФОРМИРОВАНИЕ УПРУГИХ ТЕЛ С УЧЁТОМ МИКРОСТРУКТУРЫ МАТЕРИАЛА

Специальность: 01.02.04 - Механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж-2009

003474400

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Воронежский государственный университет»

доктор технических наук, профессор Вервейко Николай Дмитриевич, Воронежский государственный университет

доктор физико-математических наук, профессор Радаев Юрий Николаевич, Самарский государственный университет

доктор физико-математических наук, профессор Петрова Вера Евгеньевна, Воронежский государственный университет

Ведущая организация Институт автоматики и процессов

управления ДВО РАН, г. Владивосток

Защита диссертации состоится 6 июля 2009 г. в 15-00 в конференц-зале (ауд. 231) на заседании диссертационного совета Д 212.038.24 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г.Воронеж, Университетская площадь, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан « 5 » июня 2009 г.

Научный руководитель

Официальные оппоненты:

Ученый секретарь диссертационного совета

Махортов С.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы обусловлена влиянием микроструктуры на характер деформирования и напряжённое состояние материалов (горные породы, мелкозернистые материалы, наноструктуры и т. д.) при упругом деформировании тел. Микроструктура материалов влияет на их упругое локальное поведение в области больших градиентов напряжений и деформаций, а также на поведение материала вблизи границ области приложения нагрузок, что ведёт к изменению кинематики деформирования среды и влияет на глобальное деформированное состояние упругих тел. В частности, учёт микроструктуры материала, его структурированности, ведёт к изменению параметров устойчивости тел различной геометрии.

Расчёты, проводимые на основе классической модели деформирования упругих тел, не содержат микроструктурных параметров, и поэтому, при применении проведённых расчётов к реальным задачам имеет место так называемая «неустранимая погрешность». При этом уточнение численных алгоритмов решения сложных задач не ведёт к уменьшению погрешности математической модели упругого деформирования по отношению к реальным объектам.

Для построения математических моделей течения и деформирования материалов с учётом микроструктуры используют несколько подходов. Один из них состоит в представлении физических законов в дискретном виде, их разложении в ряды Тейлора с учётом величин до некоторого порядка к" по характерному размеру микроструктуры. Другой подход состоит в представлении математической модели, заданной в дифференциальной форме, в разностном виде на сетке с шагом И, и построении разностного аналога (непрерывной задачи) с учётом величин до некоторого порядка А". Построенные уравнения носят наименование «квазиупругих», «квазигазодинамических», и

В предлагаемой работе проводится в рамках механики сплошных сред использование уточнённых кинематических параметров деформирования материала для анализа статических задач деформирования упругих тел. При этом среда состоит из дискретных элементов с характерным размером к, и представительный объём ДК«й3 не может быть неограниченно малым. Используемый подход позволяет привести оценку погрешности моделирования деформирования таких материалов.

Влияние характерного размера микроструктуры детально изучалось в задачах гидродинамики микрополярных жидкостей и деформирования твёрдых тел (Е.И. Шемякин, А.Ф. Ревуженко, В.Н. Николаевский, И.А. Ку-нин, Э.Л. Аэро, А.К. Эринген, X. Бок, Г.Ф. Филатов, Н.Д. Вервейко и др.). В газовой динамике учёт микроструктуры и диссипации на микроуровне исследовался в связи с построением устойчивых конечно-разностных схем

(Б.Н. Четверушкин, В. И. Попов, А.А. Самарский, А.В. Гулин и др.). Тем не менее, несмотря на проведённые исследования, необходимость в изучении задач, связанных с учётом микроструктуры материала при упругом деформировании тел, и разработке новых более эффективных аналитических и численных методов их решения остаётся актуальной.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских работ кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета, в рамках темы: «Разработка математических моделей и эффективных аналитических и численных методов решения статических и динамических задач механики деформируемых сред сложной структуры» (код по ГАСНТИ 30.19.23,30.19.29).

Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является исследование влияния характерных размеров h микроструктуры среды в кинематике деформирования упругих тел путём уточнения тензора деформаций, а также оценка воздействия параметра h на напряжённо-деформированное состояние материала. Поставленная цель достигается путем решения следующих задач:

1) построение линейного и нелинейного тензоров малых и больших деформаций с учётом характерного размера h микроструктуры;

2) построение системы уравнений деформирования упругого материала с учётом параметра h и дополнительных граничных условий, обусловленных микроструктурой;

3) получение аналитического или численного решения граничных задач:

a) сдвиг полосы из упругого материала с учётом микроструктуры;

b) цилиндрический сдвиг кольца из упругого материала с учётом его микроструктуры;

c) растяжение (сжатие) цилиндрического упругого кольца с учётом микроструктуры материала;

4) исследование устойчивости упругих стержней с учётом микроструктуры материала и расчёта критической силы.

Методами исследования являются классические подходы к построению математических моделей деформируемых сред, аналитические и численные методы решения систем уравнений в частных производных, метод малого параметра (асимптотического разложения), а также методы аппроксимации сеточных или дискретно задаваемых функций в пространстве непрерывного аргумента, методы прогонки решения систем линейных алгебраических уравнений. Численные результаты получены с использованием вычислительных алгоритмов, реализованных на ПЭВМ в среде Borland Del-phie 7.0.

На защиту выносятся следующие результаты: 1) тензор деформаций, определяющий вклад микроструктуры среды в

характер деформирования материала;

2) математическая модель деформирования упругих тел, учитывающая микроструктуру материала;

3) дополнительные граничные условия, учитывающие микроструктуру материала;

4) оценка влияния характерного размера микроструктуры на сдвиг полосы из упругого материала;

5) расчёт сдвига и сжатия упругого кольца с учётом микроструктуры материала;

6) расчёт критической силы при сжатии упругих стержней с учётом их микроструктуры, при различных условиях закрепления.

Научная новизна результатов диссертационного исследования заключается в следующем:

1) Предложено дополнение к тензору деформаций, учитывающее влияние микроструктуры материала. Представленный подход к описанию материалов с микроструктурой связан с учётом в определении деформаций микроструктурного характерного параметра Л, который носит смысл относительного линейного размера микроструктуры.

2) Сформулированы дифференциальные задачи деформирования упругого материала с учётом микроструктуры в терминах перемещений, которые отличаются от классических уравнений типа Ламе тем, что малый параметр к стоит перед старшей производной четвёртого порядка и носит сингулярный характер.

3) Сформулированы дополнительные граничные условия, учитывающие характерный размер микроструктуры материала.

4) Построены дифференциальные задачи и найдены их аналитические и приближённые численные решения для упругого деформирования с учётом микроструктуры материала в случае:

a) сдвига прямолинейной и криволинейной полос;

b) сдвига цилиндрического кольца;

c) сжатия цилиндрического кольца.

5) Проведён расчёт критической силы при сжатии упругих стержней с учётом микроструктуры материала при различных условиях закрепления и проанализировано влияние характерного размера микроструктуры на величину критической силы.

Достоверность полученных результатов в предлагаемой диссертационной работе обеспечивается использованием фундаментальных представлений теории упругости, физически корректной формулировкой математических моделей, правильностью применения математического аппарата теории уравнений в частных производных, а также применением классических методов механики сплошных сред, классических методов решения задач математической физики. Достоверность проведённой работы подтвер-

ждается тем, что из решений исследуемых задач как частные случаи получаются решения классических задач теории упругости.

Практическая значимость результатов. Полученные результаты могут быть использованы при расчёте напряжений элементов конструкций из различных материалов с учётом их микроструктуры, а также при расчёте предельных критических усилий, приводящих к неустойчивости упругих сжатых стержней.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на: научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета 2002-2009 гг.; на научных сессиях факультета прикладной математики и механики Воронежского государственного университета 2002-2007 г.г.; на Воронежских школах-семинарах «Современные проблемы механики и прикладной математики» 2002-2009 гг.; на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XVI» («Современные методы теории краевых задач») 2005 г., на научных сессиях математического факультета Воронежского государственного университета 2005 г.; на международных научно-технических конференциях «Авиакосмические технологии», Воронеж, 2004-2007 гг.; на седьмой международной научно-методической конференции «Информатика: проблемы, методология, технологии», Воронеж, 2007 г.; на научной сессии Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я.Яковлева «Механика предельного состояния», Чебоксары, 2008 г.; на научной сессии Самарского государственного университета (естественнонаучная серия «Механика»), Самара, 2009 г.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 16 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, изложенных на 137 страницах, и списка литературы, включающего 181 наименование, содержит 26 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор работ по теме диссертации, обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна выносимых на защиту результатов.

В первой главе построен тензор деформаций, учитывающий характерный размер микроструктуры материала.

Построена система уравнений, описывающая деформирование среды с микроструктурой и сформулированы дополнительные граничные условия, учитывающие вклад микроструктуры материала. Для оценки формоизменения материала со сложной структурой, характерные размеры h которого необходимо учитывать в кинематике, рассмотрены произвольные точки

>.МП'

¡¡1. ¿V

и-

М{хх,хг,хг), М*(х: + Л/,), М~(х, - А/,) (здесь и далее / = 1,2,3), удалённые друг от друга на расстояние А (рис.1).

Рис. 1. Схематическое изображение перемещения элементарного отрезка М*М~ в положение (А/+)'(Л/~)' полем перемещений V ,

мШ-у

Относительное удлинение квадрата длины 5 элементарного отрезка, задаваемого в виде

я3 =

-ь

0)

определяется следующим образом

л2 =2+ВДЛЛ

+Л4| (^'Л'Л'Л +..., (2)

где /, - направляющие косинусы рассматриваемого отрезка 2А,

(и,Р,д,..=Ш).

На основе (2), построен тензор деформаций, учитывающий микроструктуру материала

= +*£/*/,(3) где £„■ = из) - тензор деформа-

ций Коши; = +VII/, + ^с/, + ч]кир);

= Л2 • у^, + ■ + Чкиг. + Уриг ■

В линейном приближении деформационной характеристикой поля перемещений и принят тензор

А2

Ёч ~еч ~£ч + ^ •

(4)

Уравнения движения упругой среды типа Ламе в терминах перемещений П, описывающие деформирование среды с микроструктурой, имеют вид

дгС/ А2 А2

= +—+--/ЛАи, +р-д„ (5)

от 3 3

где и - вектор перемещений, Х,ц - упругие параметры Ламе, д, - плотность объёмных сил, р - плотность среды, еи = - объёмная дефор-

мация, д =

дхкдхк

- оператор Лапласа.

Система уравнений (5) позволяет получить уравнения для распространения объёмной деформации е или вектора вихря <р, в виде

р~ = {Х + 2ц)ке + ^~{Х + 2 + (6)

Р^Г = + + Р£„к ■ ?м • (7)

Уравнение «переноса» скачков деформаций или вектора вихря и их производных до третьего порядка имеет вид

(8)

где = —+0— - производная по времени < от функции /(у,,уг^), за-<Я 9< дп

данной на изолированной поверхности X; - производная по направлению вектора нормали Я; С = с - скорость движения изолированной поверхности X; - производная по касательному к поверхности X направлению уа; П = - средняя кривизна поверхности X, где Х\ и Хг -главные кривизны поверхности 2; (/]= /+ -/', где /+ - значение функции /(Уи У г >') на правой стороне поверхности X, а /" - значение функции /{у,,у2,1) на левой стороне поверхности.

Из (8) следует, что изолированные волны разрыва деформации или сдвига не существуют, так как решение для {/] определяется не только геометрией О самого фронта, но и поведением на поверхности X градиентов первого {/„), второго (/„„) и третьего (/ят) порядков. Это соответствует

дисперсии упругих волн, т.е. различной скорости движения упругих волн разной амплитуды в зависимости от их частоты.

Исследование поведения больших градиентов деформации е и вихря (з, вблизи стационарной поверхности X приводит к следующему уравнению

-44^ (9)

Решение уравнения (9) представимо в виде

/ = Л1 + Л2-е2О, + Л38ш*л + Л4с05£л, (10)

где Д = Л,(у„у2)- константы интегрирования, * = -о2 - частота.

В соответствии с (10) решение для объёмной деформации или вектора вихря экспоненциально возрастает в сторону положительного значения П и убывает в противоположную сторону, при этом имеет место гармоническое возмущение с периодом т=2яУ,- функции / (рис.2).

Для задач деформирования упругих тел из материала с учётом микроструктуры сформулированы дополнительные граничные условия.

■ \ / V

¡\ I

; о,

Рис. 2. Качественная картина поведения объёмной деформации / = е или вектора вихря / — (р, вблизи поверхности 2 градиентов

де,

М/

А ,-/•

а« /а,-

В случае, когда представитель_^ ный элемент осуществляет мгновенный поворот в точке касания, они запишутся следующим образом

Зр'(0)+2А?>*(0) = 0. (11)

Если представительный элемент полностью прилипает к жёсткой границе и не поворачивается, граничные условия имеют вид

9>(0)+Ар'(0) = 0. (12)

Дополнительные граничные условия (11-12) позволяют получать единственные решения для задач упругости, учитывающих микроструктуру материала.

Во второй главе описывается деформирование пространственного слоя упругой среды с учётом её микроструктуры.

Рассмотрен элемент среды, который деформируется в направлении оси >>, - он может растягиваться, либо сжиматься, или поворачиваться вокруг оси у2.

Система уравнений дня продольных и(п,у,) и вертикальных У(п,у,) перемещений слоя малой кривизны представима в форме

Щх +?0" Кш - 2и„,,П)-2П,им-2Пим1] =

Л+2/

(13)

Здесь: 1/,У- компоненты вектора перемещений и, g1I -коэффициент первой квадратичной формы, д, и ц, - распределённые внешние силы по направлению оси у, и по нормали й соответственно.

Решение системы (13) для средних по сечению перемещений

~ 1 +я 1 +я

и = — |£/(й)йСи и у = — ¡у(п)с1п, (где 2Н - толщина слоя), имеет вид 2Я _я 2 Я _я

Л -Я

ЩуО = с; + с'2у, + с;ат(\-у1 + <>+{?„, У(у) = /),+ £>2_у, + О, Ип(~У1 + У0, п И

здесь с',, с2, с,, с4', , Д2, , Д, - произвольныепостоянные.

Таким образом, среднее перемещение ¿7(у,) вдоль оси слоя у, содержит гармоническую составляющую

Рис. 4. Качественная картина поведения сдвига и перемещения в полосе.

sin(— У, +С), где С - константа (рис. 3). h

Таким образом, среднее перемещение Щу^ вдоль оси слоя уг содер-

g

жит гармоническую составляющую Sin(—у. +с), где с - константа (рис. 3).

А

В третьей главе рассмотрены примеры влияния микроструктуры на деформирование упругого материала. Описаны случаи сдвига криволинейной и прямолинейной полос с учётом микроструктуры материала, при условии полного прилипания представительного элемента к жёсткой границе.

Граничные условия для сдвига <р(п) на границах полосы (и = О, п = Н) имеют вид

<p{H)=Z-^, Лр„(0)+3р(0) = 0, h<p№-з?(я) = о. (14) А А

Используя дифференциальное уравнение (9), получено решение для вектора вихря ср(п) (или, совпадающее с ним, для сдвига) и перемещения U(n)

sinkH sinкН ' (т.А

ч --1-Л

и(п)=[\+1Лсовкн+1\п-н—к2_2+с,где с -константа. (16)

Из выражений (15) и (16) следует, что распределение сдвига в полосе является постоянным в главной части с наложением гармоник малой амплитуды порядка А с периодом Перемещения носят линейный характер

по п в главной части, и также с добавлением гармоник малой амплитуды порядка И с периодом Т.

В случае сдвига прямолинейной полосы с учётом микроструктуры материала при наличии поворота представительного элемента, граничные условия для сдвига на границах полосы имеют вид

*,(<>)= ^ = Лр2.„(0)+3р2..(0) = 0, к^я{Н)-3р2,(я) = 0. (17) и V

Выражение для вектора вихря <р2(п) и для перемещения и2(п) запишется следующим образом:

<р,{п) = ^~, и,(п) = —п+с, где с - произвольная постоянная. (18) № И

Из выражений (18) следует, что сдвиг представляет собой постоянную величину, а распределение перемещений в полосе носит линейный характер, что соответствует отсутствию влияния микроструктуры материала. При наличии поворота представительного элемента на жёсткой границе получены аналогичные результаты.

В четвёртой главе проведено численное решение задач статического деформирования плоских упругих тел цилиндрической формы с учётом микроструктуры материала. В автореферате приведены результаты расчета сдвиговой деформации упругого кольца.

Предполагается, что внутренняя граница кольца закреплена, а внешней границе задано перемещение ио. Используя тензор деформаций (3), учитывающий вклад микроструктуры, построено дифференциальное уравнение равновесия в перемещениях

г2йг

которое не имеет аналитического решения.

Граничные условия в перемещениях и условия сопряжения внешнего и внутреннего распределения перемещения Щг) имеют вид

17(1)=0, 3{7*(1)+Ш*(1)=0, [/(1+Я)=1, ЗС7*(1+Я)+йС7-(1+Я)=0 , (20)

здесь

Н

и,

ч-

Щг)

Грай»«'

\и(г) Гяя&у* к

у

Рис. 5. График численного решения с учетом микроструктуры.

Рис. 6. График точного и численного решения без учёта микроструктуры.

Для задачи (19-20) построена конечно-разностная схема, приводящая к системе уравнений с пятидиагональной матрицей, которая решается методом прогонки (рис. 5-6).

Из рис. 5 видно, что учёт микроструктуры материала ведёт к гармоническим возмущениям в погранслое вблизи внешней границе кольца.

В пятой главе исследовано влияние микроструктуры материала на устойчивость стержней с различными видами закрепления. В автореферате приведены результаты исследования устойчивости стержня длиной /, один конец которого заделан, а второй свободен. Используя тензор деформаций (3), учитывающий характерный размер микроструктуры, построено дифференциальное уравнение для поперечного перемещения U(x) стержня

Здесь: = + - сдвиговая компонента тензора деформаций,

Е - модуль упругости, а = ffigj. J ~ момент инерции поперечного сечения

стержня, Р - продольная сила.

Интегрирование уравнения (21) и исключение сдвиговой деформации еv, приводит к дифференциальному уравнению для поперечного перемещения U(x) стержня

и,»+кУ\2и.~~+а2и = с^+с1- (22)

Общее решение дифференциального уравнения (22) имеет вид

U (л) = с, sin atx + сг cos to¡x + с3 sin а2х + с4 cos а2х + с5х + с6, (23)

где (У = 1,2)-частота, с„с2,сз,с4,с5,с6-константы ин-

тегрирования.

Граничные условия, соответствующие данному виду закрепления, имеют вид

и(0) = 0, их(0) = 0, и„(0 = 0, 1/^(1) = 0. (24)

Используя решение (23) и граничные условия (24), совместно с дополнительными граничными условиями, учитывающими характерный раз-

У*

Рис. 7. Схематическое изображение зави- Рис. 8. График отношения критической силы с учётам симости критической силы от длины стержня, микроструктуры к классической критической силе.

мер микроструктуры (11), найдено выражение для критической силы

\2~

12 I/

(25)

Учёт микроструктуры (-*0) приводит к необходимости рассмотрения

/

стержней, длина которых больше или равна характерному размеру А микроструктуры (/ £ А).

Анализ зависимости критической силы (25) от длины стержня 1 показал, что значение критической силы при А * 0 всегда меньше значений критической силы для идеального упругого материала (рис. 7). Особенно показателен график отношения критической силы с учётом микроструктуры к критической силе (рис. 8)

Из рис.8 следует, что учёт микроструктуры значительно уменьшает величину критического усилия, необходимого для потери устойчивости стержня, для малых длин стержней (/> А). Так, для стержней длиной / порядка длины представительного элемента А критическая сила с учётом микроструктуры примерно в три раза меньше критической силы для идеального упругого материала. Для стержней большой длины влияние микроструктуры имеет порядок А2.

Заключение содержит анализ результатов и выводы, оценку практической значимости полученных результатов.

Личный вклад автора в опубликованных работах определяется следующим: 1) сформулирована задача по построению математической модели деформирования упругой среды с микроструктурой [6]; 2) построен тензор деформаций четвёртого порядка, учитывающий характерный размер микроструктуры, состоящий из линейной и нелинейной частей [2,16]; 3) сформулированы дополнительные граничные условия для задач деформирования упругих тел, учитывающие вклад микроструктуры материала [2]; 4) исследовано и проанализировано деформирование пространственного слоя упругой среды с учётом её микроструктуры [11,14]; 5) решены задачи деформирования плоских упругих тел с учётом микроструктуры материала [4,5,7,9]; 6) построены конечно-разностные схемы для решения задач статического деформирования плоских упругих тел с учётом микроструктуры материала [13]; 7) разработан комплекс программ для расчёта плоского деформированного состояния упругих тел с учётом их микроструктуры (результаты расчётов представлены в [13]); 8) исследовано влияние микроструктуры материала на устойчивость упругих стержней [1,10,12,15].

В результате выполнения диссертационной работы получены следующие основные результаты:

1) получен тензор деформаций четвёртого ранга, учитывающий микроструктуру материала;

(26)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

2) построена система уравнений в частных производных стационарного и нестационарного деформирования упругой среды с учётом микроструктуры материала; выявлено, что влияние к имеет место в зонах больших градиентов (в пограничных слоях);

3) сформулированы дополнительные граничные условия, так как дифференциальные уравнения деформирования упругой среды с учётом микроструктуры, представленные в терминах перемещений, имеют более высокий порядок по сравнению с классическими уравнениями Ламе. Построенные граничные условия отражают характер деформирования среды вблизи границы;

4) построены дифференциальные уравнения для сдвига упругого криволинейного слоя переменной кривизны;

a) решения уравнений показали, что продольное и нормальное перемещения носят квадратичный характер вдоль слоя с возмущениями порядка А2 за счёт микроструктуры материала. При этом средние продольные и поперечные перемещения содержат гармоническую составляющую, обусловленную учётом микроструктуры материала;

b) малые гармонические добавки в построенных решениях можно рассматривать как погрешность в решении практических задач деформирования материалов с учётом их микроструктуры методами идеальной теории упругости;

c) показано, что предельный переход по малому параметру И в уравнениях деформирования микроструктурной упругой среды и в решениях рассмотренных задач для сдвига и перемещения приводит к классическим уравнениям теории упругости и к классическим решениям предложенных задач. Этот факт отражает непрерывную зависимость решения от малого параметра, а также устойчивость математической модели идеальной теории упругости относительно микроструктурных возмущений;

(1) численные расчёты с использованием построенного алгоритма показали, что влияние микроструктуры материала на перемещение сказывается в пограничном слое только вблизи границы; е) вычислительный эксперимент показал правильность численных алгоритмов и программ и позволил рассчитывать как задачи классической теории упругости, так и учитывать влияние микроструктуры.

5) построено дифференциальное уравнение для поперечного перемещения стержня, находящегося под действием сжимающего усилия, учитывающее микроструктуру материала. Показано, что вычисленная критическая сила уменьшается за счёт характерного размера микроструктуры материала, что ведёт к более ранней потере устойчивости, по сравнению с идеальным материалом.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ: Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Шашкина С.А. Математическое моделирование устойчивости сжатых стержней с учётом микроструктуры материала / М.И. Быкова, С.А. Шашкина // Вестник Воронежского государственного технического университета, Т.З, №8, Воронеж, 2007, - С. 101-102.

2. Шашкина С.А. Влияние микроструктуры упругого материала на его деформирование / Н.Д. Вервейко, С.А. Шашкина // Вестник Самарского государственного университета, естественно-научная серия «Механика», №4, Самара, 2009,-С. 378-387.

Статьи и материалы конференций:

3. Шашкина С.А. Распределение нелинейных цилиндрических упругих волн в неограниченном пространстве / Ю.Ю. Александрова, М.И. Быкова, С.А. Шашкина // Современные проблемы механики и прикладной математики: Сборник трудов международной школы- семинара. 4.2. - Воронеж: ВГУ, 2002.-С. 3-9.

4. Шашкина С.А. Напряжённо-деформированное состояние упругого пространства с круговым вырезом с учётом микроструктуры материала / С.А. Шашкина // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XVI». -Воронеж:ВГУ,2005. -С. 173-174.

5. Шашкина С.А. Напряжённо-деформированное состояние упругого пространства с круговым вырезом под гидростатическим давлением с учётом микроструктуры материала / С.А. Шашкина // Современные проблемы механики и прикладной математики: Сборник трудов международной школы-семинара. 4.2. - Воронеж: ВГУ, 2005. - С. 204-206.

6. Шашкина С.А. Формулировка задачи теории упругости для материалов с микроструктурой / С.А. Шашкина // Математические модели и операторные уравнения. Т.З, Воронеж: ВорГУ, 2005. - С. 81-86.

7. Шашкина С.А. Влияние микроструктуры материала на сдвиговую деформацию кольца / М.И. Быкова, Н.Д. Вервейко, С.А. Шашкина // Авиакосмические технологии «АКТ-2006»: Труды седьмой международной научно-технической конференции - Воронеж: Воронеж, гос. техн. ун-т, 2006. - С. 400-403.

8. Шашкина С.А. Влияние микроструктуры материала на распространение упругих волн в слое / Н.Д. Вервейко, С.А. Шашкина // Современные проблемы механики и прикладной математики: Сборник трудов международной школы- семинара. Ч. 1. - Воронеж: ВорГУ, 2004. - С. 129-131.

9. Шашкина С.А. Влияние микроструктуры материала на напряжённое состояние вблизи выреза / Н.Д. Вервейко, С.А. Шашкина // Авиакосмические технологии «АКТ-2004»: пятая международная научно-техническая конференция - Воронеж: Воронеж, гос. техн. ун-т, 2004.

10. Шашкина С.А. Влияние микроструктуры материала на устойчивость стержней / М.И. Быкова, Н.Д. Вервейко, С.А. Шашкина//Авиакосмические технологии «АКТ-2007»: Труды Восьмой Всероссийской с международным

участием научно-технической конференции — Воронеж: Воронеж, гос. техн. ун-т, 2007.-С. 200-204.

11. Шашкина С.А. Деформирование балок с учётом микроструктуры материала / С.А. Шашкина // Вестник факультета прикладной математики и механики. - Вып.6. - Воронеж: ВорГУ, 2007, С. 206-212.

12. Шашкина С.А. Влияние различных условий закрепления стержней на их устойчивость с учётом микроструктуры материала / М.И. Быкова, С.А. Шашкина // Современные проблемы механики и прикладной математики: Сборник трудов международной школы- семинара. - Воронеж: ВорГУ, 2007.-С. 49-53.

13. Шашкина С.А. Численное моделирование сдвигового деформирования упругих материалов с учётом их микроструктуры / Н.Д. Вервейко, A.A. Смотрова, С.А. Шашкина // Информатика: проблемы, методология, технологии: материалы седьмой международной научно-методической конференции (8-9 февраля 2007г.). - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2007,-С. 63-67.

14. Шашкина С.А. Исследование адекватности математической модели консольной балки при продольном изгибе / Н.В. Минаева, С.А. Шашкина // Машиностроение: Научно-технический журнал. - Известия высших учебных заведений, 2008. —С. 15-17.

15. Шашкина С.А. Влияние микроструктуры материала стержня на его устойчивость / М.И. Быкова, Н.Д. Вервейко, С.А. Шашкина // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. ИЛ. Яковлева, серия: Механика предельного состояния, №2, Чебоксары, 2008. - С. 24-27.

16. Шашкина С.А. Оценка влияния микроструктуры на напряжённо-деформированное состояние материалов с однородной микроструктурой / С.А. Шашкина // Современные проблемы математики, механики, информатики: материалы международной научной конференции (17-21 ноября 2008г.) - Россия, Тула, 2008. - С. 321-327.

Подписано в печать 03.06.09. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 0.93. Тираж 100 экз. Заказ 969.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Введение.

Глава 1. Построение математической модели деформирования упругого материала, учитывающей микроструктуру.

1.1. Математическая модель деформирования упругого материала с учётом микроструктуры.

1.2. Исследование существования волн сильного разрыва в упругой среде с микроструктурой.

1.3. Исследование поведения больших градиентов деформации и вихря вблизи стационарных поверхностей.

1.4. Построение граничных условий для деформирования упругой среды с учётом микроструктуры.

В технологиях сегодняшних дней широкое применение находят твердые, жидкие и пластические материалы с внутренней микроструктурой (горные породы, бетон, наноструктуры, «суспензии», «микроморфные» жидкости и др.), что ведёт к необходимости их научного изучения. К таким материалам относят как материалы с достаточно мелкой микроструктурой h по сравнению1 с характерным линейным размером L области изучаемой среды так и материалы- с малым И, но конечным отношением (h/L<\) характерного размера h микроструктуры к характерному размеру L области материала.

Глобальные методы построения моделей механики сплошных сред, основанные на обобщённом вариационном принципе, развиты в известных работах JI. И. Седова- и его школы [78, 79]. Настоящая диссертационная работа посвящена построению и исследованию модели упругой среды с микроструктурой.

Исторически одной из первых моделей упругой среды, которая не может быть описана в рамках классической теории упругости, является континуум Коссера (1909г.) [37]. Однако долгое время мемуар Е. и Ф. Коссера оставался незамеченным, и лишь начиная примерно с 1958-60 гг. стали усиленно развиваться обобщённые модели континуума Коссера: теория ориентированных сред, несимметричная, моментная, мультиполярная, микроморфная и т. п. теории упругости (для краткости назовём их моментными теориями) [32, 33, 73, 74, 84, 118, 137, 161, 171]. Существенный вклад в развитие моментных теорий внесли Аэро Э. JL, Вожняк Ц., Германн Г., Грин А. Е., Гриоли Г., Гюнтер В., Койтер В. Т., Кувшинский Е. В., Ломакин В. А., Миндлин Р. Д., Нахди П. М., Новацкий В., Пальмов В. А., Ривлин Р. С., Савин Г. Н., Стернберг Е., Трусделл К., Тупин Р. А., Эринген А. К. и многие другие авторы.

Характерной чертой^ моделей' сред с микроструктурой является; их явная, или неявная; нелокальность. Последняя, в свою очередь, проявляется: в том, что теории- содержат параметры, имеющие размерность длины. Эти масштабные параметры могут иметь различный; физический смысл: расстояние между частицами в дискретных структурах, размер зерна или ячейки, характерный радиус корреляции или сил дальнодействия; шт. д: При этом всегда предполагается,, что масштабные параметры малы по сравнению с характерным размером тела.

Следует различать, случаи сильной1 или слабой нелокальности. Если* «разрешающая способностью модели имеет порядок; масштабного параметра; то есть в рамках соответствующей' теории физически допустимо-рассмотрение толщины слоя,,, соизмеримой с масштабным? параметром; тог теория называется нелокальной; или- сильно нелокальной. В таких моделях:, можно рассматривать элементы среды порядка' масштабного, параметра; но, как правило, расстояния; много; меньшие масштабного параметра, не имеют физического смысла;,

Если масштабный параметр мал по сравнению с рассматриваемой длиной тела, но полностью; пренебречь эффектами нелокальности нельзя, то возможен переход к приближённым моделям, для которых интегральные и разностные операторы заменяются дифференциальными операторами с малым параметром при старших производных. Такие модели называются слабо нелокальными.

При рассмотрении достаточно больших областей материала (нулевое приближение) должен осуществляться предельный переход к локальной? теории, уже не содержащей никаких масштабных параметров. Этим; свойством локальности, то есть возможностью рассматривать «бесконечно малые» элементы, среды; обладают все классические модели; механики сплошных сред.

Различают также среды простой и сложной структуры. В первом случае единственной кинематической переменной является вектор смещения, полностью определяющий состояние среды. Соответствующей силовой переменной являются объёмные и поверхностные силы. Для описания среды, сложной структуры дополнительно вводится набор микровращений и микродеформаций разных порядков, характеризующих внутренние степени свободы, и соответствующие им силовые микромоменты. Интегральными характерстиками микровращений и микромоментов является поле вращений и поле моментов.

Потребность в написании предлагаемой работы возникла в связи с необходимостью изложения кинематического подхода для более точного расчёта кинематики деформирования и напряжённого состояния современных технологических материалов, обладающих однородной микроструктурой. Представляет интерес также оценка погрешности расчётов с использованием классических математических моделей механики сплошных сред, обусловленная приближённым характером описания кинематики однородных материалов с микроструктурой.

Основным пунктом несоответствия между классическими моделями сплошной среды — идеально упругий материал, пластический материал, идеальная жидкость, вязкая жидкость, идеальный газ и целый ряд других моделей - и реальными материалами с однородной микроструктурой, является отсутствие в классических математических моделях сплошной среды безразмерного характерного параметра микроструктуры (hiL) [49, 51].

Под представительным элементом AV будем понимать такой объём материала, содержащего достаточно большое количество микроструктурных элементов, что механические свойства этого объёма AV и механические свойства материала в целом - совпадают. Характерный линейный размер h микроструктуры может иметь размеры порядка от линейных размеров кристаллов и мельче, до линейных размеров блоков горных пород в разных задачах.

Как уже отмечено ранее, одним из основных подходов для описания материалов с учётом их однородной микроструктуры является рассмотрение свойств микроструктуры путём введения микроповоротов (скоростей поворотов) в. точке пространства и связь этой классической кинематики — перемещение частицы и её поворот, деформация (скорость перемещения и собственная угловая скорость частицы, скорость деформаций) с силовыми характеристиками элемента - тензором напряжений и тензором моментных напряжений [46, 47, 48, 174]. Характерный размер микроструктуры в таком подходе связывают с моментом инерции характерного объёма микроструктуры, который входит в динамическое уравнение моментов. Этот подход великолепно развит в работах Эрингена А. К., Булыгина А. Н., Коссера Е., Аэро Э. JI, Николаевского В. Н. и др.

Другой подход в теории упругости связан с учётом^ влияния на деформацию в точке пространства не только близлежащих элементов, но и более отдалённых, что математически отражается введением в упругий потенциал W не только градиентов перемещений первого порядка, но и градиентов второго порядка. Это направление учёта микроструктуры материала в кинематике связывают с работами Кунина И. А.

В предлагаемой диссертационной работе для учёта микроструктуры материала вводится представительный объём ЬУ = къ и кинематическая характеристика деформирования - тензор деформаций — вводится с учётом величин o(h2), которые автоматически ведут к учёту градиентов второго порядка от классического тензора деформаций и, следовательно, учёта градиентов третьего порядка от вектора перемещений. Введение1 в рассмотрение тензора деформаций с учётом характерного размера (h/L) микроструктуры ведёт к учёту повышенного порядка градиентов перемещений в реологических уравнениях упругого материала. Построенная таким образом: математическая модель материалов, с учётом в кинематике среды параметров микроструктурности материала будет представлять систему уравнений в1 частных производных с порядком градиентов в них на два порядка выше, чем в классических математических моделях, при этом построенные уравнения будут содержать, малый параметр S2 = (h / L)2 при старших градиентах, то есть* полученные уравнения будут сингулярно возмущёнными и их возможно именовать "квазиупругими", "квазивязкими", -"квазигазодинамическими" уравнениями [87, 88].

Квазиклассические" уравнениягупругого-материала за счёт учёта в них< производных более: высокого1 порядка пси- сравнению с классическими допускают гладкие решения в; пограничном слое на границе, что седёт к построению; однородных- конечно-разностных вычислительных: алгоритмов-сквозного счёта без выделения пограничных слоёв;

В5 России; и зш рубежомшроведено^ множество = исследование в> средах, имеющих микроструктуру [3, 7, 8, 9; 27, 28, 29; 30, 31, 38, 39, 45, 83, 86, 149, 140, 138, .167, 170]: Так, в [140]- исследуется: влияние' микроструктуры на прочность, образцов доломита. С этой целью проведены петрографические и механические испытания1 18 образцов доломита. Изучено- влияние на прочность среднего-размера зерна,. объемной пористости, а также модуля упругости и бокового давления. В результате получено выражение для определения прочности хрупких неоднородных пород через измеряемые микроструктурные и механические параметры. Авторы [138]; также утверждают, что петрофизические свойства горных пород преобладающе определяются их микроструктурой. Важнейшей характеристикой .последней является^ критическая5 (пороговая) пористость. Ее математическая^ формулировка- дается в рамках теории эффективной среды, тв рамках теории перколяции. Порог перколяции для случайной' или регулярной- решетки зависит от плотности и среднего размера пор и трещин. Вообще; при расчете материалов и конструктивных элементов при воздействии внешних нагрузок может возникать слишком большое отклонение от реальных соотношений, если не учитывается влияние микроструктуры. В связи с этим, в.работе [149] исследуется применение моделей механики сплошных сред для сред с микроструктурой. При этом особое внимание обращается на вариационную формулировку механики разрушения, проблему гомогенизации для неоднородных сред и теорию перемещения. Представлены некоторые примеры, иллюстрирующие данную теорию.

В последние десятилетия вопрос осреднения параметров многокомпонентных материалов: грунтов, горных пород и т.д. с учетом собственного вращения частиц и наличия моментных напряжений глубоко исследован в работах Шемякина Е.И. [104, 105], Николаевского В.Н. [60], Ревуженко В.Ф. [70]; Вервейко Н.Д. [20, 19]. Отметим, что?в монографии-[70]' приведено более 300 ссылок на публикации. Широкое применение теория* структурно-неоднородных и микрополярных сред находит в механике горных пород, зернистых и сыпучих материалов» В. [53, 54] предложена5 модель деформации микроструктуры грунта, связывающая условия* на границах пробы с изменением состояния контактов на поверхности наибольших касательных напряжений. Рассчитано изменение числа упругих и пластических контактов в процессе одноосного сжатия пробы и энергетическая кривая взаимодействия глинистых частиц. Выявлено циклическое изменение реакции пробы при постоянной скорости деформации. В работе [131] предлагается некоторое развитие теории предельного состояния грунтов с целью учета влияния их структуры, при этом пористость грунта характеризуется с помощью функционала; параметры.которого могут быть определены экспериментально. Авторы [123] анализируют связь между микроструктурой и изменением объема зернистых мягких глин. Грунт моделируется, как двумерная пористая матрица, содержащая круглые поры. Показано, что объем уменьшается за счет коллапса пор; Разрушение пор начинается, как только напряженное состояние, вычисляемое методом граничных элементов, приближается к критерию разрушения Треска.

Исследование горных пород и грунтов приводит к рассмотрению многокомпонентных пористых сред [146; 156, 116, И]. В [116] представлена теория-композитных материалов, состоящих из двух изотропных составных частей, упругие характеристики которых определяются соотношениями Гассмана. Контакт между пористыми насыщенными материалами может быть "спаянным", т. е. сплошным, без каких-либо нарушений в виде трещин и пор, "неспаянным" или "частично спаянным". Эффективные напряжения-зависят не только от изменений характеристик всего выделенного объема, среды (объема пор, процентного содержания жидкости), но определяются и изменениями в каждой- отдельной компоненте: Получены выражения > для-объемных модулей упругости композитного материала с перечисленными' типами контактов. В работе [146] изложены теоретические предпосылки» уточненного учета влияния кластерной природы микроструктуры и множества случайно распределенных микропор. Выявлена потребность учета* ячеистой мелкопористой структуры металлической пены и конструкционных материалов в задачах анализа показателей деформируемости и прочности. Проведен анализ соотношения- микро- и макропоказателей в программных испытаниях на растяжение.

В работах [59, 112, 147, 158, 169]- используются методы конечных элементов (МКЭ) для исследования течения и деформирования сред с учетом их микроструктуры и различного рода микроконтактных взаимодействий частиц. Для учета приобретенной анизотропии таких материалов-конструируются модели из микроплоскостных элементов [159]. В? [78, 124, 134] решаются задачи с учетом различного рода упаковок из частиц разного диаметра, при этом различаются связи между напряжениями и деформациями в случаях растяжения или сжатия.

В» связи с ростом инженерных разработок в области авиа-космических технологий отмечается возрастание требований к моделям для описания технологических процессов обработки металлов, в связи с чем возникает необходимость формулировки определяющих соотношений, учитывающих эволюцию микроструктуры [168, 111, 178]. В-[168] описаны, особенности формирования дислокационной субструктуры при монотонном и сложном нагруженшгпрИ'больших деформациях. Приведены кинетические уравнения, описывающие эволюцию внутренних переменных.

Во многих работах последнего ■ времени- детально изучено поведение микроструктуры материалов при различных внешних условиях [25, 132, 125, 144, 176, 157, 151]. В [157] отмечено влияние термообработки- на микроструктуру суперпластических сплавов; О бсуждается эффект памяти формы, с учётом микроструктуры материалов. В' [151] -построена' самосогласованная модель для- перехода от зависимости, напряжение-деформация на уровне зерен к соответствующей^ зависимости на поликристаллическом-уровне. Отмечено хорошее^ согласование результатов численных расчетов-с имеющимися экспериментальными данными.

Особого внимания заслуживают исследования [120, 165] в которых в микрополярной теории Коссера разделяются уровни взаимодействия в гранулированной среде на макроуровень и микроуровень с учетом на микроуровне градиентов тензоров напряжений и деформаций макроуровня [64, 85, 106, 107, 108]. Авторы [120] развивают этот подход для описания поведения гранулированных материалов, рассматривая их как совокупность сферических частиц разных размеров. Локальный масштаб относится- к среднему диаметру частиц, макромашстаб - к размеру статистически* представительного объема, в котором рассматриваются- обычные переменные, характерные для- сплошной среды. Устанавливаются соотношения между локальными и обычными глобальными переменными, в частности - тензорами напряжений и деформаций. Приводятся примеры численного моделирования; двухосных испытаний методом дискретных элементов.

G применением' подобного подхода, в [153] построена статистическая модель для определения напряжения- текучести в . зависимости от распределения размеров: кристаллических зерен. Получена универсальная зависимость для напряжения текучести от. размера зерещ включающая участок упрочнения и разупрочнения; Даны, дополнительные соотношения, определяющие материальные константы через физические параметры-материала. Модель показывает, что фаза* упрочнения не обязательно ограничена размером- зерен, так как в некоторых материалах упрочнение существует ш в нанокристаллических процессах. Достоверность предлагаемой? модели: иллюстрируется- сравнением с экспериментальными данными. В [148]. получены; выражения; связывающие макроскопические напряжения и деформации с контактными силами и смещениями; частиц: ' Авторы [112] провели теоретический анализ' поведения массивов сыпучих материалов? с учетом их микроструктуры, т. е. положения- и геометрии каждого' зерна; смещений: между зернами; контактных взаимодействий и минерального состава зерен.

Следует отметить особый класс задач, связанный с влиянием микроструктурных параметров на разрушение материалов • [14, 113, 117,119, 121, 126, 128j 135, 136, 141, 150]. В [141] проведена серия-экспериментов, в которой исследовано влияние микроструктуры осадочных горных пород на их прочность и изломостойкость. Показано, что прочность образцов в зависимости от их микроструктуры может различаться более чем вдвое. В [121] отмечается зависимость макроскопического; поведения» поликристаллов от характеристик межзёренных связей. Авторы [113] Изложили обобщение и развитие ранее полученных результатов по серии вычисоительных. экспериментов с целью выявления^ характерных показателей, микроструктурного повреждения поликристаллических тел. Ввели уточнённую расчётную модель зарождения и распространения межзёренного дефекта с учётом деформируемости межзёренных границ. В работе [135] предложена новая схема оценки взаимодействия микродефектов, где вводится тензор четвёртого ранга, который описывает действительное расположение микродефектов, в твёрдом теле. Показано, что этот тензор играет ключевую роль при учёте эффектов взаимодействия дефектов. Получены аналитические формы тензора для различных случаев. Также исследованы критерии устойчивости процесса нагружения упруго-пластического материала с внутренней структурой-и описаны в [34].

К классическим работам по теории нелокальных сред следует отнести работы И:А. Кунина, собранные в монографии [45]. В его* книге систематически излагается теория упругих сред с микроструктурой, учитывающая внутренние степени свободы, эффекты нелокальности, дискретности, пространственной и временной дисперсии: Исследуются существенные отличия нелокальной теории упругости от классической и связь между ними. Большое внимание уделено колебаниям и распространению/волн в линейных и нелинейных диспергирующих средах. Рассматриваются локальные дефекты и дислокации в средах с микроструктурой.

В монографии [30] дается систематическое изложение современной теории распространения и взаимодействия упругих волн в твердых телах с микроструктурой. Выводятся математические модели твердых тел, учитывающие микроструктуру, геометрическую и физическую нелинейности, поврежденность, взаимодействие деформационных и магнитных полей. Изучаются различные волновые эффекты, характерные для тел с микроструктурой.

В [83] экспериментально исследованы затухания ударного импульса в столбе частиц сыпучей среды в условиях плоской* деформации. Проанализировано влияние размеров частиц сыпучей среды и-пористости на затухание распространения высокочастотных (в частности взрывных) волн. В поликристаллических структурах, зернистых композиционных материалах и полимерах наблюдается эффекты, не описываемые уравнениями классической теории упругости, которые анализируются в [31].

Костюков Н.А. исследовал двухмерные течения, имеющие место на-границе раздела порошкового материала с деформируемой преградой в условиях плоского и асимметричного взрывного нагружения [38]. Изучены структурные особенности компактов, возникающие при различных соотношениях между скоростью распространения нагрузки по поверхности преграды и скоростью пластической ударной волны в преграде.

Экспериментально изучены явления распространения нагружения в зернистых средах [35, 145, 164]. Определена усредненная скорость распространения волн по месторасположению волнового фронта во времени. В'качестве результата получено, что скорость распространения зависит от упаковки и направления- распространения. В1 случае наличия обжимающего давления скорость возрастает.

Общая теория решения задач, связанных с существованием ударных волн, хорошо развита в [43, 75, 76]. При решении одномерных и многомерных задач широко используют численные методы [15, 57, 66], метод распада произвольного разрыва [17], конечно-разностные методы [15, 21, 66]. Одним из наиболее экономичных численным и в тоже время приближенным методом является лучевой метод [16, 68] - приближенный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью ряда Тейлора для построения систем гиперболических уравнений в частных производных в окрестности фронтов. В более общем случае решение представляется в виде ряда по множеству обобщенных функций с носителями на< подвижной поверхности, которая отделяет невозмущенную область пространства от возмущенной [26, 36, 109].

В,механике и волновой динамике часто исследуются экспериментально и теоретически задачи о проникании твердых тел в грунт: [1, 10, 24, 44, 62, 72, 127, 133, 139, 142, 143, 173, 180]. Предлагаются аналитические модели ударного вбивания свай в грунт [44, 117]. А также методика прогнозирования дальностей проникания ударников в грунт, которая предполагает .разделение силы на лобовую и боковую составляющие [62]. Рассматриваются результаты исследования динамических свойств грунтов [63]; коэффициентов затухания механических колебаний, динамических модулей упругости при сдвиге, влияние импульсного напряжения на деформируемость грунтов, реакции грунтов на кратковременную нагрузку [110].

Из всех жидких материалов с микроструктурой можно выделить важный класс широко распространенных материалов - "суспензий" — жидкостей с недеформируемым наполнителем, "микроморфных" жидкостей, входящих в, обширный* класс структурно-неоднородных материалов. В качестве реальных прототипов таких, материалов можно * привести1 вязкие жидкости- с наполнителем в виде твердых частиц различного характерного размера /« L.

Моделирование и исследование течения материалов с микроструктурой в рамках механики сплошных сред имеет давнюю историю. Расчет эффективных физических параметров (коэффициентов вязкости, сжимаемости и др.) жидкостей с наполнителями, суспензий имеет важное значение для расчета параметров течения. С механической точки зрения концентрация частиц в суспензии существенно влияет на поведение отдельных частиц и среды в целом. Так при малых концентрациях твердых частиц их поведение — скорость перемещения и угловая скорость вращения мало отличаются от течения жидкости и совпадают со скоростью' жидкости v и ее угловой скоростью вращения aj = (rotv)l 2. При увеличении концентрации частиц следует учитывать отличие скорости перемещения частиц и их угловые скорости вращения от соответствующих параметров течения жидкости.

Общая теория микроморфных жидкостей представляет собой сложную математическую модель и ее использование связано с большими математическими трудностями. Наиболее доступной в плане решения задач прикладного характера является теория микрополярных жидкостей развитая в работах [4, 5, 130]. Различные теории жидких материалов с микроструктурой, построенные независимо друг от друга разными способами имеют общее, а именно: введение, наряду с полем скоростей, нового поля микровращений ф ф (rotv)/2.

В последние годы теория структурно-неоднородной и в частности микрополярной жидкости находит широкое применение для описания1 движения крови в сосудах различного сечения [155, 158] и движения биологической жидкости (смазки) в суставах человека.

Наряду с исследованием материалов с микроструктурой, имеющей характерный размер h ~ 0,1 -1 мм и выше, в последнее время возрос интерес к неоднородным материалам, у которых величина параметра h на порядки меньше [42, 56, 65, 71, 114, 115, 129, 154, 166, 179, 181]. В [13] указано, что усовершенствование структуры материалов на различных масштабных уровнях, которые осуществляются с помощью микро- и нанотехнологии, предоставляет широкие возможности для повышения показателей физико-механических и прочностных характеристик материалов и параметров конструкций. Поэтому актуальна задача о построении моделей и соотношений механики сред с учетом иерархии их структуры для исследования взаимодействия между разномасштабными составляющими компонентами материалов. В [181, 65] показано, что микроструктура влияет на макроповреждение материалов. В [179] рассматривается влияние формы зерен на поля мезоскопических напряжений. В работах [114, 115] авторы исследуют задачу по определению показателей напряженно-деформированного состояния при поперечном изгибе микро-балок, составленных из поликристаллов, средние размеры которых имеют одинаковый порядок с размерами поперечного сечения балки. Показано, что при наличии симметрии ниже третьего порядка напряженно-деформированное состояние микро-балки оказывается зависящим от расположения кристаллов внутри балки. В [154] построена модель термопластичности поликристаллического материала при больших деформациях. Приведены классические и обобщенные (слабые) постановки* краевых задач на макро- и микроуровне. Постановка краевой1 задачи на макроуровне содержит уравнения баланса количества движения, кинематические соотношения, уравнения баланса энергии, начальные и. граничные условия. Полагается, что каждой частице . макроконтинуума, ставится в соответствие частица микроконтинуума (с присущей ей микроструктурой), состояние которой» описывается соответствующими непрерывными полями напряжений и перемещений; при этом поле перемещений полагается состоящим из однородной и неоднородной составляющих. Тензор напряжений на макроуровне определяется осреднением по объему микрочастицы тензора микронапряжений. Takahashi Kunihiro в своей статье [166] использует аналогичный подход: точкам континуума сопоставляются мезодомены - области пренебрежимо малого объема, в которых задаются физические величины. Эти области призваны связать микроскопический уровень описания физических величин с макроскопическим. Такие представления вносят в классические уравнения теплопроводности, диффузии, уравнения равновесия деформируемого тела дополнительные члены, повышающие порядок дифференциального уравнения по координатам и называемые автором нелокальными эффектами. Уточнения понятий сделаны и для физических величин высших порядков, в частности, для напряжений высших порядков. Непосредственным смещением времени в физических законах повышен в уравнениях порядок дифференцирования по времени.

Во многих работах [6, 149, 152, 160, 162, 163, 172, 175, 177] последнего времени исследуются вопросы пространственной периодичности микроструктуры, что имеет непосредственное отношение к армированным материалам. Так, в [152] введены несколько новых вариационных формулировок в терминах перемещений или напряжений для решения задачи гомогенизации с целью определения общих механических характеристик неоднородных композиционных материалов с периодической микроструктурой. Периодичность структурных переменных учитывается или с помощью специальных представлений, например, разложений в ряды Фурье, периодической части полей перемещений и напряжений или путем введения, соответствующих граничных условий для* единичной ячейки композита. В частности; введены граничные условия, отражающие-периодичность определяющих переменных параметров, в составленные функционалы с использованием множителей Лагранжа. В' [160] рассматривается моделирование нелинейного гомогенизированного упругопластического поведения композита, составленного из периодической микроструктуры, в условиях малой деформации. Для решения соответствующего интегрального уравнения, которое описывает микроструктурное поведение композитного материала, применяется метод рядов Фурье. Проведён анализ бороалюминиевого волокнистого (однонаправленного) композита при различных траекториях нагружения.

В ряде работ последнего времени поднят вопрос о характере масштабного эффекта в средах с периодической и почти периодической микроструктурой [162]. Предлагается учитывать масштабный эффект, отражающий влияние соотношения между величиной рассматриваемого объема материала и размером единичной ячейки, в отличие от традиционных методов усреднения и гомогенизации, разработанных для прогнозирования макроскопических характеристик неоднородной среды, обычно игнорирующих связь между микроструктурой и размерами образцов. Рассмотрено поведение нелинейно упругой плоской решетчатой модели при любых макроскопических деформациях. Проанализированы масштабные эффекты, возникающие благодаря неоднордностям в поле макроскопических деформаций на всем протяжении образца или при наличии микроструктурных несовершенств, которые могут быть геометрическими или физическими по- своей природе. Для всех рассмотренных случаев предложены различные аналитические аппроксимации с целью прогнозирования влияния масштабного, фактора на макроскопические характеристики сред с почти периодической микроструктурой.

Известно, что при. оценке погрешности решения какой-либо модельной задачи по отношению к измеряемым, наблюдаемым* явлениям всю погрешность г можно представить в виде суммы погрешности самой модели г„, погрешности метода.решения математической задачи rvp и его численной реализации гч, г = ги +г„р +гч. Как правило, при исследовании реальных задач забывают о погрешности самой модели, а увеличение точности математического решения не увеличивает точности самого модельного представления. Поэтому важным остается момент идентификации математической модели с реальным объектом или явлением, а также вопрос измерения кинематических и силовых параметров явления. Особенно противоречивым остается вопрос об определении кинематических характеристик течения - деформации и скорости деформации для микроструктурных материалов. С точки зрения' механики сплошных сред вопрос решен давно - это малые деформации и скорости деформации^ сколь угодно малого материального элемента AV, вычисляемые по формулам

Коши: е„ -0 2 ди, ди + ■ J ydiij ди, j а для случая больших деформаций они представимы в форме Альманси и др. При исследовании материалов с микроструктурой формальное применение механики сплошных сред сразу дает погрешность математической модели в виде величины 1-го или более высокого порядка по h, т.к. в уравнениях движения и в соотношениях Коши величины такого порядка малости отброшены, а использование мер конечных деформаций не устраняет противоречия двухкомпонентный материал — "сплошная среда". Поэтому представляет интерес учета в кинематике и уравнениях движения характерных размеров микроструктуры до более высоких порядков, чем И1.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы обусловлена влиянием микроструктуры на характер деформирования и напряжённое состояние материалов (горные породы, мелкозернистые материалы, наноструктуры и т. д.) при упругом» деформировании тел. Микроструктура материалов > влияет на их упругое локальное поведение в области больших градиентов напряжений и деформаций, а также на поведение материала вблизи границ области приложения нагрузок, что ведёт к изменению кинематики деформирования среды и влияет на глобальное деформированное состояние упругих тел. В частности, учёт микроструктуры материала, его структурированности, ведёт к изменению параметров устойчивости тел различной геометрии.

Расчёты, проводимые на основе классической модели деформировния упругих тел, не содержат микроструктурных параметров, и поэтому, при применении проведённых расчётов к реальным задачам имеет место так называемая «неустранимая погрешность». При этом уточнение численных алгоритмов решения- сложных задач не ведёт к уменьшению погрешности математической модели упругого деформирования по отношению к реальным объектам.

Для построения математических моделей течения и деформирования материалов с учётом микроструктуры используют несколько подходов. Один из них состоит в представлении физических законов' в дискретном виде, их разложении в ряды Тейлора с учётом величин до некоторого порядка h" по характерному размеру микроструктуры. Другой подход состоит в представлении математической модели, заданной в дифференциальной форме, в разностном виде на сетке с шагом h, и построении разностного аналога (непрерывной задачи) с учётом величин до некоторого порядка h". Построенные уравнения носят наименование «квазиупругих», «квазигазодинамических», и т.п.

В предлагаемой работе проводится в рамках механики сплошных сред использование уточнённых кинематических параметров деформирования материала для анализа статических задач деформирования упругих тел. При этом среда состоит из дискретных элементов с характерным размером- h, и представительный объём AV «h3 не может быть, неограниченно малым. Используемый подход позволяет привести- оценку погрешности моделирования деформирования таких материалов.

Влияние характерного размера микроструктуры детально изучалось.в* задачах гидродинамики микрополярных жидкостей и деформирования твёрдых тел (Е.И. Шемякин, А.Ф. Ревуженко, В.Н. Николаевский, И.А. Кунин, Э.Л. Аэро, А.К. Эринген, X. Бок, Г.Ф. Филатов, Н.Д. Вервейко и др.). В газовой динамике учёт микроструктуры и диссипации на микроуровне исследовался в связи с построением устойчивых конечно-разностных схем (Б.Н. Четверушкин, В. И. Попов, А.А. Самарский, А.В. Гулин и др.). Тем не менее, несмотря на проведённые исследования, необходимость в изучении задач, связанных с учётом микроструктуры материала при упругом деформировании тел, и разработке новых более эффективных аналитических и численных методов их решения остаётся актуальной.

Диссертационная работа выполнена в соответствии* с планом' научно-исследовательских работ кафедры теоретической и прикладной, механики Воронежского государственного университета, в рамках-темы: «Разработка математических моделей и эффективных аналитических и численных методов' решения статических и динамических задач механики деформируемых сред сложной структуры» (код по ГАСНТИ 30.19.23, 30.19.29).

Цель и задачи работы. Целью проведённой работы является учёт характерных размеров h микроструктуры среды в кинематике деформирования упругих тел путём уточнения тензора деформаций, а также оценка влияния параметра h на напряжённо-деформированное состояние материала. Поставленная цель достигается посредством:

1) построения линейного и нелинейного тензоров малых и больших деформаций с учётом характерного размера h микроструктуры;

2) построения системы уравнений деформирования упругого материала с учётом параметра h, и построения дополнительных граничных условий, обусловленных микроструктурой;

3) построения аналитического или численного решения граничных задач: a) сдвиг полосы»из упругого материала с учётом микроструктуры; b) цилиндрический сдвиг кольца из упругого материала с учётом его микроструктуры; c) растяжение (сжатие) цилиндрического упругого кольца с учётом микроструктуры материала.

4) исследования устойчивости упругих стержней с учётом микроструктуры материала и расчёта критической силы. Методами исследования, используемыми в диссертации, являются классические подходы построения математических моделей деформируемых сред, аналитические и численные методы решения систем уравнений в частных производных, метод малого параметра (асимптотического разложения), а также методы аппроксимации? сеточных или дискретно задаваемых функций в пространстве непрерывного аргумента, методы прогонки решения систем линейных алгебраических уравнений, методы программирования численных алгоритмов в среде Borland Delphie 7.0. На защиту выносятся следующие положения:

1) тензор деформаций, определяющий вклад микроструктуры среды в' характер деформирования материала;

2) математическая модель деформирования упругих тел, учитывающая микроструктуру материала;

3) дополнительные граничные условия, учитывающие микроструктуру материала;

4) оценка влияния характерного размера микроструктуры на сдвиг полосы из упругого материала;

5) расчёт сдвига и сжатия упругого кольца с учётом микроструктуры материала;

6) расчёт критической, силы при сжатии упругих стержней с учётом их микроструктуры, при различных условиях закрепления.

Научная новизна результатов, диссертационного исследования заключается в следующем:

1) Предложено дополнение к тензору деформаций, учитывающее влияние микроструктуры материала. Представленный подход к описанию материалов с микроструктурой связан с учётом в определении деформаций микроструктурного характерного параметра h, который носит смысл относительного линейного размера микроструктуры.

2) Сформулированы дифференциальные задачи деформирования упругого материала с учётом микроструктуры в терминах перемещений, которые отличаются от классических уравнений типа Ламе тем, что малый параметр h стоит перед старшей производной четвёртого порядка и носят сингулярный характер.

3) Сформулированы дополнительные граничные условия, учитывающие характерный размер микроструктуры материала;

4) Построены дифференциальные задачи и найдены их аналитические и приближённые численные решения для упругого деформирования с учётом микроструктуры материала в случае: a) сдвига прямолинейной и криволинейной полос; b) сдвига цилиндрического кольца; c) сжатия цилиндрического кольца;

5) Проведён расчёт критической силы при сжатии упругих стержней с учётом микроструктуры материала при различных условиях закрепления и проанализировано влияние характерного размера микроструктуры на величину критической силы.

Достоверность полученных результатов- в предлагаемой диссертационной работе обеспечивается использованием фундаментальных представлений' теории упругости, физически корректной формулировкой математических моделей, правильностью - применениям математического аппарата теории уравнений вг частных производных, а также применением классических методов механики сплошных- сред, классических методов решения задач математической физики. Достоверность проведённой работьъ подтверждается тем, что из решений исследуемых задач как частные случаи получаются решения классических задач теории упругости.

Практическая значимость результатов. Полученные результаты могут быть использованы при расчёте напряжений элементов конструкций из различных материалов с учётом их микроструктуры, а также при расчёте предельных критических усилий, приводящих к неустойчивости упругих сжатых стержней.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на: научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета 2002-2009 гг.; на научных сессиях факультета прикладной математики и механики Воронежского государственного университета 2002

2007 г.г.; на: Воронежских школах-семинарах «Современные проблемы механики и прикладной математики» 2002-2009- гг.; на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XVI» («Современные методы теории краевых задач») 2005 г., на научных сессиях математического факультета: Воронежского государственного университета 2005 г.; на международных научно-технических конференциях «Авиакосмические: технологии», Воронеж, 2004-2007 гг.; на; седьмой международной научно-методической; конференции? «Информатика:, проблемы, методология, технологии»,.Воронеж, 2007г.; на. научной сессии. Чувашского государственного- педагогического университета: им.

И.Я.Яковлева «Механика- предельного состояния», Чебоксары, 2008 г.; на научной сессии Самарского государственного университета (естественнонаучная серия «Механика»), Самара, 2009 г.

Публикации. По материалам диссертации* опубликовано * 16 печатных работ.

Структура it объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего; 181 наименование. Работа изложена: на; 137 страницах машинописного текста, содержит 26 рисунков.

Основные выводы по пятой главе

1. Приведена математическая модель изгиба стержня при некоторых видах закрепления на концах с учетом микроструктуры материала;

2. Построено дифференциальное уравнение для поперечного перемещения стержня, учитывающее микроструктуру материала;

3. В задаче о сжатии стержня, один конец которого заделан, а второй свободен, с учётом микроструктуры получено уравнение для нахождения критической силы. Показано, что вычисленная критическая сила уменьшается за счёт характерного размера микроструктуры материала, что ведёт к более ранней потере устойчивости стержня, по сравнению с идеальным упругим материалом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения диссертационной работы получены следующие основные результаты:

4. Предложено дополнение к тензору деформаций, учитывающее влияние микроструктуры' материала. Представленный подход к описанию материалов с микроструктурой связан с учётом в определении деформаций микроструктурного характерного параметра h, который носит смысл относительного линейного размера микроструктуры.

5. Построены дифференциальные уравнения деформирования упругого материала с учётом микроструктуры в терминах перемещений, которые отличаются' от классических уравнений типа Ламе тем, что малый параметр h стоит перед старшей производной четвёртого порядка и носят сингулярный характер. Поэтому влияние h имеет место в зонах больших градиентов (в пограничных слоях).

6. Построены дополнительные" граничные условия, так как дифференциальные уравнения деформирования упругой среды с учётом микроструктуры, представленные в терминах перемещений, имеют более высокий порядок по сравнению с классическими уравнениями Ламе. Построенные граничные условия отражают характер деформирования среды вблизи границы.

7. Построены дифференциальные уравнения для сдвига упругого криволинейного слоя переменной кривизны.

4.1. Решения уравнений показали, что продольное и нормальное перемещения носят квадратичный характер вдоль слоя с возмущениями порядка /г2 за счёт микроструктуры материала. При этом средние продольные и поперечные перемещения i содержат гармоническую составляющую, обусловленную учётом микроструктуры материала.

4.2. Малые гармонические добавки в построенных решениях можно рассматривать как погрешность в решении практических задач деформирования материалов с учётом- их микроструктуры методами идеальной теории упругости;

4.3. Показано, что предельный переход по малому параметру h в уравнениях деформирования микроструктурной упругой среды и в решениях рассмотренных задач для сдвига и перемещения приводит к классическим уравнениям теории упругости и к классическим- решениям предложенных задач. Этот факт отражает непрерывную зависимость решения от малого* параметра, а также устойчивость математической- модели идеальной теории упругости относительно микроструктурных возмущений.

4.4. Численные расчёты с использованием построенного алгоритма показали, что влияние микроструктуры материала на перемещение- сказывается в пограничном слое только вблизи границы;

4.5. Вычислительный эксперимент показал правильность численных алгоритмов и программ и позволил рассчитывать как задачи классической теории упругости, так и учитывать влияние микроструктуры.

5. Построено дифференциальное уравнение для поперечного перемещения стержня, находящегося под действием сжимающего усилия, учитывающее микроструктуру материала. Показано, что вычисленная критическая сила уменьшается за счёт характерного размера^ микроструктуры материала, что ведёт к более ранней' потере устойчивости, по сравнению с идеальным материалом.

1. Абдулаев Б. М. Исследование напряженно деформированного состояния грунта вокруг проникающего тела / Б. М. Абдулаев // Сейсмодинамические сооружения, взаимодействующие с грунтом. - Ташкент, 1991. - С. 3 - 4; 145.

2. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров / М.: Высшая школа, 1994.-544с.

3. Аттеков А. В. Термодинамика ударного сжатия пористых сред / А. В. Аттеков, В. В. Селиванов, В. С. Соловьев // Всес. науч. семинар по термомех., Москва, 19 мая 1989 г. Москва, 1989. - С. 19 - 26.

4. Аэро Э. Л. Ассиметричная гидромеханика / Э. Л. Аэро, А. Н. Булыгин, Е. В. Кувшинский // Прикл. мат. и мех., Т. 29, № 2, 1965. С. 297-308.

5. Аэро Э. Л. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц / Э. Л. Аэро, Е. В. Кувшинский // ФТТ 2, 1960. С. 1399-1409.

6. Бахвалов Н. С. Осреднение процессов в периодических средах / Н. С. Бахвалов, Г. П. Панасенко // М.: Наука, 1984. 352с.

7. Баскаков В.А. О свойствах упругих волн в микроструктурных анизотропных средах / В.А. Баскаков, Н.П. Бестужева, Н.А. Кончакова // Теплоэнергетика. -Воронеж. 1997. - С.27 - 31.

8. Белов Н.Н. Распространение ударных волн по пористому материалу / Н. Н. Белов, В. А. Гриднева, В. Т. Симоненко, В. И. Корнеева // Механика деформируемого твердого тела, НИИ прикладной математики и механики. -Томск, 1990.-С. 81-88.

9. Белошапко А. Г. Ударные волны в высокопористых средах / А. Г. Белошапко, А. А. Букаемский, С. Т. Попов // Тезисный доклад, Всесоюзный симпозиум, Алма- Ата, 21- 25 окт. 1991. Новосибирск, 1991. - С. 28.

10. Бивин Ю. К. Оценка глубин проникания жестких тел в грунтовые среды при сверхзвуковых скоростях входа / Ю, К. Бивин, И. В. Симонов // Докл. АН (Россия).- 326, №4, 1993.- С. 447 450.

11. Бондаренко С. В. Исследование пористой структуры и адсорбционных свойств активированного антрацита. / С. В. Бондаренко, А. И; Жукова, А. В. Назар'енко, Ю. И. Тарасевич // Коллоид, ж. 1, Т.61, 1999; С.119-122.

12. Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье (перв. с англ.)/ F. Бремерман// М. Мир- 1968.

13. Ванин Г. А. Упругость неоднородных сред с иерархией структуры / Г. А. Ванин // Изв. РАН. Мех. тверд, тела, №-5, 2000. G. 85-106. .

14. Вервейко Н. Д. О?' распространениш одномерных; волн* в упруговязкопласгической среде при конечных деформациях / И. Д. Вервейко, И. Ю.Маринина // Прикладная механика, т. 23, №7, 1987. G. 72 -77.

15. Вервейко Н. Д. Влияние однородной микроструктуры материала на его деформирование и течение / Н. Д. Вервейко, А. А., Воронков, М. И. Быкова. II ,'.'.•■''

16. Вервейко; Н. Д. Нестационарное течение-сжимаемой вязкой жидкости? в> деформируемых трубах / Н; Д. Вервейко, П. П. Сумсц. Воронеж: ВГУ, 2004.-207с.

17. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М. - Наука, 1967.

18. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик// Физматгиз, 1962.

19. Грауэрт Г. Дифференциальное и интегральное исчисление / Г. Грауэрт, И. Либ, В. Фишер // М.: Мир, 1971. 680с.

20. Деменыиин Д. А. Численное моделирование процессов нормального проникания жестких тел в пористые грунты / Д. А. Деменыпин, С. В. Крылов // Прикладные проблемы прочности и пластичности, №49, 1991.- С. 103-116.

21. Демчук О. Н. Квазитрехмерная теория решения динамической задачи термоупругости слоистых композитных пластин / О. Н. Демчук // Мех. композит, матер. 3, т.34, 1998. С.349-362.

22. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. ИЛ, 1948.

23. Ерофеев В. И. Нелинейные взаимодействия продольных и спиральных сдвиговых волн в твердом теле с микроструктурой / В. И. Ерофеев // Акуст. Ж. 2, т. 43, 1997.-с. 182- 186.

24. Ерофеев В. И. Упругие волны в поврежденной среде с микроструктурой / В. И. Ерофеев // Тез. докл. 2 Междунар. симп. «Динам, и технол. пробл. мех. конструкций и сплош. сред», Москва, 1996. С. 54 - 55.

25. Ерофеев В. И. Волновые процессы в нелинейно упругих средах с микроструктурой / В. И. Ерофеев // М.: Волновые динамические машины, АН СССР Институт машиноведения. Горьковский филиал, 1991. С. 140 -152.

26. Ерофеев В. И. Распространение нелинейных сдвиговых волн в твердом теле с микроструктурой / В. И. Ерофеев // Прикл. механика, Киев, 29, №4, 1993. -С. 18-22.

27. Ерофеев В. И. Продольные стационарные волны в нелинейной среде с моментными напряжениями / В. И. Ерофеев, А. И. Потапов, Н. П. Семерикова// Обраб. материал, импульс, нагрузками. Новосибирск, 1990.-С. 11 - 18.

28. Ильюшин А. А. Моментные теории в механике твёрдых деформируемых тел. / А. А. Ильюшин, В. А. Ломакин // М.: Наука, сб. «Прочность и пластичность», 1971. С. 54-61.

29. Ильюшина Е. А. Одна из моделей сплошной среды с учётом микроструктуры / Е. А. Ильюшина Н ПММ 33, №5, 1969. С. 917-923.

30. Каган-Розенцвейг Л. М. Критерий устойчивости процесса нагружения упруго-пластического материала с внутренней структурой / Л. М. Каган-Розенцвейг // Исслед. по мех. строит, конструкций и матер.: С.-Петербург, гос. архит.-строит. ун-т, 1997. С.79-84.

31. Киселев С. П. Ударно волновые процессы в пористой упругопластической среде / С. П. Киселев // 7 Всес. съезд по теор. и прикл. мех., Москва, 15-21 авг., 1991: Аннот. докл. - Москва, 1991. - С. 189.

32. Китгель Ч. Введение в физику твёрдого тела. М.: Наука, 1978. - 792с.

33. Косилова В. Г. Динамика обобщённых моделей Коссера / В. Г. Косилова, И. А. Кунин // сб. тр. «Динамика сплошной среды», вып. 4, Новосибирск, 1970. -С. 73-82.

34. Костюков Н. А. Двумерные ударные волновые течения и структура порошковых компактов вблизи границы раздела и деформируемой преградой / Н. А. Костюков // Моделирование в механике. 4, №6, 1990. - С. 76 - 102.

35. Костюков Н. А. Ударно- волновые течения и структура порошковых материалов вблизи деформируемых преград / Н. А. Костюков // Обраб. матер, импульс. Нагрузками. Новосибирск, 1990. - С. 23 - 29.

36. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. / Дж. Коул. М.: Мир, 1972, 274 с.

37. Кошелев А. И., Челнак С. И. Регулярность решений некоторых краевых задач для квазилинейных эллиптических и параболических систем / СПб: С.-Петербургский университет, 2000. 335с.

38. Кравчук А. С. Численное моделирование деформаций и разрушения на наноуровне / А. С. Кравчук, Карлышков С. В. // Вестник Самарскогогосударственного университета, естественно-научная серия «Механика», №4, Самара, 2007г, С.209-224.

39. Кривченко Г. И. Автоматическое регулирование гидротурбин / Кривченко Г. И. М., Л: Изд - во Энергетика, 1964. - 288 с.

40. Кунин И. А. Теория упругих сред с микроструктурой / М. : Главная редакция физ. мат. литературы изд - ва Наука, 1975. - 416 с.

41. Кунин И. А. Модель упругой среды простой структуры с пространственной дисперсией / ПММ 30, № 3, 1966. С. 542-550.

42. Кунин И. А. Внутренние напряжения в среде с микроструктурой / И. А. Кунин // ПММ 31, № 5, 1967. С.889-896.

43. Кунин И. А. Теория упругой среды с микроструктурой / И. А. Кунин // М.* -Наука, сб. тр. «Прочность и пластичность», 1971. С. 65-70.

44. Ландау Л. Д. Механика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц // М.: Наука, Т.1, 1988. -216с.

45. Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений М.: Мир, 1974. -371с.

46. Ломакин В. А. Статические задачи механики твёрдых деформируемых тел / В. А. Ломакин // М.: Наука, 1970.

47. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости / А. И. Лурье // Гостехиздат, 1955.

48. Ляшенко П. А. Контактное сопротивление структуры грунта при одноосном сжатии пробы / П. А. Ляшенко //

49. Ляшенко П. А. Анализ деформации грунта при одноосном сжатии / П. А. Ляшенко //

50. Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ. / М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.-411с.

51. Малинин В. Г. Структурно-аналитическая теория физической мезомеханики материалов / В. Г. Малинин // Вестн. Новгор. гос. ун-та. Сер. Естеств. и техн. н. 5,1997. С.35-38, 103.

52. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики / Марчук Г. И.- М.: Наука, 1980.-456 с.

53. Найфе А. Введение в методы возмущений / М.: Мир, 1984.-535с.

54. Негрескул С. И. Моделирование зернистых сред методом элементной динамики / С. И. Негрескул, С. Г. Псахье, С. Ю. Коростелев, В. Е. Панин // АН СССР. СО. Том. науч. центр., № 39, 1989. С. 1-27.

55. Николаевский В. Н. Современные проблемы механики грунтов / В. Н. Николаевский. М.: Мир, 1975. - С. 210-229.

56. Новацкий В. Теория упругости / М.: Мир, 1975.-871с.

57. Ожиганов И. А. Критериальное масштабирование уравнения для прогнозирования дальности проникания тел большого диаметра в грунт / И. А. Ожиганов // Тезисный доклад 27 науч. техн. конф. Пермского политехнического института .- Пермь, 1991.- Ч. 2. - С. 127.

58. Орлова О. А. К вопросу о поведении грунтов при кратковременной динамической нагрузке / О. А. Орлова // Гидротехническое строительство. -№11, 1989.-С. 20-26.

59. Панин В. Е. Физическая мезомеханика и комьютерное конструирование материалов. Новосибирск: Наука, СО РАН, 1995. - Т. 1. - 297с.

60. Панин В. Е. Влияние толщины упрочненного слоя на формирование мезоструктуры при растяжении поверхностно упрочненных образцов / В. Е. Панин, А. И. Слосман, Н. А. Колесова, И. 10. Молчунова, Б. Б. Овечкин // Изв. вузов. Физ. 6, т.41, 1998. С.63-69.

61. Паркин В. Р. Ударные волны в воде с пузырьками газа. Подводные и подземные взрывы / В. Р. Паркин, Ф. Р. Гилмор, Г. JI. Броуд // Москва, 1979. -С. 152-258.

62. Повстенко Ю. В. Механика неоднородных структур / Ю. В. Повст^^—^^^ ^ Тез. докл. 3 Всес. Конф., Львов, 17-19 сент. 1991. 253с.

63. Подильчук Ю. Н. Применение лучевых методов в задачах распростраш рассеяния волн (обзор) / Ю. Н. Подильчук, Ю. К. Рубцов // Прикл. мех. 32, 1996. С. 3 - 27.

64. Положий Р. Н. Уравнения математической физики. М: Высш. школа, ^ ^- 600с.

65. Ревуженко А. Ф. Механика упруго-пластических сред и нестандад анализ / А; Ф. Ревуженко. Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 428с.

66. Рит М. Наноконструирование в науке и технике. Введение в.мирнанорасчёта. М.: Мир, Ижевск, RCD, 2005. - 159с.

67. Рябченков JI. Н. Закономерности деформирования песчаного грунт=—^ низкочастотных воздействиях. Основания и фундаменты в геологи*эпг^==?^СКИХ условиях Урала / Л. Н; Рябченков, А. В. Кузнецов // Пермь, 1989. ^ 156.

68. Савин Г. Н. Исследоване по концентрации напряжений в моментной т^—~ррИИ упругости / Г. Н. Савин, Ю. Н. Немиш // Прикладная механика 4, №12, ^-С. 1-17.

69. Сагомонян А. Я. Волны напряжений в сплошных средах. М.: Изд-во 1985.-415с.

70. Сагомонян А. Я. Удар и проникание тел в жидкость / А. Я. Сагомонян: ^1. Изд-во МГУ, 1956. 169 с.

71. Самарский А. А. Разностные методы решения задач газовой динамиьс;^^^- / д А. Самарский, Ю. П. Попов. М.: Изд - во Наука, 1980. - 360 с.

72. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений:^ / ^ Наука.-1978.-591с.

73. Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды. Физматгиз,' 1962.

74. Седов Л. И. Математические методы построения новых моделей сплоц^^^^ сред / Л. И. Седов // УМН 20, №5, 1965.

75. Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков (перев. с англ.) / Я. А. Схоутен //М.-Наука, 1965.

76. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов / С.П. Тимошенко, Дж. Гере-М.: изд-во Мир, 1976. С. 145-151.

77. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твёрдых телах / Т.' Томас — М.: Изд-во Мир, 1964. С. 52-63.

78. Тритенко А. Н. Затухание ударного импульса в слое сыпучей среды при плоской деформации / А. Н. Тритенко, Я. И. Кун // Изв. Вузов. Стр-во и архитект.- №2, 1990. С. 135 - 137.

79. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / К. Трусделл // М.: Мир, 1975. 592с.

80. Труфанова Т. В. Взаимодействое тела и его поверхности. / Т. В. Труфанова, В. С. Шоркин // Изд-во ТулГУ, Известия ТулГУ, серия «Актуальные вопросы механики», Т. 1, в.1, Тула, 2005. С.202-209.

81. Хвостов Ю. Б. Механизм диссипации энергии ударных волн в пористых материалах / Ю. Б. Хвостов, JI. Г. Болховитинов // Взрывное^ дело.- №47, 1990.-С. 196- 208.

82. Четверушкин Б. Н. Минимальные размеры в задачах механики сплошной среды. / Б. Н. Четверушкин // Математическое моделирование, Т. 15, №4, 2005.-С. 27-39.

83. Четверушкин Б. Н. Кинетические схемы и казигазодинамическая система уравнений. М.: Макс-Пресс, 2004. - 328с.

84. Шашкина С.А. Формулировка задачи теории упругости для материалов с микроструктурой. / Сб. «Математические модели и операторные уравнения», Т.З, Воронеж, 2005, С.81-86.

85. Шашкина С.А. Математическое моделирование устойчивости сжатых стержней с учётом микроструктуры материала / Быкова М.И., Шашкина С.А. // Вестник Воронежского государственного технического университета, Т.З, №8; Воронеж, 2007г, С. 101-102.

86. Шашкина С.А. Влияние микроструктуры упругого материала на его деформирование / Вервейко Н.Д., Шашкина С.А. // Вестник Самарского государственного университета, естественно-научная серия «Механика», №4, Самара, 2009г, С. 378-387.

87. Шашкина С.А. Влияние микроструктуры материала- на напряжённое состояние вблизи выреза / Вервейко Н.Д., Шашкина С.А. // Авиакосмическиетехнологии «АКТ-2004»: пятая международная научно-техническая конференция Воронеж: Воронеж, гос. техн. ун-т, 2004.

88. Шашкина С.А. Деформирование балок с учётом микроструктуры материала / Шашкина С.А. // Вестник факультета прикладной математики и механики. -Вып.6. Воронеж: ВорГУ, 2007, С. 206-212.

89. Шемякин Е. И. Зональная дезинтеграция горных пород вокруг подземных выработок / Е. И. Шемякин, М. В. Курленя, В. Н. Опарин // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых, Ч. 1, № 3, 1986.

90. Шемякин Е. И. Эффект зональной дезинтеграции горных пород вокруг подземных выработок / Е. И. Шемякин, М. В. Курленя, В. Н. Опарин // ДАН СССР, Т. 289, № 5, 1986.

91. Ширяев Я. М. Исследоване влияния масштабного фактора на концентрацию напряжений около отверстий / Я. М. Ширяев // «Механика полимеров» АН Латв. ССР, №3, 1970; 565с.

92. Шоркин В. С. Неполный контакт тел, находящихся в состоянии адгезии / В. С. Шоркин, С. И. Якушина // Изд-во ТулГУ, Известия ТулГУ, серия «Математика, механика, информатика», Т. 11, в.З, Тула, 2005. С. 147157.

93. Эрдейи А. Асимптотические разложения. Физматгиз, 1962.

94. Яворович Л. В. Исследование амплитуды электромагнитного сигнала при ударном воздействии на образцы горных пород с различной пористостью / Л. В. Яворович, Р. М. Гольд, В.В. Ласуков // Физ.- техн. пробл. разраб. полез, ископаемых 6, 1999. С. 33 - 39.

95. Atteridge D. G. Computational modeling of microstructure evolution in weld heat affected zone of low alloy steel / D. G. Atteridge, M. V. Li, L. L. Meekisho //NIST Spec. Publ. 923, 1997. P.330-341.

96. Bagi K. Theoretical and experimental analysis of granular assemblies / K. Bagi, I. Bojtar // Selec. Probl. Struct. Mech. Mach. Des. Prod. Eng. Motor and Railway Vehicles Org. Chem, 1995. -P.35-51.

97. Baranski A. Numerical modelling of damage growth in poiycrystalline bodies / A. Baranski, M. Chrzanowski, K. Nowak // Selec. Probl. Struct. Mech. Mach. Des. Prod. Eng. Motor and Railway Vehicles Org. Chem., 1995. P.25-33.

98. Beran M. J. The use of classical beam theory for micro-beams composed of polycrystals / M. J. Beran // Int. J. Solids and Struct. 19, V. 35, 1998. P.2407-2412.

99. Beran M. J. Statistical continuum theories / MJ. Beran // Intersc. Publ., New York, 1968.

100. Berryman James G. Volume averaging, effective stress rules, and inversion for microstructural response of multicomponent porous media / Berryman James G., Pride Steven R// Int. J. Solids and Struct. 34-35, V. 35, 1998. P.4811-4843.

101. Best B. S. Stress distributions in block jointed masses. Ph. D. Thesis, James Cook Univ., 1970. - 209pp.

102. Burman В. C. A numerical approach to the mechanics of discontinua. Ph. D. Thesis, James Cook Univ., 1971. - 383pp.

103. Cambou B. Change of scale in granular materials / B. Cambou, M. Chaze, F. Dedecker // Eur. J. Mech. V. 19, № 6, 2000. P. 999-1014. '

104. Cannmo P. Modelling of interfacial viscoplastic slip coupled to damage in a polycryctalline microstructure / P. Cannmo, L. Mahler L., K. Runesson // Comput. Mech. 1-2, V. 20, 1997. P.12-19.

105. Casaverde L. Distinct element analysis for rock avalanche / L. Casaverde, K. Iwashita, Y. Tarumi, M. Hakuno // Proc. JSCE 55, № 515, 1989. P. 153-162.

106. Cerrolaza M. Microstructure and volume change behaviour of soft clays: a boundary element simulation / M. Cerrolaza, P. Delage // Int. J. Numer. and Anal. Meth. Geomech. 10, V. 21, 1997. P.665-686.

107. Chang Ching S. Incremental, stress-strain relationships for regular packings made of multi-sized partticles / S. Chang Ching, A. Misra, H. Xue Jia // Int. J. Solids and Struct. 25, № 6, 1989. P. 655-681.

108. Chaturvedi M. Thermal expansion* of particle-filled plastic encapsulant: a micromechanical characterization / M. Chaturvedi, Y.-L. Shen // Acta Mater. 12, V. 46, 1998. P.4287-4302 .

109. Cottrell A. H. The mechanical properties of matterial. New York (wilev), 1964.-430pp.

110. Deeks A. J. Analytical modeling of hammer impact for pile driving / A. J. Deeks, M. F. Randolph // Int. J. Number . and Meth. Geomech. -17, №5, 1993. -P. 279 302.

111. Deimel P. Non-metallic inclusions and their relation to the J-integral, Ji,phys., at physical crack initiation for different steels and weld metals / P. Deimel, E. Sattler // J. Mater. Sci. 7, V. 33, 1998. P. 1723-1736.

112. Ehlers W. Die Bedeutung der Kompatibilitatsbedingung for mikropolare, elastisch-plastische Reibungsmaterialien / W. Ehlers, S. Diebels, W. Volk // Mitt. Inst. Mech 114, 1998. -P.23-26.

113. Eringen A. C. Theory of micropolar fluid / A. C. Eringen // J. Math. Mech., V. 16, № 1, 1966.-P. 1-16.

114. Eyad Masad. Stress-strain model for clays with anisotropic void ratio distribution / Masad Eyad, Muhunthan Balasingam, Chameau Jean Lou // Int. J. Numer. and Anal. Meth. Geomech. 5, V.22, 1998. P.393-416.

115. Falk F. Constitutive theories of shape memory alloys related to microstructure / F. Falk // Tagungsber. 36, 1996. P.5.

116. Fragaszy R. J. SUW. Centrifuge modeling of project: le penetration in granular soils / R. J. Fragaszy, T. Taubor // Centifuge'88. Rotterdam, Brookfield,- 1988. - P. 451 - 456.

117. Gonano L. P. Stress gradient and size effect phenomena in brittle materials. Ph. D. Thesis, James Cook Univ., 1974. - 364pp.

118. Green A. E. Micro-materials and multipolar continuum mecanics / A. E. Green // Int. J. Engng. Sci. 3, 1965. P: 533-537.

119. Gueguen Y. Microstructures, percolation thresholds, and rock physical properties / Y. Gueguen, T. Chelidze , M. Le Ravalec // Tectonophysics 1-4, 1997, V. 279. P.23-35.

120. Hatzor Y. H. A mictostructure-based failure criterion for Aminadav dolomites / Y. H. Hatzor, V. Palchik // Int. J. Rock Mech. and Mining Sci. 6, V. 35, 1998. P.797-805.

121. Huang Chengxian Study on elastic waves velocity of rock under confining pressure / Chengxian Huang, Dawey Song // Chin. J. Geotechn. Eng., 13, №2, 1994.-P. 11-32.

122. Jeanlos Raymond. Shock wave equation of state and finite strain theory / Raymond Jeanlos // J. Geophys. Res. B. -94, № 5, 1989. P. 5873 - 5886.

123. Jobart D. Effects of heat treatments on the microstructure of a superplastic Ti3.Al based alloy / D. Jobart, J. J. Blaydin // J. Mater. Sci. 4, V. 31, 1996. -P.881-893.

124. Keller J.B. Wave and asymptotics / J.B. Keller, Rays // Bus. Am. Math. Soc. 84, 1978.-P. 727.

125. Kovacik J. The tensile behaviour of porous metals made by GLA.SAR process / J. Kovacik // Acta Mater. 15, V. 46, 1998. P.5413-5422.

126. Krause G. Erfassung mikrostruktureller Deformationsvorgange bed FE-analysen / G. Krause // Freiberg. Forschungsh. V. 279, 1996. P. 79-84.

127. Kruyt N. P. Micromechanical definition of the strain tensor for granular materials / N. P. Kruyt, L. Rothenburg // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 3, V. 63,1996. P.706-711.

128. Le К. C. Kontinuums mechanisches Modellieren von Medien mit veranderlicher Mikrostruktur / К. C. Le // Mitt. Inst. Mech 106, 1996. P. 1-193.

129. Liu Yan. Creep fracture modeling by use of continuum-damage variable based on Voronoi simulation of grain boundary cavity / Liu Yan, Kageyama Yoshihiro, Murakami Sumio // Int. J. Mech. Sci. 2-3, V. 40, 1998. P. 147-15 8.

130. Lu Z. K. A self-consistent model for the stress-strain behavior of shape-memory alloy polycrystals / Z. K. Lu; G. J. Weng // Acta Mater. 15, V.46, 1998/ -P:5423-5433.

131. Luciano R. Variational methods for the homogenization of periodic heterogeneous media / R. Luciano, E. Sacco // Eur. J.Mech. A 4, V. 17, 1998ю -P.599-617.

132. Masumura R. A. Yield stress of fine grained materials / R. A. Masumura, P. M. Hazzledine, C. S. Pande //Acta Mater. 13, V. 46, 1998. P.4527-4534.

133. Miehe C. Computational micro-macro-transitions in thermoplastic analysis of polycrystalline materials / C. Miehe, J. Schroder, J. Schotte // Mitt. Inst. Mech 114, 1998.-P.119-126.

134. Misra J. C. A mathematical model for the study of blood flow through a channel with permeable walls / J. C. Misra, S. K. Ghosh // Acta mech. 1-4, V. 122,1997.-P. 137-153.

135. Moriaki Goya. A study of Brinell hardness test of porous materials / Goya Moriaki, Higa Yoshikazu, Miyagi Kiyohiro, Sueyoshi Toshiyasu, Tokita Masao // Nihon kikai gakkai ronbunshu. A 624, V.64, 1998. P.2100-2106.

136. Nomoto Akiyoshi. Mechanism of high-temperature deformation and microstructure control of alloys based on гамма-TiAl intermetallic compound / Nomoto Akiyoshi // Bull. Fac. Eng., V 47, 1998. P.48.

137. Pearson J. R. A. Key questions in rock mechanics / J. R. A. Pearson // Key Quest. Rock Mech.: Proc. 29th U.S. Symp., Minneapolis, 13-15 June, 1988. -Rotterdam; Brookfield, 1988. P. 7-16.

138. Prat Pere C. Microplane model for triaxial deformation of soils / C. Prat Pere, P. Bazant Zdenek, // Num. Models Geomech. NUMOG III: Proc. 3rd Int. Symp., Niagara Falls, 8-11 May, 1989. London; New York, 1989. - P. 139-146.

139. Pruchnicki Erick. Homogenized nonlinear constitutive law using Fourier series expansion / E. Pruchnicki // Int. J. Solids and Struct. 16, V. 35, 1998. -P.1895-1913.

140. Schraad M. W. Scale effects in media with periodic and nearly periodic microstructures. Part I. Macroscopic properties / M. W. Schraad, N. Trintafyllidis // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 4, V. 64, 1997. P. 751-762.

141. Schraad M. W. On the macroscopic properties of discrete media with nearly periodic microstructures / M. W. Schraad // Int. J. Solids and Struct., V. 38, № 4243, 2001.-P. 7381-7407.

142. Takahashi K. Continuum mechanics for higher stage micropolar materials. 1st report. Kinematics / K. Takahashi, K. Shizawa // Jap. Soc. Mech. Eng. A. 55, №519, 1989.-P. 2356-2361.

143. Takahashi Kunihiro. Mecomechanics of continua and revised field equations / Takahashi Kunihiro // JSME Int. J. A 2, V. 40, 1997. P.99-107.

144. Taratsubo J. A stochastic theory of propagation of elastic waves in porous solids for nondestructive pore characterization / J. Taratsubo, S. Yamamoto // Trans. Ja. Sos. Mech. Ign: A. P. 796 - 803.

145. Teodosiu C. Plastic anisotropy induced by the microstructural evolution at large strains / C. Teodosiu // RIKEN Rev. 14, 1996. P.35-36.

146. Trent Bruce G. Microstructural effects in static and dynamic numerical experiments / C. Trent Bruce // Key Quest. Rock Mech.: Proc. 29th U.S. Symp., Minneapolis, 13-15 June, 1988. Rotterdam; Brookfield, 1988. - P. 395-402'.

147. Trollope D. H. The mechanics of discontinua or elastic mechanics in-rock problems . In. Stagg K. G. and Zienkiewicz О. C. (eds) : Rock mechanics in engineering practice, New York (wilev),1968. - P. 275-320.

148. Truesdell • C. The classical field theories / C. Truesdell, R. A.1 Toupin // Handbush der Physik, IIM, Springer, Berlin, 1960.

149. Warren William E. Micropolar and nonlocal effects in spatially-periodic, two-dimensional structures / E. Warren William, E. Byskov // Rept. R 37, 1997. -P. 1-49.

150. Watts A. J. Dimensional scaling for impact cratering and perforation / A. J. Watts, D. Atkinson // Int. J. Impact End. -17, № 4-6, 1995. P. 925 - 935.

151. Wilmanski K. On Geometry of continuous medium with microstructure / K. Wilmanski, Cz. Wozniak//Arch. Mech. Stosowanej 19, №5, 1967. P. 715-723.

152. Wozniak C. A generalization of the internal variable model for dynamics of solids with periodic microstucture / C. Wozniak, M. Wozniak // Mech. teor. i stosow 1, V. 35, 1997. P. 109-122.

153. Yanagimoto J. Incremental formulation for the prediction of flow stress and microstuctural change in hot forming / J. Yanagimoto, K. Karhausen, A. J. Brand, R. Kopp // Trans. ASME. J. Manuf: Sci. and Eng. 2, V. 120, 1998. P.316-322.

154. Yi Yeong-Moo. Asymptotic homogenization of viscoelastic composites with periodic microstructures / Yi Yeong-Moo, Park Sang-Hoon, Youn Sung-Kie //Int. J. Solids and Struct. 17, V. 35, 1998. P.2039-2055.

155. Yin Yajun. A constitutive theory for the damage of materials with dynamic micro void evolution processes / Yin Yajun, Tsuta Toshio // JSME Int. J. A 1, V 41, 1998. -P.66-78.

156. Zisman A. A. Mesoscopic stress field arising from the grain interaction in plastically deformed polycrystals / A. A. Zisman, V. V. Rybin // Acta Mater. 2, V. 46, 1998. P.457-464.

157. Zhang Junfend. Experimental study on permeability and settlement of saturated sand under impact loading / Zhang Junfend, Mend Xianqyue, Yu Shanbing, Tan Qingming, Zheng Zhemin. // Lixue xuebao 2, m. 31, 1999. -P. 230 -237.

158. Zohdi T. Description of macroscopic damage through microstructural relaxation / T. Zohdi, M. Feucht, D. Gross, P. Wriggers // Int. J. Numer. Meth. Eng. 3, V. 43, 1998. P.493-506.