Структура определяющих соотношений вязкоупругопластического состояния материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ ПРОЧНОСТИ

- В МАЯ 1337

На правах рукописи УДК 539.37

ЛЕПИХИН Петр Павлович

СТРУКТУРА ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ ВЯЗКОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ МАТЕРИАЛОВ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Киев 1997

Диссертацией есть рукопись.

Работа выполнена в Институте проблем прочности Национальной академии наук Украины.

Официальные оппоненты: академик HAH Украины,

доктор физико-математических наук, профессор Гринченко Виктор Тимофеевич;

член-корреспондент HAH Украины, доктор технических наук, профессор Шевченко Юрий Николаевич;

член-корреспондент Международной академии высшей школы, доктор физико-математических наук, профессор Кадашевич Юлий Исаакович.

Ведущая организация: Национальный технический университет

Украины (Киевский политехнический институт).

Защита состоится "2.У" Q/ipP/J 1997г. в _

на заседании специализированного ученого совета Д 01.99.01 при Институте проблем прочности HAH Украины по адресу: 252014, Клев-14, ул. Тимирязевская, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем прочности HAH Украины.

Автореферат разослан U/OftG 1997 г.

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ

специализированного ученого совета *^^

доктор технических наук Гигиняк Ф. Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В широком многообразии применяемых в различных областях современных науки и техники конструкционных материалов при изготовлении конструктивных элементов и их эксплуатации наряду с упругими возникает и неупругие деформации. При этом в ряде случаев поведение материала при деформировании зависит от времени. Оценка работоспособности конструкций и выбор оптимальных условий их изготовления невозможны без построения математических моделей, с требуемой точностью не только описывающих, но и предсказывающих поведение широкого класса твердых деформируемых гел в большом диапазоне изменения условий их деформирования.

Важнейшей задачей конструирования математических моделей является формулировка определяющих соотношений, содержащих информацию об особенностях реакции материала на изменение формы. Несмотря на впечатляющие достижения в этой области, для упрочняющихся упругопластических и вязкоупруго-вязкопластических материалов такую проблему в настоящее время нельзя считать разработанной на современном уровне математической строгости и физической обоснованности, В этой связи актуальными являются исследования, направленные на разработку подходов к построению физически обоснованных математически строгих моделей, дающих возможность не только описать, но и предсказать поведение Ссостояние) широкого класса наблюдаемых в природе материалов в большом диапазоне изменения условий их деформирования.Решение такой задачи позволит упростить разработку обобщающих опытные данные концепций (моделей), предсказать реакцию того или иного материала, в том числе и в условиях выходящих за пределы возможностей существующих экспериментальных методов, построить важную для приложений иерархию определяющих соотношений по степени сложности реакции материала на деформирование, дать строгие основания для выбора базовых опытов, при необходимости повысить точность описания процессов деформирования, оптимизировать процедуру моделирования и т. п.

Цель работы. Целью исследования является разработка метода построения структуры широкого класса удовлетворяющих современному уровню физической обоснованности и математической строгости моделей различной степени сложности, позволяющих с

необходимой точностью не только описать, но и предсказать поведение большой совокупности упрочняющихся упругоплас-тических и вязкоупруговяэкопластических твердых материалов в широком диапазоне изменения условий их деформирования.

Для достижения указанной цели впервые сформулированы в удобных для специализации формах общие теории определяющих соотношений упрочняющихся упругопластических и вязкоупруго-вязкопластических континуумов, развиты методы специализации общих определяющих соотношений и построена иерархия физических уравнений таких сплошных сред по степени сложности их реакции на деформирование, для упрочняющихся изотропных упругопластических и упруговязкопластических материалов строго разработан ряд удобных для использования в приложениях частных теорий, построена классификация моделей простых твердых деформируемых тел, сопоставлены теоретические данные с результатами экспериментов.

Теоретическое исследование выполнено в рамках рациональной механики континуума с использованием основанного на теории простых материалов Нолла аксиоматического подхода к построению структуры определяющих соотношений. При этом в общем случае никакие ограничения на величину деформации и тип симметрии свойств материала не накладывались.

Научная новизна работы. Для произвольных деформаций и типов симметрии свойств тел сформулирована включающая удобные для специализации модели континуумов с ■ длительной затухающей по времени памятью и дифференциального типа общая теория определяющих соотношений простых твердых упрочняющихся материалов с упругой областью и вязкоупруго-вязкопластическим поведением, аппроксимацией которой при бесконечно медленном деформировании есть общая теория простых твердых упрочняющихся упругопластических материалов с упругой областью. В рамках последней с использованием установленной в работе особенности реакции упругопласти-ческого материала в процессах активного пропорционального деформирования введена и формализована концепция "затухающей" памяти формы траектории, что позволило для произвольных деформаций и типов симметрии свойств тел разработать модели материалов не обладающих памятью формы траектории, с "длительным" забыванием формы траектории и сплошных сред дифференциального типа. Сформулирована описывающая процессы

нагружения общая теория простых твердых деформируемых континуумов. Для развитых в работе моделей материалов с вязкоупруговязкопластическими и упругопластическими свойствами предложены методы строгой специализации их общих определяющих соотношений, что позволило построить детальную иерархи» физических уравнений по степени сложности реакции материала на деформирование. В случае бесконечно малых деформаций упрочняющихся изотропных упругопластических и упруговязкопластических материалов дифференциального типа сформулированы описывающие изменение размеров, положения и формы поверхности нагружения энергетические критерии пластичности, установлены условия выполнения ассоциированного закона течения и строго сконструированы удобные для использования в приложениях как новые так и совпадающие с известными моделями теории. Разработана классификация моделей простых твердых деформируемых материалов.

Практическая ценность работы. Развитая в работе формальная система представляет собой теоретическую основу построения допустимых с точки зрения общей теории определяющих соотношений форм обобщения опытных данных по исследованию механического поведения большого класса важных для приложений материалов в широком диапазоне изменения условий их деформирования, а также, что особенно существенно, - видов зависимостей между напряжениями и деформациями за пределами возможностей экспериментальных методик. Полученные в диссертации результаты позволяют описать новые виды поведения материалов, строго обосновать области применимости некоторых широко распространенных в приложениях теорий, в ряде случаев упростить выбор базовых опытов, наметить направления развития новых экспериментальных методик по изучению механического поведения материалов, выбрать определяющие соотношения, позволяющие с оптимальной точностью описать деформирование того или иного наблюдаемого в природе материала в том или ином диапазоне изменения условий его деформирования, уменьшить затраты на моделирование,в первую очередь при описании эффектов поведения.материала высшего порядка малости.

Разработки диссертации использованы в практике научных исследований Института проблем прочности HAH Украины.

Результаты работы могут найти применение при моделировании поведения как известных, так и новых материалов со

сложной реакцией на деформирование.

Достоверность результатов исследования обеспечивается физической обоснованностью и строгостью формулировок основных уравнений теории простых материалов и используемых методов специализации определяющих соотношений, а также согласованностью результатов теоретического анализа с известными экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты исследований докладывались на 5 Всесоюзной конференции "Получение и обработка материалов высоким давлением" (Минск, 19870, Межреспубликанской конференции "Совершенствование средств и методов расчета изделий машиностроения" (Волгоград, 1988), IV Всесоюзной конференции "Электрический разряд в жидкости и его применение в промышленности" СНиколаев, 1988), Региональной конференции "Динамические задачи механики сплошной среды" (Краснодар, 1988), 2 Республиканском семинаре "Динамическая прочность и трещиностойкость конструкционных материалов" (Киев, 1989), Научно-технической конференции "Прогрессивные процессы обработки материалов давлением" (Гомель, 1989), 3 Всесоюзном симпозиуме "Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии" (Киев, 1989), Всероссийской научно-технической конференции "Математическое моделирование технологических процессов обработки материалов давлением" (Пермь,1990), Республиканском семинаре "Прочность и формоизменение элементов конструкций при воздействии динамических физико-механических полей" СКиев, 1990), 3 Республиканском семинаре "Динамическая прочность и трещиностой-кость конструкционных материалов при однократном импульсном нагружении" (Киев, 1991), Научном совещании "Термовязкоупру-гопластические процессы деформирования в элементах конструкций" (Канев,1992), IV Симпозиуме "Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии" ССевастополь, 1992), IV Межреспубликанском симпозиуме "Остаточные напряжения: моделирование и управление" (Пермь,1992), на научных семинарах Институтов механики и проблем прочности НАН Украины и других совещаниях и семинарах.

Публикации. По результатам выполненых исследований опубликовано 45 научных трудов. Основное содержание работы отражено в публикациях [ 1-25 J.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из

введения, семи разделов, заключения, перечня использованной литературы из 271 наименования, имеет 351 страницу машинописного текста, включая 19 рисунков и 2 таблицы.

Личный вклад автора. Все выносимые на защиту научные результаты получены лично автором.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, ее научная новизна и практическая ценность, кратко изложено содержание исследования.

В первом разделе проведен критический анализ состояния вопроса по рассматриваемой проблеме. Обсуждены результаты экспериментальных исследований вязкоупруговязкопластических и упругопластических свойств упрочняющихся материалов и подходы к построению их определяющих соотношений. Отмечено, что важнейшей проблемой механики деформируемого твердого тела является разработка методов построения физически обоснованных и математически строгих моделей, позволяющих с различной точностью не только описать, но и предсказать поведение широкого класса наблюдаемых в природе материалов в большом диапазоне изменения условий их деформирования. Несмотря на значительные достижения феноменологического подхода к построению определяющих соотношений и большое число построенных моделей, в настоящее время такой подход не позволяет в полной мере решить эту проблему. Охват теорией простых материалов Нолла практически всех известных подчиняющихся принципу образца чисто механических континуальных феноменологических моделей деформирования материалов, успехи в развитии аксиоматического подхода к построению и специализации общих определяющих соотношений простых материалов с упругими и вязкоупругими свойствами свидетельствуют о больших потенциальных возможностях такого подхода в плане решения отмеченной выше важнейшей проблемы механики деформируемого твердого тела и для иных типов реакций материалов. Вместе с тем, основанный на теории простых материалов аксиоматический подход к решению подобной задачи для упрочняющихся материалов с упругопластическим поведением находится только в начальной стадии развития. До настоящего времени не удалось сформулировать систему непротиворечащих опыту аксиом позволяющих формализовать специализацию общих определяющих соотношений таких материалов, что позволило бы построить

- б -

физические уравнения, справедливые для широкого диапазона типов реакций и условий деформирования. Для материалов с вязкоупруговязкопластическим поведением такая задача в рамках теории простых материалов практически не решалась.

По результатам анализа состояния • исследований по проблеме сформулированы цель и задачи настоящей работы.

Второй раздел посвящен выделению для произвольных деформаций и типов симметрии свойств тел в рамках известной модели простых твердых материалов с упругой областью и упругопластическим поведением общей теории упрочняющихся континуумов с длительным забыванием формы траектории, разработке подхода к специализации их определяющих соотношений, а также формулировке модели материала не обладающего памятью формы траектории.

Ключевыми свойствами исходного класса материалов являются следующие: напряжения в материале зависят от пути в тензорном пространстве деформаций и не чувствительны к изменению временной истории прохождения этого пути, деформацию тем или иным способом можно разделить на упругую и пластическую составляющие, справедлив некоторый критерий текучести, выполняется тот или иной закон течения.

Предположено,что все траектории (пути) начинаются в момент времени Го из ненапряженной и недеформированной отсчетной конфигурации «о. При задании пути деформирования в качестве параметра принята ? - длина дуги траектории тензора деформаций Грина второго типа Е, определяемого следующим образом

Е = \ С С -1 ), С 1 )

где С и 1 - правый тензор Коши-Грина и единичный тензор.

Учитывая первое ключевое свойство простого материала с упругопластическим поведением, представим определяющее соотношение такого материала в следующем виде

«г = • С F* ), С 2 )

где сг - тензор напряжений Коши, - параметризованный посредством £ путь (история) деформирования, 6 - отображение тензорных функций F^ на симметричные тензоры, F - градиент деформации.

Предположено, что И» гладкая, непрерывная и необходимое число раз дифференцируемая по параметру функция.

Используя принцип независимости от системы отсчета

Нолла, уравнение ( 2 ) может быть преобразовано, в частности, к следующей, так называемой приведенной (независящей от выбора системы отсчета), форме

0я = 9 и С С ? )), С 3 )

где <т* = 1?тсг И, С^ - параметризованная посредством £ история изменения правого относительного тензора Коши-Грина С^, И -ортогональный тензор поворота, входящий в полярное разложение градиента деформации Р = Ш = положительно определенные симметричные тензоры II и V удовлетворяют соотношению V = и называются соответственно правым и левым тензорами растяжения. При этом С = и2 = ГТР, Здесь и далее верхний индекс "т" обозначает транспонированный тензор, а под относительными тензорами понимаются тензоры, вычисленные относительно совпадающей с актуальной отсчетной конфигурации. Для изотропных материалов уравнение С 3 ) запишется так сг = К ( сЦ ; В ( £ )), ( 4 )

где В = V2 = РГТ - левый тензор Коши-Грина. При этом отображение К в (43 должно удовлетворять тождеству

Я С о сЦ 0Т; о В 0Т ] = о 5Г [ сЦ ; В ] (2Т ( 5 )

для всякого ортогонального тензора 0, всякой положительно определенной симметричной тензорной истории сЦ и всякого положительно определенного симметричного тензора В. Такое отображение называется изотропным.

Определение. Процессом пропорционального деформирования или просто пропорциональным деформированием назовем такой процесс, в котором компоненты тензора С-1 возрастают пропорционально некоторому неубывающему скалярному параметру. Для пропорционального деформирования

СпС?п> =1+КС?пЭ[СпС?ПкЭ-1]. 1$х = 1, Сп(?п) = ВП(?ПЭ, ( 6 3

где К(?п) * ?п/?пк= 2?п/|сп(?пк)-ц, Сп(?пк) и ?Пк - тензор Сп(£п) и в конце процесса деформирования, а

Сш>С?п> = СпЛ,Л С 7 3

Здесь и далее нижние индексы "п" и "с" относят тот или иной объект соответственно к пропорциональному деформированию и девиаторным составляющим тензора соответственно.

Процессы деформирования в девиаторном пространстве деформаций, удовлетворяющие условию (7 ), будем называть процессами простого деформирования или просто простым деформированием. Отметим, что при пропорциональном деформировании выполняется и условие простого деформирования.

Анализ показал, что тензор напряжений в произвольном материале с упругопластическим поведением при пропорциональном активном деформировании является функцией градиента деформации, т.е. в этом случае задание последнего в конце процесса деформирования полностью определяет напряженное состояние упругопластического материала.

В частности, для пропорционального активного деформирования уравнение С 4 3 принимает вид

где I - изотропная тензорная функция тензорного аргумента.

Далее принято такое предположение.

Аксиома 1. В классе простых материалов с упругопластическим поведением можно выделить такие материалы, которые в произвольных процессах непропорционального активного деформирования обладают "затухающей" памятью формы траектории.

Рассмотрено два начинающихся из «о процесса активного деформирования. Произвольный с историей ^ и пропорционального деформирования Рпп до одного и того же значения градиента деформации в конце процесса деформирования. При этом переменная £ представлена следующим образом

С 9 )

где К = , £ - значение ? в конце процесса.

Тогда для произвольного процесса

I* н Рк*п, ГС?) = Р(ЦП3, «НЪ = ®(Рк?п). С 10 )

Далее каждая история пропорционального активного деформирования рассматривается как история, соответствующая текущему значению Р(?3 = РСЮ^З градиента деформации Р в X в истории активного деформирования Р^ = Рк^п, и полагается, что

если Рк^п - история, принадлежащая области определения 0 реакции в, то для каждого из [ 0,« ) история пропорционального деформирования Рпп также принадлежит 8. При этом основная идея "затухающей" памяти формы траектории принимается в виде: когда история активного деформирования Р? близка к

истории пропорционального активного деформирования Рпп, напряжения вСР^) близки к напряжениям 8СРПП). Понятие "близости" уточняется с помощью топологии и в качестве необходимого условия для "затухающей" памяти принимается аксиома непрерывности: реакция 8 непрерывна в каждой истории Р п из 5.

Далее введены понятия забывающей меры, запоминания истории деформирования и принято следующее определение.

Определение. Материал имеет слабо "затухающую" память, если он удовлетворяет аксиоме непрерывности с непрерывностью, определенной при помощи забывающей меры:

сг = «Но = дСРС£)) + оС1) при - Г^п|| -О, СИ)

(

где дСРСгр) = вСГпп), С 12 )

И || - полунорма.

Таким образом, при условии, что запоминание разности

историй ^ и Рпп достаточно мало, напряжения представляют собой приблизительно напряжения при пропорциональном активном деформировании, соответствующие РС£).

Не обладающий памятью формы траектории упругопластичес-кий материал имеет остаточный член в СИ) тождественно равный нулю. При этом забывающая мера должна быть такой, что

II Р? - ?1П || = 0.

Более высокие, нежели СИ), приближения получены с использованием принципа "затухающей" памяти п-го порядка, заключающегося в предположении, что в истории пропорционального активного деформирования Рпп реакция 9 п раз дифференцируема по Фреше. Тогда

а = 9СР?) = дСРС?)) + Е9.СР^- Р„п) + оС^- Р„п||п), С 13 )

где 91 - ограниченные однородные полиномиальные отображения степени 1, зависящие от переменной РС£).

В третьем разделе для конечных деформаций без наложения ограничений на тип симметрии свойств континуума построена теория упрочняющихся упругопластических твердых материалов дифференциального типа; в рамках последней выделена модель изотропной упрочняющейся сплошной среды, для которой записаны общие определяющие соотношения и развиты методы их детальной специализации.

Рассмотрен класс тел с упругопластическим поведением, в которых при активном деформировании на напряжения в точке X влияет лишь история деформирования на произвольно коротком интервале [ £ + 6 ] "прошлого", где 6 - некоторое положительное число. Материалы такого типа названы в работе материалами с инфинитезимальной памятью формы траектории. В рамках последних выделены континуумы, напряжения в которых

определяются первыми п производными от градиента деформации Е по ? в точке X. Такой материал назван упругопластическим материалом дифференциального типа, а п - его сложностью. Для последнего приведенная форма определяющего соотношения, как установлено в работе, имеет вид

а* = д ( Xе, X*.....X*, С ), С 14 3

а1 I ' г' п

где д[ - функция, переводящая наборы из Сп + 1) симметричных тензорных аргументов в симметричные тензоры;

{г) _

Хг 2 С^) н ^ С г = ГТЮ. С 15 3

Тензоры Хг названы в диссертации аналогами тензоров Ривлина-Эриксена, а тензоры-аргументы функции д1 в С 14 ) -кинематическими тензорами.

В случае, когда упругопластический материал дифференциального типа изотропен, уравнение С 14 ) принимает вид

сг = к С X , X .....X , В С 16)

12 П

Функция к изотропна в том смысле, что

ксоХог,оХ2ат.....оХпот,овотз = оксХ ,Хг.....Хп,в)от с п з

для всех ее аргументов и всех ортогональных тензоров 0.

Уравнение С 16 Э далее будем называть определяющим соотношением упругопластического аналога твердого тела Ривлина-Эриксена или просто аналога твердого тела Ривлина-Эриксена сложности п.

Выбрав в качестве системы отсчета неподвижную ортогональную декартовую систему координат, а отсчетной конфигурации *о - конфигурацию сплошной среды при ? = 0, как и ранее предположим, что в хд среда находится в ненапряженном и недеформированном состоянии. Конфигурацию деформируемой сплошной среды в "момент" £ назовем актуальной деформированной и обозначим Определим положение тела в его координатами х. С1. = 1,3 ) в системе отсчета так, что для каждой его частицы х. есть функция от При £ = 0 х. равно X.. Тогда мы можем пометить каждую частицу ее координатами X. и рассматривать х1 как функции Х^ и При таких предположениях деформирование упругопластического тела можно описать соотношением х. = Яг^СХ^, = ГГЗ).

В "момент" £ перемещения и. частиц тела, занимавших при £ = 0 положение Х1 , равны - X , их "скорости" у'1 'г бх /б?, "ускорения" = бу^/с!? = о^1 >/<3? + Ъйс и их

• СК-1)-е "ускорения" у*> = (3/5? + у|1 >д/дх^к-' у'1 Здесь б/б? - производная по £ при X. постоянных Сматериальная

производная), д/ ¿5? - производная по £ при х. постоянных.

Компоненты тензоров а, X , X..... X , В,... в системе

координат х. обозначим через а1 !' ',X.'*^... ,X.'"1, В1 ,... Запишем выражение С 16 3 в координатной форме в систе-

ме координат х. СГ... = к ,(

ш1

ш1

1 J

где

Х<г>.

п1

п1

5 = 1

, Х.(2\..,

Зх Эх,

п 1

х<п>

В. . ),

1 л

( 18 ) С 19 3

Зу!

о >

= С5 =

г

шг

г!

зТТг^зТТ

3x7

дУ

(г )

ш:

ду;г>

ш—

С г = ГГп; б < г ).

С 20 )

Здесь и далее повторяющийся индекс в одночленном выражении означает суммирование в заданном диапазоне его изменения.

Для матриц компонент тензора напряжений и кинематических тензоров С 19 ) -С 20 ) введем обозначения а = [ а. . ], В = [ В. . ], X = [ Х!к} ]. С 21 Э

1 л к у

При этом матрицы С 21 3 иногда будем называть тензорами, а проблемы тензорных функций формулировать как проблемы функций от матриц.

Далее в этом разделе ограничимся только материалами, подчиняющимися уравнению С 18 Э, и построим возможные формы его специализации при различных ограничениях на свойства и деформирование аналога твердого тела Ривлина-Эриксена той или иной сложности. При этом используем представление тензора напряжений, как изотропной функции N тензоров, в виде

а = р. Н. , С 1 < 6 3, С 22 Э

1 1

где М. - произвольные линейно независимые тензоры из набора образующих соответствующий форм-инвариант тензоров; р -коэффициенты, зависящие от функционально независимых инвариантов, выбранных из минимального целого рацинального базиса для рассматриваемого форм-инварианта.

Здесь под форм-инвариантом понимается наиболее общий полиномиальный вид тензорной функции С 18 ), а минимальным целым рациональным базисом - минимально возможная совокупность скалярных полиномиальных инвариантов системы тензоров С 19 ) - С 20 ), посредством которой может быть выражен любой полиномиальный скалярный инвариант этой системы.

Все последующие результаты получены для процессов деформирования, то есть в случае, когда тот или иной вид

- iг -

определяющего соотношения и условия его построения справедливы в течение конечного интервала изменения

Отмечено, что для аналога твердого тела Ривлина-Эриксена сложности 0 форм-инвариант имеет вид

сг = <р I + рВ + рВ2, С 23 3

Г1 2 г3

где I = [ й1 ] - единичная матрица, <5 - символ Кронекера ранга 2, р. ? 1 = Г73 ) - зависят от минимального целого рационального базиса, включающего

и- В, 1г В2, 1г В3, С 24 )

1г - след матрицы.

Причем.в случае простого спектра В (неравенства всех трех его главных значений) матрицы I, В, В2 - линейно независимые, а инварианты ( 24 ) - функционально независимые.

При осесимметричности тензора В С наличии одной и только одной пары равных главных значений) выражение С 23 ) может быть специализировано в матричном виде так

а - с I + В, (25)

1

где р. ( 1 = Т7Н ) зависят от 1г В и 1г В2.

Далее для аналогов твердых тел Ривлина-Эриксена сложности 1, 2 и к приведены форм-инварианты, минимальные целые рациональные базисы, при наложении ряда ограничений на процесс деформирования дано строгое построение в виде С 22 ), в том числе и тензорно линейных, форм представления определяющих соотношений. В частности, для п=/<»4 в случае простоты спектра В, выполнении условия линейной независимости I, В,

X , Хг..... Х^, всех ненулевых недиагональных элементах '

С3 уравнение С 18 ) может быть представлено в виде

сг = £>1+<рв + «>Х + <рХ + «?Х + ер X , (26)

Г1 гг гз 1 г гз з гв 4 '

где <р С 1 = 1 ,Ь ) зависят от инвариантов

Ьг В, и- В2, 1г В3, 1г X , 1г ВХ , 1г В2Х ,

' ' г г г

и- X X , 1г вХ X , и- в2Х X , 1г X , Гг вХи,

1 г' |г' 1г к к

1г 1г ХгХк, 1г ХзХк, Ьг (г = ггт^). ( 27 ) Здесь и далее черточка над компонентой той или иной матрицы обозначает, что эта компонента определена в главных осях В.

Установлено, что тензорно линейные определяющие соотношения не всегда могут быть построены. Это выполнимо тогда, когда число тензор-аргументов функции ( 18 ) больше или равно уменьшенной на единицу размерности пространства напряжений. В противном случае допустимы только тензорно нелинейные зависимости. Отмечены преимущества тензорно

линейных уравнений по сравнению с тензорно нелинейными с точки зрения их использования в приложениях.

Четвертый раздел посвящен построению на основе использования уравнений третьего раздела теории бесконечно малых деформаций изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа, разработке подхода к дальнейшей детальной специализации их определяющих соотношений,формулировке критерия текучести и установлению закона течения.

При заданном поле смещений и построено семейство полей смещений ¡5и и рассмотрены связанные с ним величины в пределе при <5+0. Как показал анализ, для заданного семейства <5и кинематические тензоры В, , Хг,..., Х^ при достаточно малом 6 хорошо аппроксимируются с помощью формул

В, и б. + 2е. , 1<г>«22,(г>, Сг=Г7Ю, (28)

lq lq 1 q lq 1 q

1 f dUl dUa ] 1 i < ,

где £lq « H - + —14 "7 I — +

, f du 5u 1 4 ( ди. ди 1

2 + "И + ' (29) ^ I axq aXj J ^ I dxq dx1 J

u i + _Я_

d l дх dx J

¿<r> « l I + | я 1Лл. и rAsL, с 30 )

дхч дх: ) аг <э?г с, , с,<1>, е!2',..., е,<к> - компоненты кинематических тензо-

1 Ч' 1 ч ' 1 Ч 1я

ров бесконечно малой деформации,"скорости","ускорения".....

( К-1 ) - го "ускорения" деформации, знак « служит для обозначения равенства с точностью до бесконечно малых второго порядка малости.

Теорию, в которой справедлива замена ( 28 ) - ( 30 3 назовем теорией бесконечно малых деформаций. В рамках такой теории уравнение ( 18 ) при п=к запишется следующим образом

а. . « к, .( е. , V* \ с,<2)..... 2,<к> 3. ( 31 )

ij 1 j 1 ч И И

Соотношение С 31 3 мы иногда далее будем называть формальным приближением определяющего соотношения аналога твердого тела Ривлина-Эриксена сложности К, а матрицы компонент тензоров с, , с,'1', 2,(г>,..., е,<к> обозначать так

Г 1 Ч 1Ч 1 ч

£ = [ с, ], е = [ е,<г>], (г=ГЛсЗ. С 32 3

И Г 1Ч '

Приняв в качестве исходных уравнения раздела 3, и, осуществив в последних замену ( 28 3 - ( 30 3, после преобразований получим различные формы специализации определяющих соотношений теории бесконечно малых деформаций. В частности, при этом уравнения С 23 3, ( 25 3 и

С 26 3 примут соответственно вид

ОТ = 7) I + 7)£ + Т)£г, (33) _ ч 'г 'з

где 7^(1=1,3) зависят от 1г 1г г;2, 1г с3;

сг = -п I + П е , (34)

где т). С1=1 /¿) определяются инвариантами 1г е и 1г е ;

а = Г)1+Г)£+Т)£ + Г) £ + 7) £ + Г) £. (35)

¿1 'г '3 1 4 г 'о з 'в 4

где 77. С 1=1 ,Ь) зависят от

1г £, 1г сг, 1г е3, 1г £ , 1г ££ , 1г £г£ ,

' ' г г г

Л, -V А/ "V -> Л- Л» , «V "V

1г £ £ , ЬГ ££ С , 1Г £ £ С , 1Г £, , 1Г ££. ,

1 г 1г' 1г' к к

1Г £ £., 1Г £ £., 1Г £ £,, 1Г £ £. , (Г=1,к-1). ( 36 )

1 К 2 *С 3 К ♦ к

В соотношениях ( 33 ) - ( 35 ) и везде далее вместо знака « будем писать = , помня при этом приближенный характер формальных приближений физических уравнений.

Дальнейшая специализация определяющих соотношений проведена с использованием предположения.

Аксиома 2. При построении определяющих соотношений некоторого класса простых упругопластических тел спецификой структуры тензорного пространства, связанной с произведением тензоров, можно пренебречь.

Такое предположение дает возможность оставить в тех или иных частных формальных приближениях определяющего соотношения аналога твердого тела Ривлина-Эриксена той или иной сложности только слагаемые в виде произведения некоторого скалярного коэффициента на ту или иную матрицу из ряда I, £, £ ,£,,..,£ и инварианты в форме 1г £, 1г 2 ,

л, к, л, 2 * ^

1 1 п ' '

Тогда в рамках справедливости аксиомы 2 соотношения ( 33 ) и ( 34 ) неотличимы, так как оба приводятся к форме ( 34 ) с зависящими от 1.г е и 1г с2 коэффициентами. В связи с тем, что зависимость ( 23 ) представляет собой форм-инвариант, а ряд ( 24 ) минимальный целый

рациональный базис, то уравнение ( 34 ) с зависящими от 1г е и 1г £г коэффициентами описывает общий случай деформирования подчиняющегося аксиоме 2 аналога твердого тела Ривлина-Эриксена сложности 0.

В работе построен целый ряд определяющих соотношений подчиняющихся аксиоме 2 и физическому уравнению ( 31 ) тел при тех или иных ограничениях на их свойства и процессы деформирования. В частности при этом, уравнение (35) с зависящими от инвариантов ( 36 ) коэффициентами сохраняет свой

вид, а его коэффициенты определяется следующими инвариантами 1г с, 1г сг, 1г £г, 1г £Сг, 1г и- ек, 1г ££к,

1г с с. , се. , \.г е 2. , 1г ее., Сг=1,к-13. С 37 )

!к г к з к * к

Основываясь на втором ключевом свойстве материала с упругопластическим поведением, проведен анализ моделируемых упругим законом пассивных процессов деформирования,реализующихся внутри поверхности нагружения при неизменном тензоре пластических деформаций. Показано, что для произвольных деформаций изотропного упругопластического материала допустим задаваемый историей изменения пластических деформаций широкий диапазон типов симметрии упругих свойств. Причем последний может отличаться от изменяющегося при активном деформировании типа симметрии пластических свойств. В рамках теории бесконечно малых деформаций установлено, что тензор деформаций с точностью до бесконечно малых второго порядка малости может быть представлен в виде суммы пластических и упругих составляющих. Выделен класс упругопластических материалов, сохраняющих в процессе активного деформирования изотропию зависящих от истории изменения пластических деформаций упругих свойств. Причем последние подчиняются линеаризированному закону связи напряжений и деформаций. Для пассивных процессов построена совокупность частных определяющих соотношений таких материалов.

Спроектировав уравнение ( 35 ) с зависящими от инвариантов С 37 ) коэффициентами на пространство шаровых тензоров и девиаторов, приняв упругопластический материал несжимаемым в разгруженном состоянии, а его упругие свойства линейными, определяемыми историей изменения пластических деформаций и сохраняющими изотропию в процессе деформирования, а также предположив выполнение условия независимости напряжений в материале от истории изменения упругих составляющих деформации, получим

сг = 3 е , С 38 )

_ 1- _ -

2 = 7)2е + 77зе + 7)чез + 7)дея + т?ве4, С 39 )

где сто, ед и 2,е - первые инварианты и матрицы компонент девиаторов тензоров напряжений и бесконечно малых деформаций

*р *Р кР

соответственно, К4 = + 2/3 - модуль объемного сжатия,

Х> и ^ -постоянные Ламэ, С1 = '¿, Ь) зависят от инвариантов

е = 1г с, 1г е2, Ъг ее , 1г е ё , 1г её, , о г 1 г к

1г ё е, , е е. , Ьг е е. , 1г е е. , (г=1,к-1), С 40 )

1 к ' г к з к 4к

е = с^е/Сс^ О = 1,к), ^ - длина дуги траектории девиатора тензора бесконечно малых деформаций.

Здесь и далее верхний индекс показывает, что соответствующий объект зависит от истории изменения пластических деформаций. Если последнее не выполняется, то

к, X. м.

Проведена дальнейшая специализация соотношения С 39 ), связанная с пренебрежением влияния £о на коэффициенты физического уравнения, а также посредством принятия такого предположения.

Аксиома 3. Коэффициенты в определяющих соотношениях для девиатора напряжений некоторого класса упругопластических материалов, подчиняющихся уравнениям С 38 ) - ( 39 ), зависят только от вторых инвариантов девиаторов кинематических

тензоров бесконечно малых деформаций I , I . , Сг=1,к).

ге ге

_Г

Показана возможность выражения I „ Сг=2,к) посредством

2е

Г

кривизн траектории девиатора тензора бесконечно малых деформаций и производных от последних по Построен целый ряд частных физических уравнений, полученных специализацией соотношения С39). Отмечена возможность представления последних в векторном виде, в частности в пространстве Ильюшина. Далее считается справедливым такое предположение. Аксиома 4. В произвольных процессах активного деформирования подчиняющихся уравнению С 39 ) упругопластических материалов с зависящими от инвариантов С 40 ) коэффициентами девиатор тензора напряжений определяется историей изменения девиатора тензора бесконечно малых пластических деформаций ер и значением ¿о в конце процесса деформирования.. При этом предполагается, что траектория ер гладкая. Тогда уравнение С 39 ) принимает вид Б = ррер+ ер + ер + <с? ер + вР ер, С 41 )

Г 2 г3 1 г* 2 ^О 3 ~в 4

где ер - матрица компонент девиатора тензора бесконечно малых пластических деформаций, ^ С 1 = '¿,Ь ) зависят от

£ , 1г Сер)2, 1г ерер, 1г ерер, 1г ерёр, 1г ерер,

о г* 1г' к' 1 к'

1г ¿рер, 1г ёрар, 1г ерер, ( г = ГП^Г ), С 42 )

ер = (с!?10)1 (1 = 1,к), £р - длина дуги траектории

тензора (девиатора) пластических деформаций.

При этом уравнение С 41 ) справедливо для описания общего случая деформирования.

В диссертации посредством наложения ограничений на свойства материала и процессы его деформирования сконструирован целый ряд частных форм представления соотношения С41).

Построенных выше физических уравнений не всегда достаточно для описания произвольных процессов деформирования упругопластического материала. В ряде случаев их необходимо дополнить критерием пластичности (критерием текучести, уравнением поверхности нагружения), а также законом течения.

В работе принят энергетический критерий текучести следующего вида

и| = С 1+Л/С 2Е?Р) Ба Ба = Си|)т, С 43 )

где и| - удельная потенциальная энергия формоизменения для активных напряжений, (и|)т- значение и| в состоянии текучести, Ба - матрица компонент девиатора активных напряжений, V и Е - коэффициент Пуассона и модуль Юнга соответственно.

При построении критерия текучести в качестве исходного выбрано физическое уравнение С 41 ) с коэффициентами зависящими от ряда ( 42 ) и предположено, что ео не влияет на коэффициенты этого соотношения. Тогда Ба = Б - р9 ер- ©Р ёр - ер - <с? ер = ер.

г* 2 г3 3 гО 4 г3 1

Исходя из того, что в точках активного нагружения (точках нагружения) по определению выполняется условие ( 43 ), для любой точки нагружения и произвольного процесса деформирования можем записать

Г = | Ба Ба - | ( ^ )г = 0. ( 44 )

Далее будем считать справедливым предположение.

Аксиома 5. Для произвольной истории изменения пластических деформаций при фиксированном значении девиатора пластических деформаций ер и произвольном направлении девиатора ёр из непрерывного веера ёр, исходящего из соответствующей фиксированному ер точки траектории, пластическое течение в частице упругопластического материала может наступить тогда, когда выполняется условие ( 44 ).

Для подчиняющихся аксиоме 5 упругопластических материалов соотношение ( 44 ) представляет собой уравнение поверхности нагружения. Выполненный в диссертации анализ показал, что при принятых условиях для произвольных процес-

сов деформирования начальная поверхность нагружения всегда имеет форму сферы в девиаторном пространстве напряжений, в то время как для последующих поверхностей нагружения это не выполняется. Установлены условия, когда последние представляют собой сферы в девиаторном пространстве напряжений. Отмечено, что в этом случае для начальных и последующих поверхностей нагружения выполняется ассоциированный закон течения. С использованием предположения о непрерывности перехода от упругого к упругопластическому деформированию, записаны условия активного и нейтрального нагружений, а также разгрузки.

В пятом разделе в рамках теории простых по Ноллу материалов сформулирована справедливая для произвольных деформаций и типов симметрии свойств тел общая теория определяющих соотношений твердых деформируемых континуумов с упругой областью и вязкоупруговязкопластическим поведением, включающая модели сплошных сред с длительной затухающей по времени памятью и дифференциального типа; разработаны подходы к детальной специализации общих определяющих соотношений таких материалов; для частного класса упруговязкопластических тел дифференциального типа в рамках теории бесконечно малых деформаций сформулирован критерий текучести и установлен закон течения.

В качестве первой ключевой черты вязкоупруговязко-пластического материала постулировано, что напряжения в его частице зависят от пути деформирования в тензорном пространстве деформаций и временной истории прохождения этого пути. Причем свойство памяти формы траектории в рассматриваемых здесь телах проявляется и при бесконечно медленном деформировании. Остальные определяющие черты вязкоупруговязкопластического материала не отличаются от сформулированных в разделе 2 последних трех ключевых черт упругопластического материала. Принятые выше предположения относят вязкоупруговязкопластические тела к твердым.

Исходя из первого ключевого свойства твердых вязко-упруговязкопластических Св дальнейшем просто вязкоупруго-вязкопластических) материалов, их общее определявшее соотношение представлено так

(Г = в С Г1) = §( ), С 45 )

где история изменения градиента деформации,?1- временная

история прохождения пути И" или просто временная история.

Предположено, что все процессы деформации начинаются в момент времени Го из ненапряженной и недеформированной конфигурации ж , а ^ и - гладкие, непрерывные и необходимое число раз дифференцируемые функции параметров. В пределе при бесконечно медленном деформировании

а = а = 9 С ), ( 46 )

где сг - тензор статических напряжений.

Отмечено, что в упругопластическом материале напряжения всегда представляют собой статические напряжения.

Зафиксируем И" и будем менять Для такого семейства процессов уравнение С 45 3 перепишется так

а = 5 С ^ 3. С 47 )

Если вязкоупруговязкопластический материал все время покоился, то

сг а <г5= окр?) = = дС?СП), С 48 )

где £(Ос - статическая или постоянная история, д некоторая функция. Значения 9(£(Ос) реакции 9 представляют собой напряжения, которые соответствуют пребыванию вязкоупруговязкопластического материала всегда в прошлом и в настоящий момент в покое в состоянии, полученном из *о при деформации по траектории длина дуги которой равна

Принято, что принадлежит области определения ре-

акции а основная идея затухающей по времени памяти вязкоупруговязкопластического материала состоит в том, что когда история близка к постоянной истории ?(13с, напряжения 5С?1) близки к статическим напряжениям. Понятие "близости" уточнено с помощью топологии и в качестве необходимого условия для затухающей по времени памяти сформулирована аксиома непрерывности: реакция 5 непрерывна в каждой постоянной истории Л(13° из области определения 5. Введены понятия забывающей меры, запоминания истории ^ и дано следующее определение.

Определение. Вязкоупруговязкопластический материал имеет слабо затухающую по времени память, если он удовлетворяет аксиоме непрерывности с непрерывностью, определенной с помощью забывающей меры: а = Ж?1) = дС?С1)) + оС1) при - ?ШС|| - О, С 49 3

где дС?СО) = 9 С С 50 3

Таким образом, при условии, что запоминание разности историй

- го -

^ и постоянной истории ?(Ос достаточно мало, напряжения представляют собой приблизительно напряжения в упругопластическом материале, соответствующие В

частности, в упругопластическом материале остаточный член в ( 49 3 тождественно равен нулю. При этом - ?С1)С|| = 0.

Сформулирована обобщающая известную теорема о релаксации напряжений, доказательство которой не отличается от приведенного в литературе. Введен принцип затухающей по времени памяти п-го порядка, что позволило записать более высокие, нежели С 49 3 - С 50 3, приближения для напряжений.

Далее рассмотрены вязкоупруговязкопластические континуумы, в которых на напряжения в точке X влияют лишь истории Р> и ^ на произвольно коротких интервалах прошлого. В рамках последних выделен класс материалов дифференциального типа, для которых записано общее определяющее соотношение. В случае изотропных сплошных сред последнее принимает вид

а = к( А , А ..... А , В ), С 51 )

1 ' 2 П

где к - изотропная функция, А. (л = 1,п) - тензоры Ривлина-Эриксена.

Посредством наложения ограничений на свойства тела и процессы его деформирования для конечных, бесконечно малых деформаций и различных п в пространствах напряжений-деформаций и напряжений-неупругих деформаций в виде иерархии по уровню сложности реакции материала на деформирование построен большой набор частных форм представления уравнения С 51 ). При этом методы конструирования таких физических зависимостей после замены ? на I по сути ничем не отличаются от развитых в разделах 3 и 4 методов специализации определяющего соотношения аналога твердого тела Ривлина-Эриксена сложности п.

В частности, в рамках теории бесконечно малых деформаций для несжимаемых в разгруженном состоянии упруговязко-пластических материалов дифференциального типа сложности к > 4, напряжения в которых не зависят от связанных с произведением тензоров особенностей тензорного пространства и от истории изменения упругих компонент деформации, упругие свойства которых линейны и не зависят от истории изменения пластических деформаций, показано, что от = ЗК е ,

о о

Б = 7) е + т) е + пе + п е + т) е , С 52)

'г '3 1 Ч г 'о 2 'в *

где т?. С1 = 2, в) зависят от

с , 1г е2, 1г ее , 1г е е , 1г ее. , 1г ее.,

о ' г' 1 г к 1 к

1г е е, , 1г е е, , 1г е е. , Сг=1 ,1с-1),

г к з к * к

е = с1пе/Сс31Эп Сп = Г7Ю. С 33 )

п

Далее понятия неупругая и пластическая деформации используются как тождественные и считается справедливым* такое предположение.

Аксиома 4А. В произвольных процессах активного деформирования несжимаемых в неупругом состоянии, подчиняющихся уравнениям С 52 3 с зависящими от инвариантов С 53 3 т) С1 = = 2,Ь) упруговязкопластических материалов девиатор тензора напряжений определяется историей изменения девиатора тензора бесконечно малых неупругих деформаций ер и значением со в конце процесса деформирования. При этом предполагается, что траектория девиатора пластических деформаций гладкая.

В случае справедливости аксиомы 4А уравнение С 52 3 принимает вид

Б = 7,РеР+ 7)р ер + Т5Р ер + 77р ер + 77р ер, С 54 3

'г 'з 1 Чг 'з з 'в *

где ер = с11ер/Сс11)1 (1 = ГТ1с3, ^ С 1 = 27Б" 3 зависят от £ , 1г(ер32, 1г ерер, 1г ерер, Ьг ерер, 1г ерер,

о ' г ' 1 г к 1 к

гг ерер, Ьг ерер, и ерер, Сг = Г^Г-ТЗ. С 55 3

г к з к * к '

При этом уравнение С 54 3 справедливо для описания общего случая деформирования.

Дальнейшее упрощение соотношения С 54 3 выполнено с использованием предположения о зависимости его коэффициентов только от вторых инвариантов девиаторов ер и ер (г = ГЛс). Причем в этом случае возможно выражение коэффициентов этого уравнения через параметры внутренней геометрии траектории тензора бесконечно малых пластических деформаций и представление определяющего соотношения в векторном пространстве Ильюшина.

Построенных в этом разделе физических уравнений не всегда достаточно для описания произвольных процессов деформирования. В ряде случаев их необходимо дополнить критерием текучести, в качестве которого здесь принят энергетический критерий в форме С 43 3. При построении последнего предположено, что девиатор напряжений не зависит от ео , а в качестве исходного взято уравнение С 54 3 с определяемыми инвариантами С 55 3 коэффициентами. Исходя из того, что в

- гг -

точках нагружения выполняется условие С 43 ), можем записать F = | Sa Sa - | С Щ )г = О, С 56 )

где Sa= S - т)У - т)РеР - vy3 - r>y4 = r^ef, % = т£ ?р,

модуль скорости пластических деформаций.

Далее считается справедливым такое предположение.

Аксиома 5А. Для произвольной истории изменения пластических деформаций при фиксированном значении девиатора пластических деформаций ер и произвольном направлении девиатора ер из непрерывного веера ер, исходящего из соответствующей фиксированному значению ер точки траектории, пластическое течение в частице упруговязкопластического материала может наступить тогда, когда выполняется условие С 56 ).

Для подчиняющихся аксиоме 5А упруговязкопластических материалов соотношение С 56 ) представляет собой уравнение поверхности нагружения.

Выполненный в диссертации анализ показал, что для рассмотренного случая форма начальной поверхности нагружения зависит от закона изменения модуля скорости пластических деформаций вдоль этой поверхности. Если ?р= const в каждой точке последней, то для произвольных путей деформирования начальная поверхность нагружения представляет собой сферу в девиаторном пространстве напряжений. Установлена возможность описания критерием С 56 3 изменения не только размеров и положения, но и формы последующих поверхностей нагружения. Найдены условия, когда последние принимают форму сферы в девиаторном пространстве напряжений, а также выполняется ассоциированный закон течения. Записаны условия активного и нейтрального нагружений и разгрузки.

Шестой раздел посвящен строгой формулировке в рамках теории бесконечно малых деформаций на основе полученных в диссертации данных некоторых удобных для использования в приложениях новых и совпадающих с известными феноменологически построенными моделями частных теорий упругопластичес-кого и упруговязкопластического поведений упрочняющихся материалов дифференциального типа.

Во всех рассмотренных в этом разделе случаях считаются справедливыми такие соотношения

«и - e?j + • еи = eu + eipj - = + c 57 3

<4r d£u+ d£u- deir de?/ deir 4k= c 58 5

где верхние индексы "в" и "р" относят тот или иной объект к упругим и.пластическим составляющим соответственно.

Вначале в пространстве напряжений-деформаций рассмотрены не обладающие памятью формы траектории простые упрочняющиеся упругопластические континуумы, поведение которых при активном деформировании моделируется определяющим соотношением аналога твердого тела Ривлина-Эриксена сложности 0. Модели такого типа называются деформационными.

Выделена замкнутая система уравнений общего случая деформационной теории пластичности изотропного пластически сжимаемого материала с линейными, определяемыми историей изменения пластической деформации и сохраняющими изотропию в •процессе активного деформирования упругими свойствами, которая включает зависимости С 33 ), С 57 ), а также соотношения

а = П£рЗС1гг:в)1 + г^С£р)е? а-о=ЗКСерПг£? Б = 2^Сер)е? (59) Б = рге + рзСег- | агег)1) =°рге + рзСег- § 1г I), С 60 )

- 2 2 3 2е где рг= <р2 + ^ Р3£о' Рг и Р3 определяются инвариантами 1г с,

1г сг и 1г с3.

Сформулированная в работе тензорно линейная деформационная теория пластичности моделирует поведение изотропного сжимаемого в разгруженном состоянии подчиняющегося аксиоме 2 с линейными зависящими от истории изменения пластических деформаций и сохраняющими изотропию в процессе активного деформирования упругими свойствами материала и содержит соотношения С 34 ), С 57 ), С 59 ), а также

Б = рге, С 61 )

где определяется инвариантами Ьг е к 1г ег.

Далее выделен ряд деформационных теорий пластичности пластически несжимаемых материалов, для которых справедливы такие уравнения

<&с =0' вкк £и = е?г С 62 >

а также континуумов, упругие свойства которых не зависят от

истории изменения пластических деформаций, когда

ХС £р) = X, рС сП = и, КС е'З = К. С 63 )

Все проследующие результаты этой главы относятся к моделированию деформирования подчиняющихся С62), С63) и аксиоме 2 упругопластических материалов, девиатор напряжений в которых не зависит от В частности установлено, при каких ограничениях основанная на определяющем соотношении аналога твердого тела Ривлина-Эриксена сложности 0 модель представ-

ляет собой теорию малых упругопластических деформаций.

Далее выделены модели упругопластических материалов, базирующиеся на сформулированных в пространстве напряжений-пластических деформаций формальных приближениях определяющих соотношений.

Если принять в качестве исходных уравнения теории малых упругопластических деформаций и считать справедливой аксиому 4, то, как установлено в работе, приходим к уравнениям деформационной теории пластичности в форме Генки-Шмидта.

Показано, что деформирование пластически несжимаемого подчиняющегося аксиомам 2-5 и критерию текучести (44) аналога твердого тела Ривлина-Эриксена сложности 1, линейные упругие свойства которого удовлетворяют условиям ( 63 ), а напряжения не зависят от истории изменения упругих компонент деформации, моделируется соотношениями (58) и зависимостями da = ЗК de , dS, .= 2G def ., ( 64 )

о о i J 1 J

F = I S*s?,- % (RiP)2. 0, F = % S. .S. .- I R2 = 0, ( 65 )

CljljC 'odijijco

•э d£? о def ep

def, = 4-l- Sf, = 4 —l- ( S. , - об, ), ( 66 )

. ~ гх - . - гт - 1 _ а/ .

и 2 дА и 2 ^ и и

где R?P= рР(1 Э > 0. К = р10 = рР(0), ( 67 )

га г р '0*30*3 '

со, = рР(1 )еУ„ а =0, ( 68 )

И *г гвр 1 л о

= /"§" сг^ = /|~ ), ( 69 )

е

I - второй инвариант девиатора тензора бесконечно малых

гер

пластических деформаций, модуль упругости второго рода. Здесь и далее нижний индекс "о" относит соответствующий объект (кроме сго и ео) к начальной поверхности нагружения.

Как установлено, теория ( 58 ), ( 64 ) - ( 69 ) в точности совпадает с теорией течения с изотропно-кинематическим упрочнением Кадашевича-Новожилова (1958г.).

Выбрав в качестве исходного определяющее соотношение аналога твердого тела Ривлина-Эриксена сложности 2, и, приняв такие же предположения как и для предыдущей модели, приходим к приведенному в работе варианту учитывающей кривизну траектории теории течения.

Построенный далее вариант учитывающей влияние скорости деформации теории течения несжимаемого в пластическом состоянии подчиняющегося аксиомам 4А, 5А и критерию текучести

С43) упруговязкопластического аналога твердого тела Ривлина-Эриксена сложности 1, напряжения в котором не зависят от истории изменения упругих компонент деформации и от связанных с произведением тензоров особенностей тензорного пространства, линейные упругие свойства которого удовлетворяют условиям ( 63 ), а коэффициенты физического уравнения для 8 которого определяются только 12 и включает соотношения

С 58 ), С 64 )-( 66 ) и С 69 )1"в. Причем в С 65 )-С 66 ) Е?рСО= > о, = а?РС1} =

= Р. • о. ■ УТ р- ( 70 3

Для приведенных здесь теорий течения начальная и последующие поверхности нагружения представляют собой сферы в девиаторном пространстве напряжений. При этом выполняются основные следствия постулата Друкера.

В седьмом разделе разработана классификация теорий простых твердых деформируемых материалов, предложен использующий результаты диссертационной работы подход к выбору и конкретизации описывающей поведение того или иного наблюдаемого в природе материала модели, дан анализ этапов конкретизации последней, приведены примеры обоснованного выбора базовых опытов, отмечены некоторые преимущества аксиоматически построенных теорий по сравнению с феноменологическими моделями с точки зрения их использования в приложениях, сформулирована общая теория процессов нагружения простых материалов, построены модели пропорционального нагружения тел с упругоплас-тическим поведением, выполнен включающий расчеты детальный теоретический анализ реакции изотропных упругопластических континуумов на пропорциональные нагружение и деформирование, дано сопоставление теоретических результатов с опытами.

В частности, отмечено, что развитый в работе аксиоматический подход позволяет, как следует из изложенного в предыдущих разделах материала, рассматривать каждую модель как аппроксимацию некоторой более общей теории. При этом единым источником для построения всех моделей изучаемых твердых деформируемых тел являются простые по Ноллу твердые материалы. Отсюда естественно вытекает представленная на рисунке классификация, разработанная на основе теорий, построенных посредством последовательного наложения, как это сделано в диссертации, ограничений на свойства тела и его деформирова-

ние. Такая классификация позволяет охватить весь класс рассматриваемых здесь простых твердых деформируемых континуумов и, следовательно, является удобной для анализа существующих

Теория простых твердых деформируемых материалов Сконечные деформации, произвольный вид анизотропии, пространство напряжений-деформаций)

Теория упругости

Теория вязко-упругости

Теория упруго-пластичности

Теория вязкоупруго-вязкопластичности

Теория материалов с деформационным упрочнением

Теория материалов с длительной "затухающей'1 памятью формы траектории

Теория материалов диф-ферен-циально-го типа

Теория материалов не обладающих памятью формы траектории

Теория материалов диф-ферен-циально-го типа

Теория материалов с длительной затухающей памятью по ( и I

Теория конечных деформаций изотропных материалов

Теория бесконечно малых деформаций изотропных материалов

Г

Теория упруго-вязкопластичности

Теория бесконечно малых деформаций изотропных материалов в пространстве напряжений-неупругих деформаций

Иные теории

Теория течения Кадашевича-Новожилова (1938г.)

Иные теории

Теория малых упруго-пластических деформации

Теория Генки-Шмидта

Теория Пзжины С 1963г.)

Иные теории

моделей,конструирования новых теорий, предсказания неизвестных в настоящее время видов поведения, а также для расположения моделей в виде иерархии по уровню сложности реакции материала на деформирование. Для полноты анализа в классификацию включены, помимо упругопластических и вязкоупруго-вязкопластических, и развитые в рамках аксиоматического подхода в работах других авторов упругие и вязкоупругие модели.

Предполагая, что градиент деформации полностью определяется процессом нагрухения, построена общая теория простых твердых деформируемых континуумов для таких процессов. Дано определение пропорционального нагрухения и строго доказано, что в этом случае тензор деформаций произвольного простого тела с упругопластическим поведением является функцией тензора напряжений. Сконструированы определяющие соотношения простого изотропного континуума. Выполнен включающий расчеты детальный теоретический анализ реакции изотропных тел с упругопластическим поведением на пропорциональные активные нагружение и деформирование. Установлено, что разработанные модели предсказывают ряд не описываемых классическими теориями упругопластичности эффектов. Сопоставление с экспериментами показало полную адекватность моделирования построенными в диссертации теориями поведения целого ряда наблюдаемых в природе изотропных упругопластических материалов при пропорциональных активных нагружении и деформировании.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В работе в рамках рациональной механики континуума на основе теории простых материалов Нолла сформулировано и развито новое научное направление в механике деформируемого твердого тела, связанное с аксиоматическим построением структуры широкого класса удовлетворяющих современному уровню физической обоснованности и математической строгости моделей различной степени сложности, позволяющих с необходимой точностью не только описать, но и предсказать поведение большой совокупности подчиняющихся принципу образца наблюдамых в природе упрочняющихся упругопластических и вязкоупруговязкопластических материалов в широком диапазоне изменения условий их деформирования.

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Для произвольных деформаций и типов симметрии свойств тел разработана включающая удобные для специализации общие теории определяющих соотношений сплошных сред дифференциального типа и континуумов с длительной затухающей по времени памятью общая теория определяющих соотношений простых упрочняющихся твердых материалов с упругой областью и вязкоупруговязкопластическим поведением, аппроксимацией которой при бесконечно медленном деформировании является общая теория определяющих соотношений простых упрочняющихся

твердых материалов с упругой областью и упругопластическим поведением.

2. В рамках общей теории простых упрочняющихся упруго-пластических материалов с упругой областью введена и формализована концепция "затухающей" памяти формы траектории, что позволило для произвольных активных процессов,величин деформаций и типов симметрии свойств тел сформулировать удобные для специализации общие теории определяющих соотношений континуумов не обладающих памятью формы траектории, с длительной "затухающей" памятью и дифференциального типа.

3. Посредством наложения ограничений на процессы деформирования и учета следующих из опытных данных или не противоречащих последним свойств наблюдаемых в природе материалов развиты методы специализации общих определяющих соотношений выделенных в диссертации упрочняющихся вязкоупруговязкопластических и упругопластических континуумов, с использованием которых в виде детальной иерархии по уровню сложности реакции материала на деформирование в пространствах напряжений-деформаций и напряжений-неупругих деформаций построен целый ряд физических уравнений, моделирующих поведение широкого класса сплошных сред в большом диапазоне изменения условий их деформирования.

4. На основе использования полученных результатов в рамках теории бесконечно малых деформаций для упрочняющихся изотропных упругопластических и упруговязкопластических материалов дифференциального типа:

аЗ в пространстве напряжений-неупругих'деформаций сформулированы позволяющие описать изменение размеров, положения и формы поверхностей нагружения энергетические критерии текучести, установлены условия выполнения ассоциированного закона течения, а также принятия начальной и последующими поверхностями нагружения сферической формы в девиаторном пространстве напряжений;

б) в пространствах напряжений-деформаций и напряжений-неупругих деформаций строго построен ряд удобных для использования в приложениях новых и совпадающих с известными феноменологическими моделями теорий, которые в общем случае основаны на тензорно нелинейных определяющих соотношениях, учитывают неупругую сжимаемость материала, зависимость упругих свойств от истории изменения неупругих деформаций и т.п.

5. Полученные данные, а также известные результаты позволили сконструировать основанную на специализации свойств тел и процессов их деформирования классификацию моделей простых твердых деформируемых континуумов, включающую упругие, вязкоупругие, упругопластические и вязкоупруговязкопластические теории.

6. Предложен основанный на разработанной в диссертации иерархии моделей подход к выбору и конкретизации теории, описывающей поведение того или иного наблюдаемого в природе материала. Приведены примеры обоснованного выбора базовых опытов для конкретизации построенных в работе определяющих соотношений. Установлены преимущества аксиоматически сконструированных теорий по сравнению с известными моделями с точки зрения их использования в приложениях.

7. Анализ построенных моделей позволил предсказать ряд связанных с влиянием пути и временной истории его прохождения эффектов, строго обосновать основные гипотезы и области применимости некоторых широко распространенных в приложениях теорий.

8. Сопоставление данных теоретического анализа с экспериментами для пропорциональных активных нагружения и деформирования показало полную адекватность описания предложенными моделями поведения целого ряда наблюдаемых в природе изотропных упругопластических материалов.

9. Результаты исследования дают возможность в некоторых случаях упростить выбор базовых опытов и уменьшить затраты на моделирование, в первую очередь при описании эффектов поведения материалов высшего порядка малости; они позволяют наметить направления развития новых экспериментальных методик по изучению механического поведения материалов, выбрать определяющие соотношения с оптимальной точностью описывающие реакцию того или иного наблюдаемого в природе материала в том или ином диапазоне изменения условий его деформирования.

Основные публикации по материалам диссертационной работы-.

1. Лепихин П.П. Напряженно-деформированное состояние двухслойной цилиндрической оснастки при нагружении импульсным нормальным давлением синусоидальной формы //Вопросы механики деформируемого твердого тела.- Харьков: ХАИ, 1979,- Вып.1.

- С.35-40.

2. Лепихин П. П. Решение динамической задачи для двухслойного

толстостенного цилиндра // Там же, - С. 55-60.

3. Лепихин П. П. Теоретическое и экспериментальное исследование взаимодействия двухслойных упругих цилиндров с волной давления в жидкости //Проблемы прочности.-1981.-N7.-С. 14-18.

4. Лепихин П. П, Задача нестационарной гидроупругости для системы двух упругих коаксиальных цилиндров // Проблемы прочности. - 1981.- N8,- С.49-52.

5. Лепихин П. П. Нестационарная гидроупругость систем коаксиальных цилиндрических и центрально-симметричных сферических оболочек // Вопросы механики деформируемого твердого тела.- Харьков: ХАИ, 1981.- Вып.2.- С.17-23.

6. Алпаидзе 3.Г., Лепихин П. П. Методика измерения больших упругопластических деформаций динамически нагруженных пластин и оболочек // Проблемы прочности.-1983.-N6.-С. 32-38.

7. Лепихин П.П., Сторожук В.Н., Афендули К.П., Полешко А.П. Установка для исследования нестационарного взаимодействия конструкций с жидкостью // Проблемы прочности.-1986. -N2. -С. 118-121.

8. Лепихин П. П. .Сторожук В.Н.,3еленюк Н. И. Экспериментальное исследование распределения нестационарного давления в замкнутой гидравлической камере// Проблемы прочности. -1986.-N9.-0.104-107.

9. Лепихин П. П. Физические уравнения вязкопластичности при сложном динамическом нагружении // Проблемы прочности. -1988. - N1.-0.65-69.

10. Лепихин П.П. Динамическая теория пластичности, учитывающая эффекты сложного нагружения// Обработка металлов давлением в машиностроении. - Харьков: ХАИ.-1989.- Вып.25.- С. 3-6. И. Лепихин П.П. Теория течения, учитывающая эффекты сложного динамического нагружения // Проблемы прочности.- 1989.-N1.- С. 51-54.

12. Лепихин П. П. Моделирование упругопластических процессов деформирования по траекториям в виде двухзвенных ломаных // Проблемы прочности. - 1989.- N7. - С. 7-12.

13. Лепихин П.П. К вопросу моделирования упрочнения в теории течения // Проблемы прочности.- 1989.- N12. - С.44-47.

14. Лепихин П.П. К выбору модели для описания динамического процесса упруго-пластического деформирования // II Респ. семинар "Динамическая прочность и трещиностойкость конструкционных материалов" (Киев, сент. 1988 г.): Сборн.

материалов. - Киев: КВТИУ, 1989. - С.118-122.

15. Лепихин П. П., Жураховский С.В., Иващенко К. Б. Закономерности пробивания пластин слабодеформируемыми длинными стержнями // Проблемы прочности, - 1993.- N10,- С. 63-70.

16. Лепихин П. П. Теоретическое построение определяющих соотношений простых начально изотропных неупругих твердых материалов. Конечные деформации / АН Украины. Ин-т проблем прочности. - Препр. - Киев, 1993.- 37 с.

17. Лепихин П. П. Теоретическое построение определяющих соотношений простых начально изотропных неупругих твердых материалов. Бесконечно малые деформации / HAH Украины. Ин-т проблем прочности,- Препр,- Киев, 1994.- 32 с.

18. Лепихин П. П. Физические уравнения динамической теории пластичности при сложном динамическом нагружении / Институт проблем прочности АН УССР. Киев: 1987.- 25 с.- Деп. в ВИНИТИ 09.01.87. N207-B87.

19. Лепихин П.П. Моделирование упрочнения в процессах обработки материалов давлением" //Научно-техническая конференция "Прогрессивные процессы обработки материалов давлением" (Гомель, окт.1989 г.):Тез.докл.-Минск: БелНИИНТИ, 1989.- С.51-52.

20. Лепихин П. П. К выбору модели для описания некоторых процессов обработки металлов давлением // Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование технологических процессов обработки материалов давлением" (Пермь, июнь 1990г.): Тез. докл.- Пермь: ПВВКИУ, 1990.- С. 98-99.

21. Лепихин П. П. К вопросу моделирования .динамических процессов деформирования начально изотропных материалов // 3 Республ. семинар "Динамическая прочность и трещиностойкость конструкционных материалов при однократном импульсном нагружении" (Киев окт. 1991 г.): Тез. докл. - Киев: 0НТИ ИПП АН Украины, 1991.- С. 36.

22. Лепихин П. П. Метод построения физических уравнений, описывающих динамические процессы деформирования начально изотропных неупругих материалов // Там же.- С.37.

23. Лепихин П. П. Теоретическое определение области применимости включающего функции частного случая теории упругопластических процессов Ильюшина // Научное совещание "Термовязкоупругопластические процессы деформирования в элементах конструкций" (Канев, май 1992 г.): Тез. докл.-Киев: ПУ ИЭ АН Украины, 1992.- С.46.

24. Лепихин П. П. Теоретическое определение области применимости некоторых теорий неупругости //IV Симпозиум "Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии" ССевастополь, июнь, 1992г.): Тез. докл.- Киев: ОНТИ ИПП АН Украины, 1992.- С. 43-44.

25. Лепихин П. П. К вопросу моделирования остаточных напряжений, возникающих в результате неупругого изотермического деформирования // 4 Межреспубликанский симпозиум "Остаточные напряжения: моделирование и управление" СПермь, июнь-июль 1992 г.): Тез. докл. - Пермь: ППИ, 1992,- С. 41-42.

Лепихин П.П. Структура определяющих соотношений вязкоупруго-пластического состояния материалов. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела, Ин-т проблем прочности HAH Украины, Киев, 1997. Защищается 45 научных публикаций, содержащих разработку на основе теории простых материалов Нолла в рамках рациональной механики континуума аксиоматического подхода к построению структуры физически обоснованных и математически строгих определяющих соотношений различной сложности, моделирующих поведение широкого класса упругопластических и вязкоупруговязкопластических материалов в большом диапазоне изменения условий их деформирования.

Lepikhin P.P. The structure of the constitutive equations for viscoelastoplastic behaviour of materials. The thesis for the Doctor of Science in Physics and Mathematics scientific degree in speciality 01.02.04 - Mechanics of Deformable Solids, Institute for Problems of Strength of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 1997. 45 scientific works are defended, which contain axiomatic approach to the development of the constitutive equation structure based on Noll's theory of simple materials in framework of the rational continuum mechanics. These physically justified and mathematically rigorous constitutive equations model the behaviour of the wide class of the elastoplastic and viscoelasticviscoplastic materials under the highly variable conditions of their deformation. Ключов1 слова:

рац1ональна механ1ка, npocTi матер1али, визначалып сп!вв1дношення, структура, теор1я пружнопластичност1, теор1я в'язкопружнов'язкопластичност1, акс1оматичний п!дх1д.