Развитие термомеханических методов математического моделирования динамических и тепловых процессов в деформируемом твердом теле тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ
|
Корнеев, Сергей Александрович
АВТОР
|
||||
|
доктора технических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Омск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2004
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.06
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Введение.
1. Обзор термодинамических методов получения определяющих соотношений и актуальных проблем современной термодинамики.
1.1. Методы, использующие понятие неравновесной энтропии.
1.1.1. Построение определяющих соотношений на основе неравенства Клаузиуса-Дюгема.
1.1.2. Построение определяющих соотношений на основе функции рассеяния энергии.
1.2. Методы, исключающие понятие неравновесной энтропии.
1.2.1. Построение определяющих соотношений на основе
Ф принципа локального термодинамического равновесия.
1.2.2. Построение определяющих соотношений на основе ф неравновесной температуры.
1.3. Проблема бесконечной скорости распространения тепловых возмущений.
1.3.1. Теория вязкоупругих текучих сред Навье-Стокса-Фурье.
1.3.2. Теория Максвелла-Каттанео-Лыкова.
1.3.3. Расширенная необратимая термодинамика.
1.3.4. Обобщённая кинетическая теория Больцмана.
1.3.5. Рациональная термодинамика.
1.3.6. Термодинамика сплошных сред, основанная на понятии функции рассеяния энергии.
1.3.7. Выводы.
Многие ответственные конструкции работают в трудных условиях, подвергаясь интенсивным тепловым и силовым воздействиям, которые зачастую быстро меняются во времени. Современная техника и технология предъявляют высокие требования к реологической модели твёрдого тела. Необходимо, чтобы модель реально отражала поведение тела при статическом и динамическом нагружениях. В связи с этим в практику расчёта конструкций и технологических процессов всё чаще внедряются математические модели, которые учитывают всё более «тонкие» свойства конструкционных материалов. Во многом этому способствует бурное развитие вычислительной техники и вычислительной математики, которые позволяют доводить решение сложных нелинейных динамических задач до конечного численного результата.
На работоспособность и долговечность теплонапряженных конструкций влияет множество взаимосвязанных факторов, которые являются предметом изучения различных разделов механики: теории термоупругости, теории пластичности и ползучести, теории теплопроводности, термодинамики и др. Однако особенности работы теплонапряженных конструкций требуют, как правило, совместного рассмотрения упомянутых разделов механики и планомерного их применения с единых общих позиций. Такой путь позволяет квалифицированно ориентироваться во взаимосвязанных вопросах, возникающих при решении сложных прикладных задач термопрочности. К таким вопросам, прежде всего, следует отнести вопросы постановки и решения краевых задач по определению температурного и напряжённо-деформированного состояний элементов конструкций с учётом неупругого поведения материалов при переменных режимах тепловых и силовых воздействий для оценки работоспособности теплоиапряжённых конструкций и выбора оптимальных режимов проведения технологических процессов.
Согласно формуле специальности «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры» одной из основных задач является изучение закономерностей механических явлений и связанных с ними тепловых процессов, осуществляемое с целью создания научных основ проектирования новых поколений машин, приборов, аппаратуры и технологий. В областях исследования, относящихся к указанной специальности, — механике материалов, математическом моделировании поведения технических объектов и их несущих элементов при статических, динамических и тепловых воздействиях — на текущий момент времени актуальными являются следующие основные задачи: 1) всесторонний охват общего случая больших деформаций с целью повышения точности расчётов теплоиапряжённых конструкций и технологических процессов, 2) теоретическое описание скоростного упрочнения материалов для практического использования эффекта превышения динамического предела текучести над статическим пределом текучести; 3) выяснение механизма тепловой инерции с целью учёта конечной скорости распространения тепловых возмущений при расчёте быстропротекающих процессов. Поясним коротко содержание перечисленных задач и покажем их важность.
Градиент деформации определяется формулой и актуальной конфигурациях соответственно. По формуле полярного разложения Коши где R - сопутствующий деформации ортогональный тензор вращения, V и U - левый и правый тензоры чистого растяжения, являющиеся симметричными, положительно определёнными тензорами [121, 212]. Теорема разложения Коши утверждает, что деформацию, локально соответствующую F, можно получить, либо осуществляя чистое растяжение вдоль некоторых трех взаимно ортогональных направлений и последующий поворот этих направлений, либо осуществляя сперва тот же самый поворот, а затем те же растяжения, но вдоль соответствующих новых направлений (рис. В.1).
Рис. В. 1. Разложение деформации на растяжение и поворот: " а —элемент среды в отсчетной конфигурации; Ъ — элемент среды в актуальной конфигурации; с — элемент среды после деформации чистого растяжения из отсчетной конфигурации и до поворота в актуальную конфигурацию; d — элемент среды после поворота из отсчетной конфигурации и до деформации чистого растяжения в актуальную конфигурацию
F = RU = VR,
Линейный тензор деформации = 0.5[Н + НТ) получается из тензора конечной деформации
Е = 0.$[н + нт +НТ-н) отбрасыванием нелинейных членов. Здесь Н = ди/дХ - градиент смешений и — х — Х (Н = F -1, где / - единичный тензор). При одноосном растяжении (сжатии) вдоль оси Xj, когда F = U -V, R = I, такое отбрасывание допустимо с погрешностью около 5 %, если только деформация Sj j = (/ -/0 )//0 не превышает примерно 10 % (рис. В.2).
Рис. В.2. Погрешность пренебрежения нелинейными членами при чистом растяжении (сжатии) стержня от длины /0 до длины /
При квазистатическом повороте, например, вокруг оси с направляющим ортом на некоторый угол ср градиент деформации ^ = i? =/coscp +£3^3(1 —С0Бф)+£з x/sincp, а U~V = I [121]. Поэтому, как и должно быть, тензор конечной деформации Е = 0, но линейный тензор деформации е = 0.5[r + RT)— I Ф 0. В результате при использовании закона Гука Т = XtrsI + 2це с линейным тензором деформации s (X, jj. - упругие постоянные Ламе) получаются отличные от нуля значения компонент тензора напряжений (рис. В.З). К примеру, для алюминиевого сплава АМцМ (Х.=45.9 ГПа, ц=27 ГПа, а5=50
МПа [157]) интенсивность напряжений си - девиатор тензора напряжений) достигает предела текучести gs при повороте на угол, чуть меньший двух с половиной градусов (рис. В.4). В действительности же тензор напряжений должен быть равен нулю. Данное обстоятельство настоятельно требует методичного рассмотрения общего случая конечных деформаций. ф о
Ту, ГПа -0.1
-0.2
-0.3
Г33 Tu = ■T22 0 1
2 3
Ф, град
Рис. В.З. Значение компонент тензора напряжений в приближении малых деформаций при чистом вращении для алюминиевого сплава АМцМ
Ф, град
Рис. В.4. Зависимость интенсивности напряжений от угла поворота в приближении малых деформаций при чистом вращении для алюминиевого сплава АМцМ
Переход к описанию свойств материалов при конечных деформациях сопряжён с большими трудностями. Некоторые из них можно проиллюстрировать на примере модели идеально пластической среды Прандтля-Рейсса. В приближении малых деформаций уравнения Прандтля-Рейсса можно представить в виде [95]
Т - ktrel + 2ц или в другой, эквивалентной форме записи Т = Tdrel + 2ц
B.l)
-#[|trf2
J trT
B.2)
Здесь точка сверху указывает на полную (материальную или субстанциональную) производную по времени, //(х) - функция Хевисайда:
1 при jc > О, [О при х < 0.
Формальное обобщение определяющих соотношений (B.I), (В.2) и других подобных им соотношений (например, для упрочняющегося материала) для больших деформаций в ряде случаев получают простой заменой материальных производных Т, ё коротацион-ными производными (производными Олдройда, Коттера-Ривлина, Яуманна-Нолла и т.д.) некоторых тензорных мер напряжений и деформаций, которые удовлетворяют принципу материальной объективности. Выбор коротационных производных может быть осуществлён бесчисленным множеством способов. Например, в монографии [95] используются два обобщения: в первом обобщении используется замена
S ->7\ S Ё -»£, (В.З) во втором обобщении привлекается замена (знак А—> В означает, что А заменяет В)
Т-+Т, ТИ ->T,D->£,
В.4) где
S = (detF)F-1 • Т • (jF1 ]Г
- второй тензор напряжений Пиола-Кирхгофа (энергетический тензор напряжений [121]),
ТИ =T-W Т + Т W + TtrD
- объективная производная Хилла,
D = 0.5(v x+V\T),W = 0.5(v v- V vT)
- тензор скоростей деформации и вихревой тензор соответственно.
К сожалению, указанные (и подобные им) замены зачастую приводят к сильно отличающимся результатам [164]. Так в задаче простого сдвига (рис. В.5) xl = Хх + X2Xgy, х2=Х1ьхъ= Х3, где Х{, Xj - декартовые координаты точки среды в отсчётной и актуальной конфигурациях соответственно. Получающиеся при этом результаты свидетельствуют о существенном (количественном и качественном) отличиях (рис. В.6). Поэтому трудно отдать предпочтение какому-то одному из обобщений. t <—>
Рис. В.5. Деформация простого сдвига
T,f, Па
-1.0
40 20 0
-20
-40
1.0
0.-5 Т\уг Т22 =г33=0
0
-О.Ь
20
10
1
1 .—^12 ти = т. / з=0
О 20 40 U с 60 0 20 а) в приближении малых деформаций
Г«, ГПа Ту-, МПа
40 /,с 60
0.4 1 ~ ^22 = ^33 ^ 80 /
0.3 60 7-12
0.2 40
0.1 20 Тп = Т23=0 /23
20
0 20 40 с 60 О б) с учётом больших деформаций по обобщению (В.З)
Ту, КПа 7^-, МПа
40 с 60 т
Г33 =0 7 41 т 20 40 t,c
I/22
60
30
20
10
- \
Tu=7 У 23=0 с
60
0 20 40 в) с учётом больших деформаций по обобщению (В.4) Рис. В.6. Расчётные значения компонент тензора напряжений при простом сдвиге (за первые 60 с угол сдвига у изменяется на 6°) по модели Прандтля-Рейсса при Х,=45.9 ГПа, |! =27 ГПа, ст5=50МПа
Известны и другие, альтернативные подходы, основанные на различных способах разложения полной деформации на упругую и пластическую составляющие [151, 164, 228, 252]. В этом случае также возникают сложные вопросы, требующие детального изучения.
Вторая из отмеченных актуальных задач связана с эффектом скоростного (вязкого) упрочнения материалов. Как учит опыт, у многих материалов динамический передел текучести значительно превышает статический предел текучести (у низкоуглеродистых сталей — в 2-3 раза [141, 176]). При попытке описать данный эффект возникают серьёзные трудности, которые не удаётся преодолеть традиционными методами динамической теории пластичности. Вызвано это главным образом тем обстоятельством, что «зависимость поверхностей текучести от реологических явлений1 приводит к некоторой неопределённости, так как неизвестны ни расположение мгновенной поверхности текучести в пространстве напряжений, ни местонахождение точки, в которой достигается пластическое состояние. Направление гиперплоскости, касательной в рассматриваемой точке к мгновенной поверхности текучести, тоже неоднозначно» [176]. Согласно [176] впервые на эти трудности обратили внимание Нахди и Мёрч в 1963 г. Обзор специальной научной литературы, посвящённой высокоскоростному взаимодействию тел, показывает, что решение данной задачи пока не найдено (см., например, [39, 70, 214, 215, 231]). Описаиие эффектов скоростного упрочнения конструкционных материалов, особенно при больших деформациях, требует новых подходов, опирающихся на классическую теорию пластичности и основанных на фундаментальных законах механики сплошных сред.
Практическую значимость третьей актуальной задачи термомеханики, касающейся проблемы бесконечной скорости распространения тепловых возмущений (теплового парадокса), можно пояснить на примере распространения звуковых волн в инертных газах. Как видно из рис. В.7 (подробности в разд. 1), теория Эйлера для невязкого и нетеплопроводного газа даёт удовлетворительные результаты только на низких частотах. Учёт вязкости и теплопроводности газа улучшает совпадение теоретических и опытных данных на средних частотах. Однако на высоких частотах расхождение всё ещё остаётся
1 Под реологическими явлениями понимаются эффекты, зависящие от масштаба времени (из примечания редактора перевода [176]). В их число входят все вязкие эффекты скоростного упрочнения, в частности, эффект превышения динамического предела текучести над статическим пределом текучести. значительным (согласно опытным данным 1 /а 0.5 при 1/со —> 0). В качестве главной причины такого несоответствия указывается на тепловой парадокс классической теории теплопроводности [259]. Учёт тепловой инерции повысит точность рассчитываемых нагрузок на летательные аппараты, движущихся с гиперзвуковыми скоростями. То же самое касается описания интенсивных импульсных воздействий и высокоскоростных взаимодействий твёрдых тел (взрыв, механический и тепловой удар, распространение ударных волн и т.п.), поскольку с точки зрения теории определяющих соотношений газы, как материалы с термовязкоупругими свойствами, являются частным случаем деформируемых твёрдых тел, проявляющих термовязкоупругопластические свойства. Данная проблема требует всестороннего (феноменологического, молекулярно-кинетического и экспериментального) изучения.
10
1 /а 1
0.1
0,010 2 4 6 8 \/w 10
Рис. В.7. Зависимость безразмерной фазовой скорости звука а от безразмерной частоты со для инертных газов
Такова в общих чертах краткая характеристика основных задач исследования. При их решении возникают дополнительные (общие и частные) вопросы, ответы на которые зачастую имеют самостоятельное значение для разных научных дисциплин (рис. В.8). Одним из значимых и наиболее сложных вопросов является вопрос термодинамического описания локально-неравновесных процессов, без ответа на который невозможно подойти к решению связанных термомеханических задач. В свою очередь, данный вопрос требует рассмотрения ряда внутренних вопросов современной термодинамики.
1 1 / 1 1 1 г—"—и—тг
Г1 1 - теория Эйлера;
2 - теория Навье-Стокса-Фурье;
1 о 1 - экспериментальные данные 1 I
Рис. В.8. Общее содержание основных задач исследования
Механика сплошной среды является динамично развивающейся наукой. Лежащие в её основе фундаментальные законы природы применимы к описанию поведения разнообразных сред. Чтобы замкнуть систему уравнений для конкретной сплошной среды, нужны определяющие соотношения. Примером соотношений, успешно применяемых при решении многих практически важных задач, могут служить уравнения состояния классической теории упругости и пластичности, классической гидрогазодинамики и теории теплопроводности. Вне границ применимости классических теорий (конечные деформации, быстропротекающие процессы нагружения и теплообмена и т.п.) нужны более точные определяющие соотношения. Чтобы получить такие соотношения, наряду с экспериментальными исследованиями необходимы общие теоретические подходы, которые отделяли бы физически допустимые определяющие соотношения от физически неприемлемых. Основы таких подходов заложены в работах А.А. Илыошина, Л.И. Седова, А.И. Лурье, У. Нолла, К. Трусделла (см., например, [68, 121, 189, 212, 261]).
Став одним из самостоятельных разделов механики сплошных сред, теория определяющих соотношений непрерывно развивается. Совершенствуется математический аппарат, расширяется круг изучаемых явлений, уточняются формулировки ряда физических положений, предлагаются новые, иногда радикальные обобщения [9, 32, 52-54, 91, 93, 103, 132, 139, 154, 162, 164, 180, 208, 216, 228, 243, 258, 259]. Во многом это связано с тем, что механика сплошной среды представляет собой обширную и очень разветвлённую пауку, включающую теории упругости, вязкоупругости, пластичности и ползучести, гидроаэродинамику, динамику многофазных, химически реагирующих сред и т.п. Поэтому сразу уложить в единые рамки всё разнообразие свойств материальных тел очень трудно. Более доступным представляется планомерное продвижение к цели за счёт постепенного усложнения моделей сплошных сред, охватывающих каждый раз более широкий круг явлений.
Одним из методов прямого построения определяющих соотношений является последовательное применение постулата макроскопической определимости [68]. Физическая трактовка этого постулата предельно ясна. Все трудности проистекают от чрезвычайной сложности математической структуры соответствующих функционалов. Поэтому при выводе определяющих соотношений приходится прибегать к упрощающим допущениям. Обоснованием указанных допущений служат прямые экспериментальные исследования и/или общие теоретические положения, хорошо зарекомендовавшие себя па практике и в смежных областях теоретической физики. Например, в курсе механики сплошной среды А.А. Ильюшина [68] привлекаются методы статистической механики, поясняющие не только вывод законов сохранения массы, импульса и энергии, но и причины возникновения и идеи введения новых макроскопических характеристик среды. При этом в [68] отмечается, что всякий раз для более полного понимания вводимых феноменологических понятий и величин целесообразно давать им кинетическое обоснование, устанавливая взаимосвязь с их статистическими аналогами.
При моделировании поведения реальных материалов следует учитывать важное замечание А.Ю. Ишлииского о том, что в механике сплошной среды одним из главных понятий является понятие силы (тензора напряжений) [72]. При решении задач, не связанных существенным образом с теплообменом и другими физическими явлениями немеханического характера, силовой подход должен быть основным. Примером такой задачи может служить изотермический процесс квазистатического деформирования упругопластического твёрдого тела. При корректном (с точки зрения механики) разложении тензора напряжений на упругую и диссипативную составляющие все термодинамические ограничения заведомо будут выполняться, даже если они явно не формулируются или просто неизвестны.
В настоящее время широкое распространение получил термодинамический метод построения определяющих соотношений [20, 32, 91, 121, 132, 154, 212]. Математический аппарат данного метода удобен, а схема его применения универсальна. Отличия проявляются главным образом при конкретизации параметров состояния и выборе соответствующего аналога второго начала термодинамики (диссипативного неравенства). Как правило, диссипативное неравенство постулируется, а параметры состояния задаются. Благодаря этому соблюдается математическая и физическая корректность метода. Однако разнообразие известных и вновь предлагаемых диссипативных неравенств столь велико, что зачастую трудно понять, какое из них действительно является эквивалентом второго начала термодинамики. Ознакомившись с достаточным числом опубликованных работ, посвященных развитию термодинамического метода, становится очевидным, что свойства энтропии в неравновесных условиях ещё мало изучены. Поэтому теоретическое и экспериментальное исследование локально-неравновесных процессов в сплошных средах является одной из актуальных задач современной термодинамики.
Практически сразу после становления классической термодинамики равновесных процессов начались интенсивные исследования по изучению неравновесных термодинамических систем [46, 48]. В последнее время интерес к данной тематике существенно возрос [42, 216]. Особое внимание уделяется построению локально-неравновесных теорий, приводящих к гиперболическому уравнению теплопроводности [154, 202, 203, 247]. Связано это как с логикой внутреннего развития науки, так и с потребностью промышленности в новых высокоэффективных технологиях. Устранение парадокса бесконечной скорости распространения теплоты может существенно повысить точность расчётов быстропроте-кающих процессов, например, нестационарных волн химического превращения, когда распространение пламени от начального очага реакции существенно зависит от скорости пространственного перераспределения выделяющейся теплоты и образующихся активных центров [126]. Уточнённые уравнения играют важную роль при описании ударных волн в твёрдых телах, при исследовании сверхзвуковых течений в газах, особенно в тех случаях, когда скорость течения больше или равна скорости распространения тепловых возмущений. Фактически проблема бесконечной скорости распространения теплоты является одним из узких мест современной термодинамики. При решении этой задачи возникают серьёзные трудности, на которых оттачиваются известные и проверяются новые физические предположения о свойствах энтропии в неравновесных условиях. Поэтому получаемые результаты имеют значение не только для описания процессов теплообмена, но и для построения уточнённых определяющих соотношений термодинамическим методом.
В настоящее время считается общепринятым, что классическая термодинамика Клау-зиуса-Кельвина строго применима только для равновесных и локально-равновесных состояний. Но, с другой стороны, основные постулаты данной теории — второе начало термодинамики (постулаты Клаузиуса и Кельвина) и принцип эквивалентности между теплотой и работой — справедливы для любых состояний термодинамической системы. Налицо явное несоответствие в общности исходных посылок и получаемых из них выводов. Чтобы устранить указанное несоответствие, надо отказаться от ряда упрощающих допущений, ограничивающих общность классической теории, и объединить в одном исследовании физические идеи и математические приёмы классической и современной термодинамики. На этом пути немаловажную роль может сыграть конкретизация следующего физического положения: если термодинамическую систему (индивидуальный объём среды) подвергнуть внешнему воздействию (приложить внешние силы или подвести теплоту от внешних источников), то у неё должен измениться хотя бы один из параметров состояния. Данное положение лежит в основе классической термодинамики, на его значимость для современной термодинамики обращается внимание в курсе механики сплошной среды Л.И. Седова [189].
Разработка новых и совершенствование существующих термомеханических методов моделирования определяющих соотношений невозможны без решения ряда внутренних вопросов современной термодинамики. Особенно тщательного анализа требуют понятия температуры и энтропии, существенно влияющие на развитие теории определяющих соотношений. Принципиально важным является всестороннее (феноменологическое, моле-кулярно-кипетическое и экспериментальное) обоснование физических положений, закладываемых в основу термодинамического описания.
Цель диссертационной работы: развитие термомеханических методов количественного описания статического (термоупругого, термоупругопластического) и динамического (термовязкоупругого, термовязкоупругопластического) поведения материалов с учётом больших деформаций, вязких эффектов скоростного упрочнения и конечности скорости распространения тепловых возмущений для повышения точности расчётов теплонапряжённых конструкций и технологических процессов.
Для достижения цели поставлены следующие задачи исследований:
1) построить общую феноменологическую теорию локально-неравновесных процессов в вязкоупругих сплошных средах (твёрдых, жидких и газообразных) за счёт отказа от упрощающих допущений, ограничивающих общность классической термодинамики Клаузиуса-Кельвина, и без привлечения физических положений, выходящих за рамки классических представлений;
2) не постулировать, а установить из первых принципов термодинамики общие свойства энергии, энтропии и меры нагретости (температуры) в локально-неравновесных состояниях вязкоупругих сплошных сред;
3) преодолеть тепловой парадокс, выяснив механизм, по которому в природе реализуется конечная скорость распространения тепловых возмущений;
4) получить термодинамически согласованные уравнения состояния нелинейной теории термоупругости;
5) разработать термомеханический метод построения определяющих соотношений вязкоупругопластических твёрдых тел при конечных и малых деформациях, основанный на принципах детерминизма (макроскопической определимости), локального действия, объективности поведения материалов и учитывающий специфические особенности пластически деформируемых твёрдых тел;
6) дать новым феноменологическим результатам достаточно полное молекулярно-кипетическое обоснование;
7) проверить полученные теоретические результаты, сопоставив их с экспериментальными данными, содержащимися в научной литературе, и существующими теориями, которые нашли широкое распространение.
Перечисленные задачи исследования ограничены классом вязкоупругих и вязкоупругопластических материалов, состояние которых в данной точке среды и в данный момент времени определяется конечным числом параметров (включая внутренние (структурные) параметры состояния), берущихся в той же точке среды и в тот же момент времени. Под упругостью в чистом виде понимается свойство тел восстанавливать свою первоначальную форму после снятия внешних нагрузок. Под вязкостью понимается свойство материалов сопротивляться деформации, которое проявляется в динамических процессах и исчезает (не наблюдается) в квазистатических процессах деформирования. Под пластичностью понимается свойство материалов сопротивляться деформации, которое проявляется в квазистатических и динамических процессах в равной степени. Такая качественная характеристика отличительных особенностей упругости, вязкости и пластичности оптимальным образом приспособлена для термомеханического описания рассматриваемого класса вязкоупругопластических сплошных сред (подробнее см. разд. 2.3).
В первой главе даётся обзор термодинамических методов получения определяющих соотношений и подробно рассматривается проблема бесконечной скорости распространения тепловых возмущений. Поскольку реальные тела проявляют большое разнообразие свойств в зависимости от своей физической структуры и типа внешних воздействий, дать исчерпывающее описание всех разрабатываемых направлений во всей их глубине невозможно. Поэтому обзор ограничен теми термодинамическими подходами, в которых используется модель сплошной среды с конечным числом параметров состояния, и теми публикациями, которые способствуют пониманию существа ставящихся вопросов. Это допустимо, так как во многих цитируемых работах содержится описание других, более общих моделей, приводятся обширные библиографические ссылки.
Сначала рассматриваются термодинамические методы, использующие понятие неравновесной энтропии, свойства которой описываются диссипативным неравенством Клаузиуса-Дюгема и диссипативным неравенством Клаузиуса-Планка,-основанным на понятии функции рассеяния энергии. Основное внимание обращается на выбор списка параметров состояния. Ставится вопрос, почему в некоторых случаях для девиатора тензора напряжений Т пластической среды возникает двойное равенство вида
Затем приводятся термодинамические методы, исключающие понятие неравновесной энтропии. С наибольшими подробностями излагаются работы Мейкснера, который при построении локально-неравновесной термодинамики не допускает существования неравновесной энтропии, ссылаясь на слова Кирхгофа: «. понятие энтропии, которая может быть измерена, а следовательно, и определена только в обратимых процессах, не применимо к необратимым процессам».
Проблема бесконечной скорости распространения тепловых возмущений рассматривается с позиций теории Максвелла-Каттапео-Лыкова, расширенной необратимой термодинамики, обобщённой больцмановской кинетической теории, рациональной термодинамики и термодинамики сплошных сред, использующей функцию рассеяния энергии.
Кратко излагается содержание руководящих идей. Действие классических и уточнённых уравнений иллюстрируется на двух задачах (по распространению звуковых колебаний и структуре ударных волн в инертных газах), которые используются в научной литературе для тестирования новых подходов к данной проблеме.
Вторая глава посвящена анализу основных положений термомеханики сплошных сред: температуре, энтропии, функции рассеяния энергии, описанию состояния сплошных сред конечным числом параметров, кинематике пластических сред.
Изложение начинается с анализа понятий температуры и энтропии, которые занимают центральное место в термодинамике. Главная цель — выяснить, какие свойства указанных величин известны достоверно и не подвергаются сомнению. Обсуждаются существование температуры, общие положения термометрии, числовая характеристика эмпирической температуры, независимость от выбора системы отсчёта, нулевое начало термодинамики. Формулируются физические положения, которых достаточно для построения содержательной феноменологической теории, согласованной с существующими способами измерения температуры. Показывается, что известные из кинетической теории газов энтропия Гиббса, энтропия Больцмана и энтропия Клаузиуса лишь частично обладают свойствами, которыми наделяется неравновесная энтропия. В феноменологической термодинамике приходится говорить об энтропии Клаузиуса, Колемана, Грина-Линдсея, Мюллера и т.д., которые удовлетворяют разным неравенствам и имеют разные значения вектора потока и объёмного производства. Вопрос об их существовании является открытым. Если под вторым началом термодинамики понимать постулаты Клаузиуса и Кельвина, то достоверно установлено только то, что в равновесных условиях энтропия существует у вязкоупругих сред, а её величина возрастает при адиабатическом переходе из одного состояния глобального равновесия в другое такое же состояние.
В третьей главе развивается термодинамический метод Клаузиуса-Кельвипа для описания локально-неравновесных процессов в вязкоупругих сплошных средах дифференциального типа, набор параметров состояния которых содержит все временные, пространственные и смешанные производные от закона движения среды и закона изменения температуры заданного порядка. Два фактора — конечное число параметров состояния и вязкоупругие свойства среды — имеют принципиальное значение. Последнее ограничение обеспечивает термодинамическую обратимость квазистатических процессов. В результате получается, что классическая теория Клаузиуса-Кельвина является не термостатикой, как это обычно полагается, а термодинамикой в полном смысле этого слова. Область применимости уравнения Клаузиуса, составляющего основу классической термодинамики равновесных процессов, и вытекающих из него соотношений охватывает все возможные состояния вязкоупругих сплошных сред указанного типа.
Четвёртая глава посвящена дальнейшему развитию термодинамики локально-неравновесных процессов и теории определяющих соотношений вязкоупругих сплошных сред. Основные усилия сосредоточены на выводе общих определяющих соотношений для внутренней энергии, вектора теплового потока и тензора напряжений, на описании термоупругих свойств материалов (нелинейной теории термоупругости), на проблеме бесконечной скорости распространения тепловых возмущений. Особое внимание уделено термодинамическому описанию процессов диссипации энергии, выработке и всестороннему (феноменологическому, молекулярно-кинетическому и экспериментальному) обоснованию принимаемых физических положений. В заключение главы даётся описание вязкоупругих сплошных сред релаксационного типа (вязкоупругих сред с внутренними параметрами состояния) и анализируется физическая природа локально-неравновесной составляющей внутренней энергии. Ограничение на вязкоупругость среды (термодинамическую обратимость квазистатических процессов) используется для доказательства ограниченного числа термодинамических соотношений. Поэтому большая часть полученных результатов (главным образом, определяющие соотношения для внутренней энергии, вектора теплового потока и тензора напряжений при конечных деформациях и интенсивном теплообмене) применима также к вязкоупругопластическим средам без внутренних (структурных) параметров. Примерами таких сред могут служить концентрированные топлива, смазки, буровые и промывочные жидкости, пульпы, пласты, строительные растворы, пищевые и фармацевтические массы, наполненные ракетные топлива, некоторые сверхпластические материалы [38, 68, 115, 147].
В пятой главе дано термомеханическое описание вязкоупругопластических сред дифференциального типа с внутренними (структурными) параметрами (тензором необратимой деформации, параметрами упрочнения, начальной (физической) и деформационной (наведённой) анизотропии) при больших деформациях, сложном нагружении и интенсивном теплообмене. Фактически эта глава подводит итог проведённому исследованию и содержит, как частный случай, почти все ранее полученные результаты. Поэтому для неё был выбран стиль изложения, близкий к аксиоматическому. Вначале формулируются постулируемые положения (их обоснованию посвящены предыдущие главы), затем устанавливаются вытекающие из них следствия.
Отличительной особенностью предложенного подхода является то, что закон изменения необратимой (пластической) деформации и условия пластичности не назначаются, а выводятся из определяющих соотношений, описывающих тензор напряжений при пластическом и изопластическом режимах деформирования. Общий вид определяющих соотношений (с точностью до скалярных коэффициентов) устанавливается с помощью известных теорем об изотропных функциях благодаря усовершенствованной технике традиционного применения принципа объективности материалов.
Разработанный термомеханический метод моделирования определяющих соотношений иллюстрируется на примерах изотропных вязкоупругопластических сред в приближении малых деформаций. Полученные результаты согласуются с классической теорией пластического течения и расширяют возможности известных теорий вязкопластичности, используемых при постановке разнообразных прикладных задач.
Построен также термодинамический формализм, позволяющий описывать квазистатические и динамические процессы деформирования. Порядок его применения проиллюстрирован на ряде практически важных примеров.
Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается корректным применением математического аппарата, выбором в качестве исходных посылок общепризнанных физических положений: гипотезы сплошности, законов сохранения массы, импульса и момента импульса, принципа детерминизма (макроскопической определимости), принципа локального действия, принципа объективности поведения материалов, принципа эквивалентности между теплотой и работой (первого начала термодинамики), постулатов Кельвина и Клаузиуса (второго начала термодинамики), нулевого начала термодинамики, третьего начала термодинамики (тепловой теоремы Нернста), а также широко распространённого представления о поверхности текучести и хорошо зарекомендовавшего на практике разложения полной деформации на обратимую и необратимую составляющие. Теоретические зависимости по нелинейной теории термоупругости подтверждены общеизвестными экспериментальными данными. Разработанный для вязкоупругопластических сред термомеханический метод приводит к результатам, которые согласуются с результатами других авторов, в том числе, классическими. Термодинамическая теория локально-неравновесных процессов выдержала проверку на задачах, используемых в научной литературе для тестирования новых подходов к проблеме бесконечной скорости распространения тепловых возмущений. Новые феноменологические положения нашли исчерпывающее молекулярно-кинетическое обоснование.
Научная новизна основных результатов диссертационной работы. • Впервые в одном исследовании современный подход к понятиям теплоты и работы объединён с классическими представлениями о свойствах теплоты и работы. Введены понятия реакции среды на внешнее механическое и тепловое воздействие, с помощью которых решена задача по расширению классической термодинамики на локально-неравновесные процессы в вязкоупругих средах дифференциального типа за счёт снятия упрощающих допущений, ограничивающих общность теории Клаузиуса-Кельвина рамками равновесных и локально-равновесных процессов. Существование энергии и энтропии доказывается, а их свойства в локально-неравновесных условиях устанавливаются как следствия первых принципов термодинамики (принципа эквивалентности между теплотой и работой, нулевого и второго начала термодинамики в форме постулатов Клаузиуса и Кельвина). Для любых неравновесных состояний вязкоупругих сред дифференциального типа доказана справедливость уравнения Клаузиуса, составляющего основу классической термодинамики равновесных процессов. Предложено решение проблемы бесконечной скорости распространения тепловых возмущений. Всесторонне (включая кинетическую теорию) изучен вопрос существования термической энергии (локально-неравновесной составляющей внутренней энергии). Подтверждено, что наряду с диффузионным механизмом тепловой инерции в природе реализуется также объёмный механизм тепловой инерции. Получены общие зависимости нелинейной теории термоупругости, а также выражения для термоупругих характеристик изотропных материалов в широком диапазоне изменения температуры и давления окружающей среды. Сопоставлением с опытными данными показано, что в широком диапазоне температур и давлений поликристаллический алюминий является гиперупругим материалом с высокой точностью. Предложен термомеханический метод, позволяющий получать определяющие соотношения вязкоупругопластических сред при больших деформациях и скоростях их изменения в условиях интенсивного теплообмена. Представлена в общем виде и проиллюстрирована на конкретных примерах процедура вывода закона изменения необратимой деформации и критериев пластичности в пространствах напряжений и деформаций. Описаны условия, при которых имеют место критерии пластичности Трес-ка-Сен-Венана, Губера-Мизеса, Ишлинского-Прагера, Кадашевича-Новожилова и их обобщения, учитывающие влияние вязкости при динамическом деформировании. Указаны частные случаи, когда полученные определяющие соотношения вязкоупругопла-стической среды приводят к моделям вязкоупругих тел Фойгта, Кельвина и Максвелла. Усовершенствована техника традиционного применения принципа объективности поведения материалов, которая позволяет устанавливать общий вид определяющих соотношений с точностью до скалярных коэффициентов. Определён тип тензоров, характеризующих диссипативные свойства твёрдых и текучих сред. Разработан термодинамический формализм, описывающий поведение вязкоупругих и вязкоупругопластических сред (с конечным числом параметров состояния, в том числе, внутренних) в локально-неравновесных условиях. Предложены обобщающие понятия неравновесной температуры и неравновесной энтропии. Методика применения термодинамического формализма проиллюстрирована на практически важных примерах. Найдены конкретные выражения для обратимых и необратимых внутренних сил (по терминологии Г. Циглера), неравновесной температуры и неравновесной энтропии.
Научная значимость и практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты служат основой для разработки уточнённых моделей сплошных сред со сложными свойствами, совершенствования существующих и создания новых высокоинтенсивных технологий. Например, они могут быть полезны при определении термоупругих характеристик конструкционных материалов; при постановке краевых задач обработки металлов давлением, в том числе, в состоянии сверхпластичности; при разработке энергетических установок, летательных и химических аппаратов. Результаты работы могут быть использованы при обучении студентов и переподготовке специалистов.
На защиту выносится:
1. Разработка термодинамической теории локально-неравновесных процессов в вязкоупругих и вязкоупругопластических средах с конечным числом параметров состояния, основанной на совместном применении фундаментальных законов механики сплошных сред и первых принципов классической термодинамики.
2. Существенное развитие теории определяющих соотношений вязкоупругих и вязкоупругопластических сред с конечным числом параметров состояния, которая обобщает существующие феноменологические модели неупругих твёрдых тел.
Благодарности. Автор благодарит сотрудников кафедры волновой и газовой динамики МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством академика РАН Шемякина Е.И. за активное обсуждение теоретических вопросов, доброжелательную критику и полезные советы, которые способствовали решению поставленных задач исследования. При анализе особенностей некоторых математических моделей большая помощь была оказана со стороны профессора Бровко Г.Л., профессора Быкова Д.Л., профессора Васина Р.А., профессора Карташова Э.М. и доцента Молодцова И.Н. Автор выражает сердечную признательность коллегам по работе профессору Белому В.Д., профессору Бумагину Г.И. и профессору Шалаю В.В. за постоянное внимание и поддержку при проведении научных исследований по теме диссертации. Диссертант считает приятным долгом выразить глубокую благодарность профессору Бурьяну Ю.А. и профессору Кийко И.А. за научное консультирование и постоянную заботу в период нахождения в докторантуре Омского государственного технического университета, во время продолжительных командировок и многомесячной стажировки на кафедре теории упругости МГУ им. М.В. Ломоносова.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБЩИЕ ВЫВОДЫ
Проведённый анализ научной литературы и регулярно публикуемых тематических обзоров показал, что на современном этапе развития механики сплошных сред актуальными являются следующие две проблемы:
• построение локально-неравновесной термодинамики сплошных сред, описывающей процессы сложного нагружения и интенсивного теплообмена с учётом конечности скоростей распространения механических и тепловых возмущений;
• разработка термомеханических методов моделирования определяющих соотношений вязкоупругопластических сред, позволяющих получать динамические условия пластичности и закон изменения необратимой (пластической) деформации.
В процессе решения всего комплекса задач, составляющих существо сформулированных проблем, получены следующие качественно новые результаты и выводы.
1. Решена задача по распространению термодинамического метода Клаузиуса-Кельвина на локально-неравновесные процессы в вязкоупругих средах за счёт снятия упрощающих допущений, ограничивающих общность классической теории. В том числе:
• сформулированы физические положения, объединяющие современный подход к понятиям теплоты и работы с классическими представлениями об их свойствах;
• доказана справедливость уравнения Клаузиуса для любых неравновесных состояний вязкоупругих сред дифференциального типа, набор параметров состояния которых содержит все временные, пространственные и смешанные производные от закона движения среды и закона изменения температуры заданного порядка;
• установлено существование локально-неравновесной составляющей внутренней энергии (термической энергии). Получено и экспериментально подтверждено уточнённое уравнение теплопроводности, обеспечивающее конечную скорость распространения тепловых возмущений.
2. Разработана термодинамическая теория локально-неравновесных процессов в вязкоупругих и вязкоупругопластических средах, основанная на понятиях неравновесной температуры, неравновесной энтропии и функции рассеяния энергии. Полученные теоретические результаты проверены на тестовых задачах, используемых в научной литературе при оценке новых термодинамических подходов. Построен общий термодинамический формализм, позволяющий находить статические и динамические значения обратимых и необратимых внутренних сил. Приведены практически важные примеры.
3. Следуя рекомендациям, сформулированным в курсе механики сплошной среды А.А. Ильюшина, всем новым феноменологическим результатам дано исчерпывающее молекулярпо-кинетическое обоснование. В рамках кинетической теории Больцмана получены общие выражения для неравновесной температуры и неравновесной энтропии, подтверждена общность диссипативного неравенства Клаузиуса-Планка, основанного на понятии функции рассеяния энергии. В первом приближении по неравновесным координатам уточнены уравнения состояния разреженных газов, которые совпали со своими феноменологическими аналогами. Показано, что в величину локально-неравновесной составляющей внутренней энергии вносят вклад все степени свободы молекул (поступательные, вращательные, колебательные и электронные). Объяснена природа локально-неравновесной составляющей внутренней энергии поступательных степеней свободы.
4. Получены общие зависимости для термоупругих характеристик изотропных твёрдых тел, как строгие следствия уравнения Клаузиуса и третьего начала термодинамики (тепловой теоремы Нернста). Сопоставлением теоретических и опытных данных показано, что в широком диапазоне температур и давлений окружающей среды поликристаллический алюминий является гиперупругим материалом с высокой точностью. Уточнена процедура термодинамически согласованного выбора ряда материальных параметров при постановке задач термопластичности.
5. Установлен общий вид определяющих соотношений для тензора напряжений, вектора теплового потока и внутренней энергии вязкоупругих сред (дифференциального и релаксационного типа) при конечных деформациях, а также для вязкоупругопластических сред без внутренних параметров. Данные соотношения могут использоваться при моделировании сверхпластических материалов. Проанализированы главные отличительные признаки начально изотропных твёрдых тел и текучих сред (газов и жидкостей).
6. Разработан термомеханический метод моделирования определяющих соотношений вязкоупругопластических сред при больших и малых деформациях с учётом внутренних параметров, начальной и наведённой (деформационной) анизотропии. В том числе:
• проанализирована и уточнена кинематика упругопластических сред Е. Ли (Е. Lee). В развитие полученных результатов предложено кинематическое описание вязкоупругопластических сред при динамическом нагружении;
• усовершенствована техника традиционного применения принципа объективности поведения материалов благодаря учёту взаимного поворота систем отсчёта в наI чальный момент времени. Приведена процедура, которая совместно с известными теоремами об изотропных функциях позволяет находить общие зависимости тензора напряжений и вектора теплового потока для изотропных и анизотропных вязкоупругопластических сред с точностью до скалярных коэффициентов; установлены общие следствия из подтверждаемого опытом предположения, что остаточная (необратимая) деформация несущественно влияет на основную кристаллическую структуру материала. Данные результаты совместно с полученными уравнениями состояния нелинейной термоупругости служат для задания мер обратимой (упругой) и необратимой (пластической) деформации, для описания разгрузки и последующего нагружения пластических сред при больших деформациях. Приведены также приближённые зависимости удельной теплоёмкости и вектора теплового потока, которые строятся по известным выражениям указанных величин при первоначальном деформировании из естественного состояния среды; предложена процедура вывода закона изменения необратимой (пластической) деформации, статических и динамических условий пластичности в пространстве напряжений и деформаций. Разобраны практически важные примеры. Полученные результаты согласуются с классическими теориями пластичности и известными теориями вязкопластичности в отношении ассоциативного закона пластического течения, условий пластичности Треска-Сен-Венана, Губера-Мизеса, Ишлинского-Праге-ра, Кадашевича-Новожилова, Ишлинского-Ивлева, Калисского, Пэжипы и учитывают влияние вязкости при изопластическом (вязкоупругом) деформировании; полученные определяющие соотношения учитывают релаксацию напряжений. В предельном случае они переходят в уравнения состояния вязкоупругого твёрдого тела Фойгта (при бесконечной величине предела текучести) и вязкоупругого твёрдого тела Кельвина (при нулевом значении предела текучести).
5.5. Заключение
При феноменологическом описании пластических сред одной из главных трудностей является неоднозначность зависимости между напряжениями и деформациями. По принципу макроскопической определимости А.А. Ильюшина связь между ними устанавливается некоторым функционалом, имеющим довольно сложную математическую структуру. Чтобы уйти от использования теории функционалов и перейти к более развитой теории функций нескольких переменных, достаточно ввести понятие тензора необратимой (пластической, неупругой и т.п.) деформации и представить функционал для тензора напряжений как многозначную функцию, состоящую из бесконечного множества ветвей, каждая из которых является однозначной функцией от надлежащим образом подобранных параметров термомеханического состояния среды.
Предложенный термомеханический метод позволяет моделировать определяющие соотношения вязкоупругопластических сред при больших деформациях и скоростях их изменения в условиях сложного нагружения и интенсивного теплообмена. При построении конкретной модели среды наиболее ответственным моментом является выбор определяющих соотношений для тензора напряжений, поскольку они, в конечном счёте, устанавливают вид условий пластичности и закон изменения необратимой деформации. В зависимости от свойств моделируемого материала можно прийти к условиям пластичности Треска-Сен-Венана, Губера-Мизеса, Ишлинского-Прагера, Кадашевича-Новожилова и их разновидностям, учитывающим анизотропное упрочнение материала.
Как известно [95], к классу задач, в которых следует учитывать геометрическую нелинейность (конечность деформаций), относятся в первую очередь задачи по деформированию тел с большими перемещениями, большими поворотами и малыми деформациями (этот вид деформирования характерен для тонкостенных конструкций), а также задачи по деформированию тел с большими перемещениями, поворотами и деформациями (этот вид деформирования в большей степени проявляется при растяжении массивных тел). В таких случаях приемлемой является универсальная зависимость, основанная на полученном в разд. 4.2 уравнении состояния нелинейной теории термоупругости и упрощающем предположении, что остаточная (необратимая) деформация не сильно сказывается на основной кристаллической структуре материала (разд. 5.2.1). Общий вид определяющего соотношения, описывающего тензор напряжений при пластическом деформировании, устанавливается с помощью принципа объективности поведения материалов и известных теорем об изотропных функциях с точностью до скалярных коэффициентов (разд. 5.2).
Предложенный термомеханический метод обладает большими потенциальными возможностями. Путём незначительной модификации исходных положений (разд. 5) можно учесть упругий (механический) гистерезис (рис. 5.8). Для этого достаточно, например, сохранить прежним определение тензора необратимой деформации (рис. 5.8), основанное (в приближении малых деформаций) на сочетании уравнения Дюамеля-Неймана и уравнения Навье-Стокса (разд. 2.5.2), задав (для пластически несжимаемых материалов) определяющее соотношение для девиатора тензора напряжений в виде Т^^е^е, - режим I типа, Т - \
Т^ (с, е", ё, £*,.)- режим II типа.
При этом, правда, из-за непрерывного изменения необратимой деформации надо будет говорить, например, о режимах деформировании первого и второго типов.
Рис. 5.8. К описанию упругого (механического) гистерезиса
Поскольку полученные в разд. 5.3 соотношения содержат, как частный случай, соотношения Фойгта, Кельвина и Максвелла, они описывают явления релаксации напряжений и ползучести. Возможности рассмотренной модели можно существенно расширить, если принять во внимание точку зрения Бейли и Орована, согласно которой явление ползучести вызвано одновременным протеканием двух процессов - деформационного упрочнения и термического возврата [138, 143]. Чтобы учесть это, достаточно пополнить используемый список параметров термомеханического состояния двумя дополнительными внутренними параметрами — тензором дополнительных напряжений Тр и пределом пластичности ар:
Л =[е,£,£",£,£", Ар,Г,Тр,ср).
Если ограничиться известными моделями пластических сред из обзора монографии [143, стр. 111-113], то тогда тензор необратимой деформации надо определить формулой e" = e-Tl{2v), определяющее соотношение для девиатора тензора напряжений задать в виде
2i4S-£c) прие"=0,
ГР+СТРЩ приё'ФО,
Т= а изменение внутренних параметров описывать уравнениями релаксационного типа
Тр=ф(п1 6р=ф(я).
Однако в этом случае получится условие пластичности
Т -Тг <*р> которое не учитывает вязкие эффекты скоростного упрочнения (в естественном состоянии Тр = 0, а (7р = const при ё" = 0). Поэтому возможности предложенного метода описания конструкционных материалов дополняют возможности метода Бейли-Орована.
1. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. - М.: Наука, 1976. - 888 с.
2. Алексеев Б.В., Гришин A.M. Физическая газодинамика реагирующих сред. -М.: Высш. шк., 1985.-464 с.
3. Алексеев Б.В. Физические основы обобщённой больцмановской кинетической теории газов // УФН. 2000. - Т. 170. - № 6. - С. 649-679.
4. Алексеев Б.В. Обобщённая больцмановская физическая кинетика // ТВТ. 1997. - Т. 35. -№ 1.-С. 129-146.
5. Алексеев Б.В. К теории обобщённого кинетического уравнения Больцмана // ТВТ. -1993. Т. 31. - № 4. - С. 626-635.
6. Алексеев Б.В. Расчёт структуры ударной волны с помощью уравнений гидродинамики повышенной точности // ТВТ. 1990. - Т. 28. - № 3. - С. 614-616.
7. АлерсДж. Использование измерений скорости звука для определения температуры Дебая в твёрдых телах // Физическая акустика. Динамика решётки. Т. 3. - Ч. 2. - М.: Мир, 1968.-С. 13-61.
8. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. - 280 с.
9. Анин БД., Жигалкин В.М. Поведение материалов в условиях сложного нагружения. -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. 342 с.
10. ЮАркулис Г.Э., Дорогобид В.Г. Теория пластичности. М.: Металлургия, 1987. - 352 с.
11. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971. - 240 с.
12. Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы гидромеханики неныотоновских жидкостей. -М.: Мир, 1978.-309 с.
13. Баженова Т.В., Гвоздева Л.Г. Нестационарные взаимодействия ударных волн. М.: Наука, 1977.-274 с.
14. ХЬ.Базаров ИЛ. Термодинамика. М.: Высш. шк., 1991. - 376 с.
15. Баренблатт Г.И., Вишик М.И. О конечной скорости распространения в задачах нестационарной фильтрации жидкости и газа // ПММ. 1956. - Т. 20. - № 5. - С. 411 -417.
16. ХЪ.Батдорф С.Б., Будянский Б. Математическая теория пластичности, основанная на концепции скольжения // Механика. 1962. - № 1. - С. 135-155.
17. Баумейстер К., Хамилл Т. Гиперболическое уравнение теплопроводности. Решение задачи о полубесконечпом теле // Теплопередача. 1969. - № 4. - С. 112-119.
18. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности. М.: Высш. шк., 1982. - Т. 1-2.
19. БёрдГ. Молекулярная газовая динамика. -М.: Мир, 1981. 319 с.2А.БлендД. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: Мир, 1972. - 183 с.
20. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике // Избранные труды. М.: Изд-во МГУ, 1979. - С. 5-114.
21. Больцман Л. Избранные труды. М.: Наука, 1984. - 590 с.
22. Больишнина М.А., Панин В.Е. Скрытая энергия деформации // Исследования по физике твёрдого тела. М.: Изд-во АН СССР, 1957. - С. 193-233.
23. Бори М., КунъХ. Динамическая теория кристаллических решёток. М.: Изд-во иностр. лит., 1958.-488 с.
24. Бриджмен П. Исследования больших пластических деформаций и разрыва. М.: Изд-во иностр. лит., 1955. -444 с.
25. Ъ2.Бураго Н.Г., Глушко А.И., Ковшов А.Н. Термодинамический метод получения определяющих уравнений для моделей сплошных сред // Изв. АН. МТТ. 2000. - № 6. - С. 4-15.
26. Бураханов Б.М., Лютикова Е.Н., Медин С.А. Гиперболическая теплопроводность и второй закон термодинамики. М., 2002. - 28 с. (Препринт ОИВТРАП, № 2-462)
27. ЪА.Бухголъц Н.Н. Основной курс теоретической механики. М.: Наука, 1967. - Т. 1-2.
28. Вакуленко А.А. Термодинамическое исследование связей между напряжениями и деформациями в изотропных упругопластических средах. // ДАН СССР. 1959 - Т. 126. -С. 736-739.
29. Вакуленко А.А. Проблемы реологии пластических сред // Исследования по упругости и пластичности. JI.: Изд-во ЛГУ, 1971. Сборник 8. - С. 3-62.
30. ЪТ.Валландер С.В. Уравнения движения вязкого газа// ДАН СССР. 1951. - Т. 78. -№ 1. -С. 25-27.
31. Васин Р.А., Еникеев Ф.У., Круглое А.А., Сафиуллин Р.В. Об идентификации определяющих соотношений по результатам технологических экспериментов // Изв. АН. МТТ.-2003.-№2.-С. 111-123.
32. Высокоскоростное взаимодействие тел / В.М. Фомин, А.И. Гулидов, С.А. Сапожников и др. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. - 600 с.
33. Гелъфер Я.М. История и методология термодинамики и статистической физики. -М.: Высш. шк., 1973.-Т. 1-2.
34. Глазов В.М. Основы физической химии. -М.: Высш. шк., 1981. 456 с.
35. А2.Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Научная книга, 1998. - 280 с.
36. Гохфелъд Д.А., Садаков О.С. Пластичность и ползучесть элементов конструкций при повторных нагружениях. М.: Машиностроение, 1984. - 256 с.
37. Гуров К.П. Феноменологическая термодинамика необратимых процессов. М.: Наука, 1978.- 128 с.
38. АЪДенбиг К. Термодинамика стационарных необратимых процессов. М.: Изд-во иностр. лит., 1954. - 119 с.
39. A9.de Донде Т., ван Рисселъберг П. Термодинамическая теория сродства (книга принципов). М.: Металлургия, 1984. - 136 с.
40. Дэй У. Термодинамика простых сред с памятью. М.: Мир, 1974. - 190 с.51 .Елисеев В.В. Механика упругих тел. СПб: Изд-во СПбГТУ, 1999. - 341 с.52Жермен П. Курс механики сплошных сред. М.: Высш. шк., 1983. - 399 с.
41. Зарубин B.C. Прикладные задачи термопрочности элементов конструкций. М.: Машиностроение, 1985. - 296 с.
42. Зарубин B.C., КувыркинГ.Н. Термомеханическая модель релаксирующего твёрдого тела при нестационарном нагружении // Докл. РАН. 1995. - Т. 345. - № 2. - С. 193-195.
43. Зельдович Я.Б. Теория ударных волн и введение в газодинамику. M.-J1.: Изд-во АН СССР, 1946.- 186 с.
44. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. -М.: Наука, 1966. 686 с.
45. Змитренко Н.В., Михайлов А.П. Инерция тепла. М.: Знание, 1982. - 64 с.
46. Зоммерфелъд А. Механика деформируемых сред. М.: Изд-во иностр. лит., 1954. - 486 с.61 .Зотин А.И. Термодинамические основы реакций организмов на внешние и внутренние факторы. -М.: Наука, 1988. 272 с.
47. Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая механика. М.: Наука, 1971.-416 с.
48. ИвлевД.Д. Механика пластических сред. Т. 1. - Теория идеальной пластичности. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.-448 с.
49. Изотов И.Н., Ягн Ю.И Изучение пластического деформирования металла с деформационной анизотропией, созданной в процессе предварительного нагружепия // ДАН СССР. 1961. - Т. 139. - № 3. - С. 576-579.
50. Ильюшин А.А. Связь между теорией Сен-Венана-Леви-Мизеса и теорией малых упру-гопластических деформаций. // ПММ. 1945 - Т. 9. - С. 207-218.
51. Ильюшин А.А. Пластичность. Т. 1. - Упругопластические деформации. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.-376 с.
52. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963.-271 с.
53. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1978. - 287 с.
54. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоунругости. -М.: Наука, 1970.-280 с.
55. Игилинский А.Ю. Прикладные задачи механики. Книга 1. - Механика вязкопластических и не вполне упругих тел. - М.: Наука, 1986. - 360 с.
56. Ииихинский А.Ю., ИвлевД.Д. Математическая теория пластичности. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 704 с.
57. Йошида С. Интерпретация мезомеханических характеристик пластической деформации на основе аналогии с теорией электромагнитного поля Максвелла // Физическая мезомехаиика. 2001. - Т. 4. - № 3. - С. 29-34.
58. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966. - 260 с.
59. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1976.-576 с.
60. Карташов Э.М. Аналитические методы в теплопроводности твердых тел. М.: Высш. шк., 1979.-415 с.
61. Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в. областях с движущимися границами // Изв. РАН. Энергетика. 1999. -№ 5. - С. 3-34.
62. Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в области с движущимися границами // ИФЖ. 2001. - Т. 74. - № 2. - С. 1-24.
63. Карташов Э.М. Аналитические методы в теплопроводности твердых тел. М.: Высш. шк., 2001.-550 с.81 .Кац Ш.Н., Качанов JI.M. О пластической деформации при сложном нагружении // Изв. АН СССР. ОТН. 1957. -№ И. - С. 172-173.
64. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. - 420 с.
65. Кириллин В.А., Сычев В.В., Шейндлин А.Е. Техническая термодинамика. М.: Энергия, 1974.-448 с.
66. Киттель Ч. Статистическая термодинамика. М.: Наука, 1977. - 336 с.
67. Ъ5.Киттелъ Ч. Введение в физику твёрдого тела. М.: Наука, 1978. - 792 с.
68. ЪЬ.Климонтович Ю.Л. Кинетическая теория неидеалыюго газа и неидеальпой плазмы.1. М.: Наука, 1975.-352 с.
69. Юншонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса: Новый подход к статистической теории открытых систем. М.: Наука, 1990. - 320 с.
70. Юноишиков В.Д. Физико-математические основы прочности и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1994. - 189 с.
71. Ю.Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967. - 440 с.
72. Кожевников И.Г., Новицкий Л.А. Теплофизические свойства материалов при низких температурах. М.: Машиностроение, 1982. - 328 с.91 .КоларовД., Болтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. М.: Мир, 1979. - 302 с.
73. Кондауров В.И. Уравнения релаксационного типа для вязкоупругих сред с конечными деформациями//ПММ,- 1985.-Т. 49-№ 5.-С. 791-800.
74. Коновалов А.А. Определяющие соотношения для упруговязкопластической среды при больших пластических деформациях // Изв. АН. МТТ. 2000. - № 4. - С. 110-118.
75. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1970.-720 с.
76. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твёрдых тел. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. - 262 с.9в.Короткина М.Р. Электромагнитоупругость. М.: Изд-во МГУ, 1988. - 304 с.
77. Костюк А.Г. Пластичность и разрушение кристаллического материала при сложном нагружении. М.: Изд-во МЭИ, 2000. - 180 с.
78. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Наука, 1965.-426 с.
79. Кричевский И.Р. Понятия и основы термодинамики. М.: Химия, 1970. - 440 с.
80. Ш.Кубо Р. Термодинамика. -М.: Мир, 1970. 304 с.
81. Кувыркин Г.Н. Термомеханика деформируемого твёрдого тела при высокоинтенсивном нагружении. М.: Изд-во МГТУ, 1993. - 142 с.
82. Кудинов В.А., Карташов Э.М. Техническая термодинамика. М.: Высш. шк., 2000. - 261 с.
83. Кукуджанов В.Н. Численное моделирование распространения волн в упругопластических телах с учётом конечных деформаций и разрушения // Механика и научно-технический прогресс. Т. 3. - Механика деформируемого твёрдого тела. - М.: Наука, 1988.-С. 197-214.
84. Кукуджанов В.Н., Острик А.В. Динамические задачи взаимосвязанной термоупругости // Пластичность и разрушение твёрдых тел. М.: Наука, 1988. - С. 125-129.
85. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. М.: Моск. лицей, 1998.-412 с.
86. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. - 528 с. -(Теоретическая физика / Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.; Т. 10).
87. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. - 512 с.22Лыков А.В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмеиа // ИФЖ. 1965. - Т. 9. -№ 3. - С. 287-304.
88. МЪ.Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975.-400 с.
89. Мартынов Г.А. Теорема Лиувилля и проблема возрастания энтропии // ЖЭТФ. 1995 -Т. 107.-Вып. 6.-С. 1907-1920.
90. Мартынов Г.А. Неравновесная статистическая механика, уравнения переноса и второе начало термодинамики // УФН. 1996. - Т. 166.-№ 10.-С. 1105-1133.
91. Математическая теория горения и взрыва / Я.Б. Зельдович, Г.И. Баренблатт, В.Б. Либ-рович, Г.М. Махвиладзе. М.: Наука, 1980. - 478 с.
92. Мах Э. Принцип сохранения работы. История и корень его. СПб.: Общественная польза, 1909.-68 с.
93. Мизес Р. Механика твёрдых тел в пластически деформированном состоянии // Теория пластичности. Сборник статей. М.: Изд-во иностр. лит., 1948. - С. 56-68.
94. Михайлов И.Г., Соловьёв В.А., Сырников Ю.П. Основы молекулярной акустики. М.: Наука, 1964.-516 с.
95. Михайлов М.Д. О динамических задачах термоупругости // ИФЖ. 1969. - Т. 16. -№ 1.-С. 132-134.
96. Моисеев-Ольховский И.И. Об одной плоской линейной задаче обобщённой гидродинамики//ДАН СССР. 1958.-Т. 118.-№3.-С. 468-471.
97. Ъ2.Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. М.: Мир, 1991. - 560 с.
98. Молодцов И.Н. Математическое моделирование в механике сплошных сред. М.: Изд-во МЭИ, 1994.-128 с.
99. Москвитин В.В. Циклические нагружения элементов конструкций. М.: Наука, 1981 -344 с.
100. Москвитин В.В. Пластичность при переменных нагружениях. М.: Изд-во МГУ, 1965.-263 с.
101. ХЪв.Мэзон У. Влияние примесей и фононных процессов на затухание ультразвука в германии, кристаллическом кварце и кремнии // Физическая акустика. Динамика решётки. Т. 3. - Ч. 2. - М.: Мир, 1968. - С. 285-343.
102. Ъ1.Навал К, Сабодаш П.Ф. Численное решение связанной задачи термоупругости для слоя с учётом конечной скорости распространения тепла // МТТ. 1976. - № 4. - С. 108-114.
103. ХЪЪ.НадаиА. Пластичность и разрушение твёрдых тел. М.: Мир, 1969.-Т. 1-2.
104. Никитин JJ.B. Направления развития моделей упруговязкопластических тел // Механика и научно-технический прогресс. Т. 3. - Механика деформируемого твёрдого тела. - М.: Наука, 1988. - С. 136-153.
105. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.
106. А\.Новацкий В. Волновые задачи теории пластичности. М.: Мир, 1978. - 307 с.
107. Новиков И.И., Воскресенский К.Д. Прикладная термодинамика и теплопередача. М. Атомиздат, 1977. - 352 с.
108. ХАЪ.Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжепия в конструкционных материалах. JL: Машиностроение, 1990.-223 с.
109. Новокшанов Р.С., Роговой А.А. О построении эволюционных определяющих соотношений для конечных деформаций // Изв. РАН. МТТ. 2002. - № 4. - С. 77-95.
110. А5.Ноздрёв В.Ф., Федорищенко Н.В. Молекулярная акустика. М.: Высш. шк., 1974. - 288 с
111. А6.0гибалов П.М., Кийко И.А. Поведение вещества под давлением. М.: Изд-во МГУ, 1962.-154 с.
112. Огибалов П.М., Мирзаджанзаде А.Х. Нестационарные движения вязкопластичных сред. М.: Изд-во МГУ, 1970. - 415 с.
113. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. М.: Наука, 1970. - 448 с.
114. Останина Т.В., Трусов П.В. Трёхуровневая иерархическая модель структурной сверхпластичности // Физическая мезомехаиика. 2001. - Т. 4. - № 5. - С. 55-65.
115. Теплопроводность твёрдых тел: Справочник / А.С. Охотин, Р.П. Боровикова, Т.В. Нечаева, А.С. Пушкарский; под ред. А.С. Охотина. М.: Энергоатомиздат, 1984. - 320 с.
116. Пальмов В.А. Колебания упруго-пластических тел. М.: Наука, 1976. - 328 с.
117. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. Киев: Наукова думка, 1975. - 704 с.
118. Планк М. О принципе возрастания энтропии. Третье сообщение // Избранные труды. -М.: Наука, 1975.-С. 36-68.
119. Планк М. Научная автобиография // Избранные труды. М.: Наука, 1975. - С. 649-663.
120. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. - 336 с. 161 .Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Изд-во1. МГУ, 1995.-366 с.
121. Победря Б.Е. Модели механики сплошной среды. // Изв. АН. МТТ. 2000. - № 3. -С. 47-59.
122. Подстригай Я.С., Коляно Ю.М. Обобщённая термомеханика. Киев: Наукова думка, 1976.-310 с.
123. Поздеев А.А. Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации. -М.: Наука, 1986.-232 с.
124. Полухин П.И., Горелик С.С., Воронцов В.К. Физические основы пластической деформации. М.: Металлургия, 1982. - 584 с.
125. Полухин П.И., ГунГ.Я., Галкин A.M. Сонротивлеие пластической деформации металлов и сплавов. Справочник. М.: Металлургия, 1983. - 352 с.
126. Попов Е.Б. Динамическая связанная задача термоупругости для полупространства с учётом конечности скорости распространения тепла // ПММ. 1967. - Вып. 2. - С. 328-334.
127. Прагер В. Влияние деформации на условие пластичности вязкопластичеких тел // Теория пластичности. Сборник статей. М.: Изд-во иностр. лит., 1948. - С. 291-300.
128. Пригожин И., Дефэй Р. Химическая термодинамика. Новосибирск: Наука, 1966. - 502 с.
129. Проблемы механики твёрдого деформируемого тела. JL: Судостроение, 1970. - 512 с.1А.Пуанкаре А. Наука и гипотеза // А. Пуанкаре О науке. ~ М.: Наука, 1983. С. 5-152.
130. Пуанкаре А. Механицизм и опыт // Больцман JI. Избранные труды. М.: Наука, 1984. -С. 434-437.
131. П6.Пэжина П. Основные вопросы вязкопластичности. -М.: Мир, 1968. 176 с.
132. Пэжина П., Савчук К. Проблемы термопластичности. // Проблемы теории пластичности и ползучести. М.: Мир, 1979. - С. 94-202.
133. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела. М.: Наука, 1988. - 712 с.
134. Ранецкий Б., Савчук А. Температурные эффекты в пластичности. // Проблемы теориипластичности и ползучести. -М.: Мир, 1979. С. 203-241.
135. Ревуженко Л.Ф. Механика упруго-пластических сред и нестандартный анализ. Новосибирск: Изд-во Повосиб. Ун-та, 2000. - 428 с.
136. Рейс А. Учёт упругой деформации в теории пластичности // Теория пластичности. Сборник статей. М.: Изд-во иностр. лит., 1948. - С. 206-222.
137. Римский В.К., Сабодаш П.Ф. Соударение деформируемого цилиндра с многослойной плитой, ослабленной полостями // ПМ. 1986. - Т. 22. - № 5. - С. 8-14.
138. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978.-688 с.
139. Самарский А.А., Соболь И.М. Примеры численного расчёта температурных волн // ЖВМ и МФ. 1963. - Т. 3. - № 4. - С. 703-719.
140. Самарский А.А., Змитренко Н.В., Курдюмов С.И, Михайлов А.П. Эффект метаста-бильной локализации тепла в среде с нелинейной теплопроводностью //ДАН СССР. -1975.-Т. 223.-№6.-С. 1344-1347.
141. Самарский А.А., Змитренко Н.В., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Тепловые структуры и фундаментальная длина в среде с нелинейной теплопроводностью и объёмными источниками тепла // ДАН СССР. 1976. - Т. 227. - № 2. - С. 321 -324.
142. СедовЛ.И. Механика сплошной среды. -М.: Наука, 1973. Т. 1-2.
143. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. -М.: Наука, 1981.-448 с.9\.СенаЛ.А. Единицы физических величин и их размерности. -М.: Наука, 1988. 432 с.
144. Сен-Венан Б. Об установлении уравнений внутренних движений, возникающих в твёрдых пластических телах за пределами упругости // Теория пластичности. Сборник статей. М.: Изд-во иностр. лит., 1948. - С. 11-19.
145. Сервисен С.В., Когаев В.П., Шнейдерович P.M. Несущая способность и расчёты деталей машин на прочность. М.: Машиностроение, 1975. - 488 с.
146. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. - 256 с.
147. Сивухин Д.В. Термодинамика и молекулярная физика. М.: Наука, 1979. - 552 с. -(Общий курс физики / Д.В. Сивухин; Т. 2).
148. Слёзкин Н.А. О дифференциальных уравнениях движения газа // ДАН СССР. 1951. -Т. 77.-№2.-С. 205-208.
149. Слёзкин Н.А. Основные уравнения движения деформируемой среды частиц с переменной массой // ДАН СССР. 1951. - Т. 79. - № 1. - С. 33-36.
150. Слёзкип Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: ГИТТЛ, 1955. - 519 с.
151. Слеттери Дж. С. Теория переноса импульса, энергии и массы в сплошных средах. -М.: Энергия, 1978.-448 с.
152. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 1.- М.: Наука, 1967. - 479 с.201 .Снеддон И.Н. БерриД.С. Классическая теория упругости. М.: ГИФМЛ, 1961. - 219 с.
153. Соболев С.Л. Процессы переноса и бегущие волны в локально-неравновесных системах // УФН. 1991. - Т. 161. - № 3. - С. 5-29.
154. Соболев С.Л. Локалыю-неравновесные модели процессов переноса // УФН. 1997. -Т. 167. -№ 10.-С. 1095-1106.
155. Современные основы школьного курса математики / Н.Я. Виленкин, К.И. Дуничев, Л.А. Калужнин, А.А. Столяр. -М.: Просвещение, 1980.-240 с.
156. Стоял P.P. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968. -232 с.
157. Юб.Стюарт Г.Р. Измерение теплоёмкости при низких температурах (обзор) // Приборы для научных исследований. 1983. -№ 1. - С. 3-15.
158. Теория тепломассообмена / С.И. Исаев, И.А. Кожинов, В.И. Кофанов и др.; Под ред.
159. A.И. Леонтьева. М.: Высш. шк., 1979. - 495 с.
160. Терегулов И.Г. Математическое моделирование необратимых многопараметрических процессов и определяющие соотношения для сплошных сред // Изв. АН. МТТ. 2000.- № 2. С. 69-85.
161. Терлецкий Я.П. Статистическая физика.-М.: Высш. шк., 1966. -235 с. 2Ю.Техническая термодинамика / В.И. Крутов, С.И. Исаев, И.А. Кожинов и др.; под ред.
162. Ударио-волновые явления в конденсированных средах / Г.И. Капель, С.В. Разоренов, А.В. Уткин, В.Е. Фортов. М.: «Янус-К», 1996. - 408 с.
163. Уилкинс M.JI. Расчёт упругопластических течений / Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. - С. 212-263.
164. Упругость и неупругость / Под ред. И.А. Кийко, М.Ш. Исраилова, Г.Л. Бровко. М.: Изд-во МГУ, 2001.-464 с.2\1.Фаулер Р., Гуггенгейм Э. Статистическая термодинамика. -М.: Изд-во иностр. лит., 1949.-612 с.
165. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976.-554 с.
166. Физические величины: Справочник / А.П. Бабичев, И.А. Бабушкина, A.M. Братковский и др.; иод ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.
167. Чёрный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. - 424 с.22Ъ.Чернышов АД. Определяющие уравнения для упругопластического тела при конечных деформациях // Изв. АН. МТТ. 2000. - № 1.-С. 120-128.
168. Черчинъяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978. - 495 с.
169. Черчинъяни К. О методах решения уравнения Больцмана // Неравновесные явления: Уравнение Больцмана. -М.: Мир, 1986.-С. 132-204.
170. Численные методы в задачах физики взрыва и удара / А.В. Бабкин, В.И. Колпаков, В.Н. Охитин, В.В. Селиванов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. - 516 с.
171. Шапоишиков И.Г. К вопросу об учёте диффузионных явлений в уравнениях гидродинамики // ЖЭТФ. 1951. - Т. 21. - № 11. - С. 1309-1310.
172. Kaliski S. Wave Equations of Thermoelasticity // Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Tech. -1965.-Vol. 13.-№ 5.-P. 409-416.2A9.Keller J. U. On the Validity of the Clausius-Duhem Inequality // Pure and Appl. Chem. -1970. V. 22. - N 3/4. - P. 343-348.
173. Landsberg P. T. Main Ideas in the Axiomatics of Thermodynamics // Pure and Appl. Chem. 1970. - Vol. 22. - P. 215-227.2S\.Leaf B. The Principles of Thermodynamics // J. Chem. Phys. 1944. - Vol. 12. -№ 3. - P. 89-98.
174. Meixner J. Entropie im Nichtgleichgewicht // Rheologica Acta. 1968. - B. 7. - H. 1. - S. 8-13.25G.Meyer E., Sessler G. Schallausbreitung in Gasen bei hohen Frequenzen und sehr niedrigen Drucken//Z. Physik. 1957.-B. 149.-H. l.-S. 15-39.
175. Muller /., Ruggeri T. Extended Thermodynamics. New York: Springer-Verlag, 1993. - 240 p.
176. Prandtl L. Ein Gedankemodell zur kinetischen Theoric der festen Korper // Z. angew. Math, und Mech. 1928. - B. 8. - S. 85-106.
177. Ruggeri Т., Muracchini A., SecciaL. Second Sound and Characteristic Temperature in Solids 11 Phys. Rev. B. Condensed Matter. 1996. - Vol. 54. - № 1. - P. 332-339.
178. Sabri Опси Т., Bryant Moodie T. On the Constitutive Relations for Second Sound in Elastic
179. Solids //Arch. Rat. Mech. Anal. 1992. - Vol. 121. - P. 87-99. 265.Schmidt B. Electron Beam Density in Shock Waves in Argon // J. Fluid Mech. - 1969. -Vol. 39.-№2.-P. 361-373.
180. Toupin R.A. Theories of Elasticity with Couple-stress //Arch. Rat. Mech. Anal. 1964. -Vol. 17.-№2.-P. 85-112.
181. Vernotte P. Les paradoxes de la theorie continue de l'equation de la chaleur // Comptes Rend.- 1958.-246.-P. 3154-3155.
182. Wang C.-C. A New Representation Theorem for Isotropic Functions // Arch. Rat. Mech. Anal. 1970.-Vol. 36.-№3.-P. 198-223.
183. Ting-Kui G., Zeng-Yuan G., Xin-GangL. Three-Dimensional Molecular Dynamics Simulation of Heat Propagation in Liquid Argon // Chin. Phys. Lett. 2001. - Vol. 18. - № l. - p. 71 -73.
184. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ «Научно производственное предприятие «ПРОГРЕСС»им.04 №644018, г. Омск, 5-я Кордная, 4, тел.: (3812) пр. 56-14-72, телефакс 56-02-03, телетайп № 216218 Лето
185. Р/сч. 40502810900090404331 в ОАО «Омскпромст-ройбанк» БИК 045209751 кор./сч. 30101810000000000751 в ГРКЦ ГУ Банка России по Омской области ИШ 5506010517 КПП 550601001 ОКПО 00150001, ОКОНХ 951201. На №от1. АКТ ВНЩРРЕНМЯ
186. Зам. генерального директ д.т.н., профессор1. В.Г. Цыссг. л
