Определение эквивалентных термомеханических параметров идеальных кристаллов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Учрежденио Российской Академии наук Институт проблем машиноведения РАН

4857496

На правах рукописи

КУЗЬКИН ВИТАЛИЙ АНДРЕЕВИЧ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ИДЕАЛЬНЫХ КРИСТАЛЛОВ

Специальность: 01.02.04 механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 3 ОКТ 2011

Научный руководитель д.ф.-м.н., проф., А.М. Кривцов

Санкт-Петербург — 2011

4857496

Работа выполнена в Учреждении Российской Академии наук Институте проблем машиноведения РАН

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор Кривцов Антон Мирославович

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор Мельников Борис Евгеньевич

Защита состоится 27 октября 2011 г. в 11.00 на заседании диссертационного совета Д 002.075.01 при Учреждении Российской академии наук Институте проблем машиноведения РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, Большой пр. В.О., д. 61.

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ ИПМаш РАН.

Автореферат разослан "_"_2011 г.

кандидат физико-математических наук, Устинов Константин Борисович

Ведущая организация

Учреждении РАН Институт Геохимии и Аналитической Химии им. В.И. Вернадского РАН (Москва)

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

.В. Дубарснко

Актуальность Т6МЫ. Для решения задач механики, в которых по той или иной причине нарушается сплошность материала, на практике часто применяются дискретные способы описания, основанные на методах молекулярной динамики и дискретных элементов. При этом важно сравнение результатов, полученных дискретными методами, с аналогичными результатами, полученными на основе хорошо разработанного аппарата механики сплошных сред. Примером структур, для описания которых применяются как дискретные, так и континуальные подходы, являются наноструктуры. Необходимость согласования дискретного и континуального подходов делает актуальной проблему определения эквивалентных термомеханических параметров, таких как тензоры напряжений и вектор теплового потока, для дискретных систем.

В настоящей работе подход к определению эквивалентных термомеханических параметров разрабатывается на примере идеальных кристаллов. Идеальные кристаллы, с одной стороны, являются удобной математической моделью, позволяющей проводить аналитические выкладки. С другой стороны, с развитием панотехпологий становится возможным создание практически бездефектных кристаллов, близких к идеальным. В частности, перспективным материалом с низкой плотностью дефектов является графен.

Подход к определению эквивалентных термомеханических параметров может использоваться для интерпретации и верификации результатов, полученных методами молекулярной динамики и дискретных элементов. Задача интерпретации результатов возникает при решении дискретными методами задач, требующих рассмотрения также методами континуальной механики. Кроме того, определение эквивалентных термомеханических параметров необходимо при построении законов взаимодействия в дискретных средах (атомарных, гранулированных, сыпучих и т.п.) В частности, в данной работе проводится построение потенциала для описания механических свойств графена.

Определение эквивалентных термомеханических параметров дискретных систем важно также при решении задач механики деформируемого твердого тела связанными дискретно-континуальными методами. В основу данных методов положено представление моделируемого объекта в виде двух частей, одна из которых описывается дискретными методами, а другая — континуальными. При этом для корректного сопряжения указанных частей необходимо вычисление эквивалентных термомеханических параметров дискретной системы в области сопряжения.

Другой важной проблемой механики деформируемого твердого тела, для решения которой могут быть использованы выражения для эквивалентных термомеханических параметров, является уточнение существующих и конструирование новых определяющих соотношений (уравнений состояния). Определяющие соотношения необходимы для моделирования поведения сплошных сред при различных термомеханических воздействиях.

Таким образом, разработка подходов к определению эквивалентных термомеханических параметров идеальных кристаллов является актуальной проблемой современной механики деформируемого твердого тела.

\

Методика исследования. Основным методом исследования, используемым и данной диссертационной работе, является метод динамики частиц (в частности, молекулярной динамики), основанный па представлении вещества в виде совокупности взаимодействующих материальных точек или твердых тел, поведение которых описывается законами классической механики. Данный метод используется в диссертационной работе как для аналитических выкладок (определения связи эквивалентных термомеханических параметров с параметрами дискретной системы, получения уравнений состояния), так и для компьютерного моделирования (в частности, деформирования и разрушения графена).

Цель работы. Целью дайной работы является разработка подходов к определению эквивалентных термомеханических параметров идеальных кристаллов при различных видах межатомных взаимодействий.

Научную новизну работы составляют следующие результаты, выносимые на защиту:

1. Развит подход к определению эквивалентных термомеханических параметров идеальных кристаллов с произвольными многочастичными взаимодействиями. Получены выражения, связывающие тензор напряжений Коши, тензор напряжений Пиола и вектор теплового потока с параметрами кристалла на микроуровне. Проведено сравнение с аналогичными выражениями, используемыми в литературе.

2. Развит подход к получению уравнений состояния идеальных кристаллов, основанный па использовании выражений для эквивалентных термомеха-пических параметров. Для кристаллов с парными силовыми взаимодействиями выведено уравнение состояния в форме Ми-Гюнайзена. Получено уточненное уравнение состояния, нелинейное по тепловой энергии. Прове-депо сравнение полученных результатов с известными экспериментальными данными.

3. Проведено обобщение предложенного подхода к определению эквивалент-пых термомеханических параметров идеальных кристаллов па случай мо-ментных взаимодействий. Получены выражения, связывающие тензор напряжений, тензор моментных напряжений и вектор теплового потока с параметрами кристалла на микроуровне.

4. Разработан моментный потенциал, позволяющий проводить трехмерное моделирование процессов деформирования и разрушения графена методом молекулярной динамики. Получены аналитические выражения, связывающие параметры потенциала с характеристиками углерод-углеродной связи.

5. Проведена калибровка параметров момептного потенциала с использованием молекулярно-динамического моделирования деформирования и разрушения графена при отсутствии теплового движения и при температуре 300А. Показано, что предложенный потенциал позволяет описать все упругие и прочности!,ге характеристики графена в пределах погрешности экспериментальных данных.

Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов достигается использованием апробированных физических моделей, сравнением с экспериментальными данными, применением современных методов и вычислительных средств и известных методик моделирования, использованием мри вычислениях тестовых моделей, допускающих точное аналитическое решение.

Практическая значимость работы. Полученные выражения для эквивалентных макропараметров могут быть использованы для верификации, трактовки и сравнения результатов молекулярпо-дипамического моделирования с расчетами па основе механики сплошных сред. Данные выражения позволяют вычислять входе молекулярпо-дипамического или дискретно-элементного моделирования эквивалентные параметры в кристаллах с произвольными мно-гочастичпыми взаимодействиями. Полученные уравнения состояния могут быть использованы в пакетах прикладных программ, таких как, например LS-DYNA, для моделирования высокоскоростных процессов в деформируемых твердых телах методом конечных элементов. Момонтный потенциал, предлагаемый в работе; может применяться для моделирования поведения графена и прочих углеродных наноструктур с sp2 гибридизацией при различных физико-механических воздействиях. В частности, это может потребоваться при разработке графепо-вых папорезопаторов. Практическая значимость работы подтверждается успешным применением данного потенциала для решения прикладных задач, таких как исследование деформирования и разрушения графена при растяжении.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах Института проблем машиноведения РАН (Санкт-Петербург), кафедры "Теоретическая механика" СПбГПУ, Института Геохимии и Аналитической Химии им. В.И. Вернадского РАН (Москва), а также на всероссийских и международных конференциях: "Advanced Problems in Mechanics" (Санкт-Петербург, 2005, 200G, 2007, 2008, 2010, 2011), Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 200С), XVI Всероссийская школа-конференция молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках" (Пермь, 2007), The Sixth International conference on Engineering Computational Technology (Greece, Athens, 2008), Всероссийская конференция "Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела" (Пермь, 2008), Первая научно-техническая конференция молодых специалистов ОАО "КБ-СМ" (Санкт-Петербург, 2009), Workshop on Molecular Dynamics (UK, Warwick, 2009), IUTAM Symposium on "The Vibration Analysis of Structures with Uncertainties" (St. Petersburg, 2009), Joint US-Russian conference "Advances in Material Science" (Czech Republic, Prague, 2009), Международная научно-практическая конференция "Неделя науки СПбГПУ" (Санкт-Петербург, 2007, 2008, 2009, 2010).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 22 работы, в том числе 8 статей в изданиях из перечня ВАК и монографиях. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, двух глав и заключения. Работа содержит 130 страниц, 22 рисунка, список литературы содержит 170 наименований.

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована актуальность, приведен обзор литературы, изложена методика исследования, перечислены основные результаты, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена развитию подхода, позволяющего вычислять эквивалентные макроскопические термомеханические параметры идеальных кристаллов (тензоры напряжений Коши и Пиола, вектор теплового потока). Обсуждаются существующие подходы к решению данной проблемы, отмечаются их сильные и слабые стороны. Проводится обобщение предложенного ранее подхода к вычислению макропараметров, основанного на применении длинноволнового приближения, на случай конечного теплового движения. В рамках данного подхода выводятся выражения, связывающие макропараметры с параметрами кристалла на микроуровне (радиус-векторами, скоростями частиц, силами межатомного взаимодействия). Рассуждения проводятся для идеальных монокристаллов с парными силовыми взаимодействиями. Проводится обобщение на случай произвольных многочастичных взаимодействий. Выводятся выражения, связывающие микро- и макропараметры к кристаллах с парными момептными взаимодействиями. Проводится сравнение полученных выражений для тензора напряжений с известными аналогами. Кроме того, полученные выражения для макропараметров используются для построения макроскопических определяющих соотношений (уравнений состояния). Проводится сравнение полученных уравнений состояния с расчетами па основе методов статистической физики и известных экспериментальных данных.

Первая глава состоит из семи параграфов. В первом параграфе проводится обзор различных подходов к вычислению эквивалентных термомеханических параметров (тензоров напряжений Коши и Пиола, вектора теплового потока) для дискретных систем. Обсуждаются подходы, основанные па применении теоремы о вириале, локализационных функций и длинноволнового приближения. Отмечается, что па данный момент в литературе не существует единой точки зрения, по поводу того, какому подходу отдать предпочтение.

В параграфе 1.2 вводятся основные гипотезы и предположения, используемые для перехода от дискретной системы (кристалла) к эквивалентной сплошной среде. Рассматриваются идеальные кристаллы простой структуры. Для перехода к эквивалентному континууму используются осреднение уравнений движения атомов по времени и длинноволновое приближение. Оператор осреднения по времени обозначается С помощью данного оператора любая величина / может быть разделена на медленном меняющуюся во времени и пространстве осредненную и быстро меняющуюся оецилляционную или тепловую /

компоненты: / = + /■

В параграфе 1.3 вводится специальная нумерация атомов в кристалле, позволяющая учесть его симметрию. Все соседи некоторой исходной частицы помечаются индексом п. Вводятся векторы аа, соединяющие исходную частицу с ее соседями с номерами а в отсчетной (недеформированной) конфигурации. Присвоение индексов а производится таким образом, чтобы выполнялось тождество аа = —а_п. Тс же векторы в актуальной (деформированной) конфигура-

ции Аа представляются в виде суммы осредненной по времени компоненты Аа и осцилляциошюй компоненты Аа. Они следующим образом выражаются через векторы аа и перемещения частиц: Аа = аа + иа -и, Аа = ип — и, и = и + и.

В параграфе 1.4 выводятся выражения для эквивалентных тензора напряжений Коши, тензора напряжений Пиола и вектора теплового потока в кристалле с парными силовыми взаимодействиями. Для получения эквивалентных тензоров напряжений проводится осреднение уравнений движения частиц и применяется длинноволновое приближение. В результате получаются следующие выражения для эквивалентных тензоров напряжений Коши и Пиола в точке, совпадающей со средним положением некоторой отсчетной частицы

1 = £ = (1) а а

где Га — сила, действующая па отсчетную частицу со стороны ее соседа номер а; Ц), V — объем, приходящийся на частицу в отсчетной и актуальной конфигурации соответственно.

Для вывода выражения для вектора теплового потока рассматривается уравнение баланса энергии, приходящейся на одну частицу. Данное уравнение с использованием длинноволнового приближения приводится к виду аналогичному уравнению баланса энергии сплошной среды в локальной форме. Из сравнения данных уравнений получаются выражения для векторов теплового потока в отсчетной и актуальной конфигурации:

* = ■ & + э)' а = -¿7 £' + «))• (2)

а а

В пункте 1.4.3 проводится сравнение полученного выражения для тензора напряжений Коши (1) с широко используемыми в литературе вириальным тензором напряжений и тензором напряжений Харди. Для этого проводится молекулярно-динамическое моделирование. Рассматривается треугольная кристаллическая решетка в двумерном пространстве. Взаимодействия между частицами описывается посредством потенциала Леннарда-Джонса. Учитываются только взаимодействия ближайших соседей. Рассматриваются две серии компьютерных экспериментов. В первой при отсутствии теплового движения на решетку накладывается однородная объемная деформация сжатия, равная 9.75%. В ходе молекулярно-динамического моделирования вычисляется давление в решетке с использованием формулы (1), подхода Харди, теоремы о вириале и классического определения для давления. Классическим называется определение давления через силы, действующие на стороны рассматриваемого образца. Полученные в ходе моделирования значения давления в зависимости от значения объема V», по которому проводится осреднение давления, приведены на рис. 1. Из рисунка видно, что давления, определяемые на основе формул Харди и теоремы о вириале, существенно зависят от V«. Выражение для давления, предлагаемое в данной работе, в точности совпадает с расчетом на основе классического определения и не зависит от V,.

Во втором компьютерном эксперименте в недеформировашюм кристалле при периодических граничных условиях задается тепловое движение. Частицам

сообщаются случайные начальные скорости такие, что температура в образце равняется Т = 0.05Б/кв, где В — энергия связи, кв — постоянная Больцма-на. В ходе молекулярпо-динамического моделирования вычисляется давление с использованием подходов, перечисленных выше. При этом результаты осред-няются по времени с периодом осреднения 407о, где То — период малых колебаний грузика массой, равной массе частицы, на пружинке с жесткостью, равной жесткости связи. Для уменьшения влияния масштабного эффекта, объем V* выбирается равным 1400У0. На рис. 1 приведены полученные значения давления. Из рисунка видно, что среднее значение давления, рассчитанное с

---- классическое определение ->- теорема о вириале — Харди

■ Кузькин. Кривцов

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

V./V»

0.545

-■■■ классическое определение -»- теорема о вириале — Харди

Кузькин, Кривцов

40 120 200 280 360 440 520 600 680 760

t/To

Рис. 1: Зависимость давления от объема V», по которому проводится осреднение, при отсутствии теплового движения (слева). Зависимость давления от времени в равномерно нагретом кристалле при периодических граничных условиях (справа)

использованием формулы (1), совпадает с давлением, полученным на основе классического определения.

В параграфе 1.5 проводится обобщение подхода, изложенного в параграфе 1.4, на случай произвольного многочастичного потенциала межатомных взаимодействий. Предполагается, что энергия, приходящаяся на частицу в кристалле, определяется соотношением П = П({Ла}а£л), где {¿п}аел — множество всех векторов Аа дли рассматриваемой частицы, Л — множество номеров всех частиц, с которыми взаимодействует данная. В таком случае сила Еа, действующая на данную частицу со стороны ее соседа номер а, определяется по формуле

/г = Ш-__(3)

эд, дА_а(г + аа)

Данное представление позволяет получить выражение для эквивалентных тензоров напряжений Коши и Пиола. Для этого как и ранее проводится осреднение уравнений движения частиц и применяется длинноволновое приближение. В результате получаются следующие формулы для тензоров Коши и Пиола

а а —«

Доказывается, что для вычисления напряжений можно использовать и полученные ранее для парных взаимодействий формулы (1). Для этого достаточно I! (1) в качестве определения £а использовать формулу (3). Таким образом, формулы (1) совместно с формулой (3) могут быть использованы для вычисления напряжений и системах с произвольными мпогочастичными потенциалами взаимодействий. Выражение для вектора теплового потока получается аналогично тому как это делалось в пункте 1.4.2. Доказывается, что для вычисления вектора теплового потока можно использовать формулы (2), если силу £ определять по формуле (3).

В параграфе 1.6 описанный выше подход применяется для вывода выражений для эквивалентных термомеханических параметров идеальных кристаллов с парными моменгными взаимодействиями. Рассматриваются кристаллы с простой кристаллической решеткой, состоящие из частиц с вращательными степенями свободы (точечных твердых тел). Взаимодействия между частицами описываются посредством сил и моментов, зависящих от взаимного расположения и ориентации частиц. В ходе осреднения уравнений поступательного и вращательного движения частиц и применения длинноволнового приближения получаются следующие выражения, связывающие тензор напряжений и тензор моментпых напряжений с микропараметрами

1 = £=±£ло(м„), (5)

а а

где Ма момент, действующий на частицу со стороны ее соседа помер а. Выражение для вектора теплового потока в актуальной конфигурации Н как и ранее получается при осреднении уравнения баланса энергии, приходящейся на частицу, и применении длинноволнового приближения.

а = Е ' + 5) + Ма ■ (5 + £•„))■ (С)

а

В параграфе 1.7 выражение для тензора напряжений Коши, полученное в параграфе 1.4, используется для вывода уравнений состояния идеальных кристаллов с парными силовыми взаимодействиями. Проводится разделение тензора напряжений, а также средней внутренней энергии, приходящейся на частицу, па "холодную" и "тепловую" компоненты

^¿Е^Ш, 1т = 1-10, и = и0 + ит,

а . .

а а

Здесь П - потенциал межатомных__взаимодействий. Далее проводится разложение тепловых компонент в ряд по Аа, I! результате чего получаются следующие выражения

= ЕХЖ"+1^ 0 (-4). Е Е ^2 - °

а п—1 а п—1

где п+1£а = д^уМд =о> п~а =® Ла- Система уравнений (8) представляет собой уравнение состояния в неявном виде.

В первом приближении и разложении (8) оставляются только первые ненулевые слагаемые. Делается следующее предположение: = к2/(1Е, где

к2 = ^ — размерность пространства. В результате получается уравнение

состояния для давления р в форме Ми-Грюнайзена

Р-П + Г-, Ро = Г=- аЕ(МФа + 2Ф,А1) Л

0)

где Г — функция Грюнайзена; Ф{А) = -П'(Л)/Л; в случае объемного деформирования Аа = (У/Уо)1^ аа. Полученное выражение для функции Грюнайзена сравнивается с моделями Салтера, Дагдейла-МакДональда и теорией свободного объема. Показывается, что при учете взаимодействий только ближайших соседей функция Грюнайзена, задаваемая формулой (9), в точности совпадает с результатом, полученным на основе теории свободного объема. Определяются выражения для функции Грюнайзена для простейших парных потенциалов взаимодействия:

• Для потенциала Леннарда-Джонса

1 4(8 - <1)6* - 7(14 - в)

<1 (8-с/)06-(14-й) 1 ;

• Для потенциала Ми

• Для потенциала Морзе

_ 1 е^'-9) (4(32а2д2 - 2йфав - й,) - (р2а2в2 - ¿фав - <!,) ~ 2й е№-<»{2аав - (к) - {/Зав - к) ^

где в = (У/Уо)1^, ¿1 = д, — 1; п., т - параметры потенциала Ми; ¡3 — параметр потенциала Морзе. Проводится сравнение с результатами, полученными в монографии Глушака, Куропатепко па основе классических моделей с учетом экспериментальных данных. В настоящей работе зависимость коэффициента Грюнайзена рассчитывается по формуле для потенциала Морзе (12). Безразмерный параметр потенциала Морзе Ра выбирается таким образом, чтобы удовлетворит экспериментальному значению коэффициента Грюнайзена при V = 14). На рис. 2 приведены графики зависимости Г(1//1^), рассчитанные согласно формуле (12), а также приведены данные из монографии Глушака, Куропатепко для ряда металлов с граиецептрированной кубической (ГЦК) решеткой. Кривые А1, А2 на рис. 2 соответствуют зависимостям коэффициента Грюнайзена

от объема дли алюминия и свинца, предлагаемым I! данной работе; кривые В1, В2 соответствуют аналогичным зависимостям из работы Глушака, Куропатеп-ко. Тс же кривые для никеля (С1, 01) и меди (С2, Б2) изображены на рис. 2. Для алюминия и свинца погрешность не превосходит 4%. Для никеля и меди

г 2.5

2.0

1.5

1.0

Г 2.50 2.252.00 1.751.50-

0.5 0.6

0.7 0.Î

V/V0

0.9 1.0

1.25

Cl С2 D1 D2

0.5 0.6

0.7 0.8 V/V0

0.9

1.0

Рис. 2: Зависимость коэффициента Грюнайзена от объема для алюминия и свинца, меди и никеля

максимальная погрешность составляет 18%.

Во втором приближении в формуле (8) оставляются слагаемые до четвертого порядка включительно. Предполагается, что тензоры МаЛа4аД>/ являют-

ся изотропными и не зависят от п. Тогда они представимы в виде \£аАаАаАа^

щщ (ЕЕ + §кШ§к + §к^пёк§п) ■ где ек — орты Декартова базиса; используется суммирование по повторяющимся индексам к, п от 1 до d. В результате, путем исключения к из выражений для давления и тепловой энергии, получается следующее уравнение состояния, нелинейное по тепловой энергии.

№ = Щщ^ (л - /Я + 'ВД/г) + fuT,

где функции fi имеют вид

(13)

/2 =

4cP(d + 2)V

£ [(о! + 2)(d + 4)Ф1Аа2 + 4(d + 4)<'V + 4Ф:'Аа°] ,

ф! + i<p"A 2 + 4

а ' d

_ф"'А 4

rf(d+2) а л

Параметр А определяется на основе молекулярно-динамического моделирования. Для кристалла с ГЦК решеткой и взаимодействиями, описываемыми потенциалом Лен нарда-Джонса, А « 1.7. Для сравнения уравнения (13) с уравнением состояния в форме Ми-Грюнайзена строятся зависимости рт(£/г) для потенциала Леннарда-Джонса при различных значениях объемной деформации.

Кривые А1, А2 на рис. 3 соответствуют уравнению состояния Ми-Грюнайзена при У/К0 = 0.9, У/У0 = 1.1; кривые В1, В2 - уточненному уравнению состояния (13) при У/Ц, = 0.9, У/У0 = 1.1. Из рис. 3 видно, что функция рт(ит)

р.а-'УО 4

3

2

0

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 и,/о

Рис. 3: Зависимость теплового давления от тепловой энергии при У7УП = 09 У/Ц, = 1.1

практически линейна, следовательно коэффициент Грюнайзена в предлагаемой модели слабо зависит от тепловой энергии. Максимальная погрешность уравнения Ми-Грюнайзена в рассмотренном диапазоне тепловых энергий составляет порядка 10%.

Глава 2 посвящена описанию термомеханических параметров графена. В главе дается обзор различных подходов к моделированию термомеханических свойств графена. В данной работе для моделирования графена используются частицы с вращательными степенями свободы при моментных взаимодействиях. Формулируются общие соотношения, которым должен удовлетворять моментный потенциал. Строится моментный потенциал для вр2 углерода, позволяющий с высокой точностью описывать упругие и прочностные свойства графена. Получаются аналитические выражения, связывающие параметры потенциала с характеристиками углерод-углеродной связи. Проводится серия молекулярно-динамических экспериментов по определению механических характеристик графена при наличии и отсутствии теплового движения. Параметры потенциала определяются исходя из сравнения результатов молекулярпо-динамического моделирования и известных экспериментальных данных. Глава 2 состоит из четырех параграфов.

В параграфе 2.1 проводится обзор существующих методов описания взаимодействий в графене. В частности, рассматриваются квантово-механические подходы, дискретно-континуальные модели, многочастичные потенциалы и мо-ментные взаимодействия.

В параграфе 2.2 приведены основные соотношения, описывающие парные моментпые взаимодействия. Считается, что частицы взаимодействуют посредством сил и моментов, зависящих от их взаимного расположения и ориен-

тации. Основные рассуждения проводятся на примере системы из двух частиц, помеченных индексами 1 и 2. Вводятся следующие обозначения: Л/,— сила и момент, действующие на частицу г со стороны второй частицы, причем момент М,: вычислен относительно частицы г. Величины М,; удовлетворяют третьему закону Ньютона для сил, аналогу третьего закона Ньютона для моментов и уравнению баланса энергии. Сравниваются различные способы задания ориентации частиц и соответствующие способы задания внутренней энергии. Показывается, что наиболее простым является представление внутренней энергии II как функции векторов, жестко связанных с частицами: и = 11 (г12, ЫЬел,. {^ЬеЛг), где {"'¿Ъел,, ЫЬел2 - Д^а множества единичных векторов, жестко связанных с частицами 1 и 2 соответственно, А], Л2 — множества индексов. В силу принципа материальной объективности внутренняя энергия должна зависеть от инвариантных величии: гп,§12 -п],^ -п§, где

Г12 = Гг —Гь Г/ " радиус-вектор частицы г; е12 = Г1г/г12- Выводятся формулы, связывающие силы и моменты, действующие между частицами, с внутренней энергией

Е=~ = г = 1,2. (14)

им

В параграфе 2.3 на основе изложенного подхода строится потенциал для ,чр2 углерода. Вводятся единичные векторы = 1, - -, 4, связанные с частицей г. Векторы п-, п?, п| располагаются в одной плоскости под углами 27г/3 друг к другу. Вектор п- определяется соотношением п\ = 2П,1 х 3. Энергия взаимодействия частиц 1 и 2 представляется в виде:

з

и = фц(г12) + фА{г 12) (1/в + г/т), = I] • Й2) [</'(§12' п{) + Ф(?21 • "г)] , ит = ит(п\ ■ п\, е12 • п41: е21 • п2),

(15)

Функции (¿»л описывают притяжение/отталкивание между частицами; 1!в, 1)т обеспечивают сопротивление связи сдвигу, изгибу и кручению. Конкретные выражения для функций, входящих в формулу (15), выбираются таким образом, чтобы в точности удовлетворить следующим параметрам межатомной связи: энергии связи О, продольной, поперечной, изгибной и крутильной жесткостям сд, с.о,св, сг, критической длине связи1 Ь и коэффициенту нелинейности к„ = са(Ь - а)//», где /» — прочность связи. Предлагается следующий

'Критической длиной связи называется расстояние, соответствующее максимальной силе, возникающей между частицами при растяжении связи.

набор функций

5

Фн(з) = В2В4— (з - а)4 , зб[0;о];

ф(в) = *2(к1 + - 1)) , 5 е [0; 1]; ф) = з2 (1 + В9(5 + 1)), 5 € [-1; 0]; ит(з1,з2,з3) = В10((з1 + 8283)2(1 + з22)(1 + з1)-1).

(16)

где а — равновесное расстояние: — радиус обрезания. Важной особенностью функций (16) является то, что входящие в них параметры В, достаточно просто выражаются через механические характеристики межатомной связи. Показывается, что выражения для В; имеют вид

Из формул (17) видно, что подбором параметров потенциала (16) можно в точности удовлетворить значениям величин О, а, Ь, сд, со, сг, с.в,к,, характеризующих межатомные связи в графене. В свою очередь свойства межатомных связей определяют механические свойства графена на макроуровне.

В параграфе 2.4 значения микропараметров Ь,сл,со,ст,св,к» подбираются из условия наиболее точного описания экспериментальных значений упругих и прочностных характеристик графена (С. Ьее, е^ а1., 2008; О.Ь. В1акз1ее, е^ а1., 1970). Для определения продольной с а и поперечной со жесткостсй связи проводится серия молекулярно-динамических экспериментов по одноосному деформированию графена при температуре 300ЛГ. При моделировании численно решается следующая система уравнений движения частиц: тй; = ./•.',,. ./у,; = >2^; Л/,,, где т, ■] — масса и момент инерции частицы (для простоты предполагается, что частицы имеют шаровой тензор инерции). Силы и моменты действующие, на частицу г со стороны частицы рассчи-

тываются на основе потенциала (15) по формулам (14). В ходе моделирования вычисляются модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона V графена. Значения сд и со выбираются из условия наилучшего соответствия результатов моделирования и экспериментальных значений упругих модулей. Параметры св,су выбираются исходя из соответствия изгибной жесткости графенового листа, определяемой потенциалом (15), и результатов расчета на основе потенциала Бреннера 1-го поколения, проводимых в литературе. Для определения прочностных характеристик связи Ь, к„ проводится молекулярно-динамическое моделирование

одноосного растяжения графенового листа в направлениях "зигзаг'' и "кресло". В ходе моделирования определяются предел прочности асг и критическая деформация £„■ Параметры b,k. выбираются, исходя из условия наилучшего соответствия результатов расчетов и экспериментальных данных. В результате получаются следующие значения микропараметров

D = 0.7899 нН ■ им, а = 0.1430 им, /; = 0.1859 им. к, = 3.1,

(18)

сл = 800.0 Н/м, cD = 396.0 Н/м, св = ст = 0.3902 пН • им.

где значения для D, а взяты из литературы. Соответствующие значения паря-метров потенциала (15) и других характеристик модели имеют вид:

= -0.7899 нН • им, ß2 = 400.0 Н/м, В3 = -0.6882, £?4 = 0.1774,

Въ = -0.4297 нН • им, Ве = 11.07 пН. В7 = 0.1421, Bs = 4.126,

«,=4.069, Вщ = 0.2470, аса, = 0.2325 им, .7 = О.ОЬтга2, m = 19.92 зг.

(19)

Параметры В7, a.cut, характеризующие дальнодействие потенциала, находятся из решения системы уравнений <xu(ßcu() = 0, <t>'A{acut) = 0-

Значения механических характеристик графена, полученные в ходе моделирования, а также результаты расчета (Н. Zhao, N.R. Alurua, 2010) на основе потенциала AIREBO (S.J. Stuart, et, al., 2000) и экспериментальные данные приведены в таблице 1. Из таблицы 1 видно, что полученные в настоящей работе

величина потенциал (15) потенциал AIREBO эксперимент, источник

Е. Н/м 346.5 338 350, Blakslee, et,.al.(1970)

V 0.171 0.21 0.17, Blakslee, et.al.(1970)

(тс,.(зигзаг), Н/м 45.8 43 42*, Lee, et.al.(2008)

гхс,(кресло), Н/м 42.6 34 42*, Lee, et.al.(2008)

еа (зигзаг) 0.196 0.20 0.25, Lee, et.al.(2008)

есг{ кресло) 0.186 0.13 0.25, Lee, et.al.(2008)

К в, нН-пм 0.225 0.225" -

погрешность < 1% <5% < 20%

Таблица 1: Механические характеристики графена: экспериментальные данные и результаты молекулярно-динамического моделирования. * Прочностные свойства графена считались изотропными. ** Расчет па основе потенциала Бреннера 1-го поколения ((¡>. Ьи, е1. а1., 2009).

значения механических характеристик графена хорошо согласуются экспериментальными данными и результатами расчета на основе потенциала АШЕВО. Значения упругих модулей не более чем па 1% отличаются от экспериментальных данных. Прочностные характеристики совпадают с экспериментальными значениями, с точностью, равной погрешности эксперимента. Отметим также, что в отличие от потенциала АШ-ЕВО, потенциал (15) позволяет в точности

удовлетворить экспериментальному значению коэффициента Пуассона. Таким образом, предложенный потенциал (15) позволяет описать все упругие и прочностные характеристики графена в пределах погрешности известных экспериментальных данных.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

1. Развит подход к определению эквивалентных термомеханических параметров идеальных кристаллов с произвольными многочастичными взаимодействиями. Получены выражения, связывающие тензор напряжений Коши, тензор напряжений Пиола, вектор теплового потока с параметрами кристалла па микроуровне. Проведено сравнение полученного выражения для тензора напряжений Коши с тензором Харди и вириальным тензором па-пряжений.

2. Развит подход к получению уравнений состояния идеальных кристаллов, основанный па использовании выражений для эквивалентных термомеханических параметров. Выведено уравнение состояния в форме Ми-Гюнайзе-па. Определена зависимость функции Грюнайзена от объема для кристаллов с произвольными парными потенциалами взаимодействия. Рассчитаны функции Грюнайзена для кристаллов, описываемых потенциалами Лепнарда-Джонса. Ми, Морзе. Получено уточненное уравнение состояния, нелинейное по тепловой энергии. Показано, что I! рассмотренном диапазоне тепловых энергий, погрешность уравнения Ми-Грюнайзена составляет не более 10%. Проведено сравнение полученных результатов с расчетами методом молекулярной динамики и известными экспериментальными данными.

3. Проведено обобщение предложенного подхода к определению эквивалентных термомеханических параметров идеальных кристаллов на случай мо-ментпых взаимодействий. Получены выражения, связывающие тензор напряжений, тензор моментных напряжений и вектор теплового потока с параметрами кристалла па микроуровне.

4. Разработан моментный потенциал, позволяющий проводить трехмерное моделирование процессов деформирования и разрушения графена методом молекулярной динамики. Функции, входящие в потенциал, подобраны таким образом, чтобы в точности удовлетворить упругим и прочностным характеристикам межатомной связи в графснс. Получены аналитические выражения, связывающие параметры потенциала с характеристиками углерод-углеродной связи.

5. Проведено молекулярно-дипамическое моделирование деформирования и разрушения графена при отсутствии теплового движения и при температуре 300К. Проведена калибровка параметров моментного потенциала из условия наилучшего соответствия результатов расчета и известных экспериментальных значений упругих и прочностных характеристик графена.

Показано, что предложенный потенциал позволяет описать все упругие и прочностные характеристики графепа в пределах погрешности известных экспериментальных данных.

Публикации по теме исследования

а) Публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК и монографиях:

1. Кузькин В.А., Кривцов A.M. Простейшая модель для аналитического вывода уравнения состояния идеальных кристаллов // Вестн. С -Петерб унта. Сер. 1, 2007, Вып. 3, С. 24-31.

2. Кузькин В.А., Кривцов A.M. Моделирование деформирования и разрушения фибриллярных структур // Вычисл. мех. сплош. сред. 2008. Т. 1, № 3. С. 7G-84.

3. Упругие и тепловые свойства идеальных кристаллов: учебное пособие // Под ред. Кривцова A.M., СПб. Изд-во СПбГПУ, 2009. - 144 с.

4. Кузькин В.А., Михалюк Д.С. Применение численного моделирования для идентификации параметров модели Джонсона-Кука при высокоскоростном деформировании алюминия // Вычисл. мех. сплош. сред. Т.З, №1, 2010. С. 32-43.

5. Kuzkin V.A. Interatomic force in systems with multibody interactions /7 Piiys Rev. E 82, 01C704 (2010). " '

6. Кривцов A.M., Кузькин B.A. Получение уравнений состояния идеальных кристаллов простой структуры // Известия РАН. Механика твердого тела No. 3, 2011, с. 07-82.

7. Kovalev О.О., Kuzkin V.A. Analytical expressions for bulk moduli and frequencies of volumetrical vibrations of fullerenes C20 and C60 // Nanosystems- physics chemistry, mathematics, 2011, 2 (2), pp. 65-70.

8. Кузькии B.A., Кривцов A.M. Описание механических свойств графена с использованием частиц с вращательными степенями свободы // ДАН, 2011, том 440, № 4 ¡направлено в печать]

б) Другие публикации:

1. Кузькин В.А., Кривцов A.M.. Получение уравнений состояния идеальных кристаллов // XXXV Неделя науки СПбГПУ, 20-25 ноября 200G. Материалы межвузовской научной конференции. 2006. С. 108-110.

2. Kuzkin V.A. Equation of state for the particle in the potential well // Proc. of XXXIV Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics" St Petersburg. 2006. pp. 323-329.

3. Kuzkin V.A., Tikhonova M.S. Equation of state for Gaussian chain // Proc. of XXXVI Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics" St Petersburg. 2008. pp. 401-409.

4. Kuzkin V.A. Comparison of approaches based on statistical physics and particle dynamics for equations of state derivation// Proc. of XXXVI Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg. 2008. P. 409419.

5. Kuzkin V.A., Krivtsov A.M. Microscopic Derivation of the Equation of State for Perfect Crystals // Proceedings of the Sixth International Conference on Engineering Computational Technology, M. Papadrakakis, and B.H.V. Topping (Editors), Civil-Comp Press, Stirlingshire, Scotland, paper 145, 2008.

6. Кузькин B.A., Тихонова M.C., Кривцов A.M. К выводу уравнений состояния одномерной цепочки // XXXVII Неделя науки СПбГПУ, 2008. Материалы межвузовской научной конференции, 2008.

7. Kuzkin V.A. Equivalent thermo-mechanical parameters for perfect crystals with arbitrary multibody potential // Proc. of XXXVII Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg. 2009.

8. Kuzkin V.A., Krivtsov A.M. Thermo-mechanical effects in perfect crystals with arbitrary multibody potential // Proc. of Joint U.S. Russia conference on Advances in Material Science, Prague, 2009, II, pp. 30-34.

9. Тан Ч.З., Кузькин В. А. Исследование зависимости коэффициента Грюнай-зена от вида деформирования /'/' XXXVIII Неделя науки СПбГПУ, 2009. Материалы межвузовской научной конференции, 2009, с. 108-110.

10. Kuzkin V.A. Comment on the calculation of forces for multibody interatomic potentials // arXiv:1003.5267vl [cond-mat.mtrl-sci]

11. Kuzkin V.A., Krivtsov A.M. Thermo-mechanical effects in perfect crystals // Proc. of IUTAM Symposium on The Vibration Analysis of Structures with Uncertainties, 2009, pp. 403-416.

12. Kuzkin V.A., Krivtsov A.M. Equivalent thermo-mechanical parameters for perfect crystals // arXiv: 1004.3008 [cond-mat.mtrl-sci]

13. Ковалев О.О., Кузькин В.А. вычисление модулей объемного сжатия фул-леренов С20 и CG0 // XXXIX Неделя науки СПбГПУ, 2010. Материалы межвузовской научной конференции, 2010. С. 107-109.

14. Wolff M.F.H., Salikov V., Antonyuk S., Heirtrich S., Kuzkin V.A., Schneider G.A. Discrete Element Modelling of ceramic/polymer composites // Proc. of Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg. 2011, pp. 522-531

1 Введение

2 Определение эквивалентных термомеханических параметров идеальных кристаллов

2.1 Известные методы вычисления эквивалентных термомеханических параметров дискретных систем.

2.2 Основные гипотезы. Длинноволновое приближение.

2.3 Кинематика идеального кристалла в длинноволновом приближении.

2.4 Эквивалентные параметры для кристаллов с парными силовыми взаимодействиями

2.4.1 Тензор напряжений.

2.4.2 Вектор теплового потока.

2.4.3 Сравнение различных выражений для тензора напряжений.

2.4.4 Пример: вычисление напряжений вокруг пары краевых дислокаций

2.5 Эквивалентные параметры для кристаллов с многочастичными взаимодействиями

2.5.1 Особенности вычисления напряжений в кристаллах с многочастичными взаимодействиями.

2.5.2 Различные представления силы, действующей между двумя частицами

2.5.3 Тензор напряжений.

2.5.4 Вектор теплового потока.

2.5.5 Пример вычисления напряжений в кристалле с многочастичными взаимодействиями.

2.6 Эквивалентные параметры для кристаллов с парными моментными взаимодействиями

2.6.1 Моментные взаимодействия.

2.6.2 Тензор напряжений.

2.6.3 Тензор моментных напряжений. Частицы с шаровым тензором инерции

2.6.4 Вектор теплового потока. Частицы с шаровым тензором инерции

2.6.5 Эквивалентные термомеханические параметры систем несферических частиц.

2.7 Вывод уравнений состояния идеальных кристаллов.

2.7.1 Различные подходы к получению уравнений состояния

2.7.2 Разделение основных величин на холодную и тепловую компоненты

2.7.3 Первое приближение. Уравнение Ми-Грюнайзена.

2.7.4 Важные частные случаи.

2.7.5 Коэффициент теплового расширения.

2.7.6 Особые точки функции Грюнайзена.

2.7.7 Сравнение с классическими моделями

2.7.8 Второе приближение. Уравнение состояния, нелинейное по тепловой энергии.

2.7.9 Зависимость коэффициента Грюнайзена от деформированного состояния

2.7.10 Вывод уравнений состояния идеальных кристаллов с многочастичными взаимодействиями.

3 Описание термомеханических параметров графена

3.1 Различные подходы к описанию механических свойств графена

3.2 Построение моментного потенциала взаимодействия.

3.2.1 Общие соотношения.

3.2.2 Представление потенциала как функции векторов и тензоров поворота частиц.

3.2.3 Представление потенциала как функции векторов, жестко связанных с частицами.

3.3 Построение моментного потенциала для sp2 углерода.

3.3.1 Общая форма потенциала.

3.3.2 Построение функций, входящих в потенциал

3.3.3 Ограничения на выбор радиуса обрезания.

3.4 Описание термомеханических характеристик графена.

3.4.1 Калибровка параметров моментного потенциала при отсутствии теплового движения.

3.4.2 Калибровка параметров моментного потенциала при температуре 300/Г

3.4.3 Определение упругих и прочностных характеристик графена при отсутствии теплового движения.

3.4.4 Определение коэффициента теплового сжатия графена.

If in some cataclysm all scientific knowledge were to be destroyed and only one sentence passed on to the next generation of creatures, what statement would contain the most information in the fewest words? I believe it is the atomic hypothesis that all things are made of atoms-little particles that move around in perpetual motion, attracting each other when they are a little distance apart, but repelling upon being squeezed into one another. In that one sentence, you will see there is an enormous amount of information about the world, if just a little imagination and thinking are applied (c) Richard Feynman

Актуальность темы

Для решения задач механики, в которых по той или иной причине нарушается сплошность материала, на практике часто применяются дискретные способы описания, основанные на методах молекулярной динамики и дискретных элементов. При этом важно сравнение результатов, полученных дискретными методами, с аналогичными результатами, полученными на основе хорошо разработанного аппарата механики сплошных сред. Примером структур, для описания которых применяются как дискретные, так и континуальные подходы, являются наноструктуры. Необходимость согласования дискретного и континуального подходов делает актуальной проблему определения» эквивалентных термомеханических параметров, таких как тензоры напряжений и вектор теплового потока, для дискретных систем.

В настоящей работе подход к определению эквивалентных термомеханических параметров разрабатывается на примере идеальных кристаллов. Идеальные кристаллы, с одной стороны, являются удобной математической моделью, позволяющей проводить аналитические выкладки. С другой стороны, с развитием нанотехнологий становится возможным создание практически бездефектных кристаллов, близких к идеальным. В частности, перспективным материалом с низкой плотностью дефектов является графен.

Подход к определению эквивалентных термомеханических параметров может использоваться для интерпретации и верификации результатов, полученных методами молекулярной динамики и дискретных элементов. Задача интерпретации результатов возникает при решении дискретными методами задач, требующих рассмотрения также методами континуальной механики. Кроме того, определение эквивалентных термомеханических параметров необходимо при построении законов взаимодействия в дискретных средах (атомарных, гранулированных, сыпучих и т.п.) В частности, в данной работе проводится построение потенциала для описания механических свойств графена.

Определение эквивалентных термомеханических параметров дискретных систем важно также при решении задач механики деформируемого твердого тела связанными дискретно-континуальными методами. В основу данных методов положено представление моделируемого объекта в виде двух частей, одна из которых описывается дискретными методами, а другая — континуальными. При этом для корректного сопряжения указанных частей необходимо вычисление эквивалентных термомеханических параметров дискретной системы в области сопряжения.

Другой важной проблемой механики деформируемого твердого тела, для решения которой могут быть использованы выражения для эквивалентных термомеханических параметров, является уточнение существующих и конструирование новых определяющих соотношений (уравнений состояния). Определяющие соотношения необходимы для моделирования поведения сплошных сред при различных термомеханических воздействиях.

Таким образом, разработка подходов к определению эквивалентных термомеханических параметров идеальных кристаллов является актуальной проблемой современной механики деформируемого твердого тела.

Методика исследования

Основным методом исследования, используемым в данной диссертационной работе, является метод динамики частиц (в частности, молекулярной динамики), основанный на представлении вещества в виде совокупности взаимодействующих материальных точек или твердых тел, поведение которых описывается законами классической механики. Данный метод используется в диссертационной работе как для аналитических выкладок (определения связи эквивалентных термомеханических параметров с параметрами дискретной системы, получения уравнений состояния), так и для компьютерного моделирования (в частности, деформирования и разрушения графена). Более подробное описание метода приведено ниже.

Цель работы

Целью данной работы является разработка подходов к определению эквивалентных термомеханических параметров идеальных кристаллов при различных видах межатомных-взаимодействий.

Научную новизну работы составляют следующие результаты, выносимые на защиту:

1. Развит подход к определению эквивалентных термомехапических параметров идеальных кристаллов с произвольными многочастичными взаимодействиями. Получены выражения, связывающие тензор напряжений Коши, тензор напряжений Пиола и вектор теплового потока с параметрами кристалла на микроуровне. Проведено сравнение с аналогичными выражениями, используемыми в литературе.

2. Развит подход к получению уравнений состояния идеальных кристаллов, основанный на использовании выражений для эквивалентных термомеханических параметров. Для кристаллов с парными силовыми взаимодействиями выведено уравнение состояния в форме Ми-Гюнайзена. Получено уточненное уравнение состояния, нелинейное по тепловой энергии. Проведено сравнение полученных результатов с известными экспериментальными данными.

3. Проведено обобщение предложенного подхода к определению эквивалентных термомеханических параметров идеальных кристаллов на случай моментных взаимодействий. Получены выражения, связывающие тензор напряжений, тензор моментных напряжений и вектор теплового потока с параметрами кристалла на микроуровне.

4. Разработан моментный потенциал, позволяющий проводить трехмерное моделирование процессов деформирования и разрушения графена методом молекулярной динамики. Получены аналитические выражения, связывающие параметры потенциала с характеристиками углерод-углеродной связи. о. Проведена калибровка параметров моментного потенциала с использованием молеку-лярно-динамического моделирования деформирования и разрушения графена при отсутствии теплового движения и при температуре 300Я". Показано, что предложенный потенциал позволяет описать все упругие и прочностные характеристики графена в пределах погрешности экспериментальных данных.

Достоверность полученных результатов

Достоверность результатов достигается использованием апробированных физических моделей, сравнением с экспериментальными данными, применением современных методов и вычислительных средств и известных методик моделирования, использованием при вычислениях тестовых моделей, допускающих точное аналитическое решение.

Практическая значимость работы

Полученные выражения для эквивалентных макропараметров могут быть использованы для верификации, трактовки и сравнения результатов молекулярно-динамического моделирования с расчетами на основе механики сплошных сред. Данные выражения'позволяют вычислять в ходе молекулярно-динамического или дискретно-элементного моделирования эквивалентные параметры в кристаллах с произвольными многочастичными взаимодействиями. Полученные уравнения состояния .могут быть использованы в пакетах прикладных программ, таких как, например ЬБ-ОУКА, для моделирования высокоскоростных процессов в деформируемых твердых телах методом конечных элементов. Моментный потенциал, предлагаемый в работе может применяться для моделирования поведения графена и прочих углеродных наноструктур с ер2 гибридизацией при различных физико-механических воздействиях. В частности, это может потребоваться при разработке графеновых нанорезонаторов. Практическая значимость работы подтверждается успешным применением данного потенциала для решения прикладных задач, таких как исследование деформирования и разрушения графена при растяжении.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на семинарах Института проблем машиноведения РАН (Санкт-Петербург), кафедры "Теоретическая механика" СПбГПУ, Института Геохимии и Аналитической Химии^им. Вернадского В.И. РАН (Москва), а также на всероссийских и международных конференциях: "Advanced Problems in Mechanics" (Санкт-Петербург, 2005, 2006, 2007, 2008, 2010, 2011), Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006), XVI Всероссийская школа-конференция молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках" (Пермь, 2007), The Sixth International conference on Engineering Computational Technology (Greece, Athens, 2008), Всероссийская конференция "Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела" (Пермь, 2008), Первая научно-техническая конференция молодых специалистов ОАО "КБСМ" (Санкт-Петербург, 2009), Workshop on Molecular Dynamics (UK, Warwick, 2009), IUTAM Symposium on "The Vibration Analysis of Structures with Uncertainties" (St. Petersburg, 2009), Joint US-Russian conference "Advances in Material Science" (Czech Republic, Prague, 2009), Международная научно-практическая конференция "Неделя науки СПбГПУ" (Санкт-Петербург, 2007, 2008, 2009, 2010).

Публикации по теме исследования а) Публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК и монографиях:

1. Кузькин В.А., Кривцов A.M. Простейшая модель для аналитического вывода уравнения состояния идеальных кристаллов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, 2007, Вып. 3, С. 24-31.

2. Кузькин В.А., Кривцов A.M. Моделирование деформирования и разрушения.фибриллярных структур // Вычисл. мех. сплош. сред. 2008. Т. 1, е 3. С. 76-84.

3. Упругие и тепловые свойства идеальных кристаллов: учебное пособие // Под ред. Кривцова A.M., СПб. Изд-во СПбГПУ, 2009. - 144 с.

4. Кузькин В.А., Михалюк Д.С. Применение численного моделирования для идентификации параметров модели Джонсона-Кука при высокоскоростном деформировании алюминия // Вычисл. мех. сплош. сред. Т.З, el, 2010. С. 32-43.

5. Kuzkin V.A. Interatomic force in systems with multibody interactions // Phys. Rev. E 82, 016704 (2010).

6. Кривцов A.M., Кузькин В.А. Получение уравнений состояния идеальных кристаллов простой структуры // Известия РАН. Механика твердого тела, No. 3, 2011, с. 67-82.

7. Kovalev О.О., Kuzkin V.A. Analytical expressions for bulk moduli and frequencies of volumetrical vibrations of fullerenes C20 and C60 // Nanosystems: physics, chemistry, mathematics, 2011, 2 (2), P. 65-70.

8. Кузькин В.А., Кривцов A.M. Описание механических свойств графена с использованием частиц с вращательными степенями свободы // ДАН, 2011, том 440, №4 [направлено в печать] б) Другие публикации:

1. Кузькин В.А., Кривцов A.M. Получение уравнений состояния идеальных кристаллов // XXXV Неделя науки СПбГПУ, 20-25 ноября 2006. Материалы межвузовской научной конференции. 2006. С. 108-110.

2. Kuzkin V.A. Equation of state for the particle in the potential well // Proc. of XXXIV Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg. 2006. P. 323-329.

3. Kuzkin V.A., Tikhonova M.S. Equation of state for Gaussian chain // Proc. of XXXVI Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg. 2008. P. 401-409.

4. Kuzkin V.A. Comparison of approaches based on statistical physics and particle dynamics for equations of state derivation// Proc. of XXXVI Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg. 2008. P. 409-419.

5. Kuzkin V.A., Krivtsov A.M. Microscopic Derivation of the Equation of State for Perfect Crystals // Proceedings of the Sixth International Conference on Engineering Computational Technology, M. Papadrakakis, and B.H.V. Topping (Editors), Civil-Comp Press, Stirlingshire, Scotland, paper 145, 2008.

6. Кузькин B.A., Тихонова M.C., Кривцов A.M. К выводу уравнений состояния одномерной цепочки // XXXVII Неделя науки СПбГПУ, 2008. Материалы межвузовской научной конференции, 2008.

7. Kuzkin V.A. Equivalent thermo-mechanical parameters for perfect crystals with arbitrary multibody potential // Proc. of XXXVII Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg. 2009.

8. Kuzkin V.A., Krivtsov A.M. Thermo-mechanical effects in perfect crystals with arbitrary multibody potential // Proc. of Joint U.S. Russia conference on Advances in Material Science, Prague, 2009, II, pp. 30-34.

9. Тан Ч.З., Кузькин В.А. Исследование зависимости коэффициента Грюнайзена от вида деформирования // XXXVIII Неделя науки СПбГПУ, 2009. Материалы межвузовской научной конференции, 2009, с. 108-110.

10. Kuzkin V.A. Comment on the calculation of forces for multibody interatomic potentials // arXiv:1003.5267vl [cond-mat.mtrl-sci]

11. Kuzkin V.A., Krivtsov A.M. Thermo-mechanical effects in perfect crystals // Proc. of IUTAM Symposium on The Vibration Analysis of Structures with Uncertainties, 2009, pp. 403-416.

12. Kuzkin V.A., Krivtsov A.M. Equivalent thermo-mechanical parameters for perfect crystals // arXiv:1004.3008 [cond-mat.mtrl-sci]

13. Ковалев O.O., Кузькин В.А. вычисление модулей объемного сжатия фуллеренов С20 и С60 // XXXIX Неделя науки СПбГПУ, 2010. Материалы межвузовской научной конференции, 2010. С. 107-109.

14. Wolff M.F.H., Salikov V., Antonyuk S., Heinrich S.( Kuzkin V.A., Schneider G.A. Discrete Element Modelling of ceramic/polymer composites // Proc. of Summer School - Conference "Advanced'Problems in Mechanics". St. Petersburg. 2011, pp. 522-531

Структура и объем работы

Работа состоит из введения, двух глав и заключения. Работа содержит 130 страниц, 22 рисунка, список литературы содержит 170 наименований.

Различные методы описания термомеханических свойств кристаллов. Обзор литерауры

Для описания термомеханических эффектов в деформируемых твердых телах на макроуровне применяется хорошо разработанный аппарат механики сплошных сред [39, 47, 51, 53]. В основу механики сплошных сред положены, так называемые, балансовые соотношения — уравнения баланса массы, импульса, момента импульса и энергии, не зависящие от свойств описываемого материала. Для замыкания системы уравнений баланса используются определяющие соотношения [53] (уравнения состояния [28]). Данный аппарат широко применяется для описания поведения твердых тел при различных механических и тепловых нагрузках. В частности, моделируются такие процессы как тепловое расширение, теплопроводность, термоупругость [7, 51], ударные волны [11, 28, 54] и т.д. Описанию термомеханнического поведения твердых тел методами механики сплошных сред посвящена обширная литература. История развития и современное состояние данной области отражено, в частности, в монографиях Б. Боли, Дж. Уэйнера [7], Б.Л. Глушака, В.Ф. Ку-ропатенко [11], В.Н. Жаркова, В.А. Калинина [20], B.C. Зарубина, Г.Н. Кувыркина [27], Я.Б. Зельдовича [28], В.И. Кондаурова, В.Е. Фортова [39], В. Новацкого [51] и других.

В задачах, где по той или иной причине нарушается сплошность материала, на ряду с континуальными методами описания термомеханического поведения твердых тел используются также дискретных методы, описанные ниже. В частности, совместное использование дискретных и континуальных методов актуально в задачах моделирования нанораз-мерных объектов [68, 61]. Рассмотрим дискретные методы, используемые в литературе для моделирования механических и тепловых свойств кристаллов. Данные методы можно разделить на две группы. Одни используют аппарат квантовой механики [41, 139, 116, 126], другие — классической механики [107, 65, 60, 34]. Рассмотрим сначала первую группу методов, часто называемую в литературе методами "ab initio". Приведем также синонимы данного названия, часто используемые в литературе: расчет из первых принципов (first principles), on-the-ñy, direct, extended Lagrangian, quantum chemical, Hellmann-Feynman, potential-free, quantum molecular dynamics (QMD). В рамках данной работы будем использовать название "ab initio". Основная идея семейства методов, ab initio сформулирована, например, в работе [139]: "Идея, лежащая в основе метода ab initio состоит в вычислении сил, действующих на ядра на основе вычисления электронной структуры. Вычисления проводятся "на лету"(оп-Ше~Ау), т.е. во время моделирования, а не заранее, как в классической молекулярной динамике." В основу метода положено решение нестационарного уравнения Шредингера для системы ионов и электронов. Данное уравнение может быть точно решено только в очень простых частных случаях (например, для атома водорода [41]), поэтому на практике используются существенные упрощения. В частности, во всех методах ab initio проводится разделение системы на две подсистемы: ионов и электронов, каждая из которых описывается своей системой уравнений. Поведение ионов описывается классическими уравнениями динамики Ньютона. Состояние электронной подсистемы в общем случае описывается нестационарным уравнением Шредингера. В зависимости от используемых приближений и методов описания указанных выше подсистем различают три разновидности метода ab initio [139]:

• Молекулярная динамика Эренфеста [85]

• Молекулярная динамика Борна-Оппенгеймера

• Молекулярная динамика Кара-Паринелло [74]

Достоинства и недостатки каждого из методов подробно обсуждаются в монографии [139]. В случае, когда динамика электронной подсистемы не представляет интереса для описания электронной системы используется стационарное уравнение Шредингера. Приближенное решение данного уравнения часто называют проблемой определения электронной структуры [116]. В литературе для решения данной проблемы наиболее часто используются методы Хартри-Фока и функционала плотности [106]. В методе Хартри-Фока волновая функция электронной подсистемы аппроксимируется с помощью набора базисных функций. Достоинства и недостатки данного метода описаны, например, в монографиях [116, 139]. К числу несомненных достоинств следует отнести возможность сравнения двух аппроксимаций волновой функции (из двух волновых функций ближе к точному решению та, которой соответствует меньшее значение энергии). Недостатком метода Хартри-Фока является чувствительность к выбору базисных функций и невозможность корректного описания свойств металлов [139]. Метод функционала плотности позволяет отказаться от нахождения волной функции системы. В основе данного метода лежат теоремы, доказанные Хоненбергом и Коном [106]. Данные теоремы показывают, что состояние системы полностью определяется, так называемой, электронной плотностью. Для этого доказывается, что энергия системы является функционалом электронной плотности. Основной проблемой метода является то, что точный вид функционала неизвестен. Поэтому на практике используются различные приближения [116, 139]. Метод функционала плотности широко применяется, в частности, для моделирования упругих свойств кристаллов [161, 95]. Отметим еще одну проблему, связанную с использованием метода функционала плотности. В рамках данного метода невозможно сравнить два различных приближения для, электронной плотности [116, 139]. Данное обстоятельство существенно усложняет проблему верификации результатов. Можно выделить два класса задач, при решении которых методы ab initio являются, на данный момент практически незаменимыми. Первый класс составляет моделирование систем, состоящих из большого числа различных типов атомов. При решении подобных задач методом молекулярной динамики [65] возникает проблема параметризации большого числа потенциалов взаимодействия. Второй класс составляют задачи в которых необходим учет динамики электронной подсистемы. Примером такой задачи является моделирование высокоинтенсивного лазерного воздействия на материал [114]. Указанные задачи выходят за рамки данной работы, поэтому методы ab initio в работе не используются.

В связи с необходимостью определения на каждом шаге электронной структуры методы ab initio требуют больших вычислительных ресурсов. В результате на данный момент возможно моделирование систем, состоящих максимум из нескольких тысяч атомов [139]. Для решения задач механики такого числа атомов часто не достаточно. Поэтому для описания механических свойств твердых тел в литературе предлагаются альтернативные методы [65, 61, 29]. В частности, широкое распространение получили, так называемые "стержневые" или "дискретно-континуальные" модели, впервые предложенные Одегар-дом [147] для моделирования углеродных структур. В рамках дискретно-континуальных моделей атомы соединяются пружинками или стержнями [132], что позволяет стабилизировать неплотноупакованные кристаллические решетки, такие как решетка графена. Подобные модели рассматривались и ранее, однако именно работа Одегарда привлекла внимание научной общественности. Данный подход получил развитие в работах Р.В. Гольдштейна, Д.С. Лисовенко, К.Б. Устинова, А.В. Ченцова и [61, 14, 17, 16, 17, 56]. В частности, в работе [61] предлагается дискретно-континуальная модель нанотрубки. В работе [14] исследуется поведение нанотрубок при растяжении и кручении. В работах [16,17] определяются упругие свойства наноусов. В работе [56] проводится моделирование нано-пластин углерода. Основным преимуществом "дискретно-континуальных" моделей является простота их интуитивного восприятия. Фактически они позволяют применять хорошо разработанный аппарат механики стержней [50] к моделированию наноструктур. Поэтому "дискретно-континуальные" модели нашли широкое применение. Например, в работе [3] исследуется потеря устойчивости нанотрубки при кручении. В работе [4] рассматривается контактное взаимодействие двух нанотрубок. Несмотря на несомненные преимущества дискретно-континуальных методов, стоит отметить и некоторые недостатки. Одним из недостатков является невозможность моделирования термомеханических процессов в кристаллах.

Напрямую учесть тепловое движение атомов и тем самым описать термомеханическое поведение кристаллов позволяет метод динамики частиц (в частности, молекулярной динамики [107, 65, 60, 34]). Метод молекулярной динамики, используется в данной работе для аналитических выкладок и компьютерного моделирования. В отличие от дискретно-континуальных моделей, данный метод позволяет явно учесть тепловое движение частиц и при этом существенно менее требователен к вычислительным ресурсам, чем методы ab initio. Остановимся на истории развития метода молекулярной динамики более подробно. Метод динамики частиц начал развиваться практически на заре появления вычислительной техники. Широкое применение метод нашел в механике [34], физике [107], химии, биологии при моделировании жидкостей [65], газов, сыпучих сред, порошков, гранулированных материалов, а также в задачах астрофизики [60]. Он стал использоваться для моделирования процессов на различных масштабных уровнях: от систем, состоящих из нескольких молекул, до систем космического'масштаба. Еще задолго до появления компьютерной техники предпринимались успешные попытки рассчитать траектории движения молекул вручную [103], а первая работа по молекулярной динамике с использованием компьютерных расчетов появилась уже в 1957 году [64], в которой авторы Берни Алдер и Том Вейнрайт исследовали фазовую диаграмму системы жестких сфер. Жесткими сферами называют модель частиц, которые движутся свободно и взаимодействуют между собой лишь при столкновениях (абсолютно упруго соударяются). Такая модель позволяет фактически отказаться от самой ресурсоемкой части молекулярно-динамического моделирования — вычисления сил межатомного взаимодействия. Несмотря на существенные упрощения характерный размер системы в то время составлял порядка 100 атомов.

В 1960 году вышла в печать статья Дж. Гибсона, А. Голанда, М. Милграма и Г. Ви-ньярда [97], в которой впервые описывалось молекулярно-динамическое моделирование с непрерывным потенциалом (потенциалом, непрерывно зависящим от расстояния между частицами). В статье рассматривалось образование дефектов в кристаллической меди вследствие радиационного повреждения. Исследовалась система из 500 атомов, расчеты проводились на компьютере IBM 704, один шаг интегрирования занимал около минуты. В 1964 году А. Рахман опубликовал работу [151], в которой было проведено моделирование жидкого аргона с использованием потенциала Леннарда-Джонса [127]. JI. Верле в 1967 году с использованием того же потенциала удалось рассчитать фазовую диаграмму аргона В своих работах он предложил оригинальный алгоритм расчета, известный ныне как метод списков Верле [162]. Метод заключается в составлении списков взаимодействующих пар частиц и расчете сил согласно этим спискам. Кроме того, в статье Верле был предложен метод численного интегрирования уравнений движения частиц, который впоследствии получил название метода Верле. Основным преимуществом данного метода перед, например, методом Рунге-Кутта, является его симплектичность — сохранение фазового объема в котором находится изолированная система. На практике это приводит к отсутствию систематического ухода энергии, что часто бывает важно при моделировании атомарных систем. Как отмечается в статье Фарида Абрахама [63] к тому времени максимальное число частиц, которое могло быть использовано в компьютерном моделировании достигло 100000. Метод молекулярной динамики также интенсивно развивался и в нашей стране. К середине 1970-х годов количество исследователей, работающих в данном направлении, достигло такого уровня, что возникла необходимость консолидации усилий. В марте 1976 года, за месяц до первой международной конференции по компьютерному моделированию материалов в США, в СССР прошел первый всесоюзный семинар по моделированию радиационных и других дефектов, организованный на базе Ленинградского политехнического института и Физико-Технического института Академии наук СССР. Семинар проходил на регулярной основе вплоть до распада Советского Союза. В 1997 году он был возрожден под названием "International Workshop of Nondestructive Testing and Computer Simulations in Science and Engineering". Позднее в связи с бурным развитием исследований в области нанотехнологий семинар был переименован в "International Workshop of Nano Design, Technology and Computer Simulations" [141].

Практически с самого появления метод динамики частиц развивался по двум основным направлениям. Первое связано с ростом вычислительным мощностей компьютерной техники, позволяющим моделировать все большие объемы материала. Приведем основные цифры, описывающие прогресс в данном направлении [63]. В начале 50-60х годов прошлого века мощнейшие компьютеры позволяли, моделировать системы из нескольких сотен атомов [64]. К концу 70-х максимальный размер системы составлял уже 100 000' атомов. В 90-х годах стали доступными системы из 1 000 000 атомов [160]. И наконец в настоящее время рекордное число атомов составляет порядка 1 000 000 000. Таким образом за пятьдесят лет развития данного направления удалось на семь порядков увеличить размер моделируемой системы. Несмотря на несомненный прогресс, моделирование макроскопических объемов материала размером более одного микрометра пока является нерешаемой проблемой. Кроме максимального числа частиц, не следует забывать и о втором ограничивающем факторе — времени моделирования. В настоящее время прямому моделированию поддаются лишь сверхбыстрые процессы с характерными временами порядка микросекунды.

Второе направление связано с построением потенциалов межатомного взаимодействия. Остановимся> на нем более подробно, т.к. вторая часть данной диссертационной работы имеет прямое отношение к данному направлению. В большинстве случаев точность молекулярно-динамического описания того или иного физико-механического процесса зависит не только и не столько от числа используемых частиц, сколько от точности используемых законов взаимодействия. К примеру, использование потенциала жестких сфер, описанного выше, ни при каких обстоятельствах не позволит описать поведение твердого тела при растяжении, т.к. данный закон взаимодействия принципиально не описывает растяжения межатомных связей (есть только отталкивание). Ранее отмечалось, что потенциал жестких сфер был исторически первым законом взаимодействия, использованным для молекулярно-динамического моделирования [64]. Несмотря на чрезвычайную простоту он тем не менее позволил получить ряд качественных результатов по уравнениям состояния жидкостей. Описание твердых тел привело к необходимости использования более сложных, непрерывных потенциалов [162]. Простейшими непрерывными потенциалами межатомного взаимодействия являются парные потенциалы. При данном виде взаимодействий две частицы действуют друг на друга силами, зависящими только от расстояния между ними и направленными вдоль соединяющей их линии. Классическими парными потенциалами являются потенциалы Леннарда-Джонса [127], Морзе и Ми. Несомненным достоинством парных потенциалов является из чрезвычайная простота и малое количество параметров. Приведенных выше потенциалов вполне достаточно для качественного описания многих явлений (деформирования, разрушения твердых тел; фазовых превращений; тепловых эффектов и т.п. [34]), что и стало причиной их повсеместного использования. Для инертных газов, таких как аргон, удалось даже получить хорошее количественное соответствие. Однако, не смотря на ряд достоинств, использование парных потенциалов наталкивается на существенные затруднения' при попытке количественного описания свойств металлов. В работе [87] выделено четыре основных проблемы. Первая проблема заключается в том, что парные потенциалы дают сильно заниженное отношение когезионной энергии Ес0^ к температуре плавления Тт. Под когезионной энергией понимается разница между энергией, приходящейся на атом в кристалле и энергией свободного атома. Для ГЦК металлов (металлов с гранецентрированной кубической, решеткой) отношение Есоъ,/квТт приблизительно равно 30, в то время как в системах с парными взаимодействиями оно порядка 10. Кроме того, при использовании потенциала Леннарда-Джонса получается завышенное значение изменения энтропии при плавлении. Вторая проблема связана с описанием отношения энергии образования) вакансии Ех, к энергии ко-гезии Есо}Для ГЦК металлов данное отношение составляет примерно 1/3. При>этом в системе с парными взаимодействиями Еу/Есо^ ~ 1. Для того, чтобы это понять, обратимся к примеру, приведенному в [87]. Рассмотрим кристалл с координационным числом В таком случае энергия образования вакансии равняется энергии, необходимой для уменьшения числа соседей у Z атомов на единицу. В то же время когезионная энергия — это энергия, необходимая для уменьшения числа соседей одного атома с до 0. Очевидно, в случае парных взаимодействий данные энергии практически совпадают. Данный факт объясняется линейной зависимостью энергии атома от его координационного числа. Третья проблема связана с описанием упругих свойств кубических кристаллов. При парном силовом взаимодействии выполняется так называемое соотношение Коши-Борна:

7^-1. (1)

О44 где С12, С44 — компоненты тензора жесткости. В результате коэффициент Пуассона для всех ГЦК кристаллов, описываемых парными потенциалами, одинаков, что резко противоречит экспериментальным данным. И наконец, четвертая проблема, обозначенная в работе [87] состоит в неправильном описании поверхностных эффектов в металлах. В системах с парными взаимодействиями расстояние между атомом, лежащим на поверхности кристалла, и его ближайшим соседом в объеме меньше чем среднее расстояние между двумя атомами в объеме (либо равно, если учитываются только взаимодействие ближайших соседей). Однако здесь следует отметить, что при подобных рассуждениях не принимается во внимание тепловое движение. Если предположить, что тепловое расширение вблизи поверхности материала больше, чем в объеме, то это может существенно изменить ситуацию.

В силу приведенных выше аргументов применение потенциала Леннарда-Джонса и других парных потенциалов,возможно лишь для качественного описания свойств металлов. Для устранения недостатков парных потенциалов в 1984 году Доу и Баскесом был предложен, так называемый, потенциал (метод) погруженного атома (Embedded Atom Method) [83]. Основная, идея метода погруженного атома, взятая из метода функционала плотности, состоит в том, что потенциальная энергия системы ионов может быть представлена в виде функции электронной плотности. Согласно [83] БАМ потенциал состоит из двух частей. Первая представляет собой парный потенциал, описывающий взаимодействия ионов. Вторая, многочастичная, зависит от локальной электронной плотности в той точке, в которой находится атом. В свою очередь электронная плотность зависит от положений соседних атомов. Изначально данный потенциал разрабатывался для описания свойств благородных ГЦК металлов, таких как Ag, Au, Си, Ni, Pd, Pt [91]. В последствии' область применимости метода неоднократно расширялась. В работах [129, 130] предложены потенциалы INN МЕАМ и 2NN МЕАМ< (1-st and 2-nd Nearest Neighbor Modified' Embedded Atom Method), позволяющие моделировать кристаллы с ОЦК (объемно центрированной кубической), ГПУ (гранецентрированной плотноупакованной) решетками и решеткой алмаза. В частности, в работе [129] значения энергий переходов ОЦК-ГЦК и ГЦК-ГПУ в железе, рассчитанных на основе 2NN ЕАМ потенциала, сравниваются с известными экспериментальными данными. В работе [130] приведены данные для целого ряда ОЦК металлов Cr, Mo, W, V, Nb, Та. Отметим, что похожие идеи использовались для построения glue-модели (glue model [87]). Данная модель применялась для описания физико-механических свойств золота, а также при построении потенциала Финиса-Синклера [89] (Finnis-Sinclair). Основное отличие glue-модели от модели погруженного атома состоит в следующем. Считается, что энергия атома нелинейным образом зависит от так называемого обобщенного координационного числа. Отметим, что в системах с парными взаимодействиями указанная зависимость линейна, чем и объясняется проблемы с правильным описанием энергий образования вакансии и когезионной энергии. Трактовка, предлагаемая Эрколесси [87], позволяет фактически строить потенциал следуя идеологии метода эмпирических потенциалов, не связывая форму потенциальной энергии с результатами квантовомеханических расчетов. Подробный исторический обзор на тему развития методов типа погруженного атома приведен в работе [84].

Приведенные выше потенциалы часто называют сферически симметричными, т.к. при их использовании поле, создаваемое атомами, обладает соответствующей симметрии. Поэтому они применяются, как правило, для описания плотно упакованных кристаллических структур, например металлов. При описании же кристаллов с направленными связями таких, как графит или алмаз, с использованием парных потенциалов могут возникнуть существенные затруднения. В частности, при прямом применении парных потенциалов к описанию графита его решетка оказывается неустойчивой. Возможный способ решения данной проблемы заключается в использовании многочастичных потенциалов, зависящих не только от длин связей, как в парных потенциалах и семействе ЕАМ потенциалов, но и от углов между связями (углов между отрезками, соединяющими частицы). Наибольшую известность получили потенциалы Стиллингера-Вебера [156], Терзоффа [158], Бреннера [71]. Появление данных потенциалов напрямую связано с ростом научного интереса к исследованию свойств кремния в 80-х годах прошлого века. Поэтому изначально все вышеперечисленные потенциалы строились для кремния. В дальнейшем потенциалы Терзоффа и Бреннера стали активно применяться для моделирования углеродных структур (графита, графена, алмаза, фуллеренов, нанотрубок). В работе [71] предлагается потенциал для описания физико-химических свойств углеводородов, таких как, например, бензол. Для описания механических свойств углеродных структур из всех потенциалов типа Бреннера лучше всего подходит потенциал AIREBO (Adaptive Interatomic Reactive Empirical Bond-Order) [157]. Потенциалы Стиллингера-Вебера, Терзоффа, Бреннера, а также потенциал AIREBO не описывают Ван-дер-Ваальсовы взаимодействия между атомами. Данные взаимодействия играют ключевую роль при описании, например, взаимодействия между слоями в графите. Указанная проблема решается в работе [136], для этого предлагается потенциал LCBOPII (long-range carbon bond-order potential). Там же можно найти наиболее актуальный обзор литературы на тему построения межатомных потенциалов для ковалентных систем.

Остановимся на некоторых работах в области молекулярно-динамического моделирования. Статьи С.И. Анисимова, В.В. Жаховского и др. [21, 22] посвящены исследованию разрушения, распространения ударных волн и фазовых переходов. В работах E.H. Бродской и А.И. Русанова и др. [8, 57] метод молекулярной динамики применяется для моделирования химических процессов. В работах В.Ю. Клименко и А.Н. Дремина [31, 32] рассматриваются процессы детонации, разрушения и распространению ударных волн. В работах В.А. Лагунова и А.Б. Синани [44, 45] исследуются процессы формирования кристаллов, рассматриваются задачи о деформировании и разрушении твердых тел. Работы А.И. Мелькера и др. посвящены исследованию процессов зарождения разрушения [48, 141], деформации полимеров [48], исследованию свойств углеродных наноструктур [142]. Работы A.M. Кривцова и др. [35, 36, 29] посвящены, в частности, исследованию взаимосвязи макроскопических и микроскопических параметров идеальных кристаллов. Статьи Г.Э. Нормана, В.В. Стегайлова, А.Ю. Куксина, A.B. Янилкина и др. [30, 62, 120] посвящены исследованию экстремальных процессов в твердых телах при высоких давлениях и температурах. Работы В.М. Фомина, И.Ф. Головнева, Е.И. Головневой посвящены молекулярно-динамическому исследованию поверхностных эффектов [12], прочностных [13] и термодинамических свойств [96] наноструктур. Среди зарубежных авторов большой вклад в развитие метода молекулярной динамики внесли В.Г. Хувер [107], М.П. Аллен [65], Дж. Цикотти [76], Б.Л. Холиан [104], Ф. Эрколесси [86], Р. Хокни [60], Ф. Абрахам [63] и др.

Следующие статьи [67, 88, 104, 146, 148] и монографии [34, 65, 107, 93, 99, 150] содержат подробную обзорную информацию о моделировании методом динамики частиц. Следует отметить также обзорные исторические статьи классиков метода молекулярной динамики — Вильяма Грэхэма Хувера [108, 109] и Брэда Ли Холиана [105]. В данных работах авторы описывают свой, более чем пятидесятилетний опыт компьютерного моделирования методом молекулярной динамики, а также комментирует основные достижения других авторов.

Основные результаты работы:

1. Развит подход к определению эквивалентных термомеханических параметров идеальных кристаллов с произвольными многочастичными силовыми взаимодействиями. Получены выражения, связывающие тензоры напряжений Коши и Пиола, вектор теплового потока с параметрами кристалла на микроуровне (положениями, скоростями частиц и силами межатомного взаимодействия). Проведено сравнение полученного выражения для тензора напряжений Коши с тензором Харди и вириальным тензором напряжений с использованием молекулярно-динамического моделирования. Показано, что при увеличении объема, по которому проводится осреднение, все три выражения сходятся к одному и тому же значению. При-этом только выражение, полученное в данной работе, в случае однородной деформации при отсутствии теплового движения, не зависит от выбора объема по которому производится осреднение.

2. Развит подход к получению уравнений состояния* идеальных кристаллов, основанный на использовании связи' между микро- и макропараметрами. Выведено уравнение состояния в форме Ми-Гюнайзена. Определена зависимость функции Грю-найзена от объема для кристаллов с произвольными парными потенциалами взаимодействия. Рассчитаны функции Грюнайзена для кристаллов, описываемых потенциалами Леннарда-Джонса, Ми, Морзе. Получены зависимости коэффициента Грюнайзена от параметров данных потенциалов. Исследована зависимость функции Грюнайзена от вида деформированного состояния. Показано, что при больших деформациях функция Грюнайзена существенно зависит от сдвиговых деформаций. Получено уточненное уравнение состояния, нелинейное по тепловой энергии. Показано, что в рассмотренном диапазоне тепловых энергий, погрешность уравнения Ми-Грюнайзена составляет не более 10%. Проведено сравнение полученного выражения для функции Грюнайзена с результатами, полученными в литературе на основе методов статистической физики и известными экспериментальными данными.

3. Проведено обобщение предложенного подхода к определению эквивалентных термомеханических параметров идеальных кристаллов на случай парных моментных взаимодействий. Получены выражения, связывающие тензор напряжений, тензор моментных напряжений и вектор теплового потока с параметрами кристалла на микроуровне. Показано, что полученные выражения верны для частиц произвольной формы.

4. Развит подход к построению моментных потенциалов для описания взаимодействий между частицами с вращательными степенями свободы. На основе данного подхода построен потенциал для 5р2 углерода. Потенциал позволяет, в частности, проводить трехмерное моделирование процессов деформирования и разрушения графена методом молекулярной динамики. Функции, входящие в потенциал подобраны таким образом, чтобы можно было в точности удовлетворить упругим и прочностным характеристикам межатомной связи в графене. Получены аналитические выражения, связывающие параметры потенциала с характеристиками углерод-углеродной связи. Проведена предварительная калибровка параметров потенциала на основе известных аналитических выражений связывающих параметры межатомной связи с экспериментально измеряемыми механическими характеристиками графена.

5. Проведено молекулярно-динамическое моделирование деформирования и разрушения графена при температуре 300А". Проведена калибровка параметров моментно-го потенциала из условия наилучшего соответствия результатов расчета и известных экспериментальных значений упругих и прочностных характеристик графена. Показано, что предложенный потенциал позволяет описать все упругие и прочностные характеристики графена в пределах погрешности известных экспериментальных данных. Проведено сравнение с результатами, полученными в литературе на основе многочастичного потенциала АГОЕВО. Рассчитаны механические характеристики графена при отсутствии теплового движения.

4 Заключение

1. Альтшуллер JI.B. Применение ударных волн в физике высоких давлений // Успехи физических наук. 1965. Т. 85. Вып. 2. С. 197-258.

2. Амелькин Н.И. Кинематика и динамика твердого тела, М.: МФТИ, 2000, 64 с.

3. Аннина Б.Д., Коробейникова С.Н., Бабичев A.B. Компьютерное моделирование выпучивания нанотрубки при кручении // Сиб. журн. индустр. матем., 2008, Т. 11, 1, С. 3-22.

4. Аннин Б.Д., Алехин В.В., Бабичев A.B., Коробейников С.Н. Компьютерное моделирование контакта нанотрубок // Изв. РАН. МТТ. 2010. №3. С. 56-76.

5. И.Е. Берипский Стержневая модель кристаллической решетки графена // НТВ СПбГПУ, 2010,

6. Беринский И.Е., Кривцов A.M. Об использовании многочастичных межатомных потенциалов для расчета упругих характеристик графена и алмаза // Изв. РАН, МТТ, №6, 2010.

7. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964, 517 с.

8. Бродская Е. Н., Русанов А. И., Расчет вклада растворителя в работу сольватации иона методом численного эксперимента // Ж. физ. химии, Т.73, №8, 1999, с. 13761381.

9. Бызов А.П., Иванова Е.А. Математическое моделирование моментных взаимодействий частиц с вращательными степенями свободы // НТВ СПбГПУ, №2j 2007, с. 260-268.

10. Ващенко В.Я., Зубарев В.Н. О коэффициенте Грюнайзена // Физика твердого тела. 1963, Т. 5, №3, с. 886-890.

11. Глушак Б.Л., Куропатенко В.Ф., Новиков С.А. Исследование прочности материалов при динамических нагрузках. Новосибирск: Наука, 1992. 294 с.

12. Головнев И.Ф., Головнева Е.И., Фомин В.М. Молекулярно-динамическое исследование поверхностного натяжения в наноструктурах // Изв. РАН. МТТ, №3, 2010, с. 45-55.

13. Головнев И. Ф., Конева Е. И., Фомин В.М. Численное моделирование разрушения бездефектных кристаллов при динамических нагрузках // Физическая мезомеханика. 2001, №5.

14. Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Упругие свойства графитовых стержней и многослойных углеродных нанотрубок (растяжение и кручение). Известия РАН. МТТ, 2005 г., т, с. 42-56.

15. Голдстейн Г. Классическая механика, М.: Наука, 1975, 415 с.

16. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Мезомеханика многослойных углеродных нанотрубок и наноусов. Физическая мезомеханика, 2008 г., Т. 11, №6, с. 25-42.

17. Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Коэффициент Пуассона для анизотропных наноусов. Изв.ВУЗов. Физика, 2010, Т.53, №3/2, с.61-66.

18. Физические величины: справочник / Под ред. Григорьева И.С. и Мейлихова Е.З. М.: Энергоатомиздат, 1991, 1232 с.

19. Дмитриев C.B., Баимова Ю.А., Савин A.B., Кившарь Ю.С. Границы устойчивости плоского листа графена при деформации в плоскости // Письма ЖЭТФ, Т. 93, вып. 10, с. 632-637.

20. Жарков В.Н., Калинин В.А. Уравнения состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах. М.: Наука, 1968, 311с.

21. Жаховский В.В., Нишихара К., Анисимов С.И., Иногамов H.A. Молекулярно-динамическое моделирование волн разрежения в средах с фазовыми переходами // Письма в ЖЭТФ, Т. 71, №4, 2000.

22. Жаховский В.В., Анисимов С.И. Численное моделирование испарения жидкости методом молекулярной динамики // ЖЭТФ, Т. 11, №4, 1997, с. 1328-1346

23. Жилин П.А. Теоретическая механика Фундаментальные законы механики. Учебное пособие. СПб.: СПбГПУ, 2006, 353 с.

24. Жилин П.А. Прикладная механика. Основы теории оболочек: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2006, 167 с.

25. Жирифалько JI. Статистическая физика твердого тела. М.: Мир, 1975. Ц 382 с.

26. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели термомеханики. М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2002, 160 с.

27. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (2-е издание). М.: Наука, 1966.

28. Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. Получение макроскопических соотношений упругости сложных кристаллических решеток с учетом моментных взаимодействий на микроуровне. Прикладная математика и механика. Т. 71, Вып. 4, 2007, с. 595-615.

29. Красников B.C., Куксин А.Ю., Майер А.Е., Янилкин A.B. Пластическая деформация^ при высокоскоростном нагружении алюминия. Многомасштабный подход // Физика Твердого Тела. Т. 52, №. 7, 2010, с. 1295-1304.

30. Клименко В. Ю., Дремин А.Н. // В сб. Детонация (ред. Брюсов и др.) Черноголовка, М., АН 1978, 79 с.

31. Клименко В.Ю., Дремин А.Н. // ДАН, Т. 5, 1980, с.288.

32. Краус Е.И. Малопараметрическое уравнение состояния твердого вещества // Вестн. НГУ Серия: Физика, Т.2, Вып.2, 2007, с. 65-73.

33. Кривцов A.M. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой. М.: Физматлит, 2007. 301 с.

34. Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. Аномалии механических характеристик наноразмерных объектов // ДАН, Т. 381, №3, 2001, с. 825Ц827.

35. Кривцов A.M. Упругие свойства одноатомных и двухатомных кристаллов: учебное пособие. Изд-во Политех, ун-та, С.Пб., 2009, 124 с.

36. Кривцов A.M., Кузькин В.А. Получение уравнений состояния идеальных кристаллов простой структуры // Известия РАН. Механика твердого тела, №3, 2011, с. 67-82.

37. Кривцов A.M. Термоупругость одномерной цепочки взаимодействующих частиц // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2003. Спецвыпуск. Нелинейные проблемы механики сплошных сред. с. 231-243.

38. Кондауров В.И., Фортов В.Е. Основы термомеханика конденсированных сред. М.: МФТИ, (2002), 336 с.

39. Кузькин В.А., Кривцов A.M. Описание механических свойств графена с использованием частиц с вращательными степенями свободы // ДАН, 2011 направлено в печать]

40. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Квантовая механика. Т.З, М.: Наука, 1989, 767 с.

41. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10-ти т. Т. I. Механика. 4-е изд., испр. М.: Наука, 1988, 216 с.

42. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Статистическая физика. Часть 1. Издание 4-е. М.: Наука, 1995.

43. Лагунов В.А., Синани А.Б., Образование биструктуры твердого тела в компьютерном эксперименте // Физика твердого тела, том 40, №10, 1998, с. 1919-1924.

44. Лагунов В.А., Синани A.B., Компьютерное моделирование деформирования и разрушения кристаллов // Физика твердого тела, том 43, №4, 2001, с. 644-650.

45. Лобода О.С., Кривцов A.M. Влияние масштабного фактора на модули упругости трехмерного нанокристалла // Изв. АН. МТТ, №4, 2005, с. 27 41.

46. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.:Наука, 1980. 512 с.

47. Мелькер А.И., Соловьев Д.В. Деформационные дефекты в полиэтилене. Угловые ди-латоны // Письма в ЖТФ, Т. 24, №6, 1998, с. 68 71.

48. Мелькер А.И., Иванов A.B. О двух типах дилатонов // ФТТ Т. 28. № 11, 1986, с. 3396 3402.

49. Введение в сопротивление материалов: учеб.пособие; Под ред.Б.Е. Мельникова. СПб.: Лань, 1999, 160 с.

50. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.:Мир, 1970, 256 с.

51. Норман Г.Э., Стегайлов В.В. Метод классической молекулярной динамики: замысел и реальность // Наноструктуры. Математическая физика и моделирование. Т. 3. №. 2, 2010.

52. Пальмов В.А. Колебания упруго-пластических тел. М.: Наука, 1976. 328 с.

53. Петров Ю.В., Ситникова Е.В. Эффект аномальных температур плавления при ударно-волновом нагружении// Доклады академии наук. 2005, т.400, N4. С.480-482.

54. Товстик Т.П. Построение модели нанотрубок и фуллерена. // Межд. конф. "Пятые Поляховские Чтения "СПб 2009; Избранные труды, с. ЗЗЗ^-ЗЗв.

55. Устинов К.Б;, Ченцов А.В. О деформировании нанопластин углерода: дискретное и континуальное моделирование. Препринт. ИПМех РАН, №824, Москва, 2006, 32 с.

56. Хадеева JI.3., Дмитриев С.В. Кившарь Ю.С. Дискретные бризеры в деформированном графене// Письма в ЖЭТФ, 2011 принято в печать]

57. Хокни Р., Иствуд Дж., Численное моделирование методом частиц // М.: Мир, .1987. 640 с.

58. Ченцов А.В., Гольдштейн Р.В. Дискретно-континуальная модель нанотрубки // Изв:

59. РАН. МТТ, №4; 2005, с. 57, 74 . . '

60. Янилкин А.В'.,. Жиляев П.А., Куксин А.Ю: и др. Применение:суперкомпьютеров для; ' молекулярно-динамического моделирования процессов в конденсированных средах;// Вычислительные методы и. nporpaMMHpoBaHHej Т. 11, 2011, с. 111 116.

61. Abraham F., Walkup 11., Gao Н., Duchaineau М., Diaz T., Seager M. Simulating materials • failure by using up to one billion atoms and the world's fastest;computer: Brittle fracture

62. PNAS, Vol. 99, №9, 2001, pp. 5777-5782. /

63. Alder B.J., Waingwright Т.Е. Phase transition for a.hard sphere system // Journal of Chemical Physics, Vol.27, 1957, p. 1208.65.' Allen M.P., Tildesley D. J; Computer simulation of liquids, Clarendon Press, Oxford, 1987, p. 385. /.

64. Berinskiy I.E., Ivanova E.A., Krivtsov A.M., Morozov N.F. Application- of moment interaction;to the construction of a stable model of graphite crystal lattice // Mechanics', of Solids, .2007, Vol. 42, №5; pp. 663 671

65. Blakslee O. L., Proctor D. G., Seldin E. J. et al. Elastic constants of compression annealed pyrolytic graphite // J!. Appl. Pliys. Vol. 41, №, 1970, pp. 3373-3389. •

66. Born M., Huang K. Dynamical theory of crystal lattices. Oxford: Clarendon Press, 1988. '

67. Brenner D.W. Empirical potential for hydrocarbons for use in simulating the chemical vapour deposition in diamond films // Phys. Rev. B, Vol. 42, №15, 1990, 9458.

68. Brenner D.W., Shenderova O.A., Harrison J.A., Stuart S.J., Ni B., Sinnott S.B. A second-generation reactive empirical bond order (REBO) potential energy expression for hydrocarbons // J. Phys.: Condens. Matter, 14 2002, pp. 783 802.

69. J.S. Bunch, A.M. van der Zande, S.S. Verbridge, I.W. Frank, D.M. Tanenbaum, J.M. Parpia, H.G. Craighead, P.L. McEuen, Electromechanical Resonators from Graphene Sheets // Science, Vol. 315, №490, 2007, pp. 490 493.

70. Car R., Parrinello M. Unified approach for molecular dynamics and density-functional theory // Phys. Rev. Lett., Vol. 55, 2471, 1985.

71. Chen Y. Local stress and heat flux in atomistic systems involving three-body forces //J. Chem. Phys, 124, 054113, 2006.

72. Ciccotti G., Hoover W.G. Molecular dynamics simulation of statistical-mechanical systems // North-Holland, Amsterdam, 1986, 614 p.

73. Clausius R.J.E. On a mechanical theorem applicable to heat // Phil. Mag., Vol. 40, 1870, pp. 122 127.

74. Cheung K.S., Yip S. Atomic-level stress in an inhomogeneous system //J. Appl. Phys. 70, 1991, pp. 5688 90

75. Cormier J., Rickman J.Mand, Delph T.J. Stress calculation in atomistic simulations of perfect and imperfect solids // J. Appl. Phys. 89, 2001, pp. 99 104.

76. Dugdale J.S., MacDonald D.K.C. The Thermal Expansion of Solids // Phys. Rev., Vol. 89, №4, 1953, p. 832.

77. Delph T.J. Conservation laws for multibody interatomic potentials. Model. Simul. Mater. Sei. Eng., Vol. 13, 2005, pp. 585-594

78. Davenport T., Zhou L., Trivison J. Ultrasonic and atomic force studies of the martensitic transformation induced by temperature and uniaxial stress in NiAl alloys // Phys. Rev. B, Vol. 59, №3421, 1999.

79. Daw M.S., Baskes M.I: Embedded-atom-method: derivation and application to impurities, surfaces and other deffects in metals // Phys. Rev. B, Vol. 29, №12, 1986, 6443.

80. Duparc O.H. On the origins of the Finnis-Sinclair potentials // Philosophical Magazine Letters, Phil. Mag. Vol'. 89, 34-36, 2009, pp. 3117-3131

81. Ehrenfest P. Bemerkung über die angenäherte Gültigkeit der klassischen Mechanik innerhalb der Quantenmechanik // Z. Phys. 45, 455 1927.

82. Ercolessi F. A molecular dynamics primer. Spring College in Computational Physics, ICTP, Trieste, 1997.

83. Ercolessi F., Parrinello M., Tosatti E., Simulation of gold in the glue model // Philos. Mag. A, Vol. 58, №213, 1988.88 89 [90 [91 [9293 94 [95 [9697 98 [99

84. Fineberg J., Marder M. Instability in dynamic fracture // Physics Reports, Vol. 313, №11,12, 1999, pp. 11^-108.

85. Finnis M.W., Sinclair J.E. A simple empirical N-body potential for transition-metals // Philos. Mag. A, Vol. 50, №45, 1984, pp. 45-55.

86. Fincham D. An algorithm for the rotational motion of rigid molecules // CCP5 Information Quarterly, Vol. 2, №6, 1981.

87. Foiles S.M., Daw M.S., Baskes M.I. Embedded-atom-method functions for fee metals Cu, Ag, Au, Ni, Pd, Pt, and their alloys // Phys. Rev. B, Vol. 33, №12, 1986, 7983.

88. Girit C.O., Meyer J.C., Erni R., Rossell M.D., Kisielowski C., Yang L., Park C.-H., Crommie M. F., Cohen M.L., Louie S.G., Zettl A. Graphene at the Edge: Stability and Dynamics // Science, Vol. 323, 1705 2009.

89. Griebel M., Knapek S., Zumbusch G. Numerical Simulation in Molecular Dynamics. Springer, 2007, 470 p.

90. Grof Z., Kohout M., Stepanek F. Multi-scale simulation of needle-shaped particle breakage under uniaxial compaction // Chemical Engineering Science, 62, 2007, pp. 1418 1429

91. Gaudoin R., Foulkes W.M.C. Ab initio calculations of bulk moduli and comparison with experiment // Phys. Rev. B 66, 2002, 052104.

92. Golovnev I.F., Golovneva E.I., Fomin V.M. Molecular dynamics calculation of thermodynamic properties of nanostructures // Phys. Mesomech., Vol. 11, №1-2, 2008, p. 19.

93. Gibson J.B., Goland A.N., Milgram M., Vineyard G.H. Dynamics of radiation damage // Phys Rev, Vol. 120, 1960, p. 1229.

94. Gupta S.S., Batra R.C. Elastic Properties and Frequencies of Free Vibrations of Single-Layer Graphene Sheets // J. Com. Theor. Nanoscience, Vol. 7, 2010, pp. 1-14.

95. Haile J. M., Molecular dynamics simulation — Elementary methods // Wiley, 1992, 489 p.

96. Hardy R.J. Formulas for determining local properties in molecular-dynamics simulations: shock waves // J. Chem. Phys., Vol. 76, 1982, pp. 6221,1-628.

97. Hardy R.J., Karo A.M. Stress and energy flux in the vicinity of a shock front // Shock Compression of Condensed Matter: Proc. American Physical Society Topical Conf. (North Holland: Amsterdam, Netherlands), 1990, pp. 1611^-164.

98. Hardy R.J., Root S., Swanson D.R. Continuum properties from molecular simulations // AIP Conference Proceedings, №620 pt. 1 (American Physical Society), 2002, pp. 363 -366.

99. Hirschfelder J., Eyring H., Topley B. Reactions involving hydrogen molecules and atoms // J. Chem. Phys, Vol. 4, 1936, p. 170.

100. Holian B.L. Atomistic Computer-Simulations of Shock Waves // Shock Waves, Vol. 5, №3, 1995, pp.149 157.

101. Holian B.L. History of constitutive modeling via molecular dynamics: Shock waves in fluids and gases // BPJ Web of Conferences, 10, 00002, 2010.

102. Hohenberg P., Kohn W. Inhomogeneous Electron Gas // Phys. Rev., Vol. 136, B864, 1964.

103. W.G. Hoover, Molecular dynamics, Lecture Notes in Physics, Vol. 258, Springer, Berlin, 1986, p. 138.

104. Hoover Wm. G. 50 Years of Computer Simulation a Personal View // arXiv:0812.2086v2109.^ Hoover Wm. G. Non-equilibrium MD at Los Alamos and Livermore // Microscopic Simulation of Complex Hydrodynamic Phenomena, 1992.

105. Hoover W.G. Smooth Particles Applied Mechanics: The State of the Art. World Scientific, Vol. 25, Advanced Series in Nonlinear Dynamics, 2006.

106. Hoover Wm. G., Hoover C.G., Lutsko J.F. Microscopic and macroscopic stress with gravitational and rotational forces // Phys. Rev. E, Vol. 79, №1, 2009.

107. Irving J.H., Kirkwood J.G. The statistical mechanical theory of transport processes: IV. The equations of hydrodynamics // J. Chem. Phys. 18, 1950, pp. 817 829.

108. Jacobs P.W.M., Zhukovskii Yu.F., Mastrikov Yu., Shunin Yu.N. Bulk and surface properties of metallic aluminium: DFT simulations // Computer Modelling & New Technologies, 2002, Vol. 6, №1, pp 7-28.

109. Jeschke H.O., Diakhate M.S., Garcia M.E. Molecular dynamics simulations of laser-induced damage of nanostructures and solids // Appl. Phys. A: Materials Science & Processing, Vol. 96, №1, pp. 33-42.

110. Koch W., Holthausen M.C. A Chemist's Guide to Dendity Functional Theory. Sec. ed. Wiley-VCH Verlag GmbH, 2001.

111. Kossevich A.M. The crystal lattice: phonons, solitons, dislocations. WILEY-VCH, 1999, p. 324.

112. Kudarova A.M., Krivtsov A.M., Description of equivalent elastic continuum for graphene lattice// Proc. of XXXVIII Summer School Conference "Advanced Problems in Mechanics", 2010, pp. 383-390.

113. Kudin K.N., Scuseria G.E., Yakobson B. I. C2F, BN, and C nanoshell elasticity from ab initio computations Phys // Rev. B, 64, 2001, 235406.

114. Kuksin A.Yu., Norman G.E., Pisarev V.V. et al. Theory and molecular dynamics modeling of spall fracture in liquids // Physical Review B., Vol. 82, №17, 2010, 174101.

115. Krivtsov A.M. From nonlinear oscillations to equations of state for simple discrete systems // Chaos, Solitons & Fractals, Vol. 17, №79, 2003.

116. Krivtsov A.M. Dynamics of energy characteristics in one-dimensional crystal // Proc. of XXXIV Summer School "Advanced Problems in Mechanics St.-Petersburg, Russia. 2007, pp. 261-273.

117. Kruggel-Emden H., Rickelt S., Wirtz S., Scherer V. A study on the validity of the multi-sphere Discrete Element Method // Powder Technology, Vol. 188, Iss. 2, 2008, pp. 153-165.

118. Kuzkin V. A., Krivtsov A.M. Thermo-mechanical effects in perfect crystals with arbitrary multibody potential // Proc. of Joint U.S. Russia conference on Advances in Material Science, Prague, 2009, pp. 30-34.

119. Lennard-Jones J. The determination of molecular fields I'. From the variation of the viscosity of a gas with temperature // Proceedings of the Royal Society of London, 106A, 1924, 441.

120. Lennard-Jones J. The determination of molecular fields II. From the equation of state of a gas // Proceedings of the Royal Society of London, 106A, 1924, 463.

121. Lee B.-J., Baskes M.I. Second nearest-neighbor modified embedded-atom-method potential // Phys. Rev. B, Vol. 62, №13, 2000, 8564.

122. Lee B.-J., Baskes M.I., Kim H., Cho Y.K. Second nearest-neighbor modified embedded atom method potentials for bcc transition metals // Phys. Rev. B, Vol. 64, №18, 2001, 184102-1.

123. Lee C., Wei X., Kysar J.W., Hone J. Measurement of the Elastic Properties and Intrinsic-Strength of Monolayer Graphene // Science, Vol. 321, 385, 2008.

124. Li C., Chou T.W. A structural mechanics approach for the analysis of carbon nanotubes // Int. J. Solids Struct., Vol. 40, 2003, pp. 2487 2499.

125. Liu F., Ming P., Lu J. Ab initio calculation of ideal strength and phonon instability of graphene in tension // Phys. Rev. B, Vol. 76, Is. 6, 2007, pp. 1-7.

126. Lu Q., Arroyo M., Huang R. Elastic bending modulus of monolayer graphene //J. Phys. D: Appl. Phys., Vol. 42, 2009, 102002.

127. Ludwig W. Recent developments in the lattice theory. Springer Tracts in Modern Physics // Ed. by H. Hoheler. Berlin, Vol. 43, 1967.

128. Los J.H., Ghiringhelli L.M., Meijer E.J., Fasolino A. Improved long-range reactive bondorder potential for carbon I. Construction // Phys. Rev. B, Vol. 72, 214102, 2005.

129. Lutsko J.F. Stress and elastic constants in anisotropic solids: molecular dynamics techniques // J. Appl. Phys. 64, 1988, pp. 1152 1154.

130. Marc G., McMillan W.G. The virial theorem // Adv. Chem. Phys. 58, 1985, pp. 2091,1361

131. Maxwell J.C. On reciprocal figures, frames and diagrams of forces // Transactions of the Royal Society, Edinburgh, XXVI, 1870, pp. 1-43. »

132. Melker A.I., Fiftieth anniversary of molecular dynamics // 2007 Proceedings of SPIE -The International Society for Optical Engineering, Vol. 6597, art. №659702, 2007.

133. Melker A.I., Romanov S.N., Kornilov D.A., Computer simulation of formation of carbon fullerenes // Mater. Phys. Mech, Vol. 2, 2000, pp. 42 50.

134. Metrikine A.V., Askes H. One-dimensional dynamically consistent gradient elasticity models derived from a discrete microstructure Part 2: Static and dynamic response // European Journal of Mechanics A/Solids, Vol. 21, №. 4, 2002, pp. 573-588.

135. Askes H., Metrikine A.V. Higher-order continua derived from discrete media: continualisation aspects and boundary conditions // International Journal of Solids and Structures Vol. 42, 2005, pp. 187-202.

136. Metrikine A.V., Askes H. An isotropic dynamically consistent gradient elasticity.-model derived from a 2Dlattice // Philosophical Magazine, Vol. 86, (21-22), 2006, pp. 3259-3286.

137. Nose S. Constant-Temperature Molecular-Dynamics // Journal of Physics-Condensed Matter, Vol.2, 1990, pp. 115y-119.

138. Odegard G.M., Gates T.S., Nicholson L.M., Wise K.E. Equivalent-Continuum Modeling of Nano-Structured Materials // Compos. Sci. Technol., Vol. 62., 2002, pp. 1869 1880.

139. Parrinello M. From silicon to RNA: The coming of age of ab initio molecular dynamics // Solid State Communications, Vol. 102, №2-3, 1997, pp. 107 120.

140. Price S.L., Stone A.J., Alderton M. Explicit formulae for the electrostatic energy, forces and torques between a pair of molecules of arbitrary symmetry // Mol. Phys, Vol. 52, №4, 1984, pp. 987-1001!.

141. Rapaport D. C. The art of molecular dynamics simulation. Cambridge Univ. Press, 1995, 549 p.

142. Rahman A., Correlation in the motion of atoms in luquid argon // Phys. Rev., Vol.136, 1968, p. 405.

143. Salter J.C. Introduction to Chemical Physics. N.Y.; L., 1939. 341 p.

144. Savin A.V., Kivshar Y.S., Hu B. Suppression of thermal conductivity in graphene nanoribbons with rough edges // Phys. Rev. B 82, 195422, 2010.

145. Segletes S.B. A frequency-based equation of state for metals // Intern. J. Impact Engng., Vol. 21, № 9, 1998, pp. 747 760.

146. Stillinger F.H., Weber T.A., Computer simulation of local order in condensed phases of silicon*// Physical Review B, 31, 1985, pp. 5262-5271.

147. Stuart S.J. , Tutein A.B., Harrison J.A. A Reactive Potential for Hydrocarbons with Intermolecular Interactions // J. Chem. Phys., 112, 2000, 6472.

148. Tersoff J. New empirical model for structural properties of silicon // Phys. Rev. Lett, Vol. 56, №6, 1986, 632.

149. Tersoff J. New empirical approach for the structure and energy of covalent systems // Phys. Rev. B, Vol. 37, №12, 1988, 6991.

150. Vocandlo L. Ab initio calculations of the elasticity of iron and iron alloys at inner core conditions: Evidence for a partially molten inner core // Earth and Planetary Science Letters, Vol. 254, 2007, pp. 227 232.

151. Verlet L., Computer 'experiments' on classical fluids. I. Thermodynamical properties of Lennard-Jones molecules // Phys. Rev., Vol.159, №98, 1967, p. 103.

152. Wada Y., Itani A., Nishi T., Nagai S. Gruneisen constant and thermal properties of crystalline and glassy polymers. J. Polymer Sci. Part A-2, 1969,

153. Wang Y., Alonso-Marroquin F. A finite deformation method for discrete modelling: particle rotation and parameter calibration // Granular Matter, Vol. 11, №5, 2009.

154. Yoon D., Son Y.-W., Cheong H. Negative Thermal Expansion Coefficient of Graphene Measured by Raman Spectroscopy // Nano Lett., 2011 paper in press]

155. Zhao H., Alurua N.R. Temperature and strain-rate dependent fracture strength of graphene // J. Appl.Phys. Vol. 108, 2010, 064321.

156. Zhou< M. A new look at the atomic level virial stress: on continuum-molecular system equivalence // Proc. R. Soc. Lond. A, 459, 2003, pp. 2347-2392.

157. Zhou M. Thermomechanical contimuum representation of atomistic deformation at arbitrary size scales // Proc. R. Soc. A, Vol. 461, 2005, pp. 3437-3472 .

158. Zimmerman J.A., Webb E.B., Seel S.C. Reconsideration of Continuum Thermomechanical Quantities in Atomic Scale Simulations // Mathematics and Mechanics of Solids, Vol. 13, 2008, pp. 221-266.

159. Zimmerman J.A., Jones R.E., Templeton J.A. A material frame approach for evaluating continuum variables in atomistic simulations // J. of Comp. Phys., 229, 2010, pp. 23642389.