Двумерное моделирование процессов распространения трехмерных упругих волн в плоском слое тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ ЗАПОРОЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СКРЫПНИК ИРИНА АНАТОЛЬЕВНА •

ДВУМЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ УПРУГИХ ВОЛН В ПЛОСКОМ СЛОЕ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

РГ5 ОД

1 о ПОН !3!;В

На правах рукописи

ЗАПОРОЖЬЕ - 1996

Диссертацией является рукопись

Работа выполнена на кафедре программного обеспечения и матем тического моделирования Запорожской государственной инженерной ai дсмии

Научный руководитель - доктор физ.-мат. наук,

профессор Пожуев В.И.

Научный консультант — кандидат физ.-мат. наук,

доцент Шамровский А.Д.

Официальные оппоненты - доктор физ.-мат. наук,

профессор Павленко A.B. доктор технических наук, профессор Бешенков С.Н.

Ведущая организация - Днепропетровский государственный университет

Защита состоится "20" UtOfUL 1996 г. в час.

на заседании специализированного ученого совета К 08.04.02 по защи диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математ ческих наук при Запорожском государственном университете по адрес. 330600, г. Запорожье, ГСП-41, ул Жуковского, 66

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Запорожского государственного университета

Автореферат разослан ai8 " (. 0.-4_1996 г.

Сысоев Ю.А.

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуал ь ноет ь_п р о б л е м ы . Переходные волновые процессы в тонком слое, которые изучаются с помощью совместного применения методов асимптотического и группового анализа динамических уравнений теории упругости на основе двумерных моделей, являются предметом исследования диссертационной работы. Объектом, в котором моделируются двумерные нестационарные волны, является тонкая пластина под действием внезапно приложенной нагрузки.

Интерес к проблемам распространения волн, вызванных быстроиз-ме^няющейся нагрузкой, объясняется важными приложениями теории распространения волн во многих разделах технических наук. Задача о распространении упругих волн в плоском слое рассматривается уже довольно продолжительное время, но в рамках этой задачи остается еще достаточное количество нерешенных вопросов. Задачи такого класса в постановке математической теории упругости настолько сложны, что их, как правило, удается решить лишь приближенно.

Существует два основных подхода к исследованию переходных волновых процессов в слое. Во-первых, можно решать эти задачи на основе трехмерных уравнений теории упругости. Такой подход применен, например, в работах Векуа И.Н., Кабулова В.К., Петрашеня Г.И., Нигула У К.. Розенфельда Р., Микловица Ю. Он связан с преодолением очень сложных технических проблем, вызванных, в частности, внутренним многократным отражением фронтов распространяющихся волн от границы слоя. Поэтому этот подход, раскрывающий физическое содержание задачи, следует в первую очередь рассматривать как средство построения новых моделей и анализа точности имеющихся.

Во-вторых, широко применяются различные упрощенные двумерные модели. Но их применение не всегда обоснованно и не дает возможности получения ответов на многие важные вопросы. Например, классические уравнения изгиба пластины, которые решали ранее А. И. Лурье,

Л.С. Гильман, Р.И. Мазинг, Ф.А. Соколов, П.В. Чернаков, дают беа нечную скорость распространения возмущения, что противоречит тр< мерным уравнениям. Динамические уравнения обобщенного плоского i пряженного состояния, рассмотренные в работах Селезова И.Т., Кильч( ского H.A., Уфлянда Я.С., дают конечные скорости распространен волн, но не совпадающие со скоростями, соответствующими трехмерн теории. Уточненные уравнения изгиба (Рэлей, Тимошенко С.П., У лянд Я.С., Дубинкин М.В., Андерсон P.A.) -так называемые уравнен типа Тимошенко - в отличие от классических уравнений являются ур; нениями гиперболического типа, но также дают неверные скорости р< пространения волн.

Наиболее распространенная идея упрощения заключается в раз; жении трехмерного волнового процесса на двумерные волны, "относящр ся к срединной поверхности и определяющие некоторое поле перемен ний по толщине объекта. Не существует универсальных расчетных моi лей, которые одинаково хорошо применимы для определения всех нап[ женных состояний трехмерных тел при всевозможных внешних нагр> ках. В зависимости от применяемого метода и порядка приближения г лученная модель является наилучшей в определенном смысле.

Проблемы распространения волн в многослойных конструкци рассматривались в работах В.И. Пожуева, С.Н. Бешенкова. При решен динамических задач о распространении свободных волн в трехслойн! цилиндрических оболочках В.И. Пожуев предложил уточненный подхс основанный на динамических уравнениях теории упругости и гипотез Кирхгофа-Ллва или Тимошенко. Распространение свободных волн в ш стипах па основе уравнений Ляме и гипотезы Кирхгофа изучал С.Н.Е шенков.

Большинство результатов о переходных волноых процессах получено методом интегральных преобразований.

Один из наиболее эффективных и перспективных подходов к исс/ до-ванию дифференциальных уравнений - это асимптотический aнaл^

позволяющий на основе каких-то более строгих уравнений получать обоснованные упрощенные уравнения. Большие заслуги в разработке и применении асимптотических методов и теории оболочек принадлежат Л.Л. Гольденвейзеру. Позже применительно к теории пластин и оболочек эти методы развивали в своих исследованиях Маневич Л.И., Павленко A.B., А.Д. Шамровский, Лобода В.В.

В случае достаточно сложных исходных уравнений асимптотический анализ часто базируется на некоторых интуитивных догадках, которые са-ми требуют обоснований. В связи с этим Л.И. Маневич и Л.В. Овсянников предложили сочетать методы асимптотического анализа с методами теории групповых свойств дифференциальных уравнений.

Актуальным для приложений является поиск таких классов частных решений, на которых исходные дифференциальные уравнения существенно упрощаются. Этот процесс сначала выполнялся либо на основании соображений симметрии, либо с помощью теории размерностей. Вместе с тем исследователи уже давно обращают внимание на групповую природу рассматриваемой проблемы. Широко применяется метод поиска упрощенных систем уравнений, связанный с асимптотическим анализом исходной системы. При этом важно определить, что принять в качестве упрощения. Упрощенная система уравнений всегда оказывается допускающей более широкую группу преобразований, чем исходная.

В качестве цели асимптотического анализа Л.И. Маневичем было предложено расширение допускаемой дифференциальными уравнениями группы преобразований, которое приводит к появлению новых инвариантно-групповых решений.

Описанный выше подход был развит в ряде работ А.Д. Шамровско-го. При этом выяснилось, что совместное применение методов асимптотического анализа и теории групп позволяет не только обоснованно строить упрощенные уравнения на базе заданных точных уравнений, но и /казывать методы эффективного решения строящихся уравнений.

Цель диссертационнй работы состоит в следующем :

- построить новые варианты двумерных динамических уравнен! п.пя плоского слоя, которые позволяют изучать как симметричные , так антисиммметричные деформации слоя и, в отличие от известных уравн ний, задают трехмерные скорости распространения фронтов волн;

- построить решения найденных уравнений плоской деформации изгибной деформации тонкого слоя и выполнить сравнение с решениян ранее известных уравнений.

Основными задачами научного исследования являются:

- совместное применение методики асимптотического и групповог анализа к трехмерным динамическим уравнениям теории упругости;

- получение двумерных моделей трехмерных волновых процессов тонком слое и их применение для исследования возмущенной зоны;

- изучение картины напряжено-деформированного состояния вблизи волновых фронтов, а также анализ скоростей их распространения.

Общая методология исследования основывается на метод; асимптотического интегрирования динамических уравнений теории упр гости. Методика вывода уточненных двумерных динамических уравнеш для плоского слоя, а также решение на основе полученных уравнений з дач о нестационарном излучении волн состоит в последовательном пр менении теории групп для обоснованного выбора наименьшего возможн го количества параметров асимптотического интегрирования с целью пр ведения анализа возможных случаев минимального упрощения решаемь уравнений и построении процедур последовательных приближений, соо ветствующих различным значениям параметров интегрирования.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- на основе сочетания асимптотических и групповых методов пол чены варианты уточненных двумерных динамических уравнений, первь

из которых описывает распространение плоских волн в слое, а второй -изгибных волн;

- в отличие от известных уг>?рн<»ний, полученные уравнения обпиу видов описывают распространение всех типов волн со скоростями, соответствующими трехмерным уравнениям теории упругости;

- при помощи тех же асимнтотико-групповых методов построены решения найденных уравнений, что позволило решить ряд задач о нестационарном излучении плоских и изгибных волн в слое при различных видах граничных условий;

- проведен сравнительный анализ построенных решений; при этом известные решения не использованы и готовом виде, а получены заново путем применения единой методики асимптотико-группового анализа и являются значительно более удобными для применения и анализа.

Научная и практическая ценность. На основе единой методологии, основанной на сочетании методов теории групп и асимптотического анализа, производились как вывод новых вариантов двумерных динамических уравнений плоской и изгибной деформации тонкого слоя, так и их решение с подробным исследованием качественных и количественных характеристик напряженно-деформированного состояния. Достоинство асимптотико-группового анализа состоит в том, что он позволяет не только обоснованно строить упрощенные уравнения на базе заданных точных уравнений, но и указывать методы эффективного решения строящихся уравнений. Кроме того, эта методика гарантирует обоснованность полученных результатов. Уточненные уравнения дают возможность изучить •задачу о распространении волновых фронтов и получить усредненную по толщине картину напряженно-деформированого состояния за фронтами, причем значительно более точную по сравнению с той, что дают известные уравнения.

Разработана вычислительная схема и пакет прикладных программ для моделирования волновых процессов в пластинах.

Достоверность основных научных результатов и выводе

обеспечивается точностью математических методов, которые использую ся для анализа, корректностью постановок задач, согласованностью ме; ду полученными результатами и известными, а также результатами др гих авторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационн« работы докладывались и обсуждались на 1-м Украинско-польском нау ном семинаре по механике материалов и конструкций (1993 г., г. Дне ропетровск) и на международной научно-практической конференции "С временные проблемы геометрического моделирования" (1995 г., г. М литополь). В целом диссертация докладывалась на научных семинар; кафедр: программного обеспечения и математического моделирования 3 порожской •государственной инженерной академии (1996 г.) и прикла ной математики Запорожского государственого университета (1996 г.).

Публикации. По результатам выполненых исследований опубликовано 5 работ, в которых отражено основное содержание диссертации.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав и заключения, содержит 140 страниц, 36 рисунков, список ис пользованной литературы (110 наименований).

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность проблемы, являющейс предметом исследования, дан анализ состояния вопроса, выполнен кра кий обзор литературы, посвященной исследованию переходных волновы процессов в слое, решению задач о распространении волн, вызванны быстроизменяющейся нагрузкой. Сформулирована цель диссертации и & новные научные положения, которые выносятся на защиту. Здесь же и: ложено краткое содержание диссертации по главам.

В первой главе описаны методы совместного применения асии птотического и группового анализа для решения задачи о действии вн(

запно приложенной самоуравновешенной антиплоской нагрузки на границу упругого полупространства, первоначально находившегося в покое. Распространение нестационарной волны при этом описывается уравнениями

д хг д I1 ' 1 и'

первое из которых является уравнением Клейна-Гордона.

Данное уравнение решается при помощи совместного применения методов асимптотического и группового анализа.

Отдельные члены уравнения Клейна-Гордона могут иметь, в зависимости от вида решения, неодинаковый вес, причем в одних условиях будут преобладать одни члены, а в других другие. Оценки относительных весов этих членов производятся при помощи преобразований растяжений, которым подвергается искомая функция и аргументы

х =5" * х, н* = 8 р 5 и (2)

(здесь 5<1 - формально введенный малый параметр).

При этом требуется, чтобы в результате преобразований (2) стали справедливыми соотношения

дж.~\, а,.~\, и~1 (з)

Использование языка теории групп позволило обосновано выбрать наименьшее возможное количество параметров асимптотического интегрирования и указать их смысл.

Проведен анализ всех возможных случаев минимального упрощения уравнения Клейна-Гордона и соответствующих значений параметров. В итоге выявлена зависимость между упрощением уравнения, достигаемым отбрасыванием его второстепенных членов, и расширением допускаемой группы преобразований растяжений.

Построены три процедуры последовательных приближений, для чего искомые функции представляются в виде рядов

« = X и*; т = £ тк (4)

1 *=!

что позволяет после выполнения преобразований растяжений получить инвариантную бесконечную рекуррентную систему уравнений.

Для первого итерационного процесса, соответствующего случаи быстрого изменения искомой функции по х и 1 и преобладанию первого i второго членов исходного уравнения над третьим, инвариантами исполь зуемых преобразований растяжений являются (у- любое число)

j = i; ik=x>^-»ut (k=l, 2,..) (5)

а инвариантные решения ищутся в виде

ik = it0); «к (k=i, 2,...) (6)

Рекуррентная система дифференциальных уравнений для поиска Uj, имеет вид

"^Ч = «*-> (к=1, 2,...) (7)

.(при к=1 uk_i =0).

Подстановка (6) в (7) приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям относительно инвариантов, решение которых в общем виде следующее

" * = £ "м * С ~ *) -2r+t+'-2 (k=l, 2,...) (8)

"Для определения коэффициентов икк используется тот факт, что на гра-• нице х=0 задано усилие вида

Р = J (t) = Р„ COS (О t (9)

Теоретически ряды (8) способны описать решение в пределах Bcei возмущенной зоны 0 <х< t. Однако их практическое применение связан! либо со сравнительно небольшими значениями t, когда эти ряд! способны дать решение во всей зоне 0 <х< t, либо при больши: значениях t, с описанием только прифронтовой зоны х s t, поскольку < ростом расстояния от фронта 1-х и с ростом х возрастает погрешность связанная с вычислением степенных рядов.

Решение в виде (8) определено при х<1 и равно нулю при хИ и справедливо при небольших расстояниях от фронта, а именно в прифронтовой зоне. Оно может быть значительно улучшено и записано в виде

»=£(/- г)2'*"-' £ (10)

1=1 1=1

Здесь использованы следующие обозначения для Лямбда-функций

Г(у+1)

у '[:)

где Г - Гамма-функция ( Г(у+1) =у! при veZ), функция Бесселя действительного аргумента.

Решение (10) хорошо описывает быстроизменяющуюся прифронтовую зону, включая разрыв на фронте. Оно обладает существенными достоинствами по сравнению с решением (8). В частности, с помощью решения (10) можно получить замкнутые асимптотические выражения для функций напряжений и перемещений, справедливые при 1-> °о и х-> 1. При гп=0 будет (это соответствует в том числе и нагрузке вида (9) )

Г = Л 0 (V 2 * (/ - х)) ; н = - (/ - *) Л , (V 2 х (/ - *)) (11)

Важно отметить, что решение в прифронтовой зоне зависит только от поведения нагрузки в начальный момент времени и не зависит от того, как изменяется нагрузка в дальнейшем..

Второй итерационный процесс соответствует случаю медленного изменения искомой функции по 1 и преобладанию первого и третьего членов над вторым. Рекуррентная система дифференциальных уравнений имеет вид

с;ик-ик= д*ик_х (к-1, 2,...) (12)

Для нагрузки типа (9) сос, ьстствующее решение имеет вид

■¡ий: Т =

- и Р со$ (О I ■ с ' Р х , 0} < 1

(Лх ; !') , а - 1 (13)

- ир сох и-ч - Р х) , ы >

где р -г Ь-со- п рил> < 1, у? = 4<Р 1 1/ = -Р0/р .

Оно описывает состояние полупространства вблизи нагруженной границы х=0 после удаления от нее прифронтовой зоны. Его можно рассматривать как асимптотическое решение при t-> да и х->0.

Для изучения переходного режима, возникающего при не слишко] удаленном от границы фронте волны, рассматривается третий итерацио! ный процесс. Инвариантное решение и^ при этом есть функция перемеь ной 1, а х служит параметром (что соответствует случаю медленного и; менения искомой функции по х). Это решение может удовлетворят только начальным условиям; оно описывает свободные колебания, вь званные начальным возмущением; для описания форм колебаний во bcci возмущенной зоне от границы до фронта используется разложение в ря Фурье с переменным интервалом разложения, а рекуррентная систем имеет-вид

0?ик + и4 (к=1, 2,...) (14)

Соответствующее общее решение для нагрузки (9) следующее

«= ( м тс cos arí + M^^sinar/) соsy х (15)

оо

Т = -У_. у ( и cosa I + и sin a /) sin г х

'' ' v me ms 7 '

«»1

где у - miz / /; а = -Jl+y 2 ■

Складывая решения (13) и (15) (отдельно для со<1,(о>1и<о-1) можно удовлетворить и граничным условиям вида (9) и нулевым началь ным условиям, получая возможность описать зоны, удаленные от фронта где эффективность решения (10) падает..

На рисунках показаны соответствующие картины распространения нестационарного волнового'процесса, иллюстрирующие полученные ре-зуль таты. Здесь изображены графики функции T(x,t), которая описывает прифронтовую, приграничную и промежуточную зоны при различных значениях частоты .

«иах = 1.000 1шп=-0.393 Рис. 1

При ю<1 (рис.1) выделяется быстроосциллирующая при-шпонтовая зона, затухающая с удалением от фронта, и локализованная плавноизменяю-щапся приграничная зона, между которыми со временем устанавливается невозмущенная зона. В этом случае самоуравновешенная антиплоская на-

грузка локализована вблизи границы при любых значениях 1, а в при-

0.1

V

шах=1.000 чйп=-1.000

Рис. 2

38

фронтовой зоне с ростом времени увеличивается частота осцилляций. При со>1 решение принимает характер бегущей волны, излучаемой нагруженной границей. Прифронтовая зона при этом остается такой же, как и в случае со <1; при удалении от фронта виден переход быстроосциллирующего

волнового процесса в стационарную волну (рис. 2).

Во второй главе основное внимание уделено выводу уточненных динамических уравнений плоской деформации тонкого слоя. При этом применяется методика асимптотического интегрирования, предложенная ранее Шамровским А.Д. и уже использованная в первой главе при решении уравнения Клейна-Гордона.

Внячале, основываясь на динамических уравнениях пространстве: ной теории упругости

да ¿>о д2иг дих

дх ду dz dt дх хх У> 22

¿7a, да da d2u. д"

+ + -г- = 0; Е——*- = а -у (а +а )

/У .. ^ - ' о . 2 ' л _ гг ^ ra:

дх ' ' г?г д I2 ~ ' " dz

(ди ¿"Л (ди ди Л

G\-zrL + ^rL\ = о- ; с-г-*-+-т-Ч = о- ;х<*у

{ду dx J *у \dz дх) " *

выводятся известные уравнения обобщенного плоского напряженного ci стояния пластины, которые задают скорости распространения продольны волн, не соответствующие трехмерным уравнениям теории упругости, следующем параграфе эти уравнения уточняются. Для этого используютс преобразования растяжений вида

х' =Sa> x-,y'=óaiy-,z'=z-,u'x=8 а> их-,и'у=8а* иу (17)

"z =8 "5 «*; °'х* = 8 а*х ; ауу =8 "7 Оуу ; а'гг=8 "« а21

а'х, =Г'а„; <т„ ; а'уг = ауг ;Г=ЗаЧ

которые приводят к соотношениям

д д [р д ди\ ди\ .... , »

----J—---Е-.— Е——г~ о ~ а ~ а ~ а Но)

дх dz* \Е di дх dz " " " " V '

Благодаря последним, вес каждого члена любого из преобразовании уравнений (16) полностью оценивается появившимся в результате преобразований (17) коэффициентом в виде некоторой степени 8 (5<1).

Для получения рекуррентных уравнений искомые функции предста] ляются в виде рядов, аналогичных (4). Выбираются следующие значени параметров асимптотического интегрирования aj=0.5, а2=0.5, аз=1, щ= «5=0.5, aG=0.5, а7=0.5, а8=0.5, ад=0.5, аю=0, at=0.5 (к набору ccj, ..., a , который в статическом случае приводит к уравнениям обобщенного пл& кого напряженного состояния с учетом сжатия, здесь добавляется знач! ние параметра a(l удовлетворяющего критерию минимального упрощени

исходных уравнений); значения параметров являются наименьшими, позволяющими производить расщепление по целым степеням 8.

Удерживая все уравнения первого приближения и одно уравнение из второго приближения, их решения ищем в виде

а 1 = с ,. ; и 1 = и ,, ; и 1 = и ; а 1 = а ,, ; а 1 = а ,, (19)

IX гг1,1 * X X 1,1 у у 1,1 XX XX 1,1 * уу уу 1,1 • х 7

в' = а ,, ; ст 1 = г сг ,. ; ст 1 = га ,,; и 1 = г и ,, ; ст: =: 2 а „,

ху ху 1,1 хг л 21,1 уг ух 1,1 г г 1,1 гг гг2,1

Последние уравнения с учетом граничных условий на лицевых поверхностях после введения следующих обозначений и безразмерных переменных

6 = (1+ и)(1-2г)/(1- V); а2 = Е / рЬ\ а] = (1-2у)/2(1- V) (20)

а,2=(1-2у)/(1-у)2 ; с-= у) ; </ = 1/2 (1-й)

х, =2Лг; у. = 2Лу ; /, = 2 Л / / я ;и ,,=2Ау ; м ,.=2Иу ,и ,,=м>,

1 '' 1 ' * 1 /> ' х!,1 1> у ' г 1, 1 1

с ,,=£7 /А; о" ,, = £7'/Л;(т ,,=ЕБ1Ь-,о ,, = ЕК/Ь

XX 1,1 X * У.У1.1 У ' Г2 1,1

принимают вид '

д Тг д Б V дч

д х д у а / д х

= 0; (21)

«9 7' <? 2 V . д V

3 . 3 г- = 0; Ь—Х- = Т -у(т + *)

<?/" ду у \ * I

Ьи> = К - V [т + г); В К и- 9 "'1 = 0 1 \ * у! ' л < 2

5 = а2

\

д V ¿V

-- + ——

д у д х

Они являются уравнениями обобщенного плоского напряженного состояния с учетом сжатия по толщине. Последние являются уточненными в том смысле, что описывают распространение фронтов продольных и поперечных волн с трехмерными скоростями и дают усредненную по толщине картину напряженно-деформированного состояния за фронтами.

Третья гласа посвящена решению задач о распространении плоских упругих волн и тонком слое. Проводится асимптотико-групповой анализ полученных динамических уравнений, позволяющий построить их решения.

Рассмотрены три процедуры последовательных приближений, соо ветствующие различным значениям параметров асимптотического интегр рования, которые приводят к минимальному упрощению полученных i второй главе уравнений. Это случаи соответственно быстрой двумернс волны, медленной двумерной волны и свободных колебаний но толиш пластины.

Более подробно рассматривается случай быстрой двумерной волт Решается задача о распространении одномерной продольной нестациона ной волны вдоль оси х в слое под действием внезапно приложенной н грузки. Описывающие этот процесс рекуррентные уравнения имеют вид 3 2v д V/, , дг v .

Зх2 дх 312

3 V , 3 2 w 3 V

^---1^ = 0; Г . =■

Зх di1 3x' + CW^-i

Применяется методика, изложенная в первой главе, согласно которой решение уравнений (22) ищется в виде рядов однородных функций

со во «о j аэ+í+y-l

V, = £vx¡; Тх = 2Х ; w, = 2>|( ; v„ = 2>xfJ х'-> (t-x) (23)

1=1 l-l 1=1 У=1

¡ m+l+J-2 , m*i+j

TXi = ZTxU (/-*) ; w „ = „ x-'U - x)

j~ l

Это решение, в принципе, является точным решением задачи, уд влетворяющим всем граничным и нулевым начальным условиям. Однако, силу тех же особенностей, которые были подробно описаны на пример уравнения Клейна-Гордона, оно пригодно только для описания прифронп вых зон. Зоны, удаленные от фронта, описывают классические уравнение При этом важно отметить, что на основе единой методологии, основание на сочетании методов теории групп и асимптотического анализа, пронзи дались как вывод уточненных динамических уравнений, так и их решени' Эта методика также гарантирует обоснованность полученных результатов На рис. 3 представлен график распространения волнового процесс при постоянной нагрузке и значении коэффициента Пуассона v=0,3. Кла<

сическке уравнения, согласно которым волновые фронты распространяются со скоростью а! (это квазифронт, он изображен на графике пунктирной линией), позволяют получить только приближенную картину напряженно-деформированного состояния. На самс.-: деле продольные волны имеют

1 _ скорость распространения ар.

1 /Су. .V..... Вблизи настоящего фронта, изо-

^ \ ; Сраженного сплошной линией, вы-

1; деляется быстроосциллирующая

1| л зона, что является характерной

| I х особенностью волнового процесса.

0 13.55 I 15 (3 р0СТ0м времени- осцилляции ста-

„„ , новятся более частыми, причем их

При х=0 Р-С0£ (0.0*») г

„ характер зависит только от поье-

Рис. 3 г г

дения нагрузки в начальный момент времени и не зависит от дальнейшего поведения нагрузки. В районе квазифронта осцилляции ослабевают и наблюдается быстрый, но не скачкообразный рост напряжений, после чего уточненное решение асимптотически сближается с классическим.

Таким образом, выведенные уточненные двумерные уравнения дают в целом верную качественную картину распространения трехмерного переходного процесса с сохранением такой важнейшей характеристики, как скорость распространения фронта. В то же время хорошо видна и область применения классических уравнений обобщенного плоского напряженного состояния.

В четвертой главе выводятся динамические уравнения изгибной деформации тонкого слоя. В первом параграфе при помощи асимптотического интегрирования трехмерных уравнений теории упругости (16) получены классические динамические уравнения изгиба пластины, которые не позволяют изучить задачу о распространении волновых фронтов. Далее,

придерживаясь той же методики, выводятся уточненные уравнения изги тонкого слоя.

Выполняя преобразования (17), приводящие к соотношениям (18J представляя искомые функции в виде рядов типа (4) и выбирая значен! параметров асимптотического интегрирования aj = 0.5, а2 = 0.5, а3 = а4 =0, as =0.5, ag = - 0.5, a.j = - 0.5, a8= - 0.5, ag = - 0.5, a|0=0, at=0. (в статическом случае они соответствуют упрощенному варианту урави ний, описывающему напряженно-деформированное состояние изгиба с уч том сжатия), получим рекуррентную систему уравнений для поиска иск мых функций. Удерживая, как и ранее, все уравнения первого приближ ния и часть уравнений второго приближения, их решения ищем в виде сг 1 = ст , . ; <т 1 = о- „, : и 1 = и , , ; сг 1 = z, а , , : «1 = z.u , , (24)

xz xz I. 1 * yz yzT.l 9 г z 1, 1 * zz 1 zz I, 1 ' z ïxl.l v '

и 1 = z, и , , ; с1 = z. a ..la1 = г, а , , ; о- 1 = z , сг , ,

у I >'1,1* XX 1 XX 1. 1 ' у у 1 yyl, 1 * ху 1 xyl, 1

2 2 22 22 23

с - z, а , , ; сг = z, а „,; и - z, и , , ; сг = z. сг . ,

xz I 1:2,1* jri 1 J»r2,l * z 1 г 2,1* zz 1 гг2, 1

Подставляя (24) в последние уравнения и приводя переменные к безразмерному виду (здесь использованы также обозначения (20))

= °Рх- "„и = W,'. uzu = 2hw- uxXl = <PX (25)

E E E

"yu■ = <P, : =2hbMy - ff'Mi'= Yhb 11

E 2

гкЪ*1' а

где Фх , фу - углы поворота нормали; w - прогиб пластины; Рх > Ру ~ углы сдвига; Мх, Му - изгибающие моменты; Н - крутящий момент; величины \у2 и N отражают изменение деформации и напряжения по толщине плас тины; Рх , Ру - безразмерные перерезывающие силы, 0х ~ ¡3 х ; = р

с учетом граничных условий на лицевых поверхностях получим уравнеш изгиба тонкого слоя с учетом сдвига и инерции вращения в виде

0Н , дг ф дг к. дг у/

0 --^ = 0; 2АГ +-^- + ^- = 0 26

дх ду ' ^ д1г а!2

2 [д Ох „ ¿>г V, 2[<?РХ ¿О

' • {¿х ду ) <7/ '{¿У ,

8А* = Ы- у[мх + Му); Р. »77 = 6, ; = +

Эти уравнения дают возможность изучить распространение волновых фронтов и получить усредненную по толщине картину напряженно-деформированного состояния пластины за фронтами. В отличие от классических уравнений они учитывают инерцию вращения нормали (это отражают слагаемые в первых двух уравнених) и

сдвиги Рх, р , вызванные перерезывающими силами. В этом данные уравнения подобны уравнениям типа Тимошенко, однако, в отличие от последних, описывают распространение фронтов изгибных волн со скоростью, равной скорости фронта продольных трехмерных волн, а распространение крутильных и сдвиговых волн со скоростью, равной скорости фронта поперечных трехмерных волн.

В пятой главе, посвященной решению задач об изгибе тонкого слоя, рассматриваются уравнения одномерных изгибных и поперечных волн, для решения которых используется описанная и примененная выше методика. Отдельно решаются задачи о действии внезапно приложенного изгибающего момента и внезапно приложенной перерезывающей силы.

Проводится сравнение полученных уравнений изгиба пластины с известными. Для этого вначале построено автомодельное решение классических уравнений с применением единой методики асимптотико-группово-го анализа. Использование методов теории групп для решения динамической задачи о цилиндрическом изгибе под действием внезапно приложенной нагрузки позволило динамические уравнения в частных производных привести к обыкновенным дифференциальным уравнениям относительно инвариантов и получить результаты практически в замкнутом виде.

На рис. 4 показаны графики перерезывающей силы в задаче о действии внезапно приложенной перерезывающей силы. Вблизи первого фронта графики имеют осциллирующий характер. Главным фронтом явля-

Рис. Графики перерезываощей силы, соответствуошие

различным решениям — - уточненное решение: • — классическое решение -- решение по теории типа Тимошенко

ется второй фронт, на котором перерезывающая сила терпит разрыв, равный сс значению на грани це. При этом н; блюдается весь ма существенное расхождение с результатами, полученными по теории типа Тимошенко. Решение по этой теории дает сильный

провал перед вторым фронто! в отрицательну] зону; поэтому соответствующий пик также получается направленным в отрицательную сторону, что не соответствует существу задачи. Уточненная

теория дает естественное направление разрыва на втором фронте в ту стс рону, в которую действует приложенная на границе нагрузка. Интегральн оба решения достаточно близки. Классическое решение для усилий хоро-

Рис. 5. Графики изгибаощего момента, соответствушцие

различным решениян — - уточненное решение: • - классическое решение -- решение по теории типа Тимошенко

шо согласуется с двумя описанными выше решениями только в зонах, мед-ленноизменяющихся во времени.

На рис. 5 представлены графики изгибающего момента М в задаче о действии внезапно приложенного изгибающего момента. Здесь главным является первый фронт, на котором изгибающий момент терпит разрыв, равный его значению на границе. В прифронтовой зоне графики имеют быстроосцнл.-.мругсщий характер, причем, с ростом времени осцилляции становятся более частыми. Вблизи второго фронта это явление не наблюдается. Как и в предыдущей задаче, решение по теории типа Тимошенко интегрально близко к уточненному решению, но существенно отличается от него вблизи первого волнового фронта, в первую очередь, самим расположением фронта. Для классического решения характерным является то, что оно хороню согласуется с полученным новым решением только в мед-ленноизмсняющейся зоне.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации, которые состоят в следующем.

- на основе совместного применения теории групповых свойств дифференциальных уравнений и методов асимптотического анализа к трехмерным уравнениям теории упругости построены два варианта уточненных двумерных динамических уравнений для плоского слоя: первый вариант описывает распространение плоских волн в слое и является уточнением известных уравнений обобщенного плоского напряженного состояния; второй описывает распространение изгибных волн в слое и является уточнением известных уравнений теории пластин типа Тимошенко;

- предлагаемые уравнения обоих видов, в отличие от известных уравнений, описывают распространение всех типов волн с теми же скоростями, что и трехмерные уравнения теории упругости; в то же время они являются типичными двумерными уравнениями и соответствуют тем же законам распределения по толщине слоя основных перемещений и напряжений, что и известные двумерные уравнения;

- методика асимптотико-группового анализа, которая использовала« при выводе новых типов уравнений, применена также и для их решени что позволило решить ряд задач о нестационарном излучении плоских изгибных волн в слое при различных видах граничных условий, в частно ти, задачи о распространении одномерных продольных, поперечных и и гибных волн;

- проведено сравнение полученных уравнений с известными; нр этом показано, что результаты, полученные на основе классических ура: нений, моделируют медленноизменяющиеся зоны для вновь получении решений;

- в рамках единого подхода и решение классических задач постро! но заново при помощи асимптотико-группового анализа; это оказалось зн; чительно удобнее, чем использование известных решений, найденных пр помощи интегральных преобразований, поскольку позволило получить р( зультаты практически в замкнутом виде;

- проведено сравнение вновь полученных уравнений с уравнениям изгиба пластины типа Тимошенко; доказана асимптотическая противореч! вость уравнений типа Тимошенко; показано, что они дают приблизительн правильно только интегральные результаты, но неверно описывают карп ну вблизи волновых фронтов.

Конкретный личный вклад автора в разработку результатов, опубликованных в нижеперечисленных работах.

На основе совместного применения методов асимптотического группового анализа решена задача о действии внезапно приложенной сг моуравновешенной антиплоской нагрузки на границу упругого полупрс странства и полосы. Разработан алгоритм численной реализации получи ных решений [1,2].

С применением методики асимптотического интегрирования выведс ны уточненные динамические уравнения плоской деформации и изгибно

дсформации тонкого слоя, позволяющие изучать распространение фронтов продольных, поперечных и изгибных волн с трехмерными скоростями [3,4].

На основе полученных уточненных уравнений плоской деформации решена задача о распространении одномерной нестационарной продольной волны в слое [3].

Разработана вычислительная схема и пакет прикладных программ для моделирования волновых процессов в пластинах [5].

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях:

1. Пожуев В.И., Скрыпник И.А., Шамровский А.Д. Распространение антиплоской самоуравновешенной упругой волны от границы полупространства. Изв. РАН. МТТ, 1996, № 2, с. 124-133.

2. Скрыпник И. А. Шамровский А. Д. Асичптотико-групповой анализ дифференциальных уравнений теории упругости для случая антиплоских волн. /Theoretical Foundation in Civil Engineering. Тез. докл. междунар. конф. Dnepropetrovsk. Warsaw, 1993, с. 44-49.

3. Скрыпник И. А., Шамровский А. Д. Дзумсрное моделирование трехмерных продольных волн в плоском слое. Сб.: Математическое моделирование физико-механических полей и интенсификация промышленного производства. Запорожье, 1995, 43-50.

4. Скрыпник И. А., Шамровский А. Д. Двумерное моделирование трехмерных поперечных и изгибных волн в плоском слое. Сб.: Математическое моделирование физико-механических полей и интенсификация промышленного производства. Запорожье, 1995, с. 51-56.

5. Скрыпник И. А., Шамровский А. Д. Графическое моделирование Беловых процессов в пластинах и оболочках. Современные проблемы геометрического моделирования. /Тез. докл. межд. н.-практ. конф. Мелитополь, 1995, с. 164.

Skrypnik I.A. Two-dimensional modelling of processes spreading three-dimensoinal elastic waves in the flat layer.

Dissertation on the degree of candidate of physical-matematical sciences on speciality 01.02.04-mechanics oi deformable solid body, Zaporozhye state iniversity, Zaporozhye,

Five scientific works are defended, which have included theoretical research transitional wave processes in the flat layer, realized by combined applicatior methods asymptotic and grouped analysis dynamic equations of spase elasticity theory. The two-dimensional models had been obtained that make possible to research the problems of front wave spreading and to obtain averaged by depth picture of strained and deformed state after front passing. Скрыпиик И.А. Двумерное моделирование процессов распространения трехмерных упругих волн в плоском слое.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела, Запорожский государственный университет, Запорожье, 1996. Защищается 5 научных работ, которые содержат теоретические исследования переходных волновых процессов в плоском слое, осуществляемые на основе совместного применения методов асимптотического и группового анализа динамических уравнений пространственной теории упругости. Получены двумерные модели, позволяющие изучить задачи о распространении волновых фронтов и получить усредненную по толщине картину напряженно-деформированного состояния за фронтами. Ключевые слова: самоуравновешенная нагрузка, асимптотико-групповой анализ, инвариантное решение, плоский слой, скорость распространения фронта, упругие ьолны, возмущеннная зона.

Подписано к печати 17.05.96 г. Заказ № 173. Тираж 100 экз. Объем 1,0 усл.п.л.

Запорожье, ЗГИА, пр. Ленина, 226.