Нестационарные волны в пластинах при нормальных ударных воздействиях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАСТИНАХ ПРИ НОРМАЛЬНЫХ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических н

На правах рукописи

КУШЕККАЛИЕВ Алман Нысанбаевич

Саратов - 2004

Диссертационная работа выполнена на кафедре математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Л. Ю. Коссович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор П. Е. Товстик.

доктор технических наук, профессор В. Н. Кузнецов.

Ведущая организация: Нижегородский Государственный Университет им Н.И. Лобачевского.

Защита состоится " у " /И п, Г'вг 2004 г. в /¿Г мин. на

заседании диссертационного совета Д 212.243.10 в Саратовском государственном университете им. Н.Г.Чернышевского по адресу: 410026, г. Саратов, ул.Астраханская,83, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Автореферат разослан января 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физ.-мат. наук, доцент

Ю.В. Шевцова

2004-4 20353

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Ряд важных узлов и деталей современных технических устройств работает в резко нестационарных режимах вследствие быстрого изменения во времени действующих на них внешних сил. При этом в конструкциях возникают динамические напряжения, которые должны. учитываться при оценке прочности и работоспособности, а также при выборе оптимальных условий функционирования тех или иных упругих элементов. Последнее особенно важно для технических устройств, принцип действия которых основан на использовании нестационарных волновых полей и связанных с ними механических эффектов. Научной основой для такого расчета является теория нестационарных колебаний и волн в упругих телах.

Переходные процессы деформации пластин и оболочек имеют место в течение промежутка времени, соизмеримого с временем пробега волнами деформаций пути, равного их характерному размеру. Можно при этом выделить возмущенные области, границы которых определяются фронтами и квазифронтами волн. На фронте волны некоторые компоненты напряжений и деформаций или их производные разрывны, и если нагрузки являются достаточно гладкими по времени функциями, то роль этих разрывов в напряженно-деформируемом состоянии (НДС) несущественна. Теоретический и прикладной интерес напряженное состояние в окрестности фронтов волн представляет для так называемых ударных нагрузок, моделируемых импульсными функциями.

Сложность уравнений теории упругости для пластин и оболочек не позволяет получить точные аналитические решения и поэтому используются различные приближенные подходы, основанные на приближении как исходных уравнений, так и искомых решений. Существующие методы сведения трехмерных задач теории упругости к двумерным условно делятся на методы гипотез, разложения по толщине и асимптотические методы. В случае простых геометрических объектов (напр., плит) алгоритм степенных рядов может быть успешно применен в форме символического метода А.И. Лурье.

Существенный вклад в разработку теории и методов исследования НДС пластин и оболочек внесли труды В.З. Власова, А.Л. Гольденвейзера, А.И. Лурье, В.В. Новожилова. Вопросы расчета НДС пластин и оболочек, при динамических воздействиях составляют в настоящее время один из наиболее актуальных классов задач механики деформируемого твердого тела с присущими этому классу математическими моделями и методами рас и и

динамических процессов в пластинах и оболочках получили методы, основанные на понятии изменяемости НДС, позволяющие выяснить характер исследуемых процессов, обусловленный малостью относительной толщины пластин и оболочек. Особое, место в теории оболочек и пластин занимают задачи нестационарной механики.

Выбор темы исследования обусловлен необходимостью описания неоднородного по изменяемости НДС пластин при ударных воздействиях нормального типа с помощью теорий и методов, разработанных А.Л. Гольденвейзером, Ю.Д. Каплуновым, Л.Ю. Коссовичем и другими авторами. Нормальные торцевые воздействия типа NW и нормальные воздействия на лицевые поверхности приводят к совершенно иной схеме расчленения нестационарного НДС на составляющие с различными показателями изменяемости, основанной на качественно новых свойствах поведения нестационарных волн в окрестностях фронта волны сдвига и условного фронта поверхностных волн Релея (квазифронта). Также необходимостью разработки аналитических методов изучения НДС пластин при рассматриваемых воздействиях, которые могут быть распространены и на случай оболочек (конусы, оболочки вращения и др.).

Цель работы. Целью работы является развитие асимптотических методов исследования нестационарного НДС тонких упругих пластин при нормальных воздействиях, включая:

- анализ различных составляющих решения для нестационарных волн в пластинах при торцевых и поверхностных ударных воздействиях нормального типа на базе трехмерной теории упругости. Выявление асимптотически главных составляющих решения, анализ их изменяемости и динамичности, а также определение границ применимости на основе выявления расположения областей согласования;

- анализ нестационарного волнового НДС различных составляющих на базе теории типа Тимошенко;

- построение приближенного решения в окрестности условного фронта поверхностных волн Релея;

- построение асимптотически приближенных уравнений погранслоя в окрестности условного фронта поверхностных волн Релея символическим методом Лурье.

Научная новизна и значение результатов. В диссертации впервые разработан асимптотический подход к решению нестационарных задач для пластин при нормальных воздействиях, основанный на расчленении НДС, выделены границы применимости различных составляющих решения.. Кроме того, впервые асимптотическими методами проанализировано и приближенно аналитически определено решение в окрестности условного фронта поверхностных волн Релея. Также построены уравнения погранслоя - для поля Релея в пластине символическим методом А. И. Лурье на основе анализа трехмерных уравнений теории упругости.

Достоверность результатов обеспечивается применением при решении поставленных задач апробированных асимптотических методов и приближенных теорий, строгостью используемых математических методов, подтверждается непротиворечивостью полученных результатов и их сравнением с известными работами других авторов, физическими соображениями, переходом полученных асимптотических решений к известным решениям.

Практическое значение работы состоит в расширении области действия асимптотических методов исследования нестационарных волновых процессов в пластинах. Представленные методы необходимы для расчета тонкостенных конструкций на прочность в авиастроении, судостроении и других отраслях промышленности при проектировании конструкций, подверженных быстроизменяющимся во времени воздействиям. Разработанные асимптотические методы исследования представленных в работе задач позволят решить актуальный для практики расчета конструкций на прочность вопрос создания надежных численно-аналитических методов исследования динамического НДС пластин.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на III, Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (г. Ростов-на-Дону, 2003 г.), научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (104 наименований); содержит 115 листов текста и 26 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор исследований волновых процессов деформации в пластинах и оболочках, сформулирована тема и целы диссертации, дано краткое описание работы по главам.

Первая глава посвящена постановке задачи о нестационарном НДС в пластине, вызванном ударными нагрузками нормального типа, зависящими от времени как единичная функция Хевисайда. Приведены уравнения трехмерной теории упругости и уравнения теории типа Тимошенко в декартовой системе координат. Рассматриваются два вида воздействия, а именно, нормальное воздействие на поверхность бесконечной пластины и нормальное воздействие поперечного типа (NW) на торец полубесконечной. пластины, приводящие к различным типам нестационарного НДС.

Будем использовать следующие обозначения:.2А- толщина пластины; Е-модуль Юнга; V- коэффициент Пуассона; р- плотность материала; г) — А/Х.-^' малый параметр; Ь- характерное значение длины; безразмерные (деленные на

к) перемещения; о„ (у=1,3)- напряжения, умноженные на (1 + у)Е~'; С], с^ скорости распространения волн расширения и сдвига по трехмерной теории; сп - скорости распространения первого и второго фронта в теории типа Тимошенко; - скорость поверхностных волн Релея.

В общем случае задача формулируется следующим образом. В случае полубесконечной пластины требуется определить НДС при начальных условиях покоя, т.е.

при граничных условиях определяющих лицевые поверхности, свободные от напряжений, т.е.

а также при граничных условиях, определяющих приложенную к торцу нагрузку, В случае бесконечной пластины рассматриваются граничные условия, моделирующие - нагрузку, приложенную, к лицевым поверхностям. Также

приведены граничные условия на торце и на лицевых поверхностях пластины по двумерной теории, а именно, по теории типа Тимошенко.

В уравнениях трехмерной теории упругости вводятся безразмерные координаты и время, определяемые следующими соотношениями:

н- а' 2 а

(3)

В уравнениях двумерной теории типа Тимошенко переход к безразмерным координатам осуществляется по формуле:

Проанализировано. применение приближенных теорий для рассматриваемых воздействий, основанное на свойстве неоднородности НДС по направлению распространения фронта волны и по времени. Используются теория Кирхгофа, погранслои в окрестности фронта волны сдвига и в окрестности квазифронта, а также квазистатический погранслои типа Сен-Венана. Приведены схемы, показывающие области применимости приближенных теорий в фазовой плоскости для рассматриваемых типов воздействий, а также схемы формирования решения с помощью приближенных теорий для перерезывающей силы N1, напряжения и перемещения

В главе 2 на основе трехмерной теории упругости и теории типа Тимошенко-изучается нестационарный волновой процесс в упругой бесконечной пластине при ударном нормальном воздействии на лицевые поверхности. Для решения задачи используются двойные интегральные преобразования Лапласа по времени и Фурье по продольной координате. Анализируется решение на примере перерезывающего усилия. Формула точного решения для изображения перерезывающего усилия по трехмерной теории упругости имеет вид:

где

д ^^.лр.рг^^г = у2 «У

а

- параметр преобразования Лапласа, - параметр преобразования

Фурье, I - амплитуда нагрузки.

Обратим сначала по теореме о вычетах преобразование Лапласа, а затем преобразование Фурье. Рассматриваем решение при > 0. Так как первая мода

вносит наибольший вклад в НДС вне малых окрестностей фронтов волн, рассматриваются только её точки стационарной фазы. Для рассматриваемого случая действительных х корни s„ уравнения £> = 0 чисто мнимые: зп = ±/й>л.

На Рис. 1. приведена диаграмма групповой скорости для первой моды. Выделим пять областей. Вклад стационарной точки из первой области 8|а как показывают исследования, описывается двумерной теорией Кирхгофа изгиба пластин. Во второй 82 и четвертой 84 областях используется метод стационарной фазы второго порядка приближения, причем в области 84 возможно приближенное аналитическое определение стационарной точки фазы и, следовательно, аналитическое определение её вклада. В третьей области в малой окрестности вырожденной стационарной точки, использование формулы метода стационарной фазы второго порядка приближения становится неэффективным. Для такого случая слияния двух стационарных точек решение получено с помощью метода перевала третьего порядка приближения. Пятая область , вместе с областью , задают малую окрестность фронта волны Релея. Здесь главная часть решения определяется асимптотикой интеграла Фурье при больших значениях параметра .

Проиллюстрируем классификацию методов приближенного обращения изображений, непосредственно связанную с характерными свойствами искомого

ю

I

Рис.1.

Рис.2.

решения в различных областях фазовой плоскости. На Рис.2 на примере перерезывающей силы в некоторый момент времени, больший времени прохождения фронтом волны толщины полосы, показана схема решения и выделены его характерные области. Здесь область Х| — область применения двумерной теории Кирхгофа (первая стационарная точка фазы первой моды, область Б]). Решение по классической теории Кирхгофа изгиба пластин для перерезывающего усилия имеет вид

(6)

где - специальные функции, которые определяются через интегралы

Френеля, т' = 31/4/21'2, ¿¡ = х/Ьг^12, х^

Показатель динамичности решения здесь равен 0, а показатель изменяемости по продольной координате - 1/2. В отличие от случая оболочек вращения, где существует область согласования между изгибной двумерной составляющей Кирхгофа-Лява и плоской антисимметричной составляющей коротковолнового решения, здесь асимптотически главная часть в области Xi полностью определяется вкладом первой стационарной точки фазы первой моды, задающем решение по двумерной теории Кирхгофа в области

#0<<г0-. (7)

Решение методом стационарной фазы в области , получено в

виде:

(8)

В областях решения носят малоамплитудный осциллирующий характер, они не представляют здесь практического интереса и их изучение необходимо только с теоретической точки зрения, в частности, для установления областей согласования (стационарные точки первой моды из областей стационарные точки высших мод).

Область Хз - область решения для поля Релея, задаваемого первой модой (быстроизменяющаяся часть решения при £»1 - область S5, а медленно изменяющаяся часть - область S2). Эта область Хз представляет наибольший практический интерес для исследования (здесь имеет место одна из самых существенных волновых составляющих решения, обусловленная поверхностными волнами Релея и носящая название поля Релея). Показатели изменяемости и динамичности здесь равны единице. Хорошо известно, что в случае теории типа. Тимошенко разрывы соответствующих функций появляются на условном фронте, поверхностных волн Релея. Фронт волны сдвига по теории типа Тимошенко, соответствующий фронту волны Релея, является, фактически, квазифронтом. В его окрестности трехмерное решение хотя и быстро изменяется, но является непрерывным. В районе фронта поверхностных волн Релея при достаточно больших т напряженное состояние имеет тенденцию распадаться на быстро и медленно изменяющиеся компоненты. Отметим, что асимптотически главные части решения в областях X] и Хз определяются только первой модой.

Асимптотика для й)[(^)при. ^»1 может быть представлена в виде:

щМ-кяХ-ВхыА-кх), (9)

-1

где кя = — <1, к = 2^\-к\ , В-2 ¿2

1 -К

1 -кгк1

4 к.

я я

Соответствующая стационарная точка фазы определяется асимптотикой

(10)

где ^ = (^0-кякст0)/Вкст0.

Использование формулы метода перевала , первого порядка приближения дает при; -клксг0 « кет0 следующее приближение:

^1 =

_21Ст]и2лт со5(П,)+5ш(а1)

где £1,

хМо-клЫ1'2

= Вк\

(И)

Ч2-**!1-**)'

На фронте волны Релея решение (11) даёт разрыв, что противоречит трехмерной теории упругости.

Рассмотрим случай, когда стационарная точка приближается к

бесконечности и назовем критическим значением параметра хсг • Значению х" соответствует множество точек на фазовой плоскости; поэтому для

построения решения в этих областях фазовой плоскости используется метод, как и в работах Г. Петрашеня, когда ха фиксировано. Решение для перерезывающего усилия определяется в виде:

где -

интегральный

9= ' ХСГ=Ы

7 к

(2Шк г ^ с О

ЛГ}

(12)

N>1

фиксировано.

Таким образом, физический смысл критических точек состоит в следующем: они определяют границу на фазовой плоскости, разделяющую область установившегося. решения, имеющего характер незатухающих вынужденных колебаний, от области нестационарного решения, имеющего место в окрестности фронта волны Релея.

После обращения преобразования. Лапласа: с учетом асимптотики подынтегральной функции искомое представление для перерезывающей. силы приведем к виду:

-Л

*Х- (13)

На рис.3 представлено поведение перерезывающего усилия в окрестности

фронта Релея при V = 0.3, =0.86, 17=0.01, ^=7. Сплошной линией на

рисунке представлено решение, полученное по формуле (13), пунктирной линией - решение по формуле (11) и тонкой линией - по формуле (12). Приближенное вычисление интеграла (13) наглядно продемонстрировало, как сглаживается на квазифронте разрыв решения по формуле (11).

Рис.3.

Как показывает численное исследование, область согласования решений, соответствующая четвертой и пятой областям, определяется следующим асимптотическим неравенством

72 <4о -Мс*о «МоЛ-

Область Х4 - малая окрестность фронта волны сдвига, где решение определяется всеми модами; По интенсивности решение также является существенным в узкой, области Х4, определяемой фронтом волны сдвига. Показатели изменяемости и динамичности равны здесь двум, а протяженность

области попеременной имеет порядок

Рис.4. Схема решения для перерезывающего усилия.

Проиллюстрируем классификацию методов приближенного обращения изображений решений на базе теории типа Тимошенко, непосредственно связанную с характерными свойствами искомого решения в различных областях

фазовой плоскости. На рис.4 приведена схема решения для перерезывающей силы в некоторый фиксированный момент времени. В области Yi теория типа Тимошенко может быть заменена теорией Кирхгофа. Области Уг - области быстроизменяющегося малоамплитудного решения, определяемого методом перевала второго и третьего порядка приближения. Область Уз - малая окрестность фронта волны сдвига (по теории типа Тимошенко), где решение определяется методом прифронтовой асимптотики.

В главе 3 исследуется модельная задача о распространении волн в полубесконечной пластине, к.которой приложена ударная нагрузка типа NW. Решение уравнений движения получено с помощью двойного интегрального преобразования Лапласа по времени. и преобразования Фурье по продольной координате. Анализируется решение для перерезывающего усилия ЛГ,, напряжения и производной перемещения по . Получены аналитические выражения для этих величин, описывающие асимптотически главные составляющие решения: изгибную составляющую, составляющие для поля Релея и погранслоя в окрестности волны сдвига. Напряжения и производная от перемещения по на условном фронте поверхностных волн Релея имеют

существенный всплеск, т.е. схема решения для и аналогично схеме

решение при нормальном воздействии на лицевые поверхности. Решение в окрестности фронта волны Релея для перерезывающего усилия малоамплитудное.

При нормальных воздействиях именно фронт волны сдвига несет главный разрыв касательного напряжения, отражающий скачок напряжения на торце в начальный момент времени. Асимптотически главными компонентами НДС для погранслоя в окрестности фронта волны сдвига являются касательное напряжение и нормальное перемещение . Относительно этих компонент приведена асимптотически главная подсистема уравнений. Размер области применимости уравнений погранслоя в окрестности фронта волны сдвига имеет порядок квадрата относительной толщины. При решении используются интегральные преобразования Лапласа по времени и Фурье по продольной координате. При обратном преобразовании применяется теорема о вычетах и метод прифронтовой асимптотики, основанный на разложении изображений Лапласа по отрицательным степеням параметра преобразования и представлении решения в

виде ряда по функциям Бесселя. Выражение для перерезывающего усилия в малой окрестности фронта волны сдвига получено в виде:

где У0() - функция Бесселя.

На рис.5 приведен график решения для перерезывающей силы ]М] , в зависимости от характеристических координат и времени 72=1,2,3 при 7=0,01, г=0,3.

О 0.001 0.002 0.003 0.004 '

0 . - 0.005

I I

Рис.5.

Далее приводятся, решения по теории типа Тимошенко в остальных областях фазовой плоскости. Для нахождения оригинала в зависимости от диапазонов значений координат и времени используются различные асимптотические методы. Полученные решения аналогичны предыдущему случаю при воздействии на лицевые поверхности пластины.

Глава 4 посвящена выводу приближенных уравнений, описывающих поле Релея на основе анализа точных трехмерных уравнений теории упругости в малой окрестности фронта поверхностных волн Релея с применением символического метода А.И. Лурье. В работе Каплунова Ю.Д. и Коссовича Л.Ю. дано символическое решение уравнений для вычисления дальнего поля Релея в случае упругой полуплоскости. Ниже приводится вывод приближенных уравнений погранслоя в окрестности фронта поверхностных волн Релея для пластины. Для

этого . вводим масштабированные переменные у, т, где переменная у характеризует расстояние до фронта

1 " (15)

Для символов дифференцирования принимаем следующие краткие обозначения:

а я _ б я _ 5

*~дГн'

Зг,

(16)

вводимые операторы дифференцирования нужно рассматривать как постоянные параметры.

Символическое решение для поле Релея ищем в виде:

<Р=Ц ехЫ-/

У = Ё ехр

{\-к2к\)дг +Е2к1к1ве д* -к1к1вЕ1д*

4 Я' у Я у Г Я Г

2„.2_ а* '_ ,~2„2 _2а»

ф

— /

4 Л V НуТ Я Г

1/2

(И*)

■у,,

где у/ - объемный и сдвиговой потенциалы Ламе, а2 = к2д2 /?2 =Э| — у2 Ф,»**', (¡=1»2) являются функциями от 4к и г2,

которые определяются из граничных условии на лицевых поверхностях. Асимптотическое представление выражений для граничных условий имеет

вид:

1Б

ф2=Ч

1 кя 2

V

(17)

где Р - нормальная сила, приложенная к лицевым поверхностям пластины.

Перейдем от символического представления к потенциальным функциям, которые определяются уравнениями:

Построенная приближенная теория в полной мере соответствует интуитивному представлению о поверхностной волне Релея.

Отметим, что полученные результаты можно вывести на основе уравнений для задачи Лэмба для полупространства при учете по одному отражению волн от противоположных поверхностей пластины.

Основные результаты и выводы. В диссертационной работе асимптотический метод используется для анализа и решения нестационарного волнового НДС пластин при нормальных воздействиях. Основные результаты исследований заключаются в следующем:

1. На основе общей схемы расчленения НДС пластин на составляющие с различными показателями изменяемости разработана методика асимптотического исследования нестационарного НДС при ударных, лицевых и торцевых воздействиях нормального типа.

2. На примере бесконечной и полубесконечной пластины построены аналитические решения задач для всех составляющих НДС, определяющие волновой процесс во всех областях фазовой плоскости и определены. границы применимости асимптотически главных составляющих решения.

3. Предложен новый метод построения решения в окрестности условного фронта поверхностных волн Релея методом стационарной фазы.

4. Выведены приближенные уравнения, описывающие поле Рэлея в бесконечной пластине на основе анализа точных трехмерных уравнений теории упругости в малой окрестности фронта поверхностных волн Релея с применением символического метода Лурье.

Основные положения диссертации отражены в работах:

1. Коссович Л.Ю., Кушеккалиев А.Н. Анализ приближений в задаче Лэмба для бесконечного упругого слоя // Известия Вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. №5. С.10-22.

2. Коссович Л.Ю., Кушеккалиев А.Н. Расчленение нестационарного НДС в задаче Лэмба для бесконечного слоя на составляющие с разными показателями изменяемости // Тр. Ш Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием. Ростов-на-Дону.2003.

3. Коссович Л.Ю., Кушеккалиев А.Н. Поле Релея в бесконечном упругом слое // Математика, механика. Сборник научных трудов. Изд-во СГУ, 2003.Вып.5, С.169-171.

4. Кушеккалиев А.Н. Решение задач о распространении волн в трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке при нормальных воздействиях // Механика деформируемых сред. Изд-во СГУ, 2002. Вып. 14. С. 106-115.

5. Кушеккалиев А.Н. Волны типа Релея в полубесконечной пластине при нормальном воздействии поперечного типа. // Механика деформируемых сред. Изд-во СГУ. (В печати).

Выражаю глубокую благодарность научному руководителю профессору Л.Ю. Коссовичу.

Подписано в печатьДЗ.01.2004 Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать RISO. Объем 1,0 печ.л. Тираж 100 экз. Заказ № 001.

Отпечатано с готового оригинал-макета Центр полиграфических и копировальных услуг Предприниматель Серман Ю.Б. Свидетельство № 3117 410600, Саратов, ул. Московская, д. 152, офис 19

lU 24 4 4

РНБ Русский фонд

2004-4 20353

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1.Постановка задачи.

1.1. Поверхностные и торцевые ударные воздействия нормального типа на пластину. Трехмерная теория.

1.2. Поверхностные и торцевые ударные воздействия нормального типа на пластину. Теория типа Тимошенко.

1.3. Расчленение нестационарного НДС пластин на составляющие с различными показателями изменяемости.

• ГЛАВА 2. Задача о действии сосредоточенных сил на поверхность пластины.

2.1. Решение в изображениях Лапласа и Фурье трехмерной задачи.

2.2. Асимптотически главные составляющие трехмерного решения.

2.3. Решение по теории типа Тимошенко.

ГЛАВА 3. Задача о действии нагрузки типа NW на торец полубесконечной пластины.

3.1. Исследование решения трехмерной задачи.

3.2. Исследование решения по теории типа Тимошенко.

ГЛАВА 4. Погранслой в окрестности условного фронта поверхностной волны Релея.

4.1. Вывод уравнений погранслоя для поля Релея символическим методом Лурье. Упругое полупространство.

4.2. Вывод уравнений погранслоя символическим методом Лурье в случае сосредоточенных сил на поверхность пластины.

Ряд важных узлов и деталей современных технических устройств работает в резко нестационарных режимах вследствие быстрого изменения во времени действующих на них внешних сил. При этом в конструкциях возникают динамические напряжения, которые должны учитываться при оценке прочности и работоспособности, а также при выборе оптимальных • условий функционирования тех или иных упругих элементов. Последнее особенно важно для технических устройств, принцип действия которых основан на использовании нестационарных волновых полей и связанных с ними механических эффектов. Научной основой для такого расчета является теория нестационарных колебаний и волн в упругих телах.

Закономерности распространения возмущений в сплошных средах представляют значительный интерес для многих областей науки и техники. щ Круг явлений в окружающем мире, которые можно достаточно полно описать на основе волновых представлений, чрезвычайно широк.

Одними из наиболее актуальных вопросов механики деформируемого твердого тела в настоящее время являются вопросы, связанные с расчетом пластин и оболочек на динамические воздействия. Особое место в теории пластин и оболочек занимают задачи нестационарной динамики и, в частности, вопросы о существовании областей на фазовой плоскости, где ^ нестационарный процесс переходит в установившиеся колебания, а также вопрос о времени переходного процесса.

Распространение нестационарных волн в слое и цилиндре, являющихся простейшими представителями геометрических структур, было предметом многочисленных теоретических и экспериментальных исследований, ведущихся уже более столетия. Поскольку нахождение точного аналитического решения соответствующих трехмерных задач сопряжено с

4t почти непреодолимыми трудностями, наиболее важным является вопрос о построении приближенных методов расчета. Существующие методы сведения трехмерных задач теории упругости к двумерным условно делятся на методы гипотез, разложения по толщине и асимптотические методы.

В случае простых геометрических объектов (напр., плит) алгоритм степенных рядов может быть успешно применен в форме символического метода А.И. Лурье [54,55] или в форме метода начальных функций В.З. ^ Власова [11,12]. Символические формулы трехмерной теории динамики плит представлены в работе [62] для деформации, антисимметричной относительно срединной поверхности. В символической теории применяются бесконечные, во всех других вариантах - усеченные ряды.

Состояние исследований по изучению переходных волновых процессов деформации изгибного типа, вызванные действующей нагрузкой в бесконечных и полубесконечных плитах и балках, охарактеризовано в обзорах [1,8,10,14,30,40,57,61,64,70,79,86,91,100].

На основе элементарной теории изгиба решены многочисленные задачи расчета плит и оболочек. В динамике балок первая поправка к элементарной теории была внесена еще Релеем, предложившим учесть инерцию вращения. С.П. Тимошенко показал в 1921 г., что учет сдвига дает поправку такого же порядка. Он вывел уравнение балки, учитывающее поправки от сдвига и от инерции вращения [104]. Эти поправки приводят к # отказу от элементарной теории (прямолинейная нормаль к срединной поверхности не остается нормалью после деформации).

Я.С. Уфлянд был первым, применившим [79] теорию типа Тимошенко к анализу переходных волновых процессов, вызванных сосредоточенной импульсной нагрузкой в бесконечной плите и балке. Он использовал преобразование Лапласа. Поскольку полученные интегралы Меллина (в отличие от теории Кирхгоффа) не поддались обращению в замкнутом виде, ц то Я.С. Уфлянд предложил приводить их к суммам определенных интегралов по берегам срезов плоскости s, обеспечивающих однозначность подынтегральных функций. На основе этих интегралов в [79] были получены некоторые численные данные.

Позже различные аспекты применения теории плит и балок типа Тимошенко рассматривались в многочисленных работах [8,30,58,79,84,85,86,91,99], в том числе задача расчета бесконечной плиты ^ под действием сосредоточенной силы - в работах [30,99].

В работах [8,30,58,79,84,85,86,91,99] были решены конкретные задачи при помощи операционного исчисления. В основном использовалось преобразование Лапласа [8,30,58,79,84,86,99], но нашло применение и преобразование Фурье по координате [86,91], при построении формальных решений в виде контурных интегралов, которые были обращены методом перевала. Методом интегрирования по берегам срезов плоскости s получен ряд диаграмм в работе [84].

В работах [8,9,58] приведены результаты, полученные методом сеток с выделением частных решений, переносящих разрывы первых и вторых производных нормального прогиба и угла поворота.

Проблема применимости теории типа Тимошенко рассматривалась на основе трехмерной теории в работе [61]. Было установлено, что теория типа Тимошенко неприменима в области от фронта волны сжатия до условного # фронта поверхностных волн Релея, а также в непосредственной близости от последней. В [61] приведен также ряд численных данных о точности теории типа Тимошенко в области, где её можно считать практически применимой.

Волновые процессы деформации изгибного типа изучены на основе трехмерной теории упругости в работах [30,40,61,76,91], был получен ряд численных данных в результате приближенного обращения некоторого числа первых интегралов методом перевала.

Ю. Микловиц [98,100] исследовал осесимметричный волновой процесс, возбужденный в бесконечной плите действием двух сосредоточенных сил, приложенных к свободным поверхностям плиты и направленных друг к другу. Были применены преобразование Лапласа по времени и преобразование Ханкеля по координате. Первое обращение выполнялось при помощи вычетов, второе - методом перевала (с точностью трех первых контурных интегралов). В данном случае возбуждаются только моды, симметричные относительно срединной поверхности. При использовании метода перевала был использован малочастотный участок диаграммы групповых скоростей первых трех симметричных мод, где максимальное значение групповой скорости соответствует первой моде в точке со = 0, и равен величине с^ (4.6). В работе [100] линия г = cj называется «фронтом» и указывается, что вблизи «фронта» доминируют малочастотные волны первой моды. Фактически фронт перемещается со скоростью с^ , и в области cj > г > с J движутся высокочастотные волновые группы более высоких мод.

Следует отметить, что построение волнового процесса в этом диапазоне методом перевала затруднительно и в непосредственной близости от фронта r = c{t практически невозможно, так как диаграммы групповых скоростей высоких мод являются быстро осциллирующими.

В работе [61] рассматривался волновой процесс изгиба полубесконечной плиты, возбужденной напряжениями, внезапно приложенными по толщине плиты. Были применены преобразование Лапласа по времени и синус- и косинус- преобразования Фурье по координате. Преобразование Фурье было обращено при помощи вычетов, а преобразование Лапласа - методом перевала с учетом шести первых контурных интегралов, которые в данном случае связаны с антисимметричными модами. Роль отдельных мод зависит от рассматриваемой величины, но, грубо говоря, вклад первых двух мод доминирует при л < с2/ (с2 - скорость распространения волн сдвига), а при x>c2t быстро растет вклад следующих мод, что ограничивало (при учете шести первых контурных интегралов) область исследования условием x<\.2c2t. Численные результаты [61] позволили сделать выводы о применимости двумерных теорий.

В работе [92] рассматривается плоская задача для плоскопараллельного упругого слоя со свободными границами. Источником колебаний является внезапно приложенная поперечная сила (рассматривается несколько вариантов распределения заданных напряжений сдвига). Силы распределены по сечению так, что возбуждаются только изгибные волны, смещения в которых антисимметричны относительно срединной линии слоя. Напряжения и смещение в слое представляются в виде суперпозиции нормальных волн. Для четырех первых нормальных волн рассчитаны кривые зависимости фазовой и групповой скоростей от волнового числа. Для оценки встречающихся интегралов используется метод стационарной фазы. Показано, что при 0<x<Q31cJ ( срскорость продольных волн в материале слоя) результат, полученный из точной теории, близко совпадает с элементарной теорией изгиба и с приближенной теорией Тимошенко. Для * > 0.37^/ отмечается существенное различие в результатах точной теории, элементарной теории и теории Тимошенко. Рассматривается поле напряжений при больших t в районе фронта волны сдвига и фронта поверхностных волн Релея. При воздействии силы вдоль поверхности полосы в промежутке с, напряжения на поверхности y=h испытывает скачок в районе фронта волны Релея. В случае, распределение силы вдоль нормальной координаты изменяется по параболическому типу.

• Динамике стержней и пластин посвящены работы В.В.Новожилова и Л.И.Слепяна [68,74,75]. В них изучались свойства аналитических решений задач при рассмотрении переходных волновых процессов в стержнях и пластинах, анализировалась работа принципа Сен-Венана. Было показано, что главная часть деформаций, которая соответствует внезапно приложенным самоуравновешенным по сечению нагрузкам, локализируется вблизи фронтов волн и того сечения, где приложена нагрузка. Проведенный анализ областей действия различных теорий позволил использовать для решения задач в начале движения и в окрестностях фронтов волн разные методы.

Многие важные результаты в теории пластин и оболочек получили интенсивное развитие лишь с шестидесятых годов. Это объясняется, в частности, тем, что замена переменных в масштабе характерного размера срединной поверхности показывает, что математические уравнения теории упругости для тонких оболочек относятся к классу сингулярно возмущенных уравнений с малыми параметрами при старших производных. Математическая теория таких уравнений начала развиваться лишь с сороковых годов, хотя такие уравнения и раньше встречались в других областях механики и физики. Оттуда перешли в математическую литературу понятия погранслоя, сращивания и др. В настоящее время в математической литературе достаточно полно изучены уравнения такого вида.

Направление исследований, связанное с асимптотическим интегрированием уравнений трехмерной теории упругости, развивалось в работах А.Л.Гольденвейзера, А.Грина, Б.Новотны и др.

В работах Г.И. Петрашеня и Л.А. Молоткова [72,73] методом асимптотического анализа был исследован вопрос о границах применимостей уравнений классической теории изгиба плит в динамических задачах. Основная идея, использованная в [70], состоит в сопоставлении формальных решений (контурных интегралов), полученных на основе трехмерной теории щ и двумерных теорий. В ходе этого сопоставления пользуются разложением точного изображения по степеням нормальной координаты z.

Основополагающие понятия показателя изменяемости напряженно-деформированного состояния (НДС) по пространственным координатам и операции растяжения масштаба в уравнениях теории упругости связаны, в первую очередь, с работами АЛ. Гольденвейзера [14-24]. При рассмотрении статических задач, посвященных построению двумерной теории оболочек, ф вводился малый безразмерный параметр, равный отношению толщины оболочки к характерному радиусу. Введение данных величин сделало возможным построение для статических задач основного итерационного процесса, который приводит в первых приближениях к двумерным теориям оболочек. Было показано, что дополнительный итерационный процесс приводит к принципиально новым теориям: теории плоского и антиплоского погранслоев. Одним из важных результатов, связанных с построением итерационного процесса, явилась возможность асимптотической оценки погрешности двумерных теорий, теорий пластин и оболочек, связанных со значениями показателей изменяемости НДС.

Особую сложность в динамических задачах имеет проблема обоснования перехода от трехмерных краевых задач теории упругости к двумерным краевым задачам математической физики. Переходные процессы деформации имеют место в течение промежутка времени, соизмеримого с Щ временем пробега волнами деформаций пути, равного характерному размеру срединной поверхности оболочки. В ней можно при этом выделить возмущенные области, границы которых определяются фронтами волн. На фронте волны некоторые компоненты напряжений и деформаций или их производные разрывны, и если нагрузки являются достаточно гладкими по времени функциями, то роль этих разрывов в напряженно-деформируемом состоянии несущественна. Теоретический и прикладной интерес представляет изучение НДС в окрестности фронтов волн для так называемых ударных нагрузок, моделируемых импульсными функциями.

Динамике тонких упругих оболочек посвящены работы

A.Л.Гольденвейзера [17,21]. В работе [17] для интегралов двумерных динамических уравнений теории оболочек была введена классификация, аналогичная статическому случаю. Было показано, что при построении классификации в динамике необходимо учитывать изменяемость напряженного состояния по времени. В работе [22] рассмотрены динамические трехмерные уравнения теории упругости и свойства их интегралов в случае, когда тело тонкое и его лицевые поверхности не закреплены. Получена связь данных интегралов и интегралов двумерных уравнений теории оболочек и теории погранслоя. В работе [24] сформулирован модифицированный принцип Сен-Венана, обуславливающий затухание асимптотически главной части НДС, вызванной системой сил, приложенных к торцу тонкого упругого тела. Получены условия выполнения модифицированного принципа Сен-Венана и изучена возможность их использования при построении итерационных процессов интегрирования общих уравнений теории упругости.

Асимптотический метод был применен также для изучения свободных колебаний оболочек на основе двумерной классической теории оболочек. Им посвящены работы А.Л.Гольденвейзера, Ю.Д.Каплунова, Л.Ю. Коссовича,

B.Б.Лидского, Е.П.Товстика и др.

Колебаниям оболочек посвящены работы А.Л.Гольденвейзера и Ю.Д.Каплунова. В [21] в рамках трехмерной теории упругости рассматривалась задача об установившихся колебаниях тонкой упругой осесимметричной оболочки вращения произвольного очертания под действием краевой нагрузки, меняющейся по гармоническому закону. Исследовался вопрос об использовании равноизменяющихся решений уравнений теории упругости для приближенного использования вынужденных колебаний оболочек при частотах, исключающих применение теории Кирхгофа-Лява. В [20] было установлено, что (при достаточно больших значениях частоты вынужденных колебаний) двумерная теория оболочек становится неприемлемой, т.е. существуют критические значения частот, при превышении которых изменяемость в меридиональном направлении оказывается существенно большей, чем в направлении параллелей.

Однако до недавнего времени асимптотические методы недостаточно полно использовались при решении задач нестационарной динамики оболочек. Это объясняется следующими фактами. На задачи нестационарной динамики оболочек нельзя формально перенести понятие показателя изменяемости искомого решения. Изменяемость решения оказывается неоднородной в различных частях области определения: если вдали от точки приложения нагрузки и фронта волны она невелика, то вблизи этих областей она, монотонно возрастая, становится большой. Таким образом, сами понятия показателей изменяемости НДС по времени и в пространстве требуют глубокого исследования. Кроме того, изменяемость НДС вблизи точки приложения нагрузки и вблизи фронта волны заведомо выходит за рамки применимости двумерной теории оболочек. Следовательно, в задачах нестационарной динамики не проходит асимптотический метод расчленения НДС в классической форме. При решении нестационарных задач проводится расчленение напряженного состояния на элементарные составляющие, имеющие в своих областях применимости однородные изменяемости по координатам и времени. Это позволяет построить для элементарных составляющих в рамках некоторой заданной погрешности асимптотически оптимальные уравнения, которые имеют более простой вид, по сравнению с исходными.

Одними из первых работ, связанных с изучением динамического НДС оболочек и использованием метода расчленения, были работы Н.А.Алумяэ, JI. Поверуса, У.К.Нигула [3-6,59,61,66,67,103]. В [3] исследовался осесимметричный переходный процесс в полубесконечной круговой цилиндрической оболочке, вызванный действием краевой нагрузки, меняющейся во времени по синусоидальному закону. В [4] краевая нагрузка на оболочку задавалась во времени функцией Хевисайда, а по дуговой координате менялась по закону косинуса. В [3] асимптотическое обращение контурных интегралов от изображений решений по Лапласу позволило разложить НДС на безмоментное решение и краевые эффекты. В [4] расчленение напряженных состояний проводилось с учетом показателя изменяемости по времени.

Работа У.К.Нигула [66] посвящена изучению начального этапа переходных процессов деформации упругих круговых цилиндрических оболочек, вызванных торцевой нагрузкой, которая действует или возрастает до максимального значения за время, которое соизмеримо со временем пробега волнами деформаций пути, равного характерному размеру срединной поверхности оболочки или меньше этого времени. На основании анализа переходных процессов деформации плит была получена следующая качественная картина деформации: в момент приложения ударной нагрузки к торцу в оболочке возникает сложная система первичных волн, как продольных, так и поперечных, которые начинают распространяться вглубь оболочки. При этом первичные волны, распространяющиеся в продольном направлении, взаимодействуя с лицевыми поверхностями, отражаются от них и, в свою очередь, порождают вторичные волны, причем каждая из волн порождает и продольную, и поперечную отраженную волну. Таким образом, в оболочке возникает сложная система волн. Поскольку с течением времени количество волн катастрофически растет, отдельное построение и анализ числа элементарных волн практически неосуществимы. Поэтому при расчете тонкостенных конструкций следует изучать вклад не отдельно взятой волны, а суммировать вклад всех волн пакета. В данной работе выявлены области и условия применимости приближенных теорий для аппроксимации суммарного вклада отдельных волн, проведено численное сопоставление решений по теории упругости и по приближенным теориям. В [66,67,103] приведены результаты исследований по изучению областей применимости теории Кирхгофа-Лява и теории типа Тимошенко при осесимметричной деформации оболочек вращения, вызванной локальной нагрузкой, проанализированы результаты использования методов перевала, стационарной фазы, конечных разностей и прифронтовой асимптотики. Один из главных выводов, сформулированных в данных работах, заключается в том, что характер НДС существенно зависит от изменяемости воздействия во времени.

В работе Berkowitz Н.М. [82] решалась задача об определении осесимметричных напряжений, возникающих в результате удара полубесконечной упругой цилиндрической оболочки, двигающейся с осевой скоростью, по направлению к жесткой преграде. С помощью безмоментной теории были получены не только главный член асимптотического разложения для больших значений времени, но и дополнительные члены. Это позволило оценить точность решения для точек, находящихся далеко позади фронта волны. Кроме того, было получено решение, имеющее силу вблизи фронта волны.

В работе [56] А.П.Малышева и В.И.Паничкина рассматривались одномерные волновые процессы в оболочках вращения, возникающие при действии быстроизменяющихся нагрузок. В работе показано, что величина разрыва на фронте продольной волны остается постоянной. Полученные результаты демонстрируют разделение НДС оболочки на безмоментное состояние и краевой эффект.

При решении задач нестационарной динамики большинство используемых методов основывается на применении интегральных преобразований Лапласа и Фурье. Для получения решения в начальные промежутки времени Н.Д.Векслер в работах [8,9] использовал метод прифронтовой асимптотики, основанный на разложении изображений по Лапласу в ряды по отрицательным степеням параметра преобразования. С удалением от фронтов использовались методы перевала и стационарной фазы. Разнообразные методы обращения решения двумерных задач для стержней и пластин и безмоментных задач для цилиндрических оболочек, основанные на аналитических свойствах интегральных преобразований, освящены в [74,75].

Значительный вклад в развитие асимптотических методов решения нестационарных задач теории оболочек внесли работы Л.Ю.Коссовича [4146]. Исследования нестационарного волнового НДС оболочек вращения проводились в [42] с использованием понятия показателя изменяемости, введенного А.Л.Гольденвейзером. Рассматривался один из важных классов нестационарных задач - класс задач о распространении волн деформаций в оболочках вращения под действием ударных нагрузок, приложенных к торцу оболочки. В работе [42] исследовались осесимметричные волновые процессы в оболочках вращения. Были выделены тангенциальная составляющая, описывающая распространение волны растяжения-сжатия. И нетангенциальная, описывающая распространение изгибной и сдвиговой волн. В случае неосесимметричных воздействий в [43] проведено исследование областей согласования интегралов теории Кирхгофа-Лява, описывающих НДС в областях оболочки, примыкающих к торцу и быстроизменяющихся составляющих, описывающи напряженное состояние в прифронтовых областях. Установление областей согласования динамического краевого эффекта, описываемого теорией Киргофа-Лява, и антисимметричной составляющей быстроизменяющегося прифронтового поля было проведено также в [44]. Здесь же определены зоны действия приближенных теорий и расположения областей согласования этих теорий.

В монографии [45] были разработаны асимптотические подходы к нестационарным задачам для оболочки вращения с меридианом произвольной формы, основанные на расчленении НДС на безмоментную, моментную составляющие, и (здесь понимались быстроизменяющиеся составляющие) погранслой с различными показателями изменяемости. Были установлены области действия в фазовой плоскости всех составляющих и доказано сращивание безмоментной составляющей и плоского обратносимметричного погранслоя. Была показана связь различного типа асимптотик двумерных решений со свойствами областей их применимости. На основании такого анализа был разработан подход к получению таких асимптотик без использования интегральных преобразований.

В дальнейшем концепция расчленения нестационарного НДС, разработанная Л.Ю. Коссовичем в [45], получила свое дальнейшее развитие. Так, с показателями изменяемости и динамичности равными 2, были выявлены в работах [37,38,95,96] погранслой в малых окрестностях фронтов волн расширения и сдвига, построены их асимптотически оптимальные уравнения и доказано сращивание указанных погранслоёв с решениями для квазиплоской задачи. В работах [39,46] исследовано нестационарное НДС при ударно приложенных гармонических торцевых воздействиях на оболочки вращения и выявлено расположение зон перехода нестационарной части решения в гармонические колебания. В работах [7,81] рассмотрено нестационарное НДС в оболочках из вязкоупругих материалов. Введение нового параметра - показателя интенсивности времени релаксации позволило описать новую классификацию нестационарного НДС конструкций в случае вязкоупругих материалов с дифференциальной формой уравнений состояния. Выведены асимптотически оптимальные уравнения всех составляющих.

Несмотря на значительное количество работ, посвященных применению асимптотических методов к задачам динамики оболочек в двумерной постановке, асимптотический вывод двумерных уравнений из трехмерных уравнений теории упругости ранее не был осуществлен. В работе Ю.Д.Каплунова, И.В.Кирилловой, Л.Ю.Коссовича [35] проведено асимптотическое интегрирование трехмерных динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек. Были получены предельные двумерные системы.

Исследования Ю.Д.Каплунова [31-34,88] внесли существенный вклад в изучение нестационарных волновых процессов.

В [31] к построению двумерных уравнений теории оболочек, описывающих высокочастотные НДС малой изменяемости, применялся метод асимптотического интегрирования трехмерных динамических уравнений теории упругости. Были установлены области применимости и погрешность полученных уравнений. Исследования высокочастотных колебаний оболочки вращения проводились в [32].

В [33] Ю.Д.Каплуновым и Е.В.Нольде проводился асимптотический анализ трехмерных динамических уравнений теории упругости для случая изгиба пластин. В отличие от большинства работ, посвященных асимптотическому построению двумерной динамической теории пластин, два безразмерных асимптотических параметра (показатель изменяемости и показатель динамичности) полагались независимыми.

В работах [23,88] обсуждаются линейные TP теории (по имени С.П. Тимошенко и Е. Рейснера) пластин и оболочек, т.е. теории, учитывающие деформацию поперечного сдвига и инерцию вращения. Ставится вопрос об их построении асимптотическим методом и о вытекающих из этого оценках погрешностей для задач статики и динамики. Предлагается метод расширения применимости TP теорий для динамических задач.

Принципиально новым является результат, приведенный в [94]. Было показано, что для определения НДС оболочки вращения в окрестности квазифронта вместо общих уравнений коротковолновой высокочастотной составляющей можно использовать уравнения теории Кирхгофа-Лява с учетом оператора приведенной инерции. Уточнение этих уравнений позволяет расширить область применимости классической двумерной теории.

Значительное время сфера применения асимптотических методов в нестационарной динамике тонких упругих тел ограничивалась случаями нестационарных волн в пластине, круговой цилиндрической оболочке и оболочках вращения. Результаты исследований в области асимптотической теории тонких упругих тел обобщены Ю.Д.Каплуновым, Л.Ю.Коссовичем, Е.В.Нольде в монографии [93]. На основе трехмерных уравнений теории упругости получены асимптотически оптимальные уравнения низкочастотных, высокочастотных и длинноволновых высокочастотных приближений, позволяющие в совокупности описать как стационарные, так и нестационарные динамические процессы. Разработаны двумерные теории высшего порядка пластин и оболочек, рассмотрены задачи колебания оболочек вращения, тонких тел в среде, излучения тонкими телами. Выведены асимптотически оптимальные уравнения динамических погранслоев в окрестностях фронтов волн расширения и сдвига, в окрестности квазифронта.

Окончательная форма расчленения нестационарного НДС оболочек вращения описана в [47] при торцевых ударных воздействиях видов LT и LM.

Использование предложенных методов для новых классов задач было проведено в следующих направлениях:

- изучения установления стационарных процессов (Березин В.Л., Парфенова Я.А., Никонов А.В.),

- анализ волн в случаях новых классов ударных воздействий (Каплунов Ю.Д., Мухомодияров P.P., Шевцова Ю.В.),

- исследования отраженных и прошедших волн в подкрепленных оболочек вращения (Копнина А.Ю.),

- исследование влияния трансверсально изотропного упругого материала на нестационарные волны (Шевцова Ю.В., Мухомодияров P.P.,),

- исследования влияния вязкоупругости материалов на нестационарные волны (Бажанова Н.С., Анофрикова Н.С., Сухоловская М.С.), что подтверждает универсальность разработанных методов.

Данная диссертационная работа посвящена исследованию нестационарного волнового НДС при ударных воздействиях нормального типа на лицевые поверхности и на торец пластин. В работе развивается асимптотический подход к решению задач о переходных волновых процессах в пластинах.

В момент приложения ударной нагрузки начинает распространяться головная волна. Взаимодействуя с лицевыми поверхностями, эта волна порождает отраженные волны, которые также распространяются вглубь пластины и, в свою очередь, порождают отраженные от лицевых поверхностей волны. При построении волнового НДС используется принцип, основанный на суммировании вклада в решение всех волн пакета, а не на изучении вклада отдельно взятой волны.

Исследования выполнены на базе линейной теории упругости. В первом пункте первой главы приведена постановка трехмерных задач теории упругости для бесконечной и полу бесконечной пластины. Далее в главе приведена постановка задачи по двумерной теории, а именно, по теории типа Тимошенко. Поставлены граничные условия на торце и на лицевых поверхностях пластин, моделирующие ударную нагрузку нормального типа. Уравнения записаны в декартовой системе координат.

При анализе волнового НДС используется метод расчленения его на составляющие с разными показателями изменяемости. Изменение показателей изменяемости и динамичности, в зависимости от продольной координаты и времени, определяет возможность описания НДС в различных участках фазовой плоскости различными приближенными теориями . Схема расчленения нестационарного НДС, возникающего при действии ударной нагрузки нормального типа в пластине, и схема применимости асимптотических теорий описаны в третьем пункте главы.

Во второй главе на базе трехмерной теории упругости и теории типа Тимошенко изучается нестационарный волновой процесс в упругой бесконечной пластине при ударном сосредоточенном нормальном воздействии на лицевые поверхности. Решение находится с помощью двукратных интегральных преобразований: Лапласа - по времени и Фурье -по продольной координате. Во втором параграфе анализируется решение на примере перерезывающего усилия. При обращении преобразования Лапласа используется теория вычетов, а при обращении преобразования Фурье -метод стационарный фазы. На основе классификации вклада точек стационарной фазы в решение выявлены асимптотические свойства и определены границы областей применимости асимптотически главных составляющих решения: изгибной составляющей, составляющей для поля Релея (в окрестности условного фронта поверхностных волн Релея) и погранслоя в окрестности фронта волны сдвига. В третьем параграфе приводится решение данной задачи на основе теории типа Тимошенко. Для нахождения оригиналов, в зависимости от диапазонов значений т, используются различные асимптотические методы: метод перевала, метод прифронтовой асимптотики и другие методы.

В третьей главе исследуется задача распространения волн в полубесконечной пластине, к торцу которой приложена ударная нагрузка типа NW, постоянно распределенная по толщине и не изменяющаяся со временем. В первом параграфе поставленная задача изучается на основе трехмерной теории упругости. Формальное решение уравнения находится с помощью двукратных интегральных преобразований: Лапласа - по времени и синус- и косинус- преобразования Фурье - по продольной координате. Обращение двукратного интегрального преобразования произведено в следующем порядке: сначала обращение преобразования Фурье по теории вычетов, а затем преобразование Лапласа. Анализируется решение на примере перерезывающего усилия А^, напряжения оп и перемещения и3. Во втором параграфе данная задача изучается по теории типа Тимошенко. Решение уравнения проводится с помощью интегрального преобразования Лапласа по времени. Обращение преобразования Лапласа осуществляется с помощью метода перевала. При малых значениях времени обращение преобразования проводится с помощью разложения по отрицательным степеням корня из параметра преобразования, а при больших значениях времени - метода прифронтовой асимптотики.

Четвертая глава посвящена построению уравнения погранслоя в окрестности фронта поверхностной волны Релея символическим методом А.И. Лурье. В первом пункте приводится вывод уравнения погранслоя для упругого полупространства при нормальном воздействии [36]. Во втором параграфе выводится приближенные уравнений погранслоя в окрестности фронта поверхностных волн Релея для пластины, при сосредоточенном ударном нормальном воздействии на лицевые поверхности. Применение интегральных преобразований Лапласа и Фурье к этой задаче дает решение, полностью совпадающее с решением, полученным во второй главе по трехмерной теории упругости.

В заключении диссертации сформулированы основные выводы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [48,49,50,52,53].

Автором выносятся на защиту основные положения: разработка математической модели нестационарного процесса в теории пластин при нормальных воздействиях, основанной на использовании асимптотических методов исследования задач, разработка методов аналитического решения задач для всех составляющих НДС, определяющих волновой процесс во всех областях фазовой плоскости и устанавливающих их границы применимости, разработка методов определения решения для квазифронта Релеевского типа методом стационарной фазы, построение асимптотически оптимальных уравнений символическим методом Лурье для поля Релея.

Научная новизна диссертации: впервые разработан асимптотический подход к решению нестационарных задач для пластин при нормальных воздействиях, основанный на расчленении НДС, выделены границы применимости различных составляющих решения. Кроме того, впервые асимптотическими методами проанализировано и приближенно аналитически определено решение в окрестности условного фронта поверхностных волн Релея. Также построены уравнения погранслоя для поля Релея в пластине символическим методом А. И. Лурье на основе анализа трехмерных уравнений теории упругости.

Достоверность результатов обеспечивается применением при решении поставленных задач апробированных асимптотических методов и приближенных теорий, строгостью используемых математических методов, подтверждается непротиворечивостью полученных результатов и их сравнением с известными работами других авторов, физическими соображениями, переходом полученных асимптотических решений к известным решениям.

Практическое значение работы состоит в расширении области действия асимптотических методов исследования нестационарных волновых процессов в пластинах. Представленные методы необходимы для расчета тонкостенных конструкций на прочность в авиастроении, судостроении и других отраслях промышленности при проектировании конструкций, подверженных быстроизменяющимся во времени воздействиям. Разработанные асимптотические методы исследования представленных в работе задач позволят решить актуальный для практики расчета конструкций на прочность вопрос создания надежных численно-аналитических методов исследования динамического НДС пластин.

Апробация работы. Основные результаты исследований, выполненных в диссертации, доложены: на III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (г. Ростов-на-Дону, 2003 г.), научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе асимптотический метод используется для анализа и решения нестационарного волнового НДС пластин при нормальных воздействиях. Основные результаты исследований заключаются в следующем:

1. На основе общей схемы расчленения НДС пластин на составляющие с различными показателями изменяемости разработана методика асимптотического исследования нестационарного НДС при ударных лицевых и торцевых воздействиях нормального типа.

2. На примере бесконечной и полубесконечной пластины построены аналитические решения задач для всех составляющих НДС, определяющих волновой процесс во всех областях фазовой плоскости и определены границы применимости асимптотически главных составляющих решения.

3. Предложен новый метод построения решения в окрестности условного фронта поверхностных волн Релея методом стационарной фазы.

4. На основе анализа точных трехмерных уравнений теории упругости в малой окрестности фронта поверхностных волн Релея с применением символического метода Лурье выведены приближенные уравнения, описывающие поле Рэлея в бесконечной пластине.

1. Айнола Л.Я. О расчетных моделях упругих пластинок для динамических задач // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1963. № 1. С.31-37.

2. Айнола Л.Я., Нигул У.К. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек// Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1965. № 1. С.3-63.

3. Алумяэ Н.А. О применимости метода расчленения напряженного состояния при решении осесимметричных задач динамики замкнутой цилиндрической оболочки // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1961. № 3. С. 171-181.

4. Алумяэ Н.А., Поверус Л. Переходный процесс деформации в замкнутой кругоцилиндрической оболочке при неосесимметричной краевой нагрузке // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1963. № 1. С. 13-23.

5. Алумяэ Н.А. Переходные процессы деформации упругих оболочек и пластин // Тр. 6-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. М., 1966. С.883-889.

6. Алумяэ Н.А. Теория упругих оболочек и пластинок // Механика в СССР за 50 лет.Т.З. Механика деформируемого твердого тела. М.,Наука. 1972. С.227-266.

7. Бажанова Н.С., Коссович Л.Ю. Погранслой в окрестности фронта волны расширения в вязкоупругих оболочках вращения// Проблемы прочности и пластичности. Межвуз. сборник. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2000. -С.22-26.

8. Векслер Н.Д., Мянниль А.Н., Нигул У.К. Применение метода сеток в теории типа Тимошенко для исследования переходных волновых процессов деформации плит конечных размеров // Прикладная механика. 1965. Т.1. Вып. 12. С.38-49.

9. Векслер Н.Д. Исследование фронтовых разрывов при осесимметричной деформации оболочек вращения и круглой плиты // Переходные процессы деформации оболочек и пластин. Материалы Всесоюзн. симпозиума, Тарту, 1967. С. 41-49

10. Векуа И.Н. К вопросу распространения упругих волн в бесконечном слое, ограниченном двумя параллельными плоскостями // Тр.Тбилисск.геофиз.ин-та. 1937.Т.2.С.23-50.

11. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. Физматгиз. М., I960. 491с.

12. Власов В.З. Метод начальных функций в задачах теории упругости // Изв.АН СССР. ОТН. 1975. Вып.7. С.49-69.

13. Гоголадзе В.Г. Отражение и преломление упругих волн. Общая теория граничных волн Рэлея // Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР. 1947. № 125. С. 1-43.

14. Гольденвейзер А.Л. О теории изгиба пластинок Рейсснера // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. №4. С.102-109.

15. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // ПММ. 1963. Т.27. Вып.4. С.593-608.

16. Гольденвейзер А.Л. Качественный анализ свободных колебаний упругой тонкой оболочки//ПММ. 1966. Т.ЗО. Вып.1. С.94-108.

17. Гольденвейзер А.Л. Классификация интегралов динамических уравнений линейной двумерной теории оболочек//ПММ. 1973. Т.37. Вып.4. С.591-603.

18. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М., Наука. 1976.512с.

19. Гольденвейзер А.Л., Лидский А.Л., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М., 1979. 384 с.

20. Гольденвейзер А.Л. О вынужденных гармонических колебаниях оболочек // Изв. АН СССРМТТ. 1987. № 5. С.168-177.

21. Гольденвейзер А.Л., Каплунов Ю.Д. Динамический погранслой в задачах колебаний оболочек // Изв. АН СССР МТТ. 1988. № 4. С.151-162.

22. Гольденвейзер А.Л. Некоторые вопросы общей линейной теории оболочек// Изв. АН СССР МТТ. 1990. № 5. С.126-138.

23. Гольденвейзер A.JI., Каплунов Ю.Д., Нольде Е.В. Асимптотический анализи уточнение теорий пластин и оболочек типа Тимошенко-Рейсснера // Изв. АН СССР МТТ. 1990. № 6. С.124-128.

24. Гольденвейзер А.Л. Алгоритмы асимптотического построения линейной двумерной теории тонких оболочек и принцип Сен-Венана // ПММ. 1994. Т.58. Вып.6. С.96-108.

25. Григолюк Э.И., .Селезов И.Т. Механика твердых деформируемых тел. Т.5. ' Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек.1. М.,1973.272с.

26. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев. 1981.283 с.

27. Гусейн-Заде М.И. Об условиях существования затухающих решений плоской задачи теории упругости для полуполосы // ПММ. 1965. Т.29. Вып.2. С.393-399.

28. Гусейн-Заде М.И. О необходимых и условиях существования затухающих решений плоской задачи теории упругости для полуполосы // ПММ. 1965. Т.29. Вып.4. С.752-760.

29. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М., Наука. 1974.

30. Дубинкин М.В. О распространении волн в бесконечных плитах // ПММ. 1959. Т.23. Вып.5. С.984-987.

31. Щ 31. Каплунов Ю.Д. Интегрирование уравнений динамического погранслоя //

32. Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 1. С.148-160. 32. Каплунов Ю.Д. Высокочастотные напряженно-деформированные состояния малой изменяемости в упругих тонких оболочках // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 5. С.147-157.

33. Каплунов Ю.Д., Нольде Е.В. Двухпараметрическнй асимптотический анализ динамических уравнений теории упругости для случая изгиба пластин //ПММ. 1992. Т.56. Вып.5. С.750-755.

34. Каплунов Ю.Д. Распространение нестационарных упругих волн в оболочке общего очертания // Изв. АН России. МТТ. 1992. № 6. С. 156-167.

35. Каплунов Ю.Д., Кириллова И.В., Коссович Л.Ю. Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек//ПММ. 1993. Т.57. Вып.1. С.83-91.

36. Каплунов Ю.Д., Коссович Л.Ю. Асимптотическая модель для вычисления дальнего поля волны Релея в случае упругой полуплоскости // ДАН. 2003. (в печати).

37. Кириллова И.В., Коссович Л.Ю. Динамический погранслой в окрестности фронта поперечной волны изгиба. Современные проблемы механики сплошной среды. Тр. II Международной конференции. Ростов-на-Дону. 1996. С.92-96.

38. Кириллова И.В. // Известия РАН. МТТ. 2003. №6.С.117-125.

39. Ковалев В.А., Коссович Л.Ю., Никонов А.В. Переходные волновые процессы в цилиндрической оболочке при внезапно приложенных гармонических нагрузках // Изв. АН России. МТТ. 2000. № 2. С. 169-180.

40. Коненков Ю.К. О нормальных волнах при изгибных колебаниях пластин // Акуст.ж., 1960.Т.6. № 1. С.57-64.

41. Копнин А.Ю., Коссович Л.Ю., Петраковский С.А. Нестационарные изгибные волновые процессы в подкрепленных оболочках вращения при ударных краевых воздействиях // Изв. АН СССР. МТТ. 1996. № 6. С. 127-138.

42. Коссович Л.Ю. Метод асимптотического интегрирования в задачах о распространении волн в оболочках вращения // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. №3. С.143-148.

43. Коссович JI.IO. Области согласования интегралов Кирхгофа-Лява и динамического нерегулярного погранслоя в задачах о распространении волн в оболочках вращения // Тр. 13-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Таллин. Т.З. 1983. С.90-95.

44. Коссович Л.Ю. Исследование волнового процесса в оболочках вращения методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № 5. С.142-146.

45. Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек.-Саратов: Издательство Саратовского университета. 1986.176с.

46. Коссович Л.Ю., Никонов А.В. Нестационарная задача теории оболочек при ударно приложенной осциллирующей нагрузке тангенциального типа// в сб. «Механика деформируемых сред».Издательство Саратовского университета, 1993. Вып. 11. С.85-102.

47. Коссович Л.10., Каплунов Ю.Д. Асимптотический анализ нестационарных упругих волн в тонких оболочках вращения при ударных торцевых воздействиях//Известия СГУ. 2001. Т.1. Вып.2. С. 115-128.

48. Коссович Л.10., Кушеккалиев А.Н. Анализ приближений в задаче Лэмба для бесконечного упругого слоя // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2003. №5. С.10-22.

49. Коссович Л.10., Кушеккалиев А.Н. Поле Релея в бесконечном упругом слое // Математика, механика. Сборник научных трудов. Изд-во СГУ, 2003. Вып.5. С.159-161.

50. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. М., 1974. 224 с.

51. Кушеккалиев A.I I. Решение задач о распространении волн в трансверсалыш-изотропной цилиндрической оболочке при нормальных воздействиях // Механика деформируемых сред. Изд-во СГУ, 2002. Вып. 14. С.106-115.

52. Кушеккалиев А.Н. Волны типа Релея в полубесконечной пластине при нормальном воздействии поперечного типа // Механика деформируемых сред. Изд-во СГУ. В печати.

53. Лурье А.И. К теории толстых плит// ПММ. 1942. Т.6. Вып.2-3. С.151-168.

54. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М., Гостехиздат. 1955.491с.

55. Малышев А.П. Волновые процессы в упругой тонкостенной цилиндрической оболочке при внезапном приложении силы к ее торцу // Изв. АН СССР. МТТ. 1969. № 2. С.138-141.

56. Мянниль А., Нигул У.К. О напряженных состояниях упругой плиты при распространении синусоидальных волн изгиба // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук*. 1963.№ 3. С.273-283.

57. Мянниль А., 11игул У.К. О результатах сопоставление метода сеток и метода перевала при анализе переходного волнового процесса деформации плит // ПММ. 1966. Т.30. Вып.2.

58. Нигул У.К. Колебания кругоцилиндрической упругой оболочки, вызванное действием сосредоточенного импульса // Тр. Таллинского полит, ин-та.-Сер.А, 1960. №171. Выи.2. С.37-57.

59. Нигул У.К. О применении символического метода А.И. Лурье к анализу напряженных состояний и двухмерных теории упругих плит // ПММ. 1963. Т.27. Вып.З. С. 1044-1056.

60. Нигул У.К. Применение трехмерной теории упругости к анализу волнового процесса изгиба полубесконечной плиты при кратковременно действующей краевой нагрузке //1IMM. 1963. Т. 17. Вып.6. С. 583-588.

61. Нигул У.К. О применении символического метода А.И. Лурье в трехмерной теории динамики упругих плит // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1963. № 2. С.Ы6-155.

62. Нигул У.К. О корнях уравнения Лэмба для деформации плиты, антисимметричный относительно срединной поверхности // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1963. № 3. С.284-293.

63. Нигул У.К. О методах и результатах анализа переходных волновых процессов изгиба упругой плиты // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1963. К» 3. С.345-384.

64. Нигул У.К., Kyi сер М. О применении символического метода А.И. Лурье в динамике шип при деформации, симметричной относительно срединной поверхности // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1965. № 3. С.385-392.

65. Нигул У.К. О применимости приближенных теорий при переходных процессах деформаций круговых цилиндрических оболочек // Тр. 6-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. М., 1966. С.593-599.

66. Нигул У.К. Сопоставление результатов анализа переходных волновых процессов в оболочках и пластинах по теории упругости и приближенным теориям //ПММ. 1969. Т.ЗЗ. Вып.2. 1969. С.308-322.

67. Новожилов И.15., Слепян Л.И. О принципе Сен-Венана в динамике стержней //ПММ. 1965. Т.29. 13ып.2. С.261-281.

68. Петрашень Г.! 1. О задаче Лэмба в случае упругого полупространства // ДАН СССР. 1949. Т.6 :. .М- 5. С.649-652.

69. Петрашень Г.И. Двухмерная задача Лэмба для бесконечно упругого слоя, ограниченного параллельными плоскостями // ДАН СССР. 1949. Т.64. № 6. С.783-786.

70. Петрашень Г.! I., Марчук К.И., Огурцов О задаче Лэмба в случае полупространства /' Ученые записки ЛГУ. Сер. физ.-мат.наук. 1950. № 35. Вып.21.

71. Петрашень Г.П. Колебания упругого полупространство, покрытого слоем жидкости // Ученые записки ЛГУ. Сер. физ.-мат.наук. 1951. № 149. Вып.24.

72. Петрашень Г.П. Работы по распространению упругих волн // Вест. ЛГУ. 1958. №22. С.119-139.

73. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Л., 1972. 374 с.

74. Слепян Л.П. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. Л.: Судостроение, 1980. 343 с.

75. Соколов Ф.А. Колебания свободной пластинки и пластинки на упругом основании деиепшем динамической нагрузки // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. № 6. С.114-117.

76. Тимошенко С.11. Колебания в инженерном деле. Физматгиз. М.1959.

77. Товстик П.1-. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций. С.-П. I !зд-во С.-П. ун-та, 1995. 184 с.

78. Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин // ПММ. 1948. Т. 12. Вып.З. С.287-292.

79. Федорюк МЛ*. .VIсiод перевала. М., 1977. 468 с.

80. Anofrikova N.S., Kossovich L.Yu. Constitutive equations for thin viscoelastic shells // Proc. of the 3rd Int. Conf. "Mechanics of Time Dependent Materials", Erlangen, Germany. 2000. - P.66-68.

81. Berkowitz H.M. Longitudinal impact of a semi-infinite elastic cylindrical shell // J. Appl. Mech. 1%.\ Vol. 30. № 3. P.347-354.

82. Bohuslav Novotny Oil the asymptotic integration of the three-dimensional nonlinear equations of thin elastic shells and plates // Int.J.Solids Structures. 1970. Vol.6. P.433-451.

83. Boley В.A., C'hao С.С. Some solutions of she Timoshenko beam equations // J. Appl. Mech. 1955.Vcl.22. №4. P.579-586.

84. Boley B.A. On the use of sine transforms in Timoshenko beam impact problems // J. Appl. Mech. 1957. Vol.24. №1. P. 152-153.

85. Fliigge W.,Zajac E.K. Bending impact waves in beams // Ing.-Arch. 1959. Bd.28. P.59-70.

86. Gol'denveizer A.L. Asymptotic method in the theory of shells // Proc. 15th Intern. Congr. Theory Appl. Mech. Toronto, Amsterdam et al, North-Holland, 1980. P. 91-104.

87. Goldenveizer A.L., Kaplunov J.D., Nolde E.V. On Timoshenko-Reissner type theories of plates ami shells // Intern. J. Solids and Structures. V.30. № 5. 1993. P.675-694.

88. Green A.E. Вошккпу layer equations in the linear theory of thin elastic shells // Proc. Roy. Soc., Ser.A. 1962. Vol. 269. №1339.

89. Jones O.E., l .ilis А Г. Longitudinal strain pulse propagation in wide rectangular bars. Part 1 ilw^iicA considerations//J. Appl.Mech.l 963. Vol.30.№l.P.51-60.

90. Jones R.P.N. Tiansient flexural stresses in an infinite beam // Quart.J.Mech.AppLVath.1955. Vol.8. №3. P.373-384.

91. Jones R.P.N. Ткиь . jrse impact waves in a bar under conditions of plane strain elasticity//Quart. .1. Mech. Appl. Math., 1964. Vol.17, pt.4 P.401-419.

92. Kaplunov Ju.D. Kossovich L.Yu., Nolde E.V. Dynamics of thin walled elastic bodies. London: Aean.mic Press. 1998.226 p.

93. Kaplunov Ju.I). On : lie quasi-front in two-dimensional shell theories. C.R. Acad. Sci.Paris. t.3LV ii. I1 Л. P.731-736.

94. Kirillova I.V., Ко sovich L.Yu. Dynamic boundary layer at elastic wave propagation in shin sl .JIs of revolution. ZAMM76, S5, 1996. P.249-250.

95. Kirillova I.V. Kos >vich L.Yu. Dynamic boundary layer at nonstationary elastic wave propagation i , thin shells of revolution. «Asymptotics in mechanics»

96. Aim'96). Proceeding of the Second International Conference. Saint-Petersburg, 1997. P.121-128.

97. Lord Raylei;.'li. On waves propagated along the surface of an elastic solid // Proc. Lond. Math. Soe. IN X 5. 17. P. 4-11.

98. Miklowitz J. 1 ran: lent compressional waves in an infinite elastic layer overlying a rigid half space // Space Technology Labs. Rep. STL TR - 60 - 0000 - 19285. Sept.30. 196l;.

99. Miklowitz J. ! !ем: al stress waves in an elastic plate due a suddenly applied concentrated iranswise load//J. Appl. Mech. 1960.Vol.27. №4. P.681-689.

100. Miklowitz J. Transient compressional waves in an elastic plate or elasti layer overlying a riuid haliVpace // J. Appl. Mech. 1962.Vol.29. №1.

101. Mindlin R D. In:i lence of rotatory inertia and shear on frexural motions of isotropic elnsiic plat, s //J. Appl. Mech. 1951.Vol.18. №1.

102. Mindlin R.D. Medick M.A. Extensional vibrations of elastic plates // J. Appl. Mech. 1959.Vol.26. ;,>4. P.561-569.

103. Nigul U. Region of effective application of the methods of three-dimensional and two-dime:!>i( iiai inalysis of transient stress waves in shells and plates// Int. J.Solids and Suictinv . Vol.l969.P.607-627.

104. Timoshenho S.P. )n the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations prismatic bars//Phil. Mag. 1921. Vol.41. P.744-746.