Нестационарные волны в полуполосе и цилиндрической оболочке при поверхностных и торцевых ударных воздействиях нормального типа

Таранов, Олег Викторович

Нестационарные волны в полуполосе и цилиндрической оболочке при поверхностных и торцевых ударных воздействиях нормального типа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Таранов, Олег Викторович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Нестационарные волны в полуполосе и цилиндрической оболочке при поверхностных и торцевых ударных воздействиях нормального типа»

Автореферат диссертации на тему "Нестационарные волны в полуполосе и цилиндрической оболочке при поверхностных и торцевых ударных воздействиях нормального типа"

На правах рукописи

Таранов Олег Викторович

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В ПОЛУПОЛОСЕ И ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ ПРИ ПОВЕРХНОСТНЫХ И ТОРЦЕВЫХ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ НОРМАЛЬНОГО ТИПА

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 4 ИЮН 2010

Саратов 2010

004606136

Диссертационная работа выполнена в ГОУ ВПО "Саратовской государственный университет им. Н.Г. Чернышевского"

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Коссович Леонид Юрьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Миронов Борис Гурьевич (Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева)

доктор физико-математических наук, профессор Козлов Владимир Анатольевич (Воронежский государственный архитектурно-строительный университет)

Ведущая организация: ГОУ ВПО "Тульский государственный

университет"

Защита состоится 29 июня 2010 г. в 15 час 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.243.10 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан "_" мая 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

'¿¿¿¿¿4-°^ Ю.В. Шевцова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современном мире оболочечные конструкции широко применяются во многих отраслях производства, таких, как авиа- и ракетостроение, машиностроение, строительная индустрия. Знание закономерностей распространения нестационарных волн в оболочках является основой для анализа и систематизации данных, относящихся к практически используемым конструкциям. Непрерывное усложнение машин и механизмов, наращивание мощностей приводит к увеличению динамических нагрузок на их элементы. Вследствие этого появляются эффекты, для описания которых недостаточно имеющихся приближенных теорий. Поэтому так актуальны проблемы обоснования перехода от трехмерных краевых задач теории упругости к двумерным задачам и оценки возникающих при этом погрешностей. Особое место в теории пластин и оболочек занимают задачи нестационарной динамики, поскольку в таких задачах изменяемость искомого решения существенно неоднородна по координатам и по времени. Теоретический и прикладной интерес представляет напряженное состояние при ударных нагрузках, моделируемых импульсными функциями. Асимптотические методы исследования НДС в задачах такого типа детально разработаны в трудах У.К. Нигула, Ю.Д. Каплунова, Л.Ю. Коссовича и др. Однако построение схемы расчленения для воздействий нормального типа (воздействий вида К\У) до сих пор не было завершено. Это было связано с тем, что, в отличие от рассмотренных ранее воздействий тангенциального и изгибающего типов, нормальные воздействия приводят к принципиально новой схеме расчленения, в которой должен быть учтен условный фронт поверхностной волны Рэлея.

Целью данной диссертационной работы является исследование нестационарного волнового напряженно-деформированного состояния (НДС) в упругой полуполосе и в цилиндрических оболочках при поверхностных и торцевых ударных воздействиях нормального типа. В работе развивается асимптотический подход к решению задач о нестационарных волновых процессах в оболочках.

Из поставленной цели вытекают следующие задачи:

построение асимптотической модели для нахождения решения в окрестности условного фронта поверхностной волны Рэлея в упругой полуполосе при торцевом воздействии нормального вида и обобщение этой модели для случая оболочки;

разработка асимптотической схемы расчленения напряженно-деформированного состояния оболочки на составляющие и методов аналитического решения задач для всех составляющих.

Научная новизна: На основе символического метода А.И. Лурье получены асимптотические модели, позволяющие описать дальнее поле волны Рэлея при действии ударной нагрузки нормального типа на торец

полуполосы и полубесконечной цилиндрической оболочки, а также при действии ударной нормальной нагрузки на лицевые поверхности бесконечной оболочки. Построена асимптотическая схема расчленения нестационарного НДС оболочки при ударных воздействиях нормального типа, найдены решения приближенных уравнений для каждой из составляющих и установлено наличие областей согласования между ними.

Практическая значимость работы состоит в расширении области действия асимптотических методов исследования нестационарных волновых процессов в оболочках. Представленные методы позволят решить вопрос создания надежных и эффективных численно-аналитических методов исследования динамического НДС пластин и оболочек, необходимых в авиастроении, машиностроении, судостроении и других отраслях промышленности.

Результаты диссертационной работы могут также применяться при чтении спецкурсов по специальности «Механика». На защиту выносятся следующие положения:

1. Разработка асимптотических моделей для нахождения решения в окрестности условного фронта поверхностной волны Рэлея в упругой полуполосе и цилиндрической оболочке при действии торцевой ударной нагрузки нормального типа.

2. Разработка приближенной теории, описывающей дальнее поле волны Рэлея в цилиндрической оболочке при ударном нормальном воздействии на её поверхность.

3. Развитие асимптотического метода расчленения нестационарного НДС оболочки на составляющие для случая поверхностных и торцевых воздействий нормального типа.

4. Построение решений приближенных уравнений для каждой из составляющих и установление наличия областей согласования между ними.

Достоверность и обоснованность научных положений и выводов

обеспечивается применением при решении поставленных задач апробированных асимптотических методов и приближенных теорий, строгостью используемых математических методов, подтверждается непротиворечивостью полученных результатов, физическими соображениям, сравнением приближенных решений модельных задач, полученных асимптотическими методами, с точными решениями.

Апробация работы. Основные положения и работа в целом докладывалась и обсуждалась наследующих международных, всероссийских, региональных научных конференциях, семинарах и школах:

1. Международный семинар «Дни дифракции». Санкт-Петербург. 29 июня - 2 июля 2004 г.

2. V Российская конференция с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела». Саратов: 23-25 августа 2005 г.

3. IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. 22-28 августа 2006 г. Нижний Новгород.

4. Всероссийская сессия Научного совета РАН по механике деформируемого твердого тела «Фундаментальные и прикладные проблемы деформируемого твердого тела». 2-6 июля 2007 г. Самара.

5. Юбилейная школа-семинар «Проблемы современной механики твердого тела и прикладной математики», к 70-летию доктора физико-математических наук, профессора Г.И. Быковцева. Самара. 29 января -

1 февраля 2008 г.

6. Всероссийская научно-технической конференция «Новые информационные технологии». Москва. 2006,2009 гг., 19-21 апреля 2010 г.

7. Научный семинар «Актуальные проблемы математики и механики» под руководством доктора физико-математический наук, профессора В.А. Ковалева. Москва, Московский городской университет управления Правительства Москвы. 14 декабря 2009 г.

8. Научный семинар «Современные проблемы математики и механики» под руководством доктора физико-математический наук, профессора Ю.Н. Радаева. Самара, Самарский государственный университет. 17 февраля 2010 г.

9. Научный семинар кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета под руководством доктора физико-математических наук, профессора Л.Ю. Коссовича. Саратов. 2009-2010 гг.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ [1-13]. Работы с соавторами выполнены на паритетных началах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения. Список литературы содержит 126 наименования. Общий объем работы составляет 125 страниц, в том числе рисунков и графиков 21.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор работ по асимптотическим методам теории оболочек, исследований волновых процессов деформации в пластинах и оболочках, а также работ, связанных с исследованием дальнего поля волны Рэлея, сформулирована тема и цель диссертации, дано краткое описание работы по главам.

В первой главе приводятся постановки задач о распространении упругих волн, вызванных ударными нагрузками нормального типа (см. рис. 1,2), для полуполосы (п.1) и цилиндрической оболочки (п.2). Рассматриваются два вида нагрузки (на лицевые поверхности бесконечной

оболочки и на торец полубесконечной оболочки), приводящие к различным типам нестационарного НДС. Трехмерные уравнения для оболочки записываются в цилиндрической системе координат. Записанные уравнения позволяют описать нестационарное волновое НДС оболочки при воздействии указанных нагрузок. В момент приложения ударной нагрузки в оболочке возникает система первичных волн, как продольных, так и поперечных, которые начинают распространяться вглубь ее. При этом первичные волны, распространяющиеся в продольном направлении, взаимодействуя с лицевыми поверхностями, отражаются от них и, в свою очередь, порождают вторичные волны. Таким образом, в оболочке возникает сложная система волн, распространение которых и описывается приведенными в данном разделе уравнениями. При решении поставленной задачи используются методы, связанные с анализом суммарного вклада всех волн пакета, а не на изучении вклада отдельно взятой волны.

2Н1г

Рис. 1. Упругая полуполоса под действием торцевой нагрузки нормального типа

Р\

Рис. 2. Бесконечная цилиндрическая оболочка под действием поверхностной нагрузки нормального типа

В основном в работе исследуется поведение перерезывающей силы В третьем параграфе первой главы обсуждается метод расчленения НДС оболочки на составляющие с различными показателями изменяемости, который будет применен в следующих главах для решения поставленных задач. Приводятся схемы расчленения нестационарного НДС, возникающего в оболочке при действии ударной нагрузки нормального типа (см. рис. 3 для случая поверхностного воздействия), и схема областей применимости асимптотических теорий. В случае

нормального воздействия поперечного типа NW на торец полуполосы схема расчленения для касательного напряжения ап выглядит так же, как на рис. 3. Решение для перерезывающего усилия в окрестности фронта волны Рэлея в данном случае является малоамплитудным. Следует отметить, что рис. 3 имеет качественный характер. В некоторых конкретных задачах, например, когда воздействие на поверхность оболочки имеет вид сосредоточенной силы, перерезывающее усилие также терпит разрыв на фронте волны Рэлея. Однако условный характер этого фронта сохраняется и в этом случае, поскольку перемещения и все компоненты тензора напряжений остаются непрерывными вплоть до границы.

В рассматриваемых случаях поверхностных и торцевых воздействий нормального типа следует использовать следующие приближенные теории:

1. Изгибная составляющая теории Кирхгофа-Лява (область 114);

2. Квазиплоская квазиантисимметричная задача теории упругости (область Я,);

3. Погранслой в окрестности условного фронта поверхностных волн Рэлея (область Я3);

4. Пограслой в окрестности фронта волны сдвига (область Я2);

5. Наложение двумерной составляющей и квазистатического погранслоя типа Сен-Венана (область Л5).

Далее рассматриваются моменты времени, большие времени пробега передним фронтом волны толщины оболочки.

В последнем параграфе первой главы приведена постановка задачи для оболочки по двумерной теории типа Тимошенко. Для этой теории также указана схема расчленения решения на составляющие.

параграфе рассматривается поле Рэлея в случае упругой полуполосы, к торцу которой приложено ударное торцевое воздействие нормального типа. Задача сводится к эквивалентной задаче для бесконечного слоя под действием касательной нагрузки, приложенной к лицевым поверхностям. Для этого выделяется частное решение уравнений движения, удовлетворяющее только торцевым граничным условиям:

м;о)= о, и™=-1(т-&щт-{), (1)

<»=< = 0, <= Ы Н(т-&.

11 33 13 2(1 +V)/!

где щ,щ — перемещения в направлении осей х и 2, соответственно, (Ти,(Т22,(Т33,(Т13 - компоненты тензора напряжений, I - время, /г -полутолщина полосы, Е,У,р - модуль Юнга, коэффициент Пуассона и плотность материала, ^ = - безразмерные переменные.

Решение рассматриваемой задачи представляется в виде следующей суммы:

НДС = НДС;0» + НДС0', (2)

где для решения с верхним индексом «1» на торце и лицевых поверхностях ставятся следующие граничные условия:

£ = 0: -1^ = 0, <»=0; од

С = ±1: <=0, о™=--—Я(г-£).

ь 33 ' 2(1 + у)к

(3)

На рис. 4 показаны нагружения на лицевые поверхности в задаче для НДС(1) (а) и схема деформирования полуполосы в этой задаче (б). Его анализ показывает, что деформированное торцевое сечение остается прямолинейным и перпендикулярным к оси £ . Следовательно, если взять бесконечную полосу с симметричным нагружением, показанным на рис. 2.2 а), то деформирование каждой из ее симметричных частей эквивалентно деформированию рассматриваемой полуполосы. Поэтому можно перейти к исследованию эквивалентной задачи для бесконечной полосы с нагрузкой, представленной на рис. 5.

Для составляющей с индексом «1» на основе символического метода А.И. Лурье выводятся приближенные уравнения, описывающие дальнее поле волны Рэлея. Рассматриваются большие значения времени, когда г»1 (т.е. когда фронты волн проходят расстояние, много большее толщины полосы): т - 0(Т), Т >; 1, вводится малый параметр е = 1/Г и масштабированные переменные у, г0 :

б)

Рис. 5. Эквивалентная задача для бесконечной полосы

позволяющие построить прифронтовую асимптотику в дальнем поле волны Рэлея. В (4) кх-ся/с2<\, сх - скорость волны Рэлея. Исходные уравнения записываются в символической форме, далее вводятся новые операторы Эу, , благодаря чему в уравнениях появляется малый

параметр £, что позволяет упростить их, отбрасывая асимптотически второстепенные члены. Вводятся объемный и сдвиговой потенциалы Ламе (р и ^, которые представляются в виде

(5)

Здесь индексом «1» обозначено отрицательное по £ направление затухания возмущений, индексом «2» - положительное направление. Из упрощенных символьных уравнений получаются следующие уравнения для потенциалов:

для которых ставятся граничные условия

эу с\ эу

Эг

ъ?

+ 2 к„В

ЭУ =_

Э£2 1-^/2

при С, = 1,

эу эу с\ эу_ кКВ 2к«Вд? + дт2 с1Ъ?-\-кЦ28 при ^

(7)

ЭЙ =

э<Г

к\ УЭ^ ду/г

при

при £ = 1, ¿" = -1.

(8)

5 = -

1-0,5+ #<0'

В =

к2

1 тс^кр 1 кп 2 кп

(9)

Перемещения и напряжения выражаются через потенциальные функции по формулам

(10)

э# эг э<г

Ч К Ч

СТ„ =-

1 + V

- 1

эу, эу2 "

эу, эу2

1 + V

эу эу2

ау2

(п)

Уравнения (6)—( 11) представляют собой приближенные уравнения для описания дальнего поля волны Рэлея при торцевом воздействии нормального типа. Распространение возмущения в дальнем поле волны Рэлея с конечной скоростью cR описывается одномерными волновыми уравнениями (7). Заметим, что скорость волны Рэлея cR явно присутствует в этих уравнениях. Затухание возмущений по глубине полуполосы (от каждой из лицевых поверхностей), описывается двумерными эллиптическими уравнениями (6). Влияние торцевых условий на решение определяется эквивалентной поверхностной нагрузкой S, имеющей волновой характер и распространяющейся со скоростью сдвиговой волны. Приближенные уравнения, полученные в данном параграфе, существенно упрощают анализ динамических явлений в окрестности фронта поверхностной волны Рэлея.

Второй параграф посвящен решению уравнений, выведенных в первом параграфе, и сравнению полученного решения с решением задачи в точной постановке. Решения как точных, так и приближенных уравнений ищутся с помощью метода двукратных интегральных преобразований -Лапласа по времени и Фурье по продольной координате. Сравнение изображения приближенного решения с асимптотикой изображения точного решения показывает, что в окрестности условного фронта поверхностных волн Рэлея асимптотически главные составляющие решения по точной и приближенной теориям совпадают. Этот факт подтверждает эффективность приближенной теории, построенной в первом параграфе.

Третий параграф посвящен выводу приближенных уравнений для описания дальнего поля волны Рэлея в цилиндрической оболочке. Анализ уравнений для оболочки показывает, что искомое НДС в окрестности условного фронта волны Рэлея относится к классу коротковолновых и является антисимметричным относительно срединной поверхности с асимптотической погрешностью OQj). С точностью до величин Oit]) уравнения для основной составляющей совпадают с уравнениями для плоского слоя. Вывод приближенных уравнений символическим методом А.И. Лурье осуществляется аналогично случаю полуполосы. Для полубесконечной оболочки получаются уравнения, совпадающие с уравнениями (6)—(11). Для бесконечной оболочки под действием ударной поверхностной нагрузки граничные условия (7) принимают вид:

э (эу, 2 эу,

Эг2 ЛЭ£2

э<г

2к в-^-3-.

-2 кЕВ^- = кЕВК^- при <Г = 1,

'эу ,2эу2л

Эг2 ЯЭ<Г

* ц

при С, ' -1,

остальные уравнения остаются без изменений.

Третья глава посвящена решению задачи о действии сосредоточенных сил на поверхность оболочки. К решению задачи применяется метод расчленения НДС на составляющие с различными показателями изменяемости. В первом параграфе рассматривается решение для изгибной составляющей теории оболочек Кирхгофа-Лява (область 1^4 на рис. 3). Записаны уравнения в усилиях и моментах, которые сводятся к разрешающему уравнению для функции прогиба:

1 , дАиг д2м> „

3 Э£4 2 Эг0

(13)

К решению поставленной задачи применяются интегральные преобразование Лапласа по времени и Фурье по продольной координате. Обращение проводится для перерезывающей силы. Сначала обращается преобразование Лапласа по второй теореме разложения (разложение по вычетам подынтегральной функции), а затем - преобразование Фурье. Полученное решение представляется в виде

(15)

где ТУ, - решение соответствующей статической задачи, и I \ "

=-^--т]2{Ц(5т(щт0 + 5т(ю0г0 (16)

л-3

Получена оценка интеграла (16) методом стационарной фазы.

Второй параграф посвящен решению уравнений, выведенных в главе 2 и описывающих дальнее поле волны Рэлея в цилиндрической оболочке при действии сосредоточенных сил на её поверхность. Метод решения с применением интегральных преобразований Лапласа и Фурье аналогичен использованному в первом параграфе. Решение для перерезывающей силы имеет вид

—I Вк5 7 у

„ СО п

щ=Х(к,-ВепМ\ (17)

где хс ~ 1 ~ постоянная, выбираемая таким образом, чтобы при / > асимптотика (17) достаточно хорошо описывала дисперсионную кривую первой моды точного решения при ■ Это ограничение связано с тем,

что асимптотическая модель дальнего поля волны Рэлея рассчитана на описание коротковолновых колебаний, поэтому длинноволновые компоненты решения (16) должны быть исключены. В окрестности условного фронта волны Рэлея вклад второго и третьего слагаемых в подынтегральном выражении в (16) мал, и их можно отбросить. Оставшийся интеграл содержит экспоненциальные множители, быстро затухающие с ростом х , благодаря чему его можно представить в виде

.(18)

Первое слагаемое в (18) не имеет разрыва при £ = кКт, а второе можно преобразовать к виду

-1Ж

4лЦкъ

(19)

где 81(х) - интегральный синус. Формула (19) позволяет вычислить величину скачка перерезывающей силы на фронте волны Рэлея:

м=

I Икъ

(20)

Для пластины величина | [Л^ ] | определяется построенной моделью точно,

поскольку представляет собой коротковолновый предел, в котором погрешность приближенных уравнений равна нулю. Для оболочки скачок определяется с малой погрешностью 0(?]2).

В третьем параграфе получено решение рассматриваемой задачи по теории типа Тимошенко. Как и ранее, применяются интегральные преобразования Лапласа и Фурье. Силы инерции в осевом направлении не учитываются. В результате получается следующее выражение для перерезывающей силы:

к 1

хо{х1-со2тл)

С02Т1{С02Т1-(02ТХ)

Жо

(зш^гДо-х<&)-аш(а>тлт0 (21)

а>тг{сот,~ ^тг)

2 73

(¡йп^Г,,-^-вшСю^т,,

(О-р ^00 2

где к2 = к2т{1-у)/2, й^,, 2 - - корни уравнения

(22)

взятые с обратным знаком.

В четвертом параграфе третьей главы, также на основе указанных выше интегральных преобразований, получено точное решение задачи в трехмерной постановке. Отмечается, что полученное решение достаточно громоздко и неудобно как для выполнения конкретных расчетов, так и для качественного анализа полученных результатов. Поэтому применение описанного выше метода расчленения НДС оболочки на составляющие с различными показателями изменяемости представляется более целесообразным. В дальнейшем точное решение используется для подтверждения применимости асимптотической модели дальнего поля волны Рэлея, построенной в главе 2.

В пятом параграфе обсуждаются области согласования и приводятся результаты численных расчетов. Записано решение плоской задачи теории упругости (область 1^), которое для данного случая совпадает с решением аналогичной задачи для плоского слоя. Анализ этого решения и сопоставление его с решениями, полученными ранее, позволил получить оценку для областей согласования В3 и В4 в виде \кКт - « г и для

области согласования В5 в виде Т}1'2Т(1« ¿¡0 « т0. Решение для окрестности фронта волны сдвига (область И2) здесь не рассматривается, поскольку не содержит ничего принципиально нового по сравнению с задачей для полубесконечной оболочки, рассмотренной в гл. 4. На рис. 6 изображено поведение перерезывающего усилия при V = 0,3, // = 0,01, /0 = -1, г = 200 . Жирной линией показано решение, найденное по теории типа Тимошенко, тонкой линией - по плоской теории упругости (первая мода), штриховая линия соответствует изгибной составляющей теории Кирхгофа-Лява. Рис. 6 показывает, что область согласования при данных значениях параметров задачи располагается в интервале 70 <£<100. Также из рисунка видно, что вблизи торца решение по теории типа Тимошенко

совпадает с решением по теории Кирхгофа-Лява, а далее переходит в решение по плоской теории упругости. Однако теория типа Тимошенко не описывает вклад высших мод, в отличие от предлагаемой схемы расчленения.

При расчетах по теории Тимошенко выбиралось значение константы к^ =0,86. Как известно, при таком выборе константы теория типа Тимошенко практически точно описывает всю дисперсионную кривую первой моды. Исходя из этого, можно ожидать, что решение по теории типа Тимошенко будет давать хорошую аппроксимацию точного решения в областях Кф Для областей Я; и этот факт подтверждается

рис. 6. Однако в окрестности условного фронта волны Рэлея (область Я3) применение теории типа Тимошенко приводит к качественно неверным результатам. Фронт волны Рэлея ошибочно воспринимается как фронт волны сдвига с разрывом напряжений по всей толщине пластины, в то время как точное решение имеет разрывы только на поверхности. Асимптотическая модель дальнего поля волны Рэлея, применяемая в данной работе, свободна от этого недостатка.

Рис. 6. Сравнение решения по теории типа Тимошенко с решениями в областях И] и Яд

На рис. 7 решение (16) сравнивается с точным решением. На рис. 8 приведен аналогичный график для теории типа Тимошенко. В обоих случаях интегрирование ведется от %с до и в подынтегральных выражениях оставлено только первое слагаемое, вносящее основной вклад в поле волны Рэлея, распространяющейся в положительном направлении оси х. При расчете по трехмерной теории использованы две первые моды. В расчетах были приняты те же значения параметров задачи, что и на рис. 6, и %с = 3. Как видно из рисунков, теория типа Тимошенко дает качественно неверную картину осцилляции в окрестности фронта. Кроме того, по теории типа Тимошенко неверно определяется величина скачка перерезывающей силы на условном фронте волны Рэлея: теория типа

Тимошенко дает скачок |[Л^]| = /0, а точное решение, как видно из рис. 7,

имеет скачок, определяемый формулой (20), которая при V = 0,3 дает

|[Аг,]| = 1,342/0. Погрешности теории типа Тимошенко в окрестности

условного фронта волны Рэлея объясняются тем, что в этой теории принимается линейный закон изменения перемещений по толщине, в то время как точное решение имеет характер поверхностной волны, быстро затухающей при удалении от поверхности. Поэтому для описания дальнего поля волны Рэлея в оболочках предпочтительнее использовать асимптотические модели, построенные в главе 2 специально для НДС данного типа.

Рис. 7. Поведение перерезывающей силы в окрестности условного фронта волны Рэлея; тонкая линия - решение по предложенной асимптотической модели, жирная линия -

точное решение

Рис. 8. Поведение перерезывающей силы в окрестности условного фронта волны Рэлея по теории типа Тимошенко

Также в п. 3.5 приведен график, показывающий, что впереди условного фронта волны Рэлея теория типа Тимошенко также не вполне верно описывает поведение перерезывающего усилия. Это связано с

погрешностью аппроксимации этой теорией точного графика групповой скорости в окрестности т.н. «фазы Эйри».

В четвертой главе рассматривается задача о действии нагрузки нормального типа на торец полубесконечной оболочки с применением методики, аналогичной использованной в главе 3. В первом параграфе получены приближенные решения для каждой из областей, изображенных на рис. 3, и определены области согласования между ними. В частности, здесь получено решение для области Яг (пограслой в окрестности фронта волны сдвига):

(23)

к „=1(2и-1) 4 >

Во втором параграфе строится решение рассматриваемой задачи по теории типа Тимошенко и сравнивается с результатами, полученными по методу расчленения.

На рис. 9 изображено поведение касательного напряжения в окрестности условного фронта волны Рэлея, вычисленное при тех же параметрах задачи, что и рис. 7,8. На рис. 10 показано поведение перерезывающей силы по теории типа Тимошенко. В теории типа Тимошенко разрыв перерезывающей силы соответствует разрыву касательного напряжения, которого по точной теории нет. На рис. 11 представлено поведение перерезывающей силы в окрестности фронта волны сдвига. Сравнение рис. 10 и 11 показывает, что поведение перерезывающей силы в окрестности фронта волны сдвига по теории типа Тимошенко напоминает поведение перерезывающей силы в окрестности фронта волны сдвига по трехмерной теории. В частности, скачок на фронте волны и в том, и в другом случае равен 2И10. Однако осцилляции в окрестности фронта по теории типа Тимошенко менее частые и располагаются впереди фронта, а не позади, как у фронта волны сдвига. Осцилляции впереди фронта характерны, напротив, для условного фронта волны Рэлея. Таким образом, фронт волны сдвига по теории типа Тимошенко представляет собой некую комбинацию фронта волны сдвига и условного фронта волны Рэлея, при этом и тот, и другой описываются неверно. Таким образом, и в данной задаче предпочтительнее использовать метод расчленения НДС, описанный в п. 1.3.

Рис. 9. Поведение касательного напряжения в окрестности условного фронта волны

Рэлея

Рис. 10. Поведение перерезывающей силы в окрестности фронта волны сдвига по теории типа Тимошенко

Рис. 11. Поведение перерезывающей силы в окрестности фронта волны сдвига по

трехмерной теории

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработаны и апробированы асимптотические модели для нахождения решения в окрестности условного фронта поверхностной волны Рэлея в упругой полуполосе и цилиндрической оболочке при действии торцевой ударной нагрузки нормального типа.

2. Построена и подтверждена сравнением с точным решением приближенная теория, описывающей дальнее поле волны Рэлея в цилиндрической оболочке при ударном нормальном воздействии на её поверхность.

3. Сформулированы схемы расчленения напряженно-деформированного состояния оболочки на составляющие с различными показателями изменяемости для случая воздействий вида NW.

4. Исследовано нестационарное НДС бесконечной цилиндрической оболочки при поверхностном ударном воздействии нормального типа. Получены решения для каждой из составляющих и установлено наличие областей согласования. Изучены возможности теории оболочек типа Тимошенко при описании НДС данного типа. Показано, что фронт волны Рэлея ошибочно воспринимается теорией типа Тимошенко как фронт волны сдвига с разрывом напряжений по всей толщине пластины, в то время как точное решение имеет разрывы только на поверхности. Также показано, что по теории типа Тимошенко неверно определяется величина скачка перерезывающей силы на условном фронте волны Рэлея.

5. Исследовано нестационарное НДС полубесконечной цилиндрической оболочки при торцевом ударном воздействии нормального типа. Получены решения для каждой из составляющих и установлено наличие областей согласования. Изучены возможности теории оболочек типа Тимошенко при описании НДС данного типа.

По теме диссертации опубликованы следующие работы: Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Коссович Л.Ю., Ковалев В.А., Таранов О.В. Поле Рэлея в задаче Лэмба для цилиндрической оболочки // Изв. Вузов. Сев.-Кавк. Региона. Естеств. науки.

2004. Спец. выпуск. С. 52 -54.

2. Ковалев В.А., Коссович Л.Ю., Таранов О.В. Дальнее поле волны Рэлея для упругой полуполосы при действии торцевой нагрузки // Изв. РАН. МТТ.

2005. № 5. С. 89-96.

3. Ковалев В.А., Таранов О.В. Дальнее поле волны Рэлея для упругой цилиндрической оболочки при действии торцевой нагрузки // Вестн. Самар. унта. Естественнонаучная серия. 2007. №4(54). С. 197-208.

4. Ковалев В.А., Таранов О.В. Анализ точного и приближенного решений для погранслоя в окрестности условного фронта поверхностной волны Рэлея в упругой полуполосе // Вестн. Самар. ун-та. Естественнонаучная серия. 2007. № 6(56). С. 43-50.

5. Вильде М.В., Ковалев В.А., Коссович Л.Ю., Таранов О.В. Применение метода расчленения НДС в задаче об ударном поверхностном воздействии нормального типа на цилиндрическую оболочку // Вестн. Самар. ун-та. Естественнонаучная серия. 2008. № 8/1(67). С. 254-268.

Статьи в прочих изданиях:

6. Kossovich L. Yu., Kovalev V.A., Taranov O.V. Asymptotic model for far field of Rayleigh in the case of elastic thin-walled cylinder / International seminar. Days on diffraction 2004. St. Peterburg. 2004. Abstracts. P. 69.

7. Ковалев B.A., Таранов О.В. Расчленение нестационарного НДС для цилиндрических оболочек при ударных торцевых воздействиях нормального типа // Материалы V Российской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» под ред. акад. Н.Ф. Морозова. - Саратов: Изд-во СГУ. 2005. С. 191-193.

8. Таранов О.В. Решение для погранслоя в окрестности условного фронта поверхностной волны Рэлея в упругой полуполосе // Сборник научных трудов «Математическое моделирование и управление в сложных системах». Выпуск 8. - М.: Изд. МГАПИ. 2005. С. 62-68.

9. Ковалев В.А., Таранов О.В. Специфика нестационарного напряженно-деформируемого состояния в цилиндрической оболочке при действии ударной нагрузки // Сборник трудов IX Всероссийской научно-техн. конференции «Новые информ. технологии». Москва. 26 апреля 2006. М. Изд. МГАПИ. 2006. С. 39^46.

10. Ковалев В.А., Таранов О.В. Нестационарного напряженно-деформируемое состояние пластин и оболочек при ударных торцевых воздействиях нормального типа // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород. 2006. Аннотации докладов. Том III. С. 111.

11. Таранов О.В. Асимптотический подход в исследовании нестационарных волн при ударных торцевых воздействиях // Труды Юбилейной школы-семинара «Проблемы современной механики твердого тела и прикладной математики», к 70-летию доктора физико-математических наук, профессора Г.И. Быковцева. Самара. Изд.-во СамГУ, 2008. С. 77-78.

12. Ковалев В.А., Таранов О.В. Задача о действии нагрузки нормального типа на торец полубесконечной оболочки // Сборник трудов XII Всероссийской научно-техн. конференции «Новые информ. технологии». Москва. 20-21 апреля 2009. М. Изд. МГУПИ. 2009. С. 53-59.

13. Таранов О.В. Задача об ударном поверхностном воздействии нормального типа на цилиндрическую оболочку // Сборник трудов XIII Всероссийской научно-техн. конференции «Новые информ. технологии». Москва. 19-21 апреля 2010. М. Изд. МГУПИ. 2010. С. 102-107.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Таранов, Олег Викторович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Постановка задач и схемы расчленения.

1.1. Задача о действии ударной нагрузки нормального типа на торец полуполосы.

1.2. Поверхностные и торцевые ударные воздействия нормального типа на цилиндрическую оболочку. Постановка задачи.

1.3. Расчленение нестационарного НДС цилиндрических оболочек на составляющие с различными показателями изменяемости

1.4. Поверхностные и торцевые ударные воздействия нормального типа на цилиндрическую оболочку. Теория типа Тимошенко.

ГЛАВА 2. Вывод приближенных уравнений поля Рэлея.

2.1. Вывод приближенных уравнений поля Рэлея при ударных торцевых воздействиях нормального типа на торец полуполосы

2.2. Решение приближенных уравнений для погранслоя в окрестности условного фронта волны Рэлея. Сопоставление с точным решением.

2.3. Вывод приближенных уравнений поля Рэлея для цилиндрической оболочки

ГЛАВА 3. Задача о действии сосредоточенных сил на поверхность оболочки.

3.1. Изгибная длинноволновая составляющая.

3.2. Поле Рэлея.

3.3. Решение по теории типа Тимошенко.

3.4. Решение задачи в трехмерной постановке.

3.5. Области согласования и численные примеры.

ГЛАВА 4. Задача о действии нагрузки нормального типа на торец полубесконечной оболочки.

4.1. Решение по методу расчленения напряженного состояния.

4.2. Решение по теории типа Тимошенко и численные примеры.

Введение диссертация по механике, на тему "Нестационарные волны в полуполосе и цилиндрической оболочке при поверхностных и торцевых ударных воздействиях нормального типа"

В современном мире оболочечные конструкции широко применяются во многих отраслях производства, таких, как авиа- и ракетостроение, машиностроение, строительная индустрия. Знание закономерностей распространения нестационарных волн в оболочках является основой для анализа и систематизации данных, относящихся к практически используемым конструкциям. Непрерывное усложнение машин и механизмов, наращивание мощностей приводит к увеличению динамических нагрузок на их элементы. Вследствие этого появляются эффекты, для описания которых недостаточно имеющихся приближенных теорий. Поэтому так актуальны проблемы обоснования перехода от трехмерных краевых задач теории упругости к двумерным задачам и оценки возникающих при этом погрешностей. Особое место в теории пластин и оболочек занимают задачи нестационарной динамики, поскольку в таких задачах изменяемость искомого решения существенно неоднородна по координатам и по времени. Теоретический и прикладной интерес представляет напряженное состояние при ударных нагрузках, моделируемых импульсными функциями.

Состояние исследований по изучению переходных волновых процессов деформации изгибного типа, вызванных действующей нагрузкой в бесконечных и полубесконечных плитах, балках и оболочках охарактеризовано в обзорах [1,2,11,13,17,33,51,69,73,76,83,96,107,111,113,123].

На основе элементарной теории изгиба решены многочисленные задачи расчета плит и оболочек. В динамике балок первая поправка к элементарной теории была внесена еще Релеем, предложившим учесть инерцию вращения. С.П. Тимошенко показал в 1921 г., что учет сдвига дает поправку такого же порядка. Он вывел уравнение балки, учитывающее поправки от сдвига и от инерции вращения [126]. Эти поправки приводит к отказу от элементарной теории (прямолинейная нормаль к срединной поверхности не остается нормалью после деформации).

Я.С. Уфлянд был первым, применившим [96] теорию типа Тимошенко к анализу переходных волновых процессов, вызванных сосредоточенной импульсной нагрузкой в бесконечной плите и балке. Он использовал преобразование Лапласа. Поскольку полученные интегралы Меллина, в отличие от интегралов в теории Кирхгофа, не поддались обращению в замкнутом виде, то Я.С. Уфлянд предложил проводить их к суммам определенных интегралов по берегам срезов плоскости 5, обеспечивающих однозначность подынтегральных функций. На основе этого подхода для обращения интегралов в [96] были получены некоторые численные данные.

Позже различные аспекты применения теории плит и балок типа Тимошенко рассматривались в многочисленных работах [11,33,70,104,105,107,112,122].

В работах [11,33,70,96,104, 105,107,112,122] были решены конкретные задачи при помощи операционного исчисления. В основном использовалось преобразование Лапласа [11,33,70,96,104,107,122], но нашло применение и преобразование Фурье по координате [107,112], при построении формальных решений в виде контурных интегралов, которые были обращены методом перевала. Методом интегрирования по берегам срезов плоскости ^ в работе [104] был получен ряд диаграмм.

В работах [11,12,70] приведены результаты, полученные методом сеток с выделение частных решений, переносящих разрывы первых и вторых производных нормального прогиба и угла поворота.

Проблема применимости теории типа Тимошенко рассматривалась на основе трехмерной теории в работе [73]. Было установлено, что теория типа

Тимошенко не применима в области от фронта волны сжатия до условного фронта поверхностных волн Релея, а также в непосредственной близости от 5 данного фронта волны. В этом исследовании] приведен также ряд численных данных о точности теории типа Тимошенко в области, где её можно считать практически применимой.

Применение трехмерной теории упругости к расчету изгиба плит в работах [33,73,89,112] были получены ряд численных данных в результате приближенного обращения некоторого числа первых интегралов методом перевала.

Ю. Микловиц [121,123] исследовал осесимметричный волновой процесс, возбужденный в бесконечной плите действием двух сосредоточенных сил, приложенных к свободным поверхностям плиты и направленных друг к другу. Были применены преобразование Лапласа по времени и преобразование Ханкеля по координате. Первое обращение выполнялось при помощи вычетов, для второго обращения использовался методом перевала, в котором были учтены три первых контурных интеграла.

Динамике стержней и пластин посвящены работы В.В.Новожилова и Л.И. Слепяна [80,87,88]. В них изучались свойства аналитических решений задач при рассмотрении переходных волновых процессов в стержнях и пластинах, анализировалась работа принципа Сен-Венана. Было показано, что главная часть деформаций, которая соответствует внезапно приложенным самоуравновешанным по сечению нагрузкам, локализируется вблизи фронтов волн и того сечения, где приложена нагрузка. Проведенный анализ областей действия различных теорий позволил использовать для решения задач в начале движения и в окрестностях фронтов волн разные методы.

Интенсивное развитие динамической теории пластин и оболочек началось лишь с шестидесятых годов. Замена переменных в масштабе характерного размера срединной поверхности показывает, что математические уравнения теории упругости для тонких оболочек относятся к классу сингулярно возмущенных уравнений с малыми параметрами при 6 старших производных. Математическая теория таких уравнений начала развиваться лишь с сороковых годов, хотя такие уравнения и раньше встречались в других областях механики и физики. Оттуда перешли в математическую литературу понятия погранслоя, сращивания и др. В настоящее время в математической литературе достаточно полно изучены уравнения такого вида.

Существующие методы сведения трехмерных задач теории упругости к двумерным задачам теорий пластин и оболочек условно делятся на методы гипотез, методы разложения по толщине и асимптотические методы.

В случае простых геометрических объектов (например, плит) алгоритм степенных рядов может быть успешно применен в форме символического метода А.И. Лурье [66,67] или в форме метода начальных функций В.З. Власова [14,15]. Символические формулы трехмерной теории динамики плит представлены в работе [74] для деформации, антисимметричной относительно срединной поверхности. В символической теории применяются бесконечные ряды, а во всех других вариантах используются усеченные ряды.

Направление исследований, связанное с асимптотическим интегрированием уравнений трехмерной теории упругости развивалось в работах А.Л. Гольденвейзера, А. Грина [110], Б. Новотны [103] и др.

В работах Г.И. Петрашеня и Л.А. Молоткова [8,82-86] методом асимптотического анализа был исследован вопрос о границах применимостей уравнений классической теории изгиба плит, в динамических задачах. Основная идея, использованная в [83], состоит в сопоставлении формальных решений (контурных интегралов), полученных на основе трехмерной теории и двумерных теорий. В ходе этого сопоставления пользуются разложением точного изображения по степеням нормальной координаты г.

Основополагающие понятия показателя изменяемости напряженно-деформированного состояния (НДС) по пространственным координатам и операции растяжения масштаба в уравнениях теории упругости связаны в первую очередь с работами А.Л.Гольденвейзера [17-27,108]. При рассмотрении статических задач, посвященных построению двумерной теории оболочек, вводился малый безразмерный параметр, равный отношению толщины оболочки к характерному радиусу. Введение данных величин сделало возможным построение для статических задач основного итерационного процесса, который приводит в первых приближениях к двумерным теориям оболочек. Было показано, что дополнительный итерационный процесс приводит к принципиально новым теориям — теории плоского и антиплоского погранслоев. Одним из важных результатов, связанных с построением итерационного процесса, явилась возможность асимптотической оценки погрешности двумерных теорий, теорий пластин и оболочек, связанной со значениями показателей изменяемости НДС.

Особую сложность проблема обоснования перехода от трехмерных краевых задач теории упругости к двумерным краевым задачам математической физики имеет в динамических задачах. Переходные процессы деформации имеют место в течение промежутка времени, соизмеримого с временем пробега волнами деформаций пути, равного характерному размеру срединной поверхности оболочки. При этом можно выделить возмущенные области, границы которых определяются фронтами волн. На фронте волны часть компонент НДС или их производные терпят разрыв. В случае, когда нагрузки задаются достаточно гладкими по времени функциями, влиянием этих разрывов на напряженное состояние можно пренебречь. Теоретический и прикладной интерес представляет изучение НДС в окрестностях фронтов волн для так называемых ударных нагрузок, моделируемых импульсными функциями.

Динамике тонких упругих оболочек посвящены работы А.Л. Гольденвейзера [20,24]. В работе [20] для интегралов двумерных динамических уравнений теории оболочек была введена классификация, аналогичная статическому случаю. Было показано, что в динамике при построении классификации необходимо учитывать изменяемость напряженного состояния по времени. В работе [25] рассмотрены динамические трехмерные уравнения теории упругости и свойства их интегралов в случае, когда тело тонкое и его лицевые поверхности не закреплены. Получена связь данных интегралов и интегралов двумерных уравнений теории оболочек и теории погранслоя. В работе [27] сформулирован модифицированный принцип Сен-Венана, обуславливающий затухание асимптотически главной части НДС, вызванный системой сил, приложенной к торцу тонкого упругого тела. Получены условия выполнения модифицированного принципа Сен-Венана и изучена возможность их использования при построении итерационных процессов интегрирование общих уравнений теории упругости.

Асимптотический метод был применен также для изучения свободных колебаний оболочек на основе двумерной классической теории оболочек. Им посвящены работы А.Л. Гольденвейзера, Ю.Д. Каплунова, Л.Ю. Коссовича, Е.П. Товстика [95] и др.

Однако до недавнего времени асимптотические методы недостаточно полно использовались при решении задач нестационарной динамики оболочек. Это объясняется следующими фактами. На задачи нестационарной динамики оболочек нельзя формально перенести понятие показателя изменяемости искомого решения. Изменяемость решения оказывается неоднородной в различных частях области определения: если вдали от точки приложения нагрузки и фронта волны она невелика, то вблизи этих областей она, монотонно возрастая, становится большой. Таким образом, сами понятия показателей изменяемости НДС по времени и в пространстве 9 требуют глубокого исследования. Кроме того, изменяемость НДСЩ2 вблизи точки приложения нагрузки и вблизи фронта волны заведомо выг^СОдит за рамки применимости двумерной теории оболочек. Следовательно, ^ задачах нестационарной динамики не проходит асимптотический метод расЬ-^3:ленения НДС в классической форме. При решении нестационарных задач П1Р> «оводится расчленение напряженного состояния на элементарные со^а-г&л^гющие имеющие в своих областях применимости однородные изменяенч/гости по координатам и времени. Это позволяет построить для эле1^«гитарных составляющих в рамках некоторой заданной погрешности асимптотически оптимальные уравнения, которые имеют более простой вид по ср^.^Нению исходными.

Одними из первых работ, связанных с изучением динамичесгЕсого ццс оболочек и использованием метода расчленения были работы Алумяэ

Л. Поверуса, У.К. Нигула [3-6,71,78,79,125]. В работе [3] исс=-гхедовался осесимметричный переходный процесс в полубесконечной круговой цилиндрической оболочке, вызванный действием краевой Нагрузки меняющейся во времени по синусоидальному закону. В [4] краевая: нагрузка на оболочку задавалась во времени функцией Хевисайда, а его дуговой координате менялась по закону косинуса. В [3] асимптотическое «^»€>ращение контурных интегралов от изображений решений по Лапласу позволило разложить НДС на безмоментное решение и краевые эффекты. Е5. статье [4] расчленение напряженных состояний проводилось с учетом Показателя изменяемости по времени.

Работа У.К. Нигула [78] посвящена изучению началыэ:ого этапа переходных процессов деформации упругих круговых Цилиндрических оболочек, вызванных торцевой нагрузкой, которая действует или: возрастает до максимального значения за время, которое соизмеримо со временем пробега волнами деформаций пути, равного характерному размеру срединной поверхности оболочки или меньше этого времени. На основании

10 анализа переходных процессов деформации плит была получена следующая качественная картина деформации: в момент приложения ударной нагрузки к торцу в оболочке возникает сложная система первичных волн, как продольных, так и поперечных, которые начинают распространяться вглубь оболочки. При этом первичные волны, распространяющиеся в продольном направлении, взаимодействуя с лицевыми поверхностями, отражаются от них и, в свою очередь, порождают вторичные волны, причем каждая из волн порождает и продольную и поперечную отраженную волну. Таким образом, в оболочке возникает сложная система волн. Поскольку с течением времени количество волн катастрофически растет, отдельное построение и анализ числа элементарных волн практически неосуществимы. Поэтому при расчете тонкостенных конструкций следует изучать вклад не отдельно взятой волны, а суммировать вклад всех волн пакета. В данной работе выявлены области и условия применимости приближенных теорий для аппроксимации суммарного вклада отдельных волн, проведено численное сопоставление решений по теории упругости и по приближенным теориям. В [78,79,125] приведены результаты исследований по изучению областей применимости теории Кирхгофа-Лява и теории типа Тимошенко при осесимметричной деформации оболочек вращения, вызванной локальной нагрузкой, проанализированы результаты использования методов перевала, стационарной фазы, конечных разностей и прифронтовой асимптотики. Один из главных выводов, сформулированных в данных работах, заключается в том, что характер НДС существенно зависит от изменяемости воздействия во времени.

В работе [102] решалась задача об определении осесимметричных напряжений, возникающих в результате удара полубесконечной упругой цилиндрической оболочки, двигающейся с осевой скоростью по направлению к жесткой преграде. С помощью безмоментной теории были получены не только главный член асимптотического разложения для

11 больших значений времени, но и дополнительные члены. Это позволило оценить точность решения для точек, находящихся далеко позади фронта волны. Кроме того, было получено решение, имеющее силу вблизи фронта волны.

В работе [68] А.П. Малышева рассматривались одномерные волновые процессы в оболочках вращения, возникающие при действии быстроизменяющихся нагрузок. В работе показано, что величина разрыва на фронте продольной волны остается постоянной. Полученные результаты демонстрируют разделение НДС оболочки на безмоментное состояние и краевой эффект.

При решении задач нестационарной динамики большинство используемых методов основывается на применении интегральных преобразований Лапласа и Фурье. В работах [11,12] Н.Д. Векслер для получения решения в начальные промежутки времени использовал метод прифронтовой асимптотики, основанный на разложении изображений по Лапласу в ряды по отрицательным степеням параметра преобразования. С удалением от фронтов использовались методы перевала и стационарной фазы. Разнообразные методы обращения решения двумерных задач для стержней и пластин и безмоментных задач для цилиндрических оболочек, основанные на аналитических свойствах интегральных преобразований, освящены в [32,64,87,88,97,98].

Значительный вклад в развитие асимптотических методов решения нестационарных задач теории оболочек внесли работы Л.Ю. Коссовича. [5357]. Исследования нестационарного волнового НДС оболочек вращения проводилось в [53] с использованием понятия показателя изменяемости, введенного А.Л. Гольденвейзером. Рассматривался один из важных классов нестационарных задач - задач о распространении волн деформаций в оболочках вращения под действием ударных нагрузок, приложенных к торцу оболочки. В работе [53] исследовались осе симметричные волновые

12 процессы в оболочках вращения. Были выделены тангенциальная составляющая, описывающая распространение волны растяжения-сжатия, и нетангенциальная составляющая, описывающая распространение изгибной и сдвиговой волн. В случае неосесимметричных воздействий в [54] проведено исследование областей согласования интегралов теории Кирхгофа-Лява, описывающих НДС в областях оболочки, примыкающих к торцу и погранслоя, описывающего напряженное состояние в прифронтовых областях. Установление областей согласования динамического краевого эффекта, описываемого теорией Киргофа-Лява, и антисимметричной составляющей быстроизменяющегося прифронтового поля было проведено в [55]. Здесь же определены зоны действия приближенных теорий и расположения областей согласования этих теорий.

В монографии [56] были разработаны асимптотические подходы к нестационарным задачам для оболочки вращения с меридианом произвольной формы, основанные на расчленении НДС на безмоментную, моментную составляющие и погранслой с различными показателями изменяемости. Были установлены области действия в фазовой плоскости всех составляющих и доказано сращивание безмоментной составляющей и плоского обратносимметричного погранслоя. Была показана связь различного типа асимптотик двумерных решений со свойствами областей их применимости. На основании такого анализа был разработан подход к получению таких асимптотик без использования интегральных преобразований.

Несмотря на значительное количество работ, посвященных применению асимптотических методов к задачам динамики оболочек в двумерной постановке, асимптотический вывод двумерных уравнений из трехмерных уравнений теории упругости ранее не был осуществлен. В работе Ю.Д. Каплунова, И.В.Кирилловой, Л.Ю. Коссовича [38] проведено асимптотическое интегрирование трехмерных динамических уравнений

13 теории упругости для случая тонких оболочек. Были получены предельные двумерные системы.

Исследования Ю.Д. Каплунова [34-37,109] внесли существенный вклад в изучение нестационарных волновых процессов.

В [34] к построению двумерных уравнений теории оболочек описывающих высокочастотные НДС малой изменяемости, применялся метод асимптотического интегрирования трехмерных динамических уравнений теории упругости. Были установлены области применимости и погрешность полученных уравнений. Исследования высокочастотных колебаний оболочки вращения проводились в [35].

В [36] Ю.Д. Каплуновым и Е.В. Нольде проводился асимптотический анализ трехмерных динамических уравнений теории упругости для случая изгиба пластин. В отличие от большинства работ, посвященных асимптотическому построению двумерной динамической теории пластин, два безразмерных асимптотических параметра (показатель изменяемости и показатель динамичности) полагались независимыми.

В работах [26,109] обсуждаются линейные TP теории (по имени С.П. Тимошенко и Е. Рейснера) пластин и оболочек, т.е. теории, учитывающие деформацию поперечного сдвига и инерцию вращения. Ставится вопрос об их построении асимптотическим методом и о вытекающих из этого оценках погрешностей для задач статики и динамики. Предлагается метод расширения применимости TP теорий для динамических задач.

Принципиально новым является результат, приведенный в [115]. Было показано, что для определения НДС оболочки вращения в окрестности квазифронта вместо общих уравнений коротковолновой высокочастотной составляющей можно использовать уравнения теории Кирхгофа-Лява с учетом оператора приведенной инерции. Уточнение этих уравнений позволяет расширить область применимости классической двумерной теории.

Значительное время сфера применения асимптотических методов в нестационарной динамике тонких упругих тел ограничивалось случаями пластины, круговой цилиндрической оболочки и оболочкой вращения. Результаты исследований в области асимптотической теории тонких упругих тел обобщены Ю.Д. Каплуновым, Л.Ю. Коссовичем, Е.В. Нольде в монографии [114]. На основе трехмерных уравнений теории упругости получены асимптотически оптимальные уравнения низкочастотных, высокочастотных и длинноволновых высокочастотных приближений, позволяющие в совокупности описать как стационарные, так и нестационарные динамические процессы. Разработаны двумерные теории высшего порядка пластин и оболочек, рассмотрены задачи колебания оболочек вращения, тонких тел в среде, излучения тонкими телами. Выведены асимптотически оптимальные уравнения динамических погранслоев в окрестностях фронтов волн расширения и сдвига, в окрестности квазифронта.

Окончательная форма расчленения нестационарного НДС оболочки вращения описана в [57] при торцевых ударных воздействиях видов ЬТ и ЬМ. Развитие предложенных методов для новых классов задач было проведено в следующих направлениях:

- изучение установления стационарных процессов [43,62]; анализ волн в случаях новых классов ударных воздействий [100];

- исследование отраженных и прошедших волн в подкрепленных оболочках вращения и в оболочках ступенчато-переменной толщины [52,81]; исследование влияния трансверсально-изотропного упругого материала на нестационарные волны [63,99]; исследование влияния вязкоупругости материалов на нестационарные волны [7,9,10,101]; что подтверждает универсальность разработанных методов. Однако построение схемы расчленения для воздействий нормального типа (воздействий вида ЫМУ) до сих пор не было завершено. Это было связано с тем, что в отличие от рассмотренных ранее воздействий тангенциального и изгибающего типов, нормальные воздействия приводят к принципиально новой схеме расчленения, в которой должен быть учтен условный фронт поверхностной волны Рэлея.

Существование нестационарной волны Рэлея, возникающей при силовом воздействии на свободную поверхность упругого полупространства, было впервые установлено в классической работе Лэмба [117]. В случае локализованного воздействия типа сосредоточенной силы данная волна выглядит как существенный всплеск НДС, быстро затухающий с глубиной и распространяющийся вдоль поверхности тела со скоростью стационарной волны Рэлея [16,29,118]. В работе [39] (для случая полупространства, находящегося в условиях плоской деформации) впервые была предложена асимптотическая модель, направленная непосредственно на описание поля волны Рэлея. Эта модель включает в себя одномерное волновое уравнение, содержащее в явном виде скорость волны Рэлея и описывающее распространение волны вдоль поверхности, и краевые задачи Неймана для потенциалов Ламе, описывающие затухание волнового поля вглубь полупространства. Приближенная теория [39] существенно облегчает количественный и качественный анализ поля нестационарной волны Рэлея.

Решения приближенных уравнений, представляющих собой классические уравнения математической физики, легко записываются в замкнутой форме.

Кроме того, сама структура приближенной модели соответствует интуитивным представлениям о волне Рэлея, отражая её основные свойства: распространение вдоль поверхности с определенной скоростью и затухание с

16 глубиной. Результаты работы [39] распространены в работе [61] на случай дальнего поля Рэлея в бесконечном упругом слое при нормальном воздействии на его поверхности. Схема расчленения для случая воздействий нормального типа на поверхность пластины построена в работах [59,60].

Целью данной диссертационной работы является исследование нестационарного волнового НДС в упругой полуполосе и в цилиндрических оболочках при поверхностных и торцевых ударных воздействиях нормального типа. В работе развивается асимптотический подход к решению задач о нестационарных волновых процессах в оболочках.

Из поставленной цели вытекают следующие задачи:

- построение асимптотической модели для нахождения решения в окрестности условного фронта поверхностной волны Рэлея в упругой полуполосе при торцевом воздействии нормального вида и обобщение этой модели для случая оболочки;

- разработка асимптотической схемы расчленения НДС оболочки на составляющие и методов аналитического решения задач для всех составляющих.

Исследование выполнено на базе линейной теории упругости. Полученные приближенные асимптотические решения сопоставляются с точным решением задачи и с решением, полученным по теории оболочек типа Тимошенко с целью изучить возможности последней при описании НДС рассматриваемого типа.

В первой главе приводятся постановки задач о распространении упругих волн, вызванных ударными нагрузками нормального типа, для полуполосы и цилиндрической оболочки. Рассматриваются два вида нагрузки (на лицевые поверхности бесконечной оболочки и на торец полубесконечной оболочки), приводящие к различным типам нестационарного НДС. Записанные уравнения позволяют описать нестационарное волновое НДС оболочки при воздействии указанных

17 нагрузок. В момент приложения ударной нагрузки в оболочке возникает система первичных волн, как продольных, так и поперечных, которые начинают распространяться вглубь её. При этом первичные волны, распространяющиеся в продольном направлении, взаимодействуя с лицевыми поверхностями, отражаются от них и, в свою очередь, порождают вторичные волны. Таким образом, в оболочке возникает сложная система волн, распространение которых и описывается приведенными в данном параграфе уравнениями. При решении поставленной задачи используются методы, связанные с анализом суммарного вклада всех волн пакета, а не на изучении вклада отдельно взятой волны. В третьем параграфе первой главы обсуждается метод расчленения НДС оболочки на составляющие с различными показателями изменяемости, который будет применен в следующих главах для решения поставленных задач. Приводится схема расчленения нестационарного НДС, возникающего в оболочке при действии ударной нагрузки нормального типа, и схема областей применимости асимптотических теорий. В последнем параграфе приведена постановка задачи для оболочки по двумерной теории типа Тимошенко. Для этой теории также указана схема расчленения решения на составляющие.

Во второй главе на основе символического метода А.И. Лурье выводятся приближенные уравнения для нахождения решения в окрестности условного фронта поверхностной волны Рэлея. В первом параграфе рассматривается поле Рэлея в случае упругой полуполосы, к торцу которой приложено ударное торцевое воздействие нормального типа. Задача сводится к эквивалентной задаче для бесконечного слоя под действием касательной нагрузки, приложенной к лицевым поверхностям. Выводится система приближенных уравнений для определения решения эквивалентной задачи в дальнем поле волны Рэлея. Второй параграф посвящен решению уравнений, выведенных в первом параграфе, и сравнению полученного решения с решением задачи в точной постановке. Сравнение изображения

18 приближенного решения с асимптотикой изображения точного решения показывает, что в окрестности условного фронта поверхностных волн Рэлея асимптотически главные составляющие решения по точной и приближенной теориям совпадают. В третьем параграфе результаты, полученные ранее для бесконечного слоя и в первом параграфе данной главы для полу полосы, распространяются на случаи бесконечной и полубесконечной цилиндрической оболочки.

Третья глава посвящена решению задачи о действии сосредоточенных сил на поверхность оболочки. К решению задачи применяется метод расчленения НДС на составляющие с различными показателями изменяемости. Записаны решения приближенных уравнений для каждой из составляющих НДС оболочки. Получено точное решение задачи в трехмерной постановке, а также решение по теории типа Тимошенко. Решения как точных, так и приближенных уравнений ищутся с помощью метода двукратных интегральных преобразований — Лапласа по времени и Фурье по продольной координате. В последнем параграфе главы приведены численные примеры, подтверждающие применимость приближенных уравнений, выведенных в главе 2, и всей схемы расчленения. Также в этом параграфе анализируется и иллюстрируется численными примерами применимость теории типа Тимошенко для описания нестационарного НДС, возникающего при ударном нормальном воздействии на поверхность оболочки. Показано, что фронт волны Рэлея ошибочно воспринимается теорией типа Тимошенко как фронт волны сдвига с разрывом напряжений по всей толщине пластины, в то время как точное решение имеет разрывы только на поверхности. Кроме того, по теории типа Тимошенко неверно определяется величина скачка перерезывающей силы на условном фронте волны Рэлея.

В четвертой главе рассматривается задача определения нестационарного НДС при ударном воздействии на торец полубесконечной

19 оболочки нагрузкой вида К решению задачи также применяется метод расчленения НДС. Получены приближенные решения для каждой из областей на фазовой плоскости и определены области согласования между ними. Во втором параграфе строится решение рассматриваемой задачи по теории типа Тимошенко и сравнивается с результатами, полученными по методу расчленения. Показано, что, как и для случая поверхностных воздействий, теория типа Тимошенко описывает длинноволновые составляющие решения, но неприменима в окрестностях фронтов волн.

В заключении диссертации сформулированы основные выводы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [4450,58,90-93,118].

Автором выносятся на защиту следующие положения: разработка асимптотических моделей для нахождения решения в окрестности условного фронта поверхностной волны Рэлея в упругой полуполосе и цилиндрической оболочке при действии торцевой ударной нагрузки нормального типа; разработка приближенной теории, описывающей дальнее поле волны Рэлея в цилиндрической оболочке при ударном нормальном воздействии на её поверхность; развитие асимптотического метода расчленения нестационарного НДС оболочки на составляющие для случая поверхностных и торцевых воздействий нормального типа; построение решений приближенных уравнений для каждой из составляющих и установление наличия областей согласования между ними.

Научная новизна диссертации: на основе символического метода А.И. Лурье получены асимптотические модели, позволяющие описать дальнее поле волны Рэлея при действии ударной нагрузки нормального типа на торец полуполосы и полубесконечной цилиндрической оболочки, а также при действии ударной нормальной нагрузки на лицевые поверхности бесконечной оболочки. Построена асимптотическая схема расчленения нестационарного НДС оболочки при ударных воздействиях нормального типа, найдены решения приближенных уравнений для каждой из составляющих и установлено наличие областей согласования между ними.

Достоверность результатов обеспечивается применением при решении поставленных задач апробированных асимптотических методов и приближенных теорий, строгостью используемых математических методов, подтверждается непротиворечивостью полученных результатов, физическими соображениям, сравнением приближенных асимптотических решений модельных задач с точными решениями.

Практическая значимость работы состоит в расширении области действия асимптотических методов исследования нестационарных волновых процессов в оболочках. Представленные методы позволят решить вопрос создания надежных и эффективных численно-аналитических методов изучения динамического напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек, необходимых в авиастроении, машиностроении, судостроении и других отраслях промышленности. Результаты диссертационной работы могут также применяться при чтении спецкурсов по специальности «Механика».

1. Международный семинар «Дни дифракции». Санкт-Петербург. 29 июня - 2 июля 2004 г.

2. V Российская конференция с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела». Саратов: 23—25 августа 2005 г.

3. IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. 22-28 августа 2006 г. Нижний Новгород.

1 февраля 2008 г.

6. Всероссийская научно—технической конференция «Новые информационные технологии». Москва. 2006, 2009 гг., 19-21 апреля 2010 г.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

3. Сформулированы схемы расчленения напряженно-деформированного состояния оболочки на составляющие с различными показателями изменяемости для случая воздействий вида

Заключение

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Таранов, Олег Викторович, Саратов

1. Айнола Л.Я. О расчетных моделях упругих пластинок для динамических задач // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1963. № 1.С. 31-37.

2. Айнола Л.Я., Нигул У.К. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1965. № 1. С. 3-63.

3. Алумяэ H.A. О применимости метода расчленения напряженного состояния при решении осесимметричных задач динамики замкнутой цилиндрической оболочки // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1961. №3. С. 171-181.

4. Алумяэ H.A., Поверус Л. Переходный процесс деформации в замкнутой кругоцилиндрической оболочке при неосесимметричной краевой нагрузке // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1963. № 1.С. 13-23.

5. Алумяэ H.A. Переходные процессы деформации упругих оболочек и пластин // Тр. 6-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. М.: 1966. С. 883-889.

6. Алумяэ H.A. Теория упругих оболочек и пластинок // Механика в СССР за 50 лет. Т.З. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1972. С. 227-266.

7. Бабич В.М., Молотков И.А. Математические методы в теории упругих волн // Механика деформируемого твердого тела. М.: 1977. Т. 10. С. 5-62.

8. Бажанова Н.С., Коссович Л.Ю. Погранслой в окрестности фронта волны расширения в вязкоупругих оболочках вращения // Проблемы прочности и пластичности. Межвуз. сб. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2000. С. 22-26.

9. Бажанова Н.С., Коссович Л.Ю., Сухоловская М.С. Нестационарные волны в вязкоупругих оболочках: модель Максвелла // Изв. Вузов. Сев.—Кавк. регион. Естеств. науки. 2000, № 2. С. 17—24.

10. Векслер Н.Д., Мянниль А.Н., Нигул У.К. Применение метода сеток в теории типа Тимошенко для исследования переходных волновых процессов деформации плит конечных размеров // Прикладная механика. 1965. Т. 1. Вып. 12. С. 38^9.

11. Векслер Н.Д. Исследование фронтовых разрывов при осесимметричной деформации оболочек вращения и круглой плиты // Переходные процессы деформации оболочек и пластин. Материалы Всесоюзн. симпозиума. Тарту. 1967. С. 41-49.

12. Векуа И.Н. К вопросу распространения упругих волн в бесконечном слое, ограниченном двумя параллельными плоскостями // Тр. Тбилисск. геофиз. ин-та. 1937. Т. 2. С. 23-50.

13. Власов В.З., Леонтьев H.H. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Физматгиз, 1960. 491 с.

14. Власов В.З. Метод начальных функций в задачах теории упругости // Изв. АН СССР. ОТН. 1975. Вып. 7. С. 49-69.

15. Гоголадзе В.Г. Отражение и преломление упругих волн. Общая теория граничных волн Рэлея // Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР. 1947. № 125. С. 1-43.

16. Гольденвейзер А.Л. О теории изгиба пластинок Рейсснера // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. № 4. С. 102-109.

17. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 4. С. 593-608.

18. Гольденвейзер А.Л. Качественный анализ свободных колебаний упругой тонкой оболочки // ПММ. 1966. Т. 30. Вып. 1. С. 94-108.

19. Гольденвейзер А.Л. Классификация интегралов динамических уравнений линейной двумерной теории оболочек // ПММ. 1973. Т. 37. Вып. 4. С. 591-603.

20. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.

21. Гольденвейзер А.Л., Лидский А.Л., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1979. 384 с.

22. Гольденвейзер А.Л. О вынужденных гармонических колебаниях оболочек//Изв. АН СССР МТТ. 1987. № 5. С. 168-177.

23. Гольденвейзер А.Л., Каплунов Ю.Д. Динамический погранслой в задачах колебаний оболочек // Изв. АН СССР МТТ. 1988. № 4. С. 151162.

24. Гольденвейзер А.Л. Некоторые вопросы общей линейной теории оболочек // Изв. АН СССР МТТ. 1990. № 5. С. 126-138.

25. Гольденвейзер А.Л., Каплунов Ю.Д., Нольде Е.В. Асимптотический анализ и уточнение теорий пластин и оболочек типа Тимошенко-Рейсснера // Изв. АН СССР МТТ. 1990. № 6. С. 124-128.

26. Гольденвейзер А.Л. Алгоритмы асимптотического построения линейной двумерной теории тонких оболочек и принцип Сен-Венана //ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 6. С. 96-108.

27. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Механика твердых деформируемых тел. Т. 5. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. М.: ВИНИТИ, 1973. 272 с.

28. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наук. Думка, 1981. 283 с.

29. Гусейн-Заде М.И. Об условиях существования затухающих решений плоской задачи теории упругости для полуполосы // ПММ. 1965. Т. 29. Вып. 2. С. 393-399.

30. Гусейн-Заде М.И. О необходимых и условиях существования затухающих решений плоской задачи теории упругости для полуполосы //ПММ. 1965. Т. 29. Вып. 4. С. 752-760.

31. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. 542 с.

32. Дубинкин М.В. О распространении волн в бесконечных плитах // ПММ. 1959. Т. 23. Вып. 5. С. 984-987.

33. Каплунов Ю.Д. Интегрирование уравнений динамического погранслоя // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 1. С. 148-160.

34. Каплунов Ю.Д. Высокочастотные напряженно-деформированные состояния малой изменяемости в упругих тонких оболочках // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 5. С. 147-157.

35. Каплунов Ю.Д., Нольде Е.В. Двухпараметрический асимптотический анализ динамических уравнений теории упругости для случая изгиба пластин//ПММ. 1992. Т. 56. Вып. 5. С. 750-755.

36. Каплунов Ю.Д. Распространение нестационарных упругих волн в оболочке общего очертания // Изв. АН России. МТТ. 1992. № 6. С.156-167.

37. Каплунов Ю.Д., Кириллова И.В., Коссович Л.Ю. Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 1. С. 83-91.

38. Каплунов Ю.Д., Коссович Л.Ю. Асимптотическая модель для вычисления дальнего поля волны Рэлея в случае упругой полуплоскости // ДАН, 2004. Т. 395, № 4. С. 482-484.

39. Кириллова И.В., Коссович Л.Ю. Динамический погранслой в окрестности фронта поперечной волны изгиба. Современные проблемы механики сплошной среды. Тр. II Международной конференции. Ростов-на-Дону. 1996. С. 92-96.

40. Кириллова И.В. Области согласования погранслоя и коротковолнового высокочастотного приближения // Сб. Трудов СГАУ «Математическое моделирование и управление в технических системах». Саратов, 1998. С. 3-11.

41. Кириллова И.В. Области применимости погранслоев в окрестностях фронтов волн в оболочках вращения нулевой гауссовой кривизны // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 6. С. 117-125.

42. Ковалев В.А., Коссович Л.Ю., Никонов A.B. Переходные волновые процессы в цилиндрической оболочке при внезапно приложенных гармонических нагрузках // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 2. С. 169 -180.

43. Ковалев В.А., Коссович Л.Ю., Таранов О.В. Дальнее поле волны Рэлея для упругой полуполосы при действии торцевой нагрузки // Изв. РАН. МТТ. 2005. № 5. С. 89-96.

44. Ковалев В.А., Таранов О.В. Дальнее поле волны Рэлея для упругой цилиндрической оболочки при действии торцевой нагрузки // Вестн. Самар. ун-та. Естественнонаучная серия. 2007. №4(54). С. 197—208.

45. Ковалев В.А., Таранов О.В. Анализ точного и приближенного решений для погранслоя в окрестности условного фронта поверхностной волны Рэлея в упругой полуполосе // Вестн. Самар. ун-та. Естественнонаучная серия. 2007. № 6(56). С. 53-50.

46. Коненков Ю.К. О нормальных волнах при изгибных колебаниях пластин //Акуст. ж., 1960. Т. 6. № 1. С. 57-64.

47. Копнин А.Ю., Коссович Л.Ю., Петраковский С.А. Нестационарные изгибные волновые процессы в подкрепленных оболочках вращения при ударных краевых воздействиях // Изв. АН СССР. МТТ. 1996. № 6. С. 127-138.

48. Коссович Л.Ю. Метод асимптотического интегрирования в задачах о распространении волн в оболочках вращения // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. №3. С. 143-148.

49. Коссович Л.Ю. Области согласования интегралов Кирхгофа-Лява и динамического нерегулярного погранслоя в задачах ораспространении волн в оболочках вращения // Тр. 13-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Таллин. Т. 3. 1983. С. 90-95.

50. Коссович Л.Ю. Исследование волнового процесса в оболочках вращения методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № 5. С. 142-146.

51. Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. Саратов: Изд. Саратовского университета. 1986. 176 с.

52. Коссович Л.Ю. Метод расчленения нестационарного напряженного состояния в оболочках вращения // Тр. 14-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Кутаиси, Т.2.1987. С. 98—103.

53. Коссович Л.Ю., Ковалев В.А., Таранов О.В. Поле Рэлея в задаче Лэмба для цилиндрической оболочки // Изв. Вузов. Сев.-Кавк. региона. Естеств. науки. 2004. Спец. выпуск. С. 52 —54 .

54. Коссович Л.Ю., Кушеккалиев А.Н. Анализ приближений в задаче Лэмба для бесконечного упругого слоя // Изв. Вузов. Сев. -Кавк. региона. Естеств. науки. 2003. № 5. С. 10-22.

55. Коссович Л.Ю., Кушеккалиев А.Н. Поле Рэлея в бесконечном упругом слое // Математика, механика. Сборник научных трудов. Саратов. Изд-во Сарат. ун-та. 2003. Вып. 5. С. 159-161.

56. Коссович Л.Ю., Никонов А.В. Нестационарная задача теории оболочек при ударно приложенной осциллирующей нагрузке тангенциального типа // Механика деформируемых сред. Сборник научных трудов. Саратов: Изд. Саратовского ун-та, 1993. Вып. 11. С. 85-102.

57. Коссович Л.Ю., Шевцова Ю.В. Погранслои в окрестностях фронтов волн в трансверсально изотропном упругом слое // Тр. IV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. 1998. С. 54—57.

58. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. М.: Наука, 1974. 224 с.

59. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

60. Лурье А.И. К теории толстых плит // ПММ. 1942. Т. 6. Вып. 2-3. С. 151-168.

61. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955. 491 с.

62. Малышев А.П. Волновые процессы в упругой тонкостенной цилиндрической оболочке при внезапном приложении силы к ее торцу // Изв. АН СССР. МТТ. 1969. № 2. С. 138-141.

63. Мянниль А., Нигул У.К. О напряженных состояниях упругой плиты при распространении синусоидальных волн изгиба // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1963. № 3. С. 273-283.

64. Мянниль А., Нигул У.К. О результатах сопоставление метода сеток и метода перевала при анализе переходного волнового процесса деформации плит //ПММ. 1966. Т. 30. Вып. 2.

65. Нигул У.К. Колебания кругоцилиндрической упругой оболочки, вызванное действием сосредоточенного импульса // Тр. Таллинского полит, ин-та. Сер. А, 1960. № 171. Вып. 2. С. 37-57.

66. Нигул У.К. О применении символического метода А.И. Лурье к анализу напряженных состояний и двухмерных теории упругих плит // ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 3. С. 1044-1056.

67. Нигул У.К. Применение трехмерной теории упругости к анализу волнового процесса изгиба полубесконечной плиты прикратковременно действующей краевой нагрузке // ПММ. 1963. Т. Вып. 6. С. 583-588.

68. Нигул У.К. О применении символического метода А.И. Лурье ^ трехмерной теории динамики упругих плит // Изв. АН ЭССР. Сег^ физ.-мат. и техн. наук. 1963. № 2. С. 146-155.

69. Нигул У.К. О корнях уравнения Лэмба для деформации плит^^ антисимметричный относительно срединной поверхности // Изв. ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1963. № 3. С. 284-293.

70. Нигул У.К. О методах и результатах анализа переходных волнов:ежгх процессов изгиба упругой плиты // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат и техн. наук. 1963. № 3. С. 345-384.

71. Нигул У.К., Кутсер М. О применении символического метоца А.И. Лурье в динамике плит при деформации, симметрична^ относительно срединной поверхности // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-м^т и техн. наук. 1965. № 3. С. 385-392.

72. Нигул У.К. О применимости приближенных теорий при переходимых процессах деформаций круговых цилиндрических оболочек // Тр. <5-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. М., 1966. С. 593-599

73. Нигул У.К. Сопоставление результатов анализа переходных волно^Ь1х процессов в оболочках и пластинах по теории упругости: и приближенным теориям // ПММ. 1969. Т. 33. Вып. 2. 1969. С. 308—322.

74. Новожилов В.В., Слепян Л.И. О принципе Сен-Венана в динат^тцКе стержней // ПММ. 1965. Т. 29. Вып. 2. С. 261-281.

75. Петрашень Г.И. О задаче Лэмба в случае упругого полупространства // ДАН СССР. 1949. Т. 64. № 5. С. 649-652.

76. Петрашень Г.И. Двухмерная задача Лэмба для бесконечно упругого слоя, ограниченного параллельными плоскостями // ДАН СССР. 1949. Т. 64. № 6. С. 783-786.

77. Петрашень Г.И., Марчук К.И., Огурцов О задаче Лэмба в случае полупространства // Ученые записки ЛГУ. Сер. физ.-мат.наук. 1950. №35. Вып. 21.

78. Петрашень Г.И. К теории колебаний тонких пластин // Ученые записки ЛГУ. Сер. физ.-мат.наук. 1951. № 149. С. 172-249.

79. Петрашень Г.И. Работы по распространению упругих волн // Вест. ЛГУ. 1958. № 22. С. 119-139.

80. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Л.: Судостроение, 1972. 374 с.

81. Слепян Л.И. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. Л.: Судостроение, 1980. 343 с.

82. Соколов Ф.А. Колебания свободной пластинки и пластинки на упругом основании действием динамической нагрузки // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. № 6. С. 114-117.

83. Таранов О.В. Решение для погранслоя в окрестности условного фронта поверхностной волны Рэлея в упругой полуполосе // Сб. науч. трудов «Математическое моделирование и управление в сложных системах». Вып. 8. -М.: Изд. МГАПИ. 2005. С. 62-68.

84. Ковалев В.А., Таранов O.B. Задача о действии нагрузки нормального типа на торец полубесконечной оболочки // Сборник трудов XII Всероссийской научно—техн. конференции «Новые информ. технологии». М.: Изд. МГУПИ. 2009. С. 53-59.

85. Таранов О.В. Задача об ударном поверхностном воздействии нормального типа на цилиндрическую оболочку // Сборник трудов XIII Всероссийской научно—'техн. конференции «Новые информ. технологии». Москва. 19-21 апреля 2010. М.: Изд. МГУПИ. 2010. С. 102-107.

86. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Физматгиз. 1959. 439 с.

87. Товстик П.Е. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций. С.-П., Изд-во С.-П. ун-та, 1995. 184 с.

88. Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин // ПММ. 1948. Т. 12. Вып.З. С. 287-292.

89. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 468 с.

90. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. 352 с.

91. Шевцова Ю.В. Погранслой в окрестности квазифронта в скошенной круговой цилиндрической оболочке // Математика, механика. Сборник научных трудов. Саратов: Изд. СГУ, 2000. С. 178-180.

92. Anofrikova N.S., Kossovich L.Yu. Constitutive equations for thin viscoelastic shells // Proc. of the 3rd Int. Conf «Mechanics of Tüne Dependent Materials», Erlangen, Germany. 2000. P. 66-68.

93. Berkowitz H.M. Longitudinal impact of a semi-infinite elastic cylindrical shell // J. Appl. Mech. 1963. Vol. 30. № 3. P. 347-354.

94. Bohuslav Novotny. On the asymptotic integration of the three-dimensional non-linear equations of thin elastic shells and plates // Int. J. Solids Structures. 1970. Vol .6. P. 433-451.

95. Boley B.A., Chao C.C. Some solutions of she Timoshenko beam equations //J. Appl. Mech. 1955.Vol. 22. № 4. P. 579-586.

96. BoJey B.A. On the use of sine transforms in Timoshenko beam impact problems //J. Appl. Mech. 1957. Vol. 24. № 1. P. 152-153.

97. Cooper R. M., Naghdi P. M. Propagation of nonaxially symmetric waves in elastic cylindrical shells. // J. Acoust. Soc. Amer, 1957, 29, № 12, 1365 -1373 — P3JCMex, 1958, № 11, 13052.

98. Fltigge W., Zajac E.E. Bending impact waves in beams // Ing.-Arch. 1959. Bd.28. P. 59-70.

99. Gol'denveizer A.L. Asymptotic method in the theory of shells // Proc. 15th Intern. Congr. Theory Appl. Mech. Toronto, Amsterdam et al, North-Holland, 1980. P. 91-104.

100. Goldenveizer A.L., Kaplunov J.D., Nolde E.V. On Timoshenko-Reissner type theories of plates and shells // Intern. J. Solids and Structures. V. 30. №5. 1993. P. 675-694.

101. Green A.E. Boundary layer equations in the linear theory of thin elastic shells // Proc. Roy. Soc., Ser.A. 1962. Vol. 269. №1339.

102. Jones O.E., Ellis A.T. Longitudinal strain pulse propagation in wide rectangular bars. Part 1 — theorical considerations // J. Appl. Mech. 1963. Vol. 30. №1. P. 51-60.

103. Jones R.P.N. Transient flexural stresses in an infinite beam // Quart. J. Mech., Appl. Math. 1955. Vol. 8. № 3. P. 373-384.

104. Jones R.P.N. Transverse impact waves in a bar under conditions of plane strain elasticity // Quart. J. Mech. Appl. Math., 1964. Vol. 17. pt. 4 P. 401 -419.

105. Kaplunov Ju.D., Kossovich L.Yu., Nolde E.V. Dynamics of thin walled elastic bodies. London: Academic Press. 1998. 226 p.

106. Kaplunov Ju.D. On the quasi-front in two-dimensional shell theories. C.R. Acad. Sci.Paris. V. 313. II. 1991. P. 731-736.

107. Kirillova I.V., Kossovich L.Yu. Dynamic boundary layer at elastic wave propagation in thin shells of revolution. ZAMM76, S5, 1996. P. 249-250.

108. Kirillova I.V., Kossovich L.Yu. Dynamic boundary layer at nonstationary elastic wave propagation in thin shells of revolution. «Asymptotics in mechanics» (Aim'96). Proceedings of the Second International Conference. Saint-Petersburg, 1997. P. 121-128.

109. Kossovich L. Yu., Kovalev V.A., Taranov O.Y. Asymptotic model for far field of Rayleigh in the case of elastic thin-walled cylinder // International seminar. Days on diffraction 2004. St. Peterburg. 2004. Abstracts. P. 69.

110. Lamb, H. On the propagation of tremors over the surface of an elastic solid. Phil. Trans. R. Soc. A203, 1 P. 121-142 (1904).

111. Lord Rayleigh. On waves propagated along the surface of an elastic solid // Proc. Lond. Math. Soc. 1885. 17. P. 4-11.

112. Miklowitz J. Transient compressional waves in an infinite elastic layer overlying a rigid half space // Space Technology Labs. Rep. STL TR - 60 - 0000 - 19285. Sept. 30. 1960.

113. Miklowitz J. Flexural stress waves in an elastic plate due a suddenly applied concentrated transverse load // J. Appl. Mech. 1960.Vol. 27. № 4. P. 681-689.

114. Miklowitz J. Transient compressional waves in an elastic plate or elasti layer overlying a rigid halfspace // J. Appl. Mech. 1962.Vol. 29. № 1.

115. Mindlin R.D. Influence of rotatory inertia and shear on frexural motions of isotropic elastic plates // J. Appl. Mech. 1951 .Vol.18. №1. P. 561-569.

116. Nigul U. Regions of effective application of the methods of three-dimensional and two-dimensional analysis of transient stress waves in shells and plates // Int. J.Solids and Structures. Vol. 1969. P. 607-627.

117. Timoshenko S.P. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars // Phil. Mag. 1921. Vol. 41. P. 744746.