Резонансы поверхностных волн в упругих телах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ВИЛЬДЕ Мария Владимировна

РЕЗОНАНСЫ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В УПРУГИХ ТЕЛАХ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Саратов 2004

Диссертационная работа выполнена на кафедре математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Каплунов Ю.Д.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Баженов В.Г. доктор технических наук, профессор Белосточный Г.Н. доктор физико-математических наук, профессор Товстик П.Е.

Ведущая организация: Институт машиноведения

им. акад. А.А. Благонравова РАН, Москва

Защита состоится " 23 " декабря 2004 г. в 14.30 на заседании Диссертационного Совета Д 212.243.10 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан

2004 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета кандидат физико-математических наук, доцент

Шевцова Ю.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Большой интерес к изучению колебательных процессов в оболочечных и пластинчатых конструкциях, в том числе толстостенных, связан с их широким применением в авиастроении, судостроении, приборостроении, строительстве. Необходимость в высокой надежности работы машин и механизмов и в то же время в снижении материалоемкости производства предъявляет высокие требования к методам расчета и оптимизации динамических параметров конструкций, прежде всего таких важных характеристик, как резонансные частоты.

В связи с интенсивным развитием вычислительной техники в настоящее время появилась возможность рассчитать и оптимизировать динамические параметры элементов конструкций в достаточно широком частотном диапазоне. В таких расчетах возникает проблема интерпретации полученных результатов, поскольку колебания упругого тела на высоких частотах имеют весьма сложный характер. Вследствие этого большое значение приобретает разработка методов, позволяющих проанализировать рассматриваемую задачу с качественной стороны. Основой таких методов служит понимание причины возникновения явления резонанса. Если тело можно рассматривать как отрезок некоторого волновода, то для интерпретации резонансных явлений в нем, как правило, используется понятие нормальных волн, называемых также модами. В этом случае явление резонанса связывается с накоплением энергии распространяющихся мод. В большинстве случаев такого понимания резонанса достаточно для получения представления о характере динамического поведения рассматриваемого объекта. Однако этот подход оказался неприменим к явлению краевого резонанса, впервые обнаруженному в 1956 г. Е. Shaw при экспериментальных исследованиях колебаний круглого диска. Это явление вызвало интерес исследователей в силу своих необычных свойств, а именно локализации формы колебаний при резонансе вблизи края диска. Впоследствии в работах Р. Миндлина, П. Торвика, В.Т. Гринченко, В.В. Мелешко и других авторов было показано, что на частоте краевого резонанса интенсивно возбуждаются нераспространяющиеся моды. Явление граничного резонанса в продольно-неоднородных телах, характеризующегося локализацией в окрестности линии стыка, изучалось в работах И.П. Гетмана и Ю.А Устинова и других авторов.

В настоящей работе явления краевого и граничного резонансов объясняются накоплением энергии поверхностной волны, распространяющейся вдоль торца либо линии стыка. Такое понимание природы упомянутых явлений позволило качественно показать наличие бесконечного спектра краевых или граничных резонансов для достаточно широкого класса упругих тел. Также в работе развиваются методы

То С. НАЦИОНАЛЬНАЯ I

3 библиотека I

та

качественного анализа резонансов поверхностных волн в задаче акустического рассеяния, актуальность которой связана с широким использованием гидроупругих систем во многих отраслях современной техники.

Цель работы.

• Разработка методов качественного анализа резонансов поверхностных волн для широкого класса задач о колебаниях упругих пластин, оболочек и сплошных цилиндров.

• Аналитическое и численное исследование явлений краевого и граничного резонанса в различных объектах, в том числе при изгибных колебаниях полуполосы для разных способов закрепления краев; в полуполосе, находящейся в условиях плоской деформации, при различных вариантах граничных условий на боковых сторонах; в сплошном упругом цилиндре со свободной боковой поверхностью.

• Исследование поверхностных волн, распространяющихся вдоль кромки полубесконечной плиты со свободными лицевыми поверхностями, в трехмерной постановке. Сопоставление полученных результатов с соответствующими результатами классической теории Кирхгофа и теории обобщенного плоского напряженного состояния в случае плиты малой толщины.

• Асимптотический анализ явления краевого резонанса в цилиндрической оболочке открытого профиля, а также в замкнутой оболочке вращения.

• Построение асимптотических моделей для приближенного описания резонансов поверхностных волн в задаче рассеяния акустических волн полым цилиндром.

Научная новизна.

В диссертации предложена методика исследования резонансов поверхностных волн для широкого класса задач со сложными граничными условиями.

Качественно и численно исследованы краевые резонансы в полуполосе в условиях плоской деформации. В частности, впервые показано существование бесконечного комплекснозначного спектра краевых резонансов.

Аналогичные результаты получены в случае изгиба полуполосы в рамках теории Кирхгофа.

Установлена связь явлений краевого и граничного резонансов с поверхностными волнами Рэлея и Стоунли в упругих телах различной конфигурации. Получены приближенные формулы для резонансных частот и оценки для амплитуды и ширины резонансов.

Выполнен качественный анализ решения задач рассеяния акустических волн упругими цилиндрами.

Практическая значимость.

Разработанные методы качественного и количественного анализа резонансов поверхностных волн могут быть применены в работе конструкторских бюро при расчетах различных элементов конструкций, испытывающих краевые динамические воздействия. Эти методы допускают обобщение на родственные задачи для тел более сложной формы либо с более сложными механическими свойствами.

Предлагаемые в работе асимптотические модели, описывающие резонансы поверхностных волн в задаче акустического рассеяния, могут представлять интерес в геофизике и биомеханике. Развитые в диссертации идеи пригодны для совершенствования вычислительных алгоритмов и программ, применяющихся в инженерной практике.

Результаты диссертационной работы применяются при чтении спецкурсов по специальности "Механика" на кафедре математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Исследование изгибных и планарных колебаний полосы при различных граничных условиях на боковых сторонах.

2. Распространение предлагаемой теории на случаи замкнутой и открытой цилиндрической оболочки и оболочки вращения с произвольным меридианом.

3. Анализ интерфейсных колебаний продольно-неоднородных полос и оболочек.

4. Обоснование связи краевых резонансов с поверхностными волнами Рэлея и интерфейсными волнами Стоунли и их обобщениями.

5. Анализ и классификация локализованных периферических волн в задачах рассеяния для толстостенного цилиндра.

6. Вывод асимптотических формул для частот и форм резонансных колебаний в каждом из рассматриваемом случаев и их сопоставление с результатами численных расчетов.

Достоверность и обоснованность научных положений и выводов

обеспечивается применением апробированных моделей и математически обоснованных методов - как численных, так и методов асимптотического анализа. Используемые численные методы тестируются на модельных задачах. Результаты расчетов сопоставляются с асимптотическими оценками, полученными аналитически. Хорошее совпадение асимптотических оценок и численных данных, а также убедительная физическая интерпретация служат свидетельством достоверности результатов и основанных на них выводов.

Апробация работы.

Основные результаты исследований, выполненных в диссертации, докладывались на:

• Международной молодежной научной конференции "XXV Гагаринские чтения" (Москва, 1999 г.);

• V Международном конгрессе по индустриальной и прикладной математике (Эдинбург, 1999 г.);

• конференции механико-математического факультета Саратовского гос. ун-та "Актуальные проблемы математики и механики, Апрель-2000" (Саратов, 2000 г.);

• Международном семинаре "Дни дифракции" (Санкт-Петербург, 2000, 2001,2002 гг.);

• VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.);

• 5-й Международной конференции "Проблемы колебаний" (Москва, 2001 г.);

• Международной конференции "Поверхностные волны в анизотропных и слоистых средах и обнаружение дефектов" (Москва, 2002 г.);

• Международном симпозиуме "Сингулярность, асимптотические методы и осреднение в механике" (Ливерпуль, Англия, 2002 г.);

• ЕВРОМЕХ коллоквиуме 439 "Математическое моделирование динамического поведения тонких упругих структур" (Саратов, 2002 г.).

В целом работа докладывалась на научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета под руководством доктора физико-математических наук, профессора Л.Ю. Коссовича.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 25 работ [1-25].

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения. Список литературы содержит 166 наименований. Общий объем работы составляет 337 страниц, в том числе рисунков и графиков 104.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении представлен обзор известных работ, посвященных явлениям краевого и граничного резонансов, а также разработке асимптотических и численных методов, применяемых в данной работе.

Сформулированы цели исследования и положения, выносимые на защиту, дано краткое описание работы по главам.

В первой главе рассмотрено явление краевого резонанса в полуполосе, находящейся в условиях деформации изгиба. Для описания изгибных колебаний применяется классическая теория Кирхгофа.

В п.1.1 приводится постановка задачи и записывается решение однородной задачи об изгибных колебаниях полубесконечной пластины, соответствующее изгибной волне "рэлеевского" типа. Вводятся безразмерные переменные

где 2b - ширина пластины, w - прогиб, ß — безразмерный частотный параметр, р — плотность, <0 — круговая частота, Е - модуль Юнга, V0=3(l —V2), V - коэффициент Пуассона, 2h — толщина пластины.

Временной множитель exp(KOf) и знак "~", обозначающий безразмерные переменные, далее опущены.

Приводятся формулы, связывающие характеристики НДС пластины с прогибом w , и дифференциальное уравнение (уравнение Софи Жермен) для случая стационарных колебаний пластины

A2U7-ß4H7 = 0, (2)

где Д = д2/дх2 + д2/ду2 - оператор Лапласа.

На боковых сторонах пластины ставится один из следующих

вариантов граничных условий:

(I) шарнирно опертые края: w = Му = 0; (3)

(II) свободные края: Му = N'y =0; (4)

(III) жестко закрепленные края: W = 0у = 0, (5)

где — изгибающий момент, — обобщенная перерезывающая сила. При х = О ставятся граничные условия

Mx=PMg, N'x=PNg, (6)

где Mg(y), Ng(y) — заданные функции переменной у, Р - безразмерный

коэффициент. Если функции Mg(y), N&(y) порядка единицы, то в силу

нормировки (1) реальным нагрузкам соответствуют малые значения коэффициента Р. Предполагается, что коэффициент Р достаточно мал, чтобы обеспечить применимость данной математической модели.

Поскольку решение задачи пропорционально значению Р, в дальнейшем величина Р в граничных условиях (6) опускается. При этом можно считать, что все неизвестные функции отнесены к Р. Этот принцип применяется и в остальных главах работы.

Резонансные частоты рассматриваемой задачи соответствуют собственным частотам однородной задачи с граничными условиями

мх = о, = о

(7)

при На бесконечности ставится условие отсутствия источников

энергии. В случае II также ставятся граничные условия в угловых точках:

Цгу(0,я) = Нхи(0,-п) = 0.

ХУ

(8)

Рассматривается случай колебаний пластины, симметричных относительно прямой у = 0. Записываются частные решения уравнения (2):

и>у = С,0соз(а11/)ехр(-г10л:), и?® = со8(а21/)ехр(-г20д:),

(9)

где

, г®, С®, С® — произвольные константы, СХ] = ^(г®^ + р2 ,

а2 ='\/(г2>)2 — Р2 • Частные решения (9) позволяют удовлетворить либо граничным условиям (7), либо граничным условиям (3)-(5). Вначале записывается дисперсионное уравнение изгибной волны "рэлеевского" типа и выражение для функции прогиба, определяющее форму этой волны. Для этого следует принять, что произвольные коэффициенты в (9) удовлетворяют условию где - волновое число изгибной

волны "рэлеевского" типа, и подставить линейную комбинацию частных решений (9) в граничные условия (7). Записанное дисперсионное уравнение имеет точное решение

(10)= ЭР, 9 = [(1 - У)(зу -1 + 2Д/(1-У)2 + У^ 1Л .

Далее принимается, что выполняется условие г® = г® = г . Такое условие позволяет удовлетворить граничным условиям на боковых сторонах и построить моды бесконечной полосы. Дисперсионные уравнения мод записываются в следующих параграфах, поскольку они различаются в зависимости от выбранного варианта граничных условий на боковых сторонах. Эти уравнения записываются в переменных т.е.

распространяющиеся моды определяются мнимыми корнями дисперсионного уравнения, а нераспространяющиеся моды - его действительны/ми или комплексны/ми корнями. При этом модам, затухающим при удалении от торца полуполосы, соответствуют комплексно-сопряженные корни с положительными действительными

частями. Такой, может быть, нетрадиционный подход связан с тем, что целью данной работы является исследование резонансов нераспространяющихся мод. В конце параграфа формулируется общий принцип построения решения задачи, опирающийся на метод однородных решений, или, другими словами, метод разложения по модам. Решение задачи представляется в виде

т

где - функции прогиба, соответствующие моде с номером га, Ст — произвольные константы, которые должны быть определены из граничных условий на торце полуполосы.

В п. 1.2 рассматривается случай шарнирно опертых боковых сторон. Записывается дисперсионное уравнение, соответствующее граничным условиям (3). Это уравнение имеет точное решение, которое показывает, что моды разделяются на две серии. Моды первой серии становятся распространяющимися после частот запирания моды второй

серии всегда являются ^распространяющимися. На любой частоте существуют две моды, изменяющиеся по переменной у по одному и тому же закону со8(&-0.5)у, где к = 1,2,... Эти моды относятся к разным сериям. Заметим, что у мод первой серии а! = к - 0.5, а у мод второй серии а2 = к - 0.5 (величины а] и а2 определяются как в соотношениях (9) при г1~г2-г)- Две моды ио^ и удовлетворяющие (точно или

приближенно) условию а1 „ = а2 т, в дальнейшем называются "парными". В случае граничных условий (3) оказывается, что частоты краевых резонансов определяются весьма просто. Решение следует представить в виде линейной комбинации "парных" мод и заметить, что при = к - 0.5 это представление совпадает с использованным при выводе дисперсионного уравнения волны "рэлеевского" типа. Формула (10) позволяет легко получить частоты краевого резонанса в рассматриваемой задаче: = —0.5), й = 1,2,... Форма резонансных колебаний совпадает с формой изгибной волны "рэлеевского" типа, т.е. характеризуется экспоненциальным затуханием при удалении от торца. Далее приводится численный пример, иллюстрирующий пики в амплитудно-частотной характеристике, соответствующие изгибному краевому резонансу, а также захват энергии изгибной волной "рэлеевского" типа при вынужденных колебаниях полуполосы. Также отмечается, что частоты краевого резонанса могут быть найдены графически. Для этого нужно на графиках, показывающих зависимость 11ег от частотного параметра (}, провести прямые

соответствующие параметрам

затухания двух составляющих изгибной волны "рэлеевского" типа. Точки пересечения кривых Rer(ß), соответствующих модам первой серии и прямой R1, соответствуют частотам краевого резонанса. Можно показать, что кривая R2 пересекает кривые Rer(ß) мод второй серии в тех же точках. Заметим, что в форме изгибной волны "рэлеевского" типа главной является составляющая, связанная с прямой R1, поскольку вторая составляющая затухает значительно быстрее и мало влияет на НДС в основной части пластины.

В п.1.3 рассматриваются изгибные моды бесконечной полосы в случае граничных условий (4) (случай II) или (5) (случай III). Свойства этих мод будут использованы в дальнейшем для исследования явления изгибного краевого резонанса. Они не так широко известны, как свойства мод бесконечной полосы в условиях плоской деформации (волн Лэмба), поэтому им посвящен отдельный параграф. Записываются асимптотики в окрестности нулевой частоты, частот запирания и при . Для

распространяющихся мод упомянутые асимптотики сращиваются с помощью метода Паде. В результате получены явные формулы, позволяющие описать с малой погрешностью поведение кривых соответствующих распространяющимся модам, на любой частоте (от частоты запирания до бесконечности). В конце параграфа рассматриваются антисимметричные моды, для которых получены аналогичные результаты.

В п.1.4 качественно исследуется явление изгибного краевого резонанса в случаях II и III. Результатами этого исследования являются приближенные формулы для резонансных частот и метод оценки амплитуды и ширины резонанса. В основу качественного исследования положено предположение (полностью подтвердившееся) о том, что, как и в п.1.2, в рассматриваемых случаях явление краевого резонанса связано с изгибной волной "рэлеевского" типа. Основную трудность при обобщении результатов п.1.2 на случаи II и III представляет тот факт, что моды в рассматриваемых случаях имеют две компоненты с различными законами изменения по координате у, т.е. их линейная комбинация никогда не совпадет с формой изгибной волны "рэлеевского" типа. Эта трудность преодолевается следующим образом: по аналогии со случаем шарнирного опирания предполагается, что существуют две нераспространяющиеся моды н/"' и и»'"^, для которых выполняется соотношение

где у - некоторое число. Тогда сумма этих мод содержит изгибную волну "рэлеевского" типа (рис. 1).

Мода и

Модат

w

= С*Апе~г'х cosct2ny + Cfe v cosa, „у+C\e'v cosalmy + C%A^e~r"x cosa, my

Изгибнаяволна"рэлеевского"типа

Рис. 1. Схема образования краевого резонанса

Сумма первого компонента моды XV^ и второго компонента моды Н»(т) совпадает с суммой частных решений (9) при aj = а.2 = у, следовательно, позволяет удовлетворить граничным условиям (7). При этом параметры мод rn и гт удовлетворяют соотношениям

(13)

(14)

Корни уравнения (13) соответствуют точкам пересечения дисперсионных кривых с прямой R1 = — 1), а корни уравнения (14) - с прямой R2 (г = ßVs2 +1). Первые 12 кривых Rer„(ß) в диапазоне (О < ß ^ 4, 0 й Rer < 6) и прямые Rl, R2 показаны для случая II на рис. 2 при v=0.3. Для случая III эти кривые имеют аналогичный вид. Этот рисунок показывает, что и в случаях II и III существуют дисперсионные кривые, аналогичные кривым мод первой и второй серий в случае шарнирного опирания, но эти кривые пересекаются с прямыми R1 и R2 на разных частотах. Поэтому будем ориентироваться по прямой R1, соответствующей главной (медленно затухающей) составляющей формы изгибной волны "рэлеевского" типа, и ослабим условие (14). Будем считать, что вторая составляющая изгибной волны "рэлеевского" типа образована группой мод, дисперсионные кривые которых расположены вблизи прямой R2. Заменяя эти моды второй составляющей формы изгибной волны "рэлеевского" типа, получим:

(15)

Покажем, что функция (15) удовлетворяет граничным условиям всюду, за исключением малых окрестностей угловых точек, если Р является корнем уравнения (13). Поскольку параметр Э близок к единице, имеем

cosa2„>' = ch(ß/2-92^), А„

«1.

(16)

Сумма первых двух слагаемых в (15) удовлетворяет граничным условиям (7), поскольку представляет собой форму изгибной волны "рэлеевского" типа. Третье слагаемое вносит погрешность в эти условия, но в силу (16) эта погрешность быстро затухает при удалении от угловых точек. С другой стороны, сумма первого и третьего слагаемых образует

>12 10 г "М2

х9,10 \ / Ь

~С 8.9^

8

___, 2,9 ^ч 2 9

^3,4 т<Г 2 2 5 \,5 X \

Л N \ 1 Я1 \ /

О 0.75 1.75 2.75 3.75 р

Рис. 2. Действительные части дисперсионных кривых для случая свободных боковых сторон

п-ю моду, следовательно, удовлетворяет граничным условиям на боковых сторонах. Погрешность, вносимая в эти граничные условия вторым слагаемым, быстро затухает при X —> ж>, так как г^ » гД Таким образом, функцию (16) можно считать приближенной формой, а корни уравнения (13) - приближенными собственными частотами. Обозначим их (3^, где k = 1,2,... — номер собственной частоты, при этом ^тая частота соответствует точке пересечения кривой R1 с дисперсионной кривой

»21-10) (Рис.2).

Свойства моды н/2*-1' позволяют получить явные приближенные формулы для , следовательно, и для искомых собственных частот. Подставляя (13) в дисперсионные уравнения, используя (16) и тот факт, что когда , находим:

где

Можно получить и другую приближенную формулу, используя близость Р^2' к частотам запирания (см. рис. 2). Подставляя (13) в асимптотику вблизи частоты запирания и разрешая полученное уравнение относительно , получим:

уг

где

(19)

(20)

- частота запирания. Формула (17) лучше работает на низких частотах, формула (19) - на высоких.

Обсудим теперь влияние погрешностей приближенной собственной формы (15). Если в этой форме заменить второе слагаемое группой мод, дисперсионные кривые которых расположены вблизи прямой R2 (например, для четвертого резонанса в случае II это моды 10 и 13), то граничные условия на боковых сторонах будут удовлетворены, но появятся дополнительные погрешности в граничных условиях на торце. Чтобы устранить эти погрешности, а также погрешность от третьего слагаемого функции (15), следует ввести в рассмотрение остальные моды. Таким образом, в образовании собственной формы участвуют все моды, в том числе и распространяющиеся. Последние уносят часть энергии на бесконечность, что приводит к появлению мнимой части собственной частоты. Эта мнимая часть мала, поскольку в основном собственная форма формируется модой и модами, дисперсионные кривые которых

расположены вблизи кривой R2.

Теперь рассмотрим неоднородную задачу (2), (6), (4) или (5). Ясно, что собственные частоты однородной задачи соответствуют частотам краевых резонансов. Анализ, проведенный выше, показывает, что эти резонансы являются резонансами изгибной волны "рэлеевского" типа. Кроме того, нами получены приближенные формулы для резонансных частот, а также указан способ нахождения мод, вносящих основной вклад в формирование резонанса. Также мы выяснили, что в рассматриваемых

случаях закрепления боковых сторон краевой резонанс демпфируется распространяющимися модами, следовательно, амплитуда резонанса имеет конечное значение. Далее предложен метод, позволяющий оценить амплитуду и ширину резонанса. Для получения алгебраической системы уравнений для констант Ст в представлении (11) используется метод, предложенный И.П. Гетманом и Ю.А. Устиновым. В данном случае система, к которой приводит этот метод, эквивалентна системе, полученной следующим образом: исходя из представления (11) вычисляются усилия и моменты, входящие в граничные условия на торце (6), (8), и записывается условие равенства работы этих усилий и моментов на перемещениях и углах поворота каждой из мод работе заданной нагрузки. В результате получается система

icjmn=Bn, n = w0, В„= )(м8ё„+^8й;„)^( (21)

где 1 = 0 в случае II и i = l в случае III. Для построения амплитудно-частотной характеристики выбирается величина ш(0,0). После некоторых преобразований эта величина представляется в виде

G(ß)

w( 0,0) = -

(22)

7o(ß) + fco(ß)'

где /0(ß) - правая часть дисперсионного уравнения изгибной волны "рэлеевского" типа, G(ß), ho(ß) " функции, в которые входят величины }тп. Приближенная резонансная частота ßjj.2' является нулем функции /0(ß), следовательно, функция /lß(ß) , характеризующая влияние условий на боковых сторонах, мала. Разлагая /o(ß) в о кр е ст н о приходим к стандартному локальному представлению:

и /¿(Р) - производная по (3 , которая может быть вычислена аналитически. Параметр п0 выбирается при анализе сходимости для величин (24).

В п. 1.5 и 1.6 приближенные значения характеристик краевых резонансов, вычисленные по полученным выше формулам, сопоставляются с результатами численного решения, которое не содержит

предположения о связи краевого резонанса с изгибной волной "рэлеевского" типа. В этих параграфах для получения численного решения также применяется метод однородных решений, но для определения постоянных Ст используется метод коллокаций. Приводятся примеры, иллюстрирующие сходимость метода как в случае II, так и в случае III, а также высокую точность (погрешность менее 1%) удовлетворения граничным условиям при применении этого метода, за исключением малых окрестностей угловых точек. Далее приводятся результаты исследования явления изгибного краевого резонанса. Для исследования к-того резонанса следует приложить нагрузку, соответствующую изменяемости моды, играющей основную роль в образовании резонанса, например:

Ме = соэСк - 0.5)у, ^=0 (25)

Строится амплитудно-частотная характеристика для величины И»(0,0). Полученные выше приближенные формулы указывают области, где можно ожидать появления резонанса. Численные расчеты показали, что в этих областях действительно существуют резонансные явления, качественно согласующиеся с приближениями, полученными в п. 1.4. На рис. 3, а,б представлены резонансные кривые для 1/Упит =|и;(0,0)| в случае

первого и четвертого резонансов и их локальной аппроксимации (23).

0.744 0.749 0.754 0 759 0.764 3.7438 3.7458 3.7478 3.7498

Рис. 3. Результаты исследования явления краевого резонанса в случае свободных боковых сторон (V = 0.3)

На рис. 4, а,б представлены те же величины, что и на рис. 3, а,б, но для случая жестко закрепленных боковых сторон. Демпфирование первого резонанса в данном случае отсутствует, поскольку его частота меньше первой частоты запирания.

В п. 1.7 рассматривается случай антисимметричных изгибных колебаний полуполосы. Результаты, полученные в этом параграфе, полностью аналогичны результатам предыдущих параграфов и

дополнительно подтверждают справедливость предположения о связи явления краевого резонанса с изгибной волной "рэлеевского" типа при любых граничных условиях на боковых сторонах, а также применимость полученных в п.1.4 приближенных формул и оценок амплитуды и ширины резонанса.

W 3-Ю4

2-104 МО4

о -0.

Рис. 4. Результаты исследования явления краевого резонанса в случае жестко закрепленных боковых сторон (V = 0.3,dß = (ß — ߣum j- 1(И)

В п.1.8 изучается явление краевого резонанса в ограниченных телах. Рассматриваются изгибные колебания длинной прямоугольной пластины в окрестности частоты краевого резонанса. Численное решение задачи, также основанное на методе однородных решений, показало, что в окрестности частоты краевого резонанса кривые, отражающие зависимость резонансной частоты прямоугольника от его длины (спектральные линии), имеют характерное "плато". Если на частоте краевого резонанса существуют также распространяющиеся моды, то плато имеет разрывы. Кроме того, оно обладает некоторой степенью искажения по сравнению с кривой, которая получилась бы без учета распространяющихся мод. Для первого демпфированного резонанса получена асимптотика спектральной линии в окрестности частоты краевого резонанса, которая показывает, что степень искажения плато определяется шириной краевого резонанса в случае полубесконечной полосы. Таким образом, оценка этой величины, полученная в п.1.4, может быть использована и в задаче для ограниченного тела.

Развитый в главе I метод исследования явления краевого резонанса и получения явных приближенных формул для его частот, а также оценок амплитуды и ширины резонанса, применяется и в главах II и III, поэтому отметим только дополнения к этому методу, связанные с иными свойствами мод в этих случаях, а также основные результаты.

Во второй главе рассматривается явление краевого резонанса в полуполосе на основе динамических уравнений плоской задачи теории

упругости. В п.2.1 приводится постановка задачи. Безразмерные переменные вводятся здесь следующим образом:

(26)

где U,v — компоненты вектора перемещения, ax,Uy,aZy - компоненты

тензора напряжений, с2 - скорость волны сдвига, остальные обозначения те же, что и в формуле (1). Все характеристики НДС выражаются через упругие потенциалы Ламе ф, , для которых записываются уравнения Гельмгольца

Дф + к2ю2ф = 0, Ду + coV = 0, (27)

где - оператор Лапласа,

Записанные уравнения описывают также колебания полуполосы в условиях обобщенного плоского напряженного состояния, если положить

На боковых сторонах ставится один из следующих вариантов

граничных условий:

I. Скользящая заделка: стху=г, = 0» (28)

II. Свободный край: Оу=аХу = 0; (30)

III. Жестко защемленный край: ti = V = 0. (31)

При х = 0 ставятся граничные условия

где Tg(у),Sg(y) — заданные функции переменной у. Резонансные частоты рассматриваемой задачи соответствуют собственным частотам однородной задачи с граничными условиями

ох = 0, 0^=0 (33)

при х = 0. На бесконечности ставится условие отсутствия источников энергии.

Так же, как и в главе I, рассматриваются частные решения уравнений (27), которые позволяют удовлетворить либо граничным условиям (33), либо граничным условиям на боковых сторонах. В первом случае

получается классическое дисперсионное уравнение волны Рэлея, во втором - классическое дисперсионное уравнение Рэлея-Лэмба.

В п.2.2 рассматривается случай граничных условий, допускающих разделение переменных, т.е. случай граничных условий (28) или (29). Показано, что в этом случае форма краевого резонанса точно совпадает с формой волны Рэлея. Также показано, что резонансные частоты могут быть найдены графически, аналогично тому, как это было сделано в главе I. Однако в рассматриваемой задаче главную роль играет прямая Ы2, соответствующая потенциалу у. Именно эта составляющая формы волны Рэлея является сравнительно медленно затухающей, следовательно, главной.

В п.2.3 качественно анализируются случаи II и III. Для случая II поведение действительных частей дисперсионных кривых при V = 0.25 показано на рис. 5, где участки кривых, имеющие два номера, соответствуют комплексно-сопряженным модам.

9,10 | пГп^ч ! п-10 Л пй

----с .7,8 / л

Ч 8,9

-- / ^ /\6 _Х 6,7 х Х>к К2 \ 7.— \ 18 9д

,1 ^Ч \ ¡з \ V5 | ; У 1 ' 1

0 1 2 3 4 5

Рис. 5. Дисперсионные кривые в случае свободных боковых сторон (V = 0.25)

Показано, что резонансные частоты следует искать в окрестности точек пересечения кривой Я2 с действительными частями дисперсионных кривых мод с нечетными номерами. Для таких частот получена явная приближенная формула

(III)

где Rer^.j - действительная часть числа, к которому стремится корень дисперсионного уравнения (ш) при СО —> 0 . Также получены оценки для амплитуды и ширины резонанса по аналогии с тем, как это было сделано в главе I.

Численные расчеты для случая II (п.2.4) показали, что в окрестностях частот (34) действительно существуют резонансные явления, характеризующиеся увеличением амплитуды и изменением фазы колебаний на противоположную. На рис. 6, а представлены величины

в зависимости от частоты, вычисленные при Tg=cosfcy. Эти графики показывают, что в рассматриваемой задаче

Рис. 6. Высшие краевые резонансы в случае свободных боковых сторон и сравнение формы пятого резонанса с формой волны Рэлея

существует не один краевой резонанс, а бесконечный комплекснозначный спектр краевых резонансов. Ранее этот факт не отмечался

На рис. 6, б,в форма пятого резонанса сопоставляется с формой волны Рэлея. Здесь ипшп, г;1"™ - компоненты вектора перемещений, найденные численно, ЫК, - перемещения в форме волны Рэлея. Эти рисунки подтверждают связь высших краевых резонансов с волной Рэлея. Осцилляция, которая накладывается на форму волны Рэлея, вызвана распространяющимися модами. Формы других резонансов при к = 2,5 имеют аналогичный вид. Сравнение характеристик найденных резонансов с полученными выше приближениями показало, что эти приближения качественно верно описывают высшие краевые резонансы.

Вычисления в случае жестко закрепленных боковых сторон (п.2.5) показали, что и в этой задаче существует спектр краевых резонансов. Демпфирование этих резонансов распространяющимися модами на порядок меньше.

В диссертации приводятся и другие численные результаты, характеризующие свойства краевых резонансов.

В п.2.6 рассматривается случай антисимметричных колебаний, для которого получены аналогичные результаты.

В третьей главе исследуется явление краевого резонанса в полубесконечном цилиндре со свободной боковой поверхностью. Аналогично предыдущему показано, что и в данной задаче существует бесконечный спектр краевых резонансов как при осесимметричных, так и при неосесимметричных колебаниях цилиндра. Свойства высших краевых резонансов в цилиндре аналогичны свойствам высших краевых резонансов в полуполосе со свободными боковыми сторонами, изученными в главе II. В частности, форма высших краевых резонансов близка к форме трехмерной поверхностной волны в цилиндрических координатах, что показывает связь явления краевого резонанса с поверхностной волной и в данном случае.

В четвертой главе изучаются кромочные волны в полубесконечной плите, на лицевых поверхностях и на кромке которой ставятся условия свободного края. Для описания колебаний плиты формулируется трехмерная задача, которая после отделения одной координаты сводится к двумерной задаче, аналогичной рассмотренной в главе П. Рассматривается первая волна при симметричных и антисимметричных колебаниях плиты. Показано, что если длина волны значительно превосходит толщину плиты, кромочные волны с достаточной точностью описываются двумерными теориями пластин. При этом симметричному случаю соответствует планарная волна "рэлеевского" типа, антисимметричному - изгибная волна "рэлеевского" типа. С уменьшением длины волны фазовая скорость кромочных волн стремится к фазовой скорости угловой волны. На рис. 7 приведен график изменения фазовой скорости антисимметричной

кромочной волны в зависимости от волнового числа. Здесь жирная линия соответствует фазовой скорости, найденной из решения трехмерной задачи, тонкая линия - фазовой скорости изгибной волны "рэлеевского" типа.

Рис. 7. Сопоставление фазовой скорости кромочной волны с фазовой скоростью изгибной волны "рэлеевского" типа

В пятой главе развитые в главах I и II методы обобщаются на случай оболочки. В п.5.1-5.4 изучается явление краевого резонанса в полубесконечной круговой незамкнутой цилиндрической оболочке. С использованием асимптотических методов теории оболочек показано, что существует три типа рассматриваемых резонансов: изгибный краевой резонанс, тангенциальный краевой резонанс и сверхнизкочастотный краевой резонанс. Первые два являются аналогами резонансов, изученных в главах I и II соответственно. Третий тип резонансов характерен только для оболочек.

В п.5.1 приводится постановка задачи. Вводятся координаты ,

такие, что первая квадратичная форма срединной поверхности имеет вид

- координата по образующей, - окружная координата, Я - радиус оболочки. Считается, что оболочка ограничена двумя меридианами 0 = ±90. Записываются уравнения теории Кирхгофа-Лява, граничные условия на прямолинейных краях оболочки, аналогичные рассмотренным в главах I и II, и условия на торце, моделирующие гармоническое воздействие. Для изучения явления краевого резонанса применяется та же схема, что и в главах I и II. Предполагается, что возникновение краевого резонанса связано с поверхностными волнами, распространяющимися вдоль торца оболочки. Эти волны, являющиеся аналогами волны Рэлея, исследуются в случае цилиндрической оболочки. Этому посвящены параграфы 5.2-5.3.

В п.5.2 записывается точное дисперсионное уравнение для поверхностных волн в оболочке. Отмечается, что это уравнение не

позволяет сделать выводы о наличии и значениях его корней без проведения вычислительного эксперимента. Поэтому целесообразно получить приближенное решение задачи. Для этого применяются асимптотические методы, развитые в применении к теории оболочек в работах А.Л. Гольденвейзера, Ю.Д. Каплунова, Л.Ю. Коссовича, П.Е. Товстика и других авторов. В соответствии с методом параметры задачи (волновое число у и частота 0)) представляются как степени малого параметра T] = h/R:

Параметры qua совпадают по смыслу с показателем изменяемости в направлении 9 и показателем динамичности соответственно. В области действия теории Кирхгофа-Лява они удовлетворяют неравенствам

0<ij< 1, я<1,

которые ограничивают длину рисунка деформации и характерный временной масштаб изучаемых процессов. Известно, что если величины q и а удовлетворяют соотношениям a = 2q — \, \j2<q<\ или то колебания оболочки приближенно описываются уравнениями соответственно изгибных или планарных колебаний пластины в метрике срединной поверхности оболочки. Естественно принять эти соотношения при поиске поверхностных волн в оболочке, аналогичных изгибным и планарным поверхностным волнам в пластинах. Также сделано предположение, которое подтверждается дальнейшим исследованием, что при Q<q<\!2 имеет место еще один тип поверхностных волн в оболочке - сверхнизкочастотная волна. Таким образом, выделено три типа волн:

1. изгибная волна (я = 2q — 1, 1/2 < q < l),

2. тангенциальная волна (a=-cj, ijr > 0),

3. сверхнизкочастотная волна {a = 2q— 0<д<1/2).

В п.5.3 для каждого из этих трех типов волн строится процесс асимптотического упрощения уравнений теории Кирхгофа-Лява, приводящий в первом приближении в случае изгибной волны к уравнению теории Кирхгофа изгиба пластин, в случае тангенциальной волны - к уравнениям динамической плоской задачи теории упругости и в случае сверхнизкочастотных колебаний - к уравнению полубезмоментной теории. Как результат получены приближенные дисперсионные соотношения для каждого из типов поверхностных волн, а также оценка малой мнимой части частоты тангенциальной поверхностной волны. Появление этой мнимой части вызвано изгибной распространяющейся волной, уносящей часть энергии на бесконечность.

Для изгибной и тангенциальной поверхностных волн в первом приближении получились те же дисперсионные уравнения, что и для соответствующих волн в пластинах. Приближенное дисперсионное уравнение для сверхнизкочастотной поверхностной волны имеет вид

л/У +1

Форма сверхнизкочастотной поверхностной волны при У = h = 0.001, Я = 1, v = 0.3 приведена на рис. 8.

ил,и>

05

00

-0 5

-1 0

- XV

и 250

---V

---^_____—-—

1 1 | '

0 10 20 30 40 50

Рис 8 Форма сверхнизкочастотной поверхностной волны

В п.5.4 исследуются резонансы поверхностных волн, изученных в п.5.3, или, другими словами, явление краевого резонанса в цилиндрической оболочке. В соответствии с типами поверхностных волн выделяется три типа краевых резонансов (в скобках указаны соотношения параметров q и а, характерные для данного типа краевого резонанса):

1. изгибный краевой резонанс (а = 2^ — 1, 1/2

2. тангенциальный краевой резонанс (я = «у, ¿¡>0),

3. сверхнизкочастотный краевой резонанс (а = 2^-1, 0<С]<1/2).

По аналогии с исследованием в главах I и II, примем, что резонансная частота близка к частоте, на которой скорость затухания главной составляющей поверхностной волны совпадает со скоростью затухания некоторой нераспространяющейся моды. Чтобы найти такие частоты, требуется исследовать моды бесконечной незамкнутой цилиндрической оболочки. Для исследования мод также применяются методы асимптотического анализа. В случаях изгибного и тангенциального резонанса в результате получено, что в первом приближении краевые резонансы оболочки описываются теми же краевыми задачами, что и в

главах I и II соответственно. Следовательно, качественная картина поведения резонансов будет такой же, как обнаружено в этих главах. Приближенные формулы для резонансных частот, полученные в главах I и II (формулы (17) и (34)), позволяют записать аналогичные приближенные формулы и для незамкнутой цилиндрической оболочки. В случае тангенциального краевого резонанса отмечается, что при свободных или жестко закрепленных боковых сторонах краевые резонансы довольно сильно демпфируются распространяющимися модами низшего порядка, как показывает исследование, приведенное в главе II. В случае оболочки к этому добавится демпфирование изгибными распространяющимися модами, но оно будет асимптотически малым. Кроме того, на частоты рассматриваемых резонансов может повлиять взаимодействие с изгибными модами более высокой изменяемости по , а именно „-0 5(1+й)

изменяемости порядка поскольку на таких модах возникает

явление изгибного краевого резонанса с частотами того же порядка, что и частоты тангенциального краевого резонанса. Однако можно предположить, что степень этого взаимодействия будет асимптотически убывать с уменьшением толщины оболочки.

Сверхнизкочастотный краевой резонанс не имеет аналогов в случае пластины. Как показало исследование сверхнизкочастотной поверхностной волны в п.5.3, форма волны в данном случае складывается из двух составляющих с различной изменяемостью по переменной ^. Главной является первая составляющая, так как вторая очень быстро затухает с ростом Таким образом, при исследовании характеристического

уравнения следует принять (такой порядок

г получен в п.5.3 при исследовании сверхнизкочастотной волны). Асимптотический анализ приводит к приближенным формулам: для шарнирно опертых краев:

(37)

для свободных краев:

(38)

В пп.5.5, 5.6 рассматривается задача о колебаниях незамкнутой продольно-неоднородной бесконечной круговой цилиндрической оболочки, составленной из двух однородных полубесконечных оболочек с различными свойствами материала. Система координат выбирается так же,

как в п.5.1, но в данном случае координата ^ изменяется в пределах (—оо < £ < оо) , параллель Е, =0 соответствует границе раздела свойств материала. Будем считать, что оболочка ограничена двумя меридианами . Величины, относящиеся к правой оболочке , будем

отмечать индексом " 1", величины, относящиеся к левой оболочке (—оо <£< 0) , - индексом "2". Вводятся обозначения:

Записывается система уравнений в перемещениях для левой и правой оболочек, граничные условия на боковых сторонах моделирующие подвижный шарнир, и граничные условия при £ = 0, соответствующие гармоническому воздействию на линии стыка. Отмечается, что резонансные частоты соответствуют собственным частотам однородной задачи с условиями полного контакта на линии стыка.

Известно, что вдоль линии раздела двух полупространств с различными упругими свойствами может распространяться поверхностная волна, форма которой экспоненциально затухает при удалении от линии раздела упругих свойств. Это волна получила название волны Стоунли. Существуют также планарная и изгибная волны типа Стоунли, являющиеся аналогами волны Стоунли в случае планарных или изгибных колебаний пластин, описываемых соответствующими двумерными теориями (теорией обобщенного напряженного состояния или теорией изгиба пластин Кирхгофа). С другой стороны, такие волны могут быть названы аналогами волны Рэлея. В п.5.3 исследованы аналоги волны Рэлея в случае круговой цилиндрической оболочки. Очевидно, что и в продольно-неоднородной круговой цилиндрической оболочке должны существовать аналоги волны Стоунли, т.е. волны, распространяющиеся вдоль линии раздела упругих свойств и экспоненциально затухающие при удалении от нее. Также интуитивно ясно, что при отражении от боковых сторон эти волны могут накапливать энергию, и на некоторых частотах возникнет явление резонанса, характеризующееся локализацией колебаний вблизи линии раздела упругих свойств. Существование таких резонансов отмечено, например, в монографии И.П. Гетмана и Ю.А. Устинова в случае продольно-неоднородной полосы, находящейся в условиях плоской деформации. Следуя этой работе, назовем это явление граничным резонансом.

Для изучения явления граничного резонанса применяется та же схема, что и в предыдущих главах. Предполагается, что возникновение граничного резонанса связано с поверхностными волнами в продольно-

неоднородной цилиндрической оболочке, распространяющимися вдоль линии раздела упругих свойств. Эти волн аналогичны поверхностным волнам в полубесконечной оболочке. В частности, можно выделить те же три типа волн. В соответствии с типами граничных волн, выделяются три типа граничных резонансов:

1. изгибный граничный резонанс (я = 2^ — 1, 1/2 < ^ < 1),

2. тангенциальный граничный резонанс (а = Ц, Ц>0),

3. сверхнизкочастотный граничный резонанс (а = 2^ — 1, 0<д<1/2).

Эти резонансы исследуются по аналогии с краевыми резонансами в полубесконечной однородной оболочке. Получены приближенные уравнения для определения резонансных частот. В случае изгибного и тангенциального граничных резонансов эти приближенные уравнения совпадают с дисперсионными уравнениями для изгибной и планарной волн типа Стоунли соответственно, в которых волновое число определяется соотношением

у = (¿-0.5)—.

Оо

(39)

В случае изгибного граничного резонанса дополнительно рассматривается случай условий скользящего контакта на линии стыка. В этом случае также существует волна типа Стоунли, причем практически при любом сочетании упругих параметров. Резонансы этой волны, очевидно, могут быть найдены так же, как и в случае полного контакта.

Сверхнизкочастотная граничная волна существует при выполнении условия

^С.уи =чтуО\

Приближенное дисперсионное уравнение этой волны имеет вид

где

,0)

(40)

(41)

Приближенные частоты сверхнизкочастотного могут быть определены подстановкой (39) в (41).

граничного резонанса

В п.5.7 изучаются явления краевого и граничного резонансов в замкнутых оболочках вращения. Для случая большой изменяемости по окружной координате рассматривается два типа резонансов - изгибный и тангенциальный, являющиеся аналогами соответствующих резонансов в круговой цилиндрической оболочке. Из-за быстрого затухания напряженно-деформированного состояния при удалении границы влияние кривизны меридиана оказывается малым, и появляется возможность обобщить на оболочки вращения результаты предыдущих параграфов.

На срединной поверхности оболочки вводится ортогональная криволинейная система координат 5,9, где 5 (—00<S<<XJ) — длина дуги меридиана, - угол в окружном направлении. Параллель

в = 0 соответствует границе раздела свойств материалов. Все величины, относящиеся к правой оболочке (0 < в < <зо), отмечаются индексом " 1", к левой оболочке (-<3O<S<0) - индексом "2". В частности, срединная поверхность оболочки описывается функциями

(к = 1,2), где - расстояние до оси в р а щ'^^иЛ^в) -

главные радиусы кривизны. Последние могут быть выражены через по известным формулам. Считается, что

определены на интервалах соответственно и

удовлетворяют условиям

Вводится безразмерная координата § = где Я — характерный радиус кривизны срединной поверхности, и после отделения переменной 0 записывается система уравнений теории Кирхгофа-Лява для оболочки вращения,

При рассмотрении краевого резонанса в однородной полубесконечной оболочке считается, что переменная £ изменяется в пределах (0 < £ < оо) . Тогда индекс к принимает только одно значение к=1. На торце или линии стыка ставятся граничные условия, моделирующие гармоническое воздействие. Отмечается, что резонансные частоты соответствуют частотам собственных колебаний оболочки с однородными граничными условиями на торце либо на линии стыка.

Сначала рассматриваются изгибные краевые и граничные резонансы. Для обобщения подходов предыдущих параграфов на уравнения с переменными коэффициентами используется метод экспоненциальных представлений. Показано, что резонансные частоты оболочки вращения можно определить в первом приближении из соответствующей задачи об изгибных колебаниях пластины.

В<"(0) = В<2>(0) = В0, ^

й8 5 = 0

авт

& 5 = 0

В отличие от цилиндрической оболочки, уравнения колебаний оболочки вращения могут обладать точкой поворота, при переходе через которую экспоненциально затухающее решение сменяется уходящей на бесконечность волной. Доля энергии, уносимая этой волной, мала. Соответствующие резонансные частоты будут комплексными с экспоненциально малой мнимой частью.

Далее рассматриваются тангенциальные краевые и граничные резонансы. С помощью метода экспоненциальных представлений результаты, полученные ранее для тангенциальных резонансов в цилиндрической оболочке, обобщаются на оболочки вращения.

Шестая глава посвящена приближенному описанию резонансов поверхностных волн в задаче акустического рассеяния для полого упругого цилиндра. Считается, что на цилиндр падает плоская волна, направление распространения которой перпендикулярно его поверхности, так что рассматриваемая задача является двумерной. Строятся асимптотические модели, позволяющие приближенно описать резонансы поверхностных волн, распространяющихся вдоль направляющей цилиндра и возбужденных акустическим воздействием. Первая модель предназначена для описания волн типа шепчущей галереи в толстостенных цилиндрах, вторая - для описания волн типа Лэмба в тонкостенных цилиндрах.

В п.6.1 приводится постановка задачи и ее точное решение. Вводятся следующие параметры, характеризующие процесс рассеяния:

где с1 и с2— скорости продольной и поперечной волн в упругом теле, р1 — плотность упругого тела, сир- скорость звука и плотность акустической среды, а и Ь - внешний и внутренний радиусы цилиндра соответственно, Ю - круговая частота, к — полутолщина цилиндра. Считается, что колебания развиваются во времени по закону Давление в

падающей волне представляется в виде

Р, = РоЁеп(-Оп/„(*Г)СО8И0, (43)

где Е0 = 1, £„ =2 (п>1), /„ — функция Бесселя,— постоянная, имеющая размерность давления.

Рассеянное давление ищется в виде

= Ро |]Е„(-0"ВХ1)(*г)со5яе, (44)

где Вп — неизвестные постоянные, Н^" — функция Ханкеля первого рода. Постоянные Вп определяются при удовлетворении граничным условиям на поверхностях цилиндра. На внешней поверхности ставятся условия, моделирующие взаимодействие упругого тела и идеальной жидкости, на внутренней поверхности ставятся условия свободного края. Описание колебаний цилиндра сводится к решению уравнений для упругих потенциалов Ламе ф и Точное решение задачи записывается с использованием стандартной техники разделения переменных.

В следующих параграфах разрабатываются коротковолновые асимптотические модели, позволяющие приближенно описать резонансы периферических волн. Преимуществом такого подхода перед непосредственным анализом точного решения является то, что асимптотические модели могут быть обобщены для случая тела более сложной геометрии, например, некругового цилиндра. Рассмотрение поставленной выше задачи, имеющей точное решение, позволяет протестировать предложенные модели.

Асимптотическая модель, рассмотренная в п.6.2, названа моделью типа шепчущей галереи. В этой модели предполагается, что h~a, т.е. цилиндр является толстостенным. В таком цилиндре периферические волны обладают той или иной степенью локализации вблизи внешней поверхности. В этом случае влияние граничных условий при г = Ь мало, и при построении приближенной модели их можно не учитывать.

При построении данной модели считается, что параметры задачи удовлетворяют соотношениям

(45)

Анализ уравнений для потенциалов Ламе ф и \|/ показывает, что при X < п$2 возможен резонанс только одной периферической волны - волны типа Рэлея, распространяющейся вдоль криволинейной поверхности цилиндра. При Х>п$2> когда затухающий характер функции сменяется осцилляцией, появляются резонансы волн типа шепчущей галереи. Эти волны возникают в цилиндре вследствие его конечной кривизны и являются аналогом акустических волн шепчущей галереи. При пр2 <Х <яР] резонансы волн типа шепчущей галереи представляют собой ряд пиков приблизительно одинаковой ширины. При функция

также начинает осциллировать. В этой области частот наблюдаются резонансные пики различной ширины, причем некоторые из них являются весьма узкими. Таким образом, можно выделить две группы резонансов волн типа шепчущей галереи. Резонансы первой группы лежат в области иР2 < X < И01, резонансы второй группы - в области х > ПР1. Заметим, что с уменьшением п число резонансов первой группы уменьшается, и при

малых п все резонансы волн типа шепчущей галереи являются резонансами второй группы.

Далее выводятся приближенные уравнения, описывающее резонансы волн типа шепчущей галереи. Уравнения для потенциалов Ламе ф и упрощаются с использованием известных асимптотических (при свойств волн шепчущей галереи, которые имеют изменяемость по нормальной координате порядка х2/3 и сосредоточены вблизи поверхности в слое толщины о(:В случае волн типа шепчущей галереи в упругом теле таким свойством обладают потенциал при

Формула (46) соответствует резонансам первой группы, формула (47) - второй. Для каждой из выделенных групп резонансов выводятся приближенные уравнения и записывается решение - неизвестные постоянные Вп. Далее для каждой из групп резонансов выводится стандартное локальное представление, позволяющее в окрестности резонансных частот описать амплитудно-частотные характеристики традиционно рассматриваемого в задачах акустики резонансного компонента парциальных мод при рассеянии назад . Это представление позволяет осуществить качественный анализ резонансов волн типа шепчущей галереи.

В п.6.3 рассматривается модель типа плоского слоя. В данной модели предполагается, что , т.е. цилиндр является тонкостенным.

Периферические волны в данном случае являются аналогами волн Лэмба в плоском слое. Для приближенного описания резонансов этих волн строится асимптотическая модель, являющаяся развитием модели плоского слоя - в ней рассматривается вынужденная задача и учитывается, что слой контактирует с жидкостью. Предполагается, что колебания тонкостенного цилиндра являются коротковолновыми. Это предположение позволяет оставить в уравнениях теории упругости только старшие производные и "заморозить" радиальную координату г на срединной поверхности. Аналогичные упрощения следует сделать и в формулах для перемещений и напряжений. Полученные в результате этих упрощений уравнения совпадают с уравнениями плоской задачи теории упругости в декартовой системе координат.

Проведенные сравнения полученных результатов с точным решением показали высокую эффективность предложенных асимптотических методов.

(46)

и потенциал при

(47)

Вывод:

Проведенное исследование задач о краевых и интерфейсных колебаниях упругих тел приводит к выводу о существовании бесконечного комплекснозначного резонансного спектра и его непосредственной связи с волнами Рэлея и Стоунли и их различивши модификациями. Это подтверждается полученными асимптотическими оценками, их физической интерпретацией и сопоставлениями с численными результатами.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Вильде М.В. О связи собственных колебаний полубесконечной полосы со стоячими поверхностными волнами // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. Вып. 13. С. 8-11.

2. Вильде М.В. Собственные колебания полубесконечной цилиндрической оболочки, локализованные вблизи торца // Тез. докл. Междунар. молодежной науч. конф. "XXV Гагаринские чтения", Москва, 6-10 апреля 1999 г. М., 1999. Т.1. С. 206-207.

3. Kaplunov J.D., Kossovich L.Yu., Wilde M.V. Free localized vibrations of a semiinfinite cylindrical shell // J. Acoust. Soc. Amer. 2000. Vol. 107, № 3. P. 1383-1393.

4. Kaplunov J.D., Wilde M.V. Edge and interfacial vibrations in elastic shells of revolution //J. Appl. Math. Phys. (ZAMP). 2000. Vol. 51. P. 29-48.

5. Kaplunov J.D., Wilde M.V. Free localized vibrations of a semi-infinite shell of revolution // Day on diffraction 2000. International seminar. St. Petersburg, May 29 -June 1,2000. Abstracts. St. Petersburg, 2000. P.32.

6. Kaplunov J.D., Wilde M.V. Free edge bending vibrations of a semi-strip with a traction free contour // 5-th International conference on vibration problems "ICOVP-2001", Moscow, 8-10 October, 2001. Proceedings. Moscow: IMASH, 2002. P. 254257.

7. Wilde M.V. Free interfacial vibrations of a shell of revolution in super low-frequency domain // Day on diffraction 2001. International seminar. St. Petersburg, May 29-31, 2001. Abstracts. St. Petersburg, 2001. P.58.

8. Вильде М.В., Каплунов Ю.Д. Краевой резонанс в оболочках вращения // VIII Всерос. съезд по теоретической и прикладной механике: Аннотации докладов, Пермь, 23-29 августа 2001 г. Пермь, 2001. С. 153.

9. Вильде М.В., Каплунов Ю.Д., Ковалев В.А. Приближенное описание резонансов волн типа шепчущей галереи в задаче рассеяния акустических волн упругими цилиндрами и сферами // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 4. С. 176-190.

10. Wilde M.V. Rayleigh-type waves in cylindrical shells // EUROMECH Colloquium 439 "Mathematical Modeling of Dynamic Behavior of Thin Elastic Structures", Saratov, July 24-27,2002. Abstracts. Saratov: Nadezhda, 2002. P. 35.

11. Wilde M.V. Free interfacial vibrations of a longitudinally ingomogeneous elastic shell // Advanced research workshop "Surface waves in anisotropic and laminated bodies and defects detection", Moscow, 7-9 February, 2002. Abstracts. Moscow, 2002. P. 17.

12. Kaplunov J.D., Wilde M.V. Free interfacial vibrations in cylindrical shells // J. Acoust. Soc. Amer. 2002. Vol. Ill (6), June. P. 2692-2704.

13. Вильде М.В., Каплунов Ю.Д., Ковалев В.А. Развитие приближения типа плоского слоя в задаче рассеяния акустических волн цилиндрической оболочкой // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 3. С. 180-186.

14. Kaplunov J.D., Kovalev V.A., Wilde M.V. Asymptotic analysis of higher order peripheral modes in acoustic wave scattering by elastic cylinders and spheres //

IUTAM symposium "Asymptotics, Singularities and Homogenisation in Problems of Mechanics". Liverpool, UK, 8-11 July, 2002. Abstracts. Liverpool, 2002. P.54-55.

15. Каплунов Ю.Д., Вильде М.В. Резонансы волн "рэлеевского" типа в упругой полубесконечной полосе //Акуст. журн. 2003. Т.49, вып. 1. С. 38-42.

16. Kaplunov J D., Kovalev V.A., Wilde M.V. Matching of asymptotic models in scattering of a plane acoustic wave by an elastic cylindrical shell // J. of Sound and Vibration. 2003. Vol. 264 (3), July. P. 639-655.

17. Применение метода однородных решений к задаче об изгибных колебаниях пластины // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред. Саратов: Изд-во Сарат. гос. техн. ун-та, 2003. С. 123127.

18. Kaplunov J D., Kovalev V.A., Wilde M.V. Asymptotic Analysis of Higher Order Peripheral Modes in Acoustic Wave Scattering by an Elastic Cylinder or Sphere // Proc. IUTAM Symposium on Asymptotics, Singularities and Homogenisation in Problems of Mechanics / Ed. A.B.Movchan. Kluver, 2003. P.5-14.

19. Вильде М В. Низкочастотные изгибные колебания полубесконечной пластины-полосы со свободным от закрепления контуром // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып.15. С. 17-25.

20. Гуляева И.М., Вильде М.В. Изгибные волны типа Стоунли при шарнирном соединении и скользящем контакте полубесконечных пластин // Механика деформируемых сред. Саратов. Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып.15. С. 26-31.

21. Вильде M.B. Изгибный краевой резонанс в тонкой упругой пластинке // Вестн. ННГУ. Сер. Механика. 2004. Вып. 1(6). С. 43-56.

22. Вильде М.В. Резонансы волны Рэлея в полуполосе // Проблемы прочности и пластичности. Н Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 2004. Вып.66. С. 2938.

23. Вильде М.В. Асимптотики изгибных мод бесконечной тонкой пластины-полосы //Изв. Северо-Кавказского региона, Приложение №11.2004. С. 36-51.

24. Вильде М.В., Залесная С.А Резонансы планарной волны типа Стоунли в продольно-неоднородной полосе // Математика. Механика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. С. 176-278.

25. Вильде М.В., Гуляева И.М. Изгибный граничный резонанс в системе из двух состыкованных торцами полуполос // Математика. Механика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. С. 174-176.

ВильдеМария Владимировна

РЕЗОНАНСЫ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В УПРУГИХ ТЕЛАХ

Автореферат

Подписано к печати 18.11.2004 г. Тираж 100 экз. Объем 2Д5 п.л. Заказ 2/3

Отпечатано в типографии Издательства Саратовского государственного университета. 410012, Саратов, Астраханская, 83.

Р 2 5 9 О О

m

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Изгибный краевой резонанс в тонкой упругой пластине.

1.1. Постановка задачи. Изгибная волна "рэлеевского" типа.

1.2. Случай шарнирно опертых краев: аналитическое решение.

1.3. Изгибные моды бесконечной тонкой пластины-полосы.

1.4. Случаи свободных и жестко закрепленных боковых сторон: приближенное решение.

1.5. Случай свободных боковых сторон: численное решение и результаты . 54 ^ 1.6. Случай жестко закрепленных боковых сторон: численное решение и результаты.

1.7. Краевой резонанс при антисимметричных изгибных колебаниях пластины.

1.8. Колебания прямоугольной пластины.

ГЛАВА И. Резонансы волны Рэлея в полуполосе.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Случай перекрестных граничных условий на боковых сторонах: аналитическое решение.

2.3. Случаи свободных и жестко защемленных сторон: приближенное решение.

2.4. Случай свободных боковых сторон: численное решение и результаты.

2.5. Случай жестко защемленных боковых сторон: численное решение и результаты.

2.6. Антисимметричные краевые резонансы.

ГЛАВА III. Явление краевого резонанса в полубесконечном упругом цилиндре.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Трехмерная поверхностная волна и моды кругового цилиндра.

3.3. Приближенные формулы для частот краевых резонансов.

3.4. Численное решение и результаты.

ГЛАВА IV. Кромочные волны в полубесконечной плите.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Антисимметричная кромочная волна.

4.3. Симметричная кромочная волна.

ГЛАВА V. Резонансы поверхностных волн в оболочках.

5.1. Постановка задачи о колебаниях полубесконечной круговой цилиндрической оболочки.

5.2. Поверхностные волны, распространяющиеся вдоль торца полубесконечной цилиндрической оболочки.

5.3. Асимптотический анализ и получение приближенных дисперсионных соотношений для трех типов поверхностных волн в оболочке.

5.4. Асимптотический анализ резонансов поверхностных волн в круговой цилиндрической оболочке.

5.5. Постановка задачи о колебаниях продольно-неоднородной бесконечной круговой цилиндрической оболочки.

5.6. Асимптотический анализ волн типа Стоунли в круговой цилиндрической оболочке и получение приближенных уравнений для частот граничных резонансов.

5.7. Явления краевого и граничного резонансов в оболочках вращения.

ГЛАВА VI. Приближенное описание резонансов поверхностных волн в задаче акустического рассеяния для полого упругого цилиндра.

6.1. Постановка задачи о рассеянии плоской акустической волны полым упругим цилиндром и ее точное решение.

6.2. Модель типа шепчущей галереи.

6.3. Модель типа плоского слоя.

Актуальность изучения колебательных процессов в оболочечных и пластинчатых конструкциях, в том числе толстостенных, связана с их широким применением в авиастроении, судостроении, приборостроении, строительстве. Необходимость в высокой надежности работы машин и механизмов и, в то же время, в снижении материалоемкости производства предъявляет высокие требования к методам расчета и оптимизации динамических параметров конструкций, прежде всего таких важных характеристик, как резонансные частоты.

В связи с интенсивным развитием вычислительной техники в настоящее время появилась возможность рассчитать и оптимизировать динамические параметры элементов конструкций в достаточно широком частотном диапазоне. В таких расчетах возникает проблема интерпретации полученных результатов, поскольку колебания упругого тела на высоких частотах имеют весьма сложный характер. Вследствие этого большое значение приобретает разработка методов, позволяющих проанализировать рассматриваемую задачу с качественной стороны. Основой таких методов служит понимание причины возникновения явления резонанса. Если тело можно рассматривать как отрезок некоторого волновода, то для интерпретации резонансных явлений в нем, как правило, используется понятие нормальных волн, называемых также модами. В этом случае явление резонанса связывается с накоплением энергии распространяющихся мод. В большинстве случаев такого понимания резонанса достаточно для получения представления о характере динамического поведения рассматриваемого объекта. Однако этот подход оказался неприменим к явлению краевого резонанса, впервые обнаруженному в 1956 г. Е. Shaw [158] при экспериментальных исследованиях колебаний круглого диска. Появление термина "краевой резонанс" было обусловлено локализацией области интенсивных движений около края диска. Также в работе [158] было установлено, что в окрестности частоты краевого резонанса в спектре диска существуют почти горизонтальные участки - плато. С ними связано необычное явление в распределенных колебательных системах - при существенном изменении одного из размеров тела одна из его собственных частот практически не меняется, причем это имеет место в области частот ниже частоты толщинного резонанса. Аналогичные экспериментальные работы проведены для конечных цилиндров [129,148,152,166] и прямоугольных пластин [66], при этом также обнаружено явление краевого резонанса. Результаты этих работ согласуются с результатами численного решения задач о вынужденных колебаниях прямоугольника [49,67,68,71] и конечного цилиндра [49,69,136,150], в которых были найдены резонансные частоты с локализованными около края формами и плато в спектре частот.

Слабая зависимость частот краевого резонанса от размеров тела вызвала интерес к изучению этого явления в полуполосе и полубесконечном цилиндре. Краевые резонансы в полуполосе изучались в работах П. Торвика и других авторов [126,133,135,160,161], В.Т. Гринченко и В.В. Мелешко с соавторами [64,65,68,70], Jle Хань Чау [90]. Явлению краевого резонанса в полубесконечном цилиндре посвящены работы В.Т. Гринченко и В.В. Мелешко [72,94]. Также этот резонанс был обнаружен в работах [149,166]. В большинстве работ, касающихся краевого резонанса в полубесконечных телах отмечается, что амплитуда колебаний на резонансной частоте остается конечной. Это является следствием радиационного демпфирования краевого резонанса распространяющейся модой. Исключение составляет случай равного нулю значения коэффициента Пуассона, рассмотренный в работе В.Т. Гринченко и В.В. Мелешко [70]. В этом случае, как показано в работе

70], распространяющаяся мода не связана с нераспространяющимися, и демпфирование краевого резонанса отсутствует. В работе [156] представлено математическое доказательство существования действительного собственного значения.

В большинстве упомянутых работ для получения численного решения используется метод разложения по модам, называемый также методом однородных решений. При решении задач для полубесконечной полосы этот метод является наиболее удобным, поскольку позволяет автоматически удовлетворить граничным условиям на полубесконечных боковых сторонах.

Начало исследования мод положено работами Рэлея [154] и Лэмба [146], а также работами Похгаммера [153] и Кри [130], в которых изучались моды плоского слоя и кругового цилиндра, соответственно. Подробный численный анализ уравнений Похгаммера-Кри и Рэлея-Лэмба был осуществлен только в середине двадцатого столетия. Обзор исследований этих уравнений для случая однородного изотропного материала имеется в монографии [71]. Было обнаружено, что эти уравнения на любой частоте имеют конечное число чисто действительных или чисто мнимых корней, и бесконечное множество комплексных корней. Представляя решение в виде линейной комбинации мод и определяя неизвестные коэффициенты таким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям на сечении волновода, можно получить решение задачи. Для построения разрешающих систем для неизвестных постоянных применяются различные методы: метод коллокаций [166], вариационные методы [161,162], соотношения обобщенной ортогональности [15]. Возможность представления точного решения задачи бесконечной суммой мод исследовалась в работах И.И. Воровича [42,43], И.П. Гетмана и Ю.А. Устинова [45,46], Ю.А.Устинова и В.И. Юдовича [123], П.Ф. Папковича [99] и других авторов [63,100 и др.]. В монографии И.П. Гетмана и Ю.А. Устинова [47] подробно изложен метод однородных решений в применении к нерегулярным твердым волноводам, предложен универсальный способ построения алгебраических систем для коэффициентов разложения по модам. Отдельного рассмотрения требуют случаи, когда дисперсионное уравнение имеет кратные корни [47,124]. Моды изгибных колебаний полосы в рамках теории Кирхгофа исследовались в работах [16,18,87].

В работах И.П. Гетмана и О.Н. Лисицкого [44] и И.П. Гетмана и Ю.А. Устинова [47] рассмотрено явление граничного резонанса при падении симметричной и антисимметричной волн Лэмба на границу раздела составной полосы. При этом отмечается, что понятие граничного резонанса может рассматриваться как естественное обобщение понятия краевого резонанса на случай двух граничащих между собой волноводов.

В настоящей работе явления краевого и граничного резонансов объясняется накоплением энергии поверхностной волны, распространяющейся вдоль торца либо линии стыка. Такое понимание природы упомянутых явлений позволило качественно показать наличие бесконечного спектра краевых или граничных резонансов в полуполосе в условиях плоской деформации, в полубесконечном цилиндре, в полуполосе в условиях изгиба.

История исследования поверхностных волн началась со статьи Рэлея [155]. В работе Стоунли [159] изучен аналог волны Рэлея для случая двух контактирующих полупространств с различными упругими свойствами. В настоящее время известно большое число поверхностных волн, аналогичных волнам Рэлея и Стоунли, и подробно изучены их свойства (см. работы [3,9,10,11,13,26,48,73-81,86,101] и обзоры [12,27].

В данной работе также рассматриваются явления краевого и граничного резонанса в тонких упругих оболочках.

Теория оболочек развита в монографиях В.З. Власова, А.Л. Гольденвейзера, А.И. Лурье, В.В. Новожилова [41,60,92,98].

Сложность трехмерных уравнений теории упругости для оболочек не позволяет получить точные аналитические решения. Поэтому при исследовании колебаний оболочек используются различные приближенные подходы, основанные на приближении как исходных уравнений, так и искомых решений. Одним из таких подходов является использование двухмерных теорий.

Существует много путей построения уравнений двухмерных теорий оболочек и пластин. Среди прочих методов, согласно классификации [1,2], выделяются асимптотические методы. Замена переменных в масштабе характерного размера срединной поверхности оболочки показывает, что математически уравнения теории упругости для тонких оболочек относятся к классу сингулярно возмущенных уравнений с малыми параметрами при старших производных по координатам срединной поверхности, где в качестве малого параметра используется параметр относительной тонкостенности. Поэтому асимптотические методы играют важную роль как при построении приближенных уравнений теории оболочек, так и при получении решения этих уравнений. Это позволяет применять богатый асимптотический аппарат с физической интерпретацией решения на всех этапах его разработки.

Асимптотические методы в теории оболочек получили всестороннее развитие в работах А. Л. Гольденвейзера [51-62,134]. Введение фундаментального понятия показателя изменяемости НДС по пространственной координате и проведение операции растяжения масштаба в уравнениях теории упругости позволило построить для статических задач основной итерационный процесс, приводящий в первом приближении к двухмерным теориям оболочек, и дополнительный, приводящий к теориям принципиально нового типа - теории плоского и антиплоского погранслоя. Итерационный процесс позволил также взглянуть на погрешность двухмерных теорий оболочек и пластин с асимптотической точки зрения, определяя форму ее зависимости от значений показателя изменяемости НДС.

В работе Ю.Д. Каплунова, И.В. Кирилловой, Л.Ю. Коссовича [83] проведено асимптотическое интегрирование трехмерных динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек. Обсуждены особенности асимптотических свойств НДС оболочки в задачах динамики. Выведены предельные двухмерные системы уравнений.

Исследования, выполненные Ю.Д. Каплуновым, Л.Ю. Коссовичем, Е.В. Нольде в области асимптотической теории тонких упругих тел, обобщены в монографии [137]. Приведен вывод асимптотически оптимальных уравнений низкочастотных, высокочастотных и длинноволновых высокочастотных приближений, позволяющих в совокупности описать динамические процессы (как стационарные, так и нестационарные) на базе точных уравнений трехмерной теории упругости. Разработаны двухмерные теории высшего порядка для пластин и оболочек. Рассмотрены задачи колебания оболочек вращения, колебания тонких тел в среде, излучения тонкими телами.

При изучении колебаний тонких оболочек на основе двухмерных теорий асимптотические методы также очень эффективны. Большое значение имеют метод расчленения НДС и метод экспоненциальных представлений [95,125]. Применение этих методов к исследованию колебаний тонких оболочек рассмотрено в работах А.Л. Гольденвейзера [52,53,55,57,58], В.В. Болотина [21,22], П.Е. Товстика [105-122], А.Л. Гольденвейзера, В.Б. Лидского, П.Е. Товстика [62]. Математическое обоснование метода расчленения НДС приведено в статье [40].

В монографии [62] разработан метод расчленения НДС в применении к решению задач о свободных колебаниях оболочек. Показано, что для широкого класса задач напряженно-деформированное состояние колеблющейся оболочки можно представить в виде наложения главного и дополнительного напряженно-деформированных состояний. Приведена классификация видов колебаний оболочки. В зависимости от характера НДС и его изменяемости выделены: квазипоперечные колебания с малой изменяемостью, квазитангенциальные колебания, колебания рэлеевского типа, квазипоперечные колебания с большой изменяемостью.

Наиболее хорошо изучены колебания круговой цилиндрической оболочки. Важную роль при этом играет исследование корней характеристического уравнения. Асимптотический анализ характеристического уравнения для свободных колебаний круговой цилиндрической оболочки рассмотрен в [62,96,97].

Значительное число работ посвящено свободным колебаниям оболочек вращения [4,93,105-122], также такие колебания подробно рассмотрены в монографии [62]. Задача о свободных колебаниях оболочки вращения сводится к задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Применение метода расчленения НДС и метода экспоненциальных представлений позволяет определить с необходимой точностью собственные частоты и собственные формы колебаний, а также плотность распределения собственных частот. Задачи о колебаниях оболочек вращения могут усложняться наличием точек поворота - точек, при переходе через которые изменяется характер поведения решения, например, экспоненциально затухающее решение сменяется осциллирующим. Для построения приближенных интегралов, описывающих переход через точку поворота, применяется хорошо разработанный метод эталонных уравнений [95,116,117,125,147].

Большое практическое значение имеет определение наинизшей собственной частоты колебаний оболочки. Для достаточно тонкой оболочки она будет находиться среди сверхнизких частот - частот, беспредельно убывающих с уменьшением толщины оболочки. Последние реализуются лишь тогда, когда колебания оболочки близки к исследованным Рэлеем [104] колебаниям без растяжений и сжатий, т.е. когда срединная поверхность оболочки испытывает деформации, близкие к тем, которые в теории поверхностей называются изгибаниями. Для определения собственных частот таких колебаний удобно использовать формулу Рэлея [104]. Сверхнизкочастотные колебания рассматривались в монографии [64] и в работах [88,91,ПЗД14Д18-120 и др.].

Важное место при изучении колебаний занимает исследование свойств решений дисперсионных уравнений. В работах В.Л. Березина, Ю.Д. Каплунова, Л.Ю. Коссовича [14,128] асимптотические приближенные теории применены к синтезу дисперсионных кривых для цилиндрической оболочки как трехмерного упругого тела. Теория Кирхгофа-Лява и теория высокочастотного длинноволнового приближения используются, соответственно, в окрестности нулевой частоты и частот толщинных резонансов. Теория высокочастотного коротковолнового приближения используется вне этих окрестностей. Доказано наличие областей перекрытия решений по приближенным теориям. Показано, в частности, что в своей области применения теория Кирхгофа-Лява достаточно хорошо аппроксимирует точные дисперсионные кривые.

Описанные выше асимптотические методы теории оболочек применяются в данной работе для вывода приближенных дисперсионных уравнений для поверхностных волн. И в этом случае представление краевого и граничного резонансов как резонансов поверхностных волн позволило приближенно описать резонансные частоты.

Также в работе развиваются методы качественного анализа резонансов поверхностных волн в задаче акустического рассеяния, актуальность которой связана с широким использованием гидроупругих систем во многих отраслях современной техники. По теме рассеяния акустических волн опубликовано довольно много работ. Ссылки на основные из них могут быть найдены в монографии [25]. В задачах акустического рассеяния рассмотрение плоской гармонической волны считается основополагающим, так как, располагая таким решением, можно достаточно просто перейти к более общим постановкам. Резонансная теория рассеяния, распространенная на задачи гидроупругости X. Юбераллом [131], Г. Гаунардом [132], Н.Д. Векслером

25] и некоторыми другими исследователями, является весьма удобным аппаратом для систематического изучения основных параметров дифракционных процессов. Основным элементом этой теории является анализ резонансов парциальных мод. При этом явные приближенные формулы, описывающие поведение резонансных кривых, могут иметь большое значение для выявления общих закономерностей процесса рассеяния.

Асимптотические методы, развитые в теории оболочек, могут быть применены и в задаче рассеяния. В работе [127] получена асимптотическая модель, уточняющая теорию Кирхгофа-Лява и описывающая взаимодействие оболочки с жидкостью. Область применимости этой модели достаточно широка, но тем не менее на высоких частотах требуется построение иной асимптотики - коротковолновой. Также область применимости модели из работы [127] уменьшается с ростом толщины оболочки. Для очень толстостенных оболочек, которые лучше назвать полыми цилиндрами, также возможно построение только коротковолновой асимптотики. Такие асимптотики рассматриваются в данной работе, поскольку основное их назначение - описать резонансы поверхностных периферических волн.

Заметим, что явления краевого и граничного резонансов относятся к широкому классу резонансных явлений, связанных с локализацией колебаний, вызванной различными причинами. Это может быть локализация около различного вида неоднородностей (трещин, включений и т.п.). Такие явления подробно рассмотрены в работах В.А. Бабешко и И.И. Воровича с соавторами [5-7,42 и др.]. В пластинах переменной толщины возможно возникновение локализации колебаний в окрестности точки максимума (или минимума) толщины пластины и напоминающей форму типа "прыгающего мячика" в акустике [122,162]. Также можно возбудить резонансы с локализованной формой, присоединяя к телу массы или пружины со специально подобранными свойствами [19,89].

В данной работе рассматриваются только те резонансы с локализованной формой, которые могут быть связаны с поверхностными волнами.

Цель работы:

• Разработка методов качественного анализа резонансов поверхностных волн для широкого класса задач о колебаниях упругих пластин, оболочек и сплошных цилиндров.

• Аналитическое и численное исследование явлений краевого и граничного резонанса в различных объектах, в том числе при изгибных колебаниях полуполосы для разных способов закрепления краев; в полуполосе, находящейся в условиях плоской деформации, при различных вариантах граничных условий на боковых сторонах; в сплошном упругом цилиндре со свободной боковой поверхностью.

• Исследование поверхностных волн, распространяющихся вдоль кромки полубесконечной плиты со свободными лицевыми поверхностями, в трехмерной постановке. Сопоставление полученных результатов с соответствующими результатами классической теории Кирхгофа и теории обобщенного плоского напряженного состояния в случае плиты малой толщины.

• Асимптотический анализ явления краевого резонанса в цилиндрической оболочке открытого профиля, а также в замкнутой оболочке вращения.

• Построение асимптотических моделей для приближенного описания резонансов поверхностных волн в задаче рассеяния акустических волн полым цилиндром.

В первой главе рассмотрено явление краевого резонанса в полуполосе, находящейся в условиях деформации изгиба. Для описания изгибных колебаний применяется классическая теория Кирхгофа.

14

В п. 1.1 приводится постановка задачи и записывается решение однородной задачи об изгибных колебаниях полубесконечной пластины, соответствующее изгибной волне "рэлеевского" типа. На боковых сторонах пластины ставится один из следующих вариантов граничных условий: (I) шарнирно-опертые края; (II) свободные края; (III) жестко закрепленные края. На бесконечности ставится условие отсутствия источников энергии.

В п. 1.2 рассматривается случай I. Записывается дисперсионное уравнение, соответствующее граничным условиям шарнирного опирания. На основе метода однородных решений записывается точное решение задачи. При этом выясняется, что форма резонансных колебаний совпадает с формой изгибной волны "рэлеевского" типа.

В п.1.3 рассматриваются изгибные моды бесконечной полосы в случаях II и III. Свойства этих мод будут использованы в дальнейшем для исследования явления изгибного краевого резонанса. Записываются асимптотики в окрестности нулевой частоты, частот запирания. Для распространяющихся мод упомянутые асимптотики сращиваются с помощью метода Паде. В конце параграфа рассматриваются антисимметричные моды, для которых получены аналогичные результаты.

В п. 1.4 качественно исследуется явление изгибного краевого резонанса в случаях II и III. Результатами этого исследования являются приближенные формулы для резонансных частот и метод оценки амплитуды и ширины резонанса. В основу качественного исследования положено предположение (полностью подтвердившееся) о том, что, как и в п. 1.2, в рассматриваемых случаях явление краевого резонанса связано с изгибной волной "рэлеевского" типа. Основную трудность при обобщении результатов п. 1.2 на случаи II и III представляет тот факт, что моды в рассматриваемых случаях имеют две компоненты с различными законами изменения по поперечной координате, т.е. их линейная комбинация никогда не совпадет с формой изгибной волны "рэлеевского" типа. Эта трудность преодолевается

15 следующим образом: по аналогии со случаем шарнирного опирания предполагается, что существуют две нераспространяющиеся моды, скорости затухания которых приближенно совпадают со скоростями затухания составляющих изгибной волны "рэлеевского" типа. Тогда линейная комбинация таких мод позволяет приближенно удовлетворить граничным условиям на торце, следовательно, построить приближенную собственную форму. Частоты, на которых происходит упомянутое совпадение, можно принять за приближенные частоты краевого резонанса. Далее предложен метод оценки амплитуды и ширины резонанса, использующий разложение решения в окрестности приближенного значения резонансной частоты.

В п. 1.5 и 1.6 приближенные значения характеристик краевых резонансов, вычисленные по полученным выше формулам, сопоставляются с результатами численного решения, которое не содержит предположения о связи краевого резонанса с изгибной волной "рэлеевского" типа. В этих параграфах для получения численного решения также применяется метод однородных решений, но при определения коэффициентов ряда используется метод ко л локаций.

В п.1.7 рассматривается случай антисимметричных изгибных колебаний полуполосы.

В п. 1.8 изучается явление краевого резонанса в ограниченных телах. Рассматриваются изгибные колебания длинной прямоугольной пластины в окрестности частоты краевого резонанса. Численное решение задачи, также основанное на методе однородных решений, показало, что в окрестности частоты краевого резонанса кривые, отражающие зависимость резонансной частоты прямоугольника от его длины (спектральные линии), имеют характерное "плато". Если на частоте краевого резонанса существуют также распространяющиеся моды, то плато имеет разрывы. Кроме того, оно обладает некоторой степенью искажения по сравнению с кривой, которая получилась бы без учета распространяющихся мод. Для первого

16 демпфированного резонанса получена асимптотика спектральной линии в окрестности частоты краевого резонанса, которая показывает, что степень искажения плато определяется шириной краевого резонанса в случае полубесконечной полосы. Таким образом, оценка этой величины, полученная в п. 1.4, может быть использована и в задаче для ограниченного тела.

Во второй главе рассматривается явление краевого резонанса в полуполосе на основе динамических уравнений плоской задачи теории упругости.

В п.2.1 приводится постановка задачи. На боковых сторонах полуполосы ставится один из следующих вариантов граничных условий: (I) условия скользящей заделки, (II) свободные края, (III) жестко закрепленные края.

В п.2.2 рассматривается случай граничных условий, допускающих разделение переменных, т.е. случай граничных условий (29) или (30). Показано, что в этом случае форма краевого резонанса точно совпадает с формой волны Рэлея.

В п.2.3 качественно анализируются случаи II и III. Получены приближенные формулы для резонансных частот, оценки для амплитуды и ширины резонанса по аналогии с тем, как это было сделано в главе I. При этом показано, что Эти графики показывают, что в рассматриваемой задаче существует не один краевой резонанс, а бесконечный комплекснозначный спектр краевых резонансов, резонансная форма которых близка к форме волны Рэлея. Ранее этот факт не отмечался.

В п.2.4 и 2.5 приводятся результаты численных расчетов, подсверждающих выводы из п.2.3.

В п.2.6 рассматривается случай антисимметричных колебаний, для которого получены аналогичные результаты.

В третьей главе исследуется явление краевого резонанса в полубесконечном цилиндре со свободной боковой поверхностью.

17

Аналогично предыдущему показано, что и в данной задаче существует бесконечный спектр краевых резонансов как при осесимметричных, так и при неосесимметричных колебаниях цилиндра. Свойства высших краевых резонансов в цилиндре аналогичны свойствам высших краевых в полуполосе со свободными боковыми сторонами, изученных в главе II. В частности, форма высших краевых резонансов близка к форме трехмерной поверхностной волны в цилиндрических координатах, что показывает связь явления краевого резонанса с поверхностной волной и в данном случае.

В четвертой главе изучаются кромочные волны в полубесконечной плите, на лицевых поверхностях и на кромке которой ставятся условия свободного края. Для описания колебаний плиты формулируется трехмерная задача, которая после отделения одной координаты сводится к двумерной задаче, аналогичной рассмотренной в главе II. Рассматривается первая волна при симметричных и антисимметричных колебаниях плиты. Показано, что если длина волны значительно превосходит толщину плиты, кромочные волны с достаточной точностью описываются двумерными теориями пластин. При этом, симметричному случаю соответствует планарная волна "рэлеевского" типа, антисимметричному - изгибная волна "рэлеевского" типа. С уменьшением длины волны фазовая скорость кромочных волн стремится к фазовой скорости угловой волны.

В пятой главе развитые в главах I и II методы обобщаются на случай оболочки.

В п.5.1—5.4 изучается явление краевого резонанса в полубесконечной круговой незамкнутой цилиндрической оболочке. С использованием асимптотических методов теории оболочек показано, что существует три типа рассматриваемых резонансов: изгибный краевой резонанс, тангенциальный краевой резонанс и сверхнизкочастотный краевой резонанс. Первые два являются аналогами резонансов, изученных в глава I и II соответственно. Третий тип резонансов характерен только для оболочек.

18

В пп.5.5, 5.6 рассматривается задача о колебаниях незамкнутой продольно-неоднородной бесконечной круговой цилиндрической оболочки, составленной из двух однородных полубесконечных оболочек с различными свойствами материала. По аналогии со случаем однородной полубесконечной оболочки изучается явление граничного резонанса в цилиндрической оболочке и также выделяются три типа резонансов.

В п.5.7 изучаются явления краевого и граничного резонансов в замкнутых оболочках вращения. Для случая большой изменяемости по окружной координате рассматривается два типа резонансов - изгибный и тангенциальный, являющиеся аналогами соответствующих резонансов в круговой цилиндрической оболочке.

Шестая глава посвящена приближенному описанию резонансов поверхностных волн в задаче акустического рассеяния для полого упругого цилиндра. Считается, что на цилиндр падает плоская волна, направление распространения которой перпендикулярно его поверхности, так что рассматриваемая задача является двумерной. Строятся асимптотические модели, позволяющие приближенно описать резонансы поверхностных волн, распространяющихся вдоль направляющей цилиндра и возбужденных акустическим воздействием. Первая модель предназначена для описания волн типа шепчущей галереи в толстостенных цилиндрах, вторая — для описания волн типа Лэмба в тонкостенных цилиндрах.

В заключении диссертации сформулированы основные результаты и выводы.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Исследование изгибных и планарных колебаний полосы при различных граничных условиях на боковых сторонах.

2. Распространение предлагаемой теории на случаи замкнутой и открытой цилиндрической оболочки и оболочки вращения с произвольным меридианом.

3. Анализ интерфейсных колебаний продольно-неоднородных полос и оболочек.

4. Обоснование связи краевых резонансов с поверхностными волнами Рэлея и интерфейсными волнами Стоун ли и их обобщениями.

5. Анализ и классификация локализованных периферических волн в задачах рассеяния для толстостенного цилиндра.

6. Вывод асимптотических формул для частот и форм резонансных колебаний в каждом из рассматриваемом случаев и их сопоставление с результатами численных расчетов.

Научная новизна.

В диссертации предложена методика исследования резонансов поверхностных волн для широкого класса задач со сложными граничными условиями.

Качественно и численно исследованы краевые резонансы в полуполосе в условиях плоской деформации. В частности, впервые показано существование бесконечного комплекснозначного спектра краевых резонансов.

Аналогичные результаты получены в случае изгиба полуполосы в рамках теории Кирхгофа.

Установлена связь явлений краевого и граничного резонансов с поверхностными волнами Рэлея и Стоунли в упругих телах различной конфигурации. Получены приближенные формулы для резонансных частот и оценки для амплитуды и ширйны резонансов.

Выполнен качественный анализ решения задач рассеяния акустических волн упругими цилиндрами.

Достоверность и обоснованность научных положений и выводов обеспечивается применением апробированных моделей и математически обоснованных методов, как численных, так и методов асимптотического анализа. Используемые численные методы тестируются на модельных задачах. Результаты расчетов сопоставляются с асимптотическими оценками, полученными аналитически. Хорошее совпадение асимптотических оценок и численных данных, а также убедительная физическая интерпретация служат свидетельством достоверности результатов и основанных на них выводов. Практическая значимость.

Разработанные методы качественного и количественного анализа резонансов поверхностных волн могут быть применены в работе конструкторских бюро при расчетах различных элементов конструкций, испытывающих краевые динамические воздействия. Эти методы допускают обобщение на родственные задачи для тел более сложной формы либо с более сложными механическими свойствами.

Предлагаемые в работе асимптотические модели, описывающие резонансы поверхностных волн в задаче акустического рассеяния, могут представлять интерес в геофизике и биомеханике. Развитые в диссертации идеи пригодны для совершенствования вычислительных алгоритмов и программ, применяющихся в инженерной практике.

Результаты диссертационной работы применяются при чтении спецкурсов по специальности "Механика" на кафедре математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета.

Апробация работы. Основные результаты исследований, выполненных в диссертации, докладывались на:

• международной молодежной научной конференции "XXV Гагаринские чтения", Москва, 1999;

• V Международном конгрессе по индустриальной и прикладной математике, Эдинбург, 1999;

• конференции мех.-мат. факультета "Актуальные проблемы математики и механики, Апрель-2000", Саратов, 2000;

• международном семинаре "Дни дифракции" (Санкт-Петербург, 2000, 2001,2002 г.);

• VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.);

• 5-ой международной конференции "Проблемы колебаний" (Москва, 2001 г.);

• международной конференции "Поверхностные волны в анизотропных и слоистых средах и обнаружение дефектов" (Москва, 2002);

• международном симпозиуме "Сингулярность, асимптотические методы и осреднение в механике" (Ливерпуль, Англия, 2002 г.);

• ЕВРОМЕХ коллоквиуме 439 "Математическое моделирование динамического поведения тонких упругих структур" (Саратов, 2002 г.).

В целом работа докладывалась на научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета под руководством д. ф.-м. н. профессора Л.Ю. Коссовича.

Результаты исследования корней характеристического уравнения с помощью диаграмм Ньютона и соответствующие им порядки перемещений обобщаются в следующем параграфе в виде асимптотик.

5.3. Асимптотический анализ и получение приближенных дисперсионных соотношений для трех типов поверхностных волн в оболочке

Асимптотики для трех выделенных типов поверхностных волн в оболочке имеют вид: Изгибная волна {а = 2ц-\, 1/2 < ц < 1)

Асимптотика 1.1:--г)"17, и~г\1, и~т|<?, ш~г1°,

Асимптотика 1.2:--г)-17, и~т\2~3с>, у~г}2~3с1, ги~г\°.

Тангенциальная волна {а = д, д > 0)

Асимптотика2.1:--и~г\~'}, ю~г\°, а 1 1 I I

О ----в „

Асимптотика2.2:--Ц 2 2 , и~ц2 2 , у~т\, ги~г\ .

Сверхнизкочастотная волна (а = 2д-1, 0 < д < 1/2)

8 -Асимптотика3.1:--г)2 , и~ц2, и~г\1, д ~~ 1

Асимптотика3.2:--г\2, и~г\2, у*!}1'4, д

Далее мы вернемся к уравнениям (5.1.12) и построим приближенные системы уравнений, решения которых обладают приведенными выше асимптотиками. После этого мы применим метод расчленения напряженно-деформируемого состояния [60,62]. В соответствии с этим методом, представим решение в виде иь($) + л4(0, = *„(£) + = ыь(Е>) + цки?а(Е>), где величины с индексом "Ь" (главное поле перемещений) обладают асимптотиками 1.1, 2.1 или 3.1, величины с индексом "а" (дополнительное поле перемещений) - асимптотиками 1.2, 2.2 или 3.2. Величина к определяется из граничных условий (5.2.4) так, чтобы был возможен итерационный процесс их удовлетворения.

Изгибная волна

Примем, что параметры q и а удовлетворяют соотношениям а = 2ц- \, 1/2 <9 <1 (случай 9 = 1/2 принципиальных отличий не имеет). Получим систему уравнений для определения величин иъ, уъ, гиъ. В соответствии с асимптотикой 1.1 положим и будем считать, что величины со звездочкой имеют одинаковый асимптотический порядок, и дифференцирование по переменной не меняет порядка этих величин. Подставляя (5.3.2) в систему (5.2.3) и оставляя только асимптотически главные члены, приходим к системе уравнений для функций , г;^, ти^. Запишем третье уравнение этой системы:

Формулы перехода к переменным со звездочкой в соответствии с асимптотикой 1.2 имеют вид $ = 0 = 114, со2=л2"4^, У = Л-£7У МЬ=ЛX. ъь=г\чу'ь, =Г10Ч>

5.3.2)

5.3.3) $ = е = СО2 = Г|24(7Х*, у = Г|<7у

2-3я * 2-Зя * 0 *

2-3^

О *

Система уравнений для определения функций г>а, гоа нам не понадобится.

Подставим в граничные условия (5.2.4) представления (5.2.2), (5.3.1) и перейдем к переменным со звездочкой по формулам (5.3.2) и (5.3.4). Подберем к таким образом, чтобы получившиеся соотношения разделились на две группы: два граничных условия для величин с индексом "Ь", и два граничных условия для величин с индексом "а", причем граничные условия для величин с индексом "Ь" должны быть однородными. Кроме того, должно выполнять условие к > 0, чтобы напряженное состояние, описываемое величинами с индексом "Ь", было главным. Этим требованиям удовлетворяет значение к = -2. Однородные граничные условия для системы (5.3.3) имеют вид

Среди величин иь, уь , гиь главной является величина гиь, для которой мы имеем краевую задачу (5.3.3), (5.3.5). Решая эту задачу и возвращаясь к исходным переменным, получим приближенное дисперсионное соотношение для изгибной поверхностной волны в оболочке где 0 определено формулой (1.1.13). Разрешая (5.3.6) относительно у, придем к соотношению (1.1.13), если положить

5.3.5) о = т11у20"2 ,

5.3.6)

Р = лУ СОТ| |1

5.3.7)

Приближенная форма поверхностной волны определяется соотношением (1.1.14).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработаны методы качественного анализа резонансов поверхностных волн для широкого класса задач о колебаниях упругих пластин, оболочек и сплошных цилиндров.

Выполнено аналитическое и численное исследование явлений краевого и граничного резонанса в различных объектах, в том числе при изгибных колебаниях полуполосы для разных способов закрепления краев; в полуполосе, находящейся в условиях плоской деформации, при различных вариантах граничных условий на боковых сторонах; в сплошном упругом цилиндре со свободной боковой поверхностью.

Исследованы поверхностные волны, распространяющиеся вдоль кромки полу бесконечной плиты со свободными лицевыми поверхностями, в трехмерной постановке. Полученные результаты сопоставлены с соответствующими результатами классической теории Кирхгофа и теории обобщенного плоского напряженного состояния в случае плиты малой толщины.

Осуществлен асимптотический анализ явления краевого резонанса в цилиндрической оболочке открытого профиля, а также в замкнутой оболочке вращения.

Построены асимптотические модели для приближенного описания резонансов поверхностных волн в задаче рассеяния акустических волн полым цилиндром.

Проведенное исследование задач о краевых и интерфейсных колебаниях упругих тел приводит к выводу о существовании бесконечного комплекснозначного резонансного спектра и его непосредственной связи с волнами Рэлея и Стоунли и их различными модификациями. Это подтверждается полученными асимптотическими оценками, их физической интерпретацией и сопоставлениями с численными результатами.

1. Айнола Л.Я., Нигул У.К. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек // Изв. АН СССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1965. № 1. С.3-63.

2. Алумяэ H.A. Теория упругих оболочек и пластинок // Механика в СССР за 50 лет. Т. 3. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука. 1972. С. 227-266.

3. Амбарцумян С.А., Белубекян М.В. К вопросу об изгибных волнах, локализованных вдоль кромки пластинки // Прикл. механика. 1994. Т. 30. №2. С. 61-68.

4. Асланян А.Г., Лидский В.Б. Формула для числа частот осесимметричных колебаний оболочки вращения // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. № 8. С. 1355-1365.

5. Бабешко В.А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. Явление высокочастотного резонанса в полу ограниченных телах с неоднородностями // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 3. С. 74-83.

6. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно упругих сред. М.: 1989. С. 344.

7. Бабешко В.А., Собисевич А.Л., Шошина С.Ю. К вопросу о возникновении резонансов на неоднородностях в неограниченной среде // Развитие методов и средств экспериментальной геофизики. 1993. № 1.С. 73-83.

8. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука. 1972. С. 456.

9. Багдасарян P.A., Белубекян М.В., Казарян К.Б. Волны типа Рэлея в полубесконечной замкнутой цилиндрической оболочке // Волновыезадачи механики. Под ред. А.И. Веснинского и В.И. Ерофеева. Нижний Новгород:. 1992. С. 87-93.

10. Белубекян М.В. Об условии существования волн Стоунли при скользящем контакте // Изв. АН Арм.ССР, Механика. 1990. Т. 43. № 4. С. 52-56.

11. Белубекян М.В. К задаче о поверхностных упругих волнах в толстой плите // Изв. НАН Армении. 1995. Т. 48. № 1. С. 9-15.

12. Белубекян М.В. Поверхностные волны в упругих средах // Проблемы механики деформируемого твердого тела. Институт механики НАН Армении, Ереван. 1997.

13. Белубекян М.В., Гулгазарян Г.Р., Саакян А.В. Волны типа Рэлея в полубесконечной круговой замкнутой цилиндрической оболочке // Изв. НАН Армении, Механика. 1997. Т. 50, №3-4. С. 49-55.

14. Березин В.Л., Каплунов Ю.Д., Коссович Л.Ю. Дисперсия упругих волн в тонкостенном цилиндре // ИПМ АН СССР. Препринт № 454. 1990. С. 40.

15. Бобровницкий Ю.И. Соотношение ортогональности для волн Лэмба // Акуст. журн. 1972. Т. 17. № 4. С. 513-515.

16. Бобровницкий Ю.И. Изгибные колебания шарнирно опертой полосы // Акуст. журн. 1974. Т. 20. № 4. С. 503-510.

17. Бобровницкий Ю.И. Соотношения между характеристическими уравнениями для однородных элементов механических конструкций // Акуст. журн. 1978. Т. 24. № 4. С. 487-493.

18. Бобровницкий Ю.Д., Генкин М.Д. Колебания упругой полосы // Методы виброизоляции машин и присоединенных конструкций // М.: Наука. 1975. С. 12-42.

19. Бобровницкий Ю.И., Короткое М.П. Резонансы неоднородных волн в протяженных упругих структурах // Акуст. журн. 1991. Т. 37. Вып. 5. С. 872-878.

20. Болотин В.В. Динамический краевой эффект при колебаниях пластинок//Инж. Сборник. Т. 31. М.: 1960.

21. Болотин В.В. О плотности частот собственных колебаний тонких упругих оболочек // ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 2. С. 362-364.

22. Болотин В.В. Теория распределения собственных частот упругих тел и ее применение к задачам случайных колебаний // Прикл. механика. 1972. Т. 8. №4. С. 3-29.

23. Болотин В.В., Москаленко В.Н. Колебания оболочек // Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3. М.: Машиностроение. 1968.

24. Ван Цзи-де. Прикладная теории упругости // М: Гос. изд-во физ.-мат. Литературы. 1959. С. 400.

25. Векслер Н.Д. Акустическая спектроскопия // Таллинн: Валгус. 1989. С. 323.

26. Викторов И.А. Волны типа Рэлея на цилиндрических поверхностях // Акуст. журн. 1958. Т. 4. № 2. С. 131-136.

27. Викторов И.А. Типы звуковых поверхностных волн в твердых телах (обзор) //Акуст. журн. 1979. Т. 25. № 1. С. 1-17.

28. Вильде М.В. Изгибный краевой резонанс в тонкой упругой пластине // Вестник ННГУ. Серия Механика. Вып. 1(6). 2004. С. 43-56.

29. Вильде М.В. Резонансы волны Рэлея в полуполосе // Проблемы прочности и пластичности. Изд-во ННГУ Вып. 66. 2004. С. 29-38.

30. Вильде М.В. Асимптотики изгибных мод бесконечной тонкой пластины-полосы // Известия Северо-Кавказского региона, Приложение №11. 2004. С. 36-51.

31. Вильде М.В. Низкочастотные изгибные колебания полубесконечной пластины-полосы со свободным от закрепления контуром // Механика деформируемых сред №15. Саратов: изд-во Сарат. ун-та. 2004. С. 17-25.

32. Вильде М.В. Применение метода однородных решений к задаче об изгибных колебаниях пластины // Проблемы прочности элементовконструкций под действием нагрузок и рабочих сред. Саратов, изд-во СГТУ. 2003. С. 123-127.

33. Вильде М.В. Собственные колебания полубесконечной цилиндрической оболочки, локализованные вблизи торца // Международной молодежной научной конференции "XXV Гагаринские чтения". Москва. 6-10 апреля 1999. Москва: 1999. Т.1. С. 206-207.

34. Вильде М.В. О связи собственных колебаний полубесконечной полосы со стоячими поверхностными волнами // Механика деформируемых сред. Вып. 13. Саратов: изд-во Сарат. ун-та. 1998. С. 8-11.

35. Вильде М.В., Гуляева И.М. Изгибный граничный резонанс в системе из двух состыкованных торцами полуполос // Математика. Механика. Саратов: изд-во Сарат. ун-та. 2004. С 174-176.

36. Вильде М.В., Залесная С.А. Резонансы планарной волны типа Стоунли в продольно-неоднородной полосе // Математика. Механика. Саратов: изд-во Сарат. ун-та. 2004. С. 176-278.

37. Вильде М.В., Каплунов Ю.Д. Краевой резонанс в оболочках вращения // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. 23-29 августа 2001. Пермь. 2001. Аннотации докладов. С. 153.

38. Вильде М.В., Каплунов Ю.Д., Ковалев В.А. Приближенное описание резонансов волн типа шепчущей галереи в задаче рассеяния акустических волн упругими цилиндрами и сферами // Изв. РАН. МТТ. 2002. №4. С. 176-190

39. Вильде М.В., Каплунов Ю.Д., Ковалев В.А. Развитие приближения типа плоского слоя в задаче рассеяния акустических волн цилиндрической оболочкой // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 3. С. 180-186

40. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи матем. наук. 1957. Т. 12. Вып. 5 (77). С. 3-122.

41. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения к технике. М.-Л.: Гостехиздат. 1949. С. 784.

42. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245. № 5. С. 1076-1079.

43. Ворович И.И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245. № 4. С. 817-820.

44. Гетман И.П., Лисицкий О.Н. Отражение и прохождение звуковых волн через границу раздела двух состыкованных упругих полуполос // ПММ. 1988. Т. 52. № 6. С. 1044-1048.

45. Гетман И.П., Устинов Ю.А. О распространении волн в упругом продольно-неоднородном цилиндре // ПММ. 1990. Т.54. № 1. С. 103108.

46. Гетман И.П., Устинов Ю.А. О потоке энергии при резонансах полуограниченных тел // Докл. АН СССР. 1990. Т. 310. № 2. С. 309-312.

47. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов-на-Дону: изд-во Рост, ун-та. 1993. С. 144.

48. Гоголадзе В.Г. Отражение и преломление упругих волн. Общая теория граничных волн Рэлея // Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР. 1947. Т. 125. С. 1-43.

49. Головчан В.Т., Кубенко В.Д., Шульга H.A., Гузь А.Н., Гринченко В.Т. Пространственные задачи теории упругости и пластичности // Т. 5. Динамика упругих тел. Киев: Наук. Думка. 1986. С. 288.

50. Гольденвейзер А.Л. К теории изгиба пластинок Рейсснера // Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук. 1958. № 4. С. 102-109.

51. Гольденвейзер A.J1. Качественное исследование напряженного состояния тонкой оболочки // ПММ. 1945. Т. 9. Вып. 6. С. 463-478.

52. Гольденвейзер A.J1. Качественный анализ свободных колебаний упругой тонкой оболочки // ПММ. 1966. Т. 30. Вып. 1. С. 94-108.

53. Гольденвейзер A.JI. Классификация интегралов динамических уравнений линейной двумерной теории оболочек // ПММ. 1973. Т. 37. Вып. 4. С. 591-603.

54. Гольденвейзер A.J1. Некоторые вопросы общей линейной теории оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 5. С. 126-138.

55. Гольденвейзер A.JI. О вынужденных гармонических колебаниях оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 5. С. 168-177.

56. Гольденвейзер A.JI. О краевом напряженно-деформированном состоянии тонких упругих оболочек // Изв. АН Эстонии. Физ. Матем. 1993. Вып. 42. № 1.С. 32-44.

57. Гольденвейзер А.Л. О плотности частот колебаний тонкой упругой оболочки // ПММ. 1970. Т. 34. Вып. 5. С. 952-956.

58. Гольденвейзер А.Л. Об ортогональности форм собственных колебаний тонкой упругой оболочки // Проблемы механики твердого деформированного тела. Л.: Судостроение. 1970. С. 121-128.

59. Гольденвейзер А.Л. Погранслой и его взаимодействие с внутренним напряженным состоянием упругой тонкой оболочки // ПММ. 1969. Т.ЗЗ. Вып. 6. С. 996-1028.

60. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука. 1976. С. 512.

61. Гольденвейзер А.Л. Каплунов Ю.Д., Нольде Е.В. Асимптотический анализ и уточнение теорий пластин и оболочек типа Тимошенко-Рейсснера // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 6. С. 124-138.

62. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука. 1979. С. 384.

63. Гринберг Г.А. О методе, предложенном П.Ф.Папковичем для решения плоской задачи изгиба прямоугольной тонкой плиты с двумя закрепленными кромками и о некоторых ее обобщениях // ПММ. 1953. Т.П. №2. С. 211-218.

64. Гринченко В.Т., Городецкая Н.С. Отражение волны Рэлея от свободного торца волновода // Прикл. механика. 1984. Т. 20. № 9. С.12-16.

65. Гринченко В.Т., Городецкая Н.С. Краевой резонанс при изгибных колебаниях полуполосы // Докл. АН УССР, Сер. А. 1985. № 4. С. 20-23.

66. Гринченко В.Т., Карлаш В.Л., Мелешко В.В., Улитко А.Ф. Исследование планарных колебаний прямоугольных пьезокерамических пластин // Прикл. механика. 1976. Т. 12. № 5. С.71-78.

67. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. О краевом резонансе при планарных колебаниях прямоугольных пластин // Прикл. механика. 1975. Т. 11. № 10. С.52-58.

68. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Особенности распределения энергии в тонкой прямоугольной пластине при краевом резонансе // Докл. АН УССР.Сер. А. 1976. № 7. С.612-616.

69. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Осесимметричные колебания упругого цилиндра конечной длины // Акуст. ж. 1978. Т. 24. № 6. С.861-866.

70. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. О резонансе в полубесконечной упругой полосе // Прикл. механика. 1980. Т. 16. № 2. С.58-63.

71. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наук. Думка. 1981. С. 283.

72. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Особенности волнового поля в полубесконечном упругом цилиндре (краевой резонанс) // Изв. АН СССР. МТТ. 1982. № 6. С. 81-89.

73. Гулгазарян Г.Р. Волны, локализованные у свободного края гофрированной пластинки // В. сб. Вопросы оптимального управления, устойчивости и прочности механических систем. Ереван: 1997. С. 143146.

74. Гулгазарян Г.Р. Волны, локализованные у свободного торца круговой замкнутой цилиндрической оболочки с малой кривизной // Изв. HAH Армении, Механика, в печ.

75. Гулгазарян Г.Р. Приближенные частоты собственных колебаний некруговой цилиндрической оболочки // Изв. HAH Армении, Механика. 1996. Т. 49. №1. С. 61-70.

76. Гулгазарян Г.Р., Гулгазарян Л.Г. Волны типа Рэлея в полубесконечной замкнутой цилиндрической оболочке с произвольной направляющей // Вопросы оптимального управления, устойчивости и прочности механических систем. Ереван: 1997. С. 147-150.

77. Гулгазарян Г.Р., Казарян К.Б. Волны типа Рэлея в полубесконечной замкнутой некруговой цилиндрической оболочке // Изв. HAH Армении, Механика. 1997. Т. 50. №1. С. 27-33.

78. Гуляева И.М., Вильде М.В. Изгибные волны типа Стоунли при шарнирном соединении и скользящем контакте полубесконечных пластин // Механика деформируемых сред №15. Саратов: изд-во Сарат. ун-та. 2004. С. 26-31.

79. Зильберглейт A.C. О поверхностных упругих волнах в толстой плите // Акуст. журн. 1980. Т. 26. Вып. 3. С. 416-421.

80. Зильберглейт A.C., Суслова И.Б. Контактные волны изгиба в тонких пластинках// Акуст. журн. 1983. Т. 29. С. 186-191.

81. Каплунов Ю.Д., Вильде М.В. Резонансы волн "рэлеевского" типа в упругой полубесконечной полосе // Акуст. журн. 2003. Т.49. Вып. 1. С. 38-42.

82. Каплунов Ю.Д., Кириллова И.В., Коссович Л.Ю. Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек И ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 1. С. 83-91

83. Каплунов Ю.Д., Ковалев В.А. Приближенное описание резонансов волны Рэлея в задачах рассеяния акустических волн упругими цилиндрами и сферами // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 4. С. 180-186

84. Ковалев В.А. О резонансе волны Рэлея при рассеянии акустических волн сплошным упругим цилиндром // Изв. Вузов Сев.-Кавк. региона. Естеств. науки. 2001. Спец. выпуск. С. 93-95.

85. Коненков Ю. К. Об изгибной волне "рэлеевского" типа // Акуст. журн. 1960. Т. 6. Вып.1. С. 124-126.

86. Коненков Ю.К. О нормальных волнах при изгибных колебаниях пластинки // Акуст. журн. 1960. Т. 6. № 1. С. 57-64.

87. Корнев В.М. К формулировке граничных условий упрощенных уравнений колебаний оболочек вращения // ПММ. 1970. Т. 34. Вып. 1. С. 84-94.

88. Короткое М.П. Резонансы неоднородных волн Лэмба // XI Всесоюзная акустическая конференция, Москва. 1991. Секция А. С.83-86.

89. Ле Хань Чау. О краевом резонансе в полубесконечной упругой полосе // Вест. МГУ. Мат. Мех. 1984. № 5. С. 57-60.

90. Лийва Т.В. О собственных неосесимметричных колебаниях оболочек вращения отрицательной гауссовой кривизны // Тр. Таллинского политехнического ин-та. 1970. Сб .5. Сер. А. С. 47-60.

91. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.: Гостехиздат 1947. С. 252.

92. Малкина Р.Л., Годзевич В.Г. Свободные колебания оболочек нулевой кривизны // Изв. вузов. Авиационная техника. 1963. Вып. 1. С. 48-57.

93. Мелешко В.В. О краевом резонансе при осесимметричных колебаниях полубесконечного упругого цилиндра // Докл. АН УССР. 1979. Вып. 11. С. 920-924.

94. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука. 1981. С. 400.

95. Нигул У.К. Некоторые результаты исследования уравнений собственных колебаний упругой круглоцилиндрической оболочки // Тр. Таллинского политехнического ин-та. 1960. Сер. А. № 171. С. 1936.

96. Нигул У.К. Об общих формах колебаний круговой замкнутой цилиндрической оболочки // Тр. Таллинского политехнического ин-та. 1958. Сер. А. № 147. С. 65-83.

97. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз. 1962. С. 431.

98. Папкович П.Ф. Об одной форме решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной полосы // Докл. АН СССР. 1940. Т. 27. № 4. С. 335-339.

99. Пельц С.П., Шихман В.М. О сходмости метода однородных решений в динамической смешанной задаче для полуполосы // Докл. АН СССР. 1987. Т. 295. №4. С. 821-824.

100. Петрашень Г.И. Задача Рэлея для поверхностной волны в случае сферы // Докл. АН СССР. 1946. Т. 52. № 9. С. 763-768.

101. Петрашень Г.И. Основы математической теории распространения упругих волн // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.Ж Наука. 1978. Вып. 18. С.3-248.

102. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами // Под ред Абрамовича М. и Стиган И. М.: Наука. 1979. С. 832.

103. Стретт Дж.В. (Лорд Рэлей). Теория звука // Т.1. М.-Л.: Гостеиздат. 1940. С. 500.

104. Товстик П.Е. Высокочастотные осесимметричные колебания оболочки вращения//Прикл. механика. № 1. Л.: 1973. С. 100-109.

105. Товстик П.Е. Интегралы линейного уравнения с малым параметром при производных //Дифференц. уравнения. 1970. № 6. С. 989-999.

106. Товстик П.Е. Интегралы уравнений колебаний оболочки вращения с большим числом волн по параллели при наличии кратной точки поворота // Исслед. по упругости и пластичности. № 10. Л.: 1973. С. 103-109.

107. Товстик П.Е. Интегралы уравнений неосесимметричных колебаний тонкой оболочки вращения // Исслед. по упругости и пластичности. № 5. Л.: 1966. С. 45-56.

108. Товстик П.Е. Интегралы уравнений осесимметричных колебаний купола // Исслед. по упругости и пластичности. № 4. Л.: 1965. С. 107116.

109. Товстик П.Е. Интегралы уравнений осесимметричных установившихся колебаний оболочки вращения // Исслед. по упругости и пластичности. № 4. Л.: 1965. С. 117-122.

110. Товстик П.Е. К задаче об осесимметричных колебаниях оболочки вращения в случае двойной точки поворота // Вестник Ленингр. ун-та. 1967. № 1.С. 118-124.

111. Товстик П.Е. Неосесимметричные колебания оболочек вращения с небольшим числом волн по параллели // Исслед. по упругости и пластичности. № 8. Л.: 1971. С. 131-140.

112. Товстик П.Е. Низкочастотные колебания выпуклой оболочки вращения//Изв. АН СССР. МТТ. 1975. № 6. С. 110-116.

113. Товстик П.Е. Низкочастотные колебания тонких оболочек вращения // Прикл. механика. № 3. JL: 1977. С. 12-29.

114. Товстик П.Е. О плотности частот колебаний тонких оболочек вращения //ПММ. 1972. Т. 36. Вып. 2. С. 291-300.

115. Товстик П.Е. О спектре частот колебаний оболочки вращения с большим числом волн по параллели в особом случае // Исслед. по упругости и пластичности. Ленинград: изд-во Ленингр. ун-та. № 5. 1966. С. 57-69.

116. Товстик П.Е. О спектре частот колебаний оболочки вращения с большим числом волн по параллели // Тр. VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М.: Наука. 1966. С. 746-752.

117. Товстик П.Е. Об определении наименьшей частоты колебаний выпуклой оболочки вращения // Вестник Ленингр. ун-та. 1970. № 13. С. 107-115.

118. Товстик П.Е. Об определении наименьшей частоты колебаний конической оболочки вращения // Исслед. по упругости и пластичности. Ленинград: изд-во Ленингр. ун-та. № 6. 1967. С. 109-116.

119. Товстик П.Е. Об определении наименьшей частоты свободных колебаний тонкой оболочки // Асимптотические методы в теории систем. № 8. Иркутск. 1975. С. 5-22.

120. Товстик П.Е. Свободные осесимметричные колебания оболочки вращения // Инженерный журн. Мех. тверд, тела. 1967. № 4. С. 124-132.

121. Товстик П.Е. Свободные высокочастотные колебания пластин переменной толщины //МТТ. 1994. №4. С. 162-170.

122. Устинов Ю.А., Юдович В.И. О полноте системы элементарных решений бигармонического уравнения в полуполосе // ПММ. 1973. Т. 37. №4. С. 706-714.

123. Устинов Ю.А. О критических модах неоднородной пластины // Доклады академии наук. 2000. Т. 370. № 4. С. 473-476.

124. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). М.: Мир. 1965.

125. Auld В.A., Tsao E.D. A variational analysis of edge resonance in a semiinfinite plate // IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics. 1977. V. 24, № 5. P. 317.

126. Belov A.V., Kaplunov J.D., Nolde E.V. A refined asymptotic model of fluid-structure interaction in scattering by elastic shells. Flow, Turbulence and Combustion. 1999. V. 61. P. 255-267.

127. Berezin V.L., Kaplunov J.D., Kossovich L.Yu. Synthesis of the dispersion curves for a cylindrical shell on the basis of approximate theories // J. of Sound and Vibration. 1995.V. 186. № 1. P. 37-53.

128. Booker R.E., Sagar F.H. Velocity dispersion of the lowest-order longitudinal mode in finite rods of circular cross section // J. Acoust. Soc. Am. 1971. V. 49 № 5. Pt 2. P. 1491-1498.

129. Chree C. The equations of an isotropic elastic solid in polar and cylindrical coordinates, their solutions and applications // Trans. Cambridge Phil. Soc. 1889. V. 14. P. 250-369.

130. Doolittle R.D., Überall H. Sound scattering by elastic cylindrical shells. // J. Acoust. Soc. Amer. 1966. V. 39. № 2. P. 272-275.

131. Gaunard G. and Brill D. Acoustic spectrogram and complex-frequency poles of a resonantly excited elastic tube // J. Acoust. Soc. Am. 1984. V. 75. №6. P. 1680-1693.

132. Gazis D. C., Mindlin R. D. Extensional vibrations and waves in a circular disk and a semi-infinite plate // J. Appl. Mech. 1960. V. 27. P. 541-547.

133. Gol'denveizer A.L. Asymptotic method in the theory of shells // Proc. 15th Intern. Congr. Theory Appl. Mech. Toronto, Amsterdam et al, North-Holland. 1980. P. 91-104.

134. Gregory R.D., Gladwell I. The reflection of a symmetric Rayleigh-Lamb wave at the fixed or free edge of a plate // J. Elasticity. 1983. V.13. P. 185206.

135. Hutchinson J.R. Axisymmetric vibrations of free finite-length rod // J. Acoust. Soc. Am. 1972. V. 51. № 1. Pt 2. P. 233-240.

136. Kaplunov J. D., Kossovich L. Yu., Nolde E. V. Dynamics of Thin Walled Elastic Bodies. Academic Press, San Diego. 1998. P. 226.

137. Kaplunov J.D., Kossovich L.Yu., Wilde M.V. Free localized vibrations of a semi-infinite cylindrical shell // J. Acoust. Soc. Am. 2000. V. 107. № 3. P. 1383-1393.

138. Kaplunov J.D., Kovalev V.A., Wilde M.V. Matching of asymptotic models in scattering of a plane acoustic wave by an elastic cylindrical shell // Journal of Sound and Vibration. July 2003. V. 264 (3). P. 639-655.

139. Kaplunov J.D., Wilde M.V. «Free interfacial vibrations in cylindrical shells» // J. Acoust. Soc. Am. June 2002. V. 111 (6). P. 2692-2704.

140. Kaplunov J.D., Wilde M.V. Edge and interfacial vibrations in elastic shells of revolution // J. Appl. Math. Phys. (ZAMP). 2000. V 51. P. 29-48.

141. Kaplunov J.D., Wilde M.V. Free edge bending vibrations of a semi-strip with a traction free contour. 5-th International conference on vibrationproblems "ICOVP-2001". Moscow, 8-10 October 2001. Proceedings. Moscow: IMASH. 2002. P. 254-257.

142. Kaplunov J.D., Wilde M.V. Free localized vibrations of a semi-infinite shell of revolution // Day on diffraction 2000. International seminar. St. Petersburg. May 29-June 1, 2000. Abstracts. P.32.

143. Lamb H. On waves in elastic plate il Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1917. V. 93. №648. P. 114-128.

144. Langer R.E. The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of second order with special reference to a turning point // Trans. Am. Math. Soc. 1949. V. 67. P. 461-490.

145. McMahon G.W. Experimental study of vibrations of solid, isotropic, elastic cylinders // J. Acoust. Soc. Am. 1964. V. 36. № 1. P. 87-94.

146. McNiven H.D. Extensional waves in a semi-infinite elastic rod // J. Acoust. Soc. Am. 1961. V. 33. № 1. P. 23-27.

147. McNiven H.D., Perry D.C. Axially symmetric waves in finite, elastic rods // J. Acoust. Soc. Am. 1962. V. 34. № 4. P. 433-437.

148. Mindlin R.D., Medick M.A. Extensional vibrations of elastic plates // J. Appl. Mech. 1959. V. 26. № 4. P. 541-569.

149. Oliver J. Elastic wave dispersion in a cylindrical rod by a wide-band, short-duration pulse technique // J. Acoust. Soc. Am. 1957. V. 29. № 2. P. 189194.

150. Pochhammer L. Über die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner Schwingungen in einem unbegrenzten isotropen Kreiszylinder // J. Reine Angew. Math. 1876. B. 81. S. 324-336.

151. Rayleigh J. On the free vibrations of an infinite plate of homogeneous isotropic elastic matter // Proc. Lond. Math. Soc. 1888/1889. V. 20. № 357. P. 225-234.

152. Rayleigh J. On waves propagated along the surface of an elastic solid // Proc. Lond. Math. Soc. 1885. V. 17. № 253. P. 4-11.

153. Roitberg I., Vassiliev D., Weidl T. Edge resonance in an elastic semi-strip // Q. J1 Mech. Appl. Math. 1998.V. 51. P. 1-13.

154. Sanchez Hubert J., Sanchez Palencia E. Vibrations and Coupling of Continuous Systems. Springer-Verlag, Berlin, 1989.

155. Shaw E. A. G. On the resonant vibrations of thick barium titanate disks // J. Acoust. Soc. Am. 1956. V. 28. № 1. P. 38-50.

156. Stoneley R. The elastic waves at the interface of separation of two solids // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1924. V. 106. № 732. P. 416-429.

157. Torvik P. J. Reflection of wave trains in semi-infinite plates // J. Acoust. Soc. Am. 1967. V. 41. P. 346-353.

158. Torvik P. J., McClatchey J. J. Response of an elastic plate to a cyclic longitudinal force // J. Acoust. Soc. Am. 1968. V. 44. P. 59-64.

159. Tovstik P.E. Free high-frequency vibrations of anisotropic plates of variable thickness // J. Appl. Maths Mechs 1992. V. 56. № 3. P. 390-395.

160. Wilde M.V. Free interfacial vibrations of a longitudinally ingomogeneous elastic shell // Advanced research workshop "Surface waves in anisotropic and laminated bodies and defects detection". Moscow. 7-9 February 2002. Abstracts. P. 17.

161. Wilde M.V. Rayleigh-type waves in cylindrical shells // EUROMECH Colloquium 439 "Mathematical Modeling of Dynamic Behavior of Thin Elastic Structures". Saratov. July 24-27. 2002. Abstracts. Saratov: "Nadezhda". 2002. P. 35.

162. Wilde M.V. Free interfacial vibrations of a shell in super low-frequency domain // Day on diffraction 2001. International seminar. St. Petersburg. May 29-31. 2001. Abstracts. P.58.

163. Zemanek J. An experimental and theoretical investigation of elastic wave propagation in a cylinder // J. Acoust. Soc. Am. 1972. V. 51. № 1. Pt 2. P. 265-283.