Нестационарные волны в составных цилиндрических оболочках тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

1 Постановка задачи

1.1 Краевая задача по трёхмерной теории упругости.

1.2 Схема расчленения нестационарного НДС цилиндрической оболочки.

1.3 Изгибная составляющая теории Кирхгофа-Лява.

1.4 Квазистатический погранслой.

1.5 Квазиплоская задача теории упругости.

1.6 Плоский погранслой в окрестности фронта волны расширения

2 Временные свойства нестационарного НДС полубесконечной цилиндрической оболочки

2.1 Погранслой в окрестности фронта волны расширения при осесимметричном нагружении

2.2 Поведение решения для двумерной изгибной составляющей со временем при осесимметричном нагружении.

2.3 Поведение решения для двумерной изгибной составляющей со временем в случае большой изменяемости вдоль окружной координаты.

3 Нестационарное НДС в составной цилиндрической оболочке при осесимметричном нагружении

3.1 Расчленение НДС для отражённой и прошедшей волн

3.2 Погранслой в отраженной и прошедшей волнах

4 Изгибные волны в составной цилиндрической оболочке при осесимметричном нагружении

4.1 Постановка задачи.

4.2 Решения в изображениях.

4.3 Поведение решений со временем.

4.4 Уточнение решения для изгибной составляющей теории Кирхгофа-Лява в окрестности стыка для отраженной волны.

В современном мире оболочечные конструкции широко применяются во многих отраслях производства. Необходимость их использования в авиа и ракетостроении, в строительной индустрии, в судостроении и машиностроении не вызывает сомнений. Знание закономерностей распространения волн в оболочках и пластинах является основой для анализа и систематизации данных, относящихся к практически используемым конструкциям. Непрерывное усложнение машин и механизмов, наращивание мощностей приводит к увеличению динамических нагрузок на их элементы. Вследствие этого, в практически применяемых конструкциях, появляются эффекты, для описания которых недостаточно приближённых теорий. Поэтому так актуальны фундаментальные проблемы обоснования перехода от трехмерных краевых задач теории упругости к двумерным краевым задачам математической физики, определение его точности и оценка возникающих при этом погрешностей. Особую сложность эти проблемы имеют в нестационарных динамических задачах.

Переходные процессы деформации имеют место в течение промежутка времени, соизмеримого с временем пробега волнами деформаций пути, равного характерному размеру срединной поверхности оболочки. В ней можно при этом выделить возмущенные области, границы которых определяются фронтами волн. На фронте волны некоторые компоненты напряжений и деформаций или их производные разрывны, и если нагрузки являются достаточно гладкими по времени функциями, то роль этих разрывов в напряженно-деформируемом состоянии (далее НДС) несущественна. Теоретический и прикладной интерес представляет напряженное состояние в окрестности фронтов волн для так называемых ударных нагрузок, моделируемых импульсными функциями.

Состояние исследований по изучению переходных волновых процессов деформации тонких упругих плит и оболочек охарактеризовано в обзорах [1, 4, 5, 6, 30, 80, 62, 64, 72, 89, 93, 94]. В них проанализированы приближенные динамические теории, проведена классификация типов НДС и разработанных методов исследования краевых задач.

Сложность уравнений теории упругости для оболочек не позволяет получить точные аналитические решения и поэтому используются различные приближенные подходы, основанные на приближении как исходных уравнений, так и искомых решений. При этом следует иметь в виду специфику изучения волновых процессов в тонкостенных конструкциях: из-за многократного отражения отдельных волн от лицевых поверхностей описать и воспринять волновую картину как наложение элементарных волн трудно даже при наличии современной техники. Следовательно, разработка приближенных методов исследования рассматриваемых волновых процессов должна вестись по пути построения сглаженной картины, аппроксимирующей суммарных вклад элементарных волн. Указанному условию соответствует, в частности, использование двумерной теории оболочек и пластин.

При решении динамических задач теории оболочек важнейшее зна чение имеют двумерные теории. Основы теории оболочек заложены трудами В.З. Власова, A.JI. Гольденвейзера, А.И. Лурье, В.В. Новожилова и представлены в монографиях [16, 22, 56, 65].

Замена переменных в масштабе характерного размера срединной поверхности оболочки показывает, что математически уравнения теории упругости для тонких оболочек относятся к классу сингулярно возмущенных уравнений с малыми параметрами при старших производных по координатам срединной поверхности, где в качестве малого параметра используется параметр относительной тонкостенности. Поэтому при изучении НДС оболочек важную роль играют асимптотические методы, позволяющие применять богатый асимптотический аппарат с физической интерпретацией решения на всех этапах его разработки. Асимптотические методы в теории оболочек получили всестороннее развитие в работах А.Л. Гольденвейзера (17-27, 79, 80]. Введение показателей изменяемости НДС по пространственным координатам и введение операции растяжения масштаба в уравнениях теории упругости позволило построить для статических задач основной итерационный процесс, приводящий в первых приближениях к двумерным теориям оболочек, и дополнительный, приводящий к теориям принципиально нового типа - теории плоского и антиплоского погранслоя. Итерационный процесс позволил также взглянуть на погрешность двумерных теорий, теорий оболочек и пластин с асимптотической точки зрения, определяя форму ее зависимости от значений показателя изменяемости НДС.

Для статических уравнений линейной теории А.Л. Гольденвейзером была установлена известная классификация. В ней различаются интегралы, соответствующие безмоментным, чисто моментным напряженным состояниям, краевым эффектам, напряженным состояниям с большой изменяемостью и т. д. Эти понятия положены в основу всех известных приближенных методов статики оболочек [22]. В работе [21] такая же классификация установлена для интегралов двумерных динамических уравнений линейной теории оболочек. Показано, что в динамике целесообразна более разветвленная классификация, в которой надо учитывать изменяемость искомого напряженного состояния не только по геометрическим переменным, но и по времени.

В работе [26] А.Л. Гольденвейзером проведен асимптотический анализ краевого НДС тонкой упругой оболочки. Исследована асимптотика вклада погранслоев в формирование краевых явлений в тонкой упругой оболочке в зависимости от характера краевого закрепления. Было показано, что для уточнения расчета краевых НДС в тонких оболочках и пластинах правомерно использование сдвиговых теорий. В работе [25] рассмотрены трехмерные динамические уравнения теории упругости и свойства их интегралов в случае, когда тело тонкое и его лицевые поверхности не закреплены. Установлена связь полученных интегралов с интегралами двумерных уравнений теории оболочек и уравнений погранслоя. Предложена связанная с этим трактовка принципа Сен-Венана для тонких упругих оболочек. В работе [27] сформулирован модифицированный принцип Сен-Венана, обуславливающий затухание асимптотически главной части НДС, вызванной системой сил, приложенных к торцу тонкого упругого тела. Выведены четыре условия выполнения модифицированного принципа Сен-Венана и определена возможность использования их при построении итерационных процессов интегрирования общих уравнений теории упругости.

Большую эффективность имеют асимптотические методы при изучении колебаний тонких оболочек. Большое количество работ посвящено здесь применению метода расчленения НДС и метода экспоненциальных представлений. Общие вопросы использования этих методов изложены в работах A.JI. Гольденвейзера [18-20], В.В. Болотина [11-13],

П.Е. Товстика [70-72], A.J1 Гольденвейзера, В.Б. Лидского, П.Е. Товстика

231

Нестационарная динамика оболочек является единственной областью теории оболочек, в которой до недавнего времени возможности асимптотического метода не были использованы достаточно полно. Это объясняется двумя обстоятельствами.

Первое из них заключается в том, что асимптотические подходы решения проблем динамической теории оболочек требуют широкого исследования понятия изменяемости НДС в пространстве и времени. В задачах нестационарной динамики оболочек само понятие изменяемости искомого решения становится несодержательным - изменяемость неоднородна в разных частях области определения: вдали от точки приложения нагрузки и от фронта волны изменяемость невелика, а вблизи этих областей она, монотонно возрастая, становится весьма большой.

Второе обстоятельство, затрудняющее применение асимптотических подходов в задачах нестационарной динамики, заключается в том, что изменяемость НДС вблизи точки приложения ударной нагрузки и вблизи фронта волны заведомо выходит за рамки применимости двумерной теории оболочек. Поэтому в задачах нестационарной динамики оболочек надо не только варьировать структуру асимптотических разложений, но и по разному подбирать исходные уравнения.

Таким образом, в задачах нестационарной динамики оболочек не проходит асимптотический метод расчленения НДС в классической форме, используемой в случае статики и стационарной динамики.

Решения нестационарных задач тонких оболочек обладают неоднородной изменяемостью как по времени, так и по направлению распространения возмущений. Это позволяет подойти к исследованию напряженного состояния с позиции расчленения его на элементарные составляющие, имеющие в своих областях применимости однородные изменяемости по координатам и времени, что дает возможность построить для элементарных составляющих в рамках некоторой заданной погрешности асимптотически оптимальные уравнения, имеющие гораздо более простой вид по сравнению с исходными. Гиперболический тип динамических уравнений теории упругости и необходимость удовлетворения начальным условиям не позволяют механически перенести алгоритмы расчленения стационарного НДС на случай нестационарных задач.

Впервые метод расчленения нестационарного НДС был рассмотрен в работе Н.А. Алумяэ [2], исследовавшего осесимметричный переходный процесс в полубесконечной круговой цилиндрической оболочке, вызванный действием краевой нагрузки, изменяющейся во времени по синусоидальному закону. Асимптотическое обращение контурных интегралов от изображений решений по Лапласу дало возможность разложить НДС на безмоментное решение и краевые эффекты. Аналогичные выводы были сделаны в работе Н.А. Алумяэ и Л. Поверуса [3], где краевая нагрузка на цилиндрическую оболочку изменялась по времени как функция Хеви-сайда, а по дуговой координате - по закону косинуса. В процессе решения задачи производилось расчленение напряженных состояний с учетом показателя изменяемости по времени. В результате проведенных исследований было показано, что тангенциальные характеристики деформации оболочки при переходном процессе могут быть определены с помощью безмомент-ной теории, когда этот процесс вызывается тангенциальными факторами на неасимптотическом краю оболочки.

В работе [60] У.К. Нигул рассмотрел колебание цилиндрической оболочки при помощи метода Фурье с использованием разработанного им асимптотического представления собственных колебаний. В работе [63] У.К. Нигул рассмотрел начальный этап переходных процессов деформации упругих круговых цилиндрических оболочек, возбужденных нагрузкой, которая действует или возрастает до максимального значения за время, соизмеримое с временем пробега волнами деформаций пути, равного характерному размеру срединной поверхности оболочки или меньше этого времени. Опыт анализа переходных процессов деформации плит предсказал следующую качественную картину развития деформации: место приложения нагрузки выступает в качестве источника первичных элементарных волн, а в процессе их отражения от боковых поверхностей оболочки появляются новые элементарные волны, количество которых возрастает весьма быстро. Отдельное построение и анализ увеличивающегося числа элементарных волн практически неосуществимо, но в этом и нет необходимости, ибо при расчете технических тонкостенных конструкций (в отличие от задач геофизики), обыкновенно, представляет главный интерес аппроксимация главного эффекта основных компонент элементарных волн. В статьях У.К. Нигула [60, 61, 93] подводится итог исследованиям по изучению областей эффективной применимости теории типа Тимошенко и теории Кирхгофа-Лява при осесимметричной деформации оболочек вращения, вызванной локальной нагрузкой. Проведен анализ и сопоставление численных результатов полученных при использовании в решении конкретных задач методов конечных разностей, перевала, стационарной фазы, прифронтовой асимптотики, описанных в работах [1, 3, 5, 62, 64]. Отмечается, что характер напряженного состояния существенно зависит от изменяемости воздействия во времени.

Задача об ударе сплошного стержня была исследована на основе приближенных теорий. Наибольший вклад в решение этой проблемы внес

Микловиц [91]. Однако, в этой работе не определялись точно все члены асимптотического разложения, которые легко получались при использовании более простой безмоментной теории. Реакция вблизи фронта волны определялась на основании приближенной теории стержней.

В статье [59] А.П. Малышев и В.И. Паничкин рассмотрели одномерные волновые процессы в оболочках вращения, возникающие при действии быстроизменяющихся нагрузок. Анализируются волновые процессы в цилиндрических оболочках постоянной толщины при заданном законе движения левого торца в виде функции Хевисайда. В работе показано, что величина разрыва на фронте продольной волны остается постоянной. За фронтом продольной волны наблюдается дисперсия, которая обусловлена взаимным влиянием продольной и поперечной волн. Полученные результаты демонстрируют разделение напряженных состояний оболочки при переходном процессе на безмоментное состояние и краевой эффект.

Изучение свойств аналитических решений задач о переходных волновых процессах, проведенное В.В. Новожиловым и Л.И. Слепяном в работах [65, 66, 68], позволило определить работу принципа Сеи-Вепаиа при рассмотрении переходных волновых процессов в динамике стержней и пластин: основным положением является здесь то, что главная часть деформаций, соответствующих внезапно прилагаемым самоуравновешенным по сечению нагрузкам, локализуется вблизи волновых фронтов и того сечения, где приложено возмущение. Проведенный анализ областей действия различных теорий позволяет более осознанно подойти к выбору эффективных методов решения задач.

Как уже отмечалось, при рассмотрении волновых процессов в тонкостенных конструкциях изучается суммарный вклад элементарных волн. Метод прифронтовой асимптотики, основанный на разложении изображений по Лапласу в ряд по отрицательным степеням параметра преобразования, использовался для получения решения в начальные промежутки времени и в окрестностях фронтов волн для оболочек вращения в работах Н.Д. Векслера [14, 15].

С удалением от фронтов волн широко использовались методы перевала и стационарной фазы. На базе уравнений теории упругости они применялись при расчете стержней и пластин в работе [61]. Отметим, что и метод перевала, и метод прифронтовой асимптотики базируются на разложении искомых изображений (по Лапласу и Фурье) в ряд по модам, в процессе которого появляется необходимость решения дисперсионных уравнений. Состояние дел по изучению свойств корней дисперсионных уравнений, описывающих симметричные и антисимметричные моды плит и оболочек, дано в работах [1, 9, 31].

В случае двумерных задач для стержней и пластин, а также безмо-ментных задач для цилиндрических оболочек применялись разнообразные методы обращения изображений решений, основанные на аналитических свойствах интегральных преобразований Лапласа и Фурье, приведенных в книгах Л.И. Слепяна [68, 69].

Распространение осесимметричных волн в цилиндрических оболочках по безмоментной теории рассматривалось также А.П. Малышевым [58]. В работах [58, 68] приведены решения соответствующих задач при действии ударно прикладываемых нагрузок. Решения получены с помощью интегралов Френеля.

Задача о свободных колебаниях тонкостенной оболочки со ступенчатым переменным сечением рассматривалась в [99]. В работе [96] рассмотрены процессы отражения и передачи ударных импульсов в ступенчатых стержнях, в ней проведено сравнение значений относительных напряжений, полученных по одномерной теории с результатами экспериментов и сделан вывод, что эта теория вполне приемлема, если форма и длительность импульса, а также геометрические параметры таковы, что справедлива одномерная теория распространения упругих волн (например, если длина волны импульса значительно больше диаметра стержня). В [96] подчеркнута необходимость более строгого подхода к решению задач, особенно когда длительность импульса мала. В статье [86] также использована одномерная теория при исследовании прохождения волн относительно большой длины через сосредоточенные скачки сечения, разделяющие два цилиндрических стержня.

В работе [92] теоретически и экспериментально исследованы процессы отражения и передачи продольных импульсов напряжения в цилиндрических оболочках со ступенчатым изменением поперечного сечения. Были использованы три различных подхода: изгибная теория, учитывающая поперечный сдвиг, а также инерцию радиального и вращательного движений, мембранная теория и одномерная теория. Методом характеристик получены решения основных уравнений для каждой из трёх систем. Показано, что результаты расчета по изгибной и мембранной теориям хорошо согласуются с экспериментальными данными, а одномерная теория даёт значительно худшее совпадение.

Долгое время сфера применения асимптотических методов в нестационарной динамике тонких упругих тел была ограничена случаями пластины и круговой цилиндрической оболочки. Лишь сравнительно недавно в работах Л.Ю. Коссовича [47-50] представлены асимптотические подходы к нестационарным задачам для оболочки вращения с меридианом произвольной формы, основанные на расчленении НДС на составляющие (безмо-ментную, моментную и динамический погранслой) с различными показателями изменяемости. Исследование нестационарного волнового НДС оболочек вращения проводилось с использованием фундаментального понятия показателя изменяемости, введенного А.Л. Гольденвейзером. Рассматривался один из важных классов нестационарных задач - задач о распространении волн деформаций в оболочках вращения под действием ударных нагрузок, приложенных к торцу оболочки. Были рассмотрены области применимости в фазовой плоскости всех составляющих и доказано сращивание безмоментной составляющей и динамического плоского симметричного погранслоя, моментной составляющей и динамического плоского обратно-симметричного погранслоя. Проведенный здесь анализ различного типа асимптотик двумерных решений позволил связать особенности их получения со свойствами тех областей фазовой плоскости, которые являются областями их применимости. Этот анализ позволил разработать принципиальный подход к получению таких асимптотик без использования интегральных преобразований, основываясь только на физическом смысле. В книге [49] доказана корректность предложенной схемы расчленения и найдены эффективные методы определения всех составляющих.

В последнее время А.Л. Гольденвейзером и Ю.Д. Каплуновым опубликовано значительное количество работ, посвященных задачам о колебаниях оболочек и общим вопросам теории. Так, в работе [28] в рамках трехмерной теории рассмотрена тонкая упругая осесимметричная оболочка вращения произвольного очертания, совершающая установившиеся колебания под действием краевой нагрузки, меняющейся по гармоническому закону Рассмотрены приближенные методы построения разноизменяющихся решений уравнений теории упругости и решен вопрос об использовании таких решений для приближенного исследования вынужденных колебаний оболочек при частотах, исключающих применение классической двумерной теории. В [24] A.JI. Гольденвейзером на базе уравнений классической двумерной теории было установлено, что при фиксированном значении волнового числа и при возрастании частоты изменяемость НДС оболочки увеличивается и существуют критические значения частот, выше которых решение задачи о вынужденных колебаниях становится разноизменяющимся, то есть изменяемость в меридиальном направлении оказывается существенно большей, чем в направлении параллелей. Вследствие этого при достаточно больших значениях частоты двумерная теория оболочек становится неприемлемой.

В работах [29, 79] обсуждаются линейные TP теории (по имени С.П. Тимошенко и Е. Рейснера) пластин и оболочек, т.е. теории, учитывающие деформацию поперечного сдвига и инерцию вращения. Ставится вопрос об их построении асимптотическим методом и о вытекающих из этого оценках погрешностей для задач статики и динамики. Предлагается метод расширения области применимости TP теорий для динамических задач.

Большой вклад в разработку асимптотически приближенных теорий и исследование нестационарных волновых процессов в оболочках и пластинах внесли публикации Ю.Д. Каплунова. В [36] методом асимптотического интегрирования трехмерных динамических уравнений теории упругости построены двумерные уравнения, описывающие высокочастотные НДС малой изменяемости в оболочках. Установлена область применимости и погрешность предложенных уравнений. Получены граничные условия для типичных случаев закрепления краев оболочки. Исследование высокочастотных колебаний оболочки вращения проводилось в [35]. Применен метод меридиальных полос. Произведено упрощение описывающих колебания ме-ридиальной полосы уравнений плоского и антиплоского динамического погранслоя путем разделения определяемого НДС на симметричную и антисимметричную составляющие. Построены частные решения упрощенных таким образом уравнений, удовлетворяющие однородным граничным условиям на лицевых поверхностях оболочки. Вынужденные стационарные колебания оболочек вращения, вызванные высокочастотными краевыми нагрузками, рассматривались в работе [37]. Показано, что вне окрестностей частот запирания исходная трехмерная задача с асимптотически исчезающей погрешностью может быть сведена к плоской и антиплоской задачам теории упругости. Краевые задачи, описывающие медленно меняющуюся составляющую НДС оболочки в окрестностях частот запирания были изучены в [84].

В работе [38] Ю.Д. Каплуновым и Е.В. Нольде был проведен асимптотический анализ трехмерных динамических уравнений теории упругости для случая изгиба пластин. При этом два безразмерных асимптотических параметра (показатель изменяемости и показатель динамичности) полагались независимыми. В публикациях посвященных асимптотическому построению двумерной динамической теории пластин, обычно считалось, что между этими двумя параметрами существует связь [29]. Низкочастотная модель для динамических колебаний в предварительно нагруженных несжимаемых структурах была получена в [85].

В работе [81] было показано, что для определения НДС тонкой оболочки вращения в окрестности квазифронта вместо общих уравнений теории коротковолновой высокочастотной составляющей можно использовать уточненные уравнения классической двумерной теории оболочек, в соответствии с асимптотикой, рассмотренной в [29]. Уточнение этих уравнений позволяет расширить область применимости теории Кирхгофа-Лява.

Изучение нестационарного волнового процесса в тонкой оболочке общего очертания при краевом ударном воздействии проведено в работе [39]. На основе приближенных теорий выявлены качественные особенности нестационарного НДС оболочки и определены границы областей применимости различных теорий. Получены простые асимптотические формулы для описания распространения волны изгиба.

В работе Ю.Д. Каплунова, И.В. Кирилловой, Л.Ю. Коссовича [40] проведено асимптотическое интегрирование трехмерных динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек. Обсуждены особенности асимптотических свойств НДС оболочки в задачах динамики. Выведены предельные двумерные системы уравнений.

Исследования, выполненные Ю.Д. Каплуновым, Л.Ю. Коссовичем, Е.В. Нольде в области асимптотической теории тонких упругих тел, обобщены в монографии [82]. Проведен вывод асимптотически оптимальных уравнений низкочастотных, высокочастотных и длинноволновых высокочастотных приближений, позволяющих в совокупности описать динамические процессы (как стационарные, так и нестационарные) на базе точных уравнений трехмерной теории упругости. Разработаны двумерные теории высшего порядка пластин и оболочек. Рассмотрены задачи колебания оболочек вращения, колебания тонких тел в среде, излучения тонкими телами. Для моделирования нестационарных волновых процессов выведены асимптотически оптимальные уравнения динамических погранслоев в окрестностях фронтов волн расширения и сдвига, окрестности квазифронта.

В работе [42] рассмотрен динамический погранслой в окрестности фронта поперечной волны изгиба. Факт существования областей согласования между коротковолновой составляющей и погранслоями в окрестностях фронтов нестационарных волн доказан в статье [43].

В рамках разработанной в [49, 82] математической модели распространения нестационарных волн в оболочках вращения проведены дальнейшие исследования, углубившие понимание рассматриваемых физических явлений с точки зрения формирования установившихся процессов при различных видах воздействий. Так, в работе [90] исследуется, в частности, стремление решения для изгибной составляющей в оболочках вращения к стационарному с ростом времени и принципиальные отличия со временем свойств этих решений от соответствующих решений для пластин. В работах [41, 51] исследовано нестационарное НДС при ударно приложенных гармонических торцевых воздействиях на оболочки вращения и выявлено расположение зон перехода нестационарной части решения в гармонические колебания.

Разработка математической модели указанного класса определила принципы подхода к исследованию самых разнообразных динамических задач для тонкостенных конструкций, которые базируются на широчайших возможностях асимптотического метода. Приведем примеры последних разработок, обобщающих рассмотренный асимптотический подход.

Локальное нормальное ударное воздействие сжимающего типа на упругую плиту рассматривалось в [83]: для решения этой очень характерной задачи использовалась уточненная асимптотическая модель. В работе [95] изучалась асимптотическая модель для колебаний в несжимаемой упругой плите.

Отметим также, что изменение геометрического класса задач - переход к оболочкам общего очертания (или к воздействиям, локально действующим на торцы оболочки) - требует кардинально нового подхода к выбору систем координат, связанного со сложной геометрией фронтов и квазифронтов. В [39] предложено срединную поверхность произвольных оболочек относить не к линиям кривизны, а к полу геодезической системе координат и изучать процесс распространения волн вдоль геодезических. Данный подход реализован в работах [73, 74] на примере скошенной цилиндрической оболочки при исследовании погранслоя в окрестности квазифронта.

Изменение механических свойств материала оболочек оказывает принципиальное влияние на характер НДС. В работах [54, 75] выведены асимптотически оптимальные уравнения для различного типа погран-слоёв в трансверсально-изотропных тонких пластинах и оболочках. Нестационарное НДС в оболочках из вязкоупругих материалов изучалось в [7, 8, 77, 76]. Введение нового параметра - показателя интенсивности времени релаксации - позволило описать новую классификацию нестационарного НДС конструкций в случае вязкоупругих материалов с дифференциальной формой уравнений состояния. Выведены асимптотически оптимальные уравнения всех составляющих.

Интересными теоретически и практически важными явились исследования распространения нестационарных волн в подкрепленных оболочках вращения [44, 45]. Здесь необходимым оказался учет квазистатического погранслоя типа Сен-Венана при исследовании волнового процесса в подкреплениях.

Данная диссертационная работа посвящена исследованию нестационарного волнового НДС в полубесконечных и составных цилиндрических оболочках при действии ударной торцевой нагрузки изгибающего типа, а именно, уточнению схемы расчленения нестационарной волны в полубесконечной оболочке и распространению её на отраженную и прошедшую волны, порождаемые стыком элементов составной оболочки; определению границ применимости различных асимптотических теорий; развитию аналитических методов построения решения для изгибной составляющей теории Кирхгофа-Лява и погранслоя в окрестности фронта для отраженной и прошедшей волн.

В первой главе поставлена задача о нестационарном НДС в цилиндрических оболочках, вызванном ударными нагрузками изгибающего типа на торец оболочки. Приведены уравнения трехмерной теории упругости в криволинейной системе координат для оболочки произвольной формы. Рассматривается действие ударной нагрузки, приложенной к краю и зависящей от времени как единичная функция Хевисайда. Трёхмерная краевая задача поставлена как для полубесконечной, так и для составной цилиндрической оболочки.

В случае полубесконечной оболочки приведена схема формирования решения для изгибающего момента с помощью приближенных теорий, основанная на свойстве неоднородности НДС по направлению распространения фронта волны и по времени, а также схема, показывающая области применимости приближенных теорий в фазовой плоскости. Предложен способ определения границ этих областей. Поставлены краевые задачи для моментной составляющей теории Кирхгофа-Лява, для квазиплоской квазиантисимметричной задачи теории упругости, для погранслоя в окрестности фронта волны расширения, а также приведены уравнения квазистатического погранслоя типа Сен-Венана.

Во второй главе исследуются временные свойства нестационарного НДС, возникающего в полубесконечной цилиндрической оболочке при действии ударной торцевой нагрузки изгибающего типа.

В первом пункте приводится решение задачи об определении осесим-метричного погранслоя в окрестности фронта волны расширения, полученное в [42, 88]. При нахождении решения для изгибающего момента использовались интегральные преобразования Лапласа по времени и Фурье по продольной координате. При обратном преобразовании - теорема о вычетах и метод прифронтовой асимптотики, основанный на разложении изображений Лапласа по отрицательным степеням параметра преобразования и представлении решения в виде ряда по функциям Бесселя.

Во втором пункте главы решается задача об определении изгибной составляющей теории Кирхгофа-Лява, возникающей при действии осесим-метричной ударной нагрузки на торец оболочки. Решение проводится на примере изгибающего момента. Для того, чтобы сформулировать краевую задачу в удобной для изучения асимптотическими методами форме, вводятся безразмерные переменные, характеризующие растяжение масштаба в соответствии с показателем изменяемости по продольной координате и показателем динамичности по времени. Кроме того, вводятся безразмерные формы для компонент НДС, а также проводится отделение угловой координаты.

Для получения решения используется метод интегрального преобразования Лапласа по временной переменной. В зависимости от её значения, обращение решения производится различными асимптотическими методами. Для малых времён используется метод разложения изображения в ряд по отрицательным степеням корня квадратного из параметра преобразования Лапласа. С ростом времени этот метод становится неэффективным, поэтому оригинал решения представляется суперпозицией статического решения и решения, получаемого методом перевала. Определена область согласования асимптотических решений. Приводятся графики зависимости изгибающего момента от безразмерной продольной координаты для различных значений времени, а также графики, иллюстрирующие отклонение полученного решения от решения соответствующей задачи для пластин, обусловленное влиянием кривизны оболочки.

В третьем пункте главы описывается решение задачи об определении изгибной составляющей теории Кирхгофа-Лява, возникающей при действии торцевой ударной нагрузки в случае большой изменяемости НДС вдоль угловой координаты [49]. При решении использовался метод интегрального преобразования Лапласа. В зависимости от значения показателя изменяемости вдоль угловой координаты проводилась асимптотическая оценка корней характеристического уравнения. Если этот показатель больше одной второй, то оригинал решения для всех значений временной переменной был получен методами обращения, описанными выше. В противном случае, показатель динамичности равен нулю и решение было найдено аналогично решению при осесимметричной нагрузке. Выделена область согласования асимптотических решений и приведены их графики.

В целом вторая глава на примере полубесконечной цилиндрической оболочки наглядно демонстрирует методы определения НДС разработанные для оболочек вращения.

В третьей главе проводится анализ нестационарного НДС составной цилиндрической оболочки при ударных воздействиях изгибающего типа, которое сводится к наложению волн, каждая из которых соответствует волне в полубесконечной оболочке. Сначала, в первом пункте главы, для волн, отраженных от стыка элементов составной оболочки и прошедших через него, обосновывается применение схемы расчленения решения, аналогичной соответствующей схеме, приведённой в первой главе. Предложен способ определения границ применимости каждой из составляющих решения. В соответствии с тем, какая из составляющих падающей волны попадает на стык элементов оболочки, ставятся контактные граничные условия.

Второй пункт главы посвящен решений) задачи об определении осе-симметричного погранслоя в окрестности фронтов отраженной и прошедшей волн. Решения для каждого типа волн ищутся методом двойных интегральных преобразований Лапласа и Фурье. Получено уравнение для неизвестной величины нормального напряжения на стыке. В случае малой области контакта, на основе упрощающих предположений о поведении контактного напряжения в зависимости от нормальной координаты, методом прифронтовой асимптотики получены простые асимптотические решения.

В четвёртой главе решена задача об определении изгибной составляющей теории Кирхгофа-Лява при действии осесимметричной ударной нагрузки изгибающего типа на торец составной цилиндрической оболочки. Как и в случае полубесконечной оболочки, используется метод интегрального преобразования Лапласа. Приведена постановка задачи в изображениях. Её решение для изгибающих моментов найдено при условии малости отношения толщин элементов оболочки. Обращение полученных решений для отраженной и прошедшей волны выполняется асимптотическими методами, представленными во втором пункте второй главы. Так же определены области согласования асимптотических решений. Асимптотики проиллюстрированы графиками. Согласно [45] произведено уточнение решения для отраженной волны в окрестности стыка при помощи построения квазистатического погранслоя типа Сен-Венана.

В заключении диссертации сформулированы основные выводы.

Автором выносятся на защиту основные положения:

• разработка математической модели нестационарного процесса в теории составных цилиндрических оболочек, основанной на использовании асимптотических методов исследования краевых задач, применяемых ранее для полубесконечных оболочек вращения,

• разработка методов определения границ областей применимости асимптотических теорий для волн в составных цилиндрических оболочках,

• разработка методов определения изгибной составляющей теории Кирхгофа-Лява в задаче о распространении волн в полубесконечной и в составной цилиндрических оболочках при ударных воздействиях изгибающего типа для всех значений временной переменной,

• разработка методов определения погранслоя в окрестности фронта волны расширения в задаче о распространении волн в составных цилиндрических оболочке при ударных воздействиях изгибающего типа.

Научная новизна. В диссертации впервые разработан асимптотический подход к решению нестационарных задач для составных цилиндрических оболочек, основанный на расчленении НДС на составляющие. Для каждой составляющей НДС выделены границы применимости. Кроме того, впервые асимптотическими методами проанализировано поведение решения для изгибной составляющей с ростом времени, получены асимптотики для различных времён и выделены области их согласования. Также разработаны методы определения погранслоя в окрестности фронта волны расширения в задаче о распространении волн в составных цилиндрических оболочке при ударных воздействиях изгибающего типа.

Достоверность результатов обеспечивается применением при решении поставленных краевых задач апробированных асимптотических методов, строгостью используемых математических методов и подтверждается

•.•".•••• !:<»Г; природе моделируемых нроцг-о. их сравнением с известными работами других авторов и выделением областей согласования различных асимптотических решений.

Практическое значение работы состоит в расширении области действия асимптотических методов исследования нестационарных волновых процессов на составные цилиндрические оболочки. Разработаны эффективные аналитические методы решения нестационарных задач для составных цилиндрических оболочек, подверженных действию ударных нагрузок, необходимые для расчета тонкостенных конструкций на прочность в авиастроении, судостроении и других отраслях промышленности. Представленные методы позволят решить вопрос создания надежных численно-аналитических методов исследования динамического НДС составных оболочек вращения и подкреплённых тонкостенных конструкций.

Апробация работы. Основные результаты исследований, выполненных в диссертации, доложены на:

1. Международной конференции "Математика в индустрии", Таганрог, Россия, 1998.

2. The 6th Conference "Shell Structures, Theory and Application", Gdansk, Poland, 1998.

3. VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Пермь, Россия, 2001.

4. XXXIV постоянно-действующем научно-техническом семинаре "Проблемы теории, конструкции, проектировании и эксплуатации ракет, ракетных двигателей и наземно-механического оборудования к ним", Саратов, Россия, 2001.

5. Euromech Colloquium 444 "Critical Review of the Theories of Plates and Shells and New Applications", Bremen, Germany, 2002.

6. Семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета.

Заключение

В диссертационной работе асимптотический метод используется для исследования нестационарного волнового НДС составных цилиндрических оболочек в случае ударных торцевых воздействий изгибающего типа. Основные результаты исследований заключаются в следующем:

1. На основе общей схемы расчленения НДС оболочек вращения на составляющие с различными показателями изменяемости разработана методика асимптотического исследования нестационарного НДС в составных цилиндрических оболочках.

2. Поставлены краевые задачи для всех составляющих НДС: погранслоя в окрестности фронта волны расширения, квазиплоской квазиантисимметричной задачи теории упругости, изгибной составляющей теории Кирхгофа-Лява, квазистатического погранслоя типа Сен-Венана.

3. На основе асимптотических оценок областей согласования различных составляющих НДС выделены границы их применимости.

4. При условии малости области контакта элементов составной оболочки, с использованием методов интегральных преобразований Лапласа и Фурье, метода прифронтовой асимптотики, метода перевала и др., построены аналитические решения краевых задач для погранслоя в окрестности фронта волны расширения и для изгибной составляющей теории Кирхгофа-Лява.

1. Айнола Л.Я., Нигул У.К. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1965. Ш. С.3-63.

2. Алумяэ Н.А. О применимости метода расчленения напряженного состояния при решении осесимметричных задач динамики замкнутой цилиндрической оболочки // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1961. №3. С.171-181.

3. Алумяэ Н., Поверус Л. Преходный процесс деформации в замкнутой кругноцилиндрической оболочке при неосесимметричной краевой нагрузке // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1963. №1. С.13-23.

4. Алумяэ Н.А. Переходные процессы деформации упругих оболочек и пластин // Тр. 6-й Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. М., 1966. С. 883-889.

5. Алумяэ Н.А. Теория упругих оболочек и пластинок // Механика в СССР за 50 лет. Механика деформируемого твёрдого тела. Т. 3. М.: Наука, 1972. С. 227-266.

6. Бабич В.М., Молотков И.А. Математические методы в теории упругих волн // Механика деформируемого твёрдого тела. Т. 10. М.,1977. С. 5-62.

7. Бажанова Н.С., Коссович Л.Ю. Погранслой в окрестности фронта волны расширения в вязкоупругих оболочках вращения // Проблемы прочности и пластичности. Межвузовский сб. Изд-во Нижегородского ун-та, 2000, С. 22-26.

8. Бажанова Н.С., Коссович Л.Ю., Сухоловская М.С. Нестационарные волны в вязкоупругих оболочках: модель Максвелла // Известия ВУЗов. Северокавказский регион. Естественные науки. 2000, № 2. С. 1724.

9. Березин В.Л., Каплунов Ю.Д., Коссович Л.Ю. Дисперсия упругих волн в тонкостенном цилиндре // ИПМ АН СССР. Препринт №454. 1990. 40 с.

10. Болотин В.В. Краевой эффект при колебаниях упругих оболочек // ПММ, Т. 24. Вып. 5. 1960. С. 831-842.

11. Болотин В.В. О плотности частот собственных колебаний тонких упругих оболочек // ПММ, Т. 27. Вып. 2. 1960. С. 362-364.

12. Болотин В.В. Теория распределения собственных частот упругих тел и её применение к задачам случайных колебаний // Прикладная механика. Т. 8. Вып. 4. 1972. С. 3-29.

13. Векслер Н.Д. Исследование фронтовых разрывов при осесимметрич-ной деформации оболочек вращения и круглой плиты // Переходные процессы деформации оболочек и пластин. Материалы Веесоюз. симпозиума, Тарту, 1967. С. 41-49.

14. Векслер Н.Д. Распространение упругих волн в цилиндрической оболочке при осесимметричной деформации //Тр. 8-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. М., 1973. С. 420-423.

15. Власов В.З. Общая теория оболочек и её приложения к технике. -М.-JL: Гостехиздат, 1949. 784с.

16. Гольденвейзер A.JI. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // ПММ, Т.27. Вып. 4. 1963. С. 593-608.

17. Гольденвейзер A.JI. Качественный анализ свободных колебаний упругой тонкой оболочки // ПММ, Т.ЗО. Вып. 1. 1966. С. 94-108.

18. Гольденвейзер A.JI. О плотности частот колебаний тонкой упругой оболочки // ПММ, Т.34. Вып. 5. 1966. С. 952-956.

19. Гольденвейзер A.JI. Об ортогональности форм собственных колебаний тонкой упругой оболочки // Проблемы механики твёрдого деформируемого тела. -JI., 1970. С. 121-128.

20. Гольденвейзер A.JI. Классификация интегралов динамических уравнений линейной двумерной теории оболочек // ПММ, Т.37. Вып. 4. 1973. С. 591-603.

21. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М., 1976. 512с.

22. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.В., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1979. 384 с.

23. Гольденвейзер А.Л. О вынужденных гармонических колебаниях оболочек // Изв. АН СССР. МТТ, №5. 1987. С. 168-177.

24. Гольденвейзер А.Л. Некоторые вопросы общей линейной теории оболочек // Изв. АН СССР. МТТ, №5. 1990. С. 126-138.

25. Гольденвейзер А.Л. О краевом напряженно-деформированном состоянии тонких упругих оболочек // Изв. АН Эстонии. Физ. Матем. Вып. 42. №1, 1993. С. 32-44.

26. Гольденвейзер А.Л. Алгоритмы асимптотического построения линейной двумерной теории тонких оболочек и принцип Сен-Венана // ПММ, Т.58. Вып. 6. 1994. С. 96-108.

27. Гольденвейзер А.Л., Каплунов Ю.Д. Динамический погранслой в задачах колебаний оболочек // Изв. АН СССР. МТТ, №4. 1988. С. 152162.

28. Гольденвейзер А.Л., Каплунов Ю.Д., Нольде Е.В. Асимптотический анализ и уточнение теорий пластин и оболочек типа Тимошенко-Рейсснера // Изв. АН СССР. МТТ, №6. 1990. С. 124-138.

29. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Механика твёрдых деформируемых тел. Т. 5. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. -М., 1973. 272 с.

30. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. -Киев, 1981. 283 с.

31. Гусейн-Заде М.И. Об условиях существования затухающих решений плоской задачи теории упругости для полуполосы // ПММ. 1965. Т.29. Вып. 2. С. 393-399.

32. Гусейн-Заде М.И. О необходимых и достаточных условиях существования затухающих решений плоской задачи теории упругости для полуполосы. // ПММ, Т. 29. Вып. 4. 1965. С. 752-760.

33. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М., 1961. 707с.

34. Каплунов Ю.Д. Интегрирование уравнений динамического погранслоя // Изв. АН СССР. МТТ, Ш. 1990. С. 148-160.

35. Каплунов Ю.Д. Высокочастотные напряженно-деформированные состояния малой изменяемости в упругих тонких оболочках // Изв. АН СССР. МТТ, т. 1990. С. 147-157.

36. Каплунов Ю.Д. Колебания оболочек вращения при высокочастотном краевом возбуждении // Изв. АН СССР. МТТ, №6. 1991. С. 151-159.

37. Каплунов Ю.Д., Нольде Е.В. Двухпараметрический асимптотический анализ динамических уравнений теории упругости для случая изгиба пластин // ПММ, Т. 56. Вып. 5. 1992. С. 750-755.

38. Каплунов Ю.Д. Распространение нестационарных упругих волн в оболочке общего очертания // Изв. АН СССР. МТТ, №6. 1992. С. 156-167.

39. Каплунов Ю.Д., Кириллова И.В., Коссович Л.Ю. Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек // ПММ, Т. 57. Вып. 1. 1993. С. 83-91.

40. Ковалев В.А., Коссович Л.Ю., Никонов А.В. Переходные волновые процессы в цилиндрической оболочке при внезапно приложенных гармонических нагрузках // Известия РАН. МТТ, №2. 2000. С. 169-180.

41. Кириллова И.В., Коссович Л.Ю. Динамический погранслой в окрестности фронта поперечной волны изгиба. Современные проблемы механики сплошной среды. Тр. II Международной конференции. Ростов-на-Дону. 1996. С. 92-96.

42. Кириллова И.В. Области согласования погранслоя и коротковолнового высокочастотного приближения // Сб. трудов СГАУ "Математическое моделирование и управление в технических системах", Саратов, 1998. С. 3-11.

43. Копнин А.Ю., Коссович Л.Ю. Исследования нестационарного НДС подкрепленных оболочек вращения при ударных продольных воздействиях тангенциального типа. Механика деформируемых сред. Изд-во СГУ, 1995, Вып. 12, С. 9-29.

44. Копнин А.Ю., Коссович Л.Ю., Петраковский С.А Нестационарные изгибные волновые процессы в подкрепленных оболочках вращения при ударных краевых воздействиях // МТТ, №6. 1996. С. 127-138.

45. Коссович Л.Ю. Метод асимптотического интегрирования в задачах о распространении волн в оболочках вращения // Изв. АН СССР. МТТ, №3. 1983. С. 143-148.

46. Коссович Л.Ю. Области согласования интегралов теории Кирхгофа-Лява и динамического нерегулярного погранслоя в задачах о распространении волн в оболочках вращения // Тр. 13-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Таллин, 1983. Т. 3. С. 143-148.

47. Коссович Л.Ю. Исследование волнового процесса в оболочках вращения методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ, №5. 1984. С. 142-146.

48. Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1986. 176 с.

49. Коссович Л.Ю. Метод расчленения нестационарного напряженного состояния в оболочках вращения // Тр. 14-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Кутаисси, 1987. Т. 2. С. 98-103.

50. Коссович Л.Ю., Никонов А.В. Нестационарная задача теории оболочек при ударно приложенном осциллирующем воздействии тангенциального типа // Механика деформируемых сред, №11. Изд-во Саратовского ун-та, 1993. С. 85-102.

51. Коссович Л.Ю., Парфёнова Я.А. Нестационарные изгибные волны в цилиндрической оболочке. Тр. Межд. конф. "Матем. в индустрии". -Таганрог, 1998.

52. Коссович Л.Ю., Парфёнова Я.А. Асимптотический метод исследования нестационарных волн в составных оболочках // VIII Всеросс. съезд по теорет. и прикл. мех-ке. Аннотации докладов. -Пермь, 2001. С.359.

53. Коссович Л.Ю., Шевцова Ю.В. Погранслои в окрестностях фронтов волн в трансверсально изотропном упругом слое // Тр. IV Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов-на-Дону. 1998, С. 54-57.

54. Коул Дж. Методы возмцущений в прикладной математике. -М.: Изд-во "Мир", 1972. 276 с.

55. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. -М.: Гостехиз-дат, 1947. -252 с.

56. Малинский И.Г., Парфёнова Я.А. Изгибные волны в составных цилиндрических оболочках // Механика деформируемых сред, №14. Изд-во Саратовского ун-та, 2002. С.

57. Малышев А.П. Волновые процессы в упругой тонкостенной цилиндрической оболочке при внезапном приложении силы к её торцу // Изв. АН СССР. МТТ, №. 1969. С. 138-141.

58. Малышев А.П., Паничкин В.И. Нелинейные волновые процессы в оболочках вращения // Изв. АН СССР. МТТ, Ж. 1976. С. 175-178.

59. Нигул У.К. Колебания круглоцилиндрической упругой оболочки вызванное действием сосредоточенного импульса // Тр. Таллинского политехи. ин-та. -Сер. А, №171. Вып. 2. 1960. С. 37-57.

60. Нигул У.К.Применение трёхмерной теории упругости к анализу волнового процесса изгиба полубесконечной плиты при кратковременно действующей краевой нагрузке // ПММ, Т. 27. Вып. 6. 1963. С. 583588.

61. Нигул У.К. О методах и результатах анализа переходных волновых процессов изгиба упругой плиты // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1965. №3. С.345-384.

62. Нигул У.К. О применимости приближенных теорий при переходных процессах деформаций круговых цилиндрических оболочек //Тр. 6-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. М., 1966. С. 593-599.

63. Нигул У.К. Сопоставление результатов анализа переходных волновых процессов в оболочках и пластинах по теории упругости и приближенным теориям // ПММ, Т. 33. Вып. 2. 1993. С. 308-322.

64. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. -JL: Судпромгиз, 1962. 431с.

65. Новожилов В.В., Слепян Л.И. О принципе Сен-Венана в динамике стержней // ПММ, Т. 29. Вып. 2. 1965. С. 261-281.

66. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. -Л., 1972. 374 с.

67. Слепян Л.И. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. -Л.: Судостроение, 1980. 343 с.

68. Товстик П.Е. Интегралы уравнений осесимметричных установившихся колебаний оболочек вращения // Исслед. по упругости и пластичности. -Л, 1965. С. 117-122.

69. Товстик П.Е. Интегралы уравнений неосесимметричных колебаний тонкой оболочки вращения // Исслед. по упругости и пластичности. -Л, №5, 1966. С. 45-56.

70. Товстик П.Е. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций. -С.-Пб.: Изд-во С.-Пб. ун-та, 1995. 184 с.

71. Шевцова Ю.В. Динамический простой краевой эффект в скошенной круговой цилиндрической оболочке // Механика деформируемых сред. Изд-во СГУ, 1997, Вып. 13. С. 83-87.

72. Шевцова Ю.В. Погранслой в окрестности квазифронта в скошенной круговой цилиндрической оболочке // Математика, механика. Сборник научных трудов. Изд-во СГУ, 2000, С. 178-180.

73. Anofrikova N.S., Kossovich L.Yu. Constitutive equations for thin viscoelastic shells // Proceed, of the 3rd Internat. Conf. Mechanics of Time Dependent Materials. Erlangen, 2000. P. 66-68.

74. Emri I., Kossovich L., Soukholovskaya M. Transient stress waves in viscoelastic shells at tangential longitudinal shock loading // Proceed, of the 2nd Internat. Conf. Mechanics of Time Dependent Materials. Pasadena, 1998. P. 35-36.

75. Gadomsky P.P., Kossovich L.Yu., Parfenova Ya. A. Transverse approximation for transient waves in cylindrical shells // Proceed, of the 6th Conf. Shell Structures, Theory and Application. Gdansk-Jurata, 1998, PP. 121-123.

76. Goldenveizer A.L., Kaplunov J.D., Nolde E.V. On Tirnoshenko-Reissner type theories of plates and shells // Intern. J. Solids and Structures. V. 30. №5, 1993. PP. 675-694.

77. Goldenveiser A.L. The boundary conditions in the two-dimensional theory of shells. The mathematical aspect of the problem. // J. Appl. Mech. V. 62, 1998. PP. 617-629.

78. Kaplunov J.D. On the quasi-front in two-dimensional shell theories // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser. 2, 313, 1991. PP. 731-736.

79. Kaplunov J.D., Kossovich L.Yu., Nolde E.V. Dynamics of thin wailed elastic bodies. London: "Academic Press". 1998. 226 p

80. Kaplunov J.D., Kossovich L.Yu., Moukhomodiarov R.R. Impact normal compression of an elastic plate: analysis utilizing an advanced asymptotic 2D model // Mechanics Research Communications. V. 27. №1, 2000. PP. 117-122.

81. Kaplunov J.D., Kossovich L.Yu., Rogerson G.A. Direct asymptotic integration of the equations of transversely isotropic elasticity for a plate near cut-off frequencies // Quart. J. Mech. Appl. Math., 53, 2000. PPP. 323-341.

82. Kaplunov J.D., Nolde E.V., Rogerson G.A. A low frequency model for dynamic motion in pre-stressed incompressible elastic structures. // Proc. R. Soc. Lond., Ser. A, 456, 2000. PP. 2589-2610.

83. Kenner V.H., Goldsmit W., One-Dimensional Wave Propagation Through a Short Discontinuity // J. of the Acoustical Society of America, V. 45, №1, Mar. 1968. PP. 115-118.

84. Kirillova I.V., Kossovich L.Yu. Dynamic boundary layer at elastic wave propagation in thin shells of revolution // ZAMM76, S5, 1996. PP. 249250.

85. Kirillova I.V., Kossovich L.Yu. Dynamic boundary layer at nonstationary elastic wave propagation in thin shells of revolution // "Asymptotics in mechanics"(AiM'96). Proceeding of the Second International Conference. Saint-Peterburg, 1997. PP. 121-128.

86. Koiter W.T., Simmonds J.G. Foundation of shell theory // Appl. Proc. 13th Intern. Congr. of Theor. and Appl. Mech. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1973. PP. 151-176.

87. Kossovich L.Yu., Parfenova Ya. A. Flexural transient waves in shells of revolution: An asymptotic approach // ZAMP, №4, P51, 2000. PP. 611628.

88. Miclowitz J. Transient comoressional waves in an elastic plate or elastic layer overlying a rigid half space // J. Appl. Mech. V. 29, M, 1962. PP. 53-60.

89. Mortimer R.W., Rose J.L., Blum A. Longitudinal Impact of Cylindrical Shell With Discontinuous Cross sectional Area //J. Appl. Mech. 1971. PP. 149-157.

90. Nigul V. Regions of effective application of the methods of three-dimensional and two-dimensional analysis of transient stress waves in shells and plate // Int. J. Solids and Structures. V. 5. 1969. PP. 607627.

91. Pao Y.-H. Elastic waves in solids // J. Appl. Mech. V. 57, 1983. PP. 1152-1163.

92. Pichugin A.V., Rogerson G.A. An asymptotic model for the dynamic motion in an incompressible plate // Proc. of Fourth Int. Conf. On Vibration Problems. Calcutta, 1999. PP. 64-69.

93. Rippeger E.A., Abramse H.N., Reflection and Transmission of Elastic Pulses in a bar at a Discontinuity in Cross Section // Midwestern Conference on Solid Mechanics. 1957. PP. 135-145.

94. Rosenfeld R., Miclowitz J. Elastic waves propagation in rods of arbitrary cross section // J. Appl. Meeh. V. 32, №2, 1965. PP. 290-294.

95. Scott R., Miclowitz J. Transient compressional waves in the infinite elastic plate with a circular cylindrical cavity // J. Appl. Mech. V. 31, Na4, 1964. PP. 627-634.

96. Warbirlon G.G., Al-Najafi A.M.J. Free Vibration of Thin Cylindrical Shells With a Discontinuity in the Thickness // J. of Sound and Vibrations. May, 1969. PP. 373-382.