Колебания и волновые процессы в трёхслойной трансверсально-изотропной пластинке тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Стр. №

Введение.

Глава 1. Теория колебания трёхслойного плоского элемента.

§ 1. Общая постановка краевых задач колебания трёхслойных трансверсально-изотропных пластин.

§2. Общие уравнения колебания трёхслойных трансверсально-изотропных пластин.

§3. Вывод и анализ приближённого уравнения продольного колебания.

§4. Постановка краевых задач продольного колебания.

§5. Некоторые математические методы решения волновых задач.

Глава 2. Прикладные задачи продольного колебания трёхслойных пластин.

§ 1. Равномерный удар по торцу трёхслойной кусочно-однородной трансверсально-изотропной пластинки.

§2. Воздействие подвижных нагрузок на торец трёхслойной пластинки как плоского элемента.

§3. Удар тупым цилиндрическим телом по торцу трёхслойного плоского элемента.

Пластины, как плоские элементы конструкций, в настоящее время нашли широкое применение в различных областях техники и строительства. Это объясняется тем, что тонкостенным конструкциям присущи лёгкость и рациональность форм, высокая несущая способность, экономичность и хорошая технологичность. Огромный размах жилищного и промышленного строительства приводит к необходимости дальнейшего развития положений строительной науки. Поэтому развитие и уточнение теорий колебания пластин, а также точная формулировка краевых задач для этих теорий является одним из актуальнейших разделов прикладной теории упругости.

Среди множества задач, связанных с исследованием волновых процессов, возникающих в деформируемых пластинках, большое место занимают задачи о колебаниях трансверсально-изотропных пластин.

Несмотря на большое количество работ, посвященных колебаниям пластин, задачи колебания трансверсально-изотропных пластин не исследованы полностью и мало методов, позволяющих решать эти задачи в точной постановке.

В области динамики упругих и вязкоупругих сред основополагающие результаты получены в работах отечественных и зарубежных учёных, среди которых необходимо отметить работы: Ахенбаха Ж.Д., Бреховский JI.M., Галина J1.A., Горшкова А.Г., Кубенко В.Д., Зоммерфельда А., Лява А., Рахматулина Х.А., Снеддона И., Филиппова И.Г., Егорычева О.А., Харкевича А.А., Шемякина Е.И., Graff К.Е., Eving M.W. и многих других.

В исследованиях колебаний и статического состояния элементов конструкций и сооружений крупный вклад внесли учёные: Ахенбах Ж.Д., Болотин В.В., Варданян Г.С., Власов Б.Ф., Власов В.З., Григолюк Э.Н., Коренев Б.Г., Леонтьев Н.Н., Соболев Д.Н., Селезов И.Т., Тимошенко С.П., Кеннан Е.Н., Мирски И. И многие другие, результаты которых основывались на ряде гипотез механического и геометрического характера.

Классическая теория изгибных колебаний пластин была развита Кирхгофом [62](1850). Она основана на предположениях о том, что элементы прямолинейные и нормальные к срединной плоскости пластины до деформирования во-первых, остаются нормальными и во-вторых, остаются прямолинейными и после деформирования (или, другими словами второе условие означает, что каждый слой параллельный срединной плоскости пластины находится в условиях плоского напряжённого сосотояния).

Существенным уточнением уравнений Кирхгофа являются уравнения, полученные Уфляндом [39] (1948) на основе модели Тимошенко, в которой (применительно к пластинам) полагается, что элемент первоначально прямолинейный и нормальный к срединной плоскости пластины, остаётся и после деформирования прямолинейным, однако угол его наклона к срединной плоскости пластины будет отличен от прямого.

Теории колебаний стержней, пластин и цилиндрических оболочек основаны на гипотезе плоских сечений; пластин - на гипотезах Кирхгофа, оболочек - на гипотезах Кирхгофа-Ляви [26]. Классические теории продольных колебаний стержней и теория обобщённого плоского напряжённого состояния пластин основана на гипотезах и предположениях о постоянстве искомых функций по сечению или толщины и малости поперечных эффектов.

Гипотеза Кирхгофа применялась другими учёными для построения теорий колебания пластин с усложнёнными механическими свойствами: анизотропией, слоистостью или кусочной однородностью, переменной жёсткостью, влиянием реологии и температуры и т.д. Обзор теорий на основе гипотезы Кирхгофа можно найти в работах и монографиях С.А.Амбарцумяна [2], В.В.Болотина [5-7] и его учеников, В.Н.Москаленко, П.М.Огибалова, T.D.Achenbach [56], R.D.Mindlin [63] и других отечественных и зарубежных учёных.

Однако имеются работы посвящённые критическому анализу применяемых гипотез. Так, например, в работах Х.М.Муштари, В.В.Новожилова и Р.М.Финкелыптейна указано, что гипотезы Кирхгофа и Лява приводят к значительным погрешностям и дана оценка погрешности.

Динамическое поведение элементов конструкций и сооружений с учётом распространения волновых процессов в сплошных деформируемых средах с точки зрения математической и теоретической физики описывается дифференциальными уравнениями гиперболического типа. С точки зрения механики и физики только уравнения гиперболического типа выражают конечность скорости распространения волн или любого возмущения в среде.

Приближённые теории колебаний стержней, пластин и цилиндрических оболочек, построенных на гипотезах Кирхгофа или Кирхгофа-Лява, приводит к уравнениям параболического типа и не описывает волновой характер поведения.

Б.Ф. Власов [10] (1957) построил теорию статического изгиба пластин с учётом искривления первоначально прямолинейного и нормального к срединной плоскости пластины элемента пластины после деформирования. Им были введены следующие гипотезы: а)прямолинейный элемент пластины, нормальный к срединной поверхности до деформации, в процессе деформации искривляется так, что сдвиги по толщине пластины изменяются по параболическому закону; б) напряжённое состояние пластины аппроксимируется системой изгибающих и крутящих моментов и перерезывающих сил.

В работе E.J.Brunelle [57] (1971) дано простое обобщение уравнения Тимошенко на случай трансверсально-изотропной пластины, имеющей начальные прогибы W и подверженной действию постоянных сил NX,Ny,N^ в срединной поверхности. Предполагается, что пластина имеет конечные модули поперечного сдвига, углы сдвига у/х,у/у постоянны по толщине, а продольные перемещения линейны по поперечной координате. В результате получено уравнение поперечных колебаний гиперболического порядка типа Тимошенко с добавочными членами в правой части, соответствующими учёту предварительного прогиба.

К гиперболическим уравнениям, описывающим волновой характер поведения стержней, пластин и цилиндрических оболочек, относятся уравнения, выведенные на основе гипотез Д.Релея, С.П.Тимошенко [38] и аналогичных им, и учитывающим инерцию вращения (Д.Релей), инерцию вращения и деформацию поперечного сдвига (С.П.Тимошенко).

Одним из основных методов построения приближённых уравнений (аппроксимаций) теории пластин является метод степенных рядов, впервые применённый ещё в работах Коши

1828) и Пуассона (1829). С помощью этого метода трёхмерная задача динамической теории упругости приводится к приближённой двумерной. В динамике пластин метод степенных рядов применял И.Т. Селезов. На основе предположения о том, что изменение механического поля в зависимости от координат х и у характеризуется некоторым параметром 1, который значительно больше толщины пластины 2h, делается заключение о том, что все линейные размеры по координате z малы и, таким образом, становится возможным представление векторов перемещения u,v и w в виде степенных рядов по малому параметру z. Подставляя эти ряды в граничные условия на боковых гранях пластины и в уравнения движения, делая ряд дополнительных предположений получают уравнение поперечных колебаний. Оно содержит бесконечные производные по координатам и времени, удерживая то или иное их число можно получить аппроксимации возрастающего порядка.

Подробный анализ приближённых теорий колебания элементов конструкций и сооружений приведён в обзоре Э.И.Григолюка и И.Г.Селезова [16] охватывающим период с восемнадцатого века до 1971г.

Следует отметить, что на основе модели С.П.Тимошенко получены приближённые уравнения колебания круглого стержня В.И.Утешевой и поперечные колебания пластин Я.С.Уфляндом.

Впоследствии Г.И. Петрашень [31] (1966) дал математическое обоснование метода степенных рядов на примере динамической задачи о слое в случае плоской деформации. Обоснование заключается в том, что строго показана применимость этого метода для задач, в которых функции, описывающие внешние возмущающие усилия, принадлежат к классу функций, пред ставимых в виде: где (1) - разомкнутый контур на комплексной плоскости, прилегающий справа к участку мнимой оси (~Ct)0i,CD0i) .

Актуальной проблемой теоретических исследований в области нестационарных колебаний упругих и вязкоупругих тел, наряду с разработкой моделей динамического деформирования вязкоупругих материалов, является развитие строгого математического подхода к исследованию двумерных и пространственных задач.

К таким проблемам принадлежат задачи о нестационарных колебаниях элементов различных конструкций и сооружений -пластин, стержней и цилиндрических оболочек - с учётом реологических, сложных механических и других свойств материала конструкций, температуры, слоистости, переменности толщины и других факторов.

При решении широкого класса указанных задач применяют приближённые уравнения колебания, получаемые на основе различных гипотез и предположений механического и геометрического характера, упрощающих решения различного рода задач. Однако, многие приближённые уравнения колебания, граничные и начальные условия не корректны и не всегда адекватны принятой модели описывают волновой и колебательный процесс нестационарного деформирования элементов конструкций и сооружений. Цель исследований сводится к замене пространственных задач упругости и вязкоупругости к двумерной -пластинки или одномерной - стержни.

Основная цель исследований нестационарного поведения различных элементов конструкций и сооружений сводится к строгой и обоснованной постановке краевых задач колебания и волновых процессов в деформируемых средах, материал которых составляет основу исследуемых элементов. К постановке краевых задач относятся: общие и основанные на них приближённые уравнения колебания, граничные условия по краям элемента, начальные условия. Многие существующие приближённые теории колебания элементов конструкций и сооружений не всегда удовлетворяют всем требованиям при исследовании нестационарного динамического поведения элементов конструкций на основе принимаемых моделей.

Последние десятилетия связаны с появлением новых материалов - полимерных, композитных, керамических и др., применяемых в современной технике, тенденцией к значительному увеличению параметров и свойств материалов, к которым прежде всего относится анизотропия, реология, температура, электроупругость и т.д., а также изменяемая геометрия исследуемого объекта. Поэтому исследования в таких областях как вязкоупругость, термодинамика, композитные материалы и электроупругость приобретают всё возрастающее значение.

Математическая сложность динамических задач в механике деформируемого тела, исследуемых методами математической физики, обусловлена рядом причин, связанными со сложными свойствами материалов и геометрическими особенностями механической системы.

Несмотря на наличие большого числа новых уточнённых теорий колебаний пластин, до недавнего времени при расчёте пластин применялись классические теории, основанные на гипотезах Кирхгофа. Это объясняется тем, что в теориях, на основе которых получают уравнения колебания гиперболического типа, которые содержат производные по времени 4-го и более высоких порядков и по координатам 6-го и более высоких порядков, отсутствует чёткий подход к формулированию необходимого числа начальных и граничных условий. В этом отношении в более выгодном положении находится теория построения уравнений колебаний, основанная на математическом подходе, который наибольшее развитие получил в работах Филиппова [42] (1988). Этот подход, отличает относительная свобода от большого числа предварительных гипотез, а также тот факт, что для уравнений колебаний любого порядка по производным по времени и по координатам, полученных на основе этого метода, предложена методика однозначного формулирования начальных и граничных условий, исходя из классических.

Анализ литературных источников показывает, что теории колебания упругих и вязкоупругих элементов конструкций и сооружений обоснованы не полностью, граничные условия при решении различных прикладных задач не корректны, а учёт усложняющих факторов механического характера в теории колебаний развит слабо.

Основным вопросом в теории колебаний механических систем типа стержней, пластин и оболочек является математически обоснованная постановка краевых задач: вывод общих и основанных на них приближённых уравнений колебания, формулировка различных граничных условий по краям ограниченных в плане элементов и обоснование необходимого числа начальных условий без привлечения каких либо гипотез механического характера. При этом необходимо, чтобы исследования проводились на основе общих уравнений динамического поведения элементов как трёхмерных деформируемых тел, и получаемые приближённые уравнения колебаний относились к уравнениям гиперболического типа.

Объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Развиваемый в работе математический подход к исследованию колебаний трёхслойных трансверсально-изотропных пластин постоянной толщины позволяет выводить общие и основанные на них приближённые уравнения продольного и поперечного колебаний таких пластин.

2. В работе сформулированы основные краевые задачи продольного колебания трёхслойных трансверсально-изотропных пластин; получены формулы для расчёта перемещений и напряжений в точках пластин от искомых функций.

3. Полученные общие и приближённые уравнения колебаний в явном виде содержат все параметры трёхслойной пластинки с учётом вязкоупругих свойств плоского элемента (трёхслойной пластинки), а также функции внешних усилий, воздействующих на пластинку.

4. Полученные приближённые уравнения продольного колебания плоского элемента в предельных случаях переходят в известные как классические (плоское обобщённое напряжённое состояние), так и в известные более сложные уравнения.

5. Из решения частных прикладных задач следует:

• скорости распространения продольных и поперечных волн существенно зависят от механических характеристик материалов плоского элемента;

• при учёте трения между плоским элементом и жёстким основанием при воздействии подвижных нагрузок учёт коэффициента трения приводит к уменьшению величин напряжений в слое плоского элемента;

102

• приведено аналитическое решение волновой задачи при ударе цилиндрическим твёрдым телом по торцу полубесконечного плоского элемента; решение получено обобщённым методом Вольтерра;

• полученные аналитические решения позволяют рассчитать напряжённо-деформируемое состояние плоского элемента при внешних воздействиях, рассмотренных при решении частных задач, и при других видах воздействий.

1. Александров А .Я., Куршин J1.M. Многослойные пластинки и оболочки. - Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. - М.Наука, 1970, с.714-722.

2. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. -М.-.Наука 1974, с.446.

3. Бейтман Г.,Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. -М. "Наука", т.1, 1969, с.318.

4. Бленд Д. Линейная теория вязкоупругости. М. Мир, 1965, с.206.

5. Болотин В.В. К теории слоистых плит. Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1963, №3, с.65-73.

6. Болотин В.В. Современные направления в области динамики пластин и оболочек. Кн. Теория пластин и оболочек. - Киев, Наукова Думка, 1962, с. 16-32.

7. Болотин В.В., Новиков Ю.М. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980.

8. Варданян Г.С. Применение теории подобия и анализа размерностей к моделированию задач механики деформируемого твердого тела. М. Изд-во МИСИ, 1980, с. 104.

9. Вестяк А.В.,Горшков А.Г.,Тарлаковский Д.В. Нестационарное взаимодействие деформируемых тел с окружающей средой. Итоги науки и техники. Сер. Механика деформ. твердого тела. -М. ВИНИТИ, 1983, с.69-148.

10. Власов Б.Ф. Об уравнениях теории изгиба пластинок. Изв. АН СССР, 1957, №12, с.57-60.

11. Власов В.В. Избранные труды. Т.1, - М. Изд-во АН СССР, 1962, с.503-524.

12. Власов В.В.,Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М. Физматгиз, 1960, с.491.

13. Галин JT.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоу пру гости. М. Наука, 1980, с.302.

14. Горшков А.Г. Нестационарное взаимодействие пластин и оболочек со сплошными средами. Изв-е АН СССР, МТГ, 1981, №4, с. 177-189.

15. Градштейн И.С.,Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Изд-во физ.- мат. литературы, - М. 1962, с.1100.

16. Григолюк Э.И.,Селезов И.Т. Некласические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. Итоги науки и техники, сер. Механика деформируемого твердого тела. Т.5, - М. ВИНИТИ, 1973, с.272.

17. Гузь А.Н.,Кубенко В.Д:,Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев, Наукова Думка, 1978, с.308.

18. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразований Лапласа. -М.: ил. 1965.

19. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970.

20. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: ИЛ, 1961, 778 с.

21. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 338 с.

22. Кубенко В.Д. Нестационарное взаимодействие элементов конструкций со средой. Киев, Наукова Думка, 1979, 188 с.

23. Кирхгоф Г. Механика. Изд-во АН СССР, М., 1962.

24. Леонтьев Н.Н.,Ивановский И.А. Анализ работы прямоугольной плиты, опертой по контуру на упругие ребра. В сб.:

25. Нелинейные задачи строительных конструкций. МИСИ, М.: 1970, №84.

26. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977, 416 с.

27. Ляв А. Математическая теория упругости. M.-JL: ОНТИ, 1935, 674 с.

28. Метод фотоупругости./ Под редакцией Г.Л.Хесина /, М.: Стройиздат, Т.2, 1975, 367 с.

29. Морс Ф.М.,Фешбах Г.Ф. Методы теоретической физики. -М.:ИЛ, Т.2, 1960, 686с.

30. Никитин Л.В. Продольные колебания упругих стержней при наличии сухого трения. Изв. АН СССР, Сер. МГТ, 1978, №6, с.137-145.

31. Оменицкая Е.Б. Обобщённые уравнения динамики пластин. -"Прикладная механика", 1969, №5.

32. Петрашень Г.И. Проблемы инженерной теории колебаний вырожденных систем. В сб.: Исследования по упругости и пластичности. Изд-во ЛГУ, 1966, №5, с.3-33.

33. Пшеничнов Г.И. Метод декомпозиции решения уравнения и краевых задач. М.: ДАН СССР, 1985, т.282, №4, с.792-794.

34. Пшеничнов Г.И. Решение некоторых задач строительной механики методом декомпозиции. Строительная механика и расчет сооружений, 1986, №4, с. 12-17.

35. Рахматулин Х.А. и др. Двумерные задачи по неустановивщемуся движению сплошных сред. Ташкент, ФАН, 1969, 288 с.

36. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого тверрдого тела. М.: Наука, 1979, 744 с.

37. Справочник проектировщика. "Динамический расчет зданий и сооружений". М., Стройиздат, 1984, 303 с.

38. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. Изд-во физмат, литературы, М., 1959, 440 с.

39. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. -М.: Наука, 1979, 807 с.

40. Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин. ПММ, вып.12, №3, 1948, с.287-300.

41. Филиппов И.Г.,Егорычев О.А. Нестационарные колебания и дифракция волн в акустических и упругих средах. М.: Машиностроение, 1977, 304 с.

42. Филиппов И.Г.,Егорычев О.А. Волновые процессы в линейных вязкоупругих средах. М.: Машиностроение, 1983, 272 с.

43. Филиппов И.Г.,Чебан В.Г. Математическая теория колебания упругих и вязкоупругих пластин и стержней. Кишинев, ШТИИНЦА, 1988, 190 с.

44. Филиппов И.Г. Уточнение уравнений колебания вязкоупругих пластин и стержней. Киев, Прикл. Механика, 1986, т.22, №2, с.71-78.

45. Филиппов И.Г. Приближенный метод решения динамических задач для вязкоупругих сред. ПММ, т.43, №1, 1979, с.133-137.

46. Филиппов И.Г., Филиппов С.И. Уравнения колебания кусочнооднородной пластинки переменной толщины. МТТ, 1989, №5, с.149-157.

47. Филиппов С.И. Теория колебания вязкоупругих пластин переменной толщины. В сб.: Гидроаэродинамика и теория упругости. Статика и динамика, Днепропетровск, 1988, с.123-132.

48. Филиппов И.Г., Филиппов С.И. Теория колебания вязкоупругих пластин переменной жесткости. Труды XIV Всес. конференции по теории пластин и оболочек. Кутаиси, 1987, т.2, с.525-531.

49. Филиппов И.Г., Филиппов С.И.,Гелюх П.А. Теория колебания предварительно-напряженного вязкоупругого слоя. Тезисы доклада респ. конференции Уз.ССР, посвященная памяти акад. Рахматуллина Х.А., 1992.

50. Филиппов С.И.,Егорычев О.А. и др. Неклассические теории колебания плоских элементов строительных конструкций. -Труды Российско-Польского семинара "Теоретические основы строительства", Варшава, 1993, с.29-35.

51. Филиппов И.Г., Филиппов С.И.,Костин В.И. Динамика двумерных композитов. Труды Межд. Конференции по механике и материалам, США, Лос-Анжелес, 1995, с.75-79.

52. Филиппов И.Г., Филиппов С.И. К теории колебания трёхслойных пластин. Киев, ПМ, 1998, т.34, №2, с.38-41.

53. Филиппов С.И. Уравнения колебаний плоских элементов строительных конструкций. Труды Российско-Польского семинара "Теоретические основы строительства", Варшава, 1998, с.52-56.

54. Филиппов С.И. Краевые задачи колебания плоских элементов строительных конструкций. Деп. в ВИНИТИ, 19.05.99, №1611-В99.

55. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. : ГИТТЛ, 1955, 208с.

56. Хесин Г.Л. Некоторые экспериментальные и теоретические исследования распространения волн напряжений в линейных вязкоупругих средах. В кн.: фотоупругость. Инж. прилож. -М.

57. Achenbach L.D. Wave propagation in elastic solids. Amsterdam: North-Holand, 1973, 425p.

58. Brunelle E.J. Buckling of transversely isotropic Mindlin plates. AIAA Journal, 1971, 9, №6, 1018-1022.

59. Callahan W.R. Flexural virations of elliptical plates when transverse shear and rotary inertia are considered. J.Acoust. Soc. Amer., 1964, 36, №5, 823-829.

60. Eringen A.C.,Suhudi E.S. Elastodinamics. New york : Acad. Press., 1975, 660p.

61. Goodman R.R. Reflection from a thin infinite plate using the Epstein method. J.Acoust. Sec. Amen., 1961, SS №8, 1096-1098.

62. Heimann L.H.,Kolsky H. The propagation of elastic waves in thin cylindrical shells // Mech. And Phys. Solids. 1966. V.14, №3. -p.121-130.

63. Kirchhoff G. User das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastis-chert Scheibe. J. reine und angew. Math., 1850, 40, N1, 51-88.

64. Mindlin R.D. Ynfluence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates // Z. Appl.mech. 1951.-v. 18,№1,-P.31-38.

65. Naghdi P.M. On the theory of thin elastic shells // Appl. Math. -1957. v.14,№4. - p.369-380.

66. Widera O.E. An asymptotic theory for the motion on elastic plates. Actamech., 1970, 9, N1-2, 54-66.