Распространение гармонических волн в трансверсально изотропных цилиндрических телах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ty Ч1ое;ссвааш й§$Ырственшн инетнт элетстрсиш и математики

(ТЕОСИШЯШ УШШЕРСИГЕТ)

На npoDQX рукописи

КУЗНЕЦОВА Ольга Ллйкоиндрлаш

РЛСПРССТРЛН^ШЗ ГАГНОШПЕСШК ВОЛИ В

ТРА1!СВЕРСАЛЫЮ ИЗСТРСПШХ ЩМйНДГ«1ЧЕС2аИ' ТЕШ. (01.02 ..04, - Моханпяз доформадруомого тмрдого тола)

АВТОРЕФЕРАТ

даооертацял иа сонокяшэ учэной стшгопп кавдвдотс $5!ЗЕКЗ-Катоиа554чво!оа наук

Ногаша - 1994

Работа шдолпоиа на кофодрэ "Ыатоматпчоскоо ыодолировшшо фиата цг-^штчотшх снсгои" Ыоскогокого гооударотадтмго ивотнтута одоктрошпсн и математики (Технического Уштороптота)

Нйучшй руководитель! доктор тожничеиянж наук, профоосор Трояаовоккй Й.В.

Офшдалыш оплопонтш доктор ¿иенконгатематачоскш: нвук, профоооор Кравчук Д.С.

доктор уогничооких квук,

Подущая оргашгавцши Институт мвганики шиловших сред Роосвйакой АН (г. Пермь)

на васодашш Спэциашвировошого оовота Д 063.68.01 Ыосковокого шотитутр Электронного мшшюотроошш по едросу! 105023, Цосаша, Б.Вуоовскнй шр. 3/12

С диооортпцкой мошо ознакомиться в библиотека ЦИЭЫ.

профоооор Цячешсов В.К.

Автореферат разослан

а

/I » иО

_1994 Г

Учений оокретарь Специализированного совета к.ф.м.1ьВ.М,Ягшюв

СБЩЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАВСТУ

Актуальность проблемы» О современных исследования* по мехатакв деформнруомого твердого . тола уделяется болтов внимание изучению распространения водя в средах, с какими усложненными свойствами, как неоднородность, анизотропия, пэлинейность процесса деформирования, необратимость объемных деформаций, дилатансвя, разупрочнение п другие. Материала различной степени анизотропии широко применяются в судостроении, криогенном и ядерном машиностроении, ракетостроении и других областях техники. Помимо конструкционных материалов указанными свойствами обладав? многие природные среда, в частности, наскальные грунты. Поэтому изучение волновых процессов в анизотропных материалах актуально и при расчетах различных конструкций, и в задачах сейсмологии и сейсмографии. Кроме того, знание особенностей распространения воля в различных неизотрстшх материалах позволяет определить класс и особенности залегания исследуемых ыэстороядений, что очень полезно при сейсшразведко.

Клоссическиа аадачи Похганмера - Кри о распространении поверхностных волн в изотропном полупространстве и Бпо о распространении волн в полости изотропного пространства изучены п настоящее время очень хорошо. Но автору не удалось найти в литературе обобщения этих задач на случаи анизотропных материалов. Поэтому тема диссертации, посвященная, решению задач Похгаммера - Кри а Бпо в случав трансверсально изотропных сред, представляется актуальной.

Цели работы:

1.Разработать численную методику и пакет прикладных программ,

позволяющих проанализировать волновой процесс в трансверсально яоотрошюм цилиндре и в цилиндрической полости трансверсвлыш изотропного пространства.

2. Провести чясленноеисследование волнового процесса для некоторых конкретных, трансвврсально изотропных материалов.

3. Проанализировать полученные результаты и сравнении» их о классическими результатами.

Метод исследования состоит в аналитическом в численном моделировании на ЭШ процесса распространения волн в

трансворсально изотропных средах. Научная новизна.

Классические задачи Похгаммвра - Крп я Бно обс-Сщены на случав трал азе реально изотропных сред. Практическая значимость

Полученные результаты могут быть испольаовеш при анализе результатов акустического каротажа скважин.

Достоверность результатов работа обоснована применением классических уравнений теории упругости, использованием апробированных математических методов, а также сравнением результатов с решениями, полученными ранее другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались аа - научных семинарах кафедры Математического моделирования физико-механических систем Московского института электронного машиностроения (Москва 1991-1994)» на семинаре кафедры Газовой в волновой динамики МГУ.

Публикации. По материалам выполненных исследований опубликовано 4 работы.-

Структура н объем работа. Диссертация состоит из введений к каждой главе, двух глав, заключения и списка литературы из 146

наименований, иалоиегашх на страницах машинописного

текста, в том числе /3 рисунков.

СОДЕРЗШШЕ РЛБСП1

Во введениях к главам дана общая характеристика проблем распространения волн в непзотропнкх толах различной гссафзгурации, а тают з цпляпдрятаciajx полостях анизотропных пространств. Дан обаор публикаций, связанных с темойi исследования, с различными обобщениями рассматриваемых классических задач. Указпш место приведенных в работа исследований в т^рин распространения волн. Приведено краткое содержания глав, показана актуатьность теш.

В первой главе рассматривается бесконечный полый цилиндр в цилиндрической система координат (г,ф,е), звнимежщкй область! Н. S i1 S J», О S ф S' 2i, -о S s S +га Предполагается, что объемная распрьдыкзниол пагруояа отсутствует, наружная и внутренняя поверхности цюшцдра свободой от напряжений. Для постановка задвчр используется система уравдаянй движения в линейной теории относнте-выга покторз шреыэщений и, тензора

• А .А

доформзгзй Кош е, тензора напряжений о, тензора упругих модулей С, компонента которого характеризуют анизотрохшыэ свойства. вещества и считаются известными, объемной плотности материала ¡j. tiа свойства материала закладываются ограничения осевой симметрии. Математически это означает, что коэф$нцнентн в осевой задрпе не зависят от ф. В этом случае имеют место решения в вадэ гармонических осесшметричгш. волн, распространяющихся вдоль оси Z. Такие волны, являициеся решениями краевой задачи, имеют следующий вид;

" . "в . . Ипф +' кв - ut)

О в О (Г)в . ^ . G в s' (Г)О1 + * Ut) 7и if (Г)в' И» + te - ut)

A A "

где 0°, e° , U° - искомые радиальные формы колебаний; ш -заданное цолоо число (номер окружной гармоники)} к заданное волновое число} и - искомая частота колобаний цо времеш. '

. Тогда для трансверсально изотропного цклипдра со свободными границами возникает спектральная 'задача для краевой

задачи вида:

е « Ur/r ч"

е « (О - ÄaskU - ¿taE )/ln г rr S ip

«ш

г •

тг— " Е аг г

ÖU

/Азе + MJ от г* г

<5а ' (JU a -А», )о U

Vn (—--EL ♦

+WJ (Aai-Ai lit a/Ai t ))/r - te? » r»

ta a

— ш -pu*U - -Ii + k(A», (s + e ) + i«!iD ) иг г г ф p ж

Orr . Ort i О Г И Bg! Orr я Or» a О

где An ,Àn,Aiafiii,A4<i/Ljs - независимые коэффициенты матрицы упругости. Волновое . число к задастся произвольно. Квадрат частоты о) играет роль Спектрального иапаматра.

¡Записанная в типом виде задача ревалась чяслонно катодом ортогональной прогалки Годунова. Расетатрзвагась тряпсверсально изотропна» материалы - ципх, оксид цинка, кадмий, сульфид кадмия. Чкслетга бшш построена дисперсионные кривые, форма колебаний.

Во втором параграфа первой главы рассматривается вспомогательная задача (с целью, тестирования результатов первого параграфа) о распространвнпи волн в полупространстве у>0. ось симметрии материала направлена вдоль оси г. аналитически были получены биквадратные уравнения относительно скорости волна Релэя; распространяющейся вдоль оси в полупространства t

RsC*- i.. tu » )* з{1 -С/в» с )/0í X ® О гда R= cu t — рТ3, и вдоль оса 7. полупространства:

R«(-íUstDa»-0)S-(n*ái t-Q» *№>)'* {1-0/04 4 )/В(1 я О

где R^ ais- рТ . Эти уравнения решались численно методом Ньютона. Выли посла давани траи св в рс адьно-пзотрошше материалы из первого параграфа. При распространенна волны вдоль ост z результата, полученные о. поморью уравнения, для всех четырех материалов совпали,, с точностью до четвертого знака, с ' результата!,я, получению.® в первом параграфа для больпих значений волнового числа к. При распространении волны вдоль осп х полученные решения совпали с результатами Фарнелла 1881.

В третьем параграфе первой глат изучается распространение гармонических волн в трансверсально изотропном слое. Рассматривается бесконечная полоса в декартовой система координат (х.у.в), занимающая область: П*SríRa, -ахус-кв, -кхкж-кп. Ось свшетрии упругих свойств направлена вдоль оси в. Уравнения движения, заштсаныв в декартовой системе координат,

совпадают а уравнениями первого параграфа, если в последнем

отбросить слагаемые, содершда миокители р и - и

г

компонентам вектора перемещений Ог, поставить в соответствие Не, Щ, а компонентам тензора напряжений Огг, о* - о»*, Ох*. Задача рошалась численно методом ортогональной прогонки. В изотропном случае результата решения полученных уравнений с точностью до рисунка совпадают с результат! Рэлея - Лзмба. В случае жв трансверсально изотропных материалов относительные скорости волн сходятся к величинам, получеяшм в первом параграфа при & ■ ЮООЬ, На + ¿1, где Ь - толщина слоя.

В ггораом параграфе второй глава рассматривается бэсксночпоэ трансверсально изотропно« пространство с пустой цилиндрической полостью, вашшошай в ц&йиндрячоской системе координат (г,ф,в) область: СКг£1, -скг< д Ось полости совпадает

о осью свшетрии упругих свойств пространства. На граница полости ставятся условия отсутствия нэлргшвкий, на бесконечности - условия экспоненциального по г затухания на бесконечности компонент вэктора перемощений 'Л-, На и компашнт тензора напряжений Огг, о*. 15цутся рвения динамической задачи теории упругости, имепцие вид гармонической бегущей волки,. локализованной в окрестности полости (волна Био). Для решения 8адачи привлекается система уравнений двнхашя в трансверсально изотропном пространство ие первого параграфа первой главы. °г,0Р|. ,0Г иредотааяяются в вида полусходящихся рядов, удовлетворяй®! условию экспоненциального по г затухания на бесконечном удалегчии от толости!

ваГ £ ь.г^ ' + ь» ШГ Ё

5«0 1шО

U,«T.earEb1,r-<H +píetbrEbi,r-a-* . 1-0 1-0

со со ,

„ d* г -oM . _ rur _ -сИ

Orr«P»e Г Oi I г f Pie E 0i»r

\ *0 t-0

(О Ю ,

_ n»i'_ . -a-I _ rur _ . -a-I 0r*»Pi0 Edur f Pjb E4»r

1«o l =0

гда Pi ,Pí ,íu j ,bi j ,ct j ,(Ji j ,ru ,a - искшш коэффициенты раздогения, Re(n»)<0, Ro(n»)<0, j»1,2. Подстановка решения в данном нида в систему уравнений и приравнивание к пули коэффициентов при одинаковых.степенях г приводит к реккурентной последовательности линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения. Система нулевого приближения дает биквадратное уравнение относительно показателей и . Выбор a нш дозволяет обеспечить выполнение условия йкспоненциального затухания на бесконечности. Далее, из системы первого приближения, находится a = 1/2. Па р-том шаге система имеет вид!

D »

%>J bpj Cpj

-(a+p-1 )hp-i j +Anhf>-i/A<i -(a+p-1 j - (a+pj-1 )Cp-t i +(Ai« -Ai * )a »(Cp-«j-Ai»M)p-i j )/A» i --(A., -Ai * ) (A. i +Ai а )hp-j j /Aj, -(a+p)dj>-i j-kAi > (Ai i -Ai» )hp-t j/Ai t

J-1.6

п А* >к/А< 1 -1/1,. 0

где 0 п -к □ 0 -1/А»

р/ 0 п к

0 ри+к'А^г/Аа -к* Аз» п

Через последовательное решение полученных систом уравнений, определяются коэффициенты разложения решений в ряды. Таким образом, в виде обвергнвавдих рядов, определены два частных решения системы, удоалотвдрятщо условию »кспонэнциального по г затухания на бесконечности. Коэффициенты в тих решений явным обрезом зависят от И и и. Подстановка разложения в краевые условия приводит к системе двух однородных линейке: алгебраических уравнений относительно ?1 г Ь с коайицгэнташ, зависящими от а и 1г. Приравнивание к дулю определителя этой системы приводит к неявной зависимости и от И, то есть к неявному уравневию дисперсионной кривой. Это уравнение решалось относительно ш методом Ыюллора.

Предварительно рассматривался изотропный ма7ериал. Оказалось, что прэдлоквпный алгоритм дает хорошие результаты при значениях волнового числа из интервала (10,301. В противном случав, предложенный метод расчета не годится. На точность полученного решения влияет не только величина волнового числа, но и количество удержанных членов разложения. Для получения более точных результатов при любых значениях волнового числа бнл рассмотрен изотропный цилиндр с пустой полостью внутри и внешней фиктивной границей г ■ В. В качестве краевых условий на ь^эшней {кктишгай границе использовалось представление ,№г,Огг,0г* в виде рядов. Внутри цилиндра система уравнений решалась методом ортогональной прогонка.

'Состыковав' полученные для цилиндра формы колебаний с ноеымл граничными условиями в вида рядов, нашли исксмум относительней скорость волны, распространяющейся по поверхности полости -скорость волгш Еио. Оказалось, что при таком способе реюешш задачи зависимость получаемого значения от количества членов разложения намного меньше. Выяснилось, что увеличение внешнего радиуса фжишного цилиндра существенно повышает точность вычислений для малых значений волнового числа. Для вольшях значений волнового числа уменьшение внешнего радиуса приводит к повишеншз точности получаемых результатов. Газам образом удалось найти решения совпадающие с точными значениями Еио при любых значениях к. Далее" задача была решена для тоста трансверсально изотропных материалов. Численно была получены дпсперсиошше зависимости и форма колебаний.

Во 'втором параграфе второй главы рассматривалось

распространение поверхностных волн в полости, заполненной

идеальной баротропной жидкостью. На крав г=1 условие

непрерывности нормальных напряжений и перемещений по оси г и

условие свободного скольжения жидкости вдоль оси z приводят к

соотношениям: 1

а * О, а » Ш

г» гг г

г—, г— /—.

J" Jo (У q )/ IVq J, (yq)J при q>0

где В » - р ua <

• | /—■- а— /—■

[ -Ь<У -q)/ tv-q Ii (У-q )] при q <0

где J« и J» - функции Бесселя нулевого и первого порядка первого рода, Ь и Ь - модифицированные функции Бесселя нулевого и первого порядка (Jo(iu)=I0 (и)). Использований предоолокения о существовании фиктивного цилиндра, как и в первом параграфе, позволяет получить в изотропном случаа

результант совпадавдиа с классическими результатами Взо. Были рассмотрены шесть трансверсально изотропных материалов нз первого параграфа. Численно получены дисперсионные зависимости для волны Био и трех отраженных волн.

В заключении сфорлулированы основные результаты диссертации:

1. Разработана численно-аналитическая методика решения задач о распространении гармонических волн в цилиндрических областях, заполненных трансверсально.изотропной упругой средой.

2. С помощью разработанной методики получено обобщение классических решений Похгашера - Кри и Био.

Основные результаты диссертации опубликованы в слодущих работах:

1. Белоусова O.A., Пашков И.А., Трояновский И.Е. Антишгаские собственные колебания упругого цилиндра с шешшы трением. - Московский институт электронного машиностроения. U., 1988, - 11с., - Дап. в ВИНИТИ, 324- 688.

2. Белоусова O.A., Пашков И.А., Трояновский И.Е. Плоские собственные колебания упругого цилиндра с внешним трением. -Московский институт электронного машиностроения. М., 1989, -13с., - Деп. в ВИНИТИ, 473- 889.

3. Кузнецова O.A., Пашков И.А., Прохоров С.И., Смирнов H.A.,Трояновский И.Е. Теорвтико-вкснеримэнтальная методика определения упругих свойств анизотропного композиционного материала. Московский институт электронного машиностроения. М., 1990, - 8с., - Деп. в ВИНИТИ, 614- 790.

4. Кузнецова O.A., Пашков И.А.«Трояновский И.Е.

Гармонические ооесимметричные волны в цилиндрической полости упругого траневереально ' изотропного пространства. Московский институт электронного машиностроения. М., 1994, - Зо., -ДАН, 1934, там 335, Н5,с.569-591.

>

Подписано к печати 10.11.94 Зак. Объем 1п.л. Тир.100

ЫИЭЫ, Москва, Н.Пионерская ул., 12