Исследование колебаний предварительно напряжённых пластин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ХРУПОВ АНДРЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЁННЫХ ПЛАСТИН

01.02.04 - Механика деформируемого твёрдого тела.

- 8 ОКТ 2009

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2009

003479008

Работа выполнена в государственном учреждении высшего профессионального образования Московском государственном строительном университете

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Егорычев Олег Олегович

Официальные оппоненты: доктор технических, наук,

Дашевский Михаил Аронович

кандидат физико-математических наук, доцент Жаворонок Сергей Юрьевич

Ведущая организация: Центральный научно-исследовательский

институт строительных конструкций им. В.А. Кучеренко - филиал ФГУП НИЦ «Строительство»

Защита состоится 20 октября 2009 г. в 17 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ГОУ ВПО Московском государственном строительном университете по адресу: 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д.26, ауд. № 420 УЖ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета.

Автореферат разослан "_"_2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы.

Многие научные, прикладные и технические проблемы современной техники и строительства связаны с исследованием колебательных процессов в деформируемых сплошных средах.

Постоянное развитие современной техники выдвигает повышенные требования к исследованию в области механики деформируемого твердого тела и строительной механики. Возникла необходимость получения более достоверных представлений о деформационных и механических свойствах материалов в различных режимах их эксплуатации, когда существенную роль играет геометрия рассматриваемого изделия и его вязкоупругие свойства. Одним из важнейших в строительстве является вопрос расчета колебаний плоских конструкций. Поэтому развитие и уточнение теории колебаний пластин является одним их актуальных разделов прикладной теории упругости и имеет несомненный практический интерес в строительной науке.

При проектировании и строительстве различных инженерных сооружений необходим расчет несущих элементов конструкций на действие различных внезапно возникших динамических нагрузок. Поэтому, изучение динамического поведения элементов инженерных сооружений с учетом свойств материала и влияния окружающей среды при динамическом воздействии (например, сейсмическая волна) представляет собой актуальную проблему.

Цель работы. Вывод общих уравнений о собственных продольных и поперечных колебаниях предварительно напряженной пластины, получение приближенных, имеющих конечные значения производных, уравнений колебаний прямоугольной пластины, сравнение полученных результатов с ранее полученными классическими результатами и решение практически важных задач.

На защиту выносятся. Вывод уравнений общих и приближенных поперечных и продольных колебаний предварительно напряженных пластин. Получение частотных уравнений и нахождение частот собственных поперечных колебаний прямоугольной в плане пластины с различными условиями закрепления.

Общие уравнения поперечных и продольных колебаний прямоугольных предварительно напряженных пластин, основанные на них приближенные уравнения поперечных колебаний предварительно напряженных прямоугольных пластин, решение конкретных прикладных задач поперечных колебаний данных пластин. Анализ и сравнение численных результатов.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Описывается общая постановка задачи о колебании предварительно напряженной пластины.

2. Получено уравнение колебания предварительно напряженной трансверсально-изотропной пластины.

3. Выводится общее уравнение поперечных колебаний предварительно напряженной трансверсально-изотропной пластины.

4. Получены приближенные уравнения поперечных колебаний предварительно напряженных трансверсально-изотропных пластин.

5. Выведены приближенные уравнения продольных колебаний предварительно напряженных трансверсально-изотропных пластин.

6. Исследуются пределы применимости приближенных уравнений предварительно напряженной трансверсально-изотропной пластины.

7. Получено уравнение собственных колебаний предварительно напряженной трансверсально-изотропной пластины, жёстко закрепленной по контуру.

8. Выведено частотное уравнение собственных колебаний предварительно напряженной пластины, три края которой шарнирно оперты по контуру, а четвертый жестко закреплен. Рассматриваются два решения различными методами - методом декомпозиций и аналитическим.

9. Получено уравнение собственных поперечных колебаний предварительно напряженной пластины, два края которой шарнирно оперты, а два других упруго закреплены с вертикальной пластиной (стеной).

10. Выведено частотное уравнение собственных колебаний предварительно напряженной пластины, три края которой свободны от закрепления, а четвертый упруго соединён с вертикальной упругой пластиной.

11. Решена задача о нормальном ударе по поверхности предварительно напряженной пластины, шарнирно опертой по контуру.

12. Получено решение задачи о нормальном ударе по поверхности предварительно напряженной пластины, имеющей различные граничные условия.

13. Получено решение задачи о собственные колебания двух предварительно напряженных пластин, пространство между которыми заполнено упругой средой.

Практическое значение приведенных в диссертации исследований связано с возможностью применения уравнений продольных и поперечных колебаний изотропной предварительно напряженной прямоугольной пластины к актуальным прикладным задачам.

Достоверность положений и выводов диссертационной работы детально обоснована. Основные представленные в ней результаты получены с применением обоснованных и многократно апробированных математических методов, сформулированных в точной трехмерной постановке теории упругости. Достоверность общих и основанных на них уточненных уравнений и решений частных задач подтверждается строгой математической постановкой, проверкой и сопоставлением с классическими теориями колебаний и другими теориями последних лет.

Апробация работы. Основные положения выполненных исследований по диссертационной работе освещены в четырёх статьях.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Работа изложена на 123 страницах, в том числе включает 9 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, раскрывается содержание работы, излагаются основные положения, которые выносятся на защиту.

В настоящей работе используется новый приближенный метод, метод декомпозиций, предложенный для решения статических задач Пшеничновым Г.И. и переработанный Филипповым И. Г. и Егорычевым О.О. для динамических задач. Используется также новый аналитический метод, приводящий к трансцендентным частотным уравнениям, после анализа которых преобразуется к алгебраическим частотным уравнениям.

Первая глава посвящена выводу уравнений продольных и поперечных колебаний изотропных прямоугольных предварительно напряжённых пластин постоянной толщины методом, основанным на применении интегральных преобразований по координате и времени и использовании общих решений в преобразованных трёхмерных динамических задачах теории упругости с последующим привлечением известных, стандартных интегральных преобразований Лапласа и Фурье в степенные ряды, через которые выражаются составляющие тензора напряжений и вектора перемещений.

п.1 Общая постановка задачи.

Предположим, что материал пластинки предварительно напряжен, причем предварительное напряженное состояние однородное. Зависимости между напряжениями и деформацией линейны и, кроме того, возмущенное состояние материала, по отношению к однородному напряженному состоянию, также линейно.

Предварительно напряженную пластину будем рассматривать как вязкоуп-ругий слой, занимающий пространство:

-со < х < со; -со < у < °о; -И < 2 < к

Пусть материал пластинки трансверсально-изотропен и предварительно напряжен таким образом, что выполняются условия

| = а0х, и0 = а0у, р%=с2(а0),

(1.1.1)

где а0, с2 - постоянные безразмерные величины, определяющие однородное деформационное состояние.

Зависимость напряжения-деформации в этом случае принимают вид:

= О + во)

ди . 8у

= (1 + я0)Л1;

ди [дх ди

+ 4

ду

+—] + А дх ду)

, Г, /1

<У„ = А„

,, ч ди ,, -^дм

,, \СЫ>

<1 + *>&+<1 + %]

сг

■■~(\+а0)(Аи+А]2)

ди

ду дх,

(1.1.2)

где и, о, о) - возмущенные перемещения.

Уравнения движения материала в перемещениях запишем в виде:

/-, \ I . о и I , . . \д2и . д2и 1 , ч 32у 1

52и 1

д2м>

~~ Р\~

V а2«

+ (1 + )(4з + Л, ) дхду - д{2 /, ^ л , . 52У Ь, .

+(1 + с2)(Л,з+Л44)

'ах2

52У

(1.1.3)

дудг

(1 + С2)]4м| Й + + + + +Л44)—I—+

а2^

ах2 ' а^2;' "33 а?2 [' ^ ' "ол"13' ' ду) Рх а2'

где р] =

д (ди _ Э2и'_

-т-, р - плотность материала пластинки.

(1 + а0)2(1 + с2) "

Граничные условия на поверхности пластины имеют вид:

<т21 =^±(х,у,?); сг„ = = прм (2 = ±й). (1.1.4)

Следовательно, используя равенства (1.1.2), получим:

о+«о) а3 +++* ^ (^О

/, /, чаи?

сЬс

а^

(1 + а,,)—+ (1 + с,) ^ У 2)ду

При этом операторы Ау имеют вид:

дг

=К{х>уА

(1.1.5)

4/ ~ Ьу

где ку - постоянные материала пластины.

Начальные условия будем считать нулевыми

ди дч Эй» . „ /л ,

и = — = у = — = м> =— = 0, = (1.1.6)

дt а/ а/

Тем самым, трехмерная задача о колебании предварительно напряженной трансверсально-изотропной пластины сводится к решению уравнения (1.1.3) с граничными (1.1.5) и начальными (1.1.6) условиями.

В граничных условиях (1.1.5) функции Р*{х,у,{), и (*,>>,/),

определяющие внешние условия, приложены к плоскостям г~±к будем искать в классе функций, представленных в виде:

г«

Бт(Ье) 1 гСояС^)} ,

,, МЦ . . \dq\F 0ехр(р1)с1р.

При этом функции 0, - будем считать приближенно малыми

вне области

Н<|*0|; Н<|?0|; (1.1.8)

где к0, д0, а0 - конечные величины.

Общее решение уравнения (1.1.3) будем искать также, используя преобразования Фурье и Лапласа, для функций и, у, ту , получим:

¿-соз(Ь)] ^т(^)] 7Ч 1 " |зт(Ь)] {-со8(©0| '

(1.1.9)

Подставим (1.1.9) вуравнение (1.1.3), для и,,^, и>,, получим уравнения:

(1 + «0) Д» ^ -1(1 + а0 - 40))

-1(1 + я0+ $)V, -(1 + с2)(А%> + = 0;

+ Р\Р гЦ ~

+АР К -

(1.1.10)

где А^ - преобразованные по Лапласу операторы Ад.

Систему уравнений (1.1.10) преобразуем к эквивалентным, но более простым для дальнейших решений.

+ + + (1.1.11)

(1 + с0 )4з0) - ^ + + ^2) + АР2 + (1 + -о )(4з0) + = О,

где введены новые неизвестные

[/'"' =ких+ У{0)=дч-кщ, Ж(0) = и']. (1.1.12)

Общее решение уравнений (1.1.11) имеет вид:

и® = А,сИ(а,2)+ Л25Й(а12) + С,сй(а22) + С2х/г(а22);

К(0) =5,сй(>3г) + в25й(^); (1.1.13)

= м>, [^(а^) + ¿¡с/гЦг)] + [С, зЪ{а2г) + С2<Ж(аг2г)],

где а^а2,Р - корни алгебраических уравнений.

Преобразуем по Фурье и Лапласу граничные условия (1.1.5) с учётом соотношений (1.1.12), получим:

(1 + =

(1.1.14)

Подставив значения

в уравнения (1.1.11) и используя граничные условия (1.1.14), а затем, сделав обратные преобразования по получим систему уравнений для определения перемещений К|,у,,-и>, .

Полученная система и будет описывать в общем случае колебание предварительно напряжённой трансверсально-изотропной пластины.

п.2 Общее уравнение поперечных колебаний предварительно напряжённой трансверсально-изотропной пластины.

Поперечные колебания относятся к антисимметричным колебаниям и возникают в том случае, если функции внешних усилий удовлетворяют условиям:

К = -К = /.; К = К = /я; р; = Р';г = /у, (1.2.1)

Следовательно, постоянные интегрирования в общих решениях (1.1.13) =С,= 0.

Тогда из (1.1.13) решение для поперечных колебаний, имеют вид:

(1.2.2)

Разложим гиперболические функции в выражении (1.2.2) в степенные ряды, получим:

во 2л+1 00 2«-»!

¿Г"2 1 22 '(2п + 1)! £ ^ (2и + 1)! 2

II ^ 2 2

Для простоты решения, введём вспомогательные функции, являющиеся главной частью выражения (1.2.З.), коэффициенты при первых слагаемых:

1/10=Л2а,+С2а2; К1О=В2/0; =Л2™. + С>\. (1.2.4)

Выразим в решении (1.2.3) искомые величины через главные

части г/,0,^0.^0. и подставим их в граничные условия (1.1.14), а затем совершим обращение по к,р,д, получим:

46.

д-

6^33

■33 у

■4з + ^44

(1 + с2)43

дх ду /

(1 + д„)Л4Д

-(1 + а0)/)44О, + </2 А2"'1

<г> +

(2и + 1).

(1.2.5)

(1 + «о)

Д(1 + с2)

40,

(1 + с2)Л33 л

4з6„

Дз + ^44

(1+С2)4з

-(1 + а0)Д„О1+4

ю+^м

-+т„

'33 У

(Дз+ДиЦ

да

ь2"

<3х с?у

(2«)!

где £/, = Дя; К^-Ду,; & =0; 0, =1; 0 = Д;

«=0

Г„<0) = а,2" - Т<\ =1; Т, = 0; Т2 = -Д.

Выражение (1.2.5) и есть общее уравнение поперечных колебаний предварительно напряжённой пластины.

п.З Приближённое уравнение поперечных колебаний предварительно напряжённой трансверсально-изотропной пластины.

Уравнение колебаний (1-2.5) содержит производные бесконечного порядка, что не всегда удобно при решении конкретных задач.

Приняв за основную неизвестную поперечное смещение точек срединной плоскости пластины, ограничимся в рядах (1.2.5) первыми двумя слагаемыми, получи приближённое уравнение четвёртого порядка:

д% /г dt2 + 6

{>0, [(1 + ^зз1 Н- з (1 + ]

д% dt4

2(1 + с2)Л,3 з(4-ЛпЛ33)

(1 + «о) Лз

дх ду

Пусть пластина изотропна, тогда операторы Аи представим в виде: В этом случае уравнение (1.3.1) представим в виде:

А33Ам

1 г

V-

0-3.1)

8% jf_ 1 dt2 + 6

Р\

(l+c2)JV (1 + й0)М

dt M 1 + Й,

о У

(1.3.2)

Л" ^ дх ду ,

В случае предварительно напряженной упругой изотропной пластины из

уравнение колебания имеет вид:

1 82W, h j 1 b2 dt2 + 6 1b2S

1

(1 + c2)a2 (1 + a0)b2

д4Щ

dt4

-4

За2 - 2b2 + 2 (c2 - g0) (1 + a0)"' fl2 а о

x—+ c2)

/Д дх ду J

(1.3.3)

a' j hfi"

где 8 = (l + a0)2(l + a,b - продольная и поперечная скорость распространения волны.

Если положить а0 = с2 = 0, то получим уравнение поперечных колебаний пластины без предварительного напряжения.

п.4 Уравнение продольных колебаний предварительно напряжённой пластины.

Продольные колебания возникают в том случае, если функции внешних усилий удовлетворяют условиям:

=*Г=/.; K = -K = f*. f;=-f- =fr_, (1.4.1)

Тогда в выражениях (1.1.13) произвольные постоянные А2=Вг=С2 = 0 и общее решение уравнений (1.1.11) имеет вид:

Um = Afih{axz) + С,сЛ(а2г); Vm = Цс/г^); Wm = 4w,sft(a,z) + C,w2sh(a2z). (1.4.2) Разложим в (1.4.2) гиперболические функции в степенные ряды:

00 In да 2 п ОС _2«+1

Ui0) = fW2" + С,«2")—; К<°> =УВ,/?2"—; Ff(0) = t^w,«2"' -fCW"^)-2 (2л)! (2л)! 11 ' 2 2 ^

(2« + 1)! (1.4.3)

Введем вспомогательные переменные

и,=А,+С,- У, = В- 1Уй = А^а,+С^2а2. (1.4.4)

Выразим в решении (1.4.2) искомые величины и'0),У(0',И/'"} через а потом полученные значения искомых функций подставим в граничные уело-

вия (1.1.14) и к полученным соотношениям применим операцию обращения по к, р, с/, при этом для удобства вместо неизвестных и и V введем потенциалы <р и у/ продольных и поперечных волн и = А(р, V =-А ц/, получим систему интег-ро-дифференциапьных уравнений, которая и является общим уравнением продольных колебаний предварительно напряжённых пластин, вида:

Й[(1 + *о)4ЗГ.Л + 4З^20,Л- 4з[(1 + «ОК(4З + ^44)]"'((! +«о-

/1=0

-(1 + а0) + ¿22)Й> + [(1 + а0)43 (2„+1 - [(1 + аа)А^ йг & ) -

дх ду

(1.4.5)

п=О

+[(1+йо) л4 (^з+)Г ((1+«о )2 ^ д -о+«о Кад )&] ^ -

^'(1++ (1+*оГЧЯ а]^}

(2« + 1)!

Эх /

Э2 Э2

где =р1-^5--(1+с2)Л44Д; й?2 = + аоМА

Для решения конкретных задач, получим из общих уравнений (1.4.5) приближённые уравнения произвольных конечного порядка. Ограничимся первыми членами (1.4.5) для (р и ц/ получим приближенные уравнения продольных колебаний:

д2 1

•д!2

0> = 4эЛ + 4З[ла]"

дх ду у

(1.4.6)

здесь =-(1 + а0Кз[414з-(1 + ^)4з]-

Аналогично можно получить приближенные уравнения любого конечного порядка, если взять конечное число членов в рядах (1.2.5) и (1.4.5).

Вторая глава посвящена решению задач о собственных колебаниях изотропной прямоугольной предварительно напряженной упругой пластины постоянной толщины, имеющей различные граничные условия. Для некоторых видов закрепления выведены частотные уравнения и построены графики расчёта.

При решении задач использовалось приближенное уравнение колебания пластинки четвертого порядка:

А.—-—А.А—- + А2А2№ +—г = 0, ^ 81' д? ^ 8 I2

(2.1.1)

где (^(х,у,г) - функции прогиба, Д - оператор Лапласа.

А-

ЗД + 7^ + Ма0+6с2) + Зс2Я . А =4 (1 + ^X1 + ^)^+2/1) '

/7, 2 Л+ 2//

ЗЯ + 4^ | 2 с2 - а0

Х + 2Ц 1+а0 _

Используя уравнение (2.1.1) для различных граничных условий, получены следующие результаты.

п.1 Собственные поперечные колебания изотропной прямоугольной предварительно напряженной упругой пластины, шарнирно закрепленной по контуРУ-

Граничные условия для данной задачи имеют вид:

"И дх2

дг\У ' дх2

-И -w\ Ж

у=о

дЧу

V

= 0 (2.1.2)

Решение задачи (2.1.1) будем искать в следующем виде:

. I лпх

. лту

"ТТ.

Здесь £ - безразмерная частота собственных колебаний пластинки. Получим частотное уравнение вида:

(2.1.3)

(2.1.4)

~ и т

где^ = -г + -г. '1 '2

п.2 Собственные колебания пластины, жёстко закрепленной по контуру. Граничные условия для данной задачи представим в виде:

т

IV =-= 0, при х = 0,/,;

дх

ЭЖ

}Г =-= 0, при у = 0,{2.

ду

Уравнение колебаний имеет вид (2.1.1). Решение уравнения (2.1.1) будем искать в виде

1Г(х,у^) = Щх,у)ех

Тогда уравнение (2.1.1) для Ж примет вид: [А2 +В1А + В2]уР(х,у) = 0,

(2.2.1)

(2.2.2) (2.2.3)

Введем новые безразмерные координаты и функцию прогиба

/е V

(2.2.4)

л к \ л)

В новых координатах уравнение (2.2.3) представим в виде:

- + + + + + К(а,/?) = 0 (2.2.5)

' ' 8а28/}2 др' 'иДза2 др) {л) К '

е.

где г] = -«2

Для решения уравнения (2.2.5) воспользуемся приближенным методом декомпозиции, в соответствии с которым сформулируем три вспомогательные задачи:

да да

д'У дУ

г)'?,4—при /? = 0,,т; Гг=-£ = 0; (2.2.7)

ор ор

3)

К3+/(а,/?)+/>,/?) = 0. (2.2.8)

Следуя методу, будем приближенно полагать:

1 2

^ = (2.2.9)

в заданных точках пластины.

Здесь (а,/?) - произвольные функции (у = 1,2)

//а,/?) = ££а£8т(иа)8т(|и/0, (2.2.10)

л=1 /п=1

где - произвольные постоянные.

Общее решение вспомогательных задач будем искать в виде:

» „ (0 3 2

= + + (2-2.11) «и П 6 2

« • д(2) Л3 Я2

„., „=, 77, /я 6 2

где (я и V7, - произвольные функции (г = 1,2,3,4).

Подставим общее решение (2.2.11) в граничное условие (2.2.6), определим функции ц/х,получим:

^(«,/?) = Е£^5т(^)Д5ш(«а)-4[1 + (-1)"] +—[2 + (-1)"]-4 (2.2.13)

л-1 П % \

Аналогично, подставим (2.2.12) в (2.2.7), получим:

= + [2 + (-1Г]-4- (2.2.14)

м[т л -'л'- -1 )

Используя полученные значения искомых функций (2.2.13) и (2.2.14), а также равенство (2.2.8) и условия (2.2.9), считая, что а = 0 = ^,п = т = 1, получим частотное уравнение:

^-Нк^кМ1-

/,2 (, Я л~\ 4

1+„гМ--

= 0, (2.2.15)

где ъ =

М..

кя

Используя коэффициенты уравнения Кирхгофа, значение частоты имеет

вид:

(2.2.16)

1--

Если использовать коэффициенты уравнения (2.2.1) значения частоты имеют вид:

ЧНШ-"

(.2.2.17)

2 А,

1 + Ч?|>--

1--

п.З Собственные колебания пластины, три края которой шарнирно оперты, а четвертый жестко закреплен.

Граничные условия для данной задачи представим в виде:

-"Ц

и.--

&

= 0

д1¥

= —— = 0 при у = 0,£2 ду

(2.3.1)

(2.3.2)

Как и прежде уравнение колебания (2.1.1).

Задачу о выводе частотного уравнения будем решать, используя два метода. I. Метод декомпозиции.

П п я"

В этом случае для а- р = —, и = « = 1, частотное уравнение имеет вид:

Г з з 1 з

+А, т]2Л2--я--+2--я

11 16 2 я) 16

II. Аналитический метод.

= 0.

(2.3.3)

Так как края пластины (у = шарнирно оперты, то решение уравнения (2.1.1) можно искать в виде:

(2.3.4)

V ""2 У

Подставим (2.3.4) в уравнение (2.1.1), получим обыкновенное дифференциальное уравнение

——р + В2 + = О, с!х <±с 3 ' '

feí+±

(2.3.5) кл

Л

Общее решение уравнения (2.3.5) запишем в виде:

cos(a0x) cos(úr,x) — ---

а„ а,

+С,

sin(orrx) ^ sin(ar,x)

< ®Г

"i

«О а.

sin(a0x) sin(a,,x) а" а,"

(2.3.6)

где С, - постоянные интегрирования, ¿а01 - корни характеристического уравнения:

а4 + 32а2 + 53 = 0. (2.3.7)

Корни которого имеют вид:

—'Ь ё

-5,-

(2.3.8)

Целые числа (п,т) выбираются при удовлетворении граничных условий (2.3.1) при х = 0, а другие граничные условия при x = í, приводят к трансцендентному уравнению для определения собственных частот колебания пластины.

Для данной задачи получаем, что п = 0; т = 1; С, = С2 = 0, а используя второе граничное условие, находим уравнение:

а0 cos(a/, )sin(a/,)- a¡ sin(a/, )cos(or/,) = 0. (2.3.9)

Разложим тригонометрические функции в сходящиеся ряды, получим:

Ma2'alJ -al'a2i ХнА _

(2Í+1M2J); r

= 0,

(2.3.10)

где r = -L. h

Возьмем первые три слагаемых в рядах (2.3.10):

«о«,(«,2 -ао){^2 +a¡y + ¿(а.4+ао«,2 + ао) + ^оЧ2У +...| = 0.

(2.3.11)

Пусть а0а, = 0, т.к. а0 * О, то а, = 0, имеем

^ г

+ 1

ГЧт

кж

I

12 у

Если («,2 -а02) = 0, то (4Л4 ^ = О

Если в (2.3.11) положить нулю сумму первых слагаемых, то («," + «„*) +—а0У - 28(а,2 + а2)^ + 280/-"4 = 0,

То получим соответствующее уравнение:

4 Ъ

V А

- ±28г"

(2.3.12)

(2.3.13)

(2.3.14) (2.3.15)

Н^! / V J

п.4 Собственные поперечные колебания пластины, два края которой шар-нирно оперты, а два других упруго закреплены с вертикальной пластиной.

Как и ранее уравнение колебаний имеет вид (2.1.1), а граничные условия запишем в виде: при х = О,/,

2(1-V,) дх2 +2(1-к,)[ ду] Ъ2 дР

4//, дх^1'

А [ЗУ, ЗрД ЭУЛ 3/^(3-2у,) 4(1-и,)2 (ах,3 4 о*,2^ 4й,2(1-у,)(1-у2)

Л

й? а/2 ;

1.

(2.4.1)

Здесь параметры горизонтальной пластины обозначены индексом "1", а вертикальной пластины индексом "2".

При у = 0,12,

0^ = 0. ' ау2

(2.4.2)

Задачу будем решать, используя метод декомпозиций, получим частотное уравнение:

+ + + + + + + ¿%е + = 0, (2.4.3) где с1- функции, зависящие от геометрических параметров и коэффициентов материала.

п.5 Собственные колебания пластины, три края которой свободны от закрепления, а четвертый упруго соединен с вертикальной упругой пластиной.

При решении будем пользоваться приближенным уравнением (2.1.1), а граничные условия представим в виде:

п А д2}Г. \д% 7-4к В21Г, а3ж ,

при х = 0 ——— = 2—2*- +-!-—-- ='

А &

су2 3-2V, ах2

Йг

^ = 0; (2.5.1)

при х = /,, граничные условия такие же, как в (2.4.1);

Здесь индекс "1" относится к параметрам горизонтальной пластины, а индекс "2"- к вертикальной.

при, = 0,/2 = ^

Р ' 2 а/2 5х2 3-2у, 5/ дуъ

Используя метод декомпозиции, получим частотное уравнение вида:

с1£г + +</7 =0. (2.5.3)

Третья глава Некоторые задачи вынужденных колебаний предварительно напряжённых пластин.

п.1 Нормальный удар по поверхности пластины, шарнирно опёртой по контуру.

Рассмотрим задачу о вынужденных колебаниях предварительно напряжённой прямоугольной упругой пластины, шарнирно опёртой по контуру.

При решении задачи будем пользоваться приближённым уравнением вида:

д21г „гт

(3.1-1)

где В (ЗД + 4Я)0 + а°) + 2(Л + 2^ -а'>); С =

р,2-[ЗЯ(1 + С2) + //(Яо+6с2+7)] 2(1 + я0)(1 + сгЫХ + ц) ' ' (\ + а,){\ + с2)гц\Л + ц) ' + ; Р{х,у,)= + Дх.у.,).

Ц1 + с2МЛ + м) Щ + с2МЛ + М)

Общее решение уравнения (3.1.1) представится в виде Ш = здесь

Жц - общее решение однородного уравнения, - частное решение неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения при заданных граничных условиях можно представить в виде:

+Ь„ т СОЭ [ ^ ^ ] + С*,т 5'П ( + " С0$ [ ^ &

(3.1.2)

п

где апт, Ъпт, спт, (¡пт - произвольные постоянные, с, - частоты собственных колебаний.

Частное решение будем искать в виде:

С пях\ . (тяуЛ

\тгЬг} (ЗЛЗ)

Правую часть уравнения (3.1.1) разложим по собственным функциям:

Р(.х,у,г)= (3.1.4)

"."■-1 V 1\ / V п ) Подставим (3.1.4) в (3.1.1.), получим:

решение которого представим в виде:

= С, + С2 + сз 8'п(| + С4

(3.1.5)

(3.1.6)

Для определения С, - воспользуемся методом вариаций. Общее решение уравнения (3.1.1) будет иметь вид:

| . (тжу\ Ь2

- бш •

""

<7*7--(Х™^1

йг, •

(3.1.7)

п.2 Нормальный удар по поверхности прямоугольной пластины, имеющей различные граничные условия.

Вынужденные колебания пластины описываются уравнением вида:

+ + = (3.2.1)

а/4 ' 8? 2 ы2

где Д - коэффициенты, обозначенные в главе 1. Решение (3.2.1) будем искать в виде:

W{x,y,t) = txv\iJZt\Ywksm

кжу

1Г

(3.2.2)

Будем считать, что граничные условия при у = 0,12- шарнирное закрепление, а при х = О,/, - произвольное.

Тогда считаем, что правую часть уравнения (3.2.1) можно представить в виде:

Получим для Шк обыкновенное дифференциальное уравнение:

(3.2.3)

Л (¡Х*

Аг

¿Ж

ск2

н*

1 + 4

'клл

V 4 у

+А

(3.2.4)

кж

и

к =^(4

Решение однородного уравнения (3.2.4) известно:

Ко = С,/, (х) + С2/2 (дс) + С3/; (х) + С4/4 (*). (3.2.5)

Для определения частного решения уравнения (3.2.4) используем метод вариации произвольных постоянных.

Следовательно, общее решение уравнения (3.2.4) имеет вид:

¡С^т! + С;0> /1(х)+ ]с'^п + С\

-К»)

\с'ъс1г] + с^ /з(х)+ |с4^ + с:

-(О)

(3.2.6)

здесь = /з

соб соз(а,х)

«о «Г

5т(а0х) зт(а,ж)

аТ + «Г

; /2 = ; /з =

5(а0х) ссв^х)

«л

зт(а0х) 8т(а,х)

а„

(3.3.1)

Произвольные постоянные С),п,т - определяются из граничных и начальных условий.

п.З Собственные колебания двух пластин, пространство между которыми заполнено упругой средой.

Задачу определения возмущенного поля в упругом наполнителе сводится к определению потенциала ), удовлетворяющего волновому уравнению:

о<2<1 г>-1,

& дт

и следующим граничным и начальным условиям:

— = ^(лг,г) приг= 1; = приг = 0; = = 0 при г>~\, (3.3.2)

02 &

где т = ~, IV, (х,т) и Щх,т) - безразмерные величины прогиба верхней и Н

нижней пластины.

Решение уравнения (3.3.1) будем искать в форме Даламбера

(р{г,т) = % (г + г -1) + <рх (г - г +1). (3.3.3)

Используя закон Гука и соотношения (3.3.2), выразим нормальное напряжение через функции прогиба:

~дЩ (х,т + г-2п-1)

(л , д^2(х,т + г) А

дт

дт

д1У,(х,т-г-2п-\) 8Щ(х,т + г-2п) д1У2(х,т-г-2п)

(3.3.4)

дт дт дт

Для определения величин прогиба (х,г) и \¥2(х,т) соответственно,

имеем уравнения:

А А А^'

А°1 дт*

А ^ А №

02 дт*

д% ' Вт2 д% ' дт2

--Л2(х,т),

(3.3.5)

(3.3.6)

где Ají и Aj2 - коэффициенты, равные (2.1.1), индекс «1» принадлежит верхней пластине, а «2» - нижней пластине, А - оператор, зависящий от х.

После проведения необходимых преобразований, получим

Щх,т) = }[Щ2{г-^(х,£) + К12{т-£)щ{х,£)У{; (33.7)

-i

W2 (х,г) = ][WI2 (г - Z)w3 (x,<f) + W22 (г - f)W4 (*,£)]#; (3.3.8)

o

где Wl2(T) = B¡lf(T-Z)Ft(Z)d{; Wn(t) = Bs¡f0(T-^F2(^; (3.3.9)

-1 o

= + W2(x,r)=-iTJC20(x,p)e^; (3.3.10)

^(*,г) = -Мсзо(*,.рКф; н>4(х,г) = -^Г[1 + С40(х,р)]е"гф. (3.3.11)

2я-1^ 1711 JL

Зная аналитические выражения для W¡2 (г) и W22(r) из (3.3.9), и взяв интегралы (3.3.10) - (3.3.11), получим точные выражения для Щ (х,г) и W2 (х,т). Тем самым задача о вынужденных колебаниях двух упругих пластин, пространство между которыми заполнено упругой средой, аналитически полностью решена.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. На основе математического подхода к задаче о колебаниях упругих и вяз-коупругих ограниченных средах плоских элементов (типа пластин) поставлена задача о выводе общих уравнений колебаний предварительно напряжённой трансверсально-изотропной однородной пластины.

2. Получены общие уравнения поперечных колебаний ограниченных пластин, и затем получены приближенные уравнения поперечных колебаний конечного порядка.

3. Получены общие уравнения продольных колебаний ограниченных пластин и сформулированы приближенные уравнения конечного порядка.

4. Определена сходимость функциональных рядов, входящих в уравнения колебания, найден ряд сходимости.

5. Из анализа выполненных в диссертационной работе теоретических и прикладных задач и их решений выявлены новые механические эффекты. В частности, можно сделать выводы:

- используя при решении задачи о собственных колебаниях пластин приближённое уравнение четвертого порядка относительно производной по времени, получаем две частоты, зависящие от коэффициента Пуассона; в отличие от уравнения колебаний Кирхгофа, при этом всегда, при любых граничных условиях, значения частот, полученных из уравнения Кирхгофа всегда больше первых частот, определяемых вновь полученными уравнениями;

- величина численного значения частот, в первую очередь, зависит от граничных условий, так численное значение частоты для пластины жёстко закреп-

лённой по контуру всегда выше частот, определяемых другими граничными условиями;

- используя новые представления граничных условий для свободного края, или края закреплённого упруго, значительно отличается количеством частот, если эти граничные условия записаны в классическом виде; так, например, при выводе частотного уравнения колебания пластины, три края которой свободны, а четвёртый упруго закреплён, для классических граничных условий получаем частотное уравнение четвёртого порядка, а для новых граничных условий двенадцатого;

- при решении эквивалентных задач о собственных колебаниях всегда значения частот выше, если пластина предварительно напряжена по отношению к не напряжённой пластине.

6. Получены аналитические решения задач о вынужденных колебания пластины.

7. Выведенные формулы для определения значений частот свободных поперечных колебаний предварительно напряженной пластины постоянной толщины для различных видов закреплений, удобны для практического использования и могут быть применены для расчета строительных и других инженерных конструкций.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ СТАТЬЯХ:

1. Хрупов A.A. Вывод частотного уравнения поперечных колебаний предварительно напряжённой пластины. Журнал ПГС № 5, 2009 г.

2. Хрупов A.A. Вывод частотного уравнения собственных поперечных колебаний предварительно напряжённой пластины, жёстко закреплённой по контуру. Научно-технический журнал "Вестник МГСУ", №2, издательство АСВ, 2009 г.

3. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Хрупов A.A. Собственные поперечные колебания упругой предварительно напряженной пластины, два края которой шарнирно оперты, а два других упруго закреплены. Сборник докладов XVII словацко-российско-польского семинара "Теоретические основы строительства", 2009 г.

4. Егорычев О.О., Поддаева О.И., Хрупов A.A. Вывод частотного уравнения собственных поперечных колебаний предварительно напряженной пластины, три края которой шарнирно оперты по контуру, а четвертый жестко закреплен. Сборник докладов шестой научно-практической и учебно-методической конференции «Фундаментальные науки в современном строительстве» ИФО МГСУ, Москва, 2008 г.

КОПИ-ЦЕНГР св. 7:07:10429 Тираж 100 экз. г. Москва, ул. Енисейская, д.36 тел.: 8-499-185-7954,8-906-787-7086

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I Уравнение колебания предварительно напряжённых пластин

§ 1. Общая постановка задачи о колебании предварительно напряжённой пластины

§ 2. Уравнение колебания предварительно напряжённой трансверсально-изотропной пластины

§ 3. Общее уравнение поперечных колебаний предварительно напряжённой трансверсально-изотропной пластины

§ 4. Приближённые уравнения поперечных колебаний предварительно напряжённых трансверсально-изотропных пластин

§ 5. Приближённые уравнения продольных колебаний предварительно напряжённых трансверсально-изотропных пластин

§ 6. Исследование пределов применимости приближённых уравнений предварительно напряжённой трансверсально-изотропной пластины

ГЛАВА II Исследование колебаний предварительно напряжённых прямоугольных пластин

§ 1. Аналитическое решение задачи о колебании пластины, шарнирно опёртой по контуру

§ 2. Собственные колебания пластины, жёстко закреплённой по контуру

§ 3. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, три края которой шарнирно опёрты по контуру, а четвёртый жёстко закреплён (два решения различными методами)

§ 4. Вывод частотного уравнения собственных поперечных колебаний пластины, два края которой шарнирно опёрты, а два других упруго закреплены с вертикальной пластиной (стеной)

§ 5. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, три края которой свободны от закрепления, а четвёртый упруго соединён с вертикальной упругой пластиной

§ 6. Выводы и сравнения

ГЛАВА III Некоторые прикладные задачи вынуиеденных колебаний предварительно напряжённых прямоугольных пластин

§ 1. Нормальный удар по поверхности пластины, шарнирно опёртой по контуру

§ 2. Нормальный удар по поверхности пластины, имеющей различные граничные условия

§ 3. Нестационарные колебания двух упругих пластин, пространство между которыми заполнено упругой средой

Развитие современной техники и, в частности, строительной техники выдвигает повышенные требования к исследованиям в области механики деформируемого твердого тела. Необходимо развитие более достоверных представлений о деформационных и механических свойствах материалов при различных режимах их эксплуатации.

Законы внутреннего развития фундаментальных исследований в механике деформируемого твердого тела выявили тенденции к возможно более полному учёту механических и физических свойств исследуемых материалов, эффектов взаимосвязи деформационных полей. Среди всех перечисленных факторов одно из ведущих мест занимают проблемы теоретического и экспериментального анализа волновых и колебательных процессов в деформируемых средах и в частности плоских элементах строительных конструкций различного назначения. Частным их случаем являются пластинки.

Пластины, как плоские элементы конструкций, постоянно имеют широкое применение в различных областях техники и строительства. Это объясняется тем, что тонкостенным конструкциям присущи легкость и рациональность форм, высокая несущая способность, экономичность и хорошая технологичность. Огромный размах промышленного и жилищного строительства приводит к необходимости дальнейшего развития положений строительной науки. Одним из таких вопросов является вопрос расчета колебаний ограниченных в плане плоских конструкций. Поэтому развитие и уточнение теорий колебания пластин, а также точная формулировка краевых задач для этих теорий, является одним из актуальнейших разделов прикладной теории упругости.

Отметим, что многие уточненные теории поперечных колебаний пластин основываются на ряде допущений и гипотез физического и геометрического характера, в ряде случаев не согласующихся между собой, а также отсутствует строгое обоснование начальных и граничных условий. В силу этого анализ полученных в диссертационной работе граничных условий, при решении краевых задач о колебаниях прямоугольных в плане пластин и сравнительный анализ полученных решений для различных видов уравнений колебания (т.е. для различных теорий колебания) является весьма актуальной темой для научного поиска, имеющей несомненный практический интерес.

Поведение подобных конструкций при статических нагрузках достаточно хорошо изучено. Изучение поведения этих конструкций при динамических нагрузках еще далеки от завершения, а, как показали классические работы российских и зарубежных ученых, поведение, например, слоистых конструкций при динамических воздействиях может существенно отличаться от их поведения при статических нагрузках.

Основной вклад в развитие математических методов решения динамических задач теории упругости и вязкоупругости внесли ученые: Ж.Д. Ахенбах, В.В. Болотин, Б.Ф. Власов, В.З. Власов, Э.И. Григолюк,

A.A. Ильюшин, В.А. Ильичев, Б.Г. Коренев, Г. Кольский, Р. Кристенсен,

B.Д. Кубенко, H.H. Леонтьев, А. Ляв, Н.П. Огибалов, О.Д. Ониашвили, Г.И. Петрашень, Г.И. Пшеничнов, Х.А. Рахматулин, Д.В. Релей,

A.Р. Ржаницын, И.Т.Селезов, В.И. Смирнов, И.Г. Филиппов и другие. Видное место в литературе занимают публикации, связанные с широким анализом таких физических факторов, как анизотропия, неоднородность и вязкость. Эти вопросы исследовались в работах: С.А. Амбарцумяна,

B.И. Андреева, Е.Ф. Бурмистрова, Г.С. Варданяна, О.О. Егорычева, Г.Б. Колчина, C.B. Кузнецова, С.Г. Лехницкого, В.И. Митчел, С.Г. Михлина, П. Теодореску, Д.Я. Шерман и многих других.

Наряду с этим широко применяются численные методы решения, что отражено в работах: В.А. Андреева, И.А. Бригера, Я.М. Григоренко, В.А. Ломакина, Н.Д. Покровской, A.M. Проценко, В.И. Соломина, P.A. Хечумова, H.H. Шапошникова и многих других.

Теоретические и экспериментальные исследования в области динамики элементов конструкций и сооружений, связаны с работами таких ученых, как Л.Я. Айнола, А.Я. Александров, A.A. Амосов, В.В. Болотин, Н.М. Бородачев, JI.M. Бриховский, Г.С. Варданян, В.З. Власов, М.А. Дашевский, O.A. Егорычев, Г. Каудерер, Б.Г. Коренев, Г.Б. Муравский, JI.B. Никитин, Ю.Н. Новичков, В.В. Найвельт, У.К. Нигул, H.A. Николаенко, И.Н. Преображенский, В.Д. Райзер, А.Е. Саргсян, Д.Н. Соболев, С.П. Тимошенко, Я.С. Уфлянд, Г.Л. Хесин, А.И. Цейтлин, Г.Э. Шаблинский, Т.Ш. Ширенкулов и многие другие.

Вопросы распространения волн в упругих и вязкоупругих средах изучались в работах многих ученых: Д. Бленд, А.Н. Гузь, В.Д. Кубенко, Р.Д. Миндлин, Г.И. Петрашень, С.Б. Смирнов, А.Я. Сагомонян, Л.И. Слепян, Х.Р. Рахматулин, И.Г. Филиппов, Г.Л. Хесин, Я.С. Уфлянд и многие другие.

Математическая сложность динамических задач в механике деформируемого тела, исследуемых методами математической физики, обусловлена рядом причин, такими как свойства материалов, так и геометрическими особенностями механических систем.

Проблемам вывода уравнений поперечных колебаний пластин и методам их решения посвящены работы большого числа авторов.

Леонард Эйлер одним из первых рассмотрел проблему изгиба тонкой упругой пластины применительно к ее колебаниям, представляя поверхность пластины системой упругих ортогональных нитей, обладающей поперечной инерцией. Е. Хладни своими исследованиями в области акустики дал толчок к развитию теории колебания пластин. Якоб Бернулли исследовал малый поперечный изгиб пластины, рассматривая ее уже не как систему нитей, а как систему балок.

Уравнения изгиба упругих тонких пластин, нагруженных поперечной нагрузкой, с учётом растягивающих усилий в срединной поверхности выводили Ж. Лагранж и С. Пуассон. Они основывались на представлении о молекулярном строении пластин, предполагая, что молекулярные силы пропорциональны изменению расстояния между молекулами. В1829 году С. Пуассон дал теорию колебания осесимметричных круглых пластин на основе уравнений Л. Навье теории упругости.

Классическая теория изгибных колебаний пластин была наиболее полно развита Г. Кирхгофом.

Густав Кирхгоф в статье «О равновесии и движении упругой пластины» [133] оспорил поставленные С. Пуассоном граничные условия и с помощью принципа возможных перемещений получил дифференциальные уравнения изгиба пластины в форме Ж. Лагранжа и С. Пуассона, но с другими граничными условиями. Его метод основан на двух допущениях: 1) что линейные элементы, которые до деформации перпендикулярны к срединной плоскости, остаются прямолинейными и нормальными к искривленной срединной поверхности после деформации, 2) что элементы срединной плоскости не подвергаются растяжению. Он нашел, что усилия для поперечной силы и крутящего момента объединяются одним условием.

В.Томпсон (Кельвин) и П. Тэт дали геометрическую интерпретацию результата Г. Кирхгофа, указывая, что три условия (для поперечной силы, изгибающего и крутящего моментов) С. Пуассона выполняются только для толстой пластины, а для тонкой пластины должны выполняться два условия Г. Кирхгофа (для обобщенной поперечной силы и изгибающего момента).

На основе этих предположений Г. Кирхгоф вывел уравнение поперечных колебаний безграничной в плане пластины 4-го порядка по линейным координатам и 2-го порядка по производным по времени. Это уравнение параболического типа и, как отмечалось многими авторами, удовлетворяет только медленно протекающим низкочастотным процессам.

Существенным уточнением уравнения поперечных колебаний Кирхгофа является уравнение, полученное Уфляндом [113] на основе модели Тимошенко, в которой (применительно к пластинкам) полагается, что элемент первоначально прямолинейный и нормальный к срединной плоскости пластины, остается и после деформации прямолинейным, однако угол его наклона к срединной плоскости пластины может быть отличен от прямого. Уравнение, полученное Уфляндом, является гиперболическим уравнением (в отличие от уравнения Кирхгофа) 4-го порядка по производным по линейным координатам и по времени, описывает распространение не одного, как у Кирхгофа, а двух типов волн с дисперсией, которые оказались связанными.

Б.Ф. Власов [16] построил теорию статического изгиба пластин с учётом искривления первоначально прямолинейного и нормального к срединной плоскости пластины элемента пластины после деформирования. Им были выведены следующие гипотезы: а) прямолинейный элемент пластины, нормальный к срединной поверхности до деформации, в процессе деформации искривляется так, что сдвиги по толщине пластины изменяются по параболическому закону; б) напряжённое состояние пластины аппроксимируется системой изгибающих и крутящих моментов и перерезывающих сил.

В работе ЕЛ. ВгипеПе [129] дано простое обобщение уравнения Тимошенко, на случай трансверсально-изотропной пластины, имеющей начальные прогибы и подверженной действию постоянных сил Их, Иу, в срединной поверхности. Предполагается, что пластина имеет конечные модули поперечного сдвига, углы сдвига и постоянные по толщине, а продольные перемещения линейны по поперечной координате. В результате получено уравнение поперечных колебаний гиперболического вида типа Тимошенко с добавочными членами в правой части, соответствующими учёту предварительного прогиба.

Одним из основных методов построения приближённых уравнений (аппроксимаций) теории пластин является метод степенных рядов, впервые примененный еще в работах Коши и Пуассона [135]. С помощью этого метода трёхмерная задача динамической теории упругости приводится к приближённой двухмерной.

-9В динамике пластин метод степенных рядов применял И.Г. Селезов [99]. На основе предположения о том, что изменение механического поля в зависимости от координат характеризуется некоторым параметром /, который значительно больше толщины пластины 2/г, делается заключение о том, что все линейные размеры по координате 2 малы и, таким образом, становится возможным представление векторов перемещения и, V, и м> в виде степенных рядов по малому параметру г. Подставляя эти ряды в граничные условия на боковых гранях пластины и в уравнения движения, делая ряд дополнительных предположений, получают уравнения поперечных колебаний. Оно содержит бесконечные производные по координатам и времени, удерживая то или иное их число можно получить аппроксимации возрастающего порядка.

Впоследствии Г.И. Петрашень [84] дал математическое обоснование метода степенных рядов на примере динамической задачи о слое в случае плоской деформации. Обоснование заключается в том, что строго показана применимость этого метода для задач, принадлежащих к классу функций, пред ставимых в виде: о ; (/) где (I) - разомкнутый контур на комплексной плоскости, прилегающий справа к участку мнимой оси (-¿у0/, <у0/) .

Сначала доказывается, что бесконечные ряды, которыми представляются компоненты вектора перемещений, приводят к точному решению. Затем оценивается погрешность при усечении рядов. Если обозначить через с1 допустимую относительную погрешность, то для к0 и со0 имеем: 2т г~г 2т

Ко~-лМ п Ьп где т - номер члена ряда, Ь - скорость поперечной волны.

С увеличением т и уменьшением И пределы применимости расширяются. При малых т, как раз и представляющих практический интерес, внешние нагрузки должны достаточно плавно изменяться по х и I, т. е. задачи о концентрированных нагрузках заведомо нельзя изучать с помощью этого метода. В силу вышеизложенного вопрос о применимости результатов получаемых посредством использования метода степенных рядов должен оговариваться в каждом конкретном случае.

Несмотря на наличие большого числа новых уточненных теорий поперечных колебаний пластин, до недавнего времени при расчете пластин применялись классические теории, основанные на гипотезах Кирхгофа. Это объяснялось тем, что в теориях, на основе которых получаются уравнения колебаний гиперболического типа, которые содержат производные по времени 4-го и более высоких порядков, отсутствует четкий подход к формулированию необходимого числа начальных и граничных условий. В этом отношении в более выгодном положении находится теория построения уравнения колебания, основанная на математическом подходе, который наибольшее развитие получил в работах Филиппова И.Г. [121]. Этот подход отличает относительная свобода от большого числа предварительных гипотез, а также тот факт, что для уравнений колебаний любого порядка по производным по времени и по координатам, полученных на основе этого метода, предложена методика однозначного формулирования начальных и граничных условий, исходя из классических.

Как отмечалось ранее, при расчете пластин чаще всего применяются уравнения, основанные на гипотезах Кирхгофа. При этом точное аналитическое решение задачи о собственных колебаниях пластины существует только для шарнирно опёртой по всему контуру пластины. Однако существуют и приближённые решения этой задачи, так, например, Галин М.П. [23] для решения выше поставленной задачи применяет приближённый метод Галеркина и получает решение мало отличное от точного.

Задача об определении частот и форм собственных колебаний защемленной по контуру (жёстко заделанной) прямоугольной пластины не поддается решению в аналитической форме и может быть решена лишь приближёнными методами. Чаще всего формы собственных колебаний ищутся в виде произведения балочных функций, соответствующих балке с защемленными концами [11].

Если пластина свободна по контуру, то граничные условия принимаются в виде: d2w d2w d3w , ч d3w А , >.

- + v—г = —- + (2 - v)-7 = 0 (х = 0,/,) дх ду дх3 V Jdxdy2 V х) d2w d2w d3w (r. ч d3w A ( ^ , ч

3x ЭуЭх (1.1) где v - коэффициент Пуассона, w - прогиб.

В работах Филиппова И.Г. и Егорычева О.О. получены новые граничные условия на свободном крае при х = const: р d2W ^ d2W | 7 -4v d2W

M dt2 ~ ду2 + 3 - 2v дх2 = 0 ax3

Первое условие (1.2) учитывает динамическую деформируемость свободного края, в этом условии появляется инерционный член.

Если край x=lj прямоугольной пластины жёстко соединён с поддерживающей его балкой, то прогиб на этом крае будет равен не нулю, а прогибу балки и потому угол поворота края равен углу закручивания балки.

Тогда граничные условия на упруго заделанном крае имеют вид:

В —т =И--7 гН> Яг Яг2 дМ ^ д [д2м> д д2м?

1.3) ду ^ дхду ) ^ дх где В - жёсткость балки при изгибе, С - жёсткость балки при кручении, Б - цилиндрическая жёсткость пластины.

В некоторых работах предлагаются граничные условия на упруго заделанном крае пластинки при х=1] в виде:

Из которого видно, что при к=0 получаем граничные условия на краю пластины жёстко заделанной, а при к=1 шарнирно опёртой.

Из анализа граничных условий (1.3) и (1.4) видно, что они отражают действительность в основном для стационарных задач. Их применение к динамическим задачам не всегда возможно, т.к. они не содержат инерционного члена.

При этом из граничных условий (1.4) невозможно получить граничные условия на свободном крае, что, вообще говоря, представляется сомнительным.

А так же получены новые граничные условия упругого соединения с пластинкой из другого материала, при этом сопричастные пластинки взаимно перпендикулярны.

Параметры горизонтальной пластины обозначим индексом "1", а вертикальной пластины индексом "2".

1.4)

1.6)

1.5)

В том случае, если вертикальная пластинка отсутствует, то из условий (1.5) получаем граничное условие для края, свободного от напряжений. Если же вертикальная пластинка является жёстким телом, то получаем граничные условия для края пластинки, находящейся в условиях жёсткого закрепления. Заметим так же, что из условий упругой заделки невозможно получить условия шарнирного закрепления.

Широкое применение получил асимптотический метод в расчете пластин на колебания, разработанный Болотиным В.В. [10].

Согласно этому методу асимптотическое решение для форм свободных колебаний выражается в виде суммы внутреннего решения и поправочных решений, которые называются динамическими краевыми эффектами. Для каждой границы тела строят решения, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям и условиям на соответствующей границе. Число таких выражений равно числу границ. Затем полученные решения склеивают. Эта процедура аналогична склеиванию моментных и без моментных решений в теории оболочек или склеиванию вязких и невязких решений в гидродинамике. Вообще говоря, это склеивание может быть выполнено только приближённо. Чем быстрее затухают краевые эффекты, тем меньше ошибка асимптотического решения. Процедура склеивания позволяет получить систему трансцендентных уравнений для параметров, определяющих как внутреннее решение, так и краевые эффекты. Затем может быть получено асимптотическое выражение для собственных частот. Что касается асимптотического выражения для свободных форм, то оно может быть построено для всей области, исключая окрестности углов и ребер. Это типично и для других методов, использующих идею краевого эффекта.

Следует заметить, что выше указанным приближённым методом следует пользоваться для задач, когда граничные условия отличны от краевых условий Навье, т.к. решение, удовлетворяющее основному уравнению движения, одновременно удовлетворяет и краевым условиям.

-14В настоящей работе используется новый приближённый метод, метод декомпозиций, предложенный для решения статических задач Пшеничновым Г.И. [89] и переработанный Филипповым И.Г. и Егорычевым О.О. [36] для динамических задач. Используется также новый аналитический метод, приводящий к трансцендентным частотным уравнениям, после анализа которых преобразуется к алгебраическим частотным уравнениям.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы.

- 112-ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. На основе математического подхода к задаче о колебаниях упругих и вязкоупругих ограниченных средах плоских элементов (типа пластин) поставлена задача о выводе общих уравнений колебаний предварительно напряжённой трансверсально-изотропной однородной пластины.

2. Получены общие уравнения поперечных колебаний ограниченных пластин, и затем получены приближенные уравнения поперечных колебаний конечного порядка.

3. Получены общие уравнения продольных колебаний ограниченных пластин и сформулированы приближенные уравнения конечного порядка.

4. Определена сходимость функциональных рядов, входящих в уравнения колебания, найден ряд сходимости.

5. Из анализа выполненных в диссертационной работе теоретических и прикладных задач и их решений выявлены новые механические эффекты. В частности, можно сделать выводы:

- используя при решении задачи о собственных колебаниях пластин приближённое уравнение четвертого порядка относительно производной по времени, получаем две частоты, зависящие от коэффициента Пуассона; в отличие от уравнения колебаний Кирхгофа, при этом всегда, при любых граничных условиях, значения частот, полученных из уравнения Кирхгофа всегда больше первой частоты, определяемой вновь полученными уравнениями;

- величина численного значения частот, в первую очередь, зависит от граничных условий, так численное значение частоты для пластины жёстко закреплённой по контуру всегда выше частот, определяемых другими граничными условиями;

- используя новые представления граничных условий для свободного края, или края закреплённого упруго, значительно отличается количеством частот, если эти граничные условия записаны в классическом виде; так, например, при выводе частотного уравнения колебания пластины, три края которой свободны, а четвёртый упруго закреплён, для классических граничных условий получаем частотное уравнение четвёртого порядка, а для новых граничных условий двенадцатого;

- при решении эквивалентных задач о собственных колебаниях всегда значения частот выше, если пластина предварительно напряжена по отношению к ненапряжённой пластине.

6. Получены аналитические решения задач о вынужденных колебаниях пластины.

7. Выведенные формулы для определения значений частот свободных поперечных колебаний предварительно напряженной пластины постоянной толщины для различных видов закреплений, удобны для практического использования и могут быть применены для расчета строительных и других инженерных конструкций.

- 114

1. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1967. -258с.

2. Бабаков И.М. Теория колебаний. Изд-во «Наука», 1965. 560 с.

3. Бабешко В.А., Пельц С.П. Колебание плит на упругом слое. Изд-во АН СССР «Механика твердого тела». №1. 1976.- С. 131-135.

4. Бабич Д.В., Борисенко В.И., Шпакова С.Г. Свободные колебания пластинки со сосредоточенными массами. АН УССР «Прикладная механика», т.5, в.5, 1969. С. 71-75.

5. Бейтман Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа и Меллина, т.1, СМБ, изд-во «Наука», -М., 1969.- 344 с.

6. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. Изд-во «Мир», — М., 1965. -200 с.

7. Блох М.В. Неустановившиеся колебания бесконечной пластинки на упругом полупространстве. «Динамика и прочность машин». Респ. межвед. научно-технический сб. В.6. 1967. —С. 54-58.

8. Блох М.В. Неустановившиеся колебания бесконечной пластины на упругом инерционном полупространстве. Сб. «Исследования по теории сооружений», в. 16, М.: Стройиздат, 1968. С.47-60.

9. Болотин В.В. и др. О потери устойчивости упругих оболочек под действием импульсной нагрузки. «Строительная механика и расчет сооружений», 1959. №2. С. 9-16.

10. Болотин В.В. Асимптотический метод в теории колебаний упругих пластин и оболочек. Тр. Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Казань, КФАН СССР, 1961.

11. Болотин В.В. Современные направления в области динамики пластин и оболочек. Киев, Наукова думка, 1962. - С. 16-32.

12. Болотин В.В. Динамический краевой эффект при колебаниях упругих пластин. «Инженерный сборник», т.31. 1961.-11513. Болотин B.B. Случайные колебания упругих пластин. М.: Наука, 1979.

13. Варданян Г.С. применение теории подобия и анализа размерностей к моделированию задач механики деформированного твердого тела. — М.: изд-во МИСИ, 1980. 104 с.

14. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций, т.1, 1, M-JI, 1949.

15. Власов Б.Ф. Об уравнениях теории изгиба пластин.- Изд. АН СССР ОТН, 1957. №12.- С. 57-60.

16. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение к технике. Гостехиздат, M-JI, 1949. 784 с.

17. Власов В.З., Леонтьев H.H. Техническая теория расчета фундаментов на упругом основании. Труды МИСИ сб. № 14. 1956.

18. Власов В.З., Леонтьев H.H. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. Госиздат физ. Мат. Литературы, М., 1960. 492 с.

19. Власов В.З. Избранные труды, т.1. изд-во АН СССР. М., 1962. 528 с.

20. Волос Н.П. Об одном виде основных уравнений модифицированной теории изгиба пластин. Сопротивление материалов и теория сооружений 1982. №40.-С. 143-147.

21. Гаврилов А.К. Экспериментальное исследование колебаний трехслойных плит. Вопросы техн. диагностики. 1977. №17. С. 10-13.

22. Галин М.П. О поперечных колебаниях пластинки. «Прикладная математика и механика». В.З. 1948.

23. Галиныш А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям. Иссл. по теор. пластин и оболочке. Казань. Изд-во КГУ. 1970. №7. С. 24-26.

24. Гельфонд А.О. Вычиты и их приложения. Изд-во «Наука». М., 1966. 112с.

25. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. ВНИИТИ. Итоги науки и техники. Серия «Механика твердых деформированных тел», т.5. М., 1973.

26. Грей Э., Мэттюз Г.Б. Функции Бесселя и их приложение к физике и механике. М.ИМ., 1949. 372 с.

27. Гузь А.И., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Методы возмущений в пространственных задачах теории упругости. Киев. Вища школа. 1982. 350 с.

28. Деч Г. Руководство по практическому применению преобразований Лапласа и г-преобразований. М.: Наука. 1971. 288 с.

29. Даннея Л.Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Мир. 1985. 567 с.

30. Егорычев О.О. Колебания плоских элементов конструкций. — М.: АСВ. 2005. 240 с.

31. Егорычев О.О., Филиппов И.Г., Джанмулдаев Б.Д., Скропкин С.А., Филиппов С.И. Теория динамического поведения плоских элементов строительных конструкций. Док.2-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». Варшава. 1993.

32. Егорычев О.О., Филиппов И.Г. Неклассическая теория нелинейных колебаний плоских элементов строительных конструкций. Док.3-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства», — М., 1994.

33. Егорычев О.О., Филиппов И.Г. Численный метод декомпозиций в исследовании колебаний пластин. Док. 3-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства», М., 1994.

34. Егорычев О.О., Филиппов И.Г. Анализ краевых задач в теории элементов строительных конструкций. Док. 4-го российско-польскогосеминара «Теоретические основы строительства». Варшава. 1995. — С.55-62.

35. Егорычев О.О., Егорычев O.A. Исследование поперечных колебаний прямоугольной пластинки свободной по трем краям и жёстко закреплённой по одному краю. Док. 7-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». М., 1998.

36. Егорычев О.О. Нестационарные колебания двух вязкоупругих пластин, пространство между которыми заполнено вязкоупругой средой. «Вопросы прикладной математики и вычислительной техники». МГСУ. -М., 1999.

37. Егорычев 0.0., Егорычев O.A. Анализ решения задач о колебании пластин различными методами. Док.11-го российско-польского семинара «Теоретические основы строительства. Варшава. 2002. — С. 163-173.

38. Егорычев О.О. Теоретические основы колебания плоских элементов строительных конструкций. ПГС. 9. 2004. С.30-32.

39. Егорычев О.О. Влияние вязкоупругости материала на совместные колебания пластин и среды, лежащей на жёстком основании. «Строительные материалы и оборудование технологии XXI века». 10. 2004.

40. Егорычев О.О. Влияние формулировки граничных условий при определении собственных частот колебания пластин. ПГС. 12. 2004.

41. Жаворонок С.Ю., Рабинский JI.H. Осесимметричная задачанестационарного взаимодействия акустической волны давления с упругой оболочкой вращения // Механика композиционных материалов и конструкций, 2006, Т. 12, № 4, с. 1251-1265.

42. Жаворонок С.Ю. Модели высшего порядка анизотропных оболочек //

43. Механика композиционных материалов и конструкций, 2008, Т. 14, № 4, с. 561-571.

44. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теориитермовязкоупругости. — М.: Наука. 1970. 280 с.

45. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

46. Изд-во «Наука». М., 1971. - 704 с.

47. Каюмов Э.К. Колебание вязкоупругих трёхслойных пластин с нелинейноупругим и вязкоупругим заполнителем. «Вопросы вычислительной и прикладной математики». №48. Ташкент, 1977. С. 171-182.

48. Кильчевский H.A. Основы аналитической механики оболочек, т.1. Киев,изд-во АН УССР, 1963. 354 с.

49. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. М.: ГИТТЛ. 1956.192 с.

50. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука. 1991.

51. Коренев Б.Г., Румчинский М.Н. Некоторые задачи динамики балок наупругом основании. Госстройиздат, М., 1955.

52. Коренев Б.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности,решаемые в бесселевых функциях. Госиздат. Физ-мат. литературы, — М., 1960.

53. Коренев Б.Г., Черниговская Е.И. Расчет плит на упругом основании М.,1962, Госстройиздат, 356 с.

54. Коренев Б.Г. О движении нагрузок по пластинке, лежащей на упругомосновании. Строительная механика и расчет сооружений №6. 1965.

55. Коренев Б.Г., Пановко Я.Г. «Динамический расчет сооружений». Сб.

56. Строительная механика в СССР 1917-1967. -М.: Стройиздат. 1969. — С. 280-329.

57. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. — М.: Мир. 1974. 340 с.

58. Курант А.Г., Гильберт Д. Методы математической физики, т. 1.2 -М-Л.:1. Изд. 3-е ГИТТЛ, 1951.

59. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука. Изд. 10-е. 1971. 431 с.

60. Ламзюк В.Д., Пожуев В.И. Об отставании пластинки от многослойногооснования под действием подвижной нагрузки. «Устойчивость и прочность элементов конструкции», Сб. статей. Днепропетровский университет, 1975. в.2. -С. 169-177.

61. Ламзюк В.Д., Пожуев В.И. К определению критических скоростейдвижения нагрузки, лежащей на многослойном основании. «Динамика и прочность машин». Сб. статей, Харьков, Вища школа, 1978. в.2. -С.105-111.

62. Лурье А.Н. Теория упругости. М.: Наука. 1970. 939 с.

63. Лэмб Г. Динамическая теория звука. М., Гос. издат. Ф-м лит. 1960. 372 с.

64. Ляв А. Математическая теория упругости. М-Л., ОНТИ. 1935. 674 с.

65. Майлз. Реакция слоистого полупространства на движущуюся нагрузку.

66. Прикладная механика» сер. Е . №3 изд-во «Мир». 1966. С. 232-234.

67. Молотков Л.А. Об инженерных уравнениях колебаний пластин,имеющих слоистую структуру. Сб. V «Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн», изд-во ЛГУ. 1961. С. 308-313.

68. Москаленко В.Н. Об учёте инерции вращения и деформации сдвига взадачах о собственных колебаниях пластин. Теория пластин и оболочек. Киев, АН УССР. 1962. - С.264-266.

69. Муравский Г.Б. Неустановившиеся колебания бесконечной пластины,лежащей на упругом основании при действии подвижной нагрузки. Труды МИИТ. в. 193. -М., 1964.-С.166-171.

70. Найвельт В.В. Действие подвижной нагрузки на бесконечную плиту,лежащую на упругом основании. Изд. Высших учебных заведений «Строительство и архитектура». №5. 1967. — С. 161-169.

71. Найвельт В.В. Неустановившиеся колебания бесконечной плиты,лежащей на упругом основании, при движении по ней инерционного груза. АН УССР. « Прикладная механика», т. 5. в. 8. 1969. С. 123-128.

72. Ониашвили О.Д. Некоторые динамические задачи теории оболочек. — М.:изд-во АНСССР, 1957, с. 196.

73. Нигул У.К. Волновые процессы деформации оболочек и пластин. Тр. XII

74. Всесоюзной конф. По теории пластин и оболочек. М.: Наука. 1970. -С. 846-883.

75. Нигул У.К. О методах и результатах анализа переходных волновыхпроцессов изгиба упругой плиты. Изв. АН ЭССР сер. Физ-мат. и техн. наук. 1965. №3. С.345-384.

76. Огибалов П.М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. Изд-во МГУ, 1963.

77. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. Изд-во МГУ, 1969.

78. Омецинская Е.Б. Обобщенные уравнения динамики пластин. Прикладнаямеханика. 1965. 5. №5. С.64-70.

79. Пановко Я.Г., Губанов И.И. Устойчивость и колебания упругих систем.1. М.: Наука. 1967. 420 с.

80. Пановко Я.Т., Исторический очерк развития теории динамическогодействия подвижной нагрузки. Труды ЛВВИА. в. 17. Л., 1948.

81. Петрашень Г.И. К теории колебаний тонких пластин. Ученые записки ЛГУ. № 149. в.24 «Динамические задачи теории упругости». 1951. -С. 172-249.

82. Петрашень Г.И. Проблемы теории колебаний вырожденных систем.

83. Исследования по упругости и пластичности. Сб. №5. Изд-во ЛГУ. 1966. -С.3-33.

84. Петрашень Г.И., Хинен Э.В. Об инженерных уравнениях колебанийнеидеально-упругих тонких пластин. АН СССР, труды математического института им В.А.Стеклова, ХСУ/95/, изд-во «Наука, — Л., 1968, С. 151-183.

85. Петрашень Г.И, Хинен Э.В. Об условиях применимости инженерныхуравнений колебаний неидеально-упругих пластин. Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн». Изд-во «Наука». №11. 1971. С.48-56.

86. Приварников В.И., Приварников И.И. Влияние инерциональностиоснования на динамический изгиб упругой пластины. АН УССР, «Прикладная механика», т.8. в.1. 1972.

87. Пожуев В.И. Влияние величены постоянной скорости нагрузки нареакцию пластины, лежащей на упругом основании АН СССР, «Механика твердого тела». №6. 1981. С.112-118.

88. Пшеничнов Т.И. Метод декомпозиций решения уравнений и краевыхзадач. М.: ДАН СССР. 1985. т.282. №4. - С.792-794.

89. Пшеничнов Т.И. Решение некоторых задач строительной механикиметодом декомпозиций. Строительная механика и расчет сооружений. 1986. №4. С.12-17.

90. Рабинович И.М., Синицын А.П., Лужин О.В., Теренин Б.М. Расчетсооружений на импульсное воздействие. Стройиздат, — М., 1970.

91. Ржаницын А.Р. Некоторые вопросы механики систем, деформирующихсяво времени. Госиздат. Технико-теоретической литературы. — М., 1949.

92. Ржаницын А.Р. Пологие оболочки и волнистые пластины. Госиздат.

93. Литературы по строительству, архитектуре и строительным материалам. -М., 1960.

94. Ржаницын А.Р. Предельное равновесие пологих оболочек.

95. Пространственные конструкции в СССР Л-М. Госстрой. Издат, 1964.

96. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. Изд-во литературы по строительству, -М., 1968.

97. Россохин Ю.А. О нестационарных колебаниях пластин на упругомосновании. Прикладная математика и механика, т. 42. в.2. 1978. С. 333339.

98. Сагомонян А.Я. Волны напряжений в сплошных средах. М.: изд-во МГУ. 1985,416 с.

99. Седов Л.И. МСС. т. 1,2 М.: Наука. 1973. - С. 492, 584.

100. Селезов И.Г. Исследование распространения упругих волн в плитах иоболочках. Тр. конф. по теор. пластин и оболочек. 1960. Казань. — С.347-352.

101. Селезов И.Г. Концентрация гиперболичности в теории упругих динамических систем. Кибернетика и вычислительная техника. В.1. Киев. Наукова думка. 1969. С. 131-137.

102. Слепян Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. Л.: Судостроение. 1980. 344 с.

103. Смирнов А.И. Неустановившиеся колебания свободной трехслойной полосы. Доклады АН СССР. т. 172. №5. 1967.

104. Снеддон И. Преобрзования Фурье. М.: Изд-во иностранной литературы, 1955. 667 с.

105. Сорокин Е.С., Архипов A.C. Исследование свободных поперечных колебаний балки, как плоской задачи колебания упругости. Строительная механика. — М.: Стройиздат. 1966. С. 134-141.

106. Соколов Е.А. Колебания свободной пластинки на упругом основании под действием динамической нагрузки. Изв. АН СССР ОТН. №6. 1958.

107. Терентьев В.Н. Динамическое действие периодической нагрузки, движущейся прямолинейно по поверхности пластинки, лежащей на упругом полупространстве. Tp.VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М.: Наука. 1966. - С. 134-738.

108. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. — М.: Гостехиздат. 1955.

109. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. Изд-во «Наука», -М., 1966.

110. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. Изд-во «Наука». М., 1967.

111. Тимошенко С.П. Прочность и колебания элементов конструкций. Изд-во «Наука». -М., 1975. 704 с.

112. Титчмарш Е Введение в теорию интегралов Фурье M.-JL ОГИЗ ГИТТЛ, 1948.479 с.

113. Тихонов JI.H., Самарский А.К. Уравнения математической физики. М.: Наука. Изд. 4-е. 1972.

114. ПЗ.Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин. ПММ., 1948. 12. 33. С.287-300.

115. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Д.: Наука, изд. 2-е. 1967. 402 с.

116. Филиппов А.П. Колебания упругих тел. Изд-во АН УССР, 1956.

117. Филиппов А.П. Колебания механических систем. Киев, «Наукова думка». 1965.t

118. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение. 1970.- 124118. Филиппов А.П., Кохманюк С.С., Воробьев Ю.С. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций. Изд-во «Наукова думка». Киев. 1974.

119. Филиппов И.Г. Приближённый метод решения динамических задач для линейных вязкоупругих сред. АН СССР, ПММ, т.43. в.1. 1979. С.133-137.

120. Филиппов И.Г., Егорычев O.A. Волновые процессы в линейных вязкоупругих средах. М.: Машиностроение. 1983. 269 с.

121. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. Кишинев. Штиинца. 1988. 190 с.

122. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики M.-JL: ОНТИ. 1937. 998 с.

123. Хесин Г.И. и др. Некоторые экспериментальные и теоретические исследования распространения волн напряжений в линейных вязкоупругих средах. Фотоупругость. Развитие методики. Инженерные приложения. М., 1975. - С.34-41.

124. Хрупов A.A. Вывод частотного уравнения поперечных колебаний предварительно напряжённой пластины. Журнал ПГС № 5, 2009 г. -С.76-77.

125. Хрупов A.A. Вывод частотного уравнения собственных поперечных колебаний предварительно напряжённой пластины, жёстко закреплённой по контуру. Научно-технический журнал "Вестник МГСУ", №2, издательство АСВ, 2009 г. С. 54-57.

126. Шмаков В.П. Об одном приеме, упрощающем применение метода Бубнова-Галеркина к решению краевых задач (о колебании оболочек и пластин). Изв. АН СССР.МТТ.№5. 1967.

127. Ширинкулов Т.Ш. Расчет конструкций на сплошном основании, Ташкент, изд-во ФАН, 1969.

128. Achenbach L.D. Wave propagation in elastic solids/ Amsterdam: Nord-Holand. 1973. 425 p.

129. Brunelle E.J. Buckling of transversely isotropic Mindlin plates. AIAA Journal. 1971. 9. №6. -P.1018-1022.

130. Callahan W.R. Flexural vibrations of elliptical plates when transverse shear and rotary inertia are condidered. J. Acoust. Soc. Amer. 1964. №5. — P. 823829.

131. Hasegawa M. Influence of rotatory inertia on transverse vibrations of isotropic, elastic, rectangular plates. Proc.16 Japan Nat. Congr. Appl. Mech. Tokyo. 1967. -P.291-295.

132. Kirchhoff G. User das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischert Scheibe. J. Reine und angew. Math. 1850. 40. №1. P.51-88.

133. Kirchhoff G. Vorlesugen user mathematische Physic. Mechanic. Leipzig. 1876. (Киргоф Г. Механика. Лекции по математической физике. М- АН СССР, 1962).

134. Lamb H. On the flexure of an elastic plate (Appendix). Froc. Lond. Math. Sec. 1889-1890. 21.-P.85-90.

135. Poisson S.D. Memoire sur Г eguilibre el le mouvement des corps élastiques. Mem. Acad. Roy. Set. 1829. 8. -P.557-570.

136. Rayleigh J.W. On the free vibrations of an infinite plate of homogeneous isotropic elastic matter. Froc. London Math. Sec. 1888-1889. 20. №357. -P.225-234.

137. Reinssner E. On the theory of bending of elastic plates. J.Math. and Phys. 1944. 23. №4.- P.l 84-191.

138. Shirakawa K. Effects of shear deformation and rotatory inertia on vibration and buckling of cylindrical shells. L. Sound and vibration. 1983. - v. 91. №3. -P.425-437.

139. Tolstoy I., Usdin E. Wave propagation in elastic plates; low and high mode dispersion. J.Acoust. Sec. Amen. 1957. 29. P.87-42.