Динамика структурно-неоднородных пластинчатых и стержневых конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ШЬСКШ! ГОСУДАГСТБЕШЩЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ДИНАМИКА СТРУКТУРНО-НЕОДНОРОДНЫХ ПЛАСШ1-ШШ И СТЕШШШ КОНСТРУКЦИИ

Специальность: 01.02.04 - Механика деформируемого

твердого тола

Автореферат диссертации на соискание

ученой степени кандидата технических паук

На правах рукописи

Тула - 1993

Работа наполнена в Ташкентском государственном техническом университета игл.Лбу Гайхона Боруни.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущее предприятие:

доктор технических наук ХОШЕТОВ Г.Х.

доктор физико-математических наук, профессор ¡.!АТ'ШК0 H.H.;

кандидат технических наук, старший научный сотрудник E7G0BKHII Е.Л.

Московский институт электронного машиностроения.

Завита состоится "J> " фовраля 1993 г. в I4-C0 часов на заседании специализированного совета К 063.47.03 Тульского государственного технического университета (300600, г.Тула, пр.Ленина, 92, 9-I0I).

С дизеертацией можно ознакомиться.в библиотеке Тульского государственного технического университета.

Баш отзыв на автореферат в одном экземпляре, заверенный печатью, проспи направлять по указанному адресу.

• ; о'V

«««¿С-. 3 •

ОВДАЯ ХАРАЙЙРИСШКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Ускорение научно-технического прогресса, интенсивное развитие народного.хозяйства приводит к необходимости создания новых систем и технологий, которые долин/ работать в широких диапазонах'скоростей-, температур, давлений, нагрузок. 'Сдновре.менно они Должна бить удобны для эксплуатации, комфортны для человека,'экологически чисти, малошумны и т.д. К таким системам, в первую очередь, относятся разнообразные транспортные средства: самолети, вертолеты, автомобили,, морские я речные суда, а также технологические машины., работающие под управлением операторов. Одним "из актуальна*'аспектов является задача подавления колебаний, возникающих под действием внешних нагрузок.

■ Интерес к поведению конструкций из композиционных и.поли -мерных материалов, обусловлен широким применением их в современной технике. Это объясняется их неоспоримым преимуществом с точки зрения удельной прочности,, что позволяет добиться спиче -кия масси конструкции без ухудшения эксплуатационных характе -ристик. Креме того, нязкоупругне материалы позволяют решить проблему гашения колебаний, переводя механическув энергию в тепловую, не изменяя ни 'прочности, ни масси конструкции.

В ряде случаен реальнув конструкцию моетю представить в виде комбинации-пластин и с?еркней, причем а те, и другие могут иметь слс.'луа собственную структуру как из-за применения раз -личных материалов, так и в салу определенных конструкторских рулений.. Примере!.», такой конструкции является крыло самолета, которое можно считать пластинкой переменной толщины и сложной ■}.орац в плане, имеадой елочную' виутренша» структуру, включающую в себя: металлические элементы - силовой набор, обейька, стыковочный узлы.; элементы из високоэластичных материалов - протек-торн топливных баков; композиционные элементы - тепло- и ваб -розащитные покрытия.' ' ,

. . '.-При-проектировании таких конструкций постоянно решаются задачи расчета на-прочность,, жесткость и собственные значения, причем -приходится использовать различные, приближенные методы, что диктуется уже самой сложной неоднородной структурой объекта расчета. От эффективности таких методов во -.многом зависят сроки и стоимость разработок новых образцов техники.

В с ид у изложенного можно считать, что задача совершенство-

вания методов расчета структурно-неоднородных конструкций,включающих в себя композиционные и полимерные элементы, является актуальней »иучно-технической задачей.

Цель работы. Диссертация посвящена исследованию явлений синергизма в структурно-неоднородных пластинчатых и стержневых конструкциях. Оптимальный выбор'геометрических, структурных и физико-механических параметров структурно-неоднородной системы с вязкоупругими элементами позволяет добиться максимально воз -ножного демпфирования энергии колебаний.

Научная новизна. К решению задач изгибных колебаний вязко-упругих пластин применен метод конечных элементов в сочетании с наследственной теорией Больцмана-Вольтерры. Исследования колебаний пластин с локальным характером Присутствия вязкоупругого включения позволяет определять наиболее потенциально знергоем -кие, а значит наиболее опасные с точки зрения прочности, участки пластины. Коэффициент демпфирования выступает в новом качестве - в роли относительного энергетического параметра, характеризующего какая часть общей потенциальной энергии каждой формы колебаний сосредоточена на участке, где расположено,вязкоупругое. включение. Коэффициент демпфирования как бы вбирает в себя кривизну поверхности, на которой работают вязкоупругие силы внут -реннего трения. • .

Предложена методика расчета и оптимизации физико-механи -ческих параметров при поперечных колебаниях трубчатой конструкции с амортизирующим материалом, используемой в качестве рабо -чего органа оборудования для проката низконапорных железобетонных труб.

Достоверность основных научных положений и выводов обосновывается сопоставлением полученных результатов с результатами ' других авторов:

- вывод о влиянии местоположения вяэкоулругой среды на дис -сипацию энергии внешних воздействий совпадает с выводами', еде -данными в статье Чернышева И Андреева "Повышение эффективности демпфирующих покрытий сосредоточением их в области наибольших изгибающих моментов" из сборника "Рассеяние энергии при колебаниях механических систем" - Киев: Наукова думка, 1974. - С.226-233 ;

результаты численного исследования по оптимизации физико-ыёханПческих параметров трубчатой конструкции с амортизирующим материалом подтверждены результатами испытаний.

■ Практическое значение ' полученных результатов заключается •в возможности использования методики определения наиболее энергоемких'фрагментов пластин« при создании кг. :'шностроительннх . пластлнчатшс конструкций.- '

Разработанная. методика расчета п оптимизации фкзико-механи-чйскчх параметров структуэно-иеоднородной.стертиевой систем» внедрена я применяется-в-расчетах многослойна трубчатпх конст -рукций с амортизирующим материалом. Проведенные испытания на заводах железобетонных изделий подтвердим высокую точность расчетов. ,

Апообашя работы. -Основтее результаты, работы докладывались

на:

; - научной конференции молодкх. ученых-моханаков,"поевлиениой 70-легяю ВЛКСУ "Актуальные проблемы научных исследований кибернетики, механика л энергетики", Ташсент, 1В-19 мая 1988 г. ;

. -.семинаре лаборатории "Лд'нгмша оснований, фундаментов под. земных.сооружений" с участиём сотрудникоз отдела "Сейсмодинами-ка" института механики и сейсмостойкости сооружений нм.М.Т.Ураз-баапа АН РУз; 13 апреля 1992 г. .

- заседат?и кафедры "Сопротивление материалов" Ташкентского Государственного технического университета, 4 ноября 1992 г. ; ' семинаре по. мезсаияке деформируемого твердого чет при Тульском политехническом институте под руководством про$.А.А.Тояо -котткова, 22 октября 1992 г.

Публикации.' По материалам диссертация опубликованы одни ' тезиса'и две статьи. . - -

Структура й-объем диссертации-. Диссертационная 'работа со-•стоит из ЕВедёния, пяти -разделов, выводов.й списка использованной литературы'..Обдай объем диссертации Ш 'страница,. включая 56 рису1'зков, 4 таблицы н В5 страниц машинописного текста. Бяб -лиография ссдермт 71 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы. Дается обзор работ, посвяшенннх колебаниям вязкоупругих пластин и стержней. Освешены аспекты проблемы, представляющие опреде -ленннй научный и практический интерес.

. В первом раздела изложена цель работы, представлена по -становка задачи. С технической точки зрения пластинчатые и стержневые конструкции представляют собой защищаемые объекты - . пластины или стержневые системы с локальным присутствием вязко-упругого включения. Конструкцию с лога льны?,1 присутствием вязко-упругого включения будем называть структурно-неоднородной, а конструкцию, полностью изготовленную из элементов только с ул -ругими или вязкоупругими свойствами - структурно - однородной, поскольку свойства всей системы идентичны.

Основной научной и прикладкой проблемой работы являются исследования дассипативных (демпфирующих) свойств неоднородных систем комплексно, в целом. При собственных колебаниях проявление диссипации сводится к затуханию колебаний. Скорость затухания количественно оценивает диссипативкые свойства системы -они тем выше, чем выше скорость затухания.

При вынужденных колебаниях систем ео диссипативные свойства проявляются в резонансных режимах и приводят к конечным значениям резонансных амплитуд. Для вынужденных колебаний резо -нансвие амплитуды являются количественной характеристикой дне -сяпативных свойств системы, интенсивность которых тем выше, чем ниже резонансные амплитуды вынужденных колебаний.

Для количественной оценки дассипативных свойств системы в целой предлагаются две величины: скорость затухания собственных, колебаний (коэффициент демпфирования) и резонансная амплитуда для кавдой формы колебаний. Исследование зависимости уровня дассипативных свойств системы от ее параметров составляет основное содержание работы.

Далее приведены основные положения и расчетные формулы хо-нечноэлементнрй модели изгибных колебаний пластин с использованием определяющих соотношений Больцмана-Больтерры. Применение, метода: замораживания приводит к приближенным соотношениям для комплексных модулей материала и. в конечном счете - к уравнению движения конечного элемента в комплексной форме: ■

{[К№] - - а , (I)

где [К] ' - комплексная матрица кесткости ,

05 = Ь5к + I - комплексная частота ,

- амплитудный вектор колебаний,

(X - амплитудный вектор'эквивалентных узловых сил.

Рассмотрена соответствующая (I) задача на собственные значения. Корни характеристического уравнения

' ' с1е± {[К(с4*)1 - йг[М]} = 0 (2)

отыскивались методой. Мюллера. Значение определителя и собственного вектора находились по схемам Гаусса и Халецкого, последняя Показала более высокую эффективность.

Приведены' результат« решений' тестовых задач, обосновываю -щах точность а сходимость предложенного алгоритма. Сравнение полученных; результатов с данными'исследований в, книге В.П.Чес -ноксйа и др. "Метод конечных: элементов в задачах динамики" подтверждает правильность работы программы. Здесь же обосновывается возмотаость применения метода конечных элементов при расчете изгибных колебаний ксмбшшроюшшх пластин, состоящих из упру -гого слоя' и вязкоупругого покрытия. Исследовано.влияние размера ■центрального отверстия коисольно закрепленной квадратной плас -тяни с вдзкоулругиш свойствами на.ее динамические характерно -тики.

Во втором разделе исследованы неоднородные Пластины прямоугольной формы с различны:,! закреплением по краю. Реиена задача о!собственных колебаниях кснсольно закрепленной пластины с вяз-коупругсй панелью,, расположенной параллельно закрепленной стороне (рис.1а). Исследованы зависимости собственных частот и коэффициентов демпфирования от места расположения панели, которое определяется .относительным параметром . Результаты расчета представлены на рас.2. '.-"■/■

Из графиков -видно, что -коэффициенты демпфирования разных форм ведут себя совершенно неодинаково-, Коэффициент демпфирова-■ ния первой формы при увеличении'-- 1Х 'возрастает, второй формы -изменяется мало'и имеет выпуклость у корневой части, третьей формы - монотонно'падает, Четвертой - немонотонно падает, а пятой- растет сначала интенсивно, и потом падает. Собственные

а)

Ю

«j

6 54 3 £ L

11

10

9 &

?

6 5 к 3 г Л

V

5

Рис. i

.частоты всех пяти Тонов ведут себя монотонно. Это вполне объясняется тем срактом, что жесткостные характеристики системы существенно не меняются..Неадекватное поведение коэффициентов демпфирования можно:объяснить существованием характерной для каждого собственного значения.формы колебаний,

:На рис. 16 пронумерованы.параллельные 'ли'нйи в двух взаимно перпендикулярных' направлениях.пластины:- в направлении оси X от I до &, в направлении оси ^ от 1'до II. На рис.3 формы ко -лебаний представлены с помощью этих линий: слева в направлении оси' X ,■ справа в .направлении оси у . Они. позволяют наглядно изобразить кривизну поверхности на плоскости. .

•Попробуем проанализировать особенности геометрии каждой формы собственных'колебаний. Разбив' мысленно пластину при каж -дой форме колебаний на одинаковые фрагменты, можно сделать предположение, что .разные 'Фрагменты имеют разную степень изогнутости-й закрученности, т.е.' каящоА форме присущ свой наиболее энергоемкий участок, где и сосредоточена наибольшая часть потенци -альной энергии,' соответствующей,'этой форме. Отсюда можно сделать вывод о..том, что размешая вязкоупругуго панель на самом знерго -ёмком-участке, мы- получим максимальное значение коэффициента" демпфирования для какой-либо формы'колебазшй. Объясняется, этот факт'довольно, просто. Наличие вяэкьупругого оператора свидетельствует, о том, что наряду с'упругими силами, существуют внутренние силы вязкого, трения, в рамках принятой' модели,- пропорциснальнке упругим. Если-на каком-либо участке аккумулируется наибольшая доля потенциальной энергии деформаций, то. и работа внутренних сил трения на этом .участке -будет максимальна и соответственно козфтпц'иенг демпфирования будет иметь максимальное значение.

Если,сопоставить геометрий форм колебаний (рис.3) и псве -дёние коэффициентов демпеярования (рас.2), то "Наблюдается строгое соответствие между Их-изменениями при варьирования в? . Для первого тона максимальная местная деформация по геометрии пер -вой-формы колебаний находится в'корневом речении. Соответственно значение-вдэффициента демпфирования, первой,формы при нахождении вязкоупругой'тнёлй у консоли максимально'. 'Минимальная местная-деформация находится со свободной стороны и поэтому величина (лЗх, минимальна'при ^. = .0. Для четвертого тона наоборот: Наиболее' деформйруем-;край пластины - значение коэффициента демпфирования максимально, Деформируемость участка у консоли, значи-

тельно меньше - величина, и^ минимальна.

Совершенно аналогичная картина наблюдается и у других то -нов колебании;

Во втором примере' вязкоупругая панель располагалась пер -пендикулярно корневому сечению (рис.Га). Исследовались эависи -мости коэффициентов дёмЩмрогания и собственных частот при варьировании параметра• ¿у . Качественно зависимости согласуются с рис.2 и 3.

Проведенг! аналогичные исследования пластин: свободной от закрепления, шпрадрно опертой по контуру, жестко затомленной .но контуру. Результата исследований пластин с различными пилами закрепления подтверждают,выведи,.сделанные шке о влиягши мое -Тополотения вязкоупругого включения на дисснпатиЕнке характе -ристики системы.

В третьем разделе решены задачи о аынугл'Жчнх колебаниях пластин с различиями видами закрэпления. Строились зависимости резонансных амплитуд ~ номер резонансной частоты) ст

'параметров системы Чх и .

Исследовались- вин'.уддешше колебания г.снсольно закрепленной пластины. В' топке Ъ (рис. 16) приложена поперечная сила - периодическая функция времени; В первом.варианте т»?зкоулругая па -нель располагалась параллельно закрепления и изменялось ее по -лощение относительно большой стороны, "з графиков (рис.4) вид -■ но, что резонансные амплитуды первой к второй фора имеют минимальное значение .при.нахождении вязксупругоЯ панели со свобод -ной■стороны. Амплитудная кривая JpeтьcH фермы'остается прэкти -чески .постоянной при. изменении ,ЬЖ ¿ Четвертая и пятая амплитудные- .кривые существенно не меняются; гать пересекаясь при значении р, 15. ...

В общем...характер поведения коэЭДйЦЕен'тов, демпфирование определяет поведение соответствующих; резонансных амплитуд. Вполне , понятно, .чТо при падении' коэффициента .демпфирования. происходи^ .рост рэзог.'айсгюЛ • амплитуд». и наоборот,■йр# росте коэффициента • демпфирования, резонансная .амплитуда, падает. Поэтому в дальней -: ием не'имеет .смысла!описание поведения резонансных амплитуд от параметра(^^^¿' зто йы уже сделай! выще, ¿ разделе 2, для коэть-флгщентоа демпфирования. ' •' ,'

. Результаты, представленные ..на рис,4, подтверждают сделан -

ное в разделе 2 предположение о влиянии местоположения вязкоуп-ругой среди на диссиПатиптю процессы, протекающие б системе. Расположение демпфирующей панели в наиболее энергоемком месте для каядой .{юрш колебаний приводит как к максимальному значе -шш коэффициента демпфирования, так и к минимальному значению резонансной амплитуды. Происходит, это потому, что работа сил внутреннего вязкого трения на наиболее потенциально энергоемких участках- для каждой формы колебаний максимальна.

Во втором варианте вязкоупругая панель располагалась параллельно большой стороне и варьировался параметр 1у .

' Исследования вынукиешшх колебаний пластин, свободный от закрепления, шарнирно- и жестко закрепленных по контуру, под -твердили выводы,' приведенные вше.

■ Результаты исследований вынужденных колебаний подтверждают возможность определения с помощью предложенной методики наибо -лее нагруженных, а значит самих опасных с точки.зрения прочности фрагментовпластшш..

Б чаупортом разделе проанализировано влияние анизотропии на диссилзтивнно .характеристики кснсольно закрепленных пластин Прямоугольной, треугольной, и трапециевидной формы.

■ Матрица жесткости .

[К] = О,[К,] + оЛЧ + о, [К,] + Д,[К„] (3)

складывается из четырех-блоков - матриц момента -изгиба Мк, момента изгиба Му, взаимовлияния моментов Мх и Мц , момента кручения Здесь - жесткость изгиба в направлении оси X ,

- жесткость'изгиба в направлении бей- ^ , Р3 - жесткость взаимовлияния моментов' Мх и М^ , Ог, - жесткость кручения.

Исследованы динамические характеристик консольно закреп -ленных пластин квадратной, трапециевидной и треугольной формы. Построены зависимости кооф{шциентов демпфирования и собственных частот при изменении величин 0, , , , £>4 . Анализ показывает,. что наиболее чутко реагируют на изменения и коэфри -од,енти.демпфирования.'тех форм, которые наиболее деформированы . соответственно в направлении оси %■ или оси у . Вариация практически не приводит к изменению коэффициентов демпфирования всех форм колебаний. Вариация ^ наиболее сильно влияет на коэффициенты демпфирования изгибно-кругильных' форм колебаний, од ^

нако это справедливо только' для симметричных конфигураций в плане.

В пятом разделе рассмотрены изгибине колебания структурно-неоднородной стержневой системы (рис.5), моделирующей рабочий орган (вал) оборудования Для проката низконапорных железо -бетонных труб. При работе оборудования в результате, соскальзы - • вания крупных инградиенГов бетонной'смеси вал подвергается Многократным ударным нагрузкам, в связи с чем. возникает необходи мость демпфирования колебаний-вала. Задача решалась по принципу 1 оптимизации демпфирующих характеристик на'основе эффекта взаи - . модействия форм колебаний. С .учетом малых амплитуд колебаний' •' изгибные-и крутильные .колебания рассматривались независимо друг от друга в рамках лнйейной теории. Сам вал моделировался трех -слойиым стержнем с промежуточным демпфирующим вязкоупругим'мй -те риал ом. •'..'' - " ' ' ' *'

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний для стержней с вязкоупрушми связями записано в виде. . .

+ (.4) '.

где К - Количество стержней;

- жесткость К-того стёршя ; •

Цк - поперечное'смешение К-то1" стержни; ;

С« - вязкоуиругий оператор для промежуточного слоя;. .

¡Т,- - погонная масса . К-того стеркия ;

-.компоненты амплитудных значений-массовых сил К-того стержня. . . .'

Для уравнения (4) были построены характеристическое уравнение (собственные колебания) и уравнение для амплитуд (вынуздешше колебания). Собственные.частоты отыскивались по. методу Мюллера.

На каждом шаге итеративного уточнения частоты значение определителя вычислялось'методов ортогональной прогонки. ! • •

Вначале решалась 'задача о'собственных колебаниях. Для'вала с размерами Ц. / - 430/400'ым (рис.56) брались трубы с размерами / Д' = 219/174 ым,.;' Ъл / К,' =133/113 мм,

03 / 0/, » 60/50 мм и для трех вариантов строились. зависимости первых гити собственных частот -и коэффициентов •демпфирования ■ от величины мгновенного коэффициента.жесткости' амортизатора ...

Реологические параметры материала амортизатора были приняты А = 0,02, cL - 0,2 л р = 0,05. Динамические характеристики находились в безразмерной форме.

На рис.6 изображены зависимости для второго варианта кон -струкции. При С =âom,= 13 происходит взаимодействие первой и второй форм колебаний: собственные частоты сближаются, коэТгри -циенты демпфирования пересекаются. При С - tonTÎ- 86 взаимодействуют вторая и третья формы колебаний. Как известно, взаимо -действие форм обусловливает максимальную'диссипация энергии колебаний.

Также исследовано влияние параметров реологии А \\ сС- на динамические характеристики системы. Как показали результаты, значительного влияния на значение оптимального коэффициента жесткости &опг и характер кривых и параметры А и d-не сказнваш.

Далее рассмотрены вынужденные колебания структурно-неоднородной стержневой системы. Для списания свойств системы при установившихся вынужденных колебаниях используются амплитудно-частотные характеристики (АЧХ), по значениям макршалышх резонансных амплитуд которых строятся зависимости при варьировании параметра системы С . Для построения АЧХ импульсная нагрузка пред -ставлялась разложением в ртд Фурье.

АЧХ строились в диапазоне, охватывающем первые пять собственных частот. В качестве исследуемого параметра выбран угол поворота, а точнее тангенс угла поворота демпфируемого гала А -dVj /dx в точке споры. По пика:.; резонансных амплитуд на АЧХ построены зависимости резонансных амплитуд от значения козффи -циента жесткости С (рис.7).

Графики, изображенные lia рис.6 и 7 псдтвер:кдаыт факт взаимодействия форм колебаний при оптимальных значениях параметра 5, когда равны значения и коэффициентов демпфирования, и значения резонансных амплитуд соответствующих форм.

. Используя, результаты проведенных исследований собственных и вынужденных колебаний структурно-неоднородной стержневой системы, можно значительно повысить диссипацию энергии внешнего воздействия, используя эффект'взаимодействия ферм колебаний.

Рис. F

В и в О Д Ы: .

1. Применение модели наследственной вязкоунругости Больцма-на-Волътеррц п сочетании с методом конечних элементов для рас -чета поперечных колебаний вязкоупругих пластин позволяет выяв -лять наиболее потенциально .энергоемкие участки пластшш, как при собственных, так и при вынуадешшх колебаниях.. Глобальный .Коэффициент демпфирования в случае ссбствешшх' колебаний выступает

в новом качестве - в роли относительного энергетического пара -метра, значение которого тем выле, чем больше потенциальной энергии изгиба 11 кручения аккумулировано на .данном участке. Пространственную деформацию отдельных участков пластины'¿'декартовой системе координат можно представить одним относительном энергетическим параметром - глобальным коэффициентом Демпфиро -вания. Определение диссипативных характеристик при'-'собственных колебаниях для пластин с локальным присутствием вязкоупругого' включения представляет собой метод нахождения Наиболее динами -чески нагруженных, а значит, самых опасных с точ1ш. зрения прочности участков.

2. В случае вынужденных колебаний глобальная резонансная амплитуда слукит мерой относительной энергоемкости участка при заданном виде нагрукеаия. Поэтому от>едси;опле глобальной ро'зо -нанснои амплитуды для пластин с локальны.', присутствием вязксуп-ругой среды также позволяет виявлять наиболее потенциально энергоемкие участки при 'заданием характере нагрузеешя, что- осо -бешш важпо при решении задач'прочности. . .'

3. Изменение вязкоупругих свойств в .направлении наибольшей деформации каждой формы колебаний для пластин различной конфи.-гурации приводит к изменению коэффициентов демпфирования сост — ветствующих форм. .

•■ 4. Для пластин, имеющих ось'геометрической симметрии, изме-нзние жесткости вязкоупругого слоя в каком-либо направлении су -щественно влияет на коэффициенты демпфирования.только, тех форм' колебаний, которые больше демпфированы в том или ином направлении. Варьированием жесткости -.кручения вязкоупругого слоя удается изменять коэффициенты демпфирования только кососимметричных или изгибно-крутильных форм колебаний-.

5. Решена задача о собственных и вынужденных колебаниях '.

структурно-неоднородной стержневой системы, представляюшуп собой модель трубчатой конструкции с амортизирующим материалом, используемой в качестве рабочего органа оборудования для про -изводства железобетонных труб методом центробежного проката. Проведенные исследования позволяют оптимизировать демпфирующие характеристики системы на основе эффекта взаимодействия форм колебаний.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Аирапов М.Г. Исследование колебаний вязкоупругих нлас -тин методом конечных элементов // Актуальные проблемы научных исследований кибернетики, механики и энергетики: Тез.дскл. науч, конф. молодых ученых-механиков, посвященной 70~летиго ВЛКСМ,Ташкент, 10-13 мая 1988 г. - Ташкент: Фан, 1289, - С.28.

2. Аирапов М.Г. Исследование колебаний вязкоупругдх пластин методом конечных элементов. Таш.политех.:ш-т. - Ташкент, 1989. - 9 с. - Деп. в УзНИИЯТИ 11.12.89, 1148 - Уз 89.

3. Аирапов М.Г. Исследование колебаний пязкоупругях пластин с вырезами методом конечных элементов. Таш.политехи.ин-т. -Ташкент, 1990. - 8 с. - Деп. в УзНИШП'И 25.01.90, № 1178 -Уз 90.