Определение резонансных частот корпусов ЛА методом суперэлементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

2 1 ДЕК 1ВСЗ

На правах рукописи

Троицкий Александр Николаевич

Определение резонансных частот корпусов ЛА Методом суперэлемеитов

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Тула - 1998

Работа выполнена на кафедре «Математическое моделирование» I Тульском государственном университете

Научные руководители доктор физико-математических наук,

профессор_

Л.А. Толоконников

кандидат физико-математических наук,

доцент

В.И. Желтков

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Э.С. Макаров

кандидат технических наук, старший научный сотрудник Е.А. Бузовкин

Ведущая организация

ГНГТП «Сплав»

Защита состоится « _» декабря 1998г. в У часов на заседа-

нии диссертационного совета К063.47.03 в Тульском государственном университете по адресу: 300600, ГСП, пр.Ленина, 92, 9-й уч. корпус, ауд. 101.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета

Автореферат разослан «_

_»ноября 1998г. ■ »

Ученый секретарь диссертационного совета,

к.ф.-м.н., доцент л/л

В. И.Желтков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В практика проектирования структурно-неоднородных конструкций, таких, как летательные аппараты (ЛА), радиоэлектронная аппаратура (РЭА), здания и сооружения применение систем автоматизированного проектирования (САПР) стало общепринятой нормой. Причиной этого является существенное ускорение процесса проектирования за счет автоматизации вычислительных работ, возможность применения уточненных .математических моделей взаимодействия конструкции с окружающей средой, возможность взаимоувязки результатов, полученных в рамках различных моделей, в единую согласованию систему, удовлетворяющую 01 раничениям, установленным в задании на проектирование.

Одной из важнейших подсистем САПР является математический, алгоритмический и методический комплекс по анализу прочности и жесткости конструкций. В связи с тем, что'стандарты на внешние воздействия в настоящее время включают в себя различные динамические нагрузки - вибрации и удары, такая подсистема должна быть ориентирована и первую очередь на решение динамических задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ). Так как в качестве конструкционных материалов широко используются композиты с полимерной матрицей и другие полимерные материалы, то становится необходимым применение моделей вязкоупругих тел. Одной из основных задач, решаемых при проектировании конструкций, является анализ резонансных частот и амплитуд, которые являются опасными как с точки зрения прочности, так и жесткости. В связи со сложными формами реальных конструкций применение аналитических методов затруднено, а зачастую и невозможно. Поэтому в качестве основных методов расчета для таких комплексов принимается метод конечных элементов (МКЭ) и метод суперэлементов (МСЭ).

Несмотря на широкую распространенность автоматизированных комплексов прочностных.расчетов, одной из основных задач является повышение их эффективности с точки зрения пользователя в смысле сокращения времени на подготовку информации о геометрии конструкции, характеристиках материалов, повышения быстродействия комплекса и ориентация его на использование непосредственно на рабочем месте конструктора, то есть пользователя, не имеющего специальной подготовки в области численных методов МДТТ.

Целью работы является разработка варианта математического и программного обеспечения метода суперэлементои повышенной эффективности для анализа резонансных частот и амплитуд сложных

4 t. '

программного обеспечения метода суперэлементов повышенной эффективности для анализа резонансных частот и амплитуд сложных структурно-неоднородных конструкций типа корпусов ЛА. Научная новизна работы.

• Сформулированы соотношения суперэлементной модели динамики линейно-вязкоупругои структурно-неоднородной конструкции, в основе которых лежит разложение движения по формам свободных колебаний упругого тела, удовлетворяющих однородным кинематическим условиям и полям статических перемещений, удовлетворяющих системе единичных перемещений стыковочных узлов.

• Разработан эффективный алгоритм анализа резонансных частот структурно-неоднородных конструкций из упругих и вязкоупругих материалов.

Достоверность результатов обусловлена сопоставлением результатов решения тестовых задач с известными численными и аналитическими решениями.

Практическая ценность заключается в реализации математической модели и алгоритма в виде диалогового программного комплекса для ПЭВМ.

Апробации работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на

• научно-технических конференциях профеСсорско - преподавательского состава ТулГУ 1994... 1998гг.:

• на XI Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь. 1997);

• на XIV Международной Конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы конечных и Граничных элементов». (С.-ГТетербург, 1998),

• международной конференции «Итоги развития механики в Туле». Тула, ТулГУ, 1998;

• на семинаре по МДТТ при ТулГУ под руководством профессора Маркина A.A. (1998г.).

Публикации. Основное содержание работы опубликованы в 6 ■ печатных работах.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, 5 разделов, заключения и списка литературы, содержит 115стр. машинописного текста, 24 рисунка, 13 таблиц, список литературы из 107 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор, литературных данных по существующим методам решения динамических задач и реализующих эти методы программным комплексам. Отмечается, что наиболее употре-

'ченых; И.Г. Григорьева, В.И.Мяченкова, FO.H. Огурцова, В.А. Пост-юва, В.И. Плетнева, H.H. Шапошникова, Е.С. Пржемишщкого, Дж. Чргириса, Лю Хуана, Ченга, Лйу и ряда других. Рассмотрены отечест-¡енны^ и зарубежные программные комплексы КАСКАД, КИПРОМ. ПЕРСТ-МП, COSMOS, ANSYS, NASTRAN, STARS, DAMVIBS. Формулируется цель работы.

В разделе 1 рассматривается общий подход к построению 1АПР, рассматриваются основные алгоритмы проектирования, харак-ер задач, решаемых в ходе проектирования. Отмечается место анали-ia резонансных частот в общей структуре САПР.

В разделе 2 рассматривается метод моделирования колебаний |еолнородных конструкций Выделяются основные уровни конструкторской иерархии конструкции ЛА, отмечаются их основные особен-юсти, а именно, высокий уровень унификации отдельных деталей, ¡оставляющих нижний уровень иерархии. Отмечается, что для математических моделей можно выделить два принципиально разных /ровня - нулевой, соответствующий деталям, и первый, соответст-jyioomil узлам, агрегатам и конструкции в целом. Принципиальное пличие между ними заключается в том, что на нулевом уровне воз-ложно применение аналитических и МКЭ-моделей, тогда как на всех остальных используются МСЭ-моделн, функционирующие по единому алгоритму. Формулируется методика моделирования сложной конструкции в следующей форме:

♦ конструкция - единственный элемент высшего уровня иерархии - разбивается на агрегаты, узлы, детали;

4 для каждого элемента структуры выбирается метод моделирования;

♦ при необходимости некоторые элементы также разбиваются по уровням конструирования;

♦ для каждой подсистемы нижнего уровня составляется мате. матическая модель на основе либо МКЭ, либо с использованием известных аналитических решений;

♦ из разрешающих матричных уравнений каждой подсистемы исключаются все степени свободы, не относящиеся к стыковочным узлам;

♦ полученные матричные уравнения суперэлементов известной техникой метода перемещений объединяются в систему разрешающих уравнений конструкции;

♦ путем решения характеристического уравнения определяются резонансные частоты;

« для каждой частоты определяются интересующие расчетчика поля характеристик напряженно - деформированного состояния - резонансные амплитуды.

Далее формулируются основные соотношения метода модальных разложений, являющийся основой математической модели нулевого уровня.. Исходным является вариационное уравнение Лагранжа, которое записывается в терминах МКЭ-модели:

|[0(Г-т)Жг)Л+1Л/1(у(0-К(о| = 0, (1)

где </ - вектор узловых перемещений, [АГ), [£>(;)], [М], й - матрицы жесткости, больцмановского демпфирования, масс и вектор нагрузок ансамбля КЭ. Если материал конструкции линейно-упругий, то [£>(/)] следует считать нулевой матрицей. Представим узловые перемещения разложением по собственным векторам задачи, которая получается из (1) при отсутствии демпфирования и однородных кинематических краевых условиях:

' (2)

в дальнейшем называя [//] матрицей мод, а вектор я - вектором модальных амплитуд. Это соответствует движению внутренних узлов конструкции относительно неподвижных граничных узлов. Нормируя столбцы (//] так, чтобы

[//]Т[Л/][ЯМ/],

(3)

где [/] - единичная матрица, из (1) получим обыкновенное интегро-дифференциальное уравнение относительно мод&тьных амплитуд:

а+\С)а~]\ОЦ-х))а{т)ск=Р,

. . . (4)

где [С] = - диагональная матрица, составленная из частот

свободных колебаний упругого тела при однородных кинематических условиях, [б] == [Н]х[0][!1] в общем случае заполненная матрица модального демпфирования, Р - вектор модальных сил. Для решения этого уравнения используем преобразование Фурье. Тогда для определения резонансных частот по модели нулевого уровня получим характеристическое уравнение, вещественную часть, корня которого можно рассматривать как значение частоты установившихся вынужденных колебании при моногармоническом внешнем воздействии, а мнимую - как коэффициент затухания свободных колебаний данной моды: . ■ •

с1с({[С] -(,>2[1\-(<?*(«)]} = 0. .

При заданной внешней нагрузке как функции времени для определения резонансных амплитуд получим:

= - 1/1 - \С * (сокк))■' Р• (сояк )=[И'* (ат )|Р'(соы ),

¿=1,2,З....Л( (6)

Здесь введена матрица передаточных функций [(Р*], которая является комплексной функцией параметра преобразования со. Аргументом (6) является вещественная часть к- го корня уравнения (5). Резонансные характеристики компонент напряженно-деформированного состояния в точке определяются после подстановки (6) в (2) и далее - по обычным формулам МКЭ. Результатом является модуль комплексного числа - изображения перемещения, напряжения, деформации - в конкретной точке на конкретной резонансной частоте.

Для построения суперэлементной модели рассмотрим абсолютное движение ансамбля КЭ относительно неподвижной системы координат, добавляя к характеристикам относительного движения (2) переносное движение:

</(/) = [Я|йг + [51Л ,

( 7)

где матрица [5'| составляется из векторов узловых перемещений, каждый из которых представляет собой результат решения задачи о статическом деформировании ансамбля КЭ при однородных условиях по всем граничным степеням свободы, кроме одной, которая задается равной единице; внешние нагрузки полностью снимаются. Таким образом, первое слагаемое отвечает за внутреннее состояние ансамбля, а второе - за его связь с другими объектами. Подставляя (7) в вариационное уравнение (1), и учитывая независимость вариаций векторов а и 6, получим пару матричных интегро-дифференциальных уравнений:

о

I

о

0

1

+[ЛЛш 1я+[Сш, ]я-|[Снн(Г-т)я(т)с/г =Д,

о

'Здесь введены обозначения

К уравнениям (8) можно применить преобразование Фурье!-

(-ш2[м8П]Г+|с5Н1Ча'»/(с0)Г>*+ . '

(-«-'[.^„„^¡^„„цс^'м;!}'^^;,

Матрицу системы (10) можно рассматривать как клеточную:

"[В'ияИ]' ..

ЛИ7' [^-и/

Матрица [М'цн{а))] есть не что иное, как обратная матрица передаточных функций при однородных краевых условиях, определенная б (6). Исключая параметры собственного движения из и'ютемы (10) с помощью формулы

-(и)

. получим разрешающее уравиетк для сулерэлемента

1» ш ИЗ' [»'" МК/ МЗ+иу =

или

-[и'ЛйГГ = с" 12)

Обращенная матрица передаточных функций {¡У'се} по физическому смыслу есть матрица жесткости. :

Таким образом, применение модального разложесп;! а форме (7) позволяет разделить задачу составления суперэлементнон модели на последовательные этапы:

« формирование матричных характеристик относительного движении

- матрицы 'передаточных функций и обратной к ней матрицы; • формирование-матрицы передаточных функций суперэлемента но формуле (10).

' Располагая матричной характеристикой СЭ, определенной (12). нетрудно построить матрицу ансамбля суперэлементов, то ерть модель первого уровня, используя тот же алгоритм метода перемещений, что и при формировании модели нулевого уровня. Следует отметить, что и в этом случае граничные узлы свободны; накладывая ог раннченпя на их движение, можно получить разрешающее уравнеши

в изображениях и сформулировать характеристическое уравнение вида:

с1ефГс'Е1(ш)Г' = 0

(13)

Смысл его корней такой же, как н в предыдущем случае. Нужно, однако, иметь в виду, что теперь формы колебаний определены как векторы узловых перемещений ансамбля СЭ, и для установления характеристик НДС произвольной точки следует выделить тот СЭ уровня 1, которому она принадлежит, выбрать из узловых перемещений ансамбля СЭ компоненты, соответствующие его граничным узлам, по. формуле (11) найти его внутренние степени свободы, а далее - следо-• вать указаниям для модели нулевого уровня.

Переходя к моделям высшего уровня, следует отметить, что все они организуются аналогично; необходимая матрица статических решении получается но (12) при <у=0.

Построенная система анализа резонансных частот и амплитуд отличается тем, что за счет применения модального разложения удалось существенно . уменьшить размерность системы разрешающих уравнений для моделей пулевого-уровня за счет уменьшения порядка разрешающего матричного уравнения (5). Это является важным с Точки зрения повышения быстродействия алгоритма, так как уравнение (5) имеет комплексные корни, и использование численных методов его решения (метда Мюллера) требует многократного вычисления определителя. Кроме того, формирующийся па этом зп'ли' матрица передаточных фупкипп используется прп переходе к модели второго-уровня, что позволяет избежать операции обращения матрицы при формировании СЭ. Остальные достоннстг.а - такие же, -как и у обычных суперэлемептпых процедур.

В разделе 3 рассматриваются конкретные реализации обшей методики - использованные КЭ плоского на тяженного п плоского деформированного состояния, многослойной оболочки. Рассмотрен способ определения компонент тензора ядер релаксации, использующий представления А .'Л. Илыошина для вязкоунругих аналогов комбинаций упругих модулей через функции связной ползучести. ¡3 чтом случае объемный модуль предполагается постоянным, а основной реологической характеристикой считается безразмерная функция сдвиговой релаксации. Для нее принимаете)! аналитическое представление Колтунова-Ржашшына, что позволяет определить функции связной Ползучести и соответствующие им ядра пересчетом единственного параметра ядра А по известным формулам'метода совмещения Кол |унова.

Раздел 4 посвящен .краткому описанию программного комплек-

са, реализующего модели нулевого и первого уровня. Приводятся характеристики комплекса, некоторые особенности его программной реализации. В качестве одной из его особенностей отмечается открытая структура, которая позволяет расширять библиотеку КЭ без перекомпиляции всего комплекса.

В разделе 5 приводятся результаты решения различных задач, иллюстрирующих точность и некоторые возможности как методики решения (разд.2), так и программного комплекса (разд.4). Результаты определения частот свободных осесимметричных колебаниях упругой цилиндрической оболочки приведены в табл. 1.

Табл.1

Собственные частоты конструкции в зависимости от числа удерживаемых мод

Число удер. мод Собственная частота суперэлементной конструкции

1 2 " 3 4 10 11

52177- «1603 100191 102082 . 127776 143358 .

<|). с1 ! й% 1 * о. О), С О % ш.с'1 ] 8 % ы, с . 5 °/о ш, с' | 8 % со, С'1 6 Г.

1 53762 3 108782 18.7 110087 -9.9 113037 11 -

2 53559 2 6 93256 1 8 103418 3 2 111544 9 3' -

5 52359 0.35 93256 1 8 101710 1.5 104726 2 6 199485 ! 56 -

4 52355 0.34 93139 1.7 101700 1.5 103960 1.8 ¡35695 ' 6.2 157329 97

5 52349 0 33 93135- 1.7 100521 0.33 102657 0.56 134479 5.2 1.52401 63

6 52347 0 33 93103 1 6 100521 0 33 102339 0.25 133465 4.4 147603 3

7 52229 0 1 91751 016 100390 0,2 102328 0 24 130843 2 4 147600 3

8 52228 О 1 91750 0 16 100301 0.11 102242 .0 16 130705 2.3 147595 2 9

9 52205 0 05 91750 0.16 100285 -0 09 102222 016 130701 2 3 147595 2.9

10 52200 1 0.04 91693 , Л 1 100281 | 0 09 102222 I 0.16 130702 ' 2.3 147593 2.9

Цифры, приведенные в заголовках столбцов, показывают значение частоты, полученной без использования СЭ, таблица содержит ре зультаты расчета по СЭ-модели при двух СЭ с'4 узлами каждый. Результаты, приведенные в таблице, показывают, что точность опреде ления собственных частот зависит от числа удерживаемых мод в раз ложении. Полученный результат можно интерпретировать следую щим образом: если задан диапазон, в котором следует установить ре зонансные частоты, то при формирований суперэлемента следуе удерживать те моды, для которых соответствующие частоты входят этот диапазон, и добавить пример но пять запаащх, обеспечнвшощи нужную точность высших частот.

Таким образом, для. решения многих задач требуется удерж! вать всего несколько частот (5+10), что обеспечивает значительна увеличение быстродействия.

Далее приводятся результаты анализа резонансных частот а ставной осесимметричной конструкции, моделирующей фюзеля конкретного ЛА (см. рисунок). Рассматриваются осесимметричные продольные колебания для случая свободного корпуса (имитируют« условия поле 1а). Материал корпуса - конструкционный стеклопл

стик с характеристиками: Ео=3.02-10 МПа," v0=0.22, р=2050кг/м3 и параметрами безразмерного сдвигового ядра релаксации А=0.015; tt=0.02; Р=0.00011.

В табл.2 приведены результаты расчета резонансных частот для упругой конструкции при удержании 10 мод в каждом суперэлементе. Первый столбец таблицы содержит результат расчета резонансных частот По модели нулевого уровня (КЭ-модель), остальные - по модели первого уровня (СЭ-модель) при различных вариантах выделения суперэлементов. Видно, что результаты расчетов по обеим моделям практически совпадают. В то же время на решение проблемы для 15 частот по КЭ-модели составило 245 с, а по СЭ-модели 4x8 - 169 с, что убедительно подтверждает преимущество СЭ-модели.

В табл. 3 приведены резонансные частоты и логарифмические декременты. '•

(14)

{к- номер' корня характеристического уравнения) при учете вязкоуп-ругих свойств конструкционного материала. Видно, что отклонения резонансных частот от упругих для данного материала невелики, составляют около 4%. Декременты, практически одинаковы для всех частот, показывая тенденцию к уменьшению при увеличении номера моды. Данный результат объясняется тем, что рассмотренный материал относится к числу, слаборелаксирующих, так как относительная разность между мгновенным и долговременным модулями сдвига, определяемая параметром/í ядра, мала, а йалое значение параметра а обеспечивает малое время релаксации, то есть стеклопластик - практически упругий материал. Был проделан расчет для упомянутых параметров, в 10 раз больших. Качественно картина изменилась мало в том смысле, что соотношения между соседними частотами почти не изменились, но величина их отличалась существенно - почти на 30% Для младших частот ii на 20% - для старших. Декременты увеличились почти в 10 раз, сохраняя тенденцию к уменьшению при увеличении номера моды. Затраты времени при расчетах с учетом вязкоупру-гих свойств существенно возросли по сравнению с упругим вариантом - 320 с, что объясняется худшей сходимостью численного метода Мюллера при поиске комплексных корней.

Далее приводятся (табл. 4) результаты анализа несимметричных колебаний цилиндрической оболочки. Для моделей нулсЬого уровня использовался КЭ треугольный КЭ, описанный в разд.З. Параметры материала принимались такими же, как и для предыдущего примера.

Табл, 2

Собственные частоты составной упругой конструкции

К.' сокэ с1 Варианты разбиения области на подконструкции

2x2 (А/с»=666) 2x4 (Ыа) 2x8 (N„=834,387) 4x4 (ЛГС.) 4x8 №.= 1186, 459)

а\с' | 5% со, с'1 1 5 % со. с"' | 5.% со. с' | 5% , СО, С"' 1 5%

10 частот в разложении

1 16330 16332.7 0.01 ' 16330.8 0 16330,6 0 16330,8 ■ 0 16330,1 0

2 37430. 37460.6 0.08 37433.3 0.01 37431,6 0,005 37435.6 0.01 37430,3 0

3 53489 53501.7 0.02 53500.7 0.02 53493,4 0,008 .53491.3 0.005 53491 0.002

4 61137 61246.8 0.18 61156 • 0.03 61141,8 0,008 61159.3 0.04 61138,4 0,002

15 205465 205933 0.23 206015.3 0.27 205650,4 0,09 205721,1 0,12 205524,7 0,027

Табл. 3

Резонансные частоты составной конструкции с учетом вязкоупругих свойств материала

(Стеклопластик: Е = 3.02 10'" у =0.22. А=0.005. а=0.02. [¡=0.00011)

N.. Упр. СОкэ с4 Варианты разбиения области на подконструкции с учетом

2x2 2x4 2x8 4x4 4x8

соц, с'1 I ' 5 сон.с"1. 1 . 5 сон, с"1 1 5 -1 ( о со», с | о сод. с'1 ■ | 5

10 частот в разложении

1 12305 10951 * 0,027 10927 0,026 11031 0,026 10902 0,026 10976 0,026

2. 28374 . 25139 0,027 25253 0,027 25253 0,026 25281 0,026 25025 0,026

3 40172 35793 .0,027 35592 0,027. 35793 .0,026 35873 • 0,027 . 35802 ■ 0,026

4 46556 41528 0,027 41435 0,027 40969 0,027 41481 0,027 41271 0,026

Табл. 4

Резонансные частоты оболочки

1, = 771мм; И = 125,8мм; Ь = 2,57мм Ь = 300 мм; Я = 50 мм; Ь = 1 мм

№ МКЭ МСЭ МКЭ

I. 12365.23 12421.48 32 959. 4.7

2. 12551.95 12566.80 35015.14

3. 12822.27 12876.95 35545.41

4. 16248.83 16528.52 44057.13

5. 16746.48 16787.89 45560.06

6. 17113.67 17144.14 48697.75

7. 18285.55 18319.14 51710.45

В. 20357.42 ' 21053.52 52284.67

9. 20715.23 21213.67 54677.25

10. 21122.27 21488.67 56788.57

Сравнение резонансных частот, рассчитанных по МКЭ и МСЭ, показал эквивалентный результат, при этом время расчета суперэлементной конструкции было более чем вдвое меньше. На рис. 1 схематически приведена одна из форм свободных колебаний оболочки (крутильная).

На рис. 2 приведен пример расчета корпуса ЛА. В качестве первого приближения рассмотрим объект как осесимметричное тело при осесимметричной нагрузке. Частоты приведены в табл. 5.

Табл. 5.

№№ Частота

(0, с"1 м, Гц

1. 691 110.03

2 2517 400.8

3. 3750- 597.13

4. 6808 ' 1084.08

5. 6962 1108.6

. 6. 13492 2148.41

Рис. 2. Корпус ЛА

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложена эффективная методика анализа свободных колебаний сложных, структурно-неоднородных конструкций, основанная на методе модального разложения; приведены основные соотношения для формирования суперэлементной расчетной модели конструкций из упругих и линейно - вязкоупругих материалов.

2. Проведенные численные эксперименты подтвердили достаточно высокую точность метода. Так, погрешности в определении старших частот свободных колебаний цилиндрической оболочки и прямоугольной пластинки оказались менее 1%. Среднеквадратиче-ское отклонение по формам колебаний не превосходило 10%.

3. Показано, что потребное количество мод в разложении, определяется частотным диапазоном, характерным для условий ее эксплуатации: следует удерживать только те модьг, частоты которых лежат внутри заданного диапазона, включая относительно небольшое количество дополнительных, обеспечивающих точность высшей частоты. Может оказаться, что достаточно одной - двух мод. Это позволяет существенно уменьшить объем вычислительных работ.

4. Методика реализована в виде программного диалогового комплекса для операционных систем типа Windows 95 и старше. Особенностью комплекса является открытая структура, позволяющая дополнять его библиотеку конечных элементов без перекомпиляции всего комплекса в Целом. Приводятся рекомендации по использованию программного комплекса.

5. Особенности программного комплекса, обусловленные разработанным алгоритмом, а именно:

♦ возможность разделения решения на последовательность этапов, разделяемых по времени выполнения;

♦ высокое быстродействие;.

♦ возможность каталогизации характеристик типовых элементов конструкций

позволяют считать его удобным-для-применения его непосредственно на рабочем месте конструктора в качестве подсистемы САПР.

•'. . Публикации

1. Сатаров A.B., Троицкий АЛ. Объектно-ориентированная подсистема учебного варианта автоматизированного проектирования летательных аппаратов. // Известия Тульского государственного

16 1

университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ, 1995. Т.1. Вып.З. с. 127 - 130.

2. Желтков В.И., Троицкий А.Н. Суперэлементавд модель цилиндрических оболочек. // Прикладные задачи газодинамики и механики деформируемых и недеформируемых твердых тел. Сборник научных трудов. Тула. ТулГУ, 1996. С. 116 - 120.

3. Желтков В.И., Троицкий А.Н. Суперэлементная модель пластин-чато-оболочечных конструкций.//В сб. "11 зимняя школа по механике сплошных сред (тезисы докладов)". - Пермь, 199?. - с. 127.

4. Троицкий А-Н- Влияние степени дискретизации на погрешность определения частот и форм свободных колебаний упругой пластинки '// Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ, 1997. Т.З.Вып.1. с. 158- 160.

5. Троицкий А.Н., Желтков В.И. Суперэлементное моделирование сложных составных конструкций // Тезисы докладов международной конференции «Итоги развития механики в Туле». Тула, ТулГУ, 1998.-с. 106-107..

6. Желтков В.И., Троицкий А.Н. Суперэлементная модель динамического поведения конструкции // XVI Международная конференция «Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы граничных и конечных элементов» - СПб.: СПбГТУ. 1998.С.15.

Подписано в иеча1Ь ^ ^ 3 ^Формат бумаги 60х&4 1(16. Бумага типографская К» 2 Офссиия нсчаи.. Усл. неч. л. У . Усл. кр.-отт. -.Уч. изд. л.

Тираж зоЛакш ■

Тульский юсударсгвенный университет. 3006110, г. Тула, цр. Ленина, 92. Рсдакшшнно- издательский иен|р Тульского государственною умиверещега. 301К>()0, г. Тула, ул. Полтина, 151

п л Г\ /' . О { Л / '

6/ • . ьч<с -о

Тульский государственный университет

На правах рукописи

Троицкий Александр Николаевич

Определение резонансных частот корпусов ЛА методом суперэлементов

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научные руководители - доктор физико-математических наук, профессор Л.А. Толоконников кандидат физико-математических наук, доцент В.И. Желтков

Тула -1998

СОДЕРЖАНИЕ

1. ВВЕДЕНИЕ 4

2. ВАРИАНТ САПР 18

2.1 Цель, структура, организация САПР 18

2.2 Основные алгоритмы проектирования 21

2.3 Результаты работы САПР и постановка задачи анализа динамических характеристик ЛА 24

3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ НЕОДНОРОДНЫХ КОНСТРУКЦИЙ 29

3.1 Методика суперэлементного моделирования динамики ЛА. 30

3.2 Модальное разложение в методе суперэлементов 34

3.3 Матричные соотношения для суперэлемента 39

4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ АЛГОРИТМА СУПЕРЭЛЕМЕНТНОГО АНАЛИЗА. 45

4.1 Определение тензора ядер релаксации 45

4.1.1 Изотропный материал. 46

4.1.2 Трансверсально изотропный материал 48

4.1.3 Ортотропный материал 48

4.2 МКЭ - модели элементов конструкции 50

4.2.1 Осесимметричное тело при осесимметричной нагрузке 50

4.2.2 Плоское напряженное состояние 51

4.2.3 Элемент тонкой многослойной оболочки 5 2

4.3 Определение мод колебаний и резонансных частот 56

4.4 Контрольные задачи 62

5. СИСТЕМА КОМПЬЮТЕРНОГО АНАЛИЗА СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ 67

5.1 Структура программного комплекса 68

5.2 Общие характеристики комплекса 76

6. АНАЛИЗ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ КОНСТРУКЦИЙ 80

6.1 Влияние степени дискретизации на точность решения задачи о собственных значения 80

6.2 Влияние числа удерживаемых мод на точность решения 84

6.3 Оценка некоторых вариантов дискретизируемой области 86

6.4 Пространственные колебания цилиндрической оболочки 90

6.5 Пример расчета ЛА большого удлинения 97

6.5.1 Собственные колебания корпуса 99

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 100

8. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 103

1. Введение

В практике проектирования ДА и других структурно-неоднородных конструкций применение систем автоматизированного проектирования (САПР) давно стало общепринятой нормой. Причина этого - существенное ускорение процесса проектирования за счет ряда факторов:

• автоматизации всех вычислительных работ;

• возможность применения уточненных, зачастую нелинейных математических моделей, более строго описывающих взаимодействие ЛА с окружающей средой;

• возможность взаимоувязки результатов, полученных в рамках различных моделей, в единую согласованную систему, удовлетворяющую тактико-техническому заданию.

Одной из важнейших подсистем является комплекс программ по анализу прочности и жесткости конструкции ЛА в целом и ее отдельных элементов. Специфика условий эксплуатации ЛА - как в полете, так и при транспортировке - заключается в том, что внешние воздействия динамические. Нормаль на внешние воздействия определяет их как моногармонические, полигармонические, случайные широкополосные вибрации, одиночные и многократные удары с регламентированными параметрами. В силу этого подсистема прочностного и жесткостного анализа ЛА должна быть ориентирована на решение динамических задач механики деформируемого твердого тела.

Одной из основных задач, которые решаются в процессе проектирования, является анализ резонансных частот в связи с известным фактом резкого увеличения амплитуд перемещений и напряжений при приближении частоты внешнего моногармонического воздействия к одной из точек дискретного спектра конструкции, или усиления амплитуд в окрестности этих точек при непрерывном спектре воздействия. При анализе реакции конструкций на динамические воздействия определение резонансных частот и амплитуд является первооче-

редной задачей. Здесь же следует отметить, что модель линейно-упугого тела позволяет определить только частоты (приближенно); резонансные амплитуды остаются неопределенными. В то же время ряд современных композиционных материалов - композиты с полимерной матрицей - обладают ярко выраженными реологическими свойствами: ползучестью и релаксацией. Резонансные частоты зависят от проявления этих свойств, а резонансные амплитуды оказываются конечными. В силу этого становится необходимым применение разнообразных теорий вязкоупругости как математических основ для описания свойств материалов в подсистемах динамического анализа.

Таким образом, разработка математических методов, алгоритмов и программных комплексов динамического анализа структурно-неоднородных конструкций с вязкоупругими свойствами, ориентированных на повышение эффективности САПР и их подсистем является актуальной задачей МДТТ.

Проблеме САПР в целом и динамическим задачам МДТТ в литературе уделяется большое внимание.

Для расчета реальных конструкций можно использовать ряд методов [54, 74], прежде всего основанных на вариационных принципах - метод Ритца, метод Галёркина. Для решения многомерных краевых задач используют методы коллокаций, наименьших квадратов, метод сеток. Их объединяет наличие «сетки» с узловыми точками. В методе коллокаций и методе наименьших квадратов [12] приближенное решение краевой задачи строится путем точного удовлетворения основных дифференциальных уравнений для рассматриваемой краевой задачи в узловых точках области. В методе сеток (его часто называют методом конечных разностей) дифференциальные уравнения заменяются конечно-разностными алгебраическими уравнениями, содержащих в качестве неизвестных значения искомых функций в узловых точках. С появлением ЭВМ этот метод нашел широкое использование для решения самых разнообразных краевых задач механики деформируемых тел [43].

В последние годы исключительно широкое использование в расчетах прочности строительных, судовых, авиационных и др. конструкций получил метод конечных элементов (МКЭ) [22, 54, 65, 74, 62, 57, 87].

Для расчета оболочечных конструкций со сложной геометрией и структурой материала ряд авторов предлагает варианты конечных элементов. В работе [80] предложен эффективный вариант МКЭ для расчета тонкостенных конструкций, представляющий синтез идей параметризации и метода конечных элементов. Область параметризуется координатами единичного квадрата таким образом, чтобы прямоугольной сетке в области единичного квадрата соответствовала криволинейная сетка. Каждый участок поверхности аппроксимируется двумерными кубическими интерполяционными сплайнами, что обеспечивает непрерывность функций перемещений и их первых производных во всей рассматриваемой области. Т.о. удалось получить совместные элементы на базе гипотез Кирхгофа - Лява для оболочек сложной формы.

Представляет интерес анализ эффективности повышения степени аппроксимации в КЭ. В [36] проводится анализ 8- и 20- узловых изопараметрических объемных КЭ в приложении к задачам нестационарной теплопроводности и термоупругости. Была решена задача о нагреве элементов сцепки железнодорожных вагонов. Проведен анализ эффективности используемых элементов.

При решении ряда задач более эффективные, чем традиционные вариационно-разностные методы, предложены в [3] для расчетов контактно-коммутационных и предохранительных устройств (задачи с существенной нелинейностью и с большой протяженностью свободного контура). При выводе соотношений использованы уравнения пологих оболочек. Предложена запись граничных условий в вариационно-разностной форме для большинства возможных способов закрепления. Задача сведена к решению системы нелинейных алгебраических уравнений высокого порядка.

В основу расчета НДС и устойчивости оболочек [35] были положены вариационные соотношения теории упругости для ортотропного тела: функционал Лагранжа полной потенциальной энергии деформации и энергетический критерий устойчивости в форме Брайана. Для решения упругих задач использовался вариационно-разностный метод.

Однако непосредственное применение МКЭ к расчету сложных инженерных конструкций, рассматриваемых как пространственные оболочечно-пластинчато-стержневые системы, встречает определенные трудности. Это прежде всего связанно с тем, что для получения достаточной точности расчета требуется представить конструкцию в виде совокупности очень большого числа конечных элементов (КЭ). Это вызывает необходимость одновременной обработки больших объемов информации, а также осложняет подготовку исходных данных.

Одним из методов повышения эффективности расчета реальных конструкций является выделение подконструкций (деталей, узлов, агрегатов). Среди них присутствуют как стандартные изделия, так и уникальные, но используемые несколько раз. Для расчета таких конструкций целесообразно использовать специальные методы.

Один из них - так называемый метод блоков или метод декомпозиции [38, 51]. Для решения задач теории упругости метод блоков был предложен в [24] и основан на построении матрицы влияния, которая позволяет по значениям в выбранных граничных точках поверхностных сил, действующих на упругое тело, найти перемещения в этих же точках. Зная такую матрицу для некоторой области (элемента), можно легко решать задачи для сложных областей, составленных из таких элементов.

Появление метода суперэлементов (МСЭ) позволило справиться [98, 41] с расчетом сложных инженерных конструкций. Основные идеи МСЭ были впервые изложены в работе Пржеминицкого [58]. Было предложено рассчитывать

авиационные конструкции, предварительно разделив их на несколько составных элементов (подкон струкций). Идеи Пржеминицкого получили свое дальнейшее развитие в работе Мейснера [40], который предал им формализованный вид и обобщил на несколько уровней разделения. В дальнейшем идеи МСЭ получили широкое развитие в работах зарубежных и отечественных специалистов. В краткой формулировке идея МСЭ выглядит так: исходная конструкция расчленяется на отдельные части, называемыми подструктурами. В свою очередь каждая из них также разбивается на части (подструктуры). Этот процесс продолжается до тех пор, пока не образуются настолько геометрически простые и малые по своим размерам подструктуры, что их можно принять в качестве базисных элементов.

Лю Хуан и др. [95] использовали МСЭ и соответствующую древовидную схему для анализа параметров колебаний многоуровневых систем подконструк-ций. Применялась статическая конденсация матриц жесткости и масс.

Следует отметить работы В.А.Постнова в области МСЭ. Созданный под его руководством программный комплекс «КАСКАД» [41] позволяет проводить расчеты сложных судовых конструкций. В качестве базисных использовался широкий набор КЭ (стрежневых, пластинчатых, оболочечных, объемных). Комплекс позволял решать широкий круг задач статики и динамики МДТТ. В последние годы Постновым В.А., Таранухо H.A. разрабатывается метод модульных элементов, являющийся развитием МСЭ [56, 67]. Описание работы пространственного КЭ производится на базе полубезмоментной теории тонких оболочек [55]. В каждом поперечном сечении реальные обводы корпуса судна заменяются ломанным контуром, имеющим прямолинейные участки с узловыми точками. Для стыковки строятся матрицы жесткости каждого модульного элемента.

В.Г. Григорьев [10] рассматривал эффективность применения корректирующих рядов в МСЭ. Сравнивались точность решения задач динамики для ме-

хода «жестких» и «свободных» границ на примере расчета международной орбитальной космической станции «Альфа». Были даны рекомендации по выбору необходимого числа собственных форм колебаний суперэлементов при формирования расчетной конструкции.

Преимущества МСЭ также ярко проявляются при расчетах зданий и сооружений [61]. Повышением этажности застройки приводит к увеличению статических и динамических (ветровых и сейсмических) нагрузок. В связи с этим возникает необходимость повышения точности расчетов. Учитывая, что многоэтажные здания можно представить как сложную составную пластинчато-стержневую конструкцию, преимущества суперэлементного подхода в данном случае очевидны.

Следует отметить разработанный Плетневым В.И. и Бондаревым Ю.В. программу «ПЕРСТ-МП» [47]. Расчет коробчатых конструкций производится с помощью конечных элементов и суперэлементов. Отдельные несущие плоскости рассчитываются классическим методом конечных элементов в перемещениях. При решении задачи сопряжения несущих поверхностей, которые можно рассматривать как суперэлементы, используется метод сил [46, 50]. Для учета особенностей работы здания, как сложной конструкции установленной на упругом основании, выполняется линейно-упругий расчет системы «здание - ровное основание» [49].

Для частного случая коробчатых систем, какими являются многоэтажные здания, возможны упрощения расчетной схемы и соответственно алгоритма расчета методом сил:

1) пренебрежение жесткости изгиба стен (считается, что стены испытывают только плоское напряженное состояние);

2) изгибная жесткость междуэтажных перекрытий по сравнению с жесткостью в своей плоскости пренебрежимо мала.

Используя такие упрощения, можно решать физически и конструктивно нелинейные задачи, которые сводятся к многократному пересчету сооружения [48].

Шапошников H.H., Перушев Е.Г., Секлоча В. [79] для расчета зданий предлагают специализированный суперэлементный комплекс. Несущая конструкция здания представляется в виде набора пластинок, работающих в условиях плоской задачи (несущие стены), пластинок, работающих на изгиб (перекрытия) и стержней (колонны). Используется три модели: первая - модель с 6-ю степенями свободы в узле (для сопряжения стен с перекрытием используется специальный мембранный элемент, верхняя и нижние кромки которого изгибаются по кубической параболе); вторая - в каждой точке принимается по три неизвестных (пренебрегают работой на изгиб перекрытия при работе здания как единой системы); третья - перекрытие абсолютно жесткое в своей плоскости и абсолютно гибкой из своей плоскости. Для учета работы стыков созданы специальные элементы. При работе стен и перекрытий учитывается физическая нелинейность за счет раскрытия трещин. Для определения частот и форм колебания зданий количество неизвестных сокращается за счет конденсации. Этот процесс идет в диалоговом режиме. В качестве точек конденсации используются не только точки контактов между суперэлементами, но и другие точки, в которых рационально сосредоточивать массы суперэлементов.

Интересный подход для формирования конечно-элементной сетки предложен в работе Шапошникова H.H., Нестерова И.В., Огурцова Ю.Н. [78]. Обычно КЭ - сетка наносится в директивном порядке, что не дает возможности судить о точности результатов расчета. Предлагается комплекс с обратной связью, когда сетка наносится на конструкцию в зависимости от результатов расчета. Рассматриваются элементы с постоянным полем деформаций. В каждом узле вычисляется максимальная разность напряжений в звезде элементов, примыкающих к узлу. Далее эта величина сравнивается с величиной s (задаваемой

вычислителем) и процесс сгущения (удвоения) сетки производиться только в тех местах, в которых разность напряжений превышает г. При переходе от сетки к сетке используется итерационный метод сопряженных градиентов. Следует отметить возможность использования в этом случае специального переходного элемента [101] и возможность повышения степени аппроксимирующих полиномов [82]. Комплекс используется для вычисления коэффициентов концентрации, для чего первоначально по суперэлементной схеме производится расчет всей конструкции при грубом учете концентраций, далее выделяется суперэлемент и производиться его расчет на заданные смещения, взятые из общего расчета, с детальным исследованием концентратора по приведенному алгоритму.

В [44] Огурцов Ю.Н. рассматривал реализацию многоуровневого суперэлементного подхода к расчету сооружений. Разработаны алгоритмы и программный комплекс, предназначенный для определения НДС сложных конструкций с регулярными и нерегулярными структурами при статических и динамических воздействиях. Для описания решения задачи по МСЭ введено понятие структурного дерева связи подконструкций, которое представляет собой информацию об уровнях разложения исходной конструкции на составляющие.

В работе Верюжского Ю.В., Синева П.А. и др. [8] предлагается исследовать физическое состояние конструкций (состоящих из одномерных, плоских и трехмерных элементов) с применением метода потенциалов (МП), МКЭ и их сочетаний. Для составных элементов используется суперэлементный подход. Объект разбивается на отдельные суперэлементы (СЭ). Для каждого СЭ отдельно специальным образом формируются системы уравнений, зате