Суперэлементный анализ машиностроительных конструкций с комбинацией прямых и итерационных методов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ



оа

1' .' М V.. . сашст- петербургская государственный морской технически! университет

борматова Елена Павловна

удк 621.1:бзэ.4.001.24

На праг- рукописи

суперэлементныи анализ машиностроительных конструкции о комбинацией прямых и итерационных методов

01.02.04-мехвника деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург ,1994

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном технической университете на кафедре "Механика и процессы-удивления".

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор ПАЛЬМОВ В.А.

Научный консультант - доктор технических наук»

профессор Ц'АБРОВ H.H.

Официальные оппоненты - доктор технических наук,

про^ссор РОДИОНОВ A.A. кандидат технических наук, СОКОЛОВ д.ю.

Ведущая организация - АО "Ленинградский металлический

завод"

Зацита состоится 1994 г. в "_часов

на заседании специализированного совета Д 053.23.01 при Санкт-Петербургскои государственном морском техническом университете по адресу: 190008, г, Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, д.3.

С,диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбПЛУ

- Автореферат разослан " /3" ^CO& JL 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д 053.23.01 pj \

канд. техн. наук, доцзн? '\jl<- С- Г'. КАДОК

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной их важнейших задач, с решением которой связано развитие современного машиностроения, является проблема обеспечения прочности конструкций при минимальной металлоемкости. Решить эту задачу невозможно без проведения уточненных расчетов полей напряжений и деформаций для конструкций сложной геометрической формн.Самым эффективным методом для таких вычислений в упругой и неупругой областях деформирования считается в настоящее время метод конечных элементов (МКЭ). Однако с увеличением сложности конструкций и повыиеним требований к точности расчета число неизвест..лх: в разрешающей системе уравнений МКЭ может достигать от нескольких десятков до сотен тысяч. При таком количестве неизвестных применение МКЭ в традиционной форме часто становится невозможным из-за недостаточного быстродействия и ограниченного объема оперативной памяти современных ЭВМ. Поэтому для анализа НДС сложных конструкций с использованием трехмерных моделей целесообразно применять модификацию МКЭ- метод суперэлементов (МСЭ).

Созданные к настоящему времени методики и программные системы для МСЭ не свободны от недостатков, ограничивающих их применение к расчетам НДС пространственных конструкций произвольной формы, конечно-элементные модели которых содержат большое количество узлов. Крайне ограничено также применение МСЭ к расчетам в области неупругого деформирования. Поэтому создание эффективного суперэлементного алгоритма и программной системы на его основе является актуальной проблемой для решения промышленных задач с помощью МСЭ.

Цель настоящей работы состоит в построении нового алгоритма метода суперэлементов, обладающего существенным преимуществом во времени счета по сравнению с используемыми, и его реализации в виде программных систем для анализа ЦЦС пространственных конструкций произвольной формы в области линзйной упругости и неустановившейся ползучести для ЭВМ PC/AT. .

На защиту выносятся следующие положения работы:

1. Новый алгоритм метода суперэлемзнтов, основанный на вычислительных идеях асимметричного блочного разложения и комбинацгти прям:« и итерационных методов решения систем уравнений.. ■' • .

2. Программная система суперэлементного анализа НДС пространственных конструкций произвольной формы в области линейной упругости, включающая новый алгоритм.

3. Модификация предложенного алгоритма применительно к расчетам ИДО пространственных конструкций в области неустановившейся ползучести и его реализация в виде программной системы.

4. Модификация предложенного алгоритма применительно к расчетам НДС пространственных конструкций с циклической симметрией формы при поизвольном нагружении и его реализация в виде программной системы.

5. Результаты расчетного исследования трехмерного линейно-упругого напряженного состояния корпуса насоса и диска рубительной машины и результаты расчетного исследования неустановившейся ползучести корпуса паропропускного клапана паровой турбины.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1.Разработан новый алгоритм суперэлементного анализа пространственных конструкций произвольной формы, основанный на асимметричном блочном разлокенш и неявной схеме решения блочных систем уравнений. Основной особенностью алгоритма является комбинация прямого и итерационного методов (метода Холецкого и метода сопряженных градиентов с предобусловливанием) в ходе супарзлеменгного анализа, предложенная впервые.

Разработана программная система, реализующая новый алгоритм МСЭ. Показано преимущество нового алгоритма перед традиционным как по времени счета, так и по запросам к машинной памяти.

Исследованы факторы, влияющие на скорость сходимости метода сопряженных градиентов применительно к матрице граничной жесткости конструкции. Показана необходимость предварительного предобусловли-вания глобальной матрицы граничной кесткости.

2. Впервые предлагаемый вариант метода суперэлементов применв! к анализу НДС пространстввгашх конструкций в состоянии неустановившейся ползучести. Показано преимущество во времени счета предложенного алгоритма по сравнению с традиционным МКЭ при решении линейно! системы уравнений в процессе расчета на ползучесть.

3. Получено представление для матрица жесткости конструкций < циклической симметрией формы в виде произведения трех матри!

простого ьлдз. Это позволило создать эффективный суперэлемонтшл

£ ■

алгоритм для анализа НДС таких конструкций при произвольном наг-ружении. Разработанная на его основе программная система позволила впервые провести расчетное исследование НДС диска рубительной машины, конечно-элементная модель которого содержала более 40 тыс. степеней свободы.

Достоверность результатов, получаемых с помощью разработанных программных систем, обеспечивается строгой формулировкой алгоритма и сравнением результатов расчета ряда конструкций с результатами расчетов по апробированным программам МКЭ, при существенном выигрыше машинного времени.

Практическая ценность работы заключается в том, что с помощью разработанной программной системы, которая включает новый алгоритм суперэлементного анализа, получены важные для практики результаты по определению работоспособности ряда машиностроительных конструкций. Программная система внедрена и используется на предприятиях машиностроительной отрасли.

Апробация работы. Изложенные в работе результаты докладывались:

- на V Межгосударственом семинаре "Радиационная повреадаемость и работоспособность конструкционных материалов", Псков, 1993;

- на научных семинарах кафедры "Механика и процессы управления" СПбГТУ и кафедры "Механика" Петрозаводского госунивеситета.

Основные результаты диссертации изложены в двух опубликованных по теме диссертации работах.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения и содержит 111 страниц основного текста, включая 17 страниц рисунков. Библиографический список включает 51 наименование литературных ис-, точников. "

основное содержание работы

Во введении дано обоснование актуальности намеченных исследований и изложено краткое содержание работы.

В первой главе проведен краткий обзор литературы, касающейся методов решения систем уравнений МКЭ а также разработки и применения метода сулерэлементов (МСЭ). Показаны преимущества и недостатки как прямых, так и итерационных методов для решения линейной системы уравнений МКЭ. Известно, что при большом количестве неизвестных решить систему каким-либо из этих методов часто затруднено из-за большого времени счета на ЭВМ. Отмечено, что выходом в данном случае может служить использование алгоритмов, исключающих необходимость формирования полной матрицы жесткости конструкции. .

Первыми отечественными публикациями по МСЭ были работы В.А. Постнова, в которых введено понятие суперэлемента как математическо{ модели взаимодействия части физической конструкции со смежными частями и в дальнейшем проведено всестороннее обобщение МСЭ при рассмотрении его с единых теоретических позиций.

Исходным пунктом улучшенного метода. суперэлемэнтов являете; представление матрицы жесткости подконструкции в виде тройного матричного произведения

К и К1ь Км Кьь

11 О Кы Е

О

'ьъ

О Е

(1)

где индексы 1 и Ъ ничным переменным и

относятся соответственно ко внутренним и гра

К

11

■

Т Т -1

Им = Км (В^) •

*

Къъ = Кьь -

(2)

(3)

(4)

Основная трудность в реализации этого алгоритма состоит в том что вычисляемые в нем матрицы и К^ь являются заполненными, в от личие от матриц Км 'и Кьь- Это тРе°Ует больших затрат машиной памят и, как следствие, большого времени счета.

Вычисление матричной поправки по формуле (4) называется в лихе 4 •''■■■'.

О

атуре симметричным блочным разложением. За ним следует явная схема ешения блочных систем уравнений. В работе предложен альтернативный ариант, называемый асимметричным блочным разложением и неявной схе-ой решения, в котором явное вычисление матриц заменяется умно-ением на некоторый вектор матрицы К}Ь и решением системы уравнений матрицей Кц (методом Холецкого).

Во второй главе описывается общая методика расчета по предлагаэ-ому варианту метода суперэлементов.

Перед началом решения матрицы жесткости подконструкпий упорядо-иваются с целью уменьшения их профиля для внутренних уя.аз. Решение шечно-элементной системы.уравнений распадается на три этапа: пря-гай ход, вычисление граничных перемещений и обратный ход.

На первом этапе для каждого суперэлемента (1) вычисляется век-ор узловых сил по формуле

/ь = Кы^хь!)"1/! (5)

I ■

[рямой ход состоит в решении системы уравнений с матрицей (Ь^^) и множении на результат редкозаполненной матрицы Кы-

На втором этапе векторы узловых сил суперэлементов суммируются ■ I глобальный вектор узловых сил, однако формирования глобальной ¡атрицы граничной жесткости, в отличие от предыдущих версий МСЭ, не фоисходит. Вычисление глобальной матрицы граничной жесткости юуществляется по формуле:

3

4 А! (6)

1=)

'де -матрица кинематических связей для граничных узлов 1-го 1 (1)"

:уперэл§мента, Кьъ ~ма1,рица жесткости суперэлемента, для вучис-юния которой используется альтернативная к (4) форлула:

(1)* (1) т -1

Къь =КЬЬ - Кы'ПВД!) *К1Ъ}

СП

Для решения системы уравнений с матрицей К*ь выбран метод сопряженных градиентов с предобусловливанием (FCC- метод). Как известно, основной операцией в этом методе является умножение матрицы

системы на некоторый вектор X. Обращаясь к формуле (6), можно ви-

*

деть, что умножение матрицы Khh на вектор состоит в последовательном

DCU)* т

умножении на него матриц Кьь и Aj- Умножение матрицы кинематических связей Ai на некоторый вектор X сводится к выполнению логических операций пересылки. Таким образом, суммирования матриц по формуле (6) не требуется. Более того, из формулы (7) следует, что умножение матрицы жесткости суперэлемента на вектор состоит в

последовательном умножении на этот вектор редкозаполненной матрицы

т

Kib , решения системы уравнений с матрицей (LjDiL}) имэщей маленький профиль, и умножении на результат матрицы К^. Поэтому во многих задачах с точки зрения полной вычислительной работы целесообразно не вычислять в явном виде матрицу

На третьем этапе по вычисленным перемещениям граничных узлов вычисляются перемещения внутрених узлов для кавдого суперэлемента по формулам

ui = (LiDilif/i- Klb(LiD1L1)t4i) (8)

причем первое слагаемое в равенствах (8) уке вычислено на первом шаге.

Обратный ход состоит в выборе из полного вектора узловых перемещений и^ части, относящейся к граничным узлам данного

суперэлемента t^ , умножении редкозаполненной матрицы К^ь на "ь '

и решения системы уравнений с матрицей (L^D^Li) и полученным вектором, как правой частью.

Из анализа хода всего решения видно, что для каждого суперэлемента (t) требуется хранить только профиль и матрицы К^ и Кьь • которые, в силу общих свойств уравнений МКЭ, являются редко-заполненными. В отдельных случаях, о которых будет сказано далее, мы

(D*

формируем матрицы жесткости суперэлементов Kbb « имеющие небольшук б

размерность.

В качестве предобусловливатвля выбрана диагональная матрица. Поскольку центральным местом предложенного алгоритма является решение системы уравнений с матрицей К^ь мет°Д°м исследовались различные факторы, влияющие на скорость сходимости этого метода. На примере решения тестовой задачи исследовалось влияние следующих факторов:

1. Густота сетки конечных элементов. . '

2. Форма конечных элементов.

3. Количество суперэлементов.

4. Предобусловливаниэ с помощью диагонали матрицы Кьь Л^Ъ"

Результаты тестирования дали следующее:

1. Чем точнее дискретйзируется рассматриваемая область, тем быстрее сходятся итерации. Таким образом, здесь мы достигаем двойного эффекта: получаем более точное решение за меньшее время.

2. Сходимость зависит от соотношения всех размеров конечного элемента.

3. При увеличении. количества суперэлементов отношение числа итераций к числу граничных переменных уменьшается. Маленькие суперэлемен-нты выгоднее и с той точки зрения, что их матрицы жесткости можно размещать в оперативной памяти.

*

4. Использование для предобусловливания диагонали Кьь либ° К^ь (предобусловливатель Якоби) практически не влияет на количество требуемых итерация, однако без предобусловливания количество итерация существенно больше.

• Разработанная на основе вышеприведенного алгоритма программная система была использована при расчете НДС корпуса насоса, проводившемся ранее при помощи МКЭ. Применение МСЭ для этой задачи позволяет менять длину и толщину труб, но повторяя вычислений с корпусной деталью.

В третьей главе представленный вариант метода суперэлементов предлагается применять к анализу ВДС конструкций при неустановившейся ползучести. В опрэделящем уравнении компоненты тензора скорости деформации ползучести связаны с компонентами девизтора тензора напряжений по закону

где ^-функция текучести

тф-1

7=3/2В(1)А(6)О (10)

где г-время,е- температура, о=/з/2а^зТ^

Уравнения (10) и (11) замыкают конечно-элементную систему уравнений которая в момент времени t+ьt имеет вид

t+йt • (е)Тг (е)Т О t+дt О

К Vе к-^.0 ,]в Н( £+ е )йи (11)

е у(е)

г+л! t+дt

где у- вектор узловых перемещений, Я- вектор узловых сил, г+л t

е- тензор начальных деформаций (все-в момент времени t+йt)í

(е)

В (х,у,г)- матрица градиентов конечного элемента с номером

матрица кинематических связей конечного элемента с номером е, К- матрица жесткости конструкции,Н~матрица Гука.

В расчетах на ползучесть мы следуем алгоритму, предложенному I дисертации Н.Н.Шаброва. Наиболее трудоемким этапом в реализации этого алгоритма является решение на каждом шаге по времени в итерация) по "1" системы уравнений

(1*1) ~ (е)тг (е)т (1) Кди ]в О Л» (18)

в У (е)

Разработанный в предыдущей главе метод суперэлементов применяется к решению системы (12). Так как эта система может решаться многократно на каждом временном шаге, то реализовать это решение целесообразно одним программным модулем. По этой же причине уместно сраку построить матрицы жесткости суперэлементов в явном вида. О

Вычисляя методом PSG приращения граничных перемещений, мы используем в качестве начального значения на каждой итерации по "i" значение, полученное на предадущей итерации, а в начале каждого шага по времени Оерем в качестве начального значения приращения граничных перемещений, полученные на предыдущем шаге.

Программа реализована на ЭВМ типа IBM PC и организована таким образом, что последовательные шаги по времени могут осуществляться при повторных вызовах программы после прерываний счета.

Для проверки работы программы и исследования сходимости Сил проведен расчет на ползучесть паропропускного клапана турбины К-800, который ранее выполнялся как трехмерный без применения метода суперэлементов. Вся конструкция была разбита на два суперэлемента. Граница суперэлементов содержала 23 узла, т.а размерность матрицы граничной жесткости равнялась 69 степеням свободы. Расчет на ползучесть производился для 12 шагов по времени: первые четыре- по 50 часов и восемь по 100 часов. Мы получили полное совпадение рвэультатон расчета по нашей программе с результатами расчета по обычной трехмерной программе как в упругой области, так и на каждом шаге по примени. На всех временных шагах количество итераций по "i" равнялось нулю, т.е на каждом временном шаге нам потребовалось только один pan решить систему уравнений (12). В качестве начального значения для вектора uj при решении системы уравнений с матрицей граничной жесткости на первом временном шаге мы орали нулевой вектор, а на но следующих - значения Ug , полученные на предыдущем шаге.

В программе фиксировалось количество потребовавшихся итераций и методе PSG на каждом шаге по времени для получения заданного значения нормы невязки. Наибольшее количество итераций понадобилось н:э первом шаге по времени. В дальнейшем количество необходимых итераций было меньше на 30-60Ж (рис.1). Поскольку в расчетах реальных конструкций методом суперэлементов время вычисления граничных перемещу ни il составляет обычно 60-80% от общего времени решения конечно-элементной системы уравнений, то в расчетах на ползучесть с применением предложенного варианта метода суперэлемэнтов мы получаем существенный выигрыш в общем времени счета по сравнению с трпдациошшм МКЭ.

у

В четвертой главе предложенный вариант метода суперэлементов применяется к конструкциям, обладающим циклической симметрией формы при произвольном нагруженш.

Рассматривается пространственное тело, состоящее из п секторов, получаемых поворотом одного из них на угол а]=2%( 1-1)/п вокруг проходящей через его центр оси 2 против часовой стрелки (1- номер сектора). Для всех секторов построены модели в виде совокупности трехмерных конечных элементов, совпадающие при повороте на любой а^. Кинематические граничные условия для всех секторов также одинаковы. Для простоты считается, что каждый сектор имеет общую границу только с двумя соседями, т.е тело имеет полость, проходящую вдоль оси Рассматривается случай, когда на каждом секторе строится один суперэлемент, узловыми точками которого являются граничные узлы сектора. На рис. 2 показана конструкция для случая четырех секторов.

Для построения матрицы жесткости всей конструкции достаточно рассмотреть только первый сектор. После анализа структуры матрицы жесткости йсей конструкции К получаем для нее следующее выражение:

от

К = А * К * А (13)

где

о

К =

К„ 0, 0 0 0 К,, 0 0 0 0 К,, 0 0 0 0 к„ симметрично

Кв, А!К81 0 0 0 К5, А3кв, о 0 0 кв, А!К8, АТаКа, 0 0 К«-, К55 0 0 0 0 К55 0 0 0 0 К53 о 0 0 0 к55

(16:

а Д— блочно-диагональная матрица, диагональ которой образуют после 10

довательно стоящие матрицы g. Аг» А3. &4, 1> А6- А?. А8- 3Десь Av 1=2,...,8,- также блочно- диагональные матрицы, диагональ которых образуют матрицы поворота

После введения новых переменных

u'= А *и, f'=AT*f (18)

конечно-элементная система уравнений для конструкции с циклической симметрией формы примет вид:

. К (19)

Таким образом, применяя изложенный в гл.2 суперэлементшй алгоритм, на каждом шаге решения мы имеем дело только с матрицами, относящимися к первому сектору.

Разработанная для этого случая программная система была использована для расчета НДС диска рубительной машины.

Диск рубительной машины представляет.собой пространственное тело, состоящее из пятнадцати одинаковых секторов (рис.3). Действую-цими нагрузками являются приложенные к трем смежным секторам силы резания и нормальные нагрузки от'падающих бревен. Кроме того, на все зектора действуют центробежные силы от вращения со скоростью 300 об/мин. Таким образом, ш имеем циклически симметричную конструкцию при несимметричном нагружении, к которой применимы все результаты данной главы.

Суперэлементная модель диска представлена пятнадцатью суперэло-лентами по числу секторов. Границы между суперэлементами естественно зровести по перемычкам, чтобы количество граничных узлов было няи-яеньпгам. Окончательный вариант конечно-элементной модели конструкции ¡одержал 41895 степеней свободы. Количество необходимых итераций в гетоде PSG для достижения значения нормы невязки £=0.01 равнялось 80 или 12.5% от размерности матрицы граничной жесткости.

В результате расчета были получены максимальные значения нтенсивностя касательных ' напряжений 101.9 МПа в районе гадального перехода в первом из секторов,' на который действуют усилия давания. Во втором и третьем секторах соответствующие значения равны >8.8 МПа и 65.6 МПа. На рис.4 показано распределение интенсивности

• ■ И

касательных напряжений вдоль галтвлького перехода первого сектора.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан новый алгоритм метода суперэлементов, основанный на треугольном разложении матрицы жесткости, неявной схеме решения блочной системы уравнений и комбинации прямых и итерационных методов решения линейных систем уравнений. Применение неявной схемы позволило существенно снизить запросы к машинной памяти по сравнению с существующими алгоритмами.

Основной особенностью алгоритма является решение система уравнений с матрицей граничной кесткости конструкции методом сопряженных градиентов с предобусловливанием. Этот прием позволил избежать трудоемкой операции формирования в явном виде матрицы граничной жесткости. Более того, в ряде задач целесообразно не формировать матрицу жесткости суперэлемента, что ведет к дальнейшему уменьшению вычислительного времени.

2. На основе нового алгоритма разработана программная системг для суперэлементного анализа полей перемещений и напряжений в рамказ линейной теории упругости, ориентированная на компьютеры типа РС, Программы, входящие в систему, составлены таким образом, что момк проводить анализ напряженного состояния конструкций практичесга любой сложности на персональном компьютере.Разработанная программная система использована для расчета НДС корпуса насоса.

3. Исследованы факторы, влияющие на скорость сходимости метод! РСв при решении системы уравнений с матрицей граничной жесткост: конструкции. В частности установлено, что с точки зрения относитель ной скорости сходимости и уменьшения количества полной вычислитель ной работы выгоднее проводить разбиение на большее число суперэле ментов. Важным фактором, определяющим сходамоть, является форма ко нечного элемента. Показана необходимость предобусловливания исходно

системы уравнений, и проведено сравнение двух предобусловливателей

*

с пшсицью диагоналей матрицы К^ь и мятрицы Кы,- Установлено, что он в равной степени ускоряют сходимость.

4. Разработанный суперэлементный алгоритм . применен к .решен! задачи па неустановившуюся ползучесть. Составлена программная систе 12

на для расчета конструкций при высокотемпературной ползучести с использованием метода суперэлементов. Программная система позволяет проводить такие расчеты на компьютерах типа PC. Показана эффективность применения итерационного метода решения в супэрэлементном расчете на ползучесть. Проведен расчет на ползучесть клапана паровой тубины.

5. Отдельно рассмотрен класс конструкций, обладающих циклической симметрией формы при произвольном нагружении. Получено представление матрицы жесткости таких конструкций в виде поизведения трех; матриц простого вида, что позволяет оперировать при вычислениях матрицей жесткости одного сектора. Предложенный суперэлементный алгоритм использован при разработке программной системы для анализ? НДС циклически симметричных конструкций при произвольном нагружении

Произведен расчет трехмерного напряженного состояния диска рубительной машины, конечно-элементная модель которого содержала по рядка 40 тыс. степеней свободы. При этом была выявлена и затем уточнена область концентрации напряжений в районе галтелыюго перехода.

Основные.результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Суперэлементный анализ напряженно-деформированного сос-тишит при ползучести на основе комбинации прямых и итерационных методел /Шабров H.H., Борматова Е.П. // Тезисы докладов V Межгосударственно го семинара "Радиационная повреждаемость и работоспособной'«: конструкционных материалов."- С.-Пб., 1993.- С. 55.

2. Шабров-H.H., Борматова Е.П., Махнов В.Ю. Алгоритм суиора.ш.: ментного анализа циклически симметричных по форме конструкции tif основе комбинации прямых и итерационных методов с ирвдойугмтшнг нием // Рукопись деп. В ВИНИТИ 13.04.93, Л 937-В93.

Рис.1. Изменение количества итераций в методека последовательных шагах по времени при расчете не ползучесть.

5, 6, 7, 8 - группам между секторами.

Рис. 3. Сектор диска рубителыюй машины. С«тко б.чпотя элементов.

Рис.Область концентрации напряжений и распределение интенсивности касательных напряжений ф вдоль линии АВ.

1С