Асимптотика и ветвление равновесий сжатых упругих прямоугольных пластин и стержней на нелинейно упругом основании тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУХАГСТВИПЫЯ УНИВЕРСИТЕТ

Специализированный совет К 063.52.03 по физико-математическим наукам

На правах рукописи

ПЕШХОПВ Пса Мусаевич

удк 539,3

АСИМПТОТИКА И ВЕТВЛЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ

сгатах упруга: пряьтадьш пластин и стершей

НА НЕЛИНЕЙНО УПРУГОМ ОСНОВАНИИ 01.02.04 - механика деформируемого твердого »ела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физюсо-математэтесккх наук

Работа выполнена;в.Ростовской ордена Трудового Красного Знамени государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор СРУБЩИК Л.С»

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ТОВСТИК П.Е.,

доктор физико-математических наук, профессор ЗУБОВ Л.М.

Ведущая организации - Казанский авиационный институт.

Защита состоится "17" декабря 1991 г. в " " часов на заседания специализированного совета К 063.52.03 но фязако-иа-тематжчесяим наука« в РТУ по адресу: 344104, г,Ростов-на-Дону., у*„ Зорге,, 5„ мехмат, ауд„ '.„,

С диссертацией мсашо ознакомиться в научной библиотеке Ш Суа,' Пушкинская, 148) „ .

Автореферат разослан " , " 1991 г.

Учзшй секретарь

специализированного совета, кандидат физико-математических наук,, доцент

ГЕТМАН ИЛЬ

- 3 -

ОБЩ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Объект исследования. Диссертация посвящена исследованию асимптотики и ветвления решений нелинейных уравнений равновесия упругих прямоугольных пластин и стершей на нелинейно упругом основании, находящихся под действием краевых усилий, расположенных соответственно в плоскости пластины или вдсяь оси стеркня и имепщх несовершенства в виде малой поперечной нагрузки или ма -дой начальной погиби.

Актуальность теш. Тонкие упругие прямоугольные пластины и стержни, леяащие на упругом основании, широко используются в современной технике и строительстве в качестве рациональных зле -ментов конструкций. Бо многих конструкциях, например, судовых и авиационных используются пйастянй* находящиеся под действием саи-глаздпх краевых нагрузок, расположенных в плоскости пластины. Для эффективного использования плабгйй на Нелинейно упругом основа -пии в инженерной практике требуются разработанные на основе нелинейной теории методы расчета для_ анализа напряженно-деформированного состояния равновесий- и- оценки их устойчивости с учетом малых возмущавдих факторов. Вместе с тем такое исследование с учетом геометрически' нелинейных соотношений является достаточно сложной проблемой, так как обуславливается необходимостью изучения спектра краевых задач для'линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно двух пространственных переменных. Для численного анализа этих задач обычно применяют метод конечных разностей, либо метод Еубнова-Галеркина, разлагая" .решение в ряд по координатным функциям. Во всех случаях получаются громоздкие системы, решение которых требует, большой памяти и быстродействия ЭВМ. По этому^ представляется весьма- актуальным вы -делить такие. ;тййы. оболочек,' дая которых хорошее ■ приближение реше-

- 4 -

ния определяется при помсвди теории ыеньдей размерности по пространственным переменным. Этот вопрос удается решить для длинных продольно сжатых прямоугольных пластин в цилиндрических панелей со свободными прододькши краями. Отметим, что рассматриваемые в диссертации вопросы по асимптотическому интегрированию нелинейных уравнений равновесия сжатых удлиненных прямоугольных пластин выполнены в соответствии с Координационным планом научных иссле -дований АН СССР на 1986-1990 гг. по направлению 1.10.2. Механика деформируемого твердого тела, раздел 1.10,2.9. Колебания и устойчивость,

Цель работы:

- Статический анализ потери устойчивости по одной и двум ' собственным формам сяатых упругих прямоугольных пластин на неля г. нейно упругом основании, находящихся под действием малой поперечной нагрузки,и стержней с малой начальной погибью, леяащих на не-, линейно упругом основании.

- Разработка асимптотического метода интегрирования нелинейных уравнений равновесия продольно сжатых удлиненных прямоуголь -ных пластин со свободными продольными краями, лежащих на нелинейно упругом основании.

Методика исследования. В работе используются:

- метод Ляпунова-Пкадта для исследования ветвления равновесий;

- асимптотический метод Дюстерншса-Вишика и метод возмущений для интегрирования уравнений равновесия; •

- метод конечных разностей дня решения на ЭВМ линейных краевых задач и ьадач аа собственные значения для бигарыонического оператора в прямоугольной области при основных типах краевых ус -ловий.

Научная новизна.

I. Исследована задача о влиянии малой поперечной нагрузки на выпучивание и начальное послекригическое поведение упругой прямоугольной пластины на нелинейно упругом основании, находящейся под действием равномерно распределенных по краю сжимающих усилий. В окрестности простых и двукратных значений критических нагрузок (КН) линеаризованной -задачи определено число новых смежных форм равновесия и для гладой из них построена асимптотика. Найдены значения параметров основания, при которых пластина становится чувствительной к малой поперечной нагрузке.

2«, Разработан асимптотический метод интегрирования нелиней -шх уравнений равновесия удлиненной прямоугольной пластины на нелинейно упругом основания со свободными продольными краями в двух случаях: а) на коротких краях заданы равномерно распределенные и расположенные в плоскости пластины сжимавдие усилия; б) на коротких краях заданы саямаадяе продольные смещения.

3. Исследована задача о выпучивании и начальном послекрити -ческоы поведении сяатого упругого стеркня, защемленного на краях . и лежащего на упругом кубическом основании, в случае простого и двукратного критического значения нагрузки. Показано, что наличие малой начальной погяби сникает КН потери устойчивости идеального стержня. С применением метода пристрелки проведены численные, расчеты верхней КН потеря устойчивости сяатого- стержня с начальной погибьв я установлены границы применимости форда метода Ляпунова-Шмидта для сценки этой КН.

Достоверность полученных- результатов обусловлена корректной постановкой краевых задач теории пластин и стеркней, применением математически обоснованных методов решения поставленных задач, а такие проверкой численных программ на модельных задачах с известными решениями.-

скш и прямыми численными методами.

Практическая значимость. Результаты работы, а такке разра ботанные алгоритмы и программы на.ЭВМ могут быть использованы в инженерных расчетах при проектировании и анализе устойчивости конструкций, элементами которых являются прямоугольные пластины и стерши.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доклада -вались на П-м Всесоюзном семинаре молодых ученых "Актуальные проблемы механики ободочек" (г.Казань, 1985), на Всесоюзном со ~ вещании по методам малого параметра (г.Нальчик, 1987), на вауч -ных семинарах кафедр вычислигельцрй математики и математической физики и теории упругости в Ростовском государственном университете.

Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ / 1-8 А •

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа занимает 145 схраниц машинописного текста, содержит 14 рисунков, 8 таблиц и библиографию из 148 наименований, . • . .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТУ

Во введении дана общад Характеристика работа, пзлскеш краткое содержание и сформуодраз^щ основные результаты, представленные к ззднте»

Первые фуядамеьгздавые резудатозд в 4-еории устойчпостд йдос^да и стержней бшщ получены в труддх Эйлера, Кармана, С,ПчТимопенко, Докнедла, ilapreppa, П.Ф,Папковича, Треффца,.. П.Я.Полубаршовой-Кочшой, фридряхса, Стокера, Койтера, С.А.Длек-сеева, Ю.А.Ишлянского, И.И.Воровича, Томпсона. Важный вклад в исследование внпу^шания я начального дослекритического поведения

- 7 -

(хластан и оболочек внесли Будянский, Хатчинсон, Келлер, Э.И.Гри-голюк, Амазиго, Хансен, Твергард, Хант, Рейсс, Нидлмен, Чилвер, Ямаки, В.А.Треногш, П.Е.Товстик, Н.Ф.Морозов, В.И.Юдович, Л.С.Срубщик, Л.М.Зубов, Ю.А.Устинов, И.П.Гетман, Л.В.Андреев, В.И.Бабенко, И.М.Берлус.

Применению численных методов для анализа напряженно-дефор-!лированного состояния и устойчивости пластин я оболочек посвящены работа И.И.Воровича, А.С.Вольшра, Н.В.Валишвили, Я.М.Григо -ренхо, В.И.Гуляева, В.Н.Паймушина, И.Г.Терегуяова, М.С.Корниши -па, В.И.Мяченкова, В.Г.Баженова, Л.С.Срубщика, Н.И.Минаковой, И.М.Бермуса, Бауэра, Рейсса, Фича, Као и Перроне, Коэна,Хуана, Эккеса.

В первой главе исследуется устойчивость и ветвление безмо-ыентной напряженной формы равновесия продольно снятой по краю прямоугольной пластины на нелинейно упругом основании. Для ана -ли за применяется метод Ляпуноза-Екядта. Аналитический вариант метода Ляпунова-Шидта был применен И.И.Воровичем в задаче о поведении после потери устойчивости кольцеобразной круглой пластины на кубическом основания под действием равномерно распределенных по крак радиальных усилий. Операторный вариант метода Ляпу -нова-Шмидта развит В.А.Треногяньы и применен Л.С.Срубщиком и В.А.Треногинкгг дяя исследования задачи о влиянии малой попереч -ной нагрузки на выпучивание и начальное вослекритическое поведение пластины произвольной фермы под действием параллельных осям координат сякмамцих краевых усилий.

В § I приведены,-нелинейные 'уравнения' равновесия для сжатых упругих пр.?,:суга:ьннх. пластик на нелинейно упругом основания, которые-,1'й -безразмерных пере:,', енннх менно записать в.виде

- £

■-■¿Ъя.П+Ц, ¿г(I)

I) ^Х^сЭЯ^ 0

р* .. Р -нД^-о, [Р «ЭД^- О 12)

Здесь ЪЗ „ р •соагвстсявуат функциям прогсба а напряЕвЕкя, р п - состаьйязэцЕгз вдоль осэЁ ^^ и Оу слх&нвде£ крьлвой иа-груэхйо расяслшешмй в иаоскоста шасгаш и равномерно расцрэдо-яезззой по краям |2| к 1/2, = 1/2 соответственно. ^(Х^) со-огс.-зз-'/СУ.-т/ь-г калой поперечной нагрузке0 - коаф^дшент Цуасеона, о » кд - шракзтра основания»с/=(В/Я)"", ~ (X , В ~ ран -агэри мастины, Краевые усяоаш 1}„ 2)„ а такте 3), 4) црл ~

V, 1/2 в (2) отззчаад соогвзгсстонао сьобо.^сйу с?«^ г^-о ь под-В31ЕН0Й шарнирной ОПОр-Зе УСЕОВХЖ 3), 4) Щ32! IV! - 1/2 соответствуй? свободное^ крав, В случае ь.р2,свих услозлй 3) алл 4) и (2) раесхазразаат^с «шко нагругга р , арлогекная к гфилц |х| . »» 1/2» во ест. « ураввешк (15 полагаем Ц,» 0.

Введеш .^-льбер^оБН пространства веетор-фушащи е система уравнений (I) -) запистгзается б гиде нелинейного операторного

В § 2 тпзолтгся оперзгорноз урасзеже для малых возмущений п далее исследуется дкнеарйзовэяпсз ?разЕвявз, которое записывается л впде линейке.'! краевой задача гл собственные значения

_ fw = ¿¿ZJ^- + 2рЪЪ?г -dW^ (3)

гдэ ЬУ удовлетворяет однслу из краевых условий (2).

Доказала форяшьягя самосопряженность и ограниченность снизу оператора $ я ?c?.t сстшм обосновано применение алгоритма ме -с-од'д обратных степеней для решения уразиеишх (3) с краевыми ус -лобпеул (2), принявшегося Бауэром и Рейссом для частного слу -тая зргвяепяя (3) при & = 0 и краевых условий I), 2) а (2). Составлена nporpsiwa на SB?,;, реэлпзукяще алгоритм метода обрат -па стзпешй в сочетания с методом яонечзшх разностей для крае -soil задачи на собственные значения (3) пря зсездад из краевых ус-aosrdl 1)-4) в (2) о Предстзэдены результата чнслегашх расчетов со-бственкнх скзчзняй я собственны?: функций пря различных зкачо -нзях параметров d , ¡{^ 9 .

3 § 3 исследуется потеря устойчивости по одной собственной форлз, когда точка бифуркации С f0 »^а). определяемой из дднеа -р^псваиной задат яри fj - Qf соответствует единственная ссбст -везна^ веетор-фушсщш = C^.ty't"),^^. Рассматривается случай, когда пластана ската в направлении оси Ох. , есть в уравнв -нпях (1)~{3) полагаем 0„ Для новых равновесий Ь. шхастины прз поперечной нагрузке £ £ > i £ i з окрестности внес « дятся ряды Дтлунсва-Шздта . ..'■ :

U = ft + %Ucof ■ " ' . "'У44)

Количество'новых' por^uu . соответствующЕв ш штлтут /V .для..*' гихасгак-! на'згаадратяета? ссвованзи находятся из уравнения разветвления вида. •' '• '

а для пластины на кубическом основании ( ^ > 0, ^ = 0, $ ^ 0) уравн ния разветвления вида

= - + М = £ (6)

Для коэффициентов уравнений разветвления (5), (6) выведены рас -четные формулы.

Установлены следущие теоремы.

Теорема ЭЛ. Пусть с 0, 0 а собственная

функция у) является четной по обеим переменным. Если в уравнении (5) о£,ё>0 , то критическое значение р5 < ро для задачи (I), (2) определяется форлулой

Бри этом в окрестности ро существуют два смеишх с Ук - (0,0), решения с асимптотическим представлением (4), где /•>-, определяется из уравнения (5) при , а Ъ.^- (^¿>¡,0) из уравнения

йи)са1 -2р0ди)*,,.-+-/<<а-1и>1 , а< -± (8)

с соответствувдиьш краевыми условиями в (2).

Теорема 3.2. Пусть I, = 0 я выполнено одно из двух

условий: I) I), = 0, 2) собственная функция нечетная по

одной переменной и четная шш нечетная по другой переменной.

Тогда существует такое значение > 0, что при I,

ь ж з з ^

I й3 ) критическое значение р5 ^ рс ( Р5 > рс ) определяется из уравнения

При этом в левой (правой) малой полуокрестности ро существует два смежных с = (0,0) шдшс решения Ь. с аскштотпческны

1 "I

представлением (4), где = — . а определяет-

- II -

ся из (8). Для значений выведена расчетная формула.

В случае, когда пластина находится под действием комбинированной нагрузки ( р ), составляющие которой направлены соот -ветственно вдоль осей О я. и , точка бифуркации ( Д , ) определяется из задачи на собственные значения (3) при С^ = ^ / 0. Сформулирована теорема, аналогичная теореме 3.2. Приведены результаты численных расчетов, иллюстрярувдих применение теорем 3.1-3.2, построен график зависимости — I) при 0,2 о1 <( ^ \.0 в случае ^ = 0, ^ = 500 для задачи (I), I) в (2).

В § 4 рассматривается потеря устойчивости пластины по двум собственным формам. Пусть ро собственное значение при ^ = 0 задачи (3) и ему соответствуют две собственные вектор-функции

= где ^ Предположил, что

функция четная по обеим переменным, а функция (х, у) -

нечетная по одной переменке! и четная иди нечетная по другой переменной. Предположим также, что $ (я, у) - четная функция по обеим переменным. Для новых равновесий и пляотины в окрестности строятся ряда Ляпунова-Шмццта

Количество новых решений и соответствующие им амплитуды у^, /(г находятся из системы уравнений разветвления'

1с ~ Чч + рг-Уг ■+■ % 1 ...

(Ю)

(ii)

в случае кубического основания ( = 0, $ 0), и

3

(/4*2) = ^¡и + ОггрЬ* */<* + = О

с Ри»! ) = /»г ( —О

=Г О

?■ случае квалгггдгйаго основания _{ !] ^ 0). Для коэффициентов уравнена! разветвления {II) в (12) выведены расчетные формузш0 Формулируются и доказыЕ .г^ся теореш о числе новых решений и их асимптотическом преставленияо Дредставлены результате проведенных численных расчетов, с ноисщь» которых для гадачц {1)с 1} в с _

(2) прй ^ = 0, » ЬОО наедено значаща параметра £>(.-- ОД такое, «то точке бищкащщ соответствует дзе собственные форш, Исследовано ветвление рзиенкй при различных значениях параметров основания к 13 •

Бо агорой главе развивается асашпгожигсескай метод зштегра -рования уравнений рагновескя ддя продольно. сжатой удлиненной прямоугольной ^»отины та нелинейно упругой основании со свободными продольными крайШо

В | 5- задача рассмотрена а ¿швейной яоетааовкес Уравшшя раваовесш в «эезразкеркызс переменна« зашсжашсй в виде

. ^ЬУ^-УП:) + (ХЗ)

-о

"" - -"На

Здесь $-8/й малый параметр относительной йцргззг шшстйвйо Нрд~ мешеная аеиштоютескйй мегод Вишпеа-Люстердака в сочетании с методом возмущений. Решение Сжроетея в ввде

йв0 ' (16)

?десь 0 Рцс ■ - Фузшщщ' пограничного слоя, сосредоточенные. ' «ответе;^..'лно' в ^.«сгаосзд границ X'« -I» »-I а йсчезагн-

- 13 -

ци5 прп удалении от этих границ, Построены полные асиштотичэс ~ кие раздоленпя, Показано„ что главный таен асимптотики определяется из линейной краевой задачи о критический нагрузках счатого стержня на упругом основании, которая в размерных перемен. *т>£ записывается в виде

'fb3w/l+2?0Vc" + KV0 =0, а?)

I)" iMTe

В слу\ае шарнирного опдрашш коротких "раев пластины пограиелоя отсутствуют, а в случае .та свободного зацешешя погранслойныз поправки имеют порядок 0(S")o Озгетаь "¡то вопрос о гччисленка первой критической погрузки для сяатой шарнирио-опертоН прямо -угольной шгастиш пря пемецч эрашонкя ахагого отеигш з линей -ной постановке расскатразаля Дошшя, ЮвАоИиликский,

В § 6 задача (13)-{15> решается численно. Представлены чис-легаше результаты, кагорце свидетельствуют об эффективности асимптотпческлх форе^гл для спрзделезш наименьшей 1Ш потери уо «.. тойчявсстя пяастшш, а такхе яоеяедушпх собственных значений, соотвзтстаутях собственшм <Щшшт, не пйещгл узлов по коор » дгшате у , Члсео узлов функция и) (", j) до координате % определяется как таю аузоЯ фзпвкши » , где ^ соответствует наибольшему значению

В § 7 проводится асгоястотаческов интегрирование неишейдах уравнений Кар:.:ана для зддпненной прямоугольной пластшгы m ли -нейно у.'ругем основа:гаи со свободны?.« яродояьш т кроями п езо-бодно зацемлещшш! пли паршфно опертой короткая краяш, ска-той раннслзрно раслределешшш, прялскешшмп к коротким краям, усилиями. Решение вдетгг п виде рядов по чет".! степени;.! пара -метра относительной с - я езииащей нагрузки и фушащй

- 14 -

прогиба и напряжений. Показано, -что главный член асимптотики определяется из линейного уравнения равновесия сжатого стержня на упругом основании (17), а функция напряжений имеет порядок малости О (В1*). В случае шарнирного опирают коротких краев построены полные асимптотические разложения.

В § 8 рассматривается удлиненная прямоугольная пластина на нелинейно упругом основании-со свободными продольными краями при заданных на коротких краях скимавдих перемещениях. Асимптотическое интегрирование при £ = ё/ä О проводятся д~ системы reo -метрически нелинейных уравнений теории пластин, записанных: через вектор перемещений. Асимптотические разложения отроятся в виде рядов по степеням S для вектора перемещений ( V, V , W ) и сжимайщего продольного смещения краев' С . Здесь U пере -

мещения вдоль осей и соответственно. Показано, что главный член асимптотики определяется из нелинейных уравнений равновес 'я стержня на нелинейно упругом основании

El1(ü'o1 + 2(W)2) = To. U,(-ra) = -V,(a)= Co

i) tve -Wl^,.-p 2, [tfe-v„»]|UIc-0

Здесь Wo - поперечный прогиб, Цз - прод тъное смещение, Со -заданное продольное смещение концов стерккя. Выведены уравнения я для второго, члена асимптотики.

В третьей главе исследуется ветвление равновесий предельно сяатого стержня со свободно защемленными краями, лезсадего на упругом кубическом основании и имеющего малую начальную погибь.

В § 9 дана постановка краевой задачи, которая с учетом на -чальной погиби в размерных переменных затесана в вдде 'V.

Здесь - изгибная жесткость,

- прогиб,

- малый .

начальный погиб; й Ь - длина стержня. . '

Уравнения записываются в безразмерных переменных и для ли- • неаризованной задачи приводятся результаты А.А.Есипова и В,И.К}цо- ■ вича, лспользуемые в работе.

В § 10 проводится исследование потери устойчивости по одной и двум собственным формам. С применением метода Ляпунова-Шмидта в операторной форме получены система Уравнений разветвления, определено число равновесий и построены их асимптотические пред -ставлешм. Показано, что наличие малого начального погиба приводит к снижению критических нагрузок идеального старзня т куби -ческом оснований. •

В § II для вычисления критических нагрузок потеря уотойчл - • востп сжатого стеряня с начальной, погибыо, лежащего на кубичес -ком осйовании, применяется метод пристрелки. Получено хорошее согласие меду этими результатами. 'Указаны границы примощйзостц асимптотических формул метода Ляпунова-йщдта для критически* нагрузок. Отмечается ряд преимуществ метода фщуно^з^дудта? возможность вычисления КН потери устойчивости для весьм" длиний стержней и исследования потери устойчивости по высшим. собствен) г--

— ли -

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Исследована задача о выпучивания: и начальном послекрити-ческом поведении упругой прямоугольной пластины на нелинейно упругом основании, находящейся под действием малой поперечной нагрузки и акимащих краевых усилиях, расположенных в плоскости, пластины. Для основных типов краевых условий, с учетом симметрии^ собственных форм линеаризованных уравнений при помощи метода Ляпунова-Шмидта в операторной форме, определено число новых шея -дах форм равновесий и построены асимптотические представления для каждой из них в окрестности простых и двукраттих собственных значений линеаризованной задачи. Найдены те значения параметров основания, при которых пластина становится чувствительной к ма -лш поперечным нагрузкам и не может выдерешвать возрастающую нагрузку.

2. Разработан асимптотический метод для определения крити -ческих нагрузок и собственных форм продольно сватой по краю» уд -линенной прямоугольной пластины, на л зйно упругом основании, два продольных края которой свободны, а два других защемлены или шарнирно оперты. Построены полные асимптотические разложения по малому параметру <> относительной ширины пластины. Показано,что их головной член определяется из.линейной краевой задачи для продольно сжатого стеркня на линейно упругом основании. С применением метода конечных разностей решены на ЭВМ соответствующие линейные краевые задачи на собственные зк. .ешя для бигармониче-ского оператора в прямоугольнике, найдены границы применимости

.асимптотического метода и доказана его эффективность.

3. Разработан метод асимптотического интегрирования геометрически нелинейных уравнений Кармана для удлиненной прямоуголь -ной пластины на линейно упругом основании, два продольных края которых свободны, а два других (коротки;) подешго-дарнирно. опер-

ты или свободно защемлены и находятся под действием равномерно распределенных по краям скимавдих усилий, расположенных в плоскости пластины. Показано,' что главный член асимптотики определяется иэ линейного уравнения сжатого стержня на линейно упругом основании с шарнирно опертыми или свободно защемленными краями. В случае шарнирного опираншг нраев построены полные асямптотиче- '■ ские разложения.

4. Разработан метод асимптотического интегрирования геоглет- ' рически нелинейных уравнений в перемещениях дня удлиненной пря -моугсяьной пластины на нелинейно упругом основании, два продольных края которой свободам, а два других края подаижно-шарнирно оперты или свободно защемлены я на них заданы положительные или отрицательные значения продольной юомноненты перемещения. По -строены два первых члена асимптотики и показано, что головной член определяется из нелинейного интегро-дйфференциального уравнения равновесия стеряня на нелинейно упругом основании с под-вижно-иарнирно опертыми или свободно защемленными краями при соответственно заданных продольных перемещениях этих краев.

V*

5. Исследована задача х> выпучивании и начальном тгослекрити-ческом поведении сжатого упругого стеряня на кубическом основа -шш со .свободно защемленными краями. С применением метода Ляпу -нова-Швдта определено число новых форм равновесия и построены иг асимптотический представления в окрестности простых и двукратных собственных значений линеаризованнс.'о уравнения. Показано, что наличие малой начальной поги^я снижает критическую на -грузку потери устойчивости 'тержня. Для проверки эффективности метода Ляпунова-Шмидта проведены численше расчеты критических нагрузок сжатого стержня с начальной погибью с помощью метода пристрелки, установлены границы применимости метода Лялунощт

Шидта.

j.Ö -

Автор выражает свою глубокур благодарность научному руково-» дателю профессору Л.С.Срубщику за внимание к работе.

Результаты диссертации опубликованы в следувдих работах,

1. Баул A.B., Пешхоев И.М., Срубщик Л.С. Влияние начальных несовершенств на выпучивание продольно сжатых прямоугоаьшх ца-линдрических панелей и пластин // Изв. Сев.-Кавказ, научн. центра высшей школы. Сер. естеств. наук. - 1986. - Уе I. -

С.34-37.

2. Пешхоев И.М., Срубщик Л.С. Выпучивание и послекритлчес-кое поведение сжатой прямоугольной пластины.на нелинейно-упругом основании // Ростов, ун-т. Ростов н/Д, 1983, 17 с. Деп. в ВИНИТИ.

07,83, ¡9 4037-83 Деп.

3. Пейхоев И.М. Влияние начальных несовершенств на выпучи -ваше сжатой прямоугольной пластины на нелинейно-упругом основании // Актуальные проблемы механики оболочек. Тез. докл. Л Все-союзн. совеща. ля-семинара молодых ученых. - Казань. - 1985. -

С.168.

4. Пешхоев И.М., Срубщик Л.С., Столяр A.M. Асимптотический и численный анализ устойчивости и нелинейных колебаний 'упругих длинных прямоугольных''пластин //.Метода малого параметра. Тез. • докл. Всесоюзн. научн. совещания. Нальчик, 1987. - С.120.

5. Пешхоев'U.M., Срубщик/Л. С. 0. выпучивании сяатого стержня на нелинейно упругом основании // Ростов,, ун-т. - Ростов-на-Дону, 1990, 28 с. Дед. > ВИНИТИ 21.11.90, ß 5856-В90.'-

6в Пешхоев И.М. О щштических нагрузках продольно саатой упругой прямоугольной пластины на упругом основании // Ростов... УН-То - Ростов н/Д, 1990, 30 с. Деп. в ВИШПИ -21.11.90,' :

Я 5855-В90»

7. Пешхоев И.М., Срубщик Л.С. Асимптотическое интегрирование уравнений большого прогиба удлиненных прямоугольных пластин на нелинейно упругом основании // Ростов, ун-т. - Ростов н/Й„ 1991, 19 с. Деп. в ВИШИ 06.02.91, № 595-В91.

8. Пешхоев И.М. Асимптотическое интегрирование нелинейных уравнений Кармана, для сжатой удлиненной пластины на упругом основании // Ростов.ун-т. - Ростов н/Д9 1991, 12 о, Двп<> в ВИНИТИ 06.02.91, Л 596-ВЭ1.

■4