Устойчивость упругих тел при растягивающих напряжениях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Шейдаков Денис Николаевич

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ ТЕЛ ПРИ РАСТЯГИВАЮЩИХ НАПРЯЖЕНИЯХ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Шейдаков Денис Николаевич

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ ТЕЛ ПРИ РАСТЯГИВАЮЩИХ НАПРЯЖЕНИЯХ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

¿мъъзоз

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Ростовский государственный университет»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Зубов Леонид Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Юдин Анатолий Семенович,

доктор физико-математических наук, доцент Еремеев Виктор Анатольевич

Ведущая организация:

Институт проблем машиноведения РАН

Зашита состоится 3 » (^¿¿С/ИсЯс^Сс^- 2005 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ростовского государственного университета по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан « Ь » (Х^^Ч^Оу^О^ 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Боев Н.В.

! гос. национальна*

I мммтт 1 £

«ЛМТМА^у

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Цель работы - исследование устойчивости упругих тел канонических форм (цилиндрический стержень и труба, прямоугольная плита) при растягивающих напряжениях в условиях комбинированного нагружения на основе трехмерных уравнений нелинейной теории упругости и выработка практического критерия устойчивости при растяжении.

Актуальность темы диссертации. Проблема устойчивости механических систем имеет большое научное и прикладное значение, так как исчерпание несущей способности и разрушение строительных и инженерных конструкций часто наступает вследствие потери устойчивости под действием внешних нагрузок.

Стержни, цилиндрические трубы и прямоугольные плиты используются во многих конструкциях, и поэтому вопрос об их устойчивости при различных видах нагружения является весьма важным. В подавляющем большинстве опубликованных работ по упругой устойчивости тел рассматривается бифуркация равновесия при сжимающих нагрузках. Но упругая неустойчивость возможна и при растяжении. По этой причине существенный интерес представляет исследование устойчивости элементов конструкций при растягивающих напряжениях.

Неустойчивость растягиваемых тел чаще всего наступает при больших деформациях, что требует полного учета физической и геометрической нелинейности. Кроме того, используемые в теории устойчивости конструкций одномерные модели стержней и двумерные модели пластин и оболочек в случае растягивающих нагрузок обычно оказываются малопригодными. В связи с >гим исследование устойчивости упругих тел при растягивающих напряжениях следует проводить в рамках трехмерной нелинейной теории упругости.

Точный анализ бифуркации равновесия растягиваемых тел при комбинированном нагружении является трудоемким процессом, что обусловливает целесообразность выработки достаточно простого практического критерия устойчивости при растягивающих напряжениях.

Сказанным определяется актуальность исследования устойчивости упру-

гих тел канонических форм при растягивающих напряжениях на основе трехмерных уравнений нелинейной теории упругости.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы тензорный аппарат механики сплошной среды, метод линеаризации при исследовании устойчивости равновесия, численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Достоверность полученных в работе результатов обусловлена применением точных трехмерных уравнений нелинейной теории упругости и совпадением полученных результатов с известными в рамках частных задач.

Научная новизна работы заключается в следующих основных результатах:

1. В рамках нелинейной теории упругости на основе точных трехмерных уравнений изучены следующие проблемы: влияние кручения на устойчивость упругого цилиндра при растяжении, устойчивость цилиндрической трубы при осевом растяжении и внутреннем давлении, устойчивость растянутого полого цилиндра при кручении и внутреннем давлении, устойчивость прямоугольной плиты при двухосном растяжении.

2. Для задачи об устойчивости прямоугольной плиты при двухосном растяжении построены линеаризованные уравнения нейтрального равновесия в случае, когда удельная энергия деформации задана как функция главных удлинений, которая может не выражаться явно через инварианты меры деформации.

3. В случае простого растяжения кругового цилиндра для любого изотропного несжимаемого материала доказана теорема, согласно которой потеря устойчивости возможна только на ниспадающем участке диаграммы зависимости растягивающей силы от удлинения.

4. Во всех рассмотренных задачах путем решения линеаризованных уравнений равновесия для нескольких моделей материалов построены критические кривые, а также области устойчивости в плоскостях соответствующих параметров нагружения. Проанализировано влияние геометрических размеров тела и физических свойств материала на потерю устойчивости.

5. В результате сравнения областей устойчивости с областями выполнимо-

4

сти постулата Друкера, сформулированного в терминах внешних нагрузок, предложен простой и достаточно точный практический критерий устойчивости при растягивающих нагрузках.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при расчетах различных строительных и инженерных конструкций. Прикладное значение диссертации также определяется тем, что все рассмотренные деформации стержней, цилиндрических труб и прямоугольных плит являются распространенными типами испытаний материалов.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы 106 страниц, список литературы включает 96 наименований.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на XXXI, XXXII и XXXIII международных конференциях "Advanced Problems in Mechanics" (г. Санкт-Петербург, 2003, 2004, 2005), в ходе работы 14-ой Зимней школы по механике сплошных сред (г. Пермь, 2005), на семинарах кафедры теории упругости Ростовского государственного университета.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (05-01-00638).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 работ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор работ, посвяшенных вопросам исследования устойчивое ги упругих тел, а также рассмотрены некоторые аспекты исследования устойчивости при растягивающих напряжениях; обоснована актуальности темы исследования и представлено краткое содержание диссертации.

Исследования по теории устойчивости в нелинейной теории упругости и распространения волн в нелинейных средах принадлежат Н. А. Алфутову, J1. И Балабуху, В. JI. Бидерману, В. В. Болотину, А. Н Гузю, В. А. Еремееву, А. А. Зеленину, Н. В. Зволинскому, Л. М. Зубову, В. В. Калинчуку, Л. С. Лейбенюну, А. И. Лурье, У. К. Нигулу, В. В. Новожилову, В. А. Пальмову, Л. А. Толокон-

5

никову, К. Ф. Черныху, М. Г. Яковенко, Дж Адкинсу, М. А. Био, 3 Весолов-скому, А. Е. Грину, Р. С. Ривлину, Р В. Са>свеллу, Ч. Сенсенигу, Е. Трефтцу, К. Трусделлу, Р. Хиллу, Р. Т. Шилду, Ю. К. Энгельбрехту и другим отечественным и зарубежным ученым.

Первая глава посвящена исследованию влияния кручения на устойчивость сплошного кругового цилиндра при растяжении. Докритическое напряженное состояние определяется полуобратным методом. Изохорическая деформация кручения и растяжения сплошного кругового цилиндра из изотропного несжимаемого упругого материала задается соотношениями R = a'vlr, Ф = <р + у/г, Z = az, a,t//= const (1)

где r,<p, z - цилиндрические координаты в отсчетной конфигурации (лагран-жевы координаты), R,0,Z - цилиндрические координаты тела после деформации (эйлеровы координаты), а - коэффициент растяжения по оси цилиндра, у/ - угол закручивания на единицу длины. По соотношениям (1) находятся выражения мер и инвариантов деформации

F = а"'елед -цу2Л2)ефеф +а<// R(e<t>e/ +е/еф)+аг2е7е/

(2)

g = <x(e„eR + ефеф)-у//?(ефег + а"2(l + ay/2R2)e/e/

В этих формулах ед,еф,е? - ортонормированный векторный базис цилиндрических координат в докритической деформированной конфигурации, g - мера деформации Альманзи, F = g_l - мера деформации Фингера.

Система уравнений эластостатики изотропного несжимаемого тела при отсутствии массовых сил состоит из уравнений равновесия

VT = 0. V = eo —+ еф —+ е,— (3)

* BR ЛЗФ ' DZ

и уравнений состояния

T = Ar1(/„/2)F-^(/l>/2)g-A7E «•1(/„/2)=25И'/а/|, /=1,2 (4) Здесь Т - тензор напряжений Коши, V - набла-оператор в докритической конфигурации цилиндра, Е - единичный тензор, р - составляющая напряже-

ния в несжимаемом теле, не определяемая деформацией, /,,/2 - первый и второй инварианты тензора Р, ¡¥(¡¡,12) - удельная потенциальная энергия деформации упругого цилиндра.

Если боковая поверхность цилиндра незагружена, то выражения функции р и компонент тензора напряжений Коши в базисе ед,еф,е7 имеют вид

«о

ая = }г,(р)рф> Я« =<*~тг0, аф =<тя +>/Гкх(п)Я2 а

а, = (а2 -а-1)*-1(/г)+[а-аг-,/(л))А:2(л)+<тв (5)

гф/ = ^ (/?)+ *-2 (Л)], р(Я) = а~1к1(л)-ак2(Я)-сгк где гп и Яп - радиусы цилиндра соответственно до деформации и после деформации.

Напряжения, действующие в любом поперечном сечении цилиндра, приводятся к продольной силе Р и крутящему моменту М, которые для заданного материала будут некоторыми известными функциями параметров деформации а и цг, определяемыми по формулам

Ло Ло

СфйЯ, М(а,ц/) = 2л |гф/ (/?)Я2ЛЯ (6)

о о

Рассмотрим возмущенное состояние равновесия, бесконечно близкое к докритическому и существующее при тех же внешних условиях. Положение частиц тела в возмущенном состоянии задается радиус-вектором И + три, где К - радиус-вектор в докритическом состоянии, - вектор добавочных перемещений, /7 - малый параметр. Линеаризованные уравнения равновесия несжимаемого тела, описывающие возмущенное состояние и имеют вид У© = 0, = 0 (7)

= ueR+ven+we/, © = Т-(У\у)'-Т, Т* =

Здесь © - линеаризованный тензор напряжений Пиолы.

7

Линеаризованные граничные условия на боковой поверхности цилиндра е„-@=0 при К = К0 (8)

выражают отсутствие поверхностной нагрузки в возмущенном состоянии.

Согласно бифуркационному критерию устойчивости равновесия, исследование устойчивости в малом сводится к отысканию некоторых условий, накладываемых на параметры деформации, при которых однородная краевая задача (7), (8) имеет нетривиальные решения.

Представление компонент вектора возмущений и линеаризованной

функции гидростатического давления ц--р' в виде и = (У(/?)соз(иФ + К1\ V = У{П)ът{пФ + №)

(9)

и^иффЦпФ + Яг), <7 = (2(Я)со5(иФ + Л7); т,п = 0,1,2,... позволяет отделить переменные Ф, 2 в уравнениях нейтрального равновесия (7) и граничных условиях (8) и свести исследование устойчивости к решению линейной однородной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Если положить Я = ятП {т = 1,2,...), где / - длина деформированного цилиндра, то решение в форме (9) удовлетворяет некоторым содержательным краевым условиям на торцах цилиндра. Именно, при осесимметричном выпучивании (и = 0) выполняются следующие краевые условия е2-0ед =е7-0еф =0, и- = 0 при г = 0,1 (10)

выражающие отсутствие на торцах цилиндра силы трения и заданное постоянное нормальное перемещение. Если ввести векторный базис декартовых координат х,у в сечении цилиндра ¡, = созФея-8тФеф, ¡2 =$тФел + созФеф. то в случае стержневой формы потери устойчивости (п = 1) решение (9) позволяет удовлетворить на торцах условиям шарнирного опирания для перемещений в направлении оси у и скользящей заделки для перемещений вдоль оси *.

Для разрешимости линеаризованной краевой задачи (7), (8), (9) необходимо еще три дополнительных условия, которые следуют из требования непре-

8

рывности и дифференцируемости решения при Л = 0 (в случае п> 2 можно взять любые три условия из четырех, указанных в (11)):

и = 0: 1/(0) = и"(0) = ^(0) = 0 и = 1: и(0)+ К(0) = 0, {/'(О) = Г'(0) = О

(И)

/7 = 2: £/(0)=К(0) = 0, (7'(0)+К'(0) = 0

п > 2 : С/(0) = Н(0) = ¿/'(0) = К'(0) = О

Однородная краевая задача (7), (8), (9), (11) решается с использованием численного метода, основанного на конечно-разностной аппроксимации системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Расчеты устойчивости проводились для двух моделей несжимаемых материалов - материала Билермана, удельная потенциальная энергия деформации которого задается соотношением

Ж(У,,У2) = ^0(/2 -3)+</,(/, -3)+</2(/, -З)2 + </3(/, -3У (12)

¿„>0, ¿,>0, с/3> 0, з>0,

и степенного материала, с потенциалом вида

М{1и11) = а{1х-Ъ)р, ¿>0, Р >1/2 (13)

Модель Бидермана достаточно хорошо описывает поведение некоторых типов резин, а диа1рамма растяжения степенного материала при значениях /?, близких к 1/2, мало отличается от диаграммы жестко пластического гела. Для этих моделей в плоскости параметров нагружения а и !//„ = у/г0 построены критические кривые. Кривые для материала Бидермана с набором констант (1а =0, £/, =27, ¿¡2 =-60, (1} =80 представлены на фиг. 1. Результаты для степенного материала при с/ = 1, ¡} ~ 0.51 отображены на фиг. 2. Отношение диаметра к длине здесь и далее равно 0.1 в недеформированном состоянии. На каждой кривой отмечено значение параметра т, которому она соответствует. Все кривые симметричны относительно оси 1//0 = 0 Область, лежащая справа от пунктирной кривой /> = 0, соответствует случаю растягивающих напряжений, представляющему в настоящей работе наибольший интерес, а в области слева

9

действует сжимающая нагрузка.

04

Р = О

Фиг Л

Расчеты показывают, что для обеих рассмотренных моделей материалов при растягивающей силе линеаризованная краевая задача (7), (8), (9), (11) имеет только осесимметричные решения. Потеря устойчивости для п > 0 обнаружена только при Р < 0.

В результате анализа критических кривых построены области устойчивости (на фиг. 3 - для материала Бидермана, на фиг. 4 - для степенного материала). Установлено, что при растягивающих напряжениях области неустойчивости (на графиках они закрашены) почти не зависят от геометрических размеров цилиндра.

Р = 0

1 ов а н

Фиг А

Пересечения критических кривых с осью (¿/0 = 0 дают спектр критических значений параметра деформации а для задачи об устойчивости цилиндра при

10

простом растяжении. Для модели Билермана этот спектр оказывается конечным, причем каждому значению параметра т соответствует две критические точки. Согласно полученным для обоих материалов результатам, все точки спектра оказываются расположены на ниспадающем участке диаграммы зави-' симости продольной силы Р от удлинения а. Этот факт не случаен, а является

свойством, присущим не только рассмотренным моделям, но и любому несжи-I маемому изотропному материалу. Именно, доказана теорема, согласно которой

для изотропного несжимаемого материала при простом растяжении сплошного кругового цилиндра потеря устойчивости на восходящем участке диаграммы зависимости продольной силы от удлинения невозможна.

Погонная потенциальная энергия растянутого и скрученного стержня определяется формулой п,

П0(а,г)= 2* ¡/?ГГ(/,,/2 (14)

о

Для продольной силы Р и крутящего момента М, приложенных на торцах цилиндра, справедливы следующие соотношения

Р{а,ц/)=8П0{а,ч/)1да, М(а, <//) = дП 0 (а, (//)/й (// (15)

На основании выражений (15) условие строгой выпуклости погонной энергии оержня как функции осевого удлинения и угла закручивания можно представить в форме постулата Друкера, т.е. требования положительности

I

работы приращений обобщенных сил на малых приращениях обобщенных перемещений

¿Рс1а + 4Ш1//> О (16)

При простом растяжении, когда у/ = 0, неравенство (16) выполняется на возрастающих участках диаграммы растяжения и эквивалентно условию стро-юй выпуклости функции одной переменной Пи(ог). Согласно доказанной теореме, потеря устойчивости растянутого цилиндра возможна только на ниспадающих участках диаграммы растяжения, т е вне области выпуклости погонной энергии. В связи с этим представляет интерес в более общем случае скру-

11

ченного и растянутого цилиндра сравнить область строгой выпуклости функции П0(а,!//) на плоскости параметров а,у/ с областью устойчивости, определяемой путем решения линеаризованной однородной краевой задачи (7), (8), (9), (11). Указанное сравнение отражено на фиг. 3 - для материала Бидермана и на фиг. 4 - для степенного материала, где заштрихована ВШ область, в которой потенциальная энергия перестает быть выпуклой. Обнаружено, что при растягивающей осевой нагрузке эти области почти совпадают, причем, потеря устойчивости в области выпуклости энергии \\(){а,ц/) не происходит. При отрицательной продольной силе это утверждение неверно. Так, например, для материала Бидермана с указанным выше набором констант при сжимающей нагрузке условие (16) выполняется всегда, но, в то же время, потеря устойчивости при такой нагрузке происходит, что отражено на фиг. 3. Данные результаты не зависят от отношения диаметра недеформированного цилиндра к его длине. Таким образом, условие строгой выпуклости погонной энергии стержня как функции осевого удлинения и угла закручивания может служить достаточно точным практическим критерием устойчивости скручиваемого кругового цилиндра при растягивающих напряжениях.

Во второй главе исследовано влияние внутреннего давления на устойчивость деформирования растягиваемого полого цилиндра. Анализ устойчивости проводится аналогично первой главе, при учете того, что деформация растяжения (сжатия) и раздувания цилиндрической трубы в случае несжимаемого материала задается соотношениями

R = т[ф + а'^г2 -г,2), Ф = <р, Z-az, a,<y = coost (17)

Здесь ка> - площадь просвета деформированной трубы, г, - внутренний радиус трубы в ненапряженном состоянии.

Продольная сила Р, действующая на торцах, а также давление р0, приложенное к внутренней поверхности трубы, будут функциями параметров а и <о

«о

Р(а,(о)=2п \о,(R)RdR, р0{а,©)=-*„(*,) (18)

Здесь R. - внутренний радиус трубы после деформации. Аналогично (14) вводится функция погонной энергии

Un{a^)=27r\w{ll{r),l1{r))dr (19)

п

и доказываются энергетические соотношения для силы Р и давления ра

„/ ч Шп(аг,<у) / v дП a(a,to) , л , ч

Р(а,со) =—, р1(а,ю) =—^-i—, Pl(a,o))=a*p0{a,(o) (20) да оси

Внешняя сторона трубы в возмущенном состоянии считается свободной от

поверхностной нагрузки (условие (8)). Линеаризованное граничное условие

*« © = /><,*« (Vw)r при R = R, (21)

выражает следящий характер гидростатической нагрузки на внутренней поверхности.

Будем считать, что в процессе растяжения и раздувания цилиндра на его торцах отсутствуют силы трения и задано постоянное нормальное перемещение, что приводит к линеаризованным граничным условиям (10) в возмущенном состоянии. Подстановка

топ т,/г>\ • _ >». Z

(22)

w = fF(/?)cosn<l>sin^Z, q = Q(R)cosn<t>cos^Z-, m = 1,2.., я = 0,1,..

позволяет отделить переменные Ф, Z в уравнениях нейтрального равновесия, а также удовлетворить граничным условиям (10) на торцах трубы. Тем самым исследование устойчивости снова сведено к решению линейной однородной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Путем решения линеаризованных уравнений равновесия для материала Бидермана и степенного материала построены критические кривые, а также области устойчивости в плоскости параметров нагружения а и со. Установлено, что для тонкостенных цилиндров (толщина менее 5% от диаметра в неде-формированном состоянии) области устойчивости в плоскости этих парамет-

13

и = U(R)cosn0cos—Z, v = F(/f)sin лФсоэ—Z

ров мало отличаются при различной толщине стенки цилиндра. В полученных результатах целесообразно перейти от параметра раздувания со к внутреннему давлению р0, используя выражение (18). При этом необходимо учитывать особенности различных моделей материалов. Например, у модели степенного материала при значениях параметра /?, близких к 1/2, как видно на фиг. 5, диаграмма зависимости р0(а) при фиксированном а имеет восходящий и нисходящий участки. Поэтому в некотором диапазоне ра одному значению давления будет соответствовать два значения со. Ввиду того, что ниспадающую часть (ю>0шх) диаграммы р0(а>) затруднительно реализовать на практике, рассматривается лишь восходящий участок (со < сотл). Этим обеспечивается взаимно-однозначное соответствие между р0 и со для степенного материала.

Фиг. 5 Фиг. 6

В рамках данной задачи также проводилось сравнение области устойчивости и области выпуклости погонной энергии (19), что отражено на фиг. 6 для степенного материала в плоскости параметров а и ра (толщина стенки недеформированной трубы составляет 5% от диамефа) Как видно на графике, эти области отличаются незначительно, хотя при растяжении и внутреннем давлении потеря устойчивости в некоторой части обпасги выпуклости энергии возможна Часть пространства параметров иагружения, лежащая выше кривой (на графике оназаштрихована) недостижима ни при каких значениях

14

параметров деформации. Явление корреляции областей устойчивости и выпуклости энергии не зависит от линейных размеров трубы. Таким образом, область выпуклости погонной потенциальной энергии П0(ог,й>) при растягивающих нагрузках может служить достаточно хорошей апроксимацией области устойчивости, полученной в результате решения краевой задачи (7), (8), (21), (22).

Третья глава содержит изучение вопроса устойчивости растянутого полого цилиндра бесконечной длины при кручении и внутреннем давлении. Соотношения, описывающие данный тип деформации для несжимаемого материала имеют вид

R = -Jcd + а~* (г2 - г2), Ф = <р + цл, Z = az, а,у/,<о- const (23)

Продольная сила Р и крутящий момент М, действующие в любом поперечном сечении полого цилиндра, а также давление р0, приложенное к его внутренней поверхности, при деформации вида (23) являются функциями трех параметров нагружения а,у/,а> и определяются аналогично предыдущим главам.

Погонная потенциальная энергия деформации П0 также будет функцией параметров а,ц/,а, определяемой по формуле (19). Энергетические соотношения для силы Я, момента М и давления р0 имеют вид

/ ч дП0(а,у/,(о) , ч dno(a,iy,w)

Р(а,1//,о)) = -—---, M(a,i//,eo) =———-—-

да ду/

(24)

/ V дп0(а,у/,а>) / \ t \

р, (а, ч/,а)= ——---, рх {а,1//,со)= алр()(а^,т)

дсо

Линеаризованные граничные условия записываются в виде (8), (21) и выражают, как и в задаче об осевом растяжении трубы при внутреннем давлении, отсутствие в возмущенном состоянии нагрузки на внешней боковой поверхности полого цилиндра и действие гидростатического давления на внутренней

Представление компонент вектора возмущений u,v,w и линеаризованной

функции гидростатического давления q = -p* в виде (9) позволяет отделить переменные Ф, Z в уравнениях нейтрального равновесия (7) и граничных условиях (8), (21). В результате решения полученной краевой задачи, в трехмерном

пространстве параметров нагружения построены критические поверхности и области устойчивости для двух указанных ранее моделей материалов. Как показало исследование, область, в которой возможно неосесимметричное выпучивание (п > 1), вложена в область существования осесимметричных решений линеаризованной краевой задачи (7)- (9), (21). Поэтому для построения области устойчивости при растягивающей осевой нагрузке достаточно рассмотреть проблему устойчивости относительно осесимметричных возмущений. Кроме того, согласно полученным результатам первая возникающая форма неустойчивости для различных путей нагружения отвечает различным значениям Я, т.е. граница области устойчивости не соответствует какой-либо критической поверхности, полученной для некоторого значения Я, а состоит из совокупности критических поверхностей, полученных при различных Я (как правило, для Я < 3, что соответствует периодической по координате 2 моде неустойчивости, длина волны которой превышает диаметр цилиндра).

Фиг.1 Фиг.8

В результате сравнения для двух моделей материалов области устойчивости, полученной при решении линеаризованной краевой задачи (7)- (9), (21) и области выпуклости погонной энергии П0, как функции осевого удлинения, угла закручивания и параметра а, установлено, что при отсутствии внутреннего давления (р0 = 0) эти области малоразличимы, причем потеря устойчивости в области выпуклости не происходит. При внутреннем давлении не равном ну-

16

лю, бифуркация равновесия цилиндра при выпуклой погонной энергии Г10 возможна, но при этом различия между областью устойчивости и областью выпуклости не очень велики. Это отражено на фиг. 7 и фиг. 8 для модели Бидер-мана (толщина стенки недеформированного полого цилиндра составляет 5% от диаметра). На графике заштрихована часть пространства параметров нагружения, соответствующая случаю сжимающей осевой нагрузки (Р < 0), который здесь не рассматривается. Данные результаты не зависят от толщины стенки полого цилиндра.

Таким образом, условие строгой выпуклости погонной энергии ГТ0 как функции осевого удлинения а, угла закручивания у/ и параметра а может служить достаточно точным практическим критерием устойчивости скручиваемого полого цилиндра при растяжении (ри =0). При наличии внутреннего давления область выпуклости энергии Пи(а,у/,й)) может использоваться как достаточно хорошая аппроксимация области устойчивости, полученной в результате решения краевой задачи (7) - (9), (21) для деформации (23). Сделанные выводы справедливы только при растягивающей осевой нагрузке (Р > 0).

В четвертой главе на основе трехмерных уравнений нелинейной теории упругости исследована проблема устойчивости прямоугольной плиты при двухосном растяжении.

Рассмотрим однородную деформацию Х,=А,х,, Х2 = А2х2, Xj=A3x3, А,, Л2, Д3 = const (25)

О <х,<а, 0<х 2<Ь \хг\<,Ы2

упругой прямоугольной плиты, загруженной по краям xt ~0,а и х2 ~0,Ь распределенными нормальными усилиями интенсивности ql и q2 соответственно. В соотношениях (25) дг,,лг2 ,дг3 -декартовы координаты в недеформированном состоянии тела (лагранжевы координаты), Х^Х2,ХУ - эйлеровы декартовы координаты, Л,,Л2,Л} - кратности удлинений вдоль координатных осей, а,Ь -длины сторон, ah- толщина недеформированной плиты. Для несжимаемого

17

материала Я-,=Я['Я2' Соответствующее (25) выражение меры деформации

Коши-Грина С будет иметь вид з

С=£СЛ'а =Я,21111+Я221212+Я^31з (26)

1

где - ортонормированный векторный базис декартовых координат.

Для тензора напряжений Пиолы В справедливо соотношение Р = РС (27)

Здесь Р - тензор напряжений Кирхгофа, определяемый в случае несжимаемого изотропного материала по формуле

Р = 2^(с1с-рс-' (28)

и при деформации двухосного растяжения плиты (25) равный

з

А = к = 1,2,3 (29)

При отсутствии нагрузок на лицевых поверхностях плиты в невозмушен-ном (докритическом) состоянии имеем: р = Я2^-. Рассчитанные на единицу площади в недеформированной конфигурации интенсивности и <7, распределенных нормальных усилий, действующих на краях плиты, равны

Я2 Я2

Линеаризованные уравнения равновесия несжимаемого тела, определяющие возмущенное состояние, запишем в терминах недеформированной конфигурации

УЭ'^О, 0' = Р'-С+Р-С, С* (31)

° 0 д д д У-\у = 0, ЛУ = и^, + + »^¡3, V = I, — + 12 —+ ¡3— (32)

сЬс, дх2 дх}

Здесь О* - линеаризованный тензор напряжений Пиолы. Чтобы найти выражение Р* в (31), используется свойство соосности тензоров Р и С в изотропном теле (их собственные векторы совпадают и обозначаются еА)(;,уД = 1,2,3)

18

е<Р'е< =/»;, е, Р' е, = (/^ - Я, )/(с,-С,)е,-С-е,, (33)

Соотношения для Р/ получены из (29)

К =1,хьс; + ча? + рс?с1. <? = -/Л = ¿,5 = 1,2,3 (34>

т^ зо.

Формулы (33) дают представление всех компонент тензора Р* в базисе е4 (в невозмущенном состоянии орты ек и 1к совпадают) через компоненты С, а тензор С и величины Ск равны

G* = C-Vwr + Vw-C1 = £

3 +

ох,

\

' дх,

еЛ, G;=tt G* et (35)

i, D

v ■ J

Граничные условия на лицевых поверхностях х5 = ±Л/2 = 0

(36)

и^гьа

выражают отсутствие нагрузки в возмущенном состоянии. Благодаря свойствам краевой задачи (31), (32), (36) при исследовании устойчивости достаточно рассмотреть лишь верхнюю половину плиты (0<х} <й/2). При этом условия в нуле (х3 = 0) следуют из четности и нечетности функций и^и^и^,^ <Ьл\

ах

з U=o

дх,

= Wj|i=o=0, если w, - нечетная функция ху

(37)

Wl|„.0 =

dw-i дх.

= 0, если w3-четная функция х3

-о

Решение ищется в виде w, = (^(xjcos^x, siny2x2, w2 = (f2(x3)sin/|x, cos^,x2

(38)

w, = M^(x,)sin/|X| siny2x2, q = Q(x} )s¡n sin^2x2 у,=я»/а, у2=ятя/6, m, « = 1,2,3..

который позволяет отделить переменные х,,х, в уравнениях нейтрального равновесия (31), (32) и граничных условиях (36), (37) и удовлетворяет следующим условиям на краях плиты

1-г,=0.о

г>=О.А

.=0

= 0

Анализ устойчивости проводился для материала Бидермана, степенного материала и материала Огдена, с потенциалом вида

Как показали расчеты, для построения области устойчивости при двухосном растяжении плиты достаточно исследовать только моды выпучивания, в которых прогиб Ж3 - нечетная функция, и не нужно разыскивать изгибные моды неустойчивости. Кроме того, для тонких плит (отношение толщины неде-формированной плиты к наименьшей из сторон менее 0.1) область устойчивости почти не зависит от толщины, а также от того факта, является ли плита прямоугольной (а * Ь) или квадратной (а = Ь).

Аналогично предыдущим главам, вводится потенциальная энергия П

как функция кратностей удлинений Л,,/^. Условие ее выпуклости также можно представить в форме постулата Друкера

А> 0

(40)

(41)

dq^dЛ^ +dq2dЛ■¡ > О

(42)

Чх =0

Фиг. 10

ФигЯ

В результате сравнения области выпуклости энергии П(Л,,Л2) и области устойчивости установлено, что потеря устойчивости в области выпуклости энергии П не происходит, причем это утверждение справедливо независимо от размеров плиты. В тоже время для некоторых моделей материалов эти области могут существенно отличаться друг 01 друга, как это видно на фиг. 9 и фиг. 10 для материала Бидермана и материала Огдена (А = 1, /7 = 0.1) соответственно. Результаты приведены для квадратной плиты, толщина составляет 10% от стороны в недеформированном состоянии. На графиках заштрихована область сжимающих нагрузок.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Для деформации двухосного растяжения прямоугольной плиты получено представление линеаризованного тензора напряжений Кирхгофа и построены линеаризованные уравнения нейтрального равновесия в случае, когда удельная энергия деформации задана как функция главных удлинений, которая может не выражаться явно через инварианты меры деформации.

2. В случае простого растяжения кругового цилиндра для любого изотропного несжимаемого материала доказана теорема, согласно которой потеря устойчивости возможна только на ниспадающем участке диаграммы зависимости растягивающей силы от удлинения.

3. На основе точных трехмерных уравнений нелинейной теории упругости для скрученного и растянутого кругового цилиндра, цилиндрической трубы при осевом растяжении и внутреннем давлении, растянутого полого цилиндра при кручении и внутреннем давлении, прямоугольной плиты при двухосном растяжении построены критические кривые, а также области устойчивости в плоскостях соответствующих параметров нагружения. Расчеты проведены для нескольких моделей несжимаемых материалов. Проанализировано влияние геометрических размеров тела и физических свойств материала на потерю устойчивости.

4. Предложен простой и достаточно точный практический критерий

21

устойчивости при растягивающих нагрузках, который может быть представлен

в форме постулата Друкера, сформулированного в терминах внешних нагрузок.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Sheidakov D.N. Stability of elastic cylinder under torsion and tension // Book of

Abstracts. XXXI Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg. 2003. P. 86.

2. Sheidakov D.N. Stability of elastic cylinder under torsion and tension // Proceedings of XXXI Summer School APM'2003. St. Petersburg. 2003. P. 319-324.

3. Sheidakov D.N. On deformation stability of a twisted, stretched and swelled hollow elastic cylinder // Book of Abstracts. XXXII Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg. 2004. P. 91-92.

4. Sheidakov D.N. On deformation stability of a twisted, stretched and inflated elastic cylindrical tube // Proceedings of XXXII Summer School APM'2004. St. Petersburg. 2004.

5. Зубов Л.М, Шейдаков Д.Н. О влиянии кручения на устойчивость упругого цилиндра при растяжении // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 1. С. 53-60.

6. Шейдаков Д.Н. Неустойчивость растянутой цилиндрической трубы при кручении и внутреннем давлении // Тезисы докладов. 14-ая Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь. 2005. С. 303.

7. Sheidakov D.N., Zubov L.M. Stability of a rectangular plate under biaxial tension // Book of Abstracts. ХХХ1П Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg. 2005.

>

4

Сдано в набор 27.06.05. Подписано в печать 27.06.05 Заказ № 126. Тип. Танаис

«

4

"14414

РНБ Русский фонд

2006-4 8939

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ВЛИЯНИЕ КРУЧЕНИЯ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

УПРУГОГО ЦИЛИНДРА ПРИ РАСТЯЖЕНИИ

1.1. Равновесие цилиндра в докритическом состоянии

1.2. Линеаризованные уравнения равновесия

1.3. Материал Бидермана

1.4. Степенной материал

Глава 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЫ

ПРИ ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ И ВНУТРЕННЕМ ДАВЛЕНИИ.

2.1. Растяжение трубы при внутреннем давлении

2.2. Бифуркация равновесия

2.3. Численные результаты

2.4. Область выпуклости энергии

Глава 3. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РАСТЯНУТОГО ПОЛОГО

ЦИЛИНДРА ПРИ КРУЧЕНИИ И ВНУТРЕННЕМ ДАВЛЕНИИ.

3.1. Полый цилиндр под действием осевого растяжения, кручения и внутреннего давления

3.2. Возмущенное равновесие

3.3. Численные результаты

-33.4. Область выпуклости энергии

Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛИТЫ ПРИ

ДВУХОСНОМ РАСТЯЖЕНИИ

4.1. Невозмущенное состояние равновесия

4.2. Линеаризованные уравнения равновесия

4.3. Численные результаты

4.4. Область выпуклости энергии

Начиная с середины прошлого века достаточно быстро стала развиваться теория больших (конечных) деформаций, что в первую очередь было вызвано использованием в промышленности большого числа искусственных материалов, поведение которых не описывалось классическими линейными теориями. Закритическое поведение конструкций, нелинейное поведение полимеров, не-разрушающие методы контроля напряженных конструкций [16], устойчивость при больших деформациях - это лишь некоторые проблемы, изучаемые в рамках нелинейной механики твердого тела. Несмотря на то, что с момента появления нелинейных теорий поведения материалов и конструкций прошло более полувека, число точных решений задач о больших деформациях достаточно невелико и они получены лишь для тел канонических форм при простых граничных условиях. Это связано с тем, что данные задачи описываются сложными уравнениям, которые могут быть решены точно только для некоторых частных случаев.

Для решения задач нелинейной теории упругости часто применяется полуобратный метод [11, 52]. Данный метод заключается в следующем:

1) Вначале задаются в предполагаемом виде деформационные соотношения, связывающие положения точек тела в отсчетной и актуальной конфигурациях.

2) По этим соотношениям выводятся выражения для мер деформаций и тензоров напряжений.

-53) Затем, из уравнений равновесия находятся распределения сил, допускаемые предположенным заданием деформационных соотношений.

Основная трудность при использовании полуобратного метода заключается в том, что задаваемая деформация не может быть произвольной, а должна удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия в объеме тела. Но даже при использовании полуобратного метода на конечном этапе решения задачи обычно приходится прибегать к помощи численных методов.

При рассмотрении конечных деформаций различных конструкций обычно необходим анализ их устойчивости, причем потеря устойчивости возможна как для тонкостенных тел, так и для массивных конструкций. Например, при достаточно больших деформациях может стать неустойчивой даже неограниченная среда [57]. Исследования по теории устойчивости в нелинейной теории упругости и распространения волн в нелинейных средах принадлежат А. И. Лурье, Н. В. Зволинскому, Л. А. Толоконникову, К. Ф. Черныху, Л. И. Балабуху, В. Л. Би-дерману, А. Н. Гузю, В. А. Еремееву, Л. М. Зубову, У. К. Нигулу, В. А. Пальмо-ву, М. Г. Яковенко, Дж. Адкинсу, А. Е. Грину, Р. С. Ривлину, Ч. Сенсенигу, К. Трусделлу, Р. Хиллу, Р. Т. Шилду и другим ученым.

Исследования в области линеаризации нелинейных уравнений теории упругости отражены в известных монографиях В. В. Новожилова [47], А. И. Лурье [44, 45], А. Н. Гузя [13 - 15], А. Е. Грина и В. Зерны [75], А. Е. Грина и Дж. Адкинса [11], К. Трусделла и В. Нолла [92], 3. Весоловского [8], Р. Кнопса и Е. Уилкса [76], М. А. Био [58].

-6В качестве метода линеаризации нелинейных краевых задач часто используется метод наложения малой деформации на конечную [43, 73]. Используя уравнения нейтрального равновесия, получаемые линеаризацией нелинейных уравнений теории упругости, находится положение равновесия тела, которое отличается от первоначального положения на некоторую малую деформацию и существует без приложения дополнительных поверхностных сил на части границы и добавочных перемещений на остальной поверхности. Такое равновесное состояние называется нейтральным. Сколь угодно малой добавкой к параметру, характеризующему нагрузку или деформацию, тело может быть переведено из данного состояния в неустойчивое положение равновесия. Недостатком этого метода является то, что отсутствие некоторого частного решения уравнений нейтрального равновесия, дающего смежное положение равновесия, является необходимым, но не достаточным условием устойчивости. Метод наложения малой деформации на конечную успешно применялся многими авторами для решения конкретных задач устойчивости и распространения волн в предварительно напряженных телах [12, 55, 91, 93, 94].

Уравнения нейтрального равновесия, справедливые для полулинейного материала, были впервые получены в работах Р. В. Саусвелла [89] и К. Бицено, Г. Генки [56]. Е.Уилкс [95] нашел условия для осесимметричного выпучивания трубы под действием сжатия. В работе К. Пирсона [80] для полулинейного материала был предложен приближенный метод определения критического нагружен ия колонны. Выпучивание тонкой пластины из полулинейного материала рассмотрено в [29]. С. Любкин [78] и Ч. Сенсениг [82] первыми изучили действие приложенного внешнего давления, но с частной формой энергии деформации. В [3, 4] предложен альтернативный способ вывода уравнений нейтрального равновесия. Первые работы по исследованию закономерностей распространения волн в предварительно напряженных телах, выполненные в рамках малых начальных деформаций, принадлежат М. А. Био [58, 59].

В [22-25, 81] впервые на базе операторного метода Ляпунова-Шмидта выполнен анализ послекритического поведения трехмерных упругих тел. Проблеме устойчивости упругого полупространства посвящены работы [7, 64, 70]. В [28] установлены ограничения на свойства упругого материала, достаточные для устойчивости состояния гидростатического сжатия анизотропного однородного тела. Задачи об устойчивости упругих тел с полостями, заполненными жидкостью без учета и с учетом фазовых переходов исследованы в [19, 21]. В работах [31, 74] рассмотрена устойчивость цилиндра под действием сжатия и кручения. Тесно связанные с проблемой устойчивости равновесия эффективные критерии выполнимости условий Адамара, сильной и ординарной эллиптичности для сжимаемых и несжимаемых материалов предложены в [32, 34, 37, 39] Развитый в [38] метод однородных решений позволил в точной трехмерной постановке исследовать устойчивость толстых плит произвольной в плане формы при любых граничных условиях на боковой поверхности. Разработана классификация несжимаемых изотропных материалов по особенностям потери устойчивости сжатого прямоугольного бруса [36]. Обнаружена качественная зависимость его поведения от принадлежности материала к одному из трех классов. В работах [20, 66] впервые построена общая трехмерная теория устойчивости равновесия упругих тел с моментными напряжениями. В [26] найден точный критерий потенциальности момента при больших поворотах и приведены нетривиальные примеры консервативного и неконсервативного поведения мо-ментной нагрузки. В монографии Л. М. Зубова [96] впервые изучено влияние внутренних напряжений, обусловленных наличием дислокаций и дисклинаций, на устойчивость упругих тел. В [41] представлена численная схема анализа устойчивости равновесия нелинейно-упругой пластинки с дефектом. Вопросы устойчивости трехмерных тел, обладающих существенной физической нелинейностью, исследованы в [1, 2, 53]. В обзорных статьях Р. Огдена, Фу [69] и В. А. Еремеева, Л. М. Зубова [18] содержится анализ состояния развития нелинейной теории устойчивости упругих тел.

Достаточно часто при изучении устойчивости рассматриваются несжимаемые материалы [60-62, 65, 68, 71]. Это обусловлено тем, что большинство рези-ноподобных и полимерных тел действительно малосжимаемы, а также тем, что для них существует достаточно большой набор универсальных деформаций [44, 50], задание которых обеспечивает выполнение уравнений равновесия для любого материала. При этом поверхностные силы, обеспечивающие реализацию такой деформации, выражаются только через функцию удельной потенциальной энергии. Многие авторы при анализе устойчивости тел в рамках нелинейной теории используют наиболее простую модель — неогуковский материал [5, 63, 67, 72, 79, 88].

В подавляющем большинстве опубликованных работ по упругой устойчивости как тонких, так и массивных (трехмерных) тел рассматривается бифуркация равновесия (выпучивание) при сжимающих нагрузках. Однако упругая неустойчивость может проявиться и при растягивающих напряжениях. В частности, из опытов на простое растяжение стержней хорошо известно, что после достижения точки максимума на диаграмме нагружения (т.е. зависимости продольной силы от удлинения) процесс однородного деформирования становится неустойчивым. Круговая цилиндрическая форма растянутого образца сменяется осесимметричной формой равновесия, образуется «шейка». Ниспадающий участок диаграммы растяжения, который реализуется в жесткой испытательной машине, является участком неустойчивости. Описанная неустойчивость при растяжении названа у Л. М. Качанова [42] неустойчивостью деформирования тел и считается одним из видов разрушения конструкций. При обычной трактовке ниспадающего участка диаграммы растяжения как неустойчивого, остается неясным смысл и характер этой неустойчивости. Основными вопросами при исследовании упругой устойчивости являются определение спектра критических значений параметра нагружения и построение собственных форм потери устойчивости (мод выпучивания). Весьма желательно также определение за-критического состояния тела. Одно лишь существование ниспадающего участка диаграммы растяжения, очевидно, не дает ответа на эти вопросы. Таким образом, анализ устойчивости растягиваемых тел требует строгого подхода, основанного на общей теории упругой устойчивости.

Явление неустойчивости при растягивающих напряжениях имеет ряд особенностей по сравнению с неустойчивостью при сжатии:

1) Неустойчивость растягиваемых тел чаще всего наступает при больших деформациях, что требует полного учета геометрической и физической нелинейности в уравнениях теории упругости.

2) Исследование неустойчивости при растяжении, как правило, невозможно на основе одномерных моделей стержней или двумерных моделей пластин и оболочек, а требует рассмотрения пространственных задач нелинейной теории упругости. Например, согласно классическому уравнению Эйлера продольного изгиба прямого стержня потеря устойчивости невозможна при растягивающей продольной силе.

3) Потеря устойчивости при растяжении возможна далеко не для всех материалов. В частности, состояние однородного одноосного растяжения цилиндра всегда устойчиво для материалов, описываемых известными моделями Муни, Бартенева-Хазановича.

4) Различные моды неустойчивости растягиваемых тел, как правило, имеют весьма близкие собственные значения.

Строгая математическая теория образования «шейки» при растяжении прямоугольного бруса в условиях плоской деформации впервые разработана в [33, 35]. В этих статьях на основе точных уравнений теории упругости решена задача о бифуркации равновесия растянутого бруса из несжимаемого изотропного материала, удовлетворяющего условию сильной эллиптичности. Указаны конкретные модели материалов, для которых возможна неустойчивость при растяжении. Для широкого класса несжимаемых тел доказано, что моды бифуркации равновесия могут существовать только при удлинениях, превышающих точку максимума на диаграмме растяжения и расположенных на ниспадающем участке этой диаграммы. Аналогичные с качественной точки зрения результаты получены в [30, 77] в задаче о неустойчивости при растяжении кругового цилиндра из материала со степенным упрочнением. Модель степенного упрочнения в терминах логарифмических деформаций удовлетворительно описывает поведение ряда упруго-пластических конструкционных материалов при активном нагружении и может служить обобщением деформационной теории пластичности на случай больших деформаций. В [9, 10] построена область параметров употребительной трехконстантной модели сжимаемого нелинейно-упругого материала Блейтца и Ко, при которых диаграмма растяжения имеет точку максимума. Установлено, что соответствующее этой точке удлинение стержня существенно зависит от типа граничных условий на его торцах. Исследование устойчивости некоторых классов универсальных деформаций с помощью постулата Друкера проведено в [17].

Данная диссертация посвящена изучению устойчивости трехмерных нелинейно-упругих тел при растягивающих нагрузках в условиях комбинированного нагружения. Рассматриваются некоторые задачи о бифуркации равновесия тел, имеющих форму цилиндра, а так же задача о выпучивании прямоугольной плиты. Анализируется влияние геометрических размеров тела и физических свойств материала на потерю устойчивости.

Диссертация состоит из четырех глав.

В первой главе изучается вопрос устойчивости деформации кручения и растяжения упругого кругового цилиндра. Рассматривается изотропный несжимаемый материал общего вида. Докритическое состояние тела определяется полуобратным методом. Боковые поверхности цилиндра считаются свободными от нагрузок, а краевые условия на торцах выполняются в интегральном смысле. При выводе уравнений нейтрального равновесия используется метод наложения малых деформаций на конечную. После разделения переменных уравнения нейтрального равновесия приводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Используя численный метод, основанный на конечно-разностной аппроксимации системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, для двух моделей несжимаемых материалов построены критические кривые и область устойчивости в плоскости параметров нагружения.

Также в этой главе для любого несжимаемого материала доказана теорема, согласно которой бифуркация равновесия растянутого цилиндра (без кручения) возможна лишь на ниспадающем участке диаграммы нагружения. Следует отметить, что явления типа образования шейки при растяжении стержня и наличия на диаграмме нагружения падающего участка часто связываются с разупрочнением материала [46, 48, 49, 54]. Под разупрочняющимся (неустойчивым) материалом понимается такой, для которого имеет место убывающая зависимость истинных напряжений от удлинений. В данной диссертации разупроч-няющиеся материалы не рассматриваются. Устойчивость при растяжении изучается для материалов с монотонно возрастающей зависимостью истинного напряжения от удлинения. Падающий участок наблюдается на диаграмме зависимости номинального напряжения от удлинения, т.е. на диаграмме зависимости результирующей продольной силы от удлинения. Разупрочнение материала может иметь место на стадии достаточно развитой шейки. Однако, как показали исследования [30, 33, 35, 77], начало образования шейки не связано с разупрочнением материала, а обусловлено явлениями упругой неустойчивости, аналогичными выпучиванию конструкций.

В той же главе, на основании анализа влияния геометрических размеров цилиндра и определяющих соотношений материала на область устойчивости, а также в результате сравнения области устойчивости с областью выполнимости постулата Друкера, сформулированного в терминах внешних нагрузок, предложен практический критерий устойчивости скрученного и растянутого цилиндра в случае положительной продольной силы.

Во второй и третьей главах рассматриваются две задачи устойчивости для полого цилиндра (цилиндрической трубы). Во второй главе исследуется выпучивание трубы при осевом растяжении и внутреннем давлении, а в третьей главе изучается проблема неустойчивости цилиндрической трубы при растяжении, кручении и раздувании. Как и в задаче для сплошного цилиндра, устойчивость изучается на основе трехмерных уравнений нейтрального равновесия изотропного несжимаемого тела. Особенностью этих задач является то, что их решения позволяют смоделировать неустойчивость в виде образования "шейки" в стенке трубы, а также в трубе, как стержне. В пространстве параметров нагружения построены области устойчивости, и проведен анализ области бифуркационной неустойчивости в зависимости от геометрических параметров задачи и физических свойств материала. Кроме того, точная область устойчивости сравнивается с областью выполнимости постулата Друкера, сформулированного в терминах внешних нагрузок.

- 14В последней главе исследуется проблема устойчивости прямоугольной плиты при двухосном растяжении. Лицевые поверхности плиты считаются свободными, а на ее краях заданы нормальные распределенные нагрузки. При выводе уравнений нейтрального равновесия предполагается, в отличие от предыдущих глав, что удельная энергия деформации задана как функция главных удлинений, которая может не выражаться явно через инварианты меры деформации. Расчеты на устойчивость проводятся для трех моделей несжимаемых материалов. Помимо изучения влияния размеров плиты и свойств материала на бифуркацию равновесия, также проанализирована зависимость области устойчивости от граничных условий на краях плиты.

Растяжение и кручение стержня, раздувание, кручение и растяжение трубы и двухосное растяжение пластинки являются распространенными способами испытания материалов. Таким образом, состояния равновесия, исследуемые на устойчивость в перечисленных выше задачах, реализуются при стандартных испытаниях материалов в экспериментальной механике деформируемых твердых тел.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [40, 51, 83-87]. В работах [40, 87], написанных в соавторстве с Зубовым Л. М., постановка задач и анализ результатов принадлежат Л. М. Зубову; вывод уравнений, выбор методов решения и их численная реализация принадлежат Шейдакову Д. Н.

Автор выражает искреннюю благодарность профессору Л. М. Зубову за постоянное внимание и помощь в работе.

Основные результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующему:

1.В рамках нелинейной теории упругости на основе точных трехмерных уравнений изучены проблемы устойчивости скрученного и растянутого кругового цилиндра, цилиндрической трубы при осевом растяжении и внутреннем давлении, растянутого полого цилиндра при кручении и внутреннем давлении, прямоугольной плиты при двухосном растяжении.

2. Для задачи об устойчивости прямоугольной плиты при двухосном растяжении построены линеаризованные уравнения равновесия в случае, когда удельная энергия деформации задана как функция главных удлинений, которая может не выражаться явно через инварианты меры деформации.

3. В случае простого растяжения кругового цилиндра для любого изотропного несжимаемого материала доказана теорема, согласно которой потеря устойчивости возможна только на ниспадающем участке диаграммы зависимости растягивающей силы от удлинения.

4. Для всех рассмотренных видов деформаций путем решения линеаризованных уравнений равновесия для нескольких моделей несжимаемых материалов построены критические кривые, а также области устойчивости в плоскостях соответствующих параметров нагружения. Проанализировано влияние геометрических размеров тела и физических свойств материала на потерю устойчивости. В задаче об устойчивости прямоугольной плиты так же изучено влияние типа краевых условий на выпучивание плиты.

-955. В результате сравнения областей устойчивости с областями выполнимости постулата Друкера, сформулированного в терминах внешних нагрузок, предложен простой и достаточно точный практический критерий устойчивости при растягивающих нагрузках.

-94-ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Алъгин В.А., Зубов Л.М. Некоторые особенности потери устойчивости нелинейно упругого цилиндра // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естественные науки. 2001. № 2. С. 13-17.

2. Альгин В.А., Зубов Л.М. Об устойчивости упругого кольца из физически нелинейного материала // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естественные науки. 2000. № 2. С. 14-16.

3. Балабух Л.И., Яковенко М.Г. Об учете деформационной анизотропии в задачах устойчивости изотропных упругих тел // В кн.: Механика деформируемых тел и конструкций. М.: Машиностроение, 1975. С. 52-61.

4. Балабух Л.И., Яковенко М.Г. Уравнения бифуркации равновесного упругого изотропного тела в скоростях изменения лагранжевых координат // ПММ. 1974. Т. 38. № 4. С. 694-702.

5. Бидерман В. Л. Устойчивость стержня из неогуковского материала // Изв. АН СССР. МТТ. 1968. № 3. С. 54-62.

6. Бидерман В.Л. Вопросы расчета резиновых деталей // Расчеты на прочность. М.: Машгиз, 1958. Вып. 3. С. 40-87.

7. Боярчеико С.И., Зубов Л.М. Поверхностная неустойчивость упругого неоднородного тяжелого полупространства // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1984. № 1.С. 11-19.

8. Весоловский 3. Динамические задачи нелинейной теории упругости. Киев: Наук, думка, 1981. 216 с.

9. Горин Ю.Н., Карякин М.И. Одноосное растяжение нелинейно-упругих образцов. Часть 2. Растяжение жесткими захватами // Труды УШ-й Международной конференции. Ростов-на-Дону, 14-18 октября 2002 года. Т. 2. Ростов-на-Дону: Новая книга, 2003. С. 61-65.

10. М.Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошных сред. М.: Мир, 1965. 455 с.

11. Грин А.Э. Крутильные колебания предварительно напряженного кругового цилиндра // В сб.: Проблемы механики сплошной среды. М.: Изд-во АН СССР, 1961. С. 128-134.

12. Гузь А.Н. Основы теории устойчивости горных выработок. Киев: Наук, думка, 1977. 204 с.

13. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при всестороннем сжатии. Киев: Наук. думка, 1979. 144 с.15./>>:?ь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. Киев: Наук, думка, 1973. 270 с.

14. Гузь А.Н., Махорт Ф.Г., Гуща О.И. Введение в акустоупругость. Киев: Наук, думка, 1977. 152 с.

15. М.Дроздов А.Ю. Устойчивость некоторых классов универсальных деформаций резиноподобных тел // Вопросы динамики и прочности. 1983. вып. 42.1. С. 12-20.

16. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Некоторые проблемы устойчивости трехмерных нелинейно упругих тел // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 1999. № 1. С. 42-47.

17. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Об устойчивости равновесия нелинейно-упругих тел, испытывающих фазовые превращения // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. № 2. С. 56-65.

18. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Об устойчивости упругих тел с моментными напряжениями // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 3. С. 181-190.

19. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Равновесие и устойчивость нелинейно-упругих тел с полостями, содержащими жидкость / ПММ, 1987. Т.51. Вып. 3. С 453-457.

20. Зеленин A.A., Зубов Л.М. Ветвление решений статических задач нелинейной теории упругости // ПММ. 1987. Т. 51. Вып. 2. С. 275-282.

21. Зеленин A.A., Зубов Л.М. Закритические деформации упругой сферы // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 5. С. 76-82.

22. Зеленин A.A., Зубов Л.М. Поведение толстой круглой плиты после потери устойчивости // ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 4. С. 642-650.

23. Зеленин A.A., Зубов Л.М. Устойчивость и послекритическое поведение упругого цилиндра с дисклинацией // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. № 1. С. 101 -108.

24. Зеленина A.A., Зубов Л.М. Критерий потенциальности сил, действующих на абсолютно твердое тело // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 3. С. 188-190.

25. Зубов JI.M. Приближенная теория выпучивания тонких пластинок из полулинейного материала при аффинной начальной деформации // ПММ. 1969. Т. 33. №4. С. 668-675.

26. Зубов U.M., Ластенко М.С. О неустойчивости равновесия при растяжении цилиндра из упрочняющегося материала. // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2004. № 3. С. 135-143.

27. Зубов JI.M., Моисеенко С.И. Выпучивание упругого цилиндра при кручении и сжатии // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 5. С. 78-84.

28. Зубов JI.M., Рудев А.Н. О необходимых и достаточных признаках эллиптичности уравнений равновесия нелинейно-упругой среды // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 2. С. 209-223.

29. Зубов JI.M., Рудев А.Н. О неустойчивости растянутого нелинейно-упругого бруса // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 5. С. 786-798.

30. Зубов JI.M., Рудев А.Н. О признаках выполнимости условия Адамара для высокоэластичных материалов // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 6. С. 21-31.

31. Зубов JI.M., Рудев А.Н. О формах потери устойчивости упругого бруса при растяжении // Доклады РАН. 1994. Т. 338. № 4. С. 482-485.

32. Зубов JI.M., Рудев А.Н. Об особенностях потери устойчивости нелинейноупругого прямоугольного бруса // ПММ. 1993. Т. Вып. З.'С! 65-83. ,

33. Зубов JT.M., Рудев А.Н. Об условиях существования продольных волн в анизотропной нелинейно-упругой среде // Доклады РАН. 1994. Т. 334. № 2. С. 156158.

34. Зубов Л.М., Рудев А.Н. Теория устойчивости толстых упругих плит // Изв. РАН. МТТ. 1993. № 1. С. 96-111.

35. Зубов Л.М., Рудев А.Н. Эффективный способ проверки условия Адамара для нелинейно-упругой сжимаемой среды // ПММ. 1992. Т. 56. Вып.2. С. 296-305.

36. Зубов JT.M., Шейдаков Д.Н. О влиянии кручения на устойчивость упругого цилиндра при растяжении // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 1. С. 53-60.

37. Карякин М.И. Равновесие и устойчивость нелинейно-упругой пластинки с клиновой дисклинацией // ПМТФ. 1992. № 3. С.157-163.

38. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.

39. Лурье А.И. Бифуркация равновесия идеально упругого тела // ПММ. 1966. Т. 30. №4. С. 718-731.

40. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

41. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

42. Никитин Л.В., Рыжак Е.И. Об осуществимости состояний материала, соответствующих «падающему» участку диаграммы // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. №2. С. 155-161

43. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948.212 с.

44. Рыжак Е.И. К вопросу об осуществимости однородного закритического деформирования при испытаниях в жесткой трехосной машине // Изв. АНг

45. СССР. МТТ. 1991. № 1.С. 111-127.

46. Стружанов В.В., Миронов В.И. Деформационное разупрочнение материалов в элементах конструкций // Екатеринбург: УроРАН, 1995.

47. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.

48. Шейдаков Д.Н. Неустойчивость растянутой цилиндрической трубы при кручении и внутреннем давлении // Тезисы докладов. 14-ая Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь. 2005. С. 303.

49. Эриксен Дж. Исследования по механике сплошных сред. М.: Мир, 1977. 248 с.

50. Algin V.A., Zubov L.M. On stability of elastic bodies of physically nonlinear materials. // XXXI Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics". Book of Abstracts. St. Petersburg. 2003. P. 101.

51. Bazant Z.P. Stable states and paths of structures with plasticity or damage // J. Eng. Mech. 1988. V. 114. № 12. P. 2013-2034.

52. Belward J.A. The propagation of small amplitude waves in prestressed incompressible elastic cylinders // Int. J. Eng. Sci. 1976. V. 14. No. 8. P. 647-659.

53. Biezeno C.B., Hencky H. On the general theory of elastic stability // K. Akad. Wet. Amsterdam Proc. 1928. V. 31. P. 569-592; 1929. V. 32. P. 444-456.

54. Biot M.A. Internal buckling under initial stress in finite elasticity // Proc. Roy. Soc. 1963. A273.P. 306-328.- 10258. BiotM.A. Mechanics of incremental deformations. N. Y.: Wiley, 1965. 504 p.

55. Biot M.A. Non-linear theory of elasticity and linearized case for a body under initial stress // Phil. Mag. 1939. V. 27. No. 7. P. 468-489.

56. Chen Y.C. Stability of homogeneous deformations of an incompressible elastic body under dead-load surface tractions // J. Elasticity. 1987. V. 17. P. 223248.

57. Chen Y.C., MacSithigh G.P. Bifurcation and stability of an incompressible elastic body under homogeneous dead loads with symmetry. 1. General isotropic materials // Q. J1 Mech. Appl. Math. 1992. V. 45. P. 277-291.

58. Chen Y.C., MacSithigh G.P. Bifurcation and stability of an incompressible elastic body under homogeneous dead loads with symmetry. 2. Mooney-Rivlin materials // Q. J1 Mech. Appl. Math. 1992. V. 45. P. 293-313.

59. Demiray H., Suhubi E.S. Small torsional oscillations of an initially twisted circular rubber cylinder// Int. J. Eng. Sci. 1970. V. 8. No. 1. P. 19-30.

60. Devenish B., Fu Y.B. Effects of pre-stresses on the propagation of nonlinear surface waves in an elastic half-space // Q. J. Mech. Appl. Math. 1996 V. 49. P. 65-80.

61. Dowaikh M.A., Ogden R.W. On surface waves and deformations in a pre-stressed incompressible elastic solid // IMA J. Appl. Math. 1990. V. 44. P. 261284.

62. Eremeyev V.A., Zubov L.M. On the stability of elastic bodies with microstructure // 20th Intern. Congress of Theoretical and Applied Mechanics (Chicago, 27 August 2 September 2000). Abstract Book. Chicago. 2000. P. 15.

63. Ertepinar A., Wang A.S.D. Torsional buckling of an elastic thick-walled tube made of rubber-like material // Int. J. Solids Struct. 1975. V. 11. No. 3. P. 329337.

64. Fu Y.B. A nonlinear stability analysis of an incompressible elastic plate subjected to an all-round tension // J. Mech. Phys. Solids. 1998. V. 46: P. 22612282.

65. Fu Y.B., Ogden R. W. Nonlinear stability analysis of pre-stressed elastic bodies // Continuum Mech. Thermodyn. 1999. V. 11. P. 141-172.

66. Fu Y.B., Ogden R.W. Nonlinear stability analysis of a pre-stressed elastic half-space //Contemporary research in the mechanics and mathematics of materials, ed. R.C. Batraand M.F. Beatty, Barcelona: CIMNE. 1996. P. 164-175.

67. Fu Y.B., Rogerson G.A. A nonlinear analysis of instability of a pre-stressed incompressible elastic plate // Proc. R. Soc. Land. 1994. A446. P. 233-254.

68. Fu Y.B., Zheng Q.S. Nonlinear travelling waves in a neo-Hookean plate subjected to a simple shear// Maths and Mech. Solids. 1997. V. 2. P. 27-48.

69. Green A. E., Rivlin R.S., Shield R.T. General theory of small elastic deformation superposed on finite elastic deformations // Proc. Roy. Soc. 1952. A211. No. 1104. P. 128-154.

70. Green A.E., Spencer A.J.M. The stability of a circular cylinder under finite extension and torsion // J. Math. Phys. 1959. V. 37. No. 4. P. 316-338.

71. Green A.E., Zerna W. Theoretical elasticity. 2nd ed. Oxford London, Clarendon Press, 1968. 457 p.

72. Knops R. J., Wilkes E. W. Theory of elastic stability. Berlin. Springer, 1973.- 10477. Lastenko M.S., Zubov L.M. A model of neck formation on a rod under tension

73. Revista Colambiana de Matematicas. 2002. V. 36. No. 1. P. 49-57.

74. Lubkin S. Determination of buckling criteria by minimization of total energy // Inst. Math. Sci. New-York Univ., Rep. IMM-NYU, 1957. No. 241.

75. Nowinski J.L., Shahinpoor M. Stability of an elastic circular tube of arbitrary wall thickness subjected to an external pressure // Int. J. Non-Linear Mech. 1969. V. 4. No. 3. P. 143-158.

76. Pearson C.E. General theory of elastic stability // Quart, of Appl. Math. 1956. V. 14. P. 133-144.

77. Raetsky G.M., Zubov L.M. Investigation of the post-critical deformations of high-elastic cylinder by means of computer character coded calculations // Proceedings of the 14th IMACS World Congress. Atlanta. 1994. V. 2. P. 1039-1041.

78. Sensenig C.B. Instability of thick elastic solids // Comm. Pure Appl. Math. 1964. V. 17. No. 4. P. 451-491.

79. Sheidakov D.N. Stability of elastic cylinder under torsion and tension // Book of Abstracts. XXXI Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg. 2003. P. 86.

80. Sheidakov D.N. Stability of elastic cylinder under torsion and tension // Proceedings of XXXI Summer School APM'2003. St. Petersburg. 2003. P. 319324.

81. Petersburg. 2004. P. 391-395.

82. Sheidakov D.N., Zubov L.M. Stability of a rectangular plate under biaxial tension // Book of Abstracts. XXXIII Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg. 2005. P. 81-82.

83. Sierakowski R.L., Sun C.T., Ebcioglu I.K. Instability of a hollow rubber-like cylinder under initial stress // Int. J. Non-Linear Mech. 1975. V. 10. No. 3-4. P. 193-205.

84. Southwell R. V. On the general theory of elastic stability // Phil. Trans. Roy. Soc. London, Ser.A, 1914. V. 213. P. 187-244.

85. Spector S.J. On the absence of bifurcation for elastic bars in uniaxial tension // Arch. Ration. Mesh, and Analysis, 1984. V. 85. No. 2. P. 171-199.

86. Suhubi E.S. Small longitudinal vibration on an initially stretched circular cylinder // Int. J. Eng. Sci. 1965. V. 2. No 5. P. 509-512.

87. Truesdell C, Noll W. The non-linear field theories of mechanics. Encyclopedia of Physics, V. III/3. Springer-Verlang. Berlin Heidelberg — New-York, 1965. 591 p.

88. Vaughan H. Effect of stretch on wave speed in rubberlike materials // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1979. V. 32. No. 1. P. 215-231.

89. Wang A.S.D., Ertepinar A. Stability and vibrations of elastic thick-walled cylindrical and spherical shells subjected to pressure // Int. J. Non-Linear Mech. 1972. V. 7. No. 5. P. 539-555.

90. Wilkes E.W. On the stability of a circular tube under end thrust // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1955. V. 8. No. 1, P. 88-100.

91. Zubov L.M. Nonlinear theory of dislocations and disclinations in elastic bodies. Springer-Verlag. Berlin-Heidelberg-New York. 1997.205p.