Метод разрывных решений в задачах исследования деформации анизотропных пластин сложной формы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

руб Ой

На правах рукописи ГУРЬЯНОВ ИГОРЬ НИКОЛАЕВИЧ

УДК 539.3

МЕТОД РАЗРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ИССЛЕДОВАНИЯ ДЕФОРМАЦИИ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ -1997

Работа выполнена на кафедре "Теоретической механики" Казанского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ю. П. Артюхин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Р. А. Каюмов

кандидат физико-математических наук, доцент А. П. Грибов

Ведущая организация: Казанский государственный

технологический университет

Защита состоится " 5"" ¿и. с ¿¿л 1997г. в 14 ч. 30 мин., на заседании диссертационного Совета Д 053.29.01 при Казанском государственном университете (420008, г.Казань, ул. Кремлевская, 18).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского государственного университета.

Автореферат разослан " " а/Л4о 1997г.

Ученый секретарь диссертационного д

совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент А.А.Саченков

Развитие современных технологий дало большое количество новых анизотропных материалов. В машиностроении появилась уникальная возможность создавать конструкции и детали, обладающие высокой несущей способностью по отдельно выбранным направлениям, что позволило сократить их вес без потери, а часто и с увеличением прочности.

В связи с этим все большее внимание привлекает проблема создания в рамках теории упругости методов расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) анизотропных тел сложной формы.

Одним из методов решения рассматриваемой задачи является метод граничных интегральных уравнений (МГИУ), который позволяет заменить систему дифференциальных уравнений в частных производных, описывающую поведение неизвестных функций внутри области, на систему интегральных уравнений относительно неизвестных функций, заданных на границе рассматриваемой области. Данная методика позволяет снизить размерность задачи на единицу. В качестве ядер интегральных уравнений используются разрывные решения для единичных факторов нагружения, приложенных в некоторой точке бесконечной анизотропной области.

Аналитические решения интегральных уравнений можно получить только для тел простой формы, поэтому для определения НДС анизотропных тел сложной формы в работе используется непрямой метод граничных элементов (МГЭ), который является одним из наиболее эффективных численных методов исследования деформаций пластин.

Существенный вклад в развитие МГЭ, как аналитического метода, внесли Михлин С.Г., Купрадзе В.Д., Мусхелишвилли Н.И. и Смирнов В.И. В работах Верюжского Ю.В., Крузо и Ршщо, посвященных развитию и применению МГЭ в механике деформируемого твердого тела, этот метод описан с прикладной точки зрения.

Дальнейшему развитию метода граничных элементов посвящены работы Артюхина Ю.П., Банцарева К.Н., Баттерфилда Р., Бенер-джи П., Бреббия К., Венцеля Э.С., Верюжского Ю.В., Вроубела А., Грибова А.П., Кильчевского H.A., Копейкина Ю.Д., Коренева Б.Г., Крауча С., Кулакова В.М., Паймушина В.Н., Серазутдинова М.Н., Синявского А.Л., Старфилда Ф., Толкачева В.М., Трофимова A.M., Угодчикова А.Г., Хуторянского Н.М. и др.

В механике твердого деформируемого тела особый интерес представляют задачи исследования деформации пластин сложной формы при наличии разрезов и дефектов, которые во многих случаях являются причиной разрушения конструкций.

Построению матриц разрывных решений для сосредоточенных скачков и рассмотрению вопросов, связанных с оценкой напряженно -деформированного состояния тел с дефектами произвольной природы, посвящены работы Мораря Г.А., Осадчука В.А., Панасюка В.В., Попова Г.Я., Саврука М.П., Хижняка В.К., Шевченко В.П. и др.

В обзоре, приведенном в работе, рассмотрен широкий спектр подходов к решению задач теории упругости методом разрывных решений. Их анализ позволяет сделать вывод об актуальности выбранного направления исследований, необходимости развития теоретических разработок и эффективных численных алгоритмов в изучаемой области механики твердого деформированного тела.

В МГЭ существует прямой и непрямой подходы. Прямой подход базируется либо на теореме взаимности работ, либо на методе взвешенных невязок. За неизвестные в этом случае принимаются реальные значения перемещений и напряжений. В непрямом подходе на контуре вводятся фиктивные компенсирующие нагрузки, позволяющие выполнить граничные условия. Оба подхода эквивалентны и основаны на фундаментальных решениях для единичных нагрузок. При исследовании дефектов (трещин, включений) непрямой метод МГЭ не годится, а прямой требует специального приема.

Метод разрывных решений свободен от этого недостатка, поскольку позволяет кроме скачков в напряжениях вводить скачки в перемещениях и деформациях. Эти скачки сил, перемещений и деформаций также можно считать фиктивными компенсирующими нагрузками, с помощью которых выполняются любые краевые условия.

Таким образом, метод разрывных решений является наиболее общим подходом в исследовании областей сложной геометрии с помощью интегральных уравнений. За это приходится платить ценой повышения порядка особенностей в ядрах интегральных уравнений. Уравнения становятся суперсингулярными, встает вопрос об исследовании предельных свойств интегралов, понимаемых в смысле Ко-ши и Адамара.

В работах Мораря Г.А. для изотропных упругих тел построены матрицы разрывных фундаментальных решений - единичные скачки

перемещений, деформаций, напряжений, прогибов, углов поворота, усилий и моментов.

Настоящая работа посвящена развитию метода разрывных решений на задачи теории упругости анизотропных тел сложной формы. В этом случае классические потенциалы простого и двойного слоя превращаются в обобщенные потенциалы, в которых расстояние между текущей точкой и точкой наблюдения г(х — — т]) становится обобщенным расстоянием, зависящим от свойств анизотропной среды. Свойства таких потенциалов в литературе описаны не были.

Основной целью данной работы является:

Развитие метода разрывных решений в совокупности с МГЭ и построение численных алгоритмов определения НДС анизотропных пластин сложной формы, имеющих дефекты типа трещин или жестких включений. Апробация метода и решение новых практически важных задач.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Матрица фундаментальных решений, построенная методом разрывных решений с использованием двумерного интегрального преобразования Фурье для пластин при общем случае прямолинейной анизотротш материала. Рассмотрены случаи плоской деформащш, когда терпят скачки перемещения II{х, у) и У(х,у) или напряжения &хх(х,у), агуу(х,у), тху{х,у), и изгиба пластин, когда на части оси ох (шш оу) терпит разрыв прогиб IV (х, у) и углы поворота 8х(х,у) и ву(х,у) или моменты Мхх(х,у), Муу(х,у), Мху(х,у) и перерезывающая сила.

2. Система сингулярных и суперсингулярных интегральных уравнений, описывающая плоскую и антиплоскую деформации, а также изгиб анизотропных пластин сложной геометрии с дефектами в виде трещин или жестких включений.

3. Исследование поведения сингулярных интегралов типа Коши и Адамара в окрестности особой точки методом локализации. Определение предельных значений обобщенных потенциалов.

4. Численные алгоритмы реализации метода граничных элементов при решешш плоской задачи и задачи изгиба анизотропных пластин сложной формы с внутренними дефектами.

5. Пакет программ, реализующий указанный алгоритм, составленный на языке программирования Турбо-Паскаль. Ряд тестовых задач, демонстрирующих возможности полученного программного про-

дукта.

б. Решения ряда имеющих практическое значение новых задач - проушина с круговым или эллиптическим отверстием, шестерня, круглая пластина с вырезом в виде четверти круга.

Научная новизна.

- Впервые получен полный набор фундаментальных матриц разрывных решений для тел с прямолинейной анизотропией, удовлетворяющих условиям антиплоской, плоской задачи (скачки перемещений и напряжений) и задачи изгиба анизотропных пластин (скачки прогибов углов поворота, усилий и моментов).

- методом локализации в окрестности особых точек проведено исследование интегральных уравнений, имеющих особенности порядка 1 /г и 1 /г2.

- построены эффективные численные алгоритмы, позволяющие исследовать плоскую деформацию и изгиб анизотропных пластин сложной формы с дефектами типа трещин и жестких включений. Созданы пакеты программ, реализующие вышеуказанные алгоритмы.

- получено численное решение ряда новых задач,

- изучены механические эффекты , связанные с наличием в анизотропных пластинах различных дефектов.

Достоверность результатов и выводов, сформулированных в данной работе, обеспечивается:

- использованием при построении расчетных схем интегральных уравнений, дающих точное решение поставленной задачи.

- применением аналитических методов вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов и высокоточных квадратурных формул для интегрирования в численных алгоритмах.

- минимизацией погрешности при аппроксимации границы рассматриваемой области за счет увеличения числа граничных элементов и применения квадратичных граничных элементов.

- устойчивой сходимостью решения для всех задач при более точной дискретизации на контуре.

- совпадением получаемых результатов с имеющимися в литературе аналитическими решениями ряда задач, используемых в качестве тестов.

- проверкой полученных компонент матрицы разрывных решений с помощью аналитической системы REDUCE.

Практическая ценность.

Разработанный программный комплекс может быть использован как в учебных целях, так и в инженерных расчетах для решения задач в области машиностроения, авиастроения и строительства, для определения НДС пластин с дефектами типа трещин и жестких включений или без них. Полученные с помощью данных программ результаты могут быть использованы проектно-конструкторскими организациями в комплексе прочностных исследований задач теории упругости и механики разрушений.

Апробация работы:

основные результаты диссертации обсуждены:

1. на научной конференции студентов и преподавателей вузов ТССР, Казань, 1991 г.

2. на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета за (1993-1996г.).

3. на семинаре кафедры теоретической механики Казанского технического университета.

4. на международной научно-технической конференции "Механика машиностроения", Набережные Челны, 1995 г.

5. на международной научно-технической конференции " Молодая наука - новому тысячелетию", Набережные Челны, 1996 г.

6. на II республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов, Казань, 1996.

7. на 4 международной конференщш "Лаврентьевские чтения" по математике, механике и физике, Казань, 1995 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ.

Структура и содержание работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка, включающего 209 наименований, и приложения. Она содержит 113 страниц машинописного текста и 80 стр. приложений, в том числе 28 таблиц и 68 рисунков и диаграмм.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обсуждается актуальность и важность рассматриваемых в диссертации вопросов, дан анализ современного состояния проблемы, излагается краткое содержание работы по главам, формулируются положения, выносимые на защиту.

Общая постановка задачи. Рассматривается деформация двух тел или два состояния. Одно вспомогательное - для бесконечной обла-

сти, во внутренней точке которой действует сосредоточенная сила, либо имеет место скачок в перемещениях или напряжениях (усилиях и моментах). Решение уравнений, описывающих НДС тела, в этом случае упрощается, т. к. нет необходимости выполнять краевые условия.

Другое состояние - истинное. Здесь рассматривается деформация тела сложной формы и конечных размеров с дефектами типа трещин или жестких включений под действием системы внешних сил. При такой постановке задачи компоненты НДС истинного состояния могут быть представлены интегральными соотношениями вида:

и(х, у) = й*(х, у) + /г Р(£, п)С{х -и- V). (1)

Здесь 0(х, у) одна из компонент НДС исследуемого тела, С? -ядро интегрального представления, заимствованное из решения задачи для вспомогательного состояния, Р(£,г)) искомая функция скачков перемещений, напряжений и т.д., 0*(х,у) - частное решение системы разрешающих уравнений, отражающее влияние внешних нагрузок.

После выполнения граничных условий для истинного состояния приходим к системе сингулярных или суперсингулярных интегральных уравнений относительно функции Р. Выделяя особенности и решая эти интегральные уравнения аналитически или численно, получаем значения искомой функции Р.

В первой главе исследуется антиплоская деформация анизотропного тела, когда агх = ауу = <тгг = тху = и — V — 0.

Проводится отработка методики построения разрешающих интегральных уравнений. Получены аналитические решения этих уравнений.

Рассматривается бесконечное анизотропное пространство с внутренним дефектом. Во вспомогательном состоянии исследуется деформация тел, возникающая за счет появления в некоторой внутренней точке скачка в перемещении, постоянного вдоль оси г и описываемого функцией < IV(у) >= [И7]6(у), где \У/\ - величина скачка, &(у) ~ Функция Дирака.

В исследуемом состоянии рассмотренно бесконечное пространство с трещиной или жестким включением, занимающими область х — 0, —а < у < а, — ос < г + оо.

Разрешающее уравнение относительно функции перемещения то-

чек пространства вдоль оси z имеет вид:

«44—^--дхду + а55 ду2 = 0. (2)

а,-- физические параметры тела.

Применяя к этому уравнению интегральные преобразования Фурье по переменной х и учитывая при этом скачок перемещения < IV >, приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению с правой частью в виде 6 - функщш. Его удалось проинтегрировать и после вычисления интеграла обращения имеем:

\у(х ) = ^ 1 а44°45У + ~ а44а55)ж (3)

27Г ^44055 - а\ь а55х2 + 2а^ху + ацу2

Используя соотношеш1е (3) в качестве ядра интегрального представления (1) и выполняя краевые условия на берегах трещины тхг(±0, у) — т0, получаем интегральное уравнение

= АТ°> (4)

где А константа, зависящая от параметров задачи, < 1У > - искомый скачок перемещений в области —а<Ь< +а. Решение этого уравнения ищется в виде ряда по полиномам Чебышева. Проводя интегрирование уравнения (4) с учетом ортогональности полиномов Чебышева, приходим к следующему результату. При х = 0 и —а<у< +а

< IV > (у) = (5)

где - упругое константы рассматриваемого материала.

Аналогично решена задача о жестком включении. При этом появляется необходимость введения скачка производных (ИЛ).

Во второй главе строятся разрывные решения для плоской задачи теории упругости анизотропного тела (тхг — туг = огг ~ IV = 0). Рассматриваются две группы задач.

Для первой группы задач во вспомогательном состояшш исследуется НДС плоскости, когда в одной из ее точек претерпевает скачок одна из функций перемещений или напряжений. В истинном состоянии решается задача о трещине или жестком включении в бесконечной анизотропной плоскости.

Во второй группе задач за вспомогательное состояние принимается деформация бесконечной плоскости под действием лежащей в ней единичной сосредоточенной силы, действующей вдоль одной из координатных осей. В истинном состоянии исследуется деформация односвязной или многосвязанной области конечных размеров сложной геометрии при смешанных условиях на контуре и под действием системы внешних сил, удовлетворяющих условиям плоской задачи.

Удается разработать единую методику решения обеих вспомогательных задач, суть которой в следующем.

Строится фундаментальное решение уравнения:

(6)

где А, Б, С, £), Е - постоянные величины, представляющие комбинации упругих констант. Для случая прямолинейной анизотропии общего вида имеет место два типа корней характеристического уравнения, соответствующего уравнению (6). Простые корни реализуются в общем случае анизотропии, корни второй кратности - для частного вида анизотропии и изотропного материала. Удается представить эти корни в замкнутом виде для любых А, В, С, И,Е. В результате решения уравнения (6) для случая простых корней а} и (при ¿ = 1,2):

]=1

кН1 [(у+^х)2-{^х)2} _ м1цЪ}х{у+ар) 4 1 ' 2

+ Х>1 >=1

где

Г] = (а2 + Ъ2)х2 + 2хуч +у2\ г = ^ + У

1п[г,]+ агсЛд{г,■], (7)

хЬ}

Для кратных корней а и Ь\

У) = 16^4 + ^2+(6а;)2]1п Кая5 + ' (8)

где к{ (г = 1,2,3,4) - постоянные величины, зависящие от упругих констант рассматриваемого тела и корней характеристического уравнения.

Теперь функции скачков перемещений и напряжений получаются дифференцированием решений (7) и (8). Это следует из анализа решения уравнений равновесия, полученного с помощью интегрального преобразования Фурье в направлении, перпендикулярном дефекту, с использованием закона Гука. В итоге, компоненты НДС вспомогательного состояния имеют вид:

{£/} = [СГ]{5Г}, {а} = [(гг]{5г>, {е} = [£г]{5г},

где

{¿V} = Ш, [V,], [иу], [Уу], [ахх], ы, [тух], к,]}7 - вектор-столбец скачков, [11х], [1^] и [иу], [Уу] - скачки перемещений и, и V в направлении х и у соответственно.

•• ¿18 ' Гц • • ?! 8

бг = Зп • •• 318 ; СГг = <21 • • <28 ) ^г — Г21 • • г2$

§21 • ■ 328 ¿31 • • <38 . ' ■ Г38 _

- матрицы разрывных решений, где {£/} = {и(х,у),У(х,у)}т - вектор перемещений, {е} = {ехх, еуу, уху}т - матрица деформаций, {<т} = {<тхх, сгуу, тху)т - матрица напряжений. Пусть трещина или включение занимают область —а < х < +а, у = 0. Используя скачки перемещений или напряжений, найденные методом разрывных решений во вспомогательной задаче, в качестве ядер интегральных представлений (1) и выполняя граничные условия на берегах трещины или на жестком включении, получаем систему двух интегральных уравнений относительно искомых функций скачков.

Задавая решение этой системы в виде рядов по полиномам Чебы-шева и выполняя операцию интегрирования с учетом ортогональности этих полиномов, получаем для жесткого включения:

Ы = , I 2 [Ру + 2ХМ]; (тху) = 1 [Рх - 2ХМ]. (9) тгуа1 — х1 7гуо: — хг

Здесь Рх, Ру, М - компоненты вектора внешней нагрузки и крутящий момент, приложенный к включению, 2а - длина включения. Аналогичные формулы получены для скачков < иу >, < Уу > в случае трещины.

Задачи второй группы сложнее, аналитическое решение получить не удается. Для численного решения задач используется непрямой метод граничных элементов.

Пусть требуется найти НДС анизотропного тела, занимающего од-носвязную (или многосвязную) область V с границей S. На контуре заданы смешанные граничные условия. Тело находится под действием системы лежащих в плоскости внешних сил.

Для построения разрешающих уравнений из плоскости вырезаем область V, компенсируя влияние оставшейся части фиктивными нагрузками, действующими по нормали и касательной к контуру S. Это дает возможность принять в качестве ядер интегральных представлений (1) функции скачков из вспомогательной задачи для бесконечной области, а также свести задачу определения частных решений входящих в (1), к квадратурам. В итоге имеем:

Щх, у) = Щ{х, у) + js P*(f, r,)gik(x -¿¡,у- 7i)dS{i, ri), (10)

aj(x,y) = o*{x>y) + jsPk{t,r1)tjk(x-Z,y-r))dS(l;,T1), (11)

i, к = 1,2 ; j = 1,2,3; (х, у) £ V. Здесь дц. и tjk - ядра интегральных представлений, U*, <Jj - частные решения разрешающих уравнений, отражающие влияние внешних сил, Рк - искомые компенсирующие нагрузки.

Выполняя смешанные граничные условия на внешнем контуре S и условия свободного края на отверстии, приходим к системе интегральных уравнений.

Разобьем границу S рассматриваемого тела на N криволинейных отрезков (граничных элементов), и возьмем N достаточно большим, чтобы можно было считать компенсирующие нагрузки постоянными на каждом элементе. Это позволяет вынести искомые функции из-под знака интеграла, что сводит основную часть интегрального уравнения к сумме интегралов от известных функций.

Поскольку подынтегральная функция имеет особую точку внутри области интегрирования, возникает проблема вычисления сингулярных и суперсингулярных интегралов.

При аппроксимации границы кривыми (в диссертации - параболы) для вычисления интегралов с особенностями применяется метод локализации.

Пусть уравнение контура в локальной системе координат имеет вид i] = где т] - гладкая однозначная функция, равная нулю при £ = 0. При построении численной процедуры МГЭ считаем, что

ч(о = +ча.

где К - кривизна контура.

В работе вычислены предельные значения для 14 интегралов, входящих в решения рассмотренных в диссертации краевых задач. В качестве примеров приведем предельные значения обобщенных потенциалов: интеграла тица Коши (особенность вида 1/г ) :

P{£,4)[x-i)dS{Z,ri)

(<з2 + Ъ*)(х - О2 + 2а(х - 0(У ~Ц) + (у~ v)2

CL7T —

и интеграла с особенностью вида 1/г2, понимаемого в смысле Ада-мара:

P(t,v)(*-Z)2dS(t,ri)

'г ((а2 + Ъ*)(х - £)2 + 2а(х - £)(у - г?) + (у - т?)2)2

О ту-

= ±Р(0)^ + /6(«,у)|г, (13)

где знак (-) в верхнем индексе /4, /5 дает значение интеграла при подходе к контуру изнутри области, а знак (+) - извне, /4, /е - регулярная часть рассматриваемых интегралов.

Задача сведена к системе линейных алгебраических уравнений относительно значений компенсирующих нагрузок на каждом граничном элементе.

Для численной реализации построенного в работе алгоритма создан пакет программ, позволяющий вычислять НДС изготовленных из стеклопластика пластин сложной формы с дефектами. Рассмотрены задачи: о растяжении бесконечной анизотропной плоскости с круговым, эллиптическим отверстием или трещиной, о сжатии кругового кольца, об определение НДС шестерни, проушины с круговым или эллиптическим отверстием. Последняя задача демонстрирует одну из наиболее интересных возможностей МГЭ, позволяющую получать решения в любых точках исследуемой области независимо от способа аппроксимации границы. Оказывается возможным построение представленных на рисунке 1 кривых равных главных касательных напряжений.

В третьей главе исследуется задача изгиба анизотропной пластины сложной геометрии с внутренними дефектами. При исследовании

зге

14 |>х

Рис. 1: Задача о проушине.

вспомогательного состояния построены разрывные решения для следующей матрицы скачков:

{£-} - {т, , ш, [ву], [мхх], [м^, тт.

Компоненты НДС определяются соотношениями: {\¥г} = [СГ]{5Г}( {Мг} = [ТГ]{5Г}, где {И^} = {Иг(х,у),ех(х,у),ву(х,у)}т, {Мг} = {Мхх(х,у),Муу{х,у),Мху(х,у),(3(х,у)}т,

9п ■• 9п 1п • • ¿17 '

а [Сг] = 921 • •• 327 . {Тг} = : :

931 • •• 937 .¿51 • • ¿57.

- матрицы разрывных решений. При этом использовались фундаментальные решения дифференциального уравнения четвертого порядка, аналогичного (11) и подробно исследованного во второй главе.

Формулы для компонент этих и приведенных выше матриц разрывных решений выписаны в приложении 1 диссертации.

Принимая в качестве ядер компоненты матрицы разрывных решений, получаем интегральные представления перемещений, углов поворота, функций усилий и моментов:

\¥(х, у) = IV*(х, у) +1 г))дф — £,у — т?)^, 77), (14)

6<(х, у) = в*(х, у) + 1 г,)дф 77)^, г;),

М,-(х, у) = М*(х, у)+1 Рк(£, г,)Ьф 77), (15)

У) = Я\(х, у) + I Рк({, 71)гф - у - 7?).

Из граничных условий путем предельного перехода получается разрешающая система интегральных уравнений.

Задавая искомые функции скачков в задаче изгиба анизотропной бесконечной пластины в виде рядов по полиномам Чебышева, удается построить аналитическое решение этой задачи для случая, когда главные оси анизотрошш совпадают с осями координат.

Реализован алгоритм МГЭ численного решения задачи о круглой пластине из стеклопластика под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки для случаев, когда контур пластины жестко защемлен, или половина контура защемлена, другая - шарнирно оперта. Решена также задача для круглой пластины с вырезом в виде четверти круга при той же нагрузке. Криволинейная часть контура и половина прямолинейной - жестко защемлена, другая часть - свободна (см. рис. 1).

В приложении 1 записаны компоненты матриц разрывных решений для плоской задачи и задачи изгиба анизотропных пластин.

В приложешш 2 представлены таблицы и диаграммы, полученные в результате численных исследований, рассматриваемых задач.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Задача определения НДС анизотропных пластин сложной формы с дефектами типа трещин и жестких включений сведена к системе сингулярных и суперсингулярных интегральных уравнений.

2. Построены матрицы разрывных решений, определяющие НСД плоской задачи теории упругости анизотропного тела, когда по оси ох (оу) имеет место скачок перемещений или напряжений.

3. Построены матрицы компонент НДС задач изгиба анизотропных пластин, когда по одной из координатных осей терпят разрыв функции прогибов, углов поворота, моментов и перерезывающих сил.

Рис. 2: Задача об окружности с вырезом.

4. Получены предельные значения обобщенных потенциалов, понимаемых в смысле Коши и Адамара.

5. Построен алгоритм численных решений и пакет программ для плоской задачи и задачи изгиба пластин сложной формы с дефектами.

6. Построены решения тестовых задач

- бесконечная анизотропная пластина с круговым или эллиптическим отверстием, трещиной, жестким включением, анизотропное кольцо,

- изгиб круглой анизотропной пластины под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки при защемленном граничном контуре, или половина контура защемлена, другая - шарнирно оперта.

8. Решены новые задачи:

- определение НДС проушины с круговым или эллиптическим отверстием. Построены линии равных касательных напряжений. Исследовано влияние ориентации главных осей анизотропии по отношению к системе координат на НДС проушины (плоская задача),

- исследована деформация шестерни из стеклопластика, жестко закрепленной на валу под действием локальной нагрузки. Опреде-

лены зоны концентраций напряжений (плоская задача),

- изгиб анизотропной круглой пластинки с вырезом в виде четверти круга, когда вся криволинейная граница и часть прямолинейной - жестко закреплена, другая часть - свободна.

Выводы

- МГЭ является высокоэффективным методом решения задач деформирования анизотропных пластин сложной геометрии с дефектами, если удается построить фундаментальные решения разрешающих уравнений в замкнутой форме. Он обеспечивает одинаковую погрешность определения всех компонент НДС в любой внутренней точке пластины.

- Погрешность вычислений появляется только за счет дискрсти-защш граничного контура области и аппроксимации граничных элементов, так как в МГЭ не используется процедура численного дифференцирования, обычно увеличивающая погрешность вычисления.

- Аппроксимация граничного элемента кривой второго порядка значительно уменьшает число элементов по сравнению с аппроксимацией отрезками прямой при той же погрешности вычислений. Так при изгибе жестко защемленной круглой пластины из стеклопластика равномерно распределенной поперечной нагрузкой погрешность не более 5 процентов достигается при аппроксимащш контура 48 и 24 прямолинейными и квадратичными граничными элементами соответственно. В плоской задаче растяжения бесконечной пластпны с эллиптическим отверстием эта разница уменьшается до 40 процентов.

- Учет анизотропии существенно меняет количественные характеристики НДС пластины. Иногда имеют место и качественные изменения. Например, даже при нагрузке, перпендикулярной берегам трещины, появляются скачки не только в нормальном (к дефекту), но и в касательном напряжениях вместо одного скачка в случае изотропии.

Основное содержание диссертащш опубликовано в работах:

1. Артюхин Ю.П., Гурьянов И.Н., Крамин М.В., Крамин Т.В. Метод потенциала в задачах механики пластин и оболочек. // Лаврен-тьевские чтения.: Тез. докл. 4 межд. конф. по математике, механике и физике. -1995 г. -Казань. Из-во Казан, ун-та. -1995.

2. Гурьянов И. Н. Метод граничных элементов в плоской задаче теории упругости анизотропного тела. // Международная научно-

техническая конференция: Тез. докл. Набережные Челны, из-во Кам-ПИ. 1996 г. Часть I. - с. 49.

3. Гурьянов И.Н. Применение метода граничного элемента к решению плоской задачи теории упругости анизотропного тела. // Ак. наук тат. КАМПИ Междунар. науч. тех. конф. "Механика машиностроения" ММ-95: Тез. докл. - Набережные Челны, 1995, -с. 87.

4. Гурьянов И.Н. Решение плоской контактной задачи для кругового отверстия с жестким штампом методом граничных элементов. // Тез. докл., Научная конференция студентов и преподавателей вузов ТССР. Из-во КАИ: Тез. докл. 1991 г., Часть II, -с. 14.

5. Гурьянов И.Н., Артюхин Ю.П. Антиплоская задача теории упругости ортотропного тела с дефектами. Казан, гос. ун-т. - Казань, 1994. -23 с. Деп. в ВИНИТИ, 28.10.94, N 2447-В94.

6. Гурьянов И.Н., Артюхин Ю.П. Применение метода разрывных решений и метода граничных элементов в плоской задаче теории упругости анизотропных тел. //II республиканская конференция молодых ученых и специалистов: Тез. докл. Казань. Из-во "ДАС" КСК КГУ. 1996 г. -с. 27.

7. Гурьянов И.Н., Артюхин Ю.П. Фундаментальное решение плоской задачи и задачи изгиба пластин анизотропного тела. Казан, гос. ун-т. - Казань, 1994. -33 с. Деп. в ВИНИТИ, 28.10.94, N 2448-В94.