Уточненные соотношения нелинейной теории пластин и оболочек, ориентированные на решение контактных задач тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

1. Некоторые исходные соотношения.

1.1. Деформация поверхности.

1.2. Линии на поверхности.

1.3. Формулы интегрирования по частям.

1.4. Уравнения упругости, используемые в теории гибких оболочек.

2. Теория изгиба пластин типа Кармана, учитывающая трансверсальные деформации.

2.1. Вывод полевых уравнений.

2.2. К выводу граничных уравнений.

2.2.1. Классический вариант граничных величин.

2.2.2. Полу деформационный вариант граничных величин.

2.2.3. Граничные условия подкрепленного края.4%

2.3. О влиянии учета вариаций параметров поперечного обжатия на распределение контактных реакций.

2.3.1. Аналитическое решение контактной задачи для пластины над жестким основанием.4$

2.3.2. Применение метода обобщенной реакции к задаче о пластине над жестким основанием.

2.3.3. Осесимметричное контактное взаимодействие круглой пластины с абсолютно жестким основанием.

2.4. Контактное взаимодействие двух круглых тангенциально подкрепленных пластин.

3. Уточненная нелинейная теория пологих оболочек.

3.1. Уравнения равновесия пологой оболочки без использования гипотез Кирхгофа.

3.2. Граничные величины в уточненной нелинейной теории пологих оболочек.

3.3. Обратная задача для спрямленной пологой цилиндрической оболочки.

4. Общая нелинейная теория жесткогибких оболочек, учитывающая поперечные сдвиги и обжатия.

4.1. Вариационный вывод уравнений равновесия.

4.2. К формулировке граничных условий.

4.3. О возможности применения построенной теории к расчету мягкогибких оболочек.

Работа посвящена выводу уточненных соотношений нелинейной теории пластин и оболочек, ориентированных на решение контактных задач со свободной границей. За основу взята квазикирхгофов-ская нелинейная теория оболочек К.Ф.Черныха [76], в которой учитывается изменение толщины оболочки (т.н. поперечное обжатие). При этом функции, связанные с поперечным обжатием (Л^, х^), определяются из некоторых дополнительных условий, что позволяет учесть изменение толщины без повышения порядка разрешающей системы уравнений. В данной работе уточнялась квазикирхго-фовская теория за счет учета вариаций параметров Л^, и поперечных сдвигов по линейной теории. При этом полевые и граничные уравнения выводились не из условий равновесия бесконечно малого элемента, как это сделано в работе [76], а из вариационного уравнения Лагранжа, что позволило учесть работу поверхностных сил на изменении толщины оболочки.

Актуальность темы. Время от времени публикуются работы, в которых авторы излагают свое видение актуальных задач механики оболочек (см., например, [16, 54, 61]). В работе [16] указаны (так уж совпало) 23 "нерешенные проблемы математической теории оболочек", первая из которых представлена так:

1. Формулировка основных краевых задач нелинейной теории оболочек без предположения пологости и среднего изгиба, т.е. при произвольных поворотах".

Имеет отношение к данной работе и седьмая "нерешенная проблема МТО" по И.И.Воровичу:

7. Построение математической теории краевых задач для вариантов оболочек типа Тимошенко-Рейсснера, учитывающих наряду с геометрической нелинейностью сдвиговые напряжения. Обоснование приближенных методов".

Непосредственное отношение к данной работе имеет высказанное в проблемной статье [54] указание на целесообразность учета вариаций параметров поперечного обжатия при построении двумерной модели механики тонких упругих оболочек, основанной на предложенной К.Ф.Черныхом аппроксимации. Кроме этого в названной статье сказано следующее: "Актуальной является задача по формированию граничных величин для нелинейной теории оболочек, использование которых не приводит к нарушению вариационных принципов. Значительный интерес представляет вариационный вывод деформационных граничных величин, который позволяет сопоставить этим обобщенным смещениям систему обобщенных сил, что является особенно важным при формулировке смешанных граничных условий".

Цель работы: на основе единого подхода последовательно получить уточненные соотношения нелинейной теории плоских пластин, пологих оболочек и жесткогибких оболочек произвольной конфигурации, учитывающей поперечные сдвиги в линейном приближении и поперечное обжатие; для теории пологих оболочек получить аналог т.н. полудеформационным граничным величинам теории плоских пластин; установить условие применимости соотношений нелинейной теории жесткогибких оболочек к расчету мягкогибких оболочек; с использованием численных экспериментов оценить значимость внесенных уточнений на решения контактных задач со свободной границей.

Обзор литературы Уточнение классической теории пластин. Как известно, в классической (кирхгофовской) теории пластин принимается допущение об отсутствии поперечных сдвигов. В соответствии с соотношениями закона Гука следовало бы принять, что перерезывающие силы равны нулю, что привело бы к невозможности уравновесить нормальную поверхностную нагрузку. В этом и заключается основное формальное противоречие кирхгофовской теории пластин.

На необходимость учета деформаций поперечного сдвига при колебаниях балок указал С.П.Тимошенко в монографии [68], где им была введена поправка к кривизне стержня за счет учета названных деформаций. Впоследствии аналогичные уточнения были внесены С.П.Тимошенко и в теорию пластин [69].

В 1944 году Э.Рейсснером был предложен вариант теории изгиба плоских пластин [96], в котором предполагался линейный закон изменения тангенциальных напряжений по толщине пластины и использовался принцип Кастильяно для получения уравнений, связывающих усилия и моменты со смещениями и углами поворота. Этот подход был развит в работах [97. 98]. И хотя в дальнейшем в уточнение результатов Э.Рейсснера был опубликован ряд работ, в том числе более значимых (см., например, [1, 26, 86]), по историческим мотивам за теориями, учитывающими трансверсальные сдвиги, закрепился термин "теории типа Тимошенко-Рейсснера" [24].

Учет поперечного обжатия в теории оболочек впервые, видимо, осуществил П.Нагди [93], который постулировал линейный закон изменения тангенциальных перемещений и напряжений по толщине пластины, а прогиб задавал квадратичной параболой. Уравнения статики в перемещениях получены им на основании вариационного принципа Рейсснера [99] и для случая пластины, по существу, совпали с предложенными названным автором в работе [96]. Поперечное обжатие определялось отдельной формулой.

В 1975 году Э.Рейсснер [100] модифицирует свою теорию пластин. Задав на первом этапе линейный закон изменения тангенциальных напряжений по толщине пластины и получив из уравнений равновесия квадратичный закон для поперечных касательных напряжений, он интегрирует соотношения закона Гука для этих напряжений в предположении, что прогиб не изменяется по толщине пластины. При этом, как нетрудно сообразить, для тангенциальных перемещений получается кубический закон изменения. Подставляя эти перемещения в закон Гука для тангенциальных напряжений, он получает в качестве следующего приближения квадратичный закон изменения последних по толщине пластины. При этом уравнения, связывающие изгибающие моменты с перемещениями, принимают тот же вид, что и в работе [96].

Все перечисленные уточненные теории, включая и теорию П.Нагди [93], приводят к распределению контактных реакций, противоречащему теории Г.Герца [87]. При этом сами реакции, как правило, представляют интерес лишь как фактор, в той или иной мере связанный с напряженным состоянргем в пластине. Имеется ряд свидетельств, полученных в том числе и при выполнении данной работы, когда наличие сосредоточенных реакций не влияет на напряженно-деформированное состояние пластины в целом. Тем не менее регулярно делаются попытки построить уточненные теории пластин, адекватно описывающие распределение контактных реакций (см., например, [4, 7, 23]).

В работе [76] построена квазикирхгофовская теория оболочек1. Эта теория разрабатывалась К.Ф.Черныхом, исходя из потребности рассчитывать резинотехнические изделия оболочечного типа, допускающие значительное изменение толщины, но построена как общая теория изотропных оболочек из сжимаемых и несжимаемых материалов в силу того, что определяющие уравнения выражены через упругий потенциал. Выбирая в качестве последнего, например, потенциал неогуковского материала (NHM), можно получить систему уравнений механики мягкогибких оболочек. Для вывода уравнений механики жесткогибких оболочек хорошо зарекомендовал себя упругий потенциал стандартного материала 2-го порядка (STM-2).

Принципиальное различие между неизвестными функциями щ{(у) и искомыми функциями щ(а), ^(а), «;(«) в теории К.Ф.Черныха заключается в том, что функции второй группы имеют независимые вариации, через которые могут быть выражены вариации функций первой группы. Иными словами, в работе [74] функции рассматриваются как параметры (неэнергетические переменные), учет которых не приводит к увеличению числа уравнений, а, следовательно, и порядка разрешающей системы. Этим подход К.Ф.Черныха принципиально отличается от метода построения нелинейных теорий оболочек типа Тимошенко, использованного, например, в наиболее часто цитируемых работах [2, 18, 19].

Заметим, что предложенный в работе [74] вариант квазикирхго-фовской теории оболочек не лишен ряда противоречий. Например, предположение о неэргетичности параметров А^(се), ^(се) понимается автором статьи [74] как их неварьируемость (см. [76], стр. 179), что приводит даже в линейной теории плоских пластин к потере ряда слагаемых, являющихся существенными при рассмотрении, например, контактных задач со свободной границей. Более того, реализуемый в работе [74] подход к выводу уравнений статики оболочки из условий равновесия ее бесконечно малого элемента, в значительной мере обесценивает заявленный учет параметров А^, ze^, так как их влияние проявляется в основном через работу внешних сил и может быть эффективно учтено лишь при использовании вариаци

1 "Квазикирхгофовской" [52] модель механики оболочек [74] названа потому, что в ней используются все гипотезы собственно Кирхгофа [90], т.е. не используется лишь добавленная У.Томсоном и Р.Тэтом [101] часть геометрической гипотезы о нерастяжимости (несжимаемости) нормального элемента оболочки. онных методов вывода уравнений.

Контактные задачи со свободной границей для гибких элементов конструкций. Впервые задача контактного взаимодействия изгибаемого стержня вокруг цилиндрической опоры или о распрямлении стержня в виде части кругового кольца на плоской плите сосредоточенными силами, приложенными к концам стержня, рассмотрена С.П.Тимошенко [70]. Названным автором показано, что для достижения полного прилегания стержня к цилиндрической опоре, так же как и для полного спрямления части кольца на плоской плите, действующие на концы стержней силы должны быть бесконечно большими. При этом в составе контактных реакций на краю зоны контакта появляются сосредоточенные силы. Применивший к первой из названных задач уравнения изгиба стержня, учитывающие деформацию поперечного сдвига, М.М.Филоненко-Бородич показал [79], что сосредоточенные силы в составе контактных реакций не появляются, однако остаются пиковые значения реакций вблизи свободной границы контакта. Задачи цилиндрического изгиба пластин и стержней в постановке М.М.Филоненко-Бородича рассматривались в работах [22, 57, 67].

Первая работа по контактному взаимодействию пластины с абсолютно жестким и с упруго податливым по Винклеру основаниями рассмотрена, видимо, в работе К.Гиркмана [85]. В этой работе на основании кирхгофовской теории изучались условия равновесия круглой пластины, прижатой к плоскому основанию равномерной нагрузкой, а затем на краях отгибаемой от него действием равномерно распределенного момента. Найдена зависимость между глубиной зоны отрыва и действующим моментом. Исследовано напряженное состояние в пластине.

Задача Гиркмана с использованием классической теории пластин исследовалась Р.Гофманом [88]. В той же работе рассмотрена контактная задача об изгибе шарнирно опертой круглой пластины, расположенной над абсолютно жестким основанием. Впервые задача линейной теории пластин названа "нелинейной проблемой", что можно считать началом конструктивно-нелинейной механики.

Осесимметричная контактная задача для круглой пластины с использованием теории пластин типа Тимошенко-Рейсснера (без учета поперечного обжатия) исследована в работах [66, 82, 83, 84].

О результатах, полученных в работе [5], в монографии [24] сказано так: "Совместный изгиб двух пластин с позиции теории С.П.Тимошенко проанализирован также Ю.П.Артюхиным и С.Н.Карасевым [5]. В отличие от работы [84] верхняя пластина нагружена либо равномерным давлением, либо сосредоточенной силой. Расчеты показали, что контактное давление может резко возрастать вблизи границы зоны контакта и меняет там знак (выделено мною, ЕАВ), создавая эффект пары сил. Этот интересный эффект можно объяснить, решая задачу на основе теории Софи Жермен-Лагранжа.".

Однако наличие такого момента означало бы нарушение односторонности связи, что является ошибкой, которая обусловлена, видимо, принятой гипотезой полного прилегания, т.е. предположением, что область контакта пластин является односвязной (подробнее см. в разделе 2).

Содержание работы. Диссертация состоит из четырех разделов (глав). В первом разделе приведены основные (известные) сведения из нелинейной теории упругости и теории поверхностей.

Второй раздел посвящен теории пластин типа Кармана-Тимошенко-Нагди. На уравнениях этой простейшей теории оценивается значимость уточнений (учета поперечных сдвигов по линейной теории и вариаций параметров поперечного обжатия), которые в последующем будут внесены в нелинейные уравнения изгиба жесткогибких оболочек произвольной конфигурации. Определив параметры поперечного обжатия А^, щ из граничных условий на лицевых поверхностях пластины, принимаем, что тангенциальные перемещения аппроксимируются по толщине пластины линейно, а прогиб - по квадратичной параболе.

Учитывая, что вариации параметров поперечного обжатия выражаются через вариации энергетических переменных, на основе вариационного уравнения Лагранжа получаются полевые уравнения изгиба плоских пластин, дифференцированно учитывающие поперечное обжатие и сдвиги по линейной теории.

Также из вариационного уравнения Лагранжа получается и традиционный вариант граничных величин. Замечено, что при использовании традиционных граничных величин полевые уравнения не образуют замкнутую систему. Дело в том, что тангенциальные перемещения не выражаются без интегрирования через основные искомые функции уранений типа Кармана-Тимошенко-Нагди. В работе [52] предложен т.н. полу деформационный вариант граничных величин, на основании которого автором данной работы получены граничные условия подкрепленного (исключительно) тангенциально подвижного края для теории пластин Кармана, которые использовались затем при решении методом обобщенной реакции (см. Приложение I) задачи о контактном взаимодействии двух одинаковых осесимметрично деформируемых круглых пластин с тангенциально подкрепленными краями.

С целью анализа дифференцированного влияния учета трансвер-сальных деформаций на распределение контактных реакций получено аналитическое решение контактной задачи со свободной границей для цилиндрически изгибаемой шарнирно опертой пластины (испытывающей действие равномерной нагрузки) и абсолютно жесткого гладкого основания. Показано, что:

• задача всегда имеет решение, если учитываются лишь поперечные сдвиги;

• при учете поперечного обжатия сделанное при постановке предположение об односвязности области контакта выполняется, если действующая нагрузка превышает т.н. нижнюю нагрузку полного контакта q*;

• во всех случаях, когда контактная задача в принятой постановке имеет смысл на краях области контакта возникают пиковые (но конечные) реакции.

Напомним, что при использовании классической теории пластин рассмотренная контактная задача в предположении, что область контакта односвязна, всегда имеет смысл, однако на границе названной области появляются сосредоточенные реакции.

Если "забыть" о том, что жесткое основание является односторонней связью, то при нагрузке, меньшей q*, контактное давление вблизи границы области контакта меняет знак, "создавая эффект пары сил" [24]. Однако "этот интересный эффект" [24] свидетельствует лишь о том, что принятое условие полного прилегания пластины к основанию по всей области контакта не выполняется. Иными словами, область контакта не является односвязной. Чтобы убедиться в этом, к рассматриваемой задаче был применен метод обобщенной реакции, полностью подтвердивший высказанное предположение.

Если рассмотреть первое обобщенное уравнение Кармана при учете лишь поперечных сдвигов, то оно в линейной части не существенно отличается от соответствующего уравнения С.П.Тимошенко [69], уточняющего уравнение Софи Жермен-Лагранжа.

Что же касается поперечного обжатия, то реализуемый в данной работе единый подход к выводу уравнений плоской пластины, пологой оболочки и оболочки произвольной конфигурации, заключающийся в выражении вариаций параметров поперечного обжатия через вариации основных искомых функций, ранее, судя по имеющимся обзорам (см., например, [21, 24]), не применялся. Поэтому в части учета поперечного обжатия построенные теории пластин, пологих оболочек и оболочек произвольной конфигурации являются новыми.

В третьем разделе рассматривается нелинейная теория пологих оболочек, задаваемых уравнениями вида л = и таких, что условие пологости) 1 ± z\ « 1. При этом был реализован тот же алгоритм преобразований, что использован в разделе 2 применительно к плоским пластинам.

Следует отметить, что здесь впервые получен полудеформационный вариант граничных величин, при использовании которого система уравнений типа Маргера-Тимошенко-Нагди является замкнутой.

Заметим, что деформационные граничные величины, как обобщенные смещения для обобщенных сил в виде компонент главного вектора и главного момента краевых усилий, в линейную теорию оболочек впервые ввел К.Ф.Черных в работе [72]. Позднее в работе [53] были выявлены некоторые принципиальные особенности деформационных граничных величин, заключающиеся в том, что последние сами по себе не обеспечивают единственность решения линейной краевой задачи. Главная отличительная черта деформационных граничных величин заключается в том, что они без интегрирования выражаются через усилия и моменты. Именно, задавшись целью сформулировать геометрические граничные условия в усилиях и моментах, независимо от К.Ф.Черныха и сразу для нелинейной теории оболочек получил деформационные граничные величины К.З.Галимов [17].

Полудеформационный вариант граничных величин характерен тем, что в его составе - лишь две условно деформационные величины, описывающие тангенциальную деформацию края. Причем эти величины, вообще говоря, не выражаются без интегрирования через усилия и моменты, но выражаются через искомые функции полевых уравнений, что соответствует замыслу получить замкнутую систему полевых и граничных уравнений.

К.Ф.Черных предложил вводить деформационные граничные величины путем дифференцирования по граничному контуру двойного тензора, связанного как с деформированной (актуальной), так и с исходной конфигурациями края оболочки [76]. Эти граничные величины, будучи линеаризованными, совпадают с деформационными величинами линейной теории оболочек. Однако они, как и более частный вариант К.З.Галимова [17], не увязаны с соответствующими обобщенными силами (что наглядно показано на примере теории плоских пластин Кармана, см. раздел 3), являясь одной из мер деформации края оболочки. Несколько иной подход к выводу деформационных граничных величин развит в работах [80, 95].

В данной работе впервые вариационным путем введены в нелинейную теорию оболочек (пусть и простейший ее вариант) нетрадиционные (полудеформационные) граничные величины.

Некоторые новые возможности при решении обратных задач появляются в связи с дополнительным нагрузочным слагаемым. Дело в том, что учет фиктивного момента тп позволяет в обратных контактных задачах определять по отдельности поверхностные нагрузки. Для иллюстрации сказанного рассмотрена обратная задача о полном спрямлении пологой цилиндрической оболочки между двумя абсолютно жесткими идеально гладкими плитами.

В разделе 4 представлен уточненный вариант (по сравнению с квазикирхгофовской теорией К.Ф.Черныха) уравнений механики жесткогибких оболочек, учитывающий по линейной теории поперечные сдвиги, а также вариации параметров поперечного обжатия

В заключение работы исследуется возможность использования полученных уравнений статики жесткогибких оболочек для расчета напряженно-деформированного состояния в мягкогибких оболочках. С этой целью строится теория изгиба мягкогибких оболочек на основе упругого потенциала NHM. Показано [47], что уравнения жесткогибких оболочек можно использовать для расчета мягкогиб-ких оболочек при т.н. средних растяжениях (допустимо пренебрежение квадратами компонент тангенциальной деформации по сравнению с единницей).

Объем. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы и одного приложения. Содержит 117 страниц, включая 14 рисунков. Список литературы содержит 102 наименования.

Заключение

В данной работе на основе концепции двумерной модели построена теория оболочек, уточняющая квазикирхгофовскую теорию К.Ф.Черныха за счет учета поперечных сдвигов по линейной теории и вариаций параметров поперечного обжатия.

Полученные результаты можно сформулировать следующим образом:

• ориентированные на решение контактных задач со свободной границей уточненные соотношения теории типа Кармана-Тимошенко-Нагди изгиба плоских пластин, учитывающие наряду с поперечными сдвигами вариации параметров поперечного обжатия;

• уравнения типа Маргера-Тимошенко-Нагди, обобщающие теорию изгиба плоских пластин на случай пологих оболочек;

• полудеформационный вариант граничных величин, обеспечивающий замкнутость системы уравнений пологих оболочек типа Маргера-Тимошенко-Нагди;

• уточненные соотношения нелинейной теории жесткогибких оболочек, согласующиеся с полученными ранее уравнениями изгиба плоских пластин и пологих оболочек;

• условие применимости соотношений нелинейной теории жесткогибких оболочек к расчету мягкогибких оболочек (названное условие заключается в том, что в оболочке реализуются т.н. средние растяжения, при которых допустимо пренебрежение квадратами компонент тангенциальной деформации по сравнению с единицей);

• оценка влияния внесенных в теорию изгиба плоских пластин и пологих оболочек уточнений на решение контактных задач со свободной границей:

1. При аналитическом решении контактной задачи цилиндрического изгиба пластины над жестким основанием с использованием теории пластин типа Кармана-Тимошенко-Нагди введено понятие нижней нагрузки полного контакта. Показано, что область контакта при нагрузках ниже названной является многосвязной. При решении этой же задачи по теории типа Кармана-Тимошенко область контакта всегда односвязна.

2. Используя метод обобщенной реакции, решена контактная задача для осесимметрично деформируемой пластины по теории типа Кармана-Тимошенко-Нагди и жесткого основания (задача Р.Гофмана).

3. Благодаря учету в уравнениях изгиба пологих оболочек т.н. фиктивного момента получено решение обратной задачи о распределении контактных реакций по лицевым поверхностям спрямленной пологой цилиндрической панели. Это решение согласуется с решением М.М.Филоненко-Бородича контактной задачи С.П.Тимошенко.

1. Айнола Л.Я. Об уточненных теориях пластинок типа Рейс-снера. В кн.: Труды 1. Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Ереван, 1962. Ереван: Изд-во АН Арм. ССР. 1964. С. 171-177.

2. Айнола Л.Я. Нелинейная теория типа Тимошеко для упругих оболочек // Изв. АН Эст.ССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1965. Т. 14. №3. С. 337-344.

3. Алфутов Н.А. О некоторых пародоксах теории тонких упругих пластин // Изв. РАН. МТТ. 1992. №3. С. 65-72.

4. Артюхин Ю.П. Модифицированная теория Голанда-Рейсснера склеенных пластин // Исслед. по теор. пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1975. Вып. 11. С. 136-148.

5. Артюхин Ю.П., Карасев С.Н. Некоторые контактные задачи теории тонких пластин // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1973. Вып. 10. С. 159-166.

6. Белл Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Часть I. Малые деформации. М.: Наука, 1984. 600 с.

7. Блох М.В. К выбору модели в задачах о контакте тонкостенных тел // Прикладная механика. 1977. Т. 13. №5. С. 34-42.

8. Васильев В.В. О теории тонких пластин // Изв. РАН. МТТ. 1992. №3. С. 26-47.

9. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме построения неклассических теорий пластин // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. №2. С. 158-167.

10. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме уточнения теории пологих оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. №6. С. 139-146.

11. Веку а И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978. 296 с.

12. Веку а И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука. 1982. 288 с.

13. Волох К.Ю., Горшков А.А. Метод возмущений в теории трехслойных пластин // Изв. РАН. МТТ. 1992. №3. С. 73-78.

14. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М., 1956. 419 с.

15. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

16. Ворович И. И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989. 376 с.

17. Галимов К.З. О формулировке геометрических граничных условий нелинейной теории оболочек в усилиях и моментах // Изв. Казан, филиала АН СССР. Серия физ.-мат. наук. 1958. Т. 12. С. 17-27.

18. Галимов К.З. Нелинейная теория оболочек типа Тимошенко // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1975. Вып. И. С. 92-126.

19. Галимов К.З. К нелинейной теории тонких оболочек типа Тимошенко // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. №4. С. 156-166.

20. Галимов К.З. О некоторых направлениях развития механики деформируемого тела в Казани // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1976. Вып. 12. С. 3-26.

21. Галинъш А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям // Исследования по теории пластин и оболочек. Изд-во Казан, ун-та. 1967. Вып. 5. §§ 1,2 / 1970. Вып. 6. §§ 3-6.

22. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Цилиндрический изгиб пластины жестким штампом // АН СССР. ПММ. 1975. Т. 39. №5. С. 876-883.

23. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Модификация уточненной теории пластин для контактных задач // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1977. Т. 30. №3. С. 33-45.

24. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М.: Машиностроение, 1980. 411 с.

25. Голъденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука, 1969. 336 с.

26. Гольденвейзер А.Л. О теории изгиба пластинок Рейс-снера // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. №. С. 57-60.

27. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.

28. Ермоленко А.В. О полудеформационном варианте граничных величин в теории гибких пластин Кармана // Вестн. Сыктывкар. ун-та. Сер. 1. 1996. Вып. 2. С. 235-242. ISBN 5-87237-169-1.

29. Ермоленко А.В. О контактном взаимодействии цилиндрически изгибаемой пластины с абсолютно жестким основанием // Сб.: Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого тела / Тр. научной школы акад. В.В.Новожилова. СПб: СПбГУ, 2000. Вып. 2. С. 79-95.

30. Ермоленко А.В., Михайловский Е.И. Граничные условия для подкрепленного края в теории изгиба плоских пластин Кармана // Изв. РАН. МТТ. 1998. №3. С. 73-85.

31. Жилин П.А. Теория простых оболочек и ее приложения. Дис-серт. доктора физ.-мат. наук. СПбГУ. 1983. 348 с.

32. Жилин П.А. О теориях пластин Пуассона и Кирхгофа с позиций современной теории пластин // Изв. РАН. МТТ. 1992. №3. С. 48-64.

33. Зубов JI.M. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. Ростов-на-Дону: Изд-во Ростов, ун-та, 1982. 139 с.

34. Кабриц С.А., Черных К.Ф. Нелинейная теория изотропно упругих тонких оболочек с учетом поперечного сдвига // Изв. РАН. МТТ. 1996. т. С.124-136.

35. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей, ч. 1. M.-JL: Гостех-теориздат, 1947. 512 с.

36. Каюк Я. Ф. Геометрически нелинейные задачи теории пластин и оболочек. Киев: Наукова думка, 1987. 208 с.

37. Колпак Е.П. Устойчивость безмоментных оболочек при больших деформациях. СПб: СПбГУ, 2000. 248 с. ISBN 5-79970218-2.

38. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

39. Мальков В.М. Зависимость тензоров напряжений и деформаций в нелинейной теории упругости // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1996. Вып. 4. С. 91-94.

40. Мальков В.М. Математическое моделирование в теории упругости. СПб.: СПбГУ, 1997. 205 с.

41. Михайловский Е.И. Граничные условия подкрепленного края в нелинейной теории типа Тимошенко-Рейсснера // Изв. РАН. МТТ. 1995. №2. С. 109-119.

42. Михайловский Е.И. Игнорирование гипотез Кирхгофа в нелинейной теории жесткогибких оболочек // Сб.: Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого тела / Тр. научной школы акад. В.В.Новожилова. СПб: СПбГУ, 2000. Вып. 2. С. 212-238.

43. Михайловский Е.И. Математические модели механики упругих систем. Уч. пособие. (Рукопись, гриф УМО ун-тов).

44. Михайловский Е.И., Бадокин К.В., Ермоленко А.В. Теория изгиба пластин типа Кармана без гипотез Кирхгофа // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1. Вып. 3. 1999. С. 181-202. ISBN 5-88584-085-7.

45. Михайловский Е.И., Ермоленко А.В. Уточнение нелинейной квазикирхгофовской теории К.Ф.Черныха // Вестн. Сыктывкар. ун-та. Сер. 1. Мат. Мех. Инф. 1999. Вып. 3. С. 203-222.

46. Михайловский Е.И., Ермоленко А.В. К вопросу об изгибе мягкогибких оболочек // Вестн. Сыктывкар, ун-та. Сер. 1. Мат. Мех. Инф. 2001. Вып. 4. С. 171-184. ISBN 5-87237-238-8.

47. Михайловский Е.И., Тарасов В.И. Контактные задачи для гибких элементов конструкций //В сб.: Проблемы нелинейной теории упругости. Калинин: Изд-во Калинин, политехи, ин-та. 1989. С. 100-108.

48. Михайловский Е.И., Тарасов В.Н. Задача со свободной границей для оболочки, подкрепленной ребрами одностороннего действия // В сб.: В.В.Новожилов ученый, педагог, гражданин. Д.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. С. 121-128.

49. Михайловский Е.И., Тарасов В.Н. Метод решения контактных задач с неизвестной областью взаимодействия // Ново-жиловский сб. (к 80-летию акад. В.В.Новожилова). СПб: Судостроение, 1992. С. 17-26.

50. Михайловский Е.И., Тарасов В.Н. О сходимости метода обобщенной реакции в контактных задачах со свободной границей // РАН. ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 1. С. 128-136.

51. Михайловский Е.Ш. Торопов А.В. Математические модели теории упругости. Сыктывкар: Сыктывкарский ун-т, 1995. 251 с. ISBN 5-87237-079-2.

52. Михайловский Е.И., Черных К. Ф. О некоторых особенностях деформационного варианта граничных величин // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. №2. С. 155-162.

53. Михайловский Е.И., Черных К.Ф. Актуальные задачи нелинейной механики тонких упругих оболочек // В сб.: Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела / Тр. научной школы акад. В.В.Новожилова. СПб: СПбГУ, 1998. Вып. 1. С. 234-255.

54. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.

55. Морозов Н.Ф. К нелинейной теории тонких пластин // ДАН СССР. 1957. Т. 114. №5. С. 968-971.

56. Мухадзе М.Г. Об одном решении задачи изгиба тонкого стержня по лекалу // Сообщ. АН Груз. ССР. 1977. Т. 85. №3. Т. 645-648.

57. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957. 433 с.

58. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948. 211 с.

59. Новожилов В.В. Теория упругости. Д.: Судпромгиз, 1958. 370 с.

60. Новожилов В. В. Краткий очерк развития теории оболочек в СССР // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1970. Вып. 6. С. 3-22.

61. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. 656 с.

62. Петрашкевич В. Некоторые соотношения нелинейной теории оболочек Рейсснера // Вестн. Ленингр. ун-та. Серия матем., механика и астроном. 1979. №1. С. 115-124.

63. Пикуль В. В. К проблеме построения физически корректной теории оболочек // Изв. РАН. МТТ. 1992. №3. С. 18-25.

64. Работное Ю.М. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.

65. Розенберг JI.A. О давлении твердого тела на пластинку // Инж. сб. 1955. Т. 21. С. 151-155.

66. Саркисян С. О. О цилиндрическом изгибе пластины жестким штампом // Докл. АН Арм. ССР. 1977. Вып. LXIV. №4. С. 216-223.

67. Тимошенко С.П. Курс теории упругости, ч. II. Стержни и пластинки. Петроград: Изд-во ин-та инж. путей сообщения, 1916. Изд. 2-е. Киев: Наукова думка, 1972. 507 с.

68. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. 635 с.

69. Тимошенко С.П., Лесселъс Дж. Прикладная теория упругости. Л.: Гостехиздат, 1930. 392 с.

70. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы. М.: Наука, 1995. 300 с.

71. Черных К.Ф. О сопряженных задачах теории тонких оболочек // Докл. АН СССР. 1957. Т. 117. №6. С. 949-951.

72. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. Ч. 1. Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та. 1962. 274 с.

73. Черных К.Ф. Нелинейная теория изотронных упругих тонких оболочек // Изв. РАН. МТТ. 1980. №2. С.148-159.

74. Черных К. Ф. Теория тонких оболочек из эластомеров (резино-подобных материалов) // Успехи механики. 1983. Т. 6. Вып. 1/2. С. 111-147.

75. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. 336 с.

76. Черных К.Ф., Алешков Ю.З., Понятовский В.В., Шамина В.А. Введение в механику сплошных сред. Л.: Судостроение, 1989. 400 с.

77. Черных К.Ф., Литвинников З.Н. Теория больших упругих деформаций. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1988. 254 с.

78. Филоненко-Бородин М.М. Изгиб тонкого стержня по заданной кривой // Тр. Моск. электромехан. ин-та инженеров ж.-д. транспорта. М.: Трансжелдориздат, 1949. Вып. 58. С. 3-10.

79. Шамина В.А. Обратная задача теории деформации и основные модели механики деформируемого тела. Диссерт. доктора физ.-мат. наук. СПбГУ. 1993. 166 с.

80. Essenburg F. On a class of nonlinear axisymmetric plate problems // Transactions of the ASME. Series E. Journal of Applied Mechanics. I960. 27. №4. P. 677-680.

81. Essenburg F., Gulati S. Т. On the contact of two axisymmetric plates // Paper of ASME. 1965. №APMW-26. (Русский перевод: Эссенберг Ф., Гулати С.Т. О контакте двух осесимметричных пластинок // Прикладная механика. Серия Е. 1966. №2. ИЛ. С. 91-97.)

82. Girkman К. Formanderung eines Kreisformigen, aus ebener Unter-lage aufruhenden, Behalterbodens durch Flussigkeitsdruck // Der Stalbau. 1934. Bd. 4. S. 205-209.

83. Green A.E. On Reissner theory of bending of elastic plates // Quarterly of Applied Mathematics. 1949. 7. №2. P. 223-228.

84. Hertz H. Uber die Beriihrung fester elastischer Korper // Journ. fur reine und angew. Math. 1881. Bd.92. S. 156-171.

85. Hofmann R. Uber ein nichtlineares Problem der Platten-statik // Zeitschrift fiir angewande Mathematik und Mechanik. 1938. Bd. 18. S. 226-232.

86. Kdrman Th. Festigkeitsprobleme in Maschinenbau // Enzykl. der Math. Wissensch. 1910. Bd. 2. №2. S. 311-385.

87. Kirchhoff G. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Scheibe //J. Reine Angew. Mech. 1850. Bd. 40. S. 51-58.

88. Marguerre K. Zur theorie der gekriimmten Platte grosser Formanderung // Jahrbuch der deutschen Luftfahrforschung. Berlin. 1939. S. 413-418.

89. Mikhailovskii E.I. On formulating boundary conditions in the Karman plane plate bending theory // Transactions of St-Petersburg academy of sciens for strength problems. 1997. Vol. 1. P. 21-44. ISBN 5-87237-146-2.

90. Naghdi P.M. On the theory of thin elastic shells // Quarterly of Applied Mathematics. 1957. 14. №4. P. 369-380.

91. Petraszkiewicz W. Geometrically nonlinear theories of thin elastic shells // Advances in Mechanics. 1989. Vol. 12. №1. P. 52-130.

92. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates // Journal of Mathematics and Physics. 1944. 23. №4. P. 184-191.

93. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // Journal of Applied Mechanics. 1945. 12. №2. P. 69-77.

94. Reissener E. On bending of elastic plates // Quarterly of Applied Mathematics. 1947. 5. №1. P. 55-68.

95. Reissner E. On the variational theorem in Elasticity // Journal of Mathematics and Physics. 1950. 29. №2. P. 90-95

96. Reissner E. On transverse bending of plates, including the effect of transverse shear deformation / / The International Journal of Solid and Structures. 1975. 11. №5. P. 569-573.

97. Thomson W., Tait P. Treatise on Natural Philosophy. P. 2. Cambridge: Univ. Press, 1883. 592 p.

98. Truesdell C. The non-linear field theories of Mechanics. In. Encyclopedia of physics. Berlin-N. Y.: Springer-Verlag, 1965. V. II1/3.