Оптимальное проектирование композитных элементов конструкций по условиям прочности, жесткости и устойчивости

Хазиев, Алексей Равкатович

Оптимальное проектирование композитных элементов конструкций по условиям прочности, жесткости и устойчивости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Хазиев, Алексей Равкатович АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Оптимальное проектирование композитных элементов конструкций по условиям прочности, жесткости и устойчивости»

Автореферат диссертации на тему "Оптимальное проектирование композитных элементов конструкций по условиям прочности, жесткости и устойчивости"

На правах рукописи

□□34858В8

УДК 629.78:678.067

ХАЗИЕВ АЛЕКСЕЙ РАВКАТОВИЧ

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОМПОЗИТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ПО УСЛОВИЯМ ПРОЧНОСТИ, ЖЕСТКОСТИ и УСТОЙЧИВОСТИ

(

Специальность 01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2009

Работа выполнена в ГОУ ВПО «МАТИ» - Российском государственном технологическом университете им. К.Э. Циолковского Кафедра «Механика и оптимизация процессов и конструкций»

Научный руководитель: доктор технических наук, член-корр. РАН

Васильев В.В.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Дудченко A.A.

доктор технических наук

Смердов A.A.

Ведущая организация: ОАО Центральный НИИ Специального машиностроения (ЦНИИСМ)

Защита состоится « 24 » декабря 2009г. в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.110.07 в «МАТИ» - Российском государственном технологическом университете им. К.Э. Циолковского, по адресу: 121552,г. Москва, ул. Оршанская, д. 3 (аудитория 113в).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке «МАТИ» - Российском государственном технологическом университете им. К.Э. Циолковского

Автореферат диссертации разослан «_»_2009г.

Отзывы в двух экземплярах (заверенные печатью учреждения) просим присылать по адресу: 121552, г. Москва, Г-552, ул. Оршанская, д. 3, «МАТИ» -Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.110.07 кандидат технических наук, доцент

В.А. Чуфистов

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Технический прогресс порождает непрерывное расширение класса конструкционных материалов и совершенствование их свойств. Появление новых материалов обусловлено естественным стремлением повысить эффективность разрабатываемых конструкций. Одно из наиболее ярких проявлений прогресса в развитии материалов, конструкций и технологии связано с разработкой и применением армированных композитных материалов. Композиты обладают рядом очевидных преимуществ перед другими материалами, в частности перед металлами. Такими преимуществами являются высокая удельная прочность и жесткость, высокая коррозионная стойкость, хорошая способность выдерживать знакопеременные нагрузки и другие. Следует отметить еще одну, возможно, самую главную особенность композитов - это способность к направленному изменению свойств материала в соответствии с назначением конструкции и характером ее нагружения. Направленный характер свойств композитов, естественно, предполагает, что наряду с высокими механическими характеристиками в одних направлениях они обладают низкими в других. Поэтому эффективная реализация достоинств этих материалов в конструкциях требует решения комплекса задач, связанных с определением рациональной структуры материала, соответствующей полю внешних нагрузок и других воздействий, с учетом его особенностей и технологических ограничений. Правильный учет особенностей композитов и рациональное использование их преимуществ позволяют получать конструкции, обладающие высокой степенью весового совершенства и уровнем свойств, недостижимым при использовании традиционных материалов. Таким образом, проектирование композитных конструкций, кроме традиционного определения ее геометрических параметров, предусматривает определение рациональной структуры материала, т.е. числа и порядка чередования слоев, углов ориентации и вида армирующих элементов. Это усложняет как формулировку, так и решение задач оптимального проектирования. Следует отметить, что если оптимальность конструкции из традиционных материалов

является желательным условием, то применительно к композитам выполнение условий оптимальности структуры может являться необходимым условием существования конструкции. Еще одна особенность, возникающая при проектировании композитных конструкций, связана с тем, что широкий спектр свойств материала, зависящий от многочисленных сочетаний структурных параметров, иногда приводит к неочевидным и неоднозначным решениям задачи проектирования. Перечисленные особенности определяют важность полноты и корректности формулировки задачи оптимального проектирования композитов.

Большой практический интерес представляет проектирование элементов конструкций, находящихся в условиях плоского напряженного состояния. К таким элементам относятся обшивки несущих конструкций самолетов и ракет, панели конструкций различного назначения, баллоны давления и др. Основной целью оптимального проектирования композитных конструкций, находящихся в условиях плоского напряженного состояния, является обеспечение сочетания минимальной массы и способности сопротивляться действующим нагрузкам в необходимых направлениях. Достижение этой цели осуществляется выбором оптимальной структуры материала, т.е. количества слоев композита, углов армирования и толщин этих слоев. Особенностью проектирования композитных конструкций, находящихся в плоском напряженном состоянии, является существование бесчисленного множества эквивалентных оптимальных структур, поиск которых традиционными численными методами оптимизации весьма затруднителен, а зачастую вообще невозможен. Таким образом, наряду с формулированием корректной и полной постановки задачи оптимального проектирования композитных конструкций, находящихся в условиях плоского напряженного состояния, возникает проблема разработки метода оптимизации, позволяющего осуществлять поиск всей совокупности оптимальных структур.

Актуальность работы.

Актуальность рассматриваемой задачи определяется широким применением композитов в современной технике. Конструкции, изготавливаемые в настоящее время из композитов, являются, как правило, тонкостенными и состоят из системы различным образом ориентированных элементарных слоев композита. Определение оптимальных структур материала, обеспечивающих минимальную массу таких конструкций при выполнении ограничений, обеспечивающих ее работоспособность, предоставляется актуальной и важной в прикладном отношении задачей.

Цель работы.

Целью работы является построение и реализация метода оптимального проектирования слоистых композитов, находящихся в условиях плоского напряженного состояния.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Сформулировать задачу оптимального проектирования композитных элементов конструкций, находящихся в условиях плоского напряженного состояния, при ограничениях по прочности, жесткости и устойчивости.

2. Разработать метод оптимального проектирования композитных элементов конструкций, позволяющий находить в отличие от существующих методов всю совокупность оптимальных структур.

3. Определить оптимальные структурные параметры слоистых композитов по условиям прочности, жесткости и устойчивости при одном и нескольких случаях нагружения.

4. Решить задачи оптимального проектирования слоистых панелей, баллонов давления и тонкостенных стержней.

Научная новизна.

Научная новизна работы определяется

1. Предложенной математической постановкой задачи оптимального проектирования ортотропных слоистых композитов, находящихся в условиях

одного или нескольких случаев нагружения, предусматривающей определение углов армирования, толщин и количества слоев, обеспечивающих минимум массы при ограничениях по прочности, жесткости и устойчивости. Задача сводится к задаче безусловной минимизации суммарной толщины композита в минимаксной постановке.

2. Методом решения задачи оптимального проектирования слоистых ортотропных композитных панелей, находящихся в плоском напряженном состоянии, обеспечивающим минимальную толщину панели при ограничениях по прочности слоев. Поиск оптимальных структур основан на методе направленного перебора с уточняющим поиском методом сопряженных направлений и позволяет найти набор эквивалентных оптимальных структур при заданном числе слоев композита.

3. Обобщением предложенного метода на задачи, в которых наряду с ограничениями по прочности слоев заданы ограничения по жесткости и устойчивости композитной панели.

Достоверность результатов.

Достоверность полученных результатов определяется сопоставлением с известными аналитическими и численными решениями частных задач.

Практическая значимость.

Практическая значимость работы определяется полученными рекомендациями по оптимальной структуре композитных панелей, при воздействии нагрузок, действующих в плоскости панели. Результаты работы могут быть использованы при проектировании несущих оболочек отсеков ракет, обшивки крыла, оперения и фюзеляжа самолета, баллонов давления и других композитных конструкций.

Предложенный подход к оптимальному проектированию элементов слоистых композитных конструкций может представлять интерес для разработчиков численных и аналитических методов решения задач оптимального проектирования.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на:

молодежной научной конференции «XXXIII Москва 3-7 апреля 2007, МАТИ-РГТУ им.

научной конференции «XXXIV апреля 2008, МАТИ-РГТУ им.

научной конференции «XXXV апреля 2009, МАТИ-РГТУ им.

1. Международной Гагаринские чтения», К.Э. Циолковского;

2. Международной молодежной Гагаринские чтения», Москва 1-5 К.Э. Циолковского;

3. Международной молодежной Гагаринские чтения», Москва 7-11 К.Э. Циолковского;

Основные положения диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения. Работа содержит 143 страницы машинописного текста, 64 рисунка. Список литературы включает 219 наименований.

II. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проведено обоснование актуальности темы, сформулирована цель и изложено содержание диссертационной работы.

В первой главе содержится описание существующих формулировок и постановок задач оптиального проектирования конструкций, а также подходов и методов решения этих задач. Приведен обзор основных работ, посвященных проблемам оптимального проектирования композитных конструкций. Отмечаются результаты, полученные в работах Азаровой Г.Н., Баничука Н.В., Бунакова В.А., Васильева В.В., Дудченко A.A., Зиновьева П.А., Кобелева В.В., Комарова В.А., Крегерса А.Ф., Марциновского В.В., Миткевича А.Б., Нарусберга В.Л., Немировского Ю.В., Образцова И.Ф., Протасова В.Д., Рикардса Р.Б., Смердова A.A., Тетерса Г.А., Янковского А.П., Gürdal Z., Haftka R.T., Hajela Р., Han K.S., Hwang W., Nagendra S., Park H.C., Song S.R. и других

авторов. На основе обзора литературы сформулирована общая постановка задачи оптимального проектирования слоистых композитов.

Вторая глава включает математическую постановку и метод решения задачи оптимального проектирования ортотропных слоистых композитов по условиям прочности, жесткости и устойчивости.

Рассматривается панель, изображенная на Рис. 1, состоящая из п пар однонаправленных слоев композита с углами армирования и толщинами h¡ (г' = 1, 2, 3,...и). В главных осях ортотропии однонаправленного слоя 1,2 характеристики этого слоя определяются упругими постоянными Е2, (712, уп> У21 и пределами прочности а*, , гп при растяжении (знак «+»), сжатии (знак «-») и сдвиге. Оси ортотропии 1 и 2 направлены соответственно вдоль и поперек волокон однонаправленного слоя. Панель нагружена известными нормальными и касательньми усилиями Ых, и N ^ (Рис. 1).

Условием оптимальности панели, все слои которой изготовлены из одного материала, является условие минимума ее толщины при наложенных на панель ограничениях по прочности, жесткости и устойчивости. Таким образом, задача оптимального армирования заключается в определении структурных параметров пластины - толщин слоев , углов армирования (р1 и числа слоев и, обеспечивающих минимальную толщину панели при выполнении условий

прочности материала всех слоев, условий жесткости и устойчивости при действии заданных нагрузок Л^, N и N^.

В соответствии с формулировкой задачи оптимального проектирования слоистой композитной панели математическая постановка задачи записывается следующим образом.

Целевая функция имеет вид

► тт.

Ограничения по прочности

'1 У

'2 У

, кг , к,г ,

г \г г,-

¿1;

......„ .. ,

/ = 1, П.

Используемый критерий прочности учитывает различные пределы прочности материала при растяжении и сжатии и в предельных случаях описывает две возможные формы разрушения композита, связанные с нарушением монолитности материала (разрушение матрицы) и с разрушением волокон.

Ограничения по жесткости записываются через деформации панели ех, еу, у и соответствующие допускаемые значения (отмечены чертой)

Ограничения по устойчивости связывают действующие усилия и соответствующие критические значения, т.е.

И>|лд.

С помощью соотношений механики композитов и заданных ограничений можно получить неравенства, явно определяющие толщину панели. В частности, из условия прочности

г <г± Г И ~ьу '

IУ *У | ~ У ху'

Здесь

ст. а.

1 и1

Г г ^ К* У

{(УпВ22 - + (В„- УХ1В^у +

+ [(В22 + В12)ЫХ - (В,, + В12)Лд(1 - у|2)с,

О", с

2и2

В22-у21В12)^ + (У21Вп-В12)ЛГ -

-[(В22 + Bl2)Nx -(Вп + В12ЖД1 -у21)с,. Т Л^ (1 -

В:

'33

( ^ \2/ д

Л^ (2с, -1) + 2[(В22 + В12)ЛГХ - (Ви + 5|2)Лд7с,(1-с,)

V *зз

J___1_

•((у,2В22 -В12)ЛГ, + (В„ -УпВп)Ыу +

+[(В22 +В12ж, -(Вп +в12)лд(1-г12)с,. ±лг„ +

33 )

^ ' 1 1л

£2 В

Ч°"2 У

•((В22 -у21В12)Л^ +(г21в„ -В12)^ -

[(В22 +В12)ЛГ, -(Ви +В12)^](1-у21)с,. +

Е,

зз

где с,-= соб2^,.; £12 = ''2

1-^12^21

; (тп = 11, 12, 22, 33);

1=1

В = ВИВ22-В22; ¿,=¿,//2;

=Л„-с|2-2Л21-С|+£1>

Таким образом, и г,, а, следовательно, и толщина панели /г являются функциями структурных параметров - относительных толщин й, и углов армирования (р1.

Дп=(1-2у12)£1+£2-4С12, Л12 = £.г12-£2+2С12, Л21 =(1-^12)£1-2С12.

Аналогично для ограничений по жесткости

-ад!, ь* гху

ВёГ.....Веу " ' " '«: Въъу%

Для записи ограничений по устойчивости в работе рассматривается четыре случая: шарнирно опертая панель, со свободно смещающимися продольными кромками в поперечном направлении, находящаяся под действием одноосного сжатия; шарнирно опертая панель, с фиксированными от смещения в поперечном направлении продольными кромками, находящаяся в условиях двухосного сжатия; шарнирно опертая панель, находящаяся в условиях чистого сдвига и сочетание одноосного или двухосного сжатия со сдвигом. Рассматриваются пластины с симметричной структурой.

В случае одноосного сжатия ограничение по устойчивости позволяет получить неравенство

Ъ>\

ъгт1

л2Ксг

где Тх - сжимающая сила; Ъ - ширина панели;

К" =1шп

А,(ту)2 +2Щ2 +2£>зз)«2 +Д22

{ту) _

где тип- целочисленные переменные, характеризующие форму потери

_ 2 п _

устойчивости; у = Ыа; а - длина панели; Ок1 = -^Гл^к^:* + ~1 г1+| + 5Д,) -

3 1.1

коэффициенты изгибной жесткости (к1 = И, 12, 22, 33); г,- = — безразмерная координата г -го слоя (Рис. 2).

I ( м А

1-»

V 4=0 у

ш ..............................................Ш А,/2 <

шШШШШШШШШШШж А,/2 \

Н1И11НИ И,/2 гп\

Рис. 2. Расположение слоев

В большинстве случаев на практике продольные кромки панели не имеют возможности смещаться в поперечном направлении, в следствии чего из-за эффекта Пуассона в направлении у возникает реактивное усилие Ту , т.е.

панель находится в условиях двухосного сжатия. Ограничение по устойчивости при таком нагружении формально имеет вид такой же, как и в случае одноосного сжатия, в котором

Ксг =шш-

1 + -

£>„ а0 + 2(23,2 + 2 Аз) + ¿>22 —

ап

где а0 = (тЫ па)1.

В случае чистого сдвига ограничение по устойчивости позволяет получить неравенство

Ь>.

аЪТ1

К" '

Параметр К"у является минимальным положительным собственным значением системы однородных линейных алгебраических уравнений, относительно

неизвестных м>,,

¡=1 ^

.4 \

т а+2т п Р+— а

8т\8щ +Кху -^ГгШГп]

где 8ы - символ Кронекера;

гт1 =

ГП1

2 -2 т -I

А,

а2 УД-

г/ т +г = 1,3,5,...; г/ /и +/ = 2,4,6,...; Д2+2Д3

Ж'

Коэффициент является функцией двух аргументов а и /?. Его значения для

заданных а и /? определялись в работе с помощью специально разработанной программы.

Для описания ограничения по устойчивости при комбинированном нагружении используется аппроксимация критической поверхности

/ Тсг ^2

ху

\ хусг

= 1.

Здесь Тхсг и - критические силы в случаях действия одноосного или двухосного сжатия и чистого сдвига соответственно; Т" и Т"у - критические

силы в случае комбинированного нагружения. Ограничение по устойчивости при комбинированном нагружении позволяет получить следующее неравенство для толщины

Ь>

к +

где Ях =

2 _ Я у а

¥к

И Я =--

™ ггсг „ 2

■ху

К л _

-. Полученное выражение является

универсальным и справедливо для всех рассмотренных случаев нагружения.

Таким образом, толщина панели А выражается из всех ограничений в явном виде и является функцией структурных параметров /г, и (рг В качестве проектных параметров приняты относительные толщины слоев /г,, углы армирования (р1 и число пар перекрестно армированных слоев и, и задача

оптимизации представляется как задача безусловной минимизации в минимаксной постановке

к{к,(р) = тах

Ве

Вё

к+^+4/г

> ПИП .

Для решения поставленной задачи предлагается поиск организованным перебором на сетке с уточнением решения методом сопряженных направлений. Количество слоев п проектируемого композита заранее не известно, поэтому в работе организован универсальный перебор, применимый для поиска решения задачи любой размерности. Идея организации такого перебора заключается в следующем. Все потенциальные решения задачи нумеруются определенным образом и перебираются в порядке нумерации. В соответствии с правилом нумерации по рекуррентной формуле вычисляются безразмерные координаты точек в пространстве поиска

О if к = г

у=1 V /=1

О г/ пии^т/ПЛГ, |*0

1 I/ то(1

где /и = 1,2,..]~[Л^, - номер текущей точки перебора; г - размерность задачи

¡=1

(количество проектных параметров); хк - к-я целочисленная координата точки т, связанная с одним из проектных параметров; к = 1,2,...,г; Nк - количество

точек перебора в направлении к; Л^ = 1; «\» - оператор целочисленного деления; тос1() - остаток от деления. Количество точек перебора N1 вычисляется следующим образом

+ 1 ¡/ к<п

Р -Р

^ Й*-». + 1 у к>„

¿V»

Здесь <р),-км, <р1-к+1, и /г42_и - границы поиска решения в пространстве проектных параметров; Лй4_„ и - шаги перебора по проектным

параметрам. Проектные параметры вычисляются с помощью переменных хк

\ = й/ + Дй(хв+1., 1 = 1,2,3,..., п -1;

4>г = Р,' + > ' =!»2>3, ■и-

Найденное оптимальное решение задачи определяет основное решение или основную оптимальную структуру. Кроме основного решения из всех перебранных решений выбираются дополнительные эквивалентные решения с помощью условия й/ - й* <£э, где: й/ - толщина панели, соответствующая г-

ой эквивалентной оптимальной структуре; й* - толщина, соответствующая основной оптимальной структуре; - допуск поиска эквивалентных решений, задаваемый проектировщиком. Метод организованного перебора позволяет получить все эквивалентные оптимальные структуры, т.е. выявить так называемое «плато» оптимальных параметров (если оно существует), не определяемое традиционными методами оптимизации. Поскольку при большом числе слоев перебор является трудоемкой операцией, он осуществляется на достаточно редкой сетке.

Полученное перебором основное решение уточняется в окрестности, ограниченной близлежащими узлами сетки, методом сопряженных направлений. В качестве сопряженных направлений выбраны направления,

параллельные координатным осям проектных переменных й, и т.е. поиск осуществляется следующим образом

А/+1=А/+а,+1р/ г = 1,2,...,и-1

<Р1

- Л

<р; +«;+|Р„+,-1 I = 1,2,..., и

Здесь у - номер шага поиска; р' =(р(,р{,—,р}г)т - направление поиска; г = 2п -1 - размерность задачи. Компоненты вектора р' задаются следующим образом

у=|1 г/ к = ]-р-г +1 Рк [0 г/ кФ]-0-г + \'

где /7 = у'\г. На каждом (/ + 1)-ом шаге решается одномерная задача

относительно параметра , поиск решения которой осуществляется методом

золотого сечения в границах а'+1 < огуЧ1 < аг2+1, где

if и-Р-г +1) = /

[1-^ г/(^-А/)^0-50 <Рц-<Р1

г/ г +1 = /

Здесь й1(., /г2,, с/?,,- и г/>2,- - границы области поиска в пространстве проектных

п-1

параметров; SJ = ^ А/ . Критерием останова для поиска методом сопряженных

;=1

направлении является выполнение условии

V II II, <Р! II

-ргИ' I ЗИК'

г,

1--

<Е.

Здесь У - значение целевой функции на у'-ом шаге; е^, е - заданные проектировщиком погрешности для искомых оптимальных проектных параметров hi и <р{ и оптимальной толщины пластины И.

В третьей главе рассматривается проектирование композитных элементов конструкций при различных ограничениях с использованием предложенного во второй главе подхода. В качестве материала композита в рассматриваемых примерах используется однонаправленный углепластик /Î54/350-6 с механическими характеристиками £, = 143 ГПа, £2 = 10 ГПа,

Gn = бГПа, у 2i =0,3, =2172МПа, ст," = 1558МПа, ст2=54МПа, сг2 =186МПа, т)2 =87МПа и углепластик на основе ткани Porcher 3105 с механическими характеристиками £, = £2 = 70 ГПа, G{2 = 6,6 ГПа, v21 = v12 =0,12, =ст2+ = 650МПа, ст," =ст2" =400МПа, г,2 =95МПа.

В первом разделе главы рассматривается ряд задач оптимального проектирования слоистых панелей по условию прочности для разных случаев нагружения. Следует отметить несколько наиболее интересных результатов. Например, в случае одноосного растяжения оптимальной получилась структура, состоящая из одной пары перекрестно армированных слоев с углами армирования <р = ± 6,49°. Это объясняется тем, что при такой схеме армирования в поперечном направлении слоев возникают сжимающие усилия, что позволяет волокнам воспринимать растягивающую нагрузку большую, чем сила, соответствующая пределу прочности <т,+ . Этот эффект описывается выбранным критерием прочности и подтверждается экспериментом. В случае одноосного сжатия оптимальной получается двухслойная структура /г, = 0,95, h2 =0,05, çi = 0° и (р2 =90°, что объясняется тем, что критерий прочности позволяет учесть растрескивание матрицы от поперечной деформации слоя при одноосном сжатии из-за эффекта Пуассона. Этот результат подтверждается экспериментом. Интересный результат получается для случая двухосного растяжения с усилиями Nх = N . В этом случае получено множество эквивалентных оптимальных структур, достаточно близких к структурам, полученным аналитически в работах Образцова И.Ф., Васильева В.В., БунаковаВ.А. и др.. В случае чистого сдвига, как и следовало ожидать,

оптимальной получилась структура (р = + 45°. Следует отметить, что во всех рассмотренных случаях нагружения оптимальными по прочности получились структуры, состоящие из одной или двух пар перекрестно армированных слоев. Проектирование панелей из трех пар слоев не улучшило решения задачи, а лишь дало дополнительные эквивалентные оптимальные структуры.

Второй раздел главы посвящен оптимальному проектированию композитных конструкций по условиям прочности и жесткости. Рассматривается задача оптимального проектирования аккумулятора давления (Рис. 3). При проектировании по условию монолитности материала, которое обеспечивает максимальную циклическую прочность аккумулятора, оптимальной структурой для аккумулятора давления получается структура, состоящая из одной пары перекрестно армированных слоев с углами армирования <р = ±53,83°, что достаточно хорошо совпадает с известным аналитическим решением.

Рис. 3. Аккумулятор давления

Результаты проектирования аккумулятора давления по условиям прочности и осевой жесткости показали, что ограничения, наложенные на осевую деформацию, слабо влияют на оптимальную структуру материала, т.е. оптимальная по условиям прочности и осевой жесткости структура является близкой к оптимальной по условию прочности структуре. В отличие от ограничения на осевую деформацию, ограничение на кольцевую деформацию значительно влияет на оптимальную структуру панели. При этом структура панели по-прежнему остается однослойной. С ужесточением требования по

окружной жесткости оптимальный угол армирования сначала увеличивается, а затем, когда ограничение по прочности перестает быть активным, принимает постоянное значение. Толщина стенки аккумулятора с уменьшением окружной деформации растет. При пропорциональном уменьшении деформаций в обоих направлениях оптимальный проект остается неизменным, соответственно увеличивается лишь толщина стенки аккумулятора. Рассмотрено проектирование баллона давления с использованием монотропной модели материала, т.е. модели, не учитывающей несущую способность связующего. Полученные результаты с высокой точностью совпали с известными аналитическими решениями, полученными на основе предположения армирования композита по траекториям главных напряжений и с использованием первой теории прочности.

В качестве задачи оптимального проектирования композитной конструкции по условиям прочности и жесткости рассмотрена задача проектирования элемента манипулятора (Рис. 4) по условиям прочности и крутильной жесткости. Исследование влияния крутильной жесткости на структуру материала показало, что при проектировании конструкции с достаточной крутильной жесткостью ограничения по прочности становятся неактивными. Оптимальной структурой по условию крутильной жесткости является структура (р = ±45°.

Рис. 4. Фрагмент манипулятора В третьем разделе главы рассматриваются задачи проектирования композитных панелей по условиям прочности и устойчивости. Исследуется

влияние удлинения шарнирно опертых панелей на оптимальную по прочности и устойчивости структуру при отсутствии сдвига. Рассматриваются панели с удлинением от 1 до 2. Установлено, что при свободно смещающихся продольных кромках оптимальными при одноосном сжатии являются трехслойные панели, у которых крайние слои имеют угол близкий к 45°, а средний слой - угол близкий к 0° (например, для а/Ь = 2 <рх = 45,68°, <р2 = 3,57°, /г, =0,76, h2 = 0,24). Этот результат близок к решению Г.Н. Азаровой, полученному для трехслойной пластинки методом штрафных функций. Для панелей с фиксированными продольными кромками оптимальный угол армирования q>x крайнего слоя варьируется в пределах

42,31° < срх <65,11° в зависимости от удлинения панели. Угол <р2 Ддя среднего слоя не зависит от удлинения и равен 0°. Следует отметить, что для большинства рассмотренных панелей кроме основных оптимальных структур получен набор эквивалентных оптимальных структур.

Для квадратных шарнирно опертых панелей со смещающимися и фиксированными продольными кромками рассмотрено влияние сдвига на оптимальную по прочности и устойчивости структуру. Для оценки этого влияния нагрузки задавались в соответствии с условием: = a -N, Тху - у ■ N, а + у = 1, где а и у - нормирующие множители.

В качестве примера рассмотрена задача проектирования панели стабилизатора самолета по условиям прочности и устойчивости. Экстремальные изгибающий и крутящий моменты в корневом сечении стабилизатора вызывают в панели сжатие = —1,5 ■ 106 Н/м и сдвиг 7^=1,4-105 Н/м. В результате проектирования получены следующие эквивалентные оптимальные структуры панели:

- трехслойная структура из двух пар перекрестно армированных слоев q\ = 50,7°, <р2 = 0°, hx = 0,35, h2 = 0,65 и h = 5,56 мм;

- пятислоиная структура из трех пар перекрестно армированных слоев Фу =52,5°, =41,25°, <ръ =0°, А, =0,32, Ъ2 =0,10, къ =0,58 и /г = 5,55 мм. Из полученных результатов следует, что на практике при проектировании на один случай нагружения можно ограничиться трехслойной структурой (если большее число слоев не требуется по конструктивно-технологическим условиям).

Четвертый, последний, раздел главы посвящен постановке и решению задачи оптимального проектирования композитных элементов конструкций, в условиях нескольких случаев нагружения. Постановка такой задачи сводится к минимаксной постановке

-^-(ВцЩ-ВЪЩ), Вб„

к = шах

•ПИП,

к+д/(Л/)2+4(Д^)2

где— номер случая нагружения,./— количество случаев нагружения.

В качестве примера рассматривается проектирование панели стабилизатора самолета. Предполагается, что кроме рассмотренного ранее случая нагружения (сжатия со сдвигом) в проекте нужно учесть еще один случай нагружения - растяжение со сдвигом Гх° =6,0-106 Н/м, Т^ =5,6-105 Н/м. В результате получена пятислойная оптимальная структура, состоящая из трех пар перекрестно армированных слоев, срх =18,75°, <р2 =3,57°, сръ =11,25°, /г, = 0,70, И2 = 0,03, Ъ} = 0,27 и /г = 6,88 мм. Следует отметить, что полученная

структура значительно отличается от структур, полученных при проектировании панели под каждый из случаев нагружения в отдельности и в отличие от этих структур требует большего числа слоев.

Проектирование на два случая нагружения иллюстрируется Рис. 5, на котором представлены три зависимости: 1 - целевая функция при проектировании пластинки под первый случай нагружения; 2 - целевая функция при проектировании пластинки под второй случай нагружения; 3 -целевая функция при проектировании пластинки под оба случая нагружения одновременно.

Рис. 5. Зависимости толщины Ь панели от угла армирования <р при ограничениях по прочности и устойчивости для разных случаев нагружения

ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Представлена математическая постановка задачи оптимального проектирования композитных элементов конструкций, находящихся в условиях плоского напряженного состояния. Постановка предусматривает определение углов армирования, толщин и количества слоев, обеспечивающих минимум массы при ограничениях по прочности, жесткости и устойчивости.

проектных параметров и последующим уточнением полученного решения методом сопряженных направлений. Метод позволяет осуществить проектирование для двух возможных форм разрушения композитного материала, связанных с разрушением волокон и связующего и позволяет выявить классы эквивалентных оптимальных проектов.

3. При проектировании композитов по условию прочности оптимальное число пар перекрестно армированных слоев не превышает двух для одного случая нагружения.

4. Решена задача оптимального проектирования аккумулятора давления по условию прочности и жесткости. В результате получена оптимальная структура, состоящая из одной пары перекрестно армированных слоев; найдены оптимальные по прочности и жесткости структуры материала.

5. Решена задача проектирования элемента манипулятора по условиям прочности и крутильной жесткости, в результате получена оптимальная структура, состоящая из одной пары перекрестно армированных слоев. Увеличение крутильной жесткости элемента манипулятора приводит к увеличению осевой и окружной жесткостей и делает неактивным ограничение по прочности.

6. При проектировании композитных панелей по условиям прочности и устойчивости для одного случая нагружения оптимальной является трехслойная панель, у которой крайние слои имеют угол близкий к 45°, а средний слой - угол близкий к 0°. Дальнейшее увеличение числа пар слоев не приводит к улучшению проекта.

7. Проектирование панелей по условиям прочности и устойчивости в случае преобладания сдвига дает оптимальную структуру из одной пары перекрестно армированных слоев с углом армирования 45°.

8. Проектирование по прочности и устойчивости в условиях двух случаев нагружения приводит к увеличению потребного числа слоев до 5.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Хазиев А.Р. Оптимальное армирование композитных панелей, находящихся в условиях плоского напряженного состояния // XXXIII Гагаринские чтения. Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 томах; Москва, 3-7 апреля 2007, Т.5 с. 86-87.

2. Хазиев А.Р. Оптимальное армирование слоистых композитов по условиям прочности // Вопросы оборонной техники. Сер. 15. Композиционные неметаллические материалы в машиностроении. - М.: ФГУП «НТЦ «Информтехника». - 2008. - Вып. 3(150). - С. 18-24

3. Васильев В.В., Хазиев А.Р. Оптимальное проектирование слоистых композитов // Механика композиционных материалов и конструкций. -2009. - Т.15. -№1. - С. 3-16

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата технических наук, Хазиев, Алексей Равкатович

Введение.

1. Оптимальное проектирование композитных материалов и конструкций (ОБЗОР).

1.1. Задача и методы оптимального проектирования.

1.2. Оптимальное проектирование композитов.

2. Метод оптимального проектирования слоистых композитов.

2.1. Постановка задачи оптимального армирования.

2.2. Основные соотношения механики слоистых композитов.

2.3. Ограничения по прочности.

2.4. Ограничения по жесткости.

2.5. Ограничения по устойчивости.

2.6. Описание метода.

3. Оптимальное проектирование слоистых композитных панелей.

3.1. Оптимальное проектирование слоистых панелей с ограничениями по прочности.

3.2. Оптимальное проектирование композитных элементов конструкций с ограничениями по жесткости.

3.3. Оптимальное проектирование слоистых панелей с ограничениями по устойчивости.

3.4. Оптимальное проектирование слоистых панелей при нескольких случаях нагружения.

Введение диссертация по механике, на тему "Оптимальное проектирование композитных элементов конструкций по условиям прочности, жесткости и устойчивости"

Технический прогресс порождает непрерывное расширение класса конструкционных материалов и совершенствование их свойств. Появление новых материалов обусловлено естественным стремлением повысить эффективность разрабатываемых конструкций. Одно из наиболее ярких проявлений прогресса в развитии материалов, конструкций и технологии связано с разработкой и применением армированных композитных материалов. Композиты обладают рядом очевидных преимуществ перед другими материалами, в частности перед металлами. Такими преимуществами являются высокая удельная прочность и жесткость, высокая коррозионная стойкость, хорошая способность выдерживать знакопеременные нагрузки и другие. Следует отметить еще одну, возможно, самую главную особенность композитов — это способность к направленному изменению свойств материала в соответствии с назначением конструкции и характером ее нагружения. Направленный характер свойств композитов, естественно, предполагает, что наряду с высокими механическими характеристиками в одних направлениях они обладают низкими в других. Поэтому эффективная реализация достоинств этих материалов в конструкциях требует решения комплекса задач, связанных с определением рациональной структуры материала, соответствующей полю внешних нагрузок и других воздействий, с учетом его особенностей и технологических ограничений. Правильный учет особенностей композитов и рациональное использование их преимуществ позволяют получать конструкции, обладающие высокой степенью весового совершенства и уровнем свойств, недостижимым при использовании традиционных материалов. Таким образом, проектирование композитных конструкций, кроме традиционного определения ее геометрических параметров, предусматривает определение рациональной структуры материала, т.е. числа и порядка чередования слоев, углов ориентации и вида армирующих элементов. Это усложняет как формулировку, так и решение задач оптимального проектирования. Следует отметить, что если оптимальность конструкции из традиционных материалов является желательным условием, то применительно к композитам выполнение условий оптимальности структуры может являться необходимым условием существования конструкции. Еще одна особенность, возникающая при проектировании композитных конструкций, связана с тем, что широкий спектр свойств материала, зависящий от многочисленных сочетаний структурных параметров, иногда приводит к неочевидным и неоднозначным решениям задачи проектирования. Перечисленные особенности определяют важность полноты и корректности формулировки задачи оптимального проектирования композитов.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

4. Решить задачи оптимального проектирования слоистых панелей, баллонов давления и тонкостенных стержней.

Актуальность работы определяется широким применением композитов в современной технике. Конструкции, изготавливаемые в настоящее время из композитов, являются, как правило, тонкостенными и состоят из системы различным образом ориентированных элементарных слоев композита. Определение оптимальных структур материала, обеспечивающих минимальную массу таких конструкций при выполнении ограничений, обеспечивающих ее работоспособность, предоставляется актуальной и важной в прикладном отношении задачей.

Научная новизна работы определяется 1. Предложенной математической постановкой задачи оптимального проектирования ортотропных слоистых композитов, находящихся в условиях одного или нескольких случаев нагружения, предусматривающей определение углов армирования, толщин и количества слоев, обеспечивающих минимум массы при ограничениях по прочности, жесткости и устойчивости. Задача сводится к задаче безусловной минимизации суммарной толщины композита в минимаксной постановке.

Достоверность полученных результатов определяется сопоставлением с известными аналитическими решениями частных задач.

Диссертация состоит из введения трех глав и заключения. Во введении проведено обоснование актуальности темы, сформулирована цель и изложено содержание диссертационной работы.

Заключение диссертации по теме "Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении сформулированы основные результаты и выводы.

2. Предложен новый метод поиска оптимального решения, позволяющий находить набор эквивалентных оптимальных структур при действии одного или нескольких случаев нагружения. Метод основан на организованном переборе проектных параметров и последующим уточнением полученного решения методом сопряженных направлений. Метод позволяет осуществить проектирование для двух возможных форм разрушения композитного материала, связанных с разрушением волокон и связующего и позволяет выявить классы эквивалентных оптимальных проектов.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Хазиев, Алексей Равкатович, Москва

1. Абросимов Н.А., Баженов В.Г., Столов В.П. Минимизация массы металло-копозитных сферических оболочек при импульсном нагружении // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Анализ и оптимизация деформируемых систем // Горький, 1988. — С. 67-72

2. Абросимов Н.А., Баженов В.Г., Столов В.П. Оптимальное проектирование многослойных композитных оболочек вращения нерегулярной структуры при импульсных и ударных воздействиях // Механика композитных материалов. — 1990. — № 6. С. 1087-1093

3. Азарова Г.Н., Васильев В.В. Оптимальное армирование прямоугольных пластин, работающих на устойчивость // Проектирование, расчет и испытания конструкций из композиционных материалов. М.: ЦАГИ, 1978. - выпуск VI. - С. 16-39

4. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи: Учеб. пособие. — 3-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. 256 с.

5. Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин B.C., Методы оптимизации. М.: Изд-во МГТУ, 2001. - 440 с.

6. Аудзе П.П., Эглайс В.О. Новый подход к планированию многофакторных экспериментов // Вопросы динамики и прочности (Рига). 1977. — Вып. 35.-С. 104-107.

7. Бакулин В.Н., Грибанов. В.М. Острик А.В. и др. Методы оптимального проектирования и расчета композиционных конструкций. В 2 т. Т.2. Механическое действие рентгеновского излучения на тонкостенные композиционные конструкции. М.: Физматлит, 2008. — 256 с.

8. Бакулин В.Н., Гусев E.JL, Марков В.Г. Методы оптимального проектирования и расчета композиционных конструкций. В 2 т. Т.1. Оптимальное проектирование конструкций из композиционных и традиционных материалов. М.: Физматлит, 2008. - 256 с.

9. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988. - 128 с.

10. Баничук Н.В. Введение в оптимизацию конструкций. М., 1986. - 302 с.

11. Баничук Н.В., Кобелев В.В., Рикардс Р.Б. Оптимизация элементов конструкций из композиционных материалов. — М.: Машиностроение, 1988.-224 с.

12. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980. - 256 с.

13. Белевичус Р. Оптимизация формы слоистых ортотропных пластинчатых конструкций // Механика композитных материалов. — 1993. — № 4. — С. 537-546

14. Белоусов А.И., Галкин С.В., Герман А.Д. и др. Методы оптимизации в инженерных задачах.; Под ред. С.В. Галкина. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1991. - 160 с.

15. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. — М.: Радио и связь, 1987. 400 с.

16. Борисов В.И. Проблемы векторной оптимизации // Исследование операций. -М.: Наука, 1972. С. 72-91

17. Брызгалин Г.И., Копейкин С.Д. О многоцелевом проектировании волокнистых композитных материалов // Механика композитных материалов. 1980. - № 3. - С. 404-408

18. Бунаков В.А., Маркин В.Б. Оптимальное проектирование конструкций из композиционных материалов. Барнаул: Алтайский гос. техн. ун-т им. И.И. Ползунова, 1994. - 57 с.

19. Васильев В.В., Добряков А. А., Дудченко А. А. и др. Основы проектирования и изготовления конструкций летательных аппаратов из композиционных материалов: Учебное пособие. М.: МАИ, 1985. - 218 с.

20. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. -М.: Машиностроение, 1988. — 272 е.: ил. — (Б-ка расчетчика/Ред. кол.: Н.Н. Малинин (пред.) и др.)

21. Васильев В.В., Федоров JI.B. Геометрическая теория упругости и оптимизация формы твердых тел // Изв. РАН. МТТ. 2006. №1. С. 16-27.

22. Владимирский Б.М., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М. Математика. Общий курс. СПб.: Лань, 2002. - 960 с.

23. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. — 984 с.

24. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. Изд-во МЭИ (СССР); Техника (НРБ), 1989. 224 с.

25. Геминтерн В.И., Каган Б.М. Методы оптимального проектирования. — М.: Энергия, 1980.- 160 с.

26. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.-509 с.

27. Гилл Ф., Мюррей У. Численные методы условной оптимизации. — М., 1977.-290 с.

28. Гнуни В.Ц., Ншанян Ю.С. Многокритериальное проектирование тонкостенных элементов конструкций из композиционных материалов // Механика композитных материалов. — 1982. — № 5. С. 850-854

29. Голдманис М.В., Крегерс А.Ф., Тетере Г А. Многокритериальная оптимизация оболочек вращения из слоистых композитов. Всесоюз. конф. по проблемам оптимизации и надежности в строительной механике. Аннот. докл. Вильнюс, 1988. - С. 30

30. Гольденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности пластичности конструкционных материалов. М., 1968. - 191 с.

31. Гурвич И.Б., Захарченко В.Г., Почтман Ю.М. Рандомизированный алгоритм для решения задач нелинейного программирования // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1979. - №5. - С. 30-34

32. Дудченко А.А. Расчет и проектирование крыла и элементов планера самолета из композиционных материалов: Дис. на соискание ученой степени докт. техн. наук. Москва, МАИ, 1995.

33. Зайцев Т.П., Тышкевич В.Н. Рациональное проектирование криволинейных перекрестно армированных труб из стеклопластика // Механика композитных материалов. 1992. - № 4. - С. 470-475

34. Зиенюк В., Габрел. В. Генетические алгоритмы, основанные на основной системе интегральных уравнений для идентификации констант материала для анизотропных сред // Механика композитных материалов. 2001. — №3. - С. 347-354

35. Зиновьев П.А., Смердов А.А. Оптимальное проектирование композитных материалов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. - 103 с.

36. Зиновьев П.А., Смердов А.А. Предельные возможности композитных структур. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Машиностроение, 2005. -Специальный выпуск. С. 106-128

37. Зиновьев П.А., Смердов А.А. Предельные возможности многослойных композитных структур. // Известия АН СССР. Механика твердого тела. -1994.-№1 С. 7-17

38. Зиновьев П.А. Термостабильные структуры многослойных композитов // Механика конструкций из композиционных материалов: сборник научных статей / Под ред. В.Д. Протасова. М.: Машиностроение, 1992. — -С. 193-207

39. Каниболотский М.А., Уржумцев Ю.С. Оптимальное проектирование слоистых конструкций. — Новосибирск: Наука, 1989. 176 с.

40. Карвасарская Н.А., Фрегер Г.Е. Оптимизация гибридных спирально анизотропных композитов // Механика композитных материалов. — 1990. №5.-С. 812-816

41. Киселев В.А. Рациональные формы арок и подвесных систем. — М.: Госстройиздат, 1953.

42. Колмогоров Г.Л., Лежнева А.А. Оптимальное проектирование конструкций: Учеб. Пособие / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2005. -168 с.

43. Колпаков А.Г. Проектирование волокнистых композитов с заданными деформативно-прочностными характеристиками // Прикладная механика и техн. физика. 1995. - Т.36, №5. - С. 113-123

44. Комаров В.А. О рациональном распределении материала в конструкции. // Известия АН СССР. Механика. 1965. - №5. - С. 85-87

45. Крегерс А.Ф., Голдманис М.В., Тетере Г.А. Компромиссная оптимизация пологой сферической оболочки из волокнистых композитов // Механика композит, материалов. 1988. - №6. С. 1089-1094

46. Крегерс А.Ф., Мелбардис Ю.Г. Многоцелевая безусловная оптимизация // Алгоритмы и программы. 1989. - №3. - С. 5

47. Крегерс А.Ф., Мелбардис Ю.Г., Построение трехмерной области прочностных свойств слоистого композита // Механика композитных материалов. 1993. - № 6. - С. 765-771

48. Крегерс А.Ф., Мелбардис Ю.Г., Ректиныи М.Ф. Многоцелевая оптимизация упругих и теплофизических свойств волокнистых композитов // VII Всесоюз. конф. по механике полимерных и композитных материалов. Тез. докл. — Рига, 1990. — С. 89-90

49. Крегерс А.Ф., Мелбардис Ю.Г., Ректинып М.Ф. Многоцелевая оптимизация упругих и теплофизических свойств волокнистых композитов // Механика композитных материалов. 1990. - № 1. - С. 3747

50. Крегерс А.Ф., Мелбардис Ю.Г. Самоорганизация многомерной нелинейной математической модели на основе банка элементарной функций // Алгоритмы и программы. 1988. - №10. - С. 12

51. Крегерс А.Ф., Мелбардис Ю.Г., Толке A.M. Многоцелевая оптимизация свойств поливолокнистого пенопласта // Механика композит, материалов. 1991. -№ 6. -С. 1053-1058

52. Крегерс А.Ф., Ректинып М.Ф. Анализ формы многомерной области свойств оптимизируемого композита // Механика композитных материалов. 1991. - № 5. - С. 876-884

53. Крегерс А.Ф., Тетере Г.А. Вероятностная оценка результатов многоцелевой оптимизации свойств композита // Механика композит, материалов. 1992. - № 1. - С. 89-95

54. Крегерс А.Ф., Тетере Г.А., Голдманис М.В., Ректинып М.Ф. Многоцелевая оптимизация композитной конической оболочки при осевом сжатии // Механика композитных материалов. — 1990. — № 6. — С. 1072-1078

55. Крегерс А.Ф., Тетере Г.А., Голдманис М.В., Ректинып М.Ф. Многоцелевая оптимизация оболочек из композитов // VII Всесоюз. конф. по механике полимерных и композитных материалов. Тез. докл. — Рига, 1990.-С. 80

56. Крегерс А.Ф., Тетере Г.А., Мелбардис Ю.Г., Лагздинь А.Ж. Характеристики четырехмерного распределения свойств композита при стохастической компромиссной оптимизации // Механика композитных материалов. 1996. - Т. 32, № 5. - с. 625-635

57. Крегерс А.Ф., Тетере Г.А., Мелбардис Ю.Г. Определение области рассеивания в стохастических задачах многокритериальной оптимизации свойств композита // VIII Междунар. конф. по механике композитных материалов. Тез. докл. Рига, 1993. - С. 96

58. Кузнецов А.В., Холод Н.И., Костевич JI.C. Руководство к решению задач по математическому программированию: Учеб. пособие; Под ред. А.В. Кузнецова. Мн.: Высш. шк., 2001. - 448 с.

59. Марцыновский В.В. Оптимальное армирование вращающихся дисков, изготовленных из композиционных материалов // Проектирование, расчет и испытания конструкций из композиционных материалов. М.: ЦАГИ, 1984. - выпуск X. - С. 71-76

60. Марцыновский В.В. Оптимальное проектирование тонкостенных конструкций из композиционных материалов // Проектирование, расчет и испытания конструкций из композиционных материалов. — М.: ЦАГИ, 1982. выпуск IX. - С. 91-99

61. Мачуга О.С., Щербина Н.Н. Моделирование и оптимизация структурной поврежденности цилиндрических оболочек с расслоениями // Механика композитных материалов. — 1990. № 6. — С. 1079-1086

62. Маяк Ю., Ханнус С. Ориентационное проектирование анизотропных материалов на основе критериев Хилла и Цая-Ву // Механика композитных материалов. 2003. - № 6. - С. 767-784

63. Мелбардис Ю.Г., Крегерс А.Ф., Тетере Г.А. Вероятность реализации (с учетом ограничений) компромиссного проекта слоистой композитной пластины // Механика композитных материалов. 1994. - Т. 30, № 3. - С. 391-397

64. Миткевич А.Б., Протасов В.Д. Оптимизация равнопрочных армированных цилиндрических оболочек давления к устойчивости от осевого сжатия // Механика композитов. 1973. — №6. — С.1123-1126

65. Миткевич А.Б., Протасов В.Д. Равновесные формы баллонов давления из стеклопластика, изготовленных негеодезической намоткой // Механика композитов. 1975. - №6. - С.983-987

66. Молодцов Г.А., Биткин В.Е., Симонов В.Ф. и др. Формостабильные и интеллектуальные конструкции из композиционных материалов. — М.: Машиностроение, 2000. 352 с.

67. Мормуль Н.Ф. Многокритериальная оптимизация композитных панелей и цилиндрических оболочек с помощью человеко-машинных процедур: Дис. . канд. техн. наук. Днепропетровск, 1990. - 256 с.

68. Мормуль Н.Ф., Почтман Ю.М. Использование человеко-машинных процедур в задачах векторной оптимизации конструкций // Автоматизированные подсистемы поискового конструирования. — Горький, 1981.-С. 123-132

69. Мормуль Н.Ф., Почтман Ю.М. Многокритериальная оптимизация композитных цилиндрических оболочек при действии стохастического внешнего давления // Прикладные проблемы прочности и пластичности. — Горький: Изд-во ГГУ, 1989. Вып. 42. - С. 51-55

70. Мормуль Н.Ф., Почтман Ю.М. Многокритериальная оптимизация подкрепленных гибридных композитных панелей // Механика композитных материалов. 1995. - Т. 31, № 3. - С. 370-377

71. Мормуль Н.Ф., Почтман Ю.М. Многокритериальная оптимизация подкрепленных композитных панелей при комбинированном нагружении // Механика композитных материалов. 1993. - Т. 29, № 6. - С. 823-830

72. Мормуль Н.Ф., Почтман Ю.М. О многокритериальной оптимизации композитных цилиндрических оболочек при действии внешнего давления // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Будивельник, 1988.-Вып. 52.-С. 112-116

73. Муц А. Оптимизация многослойных композитных конструкций со случайно распределенными механическими свойствами // Механика композитных материалов. 2005. - Т. 41, № 6. — С. 753-760

74. Мышкис АД. Лекции по высшей математике. — М.: Наука, 1969. — 640 с.

75. Нарусберг В.Л., Тетере Г.А. Устойчивость и оптимизация оболочек из композитов. Рига, 1988. - 299 с.

76. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Мозаичное армирование плоских термоупругих композитных конструкций с использованием различныхкритериев рационального проектирования // Механика композиционных материалов и конструкций. 2002. - № 3. - С. 409-436

77. Немировский Ю.В., Янковский А.П Проектирование плоских термоупругих композитных конструкций с равнонапряженной арматурой // Прикл. механика и техн. физика. — 2001. № 2. - С. 213-223

78. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Рациональное проектирование армированных конструкций. Новосибирск: Наука, 2002. - 488 с.

79. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Рациональное профилирование армированных вращающихся дисков // Механика композит, материалов. — 2002.-Т. 38, № 1.-С. 3-24

80. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Рациональное профилирование равнонапряженно армированных пластин при упругопластическом поперечном изгибе // Механика композитных материалов. — 2003. — Т. 39, №3.-С. 311-332

81. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек из композиционных материалов. — М.: Машиностроение, 1977. — 144 с.

82. Образцов И.Ф., Васильев В.В. Оптимальная структура и прочность слоистых композитов при плоском напряженном состоянии // Разрушение композитных материалов: Труды Первого Советско-американского симпозиума. Рига, 1979. - С. 142-148

83. Ольхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций: Вопросы вибрации и потери устойчивости. Сборник статей. — М.: Мир, 1981. — 280 с.

84. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. — 254 с.

85. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1984. - 384 с.

86. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамекрелидзе Р.В. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. - 392 с.

87. Почтман Ю.М., Деревянко JI.B., Мормуль Н.Ф. Многокритериальная оптимизация гибридных композитных цилиндрических оболочек при действии стохастического комбинированного нагружения // Механика композитных материалов. — 1990. № 6. - С. 1094-1100

88. Почтман Ю.М. Модели и методы многокритериальной оптимизации конструкций. Днепропетровск: Изд-во ДГУ, 1984. - 132 с.

89. Почтман Ю.М., Семенец С.Н. О разработке моделей многокритериальной оптимизации конструкций из композитных материалов // Механика композит, материалов. 1993. - № 4. - С. 669-673

90. Почтман Ю.М., Семенец С.Н., Шульга С.А. Многокритериальная оптимизация композитных панелей при стохастических нагрузках // Механика композит, материалов. 1983. - №6. - С. 1113-1116

91. Почтман Ю.М., Чуханин С.В., Шульга С.А. Оптимальное проектирование цилиндрических композитных оболочек при динамическом нагружении // Механика композитных материалов. 1993. - Т. 29, № 3. - С. 361-366

92. Почтман Ю.М., Шульга С.А., Нагорный Д.В. Динамика и оптимизация цилиндрических оболочек из композитных материалов // Механика композитных материалов. 1995. - Т. 31, № 1. - С. 81-87

93. Почтман Ю.М., Шульга С.А. Оптимизация цилиндрических композитных оболочек с учетом критической моды несовершенств // Механика композитных материалов. 1998. - Т. 34, № 5. - С. 613-620

94. Растригин JI.A. Статистические методы поиска. М.: Наука, 1968. — 376 с.

95. Рач В.А., Ивановский B.C., Миткевич А.Б. Особенности реализации прочности исходных волокон в различно ориентированных слоях намотанных конструкций из органопластика // Механика армированных пластиков. Рига, 1985. - С. 43-48.

96. Рач В.А. Оптимизация цилиндрических баллонов давления по критерию массового совершенства // Механика композитных материалов. — 1990. — № 3. С. 489-494

97. Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Методы оптимального проектирования деформируемых тел (постановка и способы решения задач оптимизации параметров элементов конструкций). — М.: Наука, 1976. — 258 с.

98. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике: В 2 кн. -М.: Мир, 1986.-349 с.

99. Смердов А.А., Баслык К.П. Возможности управления термическим деформированием космической платформы из углепластика // Механика композиционных материалов и конструкций. 2005. №1. - С. 41-48

100. Смердов А.А. Местная устойчивость и оптимизация трехслойных цилиндрических оболочек с армированными обшивками и легким заполнителем при осевом сжатии // Расчет тонкостенных оболочечных конструкций. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1987. - С. 13-23

101. Смердов А.А. Оптимальное проектирование оболочек как задача математического программирования // Машиностроение: Энциклопедия; Т. 1-3; в 2-х кн. / Под ред. К.С. Колесникова М.: Машиностроение, 1995. - Кн.2. - С. 233-240

102. Смердов А.А. Оптимальные по прочности многослойные композиты // Новые перспективные материалы и технологии их получения 2004: Сб. науч. тр. Международной конференции. - Волгоград, 2004. - Т. 2. — С. 212-214

103. Смердов А.А. Оптимизация характеристик демпфирования многослойных композитных стержней // Авиационная промышленность. -2006. №2.-С. 12-18

104. Смердов А.А. Основы оптимального проектирования композитных конструкций. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. - 88 с.

105. Смердов А.А. Разработка методов проектирования композитных материалов и конструкций ракетно-космической техники: Дис. на соискание ученой степени докт. техн. наук. Москва, 2007. - 410 с.

106. Смердов А.А. Разрушение композитных труб по форме «китайского фонарика» при нагрузке весового типа // Механика композитных материалов. 1999. №3. - С. 319-324

107. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Наука, 1981. - 112 с.

108. Тенг T.-JI., Ю Ч.-М., By Я.Я. Оптимальное проектирование композитных сосудов давления, изготовленных намоткой волокном // Механика композитных материалов. 2005. - Т. 41, № 4. - С. 489-498

109. Тетере Г.А., Крегерс А.Ф. Компромиссная оптимизация композитной пластины с заданной вероятностью реализации // Механика композитных материалов. 1997. - Т. 33, № 5. - С. 626-635

110. Тетере Г.А., Крегерс А.Ф., Мелбардис Ю.Г. Стохастическая задача многоцелевой оптимизации вязкоупругой композитной пластины // Механика композитных материалов. — 1995. — Т. 31, № 3. С. 363-369

111. Тетере Г.А., Крегерс А.Ф. Многоцелевое оптимальное проектирование композитных конструкций. Обзор // Механика композитных материалов.- 1996. Т. 32, № 3. - С. 363-376

112. Тетере Г.А., Крегерс А.Ф. Оптимизация с учетом надежности композитной пластины, теряющей устойчивость при термическом воздействии // Механика композит, материалов. 2000. - Т. 36, № 6. — С. 757-766

113. Тетере Г.А. Многокритериальная оптимизация композитной цилиндрической оболочки при термических и динамических воздействиях // Механика композитных материалов. — 2004. — Т. 40, № 6.- С. 753-760

114. Тетере Г. Многокритериальная оптимизация прямоугольных композитных пластин, подверженных продольным термическим напряжениям и теряющих устойчивость при касательном нагружении // Механика композитных материалов. 2007. - Т. 43, № 1. - С. 85-91

115. Тетере Г. Многоцелевая оптимизация композитной прямоугольной пластины при двухосном и термическом нагружении // Механика композитных материалов. 2005. - Т. 41, № 5. - С. 683-690

116. Тетере Г.А., Рикардс Р.Б., Нарусберг B.JI. Оптимизация оболочек из слоистых композитов. Рига: Зинатне, 1978. — 240 с.

117. Троицкий В.А., Петухов JI.B. Оптимизация формы упругих тел. М.: Наука, 1982.-432 с.

118. Уржумцев Ю.С., Адамович А.Г., Каниболотский М.А. Оптимизация слоистых систем // Механика композитных материалов. 1990. — № 1. -С. 98-104

119. Усюкин В.И. Строительная механика конструкций космической техники. М.: Машиностроение, 1988. - 392 с.

120. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 400 с.

121. Фрегер Г.Е., Бакст Е.Е. Оптимизация некоторых видов изделий из композитных материалов на основе плетеных структур // Механика композитных материалов. 1993. - Т. 29, № 4. - С. 468-472

122. Фрегер Г.Е., Карвасарская Н.А. Расчет и оптимальное проектирование композитных элементов стержневых конструкций // Механика композитных материалов. 1990. - № 3. - С. 501-507

123. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. — М.: Мир, 1975.-534 с.

124. Хог Э., Чой К., Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций. М.: Мир, 1988. - 428 с.

125. Хог Э. Арора Я. Прикладное оптимальное проектирование: Механические системы и конструкции. М.: Мир, 1983. - 478 с.

126. Чамис К.К. Проектирование элементов конструкций из композитов //Композиционные материала; В 8-ми т. / Под ред. Л. Браутмана и Р. Крока. М.: Машиностроение, 1978. - Т. 8, Часть 2. - С. 214-254

127. Чедрик В.В. Практические методы оптимального проектирования конструкций из слоистых композиционных материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. 2005. - № 2. - С. 184-198

128. Шэнли Ф.Р. Анализ веса и прочности самолетных конструкций. Оборониздат, 1957.

129. Эглайс В.О. Алгоритм интуитивного поиска для оптимизации сложных систем // Вопросы динамики и прочности (Рига). 1980. - Вып. 36. - С. 28-33

130. Эглайс В.О. Интуитивный поиск эффективная разновидность случайного поиска // Проблемы случайного поиска. - Рига: Зинатне, 1988. -Вып. 11.-С. 53-62

131. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969

132. Энгельс X, Ханзел В., Беккер В. Оптимальное подкрепление отверстий в конструкциях из композитов // Механика композитных материалов. — 2002. Т. 38, № 5. - С. 635-652

133. Adali S. Convex and fuzzy modeling of uncertainties in the optimal design of composite structures // Optimal Design with Advanced Materials / Ed. by P. Pedersen. Amsterdam: Elsevier, 1993. - P. 173-189

134. Adali S., Richter A., and Verijenko V.E. Minimum weight design of symmetric angle-ply laminates under multiple uncertain loads // Structural Optimization. -1995.-No. 9.-P. 89-95

135. Adali S., Richter A., and Verijenko V.E. Minimum weight design of symmetric angle-ply laminates with incomplete information on initial imperfections // ASME J. of Appl. Mechanics. 1997. - Vol. 64. - P. 90-96

136. Adali S., Summers E.B., Verijenko V.E. Optimization of laminated cylindrical pressure vessels under strength criterion // Composite Structures. 1993. -Vol. 25.-P. 305-312

137. Ashbee K.H.G. Fundamental Principles of Fiber Reinforced Composites. -Lancaster (USA): Technomic Publishing Co., Inc., 1993. 424 p.

138. Augusto O.B., Rabeau S., Depince P. et al. Multi-Objective Genetic Algorithms: A Way To Improve the Convergence Rate // Engineering Applications of Artificial Intelligence. -2006. Vol. 19, - P. 510-510

139. Banichuk N.V., German V.I., Kobelev V.V. et al. Methods of Optimal Design // Optimal Design. Theory and Applications to Materials and Structures / Ed. by V.V. Vasiliev, Z. Giirdal. Lancaster (USA): Technomic Publishing Co., 1999.-P. 31-63

140. Belevicius R. Shape optimization of laminated orthotropic plate structures // Mechanics of Composite Materials. 1993. - T. 29, № 4. - C. 537-546

141. Botkin M.E. Shape Optimization of Plate and Shell Structures // AIAA J. -1982. Vol. 20, N. 2. - P. 268-273

142. Bruyneel M. A General and Effective Approach for the Optimal Design of Fiber Reinforced Composite Structures // Composites Science and Technology. -2006.-Vol. 66-P. 1303-1314

143. Chao C.C., Koh S.L., Sun C.T. Optimization of buckling and yield strengths of laminated composites//AIAA J. 1975. -Vol. 13.-P. 1131-1132

144. Chen Y.H., Hsu Y.S. A Multiobjective Optimization Solver Using Rank-Niche Evolution Strategy // Advances in Engineering Software. -2006. -Vol. 37,-P. 684-699

145. Chou T-W. Microstructural Design of Fiber Composites. Cambridge: Cambridge University Press, 1992. - 569 p.

146. Fang C., Springer G.S., Design of Composite Laminates by a Monte-Carlo Method // Journal of Composite Materials. 1993. - Vol. 27, №7. - P. 721753

147. Fukunaga H. and Uemura M. Optimum design of helically wound composite pressure vessels // Composite Structures. 1983. - Vol. 1. - P. 31-49

148. Fukunaga H., Sekine H. Optimum design of composite structures for shape, layer angle and layer thickness distributions // J. Composite Materials. 1993. -Vol. 27, No. 15.-P. 1479-1492

149. Fukunaga H., Vanderplaats G.N. Strength optimization of laminated composites with respect to layer thickness and/or layer orientation angle // Computers & Structures. 1991. - Vol. 40. - P. 1429-1439

150. Goldberg D.E., Genetic Algorithm in Search Optimization and Machine Learning, Addison-Wesley Publishing Company Inc., Reading Massachusetts. -1989

151. Graesser D.L., Zabinsky Z.B., Tuttle M.E., Kim G.I. Optimal design of a composite structure // Composite Structures. 1993. - Vol. 24. - P. 273-281

152. Giirdal Z., Haftka R.T., Hajela P. Design and Optimization of Laminated Composite Materials. New York (USA): John Willey & Sons, Inc., 1999. -338 p.

153. Giirdal Z., Haftka R.T., Nagendra S. Genetic Algorithms for the Design of Laminated Composite Panels // SAMPLE Journal. -1994. Vol. 30, №3. -P. 29-35

154. Hansel W. and Becker W. Layerwise adaptive topology optimization of laminate structures // Eng. Computat., Int. J. Comput. Aided Eng. Software. -1999. Vol. 16, No. 7. - P. 841-851

155. Hansel W., Treptow A., Becker W. et al. A heuristic and a Genetic Topology Optimization Algorithm for Weight-Minimal Laminate Structures // Composite structures. 2002. - Vol. 58. - P. 287-294

156. Ine-Wei Liu, Chien-Chang Lin. Optimum design of composite wing structures by a refined optimality criterion // Composite Structures. 1991. - Vol. 17. -P. 51-65

157. Jimenez F., Cadenas J.M., Sanchez G. et al. Multi-Objective Evolutionary Computation and Fuzzy Optimization // International Journal of Approximate Reasoning. -2006. Vol. 43, - P. 59-75

158. Jonse R.M. Mechanics of Composite Materials. Levittown PA (USA): Taylor & Francis Inc., 1999. - 519 p.

159. Kam T.Y., Snyman J.A. Optimal design of laminated composite plates using a global optimization technique // Composite Structure. 1991. - Vol. 19. - P. 351-370

160. Kere P., Koski J. Multicriterion Stacking Sequence Optimization Scheme for Composite Laminates Subjected to Multiple Loading Conditions // Composite Structures. 2001. - Vol. 54. - P. 225-229

161. Kim C.W., Hwang W., Park H.C., Han K.S. An optimal stacking sequence design of laminated composite cylinder // ICCM-9. Madrid, Spain, 1993

162. Kogiso N., Watson L.T., Giirdal Z. et al. Genetic Algorithms with Local Improvement for Composite Laminate Design // Structural Optimization. -1994. Vol. 7, №3. P. 207-218

163. Krikanov A.A. Composite pressure vessels with higher stiffness // Composite structures. 2000. - P. 119-127

164. Le Riche R., Hafitka R.T. Improved Genetic Algorithms for Minimum Thickness Composite Laminate Design // Composites Engineering. -1995. -Vol. 5, №2.-P. 143-161

165. Lee Y.-S., Lee Y.-W., Na M.-S. Optimal design of hybrid laminated composite plates // Composites. Design, Manufacture and Application. Proc. 8th Intern. Conf. Composite Materials, Honolulu, July 15-19, 1991, Published by SAMPE, 1991.-1-K-1.1-K-12

166. Legrand X., Kelly D., Crosky A. et al. Optimization of Fiber Steering in Composite Laminates Using a Genetic Algorithm // Composite Structures. -2006.-Vol. 75,-P. 524-531

167. Lellep J., Majak J. Optimal material orientation of nonlinear elastic orthotropic materials // Struct. Optim. 1997. - Vol. 14, No. 2-3. - P. 116-120

168. Lellep J., Majak J. Optimal material orientation of nonlinear orthotropic materials // Mechanics of Composite Materials. 1999. - T. 35, № 3. - C. 335346

169. Lellep J., Sakkov E. On optimization of a reinforced beam subjected to dynamic loading // Trans. Tartu Univ. 1985. - N 721. - P. 7-15

170. Lellep J. and Sakkov E. Optimization of cylindrical shells of fibre-reinforced composite materials // Mechanics of Composite Materials. 1996. - T. 32, № l.-C. 65-71

171. Lellep J., Sakkov E. Optimum design of a reinforced beam under dynamic loading // Mechanics of Composite Materials. 1993. - T. 29, № 6. - C. 811815

172. Lellep J., Sakkov E. Optimum design of a reinforced rigid-plastic beam in the case of impulsive loading // Trans. Tartu Univ. 1983. - N 659. - P. 3-11

173. Lellep J., Sakkov E. Optimum design of plastic reinforced beam // Materials of Conf. "Solidity, Stiffness and Technology of Composite Materials". Jerevan, 1984.-Vol. 2.-P. 129-132

174. Li W., Li Q., Steven G.P. et al. An Evolutionary Shape Optimization for Elastic Contact Problems Subject to Multiple Load Cases // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2005. - Vol. 194. - P. 3394-3415

175. Marcelin J.L., Trompette P., Dornberger R. Optimization of Composite Beam Structures Using a Genetic Algorithm // Structural Optimization. 1998. -Vol. 15,-P. 275-281

176. Muc A. and Gurba W. Optimization of volume for composite plated and shell structures // Proc. 3rd Int. Conf. Thin-Walled Str. London, Elsevier, 2001. -P. 585-592

177. Muc A. and Gurba W. Probabilistic algorithms in optimization problem for composite plate and shells // Proc. ICCM-13. Bejing, 2001. - 8 p. CD.

178. Muc A., Gurba W., Genetic Algorithms and Finite Element Analysis in Optimization of Composite Structures // Composite Structures. 2001. -Vol. 54, №9. P. 236-244

179. Muc A. Optimal fibre orientations for simply supported plates under compression// Composite structures. 1988. No. 9. - P. 161-172

180. Nagendra S., Jestin D., Giirdal Z. et al. Improved Genetic Algorithms for the Design of Stiffened Composite Panels // Computers & Structures. -1996. -Vol. 58, №3.-P. 543-555

181. Pajasekaran S., Ramasamy J.V., and Balakrishnan M. Application of the Genetic Algorithm to Optimal Lay-Up of Shells Made of Composite Laminates // Mechanics of Composite Materials. 2000. - Vol. 36, №2. - P. 271-27

182. Park C.H., Lee W.I., Han W.S. et al. Simultaneous Optimization of Composite Structures Considering Mechanical Performance and Manufacturing Cost // Composite Structures. 2004. - Vol. 65. - P. 117-127

183. Park C.H., Lee W.I., Han W.S. et al. Weight Minimization of Composite Laminated Plates with Multiple Constraints // Composite Science and Technology. 2003. - Vol. 63.-P. 1015-1026

184. Pedersen P. Design for Minimum Stress Concentration some Practical Aspects. // Structural Optimization. Eds by G.I.N. Rozvany and B.L. Karihaloo. - Kluwer Academic Publishers, 1988. - P. 225-232

185. Pedersen P. On optimal orientation of orthotropic materials // Struct. Optim. -1989.-Vol. 1, No. 2.-P. 101-106

186. Pedersen P., Tobiesen L. and Jensen S.H. Shape of Orthotropic Plates for Minimum Energy Concentration // DCAMM Report No. 434. The Technical University of Denmark, 1992

187. Rajeev S., and Krishnamoorthy C.S., "Discrete optimization of structure using genetic algorithms" J. Struc. Eng., 118, №5, 1233-1250. 1992

188. Reddy J.N. A penalty plate-bending element for the analysis of laminated anisotropic composite plates // Intern. J. for Numerical Methods in Engineering.- 1980.-Vol. 15.-P. 1187-1206

189. Riekstins A. and Teters G. Rational reinforcement of laminated composite cylindrical panels with regard to stability constraints // Mechanics of Composite Materials. 1993. - T. 29, № 6. - C. 799-810

190. Rikards R., Bledzki A.K., Eglajs V., Cate A., Kurek K. Elaboration of optimal design models for composite materials from data of experiments // Mechanics of Composite Materials. 1992. - № 4. - C. 435-445

191. Rikards R. Elaboration of optimal design models for objects from data of experiments // Optimal Design with Advanced Materials. Proc. IUTAM Symp. Lungby, Denmark, 18-20 Aug., 1992 (ed. P. Pedersen). Elsevier Science Publishers, 1993.-P. 148-162

192. Rikards R. Minimum weight design of sandwich and laminated composite structures // Mechanics of Composite Materials. 1995. - T. 31, № 1. - C. 5164

193. Sadagopan D., Pitchumani R. Application of Genetic Algorithms to Optimal Tailoring of Composite Materials // Composites Science and Technology. -1998.-Vol. 58,-P. 571-589

194. Schmit L.A., Jr., Farshi B. Optimum design of laminated fiber composite plates // Intern. J. for Numerical Methods in Engineering. 1977. - Vol. 11. - P. 623640

195. Schmit L.A., Jr., Farshi B. Optimum laminated design for strength and stiffness // Intern. J. for Numerical Methods in Engineering. 1977. - Vol. 7. - P. 519536

196. Shulga S.A. Nonlinear behavior and optimization of geometrically imperfect cylindrical shells made of composite materials // XI Polish Conf. on Computer Methods in Mechanics. Kielce-Gedzyna, Poland, 1993. - P. 823-830

197. Shulga S.A., Sudol D.E., and Nishino F. Optimization of geometricallyimperfect shells made of composite materials by linear and nonlinear theories // j t #

198. The 3 East Asia-Pacific Conf. on Structural Engineering and Construction. -China, Shanghai, 1991.-P. 1281-1286

199. Soliro A., Antonio C., Marqeus T. Optimization of composite materials using reliability // Structural Optimization 93. The World Congr. on Optimal Design of Structural Systems. Proc. 1993. - Vol. I. - P. 343-352

200. Song S.R., Hwang W., Park H.C., and Han K.S. Optimum stacking sequence of composite laminates for maximum strength // Mechanics of Composite Materials. 1995. - Т. 31, № 3. - C. 393-404

201. Spunt L. Optimum Structural Design. Prentice Hall, 1971

202. Srinivas S.A.S., Genetic Algorithm to Optimal Lay-Up in thin Composite Panels, ME Thesis, Bharathiar University, Coimbatore. 1997

203. Tauchert T.R., Adibhatla S. Design of laminated plates for maximum stiffness // J. of Composite Materials. 1984. - Vol. 18. - P. 58-69

204. Teters G., Kregers A., Goldmanis M. Nonlinear finite element stability analysis and optimization of composite shells // I Baltic-Scandinavian Symp. on mechanics. Abstracts. Riga, 1990. - P. 55-57

205. Teters G., Kregers A., Melbardis J. Stohastic multi-objective optimization of a viscoelastic composite plate // IX Intern. Conf. on Mechanics of Composite Materials. Book of Abstracts. Riga, 1995. - P. 205

206. Todoroki A., Haftka R.T. Stacking Sequence Optimization by a Genetic Algorithm with a New Recessive Gene Like Repair Strategy // Composites Part В Engineering. -1998. - Vol. 29. - P. 277-285

207. Vasiliev V.V., Asikov N.S., Salov, V.A. Thin-Walled Composite Panels -Applied Theory, Experiments // 33rd International Sampe Symposium and Exhibition. Anaheim, 1988

208. Vasiliev V.V., Giirdal Z. Optimal Design. Theory and applications to Materials and Structures / Ed. by Lancaster (USA): Technomic Publishing Co., 1999. -320 p.

209. Vasiliev V.V. Mechanics of Composite Structures. Taylor & Francis, 1993, 506 p.

210. Vasiliev V.V., Morozov E.V. Mechanics and Analysis of Composite Materials Oxford: Elsevier Science Ltd, 2001, 412 p.

211. Walker M., Smith R. A Methodology to Design Fiber Reinforced Laminated Composite Structures for Maximum Strength // Composites Part B: Engineering. - 2003. Vol. 34. - P. 209-214

212. Wang К., Kelly D., Dutton S. Multi-Objective Optimization of Composites Aerospace Structures // Composite Structures. 2002. - Vol. 57. - P. 141-148

213. Yang S.M., Shao D.G., Luo Y.J. A Novel Evolution Strategy of Multiobjective Optimization Problem // Applied Mathematics and Computation. 2005. -Vol. 170.-P. 850-873

214. Zehnder N., Ermanni P. A Methodology for the Global Optimization of Laminated Composite Structures // Composite Structures. 2006. - Vol. 72. -P. 311-320

215. Zinoviev P.A., Smerdov A.A., Preliminary Design Optimal Composite Structures // First World Congress of Structural and Multidisciplinary Optimization. Goslar (Germany), 1995. - V.2. - P. 47-48

216. Zinoviev P.A., Smerdov A.A., Ultimate Properties of Unidirectional Fiber Composites // Composite Science and Technology. 1999. - Vol.59. - P. 625634