Некоторые задачи оптимального проектирования анизотропных неоднородных пластин и оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ ОБОЛОЧЕК С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ЖЕСТКОСТЕЙ. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МАЙЕРА-БОЛЬЦА.

§ 1.1. Основные уравнения и соотношения для анизотропных трехслойных оболочек переменной толщины или переменными коэффициентами упругости

§ 1.2. Общая постановка и" решение задачи Майера

Больца.

ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ОДНОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ.

§ 2.1. Оптимальное проектирование анизотропных пластин переменной толщины

§ 2.2. Оптимальное проектирование анизотропных цилиндрических оболочек переменной толщины

§ 2.3. Задача оптимального проектирования ортотроп-ных осесимметрических оболочек вращения переменной жесткости.

§ 2.4. Оптимальное проектирование цилиндрических оболочек, которые удовлетворяют допущениям технической теории оболочек

§ 2.5. Задачи оптимального проектирования однослойных неоднородных конструкций

ГЛАВА 3. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ТРЕХСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ. ОПТИМАЛЬНАЯ ОРИЕНТАЦИЯ ГЛАВНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ УПРУГОСТИ МАТЕРИАЛА КОНСТРУКЦИЙ. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ.

§ 3.1. Задачи оптимизации трехслойных конструкций

§ 3.2. Задача оптимальной ориентации главных направлений упругости материала конструкции

§ 3.3. Численная реализация оптимизационных задач

В современной механике деформируемого твердого тела к числу важнейших и наиболее быстро развивающихся направлений относится теория оптимального проектирования конструкций. Это обусловлено тем, что с одной стороны современная наука, техника и общественное производство с необходимостью сталкиваются с задачами, относящимися к теории оптимального проектирования конструкций, а с другой стороны современные математические достижения и, в первую очередь, развитие мощной электронно-вычислительной техники создали плодотворную почву для решения этих задач.

Нужно отметить, что теория оптимального проектирования конструкций кроме огромного практического значения имеет также и теоретическое значение. Развитие этой теории взаимным образом влияет и на развитие других математических дисциплин. Нередко задачи теории оптимального проектирования конструкций открывают новую область и предмет исследований, влекут за собой новые подходы и нетрадиционные методы решения задач в теории оптимального управления, в вариационном исчислении, в математической физике и в математическом программировании.

В практике все более широкое применение находят конструкции, изготовленные из композиционных материалов. В связи с этим большое внимание стали привлекать задачи оптимального проектирования анизотропных неоднородных конструкций, и в последние годы резко возросло число исследований, посвященных рассмотрению таких задач. В большинстве своем эти исследования относятся к вопросам повышения жесткостно-прочностных характеристик конструкций заданной формы и массы. В классе указанных оптимизационных задач в качестве переменных проектирования выбираются различные параметры и функции, характеризующие внутреннюю структуру конструкции.

Возросший интерес к задачам оптимального проектирования анизотропных неоднородных конструкций обусловлен также расширением технологических возможностей получения композиционных материалов. Стало возможным изготовление элементов конструкций с любыми наперед заданными распределениями механических характеристик: упругих модулей, направлений осей анизотропии, функций, описывающих распределение плотности материала конструкции.

Большинство исследований в теории оптимального проектирования посвящено рассмотрению конструкций типа стержней, пластин и оболочек. Это объясняется тем, что при механико-математических расчетах летательных аппаратов, термоядерных устройств, строительных сооружений или других реальных объектов чаще всего в качестве моделей рассматриваются названные механические конструкции и их сочетания.

В теории оптимального проектирования привлекают большое внимание также задачи оптимизации трехслойных анизотропных конструкций. Это связано с непременным повышением практической значимости трехслойных конструкций, чему в свою очередь в значительной мере способствовало широкое применение высокопрочных материалов: титана и его сплавов, армированных пластиков и других композиционных материалов. Действительно, конструкции, изготовленные из перечисленных материалов и работающих в условиях изгиба и сжатия, по условию прочности должны иметь малую толщину, но при этом момент инерции сечения конструкции мал, вследствие чего потеря устойчивости происходит при низкой критической нагрузке. А этого недостатка лишены трехслойные конструкции. Кроме того, при использовании соответствующих материалов несущих слоев и заполнителя трехслойные пластины и оболочки могут обладать хорошими вибропоглощающими характеристиками, иметь необходимые теплоизоляционные и радиотехнические свойства. Укажем некоторые типы заполнителей: сотовые, трубчатые, гофрированные, неармированные пенопласты.

В современной теории оптимального проектирования конструкций важное место занимают те исследования, которые посвящена рассмотрению вопросов оптимизации формы или структуры анизотропных неоднородных пластин и оболочек, удовлетворяющих заданным ограничениям на фазовые и управляющие переменные. К числу таких исследований относится и предлагаемая диссертационная работа, в которой рассмотрены задачи минимизации масс анизотропных неоднородных конструкций типа пластин и оболочек, а также задачи максимизации основной частоты их собственных колебаний с помощью оптимального выбора главных направлений упругости материала конструкции. Те же задачи рассмотрены также для трех конструктивных вариантов анизотропных пластин и оболочек: однослойных однородных с переменной толщиной, однослойных неоднородных с постоянной толщиной и трехслойных. В качестве переменных проектирования рассматривается функция, описывающая толщину конструкции, или функция неоднородности материала конструкции. Рассматриваются также некоторые вопросы, связанные с наличием геометрических ограничений на переменные проектирования.

Исследования проводились с использованием методов вариационного исчисления и численных методов.

Круг рассматриваемых в диссертационной работе задач относится к одной из перспективных областей современной теории оптимального проектирования конструкций и представляет несомненный практический и теоретический интерес.

В целях уяснения места, которое занимают задачи оптимизации анизотропных неоднородных конструкций в общей теории оптимального проектирования, проведем краткий обзор истории вопроса.

В теории оптимального проектирования первые исследования посвящены в основном оптимизации стержневых конструкций. Еще в 1638 году Г.Галилей [П7] исследовал задачу проектирования равнопрочной консольной балки, на свободном конце которой действует сосредоточенная сила. В качестве переменного проектирования фигурирует высота поперечного прямоугольного сечения балки. Оптимальный закон изменения высоты, найденный Г.Галилеем, имел форму параболы. Впоследствии оказалось, что эта форма изменения высоты обеспечивает также минимальный вес для балки, в которой нормальные напряжения не превосходят определенную величину.

Вот уже более двухсот лет неослабливающее внимание многих исследователей привлекает другая задача оптимизации формы стержня, которая была поставлена Ж.Лагранжем [" 119]. В этой задаче рассматривается вопрос о минимизации массы колонны, которая, не теряя устойчивости, подвергается воздействию сжимаемой силы заданной величины. Решение, найденное Ж.Лагранжем, оказалось ошибочным. Правильное решение этой задачи дал Т.Клаузен [ 11б]. Но и это решение (рис.1а) имело недостаток: на свободном конце стержня толщина стремится к нулю и, следовательно, напряжение бесконечно возрастает. Поэтому Е.Л.Николаи рассматривал эту задачу при дополнительных ограничениях на величину напряжения [71, 72] и получил оптимальную форму толщины стержня, представленную на рис.16. Далее можно привести ряд исследований, посвященных рассмотрению задачи Лагранжа или двойственной к ней задачи (когда масса стержня фиксируется и требуется максимизировать критическую силу) [П, 35, 36, 63, 101, 109, Ив].

Ряд исследований посвящен динамическим задачам оптимального проектирования стержней или стержневых систем. Ставятся различные задачи: минимизация веса при заданной частоте собственных колебаний конструкции или максимизация основного тона собственных колебаний при фиксированном весе; максимизация жесткостных, Р Р

ТГГТТТ7ТП7 а ш

Рис л лрочностных характеристик flO, 12, 56, 75, 122, 128]. Динамические задачи оптимального проектирования одними из первых исследовали М.Г.Крейн [ 56] и Ф.Ниордсон [l22¡.B работе [ 56] рассматривалась неоднородная по плотности струна,для которой отыскивались наилучшие распределения инерционных характеристик, т.е. распределение плотности р(х) по длине струны. Оптимальные решения имеют релейный характер и представляются в виде, изображенном на рис.2. Распределение, приведенное на рис.2а, соответствует максимуму основного тона, а распределение на рис.26 -минимуму. В работе [ 122 ] находилось оптимальное распределение толщины балки, максимизирующее ее основную частоту колебаний. Решение этой оптимизационной задачи представлено на рис.3.

Кроме перечисленных выше, отметим также работы [l3, 77, 86, 100, 112, ИЗ], посвященные оптимизации различных стержней, в том числе криволинейных, анизотропных, неоднородных.

В современной теории оптимального проектирования задачи р(х) а j>fx) S

Рис.2

AM X

- Рис.3 оптимизации конструкций типа пластин и оболочек составляют класс, что значительно более широк и разнообразен по сравнению с задачами оптимизации стержневых конструкций. Это обусловлено рядом причин: двумерностыо задач, сложностью уравнений состояния (особенно для оболочечных конструкций), разнообразием краевых условий и т.д. Значительная часть исследований, посвященных оптимизации пластин или оболочек, заключается в рассмотрении задачи минимизации массы пластины или оболочки при заданных ограничениях: на частоту собственных колебаний, на критическую силу потери устойчивости, на другие жесткостно-прочностные характеристики [7, 14-16, 28, 29, 34, 39, 40, 49, 62, 65, 75 , 88, 89, 99, 103, НО, 114, 120, 121 - для пластин, 25-28, 43, 46, 47, 67, 68, 69, 87, 92-98, 105 - для оболочек]. Определенный интерес представляют также задачи, где предполагается, что материал пластины или оболочки работает за пределами упругости или когда конструкция подвергается температурным воздействиям [23, 24, 32, 37, 50, 51, 81, 86, 113, 123, 126].

Проведем краткий обзор исследований, посвященных оптимизации анизотропных неоднородных конструкций. В работе [ 90 ], которая является одной из первых работ в этом направлении, В.С.Саркисян исследовал вопрос наилучшей ориентации осей анизотропии стержней. Оптимизации анизотропных неоднородных стержней посвящены работы 10, 12]. Многочисленные исследования посвящены оптимизации анизотропных неоднородных пластин [13, 15, 28, 29, 94, 96, 99] и оболочек [22, 25-28, 43, 54, 70, 74, 92-98]. Учет анизотропных и неоднородных свойств пластин и оболочек, естественно, ведет к дальнейшему усложнению задач оптимизации указанных конструкций. Отметим, что основными вехами в развитии теории пластин и оболочек с учетом анизотропии и неоднородности материала являются работы С.А.Амбарцумяна, С.Г.Лехницкого и других исследователей.

Много работ посвящены теоретическим вопросам: существование оптимальных решений, единственность, локальность или глобальность оптимального решения [8, 14, 61, 64, 65, 81, 124].

При решении задач оптимизации конструкций широко применяются также методы теории управления оптимальными системами [б, 17-19, 78-80, 83, 106, 108, III] : принцип максимума Понтрягина, методы динамического или нелинейного программирования. Ввиду аналитических трудностей, возникающих при решении задач теории оптимального проектирования конструкций, большое значение приобретают численные методы [ 14, 32 , 34, 42 , 45-49 , 68 , 69 , 85, 105, ИЗ]. Необходимо отметить, однако, что вопросы существования и единственности оптимального решения часто остаются открытыми, когда задача решается с помощью численного метода. Укажем ряд работ, где применены аналитические методы исследования: [14, 32, 34, 37-41, 63, 72, 75, 103, 105, 112].

В развитие теории оптимального проектирования значительный вклад внесли Н.В.Баничук, Я.И.Бурак, В.Б.Гринев, Ю.Лепик, К.А. Лурье, В.П.Малков, Ю.В.Немировский, И.Ф.Образцов, Л.В.Петухов, Ю.М.Почтман, Р.Б.Рикардс, А.Г.Угодчиков, В.А.Троицкий, Ф.Л.Чер-ноусько, Ф.Г.Шамиев, Г.С.Шапиро, Ж.-Л.П.Арман, З.Мруз, Ф.И.Ни-ордсон, Н.Ольхофф, В.Прагер, Г.И.Розвани, Р.Шилд и многие другие исследователи.

Среди фундаментальных работ, посвященных оптимальному проектированию конструкций, выполненных в последние годы, хотелось бы выделить, в первую очередь, монографии [l4, 64, 105]. В монографии Н.В.Баничука [и] систематически освещены как теоретические, так и численные методы исследования задач оптимизации формы различных конструкций. Там рассмотрены также задачи оптимизации анизотропных свойств упругих тел.

Работа К.А.Лурье [ 64 ] посвящена в основном многомерным задачам оптимального проектирования. В ней рассмотрены ряд задач оптимизации внутренней структуры. Необходимо отметить, что одним из важных достоинств этой монографии является то, что в ней уточняется необходимое условие Вейерштрасса сильного экстремума для многомерных задач оптимального проектирования.

Ввиду многочисленности исследований, посвященных задачам оптимального проектирования конструкций, приведенный выше обзор, конечно, не претендует на полноту.

Перейдем к изложению основных положений, затронутых в предлагаемой диссертационной работе.

Работа преследует следующие основные цели:

1. Постановка и решение задач минимизации масс анизотропных неоднородных конструкций типа однослойных или трехслойных пластин и оболочек переменной жесткости при заданном значении частоты собственных колебаний конструкций.

2. Рассмотрение задачи оптимальной ориентации главных направлений упругости материала пластин и оболочек. Здесь критерием качества является основная частота собственных колебаний конструкции.

3. Выявление общей закономерности в необходимых условиях оптимальности для однослойных или трехслойных пластин и оболочек переменной жесткости.

4. Численная реализация рассматриваемых оптимизационных задач.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав,списка литературы и двух приложений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Поставлены и решены ряд задач оптимизации формы и внутренней структуры конструкций, изготовленных из композиционных материалов. Рассмотрены однослойные и трехслойные конструкции типа пластин и оболочек разного вида: осесимметричные цилиндрические оболочки, осесимметричные оболочки вращения и цилиндрические оболочки, удовлетворяющие допущениям технической теории оболочек. Рассматриваемые конструкции в основном обладают общей анизотропией.

2. В задачах минимизации масс конструкции, при заданном значении основной частота собственных колебаний, переменным проектирования является функция, описывающая толщину однородной однослойной или трехслойной конструкции (в случае трехслойных конструкций имеется в виду однородность внешних слоев) или функция неоднородности материала однослойных конструкций. В задачах максимизации основного тона собственных колебаний конструкции переменным проектирования является угол, характеризующий главные направления упругости материала конструкции.

3. При получении условий оптимальности использовались в основном вариационные методы. При численной реализации некоторых оптимизационных задач применены различные методы; итерационный метод, метод малого параметра, метод возмущений.

4. Выявлена общая закономерность в необходимых условиях оптимальности для однослойных и трехслойных пластин и оболочек переменной жесткости. Установлена общая, выражающая необходимое условие оптимальности для разных типов конструкций, формула,которая связывает управляющую функцию и функции, характеризующие потенциальную и кинетическую энергии упругой деформации оптимизируемой конструкции.

5. Численная реализация рассматриваемых оптимизационных задач проводилась на ЭВМ ЕС-1033 и ЕС-1045. Соответствующие программы, написанные на алгоритмических языках ПЛ/1 и ФОРТРАН-1У, приводятся в приложении.

Проведенные численные расчеты показывают, что выигрыш массы или увеличение значения основного типа собственных колебаний конструкций значительны. Это говорит о перспективности исследув' мых в диссертационной работе задач.

1. Александров А.Я., Грес П.В., Круглов А.И., Лазарев И.Б. Оптимальное проектирование тонкостенных панелей переменной толщины с концентраторами. - ПППП, 1981, с.80-89.

2. Александров А.Я., Брюккер Л.Э., Куршин Л.М. Расчет трехслойных панелей. М.: Оборонгиз, I960. - 270 с.

3. Александров А.Я., Куршин Л.М. Трехслойные пластинки и оболочки. В кн.: Прочность, устойчивость, колебания. М.: Машиностроение, 1968, т.2, с.243-326.

4. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: Физмат-гиз, 1961. - 384 с.

5. Амбарцумян O.A. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. - 448 с.

6. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1974. -344 с.

7. Арман Ж.-Л.П. Приложения теории оптимального управления системами с распределенными параметрами к задачам оптимизации конструкций. М.: Мир, 1977, - 142 с.

8. Арман Ж.-Л.П., Лурье К.А., Черкаев A.B. К решению задач оптимизации собственных значений, возникающих при проектировании упругих конструкций. Изв. АН СССР, МТТ, 1978, № 5,с.159-162.

9. Атоян Л.А. К задаче оптимального проектирования неоднородных оболочек вращения. Тезисы докладов 1-ой Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур. Киев: Науко-ва думка, 1983. - 14 с.

10. Атоян Л.А., Белубекян М.В., Саркисян B.C. Оптимизация параметров неоднородной балки при колебаниях. Ученые записки ЕГУ, № I, Ереван, 1984. - 24 с.

11. Баничук Н.В. Оптимизация устойчивости стержня с упругой заделкой. Изв. АН СССР. МТТ, 1974, № 4, с.150-154.

12. Баничук Н.В. Об оптимальной анизотропии скручиваемых упругих стержней. МТТ, 1978, № 4, с.149-154.

13. Баничук Н.В. Оптимизация анизотропных свойств деформируемых сред и плоских задач теории упругости. МТТ, 1979, № I,с.71-77.

14. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980, - 256 с.

15. Баничук Н.В. Современные проблемы оптимизации конструкций. -МТТ, 1982, № 2, с.110-122.

16. Баничук Н.В., Картвелишвили В.М., Миронов A.A. Численное решение двумерных задач оптимизации упругих пластин. МТТ, 1977, Р I, с.68-77.

17. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностранной литературы, i960. - 400 с.

18. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. - 408 с.

19. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. - 544 с.

20. Братусь A.C. Метод возмущений в задачах оптимизации пластинок переменной толщины. Изв. АН СССР, МТТ, 1982, № 6,с.135-142.

21. Братусь A.C., Картвелишвили В.М. Приближенные аналитические решения в задачах оптимизации устойчивости и частот собственных колебаний упругих тонкостенных конструкций. Изв. АН СССР, МТТ, 1981, № б, с.I19-139.

22. Бунаков В.А., Васильев В.В., Петушков B.C. Оптимальное проектирование и расчет баллонов давления из композиционных материалов. В сб.: Расчет пространственных конструкций, вып. 17. М.: Стройиздат, 1976, с.142-160.

23. Бурак Я.И., Зозуляк Ю.Д., Гера Б.В. Оптимизация переходных процессов в термоупругих оболочках. Киев: Наукова думка, 1984. - 152 с.

24. Вигак В.М. Оптимальное управление нестационарными температурными режимами. Киев: Наукова думка, 1979. - 360 с.

25. Гегамян Б.П. Необходимые условия оптимальности для трехслойных анизотропных оболочек. Межвузовский сборник научных трудов. Механика, вып.2, Ереван, изд-во ЕГУ, 1982, с.50-54.

26. Гегамян Б.П. О двух задачах оптимального проектирования трехслойных анизотропных оболочек. Тез. докладов семинара-совещания по проблеме "Оптимизация конструкций при динамических нагрузках". Тарту, 1982, с.27-30.

27. Гегамян Б.П. Об одной задаче оптимального проектирования анизотропных оболочек. Тез. докладов юбилейной научной конференции молодых ученых, посвященной 60-летию образования СССР, Ереван, 1982, с.50.

28. Гегамян Б.П., Дкулакян Г.М., Саркисян B.C. Некоторые задачи оптимального проектирования анизотропных пластин и оболочек. Аннотации докладов У Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике, Алма-Ата, 1981, с.107.

29. Гегамян Б.П., Саркисян B.C. Об одной задаче оптимального проектирования трехслойной анизотропной пластины. Труды

30. ХП Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, т.П, Ереван, 1980, с.36-42.

31. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. - 440 с.

32. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. - 512 с.

33. Григолюк Э.И., Подстригач Я.С., Бурак Я.И. Оптимизация нагрева оболочек и пластин. Киев; Наукова думка, 1979.• 364 с.

34. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. Киев: Наукова думка, 1973.- 228 с.

35. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Оптимизация элементов конструкций по механическим характеристикам. Киев: Наукова думка,1975,- 294 с.

36. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Об оптимальных стержнях в задачах устойчивости под действием распределенной нагрузки. Строит. мех. и расч. сооруж., № 6, 1975, с.23-27.

37. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Об оптимальных очертаниях стержней в задачах упругой устойчивости. Строит, мех. и расч. сооруж., № 2, 1975, с.21-27.

38. Гросс 0., Прагер В. Проектирование конструкций минимального веса при подвижных нагрузках. Механика. Периодический сборник переводов иностранных статей, 1964, № 2, с.155-162.

39. Гура Н.М. Оболочка вращения максимальной жесткости, работающая на кручение. МТТ, 1979, № I, с.138-144.

40. Гура Н.М., Сейранян А.П. Оптимальная круглая пластинка приограничениях по жесткости и частоте собственных колебаний. -МТТ, 1977, № I, с.138-145.

41. Дзюба А.П., Левитана Л.Д. Оптимизация формы упругих кольцевых пластин. Сборник научных трудов: Прочность и надежность сложных систем. Киев: Наукова думка, 1979, с.47-53.

42. Диденко Н.И. Оптимальное распределение изгибной жесткости упругой свободно опертой пластины. МТТ, 1981, № I, с.147-158.

43. Дорогинин В.В. Оптимальное проектирование многослоных цилиндров. Вестник Московского университета, серия I, 2/1980, с.67-70.

44. Зиновьев П.А. Сосуды давления минимального веса, образованные намоткой ортотропных лент. В сб. тр. МВТУ им. Н.Э.Баумана, вып.14, 1975, с.45-58.

45. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. - 480 с.

46. Калинин И.Н. Поиск оптимальных параметров ортотропной оболочки. Прикладные проблемы прочности и плоскости, 1973, с.119-124.

47. Калинин И.Н. Эффективное решение одного класса задач оптимизации. МТТ, 1980, № 6, с.93-97.

48. Калинин И.Н., Ленкин И.Б. Оптимизация оболочек кусочно-постоянной толщины при ограничениях по прочности. МТТ,1978, № 6, с.89-94.

49. Карновский И.А., Ланда М.Ш., Почтман Ю.М. Оптимальное управление колебаниями пологих оболочек и пластин как задача математического программирования. МТТ, 1981, № I, с.192-194.

50. Картвелишвили В.М., Миронов А.А., Самсонов A.M. Численный метод решения задач оптимизации подкрепленных конструкций. -МТТ, 1982, № 2, с.93-102.

51. Киракосян P.M. О рациональном проектировании защемленной круглой пластинки за пределами упругости материала. Изв. АН Арм.ССР, Механика, 1979, т.ХХХП, № 3, с.65-74.

52. Киракосян P.M., Минасян В.И., Саркисян М.С. Об определении оптимальной толщины круглой пластинки при изгибе. Прикладная механика, 1982, т.ХУШ, № 10, с.68-74.

53. Кобелев В.Н., Коварский JI.M., Тимофеев С.И. Справочник. Расчет трехслойных конструкций. М.: Машиностроение, 1984. -304 с.

54. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968. - 504 с.

55. Комаров В.А. О рациональном распределении материала конструкции. Изв. АН СССР, Механика, № 5, 1965, с.85-87.

56. Коша А. Вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 1983.280 с.

57. Крейн М.Г. О некоторых задачах на максимум и минимум для характеристических чисел и о Ляпуновых зонах устойчивости.-ПММ, 1951, т.15, вып.З, с.323-348.

58. Леллеп Я.А. Оптимальное проектирование балок в условиях установившейся ползучести. МТТ, 1977, № I, с.202-206.

59. Лепик Ю.Р. Применение принципа максимума Понтрягина для оптимального проектирования цилиндрических оболочек из жесткопластического материала. В кн.: Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975, с.340-349.

60. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. - 416 с.

61. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: Гостехиздат, 1957. - 464 с.

62. Литвинов В.Г. Оптимальное управление коэффициентами в эллиптических системах. Киев, 1979, 52 с. (Препринт / АН СССР, Ин-т математики, № 79, 4).

63. Литвинов В.Г., Пантелеев А.Д. Задача оптимизации пластин переменной толщины. МТТ, 1980, № 2, с.174-181.

64. Лурье А.И. Применение принципа максимума к простейшим задачам механики. Труды Ленинградского политехнического института, № 252, 1965, с.34-46.

65. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975. - 480 с.

66. Лурье К.А., Черкаев А.В. О применении теоремы Прагера к задачам оптимального проектирования тонких пластин. Изв. АН СССР, МТТ, 1976, № 6, с.157-159.

67. Маделунг Э. Математический аппарат физики. М.: Физматгиз, 1961.

68. Максименко В.П. Об оптимизации подкрепленных цилиндрических оболочек при локальных из условий прочности. ПМ, 1982,т.18, № 12, с.41-47.

69. Малков В.П., Угодчиков А.Г. Оптимизация упругих систем. -М.; Наука, 1981. 288 с.

70. Медведев Н.Г. Задача оптимального управления собственной частотой колебаний ортотропной оболочки вращения и ее конечно-мерная аппроксимация. ПММ, 1981, т.45, вып.6, с.1104-1109.

71. Немировский Ю.В., Самсонов В.И. О рациональном армировании цилиндрических оболочек, сжимаемых осевой силой. Изв. АН СССР, МТТ, 1974, Ш I, с.103-112.

72. Николаи Е.Л. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонн. Изв. Петербург, политехи, ин-та, 1907, т.8.

73. Николаи Е.Л. Труды по механике. М.: Гостехиздат, 1955. -584 с.

74. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1951.

75. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов.

76. М.: Машиностроение, 1977. 144 с.

77. Ольхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций. М.: Мир, 1981. - 280 с.

78. Панченков А.Н. Теория оптимальной несущей поверхности. -М.: Наука, 1983. 256 с.

79. Петухов Л.В. Минимум веса тонких криволинейных стержней. -ПММ, 1980, т.44, вып.4, с.720-726.

80. Полак Э. Численные методы оптимизации. М.: Мир, 1974. -374 с.

81. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.; Наука, 1983. -384 с.

82. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.В. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. - 392 с.

83. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования конструкций. М.: Мир, 1977. - 112 с.

84. Пуртов В.А., Пшеничнов Г.И. Оптимальное проектирование сетчатой сферической оболочки с фиксированной первой собственной частотой осесимметричных колебаний. ПММ, 1981, т.45, вып.5, с.895-901.

85. Пшеничный Б.И. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980. - 320 с.

86. Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Методы оптимального проектирования деформируемых тел. М.: Наука, 1976.

87. Рикардс Р.Б. Исследование выпуклости некоторых классов задач оптимизации многослойных оболочек, работающих на устойчивость и колебания. МТТ, 1980, № I, с.145-153.

88. Рожваны Д. Оптимальное проектирование изгибаемых систем. -М.: Стройиздат, 1980. 317 с.

89. Рябов A.A., Столяров H.H. Весовая оптимизация продольно сжатых подкрепленных цилиндрических оболочек. Статика и динамика оболочек, 1979, вып.12, с.161-171.

90. Самсонов A.M. Необходимые условия оптимальности распределения жесткостей ребра на упругой пластине. МТТ, 1980,1. I, с.136-144.

91. Самсонов A.M. Условие Вейерштраса в динамической задаче оптимизации упругой пластины с ребром. МТТ, 1979, № 3,с.185-187.

92. Саркисян B.C. Кручение анизотропных призматических стержней с удлиненным профилем, изготовленных из ортотропного материала. ИАН Арм.ССР, серия физ.-мат.наук, 14, № 5, 1961.

93. Саркисян B.C. Некоторые задачи математической теории упругости анизотропного тела. Ереван: изд-во ЕГУ, 1976, 536с.

94. Саркисян B.C. Актуальные проблемы теории анизотропных оболочек. Тез. докладов Всесоюзной школы молодых ученых и специалистов "Актуальные проблемы механики оболочек". Казань, 1983, с.177-180.

95. Саркисян B.C., Гегамян Б.П. К оптимальному проектированию анизотропных цилиндрических оболочек. Краткое содерж. докладов Всесоюзного семинара по теории упругости неоднородного тела. Ереван, 1981, с.46-48.

96. Саркисян B.C., Гегамян Б.П. К оптимальному проектированию анизотропных и неоднородных пластин и оболочек. Тез. докладов семинара-совещания "Проблемы оптимизации в машиностроении". Харьков, 1982, с.82.

97. Саркисян B.C., Гегамян Б.П. К оптимальному проектированиюанизотропных и неоднородных пластин и оболочек. Тез. докладов 1У Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах. М., 1982, с.161.

98. Сейв М., Прагер В. Проектирование балок минимального веса под действием неподвижных и движущихся нагрузок. Механика. Периодический сборник переводов иностранных статей, 1964,2, с.163-174.

99. Сейранян А.П. Об одной задаче Лагранжа. Изв. АН СССР, МТТ, 1984, № 2, c.IOI-III.

100. Стоян Ю.Г., Макаровский Е.Л. О рациональном в смысле частоты размещении грузов на тонких плитах. ПМ, 1980, т.16,3, с.70-74.

101. Тарасов В.Л. Оптимизация осесимметричных пластин с заданными собственными частотами. ПППП, 1976, вып.4, с.80-87.

102. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. -М.: Физматгиз, 1963. 636 с.

103. Троицкий В.А., Петухов Л.В. Оптимизация формы упругих тел.-М.: Наука, 1982. 432 с.

104. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. - 448 с.

105. Хог Э., Apopa Я. Прикладное оптимальное проектирование. -M.S Мир, 1983. 478 с.

106. Цурков В.И. Разложение в задачах управления системами с уравнениями параболического типа. ПММ, 1981, т.45, вып.1, с.137-144.

107. Ченцов Н.Г. Стойки наименьшего веса. Труды ИАГИ, 1936, вып.265, с.1-48.

108. Черкаев A.B. К вопросу о постановке задач оптимального проектирования свободно колеблющихся тел. ПММ, 1978, т.42, вып.1, с.185-188.

109. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. Численные методы. М.: Наука, 1973. - 240 с.

110. Черноусько Ф.Л. Некоторые оптимальные конфигурации ветвящихся стержней. МТТ, 1979, № 3, с.174-181.

111. Чирас A.A., Боркаускас А.Э., Каркаускас Р.П. Теория и методы оптимизации упруго-пластических систем. Л.: Стройиз-дат, 1974. - 279 с.

112. Шамиев Ф.Г. Еще раз о проектировании кольцевых пластинок минимального веса. Изв. АН Азерб. ССР, серия физ.-техн. и мат. наук, 1978, № 2, с.117-122.

113. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. - 400 с.

114. Clausen Т. Uber die Formarchitektonischer Säulen. Bull, phis. - math. Acad. St.- Peterbourg, 1851, T.9, p.279-294.

115. Galilei G. Discorsi e dimonstrazioni matematiche Leiclen, 1638.

116. Keller J.B. The shape of the strongest column.- Arch Rational Mech. and Anal., I960, vol,5, No.4, p.275-285.

117. SGiPROC OPTIONS(MAIN); DC L <PP,EN,R,AW,E,HO,HH,RC,RF,H2«H3,H4> FLOAT(16*! DC L <HlAfH24,Hl84,H84,Hl94,H204.H1l4fH64»H74.H124,H54) FL0AT<16);

118. DCL <RA1fRA2,AA1,AA2,XAPA«88»8K,BETA,B,AA,AF) FLOAT(16);

119. DCL <SI,SJ,CI,Cj,A8,AB32,A323,ABN,A8N1,8AN,8ANi;EN1,eN2) FLOAT < 16);

120. DCL <I,J,K,N> FIXED<4> , <S,U) FL0AT<16>;

121. N1=6; N2=6; ;N=3*N1*N2; BEGIN;DCL (A<N,N+1),X<N+1>> F LOAT <16> ; DCL H FL0AT<16),<LfP<N)) FIXED<4>; DCL Q(N> FIXED<4>;

122. PPs3.i4i; AA=1o,; a=o,; £N=0,33; e=2oooooo,; R=ioot; aw=i.; hosi.; HH = 0 , 0 5 f RC = 0,8; RF = 8.; N=N1*N2; N22=2*«; H=AA/<2*N1)} h2=h*h; h3=H2*h; H4=H3*H; B = H*(2*n2+i);

123. H14=1./H4; H24 = 2 . / H4 ; HI 84 = 1 8 , /WW, H8 4 = -8./H4; H194 = 1 9 , / H4,' H204=20./H4; H114s11./H4; H64=-6./H4; H74=-?./H4; H124=12,/H4; H54=-5./H4J AA1=2f*H0**2*E*HH/<1.-EN**2);

124. AA2=1./(2.*E*HH);RA2=1f/R/AA2/H2;RA1=1./R/AA1/H2; BB=<1./AA**2+1,/B**2>**2; XAPA=RC*H0/RF/HH; BK=B8*PP**2*PP**2+(1,-EN**2)/((R*H0*AA**2)**2*BB); BETA=B</(XAPA+1,)J A F = A yi'/<R*AA**2*BB*AA2*PP**2> ; N3=3*N+1;

125. DO 1 = 1 TO N1 J DO J = 1 TO HZ; k = J*(I -D*N2;

126. NNIISN*NII»NNMIMI=N+NMIMI;

127. NN1 M.1 = N + N1 M1 ; NNM1 1 SM + NM1 1 ; SI=SIN<I*H*PP/AA); CI=COS(I*H*PP/AA>; SJ=SIN<J*H*PP/8>;1. CJ=COS(J*H*PP/3>;

128. AB=<1./AA**2+1,/B**2)**2*PP+*2*PP**a*SI*SJ?

129. AB32S2,*<1./AA**3*1./<AA+B**2))*PP**3*CI*SJ/H;

130. AB23S2.*<1./<AA**2*P>+-1./B**3)*PP**3*SI*CJ/H; ABN = (1,/aa**2+EN/b**2)*PP**2/H2*SI*S4; abn1=<1,/aa**2-en/b**2)*PP**2/H2*SI*SJ; BAN»<1./B**2+EN/AA+*2)*PP**2/H2*SI*SJf BAN1S(1./B**2-EN/AA**2)*PP**'2/H2*SX*SJ;

131. EN 1= 2 f * <1,-EN)*PP**2/AA/B/H2*CI*Cj; EN2*2,*(1,+EN)*PP**2/AA/B/H2*CI*CJJ ~ 8 E T A = B E T A * S I * S J ; IF 1=1 8 J=1 THEN 00;

132. A<K,K)=H184~BK; A<K,K20>=H14; A < K., K1 0) st^.-AiKflClUst^iAUfKOnsHa*; A(K,K02)=H14?a(k,nio>srai;a(k,noo>=-2.*rai;

133. A<K . NNOO) = <AB + AB32*AB23*ABN + 8AN + EN1 BETA)*AWi A(K,NN10)=-<AB32+ABN+EN1>*AW;

134. A<<,NN01)=-<AB2 3+BAN+EN1T*AW; A ( K , NN11)=EN1*AW;

135. A(NK » N00)=H184 » A<NK,N20)=H14''A<NK.N10)=H84," A<NK,N11>SH24-;A<NK,N01>sH84;A<NK,N02>BHU/ A(nk,<IO)='-ra2;A(NK,koo> = 2,*RA2;

136. A(N<fNN00)=-{AB*AB32+AB23+A8Nl+BAN1+EN2)*AF; A<NK,NN10)=<AB32+ABN1+EN2>*AF; A(NK,NN01)=(AB23+BAN1+EN2)*AF; A ( N K , NN11)3-EN2*AF ;

137. A(NNK.K)=<2.*<A9N+BAN)+EN1+BETA)*AW;ainnk ,k1q)=-<abn*en1)* aw;a<nn*,k01)=-<8an+en1 >*awj1. A < NNK» 1)=6N1*AW:

138. A<NNK, N00) =- <2, *<ABN1+BANI1 >+EN2)*AF; A(NNK f N10)s<ABN1*EN2>'*AF; A(NN<,NOi ) = <BAN1+EN2) *AF»'a<nnk,nid=-en2*af; end; else1. 1=1 & J>1 & J<N2-1 THEN DO ;

139. A<K,NNII) = ENI*AW;A<K,nnohi>=-BAN''AW;

140. ACNK»N01)=H84;A<NK.N10)=H84,'A(N<.N20)=H14;A<NK,N11)=H24; A<NSC,N0 2>=H14;A<NK, N0M1 )=H84;A(NK«NlM1)=H24;A(Ni<jNO0>=Hl94J

141. A(NK(kio)=»RA2;A<NK'<OO)=2.*RA2;

142. A<NK»NN0 0)3-<AB+AB32+AB23+ABN1+2.#BAN1+EN2)*AFa<nic,nn10) = <a332 + abn1*en2)*af; a<nx'nn01)=(ab23+ban1+en2)*af;a<nk,nnii)=-en2*af;a<ni<,nnomi)=bani*af;

143. A(NNKi<00)s(2,*(ABN+BAN)+EN1+BETA)*AW;

144. A<NNK,KIO)=-<ABN+ENI)*AW;A<NNK,KII)=ENI*AW:

145. А(К»N00)S-2 . *RA1 ; А<к,N10>=RA1 ; А(К,NM10>=ЧА1 ;

146. A<K,NM0 0) = <AB + AB32 + AB23*2'.*ABN*eAN+EN1-BETA>*AW; a<k,nn10)=-<ab32+a8n+en1)*aw; a<k,nn01)=-<ab23 + ban + en1 > * aw í a<k,nn11)=en1*aw; a<<,nnm10)=-abn*aw;

147. A(K,KM20)=HIλ;A<N<.NM20>=HI4;END;END;

148. I>1 S I<N1-1 S J>1 & J <N2-1 THEN DO;

149. A<NN<,N00)=-<2,*(A8N1+BAN1)*EN2)*AF; A(NN<,N10)=<ABN1+EN2)»AF; A<NNK.N01)=(BAN1+EN2)*AF;a(nn<,nid=-en2*af; a<nn<.nmio>sabni*af;

150. A(NNK,N0M1>=BAN1*AF; IF I > 2 S, J=2 THEN oo ; A<N*:,NM20)=H14;A<K,<M20> = HI4;END;EI.SE IF J > 2 a 1 = 2 THEN DO;

151. A<K,NN10>=-<AB32+ABN+EN1)*AW? AU.NN11>»EN1*AW; A<K,NN01>=-<AB23+BAN+EN1)*AW; A<K,NN0M1)a*BAN*AW; ACNK#N01)sH74; А С N< » N11)=H 24? A(NK,N0M1)= H84? A<NK,N0M2)=H14; A<N<»N1M1)=H24Î A(NK/N1Q)=H84í A<NK,K00)=2.*RA2; ACN<,K10>s-RA2;

152. A(N< -NN10) = (AB32 + A3N1+EN2)*AF; A<NК,NN11)= -EN2 *A F ! A<N<#NN0D = <AB23 + BAN1+EN2)*AF; A<N<,NNOPD=BANI*AF; A(NN<,KOO)=<2.*<ABN+BAN)+EN1+BETA)*AW;

153. A<NN<,KIO)=-<ABN+END*AW; A(NNK,KOD=-<BAN+ENI>*AW; A(NNK,K11)=EN1*AW; A(NNK,K0M1)=-3AN*AW; A<NNK»400)S-<2.*<ABN1+BAN1)*EN2)*AF; A<NNKíM10)=<ABN1+EN2)*AF; A(NNK,N11)=-EN2*AF;a<nnk,noi> = <ba'ni*en2>*af; a<nnk,nomd=bani*af;1. 1=1 THEN 00;

154. А<К,К00)=Н194-ВК; A(K,.K20)=H14? A(ÑK,N00)=H194 ; AÍNK,N20)=H14;

155. A<K,NN00)s<AB+AB32+A323+ABN+2.*BAN+EN1-BETA)*AWi

156. A < N К r M N 0 0 > s < А В *-A 8 3 2 + А В 2 3 + А В N1 + 2 . * В A N1 + E N 2 > * A F »

157. END? E l,S E DO," A(K ,K00)=H204-BKJ

158. A(NK,N400)=-<AB + AB32 + AB23 + 2.*<ABN1+BAN1)*EN¿)í'AF;a(nk»n.mmio) = abni*af; a<nnk,kmio)=-abn*aw;eno;1. 1=2 THEN DO;

159. A<K,K20)shi4; A(NK,N20)=H14;END;ELSE

160. I>2 S I<N1-1 THEN DO; A(К,K20)=H14; A<К,KM20)=H14 ; A<NK,N20)=H14,' A<NK,NM20)=H14; END;EISE IF I=N1-1 THEN 00; A(K,K20)=H1 4; A(K,K10)=M74>'

161. A(NK.N10)=H74; A < N < , N1 1 ) = H 2 4 > A<NK,NM1Q)=H84; A(NK,NM20)=H14; A < N К » NM 1 1 )= H 24 ; • A < NK , N01 ) =H84 A ( N К » N 0 2 ) = H14; A<NK,N00)=H24Î

162. A(<,<OM1 )sH84,' A ( К , К1 M1 ) = H 2 4 « A < < , KM1 M1 ) = H24 ;a(k,nn00)s<ab + ab32.+ a823 + 2. * <abn+вan)+en1~вeta ; *aw; A (K ,NNOM1)=-8AN*AW;

163. A < N К i NOM 1 ) = H 84-» A < N< « N1 M1 ) = H2¿>; A < NК » NM 1 M1 ) = H2 4 ; A ( NX « NNO0)=~< AB*AB32 + A 82 3 + 2. *'{ ABftl + B AN1 >+ E»f 2 > " A F-;a(nk » ñ n о m1)=bani*af;1. A- < N N к,<QMT>=~BAN»AW;

164. J > 1 s KN1 â JaN2 THEN 00 !

165. A < < , KOO) =H1 24-BK ,* A(к , K10)=H64; A(K,KM10)sH64; A<<J<1M1)* H 2-4 ; A ( К , KOMT) ЯН74 ; A ( < , KM1 M1 ) sH24 !a(<,k0m2)=h14 ; a(к # n00)p-2.*ra1 ; a(< . n10)=ra1 ; a(<,nm10)-ra1 ;

166. A ( К » N N 0 0 ) = < A 9 + A В 3 2 + 2 . * A В N +'8 A N 8 E T A ) * A W ; A(К , NN10)=-(A8 32 + ABN)* AW;a(<,nnmio)s-abn*aw;1. A(K,NN0M1)=-BAN*AW;

167. DIMENSION R(2>,L<2>,R0C(3),M0G<3) DIMENSION H ( 2 0 01 ) »¿(2001) 866*0.575E11 H0 = 1 .

168. H0G(1)=0,1 H 0 G ( 2 > = 0 . 0 5

169. HOG<1)-0.02 1(1> =50 L ( 2 > = 1 0 0 R0F=1.99

170. ROC (1 )=R0F/2 RQC<2>-RQF/5 ROC(3)=RQF/10 DO 1 J=1,2 RL=t<J> DO 1 K = 1 ,3 DO 1 M=1 , 3

171. PRINT 11 , iL<J ) , ROC<K) ,HOGCM>)

172. FORMAT < 1 X , ' L= ' , I 3 , 5X , ' ROC= f , F6 , 3 . 5X , ' HOG= ' , F4*. 2) CAPA=ROC(X)*H0/<ROF*HQGCM)> BET=<3.1415/L{J?)/SQRf<1+CAPA)1. N=•1 000*J+11. NTP=50*J1. HK=RL/CN-1)1. DO 2 II=1,N1. ALF = HK* <■ I 1-1 )1. V1=SINH<8ET*AUF)/BEr

173. V2=SINHiBET*CLCJ)-ALF))/BET

174. H1 = CCOSH(BET*L<j)/2)/COSHCBET*At.F))**2-11. H 1 = H 1 * C A P A / 2

175. H2=(C0SH<8ET*LCj)/2)/C0SH(BET*(l.CJ)-AUF)))**2-1 H2=H2*CAPA/2 IF CLCJ>/2-ALF) 6,7,86 V = V 21. H ( 11 )=H2 GO TO 9

176. V = C V 1 + V 2 ) / 2 HCII) = (H1+H2) / 2 GO TO 98 V = V 1 H(II>=H1

177. IF <11 ,EQ.1) GO TO 12 11=11+11. (MOD C H , NTP)) 2,12.212 PRINT 13,CALFfV.HCII))

178. FORMAT <1X,'AIFs' ,F5.2«2X,'Vs' ,E-j2.4,2Xr 'Ha' ,g«2.4> 2 CONTINUE

179. CALL OS?(H<,K,Z,N) PR=(<Z(N)-Rl>/RI)*10 0 PRINT 1^,CZ(N),PR)

180. FORMAT <1X, 'MAUUA=' . E1 5,7, ' PR=' , F7.3) 1 CONTINUE STOP END