Некоторые задачи оптимизации неоднородных анизотропных пластин и оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. МИНИМИЗАЦИЯ МАКСИМАЛЬНОГО ПРОГИБА НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК ПРИ ИЗГИБЕ . 15 А. Минимизация максимального прогиба неоднородных ортотропных пластин при изгибе

§ I. Основные положения, исходные соотношения, уравнения неоднородных анизотропных пластин и граничные условия.

§ 2. Метод малого физического параметра

§3. Задача минимизации максимального прогиба пластины при изгибе

§ 4. Конкретная задача

Б. Минимизация максимального прогиба неоднородных анизотропных круговых цилиндрических оболочек при изгибе

§ 5. Основные положения, исходные соотношения, уравнения неоднородных анизотропных круговых цилиндрических оболочек и граничные условия

§ 6. Метод малого физического параметра

§ 7. Задача минимизации максимального прогиба оболочки при изгибе

§ 8. Конкретная задача

ГЛАВА П. МАКСИМИЗАЦИЯ ГЛАВНОЙ ЧАСТОТЫ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН И

ОБОЛОЧЕК.

А. Максимизация главной частоты свободных колебаний неоднородных пластин

§ I. Уравнение свободных колебаний и граничные условия

§ 2. Метод малого физического параметра

§ 3. Максимизация главной частоты свободных колебаний свободно опертых по краям прямоугольных пластин.

§ 4. Числовой пример.

§ 5. Максимизация главной частоты свободных колебаний жестко заделанных по краям прямоугольных пластин.

§ 6. Числовой пример.

Б. Максимизация главной частоты свободных колебаний неоднородных анизотропных цилиндрических оболочек

§ 7. Уравнение свободных колебаний и граничные условия.

§ 8. Метод малого физического параметра

§ 9. Максимизация главной частоты свободных колебаний замкнутых круговых цилиндрических оболочек

§ 10.Числовой пример

ГЛАВА Ш. МАКСИМИЗАЦИЯ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ АНИЗОТРОПНЫХ

ОБОЛОЧЕК.

§ I. Уравнение устойчивости и метод определения критической силы.

§ 2. Задача максимизации критической силы замкнутых круговых цилиндрических оболочек

§ 3. Числовой пример

ГЛАВА 1У. МИНИМИЗАЦИЯ ВЕСА АНИЗОТРОПНЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ

ПЛАСТИН.

А. Свободные колебания анизотропных свободно опертых по краям прямоугольных пластин, работающих только на сдвиг

§ I. Основные положения, исходные соотношения, уравнения и граничные условия

§ 2. Метод решения задачи определения частоты свободных колебаний анизотропных пластин

§ 3. Числовой пример.

Б. Минимизация веса анизотропных трехслойных свободно опертых по краям прямоугольных пластин

§ 4. Основные положения и уравнения

§ 5. Задача минимизации веса трехслойных пластин и метод решения

§ 6. Числовой пример. . ПО

Современные требования авиационной и космической техники, судостроения, точного машиностроения, строительных сооружений и т.п., обусловливают интенсивное развитие теории оптимального проектирования, позволяющей создать конструкции, обладающие наилучшими в том или ином смысле характеристиками. Поэтому исследования в этой области имеют важное как практическое, так и теоретическое значение.

При оптимальном проектировании конструкций большой интерес представляет выделение и исследование новых задач; учет различных физических факторов, разработка эффективных методов оптимизации с использованием специфики рассматриваемых задач. В этих задачах большое значение имеет и выбор модели материала конструкции. Материал может быть упругим, упруго-пластическим, жестко-пластическим и т.п. Кроме того, материал конструкций может быть неоднородно-анизотропным (композиционные материалы, обладающие неоднородностями и анизотропией). Наконец математическая модель материала может быть линейной или нелинейной.

Все эти факторы позволяют рассматривать разнообразные задачи оптимального проектирования. При отыскании оптимальных форм и структуры сталкиваемся с серьезными математическими трудностями. Эти трудности объясняются тем, что исследования в этой области накопились вокруг небольшого числа одномерных задач. Проведение достаточно общих исследований стало возможным в связи с развитием математических методов оптимизации и появлением электронно-вычислительной техники.

Так как задачи оптимального проектирования упругих тел сводятся к решению нелинейных краевых задач для систем дифференциальных уравнений, то среди аналитических методов, предназначенных для решения нелинейных проблем, наиболее общими и широко используемыми являются методы возмущений и малого параметра (физического и геометрического). Применение этих методов открывает большие возможности при исследовании задач оптимального проектирования. Эти методы позволяют получать простые приближенные формулы и проанализировать зависимость решения от параметров.

Современная технология полученных композиционных материалов [зт| позволяет изготовление элементов конструкций с любыми, наперед заданными распределения механических характеристик по нужным нам направлениям, координатам. Все это обусловливает возрастание интересов исследователей к вопросам оптимального проектирования неоднородных конструкций. В настоящее время в основном рассматриваются задачи оптимального проектирования конструкций заданной формы и массы (объема), изготовленные из композиционных материалов. Эти задачи относятся к новому классу задач, возникающих в теории оптимального проектирования в последние годы.

Большой вклад в развитии теории оптимального проектирования конструкций внесли как отечественные, так и зарубежные исследователи, из которых отметим Н.В.Баничука, В.И.Бирюка, Я.И.Бурака, В.Б.Гринева, В.Г.Литвинова, А.И.Лурье, К.А.Лурье, Р.Б.Ри-кардса, В.А.Троицкого, А.П.Филиппова, Ф.Г.Шамиева, Г.С.Шапиро, З.Васютинского, В.Прагера, Ф.Ниордсона, Н.Ольхоффа, Ж.-Л.П.Ар-мана.

Ниже приведен обзор работ некоторых исследователей.

В работе [8б| Ж.Лагранж решил задачу оптимального проектирования формы колонны, где критерием качества является собственный вес колонны. Рассматривался случай, когда колонна одним концом загружена сжимающей силой, а другим концом жестко закреплена. После для этой задачи Т.Клаузен [7б] получил оптимальную форму колонны, где около сжимающей силы напряжение неограниченно возрастает. Чтобы избежать этого в работах [б1, 52] E.JI. Николаи ввел ограничение на напряжение и получил оптимальную форму этой колонны. Эта задача о минимуме веса колонны уже более двух столетий привлекает внимание исследователей [32, 33, 44, 51, 66, 67, 70, 72, 78, 79, 89, 95, 98, 99, 105].

Известная работа Келлера [вз] и другие работы [76, 80, 86J , которые относятся к отысканию оптимальных форм колонны при потере устойчивости по Эйлеру, послужили основой для современных исследований задач по оптимальному проектированию конструкций.

Впервые динамические задачи оптимального проектирования рассматривались в работах [41, 88] , где критерием качества является основная частота свободных колебаний. На основе этих работ такие задачи рассматривались для стержней и пластин в работах ряда авторов [б, 8-12, 23, 27, 28, 31-36, 38-40, 41, 52, 55, 57, 61-66, 68, 71, 73-75, 77, 81, 82, 87, 90-92, 97, 101, 103, 104, Юб]. Для оболочек таких решений значительно меньше [i, 39, 40, 60], однако интерес к ним не ослабевает. Проблема устойчивости в линейной теории оболочек [ю2] представляет собой проблему о собственных значениях.

Среди работ в отрасли оптимального проектирования конструкций хотелось бы выделить, во-первых, монографии [l6, 45, 67, 69]. В монографии Н.В.Баничука [l6] систематически исследуются теоретические и численные методы теории оптимизации форм различных конструкций. Значительное внимание уделено задачам с новой постановкой.

Работа К.А.Лурье посвящена многомерным задачам оптимального проектирования. В ней дается общая постановка задач оптимизации. Подробно исследуются задачи оптимального проектирования внутренней структуры призматических стержней, оптимального распределения сопротивления рабочего вещества в канале МГД генератора, оптимальной формы контура обтекаемого сверхзвуковым потоком газа и т.д. В монографии указываются особенности вывода необходимых условий Вейерштрасса сильного экстремума для многомерных задач оптимального проектирования.

Известно, что оболочки и пластинки широко используются в технике, при строительстве сооружений и т.д. В связи с этим, в теории оптимального проектирования оболочкам и пластинкам также уделяется большое внимание. Стремление к уменьшению материалоемкости таких конструкций приводит к задаче проектирования конструкции минимального веса. Решение такого ряда задач приведено в работах [б, 7, 17-20, 23, 26, 27, 30, 35, 36, 38-40, 56, 60, 61, 71, 88, 93, 94, 96, iodj.

В связи с широким применением композиционных материалов в теории оптимального проектирования исследуются вопросы оптимизации внутренней структуры упругих тел. К настоящему времени выполнен ряд исследований оптимального проектирования конструкций из неоднородных материалов и вопросы оптимизации анизотропных свойств упругих тел [б, 10-15, 17, 21, 22, 25, 27, 29, 34, 35 , 37 , 39 , 40 , 49 , 50 , 53 , 54 , 60 , 61, 83-8б] .

Кроме перечисленного класса задач оптимизации, представляют интерес и задачи оптимального проектирования форм упругих тел с заданной неоднородностью или направлением осей анизотропии. Одним из первых исследований, посвященных этим вопросам, являются работы В.С.Саркисяна 1591, Л.А.Мовсисяна \48 и Н.В.Баничука И

Некоторые вопросы анизотропных пластин и оболочек исследованы в монографиях В.С.Саркисяна методом малого физического и геометрического параметра.

В работах [23, 24J рассматриваются двумерные задачи оптимального проектирования изотропных однородных конструкций, где функцией варьирования является толщина. Критерием качества являются: функционалы, описывающие частоту свободных колебаний, значение критической силы [2з| и локальный функционал, определяющий максимальное смещение упругих конструкций [24^|. Эти задачи решаются при помощи метода возмущений.

Помимо работ

23 , 24J, в диссертационной работе в первых трех главах рассматриваются задачи оптимального проектирования, где управляющей переменной является функция, характеризующая изменение внутренних структур неоднородных анизотропных материалов конструкции. Эти задачи оптимального проектирования решаются методом малого физического параметра, предложенного В.С.Саркисяном [б9, 60^ для решения некоторых задач теории упругости.

В четвертой главе рассматривается задача минимизации веса трехслойной анизотропной пластины, где функцией варьирования является толщина крайних слоев. Эта задача решается методом предложенного Ж.-Л.П.Арманом [в|, который решил эту задачу для изотропной трехслойной пластины.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Постановка и решение задач оптимального проектирования неоднородных пластин и оболочек в условиях изгиба, колебаний, потери устойчивости и минимизации веса.

Применение и расширение возможностей метода малого физического параметра для решения исследуемого класса задач оптимального проектирования.

Получение необходимых условий оптимально сти и их решения.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Поставлены и решены новые задачи оптимального проектирования пластин и оболочек в условиях изгиба, колебаний, потери устойчивости и минимизации веса.

Показано, что применение метода малого физического параметра при решении задач оптимального проектирования неоднородных пластин и оболочек существенно расширяет область реализации известных решений, а также позволяет во многих случаях находить решения задач оптимального проектирования в явном аналитическом виде.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. В диссертационной работе полученные оптимальные проекты могут быть использованы в авиационной и космической технике, судостроении, точном машиностроении и строительстве сооружений, при изготовлении деталей и элементов конструкций из неоднородных материалов заданной формы, размеров и веса.

ДОСТОВЕРНОСТЬ. Полученные результаты в некоторых случаях сравнены с известными результатами С.А.Амбарцумяна ^2-4^, С.Г. Лехницкого [42^, Ж.-Л.П.Армана |V] и других, так как нулевые приближения предложенного метода малого физического параметра в настоящей диссертационной работе являются решением задач изгиба, свободного колебания и устойчивости однородных пластин и оболочек, и решением задач ортотропных пластин.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Пятом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 27 мая - 3 июня 1981 г.); на Юбилейной научной конференции молодых ученых, посвященной 60-летию образования СССР (Ереван, 23-25 декабря 1982 г.); на Первой Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур (Львов, 6-9 сентября 1983 г.); на Всесоюзной конференции "Проблемы снижения материалоемкости силовых конструкций" (Горький, 23-25 октября 1984 г.); на Второй Всесоюзной научно-технической конференции "Прочность, жесткость и технологичность изделий из композиционных материалов" (Ереван; Цахкадзор, 13-16 ноября 1984 г.); на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава и аспирантов ЕрГУ (Ереван, 1980-1984 гг.); на научных семинарах кафедры механики сплошной среды ЕрГУ.

ПУБЛИКАЦИИ. По материалам диссертации опубликованы 7 работ.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, основных выводов, библиографии и изложена на 127 страницах машинописного текста. Работа содержит 15 рисунков, 16 таблиц и список литературы, включающий 106 наименований отечественных и зарубежных авторов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы:

1. Решен ряд новых задач оптимизации внутренней структуры некоторых неоднородных, упругих конструкций типа пластин и оболочек в условиях изгиба, свободных колебаний (прямоугольная ор-тотропная пластинка и анизотропная замкнутая круговая цилиндрическая оболочка) и устойчивости (анизотропная замкнутая круговая цилиндрическая оболочка).

2. Решена задача максимизации главной частоты свободных колебаний и критической силы, а также задача минимизации максимального прогиба, при разных граничных условиях, когда материал конструкций (оболочки или пластинки) слабо неоднородный.

3. В задачах оптимизации максимального прогиба, основной частоты свободных колебаний и критической силы, применен метод малого физического параметра, который значительно облегчает получение условий оптимальности и его решение.

4. Методом малого физического параметра решена задача о нахождении частоты свободных колебаний для анизотропных пластин, когда материал пластинки работает только на сдвиг. Также решена задача минимизации веса трехслойной пластинки с заданной частотой свободных колебаний, когда крайние слои анизотропны и работают только на сдвиг, а срединный слой не сопротивляется изгибу.

5. Во всех рассмотренных задачах оптимального проектирования для функций, описывающих внутреннюю структуру материала и толщину конструкции, получены аналитические выражения.

6. Численные расчеты показывают, что относительный выигрыш при оптимизации внутренней структуры конструкций значителен для различных задач и колеблется от 30,5 б % до 100 & %.

7. На основе полученных результатов приведены таблицы, откуда видно влияние изменения внутренней структуры неоднородных материалов конструкций на оптимизируемые величины.

1. Адамович И.С., Рикардс Р.Б. Оптимизация по весу ортотропной цилиндрической оболочки с переменными свойствами при ограничениях на частоту колебаний. - Изв. АН СССР, Механика твердого тела, № 2, 1977.

2. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: изд. физ.-мат. литературы, 1961, - 384 с.

3. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1967, - 268 с.

4. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974, - 448 с.

5. Анин Б.Д. Оптимальное проектирование упругих анизотропных неоднородных тел. В сб.: Тр.Ш Нац. конгр. теор. и прикл.механики, кн.1, София, 1977, с.275-280.

6. Араркцян Б.Г., Гнуни В.Ц., Оганесян А.О. Об одной задаче оптимального проектирования. Прикладная математика, Межвузовский сборник научных трудов, Ереван: изд-во ЕрГУ, вып.1, 1981, с.5-13.

7. Аристов М.В., Троицкий JI.B. Упругая кольцевая пластина минимального веса. Изв. АН СССР, Механика твердого тела, № 3, 1975.

8. Арман Ж.-Л.П. Приложения теории оптимального управления системами. Перев. с англ., М.: Мир, 1977, - 144 с.

9. Арман Ж.-Л.П., Лурье К.А., Черкаев А.В. К решению задач оптимизации собственных значений, возникших при проектировании упругих конструкций. Изв. АН СССР, Механика твердого тела, № 5, 1978, с.159-162.

10. Атоян Л.А. К задаче оптимального проектирования неоднородных оболочек вращения. Тезисы докладов I Всесоюз. конф. по механике неоднородных структур, Киев: Наукова думка, 1983,с. 14.

11. Атоян JI.A., Белубекян М.В., Саркисян B.C. К задаче оптимизации колебаний неоднородной балки. Тезисы докладов совещания по теории упругости неоднородных тел. Кишинев, 1983,с.5.

12. Атоян JI.A., Белубекян М.В., Саркисян B.C. Оптимизация параметров неоднородной балки при колебаниях. Ереван, Ученые записки ЕГУ, № I, 1984, с.24.

13. Баничук Н.В. Оптимизация формы и распределения модулей упругих тел. Труды 14-го югосл. конгр. по теорет. и прикл. механике, Порторож, т.С, 1978, с.319-326.

14. Баничук Н.В. Об одной задаче на экстремум для системы с распределенными параметрами и определении оптимальных свойств упругой среды. ДАН СССР, т.242, № 5, 1978, с.1042-1045.

15. Баничук Н.В. Оптимизация анизотропных свойств деформируемых сред в плоских задачах теории упругости. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, № I, 1979, с.71-77.

16. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980, - 255 с.

17. Баничук Н.В., Иванова С.Ю. Некоторые оптимальные задачи статической аэроупругости для крыльев из композиционных материалов. Изв. АН Арм.ССР, Механика, Ереван, т.36, № 3, 1983, с.21-30.

18. Баничук Н.В., Картвелишвили В.М., Миронов А.А. Численное решение двумерных задач оптимизации упругих пластин.- Изв. АН СССР. Механика твердого тела, № I, 1977, с.68-77.

19. Баничук Н.В., Картвелишвили В.М., Миронов А.А. Задачи оптимизации с локальными критериями качества в теории изгиба пластин. Изв. АН СССР, Механика твердого тела, № I, 1978, с.124-131.

20. Братусь А.С., Картвелишвили В.М. Приближенные аналитические решения в задачах оптимизации устойчивости и частот колебаний упругих тонкостенных конструкций. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, № 6, 1981, с.119-139.

21. Братусь А.С. Метод возмущений в задачах оптимизации пластинок переменной толщины. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, № 6, 1982, с.135-142.

22. Бризгалин Г.И. К рациональному проектированию анизотропных плоских тел со слабым связующим. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, № 4, 1969, с.123-131.

23. Бурак Я.И., Зозуляк Ю.Д., Гера Б.В. Оптимизация переходныхпроцессов в термоупругих оболочках. Киев: Наукова думка, 1984. - 153 с.

24. Гегамян Б.П., Джулакян Г.М., Саркисян B.C. Некоторые задачи оптимального проектирования анизотропных пластин и оболочек. Аннотации докладов У Всесоюз. съезда по теоретической и прикладной механике. Алма-Ата: Наука, 1981, с.107.

25. Гольдштейн Ю.Б., Соломещ М.А. К оптимальному проектированию балок при динамических нагрузках. Строит, мех. и расчет сооруж., № 4, 1968.

26. Григорович В.К., Соболев Н.Д., Фридман Я.Б. О наивыгоднейшем направлении волокон в изделиях из анизотропных материалов. ДАН СССР, т.86, № 4, 1952, с.703-706.

27. Горячев О.А. Об одном методе оптимального распределения материала в тонкой упругой оболочке. В сб.: Тр.Куйбышевского авиац. инст., Куйбышев, вып.48, 1971.

28. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Оптимальное проектирование конструкций, имеющих заданные собственные частоты. Прикладная механика, т.7, вып.10, 1971, с.19-25.

29. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Об оптимальных очертаниях стержней в задачах упругой устойчивости. Строит, мех. и расчет сооруж., № 2, 1975, с.21-27.

30. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Об оптимальных стержнях в задачах устойчивости под действием распределенной нагрузки. -Строит, мех. и расчет сооруж., № 6, 1975, с.23-27.

31. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Оптимизация элементов конструкций по механическим характеристикам. Киев: Наукова думка, 1975, - 294 с.

32. Гукасян Г.М., Джулакян Г.М. Оптимизация частот колебания упругих неоднородных пластин. Тезисы докладов Юбилейной научной конф. молодых ученых, посвященной 60-летию образования СССР. Ереван, 1982, с.47.

33. Гура Н.М., Сейранян А.П. Оптимальная круглая пластинка при ограничениях по жесткости и частоте собственных колебаний.-Изв. АН СССР. Механика твердого тела, Р I, 1977, с.138-145.

34. Дехтярь Л.И. Оптимизация свойств неоднородных упругих тел.-Краткое содержание докладов совещания по теории упругости неоднородного тела. Кишинев, 1983, - 17 с.

35. Джулакян Г.М. Об одной задаче оптимального проектирования неортотропной пластинки, работающей на сдвиг. Молодой научный работник, Ереван, № 2 (36), 1982, с.3-13.

36. Джулакян Г.М. Об одной задаче устойчивости анизотропных неоднородных круговых цилиндрических оболочек. Механика, межвузовский сборник научных трудов. Ереван: изд-во ЕрГУ, вып.4, 1985.

37. Крейн М.Г. О некоторых задачах на максимум и минимум для характеристических чисел и о ляпуновских зонах устойчивости. Прикладная математика и механика, т.15, вып.З, 1951, с.323-348.

38. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: Гостехиздат, 1957, - 464 с.

39. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977, - 416 с.

40. Лурье А.И. Применение принципа максимума к простейшим задачам механики. Тр. Ленингр. политехи, инст., № 252, 1965, с.34-46.

41. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975, - 480 с.

42. Маделунг Э. Математический аппарат физики. М.: Физматгиз, 1961, - 618 с.

43. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1970, 512 с.

44. Мовсесян Л.А. Об осесимметричном нагружении анизотропной цилиндрической оболочки. Изв. АН Арм.ССР, серия физико-математических наук, т.15, № 2, 1962, c.III-119.

45. Муштари Х.А. Теория изгиба пластинок минимального веса из композиционного материала. Прикладная механика, т.З, № 4, 1967, с.1-7.

46. Немировский Ю.В. Рациональное проектирование армированных конструкций с точки зрения прочности и устойчивости. Все-союз. межвуз. сб. "Прикладные проблемы прочности и пластичности". Горький, вып.6, 1977, с.70-80.

47. Николаи Е.Л. Труды по механике. М.: Гостехиздат, 1955, - 584 с.

48. Николаи Е.Л. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонн. Изв. Петербург, политехи, ин-та, т.8, 1907.

49. Образцов И.Ф., Васильев В.В. Некоторые вопросы расчета и проектирования оптимальных конструкций из ориентированныхстеклопластикатов. Труды Моск. авиац. ин-та, вып.180, 1971, с.201-216.

50. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. -М.: Машиностроение, 1977, 144 с.

51. Ольхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций. М.: Мир, 1981, - 277 с.

52. Петухов JI.B. Минимум веса тонких пластин. В сб.: Прикладная математика. Тула: Тульский политехнический институт, 1977.

53. Прагер В., Тейлор И. Задачи оптимального проектирования конструкций. Труды Амер. об-ва инж.-механ., Т.35Е, № 3, 1968.

54. Саркисян B.C. Некоторые задачи теории упругости анизотропного тела. Ереван: изд-во ЕрГУ, 1970, - 443 с.

55. Саркисян B.C. Некоторые задачи математической теории упругости анизотропного тела. Ереван: изд-во ЕрГУ, 1976, -536 с.

56. Саркисян B.C., Джулакян Г.М. Оптимизация первой собственной частоты колебания прямоугольной пластинки со слабой неоднородностью. Механика. Межвузовский сборник научных трудов, Ереван: изд-во ЕрГУ, вып.З, 1984, с.120-125.

57. Сейранян А.П. Оптимальное проектирование балки с ограничениями на частоту собственных колебаний и силу потери устойчивости. Изв. АН СССР, Механика твердого тела, № I, 1976, с.147-152.

58. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа к математической физике. Л.: изд-во ЛГУ, 1950.

59. Тейлор И.Е. Расчет стержня наименьшего объема при продольных колебаниях с заданным значением собственной частоты. Ракетная техника и космонавтика, т.5, № 10, 1967.

60. Троицкий В.А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. Л.: Машиностроение, 1976. - 248 с.

61. Троицкий В.А. Оптимизация упругих стержней при свободных колебаниях. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, № 3, 1976, с.145-152.

62. Троицкий В.А., Петухов Л.В. Оптимизация формы упругих тел.-М.: Наука, 1982, 432 с.

63. Троицкий В.А., Хватцев А.А. Оптимизация собственной частоты прямоугольной пластины. В сб.: Прикладная математика. Тула: Тульский политехнический институт, 1977.

64. Хог Э., Арора Я. Прикладное оптимальное проектирование. -М.: Мир, 1983, 479 с.

65. Ченцов Н.Г. Стойки наименьшего веса. Труды ЦАГИ, вып.265, 1936, с.1-48.

66. Шамиев Ф.Г. Еще раз о проектировании кольцевых пластинок минимального веса. Изв. АН Азерб. ССР, серия физ.-техн. и мат. наук, № 2, 1978, с.117-122.

67. Anderson G. Optimal design of a cantilever subjected to dissipative and non-conservative forces.- J. Sound and1. Vibr., v.33, No.2, 197^.

68. Armand J. Minimum-mass design of a platelike strukture for specified fundamental frequency.- AIAA J., v.9, No.9, 1971»p. 1739-1745.

69. Ashley H., Mcintosh S.G., Jr. Applications of aeroelastic constraints in structural optimization.-In: Proceedings of the 12th International Congress of Applied Mechanics, Stanford University 1968. Berlin: Springer-Verl., 1969,p.100-119.

70. Garter W., Eagsdell K. The optimal column.- Trans. ASME, v.41E, No.l, 1974.

71. Clausen T. Dber die Form architectorischer Saulen.-Bull. Phys.-math. Acad. St.- Peterbourg, t.9, 1851, p.279-294.

72. Parshad M., Tadjbakhsh J. Optimum shape of columns with general conservative end loading.- J. Optim. Theory and Appl., v.ll, No.4, 1973.

73. Farshad M. Optimum shape of continuous columns. Int. J. Mech. Sci., v.16, N0.8, 1974.79» Gajewski A., Zyczkowski M. Optimal design of elastic columns subject to the general conservative behaviour of loading.- ZAMP, v.21, No.5, 1970.

74. Galilei G. Discorsi e dimonstrazioni matematiche.- Leiden, 1638.

75. Karihaloo B.L., Niordson P.I. Optimum design of vibrating cantilevers.- J. Optimiz. Theory and Appl., v.ll, N0.6, 1973, p.638-654.

76. Karihaloo B.L., Niordson P.I. Optimuta design of circular shaft in forward precession.- In: Proceedings of IUTAM Symposium on Optimization in Structural Design. Warsaw,1973. Berlins Springer-Verl., 1975» p.142-151.

77. Keller J.B. The shape of the strongest column.- Arch, of Rational Mech. and Anal., v.5, No.4, I960, p,275-285.

78. Klosowics B. Sur la nonhomogeneite optimal d*une barre tor-due.- Bull. Acad, polon. sci. ser. sci. techn., v.18, No.8, 1970, p.611-615.

79. Klosowics В., Lurie K.A. On the optimal nonhomogeneity of a torsional elastic bar.- Arch. Mech. Stossow., Warszawa, v.24, No.2, 1972, p.239-249.

80. Lagrange J.L. Sur la figure des colonnes.- Miscellanea Taurinensia, t.5, p.1770-1773.

81. Mroz Z. Optimal design of elastic structures subjected to dynamic harmonically-varying loads.- ZAMM, v.50, No.5, 1970, p.303-309.

82. Niordson F.I. On the optimal design of a vibrating beam.-Quart. Appl. Math., v.23, No.l, 1965, p.47-53.

83. Oden F., Tadjbakhsh J. The shape of the strongest column with a follower load.- J. Optim. Theory and Appl., v.15, No.l, 1975.

84. Olhoff N. Optimal design of vibrating circular plates.-Int. J. Solids and Struct., v.6, No.12, 1970, p.139-156.

85. Olhoff N. Optimal design of vibrating rectangular plates.-Int. J. Solids and Struct., v.10, No.l, 1974, p.93-109.

86. Olhoff N. On singularities, local optima and formation of stiffeners in optimal design of plates.- In: Proceedings of IUTAM Symposium on Optimization in Structural Design. Warsaw 1973. Berlin: Springer-Verl., 1975, p.82-103.

87. Olhoff N. Optimization of vibrating beams with respect to higher order natural frequencies.- J. Struct. Mech., v.4,1. No.l, 1976, p.87-122.

88. Olhoff N. A survey of the optimal design of vibrating structural elements.- Report of the Danish Center for Appl.- Math, and Mech. No.102, 1976, p.1-30.

89. Olhoff N., Eusmussen S.H. On single and bimodal optimum buckling boads of clamped columns.- Int. J. Solids and Struct., v.13, 1977, p.605-614.

90. Pedersen P. On the minimum mass layout of trusses.

91. AGAKD Conf. Proceedings, Oct., N0.36, 1970.

92. Pierson B.L. An optimal control approach to minimum weight vibrating beam design.- J. Struct. Mech., v.5, 1977» p. 147-148.

93. Plaut K. On the optimal structural design for a nonconserva-tive elastic stability problem.- J. Optim. Theory and Appl. v.7, No.l, 1971.

94. Simitses G., Aswani M. Minimum weight design of stiffened cylinder under hydrostatic pressure.- AIAA Pap., No.138, 1975.

95. Taylor J.E. Optimum design of a vibrating bar with specified minimum cross section.- AIAA Journal, v.6, 1968, p.1379-1381.

96. Turner M.J. Design of minimum mass structures withspecified natural frequences.- AIAA Journal, v.5, No.3, 1966, p.406-412.

97. Trachair N., Bocker J. Optimum elastic columns.- Int. J. Mech. Sci., v. 12, No.11, 1970.

98. Weisshaar T.A. Optimization of simple structures with highermode frequency constraints.- AIAA Journal, v.10, 1972, p.691-693.