Обратные коэффициентные задачи для стержней тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Дснииа Ольга Витальевна

ОБРАТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СТЕРЖНЕЙ

01.02.04 -механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

~ 3 ДЕН 2009

Ростов-на-Дону 2009

003486556

Работа выполнена на кафедре теории упругости Южного федерального университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Ватульян Александр Ованесовнч

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Селезнев Михаил Георгиевич кандидат физико-математических наук, доцент Берковнч Вячеслав Николаевич

Ведущая организация Кубанский государственный университет

Защита диссертации состоится «15» декабря 2009 г. в 15 час. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам в Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148,

Автореферат разослан «12» ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Боев Н.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Коэффициентные обратные задачи для обыкновенных дифференциальных операторов и операторов в частных производных второго и четвертого порядка имеют многочисленные приложения в различных областях знания. Это вопросы идентификации неоднородных покрытий, проблемы акустического контроля при создании функционально-градиентных материалов, задачи эластографии в медицинской диагностике мягких тканей, контроль скорости восстановления костной ткани в месте перелома, задачи идентификации новых композиционных материалов сложной структуры, неразрушающего контроля элементов неоднородных конструкций. Главная проблема при исследовании подобных задач — это формулировка операторной связи между искомыми коэффициентами дифференциальных операторов и граничными полями перемещений. Это проблема обусловлена переменностью коэффициентов дифференциальных операторов и невозможностью построения в явном виде общих представлений решений, как это имеет место для операторов с постоянными коэффициентами.

Цель работы состоит в разработке методов определения законов изменения модулей Юнга и сдвига, плотности в стержне как функций координат, а также методов идентификации полостей малого размера по данным их частотного зондирования.

Методика исследований прямых задач о колебаниях неоднородных стержней основана на сведении исходных краевых задач для обыкновенных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, решение которых сведено к решению СЛАУ при помощи метода коллокаций. Для решения обратных задач был построен итерационный процесс, на каждом шаге которого для определения поправок решалось интегральное уравнение Фредгольма первого рода с гладким ядром, причем при построении численных решений был использован алгоритм А. Н. Тихонова. Начальное приближение для итерационного процесса было

найдено при помощи метода квазирешений из условия минимума функционала невязки на компактном множестве. В работе для построения операторных уравнений для задачи об идентификации полости малого размера в стержне использовался также асимптотический подход, который позволил по информации о резонансных частотах стержня получить простые уравнения для нахождения параметров полости.

Достоверность выносимых на защиту результатов работы основана на корректном сведении краевых задач для неоднородного стержня к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода, на строгом аппарате интегральных уравнений, теории некорректных задач, на серии вычислительных экспериментов для различных типов неоднородностей. Операторные уравнения для исследования обратных коэффициентных задач выведены двумя способами. Первый способ основан на использовании обобщенного соотношения взаимности, второй способ основан на применении метода линеаризации и использовании условия ортогональности. Полученные численные результаты тестировались путем сравнения с точным решением для частных случаев, когда задача имеет аналитическое решение.

Научная новизна. Впервые с единых позиций разработана методика определения непрерывных законов неоднородностей (упругие модули, плотность) на основе строгого исследования обратных коэффициентных задач для дифференциальных операторов второго и четвертого порядка.

Практическая ценность результатов исследования состоит в развитии методов решения задач идентификации упругих модулей, плотности как функций координат по амплитудно-частотным характеристикам в стержне при анализе продольных, изгибных и крутильных колебаний и исследовании возможностей процедуры идентификации в зависимости от частотного диапазона и вида восстанавливаемой функции.

Апробация работы. Результаты диссертации представлены на X, XI международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной

среды» (г. Ростов-на-Дону, 2006г., 2007г.), на III, IV, V школах-семинарах «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (г. Ростов-на-Дону, г. Краснодар 2004-2006 гг.), на V международной научной конференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела» (г. Донецк 2008 г.), на международной научной школе-конференции «Тараповские чтения» (г. Харьков 2008г.), на IX Всероссийской конференции по биомеханике (г. Нижний Новгород 2008 г.), на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 работах. Из них три статьи [3],[11],[14] опубликованы в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, насчитывающего 119 наименований, общим объемом 114 страниц машинописного текста.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, код проекта 05-01-00734 и в рамках целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (2009-2010 годы) по проекту № 2.1.2/1527.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор основных проблем и результатов исследований в области коэффициентных обратных задач, проводившихся отечественными и зарубежными учеными.

Обратными задачами об определении переменных коэффициентов дифференциальных операторов ранее занимались Алексеев А. С., Аниконов Ю. Е., Бухгейм А. Л., Ватульян А. О., Денисов A.M., Кабанихин С. И., Лаврентьев М. М., Марченко В. А., Романов В. Г., Потетюнко Э. Н., Яхно В.Г., Bui H.D., Chan T.F., Chen J., Cox S.J., Gockenbach M.S., Herglotz G„ Jadamba В., Jiménez R. D., Khan A.A., Knowles I., Marinov Т. Т., McLaughlin J., Raciti F.,

Rouhani B.D., Tai X.C. и другие отечественные и зарубежные авторы. Изложены основные способы формулировки операторных соотношений, различные постановки (стационарная и нестационарная), обсуждены основные этапы численной реализации. Отметим, что большинство результатов по решению обратных задач относится к областям типа полуплоскости и полупространства; исследование граничных задач для ограниченных областей при установившихся колебаниях имеет свою специфику.

В первой главе формулируются основные подходы к исследованию коэффициентных обратных задач, сформулированы постановки одномерных ОЗ для уравнений колебаний упругих стержней.

В первом параграфе рассмотрена общая постановка обратной задачи для упругого тела. Краевая задача, описывающая установившиеся колебания с частотой со ограниченной области V с границей S = Su и Sa имеет вид:

здесь и - компоненты единичного вектора внешней нормали к 5, с,/И -

компоненты тензора упругих модулей, являющиеся кусочно-непрерывными функциями координат и удовлетворяющие обычным условиям симметрии и положительной определенности. Также имеется дополнительная информация

описывающая измерение поля перемещений на части границы , на которой осуществляется нагружение. Требуется восстановить компоненты тензора модулей упругости и плотность.

Сформулированная обратная коэффициентная задача является нелинейной некорректной задачей. Основная трудность при исследовании таких задач состоит в процедуре построения операторных уравнений, связывающих искомые и измеряемые при анализе волновых процессов функции. В настоящей работе операторные уравнения выведены двумя способами. Первый способ основан на

а;]] + рги2и: =0, ¿ = 1,2,3 ' / = 1,2,3

(1)

(2)

использовании обобщенного соотношения взаимности (3), полученного А. О. Ватульяном (Доклады РАН 2005.Т. 405№3, С. 343-345)

| Ч - +

(3)

+юг\(рт- = 0, а>е[щ,а)2]

V

здесь к}1'и и<2),с$,р(2)-основные характеристики двух решений задачи

(1), отвечающих различным смещениям, напряженным состояниям, различным модулям упругости и плотностям.

На основе обобщенного соотношения взаимности сформулировано операторное уравнение для общего случая коэффициентных обратных задач для оператора теории упругости.

+ ^¡р^-Ч'^У + { рХ/, V* = 0, «ф^]

V V

(«=1,2,..Ы). (4)

Соотношение (4) можно трактовать как интегральное уравнение относительно компонент с.'!](х) и р{"\х), если предварительно решена прямая задача о

нахождении полей смещений и}"-1' и деформаций и)"-1' внутри области У и на ее границе 5 с упругими характеристиками с^'1 (х) и р'"~>]{х). Определим удельную потенциальную и кинетическую энергию:

1 V 1 V

1 V

Заметим, что подынтегральные выражения в объемных интегралах в (4) представляют собой по форме аналог удвоенной удельной потенциальной энергии деформаций и удельной кинетической энергии, в которой перемещения и деформации соответствуют п-1 итерации (предыдущей), а модули - п итерации (последующей). Мерой выхода из итерационной процедуры является функционал

невязки 11 (/.)2сйс/си, и если его значение становится меньше

щ

погрешности входной информации, то процесс необходимо остановить. В следующих параграфах первой главы на основе предложенного подхода рассмотрен ряд обратных задач для стержня.

Во втором параграфе сформулированы обратные задачи для установившихся продольных колебаний консольно закрепленного неоднородного стержня под действием силы на конце. Соответствующая краевая задача имеет вид:

+ р(х)Е(х)а2и(х, о) = О (5)

и(0, (у) = О

А/, «) = -/>

ах

Также известна дополнительная информация об амплитудно-частотной характеристике торца стержня вида (2), имеющая вид:

и{1, а) = /; {а), а е [ю,, сог ] (6)

В этой задаче переменными являются 3 функции: модуль Юнга Е{х), плотность р{х) и площадь поперечного сечения Р(х); все эти функции однозначно из одной задачи определить нельзя, поэтому далее рассмотрены следующие три варианта формулировки обратных задач

1. Р(х) и р(х) - известные функции; требуется найти Е(х).

2. F(д:) и Е(х) - известные функции; требуется найти р(х).

3. Е(х) и р(х) - известные функции; требуется найти Е(х).

На основании подхода, сформулированного в первом параграфе, при использовании гипотез теории стержней выведены операторные уравнения для решения этих задач.

Например, для постановки 1, когда неизвестной является функция Е(х), характеризующая закон изменения модуля упругости, операторное уравнение типа (4) в итерационном процессе имеет вид:

с1и{пХ)(х,со)

\2

ск

Е(х)Е{п)(х)ск = Р (/¿со){!,&)), £УеИ,<и2] (7)

В третьем параграфе сформулированы обратные задачи для установившихся изгибных колебаний консольно закрепленного неоднородного стержня под действием поперечной силы на конце. Краевая задача имеет вид:

ск

Е(хУ(х)^-(х,со) ах

- согР(х)р(х) ы(х, <а) = О

(В)

ч /

Лх)Е{х)^\(1,со) = О, М{= ах ) ах ))

Также известна дополнительная информация об амплитудно-частотной характеристике торца стержня следующего вида:

и>(1,а) = /2(со), сое[со^со4] (9)

Аналогично задаче о продольных колебаниях в этом параграфе выведены операторные уравнения для решения задач об идентификации функций, характеризующих законы изменения модуля упругости и плотности. Например, для постановки, когда неизвестной является функция, характеризующая закон изменения плотности и имеется априорная информация о законах изменения модуля упругости и площади поперечного сечения, операторное уравнение типа (4) в итерационном процессе имеет вид:

со2]/ХхХ^"-1'(х,со))1 рм(х)ск = Р(/2(со)-со)), сое[со„щ] (10) о

В четвертом параграфе доказаны теоремы единственности для поставленных обратных задач. Также показано, что в рамках исследования только одной из задач (о продольных или об изгибных колебаниях) невозможно восстановить обе функции: модуль упругости и плотность, так как в этом случае восстановление искомых характеристик неединственно. В пятом параграфе описаны общие подходы при исследования обратных и некорректных задач.

Во второй главе рассмотрены конкретные реализации по решению сформулированных в первой главе постановок обратных задач для неоднородных стержней при продольных колебаниях. Итерационные процессы для этих задач были построены независимо от общего подхода и опирались на метод интегральных уравнений Фредгольма первого и второго рода. Было проведено обезразмеривание исходной задачи: x = lz, и = Ш, Е(х) = Е0'Ё(г), р(х) = р0'p(z), F(x) = F0'F(z), ze[0,l], где E0' = max E(x), p(' = maxp(x), F0' = maxF(x)

ie[0./J ie[0,/] лге[0,/]

¿0 ¿0

Отметим, что далее для всех функций знак тильды над ними опускался.

На первом этапе на основе сведения к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода решалась прямая задача о нахождении функции смещения на свободном конце стержня при известных характеристиках стержня:

и{2,к)-к2\тр{1)и{ик)\У{и2)сИ - -р\ Е ^^ (11)

W(t,z) =

f ,z<t< 1

Для решения интегрального уравнения (11) использовался метод коллокаций. Интегралы заменялись их приближёнными значениями по квадратурным формулам (в настоящей работе применялась формула Симпсона). При удовлетворении интегрального уравнения в наборе точек в соответствии с методом коллокаций задача сводилась к решению алгебраической системы относительно узловых неизвестных.

На втором этапе при помощи метода линеаризации (когда искомые функции представлялись в виде разложения по формальному параметру е в окрестности начального приближения) был построен итерационный процесс.

Используя условие ортогональности, удалось исключить полевые характеристики первого приближения и сформулировать интегральные уравнения Фредгольма первого рода для нахождения поправок. Отметим, что построенное уравнение полностью совпало с построенным другим методом в первой главе. На каждом шаге построенного итерационного процесса посредством решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода находилось новые значения и <"~1), с помощью которых вычислялись правая часть интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода и его ядро. Отметим, что для вычисления производной с/и'"-1'(г к)

- , входящей в ядро интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода,

с/г

использовалась интерполяция кубическими сплайнами. Решение интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода является некорректной задачей и требует регуляризации, в настоящей работе был использован регуляризующий алгоритм А.Н.Тихонова. После решения этого уравнения вычислялась поправка к модулю упругости, и с ее учетом осуществлялся следующий этап итерационного процесса.

В первом параграфе рассмотрена задача об идентификации модуля Юнга в стержне при продольных колебаниях.

Первый этап итерационного процесса требует знания начального приближения. В настоящей работе начальное приближение Е0(г) строилось в классе линейных положительных ограниченных функций вида Е0(г) =а0 + Из априорной информации об ограниченности модуля упругости О <Е_<Е0(г)<Е+ можно получить следующие ограничения на параметры а0 и а,:

£ <а0<£+, Е^<а0 + а,<Е+, (12)

которые определяют компактное множество С/ на плоскости изменения параметров (а0,а,). Значения постоянных а0 и а, находились из условия минимума следующего функционала невязки на построенном компактном множестве и:

Ф = ]|и(и)-/(к)|2</*, (13)

где г/(1,/с)- функция смещения на свободном конце стержня при линейном законе изменении модуля Е0(г) = а0+ а,г.

Предложенная схема показала свою работоспособность в достаточно представительной серии вычислительных экспериментов при восстановлении гладких неоднородностей (для полиномиальных (монотонных и немонотонных), тригонометрических, показательных функций с большим градиентом).

На рис. 1 в качестве примера представлены результаты восстановления безразмерной функции, характеризующей изменение модуля упругости, на первом, третьем и пятом шагах итерационного процесса для следующих законов р(г) = 2 + 0.5гг, Е(г) = 1 + г3. В серии расчетов было принято кх-2, к2=Ъ, что соответствует частотному диапазону, расположенному между 1-ой и 2-ой резонансными частотами; измерения производились для пяти частот внутри выбранного диапазона.

--исходная функция

----------------начальное приближение

------------------первая итерация

♦ «*•♦* третья итерация

• пятая итерация

Рис.1

Были проведены вычислительные эксперименты об определении влияния количества частот, в которых произведены измерения, на точность восстановления функции. В качестве примера на рис. 2 приведен график

относительной погрешности 8 для восстановления безразмерной функции, характеризующей изменение модуля упругости для следующих законов р{г) = 1 + г, Е(г) = 1 + (1.52-0.7)2. В серии расчетов было принято а:, =1.5, л*2 =3.9, что соответствует частотному диапазону, расположенному между 1-ой и 2-ой резонансными частотами. Расчеты производились для двух, трех, пяти частот внутри выбранного диапазона; для обеспечения необходимой точности потребовалось не более 5 итераций. Из рис.2 видно, что наименьшая погрешность достигается, когда входная информация задается для пяти частот внутри выбранного диапазона.

0.25-

0.2- \

0.15- \ » \

0.1- \ ^ \ \ \ \ /

0.05- \ у-Г \ \//

0 0.2 0

0.6 0.8

5 частот

2 часоты

3 частоты

Рис.2

Проведены вычислительные эксперименты по нахождению сингулярных чисел для оператора в уравнении Фредгольма 1-го рода. Показано, что сингулярные числа можно условно разбить на два подмножества, причем сингулярные числа первого подмножества определяются достаточно устойчиво, а сингулярные числа второго подмножества находятся на уровне погрешности вычислений. Сделан вывод, что число сингулярных чисел из первого подмножества связано с числом частот, в которых произведены измерения. Также проводились вычислительные эксперименты, когда входная информация была зашумлена.

Во втором параграфе рассмотрена обратная задача о восстановлении плотности в стержне при анализе продольных колебаний. Для решения задачи был построен итерационный процесс, на п-ом шаге которого для определения поправки необходимо решать следующее интегральное уравнение Фредгольма первого рода:

1 2

^[(и^^к)) Р{г)р("](2)с12 = -Ри1{к)-и(,,-х){\,к)), ке[к„к2] (14)

о

Было установлено, что для обеспечения единственности решения необходимо знание априорной информации о значении функции плотности в месте защемления стержня. Отметим, что в противном случае погрешность восстановления функции на защемленном конце составляет около 16%.

В третьем параграфе решена задача об идентификации осесимметричной полости малого размера в стержне кругового поперечного сечения радиуса Д. На основе метода линеаризации, когда функция Р(г) представлялась в виде Р(г) = Р0(2)-£?](г), было получено операторное уравнение для нахождения поправки т](г):

о

В частном случае для стержня постоянной плотности и постоянного модуля Юнга, ослабленного полостью малого размера, полагая Р0 = 1, легко находим г/0(г,к-), а уравнение (15) приобретает вид:

—= -(№)-и(\,к)), к(16)

где г](г)- положительная функция с компактным носителем, моделирующая наличие полости в стержне. Полученное уравнение является интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода, оно решалось с помощью регуляризующего алгоритма А.Н.Тихонова. Проведенные численные эксперименты показали, что метод А.Н.Тихонова дает хорошие результаты только в том случае, когда известен отрезок, на котором локализована полость. Для определения носителя

полости был предложен следующий алгоритм. На основе асимптотического подхода была получена формула для нахождения поправок к резонансным частотам для стержня, ослабленного полостью:

1

ки =-2к1п\п^) С08(2к-0„2)<£ (17)

о

где к0п- резонансная частота для стержня без полости. В случае когда ?/(г) -сферическая полость с центром в точке с0 радиуса г0 формула (17) после упрощения дает:

(18)

Были проведены расчеты по определению первого безразмерного волнового числа по асимптотической формуле (17) и путем прямого расчета первого собственного значения интегрального оператора, к которому сводится краевая задача (5) при разных формах полости и положениях ее центра; расхождение составило величины порядка 10"4-10"5 для размеров полости порядка 0.2Я. Это обстоятельство позволило применять асимптотическую формулу для малых по объему полостей для процедуры идентификации полости. Была получена

формула £ = arceos

±1 /27 + — Knj

TTC

, где ç = , причем выбирается знак «+»,

если л"и<0, и знак «-», если л*,, >0. После определения с0 величина г0 определяется из формулы (18). Таким образом, зная поправки для первой и для второй резонансных частот, можно найти центр сферической полости и ее радиус. Далее на отрезке [с0 -г0,с0 + г0] форму полости можно уточнить, решая уравнение (16). Таким образом, задача была разбита на два этапа. На первом этапе на основе анализа резонансных частот определяется носитель полости, а на втором происходит детализация ее формы на основе решения уравнения Фредгольма 1-го рода при помощи метода регуляризации А. Н. Тихонова. Предложенный подход позволяет достаточно точно восстанавливать такие характеристики полости как центр и объем (погрешность восстановления центра полости не превышает 2% , объема —3%).

В четвертом параграфе рассмотрена задача о восстановлении модуля сдвига при анализе крутильных колебаний стержня.

Краевая задача, описывающая крутильные колебания консольно закрепленного стержня под действием крутящего момента на свободном конце, после отделения временного множителя имеет вид:

d_ dx

/ duix,(0)

G(x)J ф —

dx и,(0) = 0

+ Jpp(x)a>\(x,co) = 0 (19)

G(l)Jp^{l,m) = -M

Известна дополнительная информация об амплитудно-частотной характеристике торца стержня:

мД/,ю) = /3(й>), й>е[ю5,ю6] (20)

Цель задачи — восстановить неизвестную функцию модуля сдвига G{x) при известной плотности по информации (20).

Отметим, что краевая задача (19) подобна краевой задаче, описывающей продольные колебания неоднородного стержня. Методика решения этой задачи аналогична решению задачи о восстановлении модуля Юнга при анализе продольных колебаний стержня.

В третьей главе рассмотрены конкретные реализации по решению сформулированных в первой главе постановок обратных задач для неоднородных стержней при изгибных колебаниях.

Исходная задача была обезразмерена:

x = lz, и = 1й, Е(х) = Е0'Ё(г), р(х) = p0'p(z), F(x) = F0'F(z), j(x) = j;j(z), 2 e [0,1],

где Е,' = max Е(х), р* = maxр(х), F0' = maxF(x), J,' = max J{x)

*e[0,/] ie[0,/] -re[0,/] le[0,/]

д4 _ co2P0'F;IA PI2

F * / * ' J *F *

Далее для удобства для всех функций знак тильды над ними опускался.

Прямая задача о нахождении функции смещения на свободном конце стержня при известных характеристиках стержня решалась на основе сведения к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода:

К(Г],2) = <

I J{S)E{Z)

л Т(Ар.(Г\ ь '

(4)

В первом параграфе решена задача о восстановлении модуля упругости в стержне при анализе изгибных колебаний. Был построен итерационный процесс уточнения неизвестной функции, на п-ом шаге которого для определения поправки необходимо решать следующее интегральное уравнение Фредгольма первого рода:

т^^-Р^М)-^^*)), Ле[ЯзД4] (22)

Показано, что для обеспечения единственности решения задачи необходима априорная информация о значении функции модуля Юнга на свободном конце стержня.

На рис. 3 представлены результаты восстановления безразмерной функции, характеризующей изменение модуля упругости для следующих законов р{г) = \ +2 ,Е{2) = 2 + 0.55т(27Т2). В расчетах принято Л, =2.8, /^=4 (что соответствует частотному диапазону, расположенному между 1-ой и 2-ой резонансными частотами); расчеты производились для пяти частот внутри выбранного диапазона. Сплошной линией показан график исходной функции, квадратиками - восстановленной. Прерывистой линией показано начальное приближение, найденное из условия минимума функционала невязки типа Ф(13).

Рис.3

Во втором параграфе решена обратная задача о восстановлении плотности в стержне при анализе изгибных колебаний. Было установлено, что также как и для задачи о восстановлении плотности при продольных колебаниях, для обеспечения единственности решения необходима априорная информация о значении функции плотности в месте защемления стержня.

Вычислительные эксперименты показали, что неоднородности с конечным числом разрывов первого рода (например, кусочно-постоянные) восстанавливаются значительно хуже гладких и на основе предложенной схемы дают близкие к искомым в среднеквадратичном. Был проведен эксперимент по сравнению амплитудно-частотных характеристик для двух стержней: в первом закон изменения плотности представлен исходной кусочно-постоянной функцией, а во втором — восстановленной гладкой. На рисунке 4 показаны результаты этого эксперимента. Сплошной линией показана амплитудно-частотная характеристика для первого стержня, а разрывной—для второго.

0.41

0.3

0.2

0.1

; 1 ' I

б Г]П 8 9 10 и

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

Рис.4

Результат эксперимента показал, что до первого резонанса АЧХ для первого и второго стержней практически совпадают; далее отличие наблюдается только в области резонансных частот.

В третьем параграфе решена задача о восстановлении двух функций плотности и модуля упругости при совместном анализе продольных и изгибных колебаний. Для решения задачи был построен итерационный процесс, на п-ом шаге которого для определения поправок необходимо решать следующую систему интегральных уравнений Фредгольма первого рода:

1 (л ("-')/ \У 1

о V ) О

/

(23)

/ о

1.5

1.4

1.3

Р(2)

1.2-

Е(г) 1.1-

О 0.2 0.4

06

0.8

г

Рис.5

На рис. 5 представлены результаты восстановления безразмерных функций, характеризующих плотность и модуль Юнга для следующих законов р(г) = 1 + (г - 0.5)2, Е(г) = 1 + (г - 0.3)2. В этом эксперименте считалось известным значение функции плотности на защемленном конце. При продольных и изгибных колебаниях рассматривались частотные отрезки [лгик:2] = [2,3], [Лз,Д4] = [2.4,3.2], находящиеся между первой и второй резонансными частотами (как для продольных, так и для изгибных колебаний), измерения производились для пяти частот внутри выбранного диапазона. Для восстановления оказалось достаточно 5-ти итераций.

1. Сформулированы постановки коэффициентных обратных задач для упругих стержней о восстановлении модуля Юнга, модуля сдвига, плотности и формы поперечного сечения по амплитудно-частотным характеристикам.

2. В рамках асимптотического подхода при использовании информации о резонансных частотах для стержня решена задача об определении параметров малой полости в стержне.

3. Разработаны методы построения итерационных процессов при формулировке операторных соотношений в коэффициентных обратных задачах для продольных, крутильных и изгибных колебаний.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

4. Разработаны алгоритмы и программы, реализующие процедуру определения модуля Юнга, модуля сдвига, плотности и формы поперечного сечения, как функций координат.

5. Провед!. !ы масштабные вычислительные эксперименты в коэффициентных обратных задачах для стержней при различных видах неоднородностей (слабонеоднородных, полиномиальных (монотонных и немонотонных), тригонометрических, показательных с большим градиентом, разрывных). Представлены рекомендации по выбору частотного диапазона, позволяющие наиболее эффективно осуществлять численное решение поставленных задач.

6. Решены обратные задачи об определении трех характеристик стержня: модуля Юнга, модуля сдвига и плотности как функций координат при совместном анализе продольных, изгибных и крутильных колебаний стержня.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

(фамилия соискателя: Бочарова О.В. - до вступления в брак, Денина О.В. - после вступления в брак)

1. Аникина Т.А., Бочарова О.В. К идентификации сращивания костной ткани //Тезисы докладов IX Всероссийской конференции по биомеханике. Нижний Новгород. 2008. С. 94-95.

2. Бочарова О.В., Жарков P.C. Асимптотический анализ продольных и поперечных колебаний стержня // Труды III Школы-семинара "Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика", Ростов-на-Дону, 15-19 ноября 2004г., Изд. 000"ЦВВР".2004. С.50-52.

3. Бочарова О.В., Ватульян А.О., Жарков P.C. Реконструкция полости в упругом стержне // Известия Вузов Северо-Кавказского региона. Сер. Естественные науки. Издательство Ростовского госуниверситета. 2006. №2. С.28-32.

4. Бочарова О.В., Жарков P.C. Реконструкция малой полости в стержне при анализе продольных и поперечных колебаний // Материалы IV школы-семинара "Математическое моделирование, вычислительная механика и

геофизика". Экологический вестник научных центров (ЧЭС). Спецвыпуск. 2006. С. 77-80.

5. Бочарова О.В. Реконструкция малой полости в стержне при анализе продольных колебаний // Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. Т. XII. Ростов-на-Дону. 2006. С. 10-12.

6. Бочарова О.В. Идентификация модуля упругости в стержне // Труды X Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Изд-во "ЦВВР". 2006. Т. 2. С. 94-98.

7. Бочарова О.В. Обратные задачи для упругого стержня при продольных колебаниях // Труды V Школы-семинара "Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика", Ростов-на-Дону, 18-21 декабря 2006г., Изд.000 "ЦВВР". 2007. С.50-52.

8. Бочарова О.В., Солуянов И.О. Об определении локальных и распределенных неоднородностей в стержнях и пластинах. Тезисы докладов XVIII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды, 27 августа-1сентября 2007 г., Саратов. С. 24.

9. Бочарова О.В. О реконструкции плотности в неоднородном стержне // Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. Т. XII. Ростов-на-Дону. 2007. С. 3-5.

Ю.Бочарова О.В., Ватульян А.О. О методах идентификации неоднородных свойств упругих стержней // Теорет. и прикладная механика. 2007. Вып. 43. С. 168-175.

П.Бочарова О.В., Ватульян А.О. Обратные задачи для упругого неоднородного стержня // Известия Вузов Северо-Кавказского региона. Сер. Естественные науки. Издательство Ростовского госуниверситета. 2008. №3. С.33-37.

12.Бочарова О.В., Ватульян А.О. Об обратных задачах для неоднородных стержней // Сборник материалов международной научной конференции Тараповские чтения, издательство Харьковского национального университета, 21-25 апреля 2008 г., С. 75-77.

И.Бочарова О.В., Ватульян А.О. Обратные задачи для стержней //Труды XI Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Изд-во "ЦВВР". 2007. Т.1. С. 84-88. 14. Бочарова О.В., Ватульян А.О. О реконструкции плотности и модуля Юнга для неоднородного стержня// Акустич. журн. 2009. Т. 55. №,3. С. 275-282.

Сдано в набор 10.11.2009 г. Подписано в печать 10.11.2009 г. Формат 60x84 V,s. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Оперативная печать. Усл. печ. л 1,0. Уч-изд.1,0.

Тираж 100 экз. Заказ № 695. Типография Южного федерального университета 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1, тел (863) 247-00-51.

Введение.

ГЛАВА 1. Общая постановка обратных коэффициентных задач для тел конечных размеров и их сведение к интегральным уравнениям.

§1.1. Формулировка операторных уравнений в обратных коэффициентных задачах.

§1.2. Формулировка операторных уравнений в обратных коэффициентных задачах для стержней (продольные колебания).

§1.3. Формулировка операторных уравнений в обратных коэффициентных задачах для стержней (изгибные колебания).

§1.4. О единственности решения некоторых обратных задач.

§1.5. Методы решения некорректных задач.

ГЛАВА 2. Исследование прямых и обратных задач для неоднородных стержней при продольных колебаниях.

§2.1. Определение модуля Юнга при анализе продольных колебаний неоднородного стержня.

§2.2. Определение плотности при анализе продольных колебаний неоднородного стержня.

§2.3. Определение полости малого размера при анализе продольных колебаний неоднородного стержня.

§2.4. Определение модуля сдвига при анализе крутильных колебаний неоднородного стержня.

ГЛАВА 3. Исследование прямых и обратных задач для неоднородных стержней при изгибных колебаниях.

§3.1. Определение модуля Юнга при анализе изгибных колебаний неоднородного стержня.

§3.2. Определение плотности при анализе изгибных колебаний неоднородного стержня.

§3.3. Восстановление модуля Юнга и плотности при совместном анализе продольных и изгибных колебаний неоднородного стержня.

Обратными коэффициентными задачами теории упругости называют задачи, в которых требуется определить коэффициенты дифференциальных операторов по некоторой дополнительной информации о решениях, например, по амплитудно-частотным характеристикам. Первые обратные коэффициентные задачи были посвящены в первую очередь проблемам геофизики и сейсморазведки, и долгие годы эти области знания стимулировали развитие математического аппарата и численных методов в этом направлении. В последние годы область приложения таких задач постоянно расширяется. Это проблемы акустического контроля при создании функционально-градиентных материалов, задачи эластографии в медицинской диагностике мягких тканей, контроль скорости восстановления костной ткани в месте перелома, задачи идентификации новых композиционных материалов сложной структуры, неразрушающего контроля элементов конструкций.

Выделяют три типа обратных коэффициентных задач в теории упругости. Первый тип — это задачи, в которых необходимо найти модули Ляме и плотность как функции координат по измерению поля смещений на границе. Второй тип — это задачи, к которым приводятся геометрические обратные задачи об определении форм полостей или включений малого характерного размера. Третий тип — задачи об определении структуры существенно неоднородного предварительного напряженного состояния.

В настоящей работе решены некоторые задачи первого и второго типов для стержневых систем.

Первый тип задач был инициирован в первую очередь проблемами геофизики и исследовался достаточно давно, начиная с классической работы Герглотца [102]. В начале XIX века в геофизике был поставлен вопрос: можно ли, располагая картиной движения фронтов поверхностных сейсмических волн, порожденных землетрясениями, найти скорость распространения сейсмических волн внутри Земли? Такая проблема есть обратная кинематическая задача', которая была решена в 1905-1907 гг. немецкими геофизиками Г. Герглотцем [102] и Е. Вихертом [11В] для шара, моделирующего сферически-симметричную модель Земли. Было показано, что единственность решения обратной задачи имеет место только в предположении, что скорость распространения возмущений монотонно растет с глубиной. Решение этой модельной задачи сыграло большую роль в развитии представлений о глубинном строении Земли и сформировало некоторые принципы глубинного зондирования Земли. На основе сейсмических наблюдений впервые было построено распределение скорости продольных и поперечных волн вдоль радиуса Земли и были выделены основные элементы структуры земного шара: коры, оболочки, ядра.

С потребностями геофизики, а именно, гравитационной и магнитной • разведки, связано возникновение обратной задачи теории потенциала. Общая формулировка этой задачи состоит в следующем [69]: вне некоторой области, ограниченной поверхностью, задан потенциал (объемных масс, простого слоя или магнитный), порожденный телом, лежащим внутри области. Необходимо определить форму и плотность тела. К такой постановке приводят, к примеру, задачи рудной геофизики об отыскании залежей полезных ископаемых по аномалиям силы тяжести. Нужно отметить, что эта задача не имеет единственного решения без дополнительных предположений. Тела, имеющие разную плотность и разный носитель плотности, могут создавать вне поверхности одно и то же поле тяготения (к примеру, тело с большой плотностью и малым носителем и тело с меньшей плотностью и большим носителем). По этой причине относительно плотности всегда делаются некоторые упрощающие предположения, чаще всего считают плотность тела заданной [69]. В таком предположении первая теорема единственности для обратной задачи ньютоновского потенциала была получена П. С. Новиковым [62]. В дальнейшем исследованием обратных задач теории потенциала в различных постановках занимались такие ученые, как Л. Н. Сретенский [76], И. М. Рапопорт [68], А. Н. Тихонов [78], М. М. Лаврентьев [46]. В настоящее время существенно развиты теория и численные методы решения обратных задач этого класса.

В 1943 г. А. Н. Тихоновым [78] была впервые исследована проблема устойчивости решения обратных задач для обратной задачи теории потенциала. Результаты этой работы послужили основой нового направления в области исследования некорректных в классическом смысле задач, получивших название условно-корректных задач [69] (корректных по А. Н. Тихонову).

Фундаментальные результаты в исследованиях обратных коэффициентных задач для различных типов операторов были получены Ю. А. Аниконовым [5], С. И. Кабанихиным [40], М. М. Лаврентьевым [4852,83], В. Г. Романовым[69-73,116], В. Г.Яхно[89-90].

Для задач второго типа коэффициенты дифференциальных операторов отличны от постоянных значений лишь в некоторой малой подобласти исследуемого тела и их требуется восстановить по информации о граничных полях смещений [12-14,42].

Приведем некоторые сведения об исследованных в последнее время обратных коэффициентных задачах теории упругости и стержневых систем и вычислительных аспектах их численной реализации.

В работе [7] приведен способ решения следующей задачи: идентифицированы виды закрепления каждого из концов однородного стержня (заделка, свободное опирание, упругое опирание, упругая заделка, плавающая заделка, свободный конец) и его параметры (коэффициенты жесткости пружинок при упругом закреплении) по собственным частотам его колебаний. Показана двойственность и устойчивость этой задачи. Представлен метод решения задачи по девяти собственным частотам.

В работе [45] решена обратная задача определения дефектов строительных конструкций по резонансным частотам крутильных колебаний. Выполнено решение задачи по определению геометрической неоднородности материала стержня по резонансным частотам. Получены для частных случаев аналитические формулы решения обратной задачи. Проведено численное решение обратных задач восстановления неоднородности стержня и исследовано влияние точности задания исходной информации на точность восстановления параметров неоднородности.

В работе [60] рассмотрена задача о продольных колебаниях пьезокерамического стержня с толщинной поляризацией. Построено аналитическое решение при нулевых механических граничных условиях на торцах стержня. В случае, когда электроды отделенного диэлектрическими промежутками участка стержня разомкнуты, для первых нормальных мод найдены собственные частоты колебаний. Эти значения сопоставлены со спектром продольных колебаний стержня со сплошными электродами. Согласно методу низкочастотной томографии приведены данные о месторасположении и приближенной форме неоднородности. Проведено сопоставление с экспериментальными исследованиями.

В [66] рассмотрены задачи определения или доопределения матриц жесткости, матриц масс, граничных условий, структурных изменений параметров конструкции в процессе ее эксплуатации. Приведены решения отдельных задач идентификации дискретных и континуальных моделей упругих систем. Основное внимание уделено проблеме идентификации жесткостей балок. Предполагается, что в качестве исходной информации для решения указанных выше задач выступают собственные частоты и соответствующие им формы колебаний рассматриваемой конструкции и некоторых ее модификаций, которые (частоты и формы колебаний) определяются экспериментальным путем. При построении расчетных алгоритмов используются вариационные, конечно-разностные методы, функции чувствительности изменения отдельных параметров системы на динамическое поведение конструкции, методы минимизации квадратичного функционала невязки.

В статье [93] дается краткое описание видов некорректных задач, трудностей решения таких задач, а также принятых в настоящее время методов решения. Описано явление некорректности в задаче идентификации параметров модели по экспериментальным данным, содержащим случайную погрешность. Предложен итерационный подход, минимизирующий функционал невязки в методе наименьших квадратов. Подход основан на корректировке параметров каждой следующей итерации на основе анализа параметров предыдущей итерации. В статье приведен пример использования предложенного подхода для двухпараметрической модели, а также рассмотрено влияние исходного приближения и параметра регуляризации на точность восстановления. Остается открытым вопрос применимости данного метода к реальным задачам, где точное значение восстанавливаемых параметров неизвестно и не может быть использовано для корректировки итерационного метода.

В статье [103] предлагается метод решения некорректных обратных задач, а именно, задач, сводящихся к граничным интегральным уравнениям Фредгольма первого рода, основанный на минимизации регуляризирующего функционала особого вида. Данный функционал незначительно отличается от функционала Тихонова, однако в статье отсутствует какое-либо упоминание работ А.Н. Тихонова. Доказывается, что задача минимизации регуляризирующего функционала имеет единственное решение. Показываются необходимые и достаточные условия минимума регуляризирующего функционала. Приводится пример итерационного подхода к решению некорректной задачи. Приведены результаты численных экспериментов как с "точными", так и с "зашумленными" исходными данными задачи.

В статье [92] дано определение вариационного неравенства и показана важность регуляризованных методов при их решении. В частности, авторы описывают применение принципа итерационной регуляризации для этой цели. Кроме того, для указанных задач применяется проекционный численный метод, называемый АРР, принцип вспомогательной задачи. В статье предложен подход, содержащий объединение указанных методов. Приведен алгоритм, доказана его сильная сходимость.

Для восстановления разрывных коэффициентов достаточно широко используется метод расширенного лагранжиана.

Так, например, в [98] задача о идентификации разрывных параметров в эллиптических системах сформулирована как проблема минимизации, комбинирующая метод наименьших квадратов и метод ошибки в уравнениях. Эта проблема эквивалентна задаче перевала в расширенном лагранжиане. После дискретизации задачи методом конечного элемента она решалась при помощи алгоритма Узавы.

В [96] для решения обратных эллиптических задач с кусочно-постоянными коэффициентами предложен подход множества уровня. Геометрия разрывности коэффициентов представлена функциями множества уровня. Обратная задача решена при использовании вариационной формулировки расширенного лагранжиана. Соответствующее уравнение Эйлера-Лагранжа дало эволюционное уравнение для функций множества уровня и постоянных значений коэффициентов. Было использовано составное представление множества уровня, которое допускает большое число точек разрыва. Для решения задачи точное число точек разрыва не требуется, необходима только верхняя граница. Численные эксперименты показали, что метод пригоден для восстановления коэффициентов с достаточно сложной геометрией при умеренной величине зашумления данных наблюдения. Предложенный метод устойчив к начальному приближению геометрии разрывных коэффициентов.

В [95] разрывные коэффициенты восстановлены при помощи регуляризации полной вариации. Этот подход дает хорошие результаты при восстановлении резко меняющихся коэффициентов. В добавлении к методу наименьших квадратов введены две новые методики. Во-первых, использован фильтрующий шаг для устранения ошибки наблюдения, во-вторых, были введены два расширения метода наименьших квадратов, использующие соответственно наблюдения градиента и потока параметра состояния. Численные эксперименты показали, что комбинация этих двух методик дает возможность успешно восстанавливать разрывные коэффициенты даже при больших ошибках наблюдения.

В [112] была решена задача о восстановлении изгибной жесткости в уравнении Эйлера-Бернулли при переопределенных данных. В [112] восстанавливались кусочно-постоянные функции, причем точки разрыва были известны и задача, таким образом, сводилась к восстановлению неизвестных констант. Первоначальная задача была переопределенной (количество условий больше, чем количество неизвестных констант). Для ее решения был использован метод вариационного вложения. С помощью его первоначальная обратная задача была заменена задачей минимизации квадратичного функционала для исходного уравнения, которая далее была сведена к хорошо обусловленной краевой задаче высшего порядка. Показано, что решение первоначальной обратной задачи находится среди решений полученной вариационной задачи, которая решалась при помощи итерационной схемы конечных разностей, имеющей ошибку аппроксимации второго порядка.

В [111] было проведено исследование идентификации коэффициента неоднородной изгибной жесткости в стационарной теории Эйлера-Бернулли для балки при заданной нагрузке. В работе были обсуждены различные типы граничных условий, были установлены условия для корректной постановки исходной обратной задачи. Также приведены численные результаты, полученные с помощью регуляризующего алгоритма.

Работы [100,109,110] посвящены использованию принципа итеративной регуляризации для идентификации параметров в эллиптических краевых задачах.

В [119] идентификация физических параметров в эллиптических краевых задачах при использовании метода наименьших квадратов с Н-регуляризацией или ВУ-регуляризацией сформулирована как задача минимизации с ограничениями. Полученная задача далее дискретизировалась на основе конечноэлементных аппроксимаций. Показано, что метод решения дискретизированной задачи сходится для обоих случаев регуляризации. Доказано, что конечноэлементная задача минимизации эквивалентна последовательности задач минимизации без ограничений. Численные эксперименты показали: во-первых, глобальную сходимость алгоритма, во-вторых, то, что он работает хорошо также и для идентификации параметров, имеющих резкие разрывы и осцилляции.

Целый ряд работ посвящен идентификации коэффициентов Ляме в упругих телах и биологических тканях [97,99,101,104,105,113].

В [105] представлены эксперименты следующего характера: производились взаимно-коррелирующие последовательные эхотомограммы биологических тканей, возбуждаемые нестационарным источником на поверхности. Эти эксперименты показали, что за время интервала между двумя эхотомограммами можно измерить смещение упругой волны в любой точке ткани. В предположении, что известна история смещений распространяющейся сдвиговой волны, были идентифицированы изменения жесткости внутри ткани в терминах коэффициентов Ляме. В экспериментах рассматривалась доминантная частота, называемая авторами центральной частотой. Далее для перемещения применялось преобразование Фурье, и вычислялась трансформанта по центральной частоте. При использовании этой трансформанты предложенный метод стартовал с асимптотического приближения геометрической оптики. Исследуя далее изменение амплитуды перемещения вдоль геометрических лучей внутри среды, авторы показали возможность восстановления модуля сдвига ¡л без непосредственного численного вычисления производных от данных смещения, что часто является источником больших погрешностей в задачах идентификации.

В работе [113] обсужден следующий вопрос: что можно сказать о распределении жесткостей в биологических тканях на основе косвенных измерений? Это привело авторов к рассмотрению обратной задачи об идентификации коэффициентов в гиперболических системах второго порядка, моделирующих распространение упругих волн. Входной информацией для поставленной обратной задачи служил зависящий от времени вектор перемещений внутри среды. В изотропном случае были установлены достаточные условия для идентификации единственным образом волновых скоростей и одновременного восстановления плотности и параметров Ляме. В анизотропном случае приведены контрпримеры, доказывающие неединственность и показывающие структуру множества сдвиговых тензоров, соответствующих одинаковым исходным данным.

В работах [97],[99] рассматривалась задача об определении модулей Ляме в плоском изотропном линейном упругом теле по известным смещениям и граничных усилиях. В работе [99] показано, что когда модули являются константами, они могут быть определены точно. Пространственные законы изменения модулей упругости могут быть найдены численно при рассмотрении уравнений линейной упругости как гиперболических; приведена устойчивая схема конечных разностей для решения этих систем. Приведенные вычислительные эксперименты продемонстрировали ее эффективность. В работе [97] задача о нахождении модулей Ляме решалась при помощи вариационного метода; приведены оценки для модулей, полученные путем минимизации функционала невязки, и указан предел погрешности для найденных оценок.

В работе [104] рассмотрена обратная задача об определении двух коэффициентов Ляме в задаче о колебаниях изотропной мембраны. Предложенный подход основан на регуляризации функционала граничной вариации ВУ. Проведен анализ сходимости. Результаты численных экспериментов демонстрируют успешное восстановление двух параметров Ляме в двумерной задаче в случае постоянного, кусочно-постоянного, и линейных законов изменения. Показано влияние уровня зашумленности исходных данных на результаты восстановления.

Исследование [107] посвящено выявлению дефектов в однородных стержнях и состоит в нахождении местоположения и расчете масштаба разрушений в стержне. Была рассмотрена конечно-элементная модель однородного стержня. Для нее была развита процедура решения обратных задач определения разрушений, использующая собственные значения некоторой матрицы. Показано, что геометрические параметры стержня могут быть реконструированы из одной пары: собственного числа и соответствующего собственного вектора. Однако как показали численные эксперименты, построенная процедура оказалась чувствительна к возмущениям, так как при использовании зашумленных данных точность восстановления значительно снижалась. Для понижения чувствительности построенной модели авторами было предложено использовать уточняющие данные. С теоретической точки зрения предложенный подход можно считать эффективным, но на практике получить дополнительную информацию достаточно сложно, и это обстоятельство накладывает на процедуру реконструкции много ограничений. Для решения этой проблемы была использована новая методика, названная авторами фильтрацией информации.

В работе [106] рассматривалась обратная задача о восстановлении переменной площади поперечного сечения в стержне при анализе продольных колебаний. Конечно-элементная дискретизация дифференциального уравнения, описывающего колебания, приводила к анализу пучка матриц с особой структурой. Далее задача сводилась к реконструкции однозначно определенной матрицы Якоби, при этом использовалась половина ее собственного спектра и половина спектра ее главной подматрицы.

Общим вопросам теории некорректных и обратных задач посвящены работы [9], [28], [34], [35], [43], [44], [53], [58], [67], [81], [91], [94], [108], [114], [115], [117].

Подчеркнем, что большой интерес к обратным коэффициентным задачам для обыкновенных дифференциальных операторов и операторов в частных производных второго и четвертого порядка продиктован большим числом приложений исследуемых задач в различных областях знания-акустика, идентификация биологических тканей, геофизика. Все вышеизложенное определяет актуальность и практическую значимость настоящей работы.

Основной целью настоящей работы является разработка методов определения законов изменения модулей Юнга и сдвига, плотности в стержне как функций координат, разработка методов идентификации полостей малого размера по данным частотного зондирования.

Научная новизна результатов работы.

Впервые с единых позиций разработана методика определения законов неоднородностей (упругие модули, плотность, полости малого относительного размера) на основе строгого исследования обратных коэффициентных задач второго и четвертого порядка.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на X, XI международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, 2006г., 2007г.), на III, IV, V школах-семинарах

Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (г. Ростов-на-Дону, г. Краснодар 2004- 2006 гг.), на V международной научной конференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела» (г. Донецк 2008 г.), на международной научной школе-конференции «Тараповские чтения» (г. Харьков 2008г.), на IX Всероссийской конференции по биомеханике (г. Нижний Новгород 2008 г.), на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ.

Достоверность результатов.

Достоверность выносимых на защиту результатов работы основана на корректном сведении краевых задач для продольных и изгибных колебаний неоднородного стержня к интегральным уравнениям Фредгольма, на строгом аппарате интегральных уравнений, теории некорректных задач. Операторные уравнения для исследования обратных коэффициентных задач выведены двумя способами. Первый способ основан на использовании обобщенного соотношения взаимности, второй способ основан на применении метода линеаризации. Полученные численные результаты в настоящей диссертационной работе подвергались проверке путем сравнения с точным решением для случаев, когда задача могла быть решена аналитически.

Приведем кратко основное содержание работы

Первая глава состоит из пяти параграфов. В первом параграфе на основе обобщенного соотношения взаимности сформулированы операторные уравнения для общего случая обратных коэффициентных задач. Во втором и третьем параграфах даны постановки обратных задач для восстановления модуля упругости, плотности в стержне при продольных колебаниях (задачи 1-3); модуля упругости, плотности в стержне при изгибных колебаниях (задачи 4-6). На основании подхода, сформулированного в первом параграфе, выведены операторные уравнения для решения поставленных обратных задач. В четвертом параграфе доказаны теоремы единственности для поставленных обратных задач. Также показано, что в рамках исследования только одной из задач (о продольных или об изгибных колебаниях) невозможно восстановить обе функции: модуль упругости и плотность, так как в этом случае восстановление искомых характеристик неединственно. В пятом параграфе рассмотрены основные подходы к исследованию обратных коэффициентных задач.

Вторая глава посвящена исследованию прямых и обратных задач для неоднородных стержней при продольных колебаниях и состоит из четырех параграфов. В первом параграфе на основе сведения к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода решена прямая задача о нахождении функции смещения на свободном конце стержня при известных характеристиках стержня. Далее при помощи метода линеаризации был построен итерационный процесс для решения обратной задачи о восстановлении модуля упругости в стержне при продольных колебаниях. Выход из построенного процесса производился, когда значение функционала невязки становилось меньше погрешности входных измерений. Начальное приближение было найдено в классе линейных функций из условия минимума функционала невязки на компактном множестве. Проведены вычислительные эксперименты по нахождению сингулярных чисел для оператора в уравнении Фредгольма 1-го рода. Показано, что сингулярные числа можно условно разбить на два подмножества, причем сингулярные числа первого подмножества определяются достаточно устойчиво, а сингулярные числа второго подмножества находятся на уровне погрешности вычислений. Сделан вывод, что число сингулярных чисел находящихся в первом подмножестве, связано с числом частот, рассматриваемых на частотном отрезке. Во втором параграфе решена обратная задача о восстановлении плотности в стержне при анализе продольных колебаний. Было установлено, что для обеспечения единственности решения необходима априорная информация о значении функции плотности в месте защемления стержня. В третьем параграфе решена задача об идентификации полости малого размера в стержне. Исследование задачи было разбито на два этапа. На первом этапе при использовании резонансных частот для стержня, ослабленного полостью, на основании асимптотического подхода был найден носитель полости. На втором этапе на найденном носителе форма полости была уточнена при помощи регуляризующего алгоритма Тихонова. В четвертом параграфе рассмотрена задача о восстановлении модуля сдвига при анализе крутильных колебаний стержня.

Третья глава посвящена исследованию прямых и обратных задач для неоднородных стержней при изгибных колебаниях и состоит из трех параграфов. В первом параграфе решена задача о восстановлении модуля упругости в стержне при анализе изгибных колебаний. Показано, что для обеспечения единственности решения задачи необходимо знать значение функции на свободном конце стержня. Во втором параграфе решена обратная задача о восстановлении плотности в стержне при анализе изгибных колебаний. В третьем параграфе решена задача о восстановлении двух функций плотности и модуля упругости при совместном анализе продольных и изгибных колебаний. Для всех рассмотренных задач представлены вычислительные эксперименты по восстановлению различных гладких законов неоднородностей: полиномиальных (монотонных и немонотонных), тригонометрических, функций с большим градиентом. Приведены вычислительные эксперименты, показывающие, что разрывные функции восстанавливаются значительно хуже гладких.

Публикации

Основное содержание диссертации отражено в 14 работах [4, 11-23], опубликованных в открытой печати, из них 3 статьи в журналах, определенных ВАК РФ для публикации основных научных результатов. Фамилия соискателя до вступления в брак — Бочарова О. В., после вступления в брак — Денина О. В. Часть работ выполнена в соавторстве с научным руководителем А.О. Ватульяном. В работах [12, 19-23]

А.О. Ватульяну принадлежат постановка задач, основные идеи по их реализации, обсуждение результатов. Автору диссертации принадлежит реализация этих идей, решение прямых задач на основе сведения исходных задач к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода, построение операторных уравнений для решения обратных задач, составление алгоритмов и программ, проведение серий расчетов, анализ результатов вычислительных экспериментов. В работах [11-13] автору диссертации принадлежит решение прямой и обратной задач для стержня ослабленного малой полостью при анализе продольных колебаний стержня, Р. С. Жаркову принадлежит решение прямой и обратной задач для стержня, ослабленного малой полостью при анализе изгибных колебаний стержня. В работе [4] автору принадлежит методика решения обратной задачи при изгибных колебаниях стержня, Аникиной Т. А. принадлежит вывод интегральных уравнений и численные расчеты. В работе [17] автору принадлежит изложенный в диссертации метод идентификации локальных и распределенных неоднородностей в стержнях, Н. О. Солуянову принадлежит иной метод определения малых локальных канонических неоднородностей, основанный на конечномерных аппроксимациях обратной задачи.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, код проекта 05-01-00734 и в рамках целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (2009-2010 годы) по проекту № 2.1.2/1527.

Основные результаты, полученные в настоящей диссертационной работе, сводятся к следующему:

1. Сформулированы постановки коэффициентных обратных задач для упругих стержней о восстановлении модуля Юнга, модуля сдвига, плотности и формы поперечного сечения по амплитудно-частотным характеристикам.

2. В рамках асимптотического подхода при использовании информации о резонансных частотах для стержня решена задача об определении параметров малой полости в стержне.

3. Разработаны методы построения итерационных процессов при формулировке операторных соотношений в коэффициентных обратных задачах для продольных, крутильных и изгибных колебаний.

4. Разработаны алгоритмы и программы, реализующие процедуру определения модуля Юнга, модуля сдвига, плотности и формы поперечного сечения, как функций координат.

5. Проведены масштабные вычислительные эксперименты в коэффициентных обратных задачах для стержней при различных видах неоднородностей (слабонеоднородных, полиномиальных (монотонных и немонотонных), тригонометрических, показательных с большим градиентом, разрывных). Представлены рекомендации по выбору частотного диапазона, позволяющие наиболее эффективно осуществлять численное решение поставленных задач.

6. Решены обратные задачи об определении трех характеристик стержня: модуля Юнга, модуля сдвига и плотности как функций координат при совместном анализе продольных, изгибных и крутильных колебаний стержня.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Акулеико JI. Д., Костин Г. В. Метод возмущений в задачах динамики неоднородных упругих стержней // ПММ.1992. Т.56. В.З. С. 452-464.

2. Акуленко JI. Д., Нестеров С. В. Собственные поперечные колебания неоднородного стержня// Изв РАН: МТТ. 2003. №.3. С. 179-192.

3. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.:Наука, 1988. 288с.

4. Аникина Т.А., Бочарова О.В. К идентификации сращивания костной ткани //Тезисы докладов IX Всероссийской конференции по биомеханике. Нижний Новгород. 2008. С. 94-95.

5. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука (Сиб.отд.), 1978.-118 с.

6. Арсенин В. Я. О методах решения некорректно поставленных задач. М.: МИФИ, 1973.- 165 с.

7. Ахтямов А. М., Ямилова JI. С., Муфтахов А. В. Идентификация вида и параметров закрепления стержня по собственным частотам его колебаний. //Акустич. журн. 2008. Т. 54. №2. С. 181-188.

8. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во Московск. ун-та, 1989. 198 с.

9. Барашков А. С. О единственности решения одной обратной задачи // ЖВМ и МФ. 1973. Т.13. № 2. С.365-372.

10. Ю.Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. -632с.

11. Бочарова О.В., Ватульян А.О., Жарков P.C. Реконструкция полости в упругом стержне // Известия Вузов Северо-Кавказского региона. Сер. Естественные науки. Издательство Ростовского госуниверситета. 2006. №2. С.28-32.

12. Бочарова О.В. Реконструкция малой полости в стержне при анализе продольных колебаний // Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. Т. XII. Ростов-на-Дону. 2006. С. 10-12.

13. Бочарова О.В. Идентификация модуля упругости в стержне // Труды X Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Изд-во "ЦВВР". 2006. Т. 2. С. 94-98.

14. Бочарова О.В. Обратные задачи для упругого стержня при продольных колебаниях // Труды V Школы-семинара "Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика", Ростов-на-Дону, 18-21 декабря 2006г., Изд.ООО "ЦВВР". 2007. С.50-52.

15. Бочарова О.В., Солуянов Н.О. Об определении локальных и распределенных неоднородностей в стержнях и пластинах. Тезисы докладов XVIII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды, 27 августа-1 сентября 2007 г., Саратов С. 24.

16. Бочарова О.В. О реконструкции плотности в неоднородном стержне // Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. Т. XII. Ростов-на-Дону. 2007. С. 3-5.

17. Бочарова О.В., Ватульян А.О. О методах идентификации неоднородных свойств упругих стержней // Теорет. и прикладная механика. 2007. В. 43. С. 168-175.

18. Бочарова О.В., Ватульян А.О. Обратные задачи для упругого неоднородного стержня // Известия Вузов Северо-Кавказского региона. Сер. Естественные науки. Издательство Ростовского госуниверситета. 2008. №3. С.33-37.

19. Бочарова О.В., Ватульян А.О. Об обратных задачах для неоднородных стержней // Сборник материалов международной научной конференции Тараповские чтения, издательство Харьковского национального университета, 21-25 апреля 2008 г., С. 75-77.

20. Бочарова О.В., Ватульян А.О. Обратные задачи для стержней //Труды XI Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Изд-во "ЦВВР". 2007. Т.1. С. 84-88

21. Бочарова О.В., Ватульян А. О. О реконструкции плотности и модуля Юнга для неоднородного стержня// Акустич. журн. 2009. Т. 55. №.3. С. 275-282.

22. Бухгейм A.JI. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск.: Наука, 1988.-184с.

23. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986. 188 с.

24. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1996. 260 с.

25. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит, 2007. 223 с.

26. Ватульян А. О. О вариационной постановке обратных коэффициентных задач для упругих тел // Доклады РАН 2008. Т. 422. №2. С. 182-184.

27. Ватульян А. О. Интегральные уравнения в обратных задачах определения коэффициентов дифференциальных операторов теории упругости //Доклады РАН 2005. Т.405.ЖЗ. С.343-345.

28. Ватульян А. О. Операторные уравнения в обратных коэффициентных задачах и их исследование.// сб. Исследования по дифференциальнымуравнениям и математическому моделированию, Владикавказ. 2008. С. 65-71.

29. Ватульян А. О. Математические модели и обратные задачи// Соросовский образовательный журнал. 1998. №11. С. 143-148.

30. Ватульян А. О., Соловьев А. Н. Об итерационном подходе в обратных задачах теории упругости // Экологический вестник научных центров (ЧЭС). 2006. №1. С. 23-29.

31. Виарда Г. Интегральные уравнения. M.; JL: Гостехтеориздат, 1933. -192 с.

32. Головина С. Г., Романов С. Ю. , Степанов В. В. Об одной обратной задаче сейсмики.// Вестник МГУ: Выч. мат. и кибернетика. 1994. №4. С. 16-21.

33. Горюнов A.A. , Сасковец A.B. Обратные задачи рассеяния в акустике.М.: МГУ, 1989.-152с.

34. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ.1994. -208 с.

35. Завьялов Ю.С.; Квасов, Б.И.; Мирошниченко, B.JI. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980.-352 с.

36. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 208 с.

37. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука, 1980.-448с.

38. Кабанихин С.И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск: Наука, 1988. -168с.

39. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М. Наука, 1976. 544с.

40. Колтон Р., Кресс. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир. 1987.-311 с.

41. Корнилов В. С. Некоторые обратные задачи идентификации параметров математических моделей. М.: МГПУ, 2005. — 359 с.

42. Кравчук A.C. Основы компьютерной томографии. М.: Дрофа, 2001. -240 с.

43. Краснобаев И. А., Потетюнко Э. Н., Щербак. Е. Н. Определение геометрической неоднородности стержня при помощи крутильных колебаний. Изв. вузов. Стр-во. 2003, № 11. С. 29-35.

44. Лаврентьев М. М. К вопросу об обратной задаче теории потенциала // Докл. АН СССР. 1956. Т.106. №3. С. 389-390.

45. Лаврентьев М.М. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск. Изд. ин-та математики. 1999. -702с.

46. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во Новосибирского ун-та. 1973. -71 с.

47. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1982. -88 с.

48. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука. 1980. 286 с.

49. Льюнг Л. Идентификация систем. М.: Мир, 1991. -137с.

50. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1987.-240 с.

51. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-во Московск. ун-та, 1987. 217 с.

52. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач: алгоритмический аспект. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1992.-320 с.

53. Найфе А.Х. Введение в методы возмущений. М.:Мир, 1984. 535 с.

54. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир, 1990. 280 с.

55. Немцова О. М. Методы решения обратных задач выраженных интегральными уравнениями первого рода // Вестник Удмуртского Университета. 2005. №4. С. 23-34.

56. Новацкий В. Теория упругости. М.Мир, 1975. 872 с.

57. Новиков П. С. Об единствености обратной задачи теории потенциала // Докл. АН СССР, 1938. Т.18. №3. С.165-168.бЗ.Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. 558 с.

58. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977.-311 с.

59. Петров Ю. П., Сизиков В. С. Корректные, некорректные и промежуточные задачи с приложениями. Санкт-Петербург: Политехника, 2003. -261 с.

60. Потетюнко Э.Н., Черкесов JI.B., Шубин Д.С., Шербак E.H. Свободные колебания и обратные спектральные задачи. Неоднородные движения неоднородной жидкости. М.: Вузовская книга, 2001. —288 с.

61. Рапопорт И. М. О плоской обратной задаче теории потенциала // Докл. АН СССР, 1940. Т.28. № 4. С.305-307.

62. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. -264 с.

63. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений.

64. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т. 1973. 252 с.

65. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Обратная кинематическая задача сейсмики. Новосибирск: НГУ, 1978 — 88 с.

66. Романов В. Г. О регуляризирующем алгоритме решения обратной задачи для гиперболического уравнения // Докл. РАН, 1996. Т.346. № 3. С.303-306.

67. Романов В.Г. К теоремам единственности одного класса обратных задач //Докл. АН СССР. 1972. Т. 104. №5. С. 1075-1076.

68. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Едиториал УРСС, 2004 480 с.

69. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: МирД984.-472с.

70. Сретенский JI. Н. Об одной обратной задаче теории потенциала // Изв. АН СССР. Серия матем., 1938. № 5-6. С.551-570.

71. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно' поставленных задач //Доклады АН СССР. 1963. Т. 153. №1. С.49-52.

72. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. 1943. Т.39. № 5. С.195-198.

73. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации //Доклады АН СССР. 1963. Т. 151. №3. С.501 -504.

74. Тихонов A.H., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М. ¡Наука, 1979.-288с.

75. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов А. А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987. -160с.

76. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 230 с.

77. Тихонов А.Н., Иванов В.К., Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. М.: Наука, 1970.- 110 с.

78. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

79. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. -299 с.

80. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М. ¡Машиностроение, 1970. -736с.

81. Фридман В.М. Метод последовательных приближений для интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода //Успехи математических наук. 1956. Т.П. №1. С.233-234.

82. Хемминг Р.В. Численные методы (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1968.-400 с.

83. Яхно В.Г. Обратные коэффициентные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Новосибирск: Наука, 1990. 304с.

84. Яхно В.Г. Устойчивость решения одномерных обратных задач упругости//Докл.АН СССР. 1986. Т.286. №6 . С. 1369-1372.

85. Acar R. Identification of the coefficient in the elliptic equations // SIAM J. Control Optim. 1993. Vol.31. № 5. P. 1221-1244.

86. Baasansuren J., Khan A.A. Regularized auxiliary problem principle for variational inequalities, J.Computers & Mathematics with Applications. 2000. Vol.40. P. 995-1002.

87. Boyadjiev Chr., Dimitrova E. An iterative method for model parameter identification 1. Incorrect problem // Computers and Chemical Engineering. 2005. Vol.29. P.941-948.

88. Bui H.D. Inverse Problems in the Mechanic of Materials: An Introduction. -CRC Press, Boca Raton, FL. 1994.- 224p.

89. Chan T.F., Tai X.C. Identification of discontinuous coefficients in elliptic problems using total variation regularization // SIAM J. Sei. Comput. 2003. Vol. 25. P.881-904.

90. Chan T.F., Tai X.C. Level set and total variation regularization for elliptic inverse problems with discontinuous coefficients // J. of Computational Physics V. 193. № 1.2004. P. 40-66.

91. Chen J., Gockenbach M.S. A variational method for recovering planar Lamé moduli // Math. Mech. Solids. 2002. Vol. 7. P. 191-202.

92. Chen Z., Zou J. An augmented Lagrangian method for identifying discontinuous parameters in elliptic systems // SIAM J. Control Optim. 1999. Vol.37. P.892-910.

93. Cox S.J., Gockenbach M.S. Recovering planar Lamé moduli from a single-traction experiment // Math. Mech. Solids. 1997. Vol. 2. P. 297-306.

94. Gockenbach M.S., Khan A.A. An abstract framework for elliptic inverse problems. Part 1: An output least-squares approach // Math. Mech. Solids 2007. Vol.12. P. 259-276.

95. Gockenbach M.S., Khan A.A. Identification of Lamé parameters in linear elasticity: a fixed point approach // J. Indust. Manag. Optim. 2005. Vol.1. № 4. P. 487-497.

96. Herglotz G. Uder lie Elastizität der Erde bei Borücksichtigung ithrer variablen Dichte // Zeitschr. Für Math. Und Phys., 1905. Vol.52. № 3. P.275-299.

97. Ito K., Zou J. Identification of some sourse densities of the distribution type // J. of Computational and Applied Mathematics. 2001. Vol. 132. P. 295-308.

98. Jadamba B., Khan A.A., Raciti F. On the inverse problem of identifying Lame coefficients in linear elasticity // J. Computers and Mathematics with Applications. 2008. Vol.56. P.431-443.

99. Ji L., McLaughlin J. Recovery of Lame parameter ji in biological tissues // Inverse Problems. 2004. Vol. 20. P. 1-24.

100. Jiménez R. D., Santos L. C., Kuhl N. M. and Egaña J. C. The reconstruction of a specially structured Jacobi matrix with an application to damage detection in rods // J.Computers & Mathematics with Applications. 2005. Vol. 49. № 11-12. P. 1815-1823.

101. Jiménez R. D., Santos L. C., Kuhl N. M., Egaña J. C., Soto R. L. An inverse eigenvalue procedure for damage detection in rods // J.Computers & Mathematics with Applications. 2004. Vol. 47. № 4-5. P. 643-657.

102. Karchevsky A. L., Yakhno V. G. One-dimensional inverse problems for systems of elasticity with a source of explosive type // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, VSP. Netherlands. 1999.Vol.7. № 4. P.347-364.

103. Khan A. A., Rouhani B.D. Iterative regularization for elliptic inverse problems // J. Computers & Mathematics with Applications. 2007. V. 54. №6. P. 850-860.

104. Knowles I. Parameter identification for elliptic problems // J. Comp. Appl. Math. 2001 Vol.131. P. 175-194.

105. Lesnic D., Elliott L., Ingham D.B. Analysis of coefficient identification problems associated to the inverse Euler-Bernoulli beam theory // IMA J. Appl. Math. 1999. Vol. 62. P. 101-116.

106. Marinov T. T., Vatsala A. S. Inverse problem for coefficient identification in the Euler-Bernoulli equation // J. Computers and Mathematics with Applications. 2008. Vol.56. P. 400^10.

107. McLaughlin J., Yoon J.-R. Unique identifiability of elastic parameters from time-dependent interior displacement measurement // Inverse Problems. 2004. Vol. 20. P. 25-45.

108. Phillips D.L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind //J. Assoc. Comput. Mach. 1962. Vol. 9. №1. P.84-97.

109. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I.A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. New York-Basel: Marcel Dekker inc., 2000. 709 p.

110. Romanov V. G. Investigation Methods for Inverse Problems. The Netherlands. 2002. VSP. 280 p.

111. Tardieu N., Constantinescu A. On the determination of elastic coefficients from indentation experiments // Inverse Problems. 2000. Vol .16. P. 577-588.

112. Wiechert E. und Zoeppritz K. Über Erdbebenwellen // Nachr. Königl. Geselschagt Wiss. Göttingen. 1907. №4. P.415-549.

113. Zou J. Numerical methods for elliptic inverse problems // International Journal of Computer Mathematics. 1998. Vol. 70. P. 211 232.