Методы расчета колебаний неоднородных твердых тел и идентификация их свойств тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

описи

Богачев Иван Викторович

МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОЛЕБАНИЙ НЕОДНОРОДНЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ ИХ СВОЙСТВ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой стспсгш кандидата физико-математических наук

17 АПР 2014

'I АПР 2014

Ростов-на-Дону - 2014

005547112

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южный федеральный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор, Ватульян Александр Ованесович.

Официальные оппоненты:

Суворова Татьяна Виссарионовна, доктор физико-математических паук, доцент, ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный университет путей сообщения», профессор кафедры «Высшая математика»,

Зеленцов Владимир Борисович, кандидат физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Донской государственный технический университет», руководитель, старший научный сотрудник Ресурсного центра коллективного пользования.

Ведущая организация ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет».

Защита состоится «13» мая 2014 г. в 17:30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.00 при Южном федеральном университете (ЮФУ), расположенном по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке имени Ю.А. Жданова ЮФУ по адресу: 344103, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 21 Ж.

Автореферат разослан «9» апреля 2014 г. Ученый секретарь

диссертационного совета

Боев Николай Васильевич

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Исследование характеристик материалов со сложными неоднородными свойствами, таких как полимеркомпозиты, функционально-градиентные материалы, геологические породы, пьезокерамики, биологические ткани в настоящее время является одним из важнейших направлений механики сплошной среды. Процедура осреднения, присущая механике композитов, не всегда даст результаты, близкие к экспериментальным данным, поэтому использование моделей с неременными характеристиками весьма актуально. Вследствие сложности прямых экспериментальных оценок механических свойств таких материалов со сложной реологией важна разработка новых методов идентификации неоднородных характеристик, основанных на различных моделях материалов: упругих, вязкоупругих, электроупругих и др. Кроме того, в связи со спецификой самих материалов (например, биологических тканей) интерес представляют нсинвазивные методы, одним которых является акустическое зондирование, при специальной обработке результатов которого удается восстанавливать неизвестные функции по информации об амплитудно-частотных характеристиках, измеренных в некоторых точках исследуемого объекта.

В случаях однородных или кусочно-однородных характеристик исследуемого материала вычислительные схемы их идентификации на основе анализа характера колебаний традиционны и строятся на основе минимизации функционалов невязки. При исследовании идентификации свойств материалов с учетом неоднородных свойств на начальных этапах исследования была широко распространена постановка, в которой известны (измерены) физические поля внутри исследуемого объекта. Задача в таком случае оказывается линейной и сводится к решению системы дифференциальных уравнений первого порядка или к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Если информацию о физических полях можно получить только на границе тела, то обратная задача существенно нелинейна. В таком случае решение задачи сводится к нели-

нейным операторным уравнениям, которые могут быть исследованы лишь на основе некоторых итеративных процедур, принципы построения которых опираются на слабую постановку и метод линеаризации. В случае, когда требуется определение нескольких функций, задача сводится к решению нетривиальных нелинейных обратных задач, которые стали исследоваться совсем недавно.

Цель работы заключается в построении методов расчета колебаний для идентификации неоднородных свойств тел сложной структуры на основе применения акустических методов и использование их при решении одномерных обратных коэффициентных задач для вязкоупругих и электроупругих тел типа балки, слоя, прямоугольника.

Методика исследования прямых задач о колебанях неоднородных тел основана на сведении краевых задач к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода, решаемым с помощью метода коллокаций. Исследование обратных задач идентификации свойств неоднородных тел проводится с помощью построения итерационных процессов, на каждом шаге которых решаются прямые задачи и с помощью метода регуляризации Тихонова определяются поправки к восстанавливаемым функциям из интегральных уравнений и систем интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода.

Научная новизна диссертационной работы заключается в построении подходов к решению прямых и новых обратных задач, имеющих важное значение в разработке общих принципов идентификации свойств новых материалов, в частности, функционально-градиентных, пьезокерамик, а также многослойных биологических тканей.

Достоверность результатов, полученных в диссертации, основана на использовании строгого аналитического аппарата теорий упругости и вяз-коупругости, математического анализа и принципа соответствия при постановке задач и выводе операторных соотношений, на сравнительном анализе полученных результатов с известными решениями в частных случаях, проведении большого набора численных экспериментов для различных законов изменения

нсоднородностей.

Практическая ценность диссертационного исследования состоит в построении и развитии эффективных методов идентификации неоднородных свойств тел сложной структуры на основе анализа акустического отклика, используемых во многих областях современной науки, таких как механика композитов, геомеханика, механика функционально-градиентных материалов, биомеханика. Использование предложенных подходов для анализа свойств биологических тканей, например, при обследовании кожного покрова пациента, может позволить на ранних стадиях выявлять различные патологии и заболевания.

Апробация работы. Результаты, полученные в работе, были представлены на Всероссийских и международных конференциях: "Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование"(Волгодонск, 2011 г.), X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011 г.), XV и XVI международные конференции "Современные проблемы механики сплошной среды "(Ростов-на-Дону, 2011 и 2012 г.), VI, VII, VIII Всероссийская школа-семинар "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете"(нос. Дивноморское, 2011, 2012 и 2013 г.), Russian-Taiwanese symposium "Physics and mechanics of new raatcrials and their applications"(Rostov- on-Don, 2012), Всероссийская (с международным участием) конференция по механике деформируемого твердого тела (Ростов-на-Дону, 2013 г.) и на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 18 печатных работах [1-18], из них 8 [1-8] опубликованы в рецензируемых журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 107 наименований, 4G рисунков. Общий объем диссертации составля-

ет 116 страниц машинописного текста.

Исследования, изложенные в диссертационной работе, поддержаны Министерством образования РФ (соглашения 14.132.21.1358 и 14.132.21.1360), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (госконтракт № П596), грантами РФФИ (10-01-00194-а, 13-01-00196-а, 12-01-31501 мол-а, 14-01-31393 мол-a), Южным федеральным университетом НИР 213.01-24/2013-74.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность и сформулирована цель диссертационной работы, приведен обзор литературы по задачам идентификации однородных и неоднородных механических свойств различных материалов, в том числе биологических тканей. Отмечены отечественные и зарубежные ученые, внесшие значительный вклад в построение методик расчета колебаний и идентификации характеристик неоднородных тел, создание и разработку методов решения обратных и некорректных задач: Адамов A.A., Арутюнян Н.Х., Арсе-нин В.Я., Бакушинский А.Б., Бленд Д.Р., Бухгейм А.П., Ворович И.И., Вату-льян А.О., Гончарский A.B., Гетман И.П., Денисов A.M., Зубов Л.М, Кабани-хин С.И., Кристенсен Р., Лаврентьев М.М., Лебедев Л.П, Маслов Л.Б., Матвеен-ко В.П., Мусхелишвили Н.И., Олейник O.A., Партон В.З., Работнов Ю.Н., Ржа-ницын А.Р., Романов В.Г., Санчес-Паленсия Э., Соловьев А.Н., Тихонов А.Н., Устинов Ю.А., Федоров А.Е., Ферри Дж., Филиппов А.П., Шардаков И.Н., Ях-но В.Г., Al-Khourya FL, Ara'ujo A.L., Elliott L., Gallego R., Gladwell G.M.L., Ingham D.B., Jager A., Khan A.A., Kreider K.L., Lesnic D., Lin, X, McLaughlin J., Martin L., Palma R., Pereira J.M., Polansky J., Yoshida F., Zhang H., Zhiming Chen и другие.

В первой главе диссертации представлены постановки прямых и обратных задач о колебаниях тел, рассмотренных в работе, которые сформулированы как для размерных, так и для безразмерных характеристик. В параграфе 1.1

приведено краткое описание моделей вязкоупругих тел, в частности модели стандартного вязкоунругого тела (модели Зинера), применяемой в работе, и принципа соответствия, с использованием которого сформулированы постановки задач о колебаниях вязкоупругих тел.

В параграфе 1.2 рассмотрены две постановки задачи об установившихся изгибных колебаниях неоднородного вязкоунругого стержня - при нагружении силой и моментом. После отделения временного множителя уравнение и граничные условия в случае нагружения поперечной силой (задача 1.1) имеют вид:

г!2 ¡12т

_№>«)_)_|с4||> = 0| (1)

. (Ри)

ги(0,и>)=0, ~(0,ш) = 0,

л ^ !ГЧ ■

(2)

х=1

В случае нагружения изгибающим моментом (задача 1.2), граничные усло-

вия имеют вид:

<п< ■ \Л

и>(0,ш) = 0, ^(0,«;) = 0,

<1 ■ ,(12ги.

= 0.

Х=1

(3)

Здесь введены обозначения: С7(х,гк) = ^ТК _ функция без-

1 + гтк1

размерного комплексного модуля материала, из которого изготовлен стержень, к - безразмерная частота колебаний, т - параметр, характеризующий безразмерное время релаксации, д(х), Н{х) - безразмерные функции мгновенного и длительного модуля соответственно, д(х) > Н(х).

В параграфе 1.3 приведена в рамках принципа соответствия формулировка задачи о плоских и антиплоских колебаниях неоднородного по толщине вязко-упругого слоя, занимающего область V = {х1 € (—оо, оо),Х2 Е (—оо, оо), £3 € [0,Л]}. Нижняя грань слоя жестко защемлена, на верхней границе приложены нагрузки, определяемые вектором р, где р = (р1,0,рз).

Для рассматриваемой постановки предложено разделение общей задачи на две однотипные несвязанные краевые задачи относительно осредненных харак-

+оо

теристик смещений Uj{xz,uS) =

j{xi,x$,w)dx\, j = 1,3, в одну из которых

входит комплекснозначная функция ц{хз, геи), а во вторую А(хз, ги>) -\-2ц(х^, ш). Задача 2.1

^11х3=0 = 0, = Рь

Задача 2.2

((А + 2/г)[/з з),з + ри>2и% = 0,

(5)

и3\хл=0 = 0, (А + 2ц)и^\х3=к = Р-л,

. тш^2(хз) +т(хз,) 1тш\2(хз) + Л^жз)

где ц(хз,гш) = ---:-, А(ж3,гш) = ---:--комплекс-

1 + гпш 1 + гпи>

нозначные функции (аналоги характеристик Лямс).

В силу однотипности задач (4) и (5) построены операторные соотношения для вспомогательной задачи 2.3, которая получается после введения безразмерных переменных х = хз/к, и = и,/к, к2 — раш2к2/цо и безразмерных характеристик:

(С(х, 1к)и'(х, к))' + к2г(х)и(х, к) = 0,

(6)

и(0,к) = 0, С(1,гк)и'(1,к) = 1,

Здесь г(х) = р0 гр(х), G{x,in) = гтк9^ + , т = nJ где д(х) =

1 + IT К у РФ

ц2{х) . . щ(х) X2(x)+2ß2(x) . , \1(х) + 2ц1(х)

Ш' {х) = шдля А и 9{х) = —Ш—' (} = —Ш—

для задачи 2.2.

В параграфе 1.4 рассмотрена постановка задачи о колебаниях с частотойш прямоугольной области S = {xi G [—1, I], х3 £ [0, h}}, заполненной неоднородной электроупругой средой, поляризованной вдоль вертикальной координаты хз- Нижняя грань жестко защемлена и электродирована, на верхней электро-дированной границе приложены механические и электрические нагрузки. На боковых гранях задано условие свободной границы, либо скользящей заделки.

Решение двумерной краевой задачи удалось упростить, сведя ее к более простой одномерной задаче относительно осредненных характеристик смещения и электрического потенциала:

I I

» Г

и^(х-л,ш)= щ(х1,х3,ш)<1х1, Ф(я3,ш) = ч>{х1,х-л,ьо)<1х1, з = 1,3.

-I -I

Рассмотрены два типа нагружения - механическое и электрическое, что позволило сформулировать три более простых задачи.

Задача 3.1 (связывает функции 1/\(хч,и) и Си(х^)):

{Сии[У+ = о, СМ0.Ш) =0,С44(ВД(Л,а;) =Р1. Задача 3.1 аналогична сформулированной ранее задаче 2.3.

Задача 3.2 (связывает функции 11(х^,и}) = Ф(х3,ш) и Сзз(хз),

ез.ч(^з), £зз{х3)):

(Спи' + езз Ф')' + Р"2и = 0, (еззV - е3з Ф')' = О,

1°)

и(0,и) = ф(0,ш) = 0, (СззС/'-Ь еззФ')из=л =РЗ, Ф(Л,") = 0.

Задача 3.3 (связывает функции \^(хз,ш) = £/3(2:3,со), <&(хъ,и)) = Ф(хз,ш) и Сзз(а;з), езз(х;!), £;и(х3)):

(СиV + е33 Ф')' + = 0, (езз^' - е3.з Ф')' = 0,

У(0,ш) = Ф(0,ш) = 0, (СззУ + е33 Ф')1 х3=л = 0, Ф(Л, со) = ф0.

В задачах 3.1 - 3.3 введены обозначения: С33 и С44 - модули упругости, езз _ пьезоэлектрическая характеристика, £33 - диэлектрическая проницаемость.

В параграфе 1.5 для каждой из сформулированных в параграфах 1.2-1.4 прямых задач ставятся обратные задачи об идентификации неизвестных неоднородных характеристик. Для задач о колебаниях неоднородных вязкоупругих стержней обратные задачи заключаются в нахождении комплексного модуля <3"(£, гк) (или длительного и мгновенного модулей к(х) и д(х)) неоднородного

вязкоупругого стержня по известному смещению в некотором частотном диапазоне:

Для задач 1.1 и 1.2 сформулированы соответствующие обратные задачи.

Обратная задача 1.1. Для задачи 1.1 определить пару функций С? (ж, г/с) и у}(х,к) из (1), (2) по дополнительной информации (10).

Обратная задача 1.2. Для задачи 1.2 определить пару функций С7(аг, г/с) и гп(х,к) из (1), (3) по дополнительной информации (10).

Аналогичные обратные задачи сформулированы для задач о вязкоупру-гом слое и электроупругом прямоугольнике. Для обратной задачи о вязкуопу-пругом слое в качестве дополнительной информации выступает информация о полях смещений, заданных на верхней границе слоя при известном законе изменения плотности в некотором частотном диапазоне, для электроупругого прямоугольника - информация о механических и электрических характеристиках, измеренных на верхней границе.

В параграфе 1.6 рассмотрена постановка задачи о восстановлении свойств неоднородного по толщине вязкоупругого слоя (моделирующего кожный покров), в свою очередь состоящего из трех слоев, моделирующих подкожный жир, дерму и эпидермис, с учетом информации о смещении на верхней границе слоя. Эта задача также сведена к задаче относительно осредненных характеристик.

Вторая глава посвящена сведению прямых задач, сформулированных в первой главе, к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода. Прямые задачи 1.1, 1.2 (о колебаниях стержня) и 2.3 (о колебаниях слоя) сведены к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода вида (11).

ги(1, /с) = /(/с), к в [к1,к2}.

(10)

1

ги(х,к) = к)К(х,£, к)(Щ + /(ж, /с), х Е [0, 1],

(П)

о

и

где для задачи 1.1:

К(х, к) = к4<р{х, £)

(х - у) G{r], in)

fa - Odv +

f(x, к) =

G{rj, in)

для задачи 1.2:

K{x,i,n) = к4 для задачи 2.3:

" ip{x,rj){x - rj){{, - if)

G{r], in)

di], f{x, к) = M0

min(.r,f)

K(x, ¿, n) = г(х)к2

Git, ж)

rrdf, /(*) =

' <p(x,T])(x - 7?)

G( 77, гк)

di7,

G(£,m)

Для прямых задач 3.2 и 3.3 введены безразмерные переменные и характеристики а: = ж3//г, и = U/h, ф = Ф/Ф(0,о;), v = V/h, ip = Ф/Ф(0,ш), С':« = См/СмС0), ёж, = e:i3/e3:!(0), £33 = езз/езз(0), к2 = pcu2h2/Cxi(0), А2 = £:s:t (0) С33 (0) / е33 (0), f-i = hp3/C33(0), Fu = <ри/Ф(0,Сь>), относительно которых для решения сформулировано интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода:

1

W(x, к) = РМх) - F0h(x) + к2 W(t7, K)I<l(r],x)dV, (12)

0

a F(x) определяется из соотношения

1 »

F(x, к) = P3R2(x) + F0I2(x) + к2 W(r], k)I<2(v, x)dll-

(13)

Здесь для задачи 3.2: УУ — и, F = ф, = 0. Для задачи 3.3: IV = V, ^ = <р, Р3 = 0. Использованные обозначения (для удобства записи тильду далее будем опускать):

Ка{г},х) = да(тт(?7, х)) + (-1)а+11а(х)д2(г]), Яа(х) = да(х) + (~1)а+11а(х)д2(1), а = 1,2,

1а{х) = да+1(х)/д3{1)

91(х) = А2

£33 (О,, , ч

Г езз(£) , X

д-Ах) = ~птг^'

Д(0 ^ ^ 7 J Д(0

о

А(0

о

МО = (езз)2 + ^е33С33.

В третьей главе описаны подходы, применяемые для решения обратных задач, сформулированных в параграфах 1.5 и 1.6. В параграфе 3.1 даны некоторые сведения о типах обратных задач и их области применения. Также ввиду того, что обратные задачи в большинстве случаев являются некорректными, приведены наиболее распространенные способы решения таких задач и преодоления некорректности в них. В параграфе 3.2 представлено построение общего итерационного подхода к решению обратных задач на основе слабой постановки. В параграфе 3.3 построен процесс, позволяющий решать исходную задачу в классе дробно-линейных функций, которые используются затем в качестве начальных приближений в основной задаче.

В параграфах 3.4-3.6 представлены общие подходы для решения обратных задач на основании построения итерационных процессов с использованием метода линеаризации. Представим основные этапы их реализации:

1. Пусть известны п-с приближения неизвестных функций. Тогда соответствующие п-е значения функций, характеризующих физические поля, можно получить при решении прямых задач, сведенных к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода (11) - (12).

2. Поправки к неизвестным функциям находятся из интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода, построенных на основе метода линеаризации. Для задач о стержне и слое соответсвующие уравнения относительно поправок5С(х, гк) к неизвестному комплексному модулю на п-м шаге соотвественно имеют вид (14), (15) и (16):

1

с12

6С(х^к)(^шп{х,к))2(1х =-Р0(/(1,к)-■шп(1,к)),к & [кькг]. (14)

сР

6С(х,1к)(-^гип(х, к))2(1х — —Мо(/'(1, к) - ш',(1, к)), к е [кь/с2]. (15)

1

6С{х,ш) (и'п(х,к))2 с1х = (/(ас) - и„(1,к)), ке[кь4 (16)

Для задач об электроупругом прямоугольнике получены два ИУФ 1-го рода относительно поправок ёС;а(х), 5ех>,(х) и 5е-ы{х) к восстанавливаемым функциям для механического и электрического нагружений соответственно. На п-м шаге итерационного процесса они имеют вид (17) и (18):

1

6Сж (ип')2 + 25еллип'фп' - ¿езз {ф'1')2} с1х = -Рл(ЬА{к) - «"(1, к)), (17)

0

1

¿Сзз К') + 25ез31;»У" - ¿ею (</>"') ¿г = Я, Шк) - Щ(1,к)), (18)

о

1

где £>£(1, к) = к2^п(л)92Ш^Ы1) - !)•

о

Уравнения (14), (15), (16), (17), (18) представляют собой интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода с гладкими ядрами. Нахождение их решении представляет собой некорректные задачи, и требует регуляризации на основании, например, метода А.Н. Тихонова.

3. Следующие приближения неизвестных функций находятся по формулам Сп+1(ж,г/с) = Сп(х,ш)+Ш{х,т), С$+1(х) = С&(х) + 5СХ1(х), еЦ+^х) = е:а(х) +^е.'!з(х), е":11(х) = £'а(х) + 6ем(х). В параграфах 3.4 и 3.5 уравнения (14), (15) и (16) записываются относительно поправок5д(х) и 51г(х) к функциям мгновенного и длительного модуля.

Построенный итерационный процесс повторяется до тех пор, пока не будет выполнено условие выхода, в качестве которого выбрано условие заданной малости величины функционала невязки. В итоге, для обратных задач для стержней и слоя удастся восстановить функции д(х) и /г(х), характеризующие мгно-

венный и длительный модули. Для обратных задач об электроупругом прямоугольнике предлагаемый подход позволяет определить упругий модуль Сц(х) (на основании процесса, аналогичного построенному для слоя) и на выбор две функции из трех: упругий модуль С:а(х), пьезоэлектрическую характеристику ею(х) или диэлектрическую проницаемость £:и(х). Поиск начальных приближений к искомым функциям, необходимых для реализации такой схемы, осуществляется методами, основанными на минимизации функционала невязки.

В четвертой главе представлены результаты экспериментов по решению прямых и обратных задач и анализ полученных результатов. В параграфе 4.1 приведены теоретические основы методов, используемых при численном решении интегральных уравнений: метода коллокаций и метода Тихонова. В параграфах 4.2 н 4.3 представлены результаты вычислительных экспериментов по решению прямых и обратных задач о колебаниях соответственно вязкоупругого стержня и слоя. Точность вычислительных алгоритмов проверена на задачах для однородных и неоднородных характеристик в упругом случае. Построены графики амплитудно-частотных характеристик при решении прямых задач для различных законов изменения безразмерных характеристик. Также приведены результаты решения обратных задач по идентификации неизвестных мгновенных и длительных моду-'101"1 для различного характера монотонности.

Пример 1. Восстановление немонотонных функций Н(х) = 1.4—соз(лх— 1), д(х) = 2 + 2соз((х + 1.5)7г), г = 0.1. Начальные приближения найдены в виде постоянных /ц)(х) = 0.6, д0(х) = 3.4. Для обратной задачи 1.1 потребовалось 30 итераций, погрешность не превосходит 10% (рисунок 1). Для обратной задачи 1.2 потребовалось 25 итераций, погрешность не превосходит 8% (рисунок 2). На рисунках графики точного решения отмечены сплошной линией, начального приближения - пунктиром, восстановленной функции - точками.

На основании полученных результатов можно отмстить, что для обратной задачи 1.2 восстановление происходит с меньшей погрешностью и за меньшее число итераций, чем для обратной задачи 1.1.

х х

Рис. 2. Восстановление немонотонных функций. Обратная задача 1.2

Затем приведены результаты решения обратных задач для вязкоунругого слоя. На первом этапе восстанавливались функции Н^х), д^х), соответствующие ц\(хя), ^{хз), на втором - ¡1\(х), д\(х), соответствующие Л^хз), АгОгз)-При решении задач был использован итерационных процесс, построенный для решения вспомогательной обратной задачи для обезразмеренных параметров и характеристик.

Пример 2. Восстановление монотонных законов изменения неоднородных характеристик вязкоунругого слоя к^х) = 1 + 1.5а;2, д(1{х) = 5 — 2х2, Н\(х) = 2-х2, д\{х) = 2.1+0.5а;2. Для первого этапа начальные приближения найдены в виде Щл(х) = 0.45+0.85х и = —1.6х+3.2. Для рюсстановления был выбран частотный диапазон к £ [6.3, 8.5]. Потребовалось 11 итераций. Относительная погрешность для первого этапа не превышает 4%. На рисунке 3 представлены результаты восстановления для первого этапа.

Ж*)

-I \

5- Яц^)

/

2.0

1.2

1.6

\ ! ' • 4

0.8-

0 0.2 0.4 0.6

0.8

0 0.2 0.4 0.6

0.8

X

X

Рис. 3. Первый этап. Восстановление монотонных функций

На втором этапе идентификация производилась на отрезке« 6 [7.5, 11.5], потребовалось 8 итераций, на рисунке 4 представлены результаты восстановления. Относительная погрешность восстановления не превышает 5%.

*х(х)

3.0

1.5

2.6-

1

2.2-

0.5

-■-.---.-•-,-■-,-■- 1.8--.-,-.-,-;-,---г-

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8

X х

X

Рис. 4. Второй этап. Восстановление монотонных функций

Также, для обратной задачи о слое приведены результаты экспериментов, исследующих влияние зашумления дополнительной информации на погрешность восстановления. Из приведенных результатов можно делать вывод о непрерывной зависимости погрешности идентификации с помощью регуляри-зационных методов от величины зашумления входной информации.

В параграфе 4.4 представлены результаты вычислительных экспериментов по восстановлению кусочно-непрерывных функций, характеризующих безразмерные мгновенный и длительный модули неоднородного по толщине вяз-коупругого слоя, моделирующего кожный покров. Восстанавливаемые параметры предполагались кусочно-непрерывными функциями на [0,1]. Дополнительно проведен анализ влияния параметров каждого из составных слоев на амплитудно-частотные характеристики и качество восстановления.

Пример 3. Восстановление кусочно-линейных функции:

А(х)

I

0.075 |-0.1а;, 0 < х < Ль 0.5+0.1х, Их < х < Л2, 0.88 | 0.1а;, Л2 < х < 1,

0.09+-0.1а;, 0 < х < Ль д(х) = 0.55+0.1а;, 1ц < х < Л2, 0.9+0.1х, Л2 < х < 1,

/гх = 0.5895, Л2 = 0.8655. Начальные приближения выбирались с учетом информации о толщине каждого

из слоев:

0.15, 0 <х < Ни

0.7, кх<х< Н2,

1, /12 < х < 1.

0.1, 0 < ж < /гь Л°(ж) = { 0.55, 1ц<х< /12, 91\х) = < 0.95, /г2 < х < 1,

Частотный диапазон к 6 [1.1, 2] выбран из анализа модуля и аргумента амплитудно-частотной характеристики. Для идентификации потребовалось 5 итерации. Результат восстановления приведен на рисунке 5. Погрешность реконструкции не превосходит 0%.

1,2

0,8-

0,4

Мх)

1,2

0,8

0,4

ё(х) —

0.2 0.4 0.6 0.8 1

X

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

X

Рис. 5. Восстановление кусочно-линейных функций И(х) и д{х)

В параграфе 4.5 приведены результаты численных экспериментов по восстановлению двух безразмерных характеристик электроуиругой прямоугольной области - упругого модуля С:а(х) и пьезоэлектрической характеристики еуЛ{х). Диэлектрическая проницаемость £33(2) при этом полагалась известной.

Пример 4. Восстановление немонотонных функций Сзз(х) = 8ш(37гж/2 + 1) + 3, езз(х) = соз(7гх+2)+3, начальное приближение найдено в видеС^х) = 4 - 2х, е":!(х) = 2 + х.

3.43.02.62.21.8-(

Рис. 6. Восстановление немонотонных функций С33(х), е33(х)

По рассчитанным амплитудно-частотным характеристикам выбран частотный диапазон к (Е [4.4, 9.5], потребовалось 10 итераций. Погрешность не превосходит 6.5%. Результаты восстановления приведены на рисунке 6.

Результаты восстановления характеристик в вычислительных экспериментах в четвертой главе свидетельствуют о достаточной эффективности построенных в работе подходов к решению обратных задач.

В Заключении приведены основные результаты, выносимые на защиту. Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Разработаны методы решения задач об изгибных колебаниях неоднородной вязкоупругой консоли.

2. Развиты методы решения задач о толщинных колебаниях неоднородных слоя и электроупругого прямоугольника на основе численного анализа уравнений Фредгольма 2-го рода.

3. Разработаны новые подходы при построении итерационных процессов и их реализации в обратных задачах по реконструкции неоднородных свойств тел при анализе установившихся колебаний.

4. Разработаны алгоритмы, составлены программы, проведена серия вычислительных экспериментов но определению неоднородных характеристик твердых тел для различных типов неоднородностей, изучено влияние затухания на процедуру реконструкции.

5. Представлен подход к идентификации неоднородных характеристик трехслойной структуры, моделирующей кожный покров.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Аникина Т.А., Богачев И.В., Ватульян А.О. Об идентификации неоднородных характеристик вязкоупругих стержней при изгибных колебаниях // Механика композиционных материалов и конструкций. — 2011. — Т. 17, № 1. — С. 1016-1023.

2. Аникина Т.А., Богачев И.В., Ватульян А.О. Об определении неоднородных реологических свойств балок // Вестник ДГТУ. — 2011,— Т. 10, № 7,— С. 107-111.

3. Богачев И.В., Ватульян А.О., Явруян О.В. Идентификация упругих характеристик неоднородного но толщине слоя // Акустический журнал. — 2011. - Т. 57, № 0. - С. 723-730.

4. Богачев И.В., Явруян О.В. Об одном подходе к идентификации свойств неоднородного слоя // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - Т. 4, № 4. - С. 158-163.

5. Богачев И.В., Ватульян А.О. Обратные коэффициентные задачи для дис-сииатпвных операторов и идентификация свойств вязкоупругих материалов // Владикавказский математический журнал. — 2012.— Т. 14, № 3.— С. 31-44.

6. Богачев И.В., Ватульян А.О., Явруян О.В. Идентификация свойств неоднородной электроупругой среды // Прикладная математика и механика.— 2012. - Т. 70, № 5. - С. 860-800.

7. Богачев И.В., Ватульян А.О., Явруян О.В. Идентификация неоднородных свойств ортотропного упругого слоя // Акустический журнал.— 2013. — Т. 9, № 0. - С. 752-758.

8. Богачев И.В., Ватульян А.О., Дударев В.В. Об одном методе идентификации свойств многослойных мягких биологических тканей // Российский журнал биомеханики. - 2013. - Т. 13, № 3. - С. 37-48.

9. Аникина Т.А., Богачев И.В., Ватульян А.О. Об идентификации характеристик костной ткани на основе акустических методов // БИОМЕХА-НИКА-2010. X Всероссийская конференция по биомеханике. Тезисы докладов. - 2010. - С. 24-25.

10. Богачев И.В., Ватульян А.О. Идентификация вязкоупругих свойств мягких биологических тканей // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VI Всероссийской школы-семинара, пос. Дивноморское, 20 мая - 2 июня 2011 г. — 2011. — С. 19-20.

11. Богачев И.В., Ватульян А.О. Идентификация вязкоупругих характеристик неоднородного по толщине слоя // Мат. форум. Исследования но мат. анализу и диф. уравнениям. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А (Итоги науки. Юг России). - 2011.- Т. 5. - С. 185-189.

12. Богачев И.В., Явруян О.В. Об одном подходе к идентификации свойств неоднородного слоя // Современные методы механики. X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Вторая Всероссийская школа молодых ученых-механиков. Тезисы докладов (Нижний Новгород, 24-30 августа 2011 г.). — 2011,- С. 219.

13. Богачсв И.В., Ватульян А.О. Модели кожи и методы идентификации се свойств // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VII Всероссийской школы-семинара, нос. Дивноморское, 28 мая — 1 июня 2012 г. — 2012. — С. 20.

14. Богачсв PI.В., Ватульян А.О., Явруян О.В. Об идентификации неоднородных свойств ортотропной упругой полосы // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XVI международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 10-19 октября 2012 г. - 2012,- С. 45-49.

15. Bogachev I.V., Vatulyan А.О., Yavruyan O.V. Properties identification of the inhomogeneous electroelastic medium // Abstracts Russian-Taiwanese Symposium "Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications". Rostov-on-Don, Russia, June 4 -6, 2012. - 2012. - P. 219.

16. Богачсв И.В. Идентификация свойств кожи на основе трехслойной вяз-коупругой модели // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XVI международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 16-19 октября 2012 г. - 2012. - С. 30-34.

17. Аникина Т.А., Богачсв И.В. Обратные задачи определения переменной жесткости вязкоупругих стержней // Динамика сплошной среды. Доклады II Всероссийской конференции "Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций", Новосибирск 10-14 октября 2011 г. — 2012,- С. 5-8.

18. Богачсв И.В. О моделировании диагностики сращивания костной ткани // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VIII Всероссийской школы-ссминара, пос. Дивноморское, 27- 31 мая 2013 г. - 2013. - С. 23.

Сдано в набор 03.04.2014. Подписано в печать 03.04.2014. Формат 60x84 1/16. Цифровая печать. Усл. печ. л. 1,0. Бумага офсетная. Тираж 130 экз. Заказ 0304/01.

Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии» 340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140, телефон 8-918-570-30-30

www.copy61.rn e-mail: info@copy61.ru

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»

Методы расчета колебаний неоднородных твердых тел и идентификация их свойств

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

доктор физико-математических наук,

профессор

Ватульян Александр Ованесович

Ростов-на-Дону - 2014

На правах рукописи

04201457392

Богачев Иван Викторович

Содержание

Введение............................................................................4

Глава 1. Постановка прямых и обратных задач о колебаниях неоднородных тел......................................................................15

1.1. Вязкоупругие тела. Общая постановка задачи о колебаниях вяз-коупругих тел на основе принципа соответствия....................15

1.2. Постановка задач об изгибных колебаниях вязкоупругих стержней 18

1.3. Постановка задачи о колебаниях неоднородного по толщине вяз-коупругого слоя.............................20

1.4. Постановка задач о колебаниях электроупругого прямоугольника . 23

1.5. Постановка обратных задач......................25

1.6. Постановка задачи об идентификации свойств многослойных биологических тканей...........................29

Глава 2. Исследование прямых задач для неоднородных тел на основе

сведения к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода .... 32

2.1. Изгибные колебания вязкоупругих стержней ............32

2.2. Колебания вязкоупругого слоя.....................36

2.3. Колебания электроупругого прямоугольника.............37

Глава 3. Методы исследования обратных коэффициентных задач ... 41

3.1. Некоторые сведения об обратных и некорректных задачах.....41

3.2. Общая схема построения итерационных процессов.........44

3.3. Специальный метод выбора начального приближения.......48

3.4. Исследование обратной задачи об идентификации неоднородных свойств вязкоупругих стержней....................51

3.5. Исследование обратной задачи об идентификации неоднородных свойств вязкоупругого слоя......................58

3.6.

Исследование обратной задачи об идентификации неоднородных свойств электроупругого прямоугольника.............

Глава 4. Вычислительные эксперименты .................69

4.1. Методы, используемые при численной реализации решений ... 69

4.2. Вычислительные эксперименты для прямых и обратных задач об изгибных колебаниях стержней....................73

4.3. Вычислительные эксперименты для прямых и обратных задач о колебаниях слоя.............................81

4.4. Вычислительные эксперименты по идентификации неоднородных свойств кожного покрова.....................92

4.5. Вычислительные эксперименты по идентификации свойств электроупругого прямоугольника .....................98

Заключение....................................103

Литература

104

Введение

Исследование характеристик материалов со сложными неоднородными свойствами [1], [2], таких как полимеркомпозиты, функционально-градиентные материалы, пьезокерамики, геологические породы, биологические ткани, в настоящее время является одним из важнейших направлений механики сплошной среды. Вследствие сложности прямых экспериментальных оценок механических свойств таких материалов со сложной реологией важна разработка новых методов идентификации неоднородных характеристик, основанных на различных моделях вязкоупругости [3], [4]. Кроме того, в связи со спецификой самих материалов (например, биологических тканей) интерес представляют неинвазивные методы [5]. Одним из способов воздействия является акустическое зондирование, при специальной обработке результатов которого [6], [7] удается восстанавливать неизвестные функции по информации об амплитудно-частотных характеристиках, измеренных в некоторых точках исследуемого объекта [8]. Отметим, что исследование установившихся колебаний тел в рамках линейной вязкоупругости для модели стандартного вязкоупругого тела приводит к краевым задачам с переменными характеристиками для диссипативных операторов. Соответственно, решение обратных задач [9], [10] об определении функций координат, характеризующих неоднородность, приводит к некоторым обобщениям методов, использовавшихся ранее для положительных операторов.

В случаях, когда свойства материалов однородны или кусочно-однородны, пространство поиска параметров конечномерно, при этом вычислительные схемы их идентификации на основе анализа отклика на динамическое возмущение достаточно просты и сводятся к процедуре минимизации функционалов невязки. Подобная задача рассмотрена в работе [11], в которой предложена схема восстановления коэффициента Пуассона и модуля сдвига однородного изотропного материала по информации о граничных полях смещений, измеренных либо на части границы, либо на всей поверхности исследуемой области. Задача

идентификации сведена к процедуре минимизации функционала невязки на основе метода граничных элементов. В работах [12], [13] представлены алгоритмы определения упруго-пластических характеристик слоистых композитов, где восстанавливаются кусочно-постоянные характеристики материала. Отметим, что к настоящему моменту достаточно подробно исследованы задачи определения вяз-коупругих свойств однородных материалов для тел конечных размеров [14],[15], решения которых строятся на основании минимизации функционалов невязки.

На начальных этапах исследования задач идентификации свойств материалов с учетом неоднородных свойств в зарубежной литературе была широко распространена постановка, в которой известны физические поля внутри исследуемого объекта [16], [17], [18], [19]. Задача в таком случае оказывается линейной и сводится к решению системы дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных [20] или к интегральному уравнению Фредгольма первого рода, которое решалось с помощью метода минимизации расширенного лагранжиана [16], регуляризованных методов обращения разностных схем [17], [18] и др. Также распространение получили задачи восстановления коэффициентов вязкоупругих моделей и неоднородных характеристик тела при возбуждении колебаний в нем [21], [22], либо воздействии на него индентором [23], [24]. В статье [23] производится оценка параметров вязкоупругой модели в многослойных структурах (например, коже). Материал полагался однородным и задача решена методом конечных элементов. В ходе экспериментов сделан вывод о негативном влиянии граничного условия типа жесткого защемления на процедуру идентификации. В исследовании [24] приведены результаты использования различных видов экспериментов для идентификации коэффициентов той или иной модели. Рассмотрены вопросы идентификации классических моделей Максвелла, Кельвина, модели стандартного вязкоупругого тела, для которых приведены результаты восстановления параметров. Также произведен эксперимент с отрезком аорты, свойства которого исследовались при растяжении и кручении. В работе [25] исследованы математические аспекты ультразвукового сканирования

биологических тканей и реконструкции их свойств, в частности модуля сдвига, при этом в качестве регуляризующего алгоритма при нахождении градиентов полей использован метод В-сплайнов. Запатентованный метод активной резонансной вибрационной диагностики (РВД) был разработан для анализа механических повреждений сухожилий и костей голени человека, и представлен в работах [26], [27]. Авторами был разработан экспериментальный стенд для физического моделирования диагностики процесса остеосинтеза болыпеберцовой кости аппаратом внешней фиксации в виде плоской рамной конструкции, проведена серия экспериментов на четырех образцах кости с фиксатором и получены амплитудно-частотные характеристики, целой и разрезанной кости и биомеханической системы "кость-фиксатор".

В работе [28] рассмотрены вопросы динамического моделирования биомеханических систем, состоящих из болыпеберцовой кости человека и устройств внешней фиксации в виде простейшей рамной конструкции и аппарата Илиза-рова. В исследовании с использованием программного кода МесИатсзРЕ реализован метод конечных элементов на основе 20-узловых изопараметрических элементов. Численный вибрационный анализ позволил определить как основные низшие резонансные частоты и формы колебаний системы, так и амплитудно-частотные характеристики системы в различных точках на поверхности кости и фиксатора.

Если в задаче информацию о физических полях можно получить только на границе тела, то обратная задача существенно нелинейна [29]. В последнее время исследования связаны с более сложной постановкой, в которой известны (измерены) граничные поля в некотором диапазоне изменения спектрального параметра (частоты колебаний зондирующего возмущения). Она сводится к нелинейным операторным уравнениям, которые содержат промежуточные переменные - компоненты физических полей. Задачи в такой постановке могут быть исследованы лишь на основе некоторых итеративных процедур, основные принципы построения которых опираются на слабую постановку и метод лине-

аризации. В случае, когда требуется определение нескольких функций, задача сводится к исследованию нетривиальных нелинейных обратных задач, которые стали исследоваться совсем недавно [30], [31], [32].

Для более сложных областей - слоистых сред, полуплоскости, полупространства - прямые и обратные коэффициентные задачи об определении характеристик среды исследованы в работах [33], [34], [35], [36], [37], [38]. Так, например, в статье [33] рассмотрена обратная задача об определении кусочно-постоянной скорости волн в полуплоскости в случае, когда скорость распространения зависит только от глубины. Искомые величины определяются по информации о волновом поле, измеренном на части границы полуплоскости. В [34] рассматривается такая же задача для слоя. В [35] аналогичными методами исследуется задача электромагнитного зондирования дорожного полотна.

В биомеханике моделирование тканей и органов, проведение ортопедических операций на основе замещающих искусственных фрагментов, описание биологических процессов роста, регенерации требует знания механических характеристик тканей. Биологические ткани в настоящее время исследуются различными способами, причем в связи со спецификой приложений наибольший интерес представляют методы, не повреждающие и не разрушающие ткань. Для исследования свойств биологических тканей в настоящее время применяются акустические методы анализа и модели, созданные для упругих, вязкоупрутих, пороупругих материалов, в том числе и неоднородных. В литературе представлен широкий спектр работ, связанных с задачами идентификации характеристик мягких биологических тканей на основе моделей вязкоупругости. В работе [39] был проведен анализ экспериментальных данных для определения действительной и мнимой части комплексного модуля. Эксперимент основывался на распространении сдвиговой волны через кожу, моделируемую изотропным вязкоупру-гим монослоем.

Для медицины значительный интерес представляют задачи, связанные с проведением пластических операций. Например, в [40] рассмотрены задачи на-

тяжения кожи при проведении операции по лифтингу, приведен анализ наиболее распространенных моделей и сделан вывод о том что наиболее адекватно поведение реальной кожи описывают модель Кельвина и пятипараметрическая модель Бранкова, однако для моделирования выбрана модель Кельвина ввиду меньшего количества параметров. Сформулированы условия оптимального натяжения кожи и найден оптимальный режим релаксации напряжений. Эксперименты ставились на растяжение с постоянной скоростью нагружения с последующей релаксацией и на ползучесть. Из анализа результатов экспериментов определены параметры выбранной модели.

В работе [41] на первом этапе кожа моделировалась как несжимаемый упругий изотропный материал. Удельная потенциальная энергия деформации на первом этапе исследования задана в форме двухконстантного потенциала Му-ни. На втором - с помощью вязкоупругого аналога неогуковского тела. Идентификация модуля сдвига производилась на основе минимизации специального функционала, построенного с использованием интегрального оператора для ядра Колтунова. В исследовании [42] рассмотрена проблема оценки характеристик эластомеров биологического происхождения на примере кожи человека. Приведены диаграммы растяжения и релаксации образцов кожи из области живота. Представлена разработанная авторами математическая модель нелинейного вязкоупругого деформирования кожи, основанная на использовании упругого потенциала и экспоненциального ядра релаксации, в которой использован потенциал Огдена, обеспечивающий более точные расчетные оценки напряжений в образце. Предложена методика идентификации параметров разработанной модели.

В работе [43] представлена методика идентификации параметров определяющих соотношений, заключающаяся в сравнении результатов, полученных по введенной гиперупругой модели с экспериментальными данными для исследуемой ткани. Представленный подход, основанный на комбинированных методах "отжига"и Нелдера-Мида, учитывающий историю нагружения, которая получе-

на из механических испытании, позволяет находить параметры модели, при которых расхождение теоретической и экспериментальной кривых минимально. Показано, что предложенная схема является надежной и эффективной при исследовании сложного механического поведения тканей, и учитывает анизотропию свойств, слабую сжимаемость, нелинейный упругий отклик и геометрическую нелинейность. Представлены аналитические модели для описания поведения тканей пищевода и периодонта.

Задачи о колебаниях электроупругих однородных тел (в том числе и задачи идентификации свойств для однородных моделей) изучены достаточно подробно [44], [45]. Модели неоднородной электроупругости на начальном этапе исследования базировались на слоистых моделях [46], однако неоднородность поляризации или располяризации, часто встречающаяся у реальных пьезоэлементов, требует как разработки методов исследования, так совершенствования определения неоднородностей различного типа [47], [48], [49]. Отметим ряд работ, посвященных решению обратных задач об определении пъезомодуля, который является наиболее изменяемой характеристикой при неоднородной поляризации (располяризации) образца. Теоретические основы решения обратных задач и способы их построения для пьезоэлектрических стержней при продольной поляризации описаны рядом авторов (см. например, [50], [51], [52]). Были представлены [51], [52], [53] способы решения обратных задач о восстановлении пьезоэлектрической характеристики неоднородного стержня по информации об амплитудно-частотных характеристиках тока в цепи или смещению торца стержня. Кроме того, отметим работы, в которых рассмотрены важные обратные задачи об определении граничных условий и выявлении повреждений в электроупругих телах. Так, был предложен [54] численно-аналитический метод определения осесим-метричной ударной нагрузки для пьезокерамического преобразователя в форме диска. В цикле работ [55], [56], [57] представлены разные аспекты разработки методов обнаружения повреждений в пьезоэлектрических пластинах на основе стандартной процедуры минимизации целевого функционала.

Цель работы заключается в построении методов расчета колебаний для идентификации неоднородных свойств тел сложной структуры на основе применения акустических методов и использование их при решении одномерных обратных коэффициентных задач для вязкоупругих и электроупругих тел типа балки, слоя, прямоугольника.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе представлены постановки прямых и обратных задач о колебаниях тел, рассмотренных в работе, которые сформулированы для размерных характеристик, затем проведена процедура обезразмеривания. В параграфе 1.1 приведено краткое описание моделей вязкоупругих тел, в частности модели стандартного вязкоупругого тела, использованной в работе, и принципа соответствия, на основании которого сформулированы постановки задач о колебаниях вязкоупругих тел. В параграфе 1.2 рассмотрены две постановки задачи об изгиб-ных колебаниях неоднородного вязкоупругого стержня - при нагружении силой и моментом. В параграфе 1.3 приведена формулировка задачи о плоских и антиплоских колебаниях неоднородного по толщине вязкоупругого слоя. С помощью операции осреднения на основе преобразования Фурье двумерная задача сведена к двум несвязанным однотипным одномерным задачам. В параграфе 1.4 рассмотрена постановка задачи о колебаниях неоднородного электроупругого прямоугольника для различных видов нагружения. Рассмотрены два типа нагружения - механическое и электрическое, что позволило, проведя осреднение по продольной коо�