Реконструкция неоднородного предварительного напряженного состояния в твердых телах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

005536243

На правах рукописи

Дударев Владимир Владимирович

РЕКОНСТРУКЦИЯ НЕОДНОРОДНОГО ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

31 ОКТ 2013

Ростов-на-Дону - 2013

005536243

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор, Ватульян Александр Ованесович

Официальные оппоненты:

Соловьев Аркадий Николаевич, доктор физико-математических наук, доцент, Донской государственный технический университет, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика».

Зеленцов Владимир Борисович, кандидат физико-математических наук, доцент, Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики им. И. И. Воровича Южного федерального университета, старший научный сотрудник.

Ведущая организация ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет»

Защита состоится «26» ноября 2013 г. в 17:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 при Южном федеральном университете (ЮФУ) по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «24» октября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Боев Николай Васильевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Предварительными (внутренними, собственными, первоначальными) напряжениями (ПН) называются напряжения, которые существуют в теле при отсутствии внешних воздействий. Подобные напряжения практически всегда возникают в ходе различных технологических операций (литья, ковки, крутки, прокатки, термообработки и т.п.), а также присутствуют в некоторых биологических тканях (костных, сосудистых и т.д.). Остаточные напряжения в изделии обычно локализуются в окрестности дефектов (полостей, трещин, включений и т.п.).

Следует отметить, что в силу своей природы остаточные напряжения могут играть решающую роль при наложении на них больших эксплуатационных нагрузок, поэтому их учет чрезвычайно важен в прогнозировании критических ситуаций. Отличительной чертой остаточных напряжений также является то, что их присутствие никак не проявляется до тех пор, пока не происходит сбой или поломка. Поэтому в настоящее время разработка и усовершенствование методов идентификации ПН является востребованной задачей механики сплошной среды. По виду диагностики в механике различают три типа методов: разрушающие, полуразрушающие и неразрушающие.

В последнее время внимание как отечественных, так и зарубежных ученых обращено к совершенствованию акустического метода, теоретическое обоснование которого началось с середины прошлого века. Главным преимуществом этого подхода является мобильность, экономичность, возможность применения к различным материалам и оперативность проведения всего цикла исследования. Несмотря на довольно развитую техническую сторону этого метода, следует отметить, что основной целью подхода остается задача идентификации существенно неоднородного предварительного напряженного состояния (ПНС) в упругих телах и развитие более адекватной теории.

Цель работы состоит в исследовании влияния неоднородного поля ПНС на амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) упругих тел, в анализе зависимости собственных частот и собственных форм колебаний от уровня ПНС, в разработке методов решения задач об идентификации неоднородного ПНС в упругих телах на основе акустического зондирования, построении операторных соотношений, связывающих искомые и заданные функции, апробации предлагаемых подходов на конкретных объектах (стержень, слой, кольцо).

Методика исследования прямых задач основана либо на сведении исходных краевых задач к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, построение решений которых осуществлено численно на основе метода дискретизации интегральных операторов и решения системы линейных алгебраических уравнений, либо на основе метода пристрелки. Обратные задачи идентификации неоднородного ПНС сведены к реализации итерационных процессов, на каждом шаге которых решается прямая задача и определяются поправки из решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода (в задачах для слоя и стержня) или интегро-дифференциального уравнения (в задаче для кольца); при этом начальное приближение определяется из условия достижения наименьшего значения функционала невязки на компактном множестве, которое может быть построено по известной информации о характере изменения ПНС.

Научная новизна диссертационной работы заключается в изучении влияния неоднородного ПНС на АЧХ, создании методов решения и выводе операторных уравнений, формулировке итерационных процессов в новых коэффициентных обратных задачах об определении неоднородного ПНС в упругих телах и анализе полученных решений для конкретных объектов (стержень, слой, кольцо).

Достоверность результатов, представленных в диссертационном исследовании, основана на строгом аналитическом аппарате математического анализа, на последовательном сведении сформулированных краевых задач для

рассматриваемых тел к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, на сравнительном анализе полученных результатов с описанными ранее достоверными частными случаями; на многочисленных вычислительных экспериментах по исследованию обратных задач для различных законов изменения ПНС.

Практическая ценность результатов диссертационного исследования состоит в разработке методов диагностики неоднородного ПНС, в апробации методов для стержня, слоя и кольцевой области при установившихся колебаниях, а также исследовании возможностей процедуры идентификации в зависимости от частотного диапазона и способа нагружения.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, были доложены на различных международных и Всероссийских конференциях: «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2008, 2010, 2012 гг.), «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела» (Украина, Донецк, 2010 г.), «X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики» (Нижний Новгород, 2011г.), «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Волгодонск, 2011г., Владикавказ, 2010, 2013 гг.), «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Дивноморское, 2009, 2012-2013 гг.), «Владикавказская молодежная математическая школа» (Владикавказ, 2012 г.), неоднократно на научных семинарах кафедры теории упругости ЮФУ.

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 20 работ, из них четыре статьи помещены в журналах, входящих в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук, утвержденного ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация включает в себя введение, три главы, заключение, список литературы из 121 наименования, 55 рисунков и 3 таблицы. Общий объем работы 119 страниц машинописного текста.

Научные результаты, полученные в диссертации, неоднократно поддерживались РФФИ (проекты № 10-01-00194-а, 13-01-00196-а, 12-01-31501 мола) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (ГК от 18 мая 2010 г. №П596, соглашения № 14.132.21.1358, 14.132.21.1360).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение содержит обзор литературы по проблеме диагностики и моделирования ПНС в телах. Описаны основные причины возникновения ПН в телах. Представлена краткая классификация методов диагностики ПНС, выделены наиболее распространенные. Описаны научные аспекты, подтверждающие актуальность диссертационного исследования, представлены основные цели работы.

В первой главе работы представлены постановки прямых задач о колебаниях предварительно напряженных тел в рамках акустического метода.

В параграфе 1.1 изложен краткий исторический обзор по проблеме формирования понятия ПНС. Представлены основные современные математические модели механики сплошной среды, описывающие поведение тела при наличии неоднородного поля ПН. Отмечены некоторые зарубежные и отечественные ученые, которые внесли значительный вклад в разработку теоретических основ моделирования и определения ПНС: Родман В.И., Умов И.А., Саусвелл Р.В., Бицено К.В., Генки X., Нейбер X., Треффтц Е., БиоМ.А., Новожилов В.В., Грин А.Е., Ривлин P.C., Шилд Р.Т., Трусделл К., Лурье А.И., Зубов JI.M., Огден Р.В., Васидзу К., Гузь А.Н., Товстик П.Е., Калинчук В.В., Белянкова Т.Н., Хогер А., Ерофеев В.И. Также отмечены ученые, работы которых посвящены экспериментальному исследованию ПНС: Давиденков H.H., Закс Г., Фридман Я.Б., Калакуцкий Н.В., Большаков К.П., Винокуров В.А., Голоднов А.И., Григорьянц А.Г., Патон Е.О., Игнатьева B.C., Казимиров A.A., Касаткин Б.С., Лобанов Л.М., Недосека А.Я., Николаев Г.А.,

Окерблом Н.О., Биргер И.А., Чернышев Г.Н., Попов А.Л., Козинцев В.М., Карабутов A.A., Никитина Н.Е. и другие.

В параграфе 1.2 сформулирована общая постановка задачи о колебаниях тела объема V, ограниченного поверхностью S = SavjSu, в терминах несимметричного тензора Пиолы 7V при наличии ПНС, характеризующегося тензором ст® ., на основе модели, развитой А.Н. Гузем1:

7^+pcoVO (1)

+»,,,<■ (2) ст-у = Сциии (3)

",к = 0,7;.«,15„=А (4)

где - компоненты поля перемещения, р - плотность, со - частота установившихся колебаний, р1 - компоненты вектора нагрузки, С1]Ы — компоненты тензора упругих модулей, п1 - компоненты вектора единичной внешней нормали.

В параграфе 1.3 выведена слабая постановка задачи: Ди,Ь£°) + ад = 0, (5)

где Л(и,у,а°) - линейная форма по каждому из аргументов и, V, ст°, для анизотропного тела А(и,\>,<т°) = ¡С^и^^У + ^Урсо2щу^У, для

изотропного тела А(и,у,а)= ЦЛи^у^ + +

V V ' V

В (у) = | рр^ - линейная форма от гладкого пробного поля перемещений

К^^г^з)' которое удовлетворяет граничным условиям Я, ц -

параметры Ламе; £у(и) - компоненты симметричного тензора деформации Коши £ц(и) = 1/2; +му><); р, - компоненты вектора нагрузки. В

Впервые описана Е. Треффтцем (Е. Trefftz. Zur theorie der stabilitat des elastischen gleichgewichts // ZAMM Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1933. V. 12, N 2. P. 160-165.)

представленной форме компоненты тензора ПН сг° и параметры Ламе Л, ц в

общем случае могут быть заданы как функции пространственных координат.

В параграфе 1.4 представлена постановка задачи об установившихся изгибных колебаниях консольно закрепленного предварительно напряженного стержня. Колебанию вызываются нагрузкой приложенной на свободном конце. Напряженное состояние - одноосное (сг^х^^О). Уравнение движения и граничные условия выведены согласно гипотезам Бернулли-Эйлера на основе вариационной постановки, сформулированной в параграфе 1.2:

(•/(£■ + ст° )иО* - {Р<А\ "'У ~ р/7ю2и' + со2 иры'У = О (6)

и{0) = 0 (7)

м/(0) = 0 (В)

С/(£ + ст°К)(0 = 0 (9)

((Д£ + ст° Ю' - ^¡Х + со2./р^')(/) = Р (Ю)

где н'(Х|) - компонента вектора смещений вдоль оси х3, ^ - площадь поперечного сечения, / - длина стержня, У = \x\dS - осевой момент инерции,

Е - модуль Юнга. Основное отличие от ранее известных уравнений и граничных условий состоит в слагаемом Еег,0,^', входящем в граничное условие (10), и сохранении компоненты о-", при старшей производной в уравнении (6). Параметры 3, Е, ст° , Р, р могут быть заданы как функции переменной х = дг,; соответственно полученная постановка может быть использована для балок с переменными свойствами.

В параграфе 1.5 в полярной системе координат (г,<р) сформулирована постановка задачи о колебаниях предварительно напряженного тела в рамках плоской деформации. Получены уравнения движения в компонентах поля перемещения м(г/г,ир). Представлена задача о радиальных колебаниях с

частотой со кольцевой области (0<г, <г<г2), в случае, когда поле ПН зависит только от радиальной координаты:

,, л о ЧЛ \ с1а1 „ о ЧI

¿/г г4 г гг/) с1г

+

ры1 - -у

г

^ ,о л л

Л + + + и = 0 с1г

{л + 2 м + а-1^ + ^{г = гг)=-р (12)

(д + 2// + (То)| + ^(г = ,1) = 0 (13)

где р — амплитуда осесимметричной периодической нагрузки, приложенной на внешней границе г = г2.

В параграфе 1.6 сформулирована постановка задачи о колебаниях ортотропного слоя при наличии поля ПН, зависящих от поперечной координаты хъ. Колебания вызываются нагрузкой, приложенной на верхней границе слоя х}=И. С помощью преобразования Фурье сформулированы три вспомогательные краевые задачи относительно интегральных компонент смещений, в которых компоненты тензора ПН разделяются.

Во второй главе диссертации представлены решения сформулированных прямых задач об определении компонент поля перемещения для предварительно напряженных тел. В дальнейшем эти решения используются в качестве входной информации при исследовании обратных задач об идентификации неоднородного ПНС.

В параграфе 2.1 для описанной задачи об изгибных колебаниях стержня проведена процедура обезразмеривания, решение сведено к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно специально введенной функции у(<Ц):

ЯО = + (14)

о

1 + г

ЛСО.

max(£",s)

(16)

где r = max | erf, \l E0«\, = Ffr/J0, к\ = p0F/co2 / E0Jit, P0=Pl2/E0J0,

*e[0,/]

<p(4) = °uImax I°n I» J = JJ№, e=ej2(&, f = fjP = Pou®,

= = У0 = тахЛ*), = max ВД,

xe[0,/] дге[0,/]

PJj = max F(x), p0 = max p(x), = x/l e [0;1].

Вычисление значений функции смещения производится по формуле:

y(s)

1 + r

<p(s)

т.

-ds.

(17)

Решение интегрального уравнения (14) осуществлено численно с помощью метода коллокаций с использованием квадратурной формулы Симпсона и сведения к линейной алгебраической системе уравнений. Проведен численный анализ влияния уровня ПН на АЧХ и зависимость значений собственных частот от величины ПН.

В параграфе 2.2 осуществлено численное решение прямой задачи для кольцевой области на основе метода пристрелки в пакете Maple, примененного к канонической системе дифференциальных уравнений:

U' = у, (18)

У =

1

l + zg

rg +

У +

(l + zg)y + k

U

= Р

#=i

(l + rg)y + kj

= 0,

(19)

(20) (21)

где для общности рассуждений введены безразмерные параметры и функции р' =-рг2/(Л + 2р), /с2 =рсо2г2/(Л + 2//), £е[4,1], $й=гх1гг, к = Л/(Л + 2ц),

= а'т / max | er° \ - функция, характеризующая закон изменения

компоненты сг°, г = max | сг" | /(Я + 2//) - параметр, характеризующий уровень

felio.U

ПНС, м(/-) = r2U(Ç).

Для анализа точности численного решения получено аналитическое решение в случае постоянного ПНС, сравнительный анализ показал высокую точность приближенного решения.

Для анализа возможности использования акустического метода в качестве метода определения функции g(£) построены АЧХ С/(1 ,к) в окрестности первых трех резонансных частот для различных значений параметра т и функций g(£,). Отмечено, что наиболее существенное влияние параметра г проявляется вблизи более высоких резонансных частот.

В параграфе 2.3 прямая задача об определении значений осредненной характеристики смещения сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода:

V^) = \K(r,,Ç)VdnA-^drj, (22)

« о An)

min(î7,f) 1

K{n,Ç)=K s -jrrds (23)

о As)

Д£) = 1 + *р(£) (24)

где V(£) = v(xj)/h, т = max 1173°3 | /C55, <p(^) = cr303 / max | сг33 | - функция

Хэе[0,Л] х3е[0,Л]

изменения компоненты сг33, к2 = ph2a>2 / С55, р0 = pv / С55, ^ = h е[0;1]. Решение интегрального уравнения находится численно с помощью метода коллокаций аналогично задаче для стержня. Проведен анализ влияния уровня ПНС на АЧХ и выявлена зависимость значений толщинных резонансов от величины г.

В третьей главе диссертационной работы рассмотрены коэффициентные обратные задачи для предварительно напряженных упругих тел.

В параграфе 3.1 представлен обзор методов и подходов к решению обратных задач. Обозначены основные преимущества и недостатки каждого из них. Особое внимание уделено методам решения обратных коэффициентных задач. Описаны способы формулировки операторных уравнений, связывающих неизвестные и заданные функции. Поскольку в явном виде это осуществить невозможно, в работе сформулирована общая итерационная схема, при этом на каждом шаге необходимо находить решение прямой задачи и вычислять поправки на основе данных, полученных на предыдущем шаге. Как известно, для реализации любого итерационного процесса необходимо знать начальное приближение восстанавливаемой функции. В представленном диссертационном исследовании такое начальное приближение выбиралось в классе линейных функций. При этом два неизвестных коэффициента определялись из условия достижения минимума сформулированного функционала невязки на компактном множестве, которое было построено для каждой из исследуемых задач по априорной информации об ограниченности значения ПНС.

На основе общей постановки задачи выведено линейное операторное уравнение для отыскания поправок компонент тензора ПНС.

В параграфе 3.2 подробно описан метод линеаризации для вывода необходимых операторных соотношений, связывающих определяемую характеристику (функцию изменения одноосного ПНС) упругой балки с заданными функциями (прогибом балки в точке приложения силы для фиксированной частоты). С помощью метода линеаризации построено интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода для определения функции поправки <Р\{%)'.

1ет(£)(г/2(£)«)2 = РЛЛъ)-щ&ъ)),

(25)

к2 е [к2, к2 ]

где м>0 - функция смещения, вычисленная на предыдущей итерации, /(.кг) — ^Ки^г) — заданная АЧХ. При выводе этого уравнения показана

важность сохранения величины ПН при старшей производной функции смещения в уравнении движения (6). Численное решение (25) реализовано с помощью метода регуляризации А.Н. Тихонова. В работе представлено большое количество вычислительных экспериментов по восстановлению монотонных и немонотонных функций. В качестве примера на рисунке 1 изображены результаты реконструкции монотонной функции ) = 1.5 -0.7£2. Здесь и далее сплошной линией обозначена искомая функция, штриховой линией - начальное приближение, точками - восстановленная. Начальное приближение <рй(%) = -0.3£ +1.4, уровень ПНС г = 10"3, параметр лг,=0.3, частотный диапазон к2 е [0.6,1.5] расположен до первой резонансной частоты, количество итераций 7. Максимальная относительная погрешность между точным и восстановленным законом в приведенном примере наблюдается на торцах и не превосходит 7%.

£

Рисунок 1 — Реконструкция монотонного закона в задаче для стержня

В параграфе 3.3 представлено 2 подхода для исследования обратной задачи о восстановлении функции, описывающей изменение радиальной компоненты тензора ПНС по известной информации о смещении кольцевой области при заданной частоте.

В рамках первого подхода решение обратной задачи сведено к дифференциальному уравнению 1-го порядка с переменными коэффициентами относительно неизвестной функции g(£). При этом в качестве дополнительной информации считаются заданными значения функции смещения в конечном наборе точек ^ е[£0,1], соответствующие некоторой фиксированной частоте. Анализ результатов проведенных вычислительных экспериментов по реконструкции закона, соответствующего ПНС задачи Ламе, показал, что такой подход реализуем в частотной области до первого резонанса. Дальнейший анализ показал, что нельзя осуществить восстановление исходной функции с приемлемой точностью в иной частотной области в силу обращения в некоторых точках в ноль коэффициента при старшей производной. Точность реконструкции определяется главным образом точностью аппроксимации первой и второй производной функции смещения, которая осуществлена на основе сплайнов.

Во втором подходе считается известным смещение с/(лг) = 1/(1,/с), Решение обратной задачи о реконструкции функции g(¿;) основано на построении итерационного процесса. Выведено необходимое операторное соотношение, связывающее искомую функцию поправки радиальной компоненты ПНС g1 с измеряемой функцией смещения.

+ + \щ[и1с1$ = р(иа(\,к)-с1(к)), (26)

5) Ь ¡о

где £/0(1,лг) - функция смещения, вычисленная на предыдущем шаге. Решение этого уравнения реализовано численно путем дискретизации интегральных операторов, использованием разностной схемы при вычислении производной неизвестной функции и дальнейшим применением метода регуляризации А.Н. Тихонова. В работе представлены примеры реконструкции монотонных и немонотонных законов. На рисунке 2 в качестве иллюстрации предложенного способа решения обратной задачи представлены результаты реконструкции немонотонной функции = соб(1 + ж)) + 0.4. Начальное приближение

gl)(£) = -10^ + 9.5, количество итераций равно 20, значение параметра =0.9,

г = 10~3. Максимальная относительная погрешность между точным и восстановленным законом не превосходит 7%.

0.96

0.98

1.00

Рисунок 2 — Реконструкция немонотонного закона ПН в задаче для кольца

Также выведена формула (27), связывающая значения собственных частот при наличии и отсутствии ПНС. На основе этой формулы при известном законе изменения ПНС (например, для задачи Ламе = - \),

т = р0) можно определить его уровень.

1 - ~ + Г1 + Л-1 ~ и1V*?

\

(27)

<Го

где р0 - безразмерная величина внутреннего давления, к - собственная частота кольца при наличии ПНС, /с0 - собственная частота при отсутствии ПНС, ио - форма колебаний при отсутствии ПНС. В работе приведены таблицы для толстых (£0=0.1) и тонких = 0.8) колец, позволяющие оценить точность определения резонансных частот по формуле (27) для первых трех резонансных частот при разном уровне ПНС; их погрешность не превосходит 0.5%.

В параграфе 3.4 решение обратной задачи об определении закона изменения ПНС (функции <р(^)) при толщинных колебаниях ортотропного слоя предлагается строить с помощью итерационного метода. На основе метода линеаризации выведено интегральное уравнения Фредгольма 1-го рода, связывающее значения неизвестной функции поправки (рх и известной функции трансформанты смещения с1(к) = У{\,к) на верхней границе слоя при заданной частоте:

\1щ(У^2^ = р0(У0(1,к)-еЦ,к)), (28)

о

где У0 - функция, вычисленная на предыдущем шаге. Особенностью ядра этого интегрального уравнения является то обстоятельство, что для некоторых форм колебаний оно может обращаться в ноль. Решение уравнения (28) осуществлено численно с помощью метода регуляризации А.Н. Тихонова. В работе представлены различные примеры реконструкции монотонных и немонотонных законов. На рисунке 3 приведен пример реконструкции монотонного закона <р{£) = —1 + 3£2 + . Начальное приближение (¿?) = —1.2, уровень ПНС г = 10-2, частотный диапазон расположен между первой и второй резонансными частотами /те [1.9,4.6], количество итераций 20, значение параметра регуляризации на последнем шаге 0.26-10~8. Максимальная относительная погрешность между точным и восстановленным законом не превосходит 5%.

Для анализа влияния уровня погрешности входных данных на качество реконструкции также проведена серия вычислительных экспериментов. Выявлено, что предложенный метод решения обратной задачи устойчив к малому уровню зашумления (менее 0.1%) входных данных, при этом погрешность восстановления возрастает пропорционально увеличению погрешности входных данных.

В заключении приведены основные результаты, выносимые на защиту.

4

Рисунок 3 — Реконструкция монотонного закона ПН в задаче для слоя

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Разработаны новые методы решения одномерных задач об установившихся колебаниях упругих тел при наличии неоднородного ПНС.

2. Описаны способы построения операторных соотношений и итерационных процессов в коэффициентных обратных задачах по восстановлению существенно неоднородного ПНС в упругих телах; построены конкретные операторные соотношения и итерационные процессы для стержня, слоя и кольца.

3. Проведены вычислительные эксперименты по определению законов (монотонных, немонотонных) изменения неоднородного ПНС для стержня, слоя и кольца при установившихся колебаниях

4. Получено приближенное решение задачи об определении величины уровня ПНС, соответствующего задаче Ламе для цилиндра, по изменению значений собственных частот колебаний.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ватульян А.О., Дударев В.В. О реконструкции неоднородного предварительно напряженного состояния в стержне // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2009. №3 С. 18-23.

2. Ватульян А.О., Дударев В.В. О некоторых проблемах реконструкции неоднородного предварительного напряженного состояния в упругих телах // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9, вып. 4, ч. 2. С. 25-32.

3. Дударев В.В., Недин Р.Д. О реконструкции остаточных напряжений в твердых телах // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4(4). С. 1473-1475.

4. V.V. Dudarev, А.О. Vatulyan. On restoring of the pre-stressed state in elastic bodies // ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2011. V. 91, N 6. P. 485-492.

5. Дударев В.В. Об определении плоского предварительного напряженного состояния // Математический форум. Т. 4. Исследования по математическому анализу, дифференциальным уравнениям и их приложениям. (Итоги науки. Юг России). Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-Д, 2010. С. 232-237.

6. Дударев В.В. К оценке неоднородного предварительного напряженного состояния (плоский случай) // Тр. аспирантов и соискателей Южного федерального университета. Т. XV. Ростов-на-Дону: НПО ПИ ЮФУ, 2010. С. 28-31.

7. Дударев В.В., Недин Р.Д. Реконструкция неоднородного предварительного напряженного состояния в упругих телах // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики СО РАН. Новосибирск, 2012. Вып. 127: Механика структурно-неоднородных сред. С. 38—40.

8. Дударев В.В. Поперечные колебания предварительно напряженного стержня // Математическое моделирование, вычислительная механика и

геофизика: Тр. VI Шк.-сем., Ростов-на-Дону, 17-20 декабря 2007. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2008. С. 90-92.

9. Дударев В.В. Об уточненной модели изгибных колебаний предварительно напряженной балки // Современные проблемы механики сплошной среды: Тр. XII Межд. конф., Ростов-на-Дону, 1-5 декабря 2008. Т. II. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2008. С. 56-59.

10. Дударев В.В. Об уточненной модели предварительно напряженного стержня // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика: Тр. VII Шк.-сем., Ростов-на-Дону, 1-5 декабря 2008. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2009. С. 77-79.

Н.Ватульян А.О., Дударев В.В. Об операторных уравнениях для предварительно напряженного слоя // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела: Мат. VI Межд. научной конф., Донецк, 8-11 июня 2010. С. 119-122.

12. Дударев В.В. Об антиплоских колебаниях слоя при наличии неоднородного поля предварительных напряжений // III Межд. науч.-практ. конф. «Молодые ученые в решении актуальных проблем науки»: Сборник работ молодых ученых. Ч. 2. Владикавказ. 2012. С. 34-38.

13. Дударев В.В. Плоские колебания предварительно напряженного анизотропного слоя // Современные проблемы механики сплошной среды: Тр. XVI Межд. конф., Ростов-на-Дону, 16-19 октября 2012. Т. I. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ. 2012. С. 80-83.

14. Дударев В.В. О численном решении обратной задачи определения предварительных напряжений в слое // Мат. 2-й науч.-практ. шк.-сем. молодых ученых, Тольятти, 18-21 декабря 2012. Тольятти: ТГУ, 2012. С. 47-51.

15. Дударев В.В. Об определении неоднородного предварительного напряженного состояния для стержней // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. V Всерос. шк.-сем., Дивноморское, 1-5 июня 2009. Ростов-на-Дону: Издательство «Терра Принт», 2009. С. 37-38.

16. Дударев В.В. Об уточненной модели колебаний предварительно напряженного стержня // Неделя науки 2009: Сб. тез. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2009. С. 78-82.

17. Дударев В.В., Недин Р.Д. Идентификация неоднородного предварительного напряженного состояния в плоских упругих областях при установившихся колебаниях И VI Ежегодная научная конференция студентов и аспирантов базовых кафедр Южного научного центра РАН: Тез. докл., Ростов-на-Дону, 19-30 апреля 2010. Ростов-на-Дону: Издательство ЮНЦ РАН, 2010. С. 216-217.

18. Ватульян А.О., Дударев В.В., Недин Р.Д. Реконструкция неоднородного предварительного напряженного состояния в упругих телах // Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций: Тез. докл. II Всерос. конф., Новосибирск, 10-14 октября 2011. Новосибирск: Изд. НГТУС. 21.

19. Дударев В.В. Антиплоские колебания предварительно напряженного слоя // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. VII Всерос. шк.-сем., Дивноморское, 28 мая - 1 июня 2012. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2012. С. 48.

20. Дударев В.В., Недин Р.Д. Задача о радиальных колебаниях кольцевой области при наличии предварительного напряженного состояния // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. VIII Всерос. шк.-сем., Дивноморское, 27 мая - 31 мая 2013. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2013. С. 52.

Сдано в набор 21.10.2013. Подписано в печать 21.10.2013. Формат 60x84 1/16. Цифровая печать. Усл. печ. л. 1,0. Бумага офсетная. Тираж 120 экз. Заказ 2110/01.

Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии» 340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140, телефон 8-918-570-30-30

www.copy61.ru e-mail: info@copy61.ru

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»

На правах рукописи

04201364384

Дударев Владимир Владимирович

Реконструкция неоднородного предварительного напряженного

состояния в твердых телах

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Ватульян Александр Ованесович

Ростов-на-Дону -2013

Содержание

Введение...................................................................................................................3

Глава 1 Постановка задач о колебаниях предварительно напряженных тел. 14

§ 1.1 Развитие теории предварительного напряженного состояния...........14

§ 1.2 Постановка краевой задачи....................................................................19

§1.3 Слабая постановка задачи......................................................................23

§ 1.4 Постановка задачи об изгибных колебаниях стержня........................25

§ 1.5 Постановка задачи для кольцевой области..........................................29

§ 1.6 Постановка задачи о толщинных колебаниях ортотропного слоя .... 35

Глава 2 Построение решений прямых задач......................................................40

§ 2.1 Изгибные колебания стержня................................................................40

§ 2.2 Радиальные колебания кольцевой области..........................................48

§ 2.3 Толщинные колебания ортотропного слоя..........................................55

Глава 3 Исследование обратных задач...............................................................60

§ 3.1 Методы решения обратных задач.........................................................60

§ 3.2 Определение ПНС при изгибных колебаниях стержня......................68

§ 3.3 Определение ПНС при радиальных колебаниях кольцевой области 75

§ 3.4 Определение ПНС при толщинных колебаниях слоя.........................95

Заключение..........................................................................................................107

Список литературы.............................................................................................108

Введение

Предварительными (внутренними, собственными, первоначальными) напряжениями (ПН) называются напряжения, которые существуют в теле при отсутствии внешних воздействий (силовых или температурных) [1,2]. В живой природе ПН присутствуют в костной ткани, стенках кровеносных сосудов и особенно ярко проявляют себя при формировании новых тканей. Современные исследования механических свойств костей с учетом подобных напряжений приводятся в работах И.Ф. Образцова, С. Ямады (S. Yamada) [3], А. Ахмеда (А. Ahmed), Б. Маккормака (В. McCormack) и других. При этом установлено, что остаточные напряжения в трубчатых костях человека и животных могут достигать нескольких МПа [3,4]. В работах [5,6] приводятся некоторые результаты теоретических исследований распределения напряжений и деформаций в артериальных сосудах. Следует отметить, что обычно при моделировании напряженного состояния в артериях применяют гипотезу об однородности остаточных напряжений (например, [7]). Другое направление в области биомеханики посвящено изучению механических свойств различных типов кровеносных сосудов. Соответствующие теоретические и экспериментальные подходы представлены в работах С. Коуина (S. Cowin), Дж. Хамфри (J. Humphrey), Г. Хольцапфеля (G. Holzapfel), Р. Огдена (R. Ogden) и других.

В технологических изделиях ПН обычно возникают в результате различных производственных процессов, вызывающих пластические деформации и неоднородное охлаждение. Наибольшая концентрация таких напряжений наблюдается в окрестности дефектов (полости, трещины, включения и т.п.). По масштабам изменения остаточные напряжения можно условно разделить на микронапряжения и макронапряжения. Если в пределах размера зерна материала напряжения изменяются несущественно и условие равновесия сил выполняется для большого числа кристаллов, то такие напряжения могут быть отнесены к числу макронапряжений. Для них

допустимо использование гипотезы изотропности. Например, обычные напряжения от внешних нагрузок относятся к макронапряжениям. Микронапряжения претерпевают резкие изменения в пределах размера одного зерна, при этом условие равновесия сил выполняется только для отдельного зерна. Наличие микронапряжений связано с анизотропией кристаллов, наличием различных фаз, ориентацией кристаллографических плоскостей и т.д. [8].

В силу своей природы остаточные напряжения могут играть решающую роль при наложении на них больших эксплуатационных нагрузок, поэтому их учет чрезвычайно важен в прогнозировании критических ситуаций. Отличительной чертой остаточных напряжений также является то, что их присутствие никак не проявляется до тех пор, пока не происходит сбой или разрушение. Поэтому в настоящее время разработка и усовершенствование методов идентификации ПН является актуальной задачей механики деформируемого твердого тела. По виду диагностики в механике различают три типа методов: разрушающие, полуразрушающие и неразрушающие. При выборе того или иного метода следует в первую очередь установить какую именно информацию о ПН необходимо получить (уровень, распределение, область концентрации и т.п.). Во-вторых, следует учитывать размеры, расположение и доступность объекта исследования к всестороннему экспериментальному анализу. В-третьих, принимать во внимание проблему о сочетании точности измерений, оперативности осуществления идентификации и финансовые ресурсы проекта [9].

На сегодняшний день наиболее развитыми и распространенными методами определения ПН являются разрушающие и полуразрушающие методы. Особенностью таких методов является то, что объектом исследования являются не сами остаточные напряжения, а соответствующие им деформации. Такие методы дают количественную оценку ПН в исследуемой области.

Наиболее популярным полуразрушающим методом является тензометрический метод сверления луночек. В США этот подход стандартизирован и имеет спецификацию ASTM Standard Method Е 387. Процедура измерения таким методом включает в себя несколько этапов: установка тензометрической трех- (или шести-) элементной кольцевой розетки, сборка структурной электромеханической цепи, освобождение остаточных напряжений путем просверливания небольшой луночки в центре розетки, численная обработка полученных данных для определения главных напряжений и их угловой ориентации [9,10]. Основным преимуществом этого метода являются относительно простая процедура измерения остаточных напряжений, мобильность, оперативность, широкий выбор измерительных установок. В качестве недостатков следует отметить довольно небольшую измерительную глубину (от 0,8 - 4,8 мм), локальность измерений, высокие требования к гладкости поверхности, неприменимость метода к легкоплавким и мягким материалам (пластмассы, алюминиевые сплавы и т.п.).

Другим широко распространенным полуразрушающим тензометрическим методом является метод последовательного растяжения щели (надреза). Отличительной особенностью этого метода является более высокая пространственная разрешающая способность по глубине объекта. Очень подробные теоретические обоснования, практические примеры, сравнительные таблицы и историческое развитие этого подхода описаны в работе [11], библиографический список которой охватывает более 70 источников. Главным ограничением при исследовании напряженного состояния тензометрическими методами является физические возможности установки тензодатчиков вблизи области вызываемых деформаций.

В нашей стране наибольшее практическое распространение наряду с методом луночек получили статические методы H.H. Давиденкова и Г. Закса для оценки предварительного напряженного состояния (ПНС). Теоретическая основа этих методов и практические рекомендации по их

осуществлению представлены в книге [2], а их использование для древесных материалов были специализированы в межгосударственном стандарте ГОСТ 11603-73. Идея этих подходов заключается в последовательной процедуре снятия достаточно тонких слоев с поверхности исследуемого объекта и проведением опытов по определению значений модуля Юнга.

С развитием технологий и вычислительных мощностей современных ЭВМ все больший интерес вызывают неразрушающие методы диагностики ПНС в объектах ответственного назначения. К таким методам относят метод рентгеновской и нейтронной дифракции, голографический метод [11], акустический метод, магнитошумовой и другие. Следует отметить, что существующие на настоящий момент неразрушающие методы дают преимущественно качественную оценку уровня остаточных напряжений. Например, метод фотоупругих покрытий позволяет осуществлять диагностику и предоставляет наглядную картину областей с высоким уровнем исследуемых напряжений. Эта технология эффективна преимущественно для плоских элементов конструкций и поэтому некоторые аэрокосмические компании используют этот метод для первоначальной диагностики массивных элементов, таких как шасси и крылья с целью определения опасных участков [12,13]. Методы рентгеновской и нейтронной дифракции признаны наиболее точными методами для измерения около поверхностных макро- и микронапряжений [13-16]. Но они имеют несколько существенных ограничений: сильная восприимчивость к анизотропии зерен, неприменимость к материалам с некристаллическим строением, сложность измерения напряжений в неровных поверхностях, существенные временные затраты для получения окончательных результатов (от нескольких дней до недели), высокая стоимость и малое число лабораторий, обладающих необходимым оборудованием [11].

В последнее время внимание как отечественных, так и зарубежных ученых обращено к совершенствованию акустического метода [17,18], теоретическое обоснование которого началось с середины прошлого

века [17,19]. Главным преимуществом этого подхода является мобильность, экономичность, возможность применения к различным материалам и оперативность проведения всего цикла исследования. В настоящее время непосредственное сравнение диаграмм распределения напряженного состояния на поверхности сплава титана показало, что точность метода сравнима с точностью дорогостоящего метода рентгеновской дифракции [20]. Одни из последних разработок ультразвукового метода отражены в работе Карабутова A.A. и др. [21]. Здесь по серии экспериментов производится реконструкция ПНС в области сварного шва тонкой пластины (8 мм) по значениям главных напряжений. В основе теоретического обоснования работы лежит вывод, полученный ранее в [20], о том, что для изотропного тела относительное отклонение скорости продольной ультразвуковой волны пропорционально сумме главных напряжений. При этом необходимые коэффициенты пропорциональности определяются только механическими свойствами материала. Несмотря на довольно развитую техническую сторону этого метода, следует отметить, что основной целью подхода остается задача идентификации существенно неоднородного ПНС в упругих телах и развитие более сложной теории.

Сегодня наравне с экспериментальными методами и технологиями идентификации остаточных напряжений продолжается разработка аналитических и конечноэлементных моделей поведения тел при наличии ПНС [9,19,22,23]. Целью конечноэлементного моделирования является разработка наиболее адекватных моделей ПНС в различных элементах на основе статистических экспериментальных данных, полученных в результате разрушающей или полуразрушающей диагностики. Разработка теорий, описывающих ПНС, позволяет рассматривать основной вопрос о единственности решения задачи его идентификации и анализировать влияние остаточных напряжений на различные процессы (ростовые, деформационные и т.п.) [23,24]. Также практический интерес вызывают статьи, посвященные

разработке моделей, предсказывающих (прогнозирующих) ПНС в изделиях широкого потребления после технологической обработки.

В работе [25] для случая плоских полей напряжений выведены интегральные соотношения акустоупругости, связывающие параметры зондирующего импульса с распределением начальных деформаций (напряжений) вдоль направления его распространения в деформированном теле. Представлен пример использования сформулированных интегральных соотношений в обратной задаче акустической диагностики остаточных напряжений в полосе. Известны примеры практического применения полученных акустических соотношений с целью неразрушающих измерений однородного напряженно деформированного состояния объектов [26].

Цель диссертационной работы заключается в решении задач идентификации неоднородного ПНС в твердых телах (стержня, слоя и кольца).

В первой главе диссертации представлены постановки прямых задач о колебаниях предварительно напряженных тел в рамках акустического метода. В параграфе 1.1 приведен краткий исторический обзор по проблеме формирования понятия ПНС. Представлены основные современные математические модели механики сплошной среды, описывающие поведение тела при наличии неоднородного поля ПН. В параграфе 1.2 сформулирована общая постановка краевой задачи о колебаниях тела в терминах несимметричного тензора Пиолы при наличии ПНС на основе модели, развитой А.Н. Гузем. В параграфе 1.3 на основе общей постановки задачи выведена слабая постановка задачи. В представленной форме компоненты тензора ПН и упругих модули в общем случае могут быть заданы как функции пространственных координат. С помощью этой постановки можно производить расчеты прямых задач в конечноэлементном пакете РгееБет-Н-для тел с различной геометрией и законов изменения ПНС. В параграфе 1.4 представлена постановка задачи об установившихся изгибных колебаниях предварительно напряженного стержня согласно гипотезам Бернулли-

Эйлера. Получены уточненные граничные условия. В параграфе 1.5 сформулирована общая постановка задачи для кольцевой области в рамках плоской деформации. Представлена задача о радиальных колебаниях кольца в случае, когда поле ПН зависит только от радиальной координаты. В параграфе 1.6 сформулирована постановка задачи о толщинных колебаниях ортотропного слоя при наличии поля ПН, зависящих от поперечной координаты. Колебания вызываются нагрузкой, приложенной на верхней границе слоя. При выводе уравнений движения и граничных условий использовано преобразование Фурье по продольной координате.

Во второй главе изложены методы построения решений прямых задач для изучаемых проблем. В дальнейшем эти решения используются в качестве входной информации при исследовании обратных задач об идентификации неоднородного ПНС. В параграфе 2.1 для задачи об изгибных колебаниях стержня проведена процедура обезразмеривания, решение сведено к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно специально введенной функции. Решение этого интегрального уравнения осуществлено численно с помощью метода коллокаций с использованием квадратурной формулы Симпсона. Для задачи о реконструкции неоднородного ПНС был проведен численный анализ влияния уровня ПН на амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) и исследована зависимость значений собственных частот от величины ПН. В параграфе 2.2 осуществлено численное решение прямой задачи для кольцевой области на основе метода пристрелки в пакете Maple. Для анализа точности численного решения получено аналитическое решение в случае постоянного ПНС. Аналитическое решение построено через функции Бесселя первого и второго рода. Проведен анализ влияния уровня ПНС, соответствующего решению классической задачи Ламе, на АЧХ. Выявлены зоны наибольшей чувствительности. В параграфе 2.3 прямая задача об определении значений осредненной характеристики смещения сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Интегральное уравнение решено численно на

основе метода коллокаций аналогично задаче для стержня. Проведен анализ влияния уровня ПНС на АЧХ. Отмечена зависимость значений частот толщинных резонансов от величины ПН.

В третьей главе рассмотрены коэффициентные обратные задачи для предварительно напряженных упругих тел. В параграфе 3.1 представлен обзор методов и подходов к решению обратных задач. Обозначены основные преимущества и недостатки каждого из них. Описаны способы формулировки операторных уравнений, связывающих неизвестные и заданные функции. Поскольку в явном виде это осуществить невозможно, в работе сформулирована общая итерационная схема, при этом на каждом шаге необходимо находить решение прямой задачи и вычислять поправки на основе данных, полученных на предыдущем шаге. Неизвестные поправки находятся с помощью регуляризованной схемы решения интегральных (в задаче для стержня и слоя) или интегро-дифференциального (в задаче для кольца) уравнений. Как известно, для реализации любого итерационного процесса необходимо зн