Теория и методы решения обратных задач Стефана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На- правах рукописи

14 о ил

ГОЛЬДМАН Наталия Львовна

ТЕОРИЯ и МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ СТЕФАНА

Специальность 01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2000

Работа выполнена в Научно-исследовательском вычислительном центре МГУ имени М.В. Ломоносова

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

доктор физико-математических наук профессор А.И. ПРИЛЕПКО;

доктор физико-математических наук профессор А.З. ИШМУХАМЕТОВ;

доктор физико-математических наук профессор Т.И. САВЕЛОВА;

Московский государственный авиационный институт

Защита диссертации состоится 2000 г. в 15:30 на

заседании диссертационного совета Д 053.05.37 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899 Москва, Воробьевы Горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан 2000 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

профессор у^/Л^ Е-в- ЗАХАРОВ

•Ф

В /91. /ея.2^^-5,03

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена одному из современных направлений исследований в теории некорректных задач — обратным задачам для квазилинейных параболических уравнений в областях со свободными границами. Такие задачи, называемые обратными задачами Стефана, состоят в определении по некоторой дополнительной информации коэффициентов уравнения, граничных или каких-либо других функций, считающихся заданными в классической постановке задачи Стефана (прямой задачи). Они возникают при изучении нелинейных процессов с фазовыми переходами в теплофизике и механике сплошной среды в связи с проблемами совершенствования технологий, создания новых методов эбработки материалов и современных образцов техники. Актуальность квазилинейных обратных задач Стефана вызвана тем, что в ряде случаев их решение — как вычислительный эксперимент с использованием компьютерной техники — является практически единственным средством исследования.сложных нестационарных процессов. В особенности это от-яосится к высокотемпературным процессам, в которых требуется учиты-зать зависимость теплбфизических коэффициентов от температуры, что !риводит к необходимости рассматривать квазилинейные модели таких процессов. Однако численное решение обратных задач Стефана сопряже-ïo со значительными трудностями в силу их нелинейности и некоррект-гости (которая проявляется чаще всего в неустойчивости относительно югрешностей входных данных), а также из-за больших вычислительных ¡атрат. С усложнением прикладных задач и в связи с развитием компьютерной техники появилась потребность в разработке специальных регу-шризирующих методов и вычислительных алгоритмов для этого класса »корректных задач.

Основополагающие принципы регуляризации некорректно поставлен^ шх задач заложены в известных работах А.Н. Тихонова, В.К. Ив.анова и d.M. Лаврентьева. Среди других авторов, внесших существенный вклад 1 развитие теории и методов решения некорректных задач и в построите конкретных регуляризирующих алгоритмов, необходимо отметить З.Я. Арсенина, A.B. Бакушинского, Г.М. Вайникко, Ф.П. Васильева, В.В. Засина, В.А. Винокурова, A.B. Гончарского, В.И. Дмитриева, A.C. Ильин-кого, Е.В. Захарова, A.C. Леонова, В.А. Морозова, В.Н. Страхова, А.Г. 1голу, D.L. Phillips, R.L. Lattes, J.-L. Lions.

Целый ряд исследований, посвященный некорректны^ обратным за-;ачам для дифференциальных уравнений, связан с именами А.Н.-Ти-онова, М.М. Лаврентьева, А.И. Прнлепко, В.Г. Романова, J.R. Cannon,

K.-H. Hoffmann, J.-L. Licms и с созданными ими научными школами.

Одним из ведущих направлений таких исследований является изучение обратных задач для параболических уравнений в областях с заданными границами. Из значительного числа публикаций отметим работы О.М. Алифанова Н.Я. Безнощенко, П.Н. Вабищевича, В.Б. Гласко, А.М. Денисова, А.Д. Искендерова, Н.В. Музылева, А.И. Прилепко, А.В. Костина, Д.Г. Орловского, В.В. Соловьева, И.В. Тихонова, A. Lorenzi, М. Yamamoto. Вопросами приложения теории обратных задач для параболических уравнений к современным проблемам техники (в частности, авиационной и космической) занимались О.М. Алифанов, JI.A. Коздоба, J.V. Beck, Е. Hensel и др. Библиографию и обзор работ для этого класса обратных задач можно найти в известных монографиях О.М. Алифанова [1, 2, 31], А.М. Денисова [13], А.И. Прилепко [44], J.V. Beck [3].

Гораздо слабее освещены в литературе обратные задачи Стефана, которые составляют класс обратных задач для параболических 'уравнений в областях с неизвестными подвижными границами. Изучение этого круга проблем началось с обратных задач Стефана для линейных уравнений с заданным движением фазовой границы, которые близки к нехарактеристическим задачам Коти (Б.М, Вудак, В.Н. Васильева [4], R.L. Lattes, J.-L. Lions [20], J. Bell [32], H.W. Engl [36], K.-H. Hoffmann [39], P. Knabner [41], B. Sherman [46]). Теория и методы решения нехарактеристических задач Коши хорошо разработаны (А.Н. Тихонов [26], Е.М. Ландис [18, 19], О.М. Алифанов [2, 31], J.R. Саапоп [33], R.E. Ewing [37], L.E. Раупе [43], С. Pucci [45]) и достаточно широко используются при изучении обратных задач Стефана для линейных уравнений с заданным фазовым фронтом.

Исследование некоторых вопросов оптимального управления, а также ряда других проблем, связанных с задачами Стефана (в основном для уравнения теплопроводности и линейного параболического уравнения начато работами Ф.П. Васильева [8] и И.И. Данилюка [12] и продолжено их учениками, в том числе А.Д. Юрием [30]. Проблема численного моделирования сложного процесса с фазовыми переходами при переменной критической температуре рассмотрена В.И. Дмитриевым и Е.Н. Соловьевой [14]. Среди зарубежных исследований (H.W. Engl, A. Fasano, К.-Н. HoíFmann, Р. Jochum, М. Niezgodka, М. Primicerio, Т. Roubicek, С. Verdi) значительная часть посвящена прикладным обратным задачам Стефана, возникающим при изучении современных технологических процессов (в частности, в металлургии).

Однако квазилинейные обратные задачи Стефана еще мало изучены, особенно при неизвестной зависимости от времени фронта фазового перехода. Это объясняется тем, что во многих известных исследованиях

обратных задач со свободными границами использованы методы, основанные на свойствах параболических уравнений с постоянными или линейными коэффициентами (например, метод квазиобращения и методы сведения исходной задачи к интегральному уравнению). Это ограничивает область применения таких исследований уравнениями указанных типов. Для расширения круга рассматриваемых проблем наибольший интерес представляет развитие вариационного подхода к обратным задачам Стефана, предложенного Б.М. Будаком и В.Н. Васильевой [4]. Подобный подход для квазилинейного параболического уравнения был применен автором диссертации при изучении граничной обратной задачи Стефана с заданным фазовым фронтом [51].

Тем не менее, в настоящее время исследование квазилинейных обратных задач Стефана, постановки которых все более усложняются в связи с современными потребностями моделирования процессов с фазовыми переходами, еще нельзя считать завершенным. При этом актуальными являются как вопросы математического обоснования постановок таких задач и методов их решения, так и вопросы построения эффективных вычислительных алгоритмов.

Цель диссертационной работы состоит в развитии теории и методов решения граничных и коэффициентных обратных задач Стефана для квазилинейных параболических уравнений, возникающих при моделировании и управлении физическими процессами с фазовыми переходами; в построении и доведении до численной реализации эффективных алгоритмов, позволяющих сократить вычислительные затраты при решении этого класса некорректных обратных задач.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты являются новыми и представляют как теоретический, так и практический интерес. Развитие вариационного подхода к обратным задачам Стефана позволило существенно расширить круг рассматриваемых проблем. С единых позиций исследованы, граничные и коэффициентные обратные задачи для квазилинейных параболических уравнений в областях со свободными границами при различных способах задания дополнительной информации о решении (финальное наблюдение в конечный момент времени, данные Коши на одной из границ области и т.д.).

Предложенные алгоритмы для численного определения граничных функций и коэффициентов уравнения универсальны в широком классе обратных задач Стефана. Использование в алгоритмах принципа "дескриптив-

ной регуляризации" (термин введен в работе [22] для обозначения стабилизирующих ограничений на качественную структуру искомых функций) производит более сильный регуляризирующий эффект, чем традиционные предположения об их гладкости, и сохраняет, в то же время, основные качественные характеристики решения. Учет такой информации особенно важен при значительных погрешностях входных данных, а также в задачах восстановления (идентификации) с тем, чтобы сузить множество допустимых приближенных решений и увеличить точность восстановления. Кроме того, использование в алгоритмах эффективного способа вычисления градиента функционала невязки, предложенного в работе, позволяет избежать мнотократного численного решения прямой проблемы Стефана, обеспечивая существенную экономию компьютерного времени. Это дает возможность применять разработанные алгоритмы решения обратных задач Стефана в различных приложениях таких задач в теплофизике и механике сплошной среды.

Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Разработан и обоснован общий подход в операторном виде к определению граничных функций и коэффициентов уравнения для широкого круга квазилинейных обратных задач Стефана, включая случай неизвестного фазового фронта (одного или нескольких), а также случай неизвестного граничного режима на фазовом фронте, и при различных видах априорной информации о решении прямой проблемы Стефана. При этом:

- исследованы Свойства в классах Гельдера нелинейных операторов, лежащих в основе операторных представлений обратных задач Стефана. Для выбора "естественных функциональных пространств" для таких представлений установлены точные дифференциальные зависимости в классах Гельдера между входными данными и решением однофазных и многофазных прямых задач Стефана для квазилинейных параболических уравнений;

- доказаны теоремы существования, единственности и устойчивости в классах Гельдера, получены точные оценки решения для прямой квазилинейной проблемы Стефана общего вида с несколькими фазовыми фронтами;

- разработан способ доказательства сходимости метода прямых Рота с выпрямлением фазовых фронтов без дополнительных требований гладкости входных данных; установлены неулучшаемые и независящие от шага сетки оценки для дифференциально-разностных краевых

задач в сеточно-непрерывных классах Гельдера, аналогичные известным точным оценкам К. Чилиберто и O.A. Ладыженской для линейных и квазилинейных параболических уравнений в непрерывных классах Гельдера.

2. Исследованы вопросы единственности точного решения обратных задач Стефана в выбранных пространствах Гельдера. При этом:

- доказаны теоремы единственности в задачах определения граничного режима для однофазных и двухфазных проблем Стефана (в том числе для неизвестного фазового фронта) при дополнительной информации о решении на одной из границ области или внутри ее;

- построены примеры нарушения единственности для коэффициентных и граничных обратных задач с "финальным наблюдением ", а также для задач определения неизвестного граничного режима на фазовом фронте.

3. Дредложен и обоснован регуляризирующий вариациовый метод для приближенного решения граничных и коэффициентных обратных задач Стефана (на основе построения квазирешений и обобщенных квазирешений). При этом:

- доказана его устойчивость в выбранной топологии (классы Гельдера) относительно погрешностей всех входных данных;

- доказана дифференцйруемость функционалов в вариационных постановках обратных задач Стефана, лежащих в основе предложенного метода;

- получено явное представление для дифференциалов через решение соответствующих сопряженных задач. Это обеспечивает существенную экономию вычислительных затрат, так как позволяет преодолеть основную трудность, которая возникала ранее при применении регу-ляризирующих алгоритмов для обратных задач Стефана — необходимость многократного численного решения прямой проблемы Стефана при минимизации функционала невязки, определенного на ее решениях.

г. Для реализации предложенного метода разработаны эффективные численные алгоритмы дескриптивной регуляризации на основе метода проекции сопряженных градиентов:

- отличительной особенностью алгоритмов является использование в них стабилизирующих свойств ограничений качественного характера,

наложенных на искомые функции (задание участков монотонности, выпуклости, знакоопределенности и т.п.), а также использование ре-гуляризирующих свойств итерационного метода проекции сопряжен- ных градиентов;

- эффективность алгоритмов, дающих существенную экономию вычислительных затрат даже при значительных погрешностях входны> данных, достигается, кроме того, за счет использования разностны> сопряженных задач для вычисления градиентов функционалов невязки, а также за счет учета специфики ограничений (в частности, кусочной монотонности и выпуклости) при построении процедуры проектирования на множество допустимых функций;

- подтвержден целой серией численных экспериментов сильно выраженный регуляризируюшдй эффект алгоритмов с сохранением основных качественных характеристик искомых функций;

- универсальность алгоритмов в широком классе граничных и коэффициентных обратных задач Стефана позволяет реалиэовывать и> вычислительные схемы с помощью одного и того же программного обеспечения. Область их применимости включает в себя обратные за дачи как для линейных, так и для квазилинейных параболически? уравнений со свободными границами.

5. На основе алгоритмов проведено численное решение важных прило жений обратных задач Стефана в нелинейной теплофизике, связал ных с современными технологиями:

- численно определены тепловые режимы для непрерывного литы слитков (однофазная граничная обратная задача с заданным фазо вым фронтом) и для лазерной обработки материалов (многофазная коэффициентная обратная задача с двумя неизвестными фазовым! фронтами);

- выявлена возможность расширить рамки применимости одномер ных моделей теилофизических процессов за счет использования апри орной информации о качественном поведении искомых тепловых ре жимов.

Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейше го развития теории обратных задач для квазилинейых параболически уравнений и систем, а также теории дифференциально-разностных кра евых задач; при исследовании задач оптимального управления; при по

строении регуляризируюгцих алгоритмов и при численном решении прикладных обратных задач математической физики.

Результаты диссертации нашли практическое применение в НПО "Энергия", в НИИ авиационных систем, в НИИ "Гипроцветметобработка" при решении конкретных приложений обратных задач Стефана в различных областях техники.

Методы исследования. Работа основана на методах общей теории некорректно поставленных задач, методах теории параболических уравнений, методах теории дифференциально-разностных схем, методах функционального ан'.лиза и теории функций, методах теории оптимизации.

Апробация работы. Материалы, изложенные в диссертации, докладывались на: Международных конференциях "Идентификация динамических систем и обратные задачи" (1990, Суздаль; 1994, С.-Петербург; 1998, Москва); Международной конференции "Некорректно поставленные задачи в естественных науках" (1991, Москва); II Международном симпозиуме "Inverse Problems in Engineering Sciences" (IPES-94) (1994, Осака); Всероссийской научно-практической конференции "Алгоритмический.и численный анализ некорректных задач" (1995, Екатеринбург); Международной конференции "Обратные и. некорректно поставленные задачи" (IIPP-96) (1996, Москва); Научных конференциях "Ломоносовские чтения МГУ" (1995, 1997, 2000, Москва).

Основные результаты работы докладывались также на семинарах акад. РАН В.А. Садовничего, проф. А.И. Прилепко (мехмат МГУ); акад. РАН A.A. Самарского, проф. П.Н. Вабищевича, проф. A.B. Гулина (ВМиК МГУ); проф. A.M. Денисова (ВМиК МГУ); проф. A.B. Бакушинского, проф. A.B. Тихонравова, проф. А.Г. Яголы (физфак МГУ, НИВЦ МГУ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 20 статьях и в 3 монографиях, список которых приведен в конце реферата. Из совместных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, ;писка принятых в работе основных обозначений, четырех глав (разбитых за параграфы), приложения и списка литературы. Нумерация теорем и формул своя в каждом параграфе. Общий объем диссертации составляет 316 страниц, включая 9 таблиц и 16 страниц приложения, содержащего 15 рисунков и графиков, а также включая 12 страниц списка литературы,

содержащего 193 наименования.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы исследования и ее практическая ценность, содержится краткий обзор известных публикаций и формулируются основные результаты диссертации с кратким изложением ее содержания по главам.

Глава 1 содержит постановки обратных задач Стефана для квазилинейных параболических уравнений с фазовыми переходами.

Задачи Стефана в прямой постановке представляют собой краевые задачи для параболических уравнений в областях с неизвестными подвижными границами, на которых заданы условия материального или энергетического баланса (A.M. Мейрманов [21], Л.И. Рубинштейн [24], J.R. Cannon [34], A. Friedman [38]).

Один из распространенных вариантов прямой постановки квазилинейной задачи Стефана — двухфазная однофронтовая задача Стефана — состоит в определении функции u(x,t) в области Cj = U Q2 и фронта фазового перехода £(<) при 0 <t <Т, удовлетворяющих уравнению

ск(х, t, u)ut — Lku — 0, fc = 1,2, (0.1)

(М) € Qi = {0 < х < £(i), 0 < t < Т}, (х, t)eQ2 = {4(i) <x<i,o<t<T}, граничным условиям при х = 0, х = I,

«|*=о = v(t), 0 < t < Т, (0.2)

al(x,t,u)ux + e(t,u)u\z=l = p(t), 0 < t < Г, к = 2, (0.3)

начальному условию

4=о = Ф)> 0<х<1, (0.4) и условиям на фронте фазового перехода

ul^,) = u*(i), 0 < t < Г, (0.5)

j(x, t, u)|I=i(i)£i = [a(x, t, u)ux}x=m + x(z, t, u)U=i(i), 0 < i < T, (0.6)

fl»=o = 40, (0.7) где Lkv = (ak(x,t, u)ux)x—bk(x,t,u)ux-dk(x,t,u)u+fk(x, t,u) — равномер-

но эллиптический оператор, а*(х, t, и) > > U, bl, ch(x, t, и) > с* in > О, dk, fk, v, e, p, <p, u*, 7 > 7m¡n > 0, x — известные функции своих аргументов, aj,in, <4¡n, Tmi». Vo = const > 0,

[a(z, t, tí)«f]x=fW = a\x, t, и)иг|г={(/)+о - a\x, t, uHl^w-o-

При моделировании теплофизического процесса с фазовым, переходом при температуре и* функции и{х, t) и £(t) представляют, соответственно, температурное распределение и положение фронта фазового превращения, разделяющего область Q на две фазы Q\ и Qi, каждая из которых обладает своими теплофизическими характеристиками. Необходимость в ряде случаев учитывать зависимость теплофизических характеристик от температуры, например при моделировании высокотемпературных процессов, приводит к квазилинейным параболическим уравнениям вида (0.1). В задачах фильтрации и(х, t) интерпретируется как давление, ф) — как положение подвижной границы раздела двух сред с различными фильтрационными характеристиками.

Другой вариант прямой постановки задачи Стефана — однофазная задача Стефана — является частным случаем двухфазной задачи (0.1)--(0.7), когда в одной из областей (например, в Q?) u(x,t) = и* = const, т.е., температура в фазе равна температуре фазового превращения. Соответствующая математическая модель состоит из уравнения (0.1) в области Qi с граничными и начальными условиями, (0.2), (0.4), (0.5), (0.7) и условия Стефана (0.6), которое принимает вид

7(М, «}!«=«<)& = +^(i,t,M)|I=í(¡), 0 <t<T.

Более сложные физические процессы, например процессы теплопроводности в средах с несколькими фазовыми переходами при значениях температуры и\,...,и*к, 0 < t < Т, .описываются многофазовыми многофронтовыми задачами Стефана. Они состоят в определении функций {«(дг, ¿), • • • где u(x,t) — распределение температуры в обла-

сти Q = Qx U Q2 U ... U (Qi — область существования к-й фазы), fjt(í) — положение fc-ro фронта'фазового перехода, к.= 1 ,К, 0 < t < Т. В каждой из областей Qk выполняется уравнение (0.1), на фронтах разделяющих эти области, имеют место условия

"1и6«> ~ ut> 0 <t < Т, k = M?, 7*(М, u)U=b(í}6< = [a^í.u)«,],^) <,«)!,=&(,), 0 < t <Т,

ífc|t=o = Vo-

Замыкают эту математическую модель начальное условие (0.4) и краевые условия (0.2), (0.3) на внешних границах области

Общим в различных вариантах прямой постановки задачи Стефана является то, что все коэффициенты в уравнении и в условии Стефана, все начальные и граничные функции предполагаются заданными.

Каждому такому варианту прямой постановки проблемы Стефана может быть сопоставлено некоторое множество обратных задач, если кроме функций и(х, *) и £(<) требуется определить по некоторой дополнительной информации еще какие-либо функции, считающиеся заданными в прямой постановке проблемы Стефана.

В § 1.1 дана классификация таких обратных задач в зависимости от искомой функции, которая является причинной характеристикой соответствующего физического процесса. Введены классы граничных и коэффициентных обратных задач Стефана, рассмотрены различия в постановках задач восстановления и проектирования. Указаны области практического применения обратных задач Стефана и приведены несколько конкретных примеров, связанных с современными технологическими процессами (непрерывное литье слитков, обработка материалов с использованием лазерной техники, создание подземных газохранилищ).

В § 1.2, 1.3 конкретизируются постановки граничных обратных задач для однофазной проблемы Стефада при заданной информации о фронте фазового перехода, а также при отсутствии такой информации. Изучены два возможных подхода к постановке обратной задачи об определении граничной функции при известной зависимости от времени фронта фазового перехода. В § 1.4,1.5 рассмотрены граничные и коэффициентные обратные задачи Стефана для многофазного случая. Для всех этих обратных задач выделены "естественные" функциональные пространства для входных данных и решения, обеспечивающие однозначную разрешимость в классах Гельдера соответствующей прямой задачи Стефана. Такой выбор функциональных пространств на основё теорем 1.2.1, 1.3.1, 1.3.3 в § 1.2, 1.3 (для различных типов обратных задач в однофазном случае) в теорем 1.4.1, 1.5.1, 1.5.2 в § 1.4, 1.5 (для различных типов обратных задач в многофазном случае) дает возможность обосновать единый подход к операторным представлениям обратных задач Стефана.

РаЬсмотрены вопросы единственности точного решения обратных задач Стефана в выбранных пространствах. Соответствующие результата для некоторых типов граничных обратных задач установлены в теоремах 1.2.2, 1.3.3 и 1.4.2, при этом используются результаты Е.М. Ландисг [18, 19] о еданственности нехарактеристических задач Коши для линей ных параболических уравнений. Для других типов обратных задач Сте

фана приведены примеры, показывающие возможность неединственности точного решения.

Перейдем к более подробному изложению результатов главы 1, обратившись в качестве примера к некоторым типичным постановкам обратных задач для квазилинейной двухфазной проблемы Стефана (0.1)-(0.7).

Постановка 1. Допустим, граничный режим при 2 = 0 неизвестен (т.е. неизвестна функция «(<) в (0.2)), но на другой границе области х = I кроме условия (0.3) задана еще дополнительная информация о решении прямой задачи Стефана (0.1)-(0.7):

где </(*) — известная при 0 <t<T функция. Тогда возникает обратная задача Стефана: найти функции и(х, <) в области ф = и^2> £(<) и и(<) при 0 < < < Г, удовлетворяющие условиям (0.1)-(0.7) и (0.8), в которых входные д&нные а4 > 0, Ьк, с4 > 0, с!к, /*, р, и*, у > 0, х> V» е> 9 и Щ предполагаются заданными.

Эту задачу можно рассматривать как задачу о продолжении решения квазилинейного параболического уравнения (0.1) от границы х = где заданы условия Коши (0.3), (0.8), внутрь области в которой происходят фазовые превращения. Таким образом, ее можно отнести к нехарактеристическим задачам Коши для параболических уравнений, но существенное осложнение вносит наличие неизвестного фронта фазового перехода, движущегося со временем внутри области и делящего ее на две части.

Дополнительная информация может быть задана не на границе х = /, а в некоторой внутренней точке х — 1ц, 0 < ¡о < /.

Рассматриваемый класс граничных обратных задач Стефана относится к некорректно поставленным задачам: при несогласованном задании входных данных точное решение отсутствует, в случае существования оно не обладает свойством устойчивости. Это показывает пример 1.4.1 в § 1.4.

Представим обратную задачу Стефана (ОЛ)-(О.Т), (0.8) в виде операторного уравнения

где 5 : V —* <? — нелинейный оператор, ставящий в соответствие каждому элементу V 6 V след решения ы|1=; прямой задачи Стефана (0.1)-(0.7). Точным решением уравнения (0.9) является такой элемент и0 £ V, для которого след решения г!|1=; совпадает с заданным элементом д £ б.

В применении к двухфазной проблеме Стефана (0.1)-(0.7) выбор классов Гельдера для входных данных, обеспечивающий возможность опре-

«|.=* = о < < < г,

(0.8)

5и=(/, иеУсь2[0,т], <7 6СС12[0,Г],

(0.9)

деления оператора S,' формулирует в предположении невырожденности фазовых областей теорема 1.4.1 (§ 1.4).

Теорема 1.4.1 Пусть входные данные удовлетворяют условиям:

1) при (х, t) € \и\ < оо, функции ak, ак, ак, bk, с1, dk и fk равномерно ограничены, ак > а* ¡п > 0, с* > > Q, к = 1, 2;

2) при (x,t,u) е Db = [-Mq,Mq] (Mq > |ц|) производные

ахх> aïu> °L = 1,2) и af (к — 2J равномерно ограничены, ак (к = 1) удовлетворяет условию Гелъдера по t с показателем Л/2 и, кроме того, ak, aj, bk, ck, dk, fk, 7, x принадлежат H1'X/2'1ÇDî), 0 < л < 1,

7 > 7min > 0, k - 1, 2;

3) при 0 < t <T, |u| < Mq производные eu, eu„, et равномерно ограничены, e > О, функции <p(x), p(t) и u*(t) принадлежат соответственно #2+A[0,i], 0![0,Т] и Я1+А/2[0, Т], выполнены условия согласования при t = 0:

a*(at,'0, + е(0, = р(0), * = 2,

= м*|(=0-

Тогда для любой функции v(t) £ H1"l"V2[0,T], удовлетворяющей условию согласования при t = О

с*(0,0, <p)vt - iVU=o,t=o = 0, * = 1,

прямая задача Стефана (0.1)~(0.7) имеет и притом единственное решение {и(х, i),£(t)} е классах Гелъдера:

u(x,t)eC@)nH2+W2(Qk), k=* 1,2, t) 6 #2+A-1+V2(Ç>t) г ф rio, t ф О, £(<)€ С[0,Г]ПЯ1+А/2(0,Г]. Для него справедливы оценки

\u?£W<Mk, к = 1,2,

где Мк > О, М. > 0 — постоянные, независящие от x, t.

В соответствии с этой теоремой точное решение обратной задачи в постановке 1 {u°(x,t),(°(t),v°(t)} в случае его существования принадлежит классам ff2+A'1+A/2(Qt) х Я1+А/2(0,Т] х Я1+А/2[0,Г], к = 1,2.

Единственность точного решения в этих классах Гельдера при некоторых предположениях относительно граничных режимов устанавливает

Теорема 1.4.2 Пусть входные данные обратной задачи Стефана в постановке 1 удовлетворяют условиям теоремы 1,4-1 и пусть, кроме того, производные с£ равномерно ограничены в Dk (к = 1,2), функция g(t) принадлежит Н1+л/2[0,Т] и удовлетворяет условию согласования при t= 0:

ct(Z,0,^)ffi-lVU=i,(=o = 0, к = 2.

Тогда если {u0(x,t),£0(t),v°(t)} — точное решение граничной обратной задачи Стефана (0.1)-(0.7), (0.8) в соответствующих классах Гелъдера, то оно определяется однозначно.

Доказательство теоремы 1.4.2 основано на результатах Е.М. Ландиса [18, 19] и на однозначной разрешимости прямой задачи Стефана (теорема 1.4.1).

Теоремы 1.4.1 и 1.4.2 позволяют уточнить постановку обратной задачи в операторном виде (0.9), а именно выбрать соответствующим образом множества V. и G:

V = {«(<) € W|[0,T], ¿(i, 0,*0«t - LVU=o,t=o = 0}, V С Я1+А/2[0,Т],

(0.10) .

G = -Hi) S Я1+А/2[0,Т], ск(х, О, Ifi)wt - ¿Vl*=j,<=0 = о}, к =2. (0.11)

Приближенное решение операторного уравнения (0.9) ищется в классе элементов v е V, удовлетворяющих неравенству

V € 7 : ||Su - рИздол < -ь 6, J; > (0.12)

где S > 0 — погрешность в задании g Ç G, величина

отражает состоятельность модели (0.9). Этот класс не пуст при любых g S G, S. > 0, J* >0 и содержит точное решение v° в случае его существования. Построение устойчивых приближенных решений в V рассматривается в главе 2.

Постановка 2. Другая граничная обратная задача Стефана о нахождении неизвестного граничного режима при х = 0 возникает, если дополнительная информация о решении прямой задачи Стефана (0.1)-(0.7) задана в конечный момент времени t =Т:

u\t=T=g(x), 0 <_*</, е|,=г = Ч, (0.13)

где д(х) — известная при х > 0 функция, г] > 0 — известная постоянная, Т > 0 — заданный момент времени. При этом предполагается, что

коэффициенты уравнения (0.1) и условия Стефана (0.6), граничные режимы (0.3), (0.5) при х = 1 ж х = £(/), а также начальные данные (0.4), (0.7) — известные функции своих аргументов.

Некорректность этой обратной задачи, помимо отсутствия точного решения при несогласованном задании входных данных, проявляется в неединственности решения и в его неустойчивости относительно погрешностей функции д. Это демонстрируют примеры, построенные в диссертации.

Соответствующее операторное представление имеет вид

5« = 2, гбг, (0.14)

где 5 : V —* £ — нелинейный оператор, ставящий в соответствие каждому элементу v € V решение {и|(=т>^|1=г} прямой задачи Стефана (0.1)-(0.7) в конечный момент времени < = Т.

Точным решением уравнения (0.14) является такой элемент V0 € V, для которого {и|<=х,£|{=т} совпадает с элементом г € Я, где г = {д,г}}, ^ = (У х Е, д — заданный элемент функционального пространства С, т] — заданное число из множества вещественных чисел Е.

Требования гладкости и согласования входных данных, обеспечивающие возможность определения оператора 5, сформулированы теоремой 1.4.1. В силу этой теоремы точное решение граничной обратной задачи Стефана в постановке 2 {и°(а:,<),£0(<), г>°(<)} принадлежит в случае его существования классам #2+А'1+Л/2(4) * #т/2(0,Г] х #1+Л/2[0,Г]. Тем самым определен выбор множеств У и С в операторном уравнении (0.14): множество V имеет вид (0.10),

(?=Н1)ея2+А[о,1]}. (0.15)

Приближенное решение ищется в классе элементов V € V, удовлетворяющих неравенству

и € V : ||5и - г\\ < /г* + 6, > Гг, (0.16)

где ||5г-г|| = + 6 > 0 — погрешность в задании

риг;, величина

^ = тг 2Ц, о^г^ З;

.отражает состоятельность модели (0.14). Множество (0.16) не пусто при любых г = {д,г]} £ 2, 6 > 0, 7* > 0 и содержит точное решение V0 в случае его существования. Вопросы построения устойчивых приближенных

решений в V", удовлетворяющих неравенству (0.16), исследованы в главе 2.

Постановка 3. Остановимся еще на одной граничной обратной задаче для квазилинейной двухфазной проблемы Стефана (0.1)-(0.7) — по заданной информации (0.13) определить функцию и(х,{) в области = (¿х и <32> Фронт фазового перехода ((£), а также граничный режим и*({) на этом фронте при 0 < t < Т, удовлетворяющие условиям (0.1)-(0.7) и (0.13) в предположении, что коэффициенты в уравнении (0.1) и в условии Стефана (0.6), граничные режимы (0.2), (0.3) при х = 0 и х — I, а также начальные данные (0.4), (0.7) являются известными функциями своих аргументов. Операторное представление такой обратной задачи Стефана имеет вид

= и* еЫ, г ег, (0.17)

в котором Э :Ы 2 — нелинейный оператор, сопоставляющий каждому элементу и* € Ы решение {«|(=т,С|(=г} прямой задачи Стефана (0.1)-(0.7) в конечный момент времени ( = Т. Точное решение уравнения (0.17) и*0 £ и, определяемое по аналогии с постановкой 2, может отсутствовать. В случае существования оно не обладает свойствами устойчивости и однозначности, что подтверждают примеры 1.3.4, 1.3.5, построенные в диссертации.

Соответствующие требования гладкости и согласования входных данных (обобщение теоремы 1/3.3 для двухфазной проблемы Стефана) обеспечивают возможность определения оператора 5 для любого и* из множества Ы, которое выбирается в виде

и = {«'(<) € И?[0, Г], с(х, 0, ^К - М«=ы=о = 0},

и С Я1+Л/2[0,Т].

Множество имеет вид ^ = <7 X Е (как и в постановке 2), где С определено в (0.15).

Приближенное решение уравнения (0.17) ищется в классе элементов и* € удовлетворяющих неравенству

и* € К : ||5и* - г|| < Гг + 6, 3*г > Гг, (0.18)

где ||5и*-г|| = ||и|<=т-д|иг[о,,)+|С|4=г-'?|, <5 > 0 — погрешность в задаавд д и 7, величина

отражает состоятельность модели (0.17). Очевидно, что в случае существования точного решения и*а € Ы оно принадлежит множеству (0.18), которое не пусто при любых г = {д,т]} £ Z, 8 > 0, 3* > 0. Вариационный метод нахождения в Ы устойчивых приближенных решений, удовлетворяющих ограничениям (0.18), рассмотрен в главе 2.

В главе 1 исследованы также и другие постановки граничных и коэффициентных обратных задач для однофазных и многофазных вариантов квазилинейной проблемы Стефана и обоснованы их операторные представления в зависимости от искомой функции и от способа задания дополнительной информации. Часть из этих обратных задач для двухфазного варианта являются обобщением соответствующих обратных задач для однофазной проблемы Стефана (например, рассмотренные выше постановки 2, 3). Другие обратные задачи Стефана (в частности, постановка 1) не могут быть обобщением однофазного случая.

В главе 2 предложен и обоснован регуляризирующий вариационный метод для приближенного решения обратных задач Стефана.

В § 2.1 дано обоснование приближенного решения обратных задач Стефана различных типов на основе метода квазирешений В.К. Иванова [15, 16]. Введено понятие обобщенного квазирешения в случае отсутствия точного решения, что может иметь место при проектировании граничных режимов.

В § 2.2 установлена устойчивость квазирешений и обобщенных квазирешений в классах Гельдера относительно погрешностей всех входных данных обратных задач Стефана. Полученные результаты позволяют сделать вывод, что предложенный метод приближенного решения является регуляризирующим не только при приближенном задании правой части операторного уравнения в соответствующем операторном представлении обратной задачи Стефана, но также при приближенном задании самого оператора и множества допустимых искомых функций.

В § 2.3 доказана дифференцируемость функционалов в вариационных постановках обратных задач Стефана, лежащих в основе метода квазирешений. Получено явное представление для дифференциалов через решение соответствующих сопряженных задач. Ранее эта проблема была решена только для некоторых типов обратных задач Стефана для простейшего уравнения теплопроводности (А.Д. Юрий [30], Р. ДосЬит [40]), в то Бремя как для краевых задач без фазовых переходов такие способь: выоажения градиентов широко известны (см., например, Ф.П: Васильег

И).

Перейдем к более подробному рассмотрению результатов главы 2, излагая суть предложенного метода приближенного решения обратных зада*

Стефана на примере операторного уравнения (0.9).

Метод основан на том, что решение операторного уравнения (0.9) эквивалентно минимизации в У функционала:

ini/,(»), J,{v) = l|S«-9lk[0,n, (0-19)

где У — множество, определенное в (0.10). Для регуляризации этой некорректной вариационной задачи в § 2.1 главы 2 применяется метод квазирешений В.К. Иванова [15] на системе расширяющихся компактных в Я1+А/2[0,Т] (0 < А < 1) множеств Уд, где

Vr = {v € V, IMIk^o.t] <R), R= const > 0.

Квазирешение уравнения (0.9) на Vr определено как множество

= Ы 6 Уд, Jg(vя) = mf Jg(v)}. (0.20)

Корректность задачи минимизации функционала Jg(v) на Уд при любом фиксированном R > 0 и.возможность построения квазирешения Уд (непустота Уд) устанавливает теорема 2.1.1. Ее справедливость вытекает из теоремы Вейерштрасса в силу компактности в Я1+Л/,2[0,Т] (0 < Л < 1) множества Уд и следующего свойства функционала Jg(v).

Теорема 2.1.7 Пусть выполнены условия теоремы l.J.l. Тогда функционал Jg(v) непрерывен в Н1+^2[0,Т] (0 < А < 1) на множестве Vr и слабо непрерывен в Wj[0, Т] на множествах Vr и V.

Обоснование метода квазирешений проведено сначала в предположении существования точного решения G У операторного уравнения (0.9) при данной правой части д. Такое предположение, естественное для обратных задач восстановления граничных режимов, означает, что д € SV, где 5У С G — образ множества У в G. Тогда в случае принадлежности v° некоторому компакту Vjt квазирешение на этом компакте состоит из единственного элемента v° в силу единственности точного решения обратной задачи Стефана в постановке 1 (теорема 1.4.2). Таким образом исходная задача сведена к вариационной задаче inf„6y_ Jg(v), для которой выполнены все условия корректности в смысле А.Н. Тихонова.

Если же v° ^ V-ji, то любой элемент из множества квазирешений Уд (R<R< R° = ||u° Hwijo,п) сходится в 1У|[0, Г] к v° при R Это утверждение формулирует теорема 2.1.8, используя понятие а-сходимости множеств.

Теорема 2.1.8 Пусть выполнены условия теорем 1.4-1, 1-1-2 и, кроме того, при (x,t,u) € Dk (k = 1, 2) производные по х и и коэффициентов ах' au> ck, dk, jk, 7, х удовлетворяют условию Гелъдера по х, t, и с показателями Л/2, Л соответственно, 0 < Л < 1, производные (к=2) и eut равномерно ограничены.'

Тогда квазирешение Vr, определенное для любого R, О < R < R° = iK'^ftvv,2[o7], а-сходится к точному решению v° уравнения (0.9) при R —>

V*r^v*{W*\Q,T)). . (0.21)

При этом для R —> R°

Щ А (#2+л-1+л/2(<?*)), k = 1,2, (0.22)

А£°(Я1+а/2(0,Т]), (0.23)

г<?е {{/¿,Ед} — множество решений {и(х, i),£(i)} прямой задачи Стефана (0.1)-(0.7), соответствующее множеству Vr граничных функциЬ vR.{t)> ч.:<)} — точное решение в классах Гелъдера обратной задачи

Стефана в постановке 1.

Доказательство утверждений (0.22), (0.23) следует из (0.21), теорем вложения и из оценок устойчивости в классах Гельдера прямой задачи Стефана (0.1)-(0.7):

|Д4:А'1+Л/2 < А'2|Д^/2, к= 1,2,

КЬК3 = const > 0, (0.24]

вытекающих из оценок теоремы 4.4.4 главы 4 при Ли = ur — и°, А£ =

— и Av = vr — v°, где vr — произвольный элемент из Vr.

Как следствие теоремы 2.1.8 любой элемент из множества квазире шений vr е Уд и соответствующее ему решение прямой задачи Стефа на (0.1)-(0.7) являются приближениями в соответствующих классах Гель дера к точному решению {it°,£°,v0} обратной задачи Стефана (постанов ка 1) в случае его существования.

Заметим, что в случае неединственности точного решения (например, i постановке 2) квазирешение Vr при R > й° = inf„o6i/o ||"0||w2[o,:r] совпадав' с пересечением компакта Vr с множеством точных решений

v° = iv°ev, j,(v°) = Mjg(v) = o}

и обратная задача Стефана в постановке 2 сводится к вариационной задаче, корректной в силу аналога теоремы 2.1.1. •

Если же 0 < Я < 72°, т.е. Ун П К0 = 0, то любой элемент «я € Ун схо~ дится в [0) Т] к какому-либо элементу из множества точных решений с минимальной нормой. Это утверждение, используя понятие /3-сходимости множеств, формулирует теорема 2.1.10:

У^^У^^^Т}), при Я —*

где

= 11^11^0,7!= Я0}.

При этом для Я -ч

. Л (Н1+А/,2(0, Т]),

где {С/д, Ед} и {Ущщ,^} — множества решений прямой задачи Стефана (0.1)-(0.7), получаемые прй пробеганни элементами г'д, соответственно множеств Уд и

В § 2.1 главы 2 дано также обоснование приближенного решения обратных задач Стефана различных типов в общем случае, без предположения существования точного решения (что естественно в обратных задачах проектирования и управления). Приведем некоторые основные результаты для постановки 1.

Следуя В.К. Иванову [16] вводится понятие обобщенного квазирешения операторного уравнения (0.9) на компакте Уд

Уья(д) = {и е Ун, 1-9{у) < 26}, (0.25)

использующее лишь информацию о величинах д, 6, Ц, где д € <3 — при-элиженное значение правой части уравнения (0.9), заданное с точностью 5 > 0, \\д - з||£г[о,т] < <5> и где

Ц=[пи~д{ь), 0</|<<5 \fgeG,

— мера состоятельности модели (0.9) (заметим, что определение обобщенного квазирешения в [16] включает в себя только случай = 0). Доказа-зо (аналог теоремы 2.1.4 для двухфазного случая), что обобщенное квази-эешение Уен{д) обладает /3-устойчивостью в классе Гельдера Я1+А/12[0, Т] з силу теоремы 2.1.7 о непрерывности на Уц функционала .7$ (и) и в силу

теоремы В.К. Иванова [16]. Аналог теоремы 2.1.5 для двухфазного случая устанавливает, что в случае существования при 6 = 0 точного решения V0 любой элемент из множества Ущ(д) при Я > = И^Ии^о.г] сходится к V0 при 6 —» 0, т.е.,

ад) - (Я1+Л'2[0, г]) при 5-0.

Таким образом, любой элемент обобщенного квазирешения Ущ(д) является регуляризованным приближенным решением в смысле А.Н. Тихонова.

Как следствие этих утверждений, а также оценок устойчивости (0.24) построение приближенных решений обратной задачи Стефана в постановке 1, устойчивых в выбранных классах Гельдера, сводится в общем случае к нахождению того или иного элемента из множества граничных функций Ут(д) и соответствующего ему решения прямой задачи Стефана (0.1)-(0.7). При этом возможность определения обобщенного квазирешения 1не связана с предположением существования точного решения.

В качестве приближенных решений из в § 2.1 главы 2 рассма-

тривается квазирешение

УбЯ = Ык е Ун, 1д(УбН) = Ы Jg{v)},

v£Vn

при построении которого величина <5 может быть неизвестна, достаточно лишь выполнения'условия 6 > ^{и), обеспечивающего непустоту

обобщенного квазирешения Ущ{д)-

Кроме того, в § 2.1 рассмотрены также элементы множества обладающие минимальной в \У\[0, Т] нормой. Для нахождения таких элементов используется метод квазирешений на системе расширяющихся компактов Уд (теорема 2.1.9 для обратной задачи в постановке 1).

В § 2.1 главы 2 дано также обоснование регуляризирующих свойств предложенного метода в случае неединственности точного решения обратной задачи Стефана. В частности, для граничной обратной задачи в постановке 2 соответствующие утверждения о /3-устойчивости обобщенного квазирешения устанавливаются в теоремах 2.1.11, 2.1.12. Как доказано в теореме 2.1.12, если при правой части г £ 7 множество V0 точных решений операторного уравнения (0.14) не пусто, то для любого фиксированного Л > = ¿а^о-^о ||«0||и7[0,Т| имеет место /3-сходимость

У,а(г) ^ Кд П V0 (Я1+А'2[0,Т]) при <5 - 0,

где У{ц(г) — обобщенное квазирешение операторного уравнения (0.14) на компакте Уц, /? > /?0,

^д(г) = {V е уЯ1 зд < 25},

где г = {д,т}} € 2 — приближенная правая часть уравнения (0.14), заданная с точностью 6 > 0: - д\\ь2[од + \п - 7| < 2 = {9, '7} £ .

В силу этой теоремы любой элемент множества Ти^д(г) сходится при 5 —► 0 к одному из точных решений уравнения (0.14) на компакте Уд.

Как следствие теорем 2.1.11, 2.1.12 и оценок устойчивости (0.24) метод приближенного решения граничной обратной задачи Стефана в постановке 2, состоящий в нахождении любого элемента из множества обобщенного квазирешения и соответствующего ему решения прямой задачи Стефана (0.1)-(0.7), является регуляризирующим.

Завершается § 2.1 построением регуляризированных приближенных решений для коэффициентных обратных задач Стефана. В основе доказательства сходимости предложенного вариационного метода лежат результаты о /3-устойчивости квазирешений и обобщениях квазирешений (теоремы 2.1.15, 2.1.16 и 2.1.17), а также соответствующие оценки устойчивости в классах Гельдера прямой задачи Стефана (теорема 4.4.4 главы

4).

Перейдем к изложению результатов § 2.2 главы 2. Основная цель этого исследования — вопрос устойчивости предложенного метода не только при приближенном задании правой части операторного уравнения в соответствующем операторном представлении обратной задачи Стефана, но также при приближенном задании самого оператора и множества допустимых искомых функций. Важность этого вопроса связана с тем, что все входные данные обратной задачи Стефана могут быть известны с некоторыми погрешностями.

Обратимся в качестве примера к граничной обратной задаче Стефана в постановке 1.

Пусть функции Ъ\, 4, 4, /л\ 7Л, Хк, и%, еА, рн, <Ри, Лок, 96 (к = 1, 2) — достаточно гладкие приближения входных данных.

Вариационная задача при приближенных входных данных, соответствующая задаче (0.19), имеет вид

= 115л«л -9«1иг[о,г], (0.26)

где

Уня = К € №¡[0,7], <%(х,0,<рн)ум - |*=0,(=0 = 0, 1Ык2По,т] < Я, к = 1},

5/, — нелинейный оператор, ставящий в соответствие каждому элементу Щ € след решения щ\х=1 прямой задачи Стефана с приближенно заданными входными данными.

, При определенных предположениях относительно приближенных входных данных, которые сформулированы в лемме 2.2.5, установлена близость компактов Уьп и Уд при А —+ 0:

Л Ул (^[0,Т])

для любого фиксированного Я > 0 (теорема 2.2.8). Близость соответствующих им множеств ЭУц и й'дУдя следов и|1=), ии\х=1 решений прямых задач Стефана с точными и приближенными входными данными, получаемых при пробегании элементами V и и/, соответственно множеств Уд и У^л, установлена теоремой 2.2.9:

й,УЛД А 5УД (Я1+А/2[0,Г]) при к 0.

При этом существенным моментом доказательства является устойчивость в классах Гельдера прямой задачи Стефана (0.1)-(0.7), установленная в теореме 4.4.4 главы 4.

На основе леммы 2.2.5 и утверждений теорем 2.2.8, 2.2.9 для квазирешения УДд, определяемого в § 2.2 как (ср. с (0.20))

Ъ\я - {щня € = Ы ^„(ь'н)},

иьеУь д

доказана его а-сходимость к точному решению при (/г, 6) —+ 0:

(Я1+А^2[0,Т])

при любом Я > Л° = Ц'/'Ци^о.п (теорема 2.2.10). В этой же теореме установлено, что при (/г,<5) -+ 0

Щке - 2(С?*)), к = 1,2,

где Н|ля} — множество решений прямой задачи Стефана с приближенными входными данными, соответствующее множеству У6*ЛД граничных функций, {и°,£°,г>0} — точное решение обратной задачи Стефана.

Как'следствие теоремы 2.2.10, а также теоремы 2.2.11 о /3-устойчивости квазирешения У6\К за компакте Удд при 0 < Л < Л°, любой элемент квазирешения УДК и соответствующее ему решение прямой задачи Стефана

являются устойчивыми приближениями к точному решению г)0}

обратной задачи Стефана.

Обобщенное квазирешение для операторного уравнения (0.9) с приближенным заданием 5/,, Уня и дь (без предположения существования точного решения) определено в § 2.2 как множество (ср. с (0.25))

Убня{д$) = {ш е < 26},

где ^¡{ун) — функционал вида (0.26).

Соответствующие утверждения о /^-устойчивости обобщенного квазирешения в классе Гельдера Н 1+А/!2[0, Т] устанавливает теорема 2.2,12.

Аналогом теоремы 2.2.10 для обобщенного квазирешения явля-

ется теорема 2.2.13, в которой доказана а-сходимость к точному

решению операторного уравнения (0.9) в случае существования и0 6 У при точных входных данных (т.е. при /г = 0, 6 = 0):

при Л —> 0, 6 —> 0, дь —♦ д (^[О,/]) и при любом Я > Я? = ||г>°||ц^[о,:г1-

Доказательство опирается на утверждения леммы 2.2.5, теорем 2.2.8 и 2.2.9, а также теоремы 2.1.7 о непрерывности функционала ви-

да (0.26) и теоремы 1.4.2 о единственности точного решения и0 в случае его существования.

Далее в § 2.2 исследуются регуляризирующие свойства приближенного метода решения граничных и коэффициентных обратных задач Стефана в случае неединственности точного решения.

Приведем в качестве примера результаты, полученные для граничной обратной задачи в постановке 2, рассматривая ее операторное представление (0.14) при приближенном задании 5, V" и правой части г. Соответствующая вариационная задача принимает вид

Ы JZi{v,X

ВД>€У»н

= \iSkVH - 2б\\ыод*Е = 1К1«=Т - 911кг[0,/] + 161 !=т - (0.27)

II2 - ¿(¡кмхв - ь ~ 9ь\\но,П +1V- П(I <

где г = {д, г/} е Ч = {дь, г]6} £ 2?, Уля — компакт, определенный в (0.26), 5л — нелинейный оператор, ставящий в соответствие каждому, элементу ил € Ун я решение в конечный момент времени {ил|(=т>£л|/=:г} прямой задачи Стефана (0.1)-(0.7) с приближенными входными данными.

Близость компактов Уд и V/,/; следует из леммы 2.2.5 и теоремы 2.2.8. Близость соответствующих им множеств решений прямых задач Стефана ЗУл и Я/Укп устанавливает теорема 2.2.14 на основе устойчивости в классах Гельдера Я2+л,1+А^2(<Э]ь) х Н1+х^2(0,Т] решения прямой двухфазной задачи Стефана (0.1)-(0.7) (теорема 4.4.4 главы 4).

Утверждения леммы 2.2.5, теорем 2.2.8, 2.2.14, а также леммы 2.2.7 о /^-устойчивости метрических проекций элементов г и на БУц и в метрике Хг[0,1} х Е позволяют доказать устойчивость приближенных решений уравнения (0.14) при задании 5/,, Удя, В частности, для обобщенного квазирешения уравнения (0.14) на компакте У/,д, которое определяется при заданных гь, 6 как множество

0 = {^л € Уля, < 26>,

где Л((ил) — функционал вида (0.27),. установлен следующий результат (теорема 2.2.17) в предположении, что при точных входных данных (т.е. при к = 0, 6 = 0) множество У0 точных решений уравнения (0.14) не пусто:

^М*,) ЛУ°ПУЯ(Я1+А/2[0,Г]) при /г —> 0, <5 —> 0, <м —» <7 (¿г[0, Т]) и гц —* г] для любого Д > =

При завершении § 2.2 отмечается, что если приближенные входные данные обратных задач Стефана различных типов представляют собой функции из ¿2; то для построения квазирешений и обобщенных квазирешений в рассматриваемых классах Гельдера необходимо провести предварительное сглаживание входных данных (например, с помощью сглаживающих сплайнов) и их согласование. Это позволяет обеспечить разрешимость и устойчивость в классах Гельдера соответствующей прямой задачи Стефана, определяющей оператор 5.

При практическом применении предложенного регуляризирующего метода вариационного типа одним из основных моментов является построение эффективной процедуры расчета градиента минимизируемого функционала, позволяющей использовать численные методы минимизации. В связи с этим в § 2.3 главы 2 исследованы условия дифференцируемо-сти функционалов в вариационных постановках основных типов обратных задач Стефана, рассмотренных в главе 1, а также предложены способы представления дифференциалов, удобные для эффективного вычисления градиентов.

Обратимся в качестве примера к функционалу-

= ЦЯи - д\\11М

из вариационной постановки граничной обратной задачи в постановке 1. Основной результат устанавливает

Теорема 2.3.2 Пусть входные данные граничной обратной задачи Стефана удовлетворяют условиям теорем 1.4-1 и 2.1.8 и пусть, кроме того, функция Ък(х, t, и) имеет непрерывную в (к = 2) производную по t, производные ск(х, -и у^х^, и) удовлетворяют условию Гельде-ра по х, и с показателями X, Л/2, Л соответственно, функция д(<) принадлежит С'[0,Т], с!1 = ёк(х,Ь) (к = 1, 2), е =

Тогда функционал «79(у) = 5||£2[о,т] дифференцируем в смысле Фре-ше в каждой точке V € V и его дифференциал в точке V V можно представить в виде

(М3{у) = 1\к(х,г,и)г{>1:(х,1)\х=^{г){Ц, Ди€У, к = 1, (0.28) где {ф(х, <),1?(<)} — решение сопряженной задачи

ск(х, <, и)фг + (аь(а;г<, и)фг)г + (Ьк(х, t, и) - а*(з;, и)их)фх

+ {Ък{х, г, и) + <*(х, *, и) - ёк(х,«) + /к(х, и))ф = 0,

0 < х < №), £(() <х<1, О < г < Т, к = 1,2, (0.29)

^|1=0=О, 0<t<T, (0.30)

= Щ, О < * < Т, (0.31) а*(г, <, и)фх + (Ък(х, *,и) + е(0)^|«=| = 2(и|1=, - д(<)),

0 < < < Т, к = 2, (0.32)

ф\1=т = 0, 0 < х <1, (0.33)

7(2, + «) + ~t, и) + 7«(*>«)"»)

+ и и) + Хи(х, и)и,}|1=№) + [(а*(х, г, и)«*)*]^) - [(&*(*, И) - ск(х, г, и)6)«.]«е(1)}»(<) - [а*(:г, и)фхих\х=т = 0, 0 < I < Т,

(0.34)

4=г = 0, (0.35)

и где {и(£, <),£(<)} — решение прямой задачи Стефана (ОЛ)-(ОЛ), соответствующее граничной функции 6 V.

Основными моментами доказательства этой теоремы являются лемма 2.3.1 об однозначной разрешимости в классах Гельдера сопряженной задачи (0.29)-(0.35), а также оценки устойчивости (0.24), из которых в силу теорем вложения следует, что

|д«С1+А/2 < ^Мед72 ^ ^1|д«1к[о.л, * = i,2,

|Л£|[о$2 < Л'з max |Ди| < K4\\&v\\wim, Ki - const >0, i = 17?,

где {и + Ди,£ + Д£} — решение прямой задачи Стефана (0.1)-(0.7), соответствующее граничной функции v + Av из множества V вида (0.10). Это позволяет показать, что приращение функционала Jg(v) относительно приращения Av можно привести к виду

Д7,(и) = dJt(v) + o(Av, v),

где dJg(v) — главная линейная часть приращения, являющаяся линейным функционалом в W|[0,T] относительно Дг; (см. (0.28)), и где

|о(Ди, и)|/||Ai;||^[0i71 0 при ||Дг||и?[0,71 ->■ 0.

Аналогичным образом в § 2.3 проводится доказательство дифференци-руемости функционалов в вариационных постановках других обратных задач Стефана. Явные представления дифференциалов для каждой из постановок установлены в теоремах 2.3.1-2.3.4, в которых конкретизируется вид минимизируемого функционала и рассматриваются соответствующие данной обратной задаче начальные и граничные условия для уравнений (0.29), (0.34). В случае однофазной проблемы в уравнение (0.34) вместо скачков функций на фронте фазового перехода х = £(£) войдут значения этих функций при х = £(t).

Для некоторых типов обратных задач Стефана (замечания 2.3.3 и 2.3.8) соотношения для функции ¡?(f) (см. уравнение (0.34)) позволяют найти эту функцию в явном виде. Тогда решение сопряженной задачи может быть сведено к решению некоторой задачи дифракции с условиями сопряжения при х ~ £(t):

[0W) = °> = 0, 0 < i < Г,

и с дополнительным требованием V>[i=£(i) = ^(f), 0 < t < Т, где 19(t) — известная функция.

Глава 3 посвящена разработке численных алгоритмов, реализующих предложенный метод приближенного решения обратных задач Стефана.

Численное решение таких задач вызывает, как правило, затруднения по нескольким причинам. Во-первых, обратные задачи Стефана нелинейны даже в случае линейного параболического уравнения из-за неизвестной подвижной границы фазового перехода. Во-вторых, они неустойчивы при численном решении. В третьих, для этого класса некорректных обратных задач, как уже отмечалось выше, не были разработаны экономичные способы численного определения градиентов соответствующих функционалов, что приводило к большим затратам компьютерного времени. Поэтому проблема создания эффективных алгоритмов для обратных задач Стефана весьма актуальна. Она тесно связана с современными тенденциями в развитии рёгуляризирующих алгоритмов наиболее полно использовать априорную информацию о решении (см., например, работы А.Н. Тихонова, A.B. Гончарского, А.Г. Яголы, В.В. Степанова [11, 27, 28, 47], В.В. Васина,. A.JI. Агеева [10], В.А. Морозова, А.И. Гребенникова [23], Н.Л. Гольдман [53, 60, 62, 70, 68]).

При построении таких алгоритмов в главе 3 основное внимание уделено алгоритмам дескриптивной регуляризации. Термин "дескриптивная регуляризация" был введен в работе В.А. Морозова, Н.Л. Гольдман, М.К. Самарина [22] для обозначения алгоритмов решения некорректных задач, использующих стабилизирующие свойства ограничений качественного характера, наложенных на решение. Построение таких алгоритмов для вариационного метода квазирещений главы 2 основано на априорной информации о качественном поведении искомого решения (участки знакоопределенности, монотонности, выпуклости и т.п.), которую этот метод позволяет учитывать при задании множества допустимых искомых функций.

В § 3.1 приведены общие принципы численного решения обратных задач Стефана различных типов на основе йдей дескриптивной регуляризации. При построении алгоритмов в качестве численного метода минимизации функционалов невязки используется итерационный метод проекции сопряженных градиентов, который не только позволяет учитывать стабилизирующие ограничения на множество допустимых искомых функций, но и сам, как установлено С.Ф. Гилязовым [70], обладает регуляризиру-ющими свойствами. Кроме того, регуляризирующий эффект для ограничений типа монотонности и выпуклости достигается при незначительном числе итераций, что связано с поведением этого метода на аффинных множествах [70].

Существенная экономия вычислительных затрат достигается также за

счет эффективных процедур расчета градиентов минимизируемых функционалов с помощью техники, развитой в § 2.3, которая позволяет избежать многократного численного решения прямой задачи Стефана. На основе результатов § 2.3 определение градиента на каждом шаге итерационного процесса минимизации состоит из трех последовательных этапов, включающих в себя численное решение разностной прямой задачи Стефана и соответствующей сопряженной задачи, а также вычисление компонент градиента по явной формуле. Объем вычислительных операций определяется лишь эффективностью алгоритмов для численного решения прямой задачи Стефана и сопряженной задачи. Такие алгоритмы строятся далее в § 3.2-3.4 для различных типов задач Стефана на основе метода выпрямления фронта [5, 7] и вариационно-разностного метода [25]. Они достаточно универсальны и удобны при программной реализации. Проектирование на множества кусочно-монотонных и кусочно-выпуклых функций в методе проекции сопряженных градиентов осуществляется алгоритмами, учитывающими специфику качественных ограничений на искомые решения.

В § 3.2-3.4 эффективность предложенных алгоритмов дескриптивной регуляризации и их устойчивость к погрешностям входных данных подтверждается результатами численных экспериментов. Достоинством алгоритмов дескриптивной регуляризации, обеспечивающих достаточно высокие точность и качество приближенных решений при незначительных затратах вычислительных ресурсов, является их универсальность в широком классе обратных задач Стефана. Вычислительные схемы, представленные в § 3.2-3.4 для определения граничных функций и коэффициентов в однофазных и многофазных задачах Стефана, реализованы с помощью одного и того же программного обеспечения. Проведен анализ влияния априорной информации о качественном характере искомых функций на точность восстановления решения и на воспроизведение его качественной структуры по сравнению с таким же влиянием традиционных требований гладкости.

В главе 3 приведены также результаты численных расчетов для важных приложений обратных задач Стефана в нелинейной теплофизике. В частности, предлагаемые алгоритмы использованы для численного определения тепловых режимов для непрерывного литья слитков и для лазерных технологий обработки материалов.

Более подробное изложение рассмотренных прикладных задач начнем с обратной задачи Стефана об определении граничных условий для процесса затвердевания цилиндрического непрерывного слитка (§ 3.2).

Математическая теория кристаллизации непрерывного слитка при за-

;анном граничном режиме (т.е., прямая задача Стефана) развита в ра-5оте А.Н. Тихонова и Е.Г. Швидковского [29]. В соответствии с [29] прочее кристаллизации при некоторых упрощающих предположениях опи-:ывается однофазной задачей Стефана для параболического уравнения типа (0.1), в котором роль переменных (х, t) играют (г; г), u(r, z) — тем-гературное поле, £(z) — фронт кристаллизации:

срвиг = r_1(Arur)r, i{z) < г < га, 0 < z < Ну (0.36)

«|г=гсг = Ф) или -А«г|г=Гсг = д(г), 0 < z <Н, (0.37)

= £(0)<г<гсг, (0.38)

u|r=i(2) = «*, 0 < z < Я, (0.39)

Aur|r=iW = 7р$Ь, 0 < г < Я, (0.40)

С|,=о = Vo, (0.41)

де Л, с, р — теплофизические коэффициенты, <р — температура заливае-юго металла, v или q — граничный режим на охлаждаемой поверхности литка (температура и тепловой поток), и* — температура кристаллизации, 7 — скрытая теплота кристаллизации, гсг — радиус кристаллизато-i&,.0 — скорость движения (вытягивания слитка), Н — длина расчетного частка слитка.

Граничная обратная задача Стефана для непрерывного слитка, воз-икающая при проектировании литейной установки, связала с тем, что раничный режим на поверхности слитка (режим охлаждения v(z) или (г)) является основным реальным средством управления процессом ли-ья для получения слитков высокого качества. Одним из известных кри-ериев высокого качества слитка (без трещин, усадочных раковин и т.н.), вляется наличие глубокой гладкой, лунки. Соответствующая обратная адача об определении граничного режима на поверхности слитка г = гсг, беспечивающего желаемую форму лунки (т.е. фронта кристаллизации (г)), относится к классу граничных обратных задач; Стефана с задан-ым фронтом фазового перехода (§1.2 главы 1).

В § 3.2 главы 3 приведены для примера результаты расчетов гранич-ой температуры на охлаждаемой поверхности непрерывного слитка из [еди. Как отмечалось в [66], случай медного слитка наименее,благопри-тный по сравнению с металлами и сплавами с меньшим коэффициен-ом теплопроводности, так как область применимости одномерной моде-га яитья (0.3б)-(0.41) для меди не превосходит расстояния в 3/4 глубины

лунки. Предлагаемый, алгоритм дескриптивной регуляризации позволяет преодолеть эту трудность, используя дополнительную априорную информацию о монотонном убывании граничных температуры и теплового потока при выходе из кристаллизатора. Эта априорная информация учтена при задании множества допустимых граничных режимов. Полученные приближенные решения вполне удовлетворительны в смысле точности и качества по всей глубине лунки 0 < z < Н в отличие от приближенных решений, найденных без учета такой информации.

Результаты численных расчетов позволяют заключить, что разработанный алгоритм можно эффективно применять для решения граничных обратных задач Стефана в одномерных моделях непрерывного литья- (в том числе для металлов и сплавов с большим коэффициентом теплопроводности), а принципы его построения представляют практический интерес при исследовании широкого круга вопросов, связанных с другими современными технологическими процессами в металлургии (ваккумно-дуговая сварка, сварка плавлением и т.п.).

В § 3.4 главы 3 приведены результаты численного решения коэффициентных обратных задач Стефана, возникающих при исследовании влияния на материалы мощных тепловых потоков, создаваемых лазерным источником энергии.

Различный характер распределения интенсивности тепловых источников требует рассмотрения соответствующей математические модели. Процесс плавления образца под воздействием источника тепла с постоянным или гауссовским распределением интенсивности по радиусу пятна облучения описывается двухфазной задачей Стефана в цилиндрической системе координат (г, t):

с/т( = r_1(Arur)r + f(r,t)l~l,

(г, i) е Qi = {о < г < f(tj,o < t < т},

(г,*) е <?2 = {€(<) < г < Гр|,О < t < Г}, AiUr|r=o = 0, 0 <t<T,

As«r|r=rpl=0, 6<t<T, «|t=o = Vif), 0 < г < гр|, t»|r=e(t) = «*. 0 < t <Т, 7Pl& = [Aur]r=i(i)> о < t < Т, £|f=o = m,

в которой u(r,t) — температурное поле в области ф = Zfi UC^i и —

соответственно жидкая и твердая фазы, разделенные фронтом плавления £(1), на кагором температура равна температуре плавления и*. Каждая из фаз С}к имеет свои теплофизические характеристики Л, с, р (к = 1,2), 7 — скрытая теплота плавления, <р(г) ищ — распределение температуры и положение фронта плавления в начальный момент времени, гР| — радиус пластины, I — ее толщина, удовлетворяющая условию 1 <£ х/4кТ, где к — коэффициент температуропроводности материала, Т — время процесса плавления, /(г, — интенсивность теплового импульса, /(г, = ш(г)р(*), где и>(г) — пространственное распределение интенсивности постоянного или гауссовского типа, р(<) — временное распределение интенсивности.

Параболический характер пространственного распределения интенсивности ш(г) (т.е. увеличивающейся по радиусу шгсна облучения и с провалом в центре пятна) приводит к более сложной математической модели процесса плавления пластины — к многофазной задаче Стефана с двумя фронтами плавления ^(¿) и разделяющими жидкую фазу <?2 = {&(<) < г < &(<)>0 < < < Г}, где и(г,1) > и", и твердые фазы <21 = {0 < г < &(«),0 < г < Т}, Яг = {&(<) < Г < Гр1,0 < < < Г}, где и(г, <) < и*.

Указанные математические модели (прямые задачи Стефала) описывают процесс образования отверстия в образце под воздействием лазерного источника облучения. В связи с проблемой управления этой технологической операцией за счет выбора формы теплового импульса возникают коэффициентные обратные задачи Стефана: для расплавления отверстия заданного радиуса го < гр| к моменту времени ± = Т (при заданном временном распределению! р(1)) найти пространственное распределение интенсивности ш(г), которое обладает требуемыми качественными характеристиками и обеспечивает желаемое протекание процесса плавления пластины, в частности желаемое распределение температуры «(г, {) при t = Т (ы|г=0,<=Г > «*, «|г=го,«=Т = «*)•

Алгоритмы дескриптивной регуляризации, использованные в § 3.4 главы 3 для численного решения таких обратных задач, показали свою эффективность при определении пространственных распределений интенсивности различных типов (равномерного, гауссовского, параболического).

Глава 3 сопровождена большим иллюстративным материалом в виде таблиц и рисунков, часть из которых помещена в Приложение.

Глава 4 посвящена изучению свойств операторных представлений обратных задач Стефана, введенных при рассмотрении этих задач в главе 1. Исследование выделено в отдельную главу, так как оно связано с вопросами корректности постановки в классах Гельдера соответствующих пря-

мых задач. Результаты главы 4 существенно используются в предыдущие главах при выборе функциональных пространств для входных данных i решения обратных задач Стефана, при доказательстве устойчивости ре , гуляризованных приближенных решений, при обосновании эквивалент ности двух постановок граничной обратной задачи для проблемы Стефа на с заданным фазовым фронтом. Однако они имеют и самостоятельно« значение, так как вопросы постановки в различных функциональных про странствах, а также вопросы численного решения прямых задач Стефан; по-прежнему представляют интерес для изучения ряда новых проблем i нелинейной теплофизике и механике сплошной среды (отметим работь П.Н.Вабищевича, И.И. Даншпока, В.И. Дмитриева и E.H. Соловьевой А.Д. Искендерова, A.M. Мейрманова, Н.В. Павлюкевича, Е.В. Радкеви-ча, И.В. Фрязинова, J.R. Cannon, J. Crank, К.-Н. Hoffmann, A. Fasano, М Primicerio, A. Friedman, Е. Magenes, A.K. Pani). Обзор литературы можно найти в [21, 34, 38, 42]. Новой областью приложения задач Стефанг является финансовая математика, в которой моделирование движения финансовых потоков приводит к краевым задачам для параболических уравнений со свободными границами (А.Н. Ширяев).

В § 4.1 сформулированы основные принципы доказательства корректности в классах Гельдера прямых постановок квазилинейных краевых задач в областях с подвижными границами. Рассмотрены дифференциально разностные аналоги этих задач для метода прямых Рота и метода выпрямления фронтов, которые одновременно с доказательством корректности дают и конструктивный способ решения.

В § 4.2 установлены точные априорные оценки в сеточно-непрерывных классах Гельдера для дифференциально-разностного аналога линейного параболического уравнения. Сеточно-непрерывные классы Гельдера Я2+л,1+х^2, введенные в работе Н. J3. Гольдман [50] в связи с рассмотрением дифференциально-разностных краевых задач, представляют собой аналоги непрерывных классов Гельдера для случая дискретных по t и непрерывных по х функций. При выводе оценок в этих классах (теоремы 4.2.1-4.2.3 для однородного уравнения с краевыми условиями первого рода и со смешанными краевыми условиями, теоремы 4.2.4-4.2.9 для неоднородного уравнения) существенно используются асимптотические свойства модифицированных функций Бесселя (так называемых функций Макдональда). Полученные в § 4.2 оценки аналогичны известным оценкам К. Чилиберто [35] для линейных параболических уравнений.

В § '4.3 на основе этих априорных оценок получены с помощью принципа Лерэ-Шаудера необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости в сеточно-непрерывных классах Гельдера дифференциально-

разностных аналогов квазилинейных краевых задач в областях с заданными подвижными границами. Установленные в теоремах 4.3.3, 4.3.4 оценки в д2+*>1+Л/2 не зависят от шага сетки, неулучшаемы в рассматриваемых классах и аналогичны известным точным априорным оценкам для решений квазилинейных параболических уравнений. Тем самым они позволяют использовать метод Ротэ для доказательства окончательных результатов, по классической разрешимости краевых задач, снимая дополнительные ограничения, связанные с применением метода Ротэ в работах O.A. Ладыженской.

В § 4.4 установлены точные дифференциальные зависимости в классах Гельдера между входными данными и решением прямой квазилинейной задачи Стефана общего вида, а также доказаны теоремы единственности и устойчивости в этих классах. Обоснование сходимости используемого при этом метода прямых с выпрямлениемя фронтов, а также оценка его погрешности основаны на полученных в § 4.3 точных оценках в 2+а,1+л/2 для решений квазилинейных дифференциально-разностных краевых задач. Это позволяет установить результаты по классической разрешимости квазилинейной проблемы Стефана при таких требованиях гладкости входных данных, которые не могут быть ослаблены в рассматриваемых классах Гельдера {u(ar, t), t(t)} € H2^1+x/\Qk) x Я1+А/2(0, Т]. Они аналогичны результатам, полученным O.A. Ладыженской и др. в [17] для квазилинейных краевых задач в областях с фиксированными границами. Тем самым результаты § 4.4 уточняют известные условия классической разрешимости прямых квазилинейных задач Стефана, установленные ранее в работах Б.М. Будака, Ф.П. Васильева и А.Б. Успенского, В.Г.Меламеда и др. В частности, подход к построению классического решения в теореме 4.4.1 (предложенный в работе [6], см. также [62, 68]) дает возможность рассматривать квазилинейные задачи Стефана более общего вида по сравнению с результатами работы-A.M. Мейрманова (теорема 6, § 5 главы II, [21]).

Это позволяет использовать результаты теорем 4.4.1, 4.4.2 о существовании и единственности решения прямой квазилинейной задачи Стефана общего вида, а также результаты теорем 4.4.4, 4.4.5 об его устойчивости при обосновании операторных представлений обратных задач Стефана различных типов в главе 1 и при доказательстве регуляризйрукяцих свойств приближенного метода в главе 2.

В заключение автор с чувством глубокой благодарности вспоминает Б.М. Будака, под научным руководством которого автор начинала свое исследование обратных задач Стефана.

Слисок литературы

[1] Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1979.

[2] Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988.

[3] Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч., мл. Некоторые обратные задачи теплопроводности. М.: Мир, 1989.

[4] Будак Б.М., Васильева В.Н. О решении обратной задачи Стефана // ДАН СССР. 1972. Т. 204, N 6. С. 1292-1295; ЖВМиМФ. 1972. Т. 12, N 3. С. 828-829.

[5] Будак Б.М., Гольдман Н.Л., Успенский А.Б. Разностные схемы с выпрямлением фронтов для решения многофронтовых задач типа Стефана // ДАН СССР. 1966. Т. 167, N 4. С. 735-738.

[6] Будак Б.М., Гольдман Н.Л., Успенский А.Б. Метод прямых с выпрямлением фронтов для решения задач типа Стефана с несогласованными начальными и граничными условиями //Решения задач типа Стефана, вып.2. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1972. С. 3-23.

[7J Будак Б.М., Успенский А.Б. Разностный метод с выпрямлением фронтов для решения задач типа Стефана ЖВМиМФ. 1969. Т. 9, N 6. С. 1299-1315.

[8] Васильев Ф.П. О существовании решения одной оптимальной задачи Стефана // Вычислительные методы и программирование, вып. 12. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1969. С.110-114.

[9] Васильев Ф.П. Численные .методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

[10] Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Урал, изд-во "Наука'', 1993.

[11] Гончарский A.B., Ягола А.Г. О равно-иерном приближении монотонного решения некорректных задач // ДАН СССР. 1969. Т. 184, N 4. С. 771-773.

¡12] Данилюк И.И., Миненко A.C. Об одной оптимизационной задаче со свободной границей // ДАН УССР. 1976. N 5. С. 389-392.

[13] Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1995.

[14] Дмитриев В.И., Соловьева E.H. Метод численного исследования многофроитовой задачи Стефапа с переменной критической температурой // Вестн.МГУ, серия 15. Вычисл.мат. и кибер., 1985. С. 25-30.

[15] Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Математический сборник. 1963. Т. 61, N2. С. 211-223.

[16] Иванов B.K. О решении операторных уравнений, не удовлетворяющих условиям корректности U Труды МИ АН СССР. 1971. Т. 112. С. 232-240.

[17] Ладыженская O.A., Солошшков В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

[18] Ландис Е.М. О единственности решения задачи Kouiu для параболического уравнения // ДАН СССР. 1952. Т. 83. N 3. С. 345-348.

[19] Ландис Е.М. Некоторые вопросы качественной теории эллиптических и параболических уравнений // УМН. 1959. Т. 14. N 1. С. 21-85.

[20] Лаггес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970.

[21] Мейрманов A.M. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986.

[22] Морозов В.А., Гольдмал Н.Л., Самарин М.К. Метод дескриптивной регуляризации и качество приближенных решений // ИФЖ. 1977. Г. 33, N 6. С. 1117-1124.

[23] Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач. Алгоритмический аспект. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1992.

[24] Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. Рига: Звайгзне, 1967.

[25] Соловьева E.H., Успенский A.B. Схемы сквозного счета для численного решения краевых задач с неизвестными границами для одномерных уравнений параболического типа // Методы решения краевых и обратных задач теплопроводности. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1975. С. 3-23.

[26] Тихонов А.Н. Теорема единственности для уравнения теплопроводности // Мате-• матический сборник. 1935. N 2. С. 199-216.

[27] Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наук», 1983.

[28] Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.

[29] Тихонов А.Н., Швидковский Е.Г. К теории непрерывного слитка // ЖТФ. 1947. Т. 17, N 2. С. 161-176.

[30] Юрий'А.Д. Об одной оптимальной задаче типа Стефана // ДАН СССР. 1980. Т. 251, N 6.С. 1317-1321.

[31] Alífanov О.М. Inverse Heat Transfer Problems. Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 1994.

[32] Bell. J.B. The Non-characteristic Cauchy Problem for a Class of Equations with Time Dependence // SIAM J. Math. Anal. 1981. V. 12. P. 759-777.

[33] Cannon J.It. A Cauchy Problem for the Heat Equation Ц Ann. Math. Pura Appl. 1964. V. 66. P. 155-166.

[34] Cannon J.R. The One-dimensional Heat Equation. Menlo-Park: Addison Wesley, 1984.

[35] Ciliberto C. Formule ¿i maggiorazione e teoremi di esistenza per soluzioni delle equazione paraboliche in due varabilt // Ricerche Mat. 1954. V. 3. P. 40-75.

[36] Engl H.W., Langthaler T., Manselli P. On an Inverse Problem for a Nonlinear Heat Equation Connected with a Continuous Casting of Steel // Linz: Institutsbericht, J. Kepler Universität Linz. B. 39, 1986.

[37] Ewing R.E. The Cauchy Problem for a Linear Parabolic Equation //J. Math. Anal. Appl. 1979. V. 71. P. 167-186.

[38] Friedman A. Variational Principles and Free Boundary Problems. New York: John Wiley, 1982.

[39] Hoffmann K.-H., Jiang L. Optimal Control of a Phase Field Model for Solidification // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. 1992. V. 13. P. 11-27.

[40] Jochum P. Differentiate Dependence upon the Data in the One-Phase Stefan Problem // Math. Meth. Appl. Sei. 1980. V. 2. P. 73-90.

[41] Knabner P. Stability Theorems for General Free Boundary Problem of the Stefan Type and Applications // Meth. Verf. Math. Phys. 1983. V. 25. P. 95-116.

[42] Pavlyukevich N.V., Gorelik G.E., Levdansky V.V., Leitsina V.G., Rudin G.I. Physical Kinetics and Transfer Processes in Phase Transitions. New York, Begell House, Inc, 1995.

[43] Payne L.E. Improperly Posed Problems in Partial Differential Equations. Philadelphia: SIAM Publication, 1975.

[44] Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. New York, Basel: Marcel Dekker, Inc, 1999.

[45] Pucci C. Sui problemi Cauchy non uben posti" // Atti Acad. Naz. Lincei. 1955. V. 18. P. 473-477.

[46] Sherman B. General One-Phase Stefan Problems and Free Boundary Problems for the Heat Equation with Cauchy Data Prescribed on the Free Boundary // SIAM J. Appl. Math. 1971. V. 20. P. 557-570.

[47] Tikhonov. A.N., Goncharskii A.V., Stepanov V.V., Yagola A.G. Numerical Methods for the Solution of Ill-Posed Problems. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1995.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА 110 ТЕМЕ ' ДИССЕРТАЦИИ

48] Гольдман Н.Л. Существование решения одного класса оптимальных задач типа Стефана для квазилинейного параболического уравнения // Решения задач типа Стефана, вып. 2. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1972. С. 103-109.

49] Гольдман Н.Л. Метод прямых решения краевых задач для квазилинейных параболических уравнений // Решения задач типа Стефана, вып. 2. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1972. С. 24-56.

50] Гольдман Н.Л. Априорные оценки решения дифференциально-разностных линейных параболических уравнений // Методы решения краевых и обратных задач теплопроводности. М.:- Изд-во Моск.ун-та, 1975. С. 57-78.

51] Гольдман Н.Л. О решении некорректноЙ задачи Коти для квазилинейного параболического уравнения // Вычислительные методы и программирование, вып. 26. М,: Изд-во Моск.ун-та, 1977. С. 138-154.

52] Гольдман Н.Л. Приближенное решение интегрального уравнения Фредголъма Iрода в классе кусочно-выпуклых функций с ограниченной первой производной Ц Численный анализ на ФОРТРАНе. Методы и алгоритмы. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1978. С. 30-40.

53] Гольдман Н.Л. Численное решение нелинейных обратных задач теплопроводности методом дескриптивной регуляризации // Вычислительные методы и программирование, вып. 39. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1983. С. 8-24;

54] Гольдман Н.Л. Об одной многомерной обратной задаче для квазилинейного параболического оператора // Вычислительные методы и программирование, вып. 39. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1983. С. 27-40.

55] Гольдман Н.Л. Об одном классе нелинейных обратных задач с неизвестной границей // ДУ. 1983. Т. 19, N 4. С. 608-617.

56] Гольдман Н.Л. Об определении неизвестных коэффициентов в квазилинейной задаче Стефана. // Методы и алгоритмы численного анализа. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1987. С. 49-61.

57] - Гольдман Н.Л. О численном определении правой части уравнения для многофронто-

вой проблемы Стефана // Численный анализ: методы, алгоритмы, программы. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1988. С. 71-101.

58] Гольдман Н.Л. Об одном классе граничных обратных задач для двухфазной квазилинейной проблемы Стефана // Методы и алгоритмы численного анализа и их приложения. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1989. С. 11-34.

59] Гольдман Н.Л. О дифференцируемости функционалов в вариационных постановках обратных задач Стефана // Методы и алгоритмы численного анализа. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1990. С. 54-70.

[60] Гольдман Н.Л. Применение метода дескриптивной регуляризации для решения гра ньнной обратной задачи Стефана в двухфазном случае // Численные методы ана лиза. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1993. С. 31-50.

[61] Гольдман Н.Л. Обратные задачи Стефана // ИФЖ. 1993. Т. 65, N 6. С. 684-689.

[62] Гольдман Н.Л. Обратные задачи Стефана. Теория и методы решения. М.: Изд-bi Моск.ун-та, 1999.

[63] Гольдман Н.Л., Савшшч B.C., Шелястина H.A. Об одном численном алгоритм оптимизации• тепловых резкимов для проблемы Стефана // Численный анализ: ме тоды и алгоритмы. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1986. С. 39-53.

[64] Гольдман Н.Л., Савинич B.C., Шелястина H.A. О численном моделировании нелиней кого теплофизического процесса с интенсивным тепловым воздействием // Метода и алгоритмы численного анализа. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1987. С. 62-79.

[65] Гольдман Н.Л., Савинич B.C., Шелястина H.A. О радиальном плавлении пластит // Физика и химия обработки материалов. 1987. N 3. С. 137-139.

[66] Гольдман Н.Л., Успенский A.B., Соболева E.H., Шадек Е.Г. Численный метод опре деления граничного режима на поверхности непрерывного слитка по профилю фрон та затвердевания // ИФЖ. 1974. Т. 27, N 4. С. 707-713.

[67] Gol'dman N.L. Solving an Optimal Multiphase Stefan Problem // Comput. Math, am Modeling. V. 2(2). New York: Plenum Publishing Corporation, 1991. P. 138-148.

[68] Gol'dman N.L. Inverse Stefan Problems. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997.

[69] Gol'dman N.L. Inverse. Problems with Phase Transitions //Труды Третьей международ ной конференции "Идентификация динамических систем и обратные задачи". М. Изд-во МАИ, 1998. С. 128-139. '

[70] Güyazov S.F., Gol'dman N.L. Rtgvlarization of Щ-Posed Problems by Iteration Methods Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2000.

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

1 ПОСТАНОВКИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ ПРОБЛЕМЫ СТЕФАНА

§ 1.1 Классификация некорректно поставленных обратных задач Стефана и области их применения.

§ 1.2 Граничные обратные задачи для однофазной проблемы

Стефана при заданном фронте фазового перехода.

§ 1.3 Граничные обратные задачи для однофазной проблемы

Стефана при неизвестном фронте фазового перехода . . . . § 1.4 Граничные обратные задачи для двухфазной проблемы Стефана .

§ 1.5 Коэффициентные обратные задачи Стефана.

2 РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЙ МЕТОД ВАРИАЦИОННОГО ТИПА ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ СТЕФАНА

§ 2.1 Построение приближенных решений на основе метода квазирешений.

§ 2.2 Устойчивость приближенных решений.

§ 2.3 Дифференцируемость функционалов в вариационных постановках обратных задач Стефана.

3 АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ СТЕФАНА

§ 3.1 Принципы построения алгоритмов.

§ 3.2 Численное решение однофазных обратных задач Стефана с заданным фронтом фазового перехода. Определение граничных режимов для непрерывного литья слитков. . . . § 3.3 Алгоритмы дескриптивной регуляризации для граничных обратных задач Стефана с неизвестным фазовым фронтом § 3.4 Численное решение коэффициентных обратных задач

Стефана. Расчет интенсивности лазерных источников . . .

СВОЙСТВА ОПЕРАТОРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ СТЕФАНА

§ 4.1 О корректности прямых постановок в классах Гельдера квазилинейных краевых задач в областях с подвижными границами.

§ 4.2 Априорные оценки норм Гельдера для дифференциально-разностных аналогов линейных параболических уравнений .

§4.3 Однозначная разрешимость в классах Гельдера дифференциально-разностных аналогов квазилинейных краевых задач.

§4.4 Существование, единственность и устойчивость решения в классах Гельдера прямой квазилинейной проблемы

Стефана общего вида.

ПРИЛОЖЕНИЕ .

ЛИТЕРАТУРА .

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена одному из современных направлений исследований в теории некорректных задач — обратным задачам Стефана для квазилинейных параболических уравнений. Такие задачи возникают при изучении многих нелинейных теплофизических, диффузионных и других процессов в связи с проблемами совершенствования технологий, создания новых методов обработки материалов и современных образцов техники. Актуальность квазилинейных обратных задач Стефана вызвана тем, что в ряде случаев их решение — как вычислительный эксперимент с использованием компьютерной техники — является практически единственным средством исследования сложных нестационарных нелинейных процессов с фазовыми переходами.

В диссертации с единых позиций рассматриваются граничные и коэффициентные обратные задачи, состоящие в определении граничных функций и правой части уравнения для проблемы Стефана при наличии того или иного вида информации о решении прямой задачи. Значительная трудоемкость решения таких задач в силу их нелинейности и некорректности, которая проявляется чаще всего в неустойчивости относительно погрешностей входных данных, требует разработки специальных регуля-ризирующих методов и вычислительных алгоритмов.

Оснополагающие принципы регуляризации некорректно поставленных задач заложены в работах А.Н. Тихонова [100, 101, 102, 103], В.К. Иванова [58] и М.М. Лаврентьева [65] (см. также [106]). Среди других авторов, внесших существенный вклад в развитие теории и методов решения некорректных задач и в построение конкретных регуляризирующих алгоритмов, необходимо отметить В.Я. Арсенина, A.B. Бакушинского, Г.М. Вайникко, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, В.А. Винокурова, A.B. Гончарского, В.И. Дмитриева, A.C. Ильинского, A.C. Леонова, В.А. Морозова, В.Н. Страхова, А.Г. Яголу, D.L. Phillips, R.L. Lattes, J.-L. Lions. Библиографию можно найти, например, в [6, 26, 70, 76, 82, 103, 104, 105, 107, 108, 117, 190, 191].

Целый ряд исследований, посвященный некорректным обратным задачам для дифференциальных уравнений, связан с именами А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, А.И. Прилепко, В.Г. Романова, J.R. Cannon, К.-П. Hoffmann, J.-L. Lions и с созданными ими научными школами.

Характерной чертой обратных задач является требование определить по некоторой дополнительной информации коэффициенты уравнения, начальные или граничные функции, считающиеся заданными в классической постановке задачи (обычно называемой "прямой задачей").

Не имея, к сожалению, возможности из-за обширности списка работ перечислить их, ограничимся ссылками на работы [60, 66, 70, 71, 94, 99, 103, 136, 179] как на наиболее близкие к теме диссертации.

Одно из ведущих направлений исследований связано с обратными задачами для параболических уравнений. Из значительного числа публикаций отметим работы О.М. Алифанова [3, 4, 116], Н.Я. Безнощенко [8], П.Н. Вабищевича [95], В.Б. Гласко [30], A.M. Денисова [55], А.Д. Искендерова [61], И.В. Музылева [81], А.И. Прилепко, А.Б. Костина, Д.Г. Орловского и В.В. Соловьева [86, 87, 88], A. Lorenzi [171], M. Yamamoto [193], см. также [121, 169]. Вопросы приложения теории обратных задач для параболических уравнений в различных областях техники рассматриваются в работах О.М. Алифанова [2], J.V. Beck [11], Е. Hensel [153], JI.A. Коздобы [63], А.Г. Темкина [98], там же можно найти обзор таких работ. Дополнительные ссылки см. также в [128, 134, 135, 164, 170].

Гораздо слабее освещены в литературе обратные задачи Стефана, которые составляют класс обратных задач для параболических уравнений со свободной границей. Изучение этого круга проблем началось с обратных задач Стефана для линейных уравнений с заданным движением фазовой границы, которые близки к нехарактеристическим задачам Коши (Б.М. Будак, В.Н. Васильева [15], R.L. Lattes, J.-L. Lions [70], J. Bell [119], К.-H. Hoffmann [155], P. Knabner [165], B. Sherman [187]). Теория и методы решения нехарактеристических задач Коши хорошо разработаны (А.Н. Тихонов [99], Е.М. Ландис [68, 69], О.М. Алифанов [3, 116], J.R. Cannon [122, 124, 125, 126], R.E. Ewing [138, 139], L.E. Payne [178], С. Pucci [181, 182]) и достаточно широко используются при изучении обратных задач Стефана для линейных уравнений с заданным фазовым фронтом, см., например [127, 133, 166, 167, 168, 183, 189].

Некоторые вопросы оптимального управления, а также ряд других проблем, связанных с задачами Стефана для простейшего уравнения теплопроводности и линейного параболического уравнения, в том числе для случая неизвестного фазового фронта, исследованы Ф.П. Васильевым [24], И.И. Данилюком [54], А.Д. Юрием [115], H.W. Engl [137], A. Fasano [140], К.-Н. Hoffmann [154, 156, 158, 159], P. Jochum [160, 161, 162], M. Niezgodka [174], M. Primicerio [180]. Упомянем также работы [1, 56, 73, 118, 143, 175, 185, 186, 192].

Использование во многих известных исследованиях обратных задач Стефана методов, основанных на свойствах параболических уравнений с постоянными или линейными коэффициентами (например, метод квазиобращения и методы, использующие интегральное представление решения), ограничивает область их применения уравнениями указанных типов. Для расширения круга рассматриваемых проблем наибольший интерес представляет развитие вариационного подхода к обратным задачам Стефана, предложенного Б.М. Будаком и В.Н. Васильевой [15]. Такой подход для квазилинейного параболического уравнения был впервые применен автором в [36] при изучении граничной обратной задачи Стефана с заданным фазовым фронтом.

Тем не менее квазилинейные обратные задачи Стефана еще мало изучены, хотя потребности математического моделирования и управления сложными нестационарными процессами, в особенности высокотемпературными процессами с фазовыми переходами, делают актуальным это направление исследований. Целью настоящей работы является развитие теории и методов решения этого нового класса некорректных задач и разработка эффективных регуляризирующих алгоритмов.

Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Разработан общий подход в операторном виде к определению граничных функций и коэффициентов уравнения для широкого круга квазилинейных обратных задач Стефана, в том числе для случая неизвестного фазового фронта, и при различных видах априорной информации о решении прямой проблемы Стефана. Для выбора "естественных функциональных пространств" при постановке обратных задач Стефана в виде нелинейного операторного уравнения установлены точные дифференциальные зависимости в классах Гельдера между входными данными и решением однофазных и многофазных прямых задач Стефана для квазилинейных параболических уравнений. Рассмотрены вопросы единственности точного решения обратных задач Стефана в выбранных пространствах Гельдера.

2. Предложен и обоснован регуляризирующий вариационый метод для приближенного решения граничных и коэффициентных обратных задач Стефана, устойчивый в выбранной топологии относительно погрешностей всех входных данных. Доказана дифференцируемость функционалов в вариационных постановках обратных задач Стефана, лежащих в основе предложенного метода. Получено явное представление для дифференциалов через решение соответствующих сопряженных задач. Это обеспечивает существенную экономию вычислительных затрат, так как позволяет преодолеть основную трудность, которая возникала ранее при применении регуляризирующих алгоритмов для обратных задач Стефана — необходимость многократного численного решения прямой проблемы Стефана при минимизации соответствующего функционала невязки, определенного на ее решениях.

3. Разработаны эффективные численные алгоритмы, реализующие предложенный метод. Отличительной особенностью алгоритмов является использование в них стабилизирующих свойств ограничений качественного характера, наложенных на искомые функции (так называемая дескриптивная регуляризация), а также регуляризирующих свойств метода проекции сопряженных градиентов. Эффективность предложенных алгоритмов, обеспечивающих существенную экономию вычислительных затрат даже при значительных погрешностях входных данных, а также их универсальность в широком классе граничных и коэффициентных обратных задач Стефана подтверждены целой серией численных экспериментов.

4. На основе алгоритмов проведено численное решение важных приложений обратных задач Стефана в нелинейной теплофизике, связанных с современными технологиями. Предлагаемые алгоритмы использованы для численного определения тепловых режимов для непрерывного литья слитков и для лазерной обработки материалов. Выявлена возможность расширить рамки применимости одномерных моделей тепло физических процессов за счет использования априорной информации о качественном поведении искомых тепловых режимов.

Диссертация состоит из четырех глав и приложения. Перейдем к изложению содержания работы по главам.