Приближенные численно-аналитические методы решения задач теплопроводности с фазовыми переходами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

В в е н и е .• •••

ГЛАВА I. РАЗЛИЧНЫЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ СТЕФАНА

§ I, Постановка двухфазной нестационарной задачи

Стефана.

§ 2. Задача Стефана для цилиндрических областей

§ 3, Квазистационарная задача Стефана.*.

§ 4. Одномерные задачи Стефана .,,.»

ГЛАВА II, КВАЗИСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА.

§1,0 существовании квазистационарного состояния. для специальной одномерной тепловой задачи

§ 2. Двумерная-двухфазная.квазистационарная задача Стефана.

§ 3. Приближенное решение двумерной.однофазной ква зистационарной задачи Стефана

ГЛАВА III. ОДНОМЕРНАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА.

§ I. Задача Стефана для полуограниченной области

1.1, Упрощенные математические модели

1.2, Приближенные методы решения задачи Стефана

§ 2. Двухфазная нестационарная задача Стефана в ограниченной области

2.1, Интегральный метод теплового баланса

2.2, Метод осреднения функциональных поправок

2.3, Метод подвижных источников

§ 3, Однофазная задача Стефана .III

ДОПОЛНЕНИЕ I.

ДОПОЛНЕНИЕ II.

Изучение теплофизических процессов при наличии подвижных границ фазовых превращений является достаточно трудной задачей и до настоящего времени все еще малоразработанной. Успехи в ис -следовании данной проблемы имеют большое значение для самых различных технических приложений: кристаллизации слитков, горения, испарения , роста новой фазы, плавления и т.д.

Так, в металлургической практике основными процессами в технологической цепи являются процессы плавления и затвердевания. Оптимальное управление режимами мартеновской и конверторной плавки , а также формирование качественной структуры кристаллизующегося слитка в изложнице с помощью электрошлакового переплава или установке непрерывной разливки стали в большой степени зависит от уровня решения данного круга задач.

Процессы сварки и электрошлакового переплава значительным образом опираются на теоретические исследования явлений теплового переноса при фазовых превращениях. Создание общей теории выращивания кристаллов также невозможно без решения указанной проб -лемы. В основе электронной обработки материалов , а также плаз -менной резки лежат те же процессы. При испарении и конденсации важной характеристикой является скорость протекания данных процессов, определение которой является результатом анализа такого же типа задач.

Математическое моделирование таких технологических процессов связано с анализом задач теплопроводности с учетом подвиж -ности границ , на которых осуществляется фазовый переход. Исследование таких задач в значительной мере усложняется тем , что математические модели этих процессов представляют собой нелинейные краевые задачи теории теплопроводности. Вообще , все задачи, характеризующиеся наличием искомых перемещающихся границ - задачи Стефана, относятся к числу нелинейных задач с разрывом гра -диента температуры на фронте раздела фаз.

Впервые постановка задачи Стефана и ее решение были исследованы в классической работе Ж. Ламе и Б.П. Клайперона [103]по замерзанию жидкости. При получении решения задачи авторами был использован принцип автомодельности , то есть сведение диффе -ренциальных уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Основным свойством автомодельных ре -шений является то , что фронт фазовых превращений движется по закону квадратного корня от времени . Позднее этот подход при -менялся к более усложненным задачам Стефаном [107] , отечествен -ными математиками Б.Я. Любовым[55-57] , Г.А. Тирским [80], С.С. Григоряном [21] и др. Круг решаемых с помощью этого принципа задач весьма узок , но в теоретическом плане они представляют большую ценность как точные решения проблемы Стефана.

В 1931 году Л.С. Лейбензон [4б] предложил , нашедший широкое практическое применение , приближенный метод решения задачи Стефана. Суть этого метода состоит в задании функции температурного распределения внутри каждой фазы , удовлетворяющей стационарному уравнению теплопроводности и граничным условиям.Подста -новка температурного распределения в условие Стефана приводит к дифференциальному уравнению для определения подвижной границы, которое обычно легко разрешается относительно переменной, характеризующей положение фронта. Для учета теплоемкости обеих фаз С.Л. Лейбензон предложил второй метод [47], заключающийся в удовлетворении заданного температурного распределения не ус -ловию Стефана , а уравнению баланса тепла. Этот метод можно рассматривать как частный случай проекционно-сеточного метода [59], в котором выбирается кусочно-линейная аппроксимация приближенного решения с одной точкой разбиения области , совпадаю -щей с подвижной границей фазового перехода. В дальнейшем метод СЛ. Лейбензона был применен в работах С.С. Ковнера[41-42], А.Н. Тихонова и Е.Г. Швидковского [82], И.А. Чарного [86] для усложненных граничных условий.

Широкое распространение при решении задачи Стефана в пос -леднее время находят различные приближенные аналитические методы. К числу таких методов следует отнести метод последователь -ной смены стационарных состояний [86], методы , основанные на представлении окончательного решения в виде степенных рядов [55-57], методы сведения к системе обыкновенных дифференциаль -ных уравнений [62,63] , редукции с помощью теории потенциала к интегральным уравнениям [72], интегральный метод [22 , 58,64], метод малого параметра [43] и др. В ряде работ[89,90,83] для решения задачи Стефана применяется вариационный метод Био [88], основанный на введении термодинамического эквивалента функции Лагранжа в механике и связанный с понятием термического слоя. При этом профиль температуры аппроксимируется степенной функцией. Вариационным методом Боли [91] для полуограниченного тела в работе [98] получен явный вид функции скорости движения гра -ницы раздела фаз.

Благодаря успехам в развитии новых быстродействующих ЭВМ, проблема Стефана на сегодня трактуется и как проблема вычис -лительной математики. Различными исследователями предлагаются решения с применением как явных , так и. неявных схем, "связанных" с подвижным фронтом. "Связывание" производится с использованием метода дробных шагов и "ловли" фронта в узел сетки [66, 76-78]. Экономичные разностные схемы сквозного счета к задаче со многими пространственными переменными и произвольным числом фазовых переходов применены в работе [75]. Широкое распростране -ние для численного решения задачи Стефана получили такие методы как метод сеток [43,66,77], метод прямых[43,77] . Следует отме -тить , что для задач теплопроводности с подвижным фронтом фазовых превращений одним из наиболее эффективных методов является численный метод, когда последний реализуется на быстродействующих ЭВМ.

Наряду с вопросами построения решения задачи Стефана,важное значение имеют вопросы ее разрешимости. В этом плане фундаментальные результаты по вопросам существования и единственности реше -ния получены в работах А.Н. Тихонова и А.А. Самарского £81] ,0.А. Олейник [67-69], СЛ. Каменомостской [34,35], Ji.И. Рубинштейна [72], И.И. Колондера [100,101], А.Фридмана [84] , Г.В.Ивенса [94], Дж.Дугласа [92-93], С.Сестини [Ю5-Юб]и др. [8, 33 , 45 , 54 , 87 , 95-97, 99, 102] , в случае большого числа переменных JI.C. Каме-номостская и О.А. Олейник ввели понятие обобщенного решения задачи Стефана , существование и единственность которого обеспечи - • вается в классе измеримых функций. Доказательству существования классического решения многомерной задачи посвящены работы [18, 61]. Проблема разрешимости квазистационарной задачи Стефана в значительной степени исследована в работах И.И. Данилюка [23-28] , И.И. Данилюка , В.Е. Кашкахи [29,38] , И.И. Данилюка ,А.С. Ми-ненко [30], Б.В. Базалия , В.Ю. Шелепова[l-7], М.А. Бородина [l6,I7> др.[12,13,31,32,39, 40, 60, 74] . В этих рабо тах квазистационарная задача Стефана сводится или к вариационной ' задаче для некоторого интегрального функционала с переменной областью интегрирования или к вариационному неравенству и на этой основе доказываются теоремы существования и единственное -ти.

Данная диссертационная работа посвящена разработке и исследованию приближенных аналитических и численно-аналитических методов решения практически важных нестационарных и квазистацио -нарных задач Стефана. Основное внимание уделяется построению алгоритмов отыскания приближенных решений , а также их численной реализации.

Диссертация состоит из введения , трех глав и списка лите -ратуры.

1. Базалий Б.В. Об одной квазистационарной задаче Стефана, ДАН УССР, сер. A, te 1. 1976 , с. 3-6.

2. Базалий Б.В, Об одном доказательстве существования решения двухфазной задачи Стефана. В кн.: Математический анализ и теория вероятностей. Киев, 1978, с. 7-1I.

3. Базалий Б.В., Шелепов В.Ю. Об одной смешанной задаче со свободной границей для уравнения Лапласа. ДАН СССР,т. 209,№ 2, 1973 , с. 320-323.

4. Базалий Б.В., Шелепов В.Ю. Об одной стационарной задаче Стефана. ДАН УССР,сер.А, № I, 1974, с. 5-8.

5. Базалий Б.В., Шелепов В.Ю. О двухфазной стационарной задаче Стефана. В кн.: Математическая физика.Киев, "Наукова думка", вып. 16, 1974, с. 52-61.

6. Базалий Б.В. , Шелепов В.Ю. Об одном обобщении стационарной задачи Стефана. В кн.: Математическая физика. Киев, "Наукова думка", вып. 17, 1975, с. 65-81.

7. Базалий Б.В., Шелепов В.Ю. Вариационные методы в смешанной задаче теплового равновесия со свободной границей. В кн.: Краевые задачи математической физики. Киев, 1979, с. 39-58.

8. Бачелис Р.Д., Меламед В.Г. 0 решении квазилинейной двухфазной задачи Стефана методом прямых при слабых ограничениях на входные данные задачи. Журн. выч.мат. и мат. физика, т. 12,№ 3, 1972,с. 828-829.

9. Березовский А.А., Мейнарович Е.В. К определению фронта кристаллизации непрерывно выплавляемых слитков. В кн.: Линей -ные и нелинейные краевые задачи математической физики. Киев, Изд-во Ин-та математики АН УССР, 1974, с. 102-107.

10. Березовский А.А.,Плотницкий Т.А.,Леонтьев Ю.В. Обратные преобразования в задаче кристаллизации цилиндрических тел.Тезисы докладов Республиканской конференции по нелинейным задачам математической физики. Донецк,12-14 сентября 1983 г.,с. 14.

11. Березовский А.А., Плотницкий Т.А.,Леонтьев Ю.В. Обратные преобразования в задачах кристаллизации. Обратные преобразова -ния в задачах кристаллизации и физики моря. Препринт 83-54, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1983,с. 3-9.

12. Бородин М.А. Теорема существования решения однофазной ква -зистационарной задачи Стефана. ДАН УССР,сер.А,№ 7, 1976,с. 582-586.

13. Бородин М.А. Однофазная квазистационарная задача Стефана. ДАН УССР,сер.А, № 9, 1977, с. 775-777.

14. Будак Б.М.,Москал М.З. О классическом решении многомерной многофронтовой задачи Стефана в области с кусочно-гладкой границей. ДАН СССР, т. 191, № 4, 1970,с. 751-754.

15. Будак Б.М.,Соловьева Е.Н.,Успенский А.Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задачи Стефана.ЖВМ и МФ, № 5,1965,с. 828-840.

16. Гельфанд И.М.,Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними , вып. I, Москва,Физматгиз,1958, 439 с.

17. Григорян С.С. О нагревании и плавлении твердого тела от трения. ПММ,т.22, вып.У,1958,с.577-585.

18. Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных за -дачах нестационарного теплообмена. В кн.: Проблемы теплообмена.Москва, Атомиздат , 1967,с. 41-53.

19. Данилюк И.И. О процессе кристаллизации при образовании гар-нисажа. В кн.: Математическая физика. Киев, "Наукова думка", вып. 17, 1975,с. 99-1II.

20. Данилюк И.И. Об одной квазистационарной задаче типа Стефа -на. В кн.: Записки научных семинаров Ленинградского отде -ления Математического института АН СССР. Т.84,1979,с.26-34.

21. Данилюк И.И. О вариационном подходе к квазистационарной задаче Стефана. В кн.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Краевые задачи. Тбилиси, 1979, с. 75-88.

22. Данилюк И.И. О смешанной задаче для квазилинейного уравнения теплопроводности с кусочно-разрывными коэффициентами. УМН, т. 36,№ 4, с. 219-220.

23. Данилюк И.И. О многомерной однофазной квазистационарной задаче Стефана. ДАН УССР, сер. А,1984, № 4, с. 13-17.

24. Данилюк И.И., Кашкаха В.Е. Об одной нелинейной системе Ритца. ДАН УССР, сер. А, Ш 40 , 1973 , с. 870-873.

25. Данилюк И.И., Миненко А.С. О методе Ритца в однсй нелинейной задаче со свободной границей. ДАН УССР,сер.А,!й 4,1978,с. 291-294,

26. Данилюк И.И., Олейник М.В. Теорема о единственности нелинейной задачи со свободной границей. В кн.: Краевые задачи для уравнений с частными производными. Киев,1978,с.21-33.

27. Данилюк И.И., Олейник М.В. Об управлении неизвестной границей в двухфазной квазистационарной задаче Стефана. ДАН УССР, сер. А, Ш 4,1983 , с. 9-13.

28. Дюво Г., Лионе 1.-Л. Неравенства в механике и физике.Москва, "Наука", 1980,383 с.

29. Каменомостская С.Л. О задаче Стефана. Научн. доклады Высшей школы, т. I, 1958, с. 60-62.

30. Каменомостская С.Л. О задаче Стефана. Математ.сборник,т.53, (95), № 4, 1961, с. 488-514.

31. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва, "Наука",1971. 567 с.

32. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. Москва, Наука, 1964, 487 с.

33. Кашкаха В.Е., Данилюк И.И. Об одной нелинейной пространственной задаче со свободной границей. ДАН УССР,сер. А,№ 2, 1973 , с. I19-123.

34. Кашкаха В.Е. О приближенном расчете фронта кристаллизации слитков прямоугольного сечения. В кн.: Математическая физика. Киев, "Наукова думка", вып. 16, 1974,с.93-96.

35. Кашкаха В.Е. О методе Ритца исследования двухфазной квазистационарной задачи Стефана. В кн.: Математическая физика. Киев, "Наукова думка", вып. 17, 1975, с. 128-137.

36. Ковнер С.С. Об одной задаче теплопроводности. Журнал геофизики, т. 3 , вып. 1,1933,с. 32-41.

37. Ковнер С.С. К обоснованию термического метода разведки.ДАН СССР,т. 37,№ 3 , I942,c.II5-II7.

38. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности, Москва, "Наука",1975, 224 с.

39. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г.,Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества и его применение к одной биологической проблеме. Бюллетень МГУ, вып. б, 1937, с. 26 с.

40. Ладыженская О.А., Солонников В.А. , Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. Москва, "Наука",1967, 736 с.

41. Лейбензон Л.С. Руководство по нефтепромысловой иеханике.Собр. тр•,т.3,Москва,Изд-во АН СССР,1955,с. 435-439.

42. Лейбензон Л.С. К вопросу об отвердевании земного шара из первоначального расплавленного состояния.Собр.тр.,т.4,Изд-во АН СССР,1955,с.317-359.

43. Леонтьев Ю.В. Об одной математической модели двухфазной зоны кристаллизующегося слитка. В кн.: Краевые задачи математической физики. Киев, Изд-во Ин-та математики АН УССР,1978, с. 39-44.

44. Леонтьев Ю.В. Математическая модель кристаллизующегося ци -линдрического слитка. В кн.: Нелинейные краевые задачи. Киев, Изд-во Ин-та математики АН УССР,1980, с. 75-82.

45. Леонтьев Ю.В. Об одной квазистационарной задаче Стефана.- В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными в прикладных задачах. Киев, Изд-во Ин-та математики АН УССР,1982, с. 54-57.

46. Леонтьев Ю.В. К расчету тепловых полей в охлаждаемых струях расплава. Нелинейные краевые задачи теплопроводности.Препринт 82.3,Киев, Ин-т математики АН УССР, 1982,с.26-30.

47. Леонтьев Ю.В.,Сусляк А.Ф. Об одной математической модели нагрева толстой металлической плиты. Нелинейные краевые задачи теплопроводности. Препринт 82.3,Киев,Ин-т математики АН УССР,1982,с. 31-35.

48. Лионе I.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых за -дач. Москва, Мир , 1972. 736 с.

49. Лгобов Б.Я. Вычисление скорости затвердевания металлического слитка. ДАН СССР, т. 68 , 1949, с. 847-850.

50. Любов Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах. Москва, "Наука", 1975, 256 с.

51. Любов Б.Я., Карташов Э.М. Метод решения краевых задач диффузии для области с границей , движущейся по произвольному закону. Изв. вузов. Физика, 1970 , Ш 12, с. 97-101.

52. Лыков А.В. Теория теплопроводности. Москва, ГИТТЛ, 1952. 392 с.

53. Марчук Г.И. , Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. Москва, "Наука", 1981, 416 с.

54. Мейнарович Е.В. Квазистационарные температурные поля цилиндрических тел , находящихся в двух агрегатных состояниях. В кн.: Краевые задачи теории теплопроводности. Киев, Изд-во Ин-та математики АН УССР, 1975, с. 145-155.

55. Мейрманов A.M. О классическом решении многомерной задачи Стефана для квазилинейных параболических уравнений. Математ. сборник , т. 112 (154), Ш 2, 1980 , с. 170-192.

56. Меламед В.Г. Сведение задачи Стефана к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 7, 1958, с. 848-869.

57. Меламед В.Г. Решение задачи Стефана в случае второй краевой задачи. Вестник МГУ , сер. мат. № I, 1959.

58. Мучник Г.Ф., Рубашов И.Б. Методы теории теплообмена, ч. I. Теплопроводность , Москва, "Высшая школа" , 1970, 287 с.

59. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифферен -циальных уравнений. Москва-Ленинград , ГИТТЛ , 1947 , -448 с.

60. Никитенко Н.й. Исследование процессов тепло- и массообмена методом сеток. Киев, "Наукова думка", 1971, 265 с.

61. Олейник О.А. Об одном методе решения общей задачи Стефана. ДАН СССР, т. 135 , № 5 , I960 , с. 1054-1058.

62. Олейник О.А. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типа с разрывными коэффициентами. Изв. АН СССР, сер. матем., № 25, 1961, с. 3-20.

63. Олейник О.А. О задаче Стефана. В кн.: Первая летняя математическая школа. Т.2. Киев, "Наук, думка", 1964,с. 183-203.

64. Постольник Ю.С. Одномерный конвективный нагрев при завися -щем от времени коэффициенте теплообмена. ИФЖ, т.18, № 2, 1970, с. 316-322.

65. Пфан В.Дж. Зонная плавка. Москва, Металлургиздат, 1960,272 с.

66. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. Рига, "Звайгзне",1967, 457 с.

67. Рыжков В.Г. Исследование влияния электрического тока большой плотности на процесс волочения и физико-механические свой -ства тонкой проволоки. Автореферат дис. на соиск. уч.степ, канд.техн.наук. Магнитогорск,1982,22 с.

68. Салей С.В. О глобальной разрешимости одной задачи Стефана. ДАН УССР, сер. А, № 6 , 1979, с. 424-428.

69. Самарский А.А. , Мосеенко. В.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана. КВМ и МФ, т.5, № 5,1965, с. 816-827.

70. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. Москва, Наука, 1971, 550 с.

71. Самарский А.А. Теория разностных схем, Москва, "Наука",1977, 656 с.

72. Самойлович Ю.А. О приближенных способах расчета затвердева -ния отливок. ИФ1, т. II, № 5,1966, с. 651-657.

73. Соколов Ю.Д. Метод осреднения функциональных поправок. Киев, "Наукова думка",1967.-336 с.

74. Тирский Г.А. Два точных решения нелинейной задачи Стефана. ДАН СССР, т. 125 , № 2 ,1959, с. 293-296.

75. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Москва, ГИТТЛ,1953, 677 с.

76. Тихонов А.Н., Швидковский Е.Г. К теории непрерывного слитка. ЖТФ, т. 17, вып. II, 1947, с. I6I-I76.

77. Углов А.А., Смуров И.Ю., Лохов Ю.Н. Расчет абляции пластины конечной толщины. Физ.-хим.обраб.материалов,1982, № 1,с. 3-12.

78. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. Москва, "Мир",1968, 427 с.

79. Чалмерс Б. Теория затвердевания. Москва, "Металлургия", 1968, 288 с.

80. Чарный И.А. О продвижении границы изменения агрегатного состояния при охлаждении и нагревании тел. Изв. АН СССР,0ТН,2,1948,с.187-202.

81. Albasiny E.L. The Solution of" Non-Linear Heart Conduction Problems on the Pilot ACE.-Proc. Inst. Electr. Engng. 1956, vol.103, suppl. No.1, p. 158-164.- 138

82. Biot М.А. Thermoelasticity and irreversible thermodynamics.-J. Appl. Phys., 1956, vol.27, Но.З, p.240-249.

83. Biot M.A., Ganghaday H. Variational Analysis of Ablation.-J. Aerospase science, 1962, vol.29, No.2, p.228-236.

84. Biot M.A.,Agrawal H.C. Variational Analysis of Ablation for variable properties.- J. of Heat Transfer, 1964, vol.86, Ho.3, p.437-442.

85. Boley B. A method of heat conduction analysis of meltingand solidication problems.- J. Math, and Phys., 1961, vol.40, Ho.3, p.300-312.

86. Evans G.W.,11. A Note on the Existence of a Solution to a Problem of Stefan.- Quart. Appl. Math., vol.IX, Ho.2, 1951.

87. Friedman A. Free boundary problems for parabolic equations,

88. Melting of solids.- J. Math, and Mech., vol.8, Ho.4» 1959, p.499-518.

89. Friedman A. Free boundary problems for parabolic equations,1.. Evaporation or condensation of a liquid drop.- J. Math, and Mech., vol.9, Ho.1, 1960, p.19-66.

90. Friedman A. Remarks on Stefan-type free boundary problems for parabolic equations.- J. Math, and Mech., vol.9, H0.6, 1960, p.885-904.

91. Furuya Y. Variational Principle in Ablation of Elastic Solid. J. Phys. Soc. Japan, 1978, vol.45, Ho.3, p.1015-1018.

92. Hill C.D., Kotlow D.B. Classical solution in large of thetwo-phase free boundary problem.- J. Arch. Rat. Mech. Anal., vol.45, Ho.1, 1972, p.63-78.

93. Kolonder I.I. Free boundary problem for the heart equation with application to problems of a change of phase.- Comm. Pure Appl. Math., vol.9, 1956, p.1-31.

94. Kolonder I.I. Free Boundary Problem for the Heart Equation with Applications to Change of Phase.- Comm. on Pure and Appl. Math., vol.10, No.2, 1957, p.220-231.

95. Kyner W.T. An Existence and Uniqueness Theorem for a nonlinear Stefan Problem.- J. Math, and Mech., vol.8, IFo.4, 1959, p.483-493.

96. Lame G., Clapeiron B.P. Memoire sur la solidification par refroidissement d;'un glob solid.- Ann. de Chem. et de Phys., t.XLII, 1831, p.250-256.

97. Lighfoot 1J.M.H. The Solidification of Molten Steel.- Proc. London Math. Soc. Ser.2, vol.31, 1930, p.97-116.

98. Sestini G. Esistenza di una soluzione in problemi analogM a quellо di Stefan.- Rivista Mat. Univ. Parma, 3, 1952,p.3-23.

99. Sestini G. Esistenza ed unicita del problema di Stefan re-lativo a campi dotati di simmetria.- Revista Mat. Univ. Parma, 3, 1952, p.103-119.

100. Stefan J. fiber die Thorie der Eisbildung, insbesondere uber die Eisbildung im Polarmeere.- Sitzber. Wien. Akad. Mat. naturw., Bd.98, 11a, 1889, p.965-983.