Эволюция температурных напряжений как следствие процесса остывания и консолидации расплава при формировании слоистых материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

005018541

правах рукописи

Пестов Константин Николаевич

ЭВОЛЮЦИЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИИ КАК СЛЕДСТВИЕ ПРОЦЕССА ОСТЫВАНИЯ И КОНСОЛИДАЦИИ РАСПЛАВА ПРИ ФОРМИРОВАНИИ СЛОИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

7 2 г? Р 201?

Владивосток - 2012

005018541

Работа выполнена на кафедре механики и математического моделирования Инженерной школы Дальневосточного федерального университета.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Любимова Ольга Николаевна

Официальные оппоненты:

Князева Анна Георгиевна,

доктор физико-математических наук, профессор, Национальный исследовательский Томский политехнический университет, профессор

Сапченко Игорь Георгиевич, доктор технических наук, доцент, Институт машиноведения и металлургии Дальневосточного отделения РАН, ученый секретарь

Ведущая организация:

Институт проблем машиноведения РАН, г. Санкт-Петербург

Защита состоится «27» апреля 2012 г. в 13°° часов на заседании диссертационного совета ДМ005.007.02 при Институте автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 5, аудитория 510, E-mail: dm00500702@iacp.dvo.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН.

Автореферат разослан «22» марта 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук - Дудко Ольга Владимировна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современное развитие промышленности напрямую связано с широким внедрением новых материалов, к которым принадлежат и слоистые композиционные материалы. Их применение позволяет значительно снизить массу конструкций и одновременно оптимизировать эксплуатационные характеристики машин и агрегатов. Технологические процессы изготовления некоторых слоистых композиционных материалов включают температурные режимы, при которых в материалах возможны фазовые превращения первого рода. Напряжения, формирующиеся температурной и структурной неоднородностями, особенно на границах контакта разных материалов и разных фаз, могут приводить к снижению эксплуатационных качеств изделий и к разрушению на стадии изготовления. Поэтому разработка и усовершенствование методов исследования кинетики формирования напряжений с учетом фазовых переходов в процессе температурного формирования слоистых композиционных материалов являются актуальными проблемами в механике деформируемого твердого тела.

Значительный вклад в развитие теории фазовых переходов в механике деформируемого твердого тела внесли российские ученые В.И. Кондауров, В.Е. Фортов, А.Б. Фрейдин, В.А. Еремеев, Н.Ф. Морозов, Л.В. Никитин, В.А. Лихачев, А.Г. Князева, М.А. Гринфельд, а также их зарубежные коллеги Дж. Эшелби, Дж. Бол, Р. Джеймс и Дж. Ноулс.

Для проведения инженерных расчетов с целью контроля отдельных технологических процессов в основном используют подход, когда деформирование двухфазных тел описывается при помощи введения дополнительного параметра состояния системы, например, доли твердой фазы, которая определяется по фазовым диаграммам. Такие модели способны выявить важные особенности деформационных процессов при фазовых переходах, однако описание локальных полей деформаций и напряжений при таком подходе невозможно.

Модели с выделением поверхности раздела фаз с дополнительным условием термодинамического равновесия на границе раздела фаз деформируемого материала отличаются высокой сложностью и ориентированы, главным образом, на качественный анализ взаимосвязи фазовых переходов с процессами деформирования материала, поэтому в рамках этих моделей в основном исследуются решения простейших краевых задач о фазовых" превращениях.

Параллельно основным направлениям развиваются некоторые альтернативные подходы к кинетике фазовых переходов. Например, в работах

Н.Х. Арутюняна и A.B. Манжирова в рамках механики растущих тел кристаллизующийся материал представляется как растущий из жидкой фазы. Однако в слоистых материалах фазовый переход возможен во внутренних слоях, т.е. приходится рассматривать тело постоянной массы и учитывать давление, возникающее со стороны жидкой фазы.

В связи с этим актуальным представляется моделирование фазовых превращений с использованием подходов механики растущих тел, когда изменение агрегатного состояния в процессе формирования слоистого материала возможно сразу в нескольких слоях. В одном слое фронтов фазовых переходов может быть несколько, и они могут двигаться навстречу друг другу, сливаясь в некоторый момент времени. Описание этого явления определило цель настоящего исследования.

Целью работы является исследование напряженно-деформированного состояния слоистых материалов в процессе изготовления с учетом фазовых переходов первого рода в отдельных слоях.

Научная новизна результатов диссертации состоит в следующем:

— математическая модель определения температурных полей и движения границ фазовых переходов первого рода строится без использования классического условия Стефана и сосредоточенной теплоемкости, что позволяет определять положение фронта фазового перехода, обходя все алгоритмические сложности, возникающие в случае многофазных и многомерных задач;

— предложено краевое условие на границе раздела фаз, которое позволяет в рамках теории растущих тел решать задачу об эволюции напряженно-деформированного состояния при формировании слоистых материалов с учетом фазовых переходов в отдельных слоях.

Практическая значимость. Построенная математическая модель использовалась для определения напряженно-деформированного состояния в процессе изготовления слоистого композиционного материала на базе стекла и металла. Она может быть использована при моделировании технологических процессов, включающих температурные режимы, при которых в материалах возможны фазовые превращения первого рода, а также для дальнейшего развития теории фазовых превращений в механике деформируемого твердого тела.

Достоверность результатов основана на использовании законов сохранения и принципов равновесной термодинамики при построении новой модели, математической строгости постановок задач и их анализа, сравнении решений, полученных в рамках разработанной модели, с известными аналитическими и численными решениями.

4

Апробация работы. Результаты научных исследований докладывались и обсуждались на совместных семинарах лаборатории необратимого деформирования и лаборатории нелинейной динамики деформирования Института автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН (Владивосток, 2010, 2011), на семинаре Института прикладной математики Дальневосточного отделения РАН (Владивосток, 2011), на Международной летней школе-конференции «Advanced Problems in Mechanics» (Санкт-Петербург, 2010), Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления», посвященной 75-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова (Владивосток, 2011), II Всероссийской конференции «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций», посвященной 85-летию со дня рождения профессора О.В. Соснина (Новосибирск, 2011).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 научных работ, в том числе 3 статьи в ведущих рецензируемых журналах и 2 патента РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 194 наименования. Текст работы изложен на 122 страницах. Диссертация содержит 38 рисунка и 3 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проведен литературный обзор, посвященный существующим моделям термомеханики для слоистых тел, методам определения температурных полей, границ фазовых переходов и определения напряженно-деформированного состояния при фазовых переходах. Обосновывается актуальность темы диссертации, определяется цель работы, отражается научная новизна и практическая значимость. Кратко представляется содержание диссертации по главам.

Первая глава посвящена построению математической модели для определения температурных напряжений в слоистых материалах с учетом фазовых переходов первого рода.

В первом разделе приведены основные допущения, используемые при математическом моделировании в данной работе:

— диссипативный вклад напряжений несущественен и не влияет на теплообмен и протекание процессов фазовых превращений;

— реологические процессы отсутствуют, что означает сохранении упругости твердой и жидкой фазы;

— полагается квазистатическое равновесие жидкой фазы.

Первое допущение позволяет разделить задачу на две самостоятельные:

• задачу определения температурных полей и движения фронта фазового перехода первого рода;

• краевую задачу определения напряженно-деформированного состояния для слоистого материала с температурными и структурными неоднородностями.

Во втором разделе рассматривается задача определения температурных полей и движения фронтов фазового перехода первого рода (если таковые возможны в материале) для слоистого материала, каждый слой которого является чистым веществом (рис. 1, а). Переход кристаллического тела в жидкое состояние требует затраты некоторого количества тепла <2*к, которое принято называть удельной теплотой плавления (для многих материалов это известная величина). Из основных предположений следует, что если в некотором малом объеме к -ого слоя в момент времени 1 установилась температура плавления Тк , весь внешний тепловой поток этого объема расходуется на аккумулирование энергии, необходимой для разрушения кристаллической решетки в случае плавления, или выделения энергии в случае, когда материал приобретает кристаллическую структуру. После фазового перехода в рассматриваемом объеме температура может меняться (рис. 1, б).

Рис. 1. а) Геометрия слоистого материала: 0.к,0Гк,0.1~ область, занимаемая к- ым слоем, твердой и жидкой фазой к -го слоя соответственно, к = \..К-номер слоя; Г, Гы- внешняя граница всего композита и граница

сопряжения между к - ым и т - ым слоем, к*т\Гы- I -ый фронт к -ого слоя. б) Изменение температуры при плавлении

Вводятся две функции, позволяющие учесть непрерывное накопление (выделение) энергии, расходуемой на фазовый переход (или выделяемой при фазовом переходе):

(1, т = т'к и - А+е; < ё(М, 0< РЖ ,МеПк,

у(М,1) =

О, ТФТ'к , МвПк,

= Ш(М,0, У(М,1) = 1,

(1)

(2)

[О, у(М,1) = 0,

здесь ди, М) - неизвестная ограниченная функция, характеризующая удельное (отнесенное к единице объема) тепло, затраченное на фазовый переход; рк -плотность к - го слоя; индексами «-» и «+» обозначены твердая и жидкая фазы соответственно.

Уравнение теплопроводности с учетом введенных функций (1) и (2) переписывается в виде

Я7У МА , ЙПГМА

(3)

а д1

где р(Т), с(Т)~ плотность, теплоемкость определяются

непрерывными функциями

с(Т),р(Т) =

с-к{Т),р-к(Т), если Т<Тк, МеПк,

кусочно-

(4)

(5)

[с1 (Т), рк (Т), если Т > Гк, М е Пк. Коэффициент теплопроводности Л(Т) в (3) задается в виде Лк, если Т<Т^-Т'к, МеО,к, А(Т) = ■ Л'к, если Т'. - Т'к<Т< +Тк, МеПк, Т'к О, Л+к, если Т > Гк + Тк, МеО,к, здесь Хк (Гк* + 0) = и Л'к (Гк - 0) = Лк .

Задача (1)-(5) замыкается условиями сопряжения слоев, внешними граничными и начальными условиями:

дТ

А-

дп,.

кт

= о,

Гкт

Т[__0=Т°к, М еПк,

дп

= 0,

где х~ коэффициент теплоотдачи, функция Те(1)- температура окружающей среды; п, пы - единичные векторы нормалей к внешней поверхности Г и к

ЗФ 'оФ сФ ^ 2 дп) ( 1 л а2Ф 1

дхт) 5 V 1 У

поверхности сопряжения Гкт\ квадратные скобки обозначают скачок при переходе через соответствующую границу.

В результате решения температурной задачи получаем распределение температуры Т(М,1) и функцию поверхности фронта фазового перехода Ф(М,/) = 0 для каждого момента времени. Компоненты вектора нормали и скорости нормали связаны с уравнением поверхности следующими соотношениями:

1 _

1 М - Ф -

^-т + рЫ-гИ,., 9 =--—гУФ ,

|УФ| |уф| ! |уф|2

где 3 -скорость движения фронта фазового перехода по нормали.

В третьем разделе описывается математическая модель напряженно-деформированного состояния в слоистых телах с учетом полученных в предыдущем разделе температурных полей и скоростей движения границ кристаллизации. Ввиду наличия подвижной границы, которая в случае охлаждения приводит к непрерывному увеличению объема и массы твердой фазы, целесообразно выбрать модель, отражающую основные закономерности деформирования растущего твердого тела. Такая математическая модель в механике деформируемого твердого тела называется эволюционной граничной задачей для растущего тела. Однако для слоистых материалов в случае кристаллизации внутренних слоев приходится учитывать давление, возникающее со стороны жидкой фазы. В данной работе для слоев, в которых происходит кристаллизация из расплава предложено решать сопряженную задачу «жидкость - твердое тело» с уравнением сопряжения слоев по типу идеального контакта на границе раздела фаз. Для жидкой фазы приняты гипотезы о квазистатическом равновесии, малости деформаций и равенстве нулю модуля сдвига.

Уравнения равновесия и геометрии запишем в скоростях напряжений, деформаций и перемещений

<Луо\, = 0, МеП

у

(6)

где а у , ёц , г? , ее0 , ¿Ц- компоненты тензоров скоростей напряжений, полных,

температурных, упругих и пластических деформаций, соответственно. Скорость изменения температурных деформаций определяется из закона Дюгамеля-Неймана

4=А/.

в котором /? совпадает с коэффициентом линейного температурного расширения в случае, если он не зависит от температуры.

Скорость пластической деформации определялась согласно теории пластического неизотермического течения. Для случая идеального упругопластического материала с изотропным упрочнением функция поверхности нагружения может быть записана через уравнение поверхности пластичности Мизеса с пределом текучести, зависящим от температуры и накопленной пластической деформации

Тогда скорость изменения пластической деформации примет вид:

л-1 .

г = ■

" 2а т

35;/ ( да-

дёг;

а, --

дат

дТ

Т\др,

др =

дат ■

1. а,,= ат и &,--- Т > О,

т ' дТ

О, а, < ат или \ а: =ат и а,

8ат ~дТ

Т<0 ,

где ¿/' - скорость интенсивности пластической деформации; а1 - скорость интенсивности напряжений; ат - предел текучести определенного материала;

- а8и - компоненты девиатора тензора напряжений.

Скорость изменения напряжений, определяемых упругими

деформациями, с учетом сделанных относительно твердой и жидкой фаз

предположений может быть записана в виде

' \ з к;

2 сж +

-1

е%), А/еП;,

(8)

3МеП1,

где ¿е ¿у выражаются через соотношение второе соотношение (7);

С,К,/5-модуль сдвига, модуль объемного сжатия, коэффициент линейного температурного расширения соответствующих слоев и фаз.

Эволюционная граничная задача без учета массовых сил для внутренних точек всех фаз и слоев состоит из уравнений равновесия (6), соотношений Коши (7) и уравнений состояния (8). Эти уравнения должны быть дополнены условиями сопряжения слоев (9) и фаз (10), внешними граничными (11) и начальными условиями (12):

КМгь = 0, [Й1-]|Г,Я = 0,

СГ I =0,

у I/=о '

"< 1г„

Г„иГ„=Г,

(9) (10)

(И) (12)

В четвертом разделе рассматриваются условия сопряжения растущего тела и жидкой фазы. Поскольку жидкая фаза моделируется как упругое тело, давление р со стороны жидкой фазы может быть переписано через скорости деформаций следующим образом:

о

Для растущего слоя на границе роста в момент присоединения возникает структурная деформация, связанная с изменением агрегатного состояния (предполагается, что она имеет изотропный характер):

Тогда

полные деформации на границе фронта в твердом растущем слое вычисляются зависимостью

еи\ г* = + -

Р

— 1 1 + Д^,

где ( - время зарождения твердого элемента, Д^ - упругие деформации,

возникающие в момент зарождения твердого элемента. Ввиду малого градиента температур в окрестности границы фазового перехода температурными деформациями можно пренебречь.

Условия (10) в скоростях на границе раздела фаз записываются в виде

диI

~дГ

= -■9,

г:

ди!

дхь

фг,.] дп.-г 1 д\аи\ дп,х п

д1

дхь

= 0,

'■ы

где Зк- компоненты скорости движения фазового фронта & .

Во второй главе рассматриваются численные схемы решения полученной математической модели.

В первом параграфе строится численная схема решения одномерных задач. Вводится пространственно-временная сетка ш - шх х ш,, кусочно-равномерная по координате с шагами Ак:

гпх = {х,- = хы + Ак, к = 1, / = 0..и,, к = 2, / = и,..«2, ..., к = К, ¡ = пк^..пк).

Сетка по времени т, = = /•_] + А,^,] = \,т\ строится итерационно, ввиду этого она неравномерна и динамически адаптируется к изменению (2: (Д,, если - р;<2'к -£< д> < р1(2к + г, " если - А+&* + г < б/ или 0/' > -

где Д; - основной шаг по времени в случае отсутствия фазовых переходов на некотором временном интервале; е- малая величина, характеризующая погрешность определения конечного момента времени фазового перехода в данной точке пространства (например, 5% от У, •">' - номер итерации на у"-ом временном слое. Если Q¡ попадает в интервал {-ркО*к ~ £,~рХО*к\ или [РкОк'РкОк + £)' итерации прекращаются и на следующем шаге (3/ =0.

После аппроксимации уравнений построенной модели для одномерного случая на кусочно-равномерной сетке по координате и неравномерной сетке по времени на каждом временном слое получается система алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, которая может быть решена методом прогонки.

Во втором разделе строится численная схема для решения температурной задачи (1)-(3) в двумерном случае.

В третьем разделе описывается численное решение деформационной задачи. Для упругопластической задачи описан метод дополнительных деформаций, модифицированный под систему уравнений, записанных в скоростях напряжений, деформаций и перемещений. Приведен алгоритм решения упругих задач.

В четвертом разделе для проверки предложенной температурной модели проводились сравнения решений одномерных задач с автомодельным решением классической задачи Стефана о проплавлении полупространства, приближенным решением Лейбензона для бесконечного затвердевающего цилиндра, численным решением методом сквозного счета задачей о затвердевании пластины. Для качественной оценки адекватности математической модели и соответствующим ей численным схемам были проведены тестовые расчеты для двумерной задачи, где в качестве объекта рассматривался алюминиевый квадратный брус бесконечной длины, и для

одномерной трехслойной пластины. Расчеты показали хорошее совпадение результатов, а также универсальность предлагаемой модели и численной схемы.

В третьей главе приведены результаты численных расчетов по предлагаемой модели для конкретных практических задач по формированию слоистых материалов.

В первом разделе приведено численное решение температурной задачи о проплавлении металлического слоя при сварке плавлением стекла и металла.

Во втором разделе получено численное решение задачи определения температурных напряжений в процессе формирования слоистого стержня «стекло-алюминий-сталь» в упругом приближении. Агрегатное состояние меняется у среднего слоя.

В третьем разделе получено численное решение задачи определения температурных напряжений в процессе формирования трехслойной цилиндрической оболочки «алюминий-стекло-алюминий» с крайними кристаллизующимися слоями в упругой постановке.

На рис. 2 приведены графики зависимости положения фронта фазового перехода от времени соответствующие случаю, когда кристаллизуется средний слой (рис. 2, а), и случаю, когда кристаллизуются крайние слои (рис. 2, б). Стоит отметить, что в первом случае выделяются два фронта фазового перехода, которые в итоге сливаются и исчезают, а во втором случае на некотором временном интервале так же существуют две фазовые границы, соответствующие уже разным слоям. На рис. 3 приведены графики конечных значений напряжений стгг и а^ для задач второго раздела (рис. 3, а) и третьего

раздела (рис. 3, б). На рис. 4 приведены графики эволюции интенсивности напряжений во времени на границах сопряжения слоев (при г = гх и г = г2 ) со стороны внутреннего слоя для задач второго раздела (рис. 4, а) и третьего раздела (рис. 4, б).

0,4

б)

0,6

0,3

0,4

0,2

0,2

ОД

0 -----,

0,03 0,035 0,04 0,045 г, м

0 -----

0,03 0,035 0,04 0,045 г, м

Рис. 2. Границы фазовых переходов 12

сг, МПа 100

а)

-100

<т, МПа О

-50 -100 -150

б)

0,03 0,035 0,04 0,045 г, м

0,03 0,035 0,04 0,045 г, м

Рис. 3. Напряжения в конечный момент времени

сг, МПа

400

300

200

100

0

о)

Д О", (1,0

сг, МПа 150

100 50

0,5

I, ч

0

о/(г„0

0 ОД 0,2 0,3 0,4 /, ч

Рис. 4. Эволюции интенсивности напряжений

В четвертом разделе приведено численное решение задачи определения температурных напряжений в процессе формирования слоистого стержня «стекло-алюминий-сталь» в упругопластической постановке. Агрегатное состояние меняется у среднего слоя.

0,03 0,04 0,05 0,06 г,м

0,03 0,04 0,05 0,06 г, м

Рис. 5. Значения пластических деформаций в конечный момент времени

а, МП а

а, МПа

-100

-20

-60

-40

-80

-200

-150

-100

0

-50

\

\

0,03 0,04 0,05 0,06 г, м

0,03 0,04 0,05 0,06 г,м

Рис. 6. Значения остаточных напряжений

На рис. 5 представлены значения конечных величин пластических деформаций в среднем слое радиальных (рис. 5, а) и окружных (рис. 5, б). На рис. 6 представлены значения остаточных напряжений радиальных (рис. 6, а) и окружных (рис. 6, б). Полученные результаты качественно не противоречат механическим представлениям о процессе деформирования с учетом кристаллизации.

В заключении сформулированы основные выводы.

— Разработана математическая модель процесса теплообмена в слоистых материалах с учетом фазовых переходов 1 рода, которая не содержит граничного условия Стефана на границе раздела фаз и эффективной теплоемкости. Для предложенной математической модели разработан метод численного решения двухфазной задачи в слоистом материале.

— Поставлена эволюционная краевая задача для многослойного тела с нестационарной границей раздела фаз в кристаллизующихся слоях, с учетом изменяющихся термомеханических характеристик материалов. Предложено краевое условие на границе раздела фаз, которое отличается от краевого условия на поверхности роста, обычно используемого в механике растущих тел.

— Получено численное решение задачи определения температурных напряжений в процессе формирования слоистого стержня на базе стекла и стали, соединяемых через прокладку из легкоплавкого металла в упругом и упругопластическом приближении.

Получено численное решение задачи для трехслойного стеклометаллокомпозита цилиндрической формы с крайними кристаллизующимися слоями в упругой постановке.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Любимова О.Н., Пестов КН., Гридасова Е.А. Численное решение задачи о проплавлении металлического слоя при сварке плавлением стекла и металла // Вычислительная механика сплошных сред. 2010. Т.З, №1. С. 63-73.

2. Любимова О.Н., Пестов К.Н., Гридасова Е.А. Математическое моделирование теплового процесса диффузионной сварки стекла с металлом // Сибирский журнал индустриальной математики. 2010. Т.13, №4(44). С. 52-63,

3. Любимова О.Н., Гридасова Е.А., Пестов КН. К вопросу упрочнения стекла методом диффузионной сварки с металлом // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева Серия: Механика предельного состояния. 2010. № 2 (8). С. 318-325.

4. Lyubimova O.N., Pestov K.N., Gridasova Е.А. Numerical solution of problem fusion penetration metal, when glass welds metal by diffusion welding // Proceedings of international summer school «Advanced Problems in Mechanics». St. Petersburg: IPME. 2010. P. 419-425.

5. Любимова O.H., Пестов K.H. Численное решение контактной задачи термомеханики для слоистого композита с учетом фазовых переходов первого рода в отдельных слоях // Тезисы докладов II всероссийской конференции «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций». Новосибирск: ИГИЛ. 2011. С. 65.

6. Пестов КН. Моделирование временных напряжений и деформаций с учетом фазовых превращений 1 рода при осесимметричном остывании трехслойного цилиндра // Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления. Всероссийская научная конференция, посвященная 75-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова. 11-17 сент. 2011 г., Владивосток: сб. докл. [Электронный ресурс]. Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2011. С. 127-130.

7. Пестов КН. Моделирование термоупругих напряжений с учетом фазовых превращений 1 рода при осесимметричном остывании трехслойного цилиндра // Материалы IV международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики теории управления и математического моделирования». Воронеж: ВГУ, 2011. С. 225.

8. Патент №2428388 РФ, МПК С03С 27/02. Способ изготовления стеклометаллокомпозита / Гридасова Е.А., Любимова О.Н., Пестов К.Н., Каяк Г.Л. - №2009149790/03; Заяв. 31.12.2009; Опубл. 10.09.2011, Бюл. № 25. - 6 с.

9. Патент №2428389 РФ, МПК С03С 27/02. Способ изготовления стеклометаллокомпозита / Гридасова Е.А., Любимова О.Н., Пестов К.Н., Каяк Г.Л. - №2009149794; Заяв. 31.12.2009; Опубл. 10.09.2011, Бюл. № 25. - 6 с.

Личный вклад автора. Работы (6, 7) выполнены автором лично. В работах (1, 2, 4, 5) автор участвовал в обсуждении модели, разрабатывал численную схему и выполнил все необходимые расчеты. В работе (3) автор принимал участие в постановке задачи, в (8, 9) в предварительном математическом моделировании технологического процесса.

Константин Николаевич ПЕСТОВ

ЭВОЛЮЦИЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ КАК СЛЕДСТВИЕ ПРОЦЕССА ОСТЫВАНИЯ И КОНСОЛИДАЦИИ РАСПЛАВА ПРИ ФОРМИРОВАНИИ СЛОИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 26.03.2012 г. Печать офсетная. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Усл. п. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,23. Тираж 100 экз. Заказ 36

Отпечатано в типографии ФГУП Издательство «Дальнаука» ДВО РАН 690041, г. Владивосток, ул. Радио,7

Ы 1^-1/11^1

Дальневосточный федеральный университет

На правах рукописи

Пестов Константин Николаевич

ЭВОЛЮЦИЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ КАК СЛЕДСТВИЕ ПРОЦЕССА ОСТЫВАНИЯ И КОНСОЛИДАЦИИ РАСПЛАВА ПРИ ФОРМИРОВАНИИ СЛОИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель кандидат физико-математических наук, доцент О.Н. Любимова

Владивосток - 2012

СОДЕРЖАНИЕ

Условные обозначения.........................................................4

Введение...........................................................................5

Глава 1. Построение математической модели для определения температурных напряжений в слоистых материалах с учетом фазовых переходов первого рода...........................................22

1.1. Основные предположения принятые при построении математической модели.........................................................22

1.2. Математическая модель определения тепловых полей и границ фронтов фазовых превращений в слоистых материалах.................23

1.3. Математическая модель определения напряженно-деформированного состояния в слоистых материалах с движущейся границей раздела фаз в отдельных слоях....................................31

1.4. Краевое условие на границе раздела фаз..................................43

Глава 2. Численные схемы...................................................50

2.1. Построение численной схемы для температурной задачи в одномерном случае...............................................................50

2.2. Построение численной схемы для температурной задачи в двумерном случае.................................................................55

2.3. Численная схема для решения одномерных упругопластических задач.................................................................................58

2.4. Тестовые сравнения численных решений температурной задачи с известными решениями..........................................................64

Глава 3. Результаты моделирования и численного решения некоторых практических задач..............................................78

3.1. Численное решение задачи о проплавлении металлического слоя при сварке плавлением стекла и металла....................................78

3.2. Численное решение задачи определения температурных

напряжений в процессе формирования композиционного материала на базе стекла и стали, соединяемых через прокладку из

легкоплавкого металла, в упругом приближении.........................83

3.4. Численное решение задачи для трехслойного цилиндра с

крайними кристаллизующимися слоями в упругой постановке........93

3.3. Численное решение задачи определения температурных напряжений в процессе формирования композиционного материала на базе стекла и стали, соединяемых через прокладку из

легкоплавкого металла, в упругопластической постановке.............96

Заключение....................................................................103

Литература......................................................................104

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Т*

Т - температура плавления,

- удельная теплота фазового перехода, р- плотность, с - удельная теплоемкость. Л - коэффициент теплопроводности, а — коэффициент температуропроводности, $ — скорость движения межфазной границы, X - коэффициент теплоотдачи,

К,Е,у,С - модуль объемной упругости, модуль Юнга, коэффициент Пуассона, модуль сдвига,

а - коэффициент линейного температурного расширения.

£у,£у,£у -компоненты тензоров полных, упругих, температурных,

пластических, структурных деформаций,

- компоненты тензоров напряжений, скоростей напряжений,

девиатора тензора напряжений,

и1,й1 - компоненты вектора перемещений и вектора скорости перемещений,

область & - го слоя, Тк- граница к - го слоя,

Г^Г^пГ,-граница сопряжения к - го и / -го слоев, ~ Я фронт фазового перехода в к-м слое,

ы - внешняя граница слоистого материала.

к Ы

Верхние индексы +обозначают жидкую и твердую фазу соответственно.

ВВЕДЕНИЕ

Современное развитие промышленности напрямую связано с широким внедрением новых материалов, сочетающих в себе высокие технико-эксплуатационные свойства, технологичность изготовления и низкую себестоимость производства. Применение слоистых композитов, позволяет значительно снизить массу конструкций и одновременно оптимизировать эксплуатационные характеристики машин и агрегатов. В ряде конструкций оптимальные эксплуатационные свойства можно получить лишь при условии применения составных или комбинированных узлов из разнородных материалов (слоистых композитов). Из таких материалов изготавливается не вся конструкция, а лишь те участки, которые испытывают воздействие силовых нагрузок, температур или агрессивных сред.

Технологические процессы изготовления некоторых слоистых композиционных материалов, например такие как, биметаллы, триметаллы, стеклометаллокомпозит [135, 136, 137] включают температурные режимы, при которых в материалах возможны фазовые превращения первого рода. Напряжения формирующиеся температурной и структурной неоднородностями в слоистых материалах, особенно на границах контакта разных материалов и разных фаз, могут приводить к снижению эксплуатационных качеств изделий и к разрушению их на стадии изготовления. Накопленный опыт в практике термической обработки композитов и эксплуатации изделий из них не всегда позволяет контролировать величину возникающих напряжений, что может привести к разрушению или к недопустимой деформации изделий. Знание кинетики протекания и величины временных термических напряжений позволит более качественно проводить термическую обработку, управлять остаточными напряжениями и избежать преждевременного выхода из строя деталей, подверженных высокоинтенсивному температурному воздействию. Поэтому разработка и усовершенствование методов исследования кинетики

формирования напряжений с учетом фазовых переходов в процессе температурного формирования слоистых композиционных материалов в настоящее время не утратили свою значимость и являются актуальными проблемами в механике деформируемого твердого тела.

Постоянный интерес исследователей к рассматриваемой проблеме определяется тем, что не только слоистые, но и большинство материалов, используемых в современной технике, испытывают фазовые переходы в процессе изготовления и эксплуатации. Примером могут послужить рост кристаллов, формирование ледяного покрова, промерзание грунта, затвердевание металла в изложнице. Весьма ограничен круг моделей, которые могли бы быть использованы для проведения инженерных расчетов с целью контроля отдельных технологических процессов. А моделей изготовления слоистых композиционных материалов, когда изменение агрегатного состояния возможно сразу в нескольких слоях, причем фронтов фазовых переходов в одном слое может быть несколько и они могут двигаться навстречу друг другу, сливаясь в некоторый момент времени, вообще не было обнаружено.

Основные идеи классической теории фазовых переходов заложены еще Дж. В. Гиббсом [42] в работе «О равновесии гетерогенных веществ» в 18751878 гг. С тех пор интерес к исследованию фазовых переходов непрерывно возрастает. Постоянно возрастающее количество публикаций, выделение на некоторых международных конференциях отдельных секций свидетельствуют об актуальности и об открытости вопросов взаимосвязи фазовых переходов с процессами деформирования материала.

При описании фазовых превращений выделяются два основных направления исследований:

1) фазовые превращения объемного типа, когда деформирование двухфазных тел описывается при помощи введения дополнительного параметра состояния системы, например, доли твердой фазы, которая определяется по фазовым диаграммам, к такому направлению относятся

работы В.А. Лихачева [88, 89], В.Г. Малинина [89, 105], В..И. Одинокова [131], АА. Мовчана [119-121];

2) фазовые превращения с выделение поверхности раздела фаз с дополнительным условием термодинамического равновесия на границе раздела фаз деформируемого материала, к этому направлению относятся работы В.И. Кондаурова [78, 79, 80, 81], В А. Еремеева [52, 53, 54], А.Б. Фрейдина [122, 123, 124, 176], МА. Гузева [39, 40, 48, 49], МА. Гринфельда [47].

Модели, использующие первый подход, наиболее часто используются при инженерных расчетах, что подтверждает их способность выявить важные особенности деформационных процессов при фазовых переходах, однако описание локальных полей деформаций и напряжений при таком подходе невозможно.

Второе направление исследований относится к интенсивно развивающемуся в направлении качественного уровня понимания фазовых переходов и здесь основными задачами являются: анализ неединственности и устойчивости двухфазных полей деформаций.

Параллельно основным направлениям развиваются некоторые альтернативные подходы к кинетике фазовых переходов, например, в работах А.Г. Князевой [71, 72, 73, 74, 154] когда в случае фазового перехода с участием твердого вещества меняется сразу несколько параметров состояния и граница представляет собой слой иногда довольно большой толщины или в работах по механике растущих тел [15, 107], когда кристаллизующийся материал представляется как растущий из жидкой фазы.

Данная работа выполнена как раз в рамках последнего альтернативного подхода, с тем существенным отличием, которое и обеспечивает ей научную новизну: в отличие от механики растущих тел рассматривается слоистое тело постоянной массы и состава, в котором при росте твердой фазы учитывается влияние давления (заранее неизвестного) на нее жидкой фазы.

В данной работе предполагается, что изменение агрегатного состояния есть следствие изменения температуры в первую очередь, а напряженно-деформированное состояние тела формируется как следствие неоднородного изменения температуры, скачка коэффициента линейного температурного расширения разных материалов (в случае слоистых тел) и изменением агрегатного состояния в отдельных слоях. Проводится моделирование технологических процессов изготовления слоистых материалов (СМ), в которых:

• температура на отдельных интервалах температурного режима достигает температуры плавления отдельных слоев;

• скорость изменения температуры незначительна и поэтому эффектом связности взаимодействия температурного и деформационного полей можно пренебречь;

• движение фронта фазового перехода является следствием изменения температуры.

В математических моделях термомеханики рассматриваются различные способы распространения тепла в сплошных средах, распространение тепла всегда сопровождается возникновением в теле напряжений и деформаций. Поэтому исследования напряженно-деформированного состояния тел с учетом различных связей между напряжениями, деформациями и температурой составляют основу современных моделей термомеханики. Особое внимание в задачах термомеханики уделяется способу задания тепловой нагрузки и ее моделированию при решении конкретных задач. В этой области проведен ряд исследований, в которых учитывались различные формы моделирования тепловой нагрузки: задание значений температуры и плотности потоков тепла на границе, сосредоточенных источников тепла, однородных потоков тепла на бесконечности [68, 101].

В общем случае изменение температуры тела происходит не только вследствие повода тепла от внешних источников, но и в результате самого процесса деформирования. При деформировании тела от механических или

тепловых воздействий, протекающих с большой скоростью, возникает так называемый эффект связности, обусловленный взаимодействием температурных и деформационных полей. Он проявляется в образовании и движении тепловых потоков внутри тела, возникновении связанный упругих и тепловых волн, термоупругом рассеянии. Работы В.Н. Новацкого [128] и В.Г. Карнаухова [67] посвящены решению связанных задач термоупругости.

Однако построение решений связанных задач термоупругости для тел конечных размеров вызывает значительные математические трудности. Вместе с тем для многих практических задач и технологических процессов адекватные решения получаются и при решении несвязных задач термоупругости. Кроме того, при моделировании температурных напряжений и в несвязной постановке существует достаточно проблем и открытых вопросов в получении решений даже в численном виде. К таким проблемным задачам несвязанной теории температурных напряжений относятся задачи исследования напряженно-деформированного состояния в материалах при фазовых переходах. Систематическое изложение несвязной теории температурных напряжений дано в работах Б. Боли и Дж. Уайнера [23]. Классическими работами в области термоупругости слоистых сред являются работы А.Д. Коваленко [75], В.М. Вигака [36], Я.С. Подстригача, В.А. Ломакина, Ю.М. Коляно [143]. Рассмотренные в них методы, однако, в большинстве случаев, касаются решения задач термоупругости для слоя либо полупространства. В несвязной постановке выполнена и данная диссертационная работа.

Моделирование эволюции напряженно-деформированного состояния (НДС) при формировании СМ в данной работе проводилось в рамках несвязной модели термомеханики.

Первым этапом при решении несвязных задач вычислительной термомеханики является определение температурных полей. Теоретическое описание динамики фазовых переходов первого рода в случае зависимости фазового состояния только от температуры приводит к различным вариантам

задачи Стефана. Основной особенностью задач Стефана является отсутствие явного выражения для скорости движения фазовых границ. Поэтому большинство задач Стефана являются нелинейными даже при постоянных значениях теплофизических параметров, так что аналитическое решение их известно только для некоторых специальных случаев. Основными методами решения остаются численные методы, среди которых заслуженной популярностью пользуются, конечно-разностные методы, поскольку они обеспечивают высокую точность результатов, учитывают большое число параметров и не требуют грубых ограничений и допущений.

В разработку разностных методов решения задач тепло- и массопереноса с подвижными границами существенный вклад внесли A.A. Самарский [149, 152], Б.М. Будак [27-30], П.Н. Вабищевич [32, 33, 152, 153], Н.И. Никитенко [126], Дж. Дуглас [184, 186], Л. Эрлих [187], Ж. Мейер [192].

Необходимость описания фазовых превращений, в которых поверхность раздела фаз зависит только от одного параметра - температуры, стала одной из причин, вызвавших к жизни такое направление в современной математике как теория задачи Стефана [85, 133, 134].

Особенностью задачи Стефана является наличие только одного параметра состояния - температуры, и тем не менее, методы задачи Стефана нашли многочисленные приложения, например, при моделировании практических задач при выращивании кристаллов, изучении затвердевания отливок [2-7, 41, 63, 154, 161, 165, 180].

Общепринятой моделью, используемой при математическом описании разнообразных процессов кристаллизации, является классическая постановка задачи, предложенной Й. Стефаном в 1889 г [193]. Основные физические предположения, принятые в классической постановке выглядят следующим образом [1]:

1) считается, что агрегатное состояние среды изменяется только вследствие теплопроводности среды под воздействием внешних и внутренних источников теплоты;

2) передача энергии в каждой фазе рассматриваемого вещества описывается уравнением теплопроводности с соответствующими теплофизическими характеристиками;

3) фазовый переход происходит на границе раздела фаз, определяемой уравнением:

Ф(х,у,2,^ = 0, (0.1)

причем предполагается существование, однозначно определенной, достаточно гладкой поверхности раздела фаз;

4) фазовый переход происходит в равновесных условия, т.е. на границе раздела задана температура плавления:

.Уфэ^фэ^ф) — Т ,

при

5) поведение границы фазового превращения, называемой свободной границей, описывается условием Стефана:

= (0.2)

оп дп

наличие которого относит задачу к нелинейным. Условие Стефана выражает баланс энергии при переходе среды из одного агрегатного состояния в другое, подробный вывод которого для одномерного случая приведен в [101] и для многомерного - в работе [164].

Ключевым условием на свободной границе, помимо условия Стефана, является равенство температуры среды температуре плавления данного вещества, которая считается известной постоянной величиной. Это условие

имеет характер аксиомы, так как не следует ни из каких фундаментальных законов, но достаточно точно отражает многие реальные процессы.

Исторически впервые постановка задачи Стефана и ее решение были исследованы в классической работе Г.Ламе и Б. Клапейрон [190] по замерзанию жидкости. В 1931 году Л.С. Лейбензон [61] предложил, нашедший широкое практическое применение, приближенный метод решения задачи Стефана. Суть этого метода состоит в задании функции температурного распределения внутри каждой фазы, удовлетворяющей стационарному уравнению теплопроводности и граничным условиям. Подстановка температур�