Слияние свободных границ в задаче Стефана и задаче Стефана-Гиббса-Томсона тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Руднев Вадим Юрьевич

Слияние свободных границ в задаче Стефана и задаче Стефана-Гиббса-Томсона.

Специальность: 01.01.03 - Математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена в Московском Государственном Институте Электроники и Математики (техническом университете) на кафедре «Прикладная математика»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Данилов Владимир Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор Радкевич Евгений Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент Демидов Александр Сергеевич

Ведущая организация:

Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН.

Защита состоится

ИР

сентября 2005г. в

К

часов на заседании

диссертационного совета К 212.133.01 в Московском Государственном Институте Электроники и Математики (техническом университете) по адресу: 109028, Москва, Б. Трехсвятительский пер., 3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ (ТУ). Автореферат разослан у?-

Ученый секретарь диссертационного совета К 212.133.01, к.ф.-м. н.,доцент Хакимуллин Е.Р.

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Широкий спектр физических явлений связанных с распределением фаз в среде описывается классом задач со свободной границей. Кроме того, ряд практических приложений таких задач встречается в финансовой математике. В настоящее время значительные результаты получены при исследовании задач рассматриваемого класса в случае распространения (динамики) границы раздела фаз В частности, широко известные работы [7, 8, 12-14] посвященпые исследованию динамики свободной границы в классической задаче Стефана и в задаче Стефана—Гиббса—Томсона, которые описывают распределение фаз в двухфазных средах, содержат ряд базовых оценок и описание свойств слабого асимптотического решения системы фазового поля соответствующего этим двум задачам.

В то же время, наибольший практический интерес представляют задачи не с одной свободной границей, а с несколькими при возможном их взаимодействии. Из практических наблюдений известно, что нет точной границы раздела фаз, а существует некоторый тонкий пограничный слой, в котором вещество находится в промежуточном состоянии. В этом слое возникает ряд эффектов хорошо описанных в физической литературе посвященной этой теме. Однако, в настоящее время, очень мало известно о механизме процессов происходящих в точке контакта свободных границ. Дело в том, что классические асимптотические методы (\VKEi, Уизема, разработки В П. Маслова и его соавторов на основе метода Уизема, см. [15-18, 28]), а также известные в настоящее время точные методы (метод обратной задачи рассеяния) не позволяют анализировать и решать нелинейные задачи с взаимодействием. Проблема заключается в том, что для нахождения главного члена асимптотического решения в рамках этих методов необходимо построить формулу для решения уравнения (системы уравнений) в частных производных. Трудности, которые возникают при решении таких уравнений, общеизвестны. Поэтому для решения задач с взаимодействием необходимо использовать принципиально новый подход.

Разработка нового мощного метода исследования нелинейных задач (метода слабых асимптотик) обусловило выбор темы настоящей диссертационной работы. Применяя метод слабых асимптотик, мы проводим эффективный анализ взаимодействия нелинейных волн в задаче Стефана и в задаче Стефана—Гиббса—Томсона, имеющих практическую значимость.

В настоящее время, на сколько нам известно, единственным примером аккуратного

качественного анализа задачи с взаимодействием ¡сирбодныл цмнии яиллвтся работа

Рои НАЦИОНАЛЬНАЯ

»НАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА СП*?1

о»

А Мейрманова и Б. Зальтцмана [20]. В этой работе рассматривается однофазная задача Хеле-Шоу, и ее анализ проводится на основе классических результатов (в частности, принципа максимума) для уравнения теплопроводности Для исследуемых нами двухфазных задач принцип максимума, вообще говоря, несправедлив, и мы применяем совершенно другую - конструктивную технику. Именно, мы строим приближенное решение, используя технику метода слабых асимптотик.

Заметим, что с помощью метода слабых асимптотик взаимодействие свободных границ в задаче Стефана-Гиббса-Томсона исследовал Г.А. Омельянов [21]. В отличие от [21] мы используем иной вид анзатца слабого асимптотического решения для системы фазового поля.

Цель диссертационной работы. Основная задача заключается в построении формального асимптотического решения для системы фазового поля, которое описывает взаимодействие свободных границ. Другими словами, мы хотим построить некоторую приближенную (асимптотическую) формулу для решения системы фазового поля (в случае задачи Стефана и в случае задачи Стефана-Гиббса-Томсона), и эта формула должна работать на временах до и после взаимодействия свободных границ. При этом нам потребовалось:

- построить анзатц слабого асимптотического решения системы фазового поля и проверить, что построенная функция в пределе является решением соответствующих классических задач в случае взаимодействия свободных границ;

- на основе построенного анзатца с применением метода слабых асимптотик описать свойства температуры в момент контакта свободных границ;

- вывести предельные задачи являющиеся обобщением задачи Стефана и задачи Стефана-Гиббса-Томсона на случай взаимодействия свободных границ; построить разностную схему для системы фазового поля и провести численное моделирование процесса слияния свободных границ.

Общая методика исследования. Исследование основано на использовании задач аппроксимирующих классические задачи со свободной границей (в нашем случае задачи Стефана и задачи Стефана-Гиббса-Томсона) и построении для этих аппроксимирующих задач приближенных решений. Далее, путем предельного перехода в слабом смысле по параметру аппроксимации в построенном решении выводится решение для предельных классических задач.

Заметим, что переход от классических предельных задач к их аппроксимации -регуляризованной задаче изучен в работах [1-6,19,25]. Именно, в качестве регуляризации задачи Стефана и задачи Стефана-Гиббса-Томсона используется система фазового поля [1-6,19,25].

Основные приемы построения решения для регуляризованной задачи (системы фазового поля) в случае рассматриваемых классических задач и техника предельных переходов описаны в работах [9-14, 22-27]. В указанных работах изложена методика построения определения слабого асимптотического решения для регуляризованной задачи, а также изложены основы математического аппарата используемого в настоящем диссертационном исследовании.

В диссертации применяется отличная от [9] техника перехода к слабому пределу -метод слабых асимптотик.

Большую роль (роль "подсказки") при построении слабого асимптотического решения играет численное моделирование процесса взаимодействия. При этом для построения разностной схемы для системы фазового поля использовались известные работы, посвященные численному решению нелинейных уравнений (в частности, книги Е.С. Николаева и А.А Самарского [29, 30]).

Научная новизна н практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в ходе диссертационного исследования, позволяют описывать слияние нелинейных волн в задачах, которые не допускают решения другими методами. Кроме того, развиваемый в настоящей диссертационной работе метод слабых асимптотик позволяет выводить предельные задачи, обобщающие классические предельные задачи на случай взаимодействия. Научная новизна определяется следующими основными результатами:

1) С помощью метод слабых асимптотик построено слабое асимптотическое решение для системы фазового поля в случае взаимодействия свободных границ в задаче Стефана и в задаче Стефана-Гиббса-Томсона.

2) Получены предельные задачи, обобщающие задачу Стефана и задачу Стефана-Гиббса-Томсона на случай взаимодействия свободных границ.

3) Исследованы эффекты взаимодействия нелинейных волн (кинков), и описаны свойства температуры в момент взаимодействия свободных границ.

4) Объяснен механизм сглаживания свободной границы в двумерном

случае.

Все полученные в диссертационном исследовании результаты являются новыми и представляют собой существенный шаг в анализе нелинейных взаимодействий. Развиваемый в диссертации подход расширяет методы исследования задач со свободными границами, как в теоретическом, так и в численном плане.

Личное участие автора. В.Г. Даниловым был предложен вид анзатца для слабого асимптотического решения в случае симметричной задачи. Автору диссертационной работы принадлежат следующие результаты:

- обобщение вида анзатца на общий случай с одной пространственной переменной;

- вывод условий, при которых функция заданная анзатцем является слабым асимптотическим решением в случае рассматриваемых предельных классических задач;

получение предельных задач обобщающих классическую задачу Стефана и классическую задачу Стефана-Гиббса-Томсона на случай взаимодействия свободных границ;

- вывод соотношений между скоростями свободных границ в момент взаимодействия, которые играют ключевую роль в описании свойств температуры. Г.А. Омельяновым был предложен метод построения разностной схемы для

системы фазового поля.

Автором диссертации проведена оценка устойчивости разностной схемы и проведено ее всестороннее тестирование.

Автору диссертационной работы принадлежат все результаты численного моделирования.

Результаты выносимые на защиту:

1. Формулы для слабого асимптотического решения системы фазового поля в случае задачи Стефана-Гиббса-Томсона (1), (2) и в случае задачи Стефана (1), (9).

2. Основные теоретические результаты, сформулированные в Теореме 1 и Теореме 2. Эти теоремы устанавливают условия, при которых построенный анзатц удовлетворяет определению слабого асимптотического решения для системы фазового поля.

3. На основе применения метода слабых асимптотик построены предельные задачи (8) и (10), которые являются обобщением классической задачи Стефана-Гиббса-Томсона и классической задачи Стефана на случай взаимодействия свободных границ.

4. Свойства скоростей свободных границ (6) и (7).

Апробация результатов. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. Моделирование динамики и взаимодействия кинков для уравнений фазового поля Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ, Москва, 2002.

2. Описание слияния свободных границ в модели фазового поля методом слабых асимптотик. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ, Москва, 2003.

3. Слабое решение системы фазового поля в случае взаимодействия свободных границ Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ, Москва, 2004.

4. Слияние свободных границ в задаче Стефана и в задаче Стефана-Гиббса-Томсона. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ, Москва, 2005.

5. The weak asymptotic solution of the phase field system in the case of confluence of free boundaries in the Stefan-Gibbs-Thomson problem. Международная конференция Nonlinear Partial Differential Equations (NPDE-2003), Донецк.

6. The weak asymptotic solution of the phase field system in the case of interaction of free boundaries. Международная конференция Петровского, Москва, МГУ, 2004.

Объем работы и структура диссертации. Структура и объем диссертационной работы определяется логикой исследования. Диссертация состоит из Введения, 3 глав и списка использованной литературы. Общий объем работы 90 машинописных страниц. Диссертация содержит 16 рисунков. Список литературы состоит из 61 наименования.

2. Краткое содержание работы

Во Введении дается краткая характеристика исследуемых в диссертации задач со свободными границами, проводится обзор результатов известных к настоящему моменту и

оценивается степень разработанности проблемы. Обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, осуществляется постановка задачи, и определяется цель исследования. Формулируются основные результаты, которые выносятся на защиту, обосновывается их новизна и практическая ценность. Приводится характеристика основного технического инструмента исследования - метода слабых асимптотик, и обосновывается его применение.

Традиционно, под задачей со свободной границей понимают задачу, в которой требуется дать динамическое описание некоторой среды, которая содержит вещество в различных фазах. Свободной границей называют поверхность, разделяющую области, которые заняты различными фазами. Такого рода задачи имеют глубокое прикладное значение во многих областях науки, не только в физике, но также и в финансовой математике.

Первая математическая модель процессов связанных со свободной границей была предложена Стефаном и была названа классической задачей Стефана. В этой задаче требуется решить уравнение теплопроводности для температуры в каждой из двух областей с различными фазами, которое дополнено специальными условиями на свободной границе.

Однако в процессе исследования фазовых переходов выяснилось, что классическая задача Стефана не достаточно точно отражает реальную физическую ситуацию, и физики предложили более адекватную модель, см. [19]. Эта модель была названа модифицированной задачей Стефана или задачей Стефана-Гиббса-Томсона (задача Стефана с кинетическим переохлаждением).

В анализе задач со свободной границей существует вопрос об усреднении всего множества микроскопических моделей (которыми, в частности, являются задача Стефана и задача Стефана-Гиббса-Томсона), т.е. необходимо построить некоторую макроскопическую задачу, решение которой определяет вид предельных микроскопических задач.

В качестве основной математической модели дающей микроскопическое описание процессов происходящих как внутри, так и вне зоны перехода фаз мы используем систему фазового поля, которая впервые была предложена Г. Каджиналпом [1]

дв д ди ди аг, . ..

Здесь в - регуляризация температуры, к - регуляризация функции порядка, а = const, е - параметр регуляризации. Выбор функций F(u) и G(u) определяется свойствами рассматриваемой среды.

Известно [2, 4, 5, 11], что слабый предел решения системы фазового поля является при соответствующем выборе параметров либо обобщенным решением задачи Стефана, либо задачи Стефана с кинетическим переохлаждением. Очевидно также, что если в правой части уравнений системы фазового поля добавить функции, стремящиеся к нулю при е -> 0 в слабом смысле, то теоремы о слабом пределе решений системы фазового поля остаются верными.

Основная идея построения асимптотического решения в случае распространениея (динамики) свободной границы в задаче Стефана и в задаче Стефана-Гиббса-Томсона состоит в том, что для системы фазового поля строится анзатц решения содержащий параметр регуляризации е,[13, 22, 24]. Далее, с помощью определения слабого решения системы фазового поля проверяется, что построенный анзатц при £->0 удовлетворяет соответствующей предельной задаче в слабом смысле.

Применив асимптотическую технику [11, 19, 22], мы можем построить решение системы фазового поля как до, так и после взаимодействия свободных границ. Основная проблема такого рода построений в исследовании взаимодействий заключается в том, чтобы "сшить" эти два решения непрерывно по времени в момент взаимодействия.

Техника метода слабых асимптотик [12, 13] выгодно отличается от классических способов решения нелинейных задач, поскольку она требует решения только обыкновенных дифференциальных уравнений, в то время как в случае классических методов мы вынуждены работать с уравнениями в частных производных. Таким образом, принципиальным моментом настоящего диссертационного исследования является использование метода слабых асимптотик, который, в отличие от других известных методов, позволяет эффективно анализировать нелинейные взаимодействия.

Рассмотрим более подробно задачу о слиянии свободных границ и ее аппроксимацию системой фазового поля.

Основная идея состоит в том, что для системы фазового поля строится анзатц решения содержащий параметр регуляризации е. На основе этого анзатца мы строим решение системы фазового поля (приближенное, с точностью до малых в слабом смысле при г 0правых частей). Далее мы доказываем, что при t е [0,/*] и 1е [/",/,] (/*-

некоторое число) слабый предел построенного решения системы фазового поля является обобщенным решением задачи Стефана или ее обобщения при условии, что классические решения этих задач существуют. Далее мы будем считать, что момент слияния свободных границ. Мы вычисляем слабый предел построенного приближенного решения системы фазового поля при / е ] и предъявляем задачу, решением которой этот слабый предел является Тем самым, мы предъявляем обобщение задачи Стефана (задачи Стефана с кинетическим переохлаждением) описывающее слияние свободных границ и гладкую при е > 0 аппроксимацию этого решения.

В первой главе диссертации рассматривается одномерный случай взаимодействия свободных границ в задаче Стефана и в задаче Стефана-Гиббса-Томсона.

Прежде всего, дается определение слабого асимптотического решения системы фазового поля. Объясняется его смысл и способ построения.

Исследование поставленной задачи происходит в соответствии со следующим планом.

Первый раздел главы посвящен анализу взаимодействия свободных границ в симметричных относительно замены х -> -х задачах. Именно, в этом случае свободные границы задаются соотношениями Г, ={х = -<р(1,т)} и Г2 ={х = ?>(/,г)}, (г- "быстрая" переменная).

Вначале рассматривается взаимодействие свободных границ в симметричной задаче Стефана-Гиббса-Томсона. В этом наиболее простом случае строится анзатц слабого асимптотического решения системы фазового поля, и с помощью метода слабых асимптотик выводятся условия, при которых этот анзатц соответствует решению рассматриваемой предельной задачи Стефана-Гиббса-Томсона.

Далее, анализируя полученные результаты, мы выводим соотношения между скоростями свободных границ ±(<р{1,т))' в момент взаимодействия, а также после слияния свободных границ. Дело в том, что в соответствии с развиваемым нами подходом необходимо построить обыкновенное дифференциальное уравнение для функции р(1,т) = <р(1,г)/е, которая имеет смысл «быстрого» расстояния между свободными границами. Анализ этого уравнения с учетом указанных соотношений между скоростями позволяет понять механизм взаимодействия и объяснить эффекты поведения температуры, выявленные при численном моделировании.

и

Следующим шагом является исследование одномерной симметричной задачи Стефана. Поскольку в задаче Стефана-Гиббса-Томсона условие Гиббса-Томсона на свободной границе в задаче Стефана заменено на более простое (температура на свободной границе должна обращаться в нуль), то эту задачу можно проанализировать, используя результаты предыдущего пункта.

В целом схема и принципы построения решения похожи на те, которые описана в [12, 21]. Отличительной чертой является не применение способа "сшивания" двух предельных решений (до и после взаимодействия) [21], а построение равномерных формул с помощью продолжения решения классических предельных задач за момент взаимодействия /'. Именно, мы предполагаем, что при I <t' существует классическое решение задачи Стефана-Гиббса-Томсона. Пусть Г„ ={х = ±<р0(г)}, / = 1,2 свободные

границы в классическом решении задачи Стефана-Гиббса-Томсона при t < t'. Основным предположением является предположение о существовании предела

Свободные границы в случае взаимодействия определяются функцией <p(t,г) = <p0(t)(l+(г)), где ф0(г) - продолжение функций <pa(t) за момент t с сохранением гладкости и знака производной, р,(г) - равномерно ограниченная гладкая функция, причем <pt (г) 0, г -> -со (до взаимодействия), и <р, (г) const, г -> +°о (после взаимодействия).

Во втором разделе первой главы исследуется общий случай, когда свободные границы задаются соотношениями Г, = {х = <f\ (/, г)} и Г2 = {х = <рг (/, г)}.

На основе результатов полученных в симметричном случае модернизируется анзатц слабого асимптотического решения для системы фазового поля

ч I

Ц'4гН'г?Н',гНс1

(1)

в(х,1, е) = в(х, /)+[Л(г)0,- (X,/)+в, (*, (2)

где в(х,0 - классическое решение задачи Стефана-Гиббса-Томсона при / </', продолженное за момент < = по алгоритму, указанному в Разделе 2 4.1 диссертации, й)0(г) = Л(2), <»|(г)-И,0 при г->±оо, щ(1с> е 5(5?) при Ат>0, Л(оо) = 0, Л(-«>) = 1, Л'(г)е5(К), Р = Р(р) - гладкая равномерно ограниченная функция, определяемая

равенством (2.22) в диссертации, <pi (t, г) = фл(/) + ещх (т), ф10(1) - продолженные решения предельных задач до ^взаимодействия, <pn(j) - равномерно ограниченные функции, причем <рл(г) -> 0, г->оо (до взаимодействия), и <ра(г) const, г -да (после взаимодействия), / = 1,2, р = ц/(1,т)/е, 4/{t,r) = <p1(t,T)-<px(t,z), z = iy0(t)/£,

Выводятся условия, при которых анзатц (1), (2) в пределе дает решение задачи Стефана-Гиббса-Томсона.

Теорема 1. В случае задачи Стефана-Гиббса-Томсона если

1 существует классическое решение задачи Стефана-Гиббса-Томсона при t <t (до взаимодействия), и существуют пределы lim (ф,Л ' , / = 1,2;

2 выполнено уравнение (обобщенное условие Стефана)

£ (1-Л(г))^]| +(-1»„/(Р))+«(Р) = 0, (3)

J«-«t /

где f{p), g(p) - гладкие ограниченные функции, /(<») = 2, /(-«0 = 0, g(±oo) = 0, (см. формулы (2 102), (2.103) в диссертации);

3. выполнено уравнение (обобщенное условие Гиббса-Томсона)

(Ku,-0ГЦ]л(г)^ -<Ръ-<Р^Кр) + (<Ры-<Рш)Р(Р)-(<Р2, +<3„ЖР) = 0. (4)

где р(р), q(p) - равномерно ограниченная функция, р(±оо) = 0, q(<n) = const. <?(-<») = 0, (см формулы (2 104), (2.105) в диссертации); 4 выполнено соотношение

Р2с(р) + Ь(р) = О, (5)

где С(р), D(p) -равномерно ограниченные функции, С(оо) = D(<x>) = 1,

¿(-<ю) / С(-со) = const, (см. формулы (2.100) и (2.101) в диссертации),

то функции (1), (2) являются слабым асимптотическим решением системы фазового поля в случае взаимодействия

Замечание: Уравнения (3) и (4) при г оо (до взаимодействия) переходят в условие Стефана и в условие Гиббса—Томсона соответственно. В диссертации доказано, что

уравнение (3) есть уравнение для определения функции p(t,г) и доказана его разрешимость. Равенство (4) вместе с (3) есть система уравнений для определения функций <рп(т), / = 1,2. В диссертации эти решения предъявлены, см. систему (2.127), (2.128).

Из (4) следует соотношение между скоростями свободных границ

<Ри =-0>2,.'='*> (6)

Равенство (6) является следствием представления (2) и в свою очередь следует из предположения о существовании классического решения задачи Стефана-Гиббса-Томсона.

При построении продолжения решения классической предельной задачи Стефаиа-Гиббса-Томсона мы отошли от схемы симметричного случая и, кроме того, вывели предельную задачу*

7)й п2Й

(0Ц+*(-1)>„)я(/'-О = О, / = 1,2

обобщающую классическую задачу Стефана-Гиббса-Томсона на случай взаимодействия свободных границ. Более того, анзатц (2) дает гладкую аппроксимацию обобщенного решения предельной задачи (7).

Основываясь на полученных оценках и свойствах анзатца решения для температуры (2), объяснен эффект образования охлажденной зоны в окрестности точки контакта свободных границ выявленный при численном моделировании.

Завершающим этапом исследования является анализ одномерной задачи Стефана. Анзатц слабого асимптотического решения ищется по формуле (1) и

0(х, t, е) = в(х, (,е)+еав1 (х, t, е), (8)

причем для определения функций 0¿x,t,e) и 0(xJ,e) в диссертации получены соответственно задачи (2.142) и (2.84), (2.133).

Исследование проводится в соответствии со схемой анализа взаимодействия свободных границ для задачи Стефана-Гиббса-Томсона.

' V<-6C-, {S(x-q>(t)H(t'-tM)= ¡a<P(.a),a)da

о

Теорема 1. В случае задачи Стефана если

1 существует классическое решение задачи Стефана при t <t (до взаимодействия),

и существуют пределы lim (<рт)', i = 1,2;

l->l'~о

2. выполнено уравнение (3);

3. выполнено соотношение (5),

то функции (1), (8) являются слабым асимптотическим решением системы фазового поля в случае взаимодействия.

Замечание: Поскольку в задаче Стефана отсутствует условие Гиббса-Томсона, мы не можем получить систему уравнений для определения функций $»,,(«"), / = 1,2, как это было сделано в случае задачи Стефана-Гиббса-Томсона. Тем не менее, из оценки для функции p = r{\+fu-(pn)~> const при т —► —со (после взаимодействия), следует, что <ра{т) -произвольные гладкие равномерно ограниченные функции, причем (ргх - = -1 + 0(г"1). Доказывается, что в случае задачи Стефана справедливо соотношение (6). Получена задача аналогичная (7):

^ -= 2 [th,8(x - <рг) - <pl:S(x - ft)] H(t -1),

oi ах (9)

H(t'-t) = 0, / = 1,2.

Проводится сравнительный анализ взаимодействия свободных границ в задаче Стефана и задаче Стефана-Гиббса-Томсона, как численный, так и теоретический. Объясняется принципиальное различие взаимодействия свободных границ в этих задачах: в аппроксимации задачи Стефана не образуется охлажденной зоны, как это происходит в аппроксимации задачи Стефана-Гиббса-Томсона.

Вторая глава диссертационной работы посвящена численному моделированию слияния свободных границ.

В первом разделе главы описывается построение разностной схемы для системы фазового поля. Описываются базовые принципы, на которых основывается построение разностной схемы в случае моделирования принципиально неустойчивой ситуации взаимодействия, и проводится теоретическая оценка устойчивости схемы.

Далее приводятся результаты численного тестирования разностной схемы. Немаловажно, что в рамках тестирования схемы был изучен выход решения системы

фазового поля на автомодельный режим. При этом происходило варьирование значений параметров системы фазового поля. До сих пор исследования такого рода не проводились, хотя общеизвестно, что вопрос об устойчивости решения рассматриваемой нелинейной системы, бесспорно, является практически важным.

В следующей части главы описывается численное исследование динамики свободной границы. Моделирование проводится для одномерного и двумерного случаев Важнейшим моментом исследования в многомерном случае является изучение влияния кривизны поверхности свободной границы на скорость ее распространения. Проведен ряд численных экспериментов в случаях, когда свободная граница имеет как положительную, так и отрицательную кривизну. Приведено большое количество численных данных, сделаны соответствующие выводы.

Следующим этапом является моделирование исследуемого в диссертации явления -процесса слияния свободных границ. Вначале моделируется одномерное взаимодействие. С целью выявить принципиально важные моменты взаимодействия проводится ряд экспериментов с различными значениями параметров системы фазового поля. В частности, в случае задачи Стефана-Гиббса-Томсона выявлен эффект резкого изменения профиля температуры. Проведен соответствующий анализ численных данных.

Моделирование двумерных задач принципиально отличается от одномерного случая. Дело в том, что в случае задачи Стефана-Гиббса-Томсона на движение свободных границ, а значит и на взаимодействие, начинает влиять кривизна поверхности свободной границы. Проведены соответствующие эксперименты и сделаны количественные оценки

Интересной составляющей многомерного взаимодействия являе1ся эффект сглаживания свободной границы в момент слияния. Данные численного моделирования в двумерном случае полностью подтвердили предварительные качественные оценки процесса сглаживания. Численное моделирование позволило лучше понять механизм сглаживания, проводится анализ этого эффекта.

В третьей главе диссертации описывается техника метода слабых асимптотик применяемая в настоящем исследовании. В этой главе мы постарались наиболее полно показать характерные черты и суть используемого нами подхода.

В начале главы приводятся основные теоретические сведения в виде ряда лемм и следствий с доказательствами, на которых базируется метод слабых асимптотик.

После основных принципов приведен ряд примеров, на которых раскрываются используемые в диссертации приемы вычислений и анализа. Формулы представленные в

этой главе являются логическим развитием метода слабых асимптотик в рамках исследуемых задач с взаимодействием свободных границ.

Список публикаций: Результаты диссертационного исследования отражены в следующих работах:

1. G.A. OmePyanov, V.Yu. Rudnev, Interaction of Free Boundaries in the Modified Stefan Problem, Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 7:3 (2004) 227-237.

2. V.G. Danilov, V.Yu. Rudnev, The weak asymptotic solution of the phase field system in the case of confluence of free boundaries in the Stefan-Gibbs-Thomson problem Нелинейные граничные задачи (сборник научных трудов), вып. 12, 2005, стр. 57-73.

3. Моделирование динамики и взаимодействия кинков для уравнений фазового поля Научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ, Тезисы докладов, МГИЭМ, Москва, 2002.

4. Описание слияния свободных границ в модели фазового поля методом слабых асимптотик. Научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ, Тезисы докладов, МГИЭМ, Москва, 2003.

5. Слабое решение системы фазового поля в случае взаимодействия свободных границ. Научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ, Тезисы докладов, МГИЭМ, Москва, 2004.

6. Слияние свободных границ в задаче Стефана и в задаче Стефана-Гиббса-Томсона Научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ, Тезисы докладов, МГИЭМ, Москва, 2005.

Список литературы:

[1] G. Caginalp, An analysis of a phase field model of a free boundary, Arch. Rat. Mech. Anal. 92, 1986,205-245.

[2] G. Caginalp, Stefan and Hele-Shaw type models as asymptotic limits of the phase-field equations, Phys. Rev. Vol. 39, pp. 5887-5896, 1989.

[3] G Caginalp, A conserved phase field system' implication for kinetic undercooling, Phys Rev. B 38, pp. 789-791, 1988.

[4] G Caginalp, The dinamics of a conserved phase field system - Stefan like, Hele-Shaw, Cahn-Hilliard models as asymptotics limits, IMA J. Appl. Math. 44 (1990) 77-94.

[5] G. Caginalp and X. Chen, Convergence of the phase field system to its sharp interface limits, European J. Appl. Math. 8 (1998) 417-445.

[6] X. Chen, Spectrum for the Allen-Cahn, Cahn-Hilliard and Phase-field equations for generic interfaces, 1994, Commun. in Part. Dif. Equat. 19(7), pp. 1371-1395.

[7] V.G. Danilov, V.P. Maslov and K.A. Volosov, Mathematical modeling of heat and mass transfer processes, Kluwer, Dordrecht, 1995.

[8] V.G. Danilov, V.P. Maslov and V.M. Shelkovich, Algebra of singularities of singular solutions to first-order quasilinear strictly hyperbolic systems, Theor. Math. Phys, 114 (1998), no. 1,1-42.

[9] V.G. Danilov, G.A. Omel'yanov, and E.V. Radkevich, Weak solutions to the phase field system, Integral Transforms and Special Functions, 6 (1997), 27-35.

[10] V.G. Danilov, G.A. Omel'yanov, and E.V. Radkevich, Hugoniot type conditions and weak solutions to the phase field system, Europian J. Appl. Math., 10 (1999), 55-77.

[11] V.G. Danilov, G.A. Omel'yanov, and E.V. Radkevich, Asymptotics of the solution to the phase field system and the modified Stefan problem, Differentsial'nye Uravneniya 31 (1995), 483-491; English transl., Differential Equations 31 (1995), 446-454.

[12] V.G. Danilov G A. Omel'ynov and V.M. Shelkovich, Weak Asymptotics Method and Interaction of Nonlinear Waves. Amer. Math. Soc. Transl. (2) Vol. 208,2003.

[13] V.G. Danilov, G.A. Omel'yanov, V.M. Shelkovich. Weak Asymptotics Method and Generalized Solutions of Nonlinear Equations, In: Asymptotic Methods for Wave and Quantum Problems, M.V. Karasev ed., AMS Translations, Series 2 "Advances in Mathematical Sciences", 2003.

[14] V.G. Danilov and V.M. Shelkovich, Generalized solutions of nonlinear differential equations and Maslov algebras of distributions, Integral Transformations and Special Functions 6(1997) 137-146.

[15] V.P. Maslov, Propagation of shock waves in isoentropic nonviscous gas, Itogi Nauki i Techn.: Sovremennye Probl. Mat., vol.8, VINITI, Moscow, 1977, pp. 199-271; Engl, tansl., J. Soviet Math. 13(1980), 119-163.

[16] V.P. Maslov, Geometric asymptotics for nonlinear PDE I, Amer. Math. Soc., Providence, RJ, 2001.

[17] V.P. Maslov Three algebras corresponding to nonsmooth solutions of systems of quasilinear hyperbolic equations, Uspekhi Mat. Nauk 36 (1981), no. 2, 252-253 (Russia).

[18] V.P. Maslov, G A. Omel'yanov, Geometric Asymptotics for Nonlinear PDE, AMS, MMONO 202, R.I.,2001.

[19] A. Meirmanov, The Stefan problem, Nauka, Novosibirsk, 1986; English transl., de Gruyter, Berlin, 1992.

[20] A. Meirmanov, B. Zaltzman, Global in time solution to the Hele-Shaw problem with a change of topology, EJAM, Vol. 13, pp. 431-447, 2002.

[21] G A. Omel'yanov Propagation of singularities' multidimensional effects (KP and phase field type equations). Proceedings of Int. Conf. Differential equations and related topics, dedicated to the centenary anniversary of I.G. Petrovskii, Moscow, 2001, MSU, 2002.

[22] G.A. Omel'yanov, V.G. Danilov, and E.V. Radkevich, Soliton-type solutions of the conserved phase field system, Portugaliae Mathematica 53 (1996), 471-501.

[23] G.A. Omel'yanov, V.G. Danilov, and E.V. Radkevich, Asymptotic solution of the conserved phase field system in the fast relaxation case, European J. Appl. Math. 9 (1998), 1-21.

[24] G.A. Omel'yanov, V.G. Danilov, and E.V. Radkevich, Tahn-type asymptotic solution of the conserved phase field system, Adv. Math. Sci. Appl. 8 (1998), 663-689.

[25] P1 Plotnikov, V N. Starovoitov. Stefan problem as the limit of the phase field system, Differential Equations, 29,1993,461^71.

[26] E.V. Radkevich, The Gibbs-Thomson correction and conditions for the classical solution of the modified Stefan problem, 1991, Soviet Math. Doklady 43 (1).

[27] H.M.Soner, Convergence of the phase field equations to the Mullins-Sekerka problem with kinetic undercooling, Arch. Rat. Mech. Anal. 131,1995, 139-197.

[28] G.B. Witham, Linear and nonlinear waves, Wiley, New York-London-Toronto, 1974.

[29] A.A. Самарский, Теория разностных схем, М, Наука, 1971.

[30] А.А. Самарский, Е.С. Николаев, Методы решения сеточных уравнений, М, Наука, 1978.

Подписано к печати" 15 " о£ 2005 г. Отпечатано в типографии МИЭМ. Москва, ул. М. Пионерская, 12 Заказ N8 159 . Объем А0 п.л. Тираж 100 экз.

»14756

РНБ Русский фонд

2006-4 11856

А

Введение

Обычно под задачей со свободной границей понимают задачу, в которой требуется дать динамическое описание некоторой среды, которая может находится либо в одной, либо в двух различных фазах (например, лед и вода). Свободной границей, как правило, называют поверхность раздела фаз между областями, занимаемыми различными фазами. В случае же однофазной задачи, понятно, что свободной границей является граница области, занимаемой рассматриваемой средой. Свободная граница перемещается (эволюционирует) со временем и ее позиция априори неизвестна. Такого рода задачи имеют глубокое прикладное значение во многих областях науки, не только в физике [52, 53], но также и в финансовой математике [61].

Первая математическая модель процессов, связанных со свободной границей была предложена Стефаном. В этой задаче требуется решить уравнение теплопроводности для температуры в каждой из областей с различными фазами х = ¿>0, (1.1) которое дополнено специальными условиями на свободной границе Г4: -2К, (1.3) а также начальными и граничными условиями (последние на внешней границе области О). В задаче (1.1)—(1.3) мы обозначили П С - область, которую занимает рассматриваемая среда, - подобласти О,, разделенные Г(, в± = 9±(х^) - температура среды, соответственно, в областях

Qf, к*- = const > 0 - коэффициенты температуропроводности фаз "+" и "—11, v - нормаль (в направлении из фазы 11 — " в фазу "+") к поверхности Г4, V„ - нормальная скорость точек свободной границы, и

Условие (1.3) называется условием Стефана.

Задача (1.1)—(1.3), названная классической задачей Стефана, является существенно нелинейной, и интенсивно исследовалась как физиками, так и математиками (см. [53]). В частности, утверждалось, что условие (1.2) слишком грубое, т.к. в реальной среде температура в разных точках свободной границы Гг может быть различной. Кроме того, было установлено, что значения температуры зависят от геометрии поверхности свободной границы.

В связи с вышесказанным, физиками была предложена более адекватная модель, которую назвали модифицированной задачей Стефана или задачей Стефана-Гиббса-Томсона (задача с кинетическим переохлаждением). Усовершенствование заключалось в замене условия (1.2) на так называемое условие Гиббса-Томсона

0±|Г1 = Я1у„ + х2к, (1.4) где К, - средняя кривизна поверхности и н2 - некоторые постоянные, физический смысл которых характеризует влияние поверхностного натяжения.

Однако, понятно, что ни классическая, ни модифицированная задачи Стефана не описывают все множество процессов, связанных со свободной границей: существует ряд физических ситуаций, в которых эволюция свободной границы описывается другими законами (Муллинс-Секерка, (МиШпв-Бекегка), Хеле-Шоу (ЬЫе-БЬауу) и др.). Более того, детальные физические исследования показали, что в действительности не существует четкой границы между фазами, а наблюдается скорее тонкий пограничный слой, в котором вещество находится в промежуточном состоянии. Микроскопическое описание процессов в пограничном слое дает теория фазовых переходов Гинзбурга-Ландау (см., например, [47]). На основе этой теории были разработаны как очень сложные и комплексные математические модели, так и упрощенные уравнения в той или иной степени адекватно описывающие конкретные физические процессы (см., например, [1, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 26, 43]).

Возникает вопрос, заключающий в себе как физический, так и математический смысл: нельзя ли усреднить все эти микроскопические модели, т.е., можно ли получить некоторую глобальную макроскопическую задачу, описывающую распределение фаз в среде. Понятно, что решение такой обобщенной задачи позволит определить вид предельных задач, отвечающих множеству частных физических ситуаций. Этому вопросу посвящен широкий круг работ [6, 8, 9, 18, 24, 25, 28, 29, 30, 34, 35, 39, 40, 41, 44, 45, 46, 49, 54, 55, 56, 57].

Главным результатом упомянутых выше исследований является утверждение, что в качестве основной математической модели, дающей микроскопическое описание процессов, происходящих как внутри, так и вне зоны перехода фаз можно использовать систему фазового поля, которая впервые была предложена Г. Каджиналпом (G. Caginalp) [5] x,t)eQ, (1.5) r^ - е2Ли = ^ + С{ч)в. (1.6)

Здесь Q — (0, t*) х Q - ограниченная область с гладкой (С°°) границей, параметры I, т, а, е - безразмерные постоянные, к(х, t) - регуляризация по параметру е начального значения коэффициентов А;±(х, t), в = в(х, t) -регуляризация по параметру е начального распределения температуры и - функция порядка, причем при е 0 и —У ±1 для фаз "±", соответственно, Hi* - некоторый конечный момент времени.

Доказывается, что система фазового поля (1.5), (1.6) при надлежащем выборе параметров ие->0 переходит в соответствующие предельные задачи со свободной границей, см. [6, 8, 9, 49]. В частности, выбор параметров, при котором а —0, г ~ е2 —> 0, еа-1/2 —> 0, соответствует классической задаче Стефана (1.1)—(1.3), а выбор, при котором а,т,е 0, те~2 = const, та~1 = const, отвечает задаче Стефана-Гиббса-Томсона (1.1), (1.3), (1.4). За положение свободной границы принимается положение фронта предела (е —»• 0) нелинейной волны и в системе (1.5), (1.6). Выбор функций F(u) и G(u) определяется свойствами рассматриваемой среды. В простейшем случае принимают

F(u) = и - u2m+1, m^l, G(u) = *r = const.

Распространение (динамика) свободной границы в задаче Стефана (1.1)—(1.3) и задаче Стефана-Гиббса-Томсона (1.1), (1.3), (1.4) в настоящее время достаточно хорошо изучено в работах В.Г. Данилова, Г.А. Оме-льянова, Е.В. Радкевича [20, 38, 41, 57]. Основная идея построения решения (т.е. определения функций в± и границы Tt) состоит в том, что решение системы фазового поля (1.5), (1.6) рассматривается в смысле пространства обобщенных функций. Исходя из конкретной физической ситуации, авторами подбирается анзатц слабого асимптотического решения. Далее, доказывается, что при е 0 это слабое асимптотическое решение удовлетворяет соответствующей предельной задаче, подробнее см. Раздел 1.0.3.

В то же время, в большинстве случаев значительный практический интерес представляют задачи не с распространением, а со взаимодействием свободных границ. Именно, пусть существуют две свободные границы Tit и Г2(. Понятно, что в этом случае область fi С R" разделяется свободными границами уже натри подобласти: Предполагается, что свободные границы движутся навстречу друг другу и в момент времени t — t* в точке х = х* происходит их касание. Понятно, что в момент взаимодействия свободных границ происходит смена топологии: вместо двух свободных границ возникает одна Г*, а вместо трех областей с различными фазами существует только две (в одномерном случае остается только область О,, занятая только одной из фаз).

В настоящее время, на сколько нам известно, единственным примером аккуратного качественного анализа задачи со слиянием свободных границ в случае задачи Хеле-Шоу является исследование А. Мейрма-нова и Б. Зальтцмана [33]. Напомним, что задача Хеле-Шоу описывает движение свободной границы в однофазной среде. В своем исследовани-ии А. Мейрманов и Б. Зальтцман использовали классические результаты (в частности, принцип максимума) для уравнения теплопроводности. Заметим, что изучаемые нами двухфазные задачи являются на порядок сложнее рассмотренной в [33], и в нашем случае принцип максимума, вообще говоря, не применим, и мы используем другую - конструктивную технику.

Ясно, что, применив известную технику построения слабого асимптотического решения задачи без взаимодействия [20, 38, 41, 57], мы можем построить решение системы фазового поля как до, так и после взаимодействия. В то же время, необходимо "сшить" эти два решения равномерно по времени при t = t*. Используя метод слабых асимптотик (см. Раздел 1.0.3), взаимодействие свободных границ в задаче Стефана-Гиббса-Томсона исследовал Г.А. Омельянов [38]. В соответствии с изложенными выше соображениями Г.А. Омельянов написал равномерную по t асимптотику решения системы фазового поля. В отличие от Г.А. Оме-льянова мы используем иной вид анзатца слабого асимптотического решения системы фазового поля, который позволяет вывести глобальные по времени предельные задачи обобщающие предельные классические задачи на случай взаимодействия свободных границ.

1.0.1 Цель работы.

Наша основная задача заключается в построении формального асимптотического решения для системы фазового поля (1.5), (1.6), которое описывает взаимодействие свободных границ, т.е. мы хотим построить некоторую приближенную (асимптотическую) формулу для решения, и эта формула должна работать на временах £ € [0,^], ¿1 > £*, Г - момент взаимодействия свободных границ.

Согласно общим теоремам существования, решение системы (1.5), (1.6) существует. Решение строится с использованием метода слабых асимптотик.

Необходимо отметить, что цена, заплаченная за возможность построения более или менее явных формул для решения, не так мала - мы не проверяем, что асимптотические решения близки к точным решениям. Более того, исходя из известных оценок, такую проверку нельзя осуществить. В то же время, мы сравниваем построенные формулы с результатами численного моделирования (см. [42]).

1.0.2 Основные результаты

При формулировке основных результатов мы приводим только наиболее важные формулы и теоретические факты в общем виде. Более подробное их освещение и обоснование дано ниже в соответствующих

главах диссертации (см. также [22]).

В Главе 2, в Разделе 2.4, посвященной исследованию взаимодействия свободных границ в задаче Стефана-Гиббса-Томсона, получены следующие основные результаты.

Во-первых, нами построено слабое асимптотическое решение системы фазового поля, описывающее взаимодействие свободных границ в случае задачи Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.10), (2.11). Именно, ан-затц слабого асимптотического решения для функции порядка имеет вид

В формуле (1.7), tpi(t,e) = <pi0(t) + ет<рц(т), ¿ = 1,2, где функции 0 являются гладкими с сохранением знака производных продолжениями решений классической задачи Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.10), (2.11) из области [0,í*] в область [0, íi] (ti > t*), функции <£>л определяются из системы (2.128), (2.129), т = <p20(t) ~ <pW{t) ^

3 — 1 + Р\(т), Pi определена в (2.115), и /Зх - положительная гладкая равномерно ограниченная по г е (—оо, оо) функция. Кроме того, <рц —У О, и pi —> 0 при т —У оо. Функция ш0 определена в (2.13), (2.14).

Слабое асимптотическое решение для температуры в строится по формуле

6 = 9 + [Л(г)0Г(М) + ва{х, т)]фo(t), (1-9) где ip0 = ср2о — А (г) - произвольная гладкая монотонная функция такая, что Л(оо) = О, Л(—оо) = 1, Л'(г) е SiK.1), функции вf, ва определяются соответственно из (2.91) и (2.92). Мы предполагаем, что \tOs(x,t)\ ^ const. Для определения функции в при г —V оо имеем уравнение теплопроводности (2.84) с дополнительным условием (2.85).

Точный математический результат, содержащий условия, при которых анзатц (1.7), (1.9) удовлетворяет предельной классической задаче Стефана-Гиббса-Томсона, сформулирован в следующей теореме.

Теорема 1. В случае задачи Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.10), (2.11), если

1. существует классическое решение задачи Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.10), (2.11) nput < t* (до взаимодействия), и существуют limt>t.o (<Pio(t))'t, i — 1,2,

2. выполнено уравнение (обобщенное условие Стефана) т .>)

1 — Л(т)) (-l)W(p) +<7(р)=0, (1.10)

X=<Pi J где f(p), g(p) - гладкие равномерно ограниченные функции, причем /(оо) = 2, /(—оо) = 0, ^(±оо) = 0 (см. формулы (2.103),

2.104)),

3. выполнено уравнение (обобщеное условие Гиббса-Томсона) х - Vit + ФоЧт) (0Г|Ж=„2 " fiP)+ (1-П)

V20t - ч>ш)р{р) + (<P2t + ч>\t)g(p) = о, где р(р), я(р) - гладкие равномерно ограниченные функции, причем р(±оо) = 0, 9(00) = const, q{—oo) = 0 (см. формулы

2.105), (2.106)),

4- выполнено соотношение f32C(p)-D(p)= О, (1.12) где С(р), D(p) - гладкие равномерно ограниченные функции, причем С{оо) — D(oo) = 1, ¿>(—оо)/С(—оо) = const (см. формулы (2.101), (2.102)), то функции й, в, определенные в (1.7), (1.9), являютяся слабым асимптотическим решением системы фазового поля (2.2), (2.3).

Замечание. Уравнения (1.10) и (1.11) при г —> оо переходят в условия Стефана и Гиббса-Томсона соответственно. В диссертации доказано, что уравнение (1.10) есть уравнение для определения функции р(т) (см. формулу (2.123)) и доказана его разрешимость. Равенство (1.11) вместе с (1.10) есть система уравнений для определения функций <рц(т), г = 1,2, см. формулы (2.128), (2.129).

Во-вторых, в ходе доказательства Теоремы 1 устанавливается, что в момент контакта свободных границ их скорости (pit удовлетворяют следующему уравнению

Vlt = ~¥>2t, t - t*, (1.13) а после взаимодействия выполнены пределы fit^-0, т-оо, г = 1,2. (1.14)

В-третьих, что является наиболее важным, получена предельная задача являющаяся обобщением классической задачи Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.10), (2.11) на случай взаимодействия свободных границ: дО В"2 в dt~dx>= [2ip2tS{x ~ ~2(ри5{х ~ ^WP - ^ (1Л5) M-iy<Pit) H(t* -t) = о, ¿ = 1,2, где Н - функция Хевисайда, а 8 - ¿-функция Дирака. Заметим, что в (1.15) функция в соответствует решению задачи Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.10), (2.11). Кроме того, для любой пробной функции £ £ Со° (6(х - <p{t)H(t* - t), С)> = /о* Cte(e), **)da.

Рассмотрим слияние свободных границ в случае задачи Стефана (одномерный случай). Подробности построения и точное описание задачи см. в Главе 2, Раздел 2.5.

Во-первых, в случае задачи Стефана (2.8)-(2.10) слабое асимптотическое решение для функции порядка строится по формуле (1.7), где функции (fii, i = 1,2 ищутся в виде (2.133).

Слабое асимптотическое решение для температуры имеет вид

6 = ёо + еа01(х1$, ёо = 0 + [А(т№{х,г) + ва(х,т)]г1;о(*), (1Л6) где функции Л(т), 93 определяются так же, как и в (1.9), 01(х,£) е С2'1. Для определения имеем задачу (2.143). На функцию в имеем задачу (2.84), (2.134).

Точный математический результат, содержащий условия, при которых анзатц (1.7), (1.9) удовлетворяет задаче Стефана, содержится в следующей теореме.

Теорема 2. В случав задачи Стефана (2.8)-(2.10), если

1. существует классическое решение задачи Стефана (2.8)-(2.10) при £ < (до взаимодействия), и существуют ® = 1,2,

2. выполнено уравнение (1.10),

3. выполнено соотношение (1.12), то функции и, 0 определенные в (1.7), (1.16) (все функции, входящие в (1.16), определены для случая задачи Стефана, см. Раздел 2.5) являются слабым асимптотическим решением системы фазового поля (2.2), (2.3).

Во-вторых, доказывается, что справедливо соотношение между скоростями свободных границ (1.14).

В-третьих, имеем предельную задачу, которая является обобщением классической задачи Стефана (1.1)—(1.3) на случай взаимодействия свободных границ: х - 4>г) - 2 ц>и5(х - <Рх)]Н{е - *), (1.17) О, < = 1,2

1.0.3 Метод слабых асимптотик.

Для того, чтобы проанализировать рассматриваемые в диссертационной работе задачи со свободными границами в случае взаимодействия, необходимо выбрать подходящий метод построения решения.

Под нелинейными волнами мы подразумеваем решения нелинейных дифференциальных уравнений, которые имеют локализованное "быстрое" изменение. Наиболее типичными примерами таких волн являются решения уравнений с малой дисперсией е <С 1 и сглаженные ударные волны в уравнениях с малой вязкостью. Применяемый в данной работе метод основывается на процедуре, при которой нелинейная волна является заданной функцией от времени со значениями в пространстве обобщенных функций 2?'(К£).

Обычно, под тем фактом, что функция является асимптотическим (приближенным) решением дифференциального уравнения, подразумевается, что эта функция удовлетворяет уравнению с малой невязкой. Говорят, что невязка мала, если в некоторой норме она допускает оценку 0(еа), где а > 0 и малый параметр е —> 0. Очень часто используется норма в пространстве Ск. В рамках применяемого нами метода мы используем норму в пространстве С°°. Малый параметр е содержится в решении или в уравнении. Асимптотическое решение ищется в виде специального анзатца, вид которого зависит от используемого метода.

Рассмотрим существующие в настоящее время основные асимптотические методы, использующиеся для решения нелинейных уравнений.

На рубеже 19 и 20 столетий в физической литературе появилось упоминание о хорошо сейчас известном методе \¥КВ. В то время математики уделяли этому методу особое внимание, и он стал исходной точкой глубоких математических теорий, связанных с линейными уравнениями (теория разрешимости линейных гиперболических уравнений, канонический оператор Маслова и его различные версии, интегральный оператор Фурье, геометрическое квантование и более общие объекты симплекти-ческой геометрии, связанные с геометрическим квантованием и др.). Согласно методу \¥КВ анзатц асимптотического решения записывается в виде где 5(х, £) и (гладкие функции.

Обобщением метода \УКВ для решения нелинейных уравнений в частных производных стал метод Уизема (\¥ЫЛат) [48]. Согласно этому методу асимптотическое решение ищется в виде где функция д является гладкой по всем своим переменным и периодической пот = Б/е. Заметим, что в случае линейных уравнений метод Уизема сводится к методу \УКВ, а функция д определяется из линейного уравнения. В общем случае, функция до(т, х, {) = д(т, х, 0) удовлетворяет нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению по переменной т. Такое уравнение называется стандартным или модельным.

У модельного уравнения может быть либо периодическое либо стабилизирующееся на бесконечности решение. Последнее означает, что решение удовлетворяет следующему условию f^Koür]-"), |г| -> оо, Vc»l, где N достаточно большое положительное число, а оценка О локально равномерная по х и t.

Такое стабилизирующееся решение отвечает нелинейной волне с локализованным быстрым изменением. Примерами таких волн являются решения уравнений с малой дисперсией, ударные волны, кинки, волны концентрации и др. Эти объекты представляют собой элементарные структуры нелинейного мира, который описывается с помощью процессов распространения и взаимодействия указанных нелинейных объектов, а также с помощью более сложных структур, возникающих при их взаимодействии.

В 70-80 гг. прошлого века В.П. Маслов со своими коллегами усовершенствовал метод Уизема [16, 31]. Это позволило описывать распространение нелинейных волн в несколько более общих ситуациях.

Примерно в те же годы разрабатывался новый мощный метод для построения точных решений "интегрируемых" уравнений в частных производных, описывающих взаимодействие одиночных нелинейных волн. Этот метод назвали методом обратного преобразования рассеяния (метод обратной задачи рассеяния), появление которого было воспринято как величайшее событие в математической физики 20 века.

Однако, благодаря усилиям многих знаменитых математиков, в последние несколько десятилетий почти все "интегрируемые" задачи были решены. Тем не менее, понятно, что множество математических моделей тех или иных физических явлений, в которых необходимо проанализировать взаимодействие нелинейных волн, далеко не исчерпывается только "интегрируемыми" случаями.

В случае рассматриваемой в диссертационной работе задачи Стефана и задачи Стефана-Гиббса-Томсона используется новый подход для построения асимптотических решений, описывающих распространение и взаимодействие нелинейных волн. Этот подход был назван методом слабых асимптотик и тесно связан с идеями, предложенными Ж.Ф. Коломбо (J.F. Colombeau) и другими учеными, которые занимались построением различных алгебр обобщенных функций. Метод, как таковой, был впервые введен в работах В.Г. Данилова и В.М. Шелковича под воздействием работ Ж.Ф. Коломбо и М. Обергуггенбергера (М. Ober-guggenberger) с соавторами и благодаря идеям, высказанным в работах

Ж.А. Марти (J.A. Marti), B.B. Жаринова С. Пилиповича (S. Pilipovic).

В методе слабых асимптотик приближенные решения ищутся в таком же виде, как и в методе Уизема, модифицированном для решения задач с нелинейными волнами с локализованным быстрым изменением ([16, 31]), но с невязкой малой в смысле пространства функционалов V'x над пробными функциями, зависящими только от пространственной переменной х. В частности, такое довольно тривиальное усовершенствование позволяет свести задачу описания взаимодействия нелинейных волн к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (вместо решения уравнений в частных производных).

Понятно, что в рамках метода слабых асимптотик результат подстановки асимптотического решения в уравнение трактуется в смысле Т>'х. В действительности это означает, что исследуются обобщенные решения нелинейных уравнений. Одним из первых примеров такого исследования был метод, который предложил В.П. Маслов [50] для получения условия Ранкина-Гюгонио (Rankine-Hugoniot) для ударных волн. Рассмотрим основные моменты этого метода на примере уравнения Хопфа (Hopf) du ^ д(иf = 0 dt дх

Ударная волна определяется как решение указанного уравнения и имеет вид и = щ + щН(х — Vt), где H(z) функция Хевисайда. Для простоты положим, что и0 и щ постоянные. Подставив это выражение в уравнение Хопфа, получим

-Vu + (2и0щ + «?)] 6(х - Vt) = 0.

Для того чтобы удовлетворить этому уравнению, необходимо и достаточно приравнять выражение в квадратных скобках к нулю. Отсюда получаем 2щщ + и\ \v?] щ [и] ' где [и] скачок функции и на прямой х = Vt.

Заметим, что рассмотренный подход основывается на соотношении и0 + щН)2 = а + ЬН, (1.18) где а = uq и 6 = u\ + 2uqxl\. Более того, подобное соотношение выполнено для любой непрерывной функции f(z) uq + щН) = А + ВН, (1.19) где А = /(«о) и В = f(uo + ui) — /(щ)■ Таким образом, множество линейных комбинаций вида и0 + щН замкнуто относительно нелинейных функциональных операций. Другими словами, пара (1; Н) порождает подалгебру обобщенных функций над кольцом гладких функций. Этот факт был основой гипотезы В.П. Ма-слова о том, что гладкие самоподобные решения нелинейных уравнений соответствуют подалгебрам с конечным числом образующих. Более того, В.П. Маслов утверждал, что существует только три такие алгебры [51].

Наиболее знаменитая конструкция, которая позволила расширить пространство обобщенных функций до алгебры, является построение, предложенное Коломбо в [14]. Здесь мы не будем описывать эту конструкцию, которую можно найти в широко известных работах [4, 14, 36]. Заметим только, что элементы алгебры Коломбо являются классами эквивалентности гладких функций fe{x), производные которых 9а/е/9а;а возрастают не быстрее степени e~N(a\

Трудности в использовании алгебры Коломбо для построения решений дифференциальных уравнений связаны с тем, что отношение эквивалентности fe(x) ~ fHx) означает выполнение соотношения f}(x)-f?(x) = 0(eN) ViV.

Рассмотрим более подробно. Если мы выбрали указанное условие эквивалентности, то регуляризация обобщенных функций может быть построена с помощью свертки

1 х fe(x) = -Uc(-)*f(x) со специальной функцией-сглаживателем (mollyfier), имеющей нулевые моменты

J zkuc(z)dz = О Vfc.

Это условие означает, что регуляризация f£ обобщенной функции, построенная с использованием такой сглаживающей функции, "почти" совпадает с исходной функцией /: fE(x) = f(x) + ö(eN) WN> 0.

Это же верно и для обобщенных функций с точностью С(е^) в слабом смысле.

Итак, в стандартном варианте теории обобщенных функций Коломбо нет величины, определяющей степень малости параметра е аналогичной той, которая используется в теории асимптотических методов.

Более того, с точки зрения дифференциальных уравнений, уравнение само "выбирает" регуляризацию обобщенных функций, содержащихся в его решении (регуляризация относительно малой вязкости, малой дисперсии и др.), что не согласуется с подходом Коломбо. Полученная при решении дифференциальных уравнений регуляризация не удовлетворяет условию нулевых моментов.

Для того, чтобы сделать подход Коломбо более близким к асимптотическим методам и получить конструктивные формулы, было предложено алгебраическое расширение линейной оболочки однородных и присоединенных однородных функций [17, 23]. Например, гармоническая регуляризация дельта функции Дирака (5-функции) была проведена с помощью сглаживающей функции с ненулевыми моментами. Было установлено взаимно-однозначное соответствие между алгеброй порожденной гармонической регуляризацией элементов указанной линейной оболочки и асимптотической серией типа Лорана-Хартога (Laurent-Hartog), называемой асимптотическим распределением [17, 23]

Здесь /у - однородная или присоединенная однородная функция, {с^} -ограниченная снизу монотонно возрастающая последовательность действительных чисел, и {/%} - конечное множество действительных чисел при каждом фиксированном г.

Произведение двух асимптотических распределений определяется как асимптотическое распределение, ассоциированное с произведением соответствующих элементов в алгебре гармонических регуляризаций. Оно также позволяет ввести асимптотические подалгебры в алгебре регуляризаций по модулю 0(еа) в слабом смысле при подходящем выборе си. Такие построения могут быть легко обобщены на случай произвольной гладкой регуляризации (более общий, чем случай гармонической регуляризации).

Понятие "малости в слабом смысле" упомянутое выше, одно из самых важных в методе слабых асимптотик. Будем говорить, что обобщенная функция /(х,е) имеет порядок От>'(еа), если для любой пробной функции £(х) выполнено соотношение е),ф)) = 0(е°).

В качестве примера рассмотрим множество Ц регуляризаций Н(х, е) функций Хевисайда Н(х). Здесь Н(х,е) — ш(х/е), о;(+оо) = 1, си(—со) = О, и uj'(z) € S(Rгде пространство Шварца (Schwartz). Понятно, что выполнено соотношение

Н(х,е) = Н(х) + 0&(е).

Поскольку функция [Н(х, е)]т также принадлежит множеству % при любом т, то имеем

H(x,e)]m = H{x) + Ov>(£).

Отсюда получаем, что в общем случае для любой непрерывной функции g(z) выполнено равенство д{аг + &i#(x,e)) = а2 + Ъ2Н(х) + Ov,(e), т.е. мы, используя регуляризацию, выписали формулы, аналогичные (1.18)-(1.19) и проверили, что элементы % порождают асимптотическую подалгебру (modOp/(e)) с образующими (1 \Н{х)).

Более точно эти подалгебры порождаются произвольной гладкой регуляризацией, которая используется в методе слабых асимптотик. Именно, асимптотика строится в виде линейной комбинации регуляризован-ных образующих некоторой подалгебры.

Тот факт, что множество всех линейных комбинаций замкнуто с точностью до Ор' (еа) относительно нелинейных отображений, приводит к конечной системе уравнений на коэффициенты исходной линейной комбинации точно так же, как в приведенном выше примере для ударной волны.

В рассматриваемом здесь подходе существует только один момент, которому необходимо уделить особое внимание. Это выбор определения слабого решения, допускающего переход к "правильной" предельной задаче.

Эта проблема является хорошо известным камнем преткновения в теории нелинейных дифференциальных уравнений. Частные случаи, такие как предел при нулевой вязкости и предел при нулевой дисперсии, были изучены в известных работах [15, 27].

Заметим, что наше понимание величины Ovi(ea) в правой части уравнения может трактоваться как в смысле малой вязкости, так и в смысле малой дисперсии. Однако, при этом решения, соответствующие этим двум физическим трактовкам регуляризации, достаточно различные. Поэтому в наших построениях очень важно корректно сформулировать определение слабого решения допускающего переход к предельной задаче при е 0.

Напомним, что стандартный способ построения слабого решения состоит в умножении исходного уравнения на пробную функцию и затем интегрировании несколько раз по частям. Однако, в рамках рассматриваемого подхода, определения слабого решения вплоть до членов порядка Öt>'{s) в правой части уравнения Бюргерса (Bürgers) с малой вязкостью ди д(и)2 сРи dt дх дх2' уравнения Кортевега-де Фриза (Korteweg-de Vries) с малой дисперсией и уравнения Хопфа du д(и)2 ^ ^д3и д dt дх дх3 ' du [ д(и)2 = Q dt дх оказываются эквивалентными, что, конечно, не так. Точнее, последнее верно только для уравнений Хопфа и Бюргерса, в то время как уравнению Кортевега-де Фриза соответствует более сложная структура.

По-видимому, на эту ситуацию впервые было обращено внимание в работах [18, 19], где исследовался переход к предельной задаче (от системы фазового поля к задаче Стефана-Гиббса-Томсона). В диссертационной работе приводится определение слабого решения нелинейной системы фазового поля (см. Определение 1), которое немного отличается от полученного согласно стандартному подходу. Как показано в [18, 19], это определение позволяет корректно перейти к соответствующей предельной задаче. Заметим, что проанализированная в [18, 19] конструкция близка к методу слабых асимптотик, применяемому в настоящей работе.

Грубо говоря, логика метода состоит в следующем. Мы рассматриваем совместно две задачи: предельную задачу (без е) и регуляризованную задачу (содержащую е). Возникает вопрос: какое слабое решение регу-ляризованной задачи соответствует предельной задаче? Слово "соответствует" означает, что слабый предел слабого решения должен удовлетворять предельной задаче1.

1В частности, сингулярный носитель слабого решения должен совпадать с позицией фронта предельной волны.

Итак, каким же образом можно получить определение слабого решения, которое автоматически будет удовлетворять указанным условиям соответствия?

Давайте посмотрим на нелинейную одиночную волну в регуляризо-ванной задаче (кинк, солитон, волну концентрации и др.), построенной упомянутым выше методом [16, 31]. Главный член разложения в случае всех этих волн при е —0 определяется решением известного стандартного (модельного) уравнения. Само это уравнение не содержит е. Его решения обычно интерпретируются как образ последовательности функций, аппроксимирующих 5-функцию или образ последовательности функций, аппроксимирующих функцию Хевисайда и т.д. Можно сказать, что модельное уравнение порождает гладкую структуру, которая содержит особую информацию, не зависящую от е, о зависимости от е решения обобщенной задачи.

Но на изучении модельного уравнения исследование не заканчивается. В порядке построения е-асимптотики для регуляризованной задачи необходимо также рассмотреть первую вариацию этого уравнения с точностью выше, чем 0{е).

Вариационное уравнение не зависит от е (как и само модельное уравнение), и, как правило, его разрешимость гарантируется условием ортогональности с нулевым ядром сопряженной задачи.

Это условие ортогональности, фактически, определяет позицию фронта нелинейной волны. Очевидно, это условие, в некотором роде, должно играть существенную роль в построении "правильного" определения слабого асимптотического решения. Поэтому мы даем определение слабого решения допускающего предельный переход таким образом, что в слабом смысле это определение становится условием разрешимости для линеаризованной задачи.

Число условий ортогональности равно размерности ядра сопряженного линеаризованного оператора. Следовательно, определение слабого решения для единичного скалярного уравнения может содержать только одно интегральное тождество (если размерность ядра равна 1) или два интегральных тождества (как в случае уравнения Кс1У).

Главным преимуществом метода слабых асимптотик является возможность аналитически описывать не только распространение нелинейных волн, но и их взаимодействие без использования точных интегральных методов (таких как метод обратного преобразования рассеивания, методы теории групп и др.).

Этот подход стал возможным благодаря особым свойствам асимптотических подалгебр обобщенных функций, элементы которых используются при построении слабых асимптотических решений. Описание асимптотическх подалгебр, на которых основывается построение слабых асимптотических решений в данной работе, дано в [20]. Здесь мы приводим простой пример, на котором основывается техническая база аналитического описания взаимодействия (слияния) ударных волн.

Рассмотрим множество % регуляризаций функции Хевисайда, введенное выше. Возьмем два элемента Н^х,е) € г = 1,2, и рассмотрим произведение

Н1{х,е)Н2(х-ф,е), (1.20) где ф параметр. В нашем примере элементы % сходятся к Н{х) не только в слабом смысле, но и поточечно. Следовательно, при е —► 0 имеем

Н1(х,е)Н2(х - ф,г) Н(х)Н(х - ф) в смысле поточечной сходимости. Что можно утверждать по поводу произведения в правой части? Например, очевидно, что если ф > 0, то

Нх{х,е)Н2{х - ф,е) — Н(х - ф), и если ф < 0, то

Н1(х,£)Н2(х-ф,е) = Н(х).

Однако, не существует формулы для произведения Н(х)Н(х — ф) такой, что соответствующая функция гладко зависит от ф в смысле обобщенных функций.

Если мы допустим негладкую зависимость от ф, то такая формула может быть легко выписана, например, в следующем виде

Н(х)Н(х -ф) = Н{х - ф)Н{ф) + Н(х){ 1 - Н{ф)). (1.21)

Аппроксимируя функции Хевисайда Н(ф) в правой части элементами из множества 71, мы получим непрерывную по ф функцию в правой части. Однако, требуется еще проверить мала ли разность между полученной регуляризацией и исходным произведением в смысле оценки Ох>>-Например, слабая асимптотика произведения (1.20) имеет вид

Н^е^^х-ф.е) = Н{х-ф)В{ф/е)+Н(х){1-В{ф/е)) + Оъ1{е), (1.22)

В{ф/е) = 1- [ оо[(г)и}'2(г~ф/е)йг, и функции соответствуют элементам Н, Е Л, т.е., Нг{х,е) — и>г(ф/е), г = 1,2. Формула (1.22) имеет следствием аналог соотношения (1.18) в о + щН\{х - фие) + и2Н2{х - ф2, е))2 = (1.23) а + ЬН2х - фг) + сН(х - ф2) + 0&{е), а = ul, Ъ = и\ + 2и0щ + В ((фг - ф2)/е) щи2, с = ul + 2и0и2 + (1 + В ((Ф1 — ф2)/е)) ихи2, щ = const, ¿ = 0,1,2.

Формула (1.23) позволяет почти буквально повторить упомянутую выше конструкцию Маслова, но для решения уравнения Хопфа, состоящего из двух волн, и таким образом решить задачу о взаимодействии ударных волн.

На самом деле, формула (1.23) определяет (в частном случае квадратичной нелинейности) нелинейный закон суперпозиции. В этом случае вклад нелинейности содержится только в коэффициентах слабой асимптотики. Вот почему мы можем "отделить" особенности и найти уравнения для функций, определяющих решения как в случае единственной особенности , так и в случае множества особенностей.

Нелинейный закон суперпозиции в случае общей нелинейности или в случае иных особенностей позволяет решать задачи взаимодействия нелинейных волн в несколько более общих ситуациях.

Объяснить, в чем состоит существенность высказанного выше замечания о том, что время принято за параметр обобщенных функций. В самом деле, если мы рассмотрим асимптотику произведения

Hi(x,e)H2(x - ф,е) в V t (т.е., в пространстве обобщенных функций, зависящих не только от координат, но и от временной переменной), то мы должны вместо (1.22) рассмотреть правую часть выражения (1.21); но выражение (1.21) разрывно по ф и, следовательно, по t, как уже было сказано выше.

Выводы: Рассмотренные выше асимптотические методы успешно применялись для решения задач без взаимодействия. В то же время, из-за тех или иных ограничений они не могут быть использованы для анализа рассматриваемых нами существенно нелинейных задач, описывающих взаимодействие свободных границ. Применяемый в данной работе метод слабых асимптотик является логическим развитием идей В.П. Маслова [16, 31] и Ж.Ф. Коломбо [14]. Существенным преимуществом метода слабых асимптотик перед остальными методами построения асимптотических решений является возможность его использования для описания процессов взаимодействия нелинейных волн (в нашем случае кинков).

Глава

Описание слияния свободных границ

В этой главе, используя метод слабых асимптотик, исследуется слияние свободных границ в одномерном случае.

Глава состоит из нескольких разделов, в которых рассматриваются задача Стефана и задача Стефана-Гиббса-Томсона для различных случаев выбора температуры. Мы начинаем с рассмотрения наиболее простого - симметричного (относительно замены координат х —» —х) случая, (см. Раздел 2.2 и Раздел 2.3), и на основе полученных формул строим слабое асимптотическое решение для системы фазового поля в случае общего выбора температуры (см. Раздел 2.4 и Раздел 2.5). Соответствующие построения содержатся в [22].

Мы постоянно сравниваем наши теоретические результаты с данными численного моделирования, см. Главу 3. В частности, нам удается качественно объяснить различия во взаимодействии свободных границ между случаем аппроксимации задачи Стефана и случаем аппроксимации задачи Стефана-Гиббса-Томсона, выявленные в процессе численного исследования, см. [42].

2.1 Постановка задачи

Рассмотрим одномерную среду и предположим, что эта среда занимает интервал = [/ьЬ]- Пусть существуют две свободные границы

Гм = {х; х = &(*)} Г2,« = {х] х = &(*)}, (2.1) где хбЕ1. Таким образом, интервал разделяется на три подинтервала = ПГ = (&(*)>и = [&(*), У. где ^1,2(*) некоторые искомые функции. Обозначим = и При этом область соответствует фазе "+", а область - фазе "—

В дальнейшем мы будем считать, что в случае задачи Стефана-Гиббса-Томсона начальная температура отлична от нуля в областях а в случае задачи Стефана начальная температура среды отлична от нуля только в области О,?, а в области равна нулю.

При анализе свободных границ в задаче Стефана и в задаче Стефана-Гиббса-Томсона мы основываемся на модели фазового поля. Запишем систему фазового поля в виде [20]

Си = 0, (2.3) и — и

1 = = (2.4)

Здесь х £ К1, £ е [0, ¿1] (^ > где I* - момент слияния свободных границ Гм), функция в - температура, и - функция порядка (значение и — — 1 соответствует фазе 11 —а значение и = 1 - фазе "+"), х - некоторая постоянная, и е <С 1 - малый параметр, в случае задачи Стефана 0 < о; < 1, а в случае задачи Стефана-Гиббса-Томсона а = 0.

Мы предполагаем, что уравнения (2.2), (2.3) дополнены согласованными начальными и краевыми условиями.

Система фазового поля в виде (2.2), (2.3) в дальнейшем будет использоваться нами при анализе одномерного случая взаимодействия свободных границ.

Согласно методу слабых асимптотик (см. Раздел 1.0.3), мы должны дать корректное определение слабого асимптотического решения системы фазового поля (2.2), (2.3) в случаях задачи Стефана и задачи Стефана-Гиббса-Томсона.

Определение 1. Пара гладких функций (й, в) является слабым асимптотическим решением системы фазового поля (2.2), (2.3), если для любой пробной функции £(ж) выполнены следующие два соотношения: {щ + 61)Сс1х + J вхСх4х = 0{е), (2.5) JйtйxCdx + ^J й2хС,х(1х- (2.6) е / (т ~ Т + ~ £~а>< / =

Здесь все интегралы берутся по К1. Уравнение (2.6) получено умножением (2.3) на йх и интегрированием по частям. Остатки О(е) в правых частях уравнений (2.5) и (2.6) должны быть локально ограничены по £, т.е., для любого ti Е [0,оо), имеем шах \<Э(е)\ ^ Ctle, Ch = const. (2.7)

O^t^ti

Заметим, что способ построения определения слабого асимптотического решения в виде (2.5), (2.6) введен и проанализирован в [19], и Определение 1 является ключевым моментом в использовании метода слабых асимптотик.

Общеизвестно [6, 21], что слабый предел й, в решения системы (2.2), (2.3) (значения й = ±1 соответствуют интервалам Î2+ и Slj) описывается как решение уравнения теплопроводности «efif, te [0,О, (2-8) которое дополнено специальными условиями на свободных границах. Именно, в случае задачи Стефана (0 < а < 1) имеем (г = 1,2) дв± дх 0, (2.9)

X-lpi 2(—1) фц. (2.10)

X=lfii

В случае задачи Стефана-Гиббса-Томсона (а = 0) условие (2.9) заменяется на условие Гиббса-Томсона (-1 )г~'ифи. (2.11)

Здесь в - температура в области Q*, в - температура в области Of (т.е., в = 9+ при х € и в — в при х £ ПГ)> к ~ некоторая постоянная, и [(7]|г. t = g{<pi -I- 0) — д(ф{ — 0) - скачок функции д на границах Г^.

Положим, что для задачи Стефана (2.8)-(2.10) и задачи Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.10), (2.11), начальные данные выбраны таким образом, что левая граница Г^ движется вправо (фи > 0), а правая граница Г2,4 - влево (Ф21 < 0). Мы предполагаем, что в задаче (2.8)-(2.10) в области температура равна 0 = 0, т.е. мы рассматриваем однофазную задачу Стефана. Также предполагается, что начальные и граничные условия обеспечивают существование функций <£i,2(i) € С1, и в (аг,<) е С2Д при 0 <£<£*(£ = £* — момент слияния свободных границ, ф\{Ь*) = <£2(£*))- В случаях задачи Стефана и задачи Стефана-Гиббса-Томсона классическое решение системы (2.2), (2.3) существует при Ф2(£) — фг^) > 0. Этот факт устанавливается из построений, приведенных в [53]1. В случае рассматриваемых предельных классических задач (2.8)-(2.10) и (2.8), (2.10), (2.11) мы предполагаем, что существуют пределы т о £«(*), г =1,2. (2.12)

В рассматриваемой ситуации, при £ < £* асимптотика решения системы (2.2), (2.3) имеет вид (см. [49, 21]) в™=в~{х,г)+ (2.13) ф (2.14) шо +^ + е щ+и ^ ,-му

Здесь 0/1(2) 0,1 при г —>■ ±оо, 0^(2:) € при А; > 0, <£1,2(0 - некоторые гладкие функции. Функция = tanh(;г) является решением модельного уравнения, и о>(£, г\, г^) С°°([0, £*],

§(К^)). Если начальные данные для системы (2.2), (2.3) имеют вид (2.13), (2.14) при £ = 0, то при £ < £* выполнена оценка (см. [13, 49, 19]) и - <8;С(0,Т; ¿^(К1)!! + ||0 - в™ ■ С2 Ш\ < се", 3/2.

Здесь С} = К1 х [0, £*), и постоянная с не зависит от е.

Заметим еще раз, что все наши построения формальные. Мы не доказываем, что построенные нами функции близки к точному решению системы (2.2), (2.3) на всех рассматриваемых временах. Но, в то же время, при £ < £* асимптотика решения системы фазового поля была обоснована.

2.2 Задача Стефана-Гиббса—Томсона (симметричный случай)

Анализ слияния свободных границ мы начнем с так называемого симметричного случая. Это означает, что мы рассматриваем задачу Стефана

1А.М.Мейрманов. Частное сообщение.

Гиббса-Томсона, инвариантную относительно замены координат х —>• —ж, т.е. фх{1) = -ф{£), <p2(t) = (2.15) см. формулу (2.1). Более того, мы считаем, что среда занимает интервал € Rj., и £1 = [—/,/], I = const. Свободные границы определяются следующим образом: Г1)4 = {я; х = —ф(£)}, Гг,{ = {ж; х = <£(£)}. Интервал О, состоит из трех подинтервалов Qf>t = [—I,— <£(£)], fif = (~Ф{1),Ф(1)), nit = [£(*)»*]> где

Таким образом, условие Стефана (2.10) имеет вид 2 фи (2.16) и условие Гиббса-Томсона (2.11) принимает следующий вид -афг. (2.17)

Заметим, что асимптотика йе) 9е решения системы фазового поля (2.2), (2.3) также выражается через решение предельной задачи Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.10), (2.11) (в рассматриваемом симметричном случае - задачи (2.8), (2.16), (2.17)).

Напомним, что начальные данные для задачи (2.8), (2.16), (2.17) мы выбираем так, чтобы левая граница Г^* двигалась направо (—</?t > 0), а правая граница T2,t - налево (<£t < 0), и, кроме того, мы предполагаем, что начальные и граничные условия обеспечивают существование функции <£(i) е С1 при 0 < t < t*, и существует конечный предел lim <p(t) = const. (2.18) г-и*-о ' v

Необходимо отметить, что в случае движения одной (без взаимодействия) свободной границы Г4, решение задачи Стефана-Гиббса-Томсона имеет вид (см. [13, 49, 58]) и = u)q = sign(S) + Ov.(e2),

I (в: + в-с) + i (0+ + в:) sign (S) + cv (e), где положение свободной границы Г* определяется функцией 3 = £+Ф(:г) (т.е., Г( = {д; : I = —Ф(а;)}), /3 = 1/|УФ|, и - гладкие продолжения функций в± в область П. Напомним, что функции в± являются температурой среды в областях с фазами "+" и " —" соответственно.

2.2.1 Построение слабого асимптотического решения

Прежде всего, рассмотрим какие эффекты выявляются при численном моделировании процесса взаимодействия. Из рис. 3.6 видно, что температура претерпевает "скачок" с конечной амплитудой вблизи момента слияния свободных границ: профиль графика резко меняется с \У-образного на У-образный. Эволюция функции порядка показана на рис. 3.5. Ясно, что в задаче с взаимодействием двух свободных границ, до момента контакта £ = существуют три области (интервала) с различными фазами. В момент контакта свободных границ область (интервал) исчезает, и при £ > £* среда имеет только единственную фазу "+". Также понятно, что система (2.2), (2.3) существенно нелинейная, и простая сумма двух волн (кинков) не является ее решением. Если свободные границы Г^, г = 1,2 находятся на достаточно большом расстоянии друг от друга при £ < т.е. то в (2.2), (2.3) функция порядка имеет вид (2.14). В то же время, если £ = £* и фг ф 0, то формулы (2.13), (2.14) не дают верного решения даже качественно.

Принимая во внимание все вышесказанное, мы будем искать слабое асимптотическое решение системы фазового поля (2.2), (2.3) в виде ф-(-ф)\ = \2ф\>е1~», /х>0,

2.19)

2.20)

7М = T-[x,t) = 7-(,,t) , (2.21)

T+{x,t) = rf(x,t)(x + <p(t)), Tr+(x,t) = 7r+0M)(* - ¥>(*)).

Здесь ¡3, <p, 7~, 7j+, 7+ - искомые функции, причем функция = <p(t,£) описывает положение свободных границ Г^, i = 1,2.

Для того, чтобы описать структуру введенных выше функций, рассмотрим "быструю" переменную т: г =-.

При этом на временах t < t* функция (р0 = ф определяется из задачи (2.8), (2.16), (2.17). Согласно нашим предположениям, функция ip0(t) может быть гладко продолжена на времена t > t* с сохранением знака производной. Это продолжение мы также будем обозначать ifo(t). Таким образом, переменная т = r(t,e) определена при t ^ £*, причем т —¥ оо при i < t* и е —> 0 (до взаимодействия свободных границ); г —>• —оо при i > f и е 0 (после взаимодействия свободных границ).

Заметим, что существование классического решения задачи Стефана-Гиббса-Томсона при t < t* означает существование внутри области £1 первой производной по t и второй производной по х от функции в. Причем сама функция в и ее производные непрерывны вплоть до свободных границ х = ±<£>0(i)- Из существования производной дв/дх вплоть до х = ±<po(t) заключаем, что функции = Tfc<po(t),t)-lZ(x,t) 7i'r ±<p0{t)-x непрерывны. Следовательно, непрерывны и TJ+, определенные в (2.21). Обозначим 7г+г(<£о(£)51) = 7j+r(i)- Понятно, что в наших предположениях 7/+rW = где М = const. Поэтому, определяя функцию <pot(t), мы тем самым определяем свойства функций 7г+г. Положим

Р = Ро + Pi{t) > о, ч> = V0 + VoVi(r). (2.22)

Функции ujq(z), <jJ\(z) определены в (2.13), (2.14). Мы предполагаем (далее докажем), что выполнены пределы /?i(r) 0, <^i(r) 0 при т —► оо (т.е., до взаимодействия свободных границ).

Из формулы (2.19) с учетом (2.15) видно, что в результате взаимодействия свободных границ кинки си0 (¡3{—х — <р)/е) и шо (/3(х — <р)/е) аннигилируют. Аннигиляция означает исчезновение области О,^. В самом деле, если <£>(£) > 0, то из формулы (1.7) получаем й = 1 — о(1), х < —<р,х > ц> й = — 1 + о(1), —(р<х<<р. Если = х* (в нашем случае х* = 0), то й= [1+о>20(/Зх/е)] /2, если <р < 0, то й = 1 для любого N > 0, х Е Е1.

Формула (2.20) построена так, чтобы она качественно правильно описывала поведение температуры во время эволюции и взаимодействия свободных границ Г^, г = 1,2.

2.2.2 Анализ слияния свободных границ с помощью метода слабых асимптотик

Согласно Определению 1, мы должны удовлетворить уравнениям (2.5), (2.6) с учетом формул (2.19), (2.20). Таким образом, имеем

У1Щ-х-<р) + \У2[1-Н((р-х)]+ (2.23) ф) + ИВД^ -х) + 0-р>(е),

-Сй=У116(х + ср)+У215(>р-х)+ (2.24) У?6'(х + <р) + - х) + От? (е), где операторы Ь и С определены в формуле (2.4).

В правой части (2.23) коэффициенты при функциях Хевисайда имеют вид + < х < (р, (2.25) щ = (ш ~ &) ('А + г,+)' х<""' (2 26)

В (2.23) коэффициенты при ¿-функциях определяются формулами

И? = - 7-(-*>, - У(2 - 5оо) + (2.28) ~ - ¿)Бк - |(2 - В6о) + (2.29)

Здесь мы обозначили воо = У ^о(г)о;о(-77 - .г)оЬ, = J ¿>1(2)071(17 !- г)йг, т] =

2 Р!3, р = |.

В уравнении (2.24) коэффициенты при ¿-функциях имеют вид б ~ 2С76оо + С66оо) + -¡Г(2 ~ воо)+

2 аР — 21?о20 + 56202) + "^"(Соо — 2Собо + ^обоо)» (2.30)

Т/1 рг ч РтЧ*Л(Гя , гг \ /о д. \

2 —°2° 0202'1--~ 660 6б00''--2^ ~ ^оо; 2Вог0 + Дз2о2) —

§"(^66 — ЗС^о + Сбооо)- (2.31)

Здесь мы обозначили

ВйЩ = Jи%(г)и}0(-г) - Вб2оа = !и1{г)и%{-г) - г)6г,

Б&о = £ гш%(г)и}0(-г1 - г)йгу В?2о2 = J

Соо = £¿>о(г)ио(-П ~ Сш = JШo(z)шo(z)шo(-V ~ z)dz, соооо = I шо{г)шо{-г1-г)и)ъ{г)иъ(-г]-г)<1г, С?6 = J с*ш = ! гшо(г)и:о(г)и}о(—Г1 — г)<1г, аг = 1 ^(уьСг))^, ^М = ^ - ^ + (2.32)

В (2.24) коэффициенты при производных ¿-функций определяются формулами

V? = (32С — Г), г = 1,2, (2.33) где мы обозначили = 8 ~ — — Соооо)» (2.34) = ! 1 + <•>,, (г) + о;0(-77 - г) - а70(гН(-/7 - £¿2. (2.35)

Теорема 3. Если существует классическое решение задачи Стефана-Гиббса-Томсона (2.8), (2.16), (2.17) при1 < Ь*, существует предел (2.18), выполнено уравнение

7,+(-<М)-7~(-¥>,г)Вц -^Ш)-Г{<РЛ)Вп+ (2.36) и выполнено соотношение

2C — D = 0, (2.37) то функции ие, в£, определенные в (2.19), (2.20) являются слабым асимптотическим решением системы фазового поля (2.2), (2.3) при t €

ОМ h >t*.

Доказательство. В силу Леммы 2, если lim Wl = 0, (2.38) т—>±схз w\ + Wl = 0. (2.39)

Уравнение (2.38), где W2 определены в (2.28), (2.29), являются условиями Стефана (2.79) при т —У +оо, существование которых следует из существования классического решения задачи Стефана-Гиббса-Томсона.

При т —► —оо уравнения (2.38) с учетом (2.30), (2.31) выполнены автоматически. Таким образом, необходимо, чтобы выполнялось соотношение (2.39) или, что то же самое - уравнение (2.36). Аналогично, если lim Vi = 0, (2.40) т—>±оо то в силу Следствия

Vi + Vj = 0. (2.41)

При т —> +оо уравнения (2.40) переходят в условия Гиббса-Томсона (2.46), существование которых следует из существования классического решения рассматриваемой предельной задачи. При г —> —оо уравнения

2.41) выполнены автоматически. Таким образом, получаем необходимость уравнения (2.41), которое в силу (2.30) и (2.31) выполнено автоматически.

Кроме того, необходимо положить V? = 0, г = 1,2, и, тем самым, получаем соотношение (1.12). □

3.3 Выводы

Центральным моментом в анализе (численном) процесса слияния свободных границ явился переход от предельных задач (1)-(4) для негладких функций di и теряющих при t = Т гладкость границ Г^ к регуляризован-ной задаче (6)-(8). Бесспорно, важную роль при этом играет физическая содержательность системы фазового поля. При этом мы видим, что различный способ выбора F(u), по крайней мере в полиномиальной форме (9), приводит к идентичым в качественном смысле выводам о динамике свободной границы, в том числе и на этапе бифуркации. Это подтверждает правильность выбора упрощенной модели с m = 1 в большинстве работ, посвященных математическому исследованию этой задачи.

Проведенные численные эксперименты подтверждают надежность предложенной нами разностной схемы. Доказательство ее устойчивости было проведено только для случая £ = const и не является равномерным по е при £г —>- 0. Однако, мы видим, что уже при £ = 0.1 решение имеет все свойства, характерные для сингулярно возмущенных задач: оно имеет участки быстрого изменения, как по пространственным, так и по временной переменным. Тем не менее, многочисленное тестирование подтвердило устойчивость счета. Это оказалось решающим фактором при расчете двумерной задачи, когда столкновение свободных границ приводит к появлению принципиально неустойчивой ситуации.

1. H.W.Alt and I.Pawlow, A mathematical model of dynamics of non-isothermal phase separation, Physica D 59 (1992), 389-416.

2. H.W.Alt and I.Pawlow, On the entropy principle of phase transition models with conserved order parametr, Adv. Math. Sci. Appl. 6 (1996), 291-376.

3. H.A.Biagioni A nonlinear theory of generalized functions, SpringerVerlag, Berlin, 1992.

4. G.Caginalp, An analysis of a phase field model of a free boundary, Arch. Rat. Mech. Anal. 92 (1986), 205-245.

5. G.Caginalp, Stefan and Hele-Shaw type models as asymptotic limits of the phase-field equations, Phys. Rev. Vol. 39, (1989), 5887-5896.

6. G.Caginalp, A conserved phase field system: implication for kinetic undercooling, Phys. Rev. B 38 (1988), 789-791.

7. G.Caginalp, The dinamics of a conserved phase field system: Stefan like, Hele-Shaw, Cahn-Hilliard models as asymptotics limits, IMA J. Appl. Math. 44 (1990), 77-94.

8. G.Caginalp and X.Chen, Convergence of the phase field system to its sharp interface limits, European J. Appl. Math. 8 (1998), 417-445.

9. J.W.Cahn and S.M.Allen, A microscopic theory for domain wall motion and its experimental verification in Fe-Al alloy domain growth kinetics, Journal de Physique, Coll. C7 suppl. (12) 38 (1977), 51-54.

10. J.W.Cahn and J.E.Hilliard, Free energy of a nonuniform, system. I. Interfacial free energy, J. Chem. Phys. 28 (1958), 258-267.

11. J.W.Cahn and J.E.Hilliard, Spinodal decomposition: A reprise, Acta Metal. 19 (1971), 151-161.

12. X.Chen Spectrum for the Allen-Cahn, Cahn-Hilliard and Phase-field equations for generic interfaces, Commun. in Part. Dif. Equat. 19(7) (1994), 1371-1395.

13. J.F.Colombeau Elementary introduction to new generalized functions, North Holland, 1985.

14. C.M.Dafermos, Hyperbolic conservation laws in continuum physics, Springer-Verlag, Berlin-New York, 2000.

15. V.G.Danilov, V.P.Maslov and K.A.Volosov, Mathematical modeling of heat and mass transfer processes, Kluwer, Dordrecht, 1995.

16. V.G.Danilov, V.P.Maslov and V.M.Shelkovich, Algebra of singularities of singular solutions to first-order quasilinear strictly hyperbolic systems, Theor. Math. Phys. 114 (1998), no. 1, 1-42.

17. V.G.Danilov, G.A.Omel'yanov, and E.V.Radkevich, Weak solutions to the phase field system, Integral Transforms and Special Functions, 6 (1997), 27-35.

18. V.G.Danilov, G.A.Omel'yanov, and E.V.Radkevich, Hugoniot type conditions and weak solutions to the phase field system, Europian J. Appl. Math., 10 (1999), 55-77.

19. V.G.Danilov G.A.Omel'ynov and V.M.Shelkovich, Weak Asymptotics Method and Interaction of Nonlinear Waves. Amer. Math. Soc. Transl. (2) Vol. 208, 2003.

20. V.G.Danilov and V.M.Shelkovich, Generalized solutions of nonlinear dif-ferntial equations and Maslov agebras of distributions, Integral Transformations and Special Functions 6 (1997), 137-146.

21. C.M.Elliot and J.R.Ockendon, Weak and variational methods for moving boundary problems, Pitman, Boston, 1982.

22. C.Evans H.M.Soner and P.E.Souganidis, Phase transitions and generalized motion by mean curvature, Comm. Pure Appl. Math. 45 (1992), 1097-1123.

23. M.E.Gurtin, Thermomechanics of evolving phase boundaries in the plane, Clarendon Press, Oxford, 1993.

24. P.D.Lax and C.D.Livermore, The small dispersion limit for the KdV equation, I, Comm. Pure Appl. Math. 36 (1983), 253-290.

25. S.Luckhaus, Solitons of the two-phase Stefan problem With the Gibbs-Thomson law for the melting temperature, European J. Appl. Math. 1 (1990), 101-111.

26. S.Luckhaus and L.Modica, The Gibbs-Thomson relation within the gradient theory oif phase transitions, Arch. Rat. Mech. Anal. 107 (1989), 71-83.

27. S.Luckhaus and A.Visintin, Phase transition in multicomponent systems, Manuscripta Math. 43 (1983), 261-288.

28. V.P.Maslov Geometric asymptotics for nonlinear PDE. I, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001.

29. V.P. Maslov, G.A. Omel'yanov, Geometric Asymptotics for Nonlinear PDE, AMS, MMONO 202, R.I., 2001.

30. A.Meirmanov, B.Zaltzman, Global in time solution to the Hele-Shaw problem with a change of topology, EJAM, Vol. 13 (2002), 431-447.

31. A.Novick-Cohen, The nonlinear Cahn-Hilliard equation: transition from spinodal decomposition to nucleation behavior, J. Stat. Phys. 38 (1985), 707-722.

32. A.Novick-Cohen, The Cahn-Hilliard equation: mathematical and modelling perspectives, Adv. Math. Sci. Appl. 8 (1998), 968-985.

33. M.Oberguggenberger Multiplication of distributions and applications to partial differential equations, Pitman Res. Notes Math., vol. 259, Longman, Harlow, 1992.

34. G.A.Omel'yanov, V.G.Danilov, and E.V.Radkevich, Soliton-type solutions of the conserved phase field system, Portugaliae Mathematica 53 (1996), 471-501.

35. G.A.Omel'yanov, V.G.Danilov, and E.V.Radkevich, Asimtotic solution of the conserved phase field system in the fast relaxation case, European J. Appl. Math. 9 (1998), 1-21.

36. G.A.Omel'yanov, V.G.Danilov, and E.V.Radkevich, Tahn-type asymptotic solution of the conserved phase field system, Adv. Math. Sci. Appl. 8 (1998), 663-689.

37. G.A. Omel'yanov, V.Yu. Rudnev, Interaction of Free Boundaries in the Modified Stefan Problem, Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 7:3 (2004), 227-237.

38. O.Penrose and P.C.Fife, Thermodynamically consystent models of phase-field type for the kinetics of phase transitions, Physica D 43 (1990), 44-62.

39. H.M.Soner. Convergence of the phase field equations to the Mullins-Sekerka problem with kinetic undercooling, Arch. Rat. Mech. Anal. 1311995), 139-197.

40. J.Sprekels and Z.Zheng. Global solutions to the equations of a Ginzburg-Landau theory for structural phase transitions in shape memory alloys, Physica D. 39 (1989), 59-76.

41. B.Stoth. Convergence of the Cahn-Hilliard equations to the Mullins-Sekerka problem in spherical symmetry, J. Defferential Equations 1251996), 154-183.

42. J.S.Toledano and P.Tolédano, The Landau theory of phase transitions, World Scientic, Singapore, 1987.

43. G.B.Witham, Linear and nonlinear waves, Wiley, New York-London-Toronto, 1974.

44. В.Г.Данилов, Г.А.Омельянов и Е.В.Радкевич, Асимптотика решения системы фазового поля и модифицированная задача Стефана, Дифференциальные Уравнения 31 (1995), 483-491.

45. В.П.Маслов Распространение ударных волн в изоэнтропийном несжимаемом газе, Итоги Науки и Техники.: Современные Проблемы Мат., 8, ВИНИТИ, Москва, 1977, стр. 199-271.

46. В.П.Маслов Три алгебры соответствующие негладким решениям систем квазилинеиных уравнений, Успехи Мат. Наук 36 (1981), 2, 252-253 (Россия).

47. В.П.Маслов и Г.А.Омельянов, Нелинейная эволюция флуктуаций в плазме токомака и динамика свободной границы в плазменном шнуре, Физика Плазмы, 21 (1995), стр. 646-658.

48. А.М.Мейрманов, Задача Стефана, Наука, Новосибирск, 1986.

49. Г.А.Омельянов, В.Г.Данилов и Е.В.Радкевич, О регуляризации начальных данных для модифицированной задачи Стефана, Мат. Заметки 57 (1995), 793-802.

50. Г.А.Омельянов и В.В.Трушков, Геометрическая поправка в задаче о движении свободной границы, Мат. Заметки, 63 (1998), 151-153.

51. П.И.Плотников, В.Н.Старовойтов. Задача Стефана как предел системы фазового поля. Дифференциальные уравнения, 29 (1993), 461-471.

52. Е.В.Радкевич, Об асимптотическом решении системы фазового поля, Дифференциальные уравнения, 29 (1993), 487-500.

53. Е.В.Радкевич Поправка Гиббса-Томсона и условия существования классического решения модифицированной задачи Стефана, 1991, ДАН СССР, 43(1).

54. А.А.Самарский, Е.С. Николаев. Методы решения сеточных уравне-ий, М, Наука, 1978.

55. А.А.Самарский. Теория разностных схем. М, Наука, 1971.

56. А.Н.Ширяев, Основы стохастических финансов, 2: Теория, ФАЗИС, Москва, 1998.1. Оглавление1 Введение 110.1 Цель работы.510.2 Основные результаты.510.3 Метод слабых асимптотик.8

57. Описание слияния свободных границ 1921 Постановка задачи.19

58. Задача Стефана-Гиббса-Томсона (симметричный случай) . 2222.1 Построение слабого асимптотического решения . 2422.2 Анализ слияния свободных границ с помощью метода слабых асимптотик.26

59. Задача Стефана (симметричный случай).3323.1 Построение слабого асимптотического решения . 3423.2 Анализ слияния свободных границ с помощью метода слабых асимптотик.34

60. Задача Стефана-Гиббса-Томсона (общий случай).3824.1 Построение слабого асимптотического решения . 3824.2 Анализ слияния свободных границ с помощью метода слабых асимптотик.41

61. Задача Стефана (общий случай).5125.1 Построение слабого асимптотического решения . 5125.2 Анализ слияния свободных границ с помощью метода слабых асимптотик.52

62. Численное моделирование слияния свободных границ 5631 Разностная схема .5832 Численные эксперименты.5933 Выводы.64