Температурные напряжения в растущих телах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Кузнецов Сергей Игоревич

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В РАСТУЩИХ ТЕЛАХ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

12 ДЕК 2013

Краснодар — 2013

005543748

Работа выполнена па кафедре «Прикладная математика» Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Манжиров Александр Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических паук,

профессор

Ватульян Александр Ованесович

доктор физико-математических паук доцент

Павлова Алла Владимировна

Ведущая организация: Саратовский государственный

университет имени Н. Г. Чернышевского

Защита диссертации состоится «19» декабря 2013 г. в 1С час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 при Кубанском государственном университете по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, КубГУ, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Кубанского государственного университета.

Автореферат разослан « » ноября 2013

года.

И.о. ученого секретаря г% ^

1 Амо^- Зарецкая М.В.

диссертационного совета пи^ 1 ■

Актуальность темы. Некоторые природные явления и технологические процессы сопровождается увеличением массы твердых тел за счет присоединения к их поверхности дополнительного материала. Примерами таких явлений и процессов могут быть электролитическое и пиролитичсское осаждение, кристаллизация из растворов и расплавов, сублимация, лазерное напыление, газотермическое и парофазиое осаждения, фотополимеризация, формирование осадочных пород и аккреция космических тел. Объекты, формирующиеся за счет присоединения дополнительного материала к поверхности основного тела, называются растущими телами, а сам процесс формирования — поверхностным ростом.

Если температура присоединяемых элементов отличается от температуры основного тела, то на поверхности роста имеет место тепловой поток, который оказывает влияние на распределение температуры в растущем теле. Вследствие неравномерности распределения температуры в растущем теле возникают температурные напряжения. В результате имеет место ситуация, когда к поверхности растущего тела, присоединяются твердые частицы, напряженно-деформированное состояние которых, в общем случае, не согласовано с напряженно-деформированным состоянием основного тела. Это приводит к тому, что в сформировавшемся теле после окончания роста и выравнивания температуры могут иметь место остаточные напряжения.

Наличие остаточных напряжений может привести к таким последствиям, как потеря устойчивости, локальные нарушения сплошности, искажения геометрической формы, и т.д. В частности, учет искажений формы важен при разработке методов фотоиолимеризующей стерсолитографии, а анализ устойчивости наращиваемых тонкостенных конструкций необходим при разработке микроэлсктромсханичесжих систем (MEMS).

Изучением растущих тел занимается относительно молодое направление в механике твердого тела — механика растущих тел. Моделированию процессов наращивания твердого тела посвящено множество работ отечественных и зарубежных ученых, таких как Н. X. Арутюнян, А. Д. Дроздов, С. А. Лычев, A.B. Манжиров, В. В. Метлов, М.Н. Михин, В.Э. Наумов, Д. А. Паршин, Э. И. Рашба, В. К. Тринчер, В. Д. Харлаб, Е. Epstein, G. Maugin, А. Klarbring, V. Lubarda, L. Taber, Т. Olsson и др.

Математические модели механики растущих тел позволяют описать процесс роста термоупругого твердого тела. Однако, в общем случае уравнения, описывающие температурные поля, а также поля напряжений и деформаций не могут быть проинтегрированы в замкнутом виде.

Моделирование процесса поверхностного роста, как правило, осуществляется с помощью численных методов. Для изучения сходимости вычислительных алгоритмов требуется сопоставление численного решения с аналитическим на тестовых примерах. На сегодняшний день не известно ни одной задачи о температурных напряжениях в растущих телах, имеющей точное решение. Вклад автора состоит в нахождении аналитических решений ряда модельных задач для растущих тел канонической формы.

Изложенное выше определяет актуальность и практическую значимость работы.

Целью работы является исследование эволюции температурного поля и ноля температурных напряжений, а также изучение картины остаточных напряжений в растущих телах.

Для достижения цели исследования сформулированы и решены следующие задачи:

1. Задача о непрерывном наращивании термоупругого сплошного и полого шара при осесимметричном начальном распределении температуры.

2. Задача о непрерывном наращивании бесконечного полого цилиндра в предположении плоских деформаций

3. Задача о непрерывном и дискретном наращивании термоупругого параллелепипеда для случаев связанности и несвязанности нолей температур и деформаций.

Научная новизна: диссертационной работы состоит в следующих результатах, полученных автором:

1. построено аналитическое решение задачи теплопроводпости для растущего сплошного шара при определенных законах движения растущей поверхности в форме спектрального разложения по собственным функциям линейного оператора, порождаемого задачей;

2. построено приближенное решение задач теплопроводности для растущего полого шара и цилиндра при произвольном режиме наращивания в форме спектрального разложения по собственным функциям линейного оператора, порождаемого задачей;

3. по найденному температурному полю построено поле температурных напряжений, а также поле остаточных напряжений в соответствующих растущих телах.

4. построено решение связанной и несвязанной задач термоупругости для параллелепипеда в случае дискретного наращивания.

Достоверность результатов, полученных в диссертации обеспечивается строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением в частных случаях с известными результатами других авторов. Сформулированные в работе результаты допускают ясную физическую интерпретацию и соответствуют современным представлениям о протекающих процессах.

Практическая значимость настоящего исследования состоит в том, что все рассмотренные задачи в приведенных постановках решены и детально исследованы впервые. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития механики растущих тел. Рассматриваемые в работе задачи могут служить, в частности, тестовыми задачами при отладке численных алгоритмов, предназначенных для моделирования реальных природных и технологических процессов.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались на XIV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», II Международной конференции «Актуальные проблемы механики сплошной среды», X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, XXVI и XVIII Международной молодежной конференции «Гагаринские чтения», на семинаре кафедры «Прикладная математика» Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана.

На различных этапах данная работа поддерживалась грантами Российского фонда фундаментальных исследований (гранты РФФИ 08-01-00553-а, 11-01-00669-а, 11-08-939С7-ЮАР_а). Фрагменты диссертационного

исследования были использованы также при выполнении проекта согласно Соглашению № 14.B37.21.064G от 20.08.2012 с Мииобрнауки России.

Публикации и вклад автора По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе две статьи представлена в журнале из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.

В исследовании научному руководителю профессору Манжирову A.B. принадлежат постановки задач и основные идеи по построению их решений. Соискателю принадлежит практическая реализация алгоритмов аналитического построения решений начально-краевых задач, составление вычислительных программ, проведение расчетов и анализ результатов.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 1G6 наименований. Полный объем диссертации составляет 128 страниц машинописного текста. Работа содержит 24 иллюстраций и 2 таблицы.

Введение содержит обоснование актуальности настоящего диссертационного исследования, формулировку целей и задач работы, а также обзор литературы по механике деформируемого твердого тела.

В первой главе приведены основные соотношения механики растущих тел. Сформулирована математическая постановка задач.

В первом параграфе приведена классификация процессов роста твердого тела. Указано, что в рамках настоящей работы будут рассмотрены только случаи дискретного и непрерывного поверхностного роста термоупругих тел в предположении малых деформаций и послойного присоединения дополнительного материала к поверхности основного тела.

Во втором параграфе вь(водятся основные уравнения теории упругости для растущего тела.

Особенностью растущих тел является отсутствие глобальной естественной конфигурации. Напряженно-деформированное состояние такого тела характеризуется тензором дисторсии, который, в общем случае, не является градиентом какого-либо векторного ноля. В предположении малых деформации, упругий отклик, соответствующий некоторому приращению деформаций не зависит от накопленной деформации в локальной окрестности точки. Поэтому, в отличие от модели конечных деформаций, задачу для растущего тела можно решать в терминах скоростей изменения деформаций. Математическая постановка задачи будет иметь следующий вид:

где V — векторное поле скоростей в растущем теле, ]Э — тензор скоростей деформаций, Э — тензор скоростей изменения напряжений, Л и /х — упругие модули Ламэ, а — коэффициент температурного расширения, В — избыточная

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

n=-(Vv + (Vvf),

§ = 2/iD + (АТг(Д) - (ЗА + 2ß)aÖ)X: V • S + f = О,

1

(1)

(2) (3)

температура, V — оператор Гамильтона. Точкой ( ) обозначена производная по времени.

Третий параграф посвящен постановке граничных условий на растущей поверхности при непрерывном поверхностном наращивании. Процесс роста моделируется как непрерывное присоединение мембран бесконечно малой толщины к растущей поверхности. Если обозначить растущую поверхность в фиксированный момент времени t в качестве П(£), то уравнение взаимодействия мембраны с твердым телом (уравнение Гертина-Мердоха) запишется следующим образом:

Vs•Ts + bs = X■n|íад, (4)

где Т3 — тензор натяжения мембраны, Ь5 — поверхностная плотность внешних сил, действующий на мембрану, — поверхностная дивергенция.

Полагая, что поверхностная плотность Ь, равна нулю, из уравнения (4) можно вывести граничные условия на растущей поверхности для задачи в скоростях:

§-пЦ = -1/(7;:(^п)п), где У = (5)

Если присоединяемые слои свободны от напряжений, то граничное условие (5) на поверхности роста принимает простой вид:

1-пЦ = °-

Четвертый параграф посвящен выводу температурных граничных условий на поверхности роста. Процесс роста моделируется процессом непрерывного присоединения нагретых слоев инфинитезимальной толщины.

Если температура присоединяемого слоя отличается от температуры основного тела, то на поверхности роста имеет место тепловой ноток. В этом случае граничное условие на поверхности роста является условием третьего рода:

0 Т(хЛ)

дп

- т(6)

хеП(()

хеГ!(()

где с£ —1теплоемкость материала растущего тела при постоянных деформациях, р — плотность этого материала, — скорость движения поверхности роста, которая в общем случае зависит от времени — коэффициент

теплопроводности материала растущего тела, Т(х, — функция, характеризующая распределение температуры, Т^ — температура присоединяемых слоев.

Если предположить, что тепловой поток через поверхность ограничен, то при высокой скорости роста, условие (6) сведется к краевому условию типа Дирихле:

Т\т = Т(7)

Условие (7) можно также считать справедливым, если наращивание осуществляется в среде с высокой теплоемкостью.

Таким образом, задача термоупругости для растущего тела определяется уравнением равновесия, уравнения теплопроводности, начальными и граничными условиями. Решая эти уравнения, получаем скорости изменения

6

напряжений. Значения напряжений и каждой точке отыскиваются с помощью процедуры интегрирования но времени. При этом, в качестве начальных условий следует принят]> напряженно-деформированное состояние исследуемого тела до начала наращивания. Остаточные напряжения вычисляются как предельные значения напряжений при стремлении временного параметра к бесконечности.

Вторая глава посвящена моделированию процесса роста термоупругого шара при условии центральной симметрии. Задача теплопроводности для растущего шара является начально-краепой задачей в переменной области. Переход к фиксированной области осуществляется путем замены переменных. После такого преобразования разделение переменных и построение аналитического решения оказывается возможным только в некоторых частных случаях. Когда такое разделение невозможно, решение задачи теплопроводности строится в форме спектрального разложения по собственным функциям, которые будут параметрически зависеть от времени.

Первый параграф посвящен построению точного решения задачи теплопроводности для растущего сплошного шара при условии центральной симметрии. Задача теплопроводности запишется следующим образом:

ОТ ,19/ „ОТЛ

<И 7 г2<9г V 0 г

Т{гЛ)\г=т = Т^\ |ТМ)|г=0|<оо,

где Т{г. €) — значение температуры в точке с радиальной координатой г в момент времени 7 — коэффициент температуропроводности материала шара, 7о(г) — распределение температуры в шаре в начальный момент времени. Я(<) — известный закон изменения радиуса шара со временем, — температура присоединяемых слоев.

После перехода к фиксированной области с помощью замены:

- чЧ т-тм - я

- г п ел - Т

г = Щ)' е°(г) =

исходная задача сведется к следующей начально-краевой задаче: дв _ г <%(£)сЮ 1 д Л2сЮ

01 £(г) Л От г^Щдг\ дг/ ®(г. г)|м, = е0(г). и

\в(гЛ)и<оо. в(г.г)|г.=1=0.

Переменные в задаче (8) разделяются в смысле Фурье тогда и только тогда, когда величина £(£), характеризующая движение поверхности роста, имеет представление, которое в исходных координатах запишется следующим образом:

Л(0 = у/1Р0 + уЩ.

Задача Штурма-Лиувилля для линейного оператора, порождаемого преобразованной задачей теплопроводности будет иметь вид:

¿>2Ул,(г) /2 т дфп(г)

д?- \ Г 2 ) дг

= КФп(г),

Рассматриваемый линейный оператор является положительно определенным и самосопряженным п гильбертовом пространстве интегрируемых с квадратом функций, в котором скалярное произведение определено в форме

интеграла от произведения соответствующих функций с весом г2е~, т.е.

і

(Хі(г),Х2(г)) = !Хіі^Х'іі^е^ йг.

Собственные значения данного линейного оператора отыскиваются как решения трансцендентного уравнения:

¡3 ' 2'

пеМ,

а собственные функции могут быть выражены через гипергеометрическую функцию . .)

/ (-л 1 р (К 3 ^

где

Щ\„,/3) =

1А„ /3 А„ 5 /3\ д

о о~> о> Т ) яТ

3/3

2 /5 ' 2' 4/ ЗА

АЗ £

норма соответствующей собственной функции.

Если представить решение задачи теплопроводности в виде разложения по собственным функциям и подставить в исходное уравнение, то начально-краевая задача (8) сведется последовательности несвязанных задач Коши. Роль начальных условий в данной системе играют проекции начального условия на элементы ортонормированного базиса, составленного из собственных функций рассматриваемого линейного оператора.

Решив полученную задачу Коши и перейдя к первоначальным переменным, получим решение исходной начально-краевой задачи:

Т(г, і) = Т(с) ^

еі0)

1 +

р (КЗ г-в хі 4(Л§ + 72/Зі)

+ Г«, (9)

где ©1°' — проекция началі,ного распределения температуры нап-ю собственную функцию линейного оператора, порождаемого задачей

і

©10) = 1в0(г)Мг)г2е^г ¿г.

На рис. 1(а) представлена эволюция температурного поля при фиксированном значении параметра /3 (/? = 1). Сравнение распределений температуры при различных значениях параметра /3 представлено на рис. 1(6). Расчеты проводились для шара, температурное иоле которого в начальный момент времени равномерно и характеризуется значением 7ц. На графиках использовались следующие безразмерные переменные:

Т =

т -То ТМ-ЇЬ'

Ко' Щ'

Рис. 1.

Полученное температурное поле позволяет отыскать температурные напряжения в растущем шаре. Задача о температурных напряжениях в терминах скоростей изменения деформаций для растущего шара в сферических координатах при условии центральной симметрии запишется следующим образом:

„ . /д\ 2дуг г Л , , ч д2Т(гЛ) , ,

+ Ы ( арг + ^- ^ = (за + (ю)

«г|г=о = вг|г=о(0 = О, (И)

где Т(г, £) — найденное температурное поле, ут — радиальпая компонента вектора скоростей, в,г — радиальная компонента проекции тензора скорости изменения напряжений на вектор нормали к поверхности шара. Построив частное решение обыкновенного дифференциального уравнения (10), соответствующее краевым условиям (11) находим эволюцию поля скоростей перемещений.

По найденным значениям скоростей перемещений, используя закон, аналогичный закону Дюгамеля-Неймана можно построить поле скоростей изменения напряжений.

> дуг

вгг = (А + + 2Д— - (ЗА + 2

дг г д1

(12)

= = А— + (2А + 2ц)-± - (ЗА + '¿ц)а—, (13)

Ягв = «гу; = = 0. (14)

Значение напряжений в каждой точке определяется с помощью процедуры интегрирования найденных значений скоростей изменения напряжений по временному параметру.

Г(г, = <

а1°\г) + /вгг(г, Ь) <Й, о

(

/ 5гг(г, при

при 0 < г < /?о, г > До-

(15)

Интегрирование производится от момента появления V(г) точки с координатой г в растущем теле до текущего момента времени При этом, в качестве начальных значений напряжений принимаются значения напряжений до па-чала наращивания сх£?(г), которые отыскиваются стандартными методами теории упругости. Остаточные напряжения строятся как предельные значения напряжений в растущем шаре при стремлении временного параметра к бесконечности.

а{т!Лг) = 1™ °гт(г, г), <Тм(г) = Нт <700(г, г)

а$(г) = Нт<7^(г,г). (16)

Распределение температурных напряжений в растущем шаре в различные моменты времени представлено на рис 2 для случая, когда движение поверхности роста характеризуется параметром ¡3 = 10. Штрихованной линией изображено распределение компоненты тензора напряжений в момент времени I = 10 с, сплошной тонкой — при í = 20 с, толстой — при < = 30 с.

о-гг, МПа

0.15 0.19

г, и

«гее, <тчкр, МПа 10

Рис. 2.

(б)

г, м

0.15 0.19

На рис 3 представлено распределение остаточных напряжений в растущем шаре. Штрихованной линией изображено распределение компоненты

тензора остаточных напряжений в предположении, что скорость движения поверхности роста характеризовалась параметром ¡3 = 10 и прекратилось в момент времени V = 30 с; сплошной тонкой — при /5 = 20, V = 15 с; толстой - при /3 = 30, £* = 10 с.

а-гг, МПа 30

0.05 "••--0:10 0.15 0.19 (а)

сто», о>,!>, МПа 30

20

10

0

0.05 --.0.10 (б)

г. м

0.15 0.19

Рис. 3.

Все расчеты (рис. 2, 3) проводились при следующих значениях материальных констант и параметров: 72 = 8.76 • 10"5 м2/с, А = 5.55 • Ю10 Па, /г = 2.61 • Ю10 Па, а = 2.46 • 10"5 К"1, До = 0.1 м, Т^ - Тц = 10 К.

Второй параграф посвящен построению решения задачи теплопроводности для растущего полого шара. Задача теплопроводности в этом случае имеет следующий вид:

96 2 {д2в 2594 _ ч Л 27

9|(=0 = Є<°>, где 0(°) = -Т^

,=а = 0, і>0;

а) г — а &(*) - а'

Ь'{і){г -Ш -а)2 ;

г=Ь(0

= 0, 0 < £ < Г

Решение строится в форме разложения по собственным функциям линейного дифференциального оператора, действующего в области с подвижной границей. Задача Штурма-Лиувилля запишется следующим образом:

/аУ»(г) 2д-фп(г)\ ~ V дг2 7~дГ~) = /(а) = 0, ДЬ(О) = 0.

Спектр линейного оператора будет иметь вид:

А„(0 =

, , .

Ш-аГ ^Аг,Ц- ■

Исходная начально-краевая задача сведется к связанной бесконечномерной системе задач Коши. Ролі, началі,пых условий будут играть соответствующие проекции начального условия на ортонормированпый базис, составленный из собственных функций рассматриваемого оператора.

<ів„(і) ¿і

*=і І

І>п(гЛ)

Л

Мг, і)г2 йг = -72А„(0Є„(0 + (17)

11

Ь(0)

Єп(0)= У 0)r2 dr.

где .Рп(£) — ортогональная проекция функции Р(г, £) на элемент базиса 1рп(г) в момент времени I. Решение начально-краевой задачи строится методом Рунге-Кутты.

Для изучения сходимости используемого алгоритма было проведено сравнение численного решения при а = Ос аналитическим (9). Выяснилось, что при числе уравнений, большим или равном 50, абсолютная погрешность численного решения не превышает 10~2. Вопрос сходимости алгоритма в общем случае является довольно сложным и не рассматривается в рамках настоящей диссертации.

Задача о температурных напряжениях в скоростях для полого шара состоит из уравнения равновесия (10)и граничных условий:

г=а = О,

sr|r=i,(i) — 0.

Изложенный подход позволяет также строить решение задачи теплопроводности для случая, когда температура на подвижной поверхности изменяется по заданному закону.

г

3.0

Рис. 4.

1.0 т

0.8 1

0.6

3 ,

0.4

0.2

0 0.5 1.0 1.5

г

3.0

(б)

На рис. 4 представлена эволюция температурного ноля в растущем иолом шаре в случае, когда температура присоединяемых слоев изменяется по линейному закону

Т(е) = Т» _ к = congt;

а на внутренней поверхности поддерживается постоянная температура, равная То- Предполагается, что движение растущей поверхности описывается линейным законом:

b(t) = bo -f- Vbt, Vb = const.

Полагаем, что в начальный момент времени распределение температурного поля является равномерным и характеризуется температуройТ* (рис. 4(a)) и То (рис. 4(6)). На обоих графиках цифрами «1», «2» и «3» обозначено распределение температуры в моменты времени t\, t2 и t:i, соответственно, причем

h<t2< t3. 12

На графиках использовались следующие безразмерные переменные;:

Третья глава посвящена исследованию температурного поля в растущем полом цилиндре, состоящем из однородного изотропного термоупругого материала, который характеризуется коэффициентом теплопроводности Аг, плотностью р и теплоемкостью при постоянных деформациях се. Значение температурного поля в начальный момент времени в каждой точке цилиндра известно. Предполагается, что в каждом сечении, перпендикулярном оси симметрии цилиндра, распределение температуры одинаково. Пусть в начальный момент времени к внешней поверхности рассматриваемого тела начинают присоединяться цилиндрические слои вещества постоянной толщины, имеющие температуру а к внутренней — Т^. Дополнительный материал свободен от напряжений и идентичен основному телу. В результате присоединения вещества внешний радиус цилиндра изменяется по известному закону а(£), а внутренний — Ь{Ь) где Ь — рассматриваемый момент времени. Предполагаем, что в некоторый момент времени £* прекращается приток дополнительного материала к растущим поверхностям. Предполагается что после завершения роста на внешней и внутренней поверхностях поддерживается постоянная температура, равная и соответственно.

Вводится цилиндрическая система координат, начало которой совпадает с некоторой точкой на оси симметрии рассматриваемого цилиндра. Каждой точке будет соответствовать тройка координат (г, <р, г). В силу равенства температуры в каждом перпендикулярном сечении цилиндра, температурное поле будем описывать дважды дифференцируемой по каждому аргументу функцией Т(г, ¥?,<). Задача теплопроводности будет выглядеть следующим образом:

Первым шагом для построения решения является процедура стандартизации, посредством которой исходная задача (19) — (21) преобразуется к виду с однородными краевыми условиями:

£ > 0, а(і) < г < Ь(£). (18)

(19)

(20) (21)

(22)

и(г,^,Ь)\г=а{1) =0.

«(г, V?, ¿)|Г=Ь(0 = 0, где

(23)

(24)

b(t) - a(t) v '

Решение задачи (22)-(25) будем искать в классе функций, определенных п цилиндрической области с подвижными границами и интегрируемых с квадратом. Уравнение теплопроводности определяет дифференциальный оператор А [и], область определения которого задастся краевыми условиями (24)-(25). Уравнения (22)-(25) можно записать в операторной форме:

ди 9 л г 1 . г

Tt=~l 2A[u] + f, где оператор Л имеет следующее представление:

А\и] - - fi— (г—^ + —— г дг \ дг J г2 dip2

Оператор А является самосопряженным, положительно определенным и имеет дискретный спектр. Это позволяет представить решение в виде спектрального разложения по собственным функциям, которые из-за подвижности границ области будут зависеть от времени.

оо оо

и(г, <р, I) = Umn(t)i/>mn(r, ip, t), (27)

m=0 тг=0

где ipmn(r,e,t) — собственные функции оператора А, т.е. решение задачи Штурма-Лиувилля

~ ^тп'Фтп

которую в координатной форме можно записать так:

1 дРфп

~1д_ ( д-фт„\ гдг \ дг J

+ ■

= А тп'Фтп- (28)

Решения дифференциального уравнения (28) представляются в виде линейной комбинации следующих функций:

, (г, 0, у) = ((^./„(V'W) + cfy„(>/W)) cos ntf, (29)

■ф^г, 0, V) = Jn{sf\~r) + C<°Yn( y'W)) einnv», (30) где Jn и Yn - функции Бесселя порядка п, первого и второго рода, соответственно; Атп — собственные числа оператора.

Подставив найденные решения (29) и (30) в граничные условия (24) -(24), получим системы линейных алгебраических уравнений:

(^е)Л(\/А^а(г)) + C^Yn(,/K~na(t))) = 0, . (C[e)Jn(y/X^b{t)) + C^Yn(y/X^b(t))) = 0,

(Ci0) Jn(v/A^a(i)) + C^YniyfX^ait))) = 0,

(c[o)jn(^x^b(t)) + с£о)уп(>АЛ))) = 0,

14

которые имеют нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель каждой из них равен нулю. Это условие позволяет найти собственные значения и вь[разить величину через С^ и через СОкончательно

значения величин с[°\ c!f \ с[е' и С^ через вычисляем исходя из условий нормировкн:

J[= 1, jj в, ip, О)2 r drclip = 1.

V V

Собственные числа в произвол!,пый момент времени t находим как решение трансцендентного уравнения:

Оператор Л имеет набор собственных функций и соответствующий им набор собственных значений. Для удобства упорядочим собственные функции но возрастанию отвечающих им собственных значений. Тогда решение примет вид:

оо

u = j2MWk(r,t), (31)

fc=1

где к — порядковый помер собственного значения At, а i>k{r,t) — соответствующая этому значению собственная функция.

Для нахождения координатных функций подставим представление (31) в уравнение (22), в результате чего исходная начально-краевая задача сведется к системе задач Коши:

^ = -72 Wi) - f; щ JJ Mt)r dr + hit) к= 1,2,..., (32)

8=1 V(t)

где fk(t) — проекция функции f(r, iр, t) на базис оператора А fk(t) = //,<„ <л Шг, V, 1)г drdiP

V

В качестве начальных условий примем

щ.(о) = 40),

где

«[0) = J J и(п)(г, ч>)фк(г, V, 0 )r drdip.

v

Для построения приближенного решения исходной задачи выделим из системы (32) конечномерную подсистему. Располагая решениями связанной задачи Коши (32), решение исходной задачи можно построить по (31).

На рис. 5 представлена эволюция распределения температурного поля в растущем цилиндре в различные моменты времени. Предполагается, что на

15

которые имеют нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель каждой из них равен нулю. Это условие позволяет найти собственные значения и выразить величину С^ через С^ и через СОкончательно

значения величин С\ , С% \ С1}6' и С^ через вычисляем исходя из условий нормировки:

JJ (ÄI (г. в,<р, /.))2 г drdp = 1, J J (^W (Гі в, ip, tjj'2 r drdy> = 1.

V V

Собственные числа в произвольный момент времениi находим как решение трансцендентного уравнения:

Jn(a{t)VK^)Yn(b{t)^/%Z) = Jn(b(t)y/KZ)Yn(a(t)y/X^).

Оператор Л имеет набор собственных функций и соответствующий им набор собственных значений. Для удобства упорядочим собственные функции по возрастанию отвечающих им собственных значений. Тогда решение примет вид:

оо

u = Y^Mt)Mr,t), (зі)

fc=1

где к - порядковый номер собственного значения A*, a ipk(r, t) - соответствующая этому значению собственная функция.

Для нахождения координатных функций подставим представление (31) в уравнение (22), в результате чего исходная начально-краевая задача сведется к системе задач Коши:

^ = -72Аkuk(t) ~ f> //^MtVdr + Ш k = 1,2,..., (32) 8=1 V(t)

где fk(t) - проекция функции /(r, ip, t) на базис оператора А

fk{t) = IJ f(r, ip, t)ipk(r, ip, t)r drdip v

В качестве начальных условий примем

мо) = 40),

где

40) = JJ>(г, <р)Ыг, <Л 0)г drdip.

V

Для построения приближенного решения исходной задачи выделим из системы (32) конечномерную подсистему. Располагая решениями связанной задачи Коши (32), решение исходной задачи можно построить по (31).

На рис. 5 представлена эволюция распределения температурного поля в растущем цилиндре в различные моменты времени. Предполагается, что на

15

внешней и внутренней поверхностях растущего тела поддерживается постоянная температура, равная Т0. Движение внешней и внутренней поверхности описывается линейными законами:

a(t) = ац + vat, b(t) = Ьц + Vbt, va = const, уь = const.

Все расчеты проводились при следующих значениях материальных констант и параметров: 72 = 8.76 • 10-5 м2/с, а0 = 1 м, 60 = 2 м, «„ = »( = 0.025 м/с, vb = 0.1 м, t* = 30 с.

Рис. 5.

Напряженно-деформированное состояние термоупругого цилиндра до напала наращивания описывается уравнением равновесия:

¿/,У2и + (Л + ц)УУ ■ и = (ЗЛ + 2ц)аЧТ. (33)

где и вектор перемещений, V — оператор Гамильтона, а - коэффициент температурного расширения. Граничные условия запишутся следующим образом

°>г|г=а(0 = 0. о>гиед = 0. (34)

16

Существует два метода решения поставленной задачи. Первый заключается в поиске решения в форме спектрального разложения по собственным функциям линейного оператора, определенного в области с подвижными границами. Этот способ решения был описан ранее в главах 2 и 3. Второй метод заключается в представлении непрерывного роста последовательностью актов присоединения слоев конечной толщины. Целью первого параграфа и является сравнение обоих методов в предположении несвязанности полей температуры и напряжений.

Постановка задачи теплопроводности на области с подвижными границами имеет следующий вид:

дТ{г. €)

дг

= 0.

0Т{г, 0

дг

с€ру(Ь) А г

(Т(г,1)

(37)

(38)

Т(с)). (39)

Для построения решения разобьем рассматриваемый временной интервал на равные отрезки. Предполагается, что в начале каждого временного отрезка происходит акт присоединения дополнительного материала. При этом величина временного интервала и толщина присоединенного слоя должны согласовываться со скоростью движения растущей поверхности.

Постановка вспомогательной начально-краевой задачи о дискретном наращивании для одного этапа выглядит следующим образом:

ОТ

~дI

= 7

,92Т

т(г,ои =

дТ(гЛ)

■0), при

С>2

= 0.

0 < г < /г,-

при 0 < г < /¿¿_ь Ы-1 < г < /г;,

<Э7'(г, ¿)

дг

= 0.

(40)

(41)

(42)

При этом в качестве начальных условий на каждом последующем этапе принимается распределение температуры в конце предыдущего.

Следует заметить, что задача (40)-(42) является классической задачей теплопроводности, решение которой известно.

Во втором параграфе рассматривается связанная задача термоупругости для растущего параллелепипеда. Из-за связанности полей температур и перемещений, оператор порождаемый связанной задачей будет несамосо-пряжепным. Вследствие этого построение решения исходной задачи в форме разложения по собственным функциям линейного оператора в области с подвижными границами весьма затруднительно. Поэтому исходная задача решается методом замены непрерывного наращивания дискретным. При этом толщина присоединяемых слоев и интервал между актами присоединения подбираются исходя из сравнения решения задач о дискретном и непрерывном наращивании (см. § 4.1).

Отличие математической постановки связанной задачи термоупругости от постановки соответствующей несвязанной задачи заключается в наличие слагаемого, отмечающего за связанность в уравнений теплопроводности, которое будет выглядеть следующим образом:

дТ

m=r

д2Т (ЗА + 2цТ0а) д2и dz2 +

сер

dzdt'

О < 2 < hu

(43)

где uz(z) — компонента вектора перемещений.

Решение начально-краевой задачи с уравнением теплопроводности (43) строится в форме спектрального разложения известит.™ методом1 и имеет вид:

^ UiMz)cVit i=1

Ni

(44)

где и,- — вектор коэффициентов разложения начальных условий для г-го акта наращивания, Л^ — нормирующий множитель, ^¿(г) — г-я собственная функция оператора, порождаемого задачей, щ — г-е собственное значение.

Из уравнения (44) видно, что решение поставленной задачи зависит только от собственных значений линейного оператора, порождаемого этой задачей. Для ответа на вопрос о целесообразности учета эффекта связанности необходимо сравнит!» собственные значения линейного оператора, вычисленные как с учетом связанности 1/св, так и без ее учета г/несв.

Для несвязанной задачи собственные значения представляют собой последовательность действительных и 2 последовательности мнимых чисел. Собственные значения рсв будут представлять собой последовательность комплексных чисел, каждое из которых будет близко к соответствующему собственному значению для несвязанной задачи.

В таблице 1. приведены результаты сравнения собственных значений для различных размеров рассматриваемого параллелепипеда.

Таблица 1.

N Vнесв h ксв ^HCCB l/I^HCCB I Rei>cB

h = IQ-" h = 10"4 h = lO"2^ h = Ю-« h = 10"4 h = 10"'J

1 3.2133; 0.0075 0.00018 < 10"b -0.0008 -9.49 • 10"e > -10"8

2 9.63992 0.0074 0.00016 < 10"6 -0.0075 -0.0001 > -10-8

3 16.0667» 0.0073 0.00011 < 10"6 -0.0209 -0.0002 > -ur8

4 28.9198« 0.0071 0.00009 < 10"6 -0.0400 -0.0005 > -10"8

5 35.3464! 0.0068 0.00008 < НГ6 -0.0638 -0.0009 > -Ю"8

Видно, что при характерных размерах рассматриваемого параллелепипеда порядка 10~2 собственные значения для связанной и несвязанной задач практически совпадают. Из этого следует, что при таких размерах эффект связанности можно не учитывать.

На рис. 7 представлено распределение компонент ахх и <туу температурных напряжений в различные моменты времени. Расчеты проводились при следующих значениях материальных констант и параметров: 72 =

'Левитин А.Л., Лычёв С.А., Манжиров A.B., Шаталов М.Ю. Нестационарные колебания дискретно наращиваемого термоупругого параллелепипеда // Изв. PAH МТТ, jV'G. 2012. С. 95-109

10

8.76 • 10"5 м2/с, А = 5.55 • Ю10 Па, ц = 2.61 • 1010 Па, а = 2.46 • 1(Г5 К"1, /г0 = 0.1 м, = ко + = 0.01 м/с, = 1 с, ¿1 = 2 с, ¿1 = 5 с, ¿1 = 10 с.

4 <Гж1,аут, МПа

3

Л

/Л

//,ъ •¿/л

2

1

г, м

0

0.05 0.10 0.15 0.20

Рис. 7.

Особенностью решения задачи в одномерной постановке является тот факт, что в процессе роста значение компоненты <тгг тензора напряжений принимают значения, близкие к нулю, а также разрыв значений на границе основной и дополнительной частей тела.

В заключении приведены основные результаты работы, которые заключаются в следующем:

1. Показано, что эволюция температурного поля в растущем теле отличается от эволюции температурного поля в твердом теле постоянного состава. В частности, при осаждении материала на поверхность твердого тела в случае, когда осаждение происходит в среде с высокой относительной теплоемкостью, присоединенные слои играют роль тсплоизолятора.

2. Установлено, что распределение температуры в растущем теле зависит от скорости движения поверхности роста. Чем быстрее происходит присоединение дополнительного материала, тем медленнее изменяется температура внутренних слоев растущего тела.

3. Проведено сравнение распределения напряжений в растущем теле с соответствующим распределением напряжений в твердом теле постоянного состава при эквивалентных начальных и краевых условиях. Построено распределение остаточных напряжений в растущем теле после окончания роста.

4. Показано, что существенное влияние на величину остаточных напряжений оказывает скорость движения растущей поверхности. С повышением темпа присоединения дополнительного материала увеличивается интенсивность остаточных напряжений.

5. Установлено, что влияние связанности поля температур и деформаций па распределение этих полей в телах макроскопических масштабов пренебрежимо мало. Однако, для объектов, характерные размеры которых имеют порядок 10"® м, влияние связанности существенно. Поэтому, при разработке тел подобного масштаба, например, микроэлектромсханических схем следует учитывать эффект связанности.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Точное решение задачи о растущем центрально симметричном термоупругом шаре при специальном законе движения поверхности роста.

2. Приближенные решения задач связанной и несвязанной теплопроводности для растущих тел канонической формы (полый шар, полый цилиндр, параллелепипед) при произвольных режимах наращивания.

3. Исследование температурных напряжений в растущих телах канонической формы.

4. Анализ распределений остаточных напряжений в растущих телах канонической формы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кузнецов С.И., Манжиров A.B., Федотов И. Задача теплопроводности для растущего шара // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 6. С. 139-148.

2. Манжиров A.B., Лычев С.А., Кузнецов С.И., Федотов И. Аналитическое исследование процесса теплопроводности в растущем шаре // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Серия Естественные науки. 2012. №4 С. 130-137.

3. Кузнецов С.П., Паршин Д.А. Формирование упругого шара в процессе его вращения // XXXIV Гагарипские чтения. Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 томах. Москва, 1-5 апреля 2008 г. М.: МАТИ, 2008. Т. 1. С. 87.

4. Кузнецов С.И., Федотов И. Теоретические л экспериментальные исследования упругих свойств несжимаемых сред при конечных деформациях // Современные проблемы механики сплошной среды: труды XIV международной конференции г. Ростов-на-Дону, 19-25 июня 2010 г. — г. Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2010. Т. II. С. 179-183.

5. Кузнецов С.И. Аналитическое и численное исследование упругих свойств несжимаемых сред при конечных деформациях // Актуальные проблемы механики сплошной среды: труды II международной конференции 4-8 октября, Дилижан, Армения. - Ер.: ЕГУАС, 2010. Т. I. С. 331-334.

6. Кузнецов С.,И. Математическое моделирование термоупругого деформирования полого шара в процессе наращивания // XXXVII Гагарипские чтения. Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 томах. Москва, 5-8 апреля 2011 г. М.: МАТИ, 2011. Т. 1. С. 189-190.

7. Кузнецов С. И. Математическое моделирование процесса термоупругого деформирования полого шара в процессе наращивания // Современные методы механики. X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Вторая Всероссийская школа молодых ученых-механиков. Тезисы докладов. Нижний Новгород, 24-30 августа 2011 г. Издательствово Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, 2011. С. 85.

8. Кузнецов С. И. Исследование температурных напряжений в растущем полом термоупругом шаре // XXXVIII Гагарипские чтения. Научные труды Международной молодежной конференции в 8 томах. Москва, 10-14 апреля 2012 г. М.: МАТИ, 2012. Т. 1. С. 170-171.

Подписано в печать 13.11.2013г.

Усл.п.л. - 1.0 Заказ № 16243 Тираж: 100 экз.

Копицентр «ЧЕРТЕЖ.ру» ИНН 7701723201 107023, Москва, ул.Б.Семеновская 11, стр.12 (495) 542-7389 www.chertez.ru

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н. Э. БАУМАНА

Температурные напряжения в растущих телах

Специальность 01.02.04 — механика деформируемого

твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

04201451740

Кузнецов Сергей Игоревич

Научный руководитель: д.ф-м.н., профессор Манжиров Александр Владимирович

Москва - 2013

Оглавление

Введение 5

§ 0.1 Исторический обзор..............................................6

0.1.1 Введение....................................................6

0.1.2 Задача теплопроводности со свободной границей ... 7

0.1.3 Связанная и несвязанная задача термомеханиики . . 10

0.1.4 Теория растущих тел......................................14

§ 0.2 Описание работы..................................................18

1 Основные положения теории растущих тел 25

§ 1.1 Базовые определения и классификация процессов роста ... 25

§ 1.2 Математическая постановка задач механики растущих тел . 27

§ 1.3 Постановка механических граничных условий ................30

§ 1.4 Постановка температурных граничных условий ..............33

§ 1.5 Выводы по главе 1................................................34

2 Непрерывное наращивание термоупругого шара 36

§ 2.1 Введение............................................................36

§ 2.2 Аналитическое решение задачи термоупругости для растущего сплошного шара............................................37

2.2.1 Постановка задачи теплопроводности для растущего шара........................................................37

2.2.2 Построение решения в форме спектрального разложения..........................................................39

2.2.3 Исследование температурных напряжений ............44

2.2.4 Анализ результатов ......................................47

§ 2.3 Приближенное решение задачи термоупругости для растущего полого шара ................................................50

2.3.1 Постановка задачи........................................50

2.3.2 Решение задачи теплопроводности для растущего полого шара..................................................52

2.3.3 Исследование температурных напряжений ............56

2.3.4 Анализ результатов ......................................58

§ 2.4 Выводы по главе 2................................................61

3 Непрерывное наращивание полого цилиндра 62

§ 3.1 Введение............................................................62

§ 3.2 Решение несвязанной задачи теплопроводности для растущего полого цилиндра ..............................................63

3.2.1 Постановка задачи........................................63

3.2.2 Решение задачи теплопроводности для растущего полого цилиндра ............................................65

3.2.3 Исследование температурных напряжений ............69

3.2.4 Анализ результатов ......................................72

§ 3.3 Выводы по главе 3................................................84

4 Дискретное наращивание термоупругого параллелепипеда 85

§ 4.1 Введение............................................................85

§ 4.2 Несвязанная задача термоупругости............................86

4.2.1 Постановка задачи........................................86

4.2.2 Решение задачи для непрерывно растущего параллелепипеда ....................................................87

4.2.3 Решение задачи для дискретно наращиваемого параллелепипеда ................................................91

4.2.4 Сравнение решений, полученных разными методами . 92 § 4.3 Связанная задача термоупругости..............................94

4.3.1 Постановка задачи и алгоритм решения................94

4.3.2 Алгоритм решения........................................95

4.3.3 Построение решения задачи для одного этапа наращи-

вания ......................................................100

§ 4.4 Анализ результатов ..............................................107

§ 4.5 Выводы по главе 4................................................108

Заключение 110

Список литературы 112

Введение

Некоторые природные явления и технологические процессы сопровождается увеличением массы твердых тел за счет присоединения к их поверхности дополнительного материала. Примерами таких явлений и процессов могут быть электролитическое и пиролитическое осаждения, кристаллизация из растворов и расплавов, сублимация, лазерное напылепие, газотермическое и парофазное осаждение, фотополимеризация, формирование осадочных пород и космических тел. Изучением такого рода объектов занимается относительно молодое направление в механике твердого тела — механика растущих тел.

Принципиальным отличием растущих тел от тел постоянного состава является то, что растущие тела формируются за счет непрерывного присоединения ипфинитезимальных частей к поверхности роста, причем присоединяемые части могут быть как свободны от напряжений, так и предна-пряжены. При этом растущее тело также испытывает деформацию. Если температура присоединяемых частей отличается от температуры основного тела, то на поверхности роста имеет место тепловой поток. Этот тепловой поток влияет на распределение температурного поля в растущем теле. В частности, если изначально температура всех частей основного тела была одинаковой, то более нагретый или более охлажденный дополнительный материал вызывает неоднородность температурного поля в растущем теле.

Результатом неоднородности температурного поля в растущем теле является возникновение температурных напряжений. В итоге возникает ситуация, когда к основному телу, уже имеющему некоторые температурные напряжения, присоединяются свободные от напряжений (или деформиро-

ванные несогласованным с основным телом образом) части вещества извне. Следствием этого является качественное отличие напряженно-деформированного состояния растущего тела и тела постоянного состава. Причем, принципиальной особенностью является тот факт, что после прекращения роста и выравнивания температуры в выращенном таким образом твердом теле имеют место остаточные напряжения.

Остаточные напряжения в растущих телах могут привести к нежелательным последствиям, таким как потеря устойчивости, локальные нарушения сплошности, искажения геометрической формы, и т.д. В частности, учет искажений формы важен при разработке методов фотополимеризую-щей стереолитографии, а анализ устойчивости наращиваемых тонкостенных конструкций необходим при разработке микроэлектромеханических систем (MEMS).

Математические модели механики растущих тел позволяют описать процесс роста термоупругого твердого тела. В общем случае уравнения, описывающие температурные поля, а также поля напряжений и деформаций не имеют аналитического решения. Приближенное решение таких уравнений может быть получено только лишь с использованием численных алгоритмов. Однако, для построения эффективного вычислительного алгоритма необходима оценка параметров счета, обеспечивающая сходимость и приемлемую точность. Поэтому для разработки и отладки численных алгоритмов необходимо иметь готовые аналитические решения модельных задач.

§0.1 Исторический обзор

0.1.1 Введение

Как уже было сказано ранее, настоящая работа посвящена изучению температурных напряжений в твердых телах, растущих за счет присоединения к их поверхности дополнительного материала. В рассматриваемых задачах на напряженно-деформированное состояние, в первую очередь будет влиять распределение температуры в растущем теле. Задача о нахож-

денни температурного поля в теле со свободной границей известна как задача Стефана, основные методы решения которой хорошо изучены. Но задача Стефана является задачей теплопроводности и не включает в свою постановку изучение картины напряжений.

Для нахождения поля напряжений в растущем теле неприменимы классические методы (см. гл. 1). Для исследования такого рода задач следует воспользоваться теорией растущих тел. Разработаннй в настоящее время подход позволяет исследовать ряд процессов поверхностного роста. Но чтобы применить этот подход к решению рассматриваемых в настоящей работе задач, необходимо дополнить постановку задач о растущем теле соотношениями теории температурных напряжений.

Таким образом, рассматриваемая проблема находится па стыке трех направлений механики: термомеханики, теории теплопроводности тел со свободной поверхностью и механики растущих тел. Поэтому, чтобы осветить положение вещей на текущий момент времени, автор счел необходимым сделать исторический обзор по всем трем направлениям механики.

Исследуемые в настоящей работе задачи имеют не только теоретическое значение. Полученные результаты могут быть применены к моделированию ряда технологических процессов. Поэтому настоящий обзор будет неполным, если в него не включить работы, посвященные изучению электролитического осаждения, лазерного напыления, наплавки и т.д.

0.1.2 Задача теплопроводности со свободной границей

Решение задачи о фазовом переходе было впервые опубликовано в исследованиях Г. Лямэ и Б. Клапейрона в 1831 г. В их работе [150] рассматривается процесс затвердевания расплава без учета теплоты перегрева. Учесть теплоту перегрева в расчетах впервые удалось К. Г. Нэйману в 1860 г. В лекциях, которые он читал в Кепигсбергском университете излагалась методика и результаты этих расчетов [27, 105]. Позже, в 1889 г. в работах венского математика Йозефа Стефана [160, 161, 162, 163] было впервые опубликовано решение задачи о промерзании влажного грунта, математи-

чсская постановка которой схожа с постановкой задачи о затвердевании расплава. Решение задачи о промерзании, в последствии, было признано классическим, а сама задача о фазовом переходе получила название «задача Стефана».

Поскольку задача Стефана является весьма актуальной и имеет множество технических приложений, то этой проблеме посвящены сотни работ, как наших соотечественников, так и зарубежных коллег. Описания большинства трудов можно найти в различных обзорах (см., например, [30], [43]). Здесь же упомянем лишь основные из них.

В 50-е — 60-е годы XX в. активно проводилось изучение разрывных задач эллиптического и гиперболического типа. Методы, разработанные при решении этих задач были применены О. А Олейпик [90, 91, 92] к решению многомерной квазилинейной задачи Стефана. В результате применения этих методов была сформулирована концепция обобщенного решения задачи Стефана, сформулирована теорема о существовании и единственности обобщенного решения. Кроме того работае О. А. Олейпик [93] для построения решения задачи Стефана был успешно применен метод «сглаживания» коэффициентов. Этот же метол применяется для решения аналогичной задачи в работе С. JI. Каменомостской [36]. Здесь также следует отметить работу O.A. Ладыженской [53], в которой был предложен схожий метод решения разрывных задач.

Позже, французским ученым Г. Дюво [134] был применен метод вариационных неравенств к решению задачи Стефана. В результате нестационарную однофазную многомерную задачу Стефана удалось привести к вариационной постановке. Это позволило сформулировать теоремы о существовании и единственности обобщенного решения. А затем, А. Фридманом и Д. Киндерлераром [140] были выведены условия, при выполнении которых свободная граница в двух- и трехмерной однофазной задаче Стефана может описываться функцией, заданной в полярной системе координат, которая непрерывно и монотонно возрастает по времени и удовлетворяет условию Липшица по угловым координатам. Также Д. Киндерлерару

совместно с JI. Ниренбергом в работе [147] было показано, что обобщенное решение нестационарной задачи Стефана является классическим. Также отметим работы JI. Кафарелли [125, 126, 127], посвященные изучению свойств свободной границы в задачах «с препятствием».

В 80-е годы Ю. Мозером [152] был разработан метод решения многомерной задачи Стефана, основанный па теореме Нэша [154], также известной, как абстрактная теорема о неявной функции. Здесь следует упомянуть исследования JI. Хёрмапдера, Д. Г. Шеффера, Е. И. Ханзавы [157, 158, 135], в которых теорема Нэша, сформулированная удобном для практического применения виде, была использована для решения нестационарных задач о фазовом переходе в различных постановках.

Альтернативный подход к решению задачи Стефана был предложен А. Н. Тихоновым и A.A. Самарским [110], а позже, Е. JI. Албасини [120]. Суть этого подхода заключается в том, что вводится понятие «эффективной теплоемкости», которое включает в себя теплоту фазового перехода, выделяющегося на поверхности фаз. Это позволило, используя ¿-функцию Дирака, записать единое дифференциальное уравнение в частных производных для всей исследуемой области. На основе этого метода был разработан численный алгоритм построения приближенного решения многомерной нестационарной задачи Стефана.

Еще один подход к решению задачи Стефана был предложен И. И. Да-нилюком и его коллегами [41]. В его работах применялся вариационный метод, основанный на теории интегральных функционалов с переменной областью интегрирования. Такой же метод с применением теоремы Ротэ был использован М. А. Бородиным. В своих работах [22, 23] автору удалось получить классическое решение многомерных нестационарных двухфазных задач Стефана. Из альтернативных подходов, также следует упомянуть «метод расслоения на изотермы», сформулированный А. Н. Мейрмановым [74, 75] при изучении вопроса о разрешимости многомерной нестационарной задачи.

Сама по себе задача Стефана является задачей теплопроводности и

никак не затрагивает вопросы, связанные с температурными напряо!се-ниями в твердых телах. Изучением температурных напряо1сений занимается термомеханика. Поэтому следующая часть литературного обзора будет посвящена развитию этого направления.

0.1.3 Связанная и несвязанная задача термомеханиики

К первым работам по термомеханике следует отнести исследования по тсрмоу пру гости, которые проводились на основе теории Ж. М. Дюамеля и К. Г. Неймана [133]. Основное предположение этой теории заключалось в том, что полная девормация неравномерно нагретого твердого тела может быть представлена в виде суммы упругой деформации и теплового расширения. Разработанная теория позволяла решать статические и квазистатические задачи, но она не объясняла динамических эффектов, возникающих при неравномерном нестационарном нагреве.

Первые исследования температурных напряжений, проведенные с использованием законов термодинамики, были проведены У. Томсоном в 1855 году [165], а уравнения, отражающие связанность полей температуры и деформаций, были впервые выведены Л. Д. Ландау и Е. Л. Лифшицем [54].

Дальнейшее развитие теория температурных напряжений получила в трудах М.А. Био, П. Чедвика, Б. Боли и Дж. Уэйнера [121, 129, 130, 131, 21, 122, 123]. В этих работах была дана единая трактовка механических и тепловых процессов, а также была построена теория термоупругости, как обобщение классической теории упругости и теории теплопроводности. Были описаны такие явления, как перенос тепла при различных режимах теплообмена с окружающей средой, напряжения, вызванные неоднородным распределением температуры, динамические и термомеханические эффекты, тепловой удар и т.д.

Позже, в работах H.H. Шиллера [118, 119], а также, Т. А. Афанасьевой-Эрепфест [19] была получена удобная для практического применения математическая формулировка второго закона термодинамики. Особенностью новой формулровки является то, что в ней нашел свое отражение принцип

термодинамической недостижимости. С использованием этого принципа, а также принципа локального термодинамического равновесия был разработан метод термодинамических функций. С использованием построенного метода Дж.У. Гиббс в своей работе [141] вывел основные термодинамические соотношения, описывающие зависимости между напряжениями, деформациями, внутренней энергией и энтрапией. В этих же работах было выведено связанное уравнение теплопроводности.

Термодинамические основы нелинейной теории упругости были разработаны Л.Д. Седовым в 1962 году [108]. В его работах описываются процессы деформирования твердых тел при условии конечных деформаций при тепловом, физико-химическом и других воздействиях на рассматриваемые тела.

В 30-е годы XX в. П.Ф. Папкович получил представление общего решения квазистатической задачи термоупругости в форме, удобной для решения задач [95]. В этой форме представления перемещение выражается через произвольные векторную и скалярную функции, а частное решение неоднородного уравнения — через так называемый термоупругий потенциал перемещений, который представляет собой скалярное поле.

Алгоритм решения несвязанной задачи термоупругости предполагает на первом этапе построение температурного поля в рассматриваемой области. Здесь следует отметить работы A.B. Лыкова, Г. Карслоу, Д. Егера [57, 39], в которых излагаются основные методы теории теплопроводности в приложении к конкретным задачам. Также были разработаны методы решения некоторых квазистатических задач, которые получили свое отражение в работах А.Н. Динника, H.H. Лебедева, В.М Майзеля, Э. Мелапа, Г. Парку-са, Б. Боли, Дж. Уэйнера [31, 76, 55, 64, 21]. Отдельного упоминания заслуживают монографии В. Новацкого [85, 86, 155], в которых автор изложил подходы к решению сложных квазистатических задач теории температурных напряжений, в которых учитываются такие факторы, как разрывные граничные тепловые воздействия, действие источников тепла, и т.д.