Температурные напряжения в растущих телах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Кузнецов Сергей Игоревич

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В РАСТУЩИХ ТЕЛАХ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 2 НОЯ 2012

Краснодар — 2012

005055362

005055362

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика» Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор

Манжиров Александр Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор

Ватульян Александр Ованесович

кандидат физико-математических наук доцент

Стоян Владимир Петрович

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского

Защита состоится «30» ноября 2012 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 при Кубанском государственном университете по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, КубГУ, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Кубанского государственного университета.

Автореферат разослан » октября 2012 года.

И.о. ученого секретаря п „ ,, _

Ууп^ Зарецкая М.В. диссертационного совета ят*-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Некоторые природные явления и технологические процессы сопровождается увеличением массы твердых тел за счет присоединения к их поверхности дополнительного материала. Примерами таких явлений и процессов могут быть электролитическое и пиролитическое осаждение, кристаллизация из растворов и расплавов, сублимация, лазерное напыление, газотермическое и парофазное осаждение, фотополимеризация, формирование осадочных пород и космических тел.

Принципиальным отличием растущих тел от тел постоянного состава является то, что растущие тела формируются за счет непрерывного присоединения инфинитезимальных частей к поверхности роста, причем присоединяемые части могут быть как свободны от напряжений, так и преднапряжены. При этом растущее тело также испытывает деформацию. Если температура присоединяемых частей отличается от температуры основного тела, то на поверхности роста имеет место тепловой поток, который влияет на распределение температурного поля в растущем теле.

Одной из особенностей напряженно-деформированного состояния растущего тела является наличие остаточных напряжений в растущем теле,которые могут привести к нежелательным последствиям, таким как потеря устойчивости, локальные нарушения сплошности, искажения геометрической формы, и т.д. В частности, учет искажений формы важен при разработке методов фотополимеризующей стереолитографии, а анализ устойчивости наращиваемых тонкостенных конструкций необходим при разработке микроэлектромеханических систем (MEMS).

Изучением растущих тел занимается относительно молодое направление в механике твердого тела — механика растущих тел, основателем которой является академик Н. X. Арутюнян. Моделированию процессов наращивания твердого тела посвящено множество работ отечественных и зарубежных ученых, таких как Н.Х. Арутюнян, А. Д. Дроздов, С.А. Лычев, A.B. Манжи-ров, В. В. Метлов, В.Э. Наумов, Э.И. Рашба, В. К. Тринчер, В. Д. Харлаб, Е. Epstein , G. Maugin, А. Klarbring, V. Lubarda, L. Taber, Т. Olsson и др.

Математические модели механики растущих тел позволяют описать процесс роста термоупругого твердого тела. Однако в общем случае уравнения, описывающие температурные поля, а также поля напряжений и деформаций не имеют аналитического решения. Приближенное решение таких уравнений может быть получено только лишь с использованием численных алгоритмов. Однако решение, построенное таким образом, не позволяет проанализировать качественные особенности искомых полей. Кроме того, для

построения вычислительного алгоритма необходима оценка параметров сче-

3

та, обеспечивающая приемлемую точность. Поэтому для разработки и отладки численных алгоритмов необходимо иметь готовые аналитические решения модельных задач.

Изложенное выше определяет актуальность и практическую значимость работы.

Целью работы построение решений ряда модельных задач термоупругости для растущих тел канонической формы (сплошной и полый шар, полый цилиндр, параллелепипед), исследование эволюции температурного поля и поля температурных напряжений, а также изучение картины остаточных напряжений в рассматриваемых телах.

Научная новизна: диссертационной работы состоит в следующих результатах, полученных автором:

1. построено аналитическое решение задачи теплопроводности для растущего сплошного шара при определенных законах движения растущей поверхности в форме спектрального разложения по собственным функциям линейного оператора, порождаемого задачей;

2. построено приближенное решение задач теплопроводности для растущего полого шара и цилиндра при произвольном режиме наращивания в форме спектрального разложения по собственным функциям линейного оператора, порождаемого задачей;

3. по найденному температурному полю построено поле температурных напряжений, а также поле остаточных напряжений в соответствующих растущих телах.

4. построено решение связанной и несвязанной задач термоупругости для параллелепипеда в случае дискретного наращивания.

Достоверность результатов, полученных в диссертации обеспечивается строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением в частных случаях с известными результатами других авторов. Сформулированные в работе результаты допускают ясную физическую интерпретацию и соответствуют современным представлениям о протекающих процессах.

Практическая значимость настоящего исследования состоит в том, что все рассмотренные задачи в приведенных постановках решены и детально исследованы впервые. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития механики растущих тел. Рассматриваемые в работе задачи могут служить, в частности, тестовыми задачами при отладке численных алгоритмов, предназначенных для моделирования реальных природных и технологических процессов.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались на XIV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», II Международной конференции «Актуальные проблемы механики сплошной среды», X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, XXVI и XVIII Международной молодежной конференции «Гагаринские чтения», на семинаре кафедры «Прикладная математика» Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана.

На различных этапах данная работа поддерживалась грантами Российского фонда фундаментальных исследований (гранты РФФИ №№ 08-01-00553-а, 11-01-00669-а, 11-08-93967-ЮАР_а). Фрагменты диссертационного исследования были использованы также при выполнении проекта согласно Соглашению № 14.В37.21.0646 от 20.08.2012 с Минобрнауки России.

Публикации и вклад автора По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе две статьи представлена в журнале из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.

В исследовании научному руководителю профессору Манжирову A.B. принадлежат постановки задач и основные идеи по построению их решений. Соискателю принадлежит практическая реализация алгоритмов аналитического построения решений начально-краевых задач, составление вычислительных программ, проведение расчетов и анализ результатов.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 87 наименований. Полный объем диссертации составляет 129 страниц машинописного текста. Работа содержит 31 иллюстрацию и 1 таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор литературы по механике деформируемого твердого тела. Также во введении обоснована актуальность настоящего диссертационного исследования и сформулированы основные цели работы.

В первой главе приведены основные соотношения механики растущего тела. Сформулирована постановка задач механики растущего тела.

Первый параграф посвящен классификации задач механики растущих тел. Все задачи можно разделить на задачи поверхностного роста и задачи объемного роста. При поверхностном наращивании присоединение материала происходит на границе тела, которая называется границей роста. Объемный

рост предполагает, что состав тела в процессе деформирования не изменяется, однако масса элементарного объема не сохраняется: она изменяется в процессе деформирования по некоторому заданному закону. Рост биологических тканей дает пример такого процесса.

Поверхностный рост в свою очередь может быть непрерывным и дискретным. При дискретном наращивании в процессе деформирования происходит объединение тел конечных размеров. Математическая постановка задач для дискретно наращиваемых тел близка к постановке классической задачи термоупругости. При непрерывном наращивании имеет место непрерывный приток материала к исследуемому телу. В этом случае процесс наращивания может быть представлен как последовательность элементарных актов присоединения бесконечно малых напряженных частей к растущему телу. Причем, каждый элементарный акт происходит за бесконечно малый интервал времени.

В зависимости от топологических характеристик присоединяемых элементов непрерывное наращивание может представлять собой непрерывное присоединение поверхностей инфинитезимальной толщины, бесконечно тонких нитей и бесконечно малых капель.

Во втором параграфе выводятся основные уравнения теории упругости для растущего тела. Особенностью растущих тел является отсутствие глобальной естественной конфигурации.

Напряженно-деформированное состояние такого тела характеризуется тензором дисторсии, который, в общем случае, не является градиентом какого-либо векторного поля. Это значительно усложняет математическую постановку задачи.

В случае линейной теории упругости при малых деформациях, упругий отклик, соответствующий некоторому приращению деформаций не зависит от накопленной деформации в локальной окрестности точки. Поэтому в данном случае задачу для растущего тела можно решать в скоростях. Постановка задачи для растущего тела в скоростях имеет следующий вид:

где V — векторное поле скоростей в растущем теле, О — тензор скоростей деформаций, § — тензор скоростей изменения напряжений, Аид — упругие модули Ламэ, а — коэффициент температурного расширения, 0 — избыточная

(1)

§ = 2/Щ + (АТг(П) - (ЗА 4- 2ц)а&)1,

(2) (3)

температура, V — оператор Гамильтона. Точкой ( ) обозначена производная по времени.

Третий параграф посвящен постановке граничных условий на растущей поверхности при непрерывном поверхностном наращивании. Процесс роста моделируется как непрерывное присоединение мембран бесконечно малой толщины к растущей поверхности. Уравнение взаимодействия мембраны с твердым телом (уравнение Гертина) имеет следующий вид:

т7в-% + Ъв = Т-п\т), (4)

где Т3 — тензор натяжения мембраны, Ь, — вектор внешних сил, действующий на мембрану, Vа- — поверхностная дивергенция.

Полагая, что вектор внешних сил Ь8 равен нулю, из уравнения (4) можно вывести граничные условия на растущей поверхности для задачи в скоростях:

= где V = —. (5)

Если присоединяемые слои свободны от напряжений, то граничное условие (5) на поверхности роста принимает простой вид:

Четвертый параграф посвящен выводу температурных граничных условий на поверхности роста. Процесс роста моделируется процессом непрерывного присоединения нагретых слоев инфинитезимальной толщины.

Если температура присоединяемого слоя отличается от температуры основного тела, то на поверхности роста имеет место тепловой поток. В этом случае граничное условие на поверхности роста является условием третьего рода:

дТ(х, г)

дп

-ТV), (6)

хеГ1(<)

хеГ,(<) ЛТ

где се —теплоемкость материала растущего тела при постоянных деформациях, р — плотность этого материала, и(£) — скорость движения поверхности роста, которая в общем случае зависит от времени Ат — коэффициент теплопроводности материала растущего тела, Т(х, £) — функция, характеризующая распределение температуры, — температура присоединяемых слоев, Г1(г) — поверхность роста. Однако при высокой скорости роста условие (6) сведется к краевому условию типа Дирихле:

т\т = ^.

Таким образом, задача термоупругости для растущего тела определяется уравнением равновесия, уравнения теплопроводности, начальными и граничными условиями. Решая эти уравнения, получаем скорости изменения

напряжений. Значения напряжений в каждой точке отыскиваются с помощью процедуры интегрирования по времени. При этом, в качестве начальных условий следует принять напряженно-деформированное состояние исследуемого тела до начала наращивания. Остаточные напряжения вычисляются как предельные значения напряжений при стремлении временного параметра к бесконечности.

Вторая глава посвящена моделированию процесса роста термоупругого шара при условии центральной симметрии. Задача теплопроводности для растущего шара является частным случаем задачи теплопроводности в переменной области. Переход к фиксированной области осуществляется путем замены переменных. После такого преобразования переменные в уравнении теплопроводности в общем случае не разделяются в смысле Фурье. В частном случае, при определенных режимах наращивания, разделение переменных возможно. В этом случае решение можно построить в форме спектрального разложения по собственным функциям линейного дифференциального оператора, порождаемого задачей. В общем случае решение также строится в форме спектрального разложения, но в этом случае из-за того что область решения не является фиксированной, собственные функции и собственные числа будут параметрически зависеть от времени. В этом случае исходная задача сводится к связанной бесконечномерной системе задач Коши, которая решается с помощью вычислительных алгоритмов. Для отладки этих алгоритмов и определения параметров счета используется уже найденное точное решение.

Первый параграф посвящен построению точного решения задачи теплопроводности для растущего сплошного шара. Задача теплопроводности для растущего шара в сферических координатах при условии центральной симметрии в безразмерных переменных имеет следующий вид:

е(г,^=0 = е0(г), е0(г) =

в(г,£)|Г=5Й=0, |©(г,£)|г=0| < оо.

г=0

Го (г) - Г(е> Т(е)

|| <

После перехода к фиксированной области с помощью замены:

г

исходная задача теплопроводности сводится к следующей начально-краевой задаче:

дв г ¿4(0 <9©

д ( 2эе>

ф) £ дг ' г2?{1)дг I Г <9г "

(7)

е(г,о|(-=0 = е0(г),

10(^4)1^1 <оо, в(г,г)|-=1=0.

Переменные в задаче (7) разделяются в смысле Фурье тогда и только тогда, когда величина £(£), характеризующая движение поверхности роста, может быть представлена следующим образом:

т = х/Г+м,

где

/3 = сотЬ.

Задача Штурма-Лиувилля для линейного оператора, порождаемого преобразованной задачей теплопроводности, запишется следующим образом:

д2фп(г) /2 г/3\ дфп(г) +{г+ 2 дг

= А пфп{г),

|^(г)1г=о1<+оо. Ф(?)\г=1=0-

Рассматриваемый линейный оператор является положительно определенным и самосопряженным в гильбертовом пространстве интегрируемых с квадратом функций, если скалярное произведение в данном пространстве определено в форме интеграла от произведения соответствующих функций с

-2 ОЁ. весом ге 4 , т.е.

1

/¿л

Х1(г)Х2(г)г2е 1 йг.

Собственные значения данного линейного оператора отыскиваются из трансцендентного уравнения:

п е

а собственные функции могут быть представлены в терминах гипергеометрической функции • •)

/ ^ 1 р (>* 3 РР

где

Р) =

р Л р

1 42 /3 ' 2' 4/ д\ 1 Ч/б'2' 4)

А=А„

норма соответствующей собственной функции.

Если представить решение задачи теплопроводности в виде разложения по собственным числам и собственным функциям и подставить в исходное уравнение, то начально-краевая задача (7) сведется задаче Коши для несвязанной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Роль начальных условий в данной системе играют проекции начального условия на элементы ортонормированного базиса, составленного из собственных функций рассматриваемого линейного оператора.

Решив полученную задачу Коши и перейдя к первоначальным переменным, получим решение исходной начально-краевой задачи. Оно будет иметь следующий вид:

T(r t) - Т(е) у^ Л + ~fFl 3.__+ тм

Полученное температурное поле позволяет отыскать температурные напряжения в растущем шаре. Задача термоупругости в скоростях для данного шара в сферических координатах будет иметь следующий вид:

(d2vr 2dvr vr\ , ч d2T(r,t)

(А + ^ (â^ + - ^J =(ЗА + '

Vr|r=0 = О,

Srlr=a(i) = О,

где T(r, t) — найденное значение температурного поля, гу — компонента вектора скоростей, sT — компонента тензора скорости изменения напряжений. Данная задача по форме совпадает с классической задачей теории упругости. Следовательно, скорости изменения напряжений могут быть найдены классическими методами.

Значение напряжений в каждой точке восстанавливается с помощью процедуры интегрирования найденных значений скоростей изменения напряжений по временному параметру. Интегрирование производится от момента появления данной точки в растущем теле до текущего момента времени. При этом, в качестве начальных значений напряжений принимаются значения напряжений до начала наращивания, которые отыскиваются стандартными методами теории упругости. Остаточные напряжения строятся как предельные значения напряжений в растущем шаре при стремлении временного параметра к бесконечности.

Второй параграф посвящен построению точного решения задачи теплопроводности для растущего сплошного шара. Задача теплопроводности для

10

растущего шара в сферических координатах при условии центральной симметрии в после проведения процедуры стандартизации имеет следующий вид:

дв 2{д2в 2дЭ\ ^ ч ^ ч 272ТМ Ъ'{1)(г-а)Т^

dt =7 IW + г ) + F(r) ГД6 = r(b(t) - a) (b(t) - а?

e|t=0 = e<°\ где 0(°) = -rW-

г ■

b{t) - а'

9U = 0, t > 0;

©lr=6(i) = 0. о < i < г,

Решение данной задачи, как и в предыдущем параграфе, строится в форме спектрального разложения по собственным числам и собственным функциям линейного дифференциального оператора, порождаемого задачей. Но в отличие от классической задачи теплопроводности данный оператор будет действовать в области с подвижной границей. Задача Штурма-Лиувилля для данного линейного оператора будет иметь следующий вид:

д2фп(г) 2дфп(г)\ . , , . + Г—5Г- = ЬпМг)

дг2 г дг

f(a) = 0, f(b(t)) = 0

Спектр данного линейного оператора будет иметь вид:

А«'') = пЛГ Mr, t) =-\ u

(■b{t) - ay ryjb{t) - a

Собственные значения и собственные числа данного линейного оператора параметрически зависят от времени. В связи с этим, если искать решение в форме спектрального разложения, то исходная начально-краевая задача сведется к связанной бесконечномерной системе задач Коши. При этом роль начальных условий будут играть соответствующие проекции начального условия на ортонормированный базис, составленный из собственных функций рассматриваемого линейного оператора.

оо 6(()

^ + £ e„(i) j ^pW, ty dr = -72An(t)Qn(t) + Fn(t),

k=l a

6(0)

e„(0)= [em(r)ibn(r,0)r'dr.

Ш= J Q{0](r)Mr,o)r

Одним из способов построения приближенного решения полученной задачи Коши является выделение из этой системы конечномерной подсистемы, решение которой строится с помощью известных численных методов. Для определения размерности выделяемой подсистемы, а также подбора параметров счета, обеспечивающих необходимую точность, вычислительный алгоритм тестируется и отлаживается на аналитическом решении, полученном в предыдущем параграфе.

По найденному значению температурного поля строится поле температурных напряжений в растущем полом шаре. Задача термоупругости в скоростях для данного шара в сферических координатах будет иметь следующий вид:

fd2vr 2dvT vT\ , ч d2T(r,t)

+ + ^ " ^J = (ЗЛ + '

Sr|r=a = О, Sr|r=6(t) = О-

где Т(г, t) — найденное значение температурного поля. Картина температурных и остаточных напряжений строится тем же методом, что и соответствующие распределения в предыдущем параграфе.

Следует заметить, что построенный вычислительный алгоритм позволяет также строить распределение температурного поля в случае, если температура присоединяемых слоев дополнительного материала каким-либо образом зависит от времени.

Третья глава посвящена исследованию температурного поля в растущем полом цилиндре, состоящем из однородного изотропного термоупругого материала, который характеризуется коэффициентом теплопроводности Хт, плотностью р и теплопроводностью при постоянных деформациях с€. Значение температурного поля в начальный момент времени в каждой точке цилиндра известно. Полагаем, что в каждом сечении, перпендикулярном оси симметрии цилиндра, распределение температуры одинаково. Пусть в начальный момент времени к внешней поверхности рассматриваемого тела начинают присоединяться цилиндрические слои вещества постоянной толщины, имеющие температуру

Т(е)

а к внутренней — . Дополнительный материал свободен от напряжений и идентичен основному телу. В результате присоединения вещества внешний радиус цилиндра изменяется по известному закону a(í), а внутренний — b(t) где t — рассматриваемый момент времени. Предполагаем, что в некоторый момент времени t* прекращается приток дополнительного материала к растущей поверхности. Предполагается что после

завершения роста на внешней и внутренней поверхностях поддерживается постоянная температура, равная Т^ и Т'1', соответственно.

Вводится цилиндрическая система координат, начало которой совпадает с некоторой точкой на оси симметрии рассматриваемого цилиндра. Каждой точке будет соответствовать тройка координат (г, (р, г). В силу особенностей начального распределения температурное поле будем описывать дважды дифференцируемой по каждому аргументу функцией Т(г,1р,Ь). Поле температур удовлетворяет уравнению теплопроводности, которое в исходной системе координат с учетом особенности задачи будет выглядеть следующим образом:

дТ ,

1д_ f дТ\ 1 д2Т~

гдг у дг J г2 dip2

t > 0, a(t) < г < b(t). (8)

Чтобы найти распределение температурного поля, необходимо дополнить уравнение (8) начальными и краевыми условиями. Полагаем, что в начальный момент времени распределение температуры внутри тела задано:

T(r,<p,i)|i=0 = T(0>(r,^). (9)

Значение температуры на границах удовлетворяет краевым условиям типа Дирихле:

Т(г,^)|г=а(() = Г«. (10)

T{r,<p,t)\r=b(t)=Tto. (11)

Таким образом, уравнения (8) — (11) представляют собой начально-краевую задачу теплопроводности для полого шара с неоднородными краевыми условиями.

Для построения решения в форме спектрального разложения необходимо привести исходную задачу к виду, в котором краевые условия оказались бы однородными. Осуществить это позволяет процедура стандартизации, для чего введем вспомогательную функцию u(r,(p,t), такую что

(r-a(t))TU + (b-r(t))TU

b(t) — a(t) • [U)

Начально-краевая задача (9) — (11) преобразуется к задаче с однородными краевыми условиями:

1 д2и г2 дф1

ди ,

'1д_ fdu\

гдг \ дг J

+ f(r,<p,t). (13)

i(rlV>i)|t=0 = «W(rjV). (14)

13

и(г,^*)|г=а(г)=0. (15)

и(г,^)1г=бМ = 0. (16)

Решение задачи (13)-(16) будем искать в классе функций, определенных в цилиндрической области с подвижными границами и интегрируемых с квадратом. Уравнение теплопроводности определяет дифференциальный оператор Л[ы]. Его область определения задается краевыми условиями (15)-(16). Уравнения (13)—(16) можно записать в операторной форме:

Оператор А в координатной форме имеет следующее представление:

Г1А ( 1 д2"

гдг\дг) г23ср2

Данный оператор является самосопряженным, положительно определенным и имеет дискретный спектр. Это позволяет представить решение в виде спектрального разложения по собственным функциям, которые из-за подвижности границ области будут зависеть от времени.

00 оо

и(г,<р,1) = (17)

т—0 п=0

где "фтп^^О,^ — собственные функции оператора А, т.е. решение задачи Штурма-Лиувилля

^[^тп] = Атп'Фтп что в координатной форме можно записать так:

1д2фп

1д_ [дфтп\

гдг \ дг )

+ ~~ » Т" = Атп'Фтп. (18)

Г2 д(рг

Решения дифференциального уравнения (18) представляются в виде линейной комбинации следующих функций:

Ф^п(г,в, у) = (с{е)и-Д^пг) + С<е) У„(л/А^г)) созтф, (19)

фЮ(г, в, <р) = {С^и^пг) + С<е)У„(\/А^г)) втпкр, (20)

где Зп и Уп — функции Бесселя порядка п, первого и второго рода, соответственно; Хтп — собственные числа оператора.

Подставив найденные решения (19) и (20) в граничные условия (15) -(15), получим системы линейных алгебраических уравнений:

(С^МуД^аф) + сое пир = О,

+ cie)Yn(^/X^nb(t))) созпкр = О, 14

(с}0' J„(vta) + C^Yn(\/X^a)) sinmtp = 0,

(C[0)Jn(^\Zb) + C<°Vn(v&)) sin пир = 0, которые имеют нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель каждой из них равен нулю. Это условие позволяет найти собственные значения и выразить величину С^ через С^ и через С^. Окончательно значения величин С[°\ С^, и С^ через вычисляем исходя из условия нормировки:

J J ^in(r>e^,t)rdrd<p=l.

v

Собственные числа в произвольный момент времени t находим как решение трансцендентного уравнения:

Jn(a{t) VXmn)Yn(b(t) у/ Xmn) = Ji/2+k{b{t) V Xmn)Yi/2+k{a(t) у/ Xmn).

Оператор А имеет матрицу собственных чисел и собственных значений. Чтобы построить численное решение необходимо перейти к одномерной последовательности собственных значений. Для этого упорядочим собственные числа по возрастанию. В этом случае решение может быть представлено в виде следующего разложения:

оа

И = 5>(ШгЛ (21)

к=0

где к — порядковый номер собственного значения Хк, а t) — соответствующая этому значению собственная функция.

Для нахождения координатных функций подставим замену (21) в уравнение (13), в результате чего исходная начально-краевая задача сведется к последовательности задач Коши:

оо Ь

^ = 72А kUk{t)+^j^lP-Mt)dr,+fk(t) к = 0,1,..., (22)

где fk{t) — проекция функции f(r,ip,t) на базис оператора А

fk(t) = J J/(г, <р, t)i)k{r, ip, t)r drd<p v

В качестве начальных условий примем

u*(0) = uf\

где

и{°] = JJ и{0\г,<р)Мг,<Р,0)гйг(1<р.

V

Для построения приближенного решения исходной задачи выделим из системы (22) конечномерную подсистему. Располагая решениями связанной задачи Коши (22), решение исходной задачи можно построить по (21).

При 4 > задача теплопроводности для растущего шара сводится к классической задаче теплопроводности, решение которой известно.

Напряженно-деформированное состояние термоупругого цилиндра до начала наращивания описывается уравнением равновесия:

/Д72и + (А + ц)VV • и = аУТ. (23)

где и — вектор перемещений, V — оператор Гамильтона. Граничные условия запишутся следующим образом

<Ч=а(() = °> <Мг=ед = 0- (24)

где <тг — компонента тензора напряжений. Задача (23)-(24) является классической задачей термоупругости, решение которой известно.

Для исследования напряжений, возникающих в процессе наращивания, необходимо перейти к постановке задачи в скоростях:

дТ

¿Л72у+(А + = (25)

где V — вектор скоростей. Так как присоединяемый материал свободен от напряжений, то в качестве граничных условий можно взять следующие уравнения:

5г|г=а(,) = 0, 5г|г=бМ = 0. (26)

Задача (25)-(26) по форме аналогична задаче (23)-(24). Следовательно, ее решение будет иметь тот же вид, что и решение классической задачи. Картина температурных и остаточных напряжений строится тем же методом, что и соответствующие распределения в предыдущей главе.

Четвертая глава посвящена исследованию процесса дискретного наращивания термоупругого параллелепипеда. Алгоритм решения задачи о дискретном наращивании состоит в следующем. Рассматриваемый временной интервал разбиваем на отрезки таким образом, чтобы каждый акт присоединения дополнительного материала совпадал с началом каждого отрезка. На каждом из этих временных отрезков решаем динамическую задачу теории упругости, причем в качестве начальных условий принимаем решение, полученное в конце предыдущего временного интервала.

16

Решение задачи термоупругости для каждого этапа наращивания, строится в форме спектрального разложения по собственным функциям линейного дифференциального оператора, порождаемого задачей. Однако, если мы имеем дело со связанной постановкой задачи термоупругости, то такой оператор не является самосопряженным, а его собственные числа, вообще говоря, являются комплекспозначными и в общем случае не выражаются в явном виде.

Приближенные значения собственных чисел можно отыскать с помощью численных методов. Так как для большинства реальных материалов скорость дилатации мала, то в роль начального приближения в вычислительном алгоритме будут играть соответствующие собственные значения линейного самосопряженного оператора, порождаемого несвязанной задачей термоупругости.

Первый параграф посвящен решению несвязанной задачи теории упругости для дискретно наращиваемого параллелепипеда. Решение задачи термоупругости для каждого этапа строится в форме спектрального разложения по собственным функциям линейного дифференциального оператора.

Характеристическое уравнение для нахождения собственных значений может быть предсавлено в виде произведения трех множителей. Следовательно все собственные значения можно разбить на три последовательности, каждая из которых обращает в нуль соответствующий сомножитель. Две из этих трех последовательностей состоят из мнимых чисел и могут быть выражены в явном виде. Этим значениям соответствуют собственные функции, «отвечающие» за сдвиговые колебания и термоупругое деформирование. Третья последовательность состоит из действительных корней трансцендентного уравнения и не может быть получена явно. Функции, отвечающие этим собственным значениям соответствуют продольным колебаниям параллелепипеда.

Второй параграф посвящен решению связанной задачи термоупругости для дискретно наращиваемого параллелепипеда. Спектр линейного несамосопряженного оператора, порождаемого связанной задачей, будет представлять собой две серии собственных функций и собственных значений, причем одна из них будет совпадать с последовательностью для несвязанной задачи, «отвечающей» за упругие сдвиговые колебания, а вторая, состоящая из комплекснозначных корней трансцендентного уравнения, соответствует продольным термоупругим колебаниям.

Собственные функции двух взаимно сопряженных операторов удовлетворяют соотношениям биортогональности, используя которые, можно найти проекцию начальных условий на элементы базиса, образованного собствен-

ными функциями рассматриваемых операторов. Это позволяет построить решение в виде ряда по соответствующим собственным функциям.

В заключении приведены основные результаты работы, которые заключаются в следующем:

1. Построено аналитическое решение задачи теплопроводности для растущего шара при определенных законах движения растущей поверхности.

2. Построен вычислительный алгоритм решения задачи теплопроводности для растущего полого шара при произвольном режиме наращивания.

3. Построен вычислительный алгоритм решения задачи теплопроводности для растущего полого цилиндра в предположении плоских деформаций при произвольном режиме наращивания.

4. Произведен расчет температурных полей в растущих телах при различных режимах роста.

5. Произведен расчет температурных напряжений в растущих телах.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Точное решение задачи о растущем центрально симметричном термоупругом шаре при специальном законе движения поверхности роста.

2. Приближенные решения задач связанной и несвязанной теплопроводности для растущих тел канонической формы (полый шар, полый цилиндр, параллелепипед) при произвольных режимах наращивания.

3. Исследование температурных напряжений в растущих телах канонической формы.

4. Анализ распределений остаточных напряжений в растущих телах канонической формы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кузнецов С.И., Манжиров A.B., Федотов И. Задача теплопроводности для растущего шара // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 6. С. 139-148.

2. Манжиров A.B., Лычев С.А., Кузнецов С.И., Федотов И. Аналитическое исследование процесса теплопроводности в растущем шаре // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия Естественные науки. 2012. №4 С. 130-137.

3. Кузнецов С.И., Паршин Д.А. Формирование упругого шара в процессе его вращения // XXXIV Гагаринские чтения. Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 томах. Москва, 1-5 апреля 2008 г. М.: МАТИ, 2008. Т. 1. С. 87.

4. Кузнецов С.И., Федотов И. Теоретические и экспериментальные исследования упругих свойств несжимаемых сред при конечных деформациях // Современные проблемы механики сплошной среды: труды XIV международной конференции г. Ростов-на-Дону, 19-25 июня 2010 г. — г. Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2010. Т. II. С. 179-183.

5. Кузнецов С.И. Аналитическое и численное исследование упругих свойств несжимаемых сред при конечных деформациях // Актуальные проблемы механики сплошной среды: труды II международной конференции 4-8 октября, Дилижан, Армения. - Ер.: ЕГУАС, 2010. Т. I. С. 331-334.

6. Кузнецов С.,И. Математическое моделирование термоупругого деформирования полого шара в процессе наращивания // XXXVII Гагаринские чтения. Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 томах. Москва, 5-8 апреля 2011 г. М.: МАТИ, 2011. Т. 1. С. 189-190.

7. Кузнецов С. И. Математическое моделирование процесса термоупругого деформирования полого шара в процессе наращивания // Современные методы механики. X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Вторая Всероссийская школа молодых ученых-механиков. Тезисы докладов. Нижний Новгород, 24-30 августа 2011 г. Издательствово Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, 2011. С. 85.

8. Кузнецов С. И. Исследование температурных напряжений в растущем полом термоупругом шаре // XXXVIII Гагаринские чтения. Научные труды Международной молодежной конференции в 8 томах. Москва, 10-14 апреля 2012 г. М.: МАТИ, 2012. Т. 1. С. 170-171.

Подписано в печать 25.10.2012 г.

Формат 60x90/16. Заказ 1601. Тираж 100 экз. Усл.-печ. л. 1,0.

Печать офсетная. Бумага для множительных аппаратов.

Отпечатано в ООО "ФЭД+", Москва, Ленинский пр. 42, тел. (495)774-26-96