Нерегулярные задачи гидродинамики

Старовойтов, Виктор Николаевич

Нерегулярные задачи гидродинамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Старовойтов, Виктор Николаевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Новосибирск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2000 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Нерегулярные задачи гидродинамики»

Автореферат диссертации на тему "Нерегулярные задачи гидродинамики"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ ГИДРОДИНАМИКИ ИМ. М.А.ЛАВРЕНТЬЕВА

РП од

1 7 ЦНП 7ПЙГ

УДК 517.957+517.958 На правах рукописи

Старовойтов Виктор Николаевич НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ ГИДРОДИНАМИКИ . 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 2000

Работа выполнена в Институте гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., профессор В.И.Налимов д.ф.-м.н., профессор С.Г.Пятков д.ф.-м.н., профессор Ю.Н.Григорьев

Ведущая организация — Красноярский государственный университет

нин диссертационного совета Д063.98.02 в Новосибирском государственном университете по адресу:

630090, Новосибирск-90, Университетский проспект, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Защита состоится

на заседа-

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

В.С.Белоносов

£0 03

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы.

Математические модели механики сплошных сред являются одним из основных объектов исследования в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Притягательность этих задач обусловлена многочисленными приложениями с одной стороны, а с другой — естественностью постановок и наглядностью результатов. С теоретической точки зрения уравнения механики также вызывают несомненный интерес.

В предлагаемой работе рассматривается ряд задач гидродинамики, в которых терпят разрыв те или иные характеристики жидкости.

В первой главе диссертации рассматривается задача о движении абсолютно твердого тела в несжимаемой жидкости. Эта задача имеет многочисленные приложения и уже довольно большую историю. Можно различить три возможных ситуации, относящихся к данной задаче:

1. тело является буксируемым,

2. тело является самодвижущимся,

3. тело является пассивным и движется вместе с жидкостью.

. В первой тело движется в жидкости по заранее предписанному закону. Исторически первое систематическое исследование в этом направлении было предпринято еще в 19-м веке Кирхгофом и лордом Кельвином и продолжено С.А.Чаплыгиным. Они изучали движение тела в потоке идеальной жидкости. Интерес к этой задаче диктовался потребностями зарождавшейся тогда аэромеханики. Впоследствии появилось целое направление в науке, связанное с описанием обтекания крыла аэроплана и тел другой формы потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Результаты исследований этой задачи давно стали классическими и вошли в учебники по гидродинамике.

Второй тип задач характеризуется тем, что тело движется по заранее неизвестному закону под действием приложенных к нему сил со стороны двигателя и окружающей жидкости. Имитация работы двигателя может быть различной и обычно выражается через задание условия протекания на границе тела пли распределение объемных сил. Эта задача очень трудна и ее разрешимость доказана лишь для некоторых частных постановок (В.В.Пухначев 1990, С.Р.Са1сН 1999), в которых течение жидкости удовлетворяет линейным уравнениям Стокса.

сальцая ситуация. При обилии механических и вычислительных исследований, что говорит о большой прикладной ценности задачи, количество работ, посвященных ее математическим аспектам, совершенно незначительно.

При решении задачи мы сталкиваемся со следующими основными трудностями:

1. фактически, приходится решать начально-краевую задачу для уравнений Навье-Стокса в нецилиндрической области, так как твердое тело меняет со временем свое положение в пространстве;

2. область течения априори неизвестна и должна быть определена;

3. область течения может превращаться из двусвязной в односвязную, когда тело касается стенок.

Последняя трудность является наиболее существенной.

Видимо, впервые краевая задача для уравнений Навье-Стокса в заданной нецилиндрической области была рассмотрена в работе Сазера (J.Sather, 1963), где решение строилось методом Галеркина. При этом строились специальные базисы, зависящие от времени. В 1968-м году О.А.Ладыженская решила эту задачу методом полудискретизации по времени. Другой подход, связанный с применением метода штрафа, был предложен Ж.-Л.Лионсом (J.-L.Lions, 1969), Фуджитой и Сауером (H.Fujita &; N.Sauer, 1970). Следует заметить, что в этих работах краевые условия для скорости сводились к однородным. Сначала задача решалась в цилиндрической области, содержащей заданную нецилиндрическую, а потом за счет подходящего выбора штрафа совершался предельный переход, при котором скорость стремилась к нулю в «лишней» части цилиндра.

В 1974-м году появилась работа Н.В.Юдакова, в которой доказывалась разрешимость именно задачи о движении твердого тела в вязкой жидкости. В его постановке присутствовало только одно твердое тело, и жидкость занимала все пространство. Таким образом, третьей из перечисленных трудностей не возникало. В этой ситуации можно с помощью замены переменных перейти к задаче в фиксированной области, конечно, немного усложнив уравнения. Впоследствии аналогичный метод с небольшими модификациями использовался и другими авторами (С.Сопса, J.San Martin к. M.Tucsnak, 2000). В такой же постановке задача исследована Д.Серром (D.Serre, 1987).

C.Conca, J.San Martin & M.Tucsnak, 2000, M.D.Gunzburger, H.-C.Lee к G.A.Seregin, 2000). В работе С.А.Саженкова (1998) доказана глобальная разрешимость задачи для специального случая неньютоновской жидкости с определяющим уравнением, исключающим соприкосновения тела со стенкой.

В первой главе диссертации доказывается глобальная разрешимость задачи с учетом возможных столкновений тела с границей.

В второй главе рассмотрен ряд задач, описывающих течения двуфаз-ных сред. Глава разбита на три части. Первая имеет отношение к задаче о движении двух несмешивающихся жидкостей, разделенных капиллярной границей. В классической постановке наличие поверхностного натяжения означает, что на границе раздела скачок нормальной компоненты тензора напряжений пропорционален средней кривизне границы. Считается, что течение жидкостей подчиняется уравнениям Навье-Стокса.

Эта и родственные ей задачи широко изучались В.А.Солонниковым и его учениками, Т.Билом (J.T.Beale, 1982) , Г. Алаином (G.Allain, 1985) и многими другими авторами. Ими доказано существование решения в различных классах гладкости на малом промежутке времени. В работах П.И.Плотникова (1995, 1998) и В.Н.Старовойтова (1990) построено глобальное, но мерозначное решение, где граница раздела жидкостей описывалась с помощью варифолдов. Изучению свойств границы в случае жидкости Стокса посвящена статья П.И.Плотникова (1995).

Другой подход к описанию этого явления представлен в первой части второй главы. Рассматривается новая модель, в которой учитывается как взаимная диффузия жидкостей, так и их капиллярное взаимодействие. Эта модель построена на основе идей Ван дер Ваальса, Кортевега, Кана и Хилларда. Формальные асимптотические разложения по малому параметру, характеризующему эффективную толщину слоя перемешивания, построенные в работе В.Н.Старовойтова (1994), показывают, что классическая модель является нулевым приближением предложенной. Модель подобного типа для течений сжимаемой жидкости в приближении пограничного слоя исследовалась в работе В.Н.Монахова, Е.Н.Разинкова и Н.В.Хуснутдиновой (1996).

Аналогичные модели используются для описания фазовых переходов первого рода и процессов диффузии (В.П.Скрипов & А.В.Скрипов, 1979, G.Caginalp, 1989). Они носят название моделей фазового поля и основаны на введении так называемой фазовой функции, которая задает распределение какой-либо макроскопической характеристики среды, например, концентрации или фазы. Эти модели содержат ряд параметров, при стремле-

нии которых к нулю получаются различные постановки задач о фазовых переходах: классическая задача Стефана, задача Стефана с поверхностным натяжением, задача Стефана с поверхностным натяжением и кинетическим переохлаждением. Последние две носят уточняющий характер по сравнению с классической задачей Стефана, учитывая поверхностную энергию Гиббса и динамику границы раздела фаз. Это приводит к тому, что вблизи межфазной границы может быть, например, лед с положительной температурой и вода с отрицательной. Поэтому модели такого типа называют еще моделями с переохлаждением.

Все три задачи исследовались на корректность, хотя и с разной степенью полноты. С результатами по классической задаче Стефана можно познакомиться по книге А.М.Мейрманова (1986). Для задачи Стефана с поверхностным натяжением и кинетическим переохлаждением доказано существование и единственность локального по времени классического решения (В.Н.Старовойтов, 1990, Е.В.Радкевич, 1991, Х.СЬеп& Г.ИеШсЬ, 1992). В работах Э-ЬискИаиБ (1990), И.ЗсЬаЫе (2000), П.И.Плотникова и В.Н.Старовойтова (1992) доказано существование глобального обобщенного решения задачи Стефана с поверхностным натяжением. Довольно много статей посвящено обоснованию предельного перехода от моделей фазового поля к указанным постановкам задачи Стефана (П.И.Плотников &; В.Н.Старовойтов, 1992, Е.В.Радкевич, 1993, В.Г.Данилов, Г.А.Омельянов к Е.В.Радкевич, 1995, Н.М.Бопег, 1995, Н.ЭсШгк, 2000).

Во второй части главы 2 рассматривается конвективная задача Стефана с поверхностным натяжением, в которой наряду с тепловыми процессами учитывается движение среды. Следует отметить, что учет конвекции вносит в задачу существенные трудности. Определенный прогресс в этой области был достигнут в работах: Л.К.Саппоп, Е.ОШепес1е№о к G.K.Knightly (1983), Н.А.Кулагина (1985), Е.В1Вепе<Шо к А.Рпес1тап (1986), Л.Р.Ио^иез (1986), Б.В.Базалий к С.П.Дегтярев (1987), Е.Б1Ве-пе<1еМо к М.О'Ьеагу (1993), А.В.Кажихов к И.А.Калиев (1999), однако, существование глобального решения доказано не было. В данной диссертации предлагается учесть энергию межфазного взаимодействия. Таким образом, получается комбинация задачи Стефана с поверхностным натяжением и задачи о движении двух несмешивающихся жидкостей, разделенных капиллярной границей. Не смотря на то, что отдельно для второй задачи пока не получена глобальная разрешимость, их совокупность допускает глобальное обобщенное решение с гладкой границей раздела фаз. Поверхностная энергия тепловых процессов вносит в задачу некоторый дополнительный регуляризующий фактор.

Все перечисленные пыше результаты были получены в предположении, что плотность вещества не терпит скачка при фазовом переходе. В реальных явлениях этот эффект имеет место, и его, вообще говоря, нельзя игнорировать. Например, всем известно, что вода при замерзании расширяется. Автору известна только одна математическая работа, в которой рассматривается задача Стефана со скачком плотности, а именно, статья

A.А.Костикова (1992). В этой работе доказана локальная разрешимость задачи при следующих предположениях:

1. вещество является несжимаемым,

2. плотности фаз — различные постоянные,

3. жидкая фаза окружает твердую.

Последнее ограничение очень существенно. В самом деле, рассмотрим фазовый переход типа жидкость - твердое тело в ситуации, когда выполняются первые два предположения, но жидкая фаза заполняет полость внутри твердой. Положим для определенности, что плотность жидкой фазы больше плотностн твердой фазы (как у воды). Легко видеть, что в этой ситуации невозможен фазовый переход, описываемый классическими уравнениями механики сплошной среды. Если граница раздела фаз движется в сторону жидкой фазы, то жидкость при замерзании будет расширяться, что невозможно, так как ее объем ограничен жесткой оболочкой из твердой фазы. Аналогично, движение межфазной границы в сторону твердой фазы также невозможно. Таким образом, задача о фазовом переходе в несжимаемой жидкости в общем случае неразрешима даже «в малом». Необходимо искать другие модели для описания этого процесса, пусть даже в простейших ситуациях. В части III главы 2 представлен один из возможных подходов.

Третья глава диссертации посвящена изучению сингулярных течений идеальной несжимаемой жидкости, а именно, течений с точечным вихрем. Для описания потоков идеальной жидкости используется система уравнений Эйлера. Несмотря на то, что с физической точки зрения эта модель является сильно упрощенной, она издавна и до сих пор широко используется в гидродинамике. Исследование начально-краевых задач для уравнений Эйлера было начато в работах Н.М.Гюнтера (1927) и Л.Лихтенштейна (Ь.1лс11Ьеп51ет, 1927). Ими получены основополагающие результаты о существовании и единственности локального классического решения задачи. Впоследствии, в ставших уже классическими работах Е.Гельдера (Е.НоЫег, 1933), В.Волибнера (\V.Wolibner, 1933),

B.И.Юдовича (1963) и Т.Като (Т.Ка1о, 1967) были доказаны теоремы о глобальной однозначной разрешимости задачи в случае двух простран-

ственных переменных.

В трехмерном случае ситуация более сложна, и доказать глобальную разрешимость задачи пока не удалось. Более того, численные исследования показывают (R.Morf, S.Orszag к U.Frisch, 1980, A.Chorin, 1981), что гладкие в начальный момент времени течения идеальной жидкости могут становиться сингулярными. В работе J.T.Beale, T.Kato к A.Majda (1984) установлено, что если изначально гладкое решение теряет регулярность, то максимум завихренности (ротора скорости) обязательно неограниченно растет при приближении к некоторому критическому моменту времени. Вообще говоря, в образовании сингулярности нет ничего страшного. В том и состоит особенность течений идеальной жидкости, что они допускают нерегулярные режимы. Необходимо лишь выявить возникающую сингулярность и ввести соответствующее определение решения. В двумерном случае уже получен ряд результатов в этом направлении (R.J.DiPerna к A.Majda, 1987). Недавно Ж.-М. Делор (J.-M.Delort, 1991) доказал глобальную разрешимость задачи в случае, когда начальное распределение скорости суммируемо с квадратом, а завихренность является знакоопределенной мерой. Другие доказательства этого факта предложены в работах A.Majda (1993), L.C.Evans к S.Müller (1994). Таким образом, частично решена задача о «вихревой пелене». «Вихревая пелена» — это линия, перемещающаяся вместе жидкостью, на которой терпит скачок касательная компонента скорости. То есть завихренность является мерой, сосредоточенной на этой линии. Для полного решения задачи требуется освободиться от условия знакоопределенности меры.

В диссертации рассматривается задача Коши для системы уравнений Эйлера с начальными данными, в которых завихренность имеет особенность типа ¿-функции Дирака, и поле скорости не является суммируемым с квадратом. Такой тип особенности называется точечным вихрем. При исследовании этой задачи необходимо наложить дополнительные ограничения на структуру решения. В гидродинамике принято предположение, состоящее в том, что точечный вихрь присутствует в течении и в последующие моменты времени и «сам на себя не действует», то есть, его движение определяется только регулярной составляющей скорости. Результаты главы 3 позволяют сделать вывод об обоснованности такого предположения. Эта глава посвящена доказательству глобальной однозначной разрешимости задачи о движении точечного вихря.

Данная задача рассматривалась ранее Н.Д.Введенской и Л.Р.Волеви-чем (1983), C.Marchioro к M.Pulvirenty (1983), B.Turkington (1987). В работах Н.Д.Введенской и Л.Р.Волевича доказана разрешимость регуля-

ризованной задачи, а также приведены методы численного исследования. К.Маркьоро и М.Пулвиренти решили задачу даже для случая нескольких вихрей в безграничном потоке жидкости, но а предположении что регулярные составляющие завихренности н скорости равны нулю. В этом случае, если в течении присутствует только один вихрь, то он будет неподвижен, и задача становится тривиальной. В статье Б.Туркингтона также предполагается, что регулярная часть завихренности равна нулю, но область течения ограничена, поэтому регулярная часть поля скорости не равна нулю, и вихрь перемещается. Цель работы.

• Доказательство глобальной разрешимости краевых задач, описывающих эволюцию гидродинамических систем типа вязкая жидкость - твердое тело, идеальная жидкость - точечный вихрь, двухфазная жидкость.

• Исследование полученных решений. Методика исследования.

При получении результатов работы используются методы теории функций, функционального анализа, дифференциальных уравнений и уравнений математической физики. Для доказательства разрешимости рассматриваемых задач используются различные методы регуляризации: метод штрафа, регуляризация с помощью сингулярно возмущенных систем, сглаживание особенностей.

Основные результаты диссертации. Научная новизна.

• Доказана глобальная разрешимость задачи о движении абсолютно твердого тела в ограниченном объеме однородной вязкой несжимаемой жидкости с учетом возможных столкновений тела с границей области течения. Введены и изучены новые классы функций. Исследовано поведение тела вблизи границы.

• Установлена глобальная разрешимость конвективной задачи Стефана с учетом энергии межфазного взаимодействия.

• Доказана глобальная однозначная разрешимость задачи о движении точечного вихря в потоке идеальной несжимаемой жидкости. Обоснована классическая постановка этой задачи, а именно, показано, что ее решение является пределом решений задач со сглаженным начальным распределением завихренности.

• Доказана глобальная однозначная разрешимость конвективной задачи Стефана со скачком плотности на межфазной границе для одного класса определяющих уравнений в предположении, что течение жидкости подчиняется уравнениям Стокса (медленное движение).

Теоретическая и практическая ценность работы.

Разработан оригинальный подход к решению задач гидродинамики, связанных с наличием областей твердотельного движения среды, открывающий новые перспективы в исследовании такого рода систем. Получены результаты о глобальной разрешимости ряда широко известных краевых задач, возникающих в механике сплошных сред. Применяемые для доказательства теорем существования методы и априорные оценки могут быть использованы при разработке численных: алгоритмов решения рассматриваемых задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях: семинар им. И.Г.Петровского, МГУ, Москва, 1995; семинар под руководством профессора К.-Х.Хоффманна, Институт прикладной математики и статистики, Технический университет, Мюнхен, Германия, 1996; конференция "Regularization Methods in Free Boundary Problems", Фару, Португалия, 1996; семинар по дифференциальным уравнениям под руководством профессора Х.Ф.Родригеша, Центр математики, Лиссабон, Португалия, 1997;"международная конференция "Nonlinear Partial Differential Equations", Киев, Украина, 1997; математический семинар, Институт Картана, Университет А.Пуанкаре, Нанси, Франция, 2000; семинар теоретического отдела Института гидродинамики СО РАН под руководством академика РАН Л.В.Овсянникова, 2000; семинар под руководством чл.-корр. РАН П.И.Плотникова, Институт гидродинамики СО РАН, Новосибирск, 1996, 2000; семинар кафедры теоретической механики Новосибирского госуниверситета под руководством чл.-корр. РАН В.Н.Монахова, 2000; семинар под руководством профессора Т.И.Зеленяка, Институт математики СО РАН, Новосибирск, 2000; семинар под руководством профессора В.Н.Врагова, Институт математики СО РАН, Новосибирск, 2000; семинар под руководством чл.-корр. РАН В.В.Пухначева, Институт гидродинамики СО РАН, Новосибирск, 2000; семинар под руководством профессора А.М.Блохина, Институт математики СО РАН, Новосибирск, 2000; семинар под руководством профессора В.М.Ковени, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск, 2000; Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ), Новосибирск, 2000.

Публикации.

По теме диссертации автором опубликовано 11 статен. Часть из них написаны в соавторстве с П.И.Плотниковым и К.-Х.Хоффманном. Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Вторая глава разбита на три части. Объем работы —- 230 страниц. Список литературы содержит 155 наименований.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор современного состояния изучаемых проблем и приводится краткое изложение представленных результатов.

В главе 1 рассматривается задача о движении абсолютно твердого (не-деформируемого) тела в ограниченном объеме вязкой несжимаемой жидкости. Стенки сосуда, в котором содержится жидкость, также считаются абсолютно твердыми.

Пусть П — ограниченная область в пространстве Мы рассмотрим случаи, когда (I принимает значения 2 или 3. Границу области О, обозначим через <9П. Часть области занимает твердое тело, а оставшийся объем заполнен однородной вязкой несжимаемой жидкостью. Обозначим через ¿>(<) область, которую занимает тело в момент времени а через — ее границу. Будем считать, что течение жидкости описывается уравнениями Навье-Стокса. Тогда классическая постановка исследуемой задачи выглядит следующим образом.

Задача А. Требуется определить поле скорости жидкости ь(х, £), угловую скорость тела и>(<), скорость а(£) его центра масс х,(<), которые удовлетворяют уравнениям:

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Vi + (v ■ V)v = div V, div v = 0, V = -pl + V[v),

x e ü\s(t)

(1.1)

dS{t)

(1.2)

55(0

а также начальным и граничным условиям:

£=0: V = V0, и> = и>о, а = а0, в = во, (1.3)

ф,()=о(()+шх(1-1,(()), (1.4)

дй: г) = 0. (1.5)

Здесь мы использовали следующие обозначения: х — вектор пространственных переменных, £ — переменная времени, которая изменяется в интервале (0,Т), Т < оо, V — тензор напряжений в жидкости, р — давление, I — единичный тензор, Р(и) — тензор скоростей деформации, имеющий компоненты:

m — масса тела, п — вектор внешней нормали к dS(t), I, = f ¡х —

S(t)

dx — момент инерции тела относительно его центра масс. Запись V{n) означает действие линейного оператора V на вектор п. Замечание. В формулировке задачи А мы исключили внешние массовые силы и положили плотности жидкости и тела тождественно равными единице. Это сделано только ради упрощения записи и никоим образом не влияет ни на дальнейшие рассуждения, ни на полученные результаты. Можно было бы взять эти плотности произвольными положительными константами, а внешние силы — какой-либо функцией из пространства ¿2(Пх[0,Г]).

Определим понятие обобщенного решения задачи А. Введем некоторые обозначения.

V(G) = {и € C?(G) | div и = 0}, V0(G) — замыкание V(G) в H\G), Jo(G) — замыкание V(G) в ¿2(G),

где G С Rd — ограниченная область с липшицевой границей.

Пусть Char(E) — класс характеристических функций подмножеств некоторого множества Е и х € С liar (О,). Через S{x) обозначим множество тех точек в Ü где х = 1-

Введем функциональное пространство

К(х, П) = {ф£ V0(Ü) I W)(x) = о при X G S(x)} .

Обозначим также через Z,P(0,T; Л'(х, ß)), 1 < р < оо, множество функций из Lp(0, Т\ #0'(О)), принадлежащих пространству Л'(х,й) для почти всех t G [0,Т).

Для описания положения твердого тела мы будем использовать характеристическую функцию (p(x,t) множества S(t).

Определение 1.1 Пару функций

где IV = О. х [О, Г], Т <оо, назовем, обобщенным решением, задачи А, если для любых функций // 6 С1(^1т),'Ф £ #'(Пг)П£:г(0, Г; П)) таких, что г]\1=т = 0, '0|(=7' = 0 выполняются следующие интегральные тождества:

Здесь А : В = — свертка двух тензоров, ipo — V*|í=o» Чо =

■ j=i

?/|(=о, функция ípQ £ Char(í~l) такова, что — «So-

В определении 1.1 мы описываем твердое тело условием, заключающимся в том, что тензор скоростей деформации V{v) равен нулю на множестве S(í¿>). Такой подход может быть обоснован следующими соображениями. Ядро оператора V состоит из функций v вида: v = Ь + В(х), где Ь £ Rd, В — кососнмметрнчсскии линейный оператор в Rd. В R3 это представление выглядит следующим образом:

Если функция скорости имеет такой вид, то жидкость будет двигаться как твердое тело.

Второй параграф главы посвящен изучению свойств функций из пространства А'(,\, П), которое играет значительную роль в исследовании задачи А. Наиболее важные из этих свойств приведены ниже.

Предложение 1.2 Пусть П, S(\) С Я2 — области класса С2, причем, S{\) С П u disi(On,S(х)) = 0- Если v £ 1<(\,П), то v{x) = 0 при

*еВД.

V3 6 Char{QT) ПС'^Т^Дй)), 1 < р < оо,

J (и • (</>, + (и • V)V0 - V{v) : D(V))

dxdt — - J uo • ip0 dx, (1.6)

Г2

v(x,t) = a(t) + u(t) x (x - x,(t)).

Предложение 1.3 Пусть С й3 — области класса С2, 5(х) С П

и = 0. Если V £ К{х, П), то ь(х) = о> х (х - хм) при

х £ 5(х), где хщ — радиус-вектор точки М £ дЗ(х) П 80., и € Я3 — постоянный вектор, направлегтый вдоль нормали пм к поверхности ЗП в точке М.

В параграфе 3 доказывается вспомогательный результат о локальной по времени (до момента столкновения тела с границей) разрешимости задачи А, из которого в четвертом и пятом параграфах выводятся сформулированные ниже теоремы о глобальной разрешимости задачи. При этом используется не метод продолжения решения, а метод штрафа.

Теорема 1.4 Пусть ¿>о С П С Л2 являются областями класса С2 и ио £ Тогда для любого Т > 0 на интервале времени (0,Т) существует обобщенное решение задачи А. Более того,

а) существует семейство изометрий ( : Я2 —>• В? (в, 1 £ [0,Т]) таких, что 5(<^(<)) = ЛЛ81((5((^(«))), в частности «!>(£) = Л4о,((^>о)- Функция •М,,((х) Липшиц-непрерывна по в и £;

б) справедлива энергетическая оценка:

J\v{x,t)\2dx + ! J |Уи(х,з)|2Л:гс^ < J КИР йх (1.8) п о я п

для почти всех 4 £ [0,Г];

Теорема 1.5 Пусть 5о иП — шары в Я3 радиусов г и К, соответственно, г < Й в ¿ц с !). Предположим, что Уц £ 7о(П). Тогда для любого Т > 0 на интервале времени (0,Т) существует обобщенное решение задачи А.

Более того, имеют место утверждения (а) и (б) из теоремы 1.4■

Общая идея доказательства этих теорем заключается в использовании метода отвердевания: твердое тело является частью жидкости, где вязкость неограниченно велика. То есть, при построении приближенных решений вместо (1.6) используется уравнение:

I(ьс ■ (ф, + («е • V)ф) - V{ví) : Щф) -

Пт-

V{vc) : ЭД)) dxdt = - J Vo ■ Фо <1х. (1-9)

где е — положительный малый параметр. Для такой системы справедлива оценка:

У <рс |£>(ис)|2 ¿х<Н < Се,

«Г

из которой следует, что в пределе при £ —¥ 0 функция V будет принадлежать пространству А'((р,П) для почти всех Ь.

В параграфе 6 исследуется поведение твердого тела вблизи границы области течения.

Предложение 1.6 Пусть П, С В? = 2,3) — области класса С2, Уо € ¿г(^) и {V, V7} — обобщенное решение задачи А. Тогда твердое тело подходит к границе с нулевой скоростью. Более точно, если Л(() = 3П) и /г(<о) = 0 для какого-либо ¿о € [0,7], тогда

1ип/1(0|г-<о|4~'' = 0. 1—По

То есть, в двумерном случае тело подходит к границе еще и с нулевым ускорением.

Другие свойства решения даются утверждениями предложений 1.2 и 1.3.

Замечание. В формулировке задачи А не присутствуют импульсные силы, которые могут возникать в результате столкновений тела с границей. Как следует из предложения 1.6, этих сил нет, так как удара, а значит и обмена импульсом, не происходит. •

В седьмом параграфе первой главы приводятся соображения, обосновывающие введенное определение обобщенного решения задачи А.

Глава 2 состоит из трех частей и посвящена исследованию течений, в которых присутствуют две отличающиеся по своим свойствам жидкости. В первой части главы изучается новая приближенная постановка известной в математической гидродинамике задачи об определении движения двух вязких жидкостей. Новая модель, приведенная ниже, учитывает как взаимную диффузию жидкостей, так и их капиллярное взаимодействие.

у, + (и • У)и = -Ур + Ди - (2.1)

сНуи = 0, (2.2)

+ = + (2.3)

Функции, входящие в уравнения, имеют такой физический смысл: V — вектор скорости, р — давление, <р — концентрация одной из компонент

жидкости, W'{ip) = dW/díp, где функция W(ip) = ¡p2(tp — l)2 — так называемый "double-well''-потенциал, а — положительная константа.

Вообще говоря, по своему физическому смыслу концентрация <р не может принимать значения вне отрезка [0,1], чего можно добиться подходящим выбором функции W . Мы пренебрежем этим условием и будем считать, что <р может принимать любые значения на числовой оси.

Для системы (2.1)-(2.3) исследуется задача Коши в случае двух пространственных переменных. При этом используется аппарат теории полугрупп. Уравнения (2.1)-(2.3) записываются в виде динамической системы (далее называемой система 30 в пространстве L2 х Ьг для пары функций (v, <р). Здесь L2 = Ьг(Л2), L2 = {v = (vuví) |t\ G L2 {i = 1,2), divv = 0). Аналогичные обозначения будут использоваться для пространств бесселевых потенциалов Hj, и Н'р, при этом Hs = Щ и Н' = Систему 5 с начальными условиями

w(0) = v0, V(0) = Уо

будем называть задачей fo-• Доказано следующее утверждение

Теорема 2.1 Пусть v0 6 Н°, 6 Н0, 1 < а < 2, 2 < Р < 4. Тогда существует единственное решение задачи такое, что

v eC(0,oo;HQ)nL2(0,oo;H2), 9 g С(0,00; Hfi).

Далее исследуется поведение решения при i —► 00.

Теорема 2.2 Пусть v{t) — решение задачи fo- Тогда ||v(f)||4 0, ||Wz(í)ll 0 при t —1 00, причем,

ll®(í)ll4+||v,(0||<Ce-^, (2.4)

где С, 7 — некоторые положительные постоянные, не зависящие от t. Здесь || • ||р — норма в Lp, || • || = || • ||2-

Определение 2.3 Будем говорить, что последовательность функций и), локально сходится к функции и в пространстве Нр, и обозначать uj; —> и, если u¡; —> и в НР(К) для любого компакта К С R2-

Обозначим через ы(г»о, <?о) подмножество пространства Н° х Нр, состоящее из пар функций {v,ip), для которых существует последовательность tk -t 00 (k ->• со) такая, что v(tk) Л v в L4, ip(ti¡) Л 9 в Н" (а < /?), где (v(t),ip(t)) — решение задачи Jo-

Теорема 2.4 Для любых v0 G Я°, ip0 € Н13, 1 < а < 2, 2 < /? < 4, множество w(t>o,yo) непусто, и имеет место включение:

w("o, Vo) С {(и, v)£Hax Н0\ v = 0, А<р - W\v) = 0} .

Пусть 6 — множество стационарных точек динамической системы 5 в пространстве На х Я'5.

Теорема 2.5 Множество & совпадает с Uw(t>o,y?o) , гс?е объединение берется по всем (uoiVo) £ х ^•

Введем обозначение:

ЯК V) IN* + £ 'I V^H2 +

£■ является функционалом Ляпунова динамической системы Заметим, что множество 6 совпадает также с множеством стационарных точек функционала Е.

Теорема 2.6 Функции v = 0, = 0 образуют асимптотически устойчивое стационарное решение задачи Dee другие стационарные решения не являются асимптотически устойчивыми.

Более того, если (v,,tp,) — ненулевое стационарное решение задачи Зо такое, что в На х Н® существует окрестность точки (v,, <р,), в которой нет других стационарных точек (v,<p), удовлетворяющих условию E(v,ip) < E(v„ip,), тогда (v,,ip,) — неустойчивое решение.

Вторая часть является основной во второй главе. В ней рассмотрен ряд задач о фазовых переходах в вязких жидкостях с учетом энергии межфазного взаимодействия. Термин «жидкость», подразумевает, что движение среды также принимается во внимание. Сначала исследуется задача, в которой обе фазы являются однородными вязкими несжимаемыми жидкостями (задача LL). Аббревиатура LL означает liquid-liquid. Затем, с помощью методов главы 1, осуществляется переход к двум другим задачам, в которых одна из фаз будет твердой. Это задачи LSI (liquid-solid-immovable) и LSM (liquid-solid-movable). В первой из них твердая фаза предполагается неподвижной, во второй — подвижной и движущейся под действием жидкой фазы. Во всех задачах плотности фаз считаются постоянными и одинаковыми. То есть, скачка плотности при фазовом переходе не происходит.

Пусть П С Rd (d = 3 или 2) — ограниченная область с гладкой границей. Предположим, что вязкость или, возможно, какой-либо другой

параметр жидкости, занимающей область П, меняется вследствие фазового перехода, но плотность остается неизменной. Математическая задача, описывающая этот процесс в приближении Обербека-Буссинеска, состоит в следующем. Требуется определить поле скорости V = (г»1, г^з)> температуру в и границу фазового перехода Г, удовлетворяющие уравнениям:

V« + (и ■ V)« = ¿1уТ +дв, СНуг = О,

V = -р! + 2/1±Р(«), вt + v^Vв = А9,

где П± — области, занятые различными фазами жидкости, имеющими вязкости ¡х± > О, О = и Г(£) и д — постоянный вектор.

На поверхности фазового перехода Г(() предполагаются выполненными следующие условия:

[Р{п>] = акп, в = -ук, (2.6)

®6П±(0, te[Q,T}, (2.5)

дп

(2.7)

где к — средняя кривизна поверхности Г, п — вектор единичной нормали к Г, Уп — нормальная скорость поверхности Г, а, 7 — некоторые положительные постоянные.

Условия (2.6) предполагают наличие в задаче поверхностной энергии межфазного взаимодействия.

Зададим также начальные и краевые условия:

* = 0: V = г0, 9 = в0, Г = Г0, (2.8)

дв

дП : V = 0, тг- = 0. (2.9)

оп

Замечание. Для функции в можно задать краевые условия произвольного типа, которые могут быть и неоднородными. Это вызовет только некоторые технические трудности. •

Назовем систему (2.5)-(2.9) задачей ЬЬ.

Для того, чтобы определить обобщенное решение задачи ЬЬ, введем следующую функцию:

Поверхность Г является множеством точек скачка функции х-

Определение 2.7 Тройка функций

V е ¿.2(0,Г;Я'(П))ПЬ00(0,Т;12(0)), Л«« = О, в € ¿2(0, Г; Я1 (П)) П ¿ооСО.Т; 12(«)), Л- 6 1оо(0,Г;ЯКС(П))

называется обобщенным решением задачи ЬЬ, если интегральные тождества

! (и • {ф, + (у • V)!/') - /1(\')Уи -.Чф-вд-ф^ <1х<И =

Пг

^У^^К^И^лИ- 1ь0-ф0с1х, (2.10)

11 г П

1{{в+\)(ч, + у-Ч,1)-Чв-Ч7,)*х<Н = - 1(в0 + Хо)г]^х, (2.11) 11т п

I хЩ0Ос1х = : (г - " ® ¿ЛЯ п. 6.(6 [0,Г] (2.12)

¡1 и

выполняются для любых функций ф б С'(Пг), Т] Е .//'(П^), £ £ Со(П) тпаких, что ф\ 1-т — ф\да = 0, сПьф = 0, ?/|(=г = 0.

Здесь хо, '/о, т/'о — знамения функций х, V, Ф при £ = 0, Пт = [0,Т]хГ2,

ВУС(П) = {х е ВУ(П) I х(я) = ±1 для почти всех х <Е П}

и и — |Ух1~НЗМ0Р1Ш:1-я вектор-функция, называемая обобщенной нормалью к поверхности Г, так;ш, что

ггм

для произвольного открытого множества А С Г2. Функция /¿(х), используема в уравнении (2.10), есть произвольная гладкая функция такая, что /*(±1) = ц± и /¿(й-) > со > 0 для некоторой постоянной со и для всех в € (-оо, +оо).

Первое слагаемое и правой масти уравнения (2.10) отвечает за первое из условий (2.0), а. уравнение (2.12) есть обобщенная формулировка второго.

Задача ЬЬ является совокупностью двух хорошо известных задач. Первая из них описывает движение двух жидкостей, разделенных капиллярной границей. Вторая — задача Стефана с поверхностным натяжением, при исследовании которой хорошие результаты дал метод регуляризации с помошью так называемой модели фазового поля. Здесь мы также воспользуемся этим методом.

Рассмотрим следующую вспомогательную задачу:

чц + ■ УН = д!\\Т> - есПу(Уу>£ ® + дв£, сПуи£ = О,

"с! + «е • Чщ = Д0£,

+ = О, ^2ЛЗ)

V = -Р1 + 2/х(9е)1)(и,),

щ=вс + ъ, \у{<рс) = (<рсг - I)2,

где <р£ — так называемая фазовая функция, е > 0 — малый параметр, с начальными и краевыми условиями:

( = 0: V, = у0, вс = 0О, <ре = 9о, (2.14)

аП: «. = 0,^ = 0,^ = 0. (2.15)

Нетрудно заметить, что данная система уравнений получена как расширение модели, изученной в части I этой главы, на неизотермический случай.

Задачу (2.13) - (2.15) назовем задачей ЬЬС.

Теорема 2.8 Пусть и0, 9й £ ¿2(П), € Я'(П). Тогда существует обобщенное решение задачи ЬЬе такое, что

V,г £ Ь2(0,Т;^(П))П1оо(0,Т-,£2(П))< 9С £ 12(0,Т; Я'(П)) П Ьж{0,Г; Ь2(0)), ^ 6 ¿00(0,7; Я1^)),

и при почти всех 1 £ [0,Т] и.меет место следующий вариационный принцип:

ЕеЫ1)) - №Ш*)) < ЕМ - + \ |Ы0 - Ч12 (2.16)

для любой функции и £ Я1 (О), где

ЕМ = + йх

и (•,•) — скалярное произведение в 1*2(0).

Эта теорема доказывается методом полудискретизации по времени. Решение задачи ЬЬ получается в результате предельного перехода при е —> 0 в задаче ЬЬе. При этом существенную роль играет вариационный принцип (2.16).

Теорема 2.9 Пусть во € Хо € ВУС{$1). Тогда существует

обобщенное решение задачи ЬЬ.

Более того, при почти всех г е ад

1. имеет место следующий вариационный принцип:

11¿|уХ(01 - т,х(0) <|/-+ \их(о -чиа (2.17)

п п

для всех 77 € ВУС(П);

2. Г(£) является поверхностью класса С1+{, где £ = 1/8 в трехмерном и £ < 1/4 в двумерном случаях.

Вариационный принцип (2.17) может быть переписан так:

J <*|УХ| - (Щ х)< I - (и, г,), (2.18)

П О

где и = в + х-

Введем обозначение: 5±(х) = {ж 6 П | х(я) = ±1}.

Лемма 2.10 Пусть <р 6 ВУС(П) удовлетворяет вариационному принципу (2.18) с функцией и £ Бр(П), 1 < р < оо, и В — связная компонента множества 5~(у>) такая, что дБ ПЗГ2 = 0. Тогда имеет место следующая оценка:

\ВI,1-! < С|М|Р, (2.19)

где <1 — размерность области П, |Б| — ¿-мерная мера Лебега множества В, постоянная С зависит только от д..

Оценка (2.19) имеет важное значение в теории фазовых переходов и связана с процессом нуклеатизации, то есть, зарождением новой фазы. С помощью (2.19) можно оценить снизу размер зародыша. Действительно, эту оценку можно «перевернуть»:

\в\ч*-ч>>с\\и\\;К

Если с1~1 — р~1 > 0 (т.е., р > ¿), то мера зародыша больше некоторой положительной величины.

Далее рассматриваются конвективные задачи Стефана с поверхностным натяжением, в которых одна из фаз является твердой. Отправной точкой служит задача LL, в которой устремляется к бесконечности вязкость одной из фаз. К сожалению, не удалось осуществить эту процедуру для системы, подчиняющейся уравнениям Навье-Стокса. Это связано с тем, что в задаче LL не доказано никаких свойств гладкости межфазной границы по времени. Нет даже непрерывности. Вообще говоря, эта граница может перемещаться скачком. В связи с этим предполагается, что течение в жидкой фазе описывается уравнениями Стокса.

Определение 2.11 Пусть для тройки функций

veL2{0,T;H*{Sl)), divv = 0,

XeLx{Q,T-,DVC(n))

справедливы тождества (2.11), (2.12). Тогда

а) — обобщенное решение задачи LSI, если

v = 0 в S~{x), (2-20)

J (fi+V(v) : V(il>) - вд ■ xf)dx = 0, (2.21)

S4x)

для почти всех t £ [0|T] и любой функции ф £ Hq(S+(x)) такой, что divxjj = 0.

б) — обобщенное решение задачи LSM, если

V(v) = 0 in S~{x). (2.22)

и тождество (2.21) имеет место для любой функции ф £ где

Х~ = шах{0, —х} — характеристическая функция множества S~(x)•

Теорема 2.12 Пусть 90 £ хо £ BVC{U). Тогда существует

обобщенное решение задач LSI и LSM. Для почти всех t £ [0,Т] имеет место вариационный принцип (2.17) и T(t) является поверхностью класса C1+i, где £ = 1/8 при d = 3 и £ < 1/4 при d = 2.

В третьей части главы 2 исследована задача Стефана в предположении, что плотность среды терпит скачок на границе фазового перехода.

Задача рассматривается во всем пространстве Rn, п > 2. Пусть v = (vi,..., vn) •— скорость среды, е — удельная внутренняя энергия, р — массовая плотность, в — температура, р — давление. Предполагается, что внутренняя энергия и плотность являются функциями только температуры, то есть,

е = е{9), р = р(9). (2.23)

Мы используем одинаковые обозначения для физических величин и соответствующих функций от температуры. Примем соглашение обозначать штрихом производные функций по своему аргументу (е' = de/dô), а производные по временной и пространственным переменным будем обозначать так: е<, ех.

Предполагая, что движение жидкости является медленным и подчиняется уравнению Стокса, мы можем выписать уравнения, которые собираемся исследовать:

(а) Ль = Vp,

(б) pt + div(pv) — 0, (2.24) (с) (pe)t + div(pev) = Д0,

где t — переменная времени, х = (xi,...,xn) — декартовы координаты в В", х е Rn,te (о,т), о < г < оо.

Уравнения (2.23), (2.24) образуют замкнутую модель и описывают течение вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости. Если функции е, р терпят скачок при некотором значении температуры в,, тогда при этой температуре имеет место фазовый переход. То, что плотность зависит только от температуры и не зависит от давления, позволяет назвать жидкость несжимаемой (пли, более точно, изотермически несжимаемой).

Добавляя к (2.23) и (2.24) начальные условия:

*>(*.*) 1«=о =ро(х), e{x,t) |,=о = e0(as), х £ R", (2.25)

мы получим задачу Коши (2.23), (2.24), (2.25), которую будем называть задачей А в случае гладких функций р{в) и е(9) и задачей А,, если эти функции терпят скачок при 9 = 9,.

Предположим, что выполняется следующее предположение.

Предположение F. (г) Существуют постоянные аь Q2 такие, что начальное распределение температуры во удовлетворяет оценке: c*i < Oq < »2-(И) При £ £ (а 1,а2)

-¿г = ое(0 + а0 (2.26)

для некоторых постоянных а, «о-

(iii) Существуют положительные постоянные с\, С2, сз такие, что

Р(0 > С1, е'(0 > с,, |р'(01 > сз при í € (аьоз).

Кроме того предположим, что 9 —> = const при |х| —► со. Обозначим: роо = р[9оо), еоо = е^оо).

Доказательство однозначной разрешимости задачи А не вызывает трудностей. Рассмотрим задачу А,. Если <р : R R — монотонная функция, мы обозначим через Тр ее максимальный монотонный график.

Определение 2.13 Измеримые функции в,и,х '■ Q R, v : Q R" такие, что

9 е L2(0,r; w¿,oc), V е L2(0,T;L2M), образуют обобщенное решение задачи А,, если

и> 6 р{в), Х€рё{в) для почти всех (x,t) £ Q,

ах + OfQW = 1,

f v • &\¡>dx — 0, для почти всех t £ [0,Т], я"

/ / w(v>< + V ■ Vip)dxdt + / pQpodx = О, о я» r"

f / хЫ + V ■ Vi?) - ve ■ Vrjdxdt 4- / p0e0r]0dx = О

0 ñ" r"

для любых функций -ф € С02(Л"), divx¡> = 0, 9,77 £ С1(0,Т;С£(Яп))1 <р(Т) = ц{Т) = 0. Здесь vo = V |i=o % = П |t=o •

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 2.14 Пусть 0 < 71 < ро < 72 < оо для некоторых постоянных 7i и 72, и выполнено предположение í1. Тогда существует обобщенное решение задачи А, такое, что 71 < р < 72, < 9 < сц и

V = aVe. (2.27)

Здесь a¡, i = 1,2, — такие постоянные, что 7, 6 р{а,). Более того, если Pq - £ Ьч, 2 < q < оо, то

р- Poo € Lx(0,T-,Lq), в - 0оо € ¿со(О, Г; £,) П L2(О, Г; W/).

Теорема 2.15 Существует только одно обобщенное решение задачи А,, для которого имеет место представление (2.27), и температура в является ограниченной функцией.

Доказательство теоремы 2.14 проводится путем предельного перехода в задаче А, при котором разрывные функции р(в) и е(в) аппроксимируются гладкими. Условие в теореме 2.15, состоящее в том, что имеет место представление (2.27), выглядит довольно ограничительным. Может показаться, что оно выполняется только для решений, которые получены как пределы решений задачи А. Следующее предложение показывает, что это представление справедливо для «почти всех» обобщенных решений задачи А,.

Предложение 2.16 Пусть функция v есть обобщенное решение задачи А,. Если v принадлежит какому-либо из пространств бесселевых потенциалов Н'ч, т.е. v £ U//*, s 6 Я, 1 < q < оо, тогда имеет место представление (2.27).

Таким образом, как следует из теоремы 2.15, если ро — рж € 2 < q < оо, то представление (2.27) имеет место и задача А, имеет единственное решение.

Вследствие представления (2.27) температура удовлетворяет уравнению:

р(в), + adiv(p{0)V0) = 0.

Но это довольно стандартное, хорошо изученое уравнение, для которого справедливы почти все результаты, полученные для задачи Стефана без конвекции. Сформулируем один из них.

Множество M(í) = {i 6 R" : 9(x,t) = 0,} называется переходной фазой.

Предложение 2.17 Пусть 7i < Ро < 72, Ро € BV¡oc и |М(0)| = 0. Если решение задачи А, единственно, то \M(t)\ — Ou p(t) 6 BVi0C для почти всех t£ [0,Т].

Здесь |M(í)| означает га-мерную меру Лебега множества M(t).

Таким образом, если выполняются условия предложений 2.16 и 2.17, то ы = р(9), х — р[в)е{в) D определении 2.13.

В главе 3 исследуется задача Кош и для уравнений Эйлера, описывающих плоское течение идеальной несжимаемой жидкости, с начальными данными, имеющими особенность типа точечного вихря. В силу того, что в задаче фигурируют только две пространственные переменные, удобно воспользоваться комплексными переменными. Это приводит к заметному упрощению встречающихся формул. Кроме того, особенности плоских

течении идеальной жидкости традиционно описываются в комплексных переменных.

Пусть z = х + гу, где х, у — декартовы координаты на плоскости, t — мнимая единица, и = uj — tuj — комплексная скорость, iii,U2 — проекции вектора скорости на оси хну соответственно, Г2 — функция завихренности, т.е. П = rot и — i{du/dz — дй/дг), черта над знаком функции означает комплексное сопряжение. Тогда уравнения Эйлера можно записать в следующем виде:

Ё^ и— и— -0 — —-о

dt dz dz ' dz dz

^ _.fdu дй^ \dz dz/

Считаем, что жидкость занимает всю плоскость, которую обозначим через Е. Заметим, что О = П, т.е. П — вещественная функция.

Цель данной главы состоит в исследовании задачи Коши для уравнений (3.1) с начальными данными вида

П|<=о — wo(2) + Г<$(г - о0). (3.2)

Здесь wq — регулярная часть начального распределения завихренности, 5(z—ао) — функция Дирака, сосредоточенная в точке ао- Второе слагаемое в (3.2) добавляет в течение точечный вихрь интенсивности Г = const.

При решении задачи необходимо наложить дополнительные условия на структуру решения. В гидродинамике используется предположение, ранее никем не обоснованное и состоящее в том, что точечный вихрь и в последующие моменты времени присутствует в течении и «сам на себя не действует». Сформулируем это предположение более точно в виде гипотезы.

Гипотеза Н. При любом t > 0 для решения задачи (3.1), (3.2) имеет место представление:

U(z,t) = u(z,t) + Г<5(г - а(£)), . . , . Г 1 (3.3)

где u>,v — некоторые регулярные функции, a(t) — решение задачи Коши:

-~ = v(a,t), а(0) = о0.

Сразу можно заметить, что представление (3.3) носит условный характер, так как подстановка функций такого вида в уравнения (3.1) невозможна. Некоторые члены уравнений будут терять смысл при этой операции. Поэтому гипотеза H трактуется следующим образом: функции Г2 и и вида (3.3) считаются решением задачи (3.1), (3.2), если функции и>, v, а являются решением сформулированной ниже задачи.

Задача А. Требуется найти функции w(z,t), v(z,t), a(t), определенные при z G Е, t Ç. [0,Т] и удовлетворяющие уравнениям:

дш / _Г_ 1 N ды dt + V + 2тгг ' z-a{t)J dz +

+ fs_ r '= 0 (34)

\ 2ni z - â(t) ) dz v '

и/ = 2i—, w = w, (3.5) oz

dâ , . ,

- = v(a,t), (3.6)

a также начальным условиям:

Цг,0) = w0CO, a(0) = a0. (3.7)

Возникают два вопроса. Во-первых, почему выбраны именно уравнения (3.4) -(3.6)? Во-вторых, насколько согласуются друг с другом гипотеза Я и приближенные методы решения задачи (3.1), (3.2)? Дело в том, что сингулярность в начальных данных обычно сглаживается, J-функция заменяется аппроксимирующей ее последовательностью. Фактически, рассматривается следующая задача:

Задача Ае. Требуется найти функции u(z,t), Q(z,t), определенные на Et = Е х [0,Т] и удовлетворяющие уравнениям (3.1), а также начальному условию:

fi(z,0) =Wo(2)+r£-2XAîW- (3-8)

Здесь е — малый параметр, — круг с центром в ац, имеющий площадь t1, xg — характеристическая функция множества G:

11, если z G G, XG{Z) = <

10, если z f. G.

Переход к задаче Ae обусловлен тем, что начально-краевая задача для уравнений Эйлера довольно хорошо изучена в случае, когда завихренность ограничена (В.И.Юдович, 1963, Т.Като, 1967).

Результаты, полученные в данной главе, дают ответ на оба поставленных вопроса. А именно, показано, что последовательность решений задач А£ при е —> 0 сходится к решению задачи А (теорема 3.1). При этом существование решения задачи А изначально не предполагается.

Теорема 3.1 Пусть

ш0 6 ЬГ{Е) П £оо(£), 1 <г<2.

Тогда из последовательности обобщенных решений задач Ае, е > О, можно извлечь подпоследовательность, такую что при е —> О

= ы + Гф - а(()) * —слабо в пространстве мер; ие -4 ш * —слабо в Ьоа{д,Т\Ьр{Е)), г < р < оо; Г 1

ис —) и = V +

2тт1 г — а(<)

Г 1о<

сильно в Ь„(0,Г; Ь'0С(Е)), 1 < д < 2, 1 < 5 < оо,

где функции ш,ь,а образуют обобщенное решение задачи А. Причем,

1И-,0||г,оо< |Ы!г,оо,

+ Д2,0 - и(2,е)| < Л/|Лг|(1 + |1п|Дг||),

1^(2 + Дг,«) - и(г,е)| < Л^Дг^, 0 < а < 1,

для любого г (= Е и почти всех Ь £ [0,Т]. Константа N = СГ||^о||г,оо) г<?е постоянная Сг зависит только от г.

Кроме того, имеет место представление:

V =

Здесь || • ||м — норма в пространстве ЬР(Е) П ЬЯ(Е),

где ( = £ + Щ, интеграл понимается в смысле главного значения на бесконечности.

Отметим свойства траекторий жидких частиц в полученном решении. Пусть

Г 1

и(г,0 = + --77Т)

27гг г — а(<)

где а({) является решением задачи:

Рассмотрим следующую задачу Коши:

^■ = и(2,г), л(в) = г,. (3.9)

Теорема 3.2 Пусть при почти всех

* е [0,Т] имеет место оценка

|фьг) - у{г2,1)| < ЛГ|г, - г2|(1 + |1п|г, - г2||),

где г1,г2 6 Е, постоянная N не зависит от (.

Тогда для любого ^ а5 справедливы утверждения:

а) На интервале времени [О, Г] существует единственное решение задачи (3.9), принадлежащее пространству Ыр(0,Т).

б) Это решение непрерывно зависит от г, с логарифмическим модулем непрерывности. А именно, если |— г"| < С для некоторой константы С, зависящей только от N и Т, то

\г\1)-г"(1)\<С0{1 + \\п\г[-гЖ\

где 0 < 7 < , Сц - постоянная, зависящая только от N и Т.

в) Если \г, — а5

| < ехр(1 - еЫТ), то для любого £ £ [О, Т] справедлива

оценка:

А\г, - а5|1Л < ИО - а(«)| < В\г. - а5|а, (3.10)

где о = е~»т, А = ехр(1 - емт), В = ехр(1 - е~ит).

Из оценки (3.10) следует, что частицы жидкости не могут втекать в вихрь и вытекать из него.

Обратимся теперь к вопросу о единственности решения. Положительный ответ на этот вопрос дан только для убывающих на бесконечности решений задачи А.

Определение 3.3 Обобщенное решение задачи А назовем убывающим, если

Нш КМ)1 =0 для п. о.(6 [0,Т].

Теорема 3.1 гарантирует существование обобщенного решения задачи А, которое, вообще говоря, может не быть убывающим. Ответ на вопрос, при каких дополнительных условиях оно является таковым, дает следующее утверждение.

Предложение 3.4 Если в дополнение к условиям теоремы 3.1

ы0 6 Ьр^Е), р> 2,

то обобщенное решение задачи А, полученное в этой теореме, является убывающим. Более того, существует константа С, зависящая от р и 1Ми,,3(£), такая, что

для всех < 6 [О, Т].

Здесь Ьр и(Е) — пространство функций /(г) таких, что

Я*) € /да), ш := М~7(1А) е ¿да).

где р > 1, и > О, Вх = {г 6 Е\\г\ < 1}.

Теорема 3.5 Пусть и>о £ Ыр(Е), и>о имеет компактный носитель, и существуют постоянные 5 > 0 и Н такие, что = Н пРи % € Щ =

| {г : \г - а0| < <*}•

Тогда существует только одно убывающее обобщенное решение задачи А.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Плотников П.И., Старовойтов В.Н. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля // Дифференциальные уравнения. - 1993. - Т.29, N 3. - С.461-471.

2. Старовойтов В.Н. Модель движения двухкомпонентной жидкости с учетом капиллярных сил// Журнал прикладной механики и техн. физики. 1994. Т.35, N 6(208). С.85-92.

3. Старовойтов В.Н. Представление решения в задаче о движении точечного вихря в идеальной жидкости// Сиб. мат. журнал. 1994. Т.34, N 2. С.446-458.

4. Старовойтов D.H. Единственность решения задачи о движении точечного вихря// CiiG. мат. журнал. 1994. Т.35, N 3. С.696-701.

5. Старовойтов В.Н. О задаче Коши для системы уравнений, описывающей движение диухкомпонентной жидкости с учетом капиллярного взаимодействия//Успехи математических наук. 1995. Т.50, в.4(304). С.78.

6. Старовойтов В.Н. О движении двухкомпонентной жидкости при наличии капиллярных сил// Математические заметки. 1997. Т.62, N 2. С.293-305.

7. Hoffmann К.-ff., Starovoitov V.N. Phase transitions of liquid-liquid type with convection// Advances in Mathematical Sciences and Applications. 1998. V.8, N 1. P. 185-198.

8. Hoffmann K.-H., Starovoitov V.N. The Stefan problem with surface tension and convection in Stokes fluid// Advances in Mathematical Sciences and Applications. 1998. V.8, N 1. P.173 183.

9. Hoffmann K.-II., Starovoitov V.N. On я motion of a solid body in a viscous fluid. Two-dimensional case// Advances in Mathematical Sciences and Applications. 1999. V.9, N 2. P.164-182.

10. Hoffmann K.-H., Starovoitov V.N. Zur Bewegung einer Kugel in einer zähen Flüssigkeit// Documenta Mathematical. 2000. V.5. P.15-21.

11. Starovoitov V.N. Stefan problem with different phase densities// Zeit. Angew. Math. Mech. (ZAMM). 2000. Bd.80, N 2. S.103-111.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Старовойтов, Виктор Николаевич

Введение

1 Задача о движении твердого тела в вязкой жидкости

1 Постановка задачи.

2 Пространство К{х-> Л).

2.1 Двумерный случай.

2.2 Трехмерный случай.

3 Локальное решение задачи.

4 Глобальное решение задачи в двумерном случае

5 Глобальное решение задачи в трехмерном случае

6 О поведении твердого тела вблизи границы.

7 Обоснование определения обобщенного решения

2 Краевые задачи для моделей фазового поля

ЧАСТЬ I. ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ КАПИЛЛЯРНЫХ СИЛ.

1 О модели.

2 Постановка задачи.

3 Корректность задачи.

4 Поведение решения при неограниченном возрастании времени

5 Исследование устойчивости стационарных решений . 97 ЧАСТЬ II. КАПИЛЛЯРНАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА С КОНВЕКЦИЕЙ

6 Постановка задачи LL.

7 Вспомогательные утверждения.

8 Исследование регуляризованной задачи.

9 Разрешимость задачи LL.

10 Свойства решений одного вариационного принципа . 131 И Задачи о фазовых переходах жидкость - твердое тело . 136 ЧАСТЬ III. КОНВЕКТИВНАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА СО СКАЧКОМ

ПЛОТНОСТИ.

12 Постановка задачи.

13 О движении теплопроводной жидкости.

14 Задача Стефана.

15 Свойства решения задачи А*.

15.1 О переходной фазе.

15.2 Однофазная задача Стефана.

15.3 О нестационарной задаче.

3 О движении точечного вихря в потоке идеальной жидкости

1 Постановка задачи.

2 Определение обобщенного решения.

3 Разрешимость задачи А.

4 Оператор сдвига вдоль траекторий.

4.1 Непрерывные поля скорости.

4.2 Сингулярные поля скорости.

5 Свойства решений.

5.1 Обобщенные решения задачи А.

5.2 Убывающие обобщенные решения задачи А

6 Единственность решения задачи А.

Введение диссертация по математике, на тему "Нерегулярные задачи гидродинамики"

1. тело является буксируемым,

2. тело является самодвижущимся,

3. тело является пассивным и движется вместе с жидкостью.

В первой тело движется в жидкости по заранее предписанному закону. Фактически, заменой переменных эта ситуация сводится к решению задачи обтекания неподвижного тела. Исторически первое систематическое исследование в этом направлении было предпринято Кирхгофом [121] и лордом Кельвином [151] и продолжено С.А.Чаплыгиным 69]. Они изучали движение тела в потоке идеальной жидкости. Интерес к этой задаче диктовался потребностями зарождавшейся тогда аэромеханики. Впоследствии появилось целое направление в науке, связанное с описанием обтекания крыла аэроплана и тел другой формы потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Познакомиться с этим вопросом можно по книгам [31], [21], [35], [24].

Второй тип задач характеризуется тем, что тело движется по заранее неизвестному закону под действием приложенных к нему сил со стороны двигателя и окружающей жидкости. Имитация работы двигателя может быть различной и обычно выражается через задание условия протекания на границе тела или распределение объемных сил. Эта задача очень трудна и ее разрешимость доказана лишь для некоторых частных постановок (см. [43], [106]), в которых течение жидкости удовлетворяет линейным уравнениям Стокса.

В данной диссертации рассматривается третья ситуация. Предполагается, что течение жидкости удовлетворяет системе уравнений Навье-Стокса, а твердое тело движется только под действием окружающей его жидкости. Классическая постановка этой задачи приведена в уравнениях (1.1), (1-2). С обзором работ по механическому и численному исследованию этой задачи можно познакомиться по статьям [43], 106], [117]. Что касается математических работ, то их не так много.

При решении задачи мы сталкиваемся со следующими основными трудностями:

2. область течения априори неизвестна и должна быть определена;

3. область течения может превращаться из двусвязной в односвязную, когда тело касается стенок.

Последняя трудность является наиболее существенной.

Видимо, впервые краевая задача для уравнений Навье-Стокса в заданной нецилиндрической области была рассмотрена в работе Сазера 142], где решение строилось методом Галеркина. При этом строились специальные базисы, зависящие от времени. В 1968-м году О.А.Ладыженская решила эту задачу методом полудискретизации по времени 25]. Другой подход, связанный с применением метода штрафа, был предложен Ж.-Л.Лионсом [33], Фуджитой и Сауером [104]. Следует заметить, что в этих работах краевые условия для скорости были однородными. Сначала задача решалась в цилиндрической области, содержащей заданную нецилиндрическую, а потом за счет подходящего выбора штрафа совершался предельный переход, при котором скорость стремилась к нулю в «лишней» части цилиндра. Подобный штраф используется в параграфе 11 главы 2 данной диссертации при решении задачи LSI.

В 1974-м году появилась работа Н.В.Юдакова [70], в которой доказывалась разрешимость именно задачи о движении твердого тела в вязкой жидкости. В его постановке присутствовало только одно твердое тело, и жидкость занимала все пространство. Таким образом, третьей и т-ч и из перечисленных трудностей не возникало. В этой ситуации можно с помощью замены переменных перейти к задаче в фиксированной области, конечно, немного усложнив уравнения. Впоследствии аналогичный метод с небольшими модификациями использовался и другими авторами (см. [90]). В такоИ же постановке задача была исследована Д.Серром [144 .

Третья трудность возникнет, если мы рассмотрим задачу в ограниченной области. Есть несколько статей, в которых доказывается разрешимость этой задачи «в малом» по времени, точнее, до момента столкновения тела с границей области течения (см. [71], [90], [94], [95]). В работе [49] доказана глобальная разрешимость задачи для специального случая неньютоновской жидкости с определяющим уравнением, исключающим соприкосновения тела со стенкой. В 1996-м году автором (см. [112], [ИЗ]) был предложен новый подход к решению задачи, позволивший доказать ее глобальную разрешимость. При этом допускаются столкновения тела с границей. Результаты данных работ представлены в главе 1 диссертации. Опишем их в нескольких словах.

Новый подход заключается в том, чтобы рассматривать твердое тело как часть жидкости, где ее вязкость неограниченно велика. В связи с этим, сначала рассматривается задача о движении вязкой несжимаемой неоднородной жидкости, которая изучена довольно подробно (см.

16], [1], [125]) и является глобально разрешимой. Предположим, что в каком-то объеме, перемещающемся и деформирующемся вместе с жидкостью, вязкость равна величине е~л, где е — малый положительный параметр. Так как в уравнениях Навье-Стокса стоит дивергенция от произведения коэффициента вязкости и тензора скоростей деформации, то, как следует из энергетической оценки, в пределе при е —> О тензор скоростей деформации обращается в нуль в этой части жидкости. Следовательно, поле скорости соответствует там твердотельному движению среды. Поэтому в пределе мы должны получить решение задачи о движении твердого тела в вязкой жидкости. Это общий план. реализации которого посвящена глава 1.

В параграфе 1 приводится постановка задачи и дается определение ее обобщенного решения. Второй параграф посвящен изучению новых пространств, состоящих из вектор-функций, тензор деформации которых равен нулю в некоторой части области течения. В параграфе 3 доказывается существование локального по времени (до момента столкновения тела с границей) решения задачи с сопротивлением. Рассматривается два вида сил сопротивления, действующих на тело: первые пропорциональны скорости тела, вторые зависят от его положения в пространстве. Заметим, что за счет подходящего выбора сил сопротивления мы всегда можем добиться того, что тело не подойдет к границе в течение сколь угодно большого отрезка времени. Этот факт будет использован в параграфах 4 и 5 при доказательстве глобальной разрешимости задачи в двумерном и трехмерном случаях, соответственно. Имея глобальное решение задачи с сопротивлением, мы получим глобальное решение основной задачи путем предельного перехода при стремлении сил сопротивления к нулю. В случае трех пространственных переменных эта процедура проделана только для ситуации, когда область течения и твердое тело являются шарами, что вызвано более сложным, чем в двумерном случае, поведением тела у границы и более разнообразными геометрическими возможностями. Следует отметить, что, как показано в параграфе 2, если границы тела и области течения являются поверхностями (кривыми) класса и тело касается стенки в какой-то момент времени, то оно в этот момент неподвижно (скорость всех его точек равна нулю) в двумерном случае, и может лишь вращаться вокруг оси, проходящей через точку касания и ортогональной границе, в трехмерном. Это довольно парадоксальный факт, так как он говорит, например, о том, что металлический шарик не может катиться по дну стакана, наполненного водой — обязательно оторвется.

Другой интересный факт доказан в параграфе 6. Показано, что при подходе к границе тело замедляется (что, вообще говоря, естественно), и в момент касания его скорость обращается в нуль (имеется в виду производная по времени функции расстояния от тела до границы). На физическом языке это можно выразить так: бросив шарик в стакан с водой мы не должны услышать, как он ударится о дно. Таким образом, можно пополнить уже довольно длинный список парадоксов, связанных с задачами динамики жидкости.

Отметим, что в настоящее время получено обобщение этих результатов на случай неоднородных жидкости и твердого тела [150 .

В главе 2 рассмотрен ряд задач, описывающих течения двуфазных сред. Глава разбита на три части. Первая имеет отношение к задаче о движении двух несмешивающихся жидкостей, разделенных капиллярной границей. В классической постановке наличие поверхностного натяжения означает, что на границе раздела Г выполняется условие:

У(п}] = акп, где У — тензор напряжений в жидкости, п — вектор нормали к Г, к — средняя кривизна поверхности Г, сг — коэффициент поверхностного натяжения, скобки [ • ] означают скачок функции при переходе через Г. Течение жидкостей подчиняется уравнениям Навье-Стокса.

Эта и родственные ей задачи широко изучались В.А.Солонниковым и его учениками ([53], [54], [12]), Т.Билом [78] , Г. Алаином [74] и многими другими авторами. Ими доказано существование решения в различных классах гладкости, на на малом промежутке времени. В работах

138], [56] построено глобальное, но мерозначное решение, где граница раздела жидкостей описывалась с помощью варифолдов (см. [76], 75]). Изучению свойств границы в случае жидкости Стокса посвящена статья 41

Другой подход к описанию этого явления, предложенный в работах 58], [63], [62], представлен в первой части главы 2. Рассматривается новая модель, в которой учитывается как взаимная диффузия жидкостей, так и их капиллярное взаимодействие. Эта модель построена на основе идей Ван дер Ваальса [153], Кортевега [122], Кана и Хилларда 84], [85]. Формальные асимптотические разложения по малому параметру, характеризующему эффективную толщину слоя перемешивания, построенные в работе [58], показывают, что классическая модель является нулевым приближением предложенной. Модель подобного типа для течений сжимаемой жидкости исследовалась в работе [133 .

В диссертации проведено довольно подробное исследование модели. В частности, доказана глобальная однозначная разрешимость поставленной для нее задачи Коши, изучены поведение решения при 1 ~¥ оо и устойчивость стационарных решений.

Аналогичные модели используются для описания фазовых переходов первого рода и процессов диффузии (см. [51], [80], [81], [82]). Они носят название моделей фазового поля и имеют следующий вид:

0.1) т(р1 = АААр + а-\<р - лл) + е. (0.2)

Здесь 9 — температура среды, (р — параметр порядка, /, К, т, А а — некоторые постоянные. Параметр порядка, называемый еще фазовой функцией, задает распределение какой-либо макроскопической характеристики среды, например, концентрации или фазы. При стремлении параметров г, л, а к нулю мы можем получать различные постановки задач о фазовых переходах (отличающиеся одним условием на границе фазового перехода)

01 = КАв в областях, занятыми фазами,

1Уп = -К1Ав-п] на Г,

1. классическая задача Стефана: л = 0 на Г;

2. задача Стефана с поверхностным натяжением: в = ак на Г;

3. задача Стефана с поверхностным натяжением и кинетическим переохлаждением : в = ак-Уп на Г.

Здесь Г — граница фазового перехода, 14 — ее скорость в направлении нормали к — средняя кривизна поверхности Г.

Физические предпосылки использования моделей 2 и 3 приведены в работах [81], [109], [110]. Отметим лишь, что они носят уточняющий характер по сравнению с классической задачей Стефана, учитывая поверхностную энергию Гиббса и динамику границы раздела фаз. Это приводит к тому, что вблизи межфазной границы может быть, например, лед с положительной температурой и вода с отрицательной. Поэтому модели такого типа называют еще моделями с переохлаждением.

Все три задачи исследовались на корректность, хотя и с разной степенью полноты. С результатами по классической задаче Стефана можно познакомиться по книге [36]. Для задачи Стефана с поверхностным натяжением и кинетическим переохлаждением доказано существование и единственность локального по времени классического решения (см, [57], [44], [87]). В работах [126], [139], [42], [143] доказано существование глобального обобщенного решения задачи Стефана с поверхностным натяжением. Существует довольно много статей, посвященных обоснованию предельного перехода от модели фазового поля к этим постановкам задачи Стефана (см. [139], [42], [45], [10], [11] [136], [146]).

Во второй части главы 2 рассматривается конвективная задача Стефана с поверхностным натяжением, в которой наряду с тепловыми процессами учитывается движение среды. Следует отметить, что учет конвекции вносит в задачу существенные трудности. Определенный прогресс в этой области был достигнут в работах [86], [96], [97], [141], 2], [23], [118], однако, существование глобального решения доказано не было. В данной диссертации предлагается учесть энергию межфазного взаимодействия. Таким образом, получается комбинация задачи Стефана с поверхностным натяжением и задачи о движении двух не-смешивающихся жидкостей, разделенных капиллярной границей. Не смотря на то, что отдельно для второй задачи пока не получена глобальная разрешимость, их совокупность допускает глобальное обобщенное решение с гладкой границей раздела фаз. Этот факт доказан в параграфах 9, 11. Поверхностная энергия тепловых процессов вносит в задачу некоторый дополнительный регуляризующий фактор.

В параграфах 6-9 рассматривается задача ЬЬ, в которой обе фазы являются жидкими и отличаются только вязкостью. Для ее решения используется метод регуляризации с помощью системы типа модели фазового поля. Далее, в параграфе 11 делается переход к задачам, в которых одна из фаз является твердой и может быть как подвижной задача LSM), так и неподвижной (задача LSI). При этом используются методы главы 1. В параграфе 10 доказываются некоторые качественные результаты, которые нужны для предельного перехода к задачам с твердой фазой, но представляют и самостоятельный интерес. В частности, при возникновении зародыша твердой фазы хорошо известен эффект нуклеатизации, заключающийся в том, что размер зародыша не может быть меньше некоторой величины, определяемой температурой и свойствами вещества. Твердая фаза появляется не непрерывно из точки, а скачком. В этом параграфе получена оценка снизу на величину зародыша.

Все перечисленные выше результаты были получены в предположении, что плотность вещества не терпит скачка при фазовом переходе. В реальных явлениях этот эффект имеет место, и его, вообще говоря, нельзя игнорировать. Например, всем известно, что вода при замерзании расширяется. Автору известна только одна математическая работа, в которой рассматривается задача Стефана со скачком плотности, а именно, статья А.А.Костикова [123]. В этой работе доказана локальная разрешимость задачи при следующих предположениях:

1. вещество является несжимаемым,

2. плотности фаз — различные постоянные,

3. жидкая фаза окружает твердую.

Последнее ограничение очень существенно. В самом деле, рассмотрим фазовый переход типа жидкость - твердое тело в ситуации, когда выполняются первые два предположения, но жидкая фаза заполняет полость внутри твердой. Положим для определенности, что плотность жидкой фазы больше плотности твердой фазы (как у воды). Легко видеть, что в этой ситуации невозможен фазовый переход, описываемый классическими уравнениями механики сплошной среды. Если граница раздела фаз движется в сторону жидкой фазы, то жидкость при замерзании будет расширяться, что невозможно, так как ее объем ограничен жесткой оболочкой из твердой фазы. Аналогично, движение межфазной границы в сторону твердой фазы также невозможно. Таким образом, задача о фазовом переходе в несжимаемой жидкости в общем случае неразрешима даже «в малом». Необходимо искать другие модели для описания этого процесса, пусть даже в простейших ситуациях. В части И1 главы 2 представлен один из возмолсных подходов.

Предполагается, что движение вещества является медленным и описывается уравнениями Стокса, удельная внутренняя энергия е и плотность р есть заданные функции только от температуры О и не зависят от давления. Фактически, такие среды можно назвать несжимаемыми или, более точно, изотермически несжимаемыми. Кроме того, предполагается, что функции е{в) и р{9) связаны соотношением: где ai, «2 — какие-либо постоянные. Уравнения состояния такого типа в случае, когда е' = const, рассматривались в работах [137], [140 .

В такой постановке доказано, что задача имеет единственное глобальное решение. Более того, для этой задачи справедливы многие результаты, которые имеют место для классической задачи Стефана без конвекции, в частности, результат о невозрастании переходной фазы i 107.

Несмотря на то, что с физической точки зрения эта модель является сильно упрощенной, она издавна и до сих пор широко используется в гидродинамике. Исследование начально-краевых задач для уравнений Эйлера было начато в работах Н.М.Гюнтера [9] и Л.Лихтенштейна 124]. Ими получены основополагающие результаты о существовании и единственности локального классического решения задачи. Впоследствии, в ставших уже классическими работах Е.Гельдера [116], В.Волибнера [155], В.И.Юдовича [72] и Т.Като [119] были доказаны теоремы о глобальной однозначной разрешимости задачи в случае двух пространственных переменных.

В трехмерном случае ситуация более сложна, и доказать глобальную разрешимость задачи пока не удалось. Более того, численные исследования показывают (см. [88], [89], [134]), что гладкие в начальный момент времени течения идеальной жидкости могут становиться сингулярными. В работе [79] установлено, что если изначально гладкое решение теряет регулярность, то максимум завихренности (ротора скорости) обязательно неограниченно растет при приближении к некоторому критическому моменту времени. Вообще говоря, в образовании сингулярности нет ничего страшного. В том и состоит особенность течений идеальной жидкости, что они допускают нерегулярные режимы. Необходимо лишь выявить возникающую сингулярность и ввести соответствующее определение решения. В двумерном случае уже получен ряд результатов в этом направлении (см. [99], [100]). Недавно Ж.-М.

Делор (см. [91], [92], [93]) доказал глобальную разрешимость задачи в случае, когда начальное распределение скорости суммируемо с квадратом, а завихренность является знакоопределенной мерой. Другие доказательства этого факта предложены в работах [128], [103]. Таким образом, частично решена задача о «вихревой пелене». «Вихревая пелена» — это линия, перемещающаяся вместе жидкостью, на которой терпит скачок касательная компонента скорости. То есть, завихренность является мерой, сосредоточенной на этой линии. Для полного решения задачи требуется освободиться от условия знакоопределенности меры.

В данной диссертации рассматривается задача Коши для системы уравнений Эйлера с начальными данными, в которых завихренность имеет особенность типа (л-функции Дирака, и поле скорости не является суммируемым с квадратом. Такой тип особенности называется точечным вихрем. При исследовании этой задачи необходимо наложить дополнительные ограничения на структуру решения. В гидродинамике принято предположение [3], состоящее в том, что точечный вихрь присутствует в течении и в последующие моменты времени и «сам на себя не действует», то есть, его движение определяется только регулярной составляющей скорости (см. параграф 1 главы 3). Результаты главы 3 позволяют сделать вывод об обоснованности такого предположения. Эта глава посвящена доказательству глобальной однозначной разрешимости задачи о движении точечного вихря. Доказательство существования обобщенного решения задачи проводится с помощью ее регуляризации задачей с начальными данными, в которых особенность завихренности заменена аппроксимирующей ее последовательностью ограниченных функций. Стоит отметить, что в пределе мы получаем систему, состоящую как из уравнений в частных производных, так и из обыкновенных дифференциальных уравнений. Последние описывают перемещение точечного вихря. Подобная ситуация возникает в главе 1 при решении задачи о движении твердого тела в жидкости.

Задача о движении вихря в идеальной жидкости рассматривалась ранее Н.Д.Введенской и Л.Р.Волевичем (см. [4], [5]), К.Маркиоро и М.Пулверенти [129], Б.Туркингтоном [152]. В работах [4], [5] доказано существование локального по времени решения, а также приведены методы численного исследования задачи. В [129] решена задача Коши даже для случая нескольких вихрей, но в предположении что регулярные составляющие завихренности и скорости равны нулю. В этом случае, если в течении присутствует только один вихрь, то он будет неподвижен, и задача становится тривиальной. В статье [152] также предполагается, что регулярная часть завихренности равна нулю, но область течения ограничена, поэтому регулярная часть поля скорости не равна нулю, и вихрь перемещается.

На протяжении диссертации приняты следующие обозначения:

• — окончание доказательства теоремы,

• и -4 — начало и конец доказательства леммы, предложения или следствия,

• — конец замечания.

Нумерация формул ведется отдельно по параграфам и главам. Первая цифра означает номер параграфа, вторая — номер формулы в параграфе. То же самое относится к теоремам, предложениям, леммам и определениям, для которых используется общая нумерация.

Результаты, входящие в диссертацию опубликованы в работах [42 58], [59], [60], [62], [63], [112], [ИЗ], [114], [115], [149.

Автор вырал<ает благодарность члену-корреспонденту РАН профессору П.И.Плотникову за внимание к работе и плодотворные обсуждения.

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Старовойтов, Виктор Николаевич, Новосибирск

1. Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1980.

2. Базалий Б.В., Дегтярев С.Н. Классическая разрешимость многомерной задачи Стефана с конвективным движением вязкой несжимаемой жидкости// Мат. Сборник. 1987. Т. 132. N 1. С.3-19.

3. Богомолов В.А. Динамика завихренности на сфере// Мех. жидкости и газа. 1977. N 6. С.57-65.

4. Введенская Н.Д., Волевич Л.Р. Движение идеальной жидкости с изолированными вихрями// УМН. 1983. Т.38, N 5. С. 159-160.

5. Введенская Н.Д., Волевич Л.Р. Движение идеальной жидкости с локализованной завихренностью на поверхности вращающейся сферы. М., 1984. Препринт/ ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, N68.

6. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988.

7. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972.

8. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

9. Гюнтер Н.М. Об основной задаче гидродинамики// Изв. физ.-мат. института АН СССР. 1927. Т.2, N 1. С.1-168.

10. Денисова И.В. Движение капли в потоке жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отделение, Ин-т гидродинамики. 1989. - Вьт.93.

11. Джусти Э. Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации. М.: Мир, 1989.

12. Дубинский Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях // Мат. сб. 1965. Т.67, N 4. С.609-642.

13. Кажихов A.B. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений движения неоднородной вязкой несжимаемой жидкости// Докл. АН СССР. 1974. Т.216, N 5. С.1008-1010.

14. Кажихов A.B. Корректность нестационарной задачи о протекании идеальной жидкости через заданную область// Динамикасплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отделение, Ин-т гидродинамики. 1980. - Вып.47. С.37-56.

15. Калантаров В.К. О глобальном поведении решений некоторых нелинейных уравнений четвертого порядка // Записки научных семинаров ЛОМИ. Т. 163. Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 19. 1987. С. 66-75.

16. Каменомостская СЛ. О задаче Стефана// Мат. сборник. 1961. Т.53, N 4. С.489-514.

17. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

18. Коробкин A.A. Соударение жидких и твердых масс. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1997.

19. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. 4.1. М.: Физматгиз, 1963.

20. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз, 1958.

21. Кулагина H.A. Однофазная задача Стефана с движением в жидкой фазе// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отделение, Ин-т гидродинамики. 1985. - Вып.72. С.36-49.

22. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.

23. Ладыженская O.A. Начально-краевая задача для уравнений Навье-Стокса в областях с меняющейся со временем границей// Записки научных семинаров ЛОМИ. 1968. Т.Н. С.97-128.

24. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

25. Ладыженская O.A. О динамической системе, порождаемой уравнениями Навье-Стокса // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1972. Т.27. С. 91-114.

26. Ладыженская O.A. О нахождении минимальных глобальных аттракторов для уравнений Навье-Стокса и других уравнений с частными производными // Успехи математических наук. Т.42. В.6(258). 1987. С.25-60.

27. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

28. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

29. Ламб Г. Гидродинамика. М,: Гостехиздат, 1947.

30. Ландау Л.Д., Лифшиц В.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988.

31. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

32. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

33. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.

34. Мейрманов A.M. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986.

35. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977.

36. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977.

37. Назаров С.А. О течении воды под лежачий камень// Мат. сборник. 1995. Т.186, N 11. С.75-110.

38. Олейник О.А. Об одном методе решения задачи Стефана// Докл. АН СССР. 1960. Т.135, N 5. С.1054-1057.

39. Плотников П.И. Об одном классе кривых, возникающем в задаче со свободной границей для течений Стокса// Сиб. Мат. Журнал. 1995. Т.36, N 3. С.619-627.

40. Плотников П.И., Старовойтов В.Н. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля // Дифф. уравнения. 1993. - Т.29, N 3. - С.461-471.

41. Пухначев В.В. Стоксово приближение в задаче обтекания самодвижущегося тела// Краевые задачи математической физики. Киев: Наукова думка. 1990. С.65-73.

42. Радкевич Е.В. Поправка Гиббса-Томсона и условия существования классического решения модифицированной задачи Стефана// Докл. АН СССР. 1991. Т.316, N 6. С.131Ы315.

43. Радкевич Е.В. Об асимптотических решениях системы фазового поля// Дифф. уравнения. 1993. Т.29, N 3, С.487-500.

44. Радкевич E.B. Об условиях существования классического решения модифицированной задачи Стефана (закон Гиббса-Томсона)// Мат. сборник. 1992. Т. 183, N 2. С.77-101.

45. Решетняк Ю.Г. О слабой сходимости вполне аддитивных вектор-функций множества// Сиб. Мат. Журнал. 1968. Т.9, N 6. С. 13861394.

46. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, Т.4, Анализ операторов. М.: Мир, 1982.

47. Саженков С. А. Задача о движении твердых тел в неньютоновской несжимаемой жидкости// Сиб. Мат. Журнал. 1998. Т.39, N 1, С. 146-160.

48. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Изд-во иностр. лит., 1954. Т.2.

49. Скрипов В.П., Скрипов A.B. Спинодальный распад // Успехи физических наук. 1979. - Т. 128. - Вып.2.- С. 193-231.

50. Соболевский П.Е. О нестационарных уравнениях гидродинамики вязкой жидкости // ДАН СССР. 1959. Т. 128. No 1. С. 45-48.

51. Солонников В. А. Разрешимость задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости, ограниченной свободной поверхностью// Изв. АН СССР. Математика. 1977. Т.41. С.1388-1424.

52. Солонников В.А. О неустановившемся движении конечной массы жидкости, ограниченной свободной поверхностью // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1986.- Т. 152.- С. 137-157.

53. Старовойтов В.Н. Разрешимость задачи о движении концентрированных вихрей в идеальной жидкости// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отделение, Ин-т гидродинамики. 1988. - Вьш.85. С.118-136.

54. Старовойтов В.Н. Разрешимость задачи о движении жидкости с межфазной границей // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отделение, Ин-т гидродинамики. 1990. -Вьга.95. С.114-130.

55. Старовойтов В.Н. Разрешимость в малом по времени задачи Стефана с условием Гиббса-Томсона на межфазной границе// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отделение, Ин-т гидродинамики. 1990. - Вып.95. С. 151-155.

56. Старовойтов В.Н. Модель движения двухкомпонентной жидкости с учетом капиллярных сил.// Журнал прикладной механики и техн. физики. 1994. Т.35, N 6(208). С.85-92.

57. Старовойтов В.Н, Представление решения в задаче о движении точечного вихря в идеальной жидкости// Сиб. мат. журнал. 1994. Т.34, N 2. С.446-458.

58. Старовойтов В.Н. Единственность решения задачи о движении точечного вихря// Сиб. мат. журнал. 1994. Т.35, N 3. С.696-701.

59. Старовойтов В.Н. О равномерной ВУ-оценке решений некоторых дифференциальных уравнений// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отделение, Ин-т гидродинамики. -1994. Вьш.109. С. 103-108.

60. Старовойтов В.Н. О задаче Коши для системы уравнений, описывающей движение двухкомпонентной жидкости с учетом капиллярного взаимодействия// Успехи математических наук. 1995. Т.50, в.4(304). С.78.

61. Старовойтов В.Н. О движении двухкомпонентной жидкости при наличии капиллярных сил// Математические заметки. 1997. Т.62, N 2. С.293-305.

62. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

63. Темам Р. Математические задачи теории пластичности. М.: Наука, 1991.

64. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

65. Харди Г., Литтльвуд Д., Полна Г. Неравенства. М.: Изд-во иностр. лит., 1948.

66. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

67. Чаплыгин С.А. Полное собрание сочинений. Т.1. Л.: 1933.

68. Юдаков Н.В. Разрешимость задачи о движении твердого тела в вязкой несжимаемой жидкости// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отделение, Ин-т гидродинамики. 1974. вып. 18. С.249-253.

69. Юдаков Н.В. Гладкость решений одной задачи для уравнений Навье-Стокса// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. /АН СССР, Сиб. отделение, Ин-т гидродинамики. 1976. вып. 26. С. 154-159.

70. Юдович В.И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1963. Т.З, N 6. С.1032-1066.

71. Alikakos N.D., Fusco G. Slow dynamics for the Cahn-Hilliard equation in higher space dimensions. Spectral estimates.// Comm. in pariai diff. equations, V. 19, 1994, p.1397-1447.

72. Allain G. Small-time existence for the Navier-Stokes equations with a free surface. Ecole Polytechnique, Preprint N 135, 1985.

73. Allard W.K. On the first variation of a varifold // Ann. Math. 1972. V.95, N 3. P.417-491.

74. Almgren F.J. Plateau's problem. An invitation to varifold geometry. N.Y.: Benjamin, 1966.

75. Aubin J.P. Un théorème de compacité// С. R. Acad. Sc. 1963. V.256. P.5042-5044.

76. Beale J.T. The initial value problem for the Navier-Stokes equations with a free surface// Comm. Pure Appl. Math. 1982. V.34. P.359-392.

77. Beale J.T., Kato T., Majda A. Remarks on the breakdown of smooth solutions for the 3-d Euler equations// Commun. Math. Phys. 1984. V.94. P.61-66.

78. Caginalp G. An analysis of a phase field model of a free boundary // Arch. Rat. Mech. Anal. 1986. - V.92. - P.205-245.

79. Caginalp G. Stefan and Hele-Shaw type models as asymptotic limits of the phase-field equations // Physical Review A. 1989. - V.39. -N 11. - P.5887-5896.

80. Caginalp G. The dynamics of a conserved phase field system: Stefanlike, Hele-Shaw and Cahn-Hilliard models as asymptotic Hmits// IMA Journal of Appl. Math. 1990. V.44. P.77-94.

81. Caginalp G., Chen X. Convergence of the phase field model to its sharp interface limits// Euro. J. Appl. Math. 1998. V.9. P.417-445.

82. Cahn J.W. On spinodal decomposition // Acta Metallurgica. 1961. - V.9. - N 9. - P.795-801.

83. Cahn J.W., Hillard J.E. Free energy of a non-uniform system. Interfacial free energy // J.Chem.Phys. 1958. - V.28. - P.258-266.

84. Cannon J.R., DiBenedetto E., Knightly G.K. The bidimensional Stefan problem with convection: the time dependent case.// Comm. Part. Diff. Equations. 1983. V.8, N 14. P.1549-1604.

85. Chen X., Reitich F. Local existence and uniqueness of solutions of the Stefan problem with surface tension and kinetic undercooling// J. Math. Anal. Appl. 1992. V.164. P.350-362.

86. Chorin A. Estimates of intermittency, spectra and blow-up in developed turbulence// Commun. Pure Appl. Math. 1981. V.34. P.853-866.

87. Chorin A. The evolution of a turbulent vortex// Commun. Math. Phys. 1982. V.83. P.517-535.

88. Conca C, San Martin J., Tucsnak M. Existence of solutions for the equations modelling the motion of a rigid body in a viscous fluid// Commun. Partial Differ. Equations. 2000. V.25, N 5-6. P.1019-1042.

89. Delort J.-M. Existence de nappes de tourbillon sur B?/1 C. R. Acad. Sci. Paris. 1991. T.312, N 1. P.85-88.

90. Delort J.-M. Existence de nappes de tourbillon en dimension deux// J. Amer. Math. Soc. 1991. V.4. P.553-586.

91. Delort J.-M. Une remarque sur le problème des nappes de tourbillon axisymetriques sur 11 J. Func. Anal. 1992. V.108. P.274-295.

92. Desjardins B., Esteban M.J. On weak solutions for fluid-rigid structure interaction: compressible and incompressible models. Preprint 9908, Université Pris-Dauphine, 1999.

93. Desjardins B., Esteban M.J. Existence of weak solutions for the motion ofrigid bodies in a viscous fluid// Arch. Rational Mech. Anal. 1999. V.146. P.59-71.

94. DiBenedetto E., Friedman A. Conduction-convection problem with a change of phase// J. Differntial Equations. 1986. V.62, N 2. P. 129185.

95. DiBenedetto E., O'Leary M. Three-dimensional conduction-convection problems with change of phase// Arch. Rat. Mech. Anal. 1993. V.123. P.99-116.

96. DiPerna R.J., Lions P.-L. Ordinary differential equations, Sobolev spaces and transport theory// Invent. Math. 1989. V.98. P.511-547.

97. DiPerna R.J., Majda A. Concentrations in regularizations for 2-D incompressible flow// Commun. Pure Appl. Math. 1987. V.40. P.301-345.

98. DiPerna R.J., Majda A. Reduced Hausdorff dimension and concentration-cancellation for two dimensional incompressible flow// J. Amer. Math. Soc. 1988. V.l. P.59-95.

99. Elliot C M . The Cahn-Hillard model for the kinetics of phase separation // International series of numerical math. 1989. - V.88. - P.35-73.

100. Elliot CM., Songmu Z. On the Cahn-Hilliard equation // Arch. Rat. Mech. and Anal. 1986. V. 96. p. 339-357.

101. Evans L.C, Müller S. Hardy spaces and the two-dimensional Euler equations with nonnegative vorticity// J. Amer. Math. Soc. 1994. V.7. P.199-219.

102. Fujita H., Sauer N. On existence of weak solutions of the Navier-Stokes equations in regions with moving boundaries// J. Fac. Sei. Univ. Tokyo., Sec.lA. 1970. V.17. P.403-420.

103. Galdi C P. An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations. V.1,2. Springer, 1994.

104. Galdi C P . On the steady self-propelled motion of a body in a viscous incompressible fluid// Arch. Rational Mech. Anal. 1999. V.148, N 1. P.53-88.

105. Götz I.e., Zaltzman B.B. Nonincrease of mushy region in a nonhomogeneous Stefan problem// Quarterly of Applied Mathematics. 1991. V.49, N 4. P.741-746.

106. Götz LG., Zaltzman B.B. Two-phase Stefan problem with supercoohng// SIAM J. Math. Anal. 1995. V.26, N 3. P.694-714.

107. Gurtin M.E. Multiphase thermomachanics with interfacial structure. l.Heat coduction and the capillary balance law// Arch. Rat. Mech. Anal. 1988. V.104. R195-222.

108. Gurtin M.E. Multiphase thermomachanics with interfacial structure: Towards a non-equihbrium thermomechanics of two phase materials// Arch. Rat. Mech. Anal. 1988. V.104. R275-312.

109. Gurtin M.E., Soner H.M. Some remarks on the Stefan problem with surface structure// Quart. Appl. Math. 1992. V.50, N 2. R291-303.

110. Hoffmann K.-H., Starovoitov V.N. On a motion of a solid body in a viscous fluid. Two-dimensional case// Advances in Mathematical Sciences and Applications. 1999. V.9, N 2. R164-182. (Preprint M9617, 1996, Technische Universität München)

111. Hoffmann K.-H., Starovoitov V.N. Zur Bewegung einer Kugel in einer zähen Flüssigkeit// Documenta Mathematica. 2000. V.5. P. 15-21. (Preprint M9618, 1996, Technische Universität München)

112. Hoffmann K.-H., Starovoitov V.N. Phase transitions of liquid-liquid type with convection// Adv. Math. Sei. Appl. 1998. V.8, N 1. P.185-198.

113. Hoffmann K.-H., Starovoitov V.N. The Stefan problem with surface tension and convection in Stokes fluid// Adv. Math. Sei. Appl. 1998. V.8, N 1. R173-183.

114. Holder Б. Über die unbeschränkte Fortsetzbarkeit einer stetigen ebenen Bewegung in einer unbegrenzten inkompressible Flüssigkeit// Math. Z. 1933. Bd.37. S.727-738.

115. Hsu R., Ganatos P. The motion of a rigid body in viscous fluid bounded by a plane wall// Journal of Fluid Mechanics. 1989. V.207. P.29-72.

116. Kaliev I.A., Kazhikhov A.V. Well-posedness of a gas-solid phase transition problem// J. Math. Fluid Mech. 1999. V.l. P.282-308.

117. Kato T. On classical solutions of the two-dimensional nonstationary Euler equation// Arch. Rational Mech. and Anal. 1967. V.25, N 3. P.188-200.

118. Kazhikhov A. V., Shelukhin V. V . The verification compactness method// Актуальные проблемы современной математики. Т.2. С.51-60.

119. Kirchhoff G. Über die Bewegung eines Rotationskörpers in einer Flüssigkeit// J. de Grelle. 1869. V.71. P.237-281.

120. Kostikov A.A. Thermodiffusional Stefan problem with convection. Report N 361. University of Augsburg. 1992.

121. Lichtenstein L. Gründlagen der Hydromechanik. Berlin: Springer, 1927.

122. Lions P.-L. Mathematical topics in fluid mechanics. V.l. Incompressible models. Clarendon Press. Oxford. 1996.

123. Luckhaus S. Solutions for the two-phase Stefan problem with the Gibbs-Thomson law for the melting temperature// European Journal of Applied Math. 1990. V.l, N 2, P.101-111.

124. Luckhaus S., Módica L. The Gibbs-Thomson relation within the gradient theory of phase transitions// Arch. Rat. Mech. Anal. 1988. V.107. R71-83.

125. Majda A. Remarks on weak solutions for vortex sheets with a distinguished sign// Ind. Univ. Math. J. 1993. V.42. P.921-939.

126. Marchioro C, Pulvirenti M. Euler evolution for singular initial data and vortex theory// Commun. Math. Phys. 1983. V.91, N 4. P.563-572.

127. Massari U. Frontière orientate di curvatura media assegnata// Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. V.53. 1975. P.37-52.

128. Meirmanov A.M. The Stefan problem with surface tension in the three dimensional case with spherical symmetry: non-existence of the classical solution// European J. Appl. Math. 1994. N 5. P.1-19.

129. Módica L. The gradient theory of phase transitions and the minimal interface criterion// Arch. Rational Mech. Anal. 1987. V.98. P.123-142.

130. Morf R., Orszag S., Frisch U. Spontaneous singularity in three-dimensional incompressible flow// Rhys. Rev. Lett. 1980. V.44. P.572-575.

131. Nicolaenko B., Scheurer B. Low dimensional behaviour of the pattern formation Cahn-Hilliard equation // "Trends and practice of Nonlinear Analysis", ed. Lakshimikantham, Elsevier Science PubHcation, North Holland, 1985, p.323-336.

132. Omel'yanov G.A., Danilov V.G., Radkevich E.V. Asymptotic solution of the conserved phase field system in the fast relaxation case// Euro. Journal of Applied Mathematics. 1998. V.9. P.1-21.

133. Perera P.S., Sekerka R.F. Nonsolenoidal flow in a liquid diffusion couple// Phys. Fluids. 1997. V.9, N 2. P.376-391.

134. Plotnikov P.I. Compressible Stokes flow driven by capillary on a free surface// "Navier-Stokes Equations and Related Nonlinear Problems", ed. by H.Amann, G.Galdi, K.Pileckas and V.Solonnikov, VSP BV and Tev Ltd, Vilnius, 1998, P.217-238.

135. Plotnikov P.I., Starovoitov V.N. Stefan problem with surface tension as a limit of the phase field model // Itern. Series of Numerical Math. 1992. - V.106. - P.263-270. Birkhauser Verlag, Basel.

136. Pukhnachov V.V. Model of convective motion under low gravity// Microgravity Quarterly. 1992. V.2, N 4. P.251-252.

137. Rodrigues J.F. A steady-state Boussinesq-Stefan problem with continuous extraction// Ann. Mat. Рига Appl. (IV). 1986. N 144. P.203-218.

138. Sather J. The initial boundary value problem for the Navier-Stokes equations in regions with moving boundaries. Dissertation, University of Minnesota, January 1963.

139. Schatzle R. The quasistationary phase field equations with Neumann boundary conditions// J. Diff. Equations. 2000. V.162. P.473-503.

140. Serre D. Chute libre d'un soHde dans un fluide visqueux incompressible. Existence// Japan Journal of Applied Mathematics. 1987. V.4, N 1. P.99-110.

141. Simon J. Compact sets in the space 1/(0,Т]В)// Ann. Mat. Рига Appl. (IV). 1987. V. 146. P.65-96.

142. Soner H.M. Convergence of the phase-field equations to the Mullins-Sekerka problem with kinetic undercooling// Arch. Rational Mech. Anal. 1995. V.131. P.139-197.

143. Starovoitov V.N. Measure-solution of the two-phase filtration problem// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отделение, Ин-т гидродинамики. 1993. - Вып. 106. С. 124134.

144. Starovoitov V.N. Liquid-liquid phase transitions in fluid// FBP News. 1996. N 10.

145. Starovoitov V.N. Stefan problem with different phase densities// Z. Angew. Math. Mech. (ZAMM). 2000. Bd.80, N 2. S. 103-11L

146. Starovoitov V.N. Global solvability of the problem on a motion of a solid body in a viscous non-homogeneous fluid. Тезисы докладов Четвертого сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ). Новосибирск, 2000. С.28.

147. Thomson W. (Lord Kelvin). Mathematical and physical papers. 1882. V.4. Cambridge University Press.

148. Turkington B. On the evolution of a concentrated votex in an ideal fluid// Arch. Rational Mech. and Anal. 1987. V.97, N 1. P.75-87.

149. Van der Waals J.D. Thermodynamics theory of capillarity flow under the hypothesis of a continous variation of density // Verhandel. Konink. Akad. Weten. Amsterdam (sec.l). V . l. N 8 (1893).

150. Visintin A. Stefan problem with a kinetic condition at the free boundary// Ann. Mat. Рига Appl. (4). 1987. N 146. P.97-122.

151. Wolibner W. Un theorem sur l'existence du mouvement plan d'un fluide parfait, homogene, incompressible, pendant, un temps infiniment long// Math. Z. 1933. Bd.37. S.698-726.